Lineare Algebra I,II (Sätze und Definitionen)

Martin Ziegler Freiburg WS 93/94, SS 94^{1}

1version11-4-g870cff2, Tue Oct 18 21:50:37 2011 +0200

Inhaltsverzeichnis

1 Der n-dimensionale euklidische Raum 3 1.1 Lineare Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Der ℝ^{n} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Geraden und Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 Das Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.5 Lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Vektorräume 8 2.1 Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 ℝ–Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3 Unendlich dimensionale Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.4 Der Verband der Unterräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.5 Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Lineare Abbildungen 16 3.1 Der Noethersche Isomorphiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.2 Die lineare Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.3 Basiswechsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4 Determinanten 21 4.1 Die Signatur einer Permutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.2 k–Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4.3 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.4 Der Laplacesche Entwicklungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5 Endomorphismen 25 5.1 Diagonalisierbare Endomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5.2 Das charakteristische Polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5.3 Haupträume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5.4 Nilpotente Endomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

6 Dualität 31 6.1 Der Dualraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 6.2 Duale Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 6.3 Duale Paare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

7 Symmetrische Bilinearformen 35 7.1 Bilinearformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 7.2 Symmetrische Bilinearformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 7.3 Euklidische Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 7.4 Die Hauptachsentransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 7.5 Unitäre Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

8 Multilineare Algebra 42 8.1 Tensorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 8.2 Tensorprodukt und Dualität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 8.3 Die äußere Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 8.4 Äußere Algebra und Dualität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 8.5 Die äußere Algebra eines euklidischen Raumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Kapitel 1

Der n-dimensionale euklidische Raum

1.1 Lineare Gleichungen

Eine lineare Gleichung (über ℝ) ist ein Ausdruck der Form

α_{1}x_{1} + … + α_{n}x_{n} = β,

für reelle Zahlen α_{i} und β. Eine Lösung ist ein n-Tupel

(ξ_{1}, …, ξ_{n})

von reellen Zahlen, das die Gleichung erfüllt.

Ein lineares Gleichungssystem G (in n Variablen) ist ein System

α_{11}x_{1} + ⋯ + α_{1n}x_{n} = β_{1}
⋮
⋮
α_{m1}x_{1} + ⋯ + α_{mn}x_{n} = β_{m}

von linearen Gleichungen. In Kurzform

∑_{j=1}^{n} α_{ij}x_{j} = β_{i} (i = 1, …, m).

Die Lösungsmenge von G ist

L(G) = {(ξ_{1}, …, ξ_{n}) | ξ_{1}, … ξ_{n} ∈ ℝ, ∑_{j=1}^{n} α_{ij}ξ_{j} = β_{i} (i = 1, …, m)}

, G heißt homogen, wenn alle β_{i} gleich Null sind, und quadratisch, wenn m = n. Eine Zeilenoperation macht aus G ein neues Gleichungssystem durch

Z_{i}^{λ} Multiplikation der i–ten Zeile mit einer Zahl λ ≠ 0 Z_{i,j}^{λ} Addieren des λ–fachen der i–ten Zeile zur j–ten Zeile (i ≠ j).

Lemma 1.1.1 Ein Gleichungssystem, das aus G durch Zeilenoperationen hervorgeht, hat die gleichen Lösungen wie G.

Ein Gleichungssystem G′ ist in Normalform , wenn es die Gestalt

x_{1}  + α_{1,k+1}x_{k+1} + ⋯ α_{1,n}x_{n} = β_{1}
x_{2}  + α_{2,k+1}x_{k+1} + ⋯ α_{2,n}x_{n} = β_{1}
...  ⋮  ⋮
x_{k} + α_{k,k+1}x_{k+1} + ⋯ α_{k,n}x_{n} = β_{k}
0  = β_{k+1}
⋮  ⋮
0  = β_{m}

hat. k heißt der Rang von G′. Beachte, daß 0 ≤ k ≤ min(m, n). Wenn β_{k+1} = … = β_{m} = 0, ist die Lösungsmenge

{(β_{1} − α_{1,k+1}ξ_{k+1} ⋯ − α_{1,n}ξ_{n} , …, β_{k} − α_{k,k+1}ξ_{k+1} ⋯ − α_{k,n}ξ_{n}, ξ_{k+1} , …, ξ_{n}) | ξ_{k+1} , …, ξ_{n} ∈ ℝ}

(n − k)-parametrig.

Lemma 1.1.2 Jedes lineare Gleichungssystem läßt sich durch Zeilenoperationen und Vertauschung von Variablen in Normalform bringen.

Folgerung 1.1.3 Sei k der Rang des in Normalform gebrachten Gleichungssystems G, m die Zahl der Gleichungen und n die Zahl der Variablen. Dann ist L(G) leer oder (n − k)-parametrig. Wenn k = m, gibt es immer eine Lösung. Wenn k = n, gibt es höchstens eine Lösung.

Folgerung 1.1.4 Ein Gleichungssystem mit weniger Gleichungen als Variablen hat keine oder unendlich viele Lösungen.

1.2 Der ℝ^{n}

Das Produkt X_{1} × … × X_{n} einer Folge von Mengen ist die Menge

{(x_{1}, …, x_{n}) | x_{i} ∈ X_{i}(i = 1, …, n)}

aller n–Tupel, deren i–te Komponente aus X_{i} ist. X^{n} ist das n–fache direkte Produkt von X.

ℝ^{n} = {(ξ_{1}, …, ξ_{n}) | ξ_{1}, …, ξ_{n} ∈ ℝ}

ist der n-dimensionale euklidische Raum.

Spezialfälle: ℝ^{0} wird als der Nullraum 0 = {0} vereinbart. ℝ^{1} sind die reellen Zahlen selbst. ℝ^{2} ist die euklidische Ebene.

Je nach Zusammenhang heißen die Elemente des ℝ^{n} Punkte oder Vektoren.

Vektoren können addiert und mit reellen Zahlen (Skalaren) multipliziert werden. Seien a = (ξ_{i}) und b = (ζ_{i}) Vektoren und λ ∈ ℝ. Dann ist

a + b = (ξ_{i} + ζ_{i})
λa = (λξ_{i}).

Mit 0 bezeichnen wir den Nullvektor (0, …, 0).

Lemma 1.2.1 Es gelten die folgenden Rechenregeln.

1) (x + y) + z = x + (y + z)

2) x + 0 = 0 + x = x

3) Zu jedem x gibt es ein y mit x + y = 0.

4) x + y = y + x

5) λ(x + y) = λx + λy

6) (λ + μ)x = λx + μx

7) λ(μx) = (λμ)x

8) 1x = x

1.3 Geraden und Ebenen

Definition Eine (affine) Gerade g in ℝ^{n} ist eine Menge der Form

{a + λv | λ ∈ ℝ} = a + ℝv,

wobei v ≠ 0.

Der Richtungsraum ℝv ist durch g eindeutig bestimmt. Lemma 1.3.1 Zwei Geraden a + ℝv und b + ℝw sind genau dann gleich, wenn ℝv = ℝw und a − b ∈ ℝv. Lemma 1.3.2 Durch zwei verschiedene Punkte des ℝ^{n} geht genau eine Gerade. Definition Zwei Geraden heißen parallel, wenn sie die gleichen Richtungsräume haben. Verschiedene parallele Geraden können sich nicht schneiden. Definition Zwei Vektoren v und w heißen linear abhängig, wenn einer von beiden null ist oder wenn v ein Vielfaches von w ist, das heißt, wenn ℝv = ℝw. Definition Eine affine Ebene E ist eine Menge der Form a + ℝv + ℝw, für linear unabhängige v und w.

Der Richtungsraum ℝv + ℝw ist durch E eindeutig bestimmt. Lemma 1.3.3 Zwei nicht parallele Geraden, die in einer Ebene liegen, schneiden sich.

1.4 Das Skalarprodukt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren a = (ξ_{i}) und b = (ζ_{i}) ist ab = ξ_{1}ζ_{1} + … ξ_{n}ζ_{n}.

Lemma 1.4.1 Das Skalarprodukt ist eine symmetrische, positiv–definite Bilinearform . Das heißt

• (a + b)c = ac + bc und a(b + c) = ab + ac

• (λa)b = a(λb) = λ(ab)

• ab = ba

• a^{2} ≥ 0

• a^{2} = 0 gdw. a = 0.

Definition Die Norm oder Länge von a ist

∥a∥ = \sqrt{a^{2}}.

Definition Der Winkel α zwischen zwei nicht-trivialen Vektoren ist definiert durch 0 ≤ α ≤ π und

cos(α) = \frac{ab}{∥a∥∥b∥}

.

Lemma 1.4.2 (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung)

|ab| ≤ ∥a∥∥b∥

Die Gleichheit gilt genau dann, wenn a und b linear abhängig sind.

Lemma 1.4.3 (Dreiecksungleichung)

∥a + b∥ ≤ ∥a∥ + ∥b∥

1.5 Lineare Abbildungen

Eine Abbildung f : ℝ^{n} ⟶ ℝ heißt linear, wenn für reelle Zahlen α_{1}, …, α_{n}

f(ξ_{1}, …, ξ_{n}) = α_{1}ξ_{1} + … + α_{n}ξ_{n}.

f heißt auch Linearform. Für die kanonischen Basisvektoren e_{i} = (ξ_{1}, …, ξ_{n}), wobei

ξ_{j} = \{ \begin{matrix}0 & , wenn j ≠ i \\ 1 & , wenn j = i, \end{matrix}

gilt f(e_{i}) = α_{i}. Eine Abbildung f = (f_{1}, …, f_{m}) von ℝ^{n} nach ℝ^{m} heißt linear, wenn alle Komponenten f_{i} : ℝ^{n} ⟶ ℝ linear sind. L(ℝ^{n}, ℝ^{m}), die Menge der linearen Abbildungen ist ein ℝ–Vektorraum unter wertweiser Addition und Multiplikation mit Skalaren.

Eine m-n–Matrix

A = ( \begin{matrix}α_{11} & α_{12} & ⋯ & α_{1n} \\ α_{21} & α_{22} & ⋯ & α_{2n} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ α_{m1} & α_{m2} & ⋯ & α_{mn} \end{matrix} )

ist eine mit Zahlenpaaren aus \{1 … m\} × \{1 … n\} indizierte Familie (α_{ij})_{{i=1...m \atop j=1...n}} . Mit elementweiser Addition und Multiplikation mit Skalaren bildet die Menge M_{mn}(ℝ) der m-n–Matrizen einen ℝ– Vektorraum. 1-n–Matrizen heißen Zeilenvektoren, m-1–Matrizen Spaltenvektoren.

Spezielle Matrizen: 0 ist die m-n–Matrix, deren Elemente Nullen sind. Die Einheitsmatrix I ist

die m-m–Matrix (δ_{ij}), wobei δ_{ij} = \{ \begin{matrix}0 & wenn & i ≠ j \\ 1 & sonst \end{matrix} . (Man nennt δ_{ij} "Kroneckers Delta".) Eine

n-n–Matrix heißt quadratisch. Wir schreiben M_{n}(ℝ) für M_{nn}(ℝ).

Definition Das Produkt C = (γ_{hj}) einer l-m–Matrix A = (α_{hi}) und einer m-n–Matrix B = (β_{ij}) ist eine l-n–Matrix definiert durch γ_{hj} = ∑_{i=1}^{m} α_{hi}β_{ij}.

Eine m-n–Matrix A definiert eine lineare Abbildung f_{A} : ℝ^{n} → ℝ^{m} durch

f_{A}(ξ_{1}, …, ξ_{n}) = (∑_{j=1}^{n} α_{1j}ξ_{j}, …, ∑_{j=1}^{n} α_{mj}ξ_{j}).

f_{0} ist die Nullabbildung, f_{I} die identische Abbildung.

Satz 1.5.1

f_{A} ∘ f_{B} = f_{AB}

Folgerung 1.5.2 Das Matrizenprodukt ist assoziativ und bilinear. Es gilt 0A = A0 = 0 und IA = AI = A.

Spaltenvektoren A entsprechen linearen Abbildungen f_{A} : ℝ → ℝ^{m}, die wiederum gegeben sind durch den Vektor a = f_{A}(1). Das liefert eine Entsprechung der Elemente von M_{1,m}(ℝ) und ℝ^{m}. Hierbei entspricht der Vektor f_{B}(a) der Spalte Ba.

Sei ι_{j} : ℝ → ℝ^{n} gegeben durch ι_{j}(1) = e_{j} und π_{i} : ℝ_{m} → ℝ, gegeben durch π_{i}(ξ_{1}, …, ξ_{m}), die Projektion auf die i−te Komponente. Dann wird f_{A} ∘ ι_{j} gegeben durch die j-te Spalte von A und π_{i} ∘ f_{A} durch die i-te Zeile von A.

Lemma 1.5.3 Seien z_{i} die Zeilen von A und s_{i} die Spalten von B (i = 1, …, m). Dann sind die z_{i}B die Zeilen und die As_{i} die Spalten von AB.

Vektorräume

2.1 Gruppen

Eine zweistellige Operation auf X ist eine Funktion f : X^{2} → X. Man schreibt häufig xfy für f(x, y). Definition Eine Gruppe ist ein Paar (G, ∘) aus einer Menge G und einer zweistelligen Operation ∘ auf G mit den folgenden Eigenschaften:

1. (Assoziativität): (a ∘ b) ∘ c = a ∘ (b ∘ c) für alle a, b, c ∈ G

2. Es gibt ein Element e ∈ G mit (a) (linksneutral): e ∘ a = a für alle a ∈ G.

(b) (Linksinverses): Zu jedem a gibt es ein a′ mit a′ ∘ a = e. Lemma 2.1.1 Sei (G, ∘) eine Gruppe und e ein Element wie in der Definition. Dann gilt:

1. Ein Linksinverses von a ist auch Rechtsinverses.

2. e ist rechtsneutral.

3. e ist das einzige linksneutrale (rechtsneutrale) Element.

4. a hat nur ein Linksinverses (Rechtsinverses). Lemma 2.1.2 Sei (G, ∘) eine Halbgruppe (d.h. G ist eine nicht–leere Menge und ∘ ist eine zweistellige assoziative Operation). Dann ist G genau dann eine Gruppe, wenn für alle a, b ∈ G die Gleichungen a ∘ x = b und y ∘ a = b lösbar sind.

In einer Gruppe bezeichnen wir mit e das neutrale und mit a^{−1} das Inverse von a. e heißt auch Einselement. Definition Sei n eine positive natürliche Zahl.

• a^{0} = e

• a^{n} = \underbrace{a ∘ ⋯ a ∘ a}_{n Faktoren}

• a^{−n} = (a^{−1})^{n}

Lemma 2.1.3 Sei G eine Gruppe. Dann gilt für alle a ∈ G und x, y ∈ ℤ

• a^{x+y} = a^{x}a^{y}

• a^{xy} = (a^{x})^{y}

• a^{1} = a

Definition Ein Gruppe heißt abelsch oder kommutativ, wenn ab = ba für alle a, b ∈ G.

Die Gruppenoperation in abelschen Gruppen schreibt man häufig als +, das neutrale Element als 0 und das Inverse von a als −a. Statt a^{z} schreibt man dann za.

Lemma 2.1.4 Sei (G, +) eine abelsche Gruppe. Dann ist G ein ℤ–Modul . Das heißt, für alle a ∈ G und x, y ∈ ℤ ist

1. x(a + b) = xa + xb

2. (x + y)a = xa + ya

3. (xy)a = x(ya)

4. 1a = a.

Eine Abbildung f : X → Y heißt injektiv, wenn f(x_{1}) = f(x_{2}) ⇒ x_{1} = x_{2} für alle x_{1}, x_{2} ∈ X. f heißt surjektiv , wenn Y das Bild

f[X] = {f(x) | x ∈ X}

von f ist. Eine injektive und surjektive Abbildung heißt bijektiv oder Bijektion. Die Umkehrabbildung f^{−1} einer Bijektion f ist bestimmt durch f^{−1} ∘ f = id_{X}. Eine Bijektion f : X → X heißt Permutation von X. (Zur Notation: f ∘g ist die durch (f ∘g)(x) = f(g(x)) definierte Verknüpfung oder Komposition von f und g. id_{X} bezeichnet die identische Abbildung von X nach X: Es ist id_{X}(x) = x für alle x ∈ X.)

