Mathematik für Naturwissenschaftler^{∗}

Martin Ziegler WS 1996/1997

Literatur

[1] J.Hainzl. Mathematik für Naturwissenschaftler, volume 19 of Leitfäden der angewandten Mathematik und Mechanik. Teubner, 1977.

Inhaltsverzeichnis

1 Kombinatorik 2 2 Folgen und Reihen 3

2.1 Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2 Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Stetige Funktionen 6 4 Differentialrechnung 6 5 Integralrechnung 9 6 Taylorreihen 11 7 Polynome und rationale Funktionen 12

7.1 Bestimmen von Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 7.2 Interpolation durch Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 7.3 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 7.4 Rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

8 Fourierreihen 14 9 Vektorrechnung 15

9.1 Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 9.2 Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 9.3 Kreuzprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 10 Lineare Abbildungen 18 11 Lineare Gleichungssysteme 20 12 Differentialrechnung im ℝ^{n} 22 13 Kurven– und Bereichsintegrale 25 14 Differentialgleichungen 27

∗Version 3c, Februar 2003

14.1 Trennung der Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 14.2 Exakte Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 14.3 Lineare Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1 Kombinatorik

Satz 1.1 Eine n–elementige Menge hat 2^{n} viele Teilmengen. Als Formel:

#𝔓(A) = 2^{#A}.

Dabei bezeichnet

𝔓(A) := {B | B ⊂ A}

die Potenzmenge von A und #A die Zahl der Elemente von A. Satz 1.2 Sei A eine Menge mit n–Elementen und k eine Zahl zwischen 0 und n. Dann gibt es

n(n − 1) … (n − k + 1)

viele Möglichkeiten aus den Elementen von A eine k–elementige Folge ohne Wiederholungen auszuwählen. Definition

\binom{n}{k}

bezeichnet die Zahl der k–elementigen Teilmengen B einer n–elementigen Menge B. Definition Die Fakultät von n ist das Produkt

n! = 1 · 2 · 3 … n.

Konvention: 0! = 1 Satz 1.3 Eine n–elementige Menge läßt sich auf n! verschiedene Arten anordnen. Satz 1.4

\binom{n}{k} = \frac{n(n − 1) … (n − k + 1)}{k!}
= \frac{n!}{k!(n − k)!}

Satz 1.5 (Pascalsches Dreieck)

\binom{n + 1}{k} = \binom{n}{k} + \binom{n}{k − 1}

Satz 1.6 (Binomische Formel)

(x + y)^{n} = \binom{n}{0}x^{n} + \binom{n}{1}x^{n−1}y + … + \binom{n}{n − 1}xy^{n−1} + \binom{n}{n}y^{n}

2 Folgen und Reihen

2.1 Folgen

Definition Eine Zahlenfolge a_{0}, a_{1}, … heißt konvergent, wenn sie gegen einen Grenzwert c konvergiert. Das bedeutet, daß in jeder noch so kleinen Umgebung von c fast alle Folgenglieder liegen. In Quantorenschreibweise:

∀ϵ > 0 ∃N ∀n ≥ N |a_{n} − c| < ϵ

Eine Folge ohne Grenzwert divergiert.

Eine Zahlenfolge (a_{n}) kann nur einen Grenzwert c (oder Limes) haben. Man schreibt dafür

lim_{n→∞} a_{n}  =  c
a_{n}  ⟶_{n→∞} c

Wenn eine Zahlenfolge (a_{n}) darum divergiert, weil a_{n} für genügend große n beliebig groß wird, konvergiert sie gegen ∞:

lim_{n→∞} a_{n} = ∞ ⟺ ∀M ∃N ∀n ≥ N M < a_{n}

Beispiel:

lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{n} = 1

Satz 2.1 Eine beschränkte monoton wachsende Folge ist konvergent.

Satz 2.2 (Cauchysches Konvergenzkriterium) Eine Folge (a_{n}) konvergiert genau dann, wenn die Differenzen a_{m}−a_{n} für genügend große m, n beliebig klein werden. Genauer, wenn

∀ϵ > 0 ∃N ∀n, m ≥ N |a_{m} − a_{n}| < ϵ

Satz 2.3 (Rechenregeln) (a_{n}) und (b_{n}) seien zwei konvergente Folgen. Dann ist

lim_{n→∞}(a_{n} + b_{n}) = lim_{n→∞} a_{n} + lim_{n→∞} b_{n}
lim_{n→∞}(a_{n} · b_{n}) = lim_{n→∞} a_{n} · lim_{n→∞} b_{n}
lim_{n→∞} \frac{1}{a_{n}} = \frac{1}{lim_{n→∞} a_{n}}

In der letzten Gleichung muß man voraussetzen, daß die a_{n} und lim_{n→∞} a_{n} ungleich Null sind.

2.2 Reihen

Eine unendliche Reihe

∑_{n=0}^{∞} a_{n} = a_{0} + a_{1} + …

heißt konvergent, wenn die Folge (s_{n}) der Partialsummen

s_{n} := ∑_{i=0}^{n} a_{i} = a_{0} + a_{1} + … + a_{n}

konvergiert. lim_{n→∞} s_{n} heißt die Summe der Reihe und wird ebenfalls mit ∑_{n=0}^{∞} a_{n} bezeichnet.

Lemma 2.4 Wenn ∑_{n=0}^{∞} a_{n} konvergiert, muß (a_{n}) gegen Null konvergieren.

Beispiel: Die harmonische Reihe

∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + …

ist divergent. Die alternierende harmonische Reihe

∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n} = 1 − \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + …

konvergiert.

Die Summe der Reihe

e := ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n!} = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + …

ist die Eulersche Zahl e = 2.718 . . ..

Definition ∑_{n=0}^{∞} a_{n} heißt absolut konvergent, wenn die Reihe ∑_{n=0}^{∞} |a_{n}| der Absolutbeträge konvergiert.

Beispiel: Die geometrische Reihe

∑_{n=0}^{∞} x^{n} = 1 + x + x^{2} + …

ist genau dann absolut konvergent, wenn |x| < 1. Die Summe ist

∑_{n=0}^{∞} x^{n} = \frac{x}{1 − x}.

Satz 2.5 (Wurzelkriterium) Die Reihe ∑_{n=0}^{∞} a_{n} konvergiert absolut, wenn es eine Zahl δ gibt mit

1. 0 ≤ δ < 1

2. ^{n} \sqrt{|a_{n}|} ≤ δ für genügend große n. . Satz 2.6 (Quotientenkriterium) Die Reihe ∑_{n=0}^{∞} a_{n} konvergiert absolut, wenn es eine Zahl δ gibt mit

1. 0 ≤ δ < 1

2. |\frac{an+1}{a_{n}} | ≤ δ für genügend große n. . Definition Die Potenzreihe

exp(x) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{x^{n}}{n!} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + …

konvergiert absolut für alle x. Die dadurch durch dargestellte Funktion heißt Exponentialfunktion. Satz 2.7

exp(0) = 1
exp(1) = e
exp(a + b) = exp(a) exp(b)

Folgerung 2.8 exp(x) = e^{x}

3 Stetige Funktionen

Sei D eine Menge von reellen Zahlen und f : D → ℝ eine Funktion.

