R E K U R S I O N S T H E O R I E

M a r t i n Z i e g l e r

Vorlesung

gehalten im Sommersemester 1982 an der Rheinischen Friedrich-Wilhelms-Universität zu Bonn

ausgearbeitet 1985 von

Erich Reck, Ursula Gropp und Gisbert W. Selke 2 Rekursionstheorie

2., verbesserte Auflage 1987

Inhalt

§ 1 Registermaschinen 3 § 2 Rekursive Funktionen 7 § 3 Primitiv rekursive Funktionen und Gödelisierung 13 § 4 Partiell rekursive Funktionen 21 § 5 Rekursiv aufzählbare Mengen 27 § 6 Rekursiv isomorphe rekursiv aufzählbare Mengen 33 § 7 Die Arithmetische Hierarchie 39 § 8 Relative Berechenbarkeit 45 § 9 Turinggrade 51 § 10 Die Analytische Hierarchie 63 § 11 Π_{1}^{1}-Mengen 70 § 12 Induktive Mengen 78 § 13 Hyperarithmetische Mengen 82

Literaturverzeichnis 91 Verzeichnis der verwendeten Symbole 92 2 Rekursionstheorie

Register 94

Einleitung

Einleitung fehlt.

§ 1 Registermaschinen

Wir führen in diesem ersten Kapitel den Begriff der Registermaschine ein und geben eine erste Präzisierung des Begriffs der Berechenbarkeit durch den Begriff der Registermaschinen-Berechenbarkeit.

Notationen :

– A^{∗} sei die Menge aller Wörter (d.h. aller endlichen Zeichenreihen) über dem Alphabet (der Zeichenmenge) A.

– ∅ sei das leere Wort.

– α^{n} sei das Wort \underbrace{αα … α}_{n-mal}.

– a_{1} … a_{n} − 1 sei das Wort a_{1} … a_{n−1}.

Nun definieren wir zunächst anschaulich, was eine Registermaschine ist, indem wir beschreiben, was eine solche tut: Eine Registermaschine über A = {a_{1}, …, a_{L}} manipuliert nach einem Programm Wörter W ∈ A^{∗}, die in ihren Registern R_{r}(r < R) stehen. Ein Programm wiederum besteht aus einer Folge von Befehlen.

Befehle:

R_{r}a  : “verlängere das Wort, das in Register R_{r} steht, rechts um a ∈ A”
R_{r} − 1  : “streiche den rechten Buchstaben des Wortes in R_{r}, falls überhaupt ein

Buchstabe vorhanden ist, oder lasse das Register, wie es ist, falls es leer ist.”

R_{r}?_{∅↙a_{1}↓...↘a_{L}} :

“wenn R_{r} das leere Wort enthält, folge dem Pfeil ⟶^{∅}; wenn das Wort in R_{r} rechts mit a_{i} aufhört, folge dem Pfeil ⟶^{a_{i}}”

stop  : “halt”

Beispiel: Eine Registermaschine, die über dem Alphabet A = {a_{1}, a_{2}} die Funktion

F : A^{∗} × A^{∗} → A^{∗}
F (V, W) := V W

berechnet. Ihr Flußdiagramm – zur Beschreibung von Registermaschinen benutzen wir meist Flußdiagramme – sieht folgendermaßen aus:

Input: V → R_{0} , W → R_{1} (, ∅ → R_{2})

↓ R_{1}? ∅

a_{1} ↙ ↘ a_{2}

↓ R_{2}a_{1} R_{2}a_{2} ↑

(↘ ↙) / (R_{1} − 1)

R_{2}?

∅ ↙ a_{1} ↓ ↘ a_{2}

stop R_{0}a_{1} R_{0}a_{2} ↑

(↘ ↙) / (R_{2} − 1)

Output: Ergebnis in R_{0}

Um eine mathematische Theorie entwickeln zu können, geben wir nun die formale Definition einer Registermaschine mit R Registern R_{0}, …, R_{R−1} über dem Alphabet A = {a_{1}, …, a_{L}}:

Definition (Registermaschine, Berechenbarkeit) :

a) Ein Befehl b

ist ein Paar (r, l) (r < R, l ≤ L)
oder ein (L + 2)-Tupel (r, c_{0}, …, c_{L}) (r < R, c_{i} ∈ IN)
oder s.

(r, l) steht dabei für den Befehl R_{r}a_{l} , wenn l ≥ 1, und für R_{r} − 1 , wenn l = 0.

(r, c_{0}, …, c_{L}) bedeutet den Befehl R_{r}?_{∅↙ a_{1}↓ ...↘a_{L}}

(wobei c_{i} die zu a_{i} gehörige Befehlsnummer ist). s ist der Stop-Befehl stop .

b) Eine Registermaschine M ist eine Folge

(b_{0}, …, b_{N})

von Befehlen, wobei b_{N} = s, b_{n} ≠ s, wenn n ≠ N, und, wenn b_{c} = (r, c_{0}, …, c_{L}), dann c_{i} ≤ N. (Also: Registermaschine ≈ Programm) Die Maschine beginnt mit Befehl b_{0} und führt, wenn b_{c} ≠ s und b_{c} ≠ (r, c_{0}, …, c_{L}) nach b_{c} den Befehl b_{c+1} aus. Sonst hält die Maschine an bzw. geht zu dem entsprechenden Befehl b_{c_{i}} über.

§ 1 Registermaschinen 5

Beispiel: Unser Flußdiagramm von oben läßt sich folgendermaßen schreiben: Befehle:

b_{0}= (1, 6, 1, 3)  b_{6} = (2, 12, 7, 9)
b_{1}= (2, 1)  b_{7} = (0, 1)
b_{2}= (0, 4, 4, 4)  b_{8} = (0, 10, 10, 10)
b_{3}= (2, 2)  b_{9} = (0, 2)
b_{4}= (1, 0)  b_{10}= (2, 0)
b_{5}= (0, 0, 0, 0)  b_{11}= (0, 6, 6, 6)
b_{12}= s

Flußdiagramm:

↓ b_{0}

1 ↙ ↘ 2

∅ ↓ b_{1} b_{3} ↑ b_{5}

b_{2} ↘ ↙

b_{4}

b_{6} ↙ ↓ ↘

b_{12}  b_{7}  b_{9}  ↑ b_{11}

b_{8} ↘ ↙

b_{10}

c) Ein Registerinhalt I ist eine Folge

(W_{0}, …, W_{R−1})

von Wörtern aus A^{∗}.

– Eine Konfiguration K ist ein Paar

(c, I),

wobei c ≤ N der Index eines Befehls und I ein Registerinhalt ist.

– K ist eine Stopkonfiguration, wenn b_{c} = s.

– Die Nachfolgekonfiguration M(K) von K ist wie folgt erklärt: Es sei K = (c, W_{0}, …, W_{R−1}); dann ist

M(K) := (c̄, \overline{W}_{0}, …, \overline{W}_{R−1}),

wobei

c̄:= c , \overline{W}_{q} := W_{q} (für alle q < R) , falls b_{c} = s

c̄:= c+1 , \overline{W}_{q} := W_{q} (q ≠ r) und \overline{W}_{r} := \{ \begin{matrix}W_{r}a_{l} & (l > 0) \\ W_{r} − 1 & (l = 0) \end{matrix} , falls b_{c} = (r, l)

c̄:= c_{l} , \overline{W}_{q} := W_{q} (q < R) , falls b_{c} = (r, c_{0}, … c_{L}) und falls W_{r} = \{ \begin{matrix}∅ & (l = 0) \\ W a_{l} für ein W & (l > 0). \end{matrix}

d) Wir sagen “M angesetzt auf I stoppt bei J” (Notation: I⟶^{M}J), wenn

M^{n}(0, I) := (\underbrace{M(… M}_{n−mal}(I) …))(0, I) = (c, J) und b_{c} = s für ein n ∈ IN.

I heißt dabei Startkonfiguration, J Stopkonfiguration.

e) Es sei A_{0} ⊆ A. Wir sagen “M berechnet die Funktion F” (wobei F : (A_{0}^{∗})^{n} → A^{∗}), wenn

für alle W_{1}, …, W_{n} ∈ A_{0}^{∗} gilt:

(∅, W_{1}, …, W_{n}, ∅, …, ∅) ⟶^{M} (F (W_{1}, …, W_{n}), …)

– Wir identifizieren außerdem IN mit {|}^{∗} (durch n ↦ |^{n}) und sagen “M berechnet f” (wobei

f : IN^{n} → IN), wenn M die zu f gehörige Funktion F (mit F (|^{x_{1}}, …, |^{x_{n}}) = |^{f(x_{1},... ,x_{n})})

berechnet.

– f heißt berechenbar mit einer Registermaschine, wenn es eine Registermaschine M gibt,

die f berechnet.

\underline{Übung 1:} Berechne x · y.

\underline{Übung 2:} Berechne x + y (wobei x, y binär geschrieben seien).

\underline{Übung 3:} Rechne die Strichdarstellung in Binärdarstellung um und umgekehrt.

§ 2 Rekursive Funktionen

In diesem Kapitel erklären wir, was eine rekursive Funktion ist, und stellen den Zusammenhang zum Begriff der Registermaschine her (fortgesetzt in §3).

Definition :

a) Eine Funktion f : IN^{n} → IN heißt rekursiv gdw. sie sich aus den (folgenden) Grundfunktionen R0 mit Hilfe der Operationen R1, R2 und R3 bilden läßt (d.h. wenn es eine – nicht notwendig eindeutige – Darstellung der Funktion mittels R0-R3 gibt; zu diesem “gibt” vgl. die Warnung weiter unten): R0 :

N(x) := x + 1 (einstellig)
I_{i}^{n}(x_{1}, …, x_{n}) := x_{i} (i = 1, …, n) (n-stellig)
C_{0}^{0}  := 0  (nullstellig)

R1 (Einsetzung) :

Wenn h (k-stellig) und f_{1}, …, f_{k} (n-stellig) rekursiv sind, dann ist auch f – definiert durch

f(x_{1}, …, x_{n}) := h(f_{1}(x_{1}, …, x_{n}), …, f_{k}(x_{1}, …, x_{n}))

– rekursiv. R2 (Induktion) :

Wenn h (n + 2-stellig) und g (n-stellig) rekursiv sind, dann ist auch f – definiert durch

\begin{aligned}f(x_{1}, …, x_{n}, 0) & := g(x_{1}, …, x_{n}) \\ f(x_{1}, …, x_{n}, y + 1) & := h(x_{1}, …, x_{n}, y, f(x_{1}, …, x_{n}, y)) \end{aligned}

– rekursiv. R3 (μ-Operator) :

Wenn g (n+1-stellig) rekursiv ist, und wenn ∀x_{1} … ∀x_{n}∃y(g(x_{1}, …, x_{n}, y) = 0), dann ist auch f – definiert durch

f(x_{1}, …, x_{n}):= μy(g(x_{1}, …, x_{n}, y) = 0)
(= das kleinste y mit g(x_{1}, …, x_{n}, y) = 0)

– rekursiv. (Beschränken wir die Anwendung von R3 wie hier auf Funktionen g, die die Formel ∀x⃗ ∃y(g(x⃗, y) = 0) erfüllen, so sprechen wir auch von eingeschränkter Anwendung von R3, im Gegensatz zur uneingeschränkten Anwendung, wie sie in §4 vorkommen wird.)

b) Die Klasse der rekursiven Funktionen ist die kleinste Klasse von Funktionen, die die

Funktionen R0 enthält und unter den Operationen R1, R2 und R3 abgeschlossen ist.

8 Rekursionstheorie Beispiel: Die Rekursivität von x_{1} + x_{2} ergibt sich, indem wir die Regel R2 auf g(x_{1}) = I_{1}^{1}(x_{1}) und h(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = N(I_{3}^{3}(x_{1}, x_{2}, x_{3})) anwenden. \underline{Übung 1:} Zeige die Rekursivität von x_{1} · x_{2} und von x_{1}^{x_{2}}.

Bemerkung : Die rekursiven Funktionen sind (im intuitiven Sinn) berechenbar.

Beweis: Die Funktionen R0 sind offensichtlich im intuitiven Sinn berechenbar. Weiter ist klar, daß die berechenbaren Funktionen unter R1 (Einsetzung) abgeschlossen sind: Man berechnet einfach der Reihe nach f_{1}(x⃗) = y_{1}, …, f_{n}(x⃗) = y_{n} und dann h(y_{1}, …, y_{n}). Zu R2: Es seien h und g berechenbar und f sei definiert durch

\begin{aligned}f(x⃗, 0) & := g(x⃗) und \\ f(x⃗, y + 1) & := h(x⃗, y, f(x⃗, y)). \end{aligned}

Dann ist auch f berechenbar: Zur Berechnung von f(x⃗, y) berechne der Reihe nach z_{0} = g(x⃗), z_{1} = h(x⃗, 0, z_{0}), …, z_{i+1} = h(x⃗, i, z_{i}), …, z_{y} = h(x⃗, y − 1, z_{y−1}). Das Ergebnis ist f(x⃗, y) = z_{y}. Zu R3: Es sei g berechenbar und es gelte ∀x⃗ ∃y(g(x⃗, y) = 0). Dann berechnet sich

μy(g(x⃗, y) = 0),

indem man der Reihe nach g(x⃗, 0) , g(x⃗, 1) , … berechnet, bis zum ersten Mal Null herauskommt.

Wir haben eben von “Berechenbarkeit im intuitiven Sinn” gesprochen. Ist dies unproblematisch, d.h. ist in jedem Fall klar, was wir damit meinen?

Warnung : Die folgende Funktion ist rekursiv und damit berechenbar (im obigen Sinne):

g(x) := \{ \begin{matrix}x & , falls Fermats Theorem stimmt \\ x + 1 & , sonst \end{matrix}

Denn entweder haben wir g = I_{1}^{1} (falls Fermats Theorem stimmt), oder g = N (falls nicht); g ist in jedem Fall rekursiv. Wir stellen uns bei der Definition von “rekursiv” also auf den Standpunkt der klassischen Logik, von dem aus Fermats Theorem entweder stimmt oder nicht, und es egal ist, ob wir entscheiden können, was der Fall ist.

Die meisten Mathematiker akzeptieren unsere Definition einer rekursiven Funktion als “richtige”, d.h. adäquate, Präzisierung des Begriffs einer berechenbaren Funktion. Sie akzeptieren damit

Churchs These: berechenbar = rekursiv

(nach Alonso Church). Diese These wird gestützt durch die Beobachtung, daß sich alle bisherigen mathematisch “brauchbaren” Präzisierungen des Begriffs der berechenbaren Funktion (z.B auch der Begriff der Turingmaschinen-berechenbaren Funktion) als äquivalent zum Begriff der rekursiven Funktion herausgestellt haben. Wir zeigen als ein Beispiel:

Satz 1 : f ist rekursiv gdw. f mit einer Registermaschine berechenbar ist. (Es genügt das Alphabet A = {|}).

Wir beweisen zuerst, daß sich rekursive Funktionen mit Registermaschinen berechnen lassen, und beweisen die Umkehrung in §3.

Vorbereitungen des Beweises: Wir brauchen zwei Hilfsmaschinen, und wir müssen Maschinen nacheinander anwenden können. Die Löschmaschine:

L^{r} := ((r, 0), (r, 2, 0), s)

(über A = { }) löscht das Register R_{r}. Wirkungsweise:

(W_{0}, …, W_{r}, …, W_{R−1}) ⟶^{L^{r}} (W_{0}, …, ∅, …, W_{R−1})

Flußdiagramm:

↓ / (R_{r} − 1)

↓ ↑

(R_{r}? \underline{|} ↓ ∅) / (stop)

Die Kopiermaschine:

K_{h}^{r,s} := ((s, 0), (s, 2, 0), (r, 6, 3), (r, 0), (h, 1), (0, 2, 2), (h, 11, 7), (h, 0), (s, 1), (r, 1), (0, 6, 6), s)

(über A = { }) kopiert R_{r} auf R_{s} mit Hilfsregister R_{h} (r ≠ s ≠ h ≠ r). Wirkungsweise:

(W_{0}, …, W_{s}, …, \underbrace{∅}_{W_{h}}, …, W_{R−1}) ⟶^{K_{h}^{r,s}} (W_{0}, …, W_{r}, …, ∅, …, W_{R−1})

Flußdiagramm:

↓ L^{s} ↓ R_{r}?

∅ ↙ ↘ | ↑

R_{h}? R_{r} − 1 → R_{h}

| ↙ ↘ ∅

↑ R_{h} − 1 stop

↓

R_{r} ← R_{s}

Eben haben wir schon davon Gebrauch gemacht, zusammengesetzte Maschinen mit Flußdiagrammen zu beschreiben, die auch Befehle M enthalten, wobei M eine Maschine ist. Die formale Beschreibung ist wie folgt:

Definition : Eine zusammengesetzte Registermaschine über A = {a_{1}, …, a_{L}} mit R Registern ist eine Folge

(B^{0}, B^{1}, …, B^{k})

wobei B^{k} = s und B^{i} (i < k) von der folgenden Form ist:

b_{0}^{i} = (r, c_{0}, …, c_{L}) , r < R , c_{l} ≤ k

oder b_{0}^{i} = (r, l) , l ≤ L

oder eine Registermaschine (b_{0}^{i}, …, b_{N_{i}}^{i}) über A = {a_{1}, …, a_{L}} mit R Registern.

Wir fordern b_{c}^{i} = s ↔ c = N_{i}. Die zu einer zusammengesetzten Registermaschine gehörige Registermaschine ist

[B^{0} … B^{k}] := (b̄_{0}^{0}, …, b̄_{N_{0}−1}^{0}, b̄_{0}^{1}, …, b̄_{N_{k−1}−1}^{k−1}, s),

wobei N_{i} := 1 , falls B^{i} keine Registermaschine ist, und

b̄_{c}^{i} := \{ \begin{matrix}b_{c}^{i} & & , falls b_{c}^{i} = (r, l) \\ b̄_{c}^{i} = (r, c̄_{0}, …, c̄_{L}) & mit c̄_{l} := c_{l} + ∑_{j<i} N_{j} (bzw. c̄_{l} := ∑_{j<c_{l}} N_{j}) & , falls b_{c}^{i} = (r, c_{0}, …, c_{L}), \end{matrix}

wobei B^{i} eine (bzw. keine) Registermaschine ist.