Definition Sym(X)=Gruppe der Permutationen von X. (Symmetrische Gruppe) S_{n} = Sym(1, …, n)

S_{1} und S_{2} sind kommutativ. S_{3} und alle weiteren S_{n} sind nicht kommutativ.

Man schreibt ( \begin{matrix}1 & 2 & ⋯ & n \\ a_{1} & a_{2} & ⋯ & a_{n} \end{matrix} ) für das Element von S_{n}, das i die Zahl a_{i} zuordnet.

Definition Sei (G, ∘) eine Gruppe. Eine Untergruppe von G ist eine Teilmenge von G, die e enthält und unter ∘ und ^{−1} abgeschlossen ist. U ist wieder eine Gruppe mit der eingeschränkten Operation ∘ ↾ (U × U)

Die Einschränkung f ↾ A einer Funktion f : X → Y auf eine Teilmenge A von X ist die auf A definierte Funktion, die auf A mit f übereinstimmt. Wenn man eine Funktion als eine Menge von Paaren auffaßt, ist also f ↾ A = f ∩ A × Y.

Definition G und H seien Gruppen. Eine Abbildung f : G → H ist ein Homomorphismus, wenn f(ab) = f(a)f(b) für alle a, b ∈ G.

Für ein festes a ∈ H ist z ↦ a^{z} ein Homomorphismus von ℤ nach H. Die Abbildung, die jeder ganzen Zahl ihren Rest modulo n zuordnet, ist ein Homomorphismus von ℤ in die Gruppe der Reste modulo n. f : ℝ → ℝ_{>0} definiert durch x ↦ e^{x} ist ein Isomorphismus (s.u. ) zwischen der additiven Gruppe der reellen Zahlen und der multiplikativen Gruppe der positiven reellen Zahlen.

Lemma 2.1.5 Das Bild eines Homomorphismus f : G → H ist eine Untergruppe von H.

Ein bijektiver Homomorphismus heißt Isomorphismus zwischen Gruppen . Zwei Gruppen G und H, zwischen denen es einen Isomorphismus gibt, heißen isomorph: G ≅ H.

Lemma 2.1.6 Isomorphie ist eine Äquivalenzrelation.

Zum Begriff einer Äquivalenzrelation vergleiche Seite 14.

Satz 2.1.7 (Cayley) Jede Gruppe G ist isomorph zu einer Untergruppe von Sym(G).

2.2 ℝ–Vektorräume

Definition Ein ℝ–Vektorraum V ist ein ℝ–Modul. Das heißt: eine abelsche Gruppe V mit einer Multiplikation ℝ × V → V, sodaß für alle α, β ∈ ℝ und u, v ∈ V die folgenden Rechenregeln gelten:

1. α(u + v) = αu + αv

2. (α + β)u = αu + βu

3. (αβ)u = α(βu)

4. 1u = u

Es folgt 0u = 0.

Definition

1. Ein Unterraum U von V ist eine Untergruppe, die unter Multiplikation mit Skalaren abgeschlossen ist.

2. Eine lineare Abbildung f : V → U ist ein Homomorphismus, der mit der Multiplikation mit Skalaren kommutiert: f(αv) = αf(v) für alle v ∈ V und alle α ∈ ℝ. Eine bijektive lineare Abbildung heißt Isomorphismus.

Lemma 2.2.1 Die linearen Abbildungen f : ℝ^{n} → ℝ^{m} sind genau die linearen Abbildungen im Sinn von Abschnitt 1.5.

Definition Eine Folge v_{1}, …, v_{n} heißt Basis von V, wenn sich jedes Element von V eindeutig in der Form ∑_{j=1}^{n} ξ_{j}v_{j} schreiben läßt.

Satz 2.2.2 Sei v_{1}, …, v_{n} eine Basis von V, und f_{1}, …, f_{n} die kanonische Basis von ℝ^{n}. Dann ist die lineare Abbildung g : ℝ^{n} → V, die eindeutig durch g(f_{j}) = v_{j} bestimmt ist, ein Isomorphismus.

Die Wahl einer Basis von V ist gleichbedeutend mit der Wahl eines Isomorphismus zwischen ℝ^{n} und V.

Sei f : V → U eine lineare Abbildung. v_{1}, …, v_{n} und u_{1}, …, u_{m} seien Basen von V und U. Wenn die Isomorphismen ϵ : ℝ^{n} → V und δ : ℝ^{m} → U die kanonischen Basen von ℝ^{n} und ℝ^{m} auf diese Basen abbilden, ist die lineare Abbildung δ^{−1} ∘ f ∘ ϵ : ℝ^{n} → ℝ^{m} durch eine m-n–Matrix A = (α_{ij}) gegeben. Es gilt dann

f(∑_{j=1}^{n} ξ_{j}v_{j}) = ∑_{i=1}^{m}(∑_{j=1}^{n} α_{ij}ξ_{j})u_{i}.

Insbesondere ist

f(v_{j}) = ∑_{i=1}^{m} α_{ij}u_{i}.

Oder in symbolischer Schreibweise

f(v_{j}) = (u_{1}u_{2} … u_{m}) ( α_{1j} ; ⋮ ; α_{mj} )

Zusammengefaßt:

(f(v_{1}) … f(v_{n})) = (u_{1}u_{2} … u_{m})A

f ∘ δ = ϵ ∘ f_{A} bedeutet, daß das folgende Diagramm kommutativ ist:

[figure: V; f; f_{A}; ℝ^{n}; ℝ^{m}; U; ϵ; δ]

Wir sagen, daß f bezüglich der Basen (v_{j}) und (u_{i}) zur Matrix A gehört.

Definition Eine Folge a_{1}, …, a_{n} heißt Erzeugendensystem von V, wenn sich jedes Element von V in der Form ∑_{j=1}^{n} ξ_{j}a_{j} darstellen läßt. Das heißt, daß V = ℝa_{1} + ⋯ + ℝa_{n}. Eine endliche Menge {a_{1}, …, a_{n}} heißt Erzeugendensystem, wenn a_{1}, …, a_{n} ein Erzeugendensystem ist.

Lemma 2.2.3 Sei U der kleinste Unterraum, der a_{1}, …, a_{n} enthält. Dann ist a_{1}, …, a_{n} ein Erzeugendensystem von U.

Der Durchschnitt ⋂_{i∈I} U_{i} einer beliebigen Familie von Unterräumen ist wieder ein Unterraum. Der Durchschnitt aller Unterräume, die A enthalten, ist der kleinste Unterraum, der A enthält.

Definition V heißt endlich erzeugt, wenn V ein Erzeugendensystem hat.

Definition Eine Folge a_{1}, …, a_{n} heißt linear unabhängig, wenn für alle ξ_{j} ∈ ℝ

0 = ∑_{j=1}^{n} ξ_{j}a_{j} ⟹ ξ_{1} = ⋯ = ξ_{n} = 0.

Wenn außerdem die a_{j} paarweise verschieden sind, heißt die Menge {a_{1}, …, a_{n}} linear unabhängig.

Eine Folge, in der 0 oder zwei gleiche Vektoren vorkommen, ist linear abhängig.

Lemma 2.2.4

1. Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.

2. Sei U eine linear unabhängige Teilmenge des Erzeugendensystems E. Dann gibt es eine Basis zwischen U und E.

Jede unabhängige Teilmenge eines endlich erzeugten Vektorraums läßt sich also zu einer Basis erweitern und jedes Erzeugendensystem enthält eine Basis. Jeder endlich erzeugte Vektorraum ist zu einem ℝ^{n} isomorph.

Satz 2.2.5 (Steinitzscher Austauschsatz) Sei a_{1}, …, a_{m} ein Erzeugendensystem, n ≤ m und u_{1}, …, u_{n} linear unabhängig. Dann kann man die a_{i} so umordnen, daß u_{1}, …, u_{n}, a_{n+1}, …, a_{m} ein Erzeugendensystem ist.

Folgerung 2.2.6 Eine linear unabhängige Menge hat höchstens so viel Elemente wie ein Erzeugendensystem.

Folgerung 2.2.7 Alle Basen eines endlich erzeugten Vektorraums V haben die gleiche Mächtigkeit: die Dimension dim(V) von V.

Folgerung 2.2.8 Ein Unterraum U eines endlich erzeugten Vektorraums V ist endlich erzeugt. Es gilt dim(U) ≤ dim(V).

2.3 Unendlich dimensionale Vektorräume

Definition Für eine Menge I sei ℝ^{(I)} die Menge alle Funktionen f : I → ℝ, die an fast allen Stellen (d.h. an allen bis auf endlich vielen) den Wert 0 hat. ℝ^{(I)} ist ein Vektorraum mit wertweiser Addition und Multiplikation mit Skalaren.

Satz 2.3.1 Jeder Vektorraum ist zu einem ℝ^{(I)} isomorph.

Zum Beweis verallgemeinert man den Begriff einer Basis, eines Erzeugendensystems und einer linear unabhängigen Menge auf unendliche Mengen. Man braucht das Zornsche Lemma.

Satz 2.3.2 (Zornsches Lemma) Sei (P, ≤) eine partielle Ordnung. Wenn jede Kette in P eine obere Schranke hat, hat P ein maximales Element.

Eine (reflexive) partielle Ordnung auf P ist eine zweistellige

reflexive:  x ≤ x,
transitive:  x ≤ y & y ≤ z ⇒ x ≤ z und
antisymmetrische: x ≤ y & y ≤ x ⇒ x = y

Relation. <, definiert durch

x < y :⇔ (x ≤ y &x ≠ y),

ist dann eine irreflexive partielle Ordnung. Das heißt, < ist irreflexiv (x ≮ x) und transitiv. Eine partielle Ordnung läßt sich äquivalent durch ihre irreflexive Form angeben. In einer totalen (oder linearen) Ordnung sind alle Elemente x, y vergleichbar, das heißt x ≤ y oder y ≤ x.

Eine Teilmenge A von P ist eine Kette, wenn A durch ≤ linear geordnet ist.

p ∈ P ist eine obere Schranke von A, wenn a ≤ p für alle a ∈ A.

a ∈ A ist ein maximales Element von A, wenn a ≤ a′ ⇒ a = a′ für alle a′ ∈ A.

a heißt größtes Element, wenn a′ ≤ a für alle a′ ∈ A.

Eine (die) kleinste obere Schranke von A (falls vorhanden) heißt Supremum sup(A) von A. Das Infimum inf(A) ist eine größte untere Schranke.

2.4 Der Verband der Unterräume

Definition Eine partielle Ordnung heißt Verband, wenn je zwei Elemente ein Supremum und ein Infimum haben.

Satz 2.4.1 Sei V ein Vektorraum. Dann bilden die durch Inklusion geordneten Unterräume von V einen Verband. Dabei ist sup(U_{1}, U_{2}) = U_{1} + U_{2} und inf(U_{1}, U_{2}) = U_{1} ∩ U_{2}.

Das direkte Produkt U_{1}×U_{2} zweier Vektorräume wird mit elementweisen Operationen Vektorraum, der direkten Summe U_{1} ⨁ U_{2}.

Lemma 2.4.2

dim(U_{1} ⨁ U_{2}) = dim(U_{1}) + dim(U_{2})

Zwei Unterräume U_{1} und U_{2} von V sind unabhängig, wenn u_{1} + u_{2} = 0 ⇒ u_{1} = u_{2} = 0. Äquivalent ist: U_{1} ∩ U_{2} = 0.

Satz 2.4.3 Wenn U_{1} und U_{2} unabhängig, ist die lineare Abbildung von U_{1} ⨁ U_{2} ⟶ U_{1}+U_{2}, definiert durch (u_{1}, u_{2}) ↦ u_{1} + u_{2}, ein Isomorphismus.

Wenn U und U′ unabhängig sind und U + U′ = V, heißt U′ Komplement von U in V.

Lemma 2.4.4 Jeder Untervektorraum von V hat ein Komplement.

Wenn U′ und U′′ zwei Komplemente von U sind, wird durch

f(u′) = u′′ ⇔ u′ − u′′ ∈ U

ein Isomorphismus f : U′ → U′′ definiert.

Sei U ein Unterraum von V. Mengen der Form v + U heißen Nebenklassen von U.

Lemma 2.4.5 Nebenklassen von U sind gleich oder disjunkt. Es gilt v_{1} + U = v_{2} + U ⇔ v_{1} − v_{2} ∈ U.

Definition V/U = {v + U | v ∈ V } heißt der Quotient von V nach U.

Satz 2.4.6 Durch (v_{1} + U) + (v_{2} + U) = (v_{1} + v_{2}) + U und r(v + U) = rv + U wird auf V/U eine Vektorraumstruktur definiert, die eindeutig dadurch bestimmt ist, daß die durch x ↦ x + U definierte Projektion π : V → V/U linear ist.

Lemma 2.4.7 Sei U′ ein Komplement von U in V. Dann induziert π einen Isomorphismus U′ → V/U.

Folgerung 2.4.8 Wenn V endlichdimensional ist, ist dim(U) + dim(V/U) = dim(V).

Die Kodimension codim_{V} (U) von U in V ist die Dimension von V/U.

Satz 2.4.9

dim(U_{1} + U_{2}) + dim(U_{1} ∩ U_{2}) = dim(U_{1}) + dim(U_{2})

Äquivalenzrelationen und Partitionen: Sei X eine Menge. Eine Äquivalenzrelation E ist eine zweistellige reflexive, transitive und symmetrische (d.h. xEy ⇒ yEx) Relation auf X. Eine Partition von X ist eine Teilmenge 𝔅 der Potenzmenge 𝔓(X) = {A | A ⊂ X} von X, deren Elemente nichtleer, paarweise disjunkt sind und deren Vereinigung X ist.

Äquivalenzrelationen und Partitionen entsprechen einander: Setzt man x/E = {y ∈ X | yEx} für x ∈ X und eine Äquivalenzrelation E, so ist 𝔅 = {x/E | x ∈ X} die zugehörige Partition von X. Wenn umgekehrt 𝔅 eine Partition ist, so erhält man mit

xEy ⇔ ∃B ∈ 𝔅 x ∈ B & y ∈ B

die zugehörige Äquivalenzrelation.

Eine Unterraum U von V bestimmt auf V die Äquivalenzrelation x − y ∈ U mit der Partition {v + U | v ∈ V }.

2.5 Körper

Ein Ring R ist ein Tripel (R, +, ·), wobei

• (R, +) eine abelsche Gruppe,

• (R, ·) eine Halbgruppe ist und

• die Distributivgesetze x(y + z) = xy + xz und (x + y)z = xz + yz

gelten.

Ein Einselement 1, falls vorhanden, erfüllt x1 = 1x = x. R ist kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist. Ein Körper ist ein kommutativer Ring mit Einselement 1, in dem jedes von Null verschiedene Element ein Inverses bezüglich der Multiplikation besitzt. Außerdem fordert man, daß 0 ≠ 1.

\underline{Beispiele}

ℤ ist ein kommutativer Ring mit 1. ℚ und ℝ sind Körper.

ℤ/mℤ ist kommutativer Ring mit 1. ℤ/pℤ ist genau dann ein Körper, wenn p eine Primzahl ist. Wir schreiben dann 𝔽_{p} dafür.

Eine ℝ–Algebra A ist ein ℝ–Vektorraum mit einer bilinearen Operation (der Multiplikation).

M_{m}(ℝ) ist eine ℝ–Algebra der Dimension m^{2}.

Definition Eine Abbildung μ : V_{1} × V_{2} × … × V_{m} ⟶ W ist multilinear, wenn für alle i = 1, …, m und für alle v_{1} ∈ V, …, v_{m} ∈ V die Abbildung ν : V_{i} → W definiert durch ν(x) = μ(v_{1}, …, v_{i−1}, x, v_{i+1}, …, v_{m}) linear ist.