Definition f heißt stetig bei a ∈ D, wenn f(x) beliebig nahe bei f(a) liegt, wenn nur x genügend nahe bei a liegt:

∀ϵ > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D |x − a| < δ → |f(x) − f(a)| < ϵ

f heißt stetig, wenn f bei allen a ∈ D stetig ist

Komposition (Hintereinanderausführung) f ∘ g, Summe f + g, Produkt fg und Quotient \frac{f}{g} von Funktionen sind wie folgt erklärt:

(f ∘ g)(x) = f(g(x))
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
(fg)(x) = f(x)g(x)
\frac{f}{g} (x) = \frac{f(x)}{g(x)}

Satz 3.1 Komposition, Summe, Produkt und Quotient von stetigen Funktionen sind wieder stetig.

Lemma 3.2 Wenn f stetig ist und

a_{n} ⟶_{n→∞} a,

dann ist auch

f(a_{n}) ⟶_{n→∞} f(a).

Satz 3.3 (Mittelwertsatz) Eine auf einem abgeschlossenen Intervall [a, b] = {x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b} definierte stetige Funktion nimmt jeden Wert zwischen f(a) und f(b) an.

Satz 3.4 (Satz von Maximum) Jede auf einem abgeschlossenen Intervall [a, b] definierte stetige Funktion hat ein Maximum

f(x_{0}) = max_{x∈[a,b]} f(x).

4 Differentialrechnung

Definition Sei D eine Teilmenge von ℝ und f : D → ℝ heißt differenzierbar bei a ∈ D, wenn es eine Zahl b gibt, sodaß der Differenzenquotient

\frac{f(x) − f(a)}{x − a}

beliebig nahe bei b liegt, wenn x genügend nahe bei a liegt. In Quantorenschreibweise:

∀ϵ > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D 0 < |x − a| < δ → |\frac{f(x) − f(a)}{x − a} − b| < ϵ

oder auch

lim_{h→0} \frac{f(a + h) − f(a)}{h} = b.

f heißt differenzierbar, wenn f bei allen a ∈ D differenzierbar ist.

b heißt die Ableitung von f bei a. Man schreibt für b auch f′(a). Die Funktion f′ ist die Ableitung von f. Man schreibt auch

f′(x) = \frac{df(x)}{dx}.

f′(a) ist die Steigung der Tangente an der Kurve y = f(x) im Punkt (a, f(a)). Die Gleichung der Tangente ist

f′(a) = \frac{y − f(a)}{x − a}.

Beispiel:

(x^{n})′ = nx^{n−1}
exp′(x) = exp(x)
sin′(x) = cos(x)
cos′(x) = − sin(x)
tan′(x) = \frac{1}{cos^{2}(x)}

Satz 4.1 (Ableitungsregeln)

1. (f(x) + g(x))′ = f′(x) + g′(x)

2. (f(x)g(x))′ = f′(x)g(x) + f(x)g′(x)

3. (f(g(x)))′ = f′(g(x))g′(x) (Kettenregel)

Folgerung 4.2 (Ableitung eines Quotienten)

(\frac{f(x)}{g(x)})′ = \frac{f′(x)g(x) − f(x)g′(x)}{g^{2}(x)}

Satz 4.3 (Ableitung der Umkehrfunktion) Sei g = h^{−1} Umkehrfunktion von h, das heißt

g(h(x)) = x

für alle x. Dann ist

g′(x) = \frac{1}{h′(g(x))}

Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist der natürliche Logarithmus

ln : ℝ_{+} = {x ∈ ℝ | x > 0} ⟶ ℝ.

Umkehrfunktionen

f f^{−1}
sin arcsin : [−1, 1] → [−π/2, π/2]
cos arccos : [−1, 1] → [0, π]
tan arctan : ℝ → [−π/2, π/2]

Folgerung 4.4

ln′(x) = \frac{1}{x}
arcsin′(x) = \frac{1}{\sqrt{1 − x^{2}}}
arccos′(x) = \frac{−1}{\sqrt{1 − x^{2}}}
arctan′(x) = \frac{1}{1 + x^{2}}

Für beliebige positive x ist x^{y} definiert durch

x^{y} = exp(ln(x)y).

Es ist

\frac{dx^{y}}{dx} = yx^{y−1}.

Weil \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} , ist zum Beispiel

\frac{d\sqrt{x}}{dx} = \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{x}^{3}} .

Der hyperbolische Sinus und Cosinus

sinh(x) = \frac{e^{x} − e^{−x}}{2}

und

cosh(x) = \frac{e^{x} + e^{−x}}{2}

haben die Ableitungen sinh′(x) = cosh(x)

und

cosh′(x) = sin(x).

5 Integralrechnung

Sei f : [a, b] → ℝ ein stetige Funktion und Z eine Zerlegung a = x_{0} < x_{1} < … < x_{n−1} < x_{n} = b des Intervalls. Für i = 0, …, n − 1 sei f_{i}^{max} das Maximum der Werte von f auf [x_{i}, x_{i+1}] und f_{i}^{min} das Minimum. Dann ist die Obersumme

𝔒_{Z}(f) = ∑_{i=0}^{n−1} f_{i}^{max} · (x_{i+1} − x_{i})

und die Untersumme

𝔘_{Z}(f) = ∑_{i=0}^{n−1} f_{i}^{min} · (x_{i+1} − x_{i}).

Wenn Z′ ein Verfeinerung von Z ist, gilt immer

𝔘_{Z}(f) ≤ 𝔘_{Z′}(f) ≤ 𝔒_{Z′}(f) ≤ 𝔒_{Z}(f).

Man kann zeigen, daß die Differenz 𝔒_{Z}(f) − 𝔘_{Z}(f) für genügend feine Zerlegungen beliebig klein wird. Daraus folgt

Satz 5.1 Es gibt ein eindeutig bestimmte Zahl c, sodaß für genügend feine Z

c − ϵ ≤ 𝔘_{Z}(f) ≤ c ≤ 𝔒_{Z}(f) ≤ c + ϵ.

c heißt das Integral von f über [a, b].

Man schreibt

∫_{a}^{b} f(x) dx.

Für a < b setzt man

∫_{a}^{b} f(x)dx = − ∫_{b}^{a} f(x)dx.

Satz 5.2 (Charakteristische Eigenschaften des Integrals)

1. ∫_{a}^{b} c dx = c · (b − a)

2. ∫_{a}^{b} f(x) dx ≤ ∫_{a}^{b} g(x) dx, wenn f(x) ≤ g(x) für alle x ∈ [a, b].

3. ∫_{a}^{b} f(x) dx + ∫_{b}^{c} f(x) dx = ∫_{a}^{c} f(x) dx

Satz 5.3

1. ∫_{a}^{b}(f(x) + g(x)) dx = ∫_{a}^{b} f(x) dx + ∫_{a}^{b} g(x) dx

2. ∫_{a}^{b} λf(x) dx = λ ∫_{a}^{b} f(x) dx

Satz 5.4 (Dreiecksungleichung und Mittelwertsatz)

1. |∫_{a}^{b} f(x) dx| ≤ ∫_{a}^{b} |f(x)| dx

2. Es gibt immer ein ξ ∈ [a, b], sodaß ∫_{a}^{b} f(x) dx = f(ξ) · (b − a). Definition F (x) heißt Stammfunktion von f, wenn F′(x) = f(x). Für festes a ist

F (b) = ∫_{a}^{b} f(x) dx

eine Stammfunktion von f. Alle anderen Stammfunktionen von f haben die Form F (x) + c. Man nennt deshalb F (x) auch ein unbestimmtes Integral von f und schreibt

F (x) = ∫ f(x) dx.