(Die Komplizierung ergibt sich dadurch, daß man die Befehlsnummern “trennen”

muß; Vorsicht auch wegen Konfusion bei der Registerbenutzung!)

Beispiel: \underline{L}^{n} := [L^{0} … L^{n}] löscht R_{0}, …, R_{n}. (Wir werden diese Maschine später noch benutzen.)

Nun zum Beweis der einen Hälfte des Satzes 1:

Behauptung : Die Funktionen f : IN^{n} → IN , die von Registermaschinen (über A = {|}) berechnet werden, sind unter R0, R1, R2 und R3 abgeschlossen.

Hieraus folgt unsere Behauptung, daß sich alle rekursive Funktionen f durch Registermaschinen berechnen lassen, sofort durch Induktion über den Aufbau (einer Darstellung) von f. (f kann natürlich mehrere Darstellungen haben).

Beweis: R0: N wird berechnet von [K_{2}^{1,0} (0, 1) s].

I_{i}^{n} wird berechnet von K_{n+1}^{i,0}. C_{0}^{0} wird berechnet von s.

R1: Es seien h, f_{1}, …, f_{k} von H, F_{1}, …, F_{k} mit R Registern berechnet. Dann wird

f(x_{1}, …, x_{n}) := h(f_{1}(x_{1}, …, x_{n}), …, f_{k}(x_{1}, …, x_{n}))

von der folgenden Maschine (mit R+n+k+1 Registern) berechnet (Abkürzung: K^{r,s} := K_{R+n+k}^{r,s}):

[ K^{1,R} K^{2,R+1} … K^{n,R+n−1} F_{1} K^{0,R+n} \underline{L}^{R−1}
K^{R,1} K^{R+1,2} … K^{R+n−1,n} F_{2} K^{0,R+n+1} \underline{L}^{R−1}
⋮  ⋮  ⋮  ⋮  ⋮  ⋮  ⋮
K^{R,1} K^{R+1,2} … K^{R+n−1,n} F_{k} K^{0,R+n+k−1}\underline{L}^{R−1}
K^{R+n,1}K^{R+n+1,2}… K^{R+n+k−1,k} H  s  ]

Indem man betrachtet, wie sich die Registerinhalte verändern, kann man sich klarmachen, daß diese Maschine das Gewünschte leistet:

R_{0} R_{1} … R_{n} . . . . . . R_{R} … R_{R+n−1} R_{R+n} . . . . . . R_{R+n+k−1} R_{R+n+k}
Input  0 x_{1} … x_{n} 0 . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . .  …  …
nach 1. Zeile 0 0 … 0 . . . . . . x_{1} … x_{n}  f_{1}(x⃗) 0 …  …  …
nach 2. Zeile 0 0 … 0 . . . . . . x_{1} … x_{n}  f_{1}(x⃗) f_{2}(x⃗) 0  …  …
⋮  ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮  ⋮  ⋮  ⋮ ⋮  ⋮  ⋮
nach k. Zeile 0 0 … 0 . . . . . . x_{1} … x_{n}  f_{1}(x⃗) . . . . . . f_{k}(x⃗)  0

R2 (Fall n = 1): Wenn g und h von G und H mit R Registern berechnet werden, dann wird f – definiert durch

\begin{aligned}f(x, 0) & := g(x) \\ f(x, y + 1) & := h(x, y, f(x, y)) \end{aligned}

– von der folgenden Maschine (mit R + 4 Registern) berechnet (Abkürzung: K^{r,s} := K_{R+3}^{r,s}):

↓

[K^{1,R} K^{2,R+2} L^{2} G]

(†) ↓ (K^{0,3}) / ↓

R_{R+2}? ↑ (‡)

∅ ↙ ↘ |

stop [K^{R,1}K^{R+1,2}L^{0}L^{4} … L^{R−1}H]

↘

R_{R+2} − 1 → R_{R+1}|

Die Inhalte der Register sind (bei Input x, y):

R_{0}  R_{R}  R_{R+1}  R_{R+2}
bei (†) : g(x)  x  0  y
bei (‡) : f(x, 1)  x  1  y − 1
⋮  ⋮  ⋮  ⋮
f(x, y)  x  y  0

R3: Wenn ∀x⃗ ∃y(g(x_{1}, …, x_{n}, y) = 0) und g von der Maschine G mit R Registern berechnet wird, dann wird

f(x⃗) := μy(g(x⃗, y) = 0)

von der folgenden Maschine mit R + n + 2 Registern berechnet (Abkürzung: K^{r,s} := K_{R+n+1}^{r,s}):

↓

[K^{1,R} … K^{n,R+n−1}]

↓ / G (⋆) ↓ R_{0}?

∅ ↙ ↘ | ↑

K^{R+n,0} R_{R+n}|
↙ ↘
stop  [\underline{L}^{R−1}K^{R,1} … K^{R+n,n+1}]

Die Inhalte (bei Input x_{1}, …, x_{n}) der Register sind bei (⋆):

\begin{matrix}R_{0} & R_{R} & … & R_{R+n−1} & R_{R+n} \\ g(x⃗, 0) & x_{1} & … & x_{n} & 0 \\ g(x⃗, 1) & x_{1} & … & x_{n} & 1 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 = g(x⃗, y) & x_{1} & ⋯ & x_{n} & y = f(x⃗) \end{matrix}

Damit haben wir unsere Behauptung bewiesen.

§ 3 Primitiv rekursive Funktionen und Godelisierung

Um die Rückrichtung von Satz 1 aus §2 zu zeigen, brauchen wir die Technik der Gödelisierung, zu der wir nun kommen. Zuerst führen wir noch den Begriff der primitiv rekursiven Funktion ein.

Definition : Eine Funktion f : IN^{n} → IN heißt primitiv rekursiv (p.r.), wenn sie sich aus den Grundfunktionen R0 durch Anwendung der Operationen R1 und R2 (also ohne R3) ergibt.

Beispiel: Die Funktionen C_{k}^{n} mit C_{k}^{n}(x_{1}, …, x_{n}) := k für alle x⃗ ∈ IN^{n} (wobei n, k ∈ IN) sind p.r. Denn C_{0}^{n} ergibt sich durch Einsetzen von I_{1}^{n} in C_{0}^{0}, und C_{k}^{n} daraus durch k-faches Anwenden von N.

Nun ein paar einfache, aber grundlegende Ergebnisse über p.r. Funktionen:

Lemma 1 : f sei definiert durch

f(x_{1}, …, x_{n}) := T (x_{1}, …, x_{n})

wobei T ein Term ist, der sich aus x_{1}, …, x_{n}, natürlichen Zahlen und Funktionen g_{1}, …, g_{m}(m ∈ IN) aufbaut. Es gilt: Wenn die g_{i} rekursiv (bzw. p.r.) sind, so ist auch f rekursiv (bzw. p.r.).

Beweis: Es genüge uns folgendes Beispiel als Beweis:

f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = g_{1}(x_{1}, g_{2}(x_{1}, x_{2}), 3)

= g_{1}(I_{1}^{3}(x_{1}, x_{2}, x_{3}), g_{2}(I_{1}^{3}(x_{1}, x_{2}, x_{3}), I_{2}^{3}(x_{1}, x_{2}, x_{3})), C_{3}^{3}(x_{1}, x_{2}, x_{3}))

(Ausführlicher Beweis: Induktion über den Aufbau der Terme.)

Folgerung 2 : f sei definiert durch

\begin{aligned}f(x_{1}, …, x_{n}, 0) & := T^{1}(x_{1}, …, x_{n}) \\ f(x_{1}, …, x_{n}, y + 1) & := T^{2}(x_{1}, …, x_{n}, y, f(x_{1}, …, x_{n}, y)) \end{aligned}

wobei die T^{i} Terme in g_{i} sind. Dann gilt: Wenn die g_{i} rekursiv (p.r.) sind, ist auch f rekursiv (p.r.).

Beweis: klar.

Beispiele: Folgendes sind primitiv rekursive Funktionen, wie man aus ihren Definitionen unmittelbar sieht:

x + y  Definition:  x + 0 := x  x + (y + 1) := N(x + y)
x · y  x · 0 := 0  x · (y + 1) := x · y + x
x^{y}  x^{0} := 1  x^{y+1} := x^{y} · x
x!  0! := 1  (x + 1)! := x! · (x + 1)
x 1  0 1 := 0  (x + 1) 1 :=  x
x y  x 0 := x  x (y + 1) := (x y) 1

Nun erweitern wir den Begriff der Rekursivität auf Relationen.

Definition : Eine Relation R ⊆ IN^{n} (wir sagen auch “Prädikat”) heißt rekursiv (bzw. primitiv rekursiv), wenn ihre charakteristische Funktion

K_{R}(x⃗) := \{ \begin{matrix}0 & , falls x⃗ ∈ R \\ 1 & , falls x⃗ ∉ R \end{matrix}

rekursiv (bzw. p.r.) ist. (Wir unterscheiden nicht genau zwischen R als Relation(ssymbol) und als Menge; insbesondere benutzen wir sowohl die Schreibweise “R(x⃗)” als auch “x⃗ ∈ R”. In unserem Zusammenhang führt dies zu keinen Komplikationen, da wir nicht verschiedene Interpretationen eines Relationssymbols betrachten.)

Beispiele:

– ∅ ist eine p.r. Menge; denn K_{∅} = C_{1}^{0}.

– “x = 0” ist p.r.; denn aus der Darstellung

K_{=0}(0) = 0 und K_{=0}(x + 1) = 1

und mit Folgerung 2 sieht man, daß K_{=0} p.r. ist.

Lemma 3 : Wenn P und Q rekursiv (p.r.) sind, dann auch P ∧ Q , P ∨ Q , ¬P (und damit auch P → Q und P ↔ Q). Wenn f_{1}, …, f_{n} rekursiv (p.r.) sind, dann auch P (f_{1}, …, f_{n}).

Beweis: K_{¬P} = 1 K_{P} K_{P ∧Q} = K_{=0}(K_{P} + K_{Q})

K_{P ∨Q} = K_{P} · K_{Q}
K_{P (f_{1},... ,f_{n})} = K_{P} (f_{1}, …, f_{n})

(→ und ↔ lassen sich darstellen durch ¬, ∨ und ∧).

Beispiele:

– Die Relationen “x = y” und “x < y” sind p.r.; denn

x = y ⟷ (x y = 0 ∧ y x = 0),
x < y ⟷ y x ≠ 0.

– Jede endliche Menge E = {a_{1}, …, a_{n}} ist p.r.; denn

x ∈ E ⟷ ∃i ≤ n(x = a_{i})

.

Lemma 4 (Rekursive Fallunterscheidung):

Wenn P_{1}, …, P_{n} und f_{0}, …, f_{n} rekursiv (p.r.) sind, dann ist auch f – definiert durch

f(x⃗) := \{ \begin{matrix}f_{0}(x⃗) & , falls P_{1}(x⃗) \\ ⋮ & ⋮ \\ f_{i}(x⃗) & , falls P_{i+1}(x⃗) und ¬P_{1}(x⃗), …, ¬P_{i}(x⃗) \\ ⋮ & ⋮ \\ f_{n}(x⃗) & , falls ¬P_{1}(x⃗), …, ¬P_{n}(x⃗) \end{matrix}

- rekursiv (p.r.).

Beweis: Es gilt

f(x⃗) = ∑_{i≤n} (f_{i}(x⃗) · K_{Q_{i}}(x⃗)),

wobei

Q_{i}(x⃗) :⟷ \{ \begin{matrix}¬(¬P_{1}(x⃗) ∧ … ∧ ¬P_{i}(x⃗) ∧ P_{i+1}(x⃗)) & , falls i < n \\ ¬(¬P_{1}(x⃗) ∧ … ∧ ¬P_{i}(x⃗)) & , falls i = n. \end{matrix}

Lemma 5 : Es sei P rekursiv (p.r.). Dann ist auch

R(x⃗, z) :⟷ ∀y < zP (x⃗, y)

rekursiv (p.r.). (Beachte: Für unbeschränkte ∀-Quantifizierung ist dies falsch! Und: Mit Lemma 3 haben wir auch dasselbe Ergebnis für den ∃-Quantor.)

Beweis: K_{R}(x⃗, 0) = 0 und K_{R}(x⃗, z + 1) = K_{=0}(K_{R}(x⃗, z) + K_{P} (x⃗, z)) .

Lemma 6 : Es seien g und h p.r. und es gelte ∀ x⃗∃y ≤ h(x⃗)(g(x⃗, y) = 0). Dann ist auch die Funktion μy(g(x⃗, y) = 0) p.r.

Beweis: Wir definieren rekursiv

f(x⃗, 0) := 0
f(x⃗, z + 1):= \{ \begin{matrix}f(x⃗, z) & , falls g(x⃗, f(x⃗, z)) = 0 \\ z + 1 & , sonst. \end{matrix}

Wie man leicht sieht, ist f p.r. und hat folgende Eigenschaft: Bei festem x⃗ und variablem z gilt f(x⃗, z) = z, solange g(x⃗, y) ≠ 0 für alle y < z gilt; sobald einmal g(x⃗, y) = 0 eintritt, bleibt f(x⃗, z) von da an konstant. Daraus sieht man sofort:

f(x⃗, h(x⃗)) = μy(g(x⃗, y) = 0),

woraus unsere Behauptung folgt. (Formaler Beweis durch Induktion über den Wert von h(x⃗).)

Mit den Lemmata 5 und 6 erhalten wir weitere einfache, aber wichtige Ergebnisse:

Beispiele:

– “x|y” ist p.r.; denn es gilt x|y ↔ R(x, y, y+1), wobei R(x, y, z) ↔ ∃w < z(x·w = y).

– “x ist Primzahl” ist p.r.; denn es gilt x ist prim ↔ {1 < x∧∀y < x∀z < x(y ·z ≠ x)}.

– Die Funktion “n ↦ p_{n} := n+1-te Primzahl” ist p.r.; denn es gilt p_{0} = 2 und p_{n+1} = μy(≤ p_{n}! + 1)(y prim ∧ y > p_{n}). (Beachte: Die Funktion x ↦ x! + 1 ist p.r. und

p_{n}! + 1 ≥ p_{n+1}.)

Als Vorbereitung für die Methode der Gödelisierung benötigen wir noch eine weitere technische Einzelheit.

Lemma 7 (Gödelnummern von endlichen Folgen):

Die Zuordnung

(x_{0}, …, x_{n−1}) ↦ ⟨x_{0}, …, x_{n−1}⟩ := p_{0}^{x_{0}} · . . . · p_{n−2}^{x_{n−2}} · p_{n−1}^{x_{n−1}+1} − 1

liefert eine Bijektion (Codierung oder “Gödelisierung”) zwischen ⋃_{n∈IN} IN^{n} (der Menge aller endlichen Folgen von natürlichen Zahlen) und IN. Die Funktionen lg(·) : IN → IN und (·)_{i} : IN → IN – definiert durch

lg(⟨x_{0}, …, x_{n−1}⟩):= n und
(⟨x_{0}, …, x_{n−1}⟩)_{i} := \{ \begin{matrix}x_{i} & , falls i < n \\ 0 & , falls i ≥ n \end{matrix}

– sind p.r.

Zusatz: Es gilt lg(s) ≤ s und (s)_{i} < s. Außerdem gibt es eine p.r. Funktion B : IN → IN mit

x_{0}, …, x_{n−1}, n ≤ N ⟹ ⟨x_{0}, …, x_{n−1}⟩ ≤ B(N).

Beweis: Beachte: ⟨ ⟩ = 0. Wir beweisen zuerst den Zusatz. Die Ungleichungen für lg(s) und (s)_{i} folgen aus

lg(s) = n ≤ ( n-te Primzahl −1) = ⟨0, …, 0⟩ ≤ ⟨x_{0}, …, x_{n−1}⟩ = s und (s)_{i} = x_{i} < 2^{x_{i}} ≤ s

Weiter setze z.B. B(x) := \underbrace{p_{x}^{(x+1)^{2}}}_{p.r.} (Anmerkung: Man kann B noch “kleiner” wählen).

Zur Bijektivität der Zuordnung: Die Injektivität folgt aus der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung für natürliche Zahlen und aus unserer Definition (beachte die Rolle von ^{+1} und −1), die Surjektivität aus der Existenz der Primfaktorzerlegung. Zur primitiven Rekursivität von lg(·) und (·)_{i} (wobei wir nun den Zusatz benutzen): Es gilt

lg(s) = μy ≤ s[∀z ≤ s(z > y → ¬[p_{z−1}|(s+1)])] und(s)_{i} = μy ≤ s[(i+1 = lg(s)∧¬[p_{i}^{y+2}|(s+1)])∨(i+1 < lg(s)∧¬[p_{i}^{y+1}|(s+1)])]

Mit Lemma 6 folgt daraus unsere Behauptung.

Folgerung 8 : Für jedes n ist die Funktion (x_{0}, …, x_{n−1}) ↦ ⟨x_{0}, …, x_{n−1}⟩ p.r.

Beweis: Das ist eigentlich schon klar wegen der Definition der Funktion ⟨·⟩. Es folgt aber auch aus

⟨x_{0}, …, x_{n−1}⟩ = μy ≤ B(x_{0} + … + x_{n−1} + n)[lg(y) = n ∧ ∀i < n((y)_{i} = x_{i})] mit Lemma 6.

\underline{Übung 1:} Es sei x = ∑_{i∈IN} ε_{i} · 2^{i} mit ε_{i} ∈ \{0, 1\} (endliche Summe).

a) Zeige: Die Abbildung x ↦ D_{x} := {i | ε_{i} = 1} liefert eine Bijektion zwischen IN und der Menge aller endlichen Teilmengen von IN. Zeige weiter: Die Relationen y ∈ D_{x} und y = |D_{x}| (= Mächtigkeit von D_{x}) sind p.r.

b) Es sei x ↦ E_{x} eine Bijektion zwischen IN und den endlichen Teilmengen von IN. Dann gibt es genau dann eine rekursive Permutation π : IN → IN mit E_{x} = D_{π(x)}, wenn “y ∈ E_{x}” und “y = |E_{x}|” rekursiv sind.

