Modelltheorie II^{1}

Martin Ziegler Freiburg, Sommersemester 1996

1Version 13b (15. November 2006)

Inhaltsverzeichnis

Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1 Der Satz von Morley 3 1.1 ω–stabile Theorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Primerweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Vaughtsche Paare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 Streng minimale Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5 Baldwin–Lachlan–Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Morley Rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 Stabile Theorien 28 2.1 Stabile Theorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2 Theorien mit Imaginärenelimination . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3 Eigenschaften des Forking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4 T^{eq} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3 Primerweiterungen 43 3.1 Indiscernibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2 Total transzendente Theorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.3 Abzählbare stabile Theorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.4 Interne Typen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.5 ω_{1}–kategorische Theorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Literaturverzeichnis 65

4 Hinweise zu den Übungen 58 Index 66

Änderungen 68

Vorbemerkung

Diese Vorlesung über Stabilitätstheorie ist die Fortsetzung einer Vorlesung über Modelltheorie, die Bernhard Herwig im Wintersemester 95/96 in Freiburg gehalten hat. Der Vorlesung fehlt ein letztes Kapitel über streng minimale Mengen. Die knappe Zeit hat leider nicht gereicht.

In einer späteren Version wird das Skript mehr Beispiele enthalten. Insbesondere eine Diskussion von Begriffen der algebraischen Geometrie und von differentiell abgeschlossenen Körpern.

Kapitel 1

Der Satz von Morley

Wir halten in diesem Abschnitt eine abzählbare Sprache L und eine vollständige L–Theorie T fest, die nur unendliche Modelle hat.

Aus dem Satz von Löwenheim–Skolem folgt:

Bemerkung 1.0.1 T hat Modelle jeder unendlichen Mächtigkeit κ.

T heißt κ–kategorisch, wenn T (bis auf Isomorphie) nur ein Modell der Mächtigkeit κ hat. Ein Modell M heißt κ–kategorisch, wenn seine vollständige Theorie Th(M) κ–kategorisch ist.

Wir beweisen in diesem Kapitel

Satz 1.0.2 (Morley [6]) T ist entweder in allen oder in keiner überabzählbaren Kardinalzahl kategorisch.

1.1 ω–stabile Theorien

T heißt ω–stabil, wenn es über jeder abzählbaren Parametermenge nur abzählbar viele 1–Typen gibt. Wir wollen zeigen, daß Theorien, die in einer überabzählbaren Kardinalzahl kategorisch sind, ω–stabil sind.

Definition 1.1.1 Sei I eine lineare Ordnung und M eine L–Struktur. Eine Folge (a_{i})_{i∈I} von paarweise verschiedenen Elementen von M ist eine Folge von Orderindiscernibles, wenn für je zwei aufsteigende Folgen i_{1} < … < i_{k}, j_{1} < … < j_{k} von Indices und alle L–Formeln ϕ

M ⊧ ϕ(a_{i_{1}}, … a_{i_{k}}) ↔ ϕ(a_{j_{1}}, … a_{j_{k}})

Lemma 1.1.1 T hat für alle I Orderindiscernibles vom Ordnungstyp I.

Beweis: Wir erweitern L um neue Konstanten c_{i} (i ∈ I). Mit \overline{c} und \overline{d} notieren wir Tupel c_{i_{1}}, … c_{i_{k}} mit echt aufsteigenden Indizes. Wir müssen zeigen, daß die Aussagenmenge

T ∪ \{ϕ(\overline{c}) ↔ ϕ(\overline{d}) | \overline{c}, \overline{d} ∈ I, ϕ L–Formel\} ∪ \{c_{i} ≠ c_{j} | i ≠ j\}

endlich erfüllbar ist. Dazu können wir annehmen, daß I die Ordnung der natürlichen Zahlen ist und die Stelligkeit der Tupel \overline{c}, \overline{d} die feste Zahl k. Sei Δ eine endliche Menge von L–Formeln ϕ(x_{1}, …, x_{k}) und a_{0}, a_{1}, … paarweise verschiedene Elemente eines T –Modells M. Die Äquivalenzrelation

{i_{1} < … < i_{k}} ∼ {j_{1} < … < j_{k}} ⟺
M ⊧ ϕ(a_{i_{1}}, …, a_{i_{k}}) ↔ ϕ(a_{j_{1}}, …, a_{j_{k}}) für alle ϕ ∈ Δ

teilt die Menge alle k–elementigen Teilmengen von ω in höchstens 2^{|Δ|} Klassen ein. Nach dem Satz von Ramsey gibt es eine unendliche homogene Teilmenge J von ω, für die also

{i_{1}, …, i_{k}} ∼ {j_{1}, …, j_{k}}

für alle i_{1} < … < i_{k}, j_{1} < … < j_{k} ∈ J. (M, a_{i})_{i∈J} ist jetzt ein Modell von

T ∪ \{ϕ(\overline{c}) ↔ ϕ(\overline{d}) | \overline{c}, \overline{d} ∈ I, ϕ ∈ Δ\} ∪ \{c_{i} ≠ c_{j} | i ≠ j\}

□

\underline{Übung} 1.1.1 I und J seien zwei unendliche lineare Ordnungen, (a_{i})_{∈I} eine Folge von Elementen des Modells M. Dann gibt es ein Modell N mit einer Folge (b_{j})_{i∈J} von Indiscernibles mit folgender Eigenschaft: Wenn für eine Formel ϕ(x) und ein aufsteigend indiziertes Tupel \overline{b}

N ⊧ ϕ(b̄),

dann gibt es ein aufsteigend indiziertes Tupel ā mit M ⊧ ϕ(ā).

Lemma 1.1.2 T hat für alle κ ein Modell, in dem über jeder abzählbaren Parametermenge nur abzählbar viele Typen realisiert sind.

Beweis: Sei T^{Sk} die Skolemisierung von T.

T^{Sk} ist eine L^{Sk}–Theorie mit folgenden Eigenschaften:

1. T ⊂ T^{Sk}

2. Jedes Modell von T läßt sich zu einem Modell von T^{Sk} expandieren.

3. L^{Sk} ist abzählbar.

4. T^{Sk} ist universell und hat Quantorenelimination.

Man erhält T^{Sk} aus T, indem man für jede quantorenfreie L–Formel ϕ(x_{0}, …, x_{n}) ein n–stelliges Funktionszeichen f_{ϕ} einführt und das Skolemaxiom

∀x_{1} … x_{n}(∃x_{0}ϕ(x_{0}, …, x_{n}) → ϕ(f_{ϕ}(x_{1}, …, x_{n}), x_{1}, …, x_{n}))

zu T hinzufügt. Diesen Prozess iteriert man abzählbar oft, bis es für jede quantorenfreie Formel ϕ aus L^{Sk} ein Funktionszeichen f_{ϕ} und ein Skolemaxiom gibt.

Sei nun N^{Sk} ein Modell von T^{Sk} mit Ordnungsindiscernibles (a_{α})_{α∈κ}. Die von {a_{α}}_{α∈κ} erzeugte Unterstruktur

M^{Sk} = {t(a_{α_{1}}, …, a_{α_{k}}) | α_{1}, …, α_{k} ∈ κ, t L^{Sk}–Term}

ist eine elementare Unterstruktur der Mächtigkeit κ. Sei A eine abzählbare Teilmenge von M^{Sk}. Wir wollen zeigen, daß in M^{Sk} nur abzählbar viele Typen über A realisiert sind. Wir wählen eine abzählbare Teilmenge J von κ sodaß A im Erzeugnis von

B := {a_{α}}_{α∈J}

liegt. Weil für alle b

tp(b/B) ⊢ tp(b/A),

genügt es zu zeigen, daß über B nur abzählbar viele Typen realisiert sind. Für jeden L^{Sk}–Term t ist der Typ tp(t(a_{α_{1}}, …, a_{α_{k}})/B) bestimmt durch den Typ des k–tupels (a_{α_{1}}, …, a_{α_{k}}) über B. Weil aber die a_{α} Ordnungsindiscernibles sind, sind diese Typen bestimmt durch die Lage der Indizes α_{1}, …, α_{k} relativ zu J. Als abzählbare Wohlordnung hat J aber nur abzählbar viele Schnitte. □

Folgerung 1.1.3 Wenn T in einer überabzählbaren Kardinalzahl κ kategorisch ist, ist T ω–stabil.

Beweis: Wenn T nicht ω–stabil ist, gibt es ein Modell M mit einer abzählbaren Parametermenge A, über der ω_{1}–viele Typen realisiert sind. Wir können annehmen, daß M die Mächtigkeit κ hat. Wegen Lemma 1.1.2 ist T nicht κ–kategorisch. □

Definition 1.1.2 Sei λ eine unendliche Kardinalzahl. T heißt λ–stabil, wenn es in jedem Modell von T über jeder Parametermenge der Mächtigkeit λ höchstens λ viele 1–Typen gibt.

Lemma 1.1.4 Wenn T ω–stabil ist, ist T λ–stabil für jedes λ.

Beweis: Sei M ein Modell von T und A ⊂ M eine Menge der Mächtigkeit λ, über der es mehr als λ viele Typen gibt. Wir nennen eine L(A)–Formel groß, wenn sie zu mehr als λ vielen Typen aus S_{1}(A) gehört. Weil |A| ≤ λ, gehört jede große Formel ϕ zu mehr als λ vielen Typen, die nur große Formeln enthalten. Man schließt, daß ϕ zwei disjunkte große Formeln enthält.

Man kann also einen binären Baum

(ϕ_{s})_{s∈2^{<ω}}

aus großen Formeln konstruieren, für die

1. M ⊧ ϕ_{si} → ϕ_{s} (i < 2)

2. M ⊧ ¬(ϕ_{s0} ∧ ϕ_{s1}).

Sei B eine abzählbare Teilmenge von A, die alle Parameter der ϕ_{s} enthält. Für jeden Pfad σ ∈ 2^{ω} sei p_{σ} ein Typ über B, der alle ϕ_{s} mit s ⊂ σ enthält. Die 2^{ω} vielen p_{σ} sind paarweise verschieden. □

Lemma 1.1.5 Sei κ überabzählbar. Wenn T κ–stabil ist, hat T für jedes μ < κ ein Modell der Mächtigkeit κ, das μ^{+}–saturiert ist.

Beweis: Konstruiere eine stetige elementare Kette (M_{α})_{α∈μ^{+}} von Modellen der Mächtigkeit κ, sodaß in M_{α+1} jeweils alle Typen über M_{α} realisiert sind. M = ⋃_{α<μ^{+}} M_{α} hat die Mächtigkeit κ und ist μ^{+}–saturiert. □

Folgerung 1.1.6 T ist genau dann κ–kategorisch, wenn alle Modelle der Mächtigkeit κ saturiert sind.

Beweis: Die Behauptung gilt auch für κ = ω. Wir nehmen aber zuerst an, daß κ überabzählbar ist. Wenn alle Modelle der Mächtigkeit κ saturiert sind, ist T natürlich κ–kategorisch. Wenn T κ–kategorisch ist, müssen wir zeigen, daß T ein saturiertes Modell der Mächtigkeit κ hat. Wegen Lemma 1.1.3 und 1.1.4 ist T aber κ–stabil. Das Modell der Mächtigkeit κ ist daher μ^{+}–saturiert für alle μ < κ und damit saturiert.

Wenn T ω–kategorisch ist, gibt es nur endlich viele Typen über jeder endlichen Parametermenge. Damit läßt sich ein abzählbares saturiertes Modell konstruieren. □

1.2 Primerweiterungen

Eine Struktur M heißt Primerweiterung der Teilmenge A, wenn sich jede elementare Abbildung A ⟶ N zu einer elementaren Einbettung M ⟶^{≺} N fortsetzen läßt.

Satz 1.2.1 Für eine (abzählbare) Theorie sind äquivalent:

a) Jede Parametermenge hat eine Primerweiterung. (Man sagt: T hat Primerweiterungen.)

b) Über jeder Parametermenge A sind die isolierten Typen dicht im Typenraum S_{1}(A).

Beweis: b ⇒ a: Sei A eine Teilmenge des Modells M. Wir wählen eine Folge (b_{α})_{α∈μ} von Elementen von M, sodaß (mit der Bezeichnung B_{α} = {b_{β} | β < α})

1. alle tp(b_{α}/AB_{α}) isoliert sind,

2. kein Element von M \ B_{μ} atomar über AB_{μ} ist.

Aus der Maximalität folgt, daß A ⊂ B_{μ}. Wegen b) wird jede konsistente L(AB_{μ})–Formel von einem Element in M realisiert, das atomar über AB_{μ} ist und wegen 2. in B_{μ} liegt. M_{0} = B_{μ} ist also eine elementare Unterstruktur von M.

Die Eigenschaft 1. hat zur Folge, daß M_{0} Primerweiterung von A ist: Jede elementare Abbildung f : A ⟶ N läßt sich durch sukzessives Realisieren der isolierten Typen g(tp(b_{α})/AB_{α}) zu einer elementaren Einbettung g : M_{0} ⟶ N fortsetzen.

a ⇒ b: Nehmen wir an, daß über A die isolierten Typen nicht dicht sind. Es gibt also eine konsistente L(A)–Formel ϕ_{0}(x), unter der es für jede konsistente L(A)–Formel ϕ(x) eine L(A)–Formel ϕ′(x) gibt, für die ϕ ∧ ϕ′ und ϕ ∧ ¬ϕ′ beide konsistent sind. Sei A_{0} eine abzählbare Teilmenge von A, in der die Parameter von ϕ_{0}(x) liegen, und so, daß die Klasse der L(A_{0})–Formeln unterhalb von ϕ_{0}(x) unter der Operation ϕ ↦ ϕ′ abgeschlossen ist^{1}. In der abzählbaren Theorie T_{A_{0}} := Th(M, a)_{a∈A_{0}} liegen die isolierten Typen nicht dicht. T_{A} hat daher kein Primmodel, was bedeutet, daß A_{0} keine Primerweiterung hat. □

Eine Primerweiterung der Gestalt B_{μ} nennt man konstruktibel. Der Beweis zeigt, daß, wenn die Voraussetzungen des Satzes erfüllt sind, jede Parametermenge eine konstruktible Erweiterung hat.

1Sei (M_{0}, A_{0}) eine abzählbare elementare Unterstruktur von (M, A), für die A_{0} die Parameter von ϕ_{0} enthält. Dann hat A_{0} die gewünschten Eigenschaften.

Folgerung 1.2.2 Wenn T ω–stabil ist, hat jede Menge von Parametern A eine Primerweiterung, die atomar über A ist.

Beweis: Wenn die L(A)–Formel ϕ nicht zu einem isolierten Typ gehört, kann man wie im Beweis von 1.1.4 unterhalb von ϕ einen binären Baum von Formeln bauen. Es genügt also zu zeigen, daß konstruktible Erweiterungen atomar über A sind. Nehmen wir an, daß alle b_{α} atomar über AB_{α} sind, wobei B_{α} = {b_{β} | β < α}. Wir zeigen durch Induktion über α, daß für alle \overline{b} ∈ B_{α} das Tupel b_{α}\overline{b} atomar über A ist: Wir erweitern \overline{b} zu einem Tupel \overline{c} ∈ B_{α}, sodaß b_{α} atomar über A\overline{c} ist. Nach Induktionsvoraussetzung ist \overline{c} atomar über A. Also ist b_{α}\overline{c} und damit auch das Teiltupel b_{α}\overline{b} atomar über A. □

Satz 1.2.3 Wenn T ω–stabil ist, hat jedes überabzählbare Modell M eine echte elementare Erweiterung N, in der über keiner abzählbaren Teilmenge von M neue Typen realisiert werden.

Beweis: Weil man sonst einen binären Baum von Formeln konstruieren könnte, gibt es eine L(M)–Formel ϕ_{0}(x), die in M von überabzählbar vielen Elementen erfüllt wird und die minimal mit dieser Eigenschaft ist: Für alle L(M)–Formeln ψ(x) ist (ϕ_{0} ∧ ψ)(M) oder (ϕ_{0} ∧ ¬ψ)(M) abzählbar.

Die Formelmenge

p(x) = {ψ(x) | (ϕ_{0} ∧ ψ)(M) überabzählbar}

ist ein Typ über M, der in M nicht realisiert wird. Weil jede Formel aus p von allen, bis auf eine abzählbare Ausnahmemenge, Elementen von ϕ(M) erfüllt wird, wird jede abzählbare Teilmenge von p in M realisiert.

Sei b eine Realisierung von p und N eine atomare Primerweiterung von M ∪ {b}. Betrachte ein beliebiges Element c ∈ N. Fixiere eine Formel χ(b, y), die den Typ tp(c/M ∪ {b}) isoliert. Dann ist für jede L(M)–Formel ϕ(y)

ϕ(y) ∈ tp(c/M) ⟺ ϕ′(x) ∈ p,

wobei ϕ′(x) = ∀y χ(x, y) → ϕ(y). Wenn nun A eine abzählbare Teilmenge von M ist, gibt es ein b′ ∈ M, das

{∃yχ(x, y)} ∪ {ϕ′(x) | ϕ(y) ∈ tp(c/A)}

realisiert. Wähle c′ ∈ M mit M ⊧ χ(b′, c′). Dann realisiert c′ den Typ tp(c/A). □

Folgerung 1.2.4 Wenn T in einer überabzählbaren Kardinalzahl kategorisch ist, ist T auch in ω_{1} kategorisch.

Beweis: Wenn T nicht ω_{1}–kategorisch ist, gibt es ein Modell M der Mächtigkeit ω_{1}, das nicht saturiert ist. Mit Hilfe von 1.2.3 konstruiert man aus M Modelle jeder überabzählbaren Mächtigkeit κ, die nicht ω_{1}–saturiert sind. Aus 1.1.6 folgt, daß T in keinem κ kategorisch ist. □

Ein Modell M heißt minimale Erweiterung der Teilmenge A, wenn M keine echte elementare Unterstruktur hat, die A enthält.

Lemma 1.2.5 Wenn T Primerweiterungen hat, sind minimale Erweiterungen prim und, als Primerweiterungen, eindeutig bestimmt.

Beweis: Klar. □

1.3 Vaughtsche Paare

Sei M ≺ N eine echte elementare Erweiterung und ϕ(x) eine L(M)–Formel und ϕ(M) unendlich. Im Allgemeinen wird ϕ(M) eine echte Teilmenge von ϕ(N) sein. Wenn ϕ(M) = ϕ(N) nennt man M ≺ N ein Vaughtsches Paar für ϕ(x).

Eine Umformulierung ist

Bemerkung 1.3.1 Sei ϕ(x) eine Formel ohne Parameter, die eine unendliche Teilmenge definiert. Dann hat T genau dann kein Vaughtsches Paar für ϕ(x), wenn jedes Modell M minimale Erweiterung von ϕ(M) ist.

Satz 1.3.2 Wenn T ein Vaughtsches Paar für ϕ(x) hat, hat T ein Modell M der Mächtigkeit ω_{1}, über dem ϕ(x) definiert ist und ϕ(M) abzählbar ist.

Beweis: Wir können annehmen, daß ϕ keine Parameter enthält; sonst nehmen wir Konstanten für die Parameter in die Sprache auf. Sei M_{0} ≺ N_{0} ein Vaughtsches Paar für ϕ(x). Wir zeigen zuerst, daß wir annehmen können, daß M_{0} und N_{0} abzählbar und ω–homogen und isomorph sind.

Dazu betrachten wir die Struktur

𝔑_{0} = (N_{0}, M_{0}),

in der M_{0} die Ausdehnung eines unären Prädikats ist. Sei 𝔑_{1} = (N_{1}, M_{1}) speziell und elementar äquivalent zu 𝔑_{0}. Dann ist M_{1} ≺ N_{1} ein Vaughtsches Paar für ϕ(x) und zusätzlich sind M_{1} und N_{1} isomorph. Sei f_{1} : N_{1} → M_{1} ein Isomorphismus. Die Bemerkung nach dem nächsten Lemma liefert uns eine abzählbare, ω–homogene Struktur

(N_{2}, M_{2}, f_{2}) ≡ (N_{1}, M_{1}, f_{1}).

Wir erhalten so ein Vaughtsches Paar M_{2} ≺ N_{2} für ϕ(x), für das M_{2} und N_{2} abzählbar, ω–homogen und isomorph sind.

Wir konstruieren jetzt eine stetige elementare Kette (M_{α})_{α∈ω_{1}}, sodaß für alle α

(M_{α+1}, M_{α}) ≅ (N_{0}, M_{0}).