Lemma 2.5.1 Seien die B_{i} Basen von V_{i}. Dann ist eine multilineare Abbildung μ bestimmt durch die Werte μ(b_{1}, …, b_{m}) für b_{i} ∈ B_{i}. Diese Werte lassen sich beliebig vorschreiben.

Folgerung 2.5.2 Sei b_{1}, …, b_{n} eine Basis von V. Für beliebige Vektoren a_{ij} (i, j = 1, …, n) gibt es genau eine Algebren–Multiplikation auf V mit b_{i}b_{j} = a_{ij}.

ℝ^{3} wird mit dem Kreuzprodukt eine Algebra, wenn man die Produkte e_{i} × e_{j} der kanonischen Basisvektoren definiert durch

\begin{aligned}e_{1} × e_{2} & = & e_{3} & , & e_{2} × e_{3} & = & e_{1} & , & e_{3} × e_{1} & = & e_{2} \\ e_{2} × e_{1} & = & −e_{3} & , & e_{3} × e_{2} & = & −e_{1} & , & e_{1} × e_{3} & = & −e_{2} \\ e_{1} × e_{1} & = & 0 & , & e_{2} × e_{2} & = & 0 & , & e_{3} × e_{3} & = & 0. \end{aligned}

Das Kreuzprodukt ist nicht assoziativ. Es handelt sich vielmehr um eine Liealgebra.

Folgerung 2.5.3 Sei A eine ℝ–Algebra mit Basis b_{1}, …, b_{n}. Dann ist

1. die Multiplikation assoziativ genau dann, wenn b_{i}(b_{j}b_{k}) = (b_{i}b_{j})b_{k} für alle i, j, k,

2. die Multiplikation kommutativ genau dann, wenn b_{i}b_{j} = b_{j}b_{i} für alle i, j,

3. 1 ein Einselement genau dann, wenn 1b_{i} = b_{i}1 = b_{i} für alle i.

Die ℝ–Algebra ℂ der komplexen Zahlen entsteht aus ℝ^{2} durch folgende Multiplikation: (Die kanonische Basis des ℝ^{2} sei hier mit 1, i bezeichnet.)

11 = 1, 1i = i1 = i, ii = −1

Lemma 2.5.4 ℂ ist ein Körper.

Wir fassen ℝ vermöge der Einbettung ι_{1} als Unterraum von ℂ auf. Die kanonische Basis ist dann 1, i.

Definition Sei R ein Ring mit Einselement. Ein R–Modul ist eine abelsche Gruppe M mit einer Multiplikation R × M → M, die den folgenden Regeln genügt:

1. r(x+y)=rx+ry

2. (r+s)x=rx+sx

3. (rs)x=r(sx)

4. 1x=x

Wenn R ein Körper ist, nennt man einen R–Modul einen R–Vektorraum.

Alle Sätze des Kapitels gelten für beliebige K–Vektorräume.

Lineare Abbildungen

3.1 Der Noethersche Isomorphiesatz

Wir fixieren einen Körper K. Vektorraum heißt jetzt immer K–Vektorraum. Sei f : V → W eine lineare Abbildung.

Lemma 3.1.1 Das Bild Im(f) = f[A] von f ist ein Unterraum von W. Der Kern

Ker(f) = {v ∈ V | f(v) = 0}

ist ein Unterraum von V.

f ist genau dann injektiv, wenn Ker(f) = 0. Denn f(v_{1}) = f(v_{2}) ⇔ v_{1} − v_{2} ∈ Ker(f)

\underline{Notation} Sei f : X → Y eine Abbildung, a ein Element von Y und A eine Teilmenge von Y. Dann bezeichnen wir mit f^{−1}(a) und f^{−1}(A) jeweils die Menge {x | f(x) = a} bzw. {x | f(x) ∈ A} der Urbilder von a bzw. A. (Wenn f eine Bijektion ist, hat f^{−1}(a) zwei Bedeutungen!)

Offenbar ist Ker(f) = f^{−1}(0). Wenn f(a) = b, ist a + Ker(f) = f^{−1}(b).

Satz 3.1.2 (Noetherscher Isomorphiesatz) f induziert einen Isomorphismus

\overline{f} : V/Kerf → Im(f)

.

Folgerung 3.1.3 dim(V) = dim(Ker(f)) + dim(Im(f))

Folgerung 3.1.4 Sei f : V → W eine lineare Abbildung, dim(V) = n und dim(W) = m.

1. Für alle b ∈ W ist f^{−1}(b) leer oder eine Nebenklasse von Ker(f).

2. Wenn m < n, ist Ker(f) ≠ 0.

3. Wenn m = n, so sind äquivalent:

(a) Ker(f) = 0 (b) f ist injektiv.

(c) f ist surjektiv.

Folgerung 3.1.5 Sei A eine m-n–Matrix und H die Menge der Lösungen des homogenen Gleichungssystems Ax = 0. Dann gilt

1. Für alle Spaltenvektoren b der Länge m ist die Lösungsmenge des Gleichungssystems Ax = b leer oder eine Nebenklasse von H.

2. Wenn m < n, ist H ≠ 0.

3. Wenn m = n, so sind äquivalent:

(a) H = 0

(b) Für alle b hat Ax = b höchstens eine Lösung.

(c) Ax = b ist lösbar für alle b.

Definition Der Rang von f ist die Dimension des Bildes von f. Der Rang einer Matrix ist die Maximalzahl linear unabhängiger Spalten.

Lemma 3.1.6 Sei A eine m-n–Matrix und f_{A} : ℝ^{n} → ℝ^{m} die dadurch definierte lineare Abbildung. Dann ist der Rang von A gleich dem Rang von f_{A}.

3.2 Die lineare Gruppe

Ein Endomorphismus von V ist eine lineare Abbildung von V nach V. Ein bijektiver Endomorphismus heißt Automorphismus oder regulär. Ein Endomorphismus, der nicht regulär ist, heißt singulärer Endomorphismus. Die Automorphismen von V bilden mit der Komposition als Verknüpfung eine Gruppe, die lineare Gruppe Gl(V) mit der identischen Abbildung id_{V} als neutralem Element. Die Endomorphismen von V bilden die K–Algebra End(V).

Lemma 3.2.1 Sei V endlichdimensional und f ein Endomorphismus von V. Dann sind äquivalent:

1. f ist regulär

2. f ist injektiv

3. f ist surjektiv

Eine n-n–Matrix A heißt regulär , wenn f_{A} : K^{n} → K^{n} regulär ist (sonst singulär). Die Menge Gl_{n}(K) der regulären n-n–Matrizen mit der Matrizenmultiplikation als Operation ist eine Gruppe. Die Einheitsmatrix I ist das Einselement. Identifiziert man n-n–Matrizen mit Endomorphismen von K^{n}, wird Gl_{n}(K) = Gl(K^{n}).

Lemma 3.2.2 Für eine n-n–Matrix A sind äquivalent:

1. A ist regulär

2. A hat Rang n.

3. A hat ein Linksinverses B: BA = I 4. A hat ein Rechtsinverses B: AB = I

Es ist Gl_{1}(K) = K^{•}, die multiplikative Gruppe der von Null verschiedenen Elemente von K.

Gl_{n}(𝔽_{p}) hat

(p^{n} − 1)(p^{n} − p) … (p^{n} − p^{n−1})

viele Elemente.

Die Elementarmatrizen

E_{ij}^{λ} (1 ≤ i ≠ j ≤ n, λ ∈ K)

sind n-n–Matrizen, in deren Diagonalen Einsen stehen und deren andere Einträge Null sind. Nur an der Stelle (i, j) steht λ.

Die Elementarmatrizen

E_{i}^{λ} (1 ≤ i ≤ n, λ ∈ K^{·})

haben Einsen in der Diagonalen und Nullen sonst. Nur an der Stelle (i, i) steht λ.

Elementarmatrizen sind regulär. Es ist (E_{ij}^{λ})^{−1} = E_{ij}^{−λ} und (E_{i}^{λ})^{−1} = E_{i}^{λ^{−1}}.

E_{ij}^{λ}A entsteht aus A durch Anwenden der Zeilenoperation Z_{ji}^{λ}, E_{i}^{λ}A durch Anwenden der Zeilenoperation Z_{i}^{λ}.

Satz 3.2.3 Gl_{n}(K) wird von Elementarmatrizen erzeugt. Das heißt, daß sich jede reguläre Matrix als Produkt von Elementarmatrizen (und ihren Inversen) schreiben läßt.

3.3 Basiswechsel

Seien 𝔅 = (b_{1}, …, b_{n}) und 𝔅′ = (b′_{1}, …, b′_{n}) zwei Basen von V. Der Wechsel von 𝔅 nach 𝔅′ wird durch die reguläre Matrix A = (α_{ij})_{{i=1...n \atop j=1...n}} mit

b′_{j} = ∑_{i=1}^{n} α_{ij}b_{i},

beschrieben. Die Koeffizienten eines Punktes

ξ_{1}b_{1} + ⋯ + ξ_{n}b_{n} = ξ′_{1}b′_{1} + ⋯ + ξ′_{n}b′_{n}

bezüglich der beiden Basen gehen durch

ξ_{i} = ∑_{j=1}^{n} α_{ij}ξ′_{j}

auseinander hervor.

In Matrizenschreibweise sehen die Gleichungen so aus:

(b′_{1} … b′_{n}) = (b_{1} … b_{n})A und ( ξ_{1} ; ⋮ ; ξ_{n} ) = A ( ξ′_{1} ; ⋮ ; ξ′_{n} ) .

Wenn die Isomorphismen ϵ und ϵ′ die kanonische Basis von ℝ^{n} auf 𝔅 und 𝔅′ abbilden, haben wir das kommutative Diagramm

[figure: V; ℝ^{n}; ℝ^{n}; f_{A}; ϵ; ϵ′]

Satz 3.3.1 U,V und W seien endlich–dimensionale Vektorräume mit ausgewählten Basen 𝔄, 𝔅 und ℭ.

f : V → U und g : W → V seien lineare Abbildungen, die Matrizen B und C entsprechen. Sei nun durch A ein Basiswechsel von 𝔅 nach 𝔅′ gegeben. Dann gilt:

1. Bezüglich der Basen 𝔄 und 𝔅′ gehört zu f die Matrix

BA.

2. Bezüglich der Basen 𝔅′ und ℭ gehört zu g die Matrix

A^{−1}C.

Folgerung 3.3.2 Sei U ein endlich–dimensionaler Vektorraum mit ausgezeichneter Basis 𝔅. f : U → U sei ein durch die Matrix C beschriebener Endomorphismus. Wenn wir mit Hilfe der Matrix A zur Basis 𝔅′ übergehen, wird f durch die Matrix A^{−1}CA beschrieben.

Zwei quadratische Matrizen C und C′ heißen ähnlich oder konjugiert , wenn C′ = A^{−1}CA für eine reguläre Matrix A.

Satz 3.3.3 U und V seien Vektorräume der Dimension m und n, f : V → U eine lineare Abbildung vom Rang k. Dann kann man Basen in U und V so wählen, daß f durch die m-n–Matrix

B = ( \begin{matrix}I & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) (*)

dargestellt wird, wobei I die k–dimensionale Einheitsmatrix ist.

In B stehen also bis auf k Einsen in der Diagonalen nur Nullen.

\underline{Variante 1}

Eine m-n–Matrix B hat genau dann den Rang k, wenn es eine reguläre m-m–Matrix A und eine reguläre n-n–Matrix C gibt, sodaß ABC die Gestalt (*) hat.

\underline{Variante 2}

Jede m-n–Matrix vom Rang k läßt sich durch Zeilen– und Spaltenoperationen auf die Gestalt (*) bringen.

Satz 3.3.4 U und V seien Vektorräume der Dimension m und n, f : V → U eine lineare Abbildung vom Rang k. In V sei eine Basis 𝔅 fixiert. Dann kann man 𝔅 so zu einer Basis 𝔅′ umordnen und eine Basis 𝔄 von U so wählen, daß f bezüglich der Basen 𝔅′ und 𝔄 durch eine Matrix in Normalform

( \begin{matrix}I & ∗ \\ 0 & 0 \end{matrix} ) (3.2)

dargestellt wird, wobei I die k–dimensionale Einheitsmatrix und ∗ eine beliebige k-(n − k)–Matrix ist.

Als Folgerung erhält man noch einmal Lemma 1.1.2: Jede Matrix vom Rang k läßt sich durch Zeilenoperationen und Umordnen der Spalten in eine Matrix in Normalform vom Rang k bringen.

Determinanten

4.1 Die Signatur einer Permutation

Wir halten eine natürliche Zahl n ≥ 1 fest und betrachten Elemente von S_{n}, der Gruppe der Permutationen der Menge {1, …, n}.

Ein Fehlstand einer Permutation π ist eine Menge von zwei Zahlen, deren Ordnung von π umgedreht wird: Also eine Menge {i, j} mit i < j und f(i) > f(j).

Lemma 4.1.1 Sei F die Menge der Fehlstände von π und G die Menge der Fehlstände von σ. Dann ist

σ^{−1}(F) △ G

die Menge der Fehlstände von π ∘ σ.

Dabei ist A △ B = (A ∪ B) \ (A ∩ B) die symmetrische Differenz von A und B.

π heißt gerade bzw. ungerade, wenn π eine gerade bzw. ungerade Zahl von Fehlständen hat. Die Signatur einer Permutation

sign(π) = (−1)^{(Zahl der Fehlstände von f)}

einer geraden Permutation π ist also 1, die Signatur einer ungeraden Permutation ist -1.

Satz 4.1.2

sign : S_{n} → {1, −1}

ist ein Gruppenhomomorphismus.

Eine Folge a_{1}, …, a_{k} von paarweise verschiedene Zahlen zwischen 1 und n definiert einen Zyklus

(a_{1}, …, a_{k}).

Das ist die Permutation, die die Zahlen a_{i} (für i < k) auf a_{i+1} abbildet, a_{k} auf a_{1} und alle anderen Zahlen zwischen 1 und n auf sich selbst abbildet. Ein Zyklus der Länge k hat die Signatur (−1)^{k−1}

Lemma 4.1.3 Jede Permutation läßt sich (bis auf die Reihenfolge) eindeutig als Produkt von disjunkten Zyklen schreiben.

Ein Zyklus der Länge zwei heißt Transposition.

Folgerung 4.1.4 Jede Permutation ist Produkt von Transpositionen.

4.2 k–Formen

Sei V ein K–Vektorraum.

Definition Eine k–stellige multilineare Abbildung μ : V^{k} → K (eine Multilinearform) heißt alternierend oder k–Form, wenn sie eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

1. μ(a_{1}, …, a_{k}) = 0 für alle k–tupel a_{1}, …, a_{k}, in denen ein Vektor zweimal vorkommt.

2. Für alle a_{1}, …, a_{k} ∈ V, alle 1 ≤ i ≠ j ≤ n und alle λ ∈ K ist

μ(a_{1}, …, a_{i}, …, a_{k}) = μ(a_{1}, …, a_{i} + λa_{j}, …, a_{k})

Lemma 4.2.1

1. Jede Linearkombination von k–Formen ist wieder eine k–Form.

2. Sei ϕ : V → U eine lineare Abbildung und μ eine k–Form auf U. Dann ist μ^{ϕ}, definiert durch

μ^{ϕ}(a_{1}, …, a_{k}) = μ(ϕ(a_{1}), …, ϕ(a_{k}))

eine k–Form auf V.

Lemma 4.2.2 Sei μ eine k–Form auf V.

1. μ(a_{1}, …, a_{k}) = 0 für alle linear abhängigen k–tupel a_{1}, …, a_{k}.

2. Für jede k–Form μ, alle a_{1}, …, a_{k} ∈ V, und alle 1 ≤ i < j ≤ k ist

μ(a_{1}, …, a_{i}, …, a_{j} …, a_{k}) = −μ(a_{1}, …, a_{j}, …, a_{i} …, a_{k})

Wenn in K die Zahl 2 (= 1 + 1) verschieden von Null ist (man sagt: Wenn K nicht die Charakteristik 2 hat), gilt eine Umkehrung: Multilinearformen, die 2 erfüllen, sind alternierend.