Definition F (x)|_{a}^{b} = F (b) − F (a)

Es folgt Satz 5.5 (Hauptsatz der Integral– und Differentialrechnung) Wenn F (x) eine Stammfunktion von f(x) ist, ist

∫_{a}^{b} f(x) dx = F (x)|_{a}^{b}.

Satz 5.6 (Partielle Integration)

∫_{a}^{b} f′(x)g(x) dx = f(x)g(x)|_{a}^{b} − ∫_{a}^{b} f(x)g′(x) dx

Satz 5.7 (Integration durch Substitution)

∫_{g(a)}^{g(b)} f(x) dx = ∫_{a}^{b} f(g(t)) g′(t) dt

Numerische Integration

Sei a = x_{0}, x_{1}, …, x_{N} = b mit x_{i} = a + i\frac{b−a}{N} eine gleichmäßige Unterteilung des Intervalls [a, b] in N Punkte. Dann läßt sich ∫_{a}^{b} f(x) dx näherungsweise berechnen durch die Sehnen–Trapezregel

∫_{a}^{b} f(x) dx ≈ \frac{b − a}{2N} (f(x_{0}) + 2f(x_{1}) + 2f(x_{2}) + … + 2f(x_{N−1}) + f(x_{N}))

und für gerades N durch die (bessere)

Simpsonregel

∫_{a}^{b} f(x) dx ≈

\frac{b − a}{3N} (f(x_{0}) + 4f(x_{1}) + 2f(x_{2}) + 4f(x_{3}) + … + 4f(x_{N−1}) + f(x_{N})) .

Für N = 2 ergibt sich die Keplersche Faßregel

∫_{a}^{b} f(x) dx ≈ \frac{b − a}{6} (f(a) + 4f(\frac{a + b}{2}) + f(b)) .

6 Taylorreihen

Für eine beliebig oft differenzierbare Funktion f schreiben wir

f^{(n)}(x)

für die n–te Ableitung von f(x).

Definition Die Taylorreihe von f(x) im Punkt a ist die Potenzreihe

∑_{i=0}^{∞} \frac{f^{(i)}(a)}{i!}(x − a)^{i} = f(a) + f′(a)(x − a) + \frac{f′′(a)}{2}(x − a)^{2} + ….

Wenn f(x) in einer Umgebung von a durch eine konvergente Potenzreihe ∑_{i=0}^{∞} a_{i}(x − a)^{i} dargestellt wird, ist ∑_{i=0}^{∞} a_{i}(x − a)^{i} die Taylorreihe von f im Punkt a. Wenn die hohen Ableitungen von f nicht zu groß sind, konvergiert die Taylorreihe von f bei a und stellt in einer Umgebung von a die Funktion f(x) dar. Es gilt nämlich:

Satz 6.1 (Restgliedabschätzung der Taylorreihe) Wenn der Betrag der (n + 1)–ten Ableitung von f zwischen a und x durch M beschränkt ist, gilt die Abschätzung

|f(x) − ∑_{i=0}^{n} \frac{f^{(i)}(a)}{i!}(x − a)^{i}| ≤ \frac{M}{(n + 1)!}(x − a)^{n+1}

Beispiele: Die Taylorreihe von exp(x) in 0 ist die überall konvergente Reihe

exp(x) = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + ….

Die Taylorreihe von sin(x) in 0 ist die überall konvergente Reihe

sin(x) = x − \frac{1}{3!}x^{3} + \frac{1}{5!}x^{5} − . . . ..

Ebenso konvergiert die Taylorreihe des Cosinus für alle x gegen cos(x):

cos(x) = 1 − x^{2} + \frac{1}{4!}x^{4} − \frac{1}{6!}x^{6} + ….

Die Taylorreihe von \frac{1}{x} in 1 stellt die Funktion im Intervall (0, 2) dar:

\frac{1}{x} = 1 − (x − 1) + (x − 1)^{2} − (x − 1)^{3} + …

Daraus ergibt sich durch Integration die im selben Intervall konvergente Potenzreihe des Logarithmus:

ln(x) = (x − 1) − \frac{(x − 1)}{2} + \frac{(x − 1)^{3}}{3} − ….

7 Polynome und rationale Funktionen

Definition Ein Polynom ist eine Funktion der Form

f(x) = a_{0} + a_{1}x + … + a_{n}x^{n}.

Wenn a_{n} ≠ 0, hat f(x) den Grad n.

7.1 Bestimmen von Nullstellen

Satz 7.1 Sei f(x) = x^{2} + px + q. Wenn p^{2} − 4q ≥ 0, hat f(x) die beiden Nullstellen

ξ_{1} = − (\frac{p}{2})^{2} + \sqrt{(\frac{p}{2})^{2} − q}
ξ_{2} = − (\frac{p}{2})^{2} − \sqrt{(\frac{p}{2})^{2} − q}

Für Gleichungen von größerem Grad als 4 gibt es keine derartigen Formeln. Man verwendet das Newtonverfahren: Sei f(x) eine differenzierbare Funktion und ξ_{0} in der Nähe einer Nullstelle von f. Dann ist

ξ_{1} = ξ_{0} − \frac{f(ξ_{0})}{f′(ξ_{0})}

im allgemeinen eine bessere Näherung. Die Folge ξ_{0}, ξ_{1}, …, wobei

ξ_{i+1} = ξ_{0} − \frac{f(ξ_{i})}{f′(ξ_{i})}

konvergiert schnell gegen eine Nullstelle von f.

7.2 Interpolation durch Polynome

Lemma 7.2 Wenn ξ Nullstelle von f(x) ist, kann man f(x) schreiben als

(x − ξ)q(x)

für ein Polynom g(x).

Folgerung 7.3 Ein Polynom n-ten Grades hat höchstens n Nullstellen.

Satz 7.4 (Langrangesche Interpolationsformel) ξ_{0}, …, ξ_{n} seien paarweise verschiedene Zahlen. Dann ist

f(x) = ∑_{i=0}^{n} (ζ_{i} ∏_{j≠i} \frac{x − ξ_{j}}{ξ_{i} − ξ_{j}} )

ein Polynom n–ten Grades, das an den Stellen ξ_{0}, …, ξ_{n} die Werte ζ_{0}, …, ζ_{n} annimmt.

7.3 Komplexe Zahlen

Definition Der Körper ℂ der komplexen Zahlen besteht aus allen formalen Summen

z = a + bi,

für reelle Zahlen a und b. Addition und Multiplikation sind erklärt durch

z + z′ = (a + a′) + (b + b′)i
z · z′ = (aa′ − bb′) + (ab′ + a′b)i

Es gelten dir gleichen Rechengesetze wie für reelle Zahlen. Darüber hinaus hat man: Rechenregeln:

i · i = −1
(a + bi)(a − bi) = a^{2} + b^{2}
(a + bi)^{−1} = \frac{a − bi}{a^{2} + b^{2}}

|a + bi| = \sqrt{a^{2} + b^{2}} ist der Betrag von a + bi.

Setzt man komplexe Zahlen in die Potenzreihe für exp(x) ein, ergibt sich

Satz 7.5 Für reelle Zahlen b ist

e^{ib} = cos(b) + sin(b)i

Folgerung 7.6

e^{a+bi} = e^{a}(cos(b) + sin(b)i)

Satz 7.7 (Hauptsatz der Algebra) Jedes nicht–konstante Polynom hat eine komplexe Nullstelle.

Folgerung 7.8 Jedes Polynom mit komplexen Koeffizienten zerfällt in ein Produkt von linearen Polynomen.