Diese Konstruktion überlebt die Limesschritte, weil die Vereinigung von abzählbar vielen Modellen, die isomorph zu M_{0} sind, wieder ω–homogen ist und die gleichen n–Typen wie M_{0} realisiert. Eine solche Vereinigung ist also nach dem nächsten Lemma wieder isomorph zu M_{0}. M_{ω_{1}}, die Vereinigung der M_{α}, ist das gewünschte Modell, weil ϕ(M_{ω_{1}}) = ϕ(M_{0}) abzählbar ist. □

{Lemma 1.3.3 \atop 1.} T hat ein abzählbares ω–homogenes Modell.

2. Zwei abzählbare ω–homogene Modelle sind genau dann isomorph, wenn sie für alle n die gleichen Typen aus S_{n}(∅) realisieren.

Beweis:

1. Man findet das gesuchte Modell als Vereinigung einer elementaren Kette M_{0} ≺ M_{1} ≺ … von abzählbaren Modellen, die für alle i die folgende Eigenschaft haben: Für alle \overline{a}, \overline{b} ∈ M_{i}, die denselben Typ haben und für jeden Typ p(x, \overline{a}), der in M_{i} realisiert ist, ist der Typ p(x, \overline{b}) in M_{i+1} realisiert.

2. M_{0} und M_{1} seien ω–homogen und für alle n seien in M_{0} und M_{1} die gleichen n–Typen realisiert. Wir zeigen, daß man jeden endlichen partiellen Isomorphismus zwischen M_{0} und M_{1} schrittweise fortsetzen kann. Wenn M_{0} und M_{1} abzählbar sind, folgt dann M_{0} ≅ M_{1}. Seien also \overline{a}_{0} und \overline{a}_{1} zwei Tupel aus M_{0} und M_{1}, die den selben Typ haben, und sei ein Element b_{0} aus M_{0} vorgegeben. Nach Voraussetzung ist der Typ tp(\overline{a}_{0}b_{0}) auch in M_{1} realisiert, sagen wir durch \overline{a}′_{1}b′_{1}. Weil M_{1} ω–homogen ist, findet man b_{1} ∈ M_{1}, sodaß tp(\overline{a}′_{1}b′_{1}) = tp(\overline{a}_{1}b_{1}). Es folgt tp(\overline{a}_{0}b_{0}) = tp(\overline{a}_{1}b_{1}). □

Der Beweis von 1. liefert auch das folgende: Sei L_{0} eine Teilsprache von L. Dann hat T ein abzählbares Modell M, für das M ↾ L_{0} ω–homogen ist.

Folgerung 1.3.4 Wenn T ω_{1}–kategorisch ist, hat T kein Vaughtsches Paar.

Beweis: Ein Modell der Mächtigkeit ω_{1}, mit einer abzählbar unendlichen definierbaren Teilmenge, kann nicht saturiert sein. Verwende jetzt 1.1.6. □

Folgerung 1.3.5 Sei T ω_{1}–kategorisch, M ein Modell und ϕ(M) eine über A ⊂ M definierbare unendliche Teilmenge. Dann ist M –eindeutig bestimmte– Primerweiterung von A ∪ ϕ(M).

1.4 Streng minimale Mengen

Definition 1.4.1 A sei eine Teilmenge und a ein Element des Modells M. a heißt algebraisch über A, wenn a zu einer endlichen ("algebraischen") A–definierbaren Menge ϕ(M) gehört.

Der algebraische Abschluß von A in M, ist die Menge

acl^{M}(A)

aller über A algebraischen Elemente von M.

Bemerkung 1.4.1 1. A ⊂ acl^{M}(A)

2. acl^{M}(A) ist die Vereinigung aller acl^{M}(A_{0}), wobei A_{0} alle endlichen Teilmengen von A durchläuft.

3. acl^{M}(acl^{M}(A)) = acl^{M}(A).

Der Typ tp(a/A) eines (über A) algebraischen Elements heißt algebraisch.

{\underline{Übung} 1.4.1 \atop 1.} Algebraische Typen sind isoliert.

2. Sei A ⊂ M und M genügend saturiert. Dann ist p ∈ S_{1}(A) genau dann algebraisch, wenn p(M) endlich ist.

Man nennt die Zahl deg(p) der Realisierungen eines algebraischen Typs p den Grad von p. Der Grad von tp(a/A) ist die Zahl der Konjugierten^{2} von a über A in genügend saturierten Modellen.

Definition 1.4.2 Eine unendliche definierbare Teilmenge ϕ(M) von M heißt minimal, wenn jede definierbare Teilmenge von ϕ(M) endlich oder koendlich in ϕ(M) ist. Eine Formel ϕ(x) heißt streng minimal, wenn in allen Modellen M, die die Parameter von ϕ(x) enthalten, ϕ(M) minimal ist.

\underline{Übung} 1.4.2 Sei M ein Modell und ϕ(x) über M definiert. Dann ist ϕ(x) genau dann streng minimal, wenn ϕ(M) minimal ist, und wenn es für alle L–Formeln ψ(x, \overline{y}) eine Schranke k gibt, sodaß für alle \overline{a} ∈ M, die Menge ϕ(M) ∩ ψ(M, \overline{a}), falls sie endlich ist, höchstens k viele Elemente hat.

Lemma 1.4.2 Wenn T ω–stabil ist, enthält jede unendliche definierbare Teilmenge von M eine minimale Menge ϕ(M). Wenn M ω–saturiert ist, ist ϕ(x) streng minimal.

2Ein Automorphismus von M heißt Automorphismus über A, oder A–Automorphismus, wenn f die Menge A punktweise festhält. Zwei Elemente a und b sind über A konjugiert (in M), wenn es einen A–Automorphismus von M gibt, der a in b überführt.

Beweis: Wenn ϕ_{0}(M) keine minimale Menge enthält, könnte man, mit ϕ_{0}(x) beginnend einen binären Baum von Formeln definieren, die alle unendliche Teilmengen von M definieren. Wenn ϕ(x) nicht streng minimal ist, gibt es L–Formeln ϕ_{1}(x, \overline{y}) und ϕ_{2}(x, \overline{y}) und Parameter \overline{m}_{1} und \overline{m}_{2} in einer elementaren Erweiterung N von M sodaß ϕ_{1}(N, \overline{m}_{1}) und ϕ_{2}(N, \overline{m}_{2}) disjunkt sind, unendlich und in ϕ(N) enthalten. \overline{m}_{1} und \overline{m}_{2} realisieren also den Typ

p(y_{1}, y_{2}) = {∀x ¬(ϕ_{1}(x, y_{1}) ∧ ϕ_{2}(x, y_{2}))}
∪ {∃^{≥n}x ϕ_{1}(x, y_{1}) | n < ω}
∪ {∃^{≥n}x ϕ_{2}(x, y_{2}) | n < ω}
∪ {∀x ϕ_{1}(x, y_{1}) → ϕ(x)}
∪ {∀x ϕ_{2}(x, y_{2}) → ϕ(x)}

p(y_{1}, y_{2}) ist in M nicht realisiert, M kann also nicht ω–saturiert sein, wenn ϕ(x) nicht streng minimal ist. □

Lemma 1.4.3 ϕ(M) ist genau dann minimal, wenn ϕ(x) zu genau einem nicht–algebraischen Typ über M gehört.

Beweis: Die algebraischen Typen über M sind genau die realisierten Typen tp(m/M) (für m ∈ M). ϕ(x) gehört also genau dann zu einem nicht–algebraischen Typen p, wenn die Formelmenge

{ϕ(x)} ∪ {x ≠ m | m ∈ M}

endlich erfüllbar ist, das heißt, wenn ϕ(M) unendlich ist. p ist genau dann eindeutig bestimmt, wenn ϕ(M) nicht zwei disjunkte unendliche definierbare Mengen enthält. □

Ein nicht–algebraischer Typ, der eine streng minimale Formel enthält, heißt streng minimal. Wir haben eben bewiesen, daß jede streng minimale L(A)– Formel zu genau einem streng minimalen Typ über A gehört.

Definition 1.4.3 Ein nicht–algebraischer Typ p ∈ S_{1}(A), der für alle B ⊃ A genau eine nicht algebraische Erweiterung auf S_{1}(B) hat, heißt minimal.

\underline{Beispiel} T sei die Theorie einer Struktur M = (M, P_{1}, P_{2}, …), in der die P_{i} eine echt absteigende Folge von Teilmengen ist. Der Typ p ∈ S_{1}(∅), eines Elements im Durchschnitt der P_{i} ist minimal. Aber nicht streng minimal, wenn alle P_{i+1} kounendlich in P_{i} sind.

Folgerung 1.4.4 Streng minimale Typen sind minimal. □

Definition 1.4.4 A ⊂ B seien Parametermengen. q ∈ S_{1}(B) zerfällt über A, wenn es eine L(A)– Formel ψ(x, \overline{y}) gibt und zwei Tupel \overline{b}, \overline{b}′ ∈ B, die denselben Typ über A haben, sodaß ψ(x, \overline{b}) zu q gehört, nicht aber ψ(x, \overline{b}′).

Lemma 1.4.5 Sei p ∈ S_{1}(A) minimal, B eine Erweiterung von A und q(x) ∈ S_{1}(B) die eindeutig bestimmte nicht–algebraische Fortsetzung von p. Dann zerfällt q nicht über A.

Beweis: Sei B in dem genügend saturierten Modell M enthalten und sei q die nicht– algebraische Fortsetzung von p auf M. Dann überführt jeder A–Automorphismus von M den Typ q in sich. □

Satz 1.4.6 Sei tp(b/A) minimal und tp(b/Aa) nicht–algebraisch. Wenn dann a algebraisch über Ab ist, ist a schon algebraisch über A.

Beweis: Wir zeigen, daß deg(a/Ab) = deg(a/A): Seien a_{0}, …, a_{k} Konjugierte von a über A. Wähle b′, das tp(b/A) realisiert und nicht algebraisch über Aa_{0}, …, a_{k} ist. Dann haben alle a_{i}b′ denselben Typ über A wie ab. Also hat a_{0} über Ab′ und damit auch a über Ab mindestens k + 1–viele Konjugierte. □

Sei ϕ(x) eine streng minimale Formel ohne Parameter. Wir definieren einen Abschlußoperator cl : 𝔓(ϕ(M)) → 𝔓(ϕ(M)) durch

cl(A) = acl^{M}(A) ∩ ϕ(M).

Folgerung 1.4.7 cl ist ein Abschlußoperator im Sinn von van der Waerden (oder ein Matroid): Für alle A ⊂ ϕ(M) und a, b ∈ ϕ(M) gilt

1. A ⊂ cl(A)

2. cl(A) ist die Vereinigung aller cl(A′), wobei A′ alle endlichen Teilmengen von A durchläuft.

3. cl(cl(A)) = cl(A).

4. Austauscheigenschaft.

a ∈ cl(Ab) \ cl(A) ⇒ b ∈ cl(Aa)

Eine Teilmenge U eines Matroids (X, cl) heißt unabhängig, wenn

u ∉ cl(U \ {u})

für alle u ∈ U. E ist ein Erzeugendensystem, wenn

X = cl(E).

Ein unabhängiges Erzeugendensystem ist eine Basis von X. Man zeigt leicht:

Satz 1.4.8 Sei (X, cl) ein Matroid.

1. Wenn U eine unabhängige Teilmenge des Erzeugendensystems E ist, gibt

es eine Basis B mit

U ⊂ B ⊂ E.

2. Alle Basen haben die gleiche Zahl von Elementen, die Dimension

dim(X)

von X.

□

Sei ϕ(x) eine streng–minimale Formel ohne Parameter. Die Dimension des oben definierten Matroids (ϕ(M), cl) nennt man die ϕ–Dimension

dim_{ϕ}(M)

von M.

Wenn ϕ(x) über A_{0} ⊂ M definiert ist, nennt

dim_{ϕ}(M_{A_{0}})

die ϕ–Dimension von M über A_{0}. Wenn klar ist, welche Parametermenge A_{0} gemeint ist, schreibt man auch einfach dim_{ϕ}(M).

Der Abschlußoperator des Matroids ϕ(M_{A_{0}}) ist gegeben durch cl(A) = acl^{M}(A_{0} ∪ A) ∩ ϕ(M).

Satz 1.4.9 Sei ϕ(x) über A_{0} definiert und streng minimal. M und N seien zwei Modelle, die A_{0} enthalten. Dann gibt es genau dann eine A_{0}–elementare Bijektion zwischen ϕ(M) und ϕ(N), wenn M und N die gleiche ϕ–Dimension über A_{0} haben.

Beweis: Eine A_{0}–elementare Bijektion zwischen ϕ(M) und ϕ(N) bildet Basen auf Basen ab. Damit ist die eine Richtung der behaupteten Äquivalenz klar.

Wir zeigen zuerst zwei Hilfsbehauptungen:

Sei p ∈ S(A) minimal. Dann haben alle n–Tupel von Realisierungen von p, die über A acl–unabhängig sind, denselben Typ.

Beweis: Seien b_{1} ⋯ b_{n} und c_{1} ⋯ c_{n} zwei solche n-Tupel. Nach Induktionsannahme ist die Abbildung f : Ab_{1} ⋯ b_{n−1} → Ac_{1} ⋯ c_{n−1} elementar. Sei q der Typ von b_{n} über Ab_{1} ⋯ b_{n−1} und r der Typ von c_{n} über Ac_{1} ⋯ c_{n−1}. f(q) und r sind beide nicht–algebraisch und Fortsetzungen von p. Also ist f(q) = r und b_{1} ⋯ b_{n} ↦ c_{1} ⋯ c_{n} ist A–elementar.

Jede elementare Bijektion f : B → C setzt sich zu einer elementaren Bijektion g : acl(B) → acl(C) fort.

Beweis: Sei g eine beliebige elementare Fortsetzung von g auf acl(B). Die Element von g(acl(B)) sind algebraisch über g(B) = C. Also ist g(acl(B)) ⊂ acl(C). Wenn man die Seiten vertauscht, sieht man, daß g(acl(B)) = acl(C).

Wenn nun ϕ(M) und ϕ(N) die gleiche Dimension über A_{0} haben, gibt es zwei Basen U und V von ϕ(M) bzw. ϕ(N). Sei f : U → V ein Bijektion. Aus der ersten Hilfsbehauptung folgt, daß f A_{0}–elementar ist. Wegen der zweiten Hilfsbehauptung setzt sich f fort zu einer elementaren Bijektion g : acl(AU) → acl(AV). g bildet ϕ(M) A_{0}–elementar auf ϕ(N) ab. □

1.5 Baldwin–Lachlan–Theorie

Wir haben in 1.2.4 gezeigt, daß T ω_{1}–kategorisch ist, wenn T in einer überabzählbaren Kardinalzahl kategorisch ist. Die Umkehrung und damit Morleys Satz folgt aus

Satz 1.5.1 (Baldwin–Lachlan) Sei κ eine überabzählbare Kardinalzahl, dann ist T genau dann κ–kategorisch, wenn T ω–stabil ist und keine Vaughtschen Paare hat.

Beweis: Die eine Richtung des Satzes folgt aus 1.1.3 und 1.3.4.

Für die Umkehrung verschaffen wir uns zuerst mit 1.4.2 eine streng–minimale Formel ϕ_{0}(x, \overline{a}_{0}). Das nächste Lemma zeigt, daß wir annehmen können, daß das Parametertupel \overline{a}_{0} atomar ist. Mit A_{0} sei die Menge der Elemente von \overline{a}_{0} bezeichnet.

Sei M ein Modell der Mächtigkeit κ. Wir können annehmen, daß \overline{a}_{0} ∈ M. Weil T kein Vaughtsches Paar hat, ist M minimale Erweiterung von A_{0} ∪ ϕ(M, \overline{a}_{0}). ϕ(M, \overline{a}_{0}) hat also auch die Mächtigkeit κ und daher (weil κ überabzählbar ist) auch die Dimension κ. Die Dimension bestimmt aber nach 1.4.9 den elementaren Typ von ϕ(M) über A_{0} und daher, wegen 1.2.5, den Isomorphietyp von M. Also ist der Isomorphietyp von M durch κ eindeutig bestimmt. □

Folgerung 1.5.2 (Morley) κ sei überabzählbar. Dann ist T genau dann ω_{1}–kategorisch, wenn T κ-katego-risch ist.

Wenn wir nur am Beweis des Satzes von Morley interessiert sind, können wir beim Beweis des letzten Satzes annehmen, daß T ω_{1}–kategorisch ist. Weil dann wegen 1.1.6 alle elementaren Unterstrukturen von M der Mächtigkeit ω_{1} saturiert sind, sind alle überabzählbaren M ω_{1}–saturiert und wir können annehmen, daß A_{0} in M enthalten ist. Man kann also auf die Verwendung von 1.5.3 verzichten.

Lemma 1.5.3 Wenn T ω–stabil ist und keine Vaughtschen Paare hat, gibt es eine streng minimale Formel ϕ_{0}(x, \overline{a}_{0}) mit atomarem Parametertupel \overline{a}_{0}.

Beweis: M_{0} sei das Primmodell von T. Nach 1.4.2 enthält M_{0} eine minimale Menge ϕ_{0}(M_{0}). Wir zeigen, daß ϕ_{0}(x) streng minimal ist. Wenn nicht, gibt es nach Übung 1.4.2 ein ψ(x, \overline{y}), für daß es beliebig große endliche Mengen der Form χ(M_{0}, \overline{a}) = ϕ(M_{0}) ∩ ψ(M_{0}, \overline{a}), (\overline{a} ∈ M_{0}) gibt. Es gibt also für jedes k eine echte elementare Erweiterung M_{0} ≺ N und ein \overline{a} ∈ M_{0}, sodaß χ(M_{0}, \overline{a}) = χ(N, \overline{a}) mehr als k Elemente hat. Ein Kompaktheitsargument liefert eine echte elementare Erweiterung M ≺ N, und ein \overline{a} ∈ M, sodaß χ(M, \overline{a}) = χ(N, \overline{a}) unendlich ist: ein Vaughtsches Paar. □

Satz 1.5.4 Sei T ω_{1}–kategorisch, ϕ_{0}(x) eine über A_{0} ⊂ M definierte streng minimale Formel und M ≺ N eine elementare Erweiterung von M. Wir schreiben dim_{ϕ_{0}}(N/M) für die ϕ_{0}–Dimension von N über M.

1. b_{1}, …, b_{n} ∈ ϕ_{0}(N) seien unabhängig über M und N prim über M ∪ {b_{1}, …, b_{n}}. Dann ist

dim_{ϕ_{0}}(N/M) = n.

2.

dim_{ϕ_{0}}(N) = dim_{ϕ_{0}}(M) + dim_{ϕ_{0}}(N/M)

Beweis: Um Schreibarbeit zu sparen, nehmen wir an, daß A_{0} leer ist.

1: Sei c ein beliebiges Element von ϕ_{0}(N). Wir wollen zeigen, daß c algebraisch über M ∪ {b_{1}, …, b_{n}} ist. Nehmen wir das Gegenteil an. Dann ist p(x) = tp(c/M ∪ {b_{1}, …, b_{n}}) streng (und somit auch schwach) minimal und wird axiomatisiert durch

{ϕ_{0}(x)} ∪ {¬ϕ_{i}(x) | i ∈ I},

wobei die ϕ_{i} alle über M ∪{b_{1}, …, b_{n}} definierten algebraischen Formeln durchlaufen. Weil ϕ_{0}(M) unendlich ist, kann daher jede endliche Teilmenge von p(x) von einem Element von M realisiert werden. Daraus folgt, daß p(x) nicht isoliert ist. Alle Elemente der Primerweiterung N sind aber atomar über M ∪ {b_{1}, …, b_{n}}. Widerspruch.

2: Wir zeigen die Behauptung durch Induktion über n = dim_{ϕ_{0}}(N/M) und beginnen mit dem Fall n = 1: Sei B eine Basis von ϕ_{0}(M) und b ∈ ϕ_{0}(N)\M. Wir werden zeigen, daß B ∪{b} ein Erzeugendensystem (und damit eine Basis) von ϕ_{0}(N) ist. Weil alle Elemente von ϕ_{0}(M) algebraisch über B sind und b nicht algebraisch über B ist, ist tp(b/M) die einzige Fortsetzung von tp(b/B) auf M. Es folgt, daß für alle \overline{m} ∈ M

tp(\overline{m}/B) ⊢ tp(\overline{m}/Bb).