\underline{Übung 2} (Wertverlaufsrekursion): Es sei g : IN^{3} → IN gegeben. f ist durch

f(x_{1}, …, x_{n}, y) := g(⟨x_{1}, …, x_{n}⟩, y, ⟨f(x_{1}, …, x_{n}, 0), …, f(x_{1}, …, x_{n}, y − 1)⟩)

[also insbesondere f(x⃗, 0) := g(⟨x⃗⟩, 0, 0)] eindeutig bestimmt. Wenn g rekursiv (p.r.) ist, ist auch f rekursiv (p.r.).

(Wir werden Wertverlaufsrekursion im folgenden öfters benutzen. Insofern sei diese Übung dem Leser besonders ans Herz gelegt.)

\underline{Übung 3:} Es sei durch (x_{0}, …, x_{n−1}) ↦ [x_{0}, …, x_{n−1}] eine Bijektion von ⋃_{n∈IN} IN^{n} auf IN definiert. [·]_{i} und LG(·) seien weiterhin durch

[[x_{0}, …, x_{n−1}]]_{i} := \{ \begin{matrix}0 & , falls i ≥ n \\ x_{i} & , falls i < n \end{matrix} und LG([x_{0}, …, x_{n−1}]) := n

definiert. Wir sagen, zwei solche Funktionen [·] und [·]′ sind rekursiv (p.r.) äquivalent gdw. es eine Bijektion π : IN → IN mit

π([x_{0}, …, x_{n−1}]) = [x_{0}, …, x_{n−1}]′

gibt und π, π^{−1} rekursiv (p.r.) sind. Offenbar ist das eine Äquivalenzrelation.

a) Zeige: [·] ist rekursiv äquivalent zu ⟨·⟩ gdw. [·]_{i} und LG(·) rekursiv sind. [·] ist p.r. äquivalent zu ⟨·⟩ gdw. [·]_{i} und LG(·) p.r. sind und wenn es eine p.r. Funktion B̄ gibt mit

x_{0}, …, x_{n−1}, n ≤ N ⟶ [x_{0}, …, x_{n−1}] ≤ B̄(N)

b) Zeige: (IN, ⟨·⟩) ≅ (IN, [·]) (d.h. es existiert eine Bijektion π : IN → IN mit π(⟨x_{0}, …, x_{n−1}⟩) = [π(x_{0}), …, π(x_{n−1})]) gdw. eine Funktion l : IN → IN existiert mit l(x_{i}) < l([x_{0}, …, x_{n−1}]).

Nun zur angekündigten Technik der “Gödelisierung” (nach Kurt Gödel) von Registermaschinen:

Definition (Gödelnummern) :

– Die Gödelnummer einer Registermaschine M = (b_{0}, …, b_{N}) ist

M := ⟨ b_{0} , …, b_{N} ⟩

wobei

(r, l) := ⟨r, l⟩ , (r, c_{0}, …, c_{L}) := ⟨r, c_{0}, …, c_{L}⟩ und s := 0.

– Die Gödelnummer einer Konfiguration K = (c, W_{0}, …, W_{R−1}) ist

K := ⟨c, W_{0} , …, W_{R−1} ⟩,

wobei

a_{l_{0}} … a_{l_{n−1}} := ⟨l_{0}, …, l_{n−1}⟩.

– Mit W_{w} bezeichnen wir das Wort mit Gödelnummer w, d.h. W_{w} = w; entsprechend B_{b} für den

Befehl mit B_{b} = b und M_{m} für die Maschine mit M_{m} = m.

Bemerkungen :

a) W^{♣}(w, L):= “W_{w} ∈ A^{∗}”, wobei A = {a_{1}, …, a_{L}}, ist p.r. in w und L; denn

W^{♣}(w, L) ⟷ ∀i < lg(w)[(w)_{i} ∈ {1, …, L}].

b) B^{♠}(b, L, R):= “B_{b} ist Befehl einer Registermaschine über A mit R Registern” ist p.r. in b, L, R; denn

B^{♠}(b, L, R) ⟷ [lg(b) = 0 ∨ (lg(b) = 2 ∧ (b)_{0} < R ∧ (b)_{1} ≤ L)
∨ (lg(b) = L + 2 ∧ (b)_{0} < R)].

c) M^{♡}(m, L, R) := “M_{m} ist Registermaschine über A mit R Registern” ist p.r. in m, L, R; denn

M^{♡}(m, L, R) ⟷ [m ≠ 0 ∧ ∀i < lg(m)[B^{♠}((m)_{i}, L, R) ∧ (m)_{lg(m)−1} = 0
∧ (lg((m)_{i}) > 2 → ∀j < lg((m)_{i})(j > 0 → ((m)_{i})_{j} < lg(m)))]].

Lemma 9 : Es gibt eine p.r. Funktion Na, so daß für alle Registermaschinen M und Konfigurationen K gilt

M(K) = Na( M , K ).

Beweis: Wir brauchen die folgenden drei p.r. Hilfsfunktionen:

Ers(s, i, y) := \{ \begin{matrix}⟨x_{0}, …, y, …, x_{n−1}⟩ & , wenn s = ⟨x_{0}, …, x_{i}, …, x_{n−1}⟩ \\ s & , wenn i ≥ lg(s) \end{matrix}
D(s, i) :=⟨x_{0}, …, x_{n−1}, i⟩, wenn s = ⟨x_{0}, …, x_{n−1}⟩
F (s, i) := \{ \begin{matrix}D(s, i) & , wenn i > 0 \\ ⟨x_{0}, …, x_{n−2}⟩ & , wenn i = 0 , s = ⟨x_{0}, …, x_{n−1}⟩ \end{matrix}

§ 3 Primitiv rekursive Funktionen und Godelisierung 19

In der Tat sind sie p.r., denn z.B. Ers(s, i, y) = μz ≤ B(s+y)[lg(z) = lg(s)∧∀j < lg(s)((j = i → (z)_{j} = y)∧(j ≠ i → (z)_{j} = (s)_{j}))] und

F (s, i) =μz ≤ B(s + i)[(i = 0 → lg(z) = lg(s) 1 ∧ ∀j < lg(z)(z)_{j} = (s)_{j})
∧ (i > 0 → lg(z) = lg(s) + 1 ∧ ∀j < lg(s)(z)_{j} = (s)_{j} ∧ (z)_{lg(s)} = i)].

Setze nun

Na(m, k) := \{ \begin{matrix}k & , falls lg(b) ≤ 1 \\ Ers(Ers(k, 0, c + 1), r + 1, F (w, (b)_{1})) & , falls lg(b) = 2 \\ Ers(k, 0, (b)_{(w)_{lg(w) 1}+1}) & , falls lg(b) > 2, \end{matrix}

wobei c = (k)_{0} , b = (m)_{c} , r = (b)_{0} , w = (k)_{r+1}. Es ist nicht allzu schwer einzusehen, daß dieses Na wie gewünscht ist. Falls etwa

m = M = (b_{0}, …, b_{N}) und k = K = (c, W_{0}, …, W_{R−1})

(also der Fall, der uns interessiert), dann werden in der Definition von Na gerade die Fälle b = s , b = (r, l) und b = (r, c_{0}, …, c_{L}) unterschieden. Im dritten Fall erhalten wir z.B. b = b_{c} = (r, c_{0}, …, c_{L}) = ⟨r, c_{0}, …, c_{L}⟩ und w = ( K )_{r+1} = W_{r} = (a_{i_{0}}, …, a_{i_{lg(w) 1}}) , also (w)_{lg(w) 1} = Index des letzten Buchstaben von W_{r} bzw. =0 falls W_{r} = ∅ und (b)_{(w)_{lg(w) 1}+1} = c_{(w)_{lg(w) 1}} . Wie man nun aus der Definition von Na leicht sieht, gilt in diesem Fall wie gewünscht:

Na( M , K ) = M(K) .

Die anderen Fälle kann man sich analog klarmachen. Bemerkung : Natürlich ist dann auch

(n, m, k) ↦ Na^{n}(m, k) := \underbrace{Na(m, Na(m, …, Na(m, k)}_{n-mal} …)

primitiv rekursiv.

Nun können wir die Rückrichtung von Satz 1 aus §2 zeigen: Behauptung : Jede RM-berechenbare Funktion ist rekursiv.

Beweis: Wir brauchen die p.r. Hilfsfunktion

x ↦ \underline{x} := ⟨\underbrace{1, …, 1}_{x-mal}⟩

(Es ist \underline{0} = 0 , \underline{x + 1} = F (\underline{x}, 1) , also ist die Funktion p.r.) und die p.r. Hilfsfunktionen (“Anfangskonfiguration”)

G_{n} : (t, x_{1}, …, x_{n}) ↦ ⟨0, 0, \underline{x_{1}}, …, \underline{x_{n}}, \underbrace{0, …, 0}_{t-mal}⟩

(Es ist G_{n}(0, x⃗) = ⟨0, 0, x⃗⟩ und G_{n}(t + 1, x⃗) = D(G(t, x⃗), 0).) Beachte, daß M mit M Registern auskommt; denn falls die Registernummer r in M auftaucht, dann gilt r ≤ (r, l) ≤ M . Nun definieren wir das Prädikat

\begin{matrix}T^{n}(m, x_{1}, …, x_{n}, g) :⟷ & (m)_{(N^{^{(g)}1} (m,G_{n}(m,x_{1},... ,x_{n})))}_{0} = 0 \\ ∧lg((N^{(g)^{1}}(m, G_{n}(m, x_{1}, …, x_{n})))_{1}) = (g)_{0} \end{matrix}

Erläuterung: Die Idee ist, auszudrücken, daß die Registermaschine mit Gödelnummer m bei Input x⃗ (+ m-vielen Nullen) nach (g)_{1}-vielen Schritten mit Output (g)_{0} stoppt. Genauer: Es gilt T^{n}(m, x⃗, g) gdw. bei Anfangskonfiguration (0, 0, x⃗, 0, …, 0) die Maschine mit Gödelnummer m (wobei dies aber nicht unbedingt die Nummer einer Registermaschine zu sein braucht) nach (g)_{1} Schritten die Stopkonfiguration erreicht, mit (g)_{0} im 0-ten Register.

Daraus ist ersichtlich: Wenn f : IN^{n} → IN von M berechnet wird, dann ist

(∗)  f(x_{1}, …, x_{n}) = (μgT^{n}( M , x_{1}, …, x_{n}, g))_{0}

Anmerkung: Man muß nicht unbedingt das kleinste solche g wählen, aber dieses tut’s. Aus (∗) folgt unsere Behauptung.

Aus (∗) erhalten wir unmittelbar ein weiteres wichtiges Ergebnis:

Folgerung 10 : Für jedes n gibt es ein p.r. Prädikat T^{n}(m, x_{1}, …, x_{n}, g) (das “Kleene-Prädikat” (nach Stephen C. Kleene)), so daß jede rekursive Funktion f : IN^{n} → IN die Form

f(x_{1}, …, x_{n}) = (μgT^{n}(e, x_{1}, …, x_{n}, g))_{0}

für ein geeignetes e ∈ IN hat.

Man erhält also eine uniforme Darstellung für rekursive Funktionen f, wobei in der Darstellung e die Gödelnummer einer Registermaschine ist, die f berechnet.

Definition : Wir setzen φ_{m}^{n}(x⃗) := (μgT^{n}(m, x⃗, g))_{0}.

Unser Ergebnis von oben legt die Frage nahe, ob (für alle n, m ∈ IN) die Funktion φ_{m}^{n} für alle x⃗ ∈ IN^{n} definiert ist. Die Antwort ist negativ, denn wenn e nicht die Gödelnummer der Registermaschine einer rekursiven Funktion ist, dann ist φ_{e}^{n}(x⃗) im allgemeinen nur eine partiell definierte Funktion. (Beispiel: Wenn M = (0, 0, …, 0), s), dann ist φ_{m}^{n}, m = M , nirgends definiert.)

Bemerkung : Es gibt keine rekursive Funktion F (e, x), so daß jede rekursive Funktion f(x) die Form F (e, x) für ein geeignetes e hat. Gäbe es nämlich eine solche Funktion, dann hätte auch die rekursive Funktion F (x, x) + 1 die Form F (e, x); für x = e ergibt sich ein Widerspruch.

§ 4 Partiell rekursive Funktionen

Wir wollen uns nun mit partiell rekursiven Funktionen, auf die wir im letzten Kapitel gestoßen sind, näher beschäftigen.

Notationen :

– Mit f : IN^{n} ↪ IN bezeichnen wir eine partielle Funktion von IN^{n} nach IN. f ist definiert auf

dom(f) ⊆ IN^{n}.

– f(x_{1}, …, x_{n}) ↓ bedeutet (x_{1}, …, x_{n}) ∈ dom(f). Sonst schreiben wir f(x_{1}, …, x_{n}) ↑ (manchmal

schreiben wir dafür auch f(x⃗) ≃ ↑).

– Für zwei partielle Funktionen f und g bedeutet

f(x_{1}, …, x_{n}) ≃ g(x_{1}, …, x_{n}),

daß gilt: (f(x⃗) ↑ und g(x⃗) ↑) oder (f(x⃗) ↓ , g(x⃗) ↓ und f(x⃗) = g(x⃗)). Man beachte, daß wir ≃ als Relation zwischen den Termen f(x_{1}, …, x_{n}) und g(x_{1}, …, x_{n}) eingeführt haben, nicht als Relation zwischen den Funktionen f und g. Es gilt daher insbesondere für zwei partielle Funktionen f und g : IN^{n} ↪ IN:

f = g ⟷ ∀x⃗ ∈ IN^{n}f(x⃗) ≃ g(x⃗).

Beachte auch, daß f(x⃗) ≃ y gdw. f(x⃗) ↓ und f(x⃗) = y (d.h. die Relation f(x⃗) ≃ y ist der Graph von f).

– Es sei M eine Registermaschine mit R Registern über A und A_{0} ⊆ A. Dann “berechnet” M eine

partielle Funktion F : (A_{0}^{∗})^{n} ↪ A^{∗}, wobei

F (W_{1}, …, W_{n}) ≃ W_{0} ⟺ (∅, W_{1}, …, W_{n}, ∅, …, ∅) ⟶^{M} (W_{0}, …).

– Wenn A_{0} = {|}, so sagen wir, daß M die partielle Funktion f : IN^{n} ↪ IN berechnet, wenn M

die Funktion F : (A_{0}^{∗})^{n} ↪ A^{∗} berechnet, für die gilt

f(x_{1}, …, x_{n}) ≃ Länge von F (|^{x_{1}}, …, |^{x_{n}}).

Definition : f : IN^{n} ↪ IN heißt partiell rekursiv gdw. sich f aus den Grundfunktionen R0 durch die Operationen R1, R2 und uneingeschränkte Anwendung von R3 ergibt (d.h. in R3 braucht nicht ∀x⃗ ∃y(g(x⃗, y) = 0) erfüllt zu sein). Für partielle Funktionen bedeuten dabei die Operationen R1-R3 folgendes: R1: f ist definiert als

f(x_{1}, …, x_{n}) :≃ h(f_{1}(x⃗), …, f_{k}(x⃗)),

d.h.

f(x⃗) ≃ y_{0} ⟺ es existieren y_{1}, …, y_{k} mit f_{1}(x⃗) ≃ y_{1}, …, f_{k}(x⃗) ≃ y_{k},
und h(y_{1}, …, y_{k}) ≃ y_{0}.

R2: f ist definiert als

\begin{aligned}f(x_{1}, …, x_{n}, 0) & :≃ g(x_{1}, …, x_{n}) \\ f(x_{1}, …, x_{n}, y + 1) & :≃ h(x_{1}, …, x_{n}, y, f(x_{1}, …, x_{n}, y)) \end{aligned}

(analog zu R1 zu verstehen). R3: f ist definiert als

f(x_{1}, …, x_{n}) :≃ μy(g(x_{1}, …, x_{n}, y) = 0),

d.h.

f(x⃗) ≃ y ⟺ g(x⃗, 0) ↓, …, g(x⃗, y) ↓, g(x⃗, 0) > 0, …,
g(x⃗, y − 1) > 0 und g(x⃗, y) = 0.

Die alten Beweise liefern

Satz 1 : f : IN^{n} ↪ IN ist genau dann partiell rekursiv, wenn f von einer Registermaschine berechnet wird. f hat die Form

f(x_{1}, …, x_{n}) ≃ (μgT^{n}(e, x_{1}, …, x_{n}, g))_{0}

für ein geeignetes e ∈ IN.

Folgerung 2 : f ist rekursiv gdw. f partiell rekursiv und total ist.

Beweis: “⇒”: klar. “⇐”: Nicht unmittelbar klar aus der Definition (wegen der uneingeschränkten Anwendung des μ-Operators in R3); aber wir haben mit Satz 1: Wenn f partiell rekursiv und total ist, dann existiert ein e ∈ IN mit f(x⃗) ≃ φ_{e}^{n}(x⃗)(≃ (μgT^{n}(e, x⃗, g))_{0}) und f ist total, daher (betrachte den Aufbau von (μgT^{n}(e, x⃗, g))_{0}) ist f rekursiv.

Als nächstes erhalten wir das für alles weitere zentrale Ergebnis (von Stephen C. Kleene):

Satz 3 (Hauptsatz der Rekursionstheorie) :

Zu jedem n gibt es eine n+1-stellige partiell rekursive Funktion φ^{n}(e, x_{1}, …, x_{n}) :≃ φ_{e}^{n}(x_{1}, …, x_{n}) mit

a) (“Universelle Funktion”:) Jede partiell rekursive n-stellige Funktion f hat die Form φ_{e}^{n} für ein

geeignetes e ∈ IN.

b) (“s-m-n-Theorem”:) Für alle n, m gibt es eine p.r. Funktion s_{n}^{m} mit

φ_{e}^{n+m}(x_{1}, …, x_{n}, y_{1}, …, y_{m}) ≃ φ_{s_{n}^{m}(e,y_{1},... ,y_{m})}^{n}(x_{1}, …, x_{n}).