Im nächsten Lemma erweitern wir den Begriff der Signatur auf beliebige Abbildungen π : {1, …, k} → {1, …, k}: Die Signatur sign(π) von π ist 0, wenn π keine Permutation ist. Satz 4.1.2 gilt immer noch in der Form

sign(π ∘ σ) = sign(π)sign(σ)

für beliebige π und σ.

Lemma 4.2.3 Sei μ eine k–Form auf V Dann ist für jede Abbildung π : {1, …, k} → {1, …, k} und alle a_{1}, …, a_{k} ∈ V

μ(a_{π(1)}, …, a_{π(k)}) = sign(π) μ(a_{1}, …, a_{k}).

Folgerung 4.2.4 Sei a_{1}, …, a_{n} eine Basis von V. Dann ist μ bestimmt durch die Werte μ(a_{i_{1}}, …, a_{i_{k}}) für alle 1 ≤ i_{1} < … < i_{k} ≤ n.

4.3 Determinanten

Satz 4.3.1 Sei b_{1}, …, b_{n} eine Basis von V und α ∈ K. Dann gibt es genau eine n–Form μ mit μ(b_{1}, …, b_{n}) = α.

Folgerung 4.3.2 Sei V n–dimensional und μ_{0} eine nicht–triviale n–Form auf V. Dann ist jede andere n–Form ein Vielfaches von μ_{0}.

Sei e_{1}, …, e_{n} die kanonische Basis des ℝ^{n} und D die n-Form auf ℝ^{n}, für die D(e_{1}, …, e_{n}) = 1. Die Determinante einer n-n–Matrix A ist

det(A) = D(s_{1}, …, s_{n}),

wobei s_{1}, …, s_{n} die Spalten von A sind. Man schreibt auch ∥A∥ für die Determinante von A.

Satz 4.3.3

1. det(A) ist eine alternierende Multilinearform der Spalten von A.

2. det(I) = 1

3. Wenn A = (α_{ij})_{{i=1...m \atop j=1...n}}, ist

det(A) = ∑_{π∈S_{n}} ∏_{j=1}^{n} sign(π) α_{π(j),j}.

\underline{Beispiele}

det(a)  = a
det ( \begin{matrix}a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix} )  = a_{1}b_{2} − a_{2}b_{1}

det ( \begin{matrix}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix} )  = a_{1}b_{2}c_{3} + a_{2}b_{3}c_{1} + a_{3}b_{1}c_{2} − a_{2}b_{1}c_{3} − a_{1}b_{3}c_{2} − a_{3}b_{2}c_{1}

det ( \begin{matrix}λ_{1} & 0 & … & 0 \\ 0 & λ_{2} & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & … & λ_{n} \end{matrix} ) = λ_{1}λ_{2} … λ_{n}

det(E_{i}^{λ})  = λ
det(E_{ij}^{λ})  = 1

Matrizen der Form ( \begin{matrix}λ_{1} & 0 & … & 0 \\ 0 & λ_{2} & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & … & λ_{n} \end{matrix} ) heißen Diagonalmatrizen.

Satz 4.3.4

1. Die Determinante von A ist genau dann 0, wenn A singulär ist.

2. det(AB) = det(A) det(B)

Die n-n–Matrizen über K, deren Determinante 1 ist, bilden also eine Untergruppe Sl_{n}(K) von Gl_{n}(K), die spezielle lineare Gruppe. Satz 4.3.5 (Die Cramersche Regel) Sei Ax = b ein quadratisches Gleichungssystem, s_{1}, …, s_{n} die Spalten von A. Wenn A regulär ist, errechnet sich der Lösungsvektor als

x_{j} = \frac{det(s_{1}, …, s_{j−1}, b, s_{j+1}, …, s_{n})}{det(A)}.

Sei ϕ ein Endomorphismus des n–dimensionalen Vektorraums V und μ_{0} eine nicht–triviale n–Form auf V. Dann ist nach 4.3.1 die n–Form μ_{0}^{ϕ} ein Vielfaches αμ_{0} von μ_{0}. Der Faktor α hängt nicht von der Wahl von μ_{0} ab und heißt die Determinante det(ϕ) von ϕ. Es gilt also

μ(ϕ(a_{1}), …, ϕ(a_{n})) = det(ϕ)μ(a_{1}, …, a_{n})

für alle n–Formen μ und alle a_{1}, …, a_{n} ∈ V. Lemma 4.3.6 Es ist det(f_{A}) = det(A) Satz 4.3.7 det(ϕ ∘ ψ) = det(ϕ) det(ψ) Definition Die Transponierte einer m-n–Matrix A = (α_{ij})_{{i=1...m \atop j=1...n}} ist die n-m–Matrix

A^{⊤} = (α_{ij})_{{j=1...n \atop i=1...m}}

Es ist (AB)^{⊤} = B^{⊤}A^{⊤}. A ist genau dann regulär, wenn A^{⊤} regulär ist. Satz 4.3.8

1. det(A^{⊤}) = det(A)

2. det ist eine alternierende Multilinearform der Zeilen von A.

4.4 Der Laplacesche Entwicklungssatz

\underline{Notation} Für eine n-n–Matrix A und zwei Indizes i und j bezeichnen wir mit A_{ij} die Matrix, die aus A entsteht, wenn man die i–te Zeile und die j–te Spalte streicht. Satz 4.4.1 (Entwicklungssatz von Laplace) Sei A = (α_{ij})_{{i=1...n \atop j=1...n}} eine n-n–Matrix und j_{0} ein Spaltenindex. Dann ist

det(A) = ∑_{i=1}^{m}(−1)^{i+j_{0}}α_{ij_{0}} det(A_{ij_{0}}).

Definiere die Adjunkte adj(A) = (β_{ij}) einer n-n–Matrix A durch

β_{ij} = (−1)^{i+j} det(A_{ji}).

Satz 4.4.2 A adj(A) = det(A) I Wenn A regulär ist, ist also

A^{−1} = \frac{adj(A)}{det(A)}.

Endomorphismen

5.1 Diagonalisierbare Endomorphismen

V sei im Folgenden ein n–dimensionaler K-Vektorraum und ϕ ein Endomorphismus von V Definition Ein Endomorphismus ϕ heißt diagonalisierbar, wenn ϕ bei geeigneter Basiswahl durch eine Diagonalmatrix dargestellt wird. Definition Ein von Null verschiedener Vektor v heißt Eigenvektor, wenn ϕ(v) Vielfaches von v ist, wenn also

ϕ(v) = λv

für ein λ ∈ K. Der Faktor λ heißt dann Eigenwert von ϕ. λ ist genau dann Eigenwert von ϕ, wenn λid − ϕ singulär ist.

Eigenvektoren und Eigenwerte einer quadratischen Matrix A sind die Eigenvektoren und Eigenwerte von f_{A}.

\underline{Beispiel} Die Eigenwerte einer oberen Dreiecksmatrix

( \begin{matrix}λ_{1} & ∗ & … & ∗ \\ 0 & λ_{2} & … & ∗ \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & … & λ_{n} \end{matrix} )

sind λ_{1}, …, λ_{n}. Lemma 5.1.1 ϕ ist genau dann diagonalisierbar, wenn V eine Basis aus Eigenvektoren hat. Definition

V_{λ} = {v ∈ V | ϕ(v) = λv}

heißt der Eigenraum von λ.

V_{λ} ist ein Unterraum, der von ϕ in sich abgebildet wird, ein sogenannter ϕ–invarianter Unterraum.

Satz 5.1.2 ϕ ist genau dann diagonalisierbar, wenn V Summe von Eigenräumen ist.

Lemma 5.1.3 Wenn λ_{1}, …, λ_{k} paarweise verschieden sind, sind die V_{λ_{1}}, …, V_{λ_{k}} unabhängig. Das heißt, daß eine Summe v_{1} + ⋯ + v_{k} mit v_{i} ∈ V_{λ_{i}} nur Null sein kann, wenn alle v_{i} Null sind.

Die Summe U der Eigenräume V_{λ_{1}}, …, V_{λ_{k}} ist also direkt: Das heißt, daß sich jedes Element von U eindeutig als Summe v_{1} + ⋯ + v_{k} (v_{i} ∈ V_{λ_{i}}) schreiben läßt.

Folgerung 5.1.4 ϕ hat höchstens n Eigenwerte. Wenn ϕ n Eigenwerte hat, ist ϕ diagonalisierbar.

5.2 Das charakteristische Polynom

Sei K ein Körper. Der Polynomring K[x] ist ein kommutativer Oberring von K mit einem ausgezeichneten Element x, in dem sich jedes Element (“Polynom”) p(x) eindeutig in der Form

a_{n}x^{n} + a_{n−1}x^{n−1} + … + a_{0}

schreiben läßt. (K[x] läßt sich als K–Algebra leicht mit den Methoden in 2.5 konstruieren.)

Der Grad grad(p) von p(x) ist n, wenn a_{n} ≠ 0. p heißt konstant, wenn grad(p) ≤ 0. (Das Polynom 0 hat den Grad −∞. Ein nicht-konstantes Polynom p heißt normiert, wenn a_{n} = 1. Es ist immer grad(pq) = grad(p) + grad(q) und grad(p + q) ≤ max(grad(p), grad(q)).

Sei R ein Oberring von K und r ein Element von R. Dann definiert die Abbildung

p(x) ⟼ p(r) = a_{n}r^{n} + a_{n−1}r^{n−1} + … + a_{0}

einen Homomorphismus von K[x] nach R, den sogenannten Einsetzungshomomorphismus. Es gilt also (p + q)(r) = p(r) + q(r) und (pq)(r) = p(r)q(r). r ist Nullstelle von p, wenn p(r) = 0.

K[x] ist ein Integritätsbereich. Das ist ein kommutativer Ring mit 1 ≠ 0, der nullteilerfrei ist: rs = 0 ⇒ r = 0 oder s = 0. Ein Integritätsbereich R läßt sich immer in einen Körper Q, seinen Quotientenkörper einbetten. Man definiert auf der Menge aller Paare (r, s), (r, s ∈ R, s ≠ 0) eine Äquivalenzrelation durch (r, s) ∼ (r′, s′) ⇔ rs′ = sr′ und setzt Q = \{\frac{r}{s} | r, s ∈ R, s ≠ 0\}, wobei \frac{r}{s} die Äquivalenzklasse von (r, s) bezeichnet. Mit den Operationen \frac{r}{s} + \frac{r′}{s′} = \frac{rs′+sr′}{ss′} und \frac{r}{s} \frac{r′}{s′} = \frac{rr′}{ss′} wird Q zu einem Körper. Wenn man r mit \frac{r}{1} identifiziert, erhält man R als Unterring. Der Quotientenkörper von K[x] ist der rationale Funktionenkörper K(x).

Lemma 5.2.1 Sei A(x) eine Matrix aus Polynomen, dann ist det(A(x)) ein Polynom.

Definition Das charakteristische Polynom P_{A}(x) einer quadratischen Matrix A ist

P_{A}(x) = det(xI − A).

Das charakteristische Polynom der oberen Dreiecksmatrix

( \begin{matrix}λ_{1} & ∗ & … & ∗ \\ 0 & λ_{2} & … & ∗ \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & … & λ_{n} \end{matrix} )

ist ∏_{i=1}^{n}(x − λ_{i}). Wir sagen p(x) zerfällt in Linearfaktoren.

Weil ähnliche Matrizen das gleiche charakteristische Polynom haben, kann man das charakteristische Polynom P_{ϕ}(x) eines Endomorphismus durch das charakteristische Polynom einer zugehörigen Matrix definieren.

Lemma 5.2.2 Sei ϕ Endomorphismus eines n–dimensionalen Vektorraums.

1. P_{ϕ}(x) ist ein normiertes Polynom vom Grad n.

2. Die Eigenwerte von ϕ sind die Nullstellen von P_{ϕ}(x).

Die Spur Tr(A) einer quadratischen Matrix ist die Summe ihrer Diagonalelemente. Weil Tr(AB) = Tr(BA), haben ähnliche Matrizen dieselbe Spur und man kann die Spur Tr(ϕ) eines Endomorphismus als die Spur einer zugehörigen Matrix definieren.

Wenn x^{n} + a_{n−1}x^{n−1} + … + a_{0} das charakteristische Polynom von A ist, ist

det(A) = (−1)^{n}a_{0}

und

Tr(A) = −a_{n−1}.

Satz 5.2.3 ϕ läßt sich bei geeigneter Basiswahl genau dann durch eine obere Dreiecksmatrix darstellen, wenn p_{ϕ}(x) in Linearfaktoren zerfällt.

Man braucht zum Beweis einen Hilfssatz:

Satz 5.2.4 Sei ϕ Endomorphismus des endlich–dimensionalen Vektorraums V und U ein ϕ–invarianter Unterraum. Durch

\overline{ϕ}(v + U) = ϕ(v) + U

wird ein Endomorphismus von V/U definiert. Für die charakteristischen Polynome gilt

P_{ϕ}(x) = P_{ϕ¯ U}(x)P\overline{ϕ}(x).

(Das folgt aus der Gleichung

det ( \begin{matrix}A & B \\ 0 & C \end{matrix} ) = det(A) det(C).)

5.3 Haupträume

Im folgenden sei ϕ Endomorphismus des n–dimensionalen K–Vektorraums V und λ ein Element von K.

Definition Der Hauptraum V′_{λ} von λ ist die Menge aller Vektoren, die von einer Potenz von ϕ−λid auf Null abgebildet werden.

In der Folge λ_{1}, …, λ_{n} seien die ersten k Zahlen = λ und λ_{k+1}, …, λ_{n} verschieden von λ. Dann wird der zu λ gehörende Hauptraum der Matrix

( \begin{matrix}λ_{1} & ∗ & … & ∗ \\ 0 & λ_{2} & … & ∗ \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & … & λ_{n} \end{matrix} )

von e_{1} …, e_{k} aufgespannt.

Haupträume sind ϕ–invariante Unterräume. Es ist V_{λ} ⊂ V′_{λ}. Wenn V′_{λ} ≠ 0, ist λ Eigenwert.

Lemma 5.3.1 Wenn

p_{ϕ}(x) = ∏_{i=1}^{e}(x − λ_{i})^{n_{i}},

wobei die λ_{i} paarweise verschieden sind, ist

dim(V′_{λ_{i}}) = n_{i}.

Allgemeiner gilt: Die Dimension von V′_{λ} ist die Vielfachheit von λ in p_{ϕ}: das ist die größte Potenz von (x − λ), die p_{ϕ} teilt.

Lemma 5.3.2 Die Haupträume sind unabhängig.

Folgerung 5.3.3 Wenn

p_{ϕ}(x) = ∏_{i=1}^{e}(x − λ_{i})^{n_{i}},

(die λ_{i} paarweise verschieden), ist V die direkte Summe der Haupträume V_{λ_{i}}

Wenn V direkte Summe von ϕ–invarianten Unterräumen V_{1}, …, V_{e} ist, kann man Basen 𝔅_{i} der V_{i} zu einer Basis 𝔅 von V zusammenfassen. Wenn die ϕ ¯ V_{i} bezüglich der 𝔅_{i} durch die Matrizen A_{i} dargestellt werden, wird ϕ bezüglich 𝔅 durch die Blockmatrix

A = ( \begin{matrix}A_{1} & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & A_{2} & ⋯ & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & ⋯ & A_{e} \end{matrix} )

dargestellt.

Folgerung 5.3.4 Wenn

p_{ϕ}(x) = ∏_{i=1}^{e}(x − λ_{i})^{n_{i}},

(die λ_{i} paarweise verschieden), kann ϕ bezüglich einer geeigneten Basis durch eine Blockmatrix dargestellt werden, deren Blöcke A_{i} (i = 1, …, e) n_{i}-n_{i}–Matrizen der Form

( \begin{matrix}λ_{i} & ∗ & ⋯ & ∗ \\ 0 & λ_{i} & ⋯ & ∗ \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & ⋯ & λ_{i} \end{matrix} )

sind.