Weil M Primerweiterung von ϕ_{0}(M) ist, ist M atomar über B. Also ist M auch atomar über Bb. Sei nun c ∈ ϕ_{0}(N). Dann ist c algebraisch über Mb und damit auch atomar über Bb. Wie im Beweis von 1. folgt daraus, daß c algebraisch über Bb ist. Sei nun n > 1 und b_{1}, …, b_{n} eine Basis von ϕ_{0}(N) über M. Wir wählen eine elementare Substruktur N_{0} von N, die prim über M ∪ {b_{1}, …, b_{n−1}} ist. Dann ist nach 1. dim_{ϕ_{0}}(N_{0}/M) = n − 1 und dim_{ϕ_{0}}(N/N_{0}) = 1. Nach Induktionsvoraussetzung folgt

dim_{ϕ_{0}}(N) = dim_{ϕ_{0}}(N_{0}) + dim_{ϕ_{0}}(N/N_{0})
= dim_{ϕ_{0}}(M) + dim_{ϕ_{0}}(N_{0}/M) + dim_{ϕ_{0}}(N/N_{0})
= dim_{ϕ_{0}}(M) + (n − 1) + 1.

□

Wir fixieren für den Rest dieses Abschnitts eine ω_{1}–kategorische Theorie T.

Folgerung 1.5.5 Die ϕ_{0}–Dimension von N über M hängt nicht von ϕ_{0} ab:

dim(N/M) = dim_{ϕ_{0}}(N/M)

ist die maximale Länge n einer elementaren Kette

M = N_{0} ⪵ N_{1} ⪵ … ⪵ N_{n} = N

zwischen M und N.

Wir fixieren jetzt eine streng minimale Formel ϕ_{0}(x, \overline{a}_{0}), deren Parameter \overline{a}_{0} den isolierten Typ p_{0}(x) hat. Mit dim_{ϕ_{0}(x,\overline{a}_{0})}(M) bezeichnen wir die ϕ(x, \overline{a}_{0})– Dimension von M über \overline{a}_{0}. Um die Bezeichnungen zu vereinfachen, nehmen wir an, daß \overline{a}_{0} kein Tupel ist, sondern ein einzelnes Element a_{0}.

Sei M_{0} das Primmodell von T. Weil M_{0} ω–homogen ist, hängt die Dimension

m_{0} = dim_{ϕ_{0}(x,a′_{0})}(M_{0})

nicht von der Wahl der Realisierung a′_{0} von p_{0} ab.

Bemerkung 1.5.6 T ist genau dann ω_{0}–kategorisch, wenn m_{0} = ω_{0}.

Wir nehmen für das Folgende an, daß m_{0} endlich ist.

Lemma 1.5.7 Wenn M prim über einer endlichen Menge ist, ist dim_{ϕ_{0}(x,a_{0})}(M) endlich.

Beweis: Sei M prim über der endlichen Menge C. Wir können annehmen, daß

a_{0} ∈ M_{0} ≺ M.

Sei B eine Basis von ϕ_{0}(M, a_{0}) über M_{0}. Weil M minimale Primerweiterung von M_{0} ∪ B ist, ist C atomar über M_{0} ∪ B. Es folgt, daß es ein endliche Teilmenge B_{0} von B gibt, sodaß C in einer Primerweiterung N von M_{0} ∪ B_{0} enthalten ist. Es genügt zu zeigen, daß dim_{ϕ_{0}(x,a_{0})}(N) endlich ist. (Denn M ist prim über Ca_{0}). Nach 1.5.4 ist aber

dim_{ϕ_{0}(x,a_{0})}(N) = m_{0} + |B_{0}| .
□

Definition 1.5.1 Sei N prim über einer endlichen Menge. a_{1} und a_{2} seien zwei Realisierungen von p_{0} in N. Setze

diff(a_{1}, a_{2}) = dim_{ϕ_{0}(x,a_{1})}(N) − dim_{ϕ_{0}(x,a_{2})}(N).

Wir werden in 1.5.10 zeigen, daß immer diff(a_{1}, a_{2}) = 0.

Bemerkung 1.5.8 diff(a_{1}, a_{2}) hängt nur von tp(a_{1}a_{2}) ab.

Beweis: Sei M ≺ N prim über a_{1}a_{2}. Dann ist für i = 1, 2

dim_{ϕ_{0}(x,a_{i})}(N) = dim_{ϕ_{0}(x,a_{i})}(M) + dim(N/M).

Daraus folgt diff(a_{1}, a_{2}) = dim_{ϕ_{0}(x,a_{1})}(M) − dim_{ϕ_{0}(x,a_{2})}(M). □

Folgerung 1.5.9

diff(a_{1}, a_{3}) = diff(a_{1}, a_{2}) + diff(a_{2}, a_{3})
□

{Satz 1.5.10 \atop 1.} dim_{ϕ_{0}(x,a_{0})}(M) hängt nicht von der Wahl der Realisierung a_{0} von p_{0} in M ab.

2. Für alle m ≥ m_{0} gibt es (genau) ein M mit dim_{ϕ_{0}(x,a_{0})}(M) = m.

Beweis: 2: Wenn m = m_{0} + k, wähle M prim über M_{0} ∪ {b_{1}, …, b_{k}}, wobei die b_{i} ∈ ϕ(N) unabhängig über M_{0}.

1: Wir beginnen mit zwei beliebigen Realisierungen a_{1} und a_{2} von p_{0}. Wir wählen eine unendliche Folge a_{1}, a_{2}, … mit

tp(a_{i}, a_{i+1}) = tp(a_{1}, a_{2})

für alle i. Sei q_{0} eine nicht–forkende Fortsetzung von p_{0} auf {a_{1}, a_{2}, …} (1.6.9) und b eine Realisierung von q_{0}. Dann gibt es unter den Typen

tp(a_{i}/b)

nur endlich viele verschiedene. (Nämlich höchstens MD(p_{0}) viele.). Seien also i < j zwei Indices, für die tp(a_{i}/b) = tp(a_{j}/b). Dann ist diff(a_{i}, b) = −diff(b, a_{j}) und es folgt

(j − i)diff(a_{1}, a_{2}) = diff(a_{i}, a_{j}) = diff(a_{i}, b) + diff(b, a_{j}) = 0,

woraus diff(a_{1}, a_{2}) = 0 folgt. □

\underline{Übung} 1.5.1 Alle Modelle einer ω_{1}–kategorischen Theorie sind ω-homogen. 22

1.6 Morley Rang

In diesem Abschnitt sei T eine vollständige Theorie. Die Sprache darf überabzählbar sein. Wir arbeiten im Monstermodell ℂ von T. ℂ ist keine Menge sondern eine Klasse und realisiert alle Typen über beliebigen Teilmengen. Man kann ℂ, wenn man mengentheoretisch naiv^{3} vorgeht, konstruieren wie ein großes saturiertes Modell. ℂ ist eindeutig bestimmt, und es gilt Jede elementare Bijektion zwischen zwei Teilmengen von ℂ setzt sich zu einem Automorphismus von ℂ fort.

Wir definieren den Morleyrang MR für Formeln ϕ(x) mit Parametern im Monstermodell. MR(ϕ) ist −1, eine Ordinalzahl α, oder ∞. −1 ist kleiner und ∞ größer als alle Ordinalzahlen.

Definition 1.6.1

MR(ϕ) = −1 gdw. ϕ inkonsistent ist.
MR(ϕ) = 0 gdw. ϕ algebraisch ist.

MR(ϕ) = α gdw.

a) MR(ϕ) ≠ β für alle β < α

b) Es keine unendliche Familie (ϕ_{i}) von Formeln gibt, die ϕ implizieren, paarweise inkonsistent sind und für die MR(ϕ_{i}) ≠ β für alle β < α.

MR(ϕ) = ∞ gdw. MR(ϕ) weder −1 noch eine Ordinalzahl ist.

Von einer Formel vom Rang ∞ sagen wir, sie hätten keinen Morleyrang.

Bemerkung 1.6.1 Für alle α ist MR(ϕ) ≥ (α + 1) genau dann, wenn es eine unendliche Familie (ϕ_{i}) von Formeln gibt, die ϕ implizieren, paarweise inkonsistent sind und für die MR(ϕ_{i}) ≥ α.

Der Morleyrang einer Formel ϕ(x, \overline{a}) hängt nur von ϕ(x, \overline{y}) und dem Typ von \overline{a} ab. Es folgt, daß alle Morleyränge α < ∞ kleiner als (2^{|T |})^{+} sind.

Lemma 1.6.2

MR(ϕ ∨ ψ) = max(MR(ϕ), MR(ψ))

Beweis: Aus 1.6.1 folgt, daß MR(ϕ ∨ ψ) ≥ max(MR(ϕ), MR(ψ)). Für die andere Ungleichung zeigen wir durch Induktion über α, daß

MR(ϕ ∨ ψ) ≥ (α + 1) ⟹ max(MR(ϕ), MR(ψ)) ≥ (α + 1).

3In Wahrheit ist die Konstruktion sehr fragwürdig. Man sollte sich davon überzeugen, daß sich ℂ in allen Beweisen eliminieren läßt.

Sei also MR(ϕ ∨ ψ) ≥ (α + 1). Dann gibt es eine unendliche Familie (ϕ_{i}) von Formeln, die ϕ∨ψ implizieren, paarweise inkonsistent sind und für die MR(ϕ_{i}) ≥ α. Die Induktionsvoraussetzung impliziert, daß für alle i MR(ϕ_{i} ∧ ϕ) ≥ α oder MR(ϕ_{i} ∧ ψ) ≥ α. Wenn zum Beispiel der erste Fall für unendlich viele i eintritt, folgt MR(ϕ) ≥ (α + 1). □

Aus dem Lemma folgt, daß die Formeln, die einen kleineren Rang als α haben ein Ideal bilden. Wir nennen ϕ und ψ α–äquivalent,

ϕ ∼_{α} ψ,

wenn die symmetrische Differenz ϕ △ ψ einen kleineren Rang als α hat. Es ist jetzt klar, daß α–Äquivalenz eine Äquivalenzrelation ist.

Wir nennen eine Formel ϕ vom Rang α α–streng minimal, wenn jede Formel ψ, die ϕ impliziert entweder selbst einen kleineren Rang als α hat oder wenn das Komplement ϕ ∧ ¬ψ kleineren Rang als α hat. Anders ausgedrückt: Wenn ψ α–äquivalent zu ∅ oder zu ϕ ist. ϕ ist genau dann 0–streng minimal, wenn ϕ von einem einzigen Element realisiert wird und 1-streng minimal, wenn ϕ streng minimal ist.

Lemma 1.6.3 Jede Formel ϕ vom Rang α ist Disjunktion einer Familie von paarweise disjunkten α–streng minimale Formeln ϕ_{1}, …, ϕ_{n}. Die ϕ_{n}, die Komponenten von ϕ, sind bis auf α–Äquivalenz eindeutig bestimmt.

Beweis: Formeln vom Rang α, die eine solche Zerlegung nicht zulassen, lassen sich immer zerlegen in eine Formel vom Rang α und eine Formel ohne Zerlegung. Wenn ϕ die gewünschte Zerlegung nicht gestattet, gibt es also Formeln ϕ = ϕ_{0}, ϕ_{1} … und ψ_{1}, … vom Rang α, sodaß jeweils ϕ_{i} disjunkte Vereinigung von ϕ_{i+1} und ψ_{i+1} ist. Daraus würde aber folgen, daß ϕ größeren Rang als α hat.

Sei ψ eine α–streng minimale Formel, die ϕ impliziert. ψ zerlegt sich in die Formeln ψ ∧ ϕ_{i}, von denen eine, sagen wir ψ ∧ ϕ_{i_{0}}, α–äquivalent zu ψ sein muß. Dann sind aber ψ und ϕ_{i_{0}} α–äquivalent. Daraus folgt die Eindeutigkeit: Die Komponenten von ϕ sind genau die α-streng minimalen Formeln, die ϕ implizieren. □

Definition 1.6.2 Der Morleygrad MD(ϕ) einer Formel vom Rang α ist die Zahl ihrer α-streng minimalen Komponenten.

Der Morleygrad von Formeln von Rang −1 oder ∞ ist nicht definiert.

Der Morleygrad einer algebraischen Formel ist die Zahl ihrer Elemente. Streng minimale Formeln sind Formeln vom Morleyrang und Morleygrad 1.

Definiert man MD_{α}(ϕ) als den Morleygrad für Formeln ϕ von Rang α, als 0 für Formeln von kleinerem und als ∞ für ϕ von größerem Rang, erhält man Lemma 1.6.4 Wenn ϕ disjunkte Vereinigung von ψ_{1} und ψ_{2} ist, gilt

MD_{α}(ϕ) = MD_{α}(ψ_{1}) + MD_{α}(ψ_{2}).
□

Satz 1.6.5 Es sind äquivalent

a) Es gibt keinen binären Baum von konsistenten Formeln wie im Beweis von Satz 1.1.4.

b) Jede Formel hat einen Morleyrang.

Beweis: a⇒b: Jede Formel ohne Morleyrang zerlegt sich in zwei Formeln ohne Morley Rang. b⇒a: Sei (ϕ_{s})_{s∈2^{<ω}} ein binärer Baum. Wir wählen eine Formel ϕ_{s} mit minimalem Rang α und (unter den Formeln mit Rang α) mit minimalem Grad. Dann haben ϕ_{s0} und ϕ_{s1} beide Rang α und daher kleineren Grad als ϕ. Widerspruch. □

Wenn die Bedingungen des letzten Satzes zutreffen, nennt man T total transzendent.

Folgerung 1.6.6 Wenn T abzählbar ist, ist T genau dann total transzendent, wenn T ω–stabil ist.

Beweis: Siehe Beweis von 1.1.4. □

Definition 1.6.3 Der Morleyrang MR(p) eines Typs p ist der kleinste Rang einer Formel aus p. Wenn MR(p) eine Ordinalzahl α ist, ist der Morleygrad MD(p) von p der kleinste Grad einer Formel aus p vom Rang α.

Algebraische Typen sind Typen vom Morleyrang 0. Für sie gilt

MD(p) = deg(p).

Streng minimale Typen sind Typen vom Morleyrang und Morleygrad 1;

Sei α der Rang von p ∈ S(A) und d der Morleygrad. Dann gibt es ein ϕ ∈ p vom Rang α und Grad d. ϕ ist dadurch bis α–Äquivalenz eindeutig bestimmt. Für alle ψ ∈ p ist nämlich MR(ϕ ∧ ¬ψ) < α. Umgekehrt gehören alle solche ψ zu p. Das zeigt, daß p durch ϕ eindeutig bestimmt ist:

(1.1) p = {ψ(x) | ψ L(A)–Formel, MR(ϕ ∧ ¬ψ) < α} . α–äquivalente Formeln bestimmen den gleichen Typ.

Eine L(A)–Formel ϕ gehört auf diese Weise genau dann zu einem Typ von Rang α, wenn ϕ α–minimal über A ist. Das heißt, daß ϕ Rang α hat und sich nicht in zwei L(A)–Formeln von Rang α zerlegen läßt.

Lemma 1.6.7 Sei ϕ eine konsistente L(A)–Formel.

1.

MR(ϕ) = max{MR(p) | ϕ ∈ p ∈ S(A)}

2. Sei MR(ϕ) = α. Dann ist

MD(ϕ) = ∑(MD(p) | ϕ ∈ p ∈ S(A), MR(p) = α).

Beweis: 1: Wenn MR(ϕ) = ∞, ist {ϕ} ∪ {¬ψ | ψ L(A)–Formel, MR(ψ) < ∞} konsistent. Ein Typ über A, der diese Formelmenge enthält, hat den Rang ∞. Wenn MR(ϕ) = α, findet man eine Zerlegung von ϕ in L(A)–Formeln ϕ_{1}, …, ϕ_{k}, die α–minimal über A sind. Die ϕ_{i} bestimmen (wegen (1.1)) Typen p_{i} vom Rang α.

2: Die p_{i} sind alle Typen vom Rang α, die ϕ enthalten. Außerdem ist

MD(ϕ_{i}) = MD(p_{i}).
□

Definition 1.6.4 Eine Erweiterung q eines Types p ∈ S(A) auf eine Obermenge B von A heißt forkende Erweiterung, wenn MR(q) < MR(p). Wir sagen auch: q ∈ S(B) forkt über A.

Folgerung 1.6.8 Wenn p ∈ S(A) Morleyrang hat und A ⊂ B, gilt

MD(p) = ∑(MD(q) | q ∈ S(B) nicht–forkende Erweiterung von p)

□

Folgerung 1.6.9 Ein Typ p ∈ S(A) hat mindestens eine und höchstens MD(p)–viele nichtforkende Erweiterungen auf jede Obermenge. □

\underline{Übung} 1.6.1 Wir haben Morleyrang nur für Formeln und Typen in einer Variablen eingeführt. Natürlich verallgemeinert sich die Definition für Formeln und Typen in einer festen Zahl von Variablen x_{1}, …, x_{n}. Man zeige:

1. Wenn T ω–stabil ist, gibt es über jeder abzählbaren Parametermenge nur abzählbar viele n–Typen.

2. Wenn T total transzendent ist, hat jede Formel in n Variablen einen Morleyrang.

\underline{Übung} 1.6.2 Sei T total transzendent. Dann haben Typen über ω–saturierten Modellen Morleygrad 1.

Wir werden im nächsten Kapitel sehen, daß die Voraussetzung der ω–Saturiertheit überflüssig ist (2.1.3(2)).

Stabile Theorien

2.1 Stabile Theorien

T sei eine vollständige Theorie. Die Sprache kann überabzählbar sein.

Definition 2.1.1 1. Eine Formel ϕ(\overline{x}, \overline{y}) hat die Ordnungseigenschaft, wenn es (in einem geeigneten Modell) Elemente \overline{a}_{0}, \overline{a}_{1}, … und \overline{b}_{0}, \overline{b}_{1}, … gibt sodaß für alle i, j ∈ ω

⊧ ϕ(\overline{a}_{i}, \overline{b}_{j}) ⟺ i < j

2. T heißt stabil, wenn keine L–Formel die Ordnungseigenschaft hat.

Man überlegt leicht, daß mit ϕ(\overline{x}, \overline{y}) auch ϕ(\overline{y}, \overline{x}) die Ordnungseigenschaft hat. Wenn T stabil ist, können auch Formeln mit Parametern nicht die Ordnungseigenschaft haben.

\underline{Übung} 2.1.1 T ist genau dann unstabil, wenn es eine L–Formel ψ(\overline{x}, \overline{y}) gibt und Elemente \overline{a}_{0}, \overline{a}_{1}, …, die von ψ geordnet werden, für die also

⊧ ψ(\overline{a}_{i}, \overline{a}_{j}) ⟺ i < j.

ψ darf auch Parameter enthalten.

Total transzendente Theorien sind stabil. Denn wenn ϕ(\overline{x}, \overline{y}) die Ordnungseigenschaft hat, findet man auch \overline{a}_{i} und \overline{b}_{i}, die nach einer beliebigen linearen Ordnung I indiziert sind. Wir wählen I = ℚ, und zerlegen ℚ in einen binären Baum von Intervallen (l_{s}, r_{s}), s ∈ 2^{<ω}, sodaß immer r_{s0} = l_{s_{1}}. Die Formeln ¬ϕ(\overline{x}, \overline{b}_{l_{s}}) ∧ ϕ(\overline{x}, \overline{b}_{r_{s}}) bilden dann einen binären Baum von konsistenten Formeln.

Eine Typ p ∈ S_{n}(B) heißt definierbar (über C), wenn es für alle L–Formeln ϕ(\overline{x}, \overline{y}) eine L(B) (bzw. L(C)) Formel d_{p}\overline{x}ϕ(\overline{x}, \overline{y}) gibt, sodaß für alle \overline{b} ∈ B

ϕ(\overline{x}, \overline{b}) ∈ p ⟺⊧ d_{p}\overline{x}ϕ(\overline{x}, \overline{b}). (2.1)

Satz 2.1.1 T ist genau dann stabil, wenn alle Typen über Modellen definierbar sind.