7.4 Rationale Funktionen

Definition Ein Quotient

\frac{f(x)}{g(x)}

von zwei Polynomen ist eine rationale Funktion.

Der folgende Satz gestattet es Stammfunktionen von rationalen Funktionen zu aufzufinden.

Satz 7.9 (Partialbruchzerlegung) Jede rationale Funktion ist eine Summe eines Polynoms und Funktionen der Form

\frac{b}{(x − a)^{n}}

für komplexe Zahlen a, b.

8 Fourierreihen

Eine Funktion f : ℝ → ℝ heißt periodisch (mit Periode 2π), wenn für alle x

f(x) = f(x + 2π).

Satz 8.1 Eine stückweise differenzierbare^{1} periodische Funktion f(x) läßt sich durch eine Fourierreihe darstellen:

f(x) = a_{0} + ∑_{k=1}^{∞} (a_{k} cos(kx) + b_{k} sin(kx)) .

Um genau zu sein: Die Fourierreihe muß an den Unstetigkeitsstellen a von f nicht gegen f(a) konvergieren.

Satz 8.2 Die Koeffizienten der Fourierreihe berechnen sich so (k > 0):

a_{0} = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} f(x) dx
a_{k} = \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} f(x) cos(kx) dx
b_{k} = \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} f(x) sin(kx) dx

Beispiel: Die periodische Sägezahnfunktion, für die f(x) = x im Intervall (−π, π), hat die Fourierreihe

2 (sin(x) − \frac{sin(2x)}{2} + \frac{sin(3x)}{3} − \frac{sin(4x)}{4} + …) .

1Siehe [1, S.160] für eine präzise Formulierung

9 Vektorrechnung

9.1 Vektorräume

Sei ein Punkt O im dreidimensionalen Anschauungsraum A fixiert. Ein Vektor ist eine gerichtete Strecke \overrightarrow{OP} mit Anfangspunkt O(und Endpunkt P). Zwei Vektoren \overrightarrow{OP} und \overrightarrow{OQ} werden addiert, indem man die Punkte O, P, Q zu einem Parallelogramm O, P, Q, S ergänzt:

\overrightarrow{OS} = \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OQ}

0 = \overrightarrow{OO} ist der Nullvektor. Der zu u inverse Vektor −u hat die gleiche Länge wie u, aber die entgegengesetzte Richtung.

Für Vektoren u,v,w gelten die Rechenregeln

(A1) u + v = v + u

(A2) (u + v) + w = u + (v + w)

(A3) 0 + v = v

(A4) v + (−v) = 0

Sei α ein reelle Zahl und v ein Vektor. Der Vektor α · v hat die gleiche Länge wie v, aber die α–fache Länge. Wenn α negativ ist, kehrt sich auch die Richtung um.

Rechenregeln der Skalarmultiplikation

(M1) 1 · v = v

(M2) α · (β · v) = (αβ) · v

(M3) (α + β) · v = α · v + β · v

(M4) α · (v + w) = α · v + α · w

Eine Menge, auf der eine Addition^{2} erklärt ist und deren Elemente man mit reellen Zahlen multiplizieren kann, sodaß die Axiome A1–A4 und M1–M4 gelten, nennt man einen Vektorraum.

Beispiel:

ℝ^{3} = ℝ × ℝ × ℝ = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}) | x_{1}, x_{2}, x_{3} ∈ ℝ}

ist mit komponentenweiser Addition und Multiplikation ein Vektorraum. Man schreibt die Elemente von ℝ^{3} auch als Spalten– oder Zeilenvektoren:

( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) oder (x_{1} x_{2} x_{3})

2mit einem Nullelement und einer Inversenoperation

Man definiert analog ℝ^{1} = ℝ, ℝ^{2} und allgemein ℝ^{n}.

A als Vektorraum aufgefaßt und ℝ^{3} sind drei–dimensional in folgendem Sinn: Es gibt drei Vektoren b_{1}, b_{2}, b_{3} sodaß sich jeder Vektor schreiben läßt als

v = α_{1}b_{1} + … + α_{2}b_{2} + α_{3}b_{3}.

für eindeutig bestimmte α_{i} ∈ ℝ. b_{1}, b_{2}, b_{3} heißt Basis des Vektorraums. α_{1}, α_{2}, α_{3} sind die Koordinaten von v (bezüglich der Basis b_{1}, b_{2}, b_{3}). Eine Basis heißt daher auch Koordinatensystem. Der ℝ^{3} hat die kanonische Basis

e_{1} = (1, 0, 0)  e_{2} = (0, 1, 0)  e_{3} = (0, 0, 1).

Ein Isomorphismus zwischen zwei Vektorräumen U und V ist eine Bijektion f : U → V, die sich mit der Addition und der Skalarmultiplikation verträgt:

f(u + v) = f(u) + f(v)
f(αu) = αf(u)

Satz 9.1 Jeder drei–dimensionale Vektorraum ist isomorph zu ℝ^{3}.

9.2 Skalarprodukt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren in A ist die Zahl

\overrightarrow{OP} · \overrightarrow{OQ} = cos(ϕ) ∥\overrightarrow{OP}∥ ∥\overrightarrow{OQ}∥,

wobei ϕ der Winkel ∠(P, O, Q) zwischen den beiden Vektoren ist und ∥\overrightarrow{OP}∥, ∥\overrightarrow{OQ}∥ ihre Längen sind.

Das Skalarprodukt hat folgende Eigenschaften:

(S1) u · v = v · u

(S2) u · (v + w) = u · v + u · w

(S3) u · (α · v) = α · (u · v)

(S4) u · u ≥ 0

(S5) u · u = 0 ⇔ u = 0

u · v = 0 genau dann, wenn u senkrecht auf v steht.

Definiert man auf dem ℝ^{n} das Produkt

( α_{1} ; α_{2} ; ⋮ ; α_{n} ) · ( β_{1} ; β_{2} ; ⋮ ; β_{n} ) = α_{1}β_{1} + α_{2}β_{2} + … + α_{n}β_{n},

so sind die Eigenschaften S1–S4 ebenfalls erfüllt.

Man definiert für Räume mit Skalarprodukt die Länge eines Vektors durch:

∥v∥ = \sqrt{v · v}.

Lemma 9.2 (Schwarzsche Ungleichung)

|u · v| ≤ ∥u∥ ∥v∥

Folgerung 9.3 (Dreiecksungleichung)

∥u + v∥ ≤ ∥u∥ + ∥v∥.

Definition Sei V ein Vektorraum mit Skalarprodukt. Eine Orthonormalbasis ist eine Basis b_{1}, b_{2} …, b_{n} mit

b_{i} · b_{j} = \{ \begin{matrix}1 wenn & i = j \\ 0 wenn & i ≠ j \end{matrix}

Jeder endlich–dimensionale Vektorraum hat eine Orthonormalbasis. Das ist leicht für den Anschauungsraum A zu sehen. Die kanonische Basis des ℝ^{n} ist orthonormal.

Lemma 9.4 Sei V ein Vektorraum mit Skalarprodukt und b_{1}, b_{2} …, b_{n} eine Orthonormalbasis. Dann berechnet sich das Skalarprodukt von u = α_{1}b_{1} + … + α_{n}b_{n} und v = β_{1}b_{1} + … + β_{n}b_{n} als

u · v = α_{1}β_{1} + … + α_{n}β_{n}.