Lemma 5.3.5

1. λ ist genau dann Nullstelle von p(x), wenn (x − λ) ein Teiler von p(x) ist

2. Ein Polynom vom Grad n hat höchstens n verschiedene Nullstellen.

Ein Körper heißt algebraisch abgeschlossen, wenn jedes nicht-konstante Polynom eine Nullstelle besitzt. Der Körper ℂ der komplexen Zahlen ist algebraisch abgeschlossen. Jeder Körper läßt sich in einen algebraisch abgeschlossenen Körper einbetten.

Folgerung 5.3.6 In einem algebraisch abgeschlossenen Körper zerfällt jedes normierte Polynom (eindeutig) in Linearfaktoren.

5.4 Nilpotente Endomorphismen

Definition Eine Endomorphismus ϕ heißt nilpotent, wenn eine Potenz ϕ^{n} Null ist. Eine quadratische Matrix A heißt nilpotent, wenn f_{A} nilpotent ist.

Sei ϕ Endomorphismus eines endlich–dimensionalen Vektorraums V. Dann ist ϕ genau dann nilpotent, wenn V = V′_{0}. Der Hauptraum V′_{λ} ist der größte Unterraum von V, auf den eingeschränkt ϕ − λid nilpotent ist.

Lemma 5.4.1 Sei ϕ Endomorphismus eines n–dimensionalen Vektorraums V. Dann sind äquivalent:

1. ϕ ist nilpotent

2. ϕ^{n} = 0

3. Bei geeigneter Basiswahl läßt sich ϕ durch eine obere Dreiecksmatrix darstellen, in deren Diagonale nur Nullen stehen.

4. P_{ϕ}(x) = x^{n}

Satz 5.4.2 Sei ϕ nilpotenter Endomorphismus des endlich–dimensionalen Vektorraums V und v ein Element von V. Sei k die kleinste natürliche Zahl, für die ϕ^{k}(v) = 0. Dann bildet die Folge

v = ϕ^{0}(v), ϕ^{1}(v), ϕ^{2}(v), …, ϕ^{k−1}(v) = 0

eine Basis eines ϕ–invarianten Unterraums U von V.

Man nennt U den von v erzeugten zyklischen Unterraum (der Ordnung k).

Satz 5.4.3 Sei ϕ nilpotenter Endomorphismus des endlich–dimensionalen Vektorraums V. Dann ist V direkte Summe von zyklischen Unterräumen.

Beweisskizze:

Die Räume U_{i} = Ker(ϕ) ∩ Im(ϕ^{i}) bilden eine absteigende Folge

Ker(ϕ) = U^{0} ⊃ U^{1} ⊃ … ⊃ U^{n} = 0

von ϕ–invarianten Unterräumen. Wir wählen eine Basis a_{1}^{n}, …, a_{m_{n}}^{n} von U^{n−1}. Dann erweitern wir diese Basis um a_{1}^{n−1}, …, a_{m_{n−1}}^{n−1} zu einer Basis von U^{n−2} und fahren so fort. Schließlich erhalten wir

eine Basis (a_{j}^{i}), (i = 1, …, n; j = 1, …, m_{i}) von Ker(ϕ), sodaß jeweils (a_{j}^{i′} | i < i′; j < m_{i′}) eine

Basis von U^{i} ist. Dann wählen wir zu jedem a_{j}^{i} einen Vektor v_{j}^{i} mit ϕ^{i−1}(v_{j}^{i}) = a_{j}^{i}. Jedes dieser v_{j}^{i} erzeugt einen zyklischen Unterraum V_{j}^{i} der Ordnung i. V ist die direkte Summe der V_{j}^{i}.

Im Folgenden verwenden wir die Notation B_{λ}^{k} für die k-k–Matrix

( \begin{matrix}λ & 1 & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & λ & 1 & ⋯ & 0 \\ 0 & 0 & λ & ⋯ & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & ⋯ & 1 \\ 0 & 0 & 0 & ⋯ & λ \end{matrix} ) .

Folgerung 5.4.4 Ein nilpotenter Endomorphismus eines endlich–dimensionalen Vektorraums läßt sich bezüglich einer geeigneten Basis durch eine aus Matrizen B_{0}^{k} zusammengesetzte Blockmatrix schreiben.

Wie oft eine Matrix B_{0}^{k} in der Blockmatrix vorkommt hängt nicht von der Wahl der Basis ab.

Als letzte Folgerung ergibt sich der Satz von der Jordan Normalform

Satz 5.4.5 Ein Endomorphismus eines endlich–dimensionalen Vektorraums dessen charakteristisches Polynom in Linearfaktoren zerfällt, läßt sich bezüglich einer geeigneten Basis durch eine aus Matrizen B_{λ}^{k} zusammengesetzte Blockmatrix schreiben.

Wie oft eine Matrix B_{λ}^{k} in der Blockmatrix vorkommt hängt nicht von der Wahl der Basis ab.

Dualität

ℜR

6.1 Der Dualraum

Definition Der Dualraum V^{∗} eines K–Vektorraums V ist der Vektorraum alle linearen Funktionale λ : V → K. In früherer Notation ist also V^{∗} = (V, K).

Identifiziert man den K^{n} mit dem Raum der n–dimensionalen Spaltenvektoren

x = ( ξ_{1} ; ⋮ ; ξ_{n} ) ,

kann man (K^{n})^{∗} als den Raum aller Zeilenvektoren

λ = (α_{1}, …, α_{n})

auffassen, wobei

λ(x) = α_{1}ξ_{1} + ⋯ + α_{n}ξ_{n} = (α_{1}, …, α_{n}) ( ξ_{1} ; ⋮ ; ξ_{n} ) .

Sei x_{1}, …, x_{n} eine Basis von V. Die Funktionale λ_{1}, …, λ_{n}, definiert durch

λ_{i}(x_{j}) = δ_{ij},

bilden eine Basis von V^{∗}, die sogenannte duale Basis. Folgerung 6.1.1 Wenn V endlich–dimensional ist, hat V^{∗} die gleiche Dimension wie V.

V und V^{∗} sind also isomorph. Ein Isomorphismus f läßt sich zum Beispiel dadurch angeben, daß man die Elemente einer Basis x_{1}, …, x_{n} auf die Elemente λ_{1}, …, λ_{n} der dualen Basis abbildet. f hängt allerdings von der Wahl der Basis x_{1}, …, x_{n} ab. Man sagt, daß V und V^{∗} nicht kanonisch isomorph sind.

Sei nun V beliebig (nicht notwendig endlich–dimensional). Jedes Element x von V definiert vermöge λ ↦ λ(x) eine lineare Abbildung x′ von V^{∗} nach K. x ↦ x′ = Φ(x) ist die "kanonische"Abbildung von Φ : V → V^{∗∗}.

Lemma 6.1.2 Die kanonische Abbildung Φ von V nach V^{∗∗} ist eine injektive lineare Abbildung.

Wenn V endlich dimensional ist, sind also V und V^{∗∗} kanonisch isomorph.

Lemma 6.1.3 Wechselt man eine Basis von V mittels der Matrix A, so wechseln die dualen Basen von V^{∗} mit (A^{⊤})^{−1}.

6.2 Duale Abbildungen

Eine lineare Abbildung f : V → W induziert vermöge

f^{∗}(λ) = λ ∘ f

eine lineare Abbildung f^{∗} : W^{∗} → V^{∗}, die duale Abbildung. f^{∗} ist also charakterisiert durch das Bestehen der Gleichung (f^{∗}(μ))(x) = μ(f(x))

Lemma 6.2.1 Dualisieren ist ein kontravarianter, linearer Funktor: Es gilt

1. (id_{V})^{∗} = id_{V^{∗}}

2. Wenn f : U → V und g : V → W linear sind, ist (g ∘ f)^{∗} = f^{∗} ∘ g^{∗}.

3. Wenn f und g lineare Abbildungen von V nach W sind, ist (f + g)^{∗} = f^{∗} + g^{∗}

4. Für alle α ∈ K ist (αf)^{∗} = αf^{∗}.

Außerdem ist der Funktor treu: f^{∗} = 0 ⇒ f = 0. Für endlich–dimensionale Vektorräume ist der Funktor voll: Für jedes g : W^{∗} → V^{∗} gibt es ein f : V → W mit f^{∗} = g.

Identifiziert man wie oben die Elemente von K^{m} und K^{n} mit Spaltenvektoren und die Elemente der Dualräume mit Zeilenvektoren, so wird für eine m-n–Matrix A die Abbildung f = f_{A} : K^{n} → K^{m} gegeben durch

f : x ↦ Ax

und f^{∗} durch

f^{∗} : λ ↦ λA.

Daraus ergibt sich:

Satz 6.2.2 V und W seien endlich–dimensional und f : V → W linear. Wenn f bezüglich der Basen 𝔅 und ℭ durch die Matrix A gegeben ist, ist f^{∗} bezüglich der dualen Basen durch die Transponierte A^{⊤} gegeben.

Folgerung 6.2.3 Für Endomorphismen von endlich–dimensionalen Vektorräumen gilt det(ϕ^{∗}) = det(ϕ).

Lemma 6.2.4 Der Dualraum einer direkten Summe läßt sich auf natürliche Weise mit der direkten Summe der Dualräume identifizieren:

(V ⊕ W)^{∗} = V^{∗} ⊕ W^{∗}.

Das Duale der Einbettung V → V ⨁ W ist die Projektion V^{∗} ⨁ W^{∗} → V^{∗}. Das Duale der Projektion V ⨁ W → V ist die Einbettung V^{∗} → V^{∗} ⨁ W^{∗}.

Folgerung 6.2.5 Sei f : V → W linear. Dann gilt:

1. f ist genau dann surjektiv, wenn f^{∗} injektiv ist.

2. f ist genau dann injektiv, wenn f^{∗} surjektiv ist.

3. Wenn W endlich–dimensional ist, haben f und f^{∗} den gleichen Rang.

6.3 Duale Paare

V und W seien endlich dimensionale K–Vektorräume und

( , ) : V × W → K

bilinear.

Sei 𝔛 = (x_{1}, …, x_{m}) eine Basis von V und 𝔜 = (y_{1}, …, y_{n}) eine Basis von W. Nach Lemma 2.5.1 ist ( , ) durch die m-n–Matrix B = (x_{i}, y_{j}) eindeutig bestimmt.

Die auf K^{m} × K^{n} bezüglich der kanonischen Basen durch B gegebene Bilinearform bezeichnen wir mit ( , )_{B}. Faßt man die Elemente von K^{m} und K^{n} als Spaltenvektoren auf, ist

(x, y)_{B} = x^{⊤}By.

Lemma 6.3.1 Wenn man mit der Matrix D zur Basis 𝔛′ wechselt (siehe Abschnitt 3.3) und mit E von 𝔜 zur Basis 𝔜′, wird ( , ) bezüglich der neuen Basen durch

B′ = D^{⊤}BE

beschrieben.

Der Rang der darstellenden Matrix von ( , ) hängt also von der Basiswahl nicht ab. Man nennt ihn den Rang von ( , ).

Definition Das Tripel V, W, ( , ) heißt duales Paar, wenn dim(V) = dim(W) = Rang von ( , ).

Wenn V, W ein duales Paar sind, dann auch W, V. Dabei muß man natürlich von ( , ) zur Bilinearform (y, x)′ = (x, y) übergehen.

Setzt man für endlich–dimensionales W V = W^{∗} und (λ, x) = λ(x), bilden V und W ein duales Paar. Das nächste Lemma zeigt, daß jedes duale Paar so aussieht.

Lemma 6.3.2 Bilineare Abbildungen ( , ) : V × W → K und lineare Abbildungen Ψ : V → W^{∗} entsprechen einander vermöge Ψ(v)(w) = (v, w). Wenn W endlich–dimensional ist, ist bilden V und W genau dann ein duales Paar, wenn Ψ ein Isomorphismus ist.

Wenn V und W ein duales Paar bilden gibt es zu jeder Basis 𝔜 = (y_{1}, …, y_{n}) von W eine Basis 𝔛 = (x_{1}, …, x_{m}) von V mit (x_{i}, y_{j}) = δ_{ij}. 𝔛 ist dual zu 𝔜.

Sei nun (V, W) ein duales Paar und f ein Endomorphismus von W. Dann ist f^{t} = Ψ^{−1} ∘ f^{∗} ∘ Ψ der zu f adjungierte Endomorphismus von W. Wie in 6.2.2 wird f^{t} bzgl. der dualen Basis durch die transponierte Matrix dargestellt.

Lemma 6.3.3 f^{t}(x) ist bestimmt durch die Gültigkeit der Gleichung (f^{t}(x), y) = (x, f(y)) für alle y ∈ W.

Für Endomorphismen f von V definiert man f^{t} analog durch Vertauschen von Rechts und Links. Man hat dann f^{tt} = f.

Für ein duales Paar V, W und Unterräume U von V definieren wir:

U^{⊥} = {w ∈ W | ∀u ∈ U (u, w) = 0}

Lemma 6.3.4

1. (U^{⊥})^{⊥} = U

2. Mit der Bilinearform

[x + U, y] = (x, y)

wird V/U, U^{⊥} zu einem dualen Paar. Es folgt dim U + dim(U^{⊥}) = dim V.

Symmetrische Bilinearformen

7.1 Bilinearformen

Wir betrachten Bilinearformen ( , ) : V × V → K.

( , ) heißt regulär oder nicht ausgeartet, wenn V, V zusammen mit ( , ) ein duales Paar ist.

Ein Automorphismus von (V, ( , )) ist ein Automorphismus f von V, der mit ( , ) verträglich ist, für den also (f(x), f(y)) = (x, y) für alle x, y ∈ V.

Lemma 7.1.1 Sei V endlich–dimensional und ( , ) regulär. Dann ist f genau dann ein Automorphismus von (V, ( , )), wenn f ∘ f^{t} = id_{V}.

Lemma 7.1.2 Sei V endlich–dimensional und ( , ) regulär. Dann hat jede Bilinearform [ , ] auf V die Gestalt

[x, y] = (f(x), y)

für einen eindeutig bestimmten Endomorphismus f.

7.2 Symmetrische Bilinearformen

Im Folgenden sei K ein Körper, der nicht die Charakteristik 2 hat und V ein K–Vektorraum.

Definition Eine Bilinearform ( , ) : V × V → K heißt symmetrisch, wenn (v, w) = (w, v) für alle v, w ∈ V.

( , )_{B} ist genau dann symmetrisch, wenn β_{i,j} = β_{j,i} für alle i, j (vgl. Folgerung 2.5.3). Quadratische Matrizen mit dieser Eigenschaft heißen symmetrisch.

Lemma 7.2.1 Sei ( , ) eine symmetrische reguläre Bilinearform auf V und f ein Endomorphismus. Dann ist die Bilinearform (f(x), x) genau dann symmetrisch, wenn f = f^{t}.

Endomorphismen f mit f^{t} = f heißen selbstadjungiert.

Sei ( , ) eine symmetrische Bilinearform auf V. Die Funktion q : V → K, definiert durch

q(x) = (x, x),

nennt man die zu ( , ) gehörende quadratische Form. ( , ) läßt sich durch q ausdrücken:

(x, y) = \frac{q(x + y) − q(x − y)}{4}.

Folgerung 7.2.2 Eine symmetrische Bilinearform ist durch ihre quadratische Form eindeutig bestimmt.

Satz 7.2.3 Symmetrische Bilinearformen auf endlich–dimensionalen Vektorräumen lassen sich bei geeigneter Basiswahl durch Diagonalmatrizen darstellen.

Eine andere Formulierung ist: Jeder endlich–dimensionale Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform hat eine Orthogonalbasis. Das ist eine Basis a_{1}, …, a_{n}, deren Elemente paarweise orthogonal sind:

(a_{i}, a_{j}) = 0, wenn i ≠ j.