Beweis: Sei T stabil, p ∈ S_{n}(M) und ϕ(x, y) eine L–Formel. (Wir betrachten hier, um die Notation zu vereinfachen, Tupel der Länge 1.) Ich behaupte, daß wir für d_{p}xϕ(x, y) eine Boolesche Kombination von Formeln der Form ϕ(a, y), (a ∈ M) verwenden können. Wir nehmen das Gegenteil an und zeigen daß ϕ die Ordnungseigenschaft hat. Dazu konstruieren wir drei Folgen a_{0}, a_{1}, … und b_{0}^{i}, b_{1}^{i}, …, (i = 1, 2), von Elementen von M. Seien a_{0}, …, a_{n−1} und b_{0}^{i}, …, b_{n−1}^{i}, (i = 1, 2), konstruiert. Weil der ϕ–Teil von p nicht in der angegebenen Weise über a_{0}, …, a_{n−1} definierbar ist, gibt es zwei Elemente b_{n}^{1} und b_{n}^{2} von M, für die

M ⊧ ϕ(a_{j}, b_{n}^{1}) ⟺ M ⊧ ϕ(a_{j}, b_{n}^{2})

für alle j < n, andererseits aber ϕ(x, b_{n}^{1}) ∈ p und ϕ(x, b_{n}^{2}) ∉ p. Dann realisieren wir den ϕ–Teil von p eingeschränkt auf {b_{0}^{1}, …, b_{n}^{1}} ∪ {b_{0}^{2}, …, b_{n}^{2}} durch a_{n}. Es gilt also, wenn die früheren b_{j}^{i} auch in dieser Weise gewählt waren,

M ⊧ ϕ(a_{n}, b_{j}^{1}) und M |̸= ϕ(a_{n}, b_{j}^{2})

für alle j ≤ n. Wenn die drei Folgen konstruiert sind, wenden wir den Satz von Ramsey an und er halten eine unendliche Menge I von Indices sodaß entweder M ⊧ ϕ(a_{j}, b_{n}^{1}) für alle j < n aus I oder M |̸= ϕ(a_{j}, b_{n}^{1}). Im ersten Fall haben wir

M ⊧ ϕ(a_{j}, b_{n}^{2}) ⟺ j < n

für alle j, n ∈ I, im zweiten Fall

M ⊧ ϕ(a_{j}, b_{n}^{1}) ⟺ j ≥ n.

In beiden Fällen folgt, daß ϕ die Ordnungseigenschaft hat.

Seien nun alle Typen p über Modellen M definierbar und ϕ(x, y) eine Formel. Die ϕ–Anteile

p_{ϕ} = {(¬)ϕ(x, b) | (¬)ϕ(x, b) ∈ M}

bilden die Menge

S_{ϕ}(M)

aller ϕ–Typen über M. Aus der Definierbarkeit der p folgt

|S_{ϕ}(M)| ≤ |M| + |T |.

Sei λ eine Kardinalzahl. Es gibt immer eine lineare Ordnung I mit mehr als λ vielen Elementen, die eine dichte Teilmenge I_{0} der Mächtigkeit λ hat (Übung 2.1.2). Wenn nun ϕ die Ordnungseigenschaft hätte, gäbe es Elemente a_{i}, b_{i} mit ⊧ ϕ(a_{i}, b_{j}) ⟺ i < j für alle i, j ∈ I. Die ϕ–Typen der a_{i} über B = {b_{j} | j ∈ I_{0}} sind dann alle verschieden und S_{ϕ}(B) hätte mehr als λ Elemente. Wenn λ ≥ |T |, können wir B in einem Modell M der Mächtigkeit λ finden und wir hätten einen Widerspruch. □

\underline{Übung} 2.1.2 Sei λ eine Kardinalzahl und μ minimal mit 2^{μ} > λ. Dann hat der Baum I = ^{≤μ}2 mehr als λ viele Elemente und I_{0} = ^{<μ}2 höchstens die Mächtigkeit λ. Wenn wir I in geeigneter Weise linear ordnen, ist I_{0} dicht in I.

\underline{Übung} 2.1.3 Es sind äquivalent:

a) T ist stabil

b) T ist λ–stabil für ein λ.

c) T ist λ–stabil für alle λ mit λ^{|T |} = λ

d) Für alle ϕ und alle unendlichen A ist |S_{ϕ}(A)| ≤ |A|.

Lemma 2.1.2 Ein definierbarer Typ p ∈ S(M) hat genau eine über M definierbare Fortsetzung q auf jede Obermenge B.

Beweis: Daß die d_{p}\overline{x}ϕ(\overline{x}, \overline{y}) einen Typ definieren, läßt sich in M ausdrücken und gilt daher auch in jeder elementaren Erweiterung. Das beweist die Existenz. Anderseits stimmen d_{q}\overline{x}ϕ(\overline{x}, \overline{y}) und d_{p}\overline{x}ϕ(\overline{x}, \overline{y}) in M und daher auch in allen elementaren Erweiterungen überein, was die Eindeutigkeit beweist. □

Sei p ∈ S(B) definiert durch die L(B)–Formeln (d_{p}xϕ). Wir nennen die Definition gut, wenn sie in einem Modell N ⊃ B (oder, was äquivalent ist, in allen N ⊃ B) einen Typ definiert. Definitionen über einem Modell M sind immer gut und (bis auf Äquivalenz der Formeln) eindeutig durch p bestimmt. Wir werden später sehen (2.2.5), daß in stabilen Theorien gute Definitionen immer eindeutig sind.

Definition 2.1.2 p ∈ S(A) heißt stationär, wenn p eine gute Definition (d_{p}xϕ) hat. Eine Erweiterung q von p, die durch (d_{p}xϕ) definiert wird, heißt nicht–forkende Erweiterung. Eine andere Sprechweise ist: q forkt nicht über A.

Sei p ein Typ mit Morleyrang. Wir werden sehen, daß (wenn T stabil ist) p genau dann stationär ist, wenn MD(p) = 1. Außerdem wird sich zeigen, daß unsere neue Definition von nicht–forkender Erweiterung mit der auf Seite 26 gegebenen übereinstimmt: Die nicht–forkenden Erweiterungen von p sind genau die Erweiterungen mit gleichem Morleyrang.

Zwei Spezialfälle können wir jetzt schon beweisen:

Bemerkung 2.1.3 Sei T stabil, p ∈ S(A) ein Typ mit Morleyrang und B eine Obermenge von A. Dann gilt:

1. Wenn p ∈ S(A) Morleygrad 1 hat, ist p stationär und die Erweiterung von p auf B vom gleichen Morleyrang forkt nicht.

2. Wenn A ein Modell ist, hat p Morleygrad 1. Die eindeutig bestimmte nicht– forkende Erweiterung von p auf B ist gleichzeitig die eindeutig bestimmte Erweiterung mit gleichem Morleyrang.

Beweis: Wir können annehmen, daß B = N ein großes saturiertes Modell ist, zum Beispiel das Monstermodell. (Wir brauchen nur, daß Tupel aus N, die den gleichen Typ über A haben, in N über A konjugiert sind.) Sei q ∈ S(N) eine Erweiterung von p von gleichem Morleyrang. Sei ϕ(\overline{x}, \overline{y}) eine L–Formel. Dann ist X = \{\overline{b} ∈ N | ϕ(\overline{x}, \overline{b}) ∈ q\} eine definierbare Teilmenge von N (genauer gesagt von N^{n}). Wenn MD(p) = 1, ist X unter allen A–Automorphismen von N invariant, also über A definierbar. Das beweist 1. Sonst hat X nur endlich viele Konjugierte X = X_{1}, …, X_{k} über A = M, nämlich höchstens MD(p) viele. Die Äquivalenzrelation

E(\overline{a}, \overline{a}′) ⟺ (\overline{a} ∈ X_{i} ⇔ \overline{a}′ ∈ X_{i} für alle i)

ist definierbar. Weil E invariant unter allen M–Automorphismen von N ist, ist E über M definierbar. Weil E nur endlich viele Klassen hat (E ist eine endliche Äquivalenzrelation) und M ein Modell ist, schneiden alle E–Klassen M und sind daher selbst M definierbar. X ist als Vereinigung von E–Klassen ebenfalls M definierbar. Es folgt, daß q definierbar ist. Wenn p auf allen Obermengen von M nur eine Erweiterung vom gleichen Morleyrang hat, muß p Morleygrad 1 haben. □

Satz 2.1.4 (Forkingsymmetrie) Sei T stabil, und die Typen von \overline{a} und \overline{b} über A stationär. Wenn tp(\overline{a}/A\overline{b}) nicht über A forkt, forkt auch tp(\overline{b}/A\overline{a}) nicht über A.

Beweis: Sei N eine genügend saturierte Erweiterung von Aab. (Wir verwenden Elemente statt Tupel.) Sei p eine Erweiterung von tp(a/Ab) auf N, die über A nicht forkt und q eine beliebige nicht–forkende Erweiterung von tp(b/A) auf N. Wir werden zeigen, daß q eine Fortsetzung von tp(b/Aa) ist.

Wir definieren rekursiv zwei Folgen a_{0}, a_{1}, … und b_{0}, b_{1}, … von Elementen von N: Wenn a_{0}, …, a_{n−1} und b_{0}, …, b_{n−1} definiert sind, wählen wir für b_{n} eine Realisierung von q ↾ Aa_{0}, …, a_{n−1} und für a_{n} eine Realisierung von p ↾ Ab_{0}, …, b_{n}. Weil a eine Realisierung von p ↾ Ab ist, können wir annehmen, daß a_{0} = a und b_{0} = b. Sei nun N ⊧ ϕ(a, b) für eine L(A)–Formel ϕ(x, y). Dann ist N ⊧ ϕ(a_{i}, b_{j}) für alle i ≥ j. Es können zwei Fälle eintreten: Wenn ϕ(a_{0}, y) ∉ q(y), ist N ⊧ ¬ϕ(a_{i}, b_{j}) für alle i < j oder, wenn ϕ(a_{0}, y) ∈ q(y), gilt N ⊧ ϕ(a_{i}, b_{j}) für alle i < j. Der erste Fall kann nicht eintreten, weil sonst ϕ die Ordnungseigenschaft hätte. Es folgt ϕ(a, y) ∈ q(y). Damit haben wir gezeigt, daß b eine Realisierung von q ↾ Aa ist. □

Wir haben nicht nur bewiesen, daß tp(\overline{b}/A\overline{a}) nicht über A forkt, sondern daß \overline{b} jede nicht–forkende Erweiterung von tp(\overline{b}/A) auf A\overline{a} realisiert. Daraus folgt leicht, daß ein stationärer Typ q ∈ S(A) genau eine nicht–forkende Fortsetzung auf A′ hat, solange der Typ aller Tupel \overline{a} aus A′ stationär über A ist.

\underline{Übung} 2.1.4 Sei q ∈ S(B) eine Fortsetzung von p ∈ S(M). q heißt Erbe von p, wenn es für jede L(M)–Formel ϕ(x, \overline{y}) und alle \overline{b} mit ϕ(x, \overline{b}) ∈ q ein \overline{m} ∈ M gibt, für das ϕ(x, \overline{m}) ∈ p. Man zeige

1. Jedes p ∈ S(M) hat einen Erben q ∈ S(B).

2. Wenn T stabil ist, gibt es nur einen Erben: die nicht–forkende Erweiterung von p auf B.

2.2 Theorien mit Imaginärenelimination

Definition 2.2.1 T eliminiert Imaginäre, wenn jede 0–definierbare Äquivalenzrelation auf M^{n} Faserung einer 0–definierbaren Funktion M^{n} → M^{m} ist.

Die Bezeichnung wird in der Übung 2.4.1 erklärt.

Wir nehmen in diesem Abschnitt an, daß T Imaginäre eliminiert. Im Abschnitt 2.4 werden wir sehen, daß die Annahme harmlos ist. Alle Sätze, die wir beweisen werden gelten für beliebige Theorien.

{\underline{Übung} 2.2.1 \atop 1.} Wenn T Imaginäre eliminiert, gibt es

a) zu jeder definierbaren Teilmenge X von M^{k} ein Tupel c mit i) X ist definierbar über c. ii) c ist in der L ∪ {P }–Struktur (M, X) 0–definierbar. c heißt kanonischer Parameter von X.

b) und mindestens zwei 0–definierbare Elemente.

Wenn M genügend saturiert ist, gilt auch die Umkehrung.

2. Der kanonische Parameter c von X ist (falls er existiert) bis auf Interdefinierbarkeit^{1} eindeutig bestimmt: Es ist c ∈ dcl(d) gdw. X über d definierbar ist.

Folgerung 2.2.1 Sei A ⊂ M und M genügend saturiert. Dann sind äquivalent:

a) X ist über acl(A) definierbar.

b) X hat nur endlich viele Konjugierte über A.

c) X besteht aus Klassen einer A–definierbaren endlichen Äquivalenzrelation.

Beweis: Wenn X = ϕ(M, \overline{a}), wobei \overline{a} ∈ acl(A), hat X höchstens deg(\overline{a}/A) viele Konjugierte über A. Wenn X nur endlich viele Konjugierte X_{i} über A hat, zeigt der Beweis von 2.1.3(2), daß X aus Klassen einer A–definierbaren endlichen Äquivalenzrelation E besteht. Umgekehrt haben die Klassen einer A–definierbaren endlichen Äquivalenzrelation nur endlich viele Konjugierte. Schließlich nehmen wir an, daß X = ϕ(M, \overline{a}) nur endlich viele Konjugierte über A hat. Sei F die 0–definierbare Äquivalenzrelation

\overline{a}F \overline{a}′ ⇔ ϕ(M, \overline{a}) = ϕ(M, \overline{a}′),

und sei F die Faserung der 0–definierbaren Funktion f : M^{n} → M^{m}. Dann hat X genausoviel Konjugierte über A wie das Tupel \overline{b} := f(\overline{a}). \overline{b} gehört also zu acl(A) und X ist definierbar durch

∃y (ϕ(x, \overline{y}) ∧ f(\overline{y}) = \overline{b}).

1 a und b sind interdefinierbar , wenn a ∈ dcl(b) und b ∈ dcl(a).

□

Bemerkung 2.2.2 Sei T stabil und p ∈ S(A) ein Typ mit Morleyrang.

1. Wenn A algebraisch abgeschlossen ist, ist p stationär.

2. Wenn T total transzendent ist, ist p genau dann stationär, wenn p Morleygrad 1 hat. p hat dann genau eine nicht–forkende Fortsetzung auf jede Obermenge.

Beweis: Für algebraisch abgeschlossene A zeigt der Beweis von 2.1.3 (2), daß eine Erweiterung von p mit gleichem Morleyrang nicht–forkende Erweiterung ist. Das zeigt 1.

Sei nun T total transzendent. Wenn A algebraisch abgeschlossen ist, ist der Typ jedes Tupels \overline{a} über A stationär. Nach der Bemerkung nach Satz 2.1.4 gibt es dann nur eine nicht–forkende Erweiterung von p. Also hat p den Morleygrad 1. Wir zeigen jetzt, daß p Morleygrad 1 hat, wenn p stationär ist: Weil alle Erweiterungen von p auf acl(A) Morleygrad 1 haben, ist der Morleygrad von p die Zahl der Fortsetzungen von p auf acl(A). Wenn p stationär ist, gibt es eine Fortsetzung, die über A definierbar ist. Der nächsten Übung entnehmen wir, daß alle Fortsetzungen von p auf acl(A) über A konjugiert sind. Alle Fortsetzungen haben also die gleiche Definition, es gibt also nur eine Fortsetzung auf acl(A). Daraus folgt, daß der Morleygrad 1 ist und außerdem, daß es nur eine nicht–forkende Erweiterung gibt. □

\underline{Übung} 2.2.2 Alle Erweiterungen eines Types p ∈ S(A) auf acl(A) sind über A konjugiert (T beliebig).

\underline{Übung} 2.2.3 Ein algebraischer Typ über A hat genau dann eine gute Definition über B ⊂ A, wenn er in dcl(B) realisiert wird.

Satz 2.2.3 Wenn T stabil ist, ist jeder Typ p über einer algebraisch abgeschlossenen Menge A stationär.

Beweis: Um die Notation zu vereinfachen beschränken wir uns auf 1–Typen. Sei Δ eine endliche Menge von L–Formeln δ(x, \overline{y}). Boolesche Kombinationen von Formeln der Form δ(x, \overline{a}), (δ ∈ Δ) nennen wir Δ–Formeln. Wir definieren den Δ–Rang R_{Δ} einer Formel ϕ(x):

R_{Δ}(ϕ) = −1 gdw. ϕ inkonsistent ist.

R_{Δ}(ϕ) = α gdw.

a) R_{Δ}(ϕ) ≠ β für alle β < α

b) Es keine unendliche Familie (ψ_{i}) von Δ–Formeln gibt, die paarweise inkonsistent sind und für die R_{Δ}(ϕ ∧ ψ) ≠ β für alle β < α.

R_{Δ}(ϕ) = ∞ gdw. R_{Δ}(ϕ) weder −1 noch eine Ordinalzahl ist.

\underline{Behauptung} Jede Formel ϕ(x) hat einen Δ–Rang. Sonst gäbe es einen binären Baum (ψ_{s})_{s∈2^{<ω}} aus Δ–Formeln, für den die ϕ ∧ ψ_{s} keinen Δ–Rang haben. Damit könnte man, über einer abzählbaren Parametermenge A, 2^{ω}–viele Δ–Typen konstruieren. (Für p ∈ S(A) ist p_{Δ} = {ψ ∈ p | ψ Δ–Formel } ein Δ–Typ.) Weil Δ endlich ist, wäre dann für ein δ ∈ Δ auch S_{δ}(A) überabzählbar, was der Stabilität von T widerspricht.

Der Δ–Rang eines Typs p ∈ S(A) ist der kleinste Δ–Rang α einer Formel ϕ_{p} aus p.

Sei M ein Modell, das A enthält. Dann ist die Menge

p ∪ {¬ψ(x) | ψ L(M)–Formel mit R_{Δ}(ψ) < α}

endlich erfüllbar und daher in einem q ∈ S(M) enthalten, das wieder Δ–Rang α haben muß. Bei allen Fortsetzungen q ∈ S(M) von p, die Δ–Rang α haben, können nur endlich viele Δ–Anteile q_{Δ} vorkommen. (Sonst könnte man ϕ_{p} mit Δ–Formeln aus L(M) in unendlich viele Formeln vom Δ–Rang α zerlegen.) Es folgt, daß für jedes q und jedes δ ∈ Δ die definierende Formel d_{q}xδ über A = acl(A) definierbar ist.

Wenn man sich den Beweis von 2.1.4 ansieht, erkennt man, daß folgendes bewiesen wurde: Sei δ(\overline{x}, \overline{y}) eine L–Formel und δ̃(\overline{x}, \overline{y}) = δ(\overline{y}, \overline{x}). Sei M ein genügend saturiertes Modell, das A enthält. p und q seien zwei Typen aus S(M), für die d_{p}\overline{x}δ und d_{q}\overline{x}δ̃ über A definierbar sind. Wenn dann \overline{a} ∈ M den Typ p ↾ A\overline{b} realisiert und \overline{b} ∈ M den Typ q ↾ A, dann realisiert \overline{b} den Typ qδ̃ ↾ A\overline{a}.

Daraus folgt wieder, daß die Δ–Anteile der Fortsetzungen q von p mit gleichem Δ–Rang eindeutig bestimmt sind. Es resultiert die Existenz einer Fortsetzung q von p mit

R_{Δ}(q) = R_{Δ}(p)

für alle Δ. q ist die gesuchte Fortsetzung von p auf M, die über A definierbar ist. □

Bemerkung 2.2.4 Wenn T stabil ist, haben stationäre Typen genau eine nicht–forkende Fortsetzung auf jede Obermenge.

Beweis: Siehe Beweis von 2.2.2. □

Definition 2.2.2 Ein Typ q ∈ S(B) forkt nicht über A ⊂ B, wenn eine (jede) Fortsetzung von q auf B ∪acl(A) nicht über acl(A) forkt. q heißt dann nicht–forkende Erweiterung von q ↾ A.

Wir überlegen uns, daß diese Definition mit dem Begriff der nicht–forkenden Erweiterung stationärer Typen (Definition 2.1.2) übereinstimmt: Sei also p ∈ S(A) stationär und q ∈ S(B) die nicht–forkende Fortsetzung im alten Sinn. Wir setzen q fort zu einem Typ q̃ ∈ S(B ∪ acl(A)), der ebenfalls nicht über A forkt. Dann forkt q̃ erst recht nicht über acl(A). Also forkt q nicht im neuen Sinn über A. Für die Umkehrung überlegen wir zuerst, daß wegen der Konjugiertheit aller Fortsetzungen von p auf acl(A) alle Fortsetzungen nicht–forkende Erweiterungen sind, es also nur eine Fortsetzung gibt. Wenn also umgekehrt eine Erweiterung q̃′ ∈ S(B ∪ acl(A)) nicht über acl(A) forkt, stimmt q̃′ mit q̃ auf acl(A) überein. Also ist q̃ = q̃′.

Folgerung 2.2.5 Sei T stabil. Dann ist ein Typ genau dann stationär, wenn er nur eine nicht– forkende Erweiterung auf jede Obermenge hat.