9.3 Kreuzprodukt

Das Kreuzprodukt

u × v

zweier Vektoren des Anschauungsraums ist ein Vektor des durch folgende Eigenschaften bestimmt ist:

1. ∥u × v∥ = sin(ϕ) ∥u∥ ∥v∥, wobei ϕ der Winkel zwischen u und v ist (von u nach v gezählt).

2. u × v steht senkrecht auf u und v.

3. u, v und u × v bilden ein Rechtssystem ^{3} .

∥u × v∥ ist der Flächeninhalt des von u und v aufgespannten Parallelogramms.

Rechenregeln

(K1) u × v = −v × u (K2) (αu) × v = α(u × v)

3wie Mittelfinger, Daumen und Zeigefinger der rechten Hand (wenn −π/2 ≤ ϕ ≤ π/2)

(K3) (u + v) × w = (u × w) + (v × w)

u × v = 0 genau dann, wenn u und v parallel sind.

Definition (u × v) · w ist das Spatprodukt von u, v und w.

Der Betrag von (u × v) · w ist das Volumen des von u, v und w aufgespannten Parallelepiped. (u × v) · w ist genau dann positiv, wenn u, v und w ein Rechtssystem bilden.

Wenn b_{1}, b_{2}, b_{3} eine Orthonormalbasis von A ist, die ein Rechtssystem bildet, drückt sich das Kreuzprodukt in den Koordinaten so aus

( \begin{matrix}α_{1} \\ α_{2} \\ α_{3} \end{matrix} ) × ( \begin{matrix}β_{1} \\ β_{2} \\ β_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}α_{2}β_{3} − α_{3}β_{2} \\ α_{3}β_{1} − α_{1}β_{3} \\ α_{1}β_{2} − α_{2}β_{2} \end{matrix} ) .

10 Lineare Abbildungen

Definition Eine Abbildung f : ℝ^{3} → ℝ^{3} der Form

f ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + a_{13}x_{3} \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + a_{23}x_{3} \\ a_{31}x_{1} + a_{32}x_{2} + a_{33}x_{3} \end{matrix} ) ,  (1)

heißt linear.

Eine Abbildung f : A → A ist linear, wenn sie für ein fest gewähltes Koordinatensystem einer linearen Abbildung der Koordinaten entspricht. Der Begriff hängt nicht von der Wahl der Basis ab.

Eine Gerade in ℝ^{3} ist eine Menge der Form

G = {u_{0} + αv_{0} | α ∈ ℝ}.

Lemma 10.1 Eine lineare Abbildung bildet Geraden in Geraden ab.

Das Zahlenschema

A = (a_{ij}) = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} )

durch das

f = f_{A}

in (1) definiert wird, heißt 3 × 3–Matrix. Die Spalten

( \begin{matrix}a_{11} \\ a_{21} \\ a_{31} \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}a_{12} \\ a_{22} \\ a_{32} \end{matrix} ) und ( \begin{matrix}a_{13} \\ a_{23} \\ a_{33} \end{matrix} )

von A sind die Bilder

f(e_{1}) , f(e_{2}) und f(e_{3})

der kanonischen Basis von ℝ^{3}.

Matrixoperationen Seien A = (a_{ij}) und B = (b_{ij}) Matrizen, c = (c_{i}) ein Spaltenvektor und α eine Zahl.

Matrixaddition

A + B = (a_{ij} + b_{ij})

Skalarmultiplikation

αA = (αa_{ij})

Multiplikation

AB = (∑_{k=1}^{3} a_{ik}b_{kj})

Multiplikation mit einer Spalte

Ac = (∑_{k=1}^{3} a_{ik}c_{k})

A + B, αA und AB sind wieder Matrizen, Ac ist ein Spaltenvektor. Matrixoperationen entsprechen Operationen der durch sie dargestellten linearen Abbildungen. Es ist

• f_{A+B} = f_{A} + f_{B}

• f_{αA} = αf_{A}

• f_{AB} = f_{A} ∘ f_{B}

• f_{A}(c) = Ac

Rechenregeln

Die Matrizen bilden unter der Addition und Skalarmultiplikation einen 3 · 3– dimensionalen Vektorraum. Zusätzlich gilt

(MA1) A(B + C) = AB + AC
(MA2) (A + B)C = AB + BC
(MA3)  A(αB) = (αA)B = α(AB)
(MA4)  A(BC) = (AB)C
(MA5)  AE = EA = A

Dabei ist

E = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

die (3–dimensionale) Einheitsmatrix.

A heißt invertierbar, wenn es ein B mit AB = BA = E gibt.

B = A^{−1}

ist eindeutig bestimmt und heißt die Inverse von A.

\underline{Verallgemeinerung:} Lineare Abbildungen

f : ℝ^{n} → ℝ^{m}

werden beschrieben durch m × n–Matrizen

A = ( \begin{matrix}a_{11} & ⋯ & a_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{m1} & ⋯ & a_{mn} \end{matrix} ) .

11 Lineare Gleichungssysteme

Definition Die Determinante einer 2 × 2–Matrix A = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} ) ist

det A = a_{11}a_{22} − a_{21}a_{12}.

Alternative Schreibweise:

det A = |A|

Satz 11.1 (Cramersche Regel für n=2) Wenn det A ≠ 0, hat das Gleichungssystem

\begin{matrix}a_{11}x_{1}+ & a_{12}x_{2}= & b_{1} \\ a_{21}x_{1}+ & a_{22}x_{2}= & b_{2} \end{matrix}

die Lösung

x_{1} = \begin{matrix}| & \begin{matrix}b_{1} & a_{12} \\ b_{2} & a_{22} \end{matrix} & | \\ | & \begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} & | \end{matrix} x_{2} = \begin{matrix}| & \begin{matrix}a_{11} & b_{1} \\ a_{21} & b_{2} \end{matrix} & | \\ | & \begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} & | \end{matrix}.

Wenn det A = 0, gibt es keine Lösung oder unendlich viele Lösungen.

Die Cramersche Regel läßt sich für lineare Gleichungssysteme mit beliebig vielen Variablen formulieren. Zunächst definiert man die Determinante von beliebigen quadratischen Matrizen durch den folgenden Satz:

Satz 11.2 Es gibt genau eine Funktion det, die jeder n×n–Matrix A eine Zahl det A zuordnet und die folgenden Eigenschaften hat:

(D1) det ist als Funktion jeder Spalte jeweils eine lineare Abbildung ℝ^{n} → ℝ.

(D2) det A ist Null, wenn A zwei gleiche Spalten hat.

(D3) det E = 1

(Man schreibt wieder |A| für det A.)

Zum Beispiel ist

| \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} | = a_{11} | \begin{matrix}a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix} | − a_{21} | \begin{matrix}a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix} | + a_{31} | \begin{matrix}a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \end{matrix} | .

Ein lineares Gleichungssystem

\begin{aligned}a_{11}x_{1} & + ⋯ + & a_{1n}x_{n} & = & b_{1} \\ ⋮ & & ⋮ & & ⋮ \\ a_{n1}x_{1} & + ⋯ + & a_{nn}x_{n} & = & b_{n} \end{aligned}  (2)

schreibt man als

( \begin{matrix}a_{11} & ⋯ & a_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{n1} & ⋯ & a_{nn} \end{matrix} ) ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) = ( b_{1} ; ⋮ ; b_{n} )

oder kurz

Ax = b.