Zusatz: s_{n}^{m} läßt sich sogar injektiv wählen (für alle n, m).

Definition : Das e aus a) heißt ein Index von f (f kann mehrere Indizes haben). f = φ_{e}^{n} heißt e-te n-stellige partiell rekursive Funktion.

Beweis (von Satz 3): Setze φ^{n}(e, x_{1}, …, x_{n}) :≃ (μgT^{n}(e, x_{1}, …, x_{n}, g))_{0}, dann gilt a), wie wir schon gezeigt haben (mit e = M , wobei M f berechnet). Zum Beweis von b) nehmen wir an, daß e Gödelnummer einer Registermaschine M ist, die φ_{e}^{n+m}(x⃗, y⃗) berechnet. s_{n}^{m}(e, y_{1}, …, y_{m}) ist dann die Gödelnummer der folgenden Maschine M′, die φ_{s_{n}^{m}(e,y⃗)}^{n}(x⃗) berechnet:

→ \underbrace{R_{n+1}|, R_{n+1}|, …}_{y_{1}-mal} → … → \underbrace{R_{n+m}|, R_{n+m}|, …}_{y_{m}-mal} → M

Für den einfachen Fall m = 1 schreiben wir s_{n}^{1}(e, y) explizit hin: Falls e = M = ⟨ b_{0} , …, b_{N} ⟩, dann ist

M′ = (\underbrace{(n + 1, 1), …, (n + 1, 1)}_{y-viele}, \overline{b}_{0}, …, \overline{b}_{N}) und s_{n}^{1}(e, y) = ⟨⟨n+1, 1⟩, …, ⟨n+1, 1⟩, \overline{b}_{0}, …, \overline{b}_{N}⟩,

wobei

\begin{aligned}b_{i} & = & (r, l) & ⟹ & \overline{b_{i}} & = & (r, l) \\ b_{i} & = & s & ⟹ & \overline{b}_{i} & = & s \\ b_{i} & = & (r, c_{0}, …, c_{L}) & ⟹ & \overline{b}_{i} & = & (r, c_{0} + y, …, c_{L} + y). \end{aligned}

Formaler: Setze

H(b, y) := \{ \begin{matrix}b & , falls lg(b) ≤ 2 \\ μb̄ < p_{b}^{(b+y)^{2}} & [lg(b̄) = lg(b) ∧ (b̄)_{0} = (b)_{0} \\ ∧∀i < lg(b)(i > 0 → (b̄)_{i} = (b)_{i} + y] & , sonst; \end{matrix} \} .

d.h. H berechnet b̄_{i} aus b_{i} und y. Nun setze

s_{n}^{1}(e, y) := μē < p_{e+y}^{((e+y)+⟨n+1,1⟩)^{2}}[lg(ē) = lg(e) + y ∧ ∀i < y ((ē)_{i} = ⟨n + 1, 1⟩)
∧ ∀j < lg(e)((ē)_{y+j} = H((e)_{j}, y))].

Aus dieser Darstellung ist ersichtlich, daß s_{n}^{1} p.r. ist. Außerdem ist leicht zu sehen, daß s_{n}^{1} die gewünschten Eigenschaften für alle Zahlen e hat. Die Injektivität ist einfach nachzuprüfen und sei dem Leser als Übung überlassen. (Beachte: s_{n}^{1} ist total, also auch für solche e, x definiert, für die e nicht Gödelnummer einer Registermaschine ist oder e die Nummer einer Maschine ist, die für x nicht stoppt.)

Folgerung 4 (Effektivität von R1, R2 und R3) :

a) Für alle n, k gibt es eine p.r. Funktion E mit

φ_{E(e,e_{1},... ,e_{k})}^{n}(x_{1}, …, x_{n}) ≃ φ_{e}^{k}(φ_{e_{1}}^{n}(x_{1}, …, x_{n}), …, φ_{e_{k}}^{n}(x_{1}, …, x_{n}))

b) Für alle n gibt es eine p.r. Funktion I mit

\begin{aligned}φ_{I(e,f)}^{n+1}(x_{1}, …, x_{n}, 0) & ≃ φ_{e}^{n}(x_{1}, …, x_{n}) \\ φ_{I(e,f)}^{n+1}(x_{1}, …, x_{n}, y + 1) & ≃ φ_{f}^{n+2}(x_{1}, …, x_{n}, y, φ_{I(e,f)}^{n+1}(x_{1}, …, x_{n}, y)) \end{aligned}

c) Für alle n gibt es eine p.r. Funktion M mit

φ_{M(e)}^{n}(x_{1}, …, x_{n}) ≃ μy(φ_{e}^{n+1}(x_{1}, …, x_{n}, y) = 0)

d.h. man kann jeweils mit den vorgegebenen Indizes den Index der zusammengesetzten Funktion “effektiv”, d.h. mit einer p.r. Funktion, berechnen.

Beweis: Die Nachweise sind einfach; wir zeigen als Beispiel b): Die Funktion F – definiert durch

\begin{aligned}F (x_{1}, …, x_{n}, 0, e, f) & :≃ φ^{n}(e, x_{1}, …, x_{n}) \\ F (x_{1}, …, x_{n}, y + 1, e, f) & :≃ φ^{n+2}(f, x_{1}, …, x_{n}, y, F (x_{1}, …, x_{n}, y, e, f)) \end{aligned}

– ist, wie man aus ihrer Definition sieht, partiell rekursiv. Wenn F = φ_{g}^{n+3} für ein g ∈ IN, wähle nach dem s-m-n-Theorem s_{n+1}^{2} mit φ_{g}^{n+3}(x⃗, y, e, f) ≃ φ_{s_{n+1}^{2}(g,e,f)}^{n+1}(x⃗, y).

Setze nun I(e, f) := s_{n+1}^{2}(g, e, f), dann ist I wie gewünscht.

a) und c) analog.

Bemerkungen :

a) Aus der Entwicklung in §2 erkennt man, daß es eine rekursive Menge P von Gödelnummern von

Maschinen gibt, so daß die φ_{p}^{1} (p ∈ P) gerade die p.r. Funktionen sind.

b) Es gibt keine rekursive Menge P′, so daß {φ_{p}^{1} | p ∈ P′} die Klasse der rekursiven Funktionen ist.

c) Es gibt rekursive Funktionen, die nicht p.r. sind.

Beweis:

a) Wir verzichten auf den Beweis (Übung).

b) (Diagonaltrick) Sonst wäre die Funktion

f(x) = \{ \begin{matrix}0 & , falls x ∉ P′ \\ φ_{x}^{1}(x) + 1 & , falls x ∈ P′ \end{matrix}

rekursiv, also f = φ_{p_{0}}^{1} für ein p_{0} ∈ P. Das ergibt den Widerspruch f(p_{0}) = φ_{p_{0}}^{1}(p_{0})+ 1 = f(p_{0}) + 1 !

c) folgt aus a) und b).

Wir werden gleich noch ein konkretes Beispiel einer rekursiven, aber nicht p.r. Funktion – die Ackermann-Funktion – kennenlernen.

Der Diagonaltrick, den wir zum Beweis von b) verwendet haben, liefert auch den Beweis des folgenden Satzes (von Stephen C. Kleene):

Satz 5 (Rekursionssatz oder auch Fixpunktsatz) :

Es sei n ∈ IN und h : IN → IN rekursiv. Dann gibt es ein e ∈ IN mit

φ_{h(e)}^{n} = φ_{e}^{n}.

Beweis: Zunächst zeigen wir, daß eine rekursive (also totale) Funktion φ_{f}^{1} existiert mit

φ_{h(φ_{x}^{1}(x))}^{n}(y⃗) ≃ φ_{φ_{f}^{1} (x)}^{n}(y⃗).

Beweis: Es ist φ_{h(φ_{x}^{1}(x))}^{n}(y⃗)(≃ φ^{n}(h(φ^{1}(x, x)), y⃗)) partiell rekursiv, also existiert nach dem Hauptsatz g ∈ IN mit φ_{h(φ_{x}^{1}(x))}^{n}(y⃗) ≃ φ_{g}^{n+1}(y⃗, x) ≃ φ_{s_{n}^{1}(g,x)}^{n}(y⃗). Weiter ist s_{n}^{1}(g, ·) rekursiv, also existiert wieder nach dem Hauptsatz ein f ∈ IN mit φ_{f}^{1}(x) ≃ s_{n}^{1}(g, x). Die Funktion φ_{f}^{1} ist wie gewünscht.

Damit haben wir für e := φ_{f}^{1}(f) (↓, da φ_{f}^{1} total!)

φ_{h(e)}^{n} = φ_{h(φ_{f}^{1} (f))}^{n} = φ_{φ_{f}^{1} (f)}^{n} = φ_{e}^{n},

also unsere Behauptung.

Anwendung : Wir definieren die Ackermann-Funktion als eine Funktion, die rekursiv, aber nicht p.r. ist. (Es gibt mehrere Varianten der Ackermann-Funktion. Wir stellen nur eine vor.)

Wir definieren zunächst rekursiv für alle n ∈ IN:

g_{0}(x, y) := x + y
g_{n+1}(x, y):= \{ \begin{matrix}0 & , falls y = 0 \\ x & , falls y = 1 \\ g_{n}(x, g_{n+1}(x, y − 1)) & , falls y > 1. \end{matrix}

(Es ist g_{1}(x, y) = x·y, g_{2}(x, y) = x^{y} (y > 0), …) Man sieht leicht (Induktionsbeweis): Alle Funktionen g_{n} sind p.r.

Behauptung: Die Funktion (n, x, y) ↦ g_{n}(x, y) – wir nennen sie die Ackermann-Funktion – ist rekursiv. Beweis: Wir betrachten dazu φ_{z}^{3}(n, x, y) für variables z. Idee: Wir suchen z_{0}, so daß φ_{z_{0}}^{3}(n, x, y) ≃ g_{n}(x, y). Zunächst definieren wir mit rekursiver Fallunterscheidung eine Funktion F : (n, x, y, z) ↦ F (n, x, y, z) folgendermaßen:

F (0, x, y, z) :≃ x + y
F (n + 1, x, y, z):≃ \{ \begin{matrix}0 & , falls y = 0 \\ x & , falls y = 1 \\ φ_{z}^{3}(n, x, φ_{z}^{3}(n + 1, x, y 1)) & , falls y > 1 \end{matrix}

F ist nach Definition partiell rekursiv in n, x, y, z (beachte: φ_{z}^{3}(n, x, y) ≃ φ^{3}(z, n, x, y) ist partiell rekursiv in z, n, x, y). Folglich existiert ein f ∈ IN mit: F = φ_{f}^{4}; und mit dem s-m-n-Theorem erhalten wir φ_{f}^{4}(n, x, y, z) ≃ φ_{s_{3}^{1}(f,z)}^{3}(n, x, y). Wir setzen nun h(z) := s_{3}^{1}(f, z), also F (n, x, y, z) ≃ φ_{h(z)}^{3}(n, x, y). Nach dem Rekursionssatz existiert weiter ein e ∈ IN mit φ_{e}^{3} = φ_{h(e)}^{3}, d.h. wir haben

F (n, x, y, e) ≃ φ_{e}^{3}(n, x, y).

Also gilt nach Definition φ_{e}^{3}(0, x, y) ≃ x + y und

φ_{e}^{3}(n + 1, x, y) ≃ \{ \begin{matrix}0 & , falls y = 0 \\ x & , falls y = 1 \\ φ_{e}^{3}(n, x, φ_{e}^{3}(n + 1, x, y 1)) & , falls y > 1. \end{matrix}

Durch Vergleich mit der Definition von g_{n}(x, y) erhalten wir

g_{n}(x, y) ≃ φ_{e}^{3}(n, x, y) für alle n, x, y

(genauer Beweis durch Induktion über n). Damit ist unsere Behauptung bewiesen (siehe Folgerung 2).

\underline{Übung 1:} Zu jeder p.r. Funktion f(x_{1}, …, x_{m}) gibt es ein n ∈ IN, so daß für alle x_{1}, …, x_{m} gilt:

f(x_{1}, …, x_{m}) ≤ g_{n}(2, x_{1} + … + x_{m} + 1)

Folgere: Die Ackermann-Funktion (n, x, y) ↦ g_{n}(x, y) ist nicht p.r.

Nun zu einer Verstärkung des Rekursionssatzes:

Satz 6 (Effektive Version des Rekursionssatzes) :

Für jedes n ∈ IN gibt es eine rekursive Funktion s : IN → IN mit

φ_{s(f)}^{n}(y_{1}, …, y_{n}) ≃ φ_{φ_{f}^{1} (s(f))}^{n}(y_{1}, …, y_{n})

für alle f ∈ IN.

(Da h = φ_{f}^{1} für ein f, folgt der Rekursionssatz hieraus mit e = s(f).)

Beweis (genau wie der alte Beweis): Nach zweimaliger Anwendung des s-m-n-Theorems erhält man eine rekursive Funktion g mit

φ_{φ_{z}^{1}(φ_{x}^{1}(x))}^{n}(y⃗) ≃ φ_{φ_{g(z)}^{1}(x)}^{n}(y⃗),

wobei φ_{g(z)}^{1} total für alle z ist. Denn wähle e_{0} mit φ_{φ_{z}^{1}(φ_{x}^{1}(x))}^{n}(y⃗) ≃ φ_{e_{0}}^{n+2}(y⃗, x, z) ≃ φ_{s_{n}^{2}(e_{0},x,z)}^{n}(y⃗); wenn s_{n}^{2}(e_{0}, x, z) ≃ φ_{e_{1}}^{2}(x, z) ≃ φ_{s_{1}^{1}(e_{1},z)}^{1}(x), setze g(z) := s_{1}^{1}(e_{1}, z), dann ist g wie gewünscht. Setze nun

s(f) := φ_{g(f)}^{1}(g(f)),

dann ist s wie gewünscht.

\underline{Übung 2:} Für jedes n ∈ IN gibt es eine rekursive Funktion r mit

φ_{r(y)}^{n}(x_{1}, …, x_{n}) ≃ φ_{y}^{n+1}(r(y), x_{1}, …, x_{n}).

\underline{Übung 3:} Zu jedem n ∈ IN und rekursiven Funktionen g, h : IN^{2} → IN gibt es e, f mit

φ_{e}^{n} = φ_{h(e,f)}^{n} und φ_{f}^{n} = φ_{g(e,f)}^{n}.

Hinweis: Definiere

⟨f_{1}, f_{2}⟩(x_{1}, …, x_{n}) := \{ \begin{matrix}f_{1}(y, x_{2}, …, x_{n}) & , falls x_{1} = 2y \\ f_{2}(y, x_{2}, …, x_{n}) & , falls x_{1} = 2y + 1. \end{matrix}

Zeige: Es gibt rekursive Funktionen s, t, m mit

⟨φ_{e}^{n}, φ_{f}^{n}⟩ = φ_{m(e,f)}^{n} und φ_{e}^{n} = ⟨φ_{s(e)}^{n}, φ_{t(e)}^{n}⟩.

§ 5 Rekursiv aufzaehlbare Mengen

In diesem Kapitel gehen wir über zur nächsten wichtigen Klasse von Mengen natürlicher Zahlen neben der der rekursiven, nämlich zur Klasse der rekursiv aufzählbaren Mengen.

Definition : A ⊆ IN^{n} heißt rekursiv aufzählbar (r.a.) gdw. eine rekursive Relation R ⊆ IN^{n} × IN existiert mit

A(x⃗) ⟷ ∃yR(x⃗, y).

Zunächst einige einfache Abgeschlossenheitseigenschaften:

Lemma 1 :

a) Jede rekursive Relation ist r.a.

b) A(x⃗, y) r.a. und f : IN^{n} → IN rekursiv ⟹ A(x⃗, f(x⃗)) r.a.

c) A, B r.a. ⟹ A ∨ B und A ∧ B r.a.

d) A(x⃗, y) r.a. ⟹ ∃yA(x⃗, y) r.a.

e) A(x⃗, y) r.a. ⟹ ∀y < zA(x⃗, y) r.a.

Beweis:

a) A(x⃗) sei rekursiv. Wir setzen R(x⃗, y) :↔ A(x⃗) (also ist auch R rekursiv), dann gilt

A(x⃗) ⟷ ∃yR(x⃗, y),

also A r.a.

b) Es gelte A(x⃗, y) ↔ ∃zR(x⃗, y, z), dann haben wir

A(x⃗, f(x⃗)) ⟷ ∃zR(x⃗, f(x⃗), z)

(benutze die Abgeschlossenheitseigenschaften rekursiver Mengen).

c) Es gelte A(x⃗) ↔ ∃yR(x⃗, y) und B(x⃗) ↔ ∃zS(x⃗, z); dann folgt

A(x⃗)∨B(x⃗) ⟷ ∃u(R(x⃗, u)∨S(x⃗, u)) undA(x⃗)∧B(x⃗) ⟷ ∃u(R(x⃗, (u)_{0})∧S(x⃗, (u)_{1}))

(benutze b)).

d) Es gelte A(x⃗, y) ↔ ∃zR(x⃗, y, z), dann folgt

∃yA(x_{1}, …, x_{n}, y) ⟷ ∃uR(x_{1}, …, x_{n}, (u)_{0}, (u)_{1})

(benutze wieder b)).

e) R sei wie in d), dann haben wir

∀y < zA(x⃗, y) ⟷ ∃u \underbrace{∀i < zR(x⃗, i, (u)_{i})}_{rekursiv} .

Die Bezeichnung “rekursiv aufzählbar” wird gerechtfertigt durch Teil a) des folgenden Lemmas:

Lemma 2 :

a) A ⊆ IN ist r.a. gdw. A = ∅ oder A = f[IN] := {f(x) | x ∈ IN}, f rekursiv. Man kann f sogar

p.r. oder, wenn A unendlich ist, injektiv wählen.

b) A ⊆ IN ist rekursiv gdw. A endlich ist oder A = f[IN], f rekursiv und streng monoton wachsend.

