Π_{1}^{1}–Uniformisierung

M.Z.

Februar 2008

Das ist Satz 7 in §11 meines Rekursionstheorieskripts. Der Beweisteil (iii) ist nicht richtig. Induktion über T_{s}^{F(α,β)} funktioniert nicht, weil man ja noch nicht weiß, daß T_{s}^{F(α,β)} < ω_{1}.

Also hier ist die korrigierte Version:

Sei

((η_{s})_{s∈ℕ}, β) = inf_{γ∈R} G(α, γ) = lim_{n→∞} G(α, β^{n}),

wobei der Limes punktweise zu verstehen ist.

Behauptung Wenn α aus dom R, wird das Infimum wird bei γ = β angenommen.

Zuerst bemerken wir, daß, wenn s ⊊ t,

|T_{t}^{F(α,γ)}| ≤ |T_{s}^{F(α,γ)}|,

für alle γ. Gleichheit kann nur auftreten, wenn beide Seiten gleich ω_{1} oder gleich −1 sind. Daraus folgt das gleiche für das Verhältnis von η_{s} und η_{t}. Wenn α aus dom R, kann der Fall η_{s} = ω_{1} allerdings nicht eintreten. Das folgt aus η_{s} ≤ η_{0} < ω_{1}.

Es genügt zu zeigen, daß für alle s

|T_{s}^{F(α,β)}| ≤ η_{s}.

Daraus folgt nämlich, daß G(α, β) ≤ ((η_{s})_{s∈ℕ}, β), und also die Gleichheit. Wir zeigen die Behauptung durch Induktion über η_{s}.

Wenn η_{s} = −1, ist s ∉ T^{F(α,β^{n})} große n, weil die |T^{F(α,β^{n})}| gegen −1 konvergieren. Weil die β^{n} punktweise gegen β konvergieren, folgt s ∉ T^{F(α,β)}.

Wenn η_{s} ≥ 0, ist für alle i |T_{s<i>}^{F(α,β)}| ≤ η_{s<i>} < η_{s} nach Induktionsannahme. Daraus folgt die Behauptung. □