Folgerung 7.2.4 Wenn in K jedes Element Quadrat ist (wie zum Beispiel in ℂ), dann wird bei geeigneter Basiswahl jede symmetrische Bilinearform durch eine Matrix der Form

( \begin{matrix}1 \\ & . & . & . \\ & & & & 1 \\ & & & & & 0 \\ & & & & & & . & . & . \\ & & & & & & & & & 0 \end{matrix} )

dargestellt.

Die Zahl der vorkommenden Einsen ist der Rang der Bilinearform und also von der Wahl der Basis unabhängig.

Folgerung 7.2.5 Über ℝ läßt sich jede symmetrische Bilinearform bei geeigneter Basiswahl immer durch eine Diagonalmatrix

( \begin{matrix}1 \\ & . & . & . \\ & & & & 1 \\ & & & & & −1 \\ & & & & & & . & . & . \\ & & & & & & & & & −1 \\ & & & & & & & & & & 0 \\ & & & & & & & & & & & . & . & . \\ & & & & & & & & & & & & & & 0 \end{matrix} )

darstellen, in deren Diagonalen nur 1, −1 und 0 vorkommen.

Sei p die Zahl der vorkommenden Einsen, q die Zahl der Minuseinsen, und r die Zahl der Nullen, die in der Diagonalen dieser Matrix vorkommen.

Satz 7.2.6 (Sylvester) p, q und r sind von der Wahl der diagonalisierenden Basis unabhängig.

Man nennt p − q die Signatur der Bilinearform. Weil p + q der Rang der Bilinearform ist, ist der Satz von Sylvester äquivalent zur Invarianz der Signatur.

7.3 Euklidische Räume

Sei ( , ) eine symmetrische Bilinearform auf dem reellem Vektorraum V mit quadratischer Form q. ( , ) heißt positiv semidefinit, wenn q(x) niemals negativ wird. Wenn sogar q(x) für alle von 0 verschiedenen x positiv ist, heißt ( , ) positiv definit. Analog definiert man negativ (semi)definit. Symmetrische Bilinearformen, die nicht semidefinit sind, nennt man indefinit. Für eine Diagonalmatrix B ist ( , )_{B} genau dann positiv (semi)definit, wenn alle Diagonalelemente von B positiv (nicht-negativ) sind.

Definition Eine euklidische Bilinearform ist eine positiv definite symmetrische Bilinearform auf einem endlich–dimensionalen reellen Vektorraum. Ein euklidischer Raum ist ein reeller Vektorraum mit einer euklidischen Bilinearform.

Das in 1.4 definierte Standardskalarprodukt auf dem ℝ^{n} ist euklidisch.

Aus 7.2.5 folgt:

Satz 7.3.1 Jeder euklidische Vektorraum hat eine Orthonormalbasis. Das ist eine Basis b_{1}, …, b_{m}, die zu sich selbst dual ist, für die also

(b_{i}, b_{j}) = δ_{ij}.

Es folgt, daß jeder euklidische Vektorraum V zu einem ℝ^{n} mit dem Standardskalarprodukt isomorph ist. Insbesondere ist V regulär.

Ausgehend von einer Basis a_{1}, …, a_{n} von V läßt sich mit dem Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren eine Orthonormalbasis b_{1}, …, b_{n} konstruieren: Wir setzen b_{1} = \frac{1}{∥a_{1}∥}a_{1} und für i = 2, …, n

b′_{i} = a_{i} − (a_{i}, b_{1})b_{1} − … − (a_{i}, b_{i−1})b_{i−1}

und

b_{i} = \frac{1}{∥ b′_{i} ∥}b′_{i}.

Wie in 1.4 ist dabei ∥ a ∥ die Norm oder Länge \sqrt{(a, a)} von a .

Lemma 7.3.2 Sei b_{1}, …, b_{n} eine Orthonormalbasis. Dann ist für alle a ∈ V

a = (a, b_{1})b_{1} + … + (a, b_{n})b_{n}.

Lemma 7.3.3 Sei U ein Unterraum des euklidischen Raums V. Dann ist V direkte Summe von U und U^{⊥}.

Daraus folgt, daß sich jedes orthonormale System von Vektoren zu einer Orthonormalbasis von V fortsetzen läßt.

Lemma 7.3.4 Sei f ein Endomorphismus von V, der bezogen auf die Orthonormalbasis 𝔅 durch die Matrix A dargestellt wird. Dann wird der adjungierte Endomorphismus f^{t} durch die transponierte Matrix A^{⊤} dargestellt.

Automorphismen eines euklidischen Vektorraums heißen orthogonal. Lemma 7.3.5 Sei f ein Endomorphismus des euklidischen Vektorraums V, der bezüglich einer Orthonormalbasis b_{1}, …, b_{m} durch die Matrix A dargestellt wird. Dann sind äquivalent:

1. f ist orthogonal.

2. f ∘ f^{t} = id_{V}.

3. AA^{⊤} = I.

4. f(b_{1}), …, f(b_{m}) ist eine Orthonormalbasis. Folgerung 7.3.6 Orthogonale Abbildungen haben die Determinante 1 oder -1.

Die reelle orthogonale Gruppe

O_{n}(ℝ) = {A ∈ M_{n}(ℝ) | AA^{⊤} = I}

ist die Gruppe aller orthogonalen n-n–Matrizen. Die orthogonalen Abbildungen mit Determinante 1 bilden die spezielle orthogonale Gruppe SO_{n}(ℝ).

Sei V ein n–dimensionaler euklidischer Vektorraum. Eine n–Form μ heißt normiert, wenn

μ(b_{1}, …, b_{m}) ∈ {−1, 1}

für alle Orthonormalbasen b_{1}, …, b_{m}. Lemma 7.3.7 Wenn V ≠ 0, gibt es genau zwei normierte n–Formen: μ_{0} und −μ_{0}.

Man nennt

∥ μ_{0}(a_{1}, …, a_{n}) ∥

das Volumen des Parallelepipeds {α_{1}a_{1} + … + α_{n}a_{n} | 0 ≤ α_{1} ≤ 1, …, 0 ≤ α_{n} ≤ 1}. Satz 7.3.8 (Gramsche Determinante) Das Volumen des von a_{1}, …, a_{n} aufgespannten Parallelepipeds ist die Quadratwurzel der Gramschen Determinante

det ( \begin{matrix}(a_{1}, a_{1}) & (a_{1}, a_{2}) & ⋯ & (a_{1}, a_{n}) \\ (a_{2}, a_{1}) & (a_{2}, a_{2}) & ⋯ & (a_{2}, a_{n}) \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ (a_{n}, a_{1}) & (a_{n}, a_{2}) & ⋯ & (a_{n}, a_{n}) \end{matrix} )

7.4 Die Hauptachsentransformation

Sei V ein euklidischer Vektorraum. Satz 7.4.1 Sei [ , ] eine symmetrische Bilinearform auf V. Dann gibt es eine Orthonormalbasis von V, bezüglich der [ , ] durch eine Diagonalmatrix dargestellt wird.

Weil sich vermöge

[x, y] = (f(x), y)

symmetrische Bilinearformen und selbstadjungierte Endomorphismen entsprechen (7.1.2 und 7.2.1), ist der Satz gleichbedeutend mit Satz 7.4.2 Sei f ein selbstadjungierter Endomorphismus. Dann gibt es eine Orthonormalbasis von V aus Eigenvektoren von f.

Für Matrizen formuliert: Satz 7.4.3 Zu jeder symmetrischen reellen Matrix A gibt es eine orthogonale Matrix D, sodaß D^{⊤}AD Diagonalgestalt hat.

Eine Folgerung ist zum Beispiel: Lemma 7.4.4 Für jeden Endomorphismus f gibt es eine Orthonormalbasis b_{1}, …, b_{n} von V, sodaß f(b_{1}), …, f(b_{n}) paarweise orthogonal sind.

Die Matrixformulierung: Jede quadratische Matrix läßt sich als Produkt O_{1}DO_{2} schreiben, wobei O_{1} und O_{2} orthogonal sind und D eine Diagonalmatrix.

Sei nun bezüglich einer Orthonormalbasis die symmetrische Bilinearform [x, y] = (f(x), y) durch die Diagonalmatrix ( \begin{matrix}λ_{1} & 0 & … & 0 \\ 0 & λ_{2} & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & … & λ_{n} \end{matrix} ) gegeben. Die λ_{i} sind als die Eigenwerte von f bestimmt. Der nächste Satz zeigt die Bedeutung der λ_{i} für die Bilinearform [ , ]. Wir können annehmen, daß λ_{1} ≤ λ_{2} ≤ … ≤ λ_{n}. Satz 7.4.5

λ_{m} = min {max {[x, x] | x ∈ U, ∥ x ∥= 1} | U ≤ V, dim U = m}

7.5 Unitäre Räume

Wir betrachten in diesem Abschnitt Vektorräume U, V, … über dem Körper ℂ der komplexen Zahlen.

Die ℝ–lineare Abbildung : ℂ → ℂ

\overline{a + bi} = a − bi

ist ein Automorphismus des Körpers ℂ, die Konjugation. Definition Eine Abbildung f : U → V heißt semilinear, wenn 1. f(x + y) = f(x) + f(y)

2. f(λx) = \overline{λ}f(x)

Sei V ein Vektorraum über ℂ. Der konjugierte Vektorraum V^{(c)} hat die gleichen Elemente wie V und die gleiche Addition. Die Multiplikation ·^{(c)} mit Elementen von ℂ ist aber definiert durch α ·^{(c)} v = \overline{α}v. Lemma 7.5.1 Für eine Abbildung f : U → V sind äquivalent

1. f ist semilinear.

2. f : U → V^{(c)} ist linear.

3. f : U^{(c)} → V ist linear. Definition Eine Sesquilinearform auf V ist eine bilineare Abbildung ( , ) : V^{(c)} × V → ℂ.

Sei 𝔛 = (x_{1}, …, x_{n}) eine Basis von V. Dann ist die Sesquilinearform ( , ) durch die n-n–Matrix B = (x_{i}, x_{j}) eindeutig bestimmt: Wenn für Spaltenvektoren ξ und ζ

x = (x_{1} … x_{n})ξ

und

y = (x_{1} … x_{n})ζ,

ist

(x, y) = ξ^{∗}Bζ.

Hier steht A^{∗} für die adjungierte Matrix \overline{A}^{⊤}

Wenn ( , ) eine Sesquilinearform ist, ist auch

[x, y] = \overline{(y, x)}

sesquilinear. Definition Eine Sesquilinearform heißt hermitesch, wenn

(x, y) = \overline{(y, x)}

für alle x, y.

Eine bezüglich einer Basis durch die Matrix B gegebene Sesquilinearform ist genau dann hermitesch, wenn B hermitesch ist. Das heißt

B^{∗} = B.

Wenn ( , ) hermitesch ist, ist (x, x) ∈ ℝ für alle x. Definition Eine hermitesche Bilinearform heißt positiv definit, wenn (x, x) > 0 für alle von Null verschiedenen x. Eine unitärerVektorraum ist ein endlich–dimensionaler ℂ–Vektorraum mit einer positiv definiten hermiteschen Sesquilinearform.

ℂ^{n} mit der Standardsesquilinearform \overline{ξ}ζ ist unitär.

Wir setzen wieder ∥ a ∥= \sqrt{(a, a)} . Es ist ∥ a + b ∥≤∥ a ∥ + ∥ b ∥ und ∥ λa ∥= |λ| ∥ a ∥. Lemma 7.5.2

1. Unitäre Bilinearformen sind regulär.

2. Sei U ein Unterraum des unitären Raums V. Dann ist V direkte Summe von U und U^{⊥}.

3. Jeder unitäre Vektorraum V hat eine Orthonormalbasis. (Also ist V zum unitären Raum ℂ^{n} isomorph.)

4. Sei b_{1}, …, b_{n} eine Orthonormalbasis. Dann ist für alle a ∈ V

a = (b_{1}, a)b_{1} + … + (b_{n}, a)b_{n}.

Satz 7.5.3 Sei V ein unitärer Vektorraum. Zu jedem Endomorphismus f von V gibt es einen durch (f^{t}(x), y) = (x, f(y)) eindeutig bestimmten adjungierten Endomorphismus f^{t}. Wenn f bezüglich einer Orthonormalbasis durch die Matrix A dargestellt wird, wird f^{t} durch die adjungierte Matrix A^{∗} dargestellt.

Sei V unitär. Dann entsprechen sich Sesquilinearformen und Endomorphismen von V vermöge

[x, y] = (f(x), y).

[ , ] ist genau dann hermitesch, wenn f selbstadjungiert ist.

Automorphismen eines unitären Vektorraums heißen unitär. Lemma 7.5.4 Sei f ein Endomorphismus des unitären Vektorraums V, der bezüglich einer Orthonormalbasis b_{1}, …, b_{m} durch die Matrix A dargestellt wird. Dann sind äquivalent:

1. f ist unitär.

2. f ∘ f^{t} = id_{V}.

3. AA^{∗} = I.

4. f(b_{1}), …, f(b_{m}) ist eine Orthonormalbasis. Folgerung 7.5.5 Der Absolutbetrag einer Determinante einer unitären Abbildung ist 1.

Die unitäre Gruppe

U_{n} = {A ∈ M_{n}(ℂ) | AA^{∗} = I}

ist die Gruppe aller unitären n-n–Matrizen. Die unitären Abbildungen mit Determinante 1 bilden die spezielle Gruppe SU_{n}.

Definition Ein Endomorphismus eines unitären Vektorraums heißt normal, wenn f ∘ f^{t} = f^{t} ∘ f. Selbstadjungierte und unitäre Endomorphismen sind normal. Satz 7.5.6 f ist genau dann normal, wenn f eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren hat.

Ein normaler Endomorphismus ist selbstadjungiert, wenn seine Eigenwerte reell sind. Und unitär, wenn die Eigenwerte den Betrag 1 haben.

Multilineare Algebra

In diesem Kapitel betrachten wir Vektorräume über einem beliebigen Körper K.

8.1 Tensorprodukt

U und V seien zwei Vektorräume. Ein Vektorraum T zusammen mit einer bilinearen Abbildung ⊗ : U×V → T heißt Tensorprodukt von U und V, wenn sich jede bilineare Abbildung ( , ) : U×V → W als Komposition von ⊗ mit einer eindeutig bestimmten linearen Abbildung f : T → W schreiben läßt.

[figure: U × V; ⊗; W; T; f; ( , )]

Satz 8.1.1 Je zwei Vektorräume U und V haben ein Tensorprodukt ⊗ : U × V → T. T ist eindeutig bestimmt in folgendem Sinn: Wenn ⊗′ : U ×V → T′ ein zweites Tensorprodukt ist, gibt es genau einen Isomorphismus t : T → T′, der das Diagramm

[figure: U × V; ⊗; T′; T; t; ⊗′]

kommutativ macht.

Wir wählen für alle Paare U und V ein Tensorprodukt aus und bezeichnen es mit U ⨂ V.

Aus dem Beweis des Satzes ergibt sich: Folgerung 8.1.2 Wenn (a_{i})_{i∈I} eine Basis von U und (b_{j})_{j∈J} eine Basis von V ist, ist (a_{i}⊗b_{j})_{i∈I, j∈J} eine Basis von U ⨂ V.

Wenn U und V endlich–dimensional sind, ist also dim(U ⊗ V) = dim U · dim V. Lemma 8.1.3 Die kanonische Abbildung K ⨂ V → V ist ein Isomorphismus.

Für zwei lineare Abbildungen f : U → U′ und g : V → V′ definiert man die lineare Abbildung

f ⊗ g : U ⨂ V → U′ ⨂ V′

durch (f ⊗ g)(u ⊗ v) = f(u) ⊗ g(v). ⨂ wird auf diese Weise zu einem linearen Bifunktor: Lemma 8.1.4

1. id_{U} ⊗ id_{V} = id_{U ⨂ V}

2. (f ∘ f′) ⊗ (g ∘ g′) = (f ⊗ g) ∘ (f′ ⊗ g′)

3. (f + f′) ⊗ g = (f ⊗ g) + (f′ ⊗ g)

4. (αf) ⊗ g = α(f ⊗ g) \underline{Beispiel} Sei V ein ℝ–Vektorraum. Dann ist ℂ ⨂ V ein ℂ–Vektorraum mit der Skalarmultiplikation λ(α ⊗ v) = (λα) ⊗ v.