Beweis:

a) “⇒”: Es sei A r.a., a ∈ A und es gelte A(x) ↔ ∃yR(x, y), R rekursiv. Setze

f(x) := \{ \begin{matrix}(x)_{0} & , falls gilt R((x)_{0}, (x)_{1}) \\ a & , sonst. \end{matrix}

Dann ist A = f[IN], wie man leicht sieht. Wir werden unten (als Folgerung aus Satz 5) sehen, daß man R p.r. wählen kann; dann ist auch f p.r. Wenn A = f[IN] unendlich ist, definiere (durch Wertverlaufsrekursion)

f′(x) := f(μy(f(y) ∉ {f′(0), …, f′(x − 1)})).

Dann ist f′ injektiv, und es gilt A = f′[IN], wie man leicht sieht. “⇐”: Falls A = ∅, dann ist A rekursiv, also auch r.a. Falls ∅ ≠ A = f[IN], f rekursiv, dann gilt

A(x) ⟷ \underbrace{∃y \overbrace{f(y) = x}^{rekursiv}}_{r.a.},

also ist A r.a.

b) “⇒”: Es sei A rekursiv und unendlich. Setze

f(x) := μy(y ∈ A ∧ ∀i < x(y > f(i))).

Dann ist A = f[IN], f rekursiv und streng monoton wachsend. “⇐”: Falls A endlich ist, klar. Falls A unendlich ist und A = f[IN], f rekursiv und streng monoton wachsend, dann gilt

A(x) ⟷ \underbrace{∃y ≤ xf(y) = x}_{rekursiv},

also ist A rekursiv.

Nun zu einem neuen Begriff, der eine weitere Charakterisierung der rekursiven und r.a. Relationen erlaubt:

Definition : Es sei A ⊆ IN^{n} × IN. Wir sagen, eine partielle Funktion φ : IN^{n} ↪ IN uniformisiert A, wenn

Graph(φ) ⊆ A ( also φ(x⃗) ≃ y → A(x⃗, y)) und dom(φ) = dom(A),

wobei Graph(φ) := {(x_{1}, …, x_{n+1}) | φ(x_{1}, …, x_{n}) ≃ x_{n+1}}

und dom(A) := {(x_{1}, …, x_{n}) | ∃x_{n+1}(x_{1}, …, x_{n+1}) ∈ A}.

Satz 3 (Uniformisierungssatz) :

Jede r.a. Relation ist durch eine partiell rekursive Funktion uniformisierbar.

Beweis: Es gelte A(x_{1}, …, x_{n+1}) ↔ ∃yR(x_{1}, …, x_{n+1}, y), R rekursiv. Setze

φ(x_{1}, …, x_{n}) :≃ (μzR(x_{1}, …, x_{n}, (z)_{0}, (z)_{1}))_{0},

dann ist φ wie gewünscht.

Folgerung 4 :

a) A ist rekursiv gdw. A und ¬A r.a. sind.

b) f : IN^{n} ↪ IN ist partiell rekursiv gdw. Graph(f) r.a. ist.

c) A ⊆ IN^{n} ist r.a. gdw. A = dom(f) mit partiell rekursivem f.

Beweis: a) “⇒”: klar aus dem bisherigen. “⇐”: Es seien A und ¬A r.a., dann ist auch B := A × {0} ∪ ¬A × {1} r.a. Nun uniformisiere φ die Menge B; dann ist K_{A} = φ partiell rekursiv und total, also A rekursiv.

b) “⇒”: Es sei f = φ_{e}^{n}, dann gilt

(x_{1}, …, x_{n+1}) ∈ Graph(f) ⟷ ∃g(T^{n}(e, x_{1}, …, x_{n}, g) ∧ (g)_{0} = x_{n+1}), also ist Graph(f) r.a. “⇐”: Es sei Graph(f) r.a.; dann gilt: f uniformisiert seinen eigenen Graphen; d.h. wenn φ den Graphen von f uniformisiert (also insbesondere partiell rekursiv ist), ist φ = f. Also ist f partiell rekursiv.

c) “⇒”: Es sei A r.a. und

f(x⃗) :≃ \{ \begin{matrix}↑ & , falls x⃗ ∉ A \\ 0 & , falls x⃗ ∈ A. \end{matrix}

Dann ist Graph(f) = A × {0} r.a., also ist f partiell rekursiv (mit b)). Außerdem gilt nach Definition A = dom(f). “⇐”: Es gilt f = φ_{e}^{n} für ein e ∈ IN und

x⃗ ∈ A = dom(f) ⟷ ∃gT^{n}(e, x⃗, g),

also ist A r.a.

Da die Relation ∃gT^{n}(e, x⃗, g) weiterhin eine wichtige Rolle spielen wird, geben wir ihr einen eigenen Namen:

Definition : Wir setzen – W^{n}(e, x_{1}, …, x_{n}) :↔ ∃gT^{n}(e, x⃗, g). (W^{n} ist offensichtlich r.a.)

– W_{e}^{n} := {(x_{1}, …, x_{n}) | W^{n}(e, x_{1}, …, x_{n})}. n = 1 lassen wir weg, d.h. W_{e} := W_{e}^{1}. (W_{e}^{n} ist r.a. für alle e, n ∈ IN, da W_{e}^{n} = dom(φ_{e}^{n}).) A = W_{e}^{n} heißt e-te r.a. Menge; e heißt ein Index von

A = W_{e}^{n}.

Der letzte Teil der Definition wird durch Teil a) des folgenden Satzes gerechtfertigt:

Satz 5 :

a) (Universelle Relation:) Jede r.a. Menge A ⊆ IN^{n} hat die Form W_{e}^{n} für ein e ∈ IN.

b) (s-m-n-Theorem:) W_{e}^{n+m}(x_{1}, …, x_{n}, y_{1}, …, y_{m}) ⟷ W_{s_{n}^{m}(e,y_{1},... ,y_{m})}^{n}(x_{1}, …, x_{n}).

c) (Rekursionssatz:) Für jede rekursive Funktion h und jedes n ∈ IN existiert e ∈ IN mit W_{e}^{n} = W_{h(e)}^{n}.

d) (Rekursionssatz, effektive Version:) Für jedes n ∈ IN gibt es eine rekursive Funktion s mit

W_{s(f)}^{n}(x_{1}, …, x_{n}) ⟷ φ_{f}^{1}(s(f)) ↓ ∧ W_{φ_{f}^{1} (s(f))}^{n}(x_{1}, …, x_{n}).

Beweis:

a) ist aus dem vorangehenden klar (siehe Beweis von c) in Folgerung 4).

b) Benutze das s-m-n-Theorem, um folgendes zu zeigen: W_{e}^{n+m}(x⃗, y⃗) ↔ ∃gT^{n+m}(e, x⃗, y⃗, g)

↔ ∃gφ_{e}^{n+m}(x⃗, y⃗) ≃ (g)_{0} ↔ ∃gφ_{s_{n}^{m}(e,y⃗)}^{n}(x⃗) ≃ (g)_{0} ↔ ∃gT^{n}(s_{n}^{m}(e, y⃗), x⃗, g) ↔ W_{s_{n}^{m}(e,y⃗)}^{n}(x⃗).

c) Benutze den Rekursionssatz; sonst ähnlich wie b).

d) Benutze die effektive Version des Rekursionssatzes; sonst ähnlich wie b).

Natürlich ist noch zu klären: Gibt es überhaupt r.a., aber nicht rekursive Mengen? Die Antwort ergibt sich leicht aus Satz 5:

Folgerung 6 : K := {x | x ∈ W_{x}} ist r.a., aber nicht rekursiv.

Beweis: Angenommen, K(x) wäre rekursiv, dann auch ¬K(x). Also gäbe es e ∈ IN mit ¬K(x) ↔ W_{e}(x) (Satz 5a)); insbesondere gälte nach Definition von K auch ¬W_{e}(e) ↔ ¬K(e) ↔ W_{e}(e). Widerspruch!

Folgerung 7 : Die Operationen von Lemma 1 sind effektiv; z.B. gibt es eine rekursive Funktion h mit

W_{e} ∪ W_{f} = W_{h(e,f)}.

Beweis: \underline{Übung 1} (benutze Satz 5b)).

Aus dem Uniformisierungssatz (Satz 3) folgt das sogenannte “Reduktionsprinzip” für r.a. Mengen:

Satz 8 (Reduktion für r.a. Mengen) :

Für alle r.a. Mengen A, B ⊆ IN^{n} gibt es ein reduzierendes Paar A^{∗}, B^{∗} von r.a. Mengen, d.h. A^{∗} ⊆ A, B^{∗} ⊆ B, A^{∗} ∩ B^{∗} = ∅, A^{∗} ∪· B^{∗} = A ∪ B.

Beweis: Wir geben zwei Beweise: 1.Beweis: φ uniformisiere A × {0} ∪ B × {1}. Setze

A^{∗} := {x⃗ | φ(x⃗) ≃ 0} und B^{∗} := {x⃗ | φ(x⃗) ≃ 1}.

2.Beweis: Es sei A(x⃗) ↔ ∃yR(x⃗, y), B(x⃗) ↔ ∃zS(x⃗, z), R, S rekursiv. Setze

A^{∗}(x⃗) :↔ ∃y(R(x⃗, y)∧∀z < y¬S(x⃗, z)) und B^{∗}(x⃗) :↔ ∃z(S(x⃗, z)∧∀y ≤ z¬R(x⃗, y)).

In beiden Fällen sieht man leicht, daß A^{∗} und B^{∗} wie gewünscht sind.

Im Hinblick auf spätere Verallgemeinerungen führen wir nun folgende Bezeichnungsweise ein:

Definition :

– A heißt Σ_{1}^{0}-Menge gdw. A r.a. ist.

– A heißt Π_{1}^{0}-Menge, gdw. IN^{n} ^{\} A r.a. ist.

Folgerung 9 (Separation von Π_{1}^{0}-Mengen) :

Disjunkte Π_{1}^{0}-Mengen Ā und B̄ lassen sich rekursiv trennen (“separieren”), d.h. es gibt ein rekursives C mit Ā ⊆ C und C ∩ B̄ = ∅.

Beweis: Das Paar A^{∗}, B^{∗} reduziere IN^{n} ^{\} Ā, IN^{n} ^{\} B̄ (beide sind r.a.), d.h. es gelte A^{∗} ⊆ IN^{n} ^{\} Ā, B^{∗} ⊆ IN^{n} ^{\} B̄ und A^{∗} ∪· B^{∗} = (IN^{n} ^{\} Ā) ∪ (IN^{n} ^{\} B̄) = IN^{n}. (A^{∗} ∪· B^{∗} bezeichnet die disjunkte Vereinigung von A^{∗} und B^{∗}.) Setze

C := B^{∗} = IN^{n} ^{\} A^{∗}.

Man sieht sofort, daß C die Mengen Ā und B̄ trennt; C ist rekursiv, da C = B^{∗} r.a. und IN^{n} ^{\} C = A^{∗} r.a. sind.

Gilt das Separationsprinzip auch für Σ_{1}^{0}-(also r.a.)Mengen? Der folgende Satz gibt eine negative Antwort:

Satz 10 : Es gibt disjunkte r.a. Mengen A^{∗} und B^{∗}, die nicht rekursiv trennbar sind.

Beweis: Es seien A := {x | x ∈ W_{(x)_{0}}} und B := {x | x ∈ W_{(x)_{1}}}. Wähle A^{∗}, B^{∗} als reduzierendes Paar rekursiv aufzählbarer Mengen zu A und B. Zwischenbehauptung: Für alle e, f ∈ IN gilt

⟨e, f⟩ ∈ (A^{∗} ∩ W_{e}) ∪ (B^{∗} ∩ W_{f}) ∪ (IN ^{\} (W_{e} ∪ W_{f})).

Beweis: Es sei ⟨e, f⟩ ∈ W_{e} ∪ W_{f}, also ⟨e, f⟩ ∈ A ∪ B = A^{∗} ∪ B^{∗}. Zu zeigen ist: ⟨e, f⟩ liegt dann in A^{∗} ∩ W_{e} oder in B^{∗} ∩ W_{f}. 1.Fall: ⟨e, f⟩ ∈ A^{∗}, also ⟨e, f⟩ ∈ A, daher ⟨e, f⟩ ∈ W_{e}; damit haben wir ⟨e, f⟩ ∈ A^{∗} ∩ W_{e}. 2.Fall: ⟨e, f⟩ ∈ B^{∗}, also ⟨e, f⟩ ∈ B, daher ⟨e, f⟩ ∈ W_{f}; damit haben wir ⟨e, f⟩ ∈ B^{∗} ∩ W_{f}. Somit haben wir die Zwischenbehauptung bewiesen. Wenn wir nun annehmen, daß eine rekursive Menge C die Mengen A^{∗} und B^{∗} trennt, kommt man so zu einem Widerspruch: Es gibt e, f ∈ IN mit C = W_{f} = IN ^{\} W_{e}, da C und ¬C r.a. (sogar rekursiv) sind. 0.Fall: ⟨e, f⟩ ∉ W_{f} ∪ W_{e} = IN – Widerspruch! 1.Fall: ⟨e, f⟩ ∈ A^{∗} ∩ W_{e}, also ⟨e, f⟩ ∈ A^{∗} ^{\} C, daher A^{∗} ⊈ C – Widerspruch! 2.Fall: ⟨e, f⟩ ∈ B^{∗} ∩ W_{f}, also C ∩ B^{∗} ≠ ∅ – Widerspruch! Mindestens einer der Fälle muß nach der Zwischenbehauptung eintreten, also sind wir fertig.

Folgerung 11 : Es sei Graph(φ) := A × {0} ∪ B × {1}, wobei wir A, B als disjunkte, r.a. und nicht rekursiv trennbare Mengen wählen (etwa A^{∗} und B^{∗} von oben). φ ist dann eine partiell rekursive Funktion, die sich nicht zu einer rekursiven fortsetzen läßt.

Beweis: Angenommen, es existiert eine rekursive Fortsetzung f von φ, so trennt die rekursive Menge C := {x | f(x) = 0} die Mengen A und B. Widerspruch!

Folgerung 12 : Es gibt eine rekursive Funktion h mit h(x) > x und W_{h(x)} = W_{x} für alle x ∈ IN.

Beweis: Es seien A und B wie oben. Nach dem s-m-n-Theorem gibt es eine rekursive Funktion g mit

W_{g(x,y)} = \{ \begin{matrix}W_{x} & , falls y ∈ A \\ \{y\} & , falls y ∈ B \\ ∅ & , sonst; \end{matrix}

denn es existiert f ∈ IN mit (y ∈ A ∧ z ∈ W_{x}) ∨ (y ∈ B ∧ z = y) ↔ W_{f}^{3}(z, x, y) ↔ W_{s_{1}^{2}(f,x,y)}(z). Setze g(x, y) := s_{1}^{2}(f, x, y), dann ist g wie gewünscht. Zwischenbehauptung: Für alle x ist {g(x, y) | y ∈ A} unendlich. Beweis (indirekt): Es sei D := {g(x, y) | y ∈ A} endlich. y ↦ g(x, y) ist auf B injektiv; denn, falls g(x, y) = g(x, y′), dann {y} = W_{g(x,y)} = W_{g(x,y′)} = {y′}, also y = y′. Folglich ist auch E := {y ∈ B | g(x, y) ∈ D} endlich. Jetzt trennt C := {y | y ∉ E ∧ g(x, y) ∈ D} (rekursiv) aber A und B. Widerspruch zur Wahl von A und B !

Aus der Zwischenbehauptung folgt: Für festes x hat W_{g(x,y)} unendlich viele Indizes, also hat W_{x} unendlich viele Indizes, nämlich die g(x, y) (y ∈ A). Nun nehmen wir für h eine Uniformisierende von R(x, y) :↔ ∃z(z ∈ A ∧ g(x, z) = y > x). Warum ist h wie gewünscht? Zunächst ist h total, da, wie wir eben festgestellt haben, für festes x g(x, ·) Werte > x annimmt. Die Eigenschaft h(x) > x ist klar nach der Definition von R. Weiter gilt auch W_{h(x)} = W_{x}; denn es sei x ∈ IN fest, dann gilt R(x, h(x)), da h Uniformisierende von R ist, also ∃z_{x}(z_{x} ∈ A ∧ g(x, z_{x}) = h(x) > x); aber z_{x} ∈ A impliziert W_{g(x,z_{x})} = W_{x} nach den Eigenschaften von g. Andererseits gilt W_{g(x,z_{x})} = W_{h(x)}, da g(x, z_{x}) = h(x); also W_{x} = W_{h(x)} für alle x ∈ IN.

§ 6 Rekursiv isomorphe rekursiv aufzaehlbare Mengen

In diesem Kapitel führen wir eine Äquivalenzrelation zwischen r.a. Mengen ein, die so beschaffen sein wird, daß alle wichtigen rekursionstheoretischen Eigenschaften invariant unter ihr sind.

Definition : A und B ⊆ IN heißen rekursiv isomorph (Notation: A ≡ B) gdw. es eine rekursive Permutation π : IN → IN gibt mit A = π^{−1}[B] := {x ∈ IN | π(x) ∈ B} (also x ∈ A ↔ π(x) ∈ B). Wir schreiben dann π : A ≡ B.

Beachte: Man kann diese Definition auch auf den n-stelligen Fall erweitern. Dies liefert jedoch nichts grundsätzlich Neues, da man den allgemeinen Fall durch Gödelisierung auf den einstelligen Fall zurückführen kann. Deshalb verzichten wir darauf.

Lemma 1 : ≡ ist eine Äquivalenzrelation.

Beweis: id_{I}N = I_{1}^{1} ist rekursiv, also ist ≡ reflexiv. Mit π, σ ist auch π∘σ rekursiv; daraus folgt die Transitivität von ≡. Schließlich ist mit π auch π^{−1}(x) ≃ μy(π(y) =

x) rekursiv, womit ≡ auch symmetrisch ist.

Lemma 2 : Gilt A ≡ B und ist A rekursiv (bzw. r.a., Π_{1}^{0}), dann ist auch B rekursiv (bzw. r.a., Π_{1}^{0}).

Beweis: klar (beachte: A ≡ B ⇒ IN ^{\} A ≡ IN ^{\} B vermöge desselben π).