Beweis: Wenn p ∈ S(A) nur eine Fortsetzung q auf acl(A) hat, ist die gute Definition von q unter allen A–Automorphismen invariant, also auch eine gute Definition von p. □

Bemerkung 2.2.6 Sei T stabil, p ∈ S(A) ein Typ mit Morleyrang und q eine Erweiterung von p auf eine Obermenge von A. Dann ist q genau dann nicht–forkende Erweiterung, wenn MR(p) = MR(q).

Beweis: Wegen der Konjugiertheit der Fortsetzungen ändert ein Typ seinen Morleyrang nicht, wenn man ihn auf den algebraischen Abschluß des Definitionsbereichs fortsetzt. Jetzt folgt die Behauptung leicht aus früherem. □

2.3 Eigenschaften des Forking

In diesem Abschnitt sei T stabil. Wir nehmen wieder an, daß T Imaginärenelimination hat.

Satz 2.3.1 (Existenz) Jeder Typ p ∈ S(A) hat eine nicht–forkende Erweiterung auf jede Obermenge von A.

Beweis: Sei B eine Erweiterung von A. Sei p′ eine Fortsetzung von p auf acl(A). Weil p′ stationär ist, hat p′ eine nicht–forkende Erweiterung q′ auf B ∪ acl(A). q ↾ B ist nicht–forkende Erweiterung von p auf B. □

Satz 2.3.2 (Eindeutigkeit) Wenn A algebraisch abgeschlossen ist, hat jeder Typ über A genau eine nicht– forkende Erweiterung auf jede Obermenge von B. □

Satz 2.3.3 (Konjugiertheit) Wenn A ⊂ M und M genügend saturiert ist, sind alle nicht–forkenden Erweiterungen von p ∈ S(A) auf M über A konjugiert,

Beweis: Seien q_{1} und q_{2} zwei nicht–forkende Erweiterungen von p auf M. Ein A–Automorphismus von M, der q_{1} ↾ acl(A) in q_{2} ↾ acl(A) überführt, überführt auch q_{1} in q_{2}. □

Satz 2.3.4 (Algebraischer Abschluß) 1. p ∈ S(acl(A)) forkt nicht über A.

2. Wenn tp(a/Aa) nicht über A forkt, ist a algebraisch über A.

Beweis: 1.: Klar. 2.: Wenn tp(a/Aa) nicht über A forkt, forkt tp(a/acl(A)a) nicht über acl(A). Aus der Übung 2.2.3 folgt die Behauptung. □

Satz 2.3.5 (Transitivität und Monotonie) Sei A ⊂ B ⊂ C und q ∈ S(C). Dann forkt q genau dann nicht über A, wenn q nicht über B und q ↾ B nicht über A forkt.

Beweis: Die Behauptung ist leicht zu sehen, wenn p ↾ A stationär ist. Andernfalls sei q′ eine Fortsetzung von q auf CA′, wobei A′ = acl(A). Dann forkt q genau dann nicht über A, wenn q′ nicht über A′ forkt. Also genau dann wenn q′ nicht über BA′ forkt und q′ ↾ BA′ nicht über A′. Die zweite Bedingung bedeutet, daß q ↾ B nicht über A forkt. Die erste Bedingung bedeutet für eine Fortsetzung q′′ von q′ auf Cacl(B), daß q′′ nicht über acl(B) = acl(BA′) forkt, das heißt, daß q nicht über B forkt. □

Satz 2.3.6 (Stetigkeit) 1. Wenn p ∈ S(A), gibt es ein A_{0} ⊂ A, über dem p nicht forkt und das höchstens die Mächtigkeit |T | hat.

2. Wenn p ∈ S(B) über A forkt, gibt es eine endliche Teilmenge B_{0} ⊂ B, sodaß p ↾ AB_{0} über A forkt.

Beweis: 1.: Sei p′ eine Fortsetzung von p auf acl(A). p′ hat eine gute Definition, die schon über einem A′_{0} ⊂ acl(A) definiert ist, das höchstens die Mächtigkeit |T | hat. Wähle A_{0} ⊂ A, sodaß A′_{0} ⊂ acl(A_{0}).

2.: Sei q eine Fortsetzung von p ↾ A auf acl(A) und sei (d_{q}xϕ(x, \overline{y})) eine gute Definition von q. Daß p nicht über A forkt, bedeutet, daß p in der nicht–forkenden Fortsetzung einer A-Konjugierten α(q) auf Bacl(A) enthalten ist. Das heißt wiederum, daß p (über B) von den α(d_{q}xϕ(x, \overline{y})) definiert wird. Wir sagen dazu: p ist mit allen α(q_{ϕ}), (ϕ L–Formel) verträglich. Nehmen wir an, daß es für jede endliche Menge Δ von L–Formeln ein α gibt, sodaß p mit α(q_{Δ}) verträglich ist. Weil es für jedes Δ nur endlich viele α(q_{Δ}) gibt, liefert ein Kompaktheitsargument^{2} ein α sodaß p mit allen α(q_{ϕ}) verträglich ist. Also würde p nicht über A forken. Wenn p über A forkt, gibt es also ein Δ, sodaß kein α(q_{Δ}) mit p verträglich ist. Die α(q_{Δ}) sind aber schon mit einem endlichen Teil von p unverträglich.

Wir haben sogar gezeigt: Es gibt eine L(A)–Formel ψ(x, \overline{y}), sodaß ψ(x, \overline{b}) ∈ p für ein Tupel \overline{b} ∈ B, und jede Erweiterung von p ↾ A auf eine Menge A\overline{b′}, die ψ(x, \overline{b′}) enthält, über A forkt. □

\underline{Übung} 2.3.1 Wenn p ∈ S(A), gibt es ein A_{0} ⊂ A, das höchstens die Mächtigkeit |T | hat, sodaß p die einzige nicht–forkende Fortsetzung von p ↾ A_{0} auf A ist. Wenn p Morleyrang hat, kann man immer ein endliches solches A_{0} finden.

\underline{Übung} 2.3.2 Es gibt keine aufsteigende Kette (p_{α})_{α∈|T |^{+}} der Länge |T |^{+}von forkenden Erweiterungen.

Satz 2.3.7 (Beschränktheit) Ein p ∈ S(A) hat höchstens 2^{|T |} viele nicht–forkende Fortsetzungen auf jedes B ⊃ A.

Beweis: Sei A_{0} eine Teilmenge von A, über der p nicht forkt, und die höchstens die Mächtigkeit |T | hat. p hat höchstens so viele nicht–forkende Fortsetzungen wie p ↾ A_{0} Fortsetzungen auf acl(A_{0}) hat. □

2 Die Menge aller α für die α(q_{Δ}) … ist eine clopen Menge des kompakten Raumes Aut(acl(A)/A).

Wir führen eine neue Bezeichnung ein:

\overline{a} | ⌣_{A} B

bedeutet, daß tp(\overline{a}/AB) nicht über A forkt.

Satz 2.3.8 (Symmetrie)

\overline{a} | ⌣_{A} \overline{b} ⟹ \overline{b} | ⌣_{A} \overline{a}

Beweis: Aus 2.3.4, Monotonie und Transitivität folgt, daß wir annehmen können, daß A algebraisch abgeschlossen ist. Jetzt folgt die Behauptung aus 2.1.4. □

Definition 2.3.1 A ist über B von C unabhängig wenn \overline{a} | ⌣_{B} C für alle Tupel \overline{a} aus A. Notation:

A | ⌣_{B} C

Aus Stetigkeit, Monotonie und Symmetrie folgt

A | ⌣_{B} C ⟹ C | ⌣_{B} A.

Satz 2.3.9 (Abgeschlossenheit) Wenn p ∈ S(B) über A forkt, gibt es ein ϕ(x) ∈ p, sodaß jeder Typ in S(B), der ϕ(x) enthält, über A forkt.

Beweis: Wir können annehmen, daß B = A∪{b}. Sei c eine Realisierung von p. Dann gilt wegen Symmetrie b |̸ ⌣_{A} c. Der Beweis von 2.3.6.2 liefert eine Formel ψ(y, x) mit ψ(y, c) ∈ tp(b/Ac), sodaß jede Fortsetzung von tp(b/A) auf ein Ac′, die ψ(y, c′) enthält, über A forkt. Setze ϕ(x) = ψ(b, x). □

Für A ⊂ B sei N(B/A) die Menge aller Typen über B, die über A nicht forken. Der Satz sagt, daß N(B/A) abgeschlossen in S(B) ist.

Satz 2.3.10 (Open mapping) Die Restriktionsabbildung π : N(B/A) ⟶ S(A) ist offen.

Beweis: Man sieht leicht, daß man B durch ein größeres, genügend saturiertes Modell M ersetzen kann. Wenn zwei Elemente q, q′ von N(M/A) durch π auf den selben Typ abgebildet werden, sind q und q′ konjugiert. Wenn also O eine (relativ) offene Teilmenge von N(M/A) ist, ist

O′ = π^{−1}(π(O)) = ⋃{α(O) | α ∈ Aut(M/A)}

wieder offen. Also ist

S(A) \ π(O) = π(N(M/A) \ O′)

als Bild einer abgeschlossenen Menge abgeschlossen. □

\underline{Übung} 2.3.3

ab | ⌣_{A} B ⟺ a | ⌣_{A} B & b | ⌣_{Aa} B

\underline{Übung} 2.3.4 Wir nennen eine Menge B unabhängig über A, wenn

b | ⌣_{A} B \ {b}

für alle b ∈ B.

Wenn B eine lineare Ordnung trägt, ist B genau dann unabhängig über A, wenn

b | ⌣_{A}{c ∈ B | c < b}

für alle b ∈ B.

\underline{Übung} 2.3.5 Wenn B | ⌣_{A} C, ist genau dann B unabhängig über A, wenn B unabhängig über AC ist.

\underline{Übung} 2.3.6 a und b seien zwei unabhängige Realisierungen desselben Typs über acl(A). Dann ist tp(a/Ab) stationär.

2.4 T^{eq}

Sei E_{i}(\overline{x}, \overline{y}), (i ∈ I), eine Liste aller 0–definierbaren Äquivalenzrelationen zwischen n_{i}–Tupeln. Für jedes Modell M betrachten wir dann die mehrsortige Struktur

M^{eq} = (M, M^{n_{i}}/E_{i})_{i∈I} ,

auf der neben den Relationen, Funktionen und Konstanten der home sort M für jedes i die natürlichen Projektionen

π_{i} : M^{n_{i}} → M^{n_{i}}/E_{i}

definiert sind. Die Elemente der Sorten M^{n_{i}}/E_{i} heißen imaginäre Elemente.

Die M^{eq} bilden eine elementare Klasse, die durch eine geeignete vollständige (!) Theorie T^{eq} axiomatisiert wird.

Lemma 2.4.1 Für alle Modelle M gilt:

1. Die in M^{eq} und in M 0–definierbaren Relationen auf der home sort M stimmen überein.

2. Jedes Element von M^{eq} ist definierbar über M:

M^{eq} = dcl^{eq}(M)

3. M^{eq} gestattet Elimination der Imaginären. Das heißt: Jede 0–definierbare Äquivalenzrelation ist Faserung einer 0–definierbaren Funktion – von gesorteten m–Tupeln in gesortete n–Tupel. Man kann sogar n = 1 erreichen.

□

Den algebraischen (bzw. definierbaren) Abschluß einer Teilmenge A von M in M^{eq} bezeichnet man mit acl^{eq}(A) (bzw. dcl^{eq}(A)).

Wegen 1. und 2. bleiben im Allgemeinen alle Eigenschaften von T, die in der Stabilitätstheorie eine Rolle spielen beim Übergang zu T^{eq} erhalten. Einige Beispiele

1. T ist genau dann ω_{1}–kategorisch, wenn T^{eq} ω_{1}-kategorisch ist.

2. T ist genau dann λ–stabil, wenn T^{eq} λ–stabil ist.

3. T ist genau dann stabil, wenn T^{eq} stabil ist.

4. Sei p ein Typ in T. Dann ist p genau dann stationär, wenn p in T^{eq} stationär ist.

Zu 2 : Sei A eine Parametermenge von T^{eq} der Mächtigkeit λ. A ist im definierbaren Abschluß einer Teilmenge B der home sort, die ebenfalls die Mächtigkeit λ hat. Wenn wir jedem p ∈ S(B) zuerst die (einzige) Fortsetzung von p auf dcl^{eq}(B) und dann deren Einschränkung auf A zuordnen, erhalten wir eine Surjektion S(B) → S(A). Will man festlegen, was man genau mit S(A) meint, muß man die Zahl und die Sorten der Variablen der betrachteten Typen angeben. Wenn S′(A) aus Typen von Elemente der Sorte ℂ^{n}/E besteht und S_{n}(A) n–Typen der home sort bezeichnet, definiert tp(b_{1} … b_{n}/A) ↦ tp((b_{1} … b_{n})E/A) eine Surjektion S_{n}(A) → S′(A). Jetzt sieht man, daß T^{eq} stabil ist, wenn T stabil ist.

Zu 3 : Sei ϕ(x, y) eine unstabile Formel von T^{eq}. Wenn x zur Sorte ℂ^{m}/E und y zur Sorte ℂ^{n}/F gehört, gibt es Tupel a_{i} und b_{i} der home sort, sodaß

⊧ ϕ(a_{i}E, b_{i}F) ⇔ i < j.

Die Formel ϕ(uE, vF) ist zu einer L–Formel ψ(u, v) äquivalent, die in T die Ordnungseigenschaft hat.

Zu 4 : Sei q ∈ S(M) über A definierbar und r die Fortsetzung von q auf M^{eq}. Wir zeigen, daß auch r über A definierbar ist. Sei dazu ϕ(x, y) eine L^{eq}–Formeln, deren zweite Variable zu Sorte C^{n}/E gehört und sei ψ(x, \overline{z}) eine L–Formel, die zu ϕ(x, \overline{z}E) äquivalent ist. Dann ist ϕ(x, bE) ∈ r, genau dann, wenn die Formel ψ(x, \overline{b}) zu q gehört. Das beweist die Behauptung.

Wir haben Forking bis jetzt nur für Theorien mit Imaginärenelimination eingeführt. Für beliebige Theorien definieren wir:

Definition 2.4.1 Sei T eine stabile Theorie. Ein Typ p forkt nicht über A, wenn er im Sinn von T^{eq} nicht über A forkt.

Wenn T Imaginärenelimination hat ergibt sich die alte Definition, weil dann acl(A) und acl^{eq}(A) interdefinierbar sind. Man sieht leicht, daß die im Abschnitt 2.3 aufgeführten Eigenschaften auch hier gelten. Man muß nur acl durch acl^{eq} ersetzen.

Man kann Forking auch leicht definieren ohne von T^{eq} Gebrauch zu machen: p forkt nicht über A, wenn p eine Erweiterung mit einer guten Definition über acl^{eq}(A) hat. Eine definierbare Klasse X ist nach 2.2.1 genau dann über acl^{eq}(A) definierbar, wenn X aus Klassen einer A–definierbaren endlichen Äquivalenzrelation besteht.

\underline{Übung} 2.4.1 T hat genau dann Imaginärenelimination, wenn

a) jedes imaginäre Element interdefinierbar mit einem Elementtupel aus der home sort ist, und wenn

b) es zwei 0–definierbare Elemente gibt.

Primerweiterungen

Wir nehmen an, daß T stabil ist und Imaginärenelimination gestattet.

3.1 Indiscernibles

Eine Familie I = (a_{i})_{i∈I} von paarweise verschiedenen Elementen (allgemeiner: Tupel) heißt indiscernible über A, wenn

M ⊧ ϕ(a_{i_{1}}, … a_{i_{k}}) ↔ ϕ(a_{j_{1}}, … a_{j_{k}})

für alle L(A)–Formeln ϕ und je zwei Folgen i_{1} … i_{k}, j_{1} … j_{k} von jeweils paarweise verschiedenen Indices.

Lemma 3.1.1 Orderindiscernibles sind indiscernible.

Beweis: I = (a_{i})_{i∈I} seien Ordnungsindiscernibles über A, die nicht indiscernible über A sind. Wir können annehmen, daß (I, <) = (ℚ, <) (wegen Übung 1.1.1). Weil jede Permutation von n Ziffern Produkt von benachbarten Transpositionen ist, gibt es eine L(A)–Formel ϕ(x_{1}, …, x_{n}), rationale Zahlen r_{1} < … < r_{n} und eine Stelle j, sodaß

⊧ ϕ(a_{r_{1}}, …, a_{r_{j}}, a_{r_{j+1}}, …, a_{r_{n}})

und

⊧ ¬ϕ(a_{r_{1}}, …, a_{r_{j+1}}, a_{r_{j}}, …, a_{r_{n}}).

Die Formel ψ(x, y) = ϕ(a_{r_{1}}, …, x, y, …, a_{r_{n}}) ordnet dann die Elemente (a_{r}), (r_{j} < r < r_{j+1}). Aus der Übung 2.1.1 folgt, daß T nicht stabil sein kann. □

Sei p ∈ S(A) ein stationärer Typ. Eine Morleyfolge von p ist eine über A unabhängige Menge von Realisierungen von p. Morleyfolgen (a_{α})_{α<λ} lassen sich auf folgende Weise leicht konstruieren: Man wählt für a_{α} eine Realisierung der (!) nicht–forkenden Fortsetzung von p auf A ∪ {a_{β} | β < α}. Nach der Übung 2.3.4 ist {a_{α} | α < λ} unabhängig über A. Weil jede Morleyfolge (wie man sie auch aufzählt) so konstruiert ist, sind Morleyfolgen von p bis auf Isomorphie über A (durch λ) eindeutig bestimmt. Wenn p nicht algebraisch ist, sind alle a_{α} verschieden also Indiscernibles über A.

\underline{Übung} 3.1.1 Sei p stationär und q eine nicht–forkende Erweiterung von p. Dann ist jede Morleyfolge von q auch Morleyfolge von p.

Satz 3.1.2 Eine unendliche Folge von Indiscernibles über A ist eine Morleyfolge eines über einer Erweiterung von A definierten stationären Typs.

Beweis: Seien I = (a_{i})_{i∈I} indiscernible über A. Wir zeigen zuerst, daß für alle Formeln ϕ(x, \overline{b}) die Menge J_{ϕ} aller i ∈ I mit ⊧ ϕ(a_{i}) endlich oder koendlich in I ist: Sonst wäre für alle J ⊂ I die Formelmenge

\{ϕ(a_{j}, \overline{y}) | j ∈ J\} ∪ \{¬ϕ(a_{i}, \overline{y}) | i ∉ J\}

konsistent. Über I würde es also 2^{|I|} viele ϕ̃–Typen geben und T wäre nicht stabil. Der Beweis zeigt auch, daß es eine nur von ϕ abhängige Zahl k_{ϕ} gibt, die J_{ϕ} oder I \ J_{ϕ} beschränkt.

Sei M ein genügend saturiertes Modell, das I enthält. Wir definieren den Durchschnittstyp von I durch

Av(I) = \{ϕ(x, \overline{b}) | \overline{b} ∈ M, ⊧ ϕ(a_{i}, \overline{b}) für fast alle i ∈ I\}.

Sei I_{0} eine unendliche Teilmenge von I. Weil ϕ(x, \overline{b}) genau dann zu Av(I) gehört, wenn \{i ∈ I_{0} | ⊧ ϕ(a_{i}, \overline{b})\} mehr als k_{ϕ} viele (also unendliche viele) Elemente enthält, ist Av(I) über I_{0} definierbar. Av(I) forkt also nicht über I_{0} und seine Einschränkung auf I_{0} ist stationär. (Man sagt: Av(I) ist über I_{0} basiert (vgl. Seite 55).)

Man sieht nun leicht, daß alle Elemente a_{i}, (i ∈ I \ I_{0}), den Typ

p = Av(I) ↾ AI_{0}

realisieren. Weil das auch für alle I′_{0} ⊃ I_{0} gilt, folgt, daß die a_{i}, (i ∈ I \ I_{0}), eine Morleyfolge von p sind. Hätte man zu Beginn des Beweis I um eine unendliche Menge zu Indiscernibles I_{0} ∪ I vergrößert, würde man jetzt erkennen, daß I eine Morleyfolge von p ist. □

\underline{Übung} 3.1.2 Sei p ∈ S(A) stationär und I ein Morleyfolge von p.

a) Sei B eine Erweiterung von A und I_{0} eine Teilmenge von I mit B | ⌣_{AI_{0}} I. Dann ist I \ I_{0} eine Morleyfolge der nicht–forkenden Erweiterung von p auf B. b) Av(I) ist die nicht–forkende Erweiterung von p auf M.