Das Tensorprodukt einer endlichen Familie V_{1}, …, V_{n} von Vektorräumen ist ein Vektorraum

V_{1} ⨂ … ⨂ V_{n}

zusammen mit einer multilinearen Abbildung ⊗ : V_{1}×…×V_{n} → V_{1} ⨂ … ⨂ V_{n}, so daß sich jede multilineare Abbildung V_{1}×…×V_{n} → W eindeutig in der Form f∘⊗ für ein lineares f : V_{1} ⨂ … ⨂ V_{n} → W schreiben läßt. Existenz und Eindeutigkeit zeigt man wie oben. Satz 8.1.5

1. Durch (u_{1} ⊗ … ⊗ u_{m}) ⊗ (v_{1} ⊗ … ⊗ v_{n}) ↦ u_{1} ⊗ … ⊗ u_{m} ⊗ v_{1} ⊗ … ⊗ v_{n} ist ein Isomorphismus zwischen (U_{1} ⨂ … ⨂ U_{m}) ⨂(V_{1} ⨂ … ⨂ V_{n}) und U_{1} ⨂ … ⨂ U_{m} ⨂ V_{1} ⨂ … ⨂ V_{n} definiert.

2. U ⨂ V und V ⨂ U sind kanonisch isomorph. Der Isomorphismus wird durch u ⊗ v ↦ v ⊗ u gegeben.

Sei ⨂^{0} = K und (für positive p) ⨂^{p} V das Tensorprodukt von p Kopien von V. Dann ist nach dem vorhergehenden Satz für alle p und q eine bilineare Abbildung ⊗ : ⨂^{p} V × ⨂^{q} V → ⨂^{p+q} V definiert. Wenn p oder q Null sind, soll diese Abbildung Multiplikation mit Elementen von K sein.

Satz 8.1.6 Die Abbildungen ⊗ : ⨂^{p} V × ⨂^{q} V → ⨂^{p+q} V machen

T(V) = ⨁_{p∈ℕ} (⨂^{p} V )

zu einer assoziativen Algebra mit Einselement, der Tensoralgebra von V.

\underline{Beispiel}

T(K) ≅ K[X]

8.2 Tensorprodukt und Dualität

Die durch die bilineare Abbildung (λ, x) ↦ λ(x) definierte lineare Abbildung

v : V^{∗} ⨂ V → K

heißt Verjüngung.

Allgemeiner nennt man die durch a_{1} ⊗ … λ ⊗ b_{1} ⊗ … v ⊗ … c_{1} × … ↦ λ(v)a_{1} ⊗ … b_{1} ⊗ … c_{1} ⊗ … definierte lineare Abbildung

A_{1} ⨂ … V^{∗} ⨂ B_{1} ⨂ … V ⨂ … C_{1} × … → A_{1} ⨂ … B_{1} ⨂ … C_{1} ⨂ …

Verjüngung (über den Faktoren V^{∗} und V).

Die Elemente von

V_{p}^{q} = (⨂^{p} V) ⨂ (⨂^{q} V^{∗})

nennt man p–fach kontravariante und q–fach kovariante Tensoren (oder auch Tensoren der Stufe (p, q)). Tensorieren liefert eine lineare Abbildung

V_{p}^{q} × V_{p′}^{q′} → V_{p+p′}^{q+q′}.

Verjüngen über der i–ten Kopie von V und der j–ten Kopie von V^{∗} liefert eine Abbildung

Γ_{i}^{j} : V_{p}^{q} → V_{p−1}^{q−1}.

Die Verjüngung

U ⨂ V^{∗} ⨂ V → U

liefert für jedes a ∈ U ⨂ V^{∗} eine lineare Abbildung f_{a} : V → U, definiert durch f_{a}(v) = (id⊗v)(a⊗v).

Satz 8.2.1 Die durch a ↦ f_{a} definierte Abbildung U ⨂ V^{∗} → L(V, U) ist für endlich–dimensionale V ein Isomorphismus.

Man kann daher (im endlich–dimensionalen) U ⨂ V^{∗} und L(V, U) identifizieren. Dabei ergeben sich folgende Entsprechungen:

1. Matrizen:

Sei (v_{j}) eine Basis von V, (u_{i}) eine Basis von U und die lineare Abbildung f : V → U gegeben durch die Matrix (α_{i,j}). Sei (λ_{j}) die zu (v_{j}) duale Basis von V^{∗}. Dann ist (bei der obigen Identifizierung)

f = ∑_{i,j} α_{i,j}(u_{i} ⊗ λ_{j}).

2. Komposition:

Die Komposition von linearen Abbildungen ist eine bilineare Abbildung

∘ : L(V, W) × L(U, V) → L(U, W).

Sie entspricht der Verjüngung

(W ⨂ V^{∗}) ⨂(V ⨂ U^{∗}) → W ⨂ U^{∗}.

3. Duale Abbildung: Die Dualisierung L(U, V) → L(V^{∗}, U^{∗}), definiert durch f ↦ f^{∗} entspricht der Abbildung

V ⨂ U^{∗} → U^{∗} ⨂ V = U^{∗} ⨂ V^{∗∗}

aus Satz 8.1.5(2).

4. Die Spurabbildung: Tr : End(V) → K ist nichts anderes als die Verjüngung

V ⨂ V^{∗} → K.

Zweimalige Verjüngung

(λ ⊗ μ) ⊗ (u ⊗ v) ↦ λ(u)μ(v)

liefert eine bilineare Abbildung (U^{∗} ⨂ V^{∗}) × (U ⨂ V) → K.

Satz 8.2.2 Wenn U und V endlich–dimensional sind, bilden U^{∗} ⨂ V^{∗} und U ⨂ V mit der eben definierten bilinearen Abbildung ein duales Paar.

(U ⨂ V)^{∗} kann also mit U^{∗} ⨂ V^{∗} identifiziert werden.

8.3 Die äußere Algebra

Sei V ein K–Vektorraum und p eine natürliche Zahl. Ein Vektorraum A zusammen mit einer (p– stelligen) multilinearen alternierenden Abbildung ∧^{p} : V^{p} → A heißt p-fache äußere Potenz von V, wenn sich jede alternierende multilineare Abbildung a : V^{p} → W als Komposition von ∧^{p} mit einer eindeutig bestimmten linearen Abbildung f : A → W schreiben läßt.

[figure: V^{p}; ∧^{p}; W; A; f; a]

Wir schreiben

v_{1} ∧ v_{2} ∧ … ∧ v_{p}

für ∧^{p}(v_{1}, v_{2}, …, v_{p}).

Satz 8.3.1 V hat für alle p eine p–fache äußere Potenz ∧^{p} : V^{p} → A. A ist eindeutig bestimmt in folgendem Sinn: Wenn ∧′ : V^{p} → A′ eine zweite p–fache äußere Potenz von V ist, gibt es genau einen Isomorphismus a : A → A′, der das Diagramm

[figure: V^{p}; ∧^{p}; A′; A; a; ∧′]

kommutativ macht.

Wir wählen für alle V und p eine p–fache äußere Potenz aus und bezeichnen sie mit ⋀^{p} V. Für p = 0 ist der Sinn der Definition nicht ganz klar; man vereinbart ⋀^{0} V = K. Die Elemente von ⋀^{p} V heißen die p–Vektoren von V.

Betrachtet man die Definition der äußeren Potenz im Fall W = K, sieht man, daß sich der Raum A^{p}V aller p–Formen auf V mit dem Dualraum (⋀^{p} V)^{∗} identifizieren läßt: Jedes μ ∈ A^{p}V läßt sich schreiben als μ(v_{1}, …, v_{p}) = λ(v_{1} ∧ … ∧ v_{p}) für ein λ ∈ (⋀^{p} V)^{∗}.

Sei e_{1}, e_{2}, … e_{n} eine Basis von V. Für alle p–elementigen Teilmengen I von {1, …, n} sei

e_{I} = e_{i_{1}} ∧ e_{i_{2}} ∧ … ∧ e_{i_{p}},

wobei i_{1} < i_{2} < … < i_{p} eine monotone Aufzählung von I ist. Aus dem Beweis des Satzes ergibt sich:

Folgerung 8.3.2 Die e_{I} bilden eine Basis von ⋀^{p} V.

Wenn dim V = n, ist also

dim(⋀^{p} V) = \binom{n}{p}.

Insbesondere ist dim(⋀^{n} V) = 1 und dim(⋀^{p} V) = 0 für alle p > n. ⋀^{1} V und V sind kanonisch isomorph.

Wenn die Vektoren v_{1}, …, v_{p} vermöge

(v_{1} … v_{p}) = (e_{1} … e_{n})A

durch die n-p–Matrix A gegeben sind, ist

v_{1} ∧ … ∧ v_{p} = ∑_{|I|=p} det(A_{I})e_{I}.

Dabei besteht die p-p–Matrix A_{I} aus den Zeilen von A, deren Zeilennummern zu I gehören.

Lemma 8.3.3 Zu jeder linearen Abbildung ϕ : V → U gibt es eine lineare Abbildung ∧^{p}ϕ : ⋀^{p} V → ⋀^{p} U, die eindeutig bestimmt ist durch

∧^{p}ϕ(v_{1} ∧ … ∧ v_{p}) = ϕ(v_{1}) ∧ … ∧ ϕ(v_{p}).

⋀^{p} wird dadurch zu einem linearen Funktor.

Lemma 8.3.4 Wenn dim V = n und ϕ ein Endomorphismus von V ist, ist ∧^{n}ϕ = det(ϕ).

Man beachte, daß ein Endomorphismus eines eindimensionalen Raumes Multiplikation mit einem Körperelement ist.

Sei e_{1}, …, e_{m} eine Basis von U und f_{1}, …, f_{n} eine Basis von V. ϕ : V → U sei durch die m-n– Matrix A gegeben. Dann ist

∧^{p}ϕ(e_{I}) = ∑_{J} det(A_{I,J})e_{J}.

Dabei ist für jede p–elementige Teilmenge I von {1, …, m} und J von {1, …, n} A_{I,J} die Matrix der Elemente von A, deren Zeilenindex in I und deren Spaltenindex in J liegt.

Satz 8.3.5 Für alle p und q gibt es eine bilineare Abbildung

∧ : ⋀^{p} V × ⋀^{q} V → ⋀^{p+q} V,

gegeben durch (v_{1} ∧ … ∧ v_{p}) ∧ (v_{p+1} ∧ … ∧ v_{p+q}) = v_{1} ∧ … ∧ v_{p+q}.

Wenn p oder q gleich Null sind, nehmen wir für ∧ die Multiplikation mit Elementen von K.

Sei e_{1}, e_{2}, … e_{n} eine Basis von V. Wenn I eine p–elementige Teilmenge und J eine q–elementige Teilmenge von {1, … n} ist, ist

e_{I} ∧ e_{J} = \{ \begin{matrix}0 & , & wenn & I ∩ J ≠ 0 \\ ϵ_{I,J}e_{I∪J} & , & sonst. \end{matrix}

Dabei ist, wenn i_{1} < … < i_{p}, j_{1} < … < j_{q} und k_{1} < … < k_{p+q} die aufsteigenden Aufzählungen von I, J und I ∪ J sind, ϵ_{I,J} die Signatur der Permutation

\binom{i_{1} … i_{p}j_{1} … j_{q}}{k_{1} … k_{p+q}},

die i_{1} … i_{p}j_{1} … j_{q} der Reihe nach auf k_{1} … k_{p+q} abbildet. Folgerung 8.3.6 Die direkte Summe

⋀ V = ⨁_{p∈ℕ} (⋀^{p} V )

wird durch die Abbildungen ∧ zu einer assoziativen Algebra mit Einselement. Wenn v ∈ ⋀^{p} V und w ∈ ⋀^{q} V, ist v ∧ w = (−1)^{pq}w ∧ v. ⋀ V heißt die äußere Algebra von V. Satz 8.3.7 Sei n = dim(V) und p + q = n. Wenn wir einen Isomorphismus ⋀^{n} V ≅ K fixieren, werden ⋀^{p} V und ⋀^{q} V vermöge

∧ : ⋀^{p} V × ⋀^{q} V → ⋀^{n} V ≅ K

zu einem dualen Paar. Folgerung 8.3.8 (Cramersche Regel) Sei n = dim(V) und μ eine n–Form, dann ist für alle v_{1}, …, v_{n} und alle x ∈ V

μ(v_{1}, …, v_{n})x = ∑_{i=1}^{n} μ(v_{1}, …, v_{i−1}, x, v_{i+1}, …, v_{n})v_{i}

Sei ϕ ein Endomorphismus von V und adj(ϕ) : V → V der zu ∧^{n−1}ϕ : ⋀^{n−1} V → ⋀^{n−1} V adjungierte Endomorphismus. adj(ϕ) wird also bestimmt durch die Gültigkeit von

adj(ϕ)(v_{1}) ∧ v_{2} ∧ … ∧ v_{n} = v_{1} ∧ ϕ(v_{2}) ∧ … ∧ ϕ(v_{n})

für alle v_{1}, …, v_{n} aus V. Lemma 8.3.9 Wenn ϕ (bezüglich einer Basis von V) durch die Matrix A dargestellt wird, wird adj(ϕ) durch die Adjunkte adj(A) dargestellt. Man nennt daher adj(ϕ) die Adjunkte von ϕ.

8.4 Äußere Algebra und Dualität

V sei in diesem Abschnitt endlich–dimensional, n = dim V. Lemma 8.4.1 Durch

< λ_{1} ∧ … ∧ λ_{p}, v_{1} ∧ … ∧ v_{p} >= det ( \begin{matrix}λ_{1}(v_{1}) & … & λ_{1}(v_{p}) \\ ⋮ & ⋯ & ⋮ \\ λ_{p}(v_{1}) & … & λ_{p}(v_{p}) \end{matrix} )

wird eine bilineare Abbildung

< , >: ⋀^{p} V^{∗} × ⋀^{p} V → K

definiert.

Der nächste Satz zeigt, daß man für endlich dimensionale V den Raum A^{p}V der p–Formen auf V mit ⋀^{p}(V^{∗}) identifizieren kann. Satz 8.4.2 Wenn V endlich–dimensional ist, bilden ⋀^{p} V^{∗} und ⋀^{p} V vermöge der eben definierten bilinearen Abbildung ein duales Paar.

Sei e_{1}, …, e_{n} eine Basis von V und e_{1}^{∗}, …, e_{n}^{∗} die duale Basis von V^{∗}. Dann sind die Basen (e_{I}) und (e_{I}^{∗}) (siehe 8.3.2) dual zueinander.

Die Algebrastruktur von ⋀(V^{∗}) übertragen wir auf die direkte Summe AV = ⨁_{p≥0} A^{p}V. Satz 8.4.3 Sei V endlich–dimensional, μ eine p–Form und ν eine q–Form auf V. Dann berechnet sich die p + q–Form μ ∧ ν durch

(μ ∧ ν)(v_{1}, …, v_{p+q}) = ∑ ϵ_{I,J} μ(v_{i_{1}}, …, v_{i_{p}}) ν(v_{j_{1}}, …, v_{j_{q}}).

Dabei wird über alle Zerlegungen von {1, …, p+q} in eine Menge I = {i_{1} < … < i_{p}} und eine Menge J = {j_{1} < … < j_{q}} summiert.

Wenn p = 1, d.h. μ ∈ V^{∗}, hat die Formel die einfache Gestalt:

(μ ∧ ν)(v_{1}, …, v_{q+1}) = ∑_{i=1}^{q+1}(−1)^{i−1}μ(v_{i})ν(v_{1}, …, v̂_{i}, …, v_{q+1}).

Dabei bedeutet v̂, daß die Variable v ausgelassen wird.