Im rekursiven Fall gibt es eine sehr einfache Charakterisierung der Relation ≡ :

Lemma 3 : Es seien A und B rekursiv; dann gilt: A ≡ B gdw. |A| = |B| und |IN ^{\} A| = |IN ^{\} B|.

Beweis: ”⇒”: klar, da π Bijektion von A auf B und von IN ^{\} A auf IN ^{\} B ist. ”⇐”: Es gelte |A| = |B| ,]IN ^{\} A| = |IN ^{\} B|. Setze

π(x) = \{ \begin{matrix}μy(y ∈ B ∧ y ∉ \{π(0), …, π(x − 1)\}) , falls x ∈ A \\ μy(y ∉ B ∧ y ∉ \{π(0), …, π(x − 1)\}) , falls x ∉ A. \end{matrix}

π ist mit Wertverlaufsrekursion und rekursiver Fallunterscheidung definiert, also rekursiv, und erfüllt offensichtlich π : A ≡ B.

Nun zu einer weiteren Relation zwischen r.a. Mengen:

Definition : Wir sagen, A ist 1-reduzierbar auf B (Notation: A≤_{1}B) gdw. ein f : IN → IN, rekursiv, injektiv existiert mit A = f^{−1}[B] (also: x ∈ A ↔ f(x) ∈ B). Für ein f wie angegeben schreiben wir f : A≤_{1}B.

Die anschauliche Vorstellung, die man dabei hat, ist: A≤_{1}B heißt, daß A mindestens genauso leicht (im angegebenen Sinn) berechenbar ist wie B. Man sieht leicht, daß ≤_{1} transitiv und reflexiv ist.

Satz 4 (J.M. Myhill) : A ≡ B gdw. A≤_{1}B≤_{1}A.

Beweis: “⇒”: klar. “⇐”: Es sei f : A≤_{1}B und g : B≤_{1}A. Wir konstruieren eine Funktion π : A ≡ B als Vereinigung

π = ⋃_{i∈IN} p_{i}

einer aufsteigenden Folge p_{0} ⊂ p_{1} ⊂ p_{2} … von endlichen Injektionen p_{i} : IN ↪ IN. Dabei soll gelten

(∗) p_{i}(a) ≃ b → es existiert n ∈ IN mit f(gf)^{n}(a) = b oder g(fg)^{n}(b) = a.

Diese Eigenschaft vererbt sich dann offensichtlich auf π. Bemerkung: (∗) impliziert:

(∗∗)  a ∈ A ⟷ b ∈ B

(und damit x ∈ A ↔ π(x) ∈ B). Beweis: Es sei z.B. f(gf)^{n}(a) = b, dann gilt

a ∈ A ↔ f(a) ∈ B ↔ (gf)(a) ∈ A ↔ … ↔ (gf)^{n} ∈ A ↔ f(gf)^{n} ∈ B.

Fangen wir also an, die p_{i} wie angegeben zu konstruieren. Wir tun dies rekursiv: Wir beginnen mit p_{0} := ∅. Es sei p_{m} definiert, so daß (∗) gilt, dann unterscheiden wir zwei Fälle:

1. Fall: m gerade.

Es sei a := μx(x ∉ dom(p_{m})) (existiert, da dom(p_{m}) endlich ist).

Zwischenbehauptung: Es gibt ein n ∈ IN mit f(gf)^{n}(a) ∉ rng(p_{m}) := {y | ∃x p_{m}(x) ≃ y}. Beweis (indirekt): Sonst wäre B′ := {f(gf)^{n}(a) | n ∈ IN} ⊆ rng(p_{m}), also endlich, da p_{m} endlich ist. Ebenso wäre A′ := {(gf)^{n}(a) | n ∈ IN} endlich, da f[A′] ⊆ B′ und f injektiv ist. Wir erhalten sogar |A′| = |B′|, da auch g[B′] ⊆ A′ und g injektiv ist. Wir zeigen nun, daß aus b′ ∈ B′ die Aussage p_{m}^{−1}(b′) =: a′ ∈ A′ folgt: Nach Induktionvoraussetzung existiert entweder ein n ∈ IN mit g(fg)^{n}(b′) = a′ – dann gilt aber a′ ∈ A′ nach Definition von A′ und wir sind fertig – oder es existiert ein n ∈ IN mit f(gf)^{n}(a′) = b′; dann existiert andererseits aber auch ein k ≥ n mit f(gf)^{k}(a) = b′ ∈ B, woraus a′ = (gf)^{k−n}(a) folgt; also gilt auch in diesem Fall a′ ∈ A′ (nach Definition von A′). Hieraus folgt nun aber |A′| ≥ |A′ ∩ dom(p_{m})| ≥ |B′| = |A′|, also |A′| = |A′ ∩ dom(p_{m})|. Wegen der Endlichkeit von A′ haben wir damit (a ∈)A′ ⊆ dom(p_{m}), im Widerspruch zur Wahl von a ! Damit ist unsere Zwischenbehauptung bewiesen. Wähle nun n minimal mit b := f(gf)^{n}(a) ∉ rng(p_{m}) und setze p_{m+1} := p_{m} ∪ {(a, b)}.

2. Fall: m ungerade Setze analog b := μx(x ∉ rng(p_{m})), n := μk(g(fg)^{k}(b) ∉ dom(p_{m})), a := g(fg)^{n}(b) und p_{m+1} := p_{m} ∪ {(a, b)}.

Die p_{i} sind dann offenbar wie gewünscht. Unsere Funktion π = ⋃_{i∈IN} p_{i} ist nach Konstruktion auf ganz IN definiert und ist injektiv, weil alle p_{i} injektiv sind. Außerdem haben wir (∗∗), also A = π^{−1}[B]. Es bleibt noch zu zeigen, daß π rekursiv ist. Anschaulich ist aus unserer Konstruktion klar, daß π berechenbar und damit (Churchs These) rekursiv ist. Um einen genauen Beweis zu geben, müssen wir jedoch eine Darstellung von π angeben, die zeigt, daß π rekursiv ist. Da dies technisch ist, aber von der Idee her nichts Neues bringt, sei dies dem Leser als \underline{Übung 1} überlassen. (Hinweis: Definiere rekursive Funktionen α, β und f : IN → IN mit f(i) = ⟨α(i), β(i)⟩, so daß p_{n+1} = p_{n} ∪ {⟨α(n), β(n)⟩}, und setze π(a) := (f(μi(α(i) = a)))_{1}.)

Im Zusammenhang mit der 1-Reduzierbarkeit nun ein weiterer Begriff:

Definition : A heißt vollständig gdw. A r.a. ist und alle r.a. B 1-reduzierbar auf A sind, d.h. wenn B≤_{1}A für alle r.a. B gilt.

Bemerkung :

a) Wenn A r.a. ist und B≤_{1}A, so ist auch B r.a.

b) Wenn A vollständig ist, so ist A nicht rekursiv.

Beweis:

a) Wenn A r.a. und x ∈ B ↔ f(x) ∈ A, dann ist B r.a. nach § 5, Lemma 1b).

b) Wähle ein r.a., aber nicht rekursives B. Falls A vollständig ist, existiert ein f : B≤_{1}A. Es gilt dann x ∈ B ↔ f(x) ∈ A. Wäre A rekursiv, dann auch B. Widerspruch zur Wahl von B !

Beispiel: U := {x | (x)_{0} ∈ W_{(x)_{1}}} ist vollständig, denn falls B r.a. ist, existiert ein e ∈ IN mit B = W_{e}; dann gilt B≤_{1}U via π : x ↦ ⟨x, e⟩.

Folgerung 5 : Alle vollständigen Mengen sind rekursiv isomorph.

Beweis: Sind A und B vollständig, dann gilt nach a) A≤_{1}B≤_{1}A, also (mit dem Satz von Myhill) A ≡ B.

Die vollständigen Mengen liegen also alle in einer Äquivalenzklasse von ≡. Man sieht auch leicht (mit Transitivität von ≤_{1}), daß überhaupt alle Mengen in dieser Äquivalenzklasse, also alle zu einer vollständigen Menge rekursiv isomorphen Mengen, vollständig sind.

Weitere neue Begriffe:

Definition :

a) Eine Menge A heißt kreativ gdw. A r.a. ist und es eine partiell rekursive Funktion φ gibt

mit

A ∩ W_{e} = ∅ ⟹ φ(e) ↓ ∧ φ(e) ∉ A ∪ W_{e}.

Ein solches φ heißt produktiv für A.

b) A heißt m-reduzierbar auf B, geschrieben A≤_{m}B, wenn es ein rekursives f : IN → IN

gibt mit A = f^{−1}[B]. (f braucht also nicht injektiv zu sein.) Wir schreiben dann auch

f : A≤_{m}B.

c) Eine Menge A heißt m-vollständig gdw. A r.a. ist und alle r.a. B auf A m-reduzierbar

sind.

Bemerkungen :

a) Ein kreatives A ist nicht rekursiv.

b) K := {x | x ∈ W_{x}} ist kreativ mit produktiver Funktion id_{IN}.

c) A_{1} := {x | W_{x} ≠ ∅} und A_{2} := {x | 17 ∈ W_{x}} sind m-vollständig.

Beweis:

a) Sonst wäre IN ^{\} A r.a. (sogar rekursiv); offenbar ist für kein e ∈ IN aber IN ^{\} A = W_{e} (d.h. kreativ = auf effektive Weise nicht rekursiv).

b) klar nach Definition.

c) Wenn B r.a. ist, wähle h rekursiv mit W_{h(x)}(y) ↔ x ∈ B für alle y (mit s-m-n-Theorem). Dann gilt h : B≤_{m}{x | W_{x} ≠ ∅} und h : B≤_{m}{x | 17 ∈ W_{x}} (z.B.: x ∈ B ↔ W_{h(x)} = IN ↔ h(x) ∈ A_{1} ↔ x ∈ h^{−1}[A_{1}]).

Satz 6 : Für A ⊆ IN sind äquivalent:

a) A ist kreativ.

b) A ist m-vollständig.

c) A ist vollständig.

Beweis:

c) ⇒ b) ist klar.

b) ⇒ a): Es sei A m-vollständig und B kreativ (z.B. = K) mit produktiver Funktion φ. Da B insbesondere r.a. ist, existiert ein f : B≤_{m}A. Wähle mit dem s-m-n-Theorem ein rekursives h mit W_{h(e)} = f^{−1}[W_{e}]. Dann ist f ∘ φ ∘ h produktive Funktion von A. Denn aus W_{e} ∩ A = ∅ folgt f^{−1}[W_{e}] ∩ B = W_{h(e)} ∩ B = ∅, also φ(h(e)) ↓ und φ(h(e)) ∉ W_{h(e)} ∪ B, daher f(φ(h(e))) ∉ W_{e} ∪ A.

a) ⇒ b): Es sei φ produktive Funktion von A, und B sei r.a. Zwischenbehauptung 1: Es gibt eine rekursive Funktion h mit

W_{h(x)} = \{ \begin{matrix}\{φ(h(x))\} & , falls x ∈ B \\ ∅ & , falls x ∉ B, \end{matrix}

wobei {φ(a)} = ∅, falls φ(a) ↑. Beweis: Wähle e so, daß W_{e}^{3}(y, z, x) ↔ φ(z) ≃ y ∧ x ∈ B. Es gilt nach dem s-m-n-Theorem: W_{e}^{3}(y, z, x) ↔ W_{s_{1}^{2}(e,z,x)}(y). Nochmals nach dem s-m-n-Theorem gibt es ein rekursives g mit s_{1}^{2}(e, z, x) ≃ φ_{g(x)}^{1}(z). Nun sei s wie im Rekursionssatz für r.a. Mengen, also W_{s(f)}(y) ↔ φ_{f}^{1}(s(f)) ↓ ∧ W_{φ_{f} (s(f))}(y). Dann gilt W_{s(g(x))}(y) ↔ W_{φ_{g(x)}^{1}(s(g(x)))}(y). Setze nun h(x) := s(g(x)), dann gilt insgesamt

W_{h(x)}(y) ↔ W_{e}^{3}(y, φ(h(x)), x) ↔ φ(h(x)) ≃ y ∧ x ∈ B.

Damit ist die Zwischenbehauptung 1 bewiesen. Jetzt gilt f : B≤_{m}A via f := φ ∘ h. Beweis: Wenn x ∉ B, dann ist W_{h(x)} = ∅, also φ(h(x)) ↓ und φ(h(x)) ∉ A(∪W_{h(x)}), da φ produktive Funktion von A ist. Wenn x ∈ B, dann ist W_{h(x)} = {φ(h(x))}. Wäre A ∩ W_{h(x)} = ∅, so wäre φ(h(x)) ↓ und φ(h(x)) ∉ W_{h(x)}(∪A). Widerspruch! Also ist A ∩ {φ(h(x))} ≠ ∅, d.h. φ(h(x)) ↓ und φ(h(x)) ∈ A. Damit gilt aber f^{−1}[A] = (φ ∘ h)^{−1}(A) = B. f ist natürlich auch rekursiv, da φ und h es sind.

b) ⇒ c): Es sei A m-vollständig. Wir setzen D_{x} := {i | ϵ_{i} = 1} = {x_{0}, …, x_{n}}, wenn x = ∑_{i∈IN} (ϵ_{i} · 2^{i}), ϵ_{i} ∈ {0, 1} (also x_{0} < … < x_{n}). (Vergleiche § 3, Übung 1.) Zwischenbehauptung 2: Es gibt eine rekursive Funktion g mit

\begin{aligned}D_{x} ∩ A ≠ ∅ & ⟹ & g(x) ∈ A ^{\} D_{x} \\ D_{x} ∩ A = ∅ & ⟹ & g(x) ∉ A ∪ D_{x} \end{aligned}

Beweis: Es sei f : K≤_{m}A, und i ↦ a_{i} sei eine rekursive Aufzählung von A, d.h. A = {a_{0}, a_{1}, … } (beachte: A unendlich, da A kreativ, also nicht rekursiv; vgl. auch § 5, Lemma 2). Es sei weiter h rekursiv mit

W_{h(x)} = \{ \begin{matrix}f^{−1}[D_{x}] & , falls D_{x} ∩ A = ∅ \\ IN & , sonst, \end{matrix}

also W_{h(x)} = {y | f(y) ∈ D_{x} ∨ ∃z ∈ D_{x} ∩ A(x)} (mit s-m-n-Theorem wie oben). Setze

g(x) := \{ \begin{matrix}f(h(x)) & , wenn f(h(x)) ∉ D_{x} \\ a_{i_{0}}(∈ A), wobei i_{0} = μi(a_{i} ∉ D_{x}) & , wenn f(h(x)) ∈ D_{x}. \end{matrix}

Dann gilt auf jeden Fall g(x) ∉ D_{x}. Außerdem gilt: Wenn D_{x}∩A ≠ ∅, dann W_{h(x)} = IN, also h(x) ∈ K, daher f(h(x)) ∈ A, folglich g(x) ∈ A ^{\} D_{x}. Wenn D_{x} ∩ A = ∅, dann W_{h(x)} = f^{−1}(D_{x}). Es gilt außerdem: Aus h(x) ∈ K folgt f(h(x)) ∈ D_{x}, was nicht sein kann; also h(x) ∉ K. Aus f(h(x)) ∉ D_{x} und f(h(x)) ∉ A (da h(x) ∉ K) folgt nun aber g(x) ∉ A ∪ D_{x}. Damit ist Zwischenbehauptung 2 bewiesen. Wir definieren jetzt induktiv eine Funktion ḡ(y, x) durch

ḡ(y, x) := g(2^{y} + ∑_{i<x} 2^{ḡ(y,i)}).

ḡ ist rekursiv (Wertverlaufsrekursion), und es gilt (i): Für alle y ist die Abbildung x ↦ g(y, x) injektiv; und (ii): y ∈ A ↔ ḡ(y, x) ∈ A für alle x ∈ IN. Zu (i): Man kann leicht durch Induktion über x zeigen, daß ḡ(y, x) ∉ {y, ḡ(y, 0), …, ḡ(y, x − 1)}. Zu (ii): Ebenso kann man leicht durch Induktion über y zeigen, daß y ∈ A ↔ ḡ(y, x) ∈ A. Daraus folgt jeweils die Behauptung. Wenn nun f : B≤_{m}A, so gilt f′ : B≤_{1}A für

f′(x) := ḡ(f(x), μzḡ(f(x), z) ∉ {f′(0), …, f′(x − 1)})

(wieder Wertverlaufsrekursion). f′ ist injektiv nach Konstruktion. Und ḡ “respektiert A”, also f′ : B≤_{1}A. Damit ist der Satz bewiesen.

Folgerung 7 : Alle kreativen, alle m-vollständigen und alle vollständigen Mengen sind rekursiv isomorph.

Beweis: klar mit Folgerung 5 und Satz 6.

Folgerung 8 : Wenn A kreativ ist, dann gibt es eine rekursive Funktion f mit

f(e) ∈ (A ∩ W_{e}) ∪ (IN ^{\} (A ∪ W_{e})).

Beweis: K hat diese Eigenschaft (f = id). Wenn π : K ≡ A und h rekursive Funktion mit W_{h(e)} = π^{−1}[W_{e}], dann setze f(e) := π(h(e)). f ist wie gewünscht, denn es gilt:

π(h(e)) ∈ A ↔ h(e) ∈ π^{−1}[A] = K ↔ h(e) ∈ W_{h(e)} = π^{−1}[W_{e}] ↔ π(h(e)) ∈ W_{e}.

\underline{Übung 2:} A heißt Zylinder, wenn es eine rekursive Funktion g(y, x) gibt mit den Eigenschaften: (i) x ↦ g(y, x) ist injektiv für alle y und (ii): y ∈ A ↔ g(y, x) ∈ A. Zeige: a) A ist Zylinder gdw. ∀B(B≤_{m}A → B≤_{1}A)

b) Zu jedem A gibt es einen Zylinder A′ mit A≤_{m}A′≤_{m}A.

c) A′ ist bis auf ≡ eindeutig bestimmt (:= die Zylindrifizierung von A). (Hinweis: A′ = {⟨x, y⟩ | x ∈ A}) (Vollständige Mengen sind Zylinder.)