\underline{Übung} 3.1.3 Zwei Mengen von Indiscernibles I_{0} und I_{1} nennen wir parallel, wenn es eine unendliche Menge J gibt, sodaß I_{0}J und I_{1}J indiscernible sind. Zeige, daß I_{0} und I_{1} genau dann parallel sind, wenn sie den gleichen Durchschnittstypen haben.

\underline{Übung} 3.1.4 Zwei stationäre Typen heißen parallel, wenn sie eine gemeinsame nicht–forkende Erweiterung haben. Zeige, daß zwei Typen genau dann parallel sind, wenn zwei (oder alle) ihrer Morleyfolgen parallel sind.

3.2 Total transzendente Theorien

Sei T eine total transzendente Theorie. Wir werden in diesem Abschnitt den folgenden Satz beweisen.

Satz 3.2.1 (Shelah [9]) 1. M ist genau dann Primerweiterung von A, wenn M atomar über A ist und wenn M keine überabzählbare Menge von Indiscernibles über A enthält.

2. Primerweiterungen sind eindeutig bestimmt.

Eine Menge B = {b_{α}}_{α<μ} ist eine Konstruktion über A, wenn (mit der Bezeichnung B_{α} = {b_{β} | β < α}) alle tp(b_{α}/AB_{α}) isoliert sind. Im Beweis von 1.2.1 haben wir gezeigt, daß alle A konstruktible Erweiterungen haben, die Modelle sind: konstruktible Primerweiterungen.

Das folgende Lemma gilt für beliebige T.

Lemma 3.2.2 Sei B konstruktibel über A und C ein Teilmenge von B mir folgender Eigenschaft: Für jedes b_{α} ∈ C wird tp(b_{α}/AB_{α}) von einer über A∪(B_{α}∩C) definierten Formel isoliert. Dann ist B auch konstruktibel über AC.

Beweis: Um die Notation zu vereinfachen, nehmen wir an, daß A leer ist. Wir wollen zeigen, daß für jedes α der Typ tp(b_{α}/CB_{α}) isoliert ist. Wenn b_{α} zu C gehört, ist das klar. Sei nun b_{α} ∉ C. Aus der Voraussetzung folgt leicht, daß C über B_{α+1} isoliert ist (siehe Beweis von 1.2.1), wobei die isolierenden Formeln nur Parameter aus B_{α+1} ∩ C ⊂ B_{α} enthalten. Es folgt also

tp(C/B_{α}) ⊢ tp(C/B_{α}b_{α}).

Wenn jetzt ϕ(x) den Typ tp(b_{α}/B_{α}) isoliert, isoliert ϕ(x) auch den Typ tp(b_{α}/CB_{α}). □

Lemma 3.2.3 Sei I indiscernible über A und B eine abzählbare Menge. Dann hat I eine abzählbare Teilmenge I_{0}, sodaß I \ I_{0} indiscernible über ABI_{0} ist.

Beweis: I ist Morleyfolge eines stationären Typs über einer Erweiterung A′ von A. Weil T total transzendent ist, brauchen wir zu A nur endlich viele Elemente hinzuzunehmen. (Das folgt aus den Übungen 2.3.1 und 3.1.1). Wir können also annehmen, daß A′ = A. Zu jedem endlichen Tupel \overline{b} aus B gibt es ein endliches I_{0} sodaß \overline{b} | ⌣_{AI_{0}} I. Wir finden also ein abzählbares I_{0}, sodaß

BI_{0} | ⌣_{AI_{0}} I.

Aus der Übung 3.1.2 folgt, daß I \ I_{0} eine Morleyfolge über ABI_{0} ist. □

Wir machen im Beweis des nächsten Lemmas Gebrauch von etwas Mengenlehre: Ein club D ⊂ ω_{1} ist eine abgeschlossene und unbeschränkte Teilmenge (closed– unbounded). Die Abgeschlossenheit bedeutet, daß sup(α ∩ D) ∈ D für alle α ∈ ω_{1}.

Satz (Fodor) Sei D ⊂ ω_{1} ein club und f : D → ω_{1} eine regressive Funktion, d.h. f(α) < α für alle α ∈ D. Dann ist f auf einer unbeschränkten Teilmenge von ω_{1} konstant.

Die eine Hälfte von 3.2.1(1) folgt aus

Lemma 3.2.4 Wenn B konstruktibel über A ist, enthält B keine überabzählbare Menge von Indiscernibles über A.

Beweis: Wir nehmen A = ∅ an. Sei I = {c_{α}}_{α<ω_{1}} indiscernible. Wir nennen eine Teilmenge C von B, die die Eigenschaft von Lemma 3.2.2 hat abgeschlossen. Wir wählen eine stetige Folge C_{α} von abzählbaren abgeschlossenen Teilmengen von B mit c_{α} ∈ C_{α+1}. Mit Hilfe des letzten Lemmas (3.2.3) finden wir einen club D aus Limeszahlen, sodaß für alle δ ∈ D die Menge {c_{α} | α ≥ δ} indiscernible über C_{δ} ist. Jedes c_{δ} wird über C_{δ} isoliert von einer Formel mit Parametern aus einen C′_{δ} mit δ′ < δ. Nach dem Satz von Fodor gibt es ein δ_{0} sodaß man für eine kofinale Menge von δ’s aus D die Parameter der isolierenden Formeln aus C_{δ_{0}} findet. Seien δ_{1} < δ_{2} zwei solche. Dann haben c_{δ_{1}} und c_{δ_{2}} denselben Typ über C_{δ_{0}}, was aber unmöglich ist, weil

tp(c_{δ_{2}}/C_{δ_{0}}) ⊢ tp(c_{δ_{2}}/C_{δ_{0}}c_{δ_{1}}).
□

Sei M ein Modell und A eine Teilmenge von M. Wir nennen eine Teilmenge B von M normal in M über A, wenn für jedes Element b ∈ B auch alle anderen Elemente von M, die denselben Typ über A haben, in B liegen.

Lemma 3.2.5 Sei T eine Theorie die Primerweiterungen hat (aber nicht notwendig total transzendent sein muß). Sei M atomar über A, und A ⊂ B ⊂ M normal. Dann ist M auch atomar über B.

Beweis: Sei c ein Tupel aus M. Weil die atomaren Typen dicht über B sind, gibt es ein d ∈ M, das atomar über B ist und denselben Typ wie c über A hat. tp(d/B) sei isoliert durch ψ(x, d_{0}) für ein Tupel d_{0} ∈ B . Weil c und d denselben Typ über A haben, gibt es ein c_{0} ∈ M mit tp(cc_{0}/A) = tp(dd_{0}/A). Wegen der Normalität von B ist c_{0} ∈ B. c erfüllt ψ(x, c_{0}) und aus der Normalität von B folgt leicht, daß auch ψ(x, c_{0}) vollständig über B ist. □

Beweis (von 3.2.1(1)): Wir können wieder annehmen, daß A leer ist. Sei also M atomar über ∅ ohne überabzählbare Mengen von Indiscernibles. Wir zeigen, daß M sich in jedes Modell N einbetten läßt. Dazu zeigen wir:

Behauptung: Sei M atomar über B, p ∈ S(B) und B ⊂ C ⊂ M normal über B. Dann läßt sich jede elementare Abbildung C ⟶ N auf C ∪ p(M) fortsetzen.

f : M ⟶ N gewinnt man daraus auf folgende Weise: Man setzt B = ∅ und wählt eine Aufzählung (p_{μ})_{μ<ν} aller in M realisierten Typen über ∅. Dann setzt man die leere Abbildung rekursiv auf die normalen Mengen C_{μ} = ⋃_{α<μ} p_{α}(M) fort.

Beweis der Behauptung: Durch Induktion über den Morleyrang von p. Zuerst macht man sich klar, daß aus der Behauptung (für festgehaltenes B und Morleyrang α) folgt, daß sich jede elementare Abbildung C ⟶ N auf C ∪ {a ∈ M | MR(a/B) = α} fortsetzen läßt. Sei jetzt f : C ⟶ N gegeben und die Behauptung schon für alle Ränge kleiner als α gezeigt (o.E. ist α > 0). Zunächst setzen wir f auf C ∪ acl(B) fort. Wenn wir jetzt B durch acl(B) ersetzen, gelten die Voraussetzungen immer noch. Wir können also annehmen, daß B algebraisch abgeschlossen ist. p ist dann stationär.

Sei (c_{i})_{i<μ} eine maximale über B unabhängige Menge von Realisierungen von p in M. Weil die (c_{i}) indiscernible über B sind, ist μ abzählbar, wir können also annehmen, daß μ ≤ ω. Sei B_{i} = B ∪ {c_{0}, …, c_{i−1}} und C_{i} = C ∪ {a ∈ M | MR(a/B_{i}) < α}. Wir haben B = B_{0} und C = C_{0}. Aus der Maximalität folgt, daß p(M) ⊂ ⋃_{i<μ} C_{i}. Weil M atomar über B ist, ist M auch atomar über B_{i}, und weil C_{i} normal über B_{i} ist, auch atomar über C_{i}. Wenn f schon auf C_{i} fortgesetzt ist, können wir wegen der Atomarität f auf C_{i}B_{i+1} fortsetzen. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es eine Fortsetzung auf C_{i+1}. □

Beweis (von 3.2.1(2)): Der einseitige Beweis von 3.2.1(1) läßt sich leicht in einen zweiseitigen Beweis verwandeln. □

\underline{Beispiel} [11] L enthalte für jede Ordinalzahl α < ω_{1} ein zweistelliges Relationszeichen E_{α}. Die Theorie T besage, daß jedes E_{α} eine Äquivalenzrelation sei. E_{0} besitze nur eine Äquivalenzklasse; ferner sei für α < β < ω_{1} jede E_{α}–Äquivalenzklasse eine Vereinigung von unendlich vielen E_{β}–Äquivalenzklassen. T ist vollständig, stabil (aber nicht total transzendent) und läßt Quantorenelimination zu. Jede konsistente L(A)–Formel φ(x) läßt sich über A vervollständigen. Es gibt also ein Modell M das konstruktibel über der leeren Menge ist.

In M besitzt jede Kette (K_{α})_{α<ω_{1}} von E_{α}–Äquivalenzklassen in M einen nichtleeren Durchschnitt: anderenfalls gäbe es nämlich eine abzählbare Teilmenge A von M und eine Limesordinalzahl η < ω_{1} mit:

(i) A ist abgeschlossen (bezüglich einer fest gewählten Konstruktion);

(ii) A ∩ ⋂_{α<η} K_{α} = ∅; (iii) A ∩ K_{α} ≠ ∅ für alle α < η.

M/A ist atomar. Sei nun c ∈ K_{η}; tp(c/A) wird dann isoliert durch eine Formel φ(x; \overline{a}); wegen (ii) existiert ein α < η mit \overline{a} ∩ K_{α} = ∅. Aus (iii) folgt, daß ein d ∈ A ∩ K_{α} existiert; wegen \overline{a} ∩ K_{α} = ∅ hätte man auch ⊧ φ(d; \overline{a}); das ist aber unmöglich, weil φ tp(c/A) isoliert. Es gilt folglich ∩(K_{α})_{α<ω_{1}} ≠ ∅.

Sei nun a ∈ M und N sei die Menge aller b aus M, für die eine Ordinalzahl α < ω_{1} existiert mit ⊧ ¬aE_{α}b; N ist dann ebenfalls ein Primmodell, aber M und N sind nicht isomorph.

3.3 Abzählbare stabile Theorien

Wenn man den Beweis von 3.2.1(1) analysiert, sieht man, daß wir dort (direkt) gezeigt haben, daß atomare Primerweiterungen von A ohne überabzählbare Indiscernibles konstruktibel sind. Die Eindeutigkeit der Primerweiterungen hätte man dann aus dem folgenden Satz schließen können, der für beliebige Theorien gilt.

Satz 3.3.1 (Ressayre) Konstruktible Primerweiterungen sind eindeutig bestimmt.

Beweis: Es genügt den Satz für zwei konstruktible Primerweiterungen M und M′ der leeren Menge zu beweisen. f_{0} : E_{0} → E′_{0} sei eine maximale elementare Abbildung zwischen zwei abgeschlossenen Mengen E_{0} ⊂ M und E′_{0} ⊂ M′. Falls E_{0} ≠ M, gibt es eine echte abgeschlossene Erweiterung E_{1} mit endlicher Differenz E_{1} \ E_{0}. Da E_{1} über E_{0} atomar ist, gibt es eine Erweiterung f_{1} : E_{1} → E′_{1} von f_{0}. E′_{1} braucht nicht abgeschlossen zu sein, aber es gibt eine abgeschlossene Erweiterung E′_{2} von E′_{1} mit endlicher Differenz E′_{2}\E′_{1}. Dann existiert eine (nicht notwendigerweise abgeschlossene) Menge E_{2} ⊂ M und eine Fortsetzung von f_{1} zu einem Isomorphismus f_{2} : E_{2} → E′_{2}. Setzt man diesen Prozess fort, so erhält man eine aufsteigende Folge von elementaren Isomorphismen f_{i} : E_{i} → E′_{i}. E_{∞} := ∪E_{i} und E′_{∞} := ∪E′_{i} sind dann abgeschlossen, und f_{∞} := ∪f_{i} ist ein elementarer Isomorphismus von E_{∞} auf E′_{∞}, was der Maximalität von f_{0} widerspricht. □

Satz 3.3.2 (Shelah [11]) Ist T stabil und abzählbar, so ist jede Teilmenge einer über A konstruierbaren Menge wieder über A konstruierbar.

Aus diesem Satz folgt unmittelbar das folgende Korollar:

Folgerung 3.3.3 In abzählbaren, stabilen Theorien sind Primerweiterungen eindeutig bestimmt, wenn Primerweiterungen immer existieren.

Zum Beweis des Satzes wird das folgende Lemma benötigt:

Lemma 3.3.4 Sei T abzählbar und stabil; sind A und B über C unabhängig, und ist B′ abzählbar, so gibt es eine abzählbare Teilmenge C′ von A, so daß A und BB′ über CC′ unabhängig sind.

Beweis: C′ sei eine abzählbare Teilmenge von A mit ABC | ⌣_{BCC′} B′; dann gilt auch A | ⌣_{BCC′} B′, und wegen A | ⌣_{CC′} B folgt A | ⌣_{CC′} BB′. □

Beweis von 3.3.2: Sei B konstruierbar über A und D eine Teilmenge von B. Falls E eine beliebige abgeschlossene Teilmenge von B ist und falls E′ ⊂ B eine abzählbare Erweiterung von E (also mit abzählbarer Differenz E′ \ E) ist, so existiert eine abzählbare abgeschlossene Erweiterung E′′ von E′. Ebenso gibt es für E mit D | ⌣_{A(D∩E)} E und jeder abzählbare Erweiterung von E′ von E eine abzählbare Erweiterung E′′ mit D | ⌣_{A(D∩E′′)} E′′ (3.3.4).

Wendet man diese beiden Abschlußprozesse abwechslungsweise abzählbar oft an, so sieht man, daß es zu jeder abgeschlossenen Teilmenge E von B mit

D | ⌣_{A(D∩E)} E

und zu jeder abzählbaren Erweiterung E′ von E eine abzählbare abgeschlossene Erweiterung E′′ gibt mit

D | ⌣_{A(D∩E′′)} E′′.

Man kann daher eine stetige Kette (C_{α})_{α<ξ} von abgeschlossenen Mengen konstruieren mit C_{0} = ∅, ⋃_{α<ξ} C_{α} = B, abzählbaren Differenzen C_{α+1} \ C_{α} und

D | ⌣_{A(D∩C_{α})} C_{α}.

Zu jedem α wähle man eine ω–Aufzählung von D ∩ (C_{α+1} \ C_{α}); diese Aufzählungen setze man zu einer Aufzählung von D zusammen. Um zu zeigen, daß diese Aufzählung eine Konstruktion von D ist, genügt es zu zeigen, daß jedes endliche Anfangsstück \overline{d} von D ∩ (C_{α+1} \ C_{α}) atomar über A(D ∩ C_{α}) ist. Das folgt aber aus dem Open Mapping Theorem (2.3.10), weil \overline{d} atomar über AC_{α} ist. □

3.4 Interne Typen

Modelle ω_{1}–kategorischer Theorien sind (minimale) Primerweiterung von streng minimalen Mengen. Wir werden im nächsten Abschnitt sehen, daß hier die Primerweiterungen auf besonders einfache Art gebildet sind. Wir benötigen dazu den Begriff des internen Typs.

T sei in diesem Abschnitt total transzendent. Wir arbeiten im Monstermodell ℂ. Definierbare Teilklassen von ℂ bezeichnen wir mit 𝔽, 𝔾, . . .. Alle anderen betrachteten Menge sollen klein im Vergleich zu ℂ sein. 𝔽 = ϕ_{0}(ℂ) bezeichne eine feste 0–definierbare unendliche Teilklasse von ℂ.

\underline{Beispiel} Sei G eine Gruppe.

M = (G, A)

sei eine zweisortige Struktur, wobei A eine Kopie von G ist, die aber keinerlei Struktur trägt. Vielmehr gehört die Abbildung

π : G × A → A

definiert durch π(g, a) = ga zu M. M ist dann Primerweiterung von G. Die Typen aller Elemente von A sind G–intern im Sinn der folgenden Definition.

Definition 3.4.1 Eine Typ p ∈ S(A) heißt 𝔽–intern, wenn für eine Menge B

p(ℂ) ⊂ dcl(𝔽B).

Lemma 3.4.1 p ist genau dann 𝔽–intern, wenn es eine Parametermenge B und eine Realisierung e von p gibt mit e ∈ dcl(𝔽B) und e | ⌣_{A} B.

Beweis: Wenn p(ℂ) ⊂ dcl(𝔽B), nehmen wir für e eine Realisierung von p, die unabhängig von B über A ist.

Wenn umgekehrt eine Realisierung e mit e | ⌣_{A} b und e ∈ dcl(𝔽b) gegeben ist, wählen wir eine Morleyfolge b_{0}, b_{1}, … von tp(b/acl(A)) der Länge |T |^{+}. Wenn e′ eine beliebiges Element von p(ℂ) ist, gibt es ein i mit e′ | ⌣_{A} b_{i}^{1}. Nehmen wir zunächst an, daß p stationär ist. Dann ist eb ∼_{A} e′b_{i}. Es folgt e′ ∈ dcl(𝔽b_{i}). Für B = {b_{0}, b_{1} …} ist also p(ℂ) ⊂ dcl(𝔽B). Wenn p nicht stationär ist, haben wir nur gezeigt, daß tp(e/acl(A)) 𝔽–intern ist. Dann sind aber alle Fortsetzungen von p auf acl(A) 𝔽–intern. Es muß also eine Menge B geben, sodaß die Realisierungen aller Fortsetzungen von p auf acl(A) in dcl(𝔽B) liegen. □

Eine Gruppe G operiert regulär auf einer Menge A, wenn es für alle a, b ∈ A genau ein g ∈ G mit ga = b gibt. 𝔽^{eq} ⊂ ℂ^{eq} besteht aus den Klassen 0– definierbarer Äquivalenzklassen, die Repräsentanten aus 𝔽^{n} haben.

1Sonst wäre p_{i} = tp(e′/acl(A)b_{1} … b_{i−1}) eine zu lange Kette von forkenden Erweiterungen.

Satz 3.4.2 T sei eine total transzendente Theorie. Wenn p ∈ S(∅) 𝔽–intern ist, gibt es eine definierbare Gruppe 𝔾 ⊂ 𝔽^{eq} und eine definierbare Klasse 𝔸, auf der 𝔾 regulär operiert mit p(ℂ) ⊂ dcl(𝔽a) für alle a ∈ 𝔸. 𝔾, 𝔸, die Gruppenoperation und die Operation von 𝔾 auf 𝔸 sind mit Parametern aus 𝔽 definierbar.