Satz 11.3 (Cramersche Regel) Wenn det A ≠ 0, hat das Gleichungssystem Ax = b die Lösung

x_{1} = \frac{|A_{1}|}{|A|}, x_{2} = \frac{|A_{2}|}{|A|}, . . . . . . . . . , x_{n} = \frac{|A_{n}|}{|A|},

wobei A_{i} aus A entsteht, indem die i–te Spalte durch b ersetzt wird. Wenn det A = 0, gibt es keine Lösung oder unendlich viele Lösungen.

Praktischer als die Cramersche Regel ist das folgende \underline{Eliminationsverfahren}: Man schreibt (2) als ein Schema

( \begin{matrix}a_{11} & ⋯ & a_{1n} & b_{1} \\ ⋮ & & ⋮ & ⋮ \\ a_{n1} & ⋯ & a_{nn} & b_{n} \end{matrix} )

Durch Anwenden von Zeilenoperationenauf dieses Schema erhält man äquivalente Gleichungssysteme:

• Addiere ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen Zeile.

• Multipliziere eine Zeile mit einer von Null verschiedenen Zahl.

Wenn man zusätzlich erlaubt, daß im linken Teil des Schemas Spalten vertauscht werden (das heißt, daß die Variablen x_{1}, …, x_{n} umnumeriert werden), kann man (2) auf die Normalform

( \begin{matrix}1 & 0 & ⋯ & 0 & ∗ & ⋯ & ∗ & c_{1} \\ 0 & 1 & ⋯ & 0 & ∗ & ⋯ & ∗ & c_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ & & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & ⋯ & 1 & ∗ & ⋯ & ∗ & c_{r} \\ 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 & ⋯ & 0 & c_{r+1} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ & ⋮ & & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 & ⋯ & 0 & c_{n} \end{matrix} )

bringen. r heißt der Rang des Gleichungssystems. r hängt nur von der Matrix A ab und nicht von den im einzelnen ausgeführten Zeilenoperationen. A hat genau dann den maximalen Rang n, wenn det A ≠ 0. In diesem Fall ist (c_{1}, …, c_{n}) die Lösung von (2). Wenn r < n, ist (2) genau dann lösbar, wenn c_{r+1} = ⋯ = c_{n} = 0. Man kann dann sich dann die Werte von x_{r+1}, ⋯, x_{n} beliebig vorgeben und erhält eine n − r–parametrige Lösungsgesamtheit.

Wenn man das Schema

(A|E)

durch Zeilenoperationen umformt in

(E|B)

ist B = A^{−1}.

12 Differentialrechnung im ℝ^{n}

Definition Eine Folge a_{0}, a_{1}, … von Vektoren aus ℝ^{n} heißt konvergent, wenn sie gegen einen Grenzwert c ∈ ℝ^{n} konvergiert:

∀ϵ > 0 ∃N ∀n ≥ N ∥a_{n} − c∥ < ϵ

Definition f heißt stetig bei a ∈ D, wenn

∀ϵ > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D ∥x − a∥ < δ → |f(x) − f(a)| < ϵ

f heißt stetig, wenn f bei allen a ∈ D stetig ist

Die Sätze 3.1, 3.2, 3.4 gelten sinngemäß für stetige Funktionen auf ℝ^{n}.

Definition f : ℝ^{n} → ℝ heißt partiell differenzierbar, wenn für alle (a_{1}, …, a_{n}) aus dem Definitionsbereich die einstelligen Funktionen

f(x_{1}, a_{2}, …, a_{n}), f(a_{1}, x_{2}, …, a_{n}), …, f(a_{1}, …, x_{n})

differenzierbar sind. Man schreibt

\frac{∂f}{∂x_{1}} , \frac{∂f}{∂x_{2}} , …, \frac{∂f}{∂x_{n}}

für die respektiven partiellen Ableitungen.

Alternative Schreibweise:

f_{x_{i}} = \frac{∂f}{∂x_{i}}

Der Vektor

( \frac{∂f}{∂x_{1}} (a_{1}, …, a_{n}) ; ⋮ ; \frac{∂f}{∂x_{n}} (a_{1}, …, a_{n}) )

hat die Richtung des stärksten Wachstums von f. Eine andere Bezeichnung ist

grad f,

der Gradient von f.

Eine Kurve im ℝ^{n} ist eine Abbildung c = (c_{1}, …, c_{n}) : [a, b] → ℝ^{n}, deren Komponentenfunktionen c_{i} stetig sind.

Satz 12.1 (Kettenregel) Sei f : ℝ^{n} → ℝ stetig partiell differenzierbar und c eine Kurve mit differenzierbaren Komponentenfunktionen. Dann ist

\frac{df(c_{1}(x), …, c_{n}(x))}{dx} =

= \frac{∂f}{∂x_{1}} (c_{1}(x)) …, c_{n}(x))\frac{dc_{1}(x)}{dx} + … + \frac{∂f}{∂x_{n}} (c_{1}(x)) …, c_{n}(x))\frac{dc_{n}(x)}{dx}.

Lemma 12.2 Sei f auf einer Teilmenge des ℝ^{n} definiert und partiell differenzierbar. Wenn f bei a ein lokales Minimum oder Maximum hat, verschwinden alle partiellen Ableitungen bei a.

Lemma 12.3 Wenn f zweimal stetig partiell differenzierbar ist, spielt die Reihenfolge der Differentiation keine Rolle:

\frac{∂^{2}f}{∂x_{i}∂x_{j}} = \frac{∂^{2}f}{∂x_{j}∂x_{i}}

Sei f : ℝ^{n} → ℝ unendlich oft differenzierbar. Die Taylorentwicklung von f ist die unendliche Reihe

T_{f}(t_{1}, …, t_{n}) = f(a) + ∑_{i} \frac{∂f}{∂x_{i}} (a) t_{i} + \frac{1}{2} ∑_{i,j} \frac{∂^{2}f}{∂x_{i_{1}}∂x_{i_{2}}} (a) t_{i_{1}}t_{i_{2}} + …

… + \frac{1}{n!} ∑_{i_{1},...,i_{k}} \frac{∂^{k}f}{∂x_{i_{1}} … ∂x_{i_{k}}} (a) t_{i_{1}} … t_{i_{k}} + …

Wenn f(x_{1}, …, x_{n}) ein Polynom ist, wird f in jedem Punkt durch seine Taylorreihe dargestellt. Wenn f den Grad k hat, bricht die Taylorreihen beim Grad k ab.

Definition Eine n–dimensionale quadratische Form in n–Variablen ist ein homogenes quadratisches Polynom q(t_{1}, …, t_{n}). Das heißt, daß q durch eine Matrix A = (a_{ij}) in der Form

q_{A}(x_{1}, …, x_{n}) = ∑_{i,j} a_{ij}t_{j}t_{j}

gegeben ist.

Wir können immer annehmen, daß die Matrix A symmetrisch ist: a_{ij} = a_{ji}. Die Hessesche Form einer zweimal differenzierbaren Funktion in a ist das

2–fache des quadratischen Teils der Taylorreihe in a:

H_{f}(a) = ∑_{i,j} \frac{∂^{2}f}{∂x_{i_{1}}∂x_{i_{2}}} (a) t_{i_{1}}t_{i_{2}}.

Definition Ein quadratische Form q ist

• positiv definit, wenn q(b) > 0 für alle b ≠ 0

• negativ definit, wenn q(b) < 0 für alle b ≠ 0

• indefinit, wenn q positive und negative Werte annimmt.