Sei ν ∈ ⋀^{p} V^{∗}. Dann ist durch μ ↦ μ ∧ ν eine lineare Abbildung ⋀^{q} V^{∗} → ⋀^{p+q} V^{∗} definiert. Die dazu duale Abbildung ⋀^{p+q} V → ⋀^{q} V nennen wir ν , das innere Produkt mit ν. Definition Die bilineare Abbildung : ⋀^{p} V^{∗} × ⋀^{p+q} V → ⋀^{q} V ist definiert durch

< μ, ν x >=< μ ∧ ν, x > .

Spezialfälle

\begin{aligned}p = 0: & α x & = & αx \\ q = 0: & ν x & = & < ν, x > \end{aligned}

Lemma 8.4.4 Sei e_{1}, …, e_{n} eine Basis von V und e_{1}^{∗}, …, e_{n}^{∗} die duale Basis von V^{∗}. Dann ist

e_{J}^{∗} e_{H} = \{ \begin{matrix}0 & , & wenn & J ⊄ H, \\ ϵ_{I,J}e_{I} & , & wenn & I ∪ · J = H. \end{matrix}

Satz 8.4.5 1. (μ ∧ ν) x = μ (ν x)

2. < μ, ν x >= (−1)^{pq} < ν, μ x >

3. Wenn v_{1}, …, v_{p+q} ∈ V, ist

ν (v_{1} ∧ … ∧ v_{p+q}) = ∑ ϵ_{I,J} < ν, v_{j_{1}} ∧ … ∧ v_{j_{q}} > (v_{i_{1}} ∧ … ∧ v_{i_{p}}).

(Hier wird über alle Zerlegungen von {1, …, p + q} in eine Menge I = {i_{1} < … < i_{p}} und eine Menge J = {j_{1} < … < j_{q}} summiert.)

4. Wenn ν ∈ V^{∗}, x ∈ ⋀^{r} V und y ∈ ⋀^{s} V, ist

ν (x ∧ y) = (−1)^{s}(ν x) ∧ y + x ∧ (ν y).

Die Operation wird dual definiert:

Definition Die bilineare Abbildung : ⋀^{p+q} V^{∗} × ⋀^{p} V → ⋀^{q} V^{∗} ist definiert durch

< μ x, y > = < μ, x ∧ y > .

Lemma 8.4.6 Sei p + q = n = dim V, λ ∈ ⋀^{p} V^{∗}, x ∈ ⋀^{q} V, m ∈ ⋀^{n} V und μ ∈ ⋀^{n} V^{∗}. Wenn < μ, m >= 1, ist

λ m = x ⟺ λ = μ x.

8.5 Die äußere Algebra eines euklidischen Raumes

Sei V ein n–dimensionaler euklidischer Vektorraum. Jedes lineare Funktional hat die Form x ↦ (a, x) für ein eindeutig bestimmtes a ∈ V. Wir können auf diese Weise V^{∗} mit V identifizieren. Daraus ergibt sich auf natürliche Weise eine Identifizierung von ⋀^{p} V^{∗} und ⋀^{p} V. Es ist dann für x_{1}, …, x_{p}, y_{1}, …, y_{p} ∈ V

< x_{1} ∧ … ∧ x_{p}, y_{1} ∧ … ∧ y_{p} >= det ( \begin{matrix}(x_{1}, y_{1}) & … & (x_{1}, y_{p}) \\ ⋮ & ⋯ & ⋮ \\ (x_{p}, y_{1}) & … & (x_{p}, y_{p}) \end{matrix} ) .

Lemma 8.5.1 Die ⋀^{p} V mit der Bilinearform < , > sind euklidische Vektorräume.

Lemma 8.5.2 Für alle x ∈ ⋀^{p} und μ ∈ ⋀^{p+q} ist x μ = (−1)^{pq}μ x.

Lemma 8.5.3 Eine n–Form μ ∈ ⋀^{n} V^{∗} = ⋀^{n} V ist genau dann normiert (im Sinn von Seite 38), wenn ∥ μ ∥= 1.

Sei eine normierte n–Form μ festgehalten. Nach 8.3.7 werden ⋀^{p} V und ⋀^{q} V (wobei p + q = n) vermöge x, y ↦ (μ, x ∧ y) zu einem dualen Paar. Es gibt also einen Vektorraumisomorphismus (die Hodge–Abbildung) : ⋀^{p} V → ⋀^{q} V, definiert durch

(μ, x ∧ y) = (\overline{x}, y)

(für alle y ∈ ⋀^{q} V). Anders ausgedrückt:

\overline{x} = μ x.

Satz 8.5.4 1. \overline{μ} = 1

2. Wenn \overline{x} = y, ist x = (−1)^{pq}\overline{y}.

3. respektiert die euklidische Bilinearform: (\overline{x}, \overline{x’}) = (x, x′)

4. Wenn e_{1}, …, e_{n} eine Orthonormalbasis von V ist, für die μ(e_{1} ∧ … ∧ e_{n}) = 1, ist

\overline{e_{I}} = ϵ_{I,J}e_{J},

wenn I ∪ · J = {1, … n}. Sei schließlich V ein dreidimensionaler euklidischer Vektorraum mit einer einer ausgezeichneten

normierten 3–Form μ. (Bis auf Isomorphie ist das der ℝ^{3} mit der Standardbilinearform und der Standarddeterminantenform mit μ(e_{1}, e_{2}, e_{3}) = 1 für die kanonische Basis.) Definition Das Kreuzprodukt × : V × V → V ist definiert durch x × y = \overline{x ∧ y}. Für den ℝ^{3} mit der Standardbilinearform und der Standarddeterminantenform stimmt das jetzt definierte Kreuzprodukt mit dem auf Seite 15 definierten Kreuzprodukt überein. Es folgt, daß × unter der Wirkung aller ϕ ∈ Sl_{3}(ℝ) invariant bleibt, daß also ϕ(x × y) = ϕ(x) × ϕ(y) für alle x, y ∈ ℝ^{3}.

x × y ist eindeutig bestimmt durch die Gültigkeit von

μ(x, y, z) = (x × y, z)

für alle z ∈ V. Die Operationen der äußeren Algebra von V lassen sich durch ( , ) und × ausdrücken. Zum Beispiel ist Lemma 8.5.5 x × y = \overline{x} y. Satz 8.5.6 Für das Kreuzprodukt gelten folgende Rechenregeln:

(1)  a × b = −b × a
(2)  (a × b, c) = μ(a, b, c)
(3)  (a × b) × c = (a, c)b − (b, c)a
(4)  ((a × b), (c × d)) = (a, c)(b, d) − (a, d)(b, c)

Index

≅, 10 ( , )_{B}, 33 −a, 9 A^{∗}, 40 A^{⊤}, 24 AV, 49 A^{p}V, 46 adj(A), 24 adj(ϕ), 48 ∥ a ∥, 6, 37, 41 ∧, 47 a^{z}, 8 a^{−1}, 8 ℂ, 15 codim_{V} (U), 14 δ_{ij}, 7 det(A), 23 det(ϕ), 24 dim(V), 12 E_{i}^{λ}, 18 E_{ij}^{λ}, 18 ϵ_{I,J}, 48 e, 8 e_{I}, 46 End(V), 17 𝔽_{p}, 15 ∧^{p}ϕ, 47 f[X], 9 f ∘ g, 9 f ⊗ g, 43 f ¯ A, 9 f^{∗}, 32 f^{t}, 34 f^{−1}, 9 f_{A}, 7 Gl(V), 17 Gl_{n}(K), 17 grad(p), 26 I, 7 inf(A), 13 id_{X}, 9 ι_{j}, 7 K[x], 26 K^{•}, 18 L(G), 3

L(ℝ^{n}, ℝ^{m}), 6
M_{n}(ℝ), 7
M_{mn}(ℝ), 7
μ^{ϕ}, 22
ν , 50
ν , 49
O_{n}(ℝ), 38
𝔓(X), 14
P_{A}(x), 26
π_{i}, 7
ℝ^{n}, 4–5

Addition, 4

kanonische Basis, 6

Multiplikation mit Skalaren, 4 ℝ^{(I)}, 12 SO_{n}(ℝ), 38 SU_{n}, 41 sup(A), 13 Sym(X), 9 S_{n}, 9 sign, 22 Sl_{n}(K), 24 T(V), 44 Tr(A), 27 U ⨂ V, 43 U^{⊥}, 34 U_{1} ⨁ U_{2}, 13 V_{1} ⨂ … ⨂ V_{n}, 43 U_{n}, 41 ⋀^{p} V, 46 V′_{λ}, 27 V^{∗}, 31 V^{(c)}, 40 ⋀ V, 48 X^{n}, 4 X_{1} × … × X_{n}, 4 x × y, 15, 51 \overline{z}, 39, 50 za, 9

Abbildung bijektive, 9 duale, 32 identische, 9 injektive, 9 Komponente, 6 lineare, siehe lineare Abbildung multilineare, 15 surjektive, 9

adjungierte Matrix, 40 adjungierter Endomorphismus, 34 Adjunkte einer Matrix, 24 Adjunkte eines Endomorphismus, 48 ähnliche Matrizen, 19 Äquivalenzrelation, 14 äußere Algebra, 48 äußere Potenz, 45 Algebra, 15 alternierende Form, 22 Antisymmetrie, 13 Assoziativität, 8 Automorphismus, 17

Basis, 10, 12

duale, 31, 34 Basiswechsel, 18 Bijektion, 9 Bild einer Abbildung, 9 Bilinearform, 6

euklidische, 37 indefinite, 37 negativ (semi)definite, 37 nicht ausgeartete, 35 positiv definite, 37 positiv semidefinite, 37 positiv–definite, 6 reguläre, 35 symmetrische, 6, 35

Blockmatrix, 28

Cauchy-Schwarzsche Ungleichung, 6 Cayley, Satz von, 10 Charakteristik, 22 charakteristisches Polynom, 26 Cramersche Regel, 24

Determinante einer Matrix, 23 eines Endomorphismus, 24

Diagonalisierbarkeit einer symmetrischen Bilinearform, 36 eines Endomorphismus, 25

Diagonalmatrix, 23 Dimension, 12 direkte Summe, 13

einer Familie von Unterräumen, 26 Distributivgesetze, 14 Dreiecksungleichung, 6 duale Abbildung, 32 duale Basis, 31, 34 duales Paar, 33 Dualraum, 31

Ebene, 5

Eigenraum, 25 Eigenvektor, 25 Eigenwert, 25 Einheitsmatrix, 7 Einschränkung einer Funktion, 9 Einselement, 8, 14 Einsetzungshomomorphismus, 26 Elementarmatrizen, 18 Endomorphismus, 17 adjungierter, 34 Adjunkte eines, 48 diagonalisierbarer, 25 nilpotenter, 29 normaler, 41 orthogonaler, 38 regulärer, 17 selbstadjungiert, 35 singulärer, 17 unitärer, 41

Erzeugendensystem, 11, 12 euklidische Bilinearform, 37 euklidische Ebene, 4 euklidischer Raum, 4, 37 Euklidischer Raum, 3–7

Funktor, 32

Gerade, 5

Gleichungssystem homogenes, 3 Normalform, 4 quadratisches, 3 Rang, 4 größtes Element, 13 Grad eines Polynoms, 26 Gramsche Determinante, 38 Gruppe, 8–10

abelsche, 9 kommutative, 9

Halbgruppe, 8 Hauptraum, 27 hermitesche Matrix, 40 hermitesche Sesquilinearform, 40 Hodge–Abbildung, 50 Homomorphismus, 9, 26

Infimum, 13

inneres Produkt, 49, 50 Integritätsbereich, 26 inverses Element, 8 Irreflexivität, 13 Isomorphismus, 10

von Vektorräumen, 10

Jordan Normalform, 30

k–Form, 22 Körper, 14–15

algebraisch abgeschlossener, 28 Kette, 13 Kodimension, 14 kommutatives Diagramm, 11 Komplement, 13 komplexe Zahlen, 15 Komposition von Funktionen, 9 Konjugation, 39 konjugierte Matrizen, 19 konjugierter Vektorraum, 40 kontravariante, 44 kovariante, 44 Kreuzprodukt, 15, 51 Kroneckers Delta, 7

Laplacescher Entwicklungssatz, 24 Liealgebra, 15 lineare Abbildung, 6, 10, 16–19 lineare Abhängigkeit, 5, 12

von zwei Unterräumen, 13 lineare Gleichung, 3–4 lineare Gruppe, 17, 18

spezielle, 24 lineares Gleichungssystem, 3 Linearfaktoren, 26 Linearform, 6 Linksinverses, 8 linksneutrales Element, 8 Lösung

einer Gleichung, 3 eines Gleichungssystems, 3

Lösungsmenge, siehe Lösung eines Gleichungssy-

stems Lösungsmenge

k–parametrig, 4

Matrix, 7 hermitesche, 40 orthogonale, 38, 41 Produkt, 7 quadratische, 7 reguläre, 17 singuläre, 17 symmetrische, 35

maximales Element, 13 Modul, 15

ℤ–, 9 ℝ–, 10 multilineare Abbildung, 15 Multilinearform, 22

Nebenklasse, 13 neutrales Element, 8 Noetherscher Isomorphiesatz, 16 normaler Endomorphismus, 41 Normalform, 20 Nullmatrix, 7 Nullraum, 4 Nullstelle

Vielfachheit, 28 Nullstelle eines Polynoms, 26 Nullvektor, 4

obere Dreiecksmatrix, 25 Operation, 8 Ordnung

lineare, 13 partielle, 12 totale, 13

Orthogonalbasis, 36 orthogonale Endomorphismen, 38 orthogonale Gruppe, 38

spezielle, 38 orthogonale Matrix, 38, 41 orthogonale Vektoren, 36 Orthonormalbasis, 37

p–Vektoren, 46 Parallelität, 5 Partition, 14 Permutation, 9

Fehlstand, 21 gerade, 21 Signatur, 21 ungerade, 21

Polynom, 26 konstantes, 26 normiertes, 26

Polynomring, 26 positiv definite Bilinearform, 37 Potenzmenge, 14 Produkt

direktes, 4 Projektion, 7, 14 Punkt, 4

quadratische Form, 36 Quotientenkörper, 26 Quotientenraum, 14

Rang einer Bilinearform, 33 einer linearen Abbildung, 17 rationaler Funktionenkörper, 26 Reflexivität, 13 reguläre Bilinearform, 35 Richtungsraum, 5 Ring, 14

kommutativer, 14 nullteilerfreier, 26

Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren, 37 Schranke, 13 selbstadjungierter Endomorphismus, 35 semilineare Abbildung, 39 Sesquilinearform, 40

hermitesche, 40 Signatur

einer Abbildung, 22 einer Bilinearform, 37

singulär, 17 Skalar, 4 Skalarprodukt, 6 Spaltenoperation, 19 Spaltenvektor, 7 Spur einer Matrix, 27 Standardsesquilinearform, 41 Standardskalarprodukt, 37 Steinitzscher Austauschsatz, 12 Supremum, 13 Symmetrie, 14 symmetrische Differenz, 21 Symmetrische Gruppe, 9

Tensoralgebra, 44 Tensorprodukt, 42

einer endlichen Familie, 43 Transitivität, 13 Transponierte Matrix, 24 Transposition, 22

Umkehrabbildung, 9 Unabhängigkeit

einer Folge von Unterräumen, 26 unitäre Gruppe, 41

spezielle, 41 unitärer Endomorphismus, 41 unitärer Vektorraum, 40 Untergruppe, 9 Unterraum, 10

ϕ–invarianter, 25 zyklischer, 29

Vektor, 4 Länge, 6, 37, 41 Norm, 6, 37, 41

Vektorraum, 8–15 K–, 15 Axiome, 5 endlich erzeugter, 11 unendlich dimensionaler, 12–13 unitärer, 40

Verband, 13

Vergleichbarkeit, 13 Verjüngung, 44 Verknüpfung von Funktionen, 9 Volumen eines Parallelepipeds, 38

Winkel, 6

Zeilenoperation, 3 Zeilenvektor, 7 Zornsches Lemma, 12 Zyklus, 21