Gibt es r.a. Mengen, die weder rekursiv noch kreativ (vollständig) sind? Zur Beantwortung dieser Frage ist der folgende Begriff nützlich:

Definition : Eine Menge A heißt simpel (englisch: simple) gdw. A r.a. und IN ^{\} A unendlich ist, aber keine unendliche r.a. Teilmenge enthält.

Bemerkungen:

a) Simple Mengen sind nicht rekursiv.

b) Kreative (oder vollständige) Mengen A sind nicht simpel.

Beweis:

a) klar, da sonst IN ^{\} A r.a. wäre.

b) Wenn A kreativ ist, dann ist A vollständig, also existiert insbesondere ein f : ∅≤_{1}A. f[IN] ist unendliche r.a. Teilmenge von IN ^{\} A; also ist A nicht simpel.

Satz 9 : Es gibt simple Mengen.

Beweis: φ uniformisiere die r.a. Menge {(x, y) | y ∈ W_{x} ∧ y > 2x}. Dann ist rng(φ) = {y | ∃xφ(x) ≃ y} simpel. Denn es gilt |rng(φ) ∩ {0, 1, …, 2x + 1}| ≤ x + 1, also ist IN ^{\} rng(φ) unendlich. Außerdem gilt: Falls W_{e} unendlich ist, dann gilt e ∈ dom(φ) (W_{e} enthält genügend große y); also φ(e) ∈ W_{e}; und damit kann nicht W_{e} ⊆ IN ^{\} rng(φ) gelten. IN ^{\} rng(φ) enthält also keine unendliche r.a. Teilmenge W_{e}. Offensichtlich ist rng(φ) r.a., also insgesamt simpel.

\underline{Übung 3:} Wenn A≤_{1}B und B simpel ist, dann ist A rekursiv oder simpel.

\underline{Übung 4:} Es sei A simpel. Dann ist die Menge \{2x | x ∈ A\} r.a., nicht rekursiv, nicht simpel und nicht vollständig.

\underline{Übung 5:} Es sei A r.a. und nicht rekursiv. Wähle f rekursiv und injektiv mit A = f[IN]. Dann ist D := {x | ∃y > x [f(y) < f(x)]} simpel. (Hinweis: Hätte IN ^{\} D eine unendliche r.a. Teilmenge, dann wäre IN ^{\} A r.a.)

§ 7 Die arithmetische Hierarchie

Wir definieren als Verallgemeinerung unserer früheren Definition von Σ_{1}^{0} und Π_{1}^{0} rekursiv für alle n ∈ IN: Definition (die arithmetische Hierarchie):

Die kleinste Klasse von Mengen, die die rekursiven Mengen umfaßt und unter Quantifizierung abgeschlossen ist, nennen wir die Klasse der arithmetischen Mengen. Außerdem definieren wir:

Σ_{0}^{0} := Π_{0}^{0} := Klasse der rekursiven Mengen
Σ_{n+1}^{0} := \{S ⊂ IN^{m} | S \binom{}{x} ↔ ∃yP (x⃗, y) , mit P ∈ Π_{n}^{0}, m ∈ IN\}
Π_{n+1}^{0} := \{P ⊂ IN^{m} | P \binom{}{x} ↔ ∀yS (x⃗, y) , mit S ∈ Σ_{n}^{0}, m ∈ IN\}
Δ_{n}^{0} := Σ_{n}^{0} ∩ Π_{n}^{0}
Δ_{ω}^{0} := ⋃_{n∈ω} Δ_{n}^{0}

Es wird sich zeigen, daß die Klasse der arithmetischen Mengen gerade die Klasse Δ_{ω}^{0} ist (mit Satz 1 und Lemma 2). Der Name “arithmetische Mengen” findet seine Rechtfertigung am Ende des Kapitels. Aus dem bisherigen ist klar:

Σ_{1}^{0} = Klasse der r.a. Mengen

Π_{1}^{0} = Klasse der Mengen, deren Komplement r.a. ist

Δ_{1}^{0} = Σ_{0}^{0} = Π_{0}^{0} (da gilt: A rekursiv ⇔ A r.a. und IN ^{\} A r.a.) Außerdem (mit Induktion) :

Eine Σ_{n}^{0}-Menge S hat die Form : S \binom{}{x} ↔ ∃y_{1}∀y_{2}∃y_{3} …, Qy_{n}R (x⃗, y_{1}, …, y_{n}) , R rekursiv. Eine Π_{n}^{0}-Menge P hat die Form : P \binom{}{x} ↔ ∀y_{1}∃y_{2} ∀y_{3} … Qy_{n}R (x⃗, y_{1}, …, y_{n}) , R rekursiv

(wobei Q ∈ {∀ , ∃}).

Satz 1 (Abgeschlossenheitseigenschaften) :

a) A ∈ Σ_{n}^{0} (Π_{n}^{0}) ⟺ ¬A ∈ Π_{n}^{0} (Σ_{n}^{0})

b) A (x⃗, y) ∈ Σ_{n}^{0} (Π_{n}^{0}) , f rekursiv ⟹ A (x⃗, f \binom{}{x}) ∈ Σ_{n}^{0} (Π_{n}^{0})

c) A, B ∈ Σ_{n}^{0} (Π_{n}^{0}) ⟹ A ∨ B, A ∧ B ∈ Σ_{n}^{0} ( Π_{n}^{0})

d) A (x⃗, y) ∈ Σ_{n}^{0} (Π_{n}^{0}) ⟹ ∃yA (x⃗, y) ∈ Σ_{n}^{0} (∀yA (x⃗, y) ∈ Π_{n}^{0}) (n > 0)

e) A (x⃗, y) ∈ Σ_{n}^{0} (Π_{n}^{0}) ⟹ ∀z < yA (x⃗, z) ∈ Σ_{n}^{0} (∃z < yA (x⃗, z) ∈ Π_{n}^{0})

Beweis (wie für r.a. Mengen) :

a) Es sei A ∈ Σ_{n}^{0} mit A(x⃗) ↔ ∃y_{1} … Qy_{n}R(x⃗, y_{1}, …, y_{n}) ( Π_{n}^{0}-Fall analog ), dann gilt

¬A(x⃗) ⟷ ∀y_{1} … \overline{Q}y_{n} \underbrace{¬R(x⃗, y_{1}, …, y_{n})}_{rekursiv}

mit

\overline{Q} = \{ \begin{matrix}∀ , falls Q = ∃ \\ ∃ , falls Q = ∀. \end{matrix}

b) Es sei A ∈ Σ_{n}^{0} mit A(x⃗, y) ↔ ∃y_{1} … Qy_{n}R(x⃗, y, y_{1}, …, y_{n}) und f rekursiv, dann gilt

A(x⃗, f(x⃗)) ⟷ ∃y_{1} … Qy_{n} \underbrace{R(x⃗, f(x⃗), y_{1}, …, y_{n})}_{rekursiv} .

c) Induktion über n, simultan für Σ_{n}^{0} und Π_{n}^{0} : n = 0: bekannt. n → n + 1: Es seien A, B ∈ Σ_{n+1}^{0} mit A(x⃗) ↔ ∃yA′(x⃗, y) und B(x⃗) ↔ ∃yB′(x⃗, y) , A′, B′ ∈ Π_{n}^{0}, dann gilt

A∧B(x⃗) ↔ ∃y(\underbrace{A′(x⃗, (y)_{0}) ∧ B′(x⃗, (y)_{1})}_{∈Π_{n}^{0} (Ind.-Ann. und b))}) und A∨B(x⃗) ↔ ∃y(\underbrace{A′(x⃗, y) ∨ B′(x⃗, y)}_{∈Π_{n}^{0} (Ind.-Ann.)}).

Der Π_{n+1}^{0}-Fall folgt daraus mit a).

d) Es sei A ∈ Σ_{n}^{0} mit A(x⃗, y) ↔ ∃zA′(x⃗, y, z), A′ ∈ Π_{n−1}^{0} (Π_{n}^{0}-Fall analog), dann gilt

∃yA(x⃗, y) ⟷ ∃u(\underbrace{A′(x⃗, (u)_{0}, (u)_{1})}_{∈Π_{n−1}^{0} (mit b))}).

e) Es sei A ∈ Σ_{n+1}^{0} mit A(x⃗, y) ↔ ∃wA′(x⃗, y, w) , A′ ∈ Π_{n}^{0}, (Π_{n+1}^{0}-Fall analog), dann gilt

∀z < yA(x⃗, z) ⟷ ∀z < y∃wA′(x⃗, z, w) ⟷ ∃u \underbrace{∀z(z < y → A′(x⃗, z, (u)_{z})}_{∈Π_{n}^{0} (mit b), c) und d) bzw. Fall n = 0)} .

Es liegt folgende Situation vor, wobei die Pfeile echte Inklusionen bedeuten:

Σ_{0}^{0}  Σ_{1}^{0}  Σ_{2}^{0}  …
∥  ↗  ↘  ↗  ↘
Δ_{0}^{0} = Δ_{1}^{0}  Δ_{2}^{0}  Δ_{3}^{0}  …
∥  ↘  ↗  ↘  ↗
Π_{0}^{0}  Π_{1}^{0}  Π_{2}^{0}  …

Den Beweis hierfür liefern Schritt für Schritt die folgenden Lemmata und Sätze (bis Folgerung 5).

Lemma 2 : Σ_{n}^{0} ⊆ Δ_{n+1}^{0} , Π_{n}^{0} ⊆ Δ_{n+1}^{0}

Beweis (Einführung blinder Variabler): Es sei A ∈ Σ_{n}^{0} mit A(x⃗) ↔ ∃y_{1} … Qy_{n}R(x⃗, y_{1}, …, y_{n}), R rekursiv (Π_{n}^{0}-Fall analog), dann gilt

A(x⃗) ↔ \underbrace{∀y_{0}∃y_{1} … Qy_{n}R(x⃗, y_{1}, …, y_{n})}_{∈Π_{n+1}^{0}} und A(x⃗) ↔ \underbrace{∃y_{1} … Qy_{n}\overline{Q}y_{n+1}R(x⃗, y_{1}, …, y_{n})}_{∈Σ_{n+1}^{0}}

(\overline{Q} wie oben), also A ∈ Δ_{n+1}^{0}.

Lemma 3 : Für alle n > 0, m > 0 gibt es eine universelle Σ_{n}^{0}-Relation U_{n}^{m} ⊂ IN^{m+1}, d.h. U_{n}^{m} ∈ Σ_{n}^{0} und für alle S ⊆ IN^{m} aus Σ_{n}^{0} gibt es ein e ∈ IN mit S(x⃗) ↔ U_{n}^{m}(e, x⃗). e heißt ein Σ_{n}^{0}-Index von S. Analog existiert eine universelle Π_{n}^{0}-Relation V_{n}^{m} für alle n > 0 und m > 0.

Beweis: Wir benutzen den entsprechenden Satz für r.a. Relationen aus § 5 (Satz 5), der uns für alle k ∈ IN eine universelle r.a. Relation W^{k} liefert, und setzen

U_{n}^{m}(e, x⃗) :⟷ ∃y_{1} … \overline{Q}y_{n−1}(¬)W^{m+n−1}(e, x⃗, y_{1}, …, y_{n−1}) ( ⟷ ∃y_{1} … Qy_{n}(¬)T^{m+n−1}(e, x⃗, y_{1}, …, y_{n}) )

(T^{l} ist das in §3, Folgerung 10 eingeführte Kleene-Prädikat), wobei das Negationszeichen gesetzt wird, falls n gerade ist, d.h. falls \overline{Q} = ∃, sonst nicht. U_{n}^{m} ist dann wie gewünscht.

Bemerkung : Für n = 0 ist dies falsch, d.h. es gibt keine universelle rekursive Menge.

Beweis: Angenommen, U(x, z, y⃗) wäre universelle rekursive Relation, dann wäre auch ¬U(x, x, y⃗) rekursiv in x und y⃗, also existierte ein e ∈ IN mit ¬U(x, x, y⃗) ↔ U(e, x, y⃗). Widerspruch für x = e !

Folgerung 4 (Hierarchiesatz) :

a) Für alle n > 0 gibt es eine Σ_{n}^{0}-Menge S, die keine Π_{n}^{0}-Menge ist; d.h. es gilt

Δ_{n}^{0} ⊂_{≠} Σ_{n}^{0}.

b) Für alle n > 0 gibt es eine Π_{n}^{0}-Menge P, die keine Σ_{n}^{0}-Menge ist; d.h. es gilt

Δ_{n}^{0} ⊂_{≠} Π_{n}^{0}.

Beweis:

a) Es sei U_{n}^{1} ∈ Σ_{n}^{0} wie in Lemma 3; wir betrachten S(x) :↔ U_{n}^{1}(x, x). S ist nach Satz 1b) in Σ_{n}^{0}; wäre S auch in Π_{n}^{0}, dann hätten wir ¬S ∈ Σ_{n}^{0} und ein e ∈ IN mit ¬S(x) ↔ U_{n}^{1}(e, x), was aber einen Widerspruch für x = e ergibt!

b) Mit dem S aus a) erhalten wir dual dazu für P := IN ^{\} S: P ∈ Π_{n}^{0} ^{\} Σ_{n}^{0}.

\underline{Übung 1:} Für jedes S ∈ Σ_{n}^{0} ^{\} Π_{n}^{0} gilt: \{2x | x ∈ S\} ∪ \{2x + 1 | x ∉ S\} ∈ Δ_{n+1}^{0} ^{\} (Σ_{n}^{0} ∪ Π_{n}^{0}).

Folgerung 5 : Σ_{n}^{0} ∪ Π_{n}^{0} ⊂_{≠} Δ_{n+1}^{0}.

Beispiele :

1) Tot := {e | φ_{e}^{1} total} ∈ Π_{2}^{0}, denn

φ_{e}^{1} total ⟷ \underbrace{∀x∃y[\underbrace{φ_{e}^{1}(x) ≃ y]}_{Σ_{1}^{0}}}_{Π_{2}^{0}} .

2) {(e, f) | φ_{e}^{1} = φ_{f}^{1}} ∈ Π_{2}^{0}, denn

φ_{e}^{1} = φ_{f}^{1} ⟷ ∀x∀y(φ_{e}^{1}(x) ≃ y ↔ φ_{f}^{1}(x) ≃ y)

⟷ \underbrace{∀x∀y[\underbrace{(φ_{e}^{1} ≃ y ∧ φ_{f}^{1} ≃ y)}_{Σ_{1}^{0}} ∨ \underbrace{(¬(φ_{e}^{1}(x) ≃ y) ∧ ¬(φ_{f}^{1}(x) ≃ y))}_{Π_{1}^{0}}]}_{Π_{2}^{0}} .

3) {e | W_{e}^{1} rekursiv} ∈ Σ_{3}^{0}, denn

W_{e}^{1} rekursiv ⟷ ∃f(W_{f}^{1} = IN ^{\} W_{e}^{1}) ⟷ \underbrace{∃f∀x[\underbrace{(x ∈ W_{e}^{1} ∧ x ∉ W_{f}^{1})}_{Π_{2}^{0}} ∨ \underbrace{(x ∉ W_{e}^{1} ∧ x ∈ W_{f}^{1})}_{Π_{2}^{0}}]}_{Σ_{3}^{0}} .

4) Fin := {e | W_{e}^{1} endlich} ∈ Σ_{2}^{0}, denn

W_{e}^{1} endlich ⟷ \underbrace{∃x∀y > x \underbrace{¬W_{e}^{1}(y)}_{Π_{1}^{0}}}_{Σ_{2}^{0}} .

Die Frage liegt nahe, ob die Klassifizierung der Mengen in unseren Beispielen optimal ist. Für ihre Beantwortung führen wir eine Verallgemeinerung des Begriffs der Vollständigkeit ein.

Definition : A ⊆ IN heißt Σ_{n}^{0}(Π_{n}^{0})-vollständig, wenn A ∈ Σ_{n}^{0}(Π_{n}^{0}) und B≤_{1}A für alle B ∈ Σ_{n}^{0}(Π_{n}^{0}). (Wie früher beschränken wir uns auf den einstelligen Fall, d.h. A, B ⊆ IN.) Entsprechend: Σ_{n}^{0}(Π_{n}^{0})-m-vollständig (ersetze ≤_{1} durch ≤_{m}).

Bemerkung :

a) Σ_{1}^{0}-vollständig = vollständig

b) A Σ_{n}^{0}-vollständig ⟺ ¬A Π_{n}^{0}-vollständig

c) A Σ_{n}^{0}(Π_{n}^{0})-vollständig und n > 0 ⟹ A ∉ Π_{n}^{0}(Σ_{n}^{0})

Beweis:

a) klar.

b) klar mit f : B≤_{1}A ⟺ f : ¬B≤_{1}¬A.

c) Es sei B ∈ Σ_{n}^{0} ^{\} Π_{n}^{0} (aus dem Hierarchiesatz). Angenommen A ∈ Π_{n}^{0} , dann hätte man auch B ∈ Π_{n}^{0} , da B≤_{1}A. Widerspruch zur Wahl von B!

Satz 6 : Bis auf rekursive Isomorphie gibt es genau eine Σ_{n}^{0}-vollständige Menge A ⊂ IN für jedes n ≥ 1. (Dasselbe gilt für Π_{n}^{0}.)

Beweis: Die Eindeutigkeit folgt wie früher aus dem Satz von Myhill. Zur Existenz: U_{n}^{1} sei Σ_{n}^{0}-universell, dann ist A(x) :↔ U_{n}^{1}((x)_{0}, (x)_{1}) Σ_{n}^{0}-vollständig. Denn falls B ∈ Σ_{n}^{0} und B(x) ↔ U_{n}^{1}(e, x) für ein e ∈ IN, dann gilt B≤_{1}A via x ↦ ⟨e, x⟩.

Beispiele :

1) Tot ist Π_{2}^{0}-vollständig. Beweis: Wir wissen schon: Tot ∈ Π_{2}^{0}. Es sei nun B ∈ Π_{2}^{0} mit B(x) ↔ ∀zS(x, z), S ∈ Σ_{1}^{0}. Wir definieren f durch f(x, z) ≃ y :↔ y = 1 ∧ S(x, z), dann gilt f(x, z) ≃ φ_{e}^{1}(x, z) für ein e ∈ IN. Nun wählen wir mit dem s-m-n-Theorem ein rekursives, injektives g mit φ_{e}^{1}(x, z) ≃ φ_{g(x)}^{1}(z). Damit erhalten wir B(x) ↔ ∀zS(x, z) ↔ φ_{g(x)}^{1} total ↔ g(x) ∈ Tot; also g : B≤_{1}Tot.