Lemma 12.4 Eine zweidimensionale quadratische Form q_{A} ist genau dann (positiv oder negativ) definit, wenn det A > 0, und genau dann indefinit, wenn det A < 0. Wenn det A > 0 ist A genau dann positiv definit, wenn a_{11} (oder a_{22}) positiv ist.

Satz 12.5 Sei f auf einer Teilmenge des ℝ^{n} definiert und partiell stetig differenzierbar. Sei a ein Punkt, an dem die ersten partiellen Ableitungen verschwinden. Wenn dann die Hessesche Form H_{f}(a)

• positiv definit ist, hat f bei a ein lokales Minimum,

• negativ definit ist, hat f bei a ein lokales Maximum,

• indefinit ist, hat f bei a weder ein lokales Minimum noch ein lokales Maximum. (f hat dann einen Sattelpunkt.)

Zum Beweis braucht man:

Satz 12.6 (Hauptachsentransformation) Für jede n–dimensionale quadratische Form q läßt sich eine Orthonormalbasis des ℝ^{n} so wählen, daß q in den neuen Koordinaten die Gestalt

λ_{1}t_{1}^{2} + … + λ_{n}t_{n}^{2}

hat Die neuen Basisvektoren sind die Hauptachsen von q. Die λ_{i} sind eindeutig bestimmt und heißen Eigenwerte von q. q ist genau dann positiv (negativ) definit, wenn alle λ_{i} positiv (negativ) sind. Und genau dann indefinit, wenn es einen positiven und einen negativen Eigenwert gibt.

Man kann 12.2 und 12.5 verwenden um das folgende Problem zu lösen: In der Ebene seien die Punkte (x_{1}, y_{1}), …, (x_{n}, y_{n}) gegeben. Gesucht ist die Regressionsgerade y = ax + b, für die die Summe

(ax_{1} + b − y_{1})^{2} + … + (ax_{n} + b − y_{n})^{2}

der Fehlerquadrate minimal wird.

\underline{Lösung}

a = \frac{1}{d}(n ∑_{i}(x_{i}y_{i}) − (∑_{i} x_{i})(∑_{i} y_{i}))

b = \frac{1}{d}((∑_{i} x_{i}^{2})(∑_{i} y_{i}) − (∑_{i} x_{i}y_{i})(∑_{i} y_{i}))

wobei

d = n ∑_{i} x_{i}^{2} − (∑_{i} x_{i})^{2}.

13 Kurven– und Bereichsintegrale

Eine Differentialform ist eine stetige Abbildung ω : ℝ^{n} → ℝ^{n},

ω(x_{1}, …, x_{n}) = ( ω_{1}(x_{1}, …, x_{n}) ; ⋮ ; ω_{n}(x_{1}, …, x_{n}) ) ,

die wir als

ω_{1}dx_{1} + … + ω_{n}dx_{n}

notieren.

Entlang einer stückweise differenzierbaren Kurve c : [a, b] → ℝ^{n} läßt sich eine Differentialform ω integrieren:

∫_{c} ω = ∫_{a}^{b} ( ω_{1}(c(t)) c′_{1}(t) + … + ω_{n}(c(t)) c′_{n}(t) ) dt

Definition F : ℝ^{n} → ℝ heißt Stammfunktion von ω, wenn

ω = dF = \frac{∂F}{∂x_{1}} dx_{1} + … + \frac{∂F}{∂x_{n}} dx_{n}.

Eine Differentialform, die eine Stammfunktion hat, heißt exakt.

Satz 13.1 Wenn ω eine Stammfunktion F hat, ist für jede Kurve c : [a, b] → ℝ^{n}

∫_{c} ω = F (c(b)) − F (c(a)).

Eine Differentialform ist genau dann exakt, wenn Kurvenintegrale nur von Anfangs– und Endpunkt der Kurve abhängen. Die Stammfunktion läßt sich dann als

F (x) = Integral von ω entlang einer Kurve von 0 bis x

finden.

Definition ω heißt geschlossen, wenn

\frac{∂ω_{j}}{∂x_{i}} = \frac{∂ω_{i}}{∂x_{j}}

für alle i, j.

Satz 13.2 Eine Differentialform ist genau dann exakt, wenn sie geschlossen ist.

Der Satz gilt für auf dem ganzen ℝ^{n} definierte Differentialformen und allgemeiner für "einfach zusammenhängende"Teilmengen des ℝ^{n}. Der Satz ist zum Beispiel falsch, wenn ω nur auf ℝ^{2} \ {0} erklärt ist. Beweisansatz: Sei zum Beispiel ω eine geschlossene Differentialform auf ℝ^{2}. Fixiere einen Punkt (a_{1}, a_{2}) ∈ ℝ^{2}. Dann ist

F (x_{1}, x_{2}) = ∫_{a_{1}}^{x_{1}} ω_{1}(s, a_{2}) ds + ∫_{a_{2}}^{y} ω_{2}(x, t) dt

eine Stammfunktion von ω.

Definition Sei F eine beschränkte (nicht allzu wilde) Fläche im ℝ^{2} und f : F → ℝ^{2} eine stetige Funktion. Dann ist

∫_{F} f dx_{1}dx_{2}

das Volumen des Körpers

{(x, y, z) | (x, y) ∈ F, 0 ≤ z ≤ f(x, y)}.

Wenn f negative Werte hat zählt man das Volumen negativ. Für eine präzise Definition überdeckt man F durch disjunkte kleine Rechtecke R_{i} und approximiert das Integral durch

∑_{i} Volumen(R_{i})f_{i},

wobei f_{i} ein Wert ist, den f auf R_{i} annimmt. (Siehe Abschnitt 5.)

Allgemeiner definiert man für stetige Funktionen f : ℝ^{n} → ℝ und gutartige Teilmengen V ∈ ℝ^{n} das Integral

∫_{V} f dx_{1} … dx_{n}

Sei ω eine Differentialform auf dem ℝ^{2}. Definiere

rot ω = \frac{∂ω_{1}}{∂x_{2}} − \frac{∂ω_{2}}{∂x_{1}}

Satz 13.3 (Satz von Stokes: Spezialfall) Sei c eine geschlossene Kurve im ℝ^{2}, die eine Fläche F im negativen Uhrzeigersinn umläuft. Dann ist

∫_{c} ω = ∫_{F} rot ω dx_{1}dx_{2}.

Satz 13.4 (Satz von Fubini) Sei R = [a_{1}, b_{1}] × … × [a_{n}, b_{n}] ein Quader im ℝ^{n} und f : R → ℝ eine stetige Funktion. Dann ist

∫_{R} f dx_{1} … dx_{n} = ∫_{a_{n}}^{b_{n}} (∫_{a_{n−1}}^{b_{n−1}} (… ∫_{a_{1}}^{b_{1}} f(x_{1}, …, x_{n}) dx_{1} …) dx_{n−1}) dx_{n}.

14 Differentialgleichungen

Wir behandeln gewöhnliche Differentialgleichungen. Gewöhnliche Differentialgleichungen bestimmen eine Funktion f(x) einer Variable x durch eine Gleichung zwischen x, dem Funktionswert f(x) und den Ableitungen f′(x), f′′(x),…. Partielle Differentialgleichungen werden für Funktionen mehrerer Variable aufgestellt. Wir können hier nur Differentialgleichungen erster Ordnung behandeln.