Beweis: Sei p(ℂ) ⊂ dcl(𝔽B). Eine Kompaktheitsüberlegung zeigt die Existenz eines η ∈ p mit 𝔼 = η(ℂ) ⊂ dcl(𝔽B) (eine solches 𝔼 heißt 𝔽–intern). Weiter findet man eine B–definierbare partielle Surjektion von 𝔽^{m} auf 𝔼. Aus dem nächsten Lemma folgt, daß diese Surjektion mit Parametern aus 𝔽 und 𝔼 definierbar ist. Wir bauen die Parameter aus 𝔽 in die Funktion ein und erhalten eine 0–definierbare partielle Abbildung

π : 𝔽^{n} × 𝔼^{k} → 𝔼,

die für mindestens ein festgehaltenes e ∈ 𝔼^{k} surjektiv ist. Weil die isolierten Typen über 𝔽 dicht sind, finden wir e in einer 𝔽–definierbaren Klasse 𝔸, die einen vollständigen Typ über 𝔽 bestimmt^{2}. Wir schränken π ein:

π : 𝔽^{n} × 𝔸 → 𝔼

Es ist klar, daß p(ℂ) ⊂ 𝔼 ⊂ dcl(𝔽a) für alle a ∈ 𝔸. π ergibt auf naheliegende Weise eine partielle Abbildung

π : 𝔽^{nk} × 𝔸 → 𝔼^{k}.

Sei ℍ die Menge aller h ∈ 𝔽^{nk}, für die π(h, a) ∈ 𝔸 für ein (oder äquivalent für alle) a ∈ 𝔸. Wir nennen h_{1} und h_{2} äquivalent, wenn π(h_{1}, a) = π(h_{2}, a) für ein (alle) a ∈ 𝔸. Wir verknüpfen zwei Äquivalenzklassen durch die Bestimmung

π(h_{1} ∘ h_{2}, a) = π(h_{1}, π(h_{2}, a))

für ein (alle) a ∈ 𝔸.

Aus diese Weise werden die Äquivalenzklassen auf ℍ zu einer definierbaren Gruppe 𝔾, die definierbar auf 𝔸 operiert. □

Lemma 3.4.3 Sei T stabil und 𝔽 ohne Parameter definierbar. Dann läßt sich jede definierbare Teilklasse von 𝔽 mit Parametern aus 𝔽 definieren.

Beweis: Sei ψ(a, ℂ) eine definierbare Teilklasse von 𝔽^{n}. Der Typ q = tp(a/𝔽) ist definierbar, wie wir uns gleich überlegen. Dann ist

ψ(a, ℂ) = {f ∈ 𝔽^{n} | ⊧ d_{q}xψ(x, f)}.

Sei q ein Typ über der Menge^{3} F und q̃ eine Erweiterung auf acl(F). q̃ ist definierbar. Sei dq̃xψ(x, y) = ψ̃(y, a) für ein Tupel a ∈ acl(A), dessen Typ über A von ϵ(z) isoliert wird. Dann können wir setzen:

2Man kann zeigen, daß 𝔸 mit atomaren Parametern aus 𝔽 definiert werden kann.

3Wenn q ein Typ über einer Klasse 𝔽 ist, kann man etwas vorsichtiger so argumentieren:

Man wählt eine Menge F ⊂ 𝔽, sodaß q nicht über F forkt und die einzige nicht–forkende Fortsetzung von q ↾ F auf 𝔽 ist. Alle Fortsetzungen q̃ auf acl(F) liefern eine Definition von q etc.

d_{q}xψ(x, y) = ∃z(ψ̃(y, z) ∧ ϵ(z)).
□

\underline{Übung} 3.4.1 Sei T stabil und 𝔽 definierbar. Dann ist jede definierbare Teilklasse von 𝔽 Durchschnitt von 𝔽 mit einer Klasse, die mit Parametern aus 𝔽 definierbar ist.

\underline{Übung} 3.4.2 (Poizats Groupe de Liaison ([8])) T sei total transzendent. 𝔼 und 𝔽 seien 0–definierbar und 𝔼 sei 𝔽 intern. Dann ist Aut(𝔼/𝔽) eine 𝔽–definierbare Permutationsgruppe. Aut(𝔼/𝔽) operiert regulär auf 𝔸 (𝔸 wie im Beweis von 3.4.2) und ist definierbar isomorph zu 𝔾.

3.5 ω_{1}–kategorische Theorien

T sei in diesem Abschnitt eine stabile Theorie mit Imaginärenelimination.

Definition 3.5.1 Sei 𝔽 eine 0–definierbare Klasse. Ein Typ p ∈ S(∅) heißt 𝔽–analysierbar in endlich vielen Schritten, wenn es für jede Realisierung a von p eine Folge von Tupeln a_{0}, …, a_{n} gibt, sodaß

a) a_{n} = a und a_{i} ∈ dcl(a) für alle i.

b) Alle Typen tp(a_{i}/a_{0} … a_{i−1}) sind 𝔽–intern.

Satz 3.5.1 (Hrushovski [4]) Sei T ω_{1}–kategorisch und 𝔽 eine 0–definierbare streng minimale Menge. Dann ist jeder Typ p ∈ S(∅) 𝔽–analysierbar in endlich vielen Schritten.

Zum Beweis des Satzes brauchen wir einige Vorbereitungen.

Sei p ein stationärer Typ. Man sagt, daß p auf B basiert, wenn p parallel zu einem auf B definierten Typ ist. Die kanonische Basis Cb(p) von p ist, für eine gute Definition d_{p}, die Menge der kanonischen Parameter aller Formeln d_{p}xϕ(x, \overline{y}).

Lemma 3.5.2 p ∈ S(A) basiert genau dann auf B, wenn Cb(p) ⊂ dcl(B).

Beweis: Es ist klar, daß Cb(p) ⊂ dcl(A), wenn p ∈ S(A). Parallele Typen werden durch die gleichen Formeln definiert. Also folgt Cb(q) = Cb(p) ⊂ dcl(B), wenn q ∈ S(B) parallel zu p ist. Wenn andererseits Cb(p) ⊂ dcl(B), wählen wir eine nicht– forkende Fortsetzung r von p, die auf einer Obermenge von dcl(B) definiert ist. Weil r über Cb(p) und also über dcl(B) und damit auch über B definiert ist, ist r die nicht–forkende Fortsetzung des stationären Typs q = r ↾ B. q ist parallel zu p. □

Durch die Eigenschaft des Lemmas ist Cb(p) bis auf Interdefinierbarkeit eindeutig bestimmt.

Satz 3.5.3 Sei p ∈ S(A) ein stationärer Typ.

1. Wenn I eine unendliche Morleyfolge von p ist, ist Cb(p) ⊂ dcl(I).

2. p forkt genau dann nicht über B ⊂ A, wenn Cb(p) ⊂ acl(B).

Beweis: 1): Nach der Übung 3.1.2(b) ist der Durchschnittstyp Av(I) die nicht–forkende Erweiterung von p auf das Monstermodell. Aus dem Beweis von 3.1.2 folgt, daß Av(p) auf I basiert.

2): p forkt genau dann nicht über B, wenn p auf acl(B) basiert ist. □

Sei 𝔽 eine 0–definierbare Klasse und p ∈ S(A). p heißt orthogonal^{4} zu 𝔽, wenn für jede Realisierung b von p, jedes c ∈ 𝔽 und jede Erweiterung B von A

b | ⌣_{A} B ⟹ b | ⌣_{B} c.

Lemma 3.5.4 Sei T ω_{1}–kategorisch und 𝔽 eine 0–definierbare streng minimale Menge. Dann ist kein nicht–algebraischer Typ orthogonal zu 𝔽.

Beweis: Sei p ∈ S(A) orthogonal zu 𝔽. Wir wählen ein Modell M, das A enthält, eine Realisierung b von p, die über A unabhängig von M ist und ein Modell N, das M und b enthält. Aus der Voraussetzung folgt, daß b über M unabhängig von 𝔽(N) ist. Weil andererseits N (minimale) Primerweiterung von M ∪ 𝔽(N) ist, ist b atomar über M\overline{c} für ein Tupel \overline{c} ∈ 𝔽(N), sagen wir isoliert durch ψ(x, \overline{c}). Nun ist aber nach der Übung 2.1.4 der Typ tp(\overline{c}/Mb) ein Erbe von tp(\overline{c}/M). Es muß also ein m ∈ M geben, das ψ(x, \overline{c}) realisiert, dieses m kann aber nur b selbst sein. Es folgt b | ⌣_{A} b, also b ∈ acl(A) (2.3.4) und p ist algebraisch. □

Beweis (von 3.5.1) Durch Induktion über α = MR(p). Wenn α = 0, p also algebraisch ist, ist p trivialerweise intern (in jeder definierbaren Klasse). Wenn α > 0, finden wir eine Realisierung b von p, ein c ∈ 𝔽 und eine Parametermenge B, sodaß b | ⌣ B und b |̸ ⌣_{B} c. Aus Stetigkeitsgründen können wir annehmen, daß B endlich ist. Sei nun D die kanonische Basis von tp(cB/acl(b)). Weil cB | ⌣_{D} b, aber cB |̸ ⌣ b, ist b |̸ ⌣ D. Sei (c_{i}B_{i}) eine unendliche Morleyfolge von tp(cB/D). Dann ist

D ⊂ dcl(c_{0}B_{0}c_{1}B_{1} …).

Aus b | ⌣ B (und D ⊂ acl(b)) folgt D | ⌣ B und damit D | ⌣ B_{0}B_{1} . . .. Damit ist gezeigt, daß der Typ jedes Tupels d ∈ D 𝔽–intern ist (Lemma 3.4.1). Wir wählen ein endliches Tupel d ∈ D so, daß b |̸ ⌣ d. Dann ist MR(b/d) < α. Wenn wir den Parameter d zur Sprache hinzufügen und die Induktionsvoraussetzung auf T (d) anwenden, gibt es eine Folge b_{0}, …, b_{n} = b, sodaß b_{i} ∈ dcl(db) und die Typen tp(b_{i}/db_{0} … b_{n}) 𝔽–intern sind. Wir wären jetzt fertig, wenn wir wüßten, daß d ∈ dcl(b). Dazu ersetzen wir d durch den kanonischen Parameter d′ der endlichen Menge {d_{1}, …, d_{k}} der Konjugierten von d über b. Wir haben dann d′ ∈ dcl(b). Weil d′ ∈ dcl(d_{1} … d_{k}) ist der Typ von d′ 𝔽–intern. Weil d′ und d denselben algebraischen Abschluß haben, ist MR(b/d′) = MR(b/d) < α. Mit diesem d′ können den Beweis zu Ende bringen. □

4 Was wir definieren, heißt offiziell: p ist fremd zu 𝔽. Wenn 𝔽 streng minimal ist, ist das aber äquivalent zu der Orthogonalität von p und dem durch 𝔽 bestimmten streng minimalen Typ.

Folgerung 3.5.5 (Baldwin [1]) ω_{1}–kategorische Theorien haben endlichen Morleyrang.

Der Morleyrang einer Theorie T ist der Morleyrang der Formel x ≐ x.

Beweis: Wir können annehmen, daß es eine 0–definierbare streng minimale Menge 𝔽 gibt. Wir nennen eine 0–definierbare partielle Funktion f(\overline{u}, v_{0}, …, v_{i−1}, w) und eine Formel ψ(v_{0}, …, v_{i−1}, v_{i}) ein internes Schema für a_{0}, …, a_{i}, wenn

⊧ ψ(a_{0}, …, a_{i})

und

⊧ ∃w ∀v_{i} ( ψ(a_{0}, …, a_{i−1}, v_{i}) ⟶ ∃\overline{u} ∈ 𝔽 f(\overline{u}, a_{0}, …, a_{i−1}, w) ≐ v_{i}) .

Die Folge a_{0}, …, a_{i} hat genau dann ein internes Schema, wenn tp(a_{i}/a_{0} … a_{i−1}) 𝔽–intern ist^{5}. Ein analysierendes Schema für die Folge a_{0}, …, a_{n} ist eine Folge von internen Schemas für die Anfangsstücke der Folge. Nun ist jedes Element a (aus der home sort) letztes Element eines Tupels, das ein analysierendes Schema hat. Eine Kompaktheitsüberlegung liefert uns die Existenz eines endlichen Vorrats von analysierenden Schemas mit denen alle Elemente auskommen. Insbesondere gibt es eine Schranke für die Länge der benötigten analysierenden Folgen. Beweis noch unvollständig. □

5Wir arbeiten in T^{eq}, um Tupel durch Elemente ersetzen zu können.

Hinweise zu den Übungen

\underline{Übung} 1.1.1 Sei A = {a_{i}} und C = {c_{j}} eine Menge von neuen Konstanten. Betrachte die L(C)–Theorien

(4.1)  Ind = \{ϕ(\overline{d}) ↔ ϕ(\overline{e}) | \overline{d}, \overline{e} ∈ C\}
(4.2)  T yp = \{ϕ(c) | M ⊧ ϕ(\overline{a}) für alle \overline{a} ∈ A\}

Dabei sind die ϕ L–Formeln und \overline{c}, \overline{d}, \overline{e}, \overline{a} aufsteigend indizierte Tupel. Mit Hilfe des Satzes von Ramsey sieht man, daß T ∪Ind∪T yp endlich erfüllbar ist. Wähle für (N, b_{j})_{j∈J} ein Modell von T ∪ Ind ∪ T yp.

\underline{Übung} 1.4.1

1. Sei p algebraisch und ϕ ∈ p algebraisch. Wenn wir ϕ so wählen, daß die (endliche) Zahl der Realisierungen von ϕ minimal ist, wird p von ϕ isoliert.

2. Wenn p nicht algebraisch ist, wird jede endliche Teilmenge von p von unendlich vielen Elementen realisiert. Mit einem Kompaktheitsargument schließt man daraus, daß p unendlich viele Realisierungen hat,

\underline{Übung} 1.4.2 Sei ϕ(M) minimal.

Wenn ϕ(M)∩ψ(M, \overline{a}) falls endlich durch k beschränkt und ϕ(M)∩¬ψ(M, \overline{a}) durch l beschränkt ist, hat für alle \overline{a} ∈ M die Menge ϕ(M) ∩ ψ(M, \overline{a}) oder die Menge ϕ(M)∩¬ψ(M, \overline{a}) höchstens max\{k, l\} Elemente. Diese Aussage überträgt sich auf alle Modelle, die die Parameter enthalten. Also ist ϕ streng minimal.

Wenn es umgekehrt für ψ(x, \overline{y}) eine solche Schranke nicht gibt, gibt es für alle k ein \overline{a} ∈ M, sodaß beide, ϕ(M) ∩ ψ(M, \overline{a}) und ϕ(M) ∩ ¬ψ(M, \overline{a}) mehr als k Elemente haben. In einer elementaren Erweiterung N gibt es also ein \overline{a}, sodaß ϕ(M) ∩ ψ(M, \overline{a}) und ϕ(M) ∩ ¬ψ(M, \overline{a}) unendlich sind und ϕ(x) ist nicht streng minimal.

\underline{Übung} 1.5.1 Sei M ein Modell von T und \overline{b}_{1},\overline{b}_{2} zwei Tupel vom gleichen Typ. Wir müssen einen Automorphismus von M finden, der \overline{b}_{1} in \overline{b}_{2} überführt.

Wenn M überabzählbar ist, ist M saturiert und wir sind fertig. Sei also M abzählbar. Wenn m_{0}, die ϕ_{0}–Dimension des Primmodells, unendlich ist, ist M wiederum saturiert. Wir können also annehmen, daß m_{0} endlich ist.

Wir wählen Primerweiterungen M_{1} und M_{2} von \overline{b}_{1} und \overline{b}_{2} und fixieren einen Isomorphismus zwischen M_{1} und M_{2}, der \overline{b}_{1} in \overline{b}_{2} überführt. \overline{a}_{1} ∈ M_{1} sei ein Parameter für ϕ_{0} und \overline{a}_{2} sein Pendant in M_{2}. Weil die M_{i} endliche ϕ_{0}–Dimension haben, ist dim(M/M_{1}) = dim(M/M_{2}). Sei c_{1}^{1}, …, c_{1}^{n} eine ϕ(x, \overline{a}_{1})–Basis von M über M_{1} und c_{2}^{1}, …, c_{2}^{n} eine ϕ(x, \overline{a}_{2})–Basis über M_{2}. M ist dann minimale Primerweiterung von M_{1}c_{1}^{1}, …, c_{1}^{n} und M_{2}c_{2}^{1}, …, c_{2}^{n}. Der Isomorphismus zwischen M_{1} und M_{2} setzt sich zu einem Isomorphismus zwischen M_{1}c_{1}^{1}, …, c_{1}^{n} und M_{2}c_{2}^{1}, …, c_{2}^{n} und dann zu einem Automorphismus von M fort.

\underline{Übung} 1.6.1 Sei T ω–stabil und A abzählbar. Wähle Elemente b_{i}, sodaß S_{1}(A) = {tp(b_{i}/A) | i ∈ ω} und c_{ij}, sodaß S_{1}(Ab_{i}) = {tp(c_{ij}/Ab_{i}) | j ∈ ω}. Dann ist S_{2}(A) = {tp(b_{i}c_{ij}/A) | j ∈ ω} abzählbar. Ebenso zeigt man, daß alle S_{n}(A) abzählbar sind.

Wenn es einen binären Baum von Formeln in n–Variablen gibt, gibt es einen abzählbare Teilsprache L_{0} ⊂ L, für die die abzählbare Theorie T_{0} = T ↾ L_{0} nicht ω–stabil im Sinn von n–Typen ist. Es folgt, daß auch T_{0} nicht ω–stabil ist. Also sind T_{0} und T nicht total transzendent.

\underline{Übung} 1.6.2 Sei M ein ω–saturiertes Modell und p ein Typ über M. ϕ(x, \overline{m}) ∈ p sei von minimalem Rang α und Grad n. Wenn n > 1, gibt es eine Formel ψ(x, \overline{b}), sodaß ϕ(x, \overline{m}) ∧ ψ(x, \overline{b}) und ϕ(x, \overline{m}) ∧ ¬ψ(x, \overline{b}) Morleygrad α haben. Wähle \overline{a} ∈ M mit tp(\overline{a}/\overline{m}) = tp(\overline{b}/\overline{m}). Dann haben die beiden Formeln ϕ(x, \overline{m}) ∧ ψ(x, \overline{a}) und ϕ(x, \overline{m}) ∧ ¬ψ(x, \overline{a}) Rang α und eine der beiden Formeln gehört zu p. Das widerspricht der minimalen Wahl von ϕ(x, \overline{m}).

\underline{Übung} 2.1.1 Wenn ψ(x, y) eine Folge von Elementen ordnet, ist ψ auch unstabil. Wenn ϕ(x, y) unstabil ist und ⊧ ϕ(\overline{a}_{i}, \overline{b}_{j}) ⟺ i < j ordnet die Formel ψ(x_{1}, x_{2}; y_{1}, y_{2}) = ϕ(x_{1}, y_{2}) die Elemente a_{0}b_{0}, a_{1}b_{1}, ….

\underline{Übung} 2.1.2 Sei A = \{0, \frac{1}{2}, 1\}. Wir betten I in ^{μ}A ein, indem wir die Folgen aus I_{0} konstant mit den Wert \frac{1}{2} zu Folgen der Länge μ fortsetzen. Dann geben wir I die durch die lexikographische Ordnung von ^{μ}A induzierte Ordnung.

\underline{Übung} 2.1.3

a) ⇔ d): Das wurde eigentlich schon im Beweis von 2.1.1 gezeigt. Allerdings nur für |A| ≥ |T |. Man sieht aber sofort, daß T genau dann stabil ist, wenn die Einschränkung von T auf jede endliche Teilsprache von L stabil ist. Die Einschränkung an |A| ist also überflüssig. Außerdem zeigt der Beweis, daß wir für unstabiles T ein A von jeder gewünschten Mächtigkeit finden können, für das |S_{ϕ}(A)| > |A|. Damit folgt auch sofort b) ⇒ a).

d) ⇒ c): Ein Typ p ∈ S(A) ist bestimmt durch die Familie aller p_{ϕ}. Also ist

|S(A)| ≤ ∏_{ϕ} |S_{ϕ}(A)| ≤ ∏_{ϕ} |A| = |A|^{|T |} .

Wenn |A| = λ und λ^{|T |} = λ, ist also |S(A)| ≤ λ.

c) ⇒ b): Klar.

\underline{Übung} 2.1.4 1): Die Formelmenge

r(x) = \{ϕ(x, \overline{b}) | \overline{b} ∈ B, ϕ(x, \overline{y}) L(M)–Formel, ϕ(x, \overline{m}) ∈ p für alle \overline{m} ∈ M\}

ist endlich erfüllbar. Denn wenn die Konjunktion der ϕ_{1}(x, \overline{b}_{1}), …, ϕ_{n}(x, \overline{b}_{n}) ∈ r(x) inkonsistent wäre, müßte es auch \overline{m}_{1}, …, \overline{m}_{n} ∈ M geben, für die die Konjunktion der ϕ_{1}(x, \overline{m}_{1}), …, ϕ_{n}(x, \overline{m}_{n}) inkonsistent wäre. Das geht aber nicht, weil die ϕ_{i}(x, \overline{m}_{i}) zu p gehören. Jeder Typ q(x) ∈ S(B), der r(x) enthält, ist ein Erbe von p(x). (Beachte, daß p ⊂ r.)