Eine Differentialgleichung erster Ordnung enthält nur die erste Ableitung der gesuchten Funktion. Sie hat gewöhnlich die Form

y′ = g(x, y)  (3)

für eine stetig differenzierbare Funktion g. Eine Lösung ist eine Funktion f(x), sodaß für alle x im Definitionsbereich

f′(x) = g(x, f(x)).

Die Gleichung (3) hat im allgemeinen eine ein–parametrige Schar von Lösungen. Die Lösung wird eindeutig, wenn man eine Anfangsbedingung

y(a) = b  (4)

vorgibt. Man fordert also f(a) = b.

Satz 14.1 Wenn g stetig partiell differenzierbar ist, gibt es ein einer genügend kleinen Umgebung (−c, c) von a eine (eindeutig bestimmte) Lösung von (3) und (4).

14.1 Trennung der Variablen

Wenn (3) die Gestalt

y′ = g(x)h(y)

hat, findet man die Lösung folgendermaßen: Man integriert beide Seiten der Gleichung

g(x) dx = \frac{1}{h(y)} dy

und erhält

∫_{a}^{x} g(s) ds = ∫_{b}^{y} \frac{1}{h(t)} dt,

eine Gleichung zwischen x und y, die die Lösungskurve beschreibt.

14.2 Exakte Differentialgleichungen

Eine exakte Differentialgleichung hat die Gestalt

y′ = \frac{g(x, y)}{h(x, y)},

wobei g_{y} + h_{x} = 0.

Dann ist g(x, y) dx−h(x, y) dy eine geschlossene Differentialform. Man sucht mit der Methode von 13.2 ein Stammfunktion F mit F (a, b) = 0. Dann beschreibt die Gleichung F (x, y) = 0 die Lösungskurve. Die Gleichung ist

∫_{a}^{x} g(s, b) dt = ∫_{b}^{y} h(x, t) dt.

14.3 Lineare Differentialgleichungen

Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung haben die Gestalt

y′ = g(x)y + h(x).  (5)

Zuerst suchen wir eine Lösung f_{0} der homogenen Gleichung y′ = g(x)y mit der Nebenbedingung y(a) = 1 (Trennung der Variable):

f_{0}(x) = exp (∫_{a}^{x} g(s) ds) .

Dann bestimmt man c(x) so, daß

f(x) = c(x)f_{0}(x)

eine Lösung von (5) und (4) ist. Dazu muß c(x) eine Lösung von y′f_{0}(x) = h(x) und (4) sein:

c(x) = ∫_{a}^{x} \frac{h(s)}{f_{0}(s)} ds.

Index

A^{−1}, 20 |A|, 20 |A|, 21 [a, b], 6 arccos′(x), 8 arccos(x), 8 arcsin′(x), 8 arcsin(x), 8 arctan′(x), 8 arctan(x), 8 \binom{n}{k}, 2 ℂ, 13 cos′(x), 7 cos(x), 12 cosh(x), 8 det A, 20 \frac{df(x)}{dx}, 7 \frac{∂f}{∂x_{i}}, 23 f_{x_{i}}, 23 E, 20 e, 4 exp′(x), 7 exp(x), 5, 11, 13 \frac{f}{g}, 6 f′(a), 7 f + g, 6 f ∘ g, 6 f^{(n)}(x), 11 f_{A}, 18 fg, 6 h^{−1}, 7 ∫ f(x dx), 10 ∫_{a}^{b} f(x)dx, 9 lim_{n→∞} a_{n}, 3 ln(x), 8, 12 n!, 2 𝔓(A), 2 q_{A}, 24 ℝ^{2}, 16 ℝ^{3}, 15 ℝ^{n}, 16 ∑_{n=0}^{∞} a_{n}, 4 sin′(x), 7 sin(x), 11 sinh(x), 8 tan′(x), 7 u × v, 17 ∥v∥, 17 \sqrt{x}, 8 (x^{n})′, 7 x^{y}, 8

Ableitung, 7

partielle, 23 Ableitungsregeln, 7 absolut konvergente Reihe, 4 Anfangsbedingung, 27

Basis eines Vektorraums, 16 kanonische, 16 orthonormale, 17

Betrag einer komplexen Zahl, 13 Binomische Formel, 3

Cauchysches Konvergenzkriterium, 3 Cramersche Regel, 20, 21

Determinante, 20 Differentialform, 25 exakte, 25 geschlossene, 26 Differentialgleichung

erster Ordnung, 27 exakte, 28 gewöhnliche, 27 lineare, 28 partielle, 27

differenzierbare Funktion, 6

Differenzierbarkeit, 6 partielle, 22

Divergenz, 3

Dreiecksungleichung, 17 für Integrale, 9

Eigenschaften des Integrals, 9

Eigenwert, 25 Einheitsmatrix, 20 Eulersche Zahl, 4 Exponentialfunktion, 5, 11

Fakultät, 2

Folge divergente, 3

konvergente, 3 Fourierreihe, 14 Funktion

differenzierbare, 6 periodische, 14 rationale, 14 stetige, 6, 22

Gerade, 18 Gradient, 23 Grenzwert, 3, 22

Hauptachsentransformation, 24 Hauptsatz

der Algebra, 13 der Integral– und Differential-

rechnung, 10 Hessesche Form, 24

Integral, 9, 26

charakteristische Eigenschaften,

9 Linearität, 9 unbestimmtes, 10

Integration durch Substitution, 10 Intervall, 6 inverser Vektor, 15 Isomorphismus, 16

Keplersche Faßregel, 11 Kettenregel, 7, 23 komplexe Zahlen, 13 Konvergenz, 3, 4, 22 Koordinaten, 16 Koordinatensystem, 16 Kreuzprodukt, 17 Kurve, 23

Länge eines Vektors, 17 Langrangesche Interpolationsformel,

13 Limes, 3 lineare Abbildung, 18 lineares Gleichungssystem, 21

Rang, 22 Logarithmus, 8, 12

natürlicher, 8

Matrix, 18 addition, 19 inverse, 20 invertierbare, 20 multiplikation, 19 symmetrische, 24

Maximum, 23, 24 Minimum, 23, 24 Mittelwertsatz, 6

für Integrale, 9

natürlicher Logarithmus, 8 Newtonverfahren, 12 Nullvektor, 15 numerische Integration, 10

Orthonormalbasis, 17

Partialbruchzerlegung, 14 Partialsumme, 4 partielle Integration, 10 Pascalsches Dreieck, 3 periodische Funktion, 14 Polynom, 12

Grad, 12 Nullstelle, 13

Potenzmenge, 2

quadratische Form, 24 indefinite, 24 negativ definite, 24 positiv definite, 24

Quotient, 7

rationale Funktion, 14 Regressionsgerade, 25 Reihe, 4

absolut konvergente, 4 Restgliedabschätzung der Taylorrei-

he, 11

Sägezahnfunktion, 14 Sattelpunkt, 24 Satz

vom Maximum, 6 von Stokes, 27

Schwarzsche Ungleichung, 17 Sehnen–Trapezregel, 10 Simpsonregel, 11 Skalarmultiplikation, 15 Skalarprodukt, 16 Spalte, 18 Spaltenvektor, 15 Spatprodukt, 18 Stammfunktion, 10, 25 Stetigkeit, 6, 22

Tangente, 7 Taylorreihe, 11, 23 Trennung der Variablen, 28

Umkehrfunktion, 7 unbestimmtes Integral, 10

Vektor, 15

Länge, 17 Vektoraddition, 15 Vektorraum, 15

dreidimensionaler, 16

Zeilenoperationen, 21 Zeilenvektor, 15