2): Sei q ein Erbe von p und ϕ(x, \overline{b}) ∈ q. Weil für kein \overline{m} ∈ M die Formel ϕ(x, \overline{m}) ∧ ¬d_{p}xϕ(x, \overline{m}) zu p gehören kann, gehört ϕ(x, \overline{b}) ∧ ¬d_{p}xϕ(x, \overline{b}) nicht zu q. Also ist ⊧ d_{p}xϕ(x, \overline{b}). Das zeigt, daß q die nicht–forkende Erweiterung von p ist.

\underline{Übung} 2.2.1 Wir beweisen nur Teil 1). Die Behauptung 2) ist klar.

Nehmen wir zuerst an, daß M Imaginäre eliminiert. Um 1a) zu zeigen, betrachten wir X = ϕ(M^{k}, a) für ein a ∈ M^{n}. Die Äquivalenzrelation

y_{1}Ey_{2} ⟺ ∀x ϕ(x, y_{1}) ↔ ϕ(x, y_{2})

sei Faserung der 0–definierbaren Funktion f : M^{n} → M^{m}. Setze c = f(a). Dann ist

X = {b ∈ M^{k} | M ⊧ ∃y (f(y) ≐ c ∧ ϕ(b, y))}

über c definierbar. Andererseits ist

{c} = {d ∈ M^{m} | (M, X) ⊧ ∃y (f(y) ≐ d ∧ ∀x P (x) ↔ ϕ(x, y))} .

Für 1b) betrachten wir die Partition

M^{2} = {a_{0}a_{1} | a_{0} ≠ a_{1}} ∪ {aa | a ∈ M}

ist Faserung einer 0–definierbaren Funktion M^{2} → M^{m}. Das liefert zwei 0– definierbare k–Tupel, also auch mindestens zwei 0–definierbare Elemente.

Für die Umkehrung nehmen wir an, daß 1a) und 1b) gelten. Sei E ⊂ M^{k} × M^{k} eine 0–definierbare Äquivalenzrelation. Für jede Äquivalenzklasse a/E gibt es ein Tupel c, sodaß a/E aus c definierbar ist und umgekehrt c aus dem Prädikat a/E. Es gibt also einerseits eine L–Formel ϕ_{1}(x; y) mit

M ⊧ ∀x (ϕ_{1}(x; c) ↔ xEa)

und andererseits ein ϕ_{2}(x; y) mit

M ⊧ ∀x (xEa → ∀y(ϕ_{2}(x; y) ↔ y =^{.} c))

ϕ = ϕ_{1} ∧ ϕ_{2} hat beide Eigenschaften, deren Konjunktion wir mit Φ_{ϕ}(a; c) bezeichnen. Wenn M |T |^{+}–saturiert ist, muß es ϕ_{0}, …, ϕ_{n−1} geben, sodaß

M ⊧ ∀x∃y ⋁_{i<n} Φ_{ϕ_{i}}(x; y).

Jedes ϕ(x; y) definiert eine Funktion F_{ϕ} : D_{ϕ} → M^{n_{ϕ}}, wobei

D_{ϕ} = {a ∈ M^{k} | M ⊧ ∃y Φ_{ϕ}(a; y)}.

D_{ϕ} besteht aus vollen Äquivalenzklassen und E ∩ D_{ϕ}^{2} ist die Faserung von F_{ϕ}.

Wenn b ein 0–definierbares Tupel ist, können wir ϕ(x; y) ersetzen durch

ϕ′(x; y, y′) = ϕ(x, y) ∧ b =^{.} y′.

Auf diese Weise können wir erreichen, daß die Stelligkeit n_{ϕ_{i}} für alle i < n die gleiche ist (sagen wir gleich n) und daß die Wertebereiche der F_{ϕ_{i}} disjunkt sind. Jetzt definiert

F (x) = { F_{ϕ_{0}}(x) falls x ∈ D_{ϕ_{0}} F_{ϕ_{1}}(x) falls x ∈ D_{ϕ_{1}} \ D_{ϕ_{0}} ⋮ F_{ϕ_{n−1}}(x) falls x ∈ D_{ϕ_{n−1}} \ (D_{ϕ_{0}} ∪ … ∪ D_{ϕ_{n−2}})

eine Funktion F : M^{k} → M^{n} mit E als Faserung.

\underline{Übung} 2.2.2 Sei A ⊂ M genügend saturiert und q_{1} und q_{2} zwei Fortsetzungen von p auf acl(A). a_{1}, a_{2} ∈ M seien Realisierungen von q_{1} und q_{2}. Es gibt einen A–Automorphismus α von M, der a_{1} in a_{2} überführt. Weil α(acl(A)) = acl(A), ist α(q_{1}) = q_{2}.

\underline{Übung} 2.2.3 Sei p ∈ S(A) algebraisch. Wenn p von b ∈ dcl(B) realisiert wird, ist d_{p}xϕ(x, \overline{y}) = ϕ(b, \overline{y}) eine gute Definition von p über B. Sei umgekehrt q eine Fortsetzung von p auf M. q wird in M durch ein b realisiert. Dann definiert d_{q}x(x ≐ y) die Menge {b}. Wenn q über B definierbar ist, ist also b ∈ dcl(B).

\underline{Übung} 2.3.1 Wähle zuerst ein A_{1} ⊂ A, das höchstens die Mächtigkeit |T | hat und über dem p nicht forkt. Seien (p^{i}) alle nicht–forkenden Fortsetzungen von p ↾ A_{1} auf A. Für jede L–Formel ϕ(y, \overline{y}) gibt es nur endlich viele verschiedene p_{ϕ}^{i}. Es also eine endliche Teilmenge A_{ϕ} von A, sodaß für alle i

(p^{i} ↾ A_{ϕ})_{ϕ} = (p ↾ A_{ϕ})_{ϕ} ⟹ p_{ϕ}^{i} = p_{ϕ}.

Setze nun A_{0} = A_{1} ∪ ⋃_{ϕ} A_{ϕ}.

Wenn p Morleyrang hat, wählt man ein ϕ ∈ p, das den gleichen Rang und Grad hat wie p. Ein A_{0}, das die Parameter von ϕ enthält, leistet das Gewünschte.

\underline{Übung} 2.3.2 Sei (p_{α})_{α∈|T |^{+}} eine Kette von Typen p_{α} ∈ A_{α}. Die Vereinigung ⋃_{α∈|T |^{+}} p_{α} forkt nicht über einer Teilmengen A′ von ⋃_{α∈|T |^{+}} A_{α}, die höchstens die Mächtigkeit |T | hat. Für genügend großes α ist A′ in A_{α} enthalten. Die Kette forkt nicht mehr ab diesem Index.

\underline{Übung} 2.3.3

ab | ⌣_{A} B ⟺ B | ⌣_{A} ab  Symmetrie
⟺ B | ⌣_{A} a & B | ⌣_{Aa} b Transitivität und Monotonie
⟺ a | ⌣_{A} B & b | ⌣_{Aa} B Symmetrie

\underline{Übung} 2.3.4 Wegen Forkingstetigkeit können wir annehmen, daß B endlich ist. Außerdem sei A leer, das vereinfacht die Notation. Die Übung folgt dann aus der folgenden Behauptung durch Induktion:

\underline{Behauptung}: Wenn B unabhängig ist und b | ⌣ B, ist auch B ∪ \{b\} unabhängig.

Beweis: Sei c ∈ B. Dann folgt aus b | ⌣ B, daß c | ⌣_{B\{c}} b (Symmetrie und Monotonie). Weil B unabhängig ist, ist c | ⌣ B \ {c}. Transitivität liefert

c | ⌣ B \ {c} ∪ {b}.

\underline{Übung} 2.3.5 Wir zeigen einen Spezialfall: (Der allgemeine Fall hat den gleichen Beweis.) Das Paar b_{1}b_{2} sei unabhängig von C. Dann ist

b_{1} | ⌣ b_{1} ⟺ b_{1} | ⌣_{C} b_{2}.

Beweis: Nach der letzten Übung (2.3.4) bedeuten beide Seiten der Äquivalenz, daß das Tripel {b_{1}, b_{2}, C} unabhängig ist. Für die Richtung von rechts nach links genügt es vorauszusetzen, daß b_{1} und b_{2} einzeln unabhängig von C sind.

\underline{Übung} 2.4.1 Das ist eine Umformulierung von Übung 2.2.1.1. Man beachte, daß es dort für die Umkehrung genügt, Klassen der Form X = a/E zu betrachten.

\underline{Übung} 2.3.6 Alle stationären nicht–forkenden Fortsetzungen von p = tp(a/Ab) auf acl(A)b basieren auf acl(A). Es genügt also zu zeigen, daß p nur mit einem Typ q ∈ S(acl(A)) konsistent ist (nämlich mit q = tp(a/acl(A)) = tp(b/acl(A)). Dafür überlegen wir, daß p(x) "weiß", daß x denselben Typ über acl(A) hat, wie b: Wenn nämlich a′ eine zweite Realisierung von p ist, haben ab und a′b denselben Typ über A, und die beiden Typen tp(ab/acl(A)) und tp(a′b/acl(A)) sind über A konjugiert. Also haben auch a′ und b denselben Typ über acl(A).

\underline{Übung} 3.1.1 Sei p ∈ S(A) und q eine nicht–forkende Fortsetzung auf B. Sei I ein Morleyfolge von q. Dann ist I unabhängig über B. Weil jedes einzelne Element von I unabhängig von B über A ist, ist I auch unabhängig über A (siehe Übung 2.3.5), als eine Morleyfolge von p.

\underline{Übung} 3.1.2 3.1.2a): I \ I_{0} ist unabhängig von B über A, also unabhängig über B. Die Elemente von I realisieren die nicht–forkende Erweiterung von p auf B.

3.1.2b): Sei B eine Erweiterung von A und q die nicht–forkende Fortsetzung von p. Wir setzen I zu einer Folge I′ fort, die indiscernible über A ist und sehr lang. Dann ist I′ immer noch eine Morleyfolge von p. Wenn wir jetzt also ein I_{0} ⊂ I′ mit B | ⌣_{AI_{0}} I′ wählen mit |I_{0}| ≤ |T | + |B|, ist I′ \ I_{0} eine unendliche Morleyfolge von q mit dem gleichem Durchschnittstyp wie I. Also ist q ⊂ Av(I).

\underline{Übung} 3.1.3 Wenn I_{0} und I_{1} parallel sind, also I_{0}J und I_{1}J indiscernible sind, so ist

Av(I_{0}) = Av(I_{0}J) = Av(I_{1}J) = Av(I_{1}).

Wenn umgekehrt 𝔭 = Av(I_{0}) = Av(I_{1}), so beachten wir, daß es (nach dem Beweis von 3.1.2) zwei Mengen B_{0} und B_{1} gibt, über denen 𝔭 nicht forkt, sodaß I_{0} und I_{1} Morleyfolgen der stationären Typen 𝔭 ↾ B_{0} und 𝔭 ↾ B_{1} sind. Sei J eine Morleyfolge von 𝔭 ↾ B_{0}I_{0}B_{1}I_{1}. Dann sieht man, daß I_{0}J und I_{1}J Morleyfolgen von 𝔭 ↾ B_{0} und 𝔭 ↾ B_{1} sind.

\underline{Übung} 3.1.4 p und q seien stationär mit (unendlichen) Morleyfolgen I und J. Dann sind Av(I) und Av(J) die globalen nicht–forkenden Erweiterungen von p und q. p und q sind genau dann parallel, wenn AvI = AvJ, d.h. wenn I und J parallel sind.

\underline{Übung} 3.4.1 Der Beweis ist der gleiche wie für Lemma 3.4.3

\underline{Übung} 3.4.2 Jeder Automorphismus α ∈ Aut(𝔼/𝔽) induziert eine Permutation von 𝔸. Fixiert man ein e ∈ 𝔸, ist α durch den Wert α(e) eindeutig bestimmt: Es ist

α(π(f, e)) = π(f, α(e)).

Gibt man sich e′ ∈ 𝔸 vor, gibt es immer ein α, mit α(e) = e′, weil e und e′ denselben Typ über 𝔽 haben. Dafür gibt es zwei Argumente: Erstens kann man beweisen, daß sich in stabilen Theorien jeder Isomorphismus zwischen Klassen der Form 𝔽B zu einem Automorphismus des Monstermodells ℂ fortsetzen läßt. Zweitens kann man auch α einfach durch α(π(f, e)) = π(f, e′) definieren. Daraus ergibt sich, daß Aut(𝔼/𝔽) ≅ Aut(𝔸/𝔽) auf 𝔸 lebt und über 𝔽 definierbar ist.

Wie 𝔾 operiert auch Aut(𝔸/𝔽) regulär auf 𝔸. Außerdem kommutieren die beiden Operationen: Für alle g ∈ G, alle α ∈ Aut(𝔸/𝔽) und alle e ∈ 𝔸 ist α(ge) = g(αe). Die Zuordnung g ↦ α, wenn g^{−1}e_{0} = αe_{0}, (für ein fest gewähltes e_{0} ∈ 𝔸) definiert in einer solchen Situation immer einen Gruppenisomorphismus.

Literaturverzeichnis

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[2] John T. Baldwin. Fundamentals of Stability Theory. Perspectives in Mathematical Logic. Springer Verlag; Berlin, Heidelberg, New York, London, Paris, Tokyo, 1988.

[3] Wilfried Hodges. Model Theory. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge University Press, 1993.

[4] Ehud Hrushovski. Unidimensional theories are superstable. Ann. Pure Appl. Logic, 50:117–138, 1990.

[5] Daniel Lascar. Stability in Model Theory. Longman, New York, 1987.

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[8] Bruno Poizat. Groupes Stables. Nur Al-Mantiq Wal-Mari’fah, Villeurbanne, 1987.

[9] Saharon Shelah. Uniqueness and characterization of prime models over sets for totally transcendental first-order-theories. J. Symbolic Logic, 37:107– 113, 1972.

[10] Saharon Shelah. Classification Theory. North Holland, Amsterdam, 1978.

[11] Saharon Shelah. On uniqueness of prime models. J. Symbolic Logic, 43:215– 220, 1979.

[12] Martin Ziegler. Stabilitätstheorie. Vorlesungsskript WS 88/89, Freiburg, 1989.

Index

A | ⌣_{B} C, 39 acl^{M}(A), 13 acl^{eq}(A), 41 α–minimale Formel, 26 α–streng minimale Formel, 24 Av(I), 44 ∼_{α}, 24 a | ⌣_{B} C, 39 ℂ, 23 Cb(p), 55 Δ–Rang, 34 dcl^{eq}(A), 41 dim(N/M), 20 dim(X), 16 dim_{ϕ}(M), 16 d_{p}\overline{x}ϕ(\overline{x}, \overline{y}), 29 ϕ–Typ, 29 κ–kategorische Theorie, 3 λ–stabile Theorie, 6 M^{eq}, 41 MD(ϕ), 24 MR(ϕ), 23 MD_{α}(ϕ), 24 N(B/A), 39 ω_{1}–kategorische Theorie, 55 ω–stabile Theorie, 4 p_{ϕ}, 29 R_{Δ}, 34 S_{ϕ}(A), 29 T^{eq}, 41 T^{Sk}, 5

A–Automorphismus, 13 Abgeschlossenheitssatz, 39 Äquivalenzrelation

endliche, 31 algebraische Formel, 13 algebraischer Abschluß, 13 algebraischer Typ, 13 algebraisches Element, 13 analysierbarer Typ, 55 Austauscheigenschaft, 15 Automorphismus über A, 13

Basis, 16

club, 47

definierbarer Typ, 29

Dimension, 16

Durchschnittstyp, 44

Eindeutigkeit, 37

Elimination der Imaginären, 41 endliche Äquivalenzrelation, 31 Erbe, 32, 60 Erweiterung

nicht–forkende, 26, 30, 36, 42 Erzeugendensystem, 16

Forken, 26, 30, 36, 42 Forkingsymmetrie, 31, 39 Formel

α–minimal über A, 26 α–streng minimale, 24 algebraische, 13 ohne Morleyrang, 23 ordnende, 28 streng minimale, 13

Grad eines Typs, 13

gute Definition eines Typs, 30

home sort, 41

imaginäre Elemente, 41 Imaginärenelimination, 33 Indiscernibles, 4, 43 parallele, 45 Interdefinierbarkeit, 33 interner Typ, 52

kanonische Basis, 55 kanonischer Parameter, 33 Komponente einer Formel, 24 konjugiertes Element, 13 Konjugiertheit, 37 Konstruktion, 46

Matroid, 15 minimale Menge, 13 minimaler Typ, 14 Monotonie, 37 Monstermodell, 23, 52 Morleyfolge, 43 Morleygrad, 24 Morleyrang, 23, 25, 57

nicht–forkende Erweiterung, 26, 30, 36,

42 normale Teilmenge, 47

ordnende Formel, 28 Ordnungseigenschaft, 28

parallele Indiscernibles, 45 parallele Typen, 45 Primerweiterung, 8

konstruktible, 8 minimale, 10

Satz von Morley, 3, 18 von Ressayre, 50

Skolemisierung, 5 stabile Theorie, 28 stationärer Typ, 30 Stetigkeitssatz, 38 streng minimale Formel, 13 streng minimaler Typ, 14

Theorie κ–kategorische, 3 λ–stabile, 6 ω–stabile, 4 ω_{1}–kategorische, 55 mit Primerweiterungen, 8 stabile, 28 total transzendente, 25

total transzendent, 25 Transitivität, 37 Typ

algebraischer, 13 basiert auf, 55 definierbarer, 29 interner, 52 minimaler, 14 orthogonal zu, 56 paralleler, 45 stationärer, 30 streng minimaler, 14 zerfallender, 15

unabhängige Teilmenge, 15 Unabhängigkeit, 39, 40

Vaughtsches Paar, 11

Änderungen

Version 1 (15.7.1996)

Version 2 (27.7.1997) Durchsicht von H. Scheuermann: Druckfehler. In 3.4.2 fehlte die Voraussetzung total transzendent.

Version 3 (5.8.1998) Kleine Druckfehler wurden verbessert. Die Lösung der Übung 2.2.1 ist jetzt vollständig angegeben. Die fehlende Voraussetzung der Saturiertheit von M wurde hinzugefügt.

Version 4 (22.5.2000) Kleine Druckfehler wurden verbessert.

Version 5 (17.10.2002) Neben Druckfehlern wurde die Übung 2.1.4 verbessert.

Version 6 (18.3.2003) Die Übung 3.4.1 wurde eingefügt.

Version 7 (15.10.2003) Druckfehler in der Definition von M^{eq}. Fehlende Definitionen wurden eingefügt: konjugiert, Monstermodell. Der Beweis von Satz 1.2.1 wurde korrigiert.

Version 8 (20.11.2003) Fußnote Seite 8. Bemerkung 1.3.1 korrigiert.

Version 9 (14. Februar 2004) Fehler im Beweis von 1.3.2 korrigiert. Neue Übung 2.4.1. Druckfehler in 1.4, 1.6, Übung 2.2.1

Version 10 (4. Juli 2004) Erläuterung im Beweis von 2.1.4. Index verbessert. Druckfehler. Übung 2.2.3 verbessert (für den Beweis von 2.3.4).

Version 11 (25. Oktober 2004) Druckfehler. 1.2.5 verbessert.

Version 12 (31. Januar 2005) Druckfehler im Beweis von 1.4.6. Beweis von 1.4.9 nachgetragen. Druckfehler in Abschnitt 1.6. Druckfehler in 2.1.2. Druckfehler im Hinweis für Übung 3.1.2. Druckfehler im Beweis von Lemma 3.2.4. Druckfehler in Abschnitt 3.4. Fehler im Beweis von 3.4.1. Korrektur in 3.5.2. Druckfehler im Beweis on 3.5.1. Verbesserung im Beweis von 3.5.3 und 3.5.5.

Version 12a (2. Februar 2005) Beweis von 3.5.5 korrigiert, aber noch unvollständig. Die dazugehörige Übung wurde gestrichen.

Version 13 (9. Mai 2005) Durchsicht von Immanuel Halupczok: Druckfehler. Bemerkung nach Übung 2.1.1 korrigiert.

Version 13b (15. November 2006) Verbesserung der Formeln in 1.6.7 und 1.6.8 nach einer Bemerkung von B. Link.