2) Fin ist Σ_{2}^{0}-vollständig. Beweis: Wir wissen schon: Fin ∈ Σ_{2}^{0}. Es sei B ∈ Σ_{2}^{0} mit B(x) ↔ ∃yA(x, y). Ähnlich wie oben wählen wir nun ein rekursives, injektives g mit W_{g(x)}(n) ↔ ∀y ≤ n¬A(x, y) (also W_{g(x)} endlich ↔ ∃yA(x, y)). Dann gilt B(x) ↔ ∃yA(x, y) ↔ W_{g(x)} endlich ↔ g(x) ∈ Fin; also g : B≤_{1}Fin.

Bemerkung (ohne Beweis) : Σ_{3}^{0}-vollständige Mengen sind: {e | W_{e} rekursiv}, {e | W_{e} kofinit}, {e | W_{e} kreativ}. Die Menge {e | W_{e} simpel} ist Π_{3}^{0}-vollständig.

Nun wollen wir auch die Sätze über Uniformisierung, Reduktion und Separation von den r.a. Mengen auf die ganze arithmetische Hierarchie übertragen:

Definition : Eine partielle Funktion f : IN^{m} ↪ IN heißt partielle Σ_{n}^{0}(Π_{n}^{0})-Funktion (Notation: f ∈ Σ_{n}^{0}(Π_{n}^{0})) gdw. der Graph von f, d.h. die durch f(x⃗) ≃ y definierte Relation, aus Σ_{n}^{0} ist.

Bemerkung :

a) f partiell rekursiv ⟺ f ∈ Σ_{1}^{0}

b) f ∈ Σ_{n}^{0} und total ⟹ f ∈ Δ_{n}^{0}

Beweis:

a) klar.

b) Es sei f ∈ Σ_{n}^{0} und total, dann gilt f(x⃗) = y ⟷ \underbrace{∀z\{z = y ∨ ¬(f(x⃗) = z)\}}_{Π_{n}^{0}}.

Satz 7 (Uniformisierungssatz für Σ_{n}^{0}-Relationen, n > 0) :

Jede Σ_{n}^{0}-Relation S läßt sich durch eine partielle Σ_{n}^{0}-Funktion uniformisieren.

Beweis: S ⊆ IN^{m+1} sei Σ_{n}^{0}-Relation mit S(x⃗, y) ↔ ∃zP (x⃗, y, z), P ∈ Π_{n−1}^{0}. Wir definieren f(x⃗) :≃ (μwP (x⃗, (w)_{0}, (w)_{1})_{0}, dann gilt

f(x⃗) ≃ y ⟷ \underbrace{∃w[P (x⃗, (w)_{0}, (w)_{1}) ∧ ∀u < w[¬P (x⃗, (u)_{0}, (u)_{1})] ∧ (w)_{0} = y]}_{Σ_{n}^{0}} .

f ist also wie gewünscht.

Wie früher beweist man damit

Folgerung 8 : Für alle n > 0 gilt:

a) Σ_{n}^{0}-Reduktion: Σ_{n}^{0}-Mengen lassen sich durch disjunkte Σ_{n}^{0}-Mengen reduzieren.

b) Π_{n}^{0}-Separation: Disjunkte Π_{n}^{0}-Mengen lassen sich durch eine Δ_{n}^{0}-Menge trennen.

c) Es gibt Π_{n}^{0}-Mengen, die nicht Π_{n}^{0}-reduzierbar sind.

d) Es gibt disjunkte Σ_{n}^{0}-Mengen, die nicht Δ_{n}^{0}-trennbar sind.

Beweis: \underline{Übung 2.} Anhang: Rechtfertigung des Namens “arithmetische Hierarchie”

Wir betrachten die Sprache L = {0, +, ·, S, <} und dazu die Struktur N := (IN, 0, +, ·, S, <), also das Standard-Modell der Arithmetik, und definieren rekursiv:

a) ∃_{0} := ∀_{0} := die kleinste Klasse von L-Formeln, die die atomaren Formeln enthält und unter

¬, ∨ und beschränkter Quantifizierung abgeschlossen ist.

b) ∃_{n+1} := {∃xφ | φ ∈ ∀_{n}}, ∀_{n+1} := {∀xφ | φ ∈ ∃_{n}}.

c) R ⊂ IN^{m} heißt ∃_{k}(∀_{k})-definierbar, wenn ein φ ∈ ∃_{k}(∀_{k}) existiert mit R(n⃗) ⇔ N ⊧ φ(n⃗).

Man erhält dann folgendes Ergebnis:

Satz 9 : Für n > 0 gilt a) S ist ∃_{n}-definierbar ⟺ S ∈ Σ_{n}^{0}

b) P ist ∀_{n}-definierbar ⟺ P ∈ Π_{n}^{0}

(Ohne Beweis)

Daraus ist ersichtlich: Die arithmetischen Mengen sind genau die L-definierbaren Teilmengen des Standardmodells N der Arithmetik.

§ 8 Relative Berechenbarkeit

Wir verallgemeinern nun den Begriff der Berechenbarkeit, indem wir zusätzliche Grundfunktionen (bzw. Befehle), sogenannte “Orakel”, zulassen.

Definition :

a) Es sei h : IN → IN eine Funktion (bzw. A ⊆ IN eine Relation). Eine partielle Funktion f : IN^{n} ↪ IN heißt RM-berechenbar in h, wenn es eine Registermaschine mit zusätzlichen Befehlen

h(R_{r}) (r < R)

gibt, die f berechnet (über dem Alphabet { }). h(R_{r}) wird so ausgeführt: Alle Register außer R_{r} bleiben unverändert; der Inhalt ^{x} von R_{r} ändert sich in ^{h(x)}. f heißt RM-berechenbar in A, wenn f RM-berechenbar in K_{A} ist.

b) Eine Relation B heißt RM-berechenbar in h (bzw. in A), wenn K_{B} RMberechenbar in h (bzw. in K_{A}) ist.

Beispiel : f sei eine rekursive und injektive Funktion. Dann ist A := {f(x) | x ∈ IN} RM-berechenbar in B := {x | ∃y > x[f(y) < f(x)]}; und B ist RM-berechenbar in A. Beweis: Zuerst zu “A RM-berechenbar in B”. Wie man sich leicht klarmacht, gilt

y ∉ A ⟷ ∃x(x ∉ B ∧ y ∉ {f(0), …, f(x)} ∧ y ≤ f(x))

Daraus folgt die Behauptung, wie man ausführlich so sieht: Es werde f von der Maschine M mit R Registern berechnet. Dann wird K_{A} von der folgenden Maschine berechnet:

↓ K_{R+2}^{1,R} ↓

\underline{L}^{R−1} ← R_{R+1}|

↓ K_{R+2}^{R+1,1} ↓

M  ↑  ↑

↓ R_{0} = R_{R}? ja ↙ ↘ nein

L^{0}  R_{0} < R_{R}? ^{ja}
↙ ↘ nein
stop  K_{R+2}^{R+1,0} → K_{B}(R_{0}) → R_{0}? ^{0}

↓

|

stop

Dabei ist z.B. R_{0} < R_{R}?_{nein↙ ↘ja} die “Maschine”:

↓ K_{R+2}^{0,R+3} ↓ K_{R+2}^{R,R+4} ↓

nein←^{0} R_{R+4}?

↓ |

R_{R+3}? →^{0}ja

↓ | ↑

R_{R+3} − 1 ↓ R_{R+4} − 1

Zur zweiten Hälfte: “B RM-berechenbar in A”. Dies folgt analog aus

x ∉ B ⟷ {f(0), …, f(x)} = A ∩ {0, 1, …, f(x)}.

Parallel zum bisherigen relativieren wir jetzt den Begriff der Rekursivität:

Definition :

a) Es sei h : IN → IN eine Funktion (bzw. A ⊆ IN eine Relation).

Dann heißt f : IN^{n} ↪ IN (oder B ⊆ IN^{n}) partiell rekursiv in h (bzw. in A), wenn sich f

(oder K_{B}) aus den Grundfunktionen

C_{0}^{0} , I_{i}^{k} , N , h (bzw. K_{A})

mit den Regeln R1, R2 und R3 (uneingeschränkt) aufbauen läßt.

b) Analog definieren wir rekursiv in h und rekursiv in A (R3 eingeschränkt).

Beispiel : n ↦ \overline{h(n)} := ⟨h(0), …, h(n − 1)⟩ ist rekursiv in h. (Wir bemerken: lg(\overline{h(n)}) = n und (\overline{h(n)})_{x} = h(x).)

Bemerkungen :

a) Wenn f (partiell) rekursiv in h ist und h rekursiv ist, dann folgt offenbar, daß f (partiell) rekursiv ist.

b) Es seien A, B derart, daß A≤_{1}B. Dann gibt es ein rekursives f mit x ∈ A ↔ f(x) ∈ B, d.h. K_{A}(x) = K_{B}(f(x)). Also ist dann A rekursiv in B.

c) Analog: A≤_{m}B ⇒ A rekursiv in B.

d) Es gilt ≤_{1} ⊂_{≠} ≤_{m} ; denn z.B. IN≤_{m}{0}, aber IN≰_{1}{0}.

Neben ≤_{1} und ≤_{m} wird oft noch eine weitere Reduzierbarkeitsrelation betrachtet:

Definition : A≤_{tt}B gdw. es existieren G : IN → P_{ω}(IN) und H : IN → P_{ω}(P_{ω}(IN)), G, H berechenbar [ d.h. G(x) = D_{g(x)}, H(x) = {D_{y} | y ∈ D_{h(x)}} und g, h sind berechenbar ] mit

x ∈ A ↔ (G(x) ∩ B) ∈ H(x).

A heißt dann tt-reduzierbar (truth-table-reduzierbar) auf B. (G(x), H(x)) heißt Wahrheitstafel von x. (Zur Codierung endlicher Teilmengen von IN verwenden wir dabei die Relation D_{z}; vgl. § 3, Übung 1.)

Bemerkungen :

a) Man sieht sofort, daß aus “A≤_{tt}B” “A rekursiv in B” folgt. (Betrachte die Gleichung in der Definition und beachte: G(x) und H(x) sind endlich.) Außerdem ist ≤_{tt} transitiv (Beweis: \underline{Übung 1}).

b) A≤_{tt}¬A; denn mit G(x) := {x} und H(x) := {∅} gilt offenbar A(x) ↔ ({x} ∩ ¬A) ∈ {∅} und G, H sind berechenbar.

c) Es gilt ≤_{m} ⊂_{≠} ≤_{tt}; denn “⊆”: Es sei f : A≤_{m}B, also x ∈ A ↔ f(x) ∈ B. Setze G(x) := {f(x)} und H(x) := {{f(x)}}, dann gilt x ∈ A ↔ f(x) ∈ B ↔ [{f(x)} ∩ B] ∈ {{f(x)}}. “≠”: Es sei A so, daß ¬A r.a., aber nicht rekursiv ist. Nach b) gilt A≤_{tt}¬A. Gälte auch A≤_{m}¬A, so wäre A r.a., was im Widerspruch zur Wahl von A steht.

Wie früher beweist man nun

Satz 1 : f ist genau dann RM-berechenbar in h, wenn f partiell rekursiv in h ist.

Beweis: \underline{Übung 2.} (Wir verwenden diesen Satz im folgenden nicht.)

Einige weitere Sätze lassen sich auf relativ rekursive Funktionen übertragen:

Satz 2 (Normalformsatz) :

Es sei h : IN → IN eine Funktion. Wir setzen

T̃^{n}(e, s, x_{1}, …, x_{n}, g) :↔ T^{n+2}(e, s, (g)_{0}, x_{1}, …, x_{n}, (g)_{1}).

50 Rekursionstheorie

Dann hat jedes in h partiell rekursive f die Form

f(x_{1}, …, x_{n}) ≃ (μgT̃^{n}(e, \overline{h((g)_{2})}, x_{1}, …, x_{n}, g))_{0}.

Definition : Wir setzen φ_{e}^{n}[h](x_{1}, …, x_{n}) := (μgT̃^{n}(e, \overline{h((g)_{1})}, x_{1}, …, x_{n}, g))_{0} und nennen φ_{e}^{n}[h] e-te in h partiell rekursive Funktion.

Beweis : Durch Induktion über den Aufbau von f (der nicht eindeutig zu sein braucht) zeigen wir, daß es eine r.a. Menge R gibt mit

f(x_{1}, …, x_{n}) ≃ x_{0} ↔ ∃kR(\overline{h(k)}, x_{0}, …, x_{n}) und R(⟨y_{0}, …, y_{r−1}⟩, x_{0}, …, x_{n}) → R(⟨y_{0}, …, y_{s−1}⟩, x_{0}, …, x_{n}) für s ≥ r.

Grundfunktionen:

f = C_{0}^{0} :  R(s, x_{0}) ↔ x_{0} = 0
f = I_{i}^{n} :  R(s, x_{0}, …, x_{n}) ↔ x_{0} = x_{i}
f = N :  R(s, x_{0}, x_{1}) ↔ x_{0} = x_{1} + 1
f = h :  R(s, x_{0}, x_{1}) ↔ lg(s) > x_{1} ∧ x_{0} = (s)_{x_{1}}

R1 (Einsetzung):

Es gelte f(x⃗) ≃ g(f_{1}(x⃗), …, f_{k}(x⃗)), S gehöre zu g, R_{i} zu f_{i} (1 ≤ i ≤ k).

Setze R(s, x_{0}, x⃗) ↔ ∃y_{1} … y_{k}(S(s, x_{0}, y_{1}, …, y_{k}) ∧ ∀i ≤ k[R_{i}(s, y_{i}, x⃗)]).

R2 (Induktion):

Es gelte f(x⃗, 0) ≃ g(x⃗), f(x⃗, y + 1) ≃ d(x⃗, y, f(x⃗, y)), S gehöre zu g, D zu d. Setze R(s, x_{0}, x⃗, y) ↔ ∃z(lg(z) > y∧S(s, (z)_{0}, x⃗)∧∀i < yD(s, (z)_{i+1}, x⃗, i, (z)_{i})∧

(z)_{y} = x_{0}). R3 (μ-Operator):

Es gelte f(x⃗) ≃ μyg(x⃗, y) = 0, S gehöre zu g.

Setze R(s, x_{0}, x⃗) ↔ S(s, 0, x⃗, x_{0}) ∧ ∀i < x_{0}∃z ≠ 0S(s, z, x⃗, i)

In jedem Fall ist R r.a. und wie gewünscht. Nun wählen wir ein e ∈ IN mit R(s, x_{0}, …, x_{n}) ↔ ∃gT^{n+2}(e, s, x_{0}, …, x_{n}, g). Dann gilt

f(x⃗) ≃ x_{0} ↔ ∃kR(\overline{h(k)}, x_{0}, x⃗) ↔ ∃k∃g′T^{n+2}(e, \overline{h(k)}, x_{0}, x⃗, g′) für ein e ∈ IN ↔ ∃g[T^{n+2}(e, \overline{h((g)_{2})}, (g)_{0}, x⃗, (g)_{1})∧(g)_{0} = x_{0}] ↔ (μgT^{n+2}(e, \overline{h((g)_{2})}, (g)_{0}, x⃗, (g)_{1}))_{0} ≃

x_{0}

↔ (μgT̃^{n}(e, \overline{h((g)_{2})}, x⃗, g))_{0} ≃ x_{0}.

Satz 3 (Universelle Funktion und s-m-n-Theorem) :

a) φ_{e}^{n}[h](x_{1}, …, x_{n}) ist – als Funktion von e, x_{1}, …, x_{n} – partiell rekursiv in h.

b) Es gibt rekursive Funktionen s̄_{n}^{m} mit φ_{e}^{n+m}[h](x_{1}, …, x_{n}, y_{1}, …, y_{m}) ≃ φ_{s̄_{n}^{m}(e,y_{1},... ,y_{m})}^{n}[h](x_{1}, …, x_{n}). (s̄_{n}^{m} ist unabhängig von h.)

Beweis :

a) ist klar.

b) Man findet e ∈ IN, W_{f}^{n+m+3} und s_{n+2}^{m+1}, so daß folgendes gilt:

φ_{e}^{n+m}[h](x⃗, y⃗) ≃ x_{0}

↔ ∃g[T̃^{n+m}(e, \overline{h((g)_{1})}, x⃗, y⃗, g)∧(g)_{0} = x_{0}∧∀z < g(¬T̃^{n+m}(e, \overline{h((z)_{1})}, x⃗, y⃗, z))] ↔ ∃g[T^{n+m+2}(e, \overline{h((g)_{1})}, (g)_{0}, x⃗, y⃗, g)∧(g)_{0} = x_{0}∧∀z < g¬T^{n+m+2}(e, \overline{h((z)_{1})}, (z)_{0}, x⃗, y⃗, z)] ↔ ∃gW_{f}^{n+m+3}(\overline{h(g)}, x_{0}, x⃗, y⃗, e)

↔ ∃gW_{s_{n+2}^{m+1}(f,y⃗,e)}^{n+2}(\overline{h(g)}, x_{0}, x⃗).

Setze s̄_{n}^{m}(e, y⃗) := s_{n+2}^{m+1}(f, y⃗, e), dann ist s̄_{n}^{m} wie gewünscht, wie man leicht sieht.

Folgerung 4 (Rekursionssatz) :

a) Es sei g eine rekursive Funktion. Dann gibt es ein e ∈ IN mit φ_{e}^{1}[h] = φ_{g(e)}^{1}[h].

b) (Effektive Version) Für jedes n ∈ IN gibt es eine rekursive Funktion s̄ mit φ_{s̄(x)}^{n}[h](y_{1}, …, y_{n}) ≃ φ_{φ_{x}^{1}(s̄(x))}^{n}[h](y_{1}, …, y_{n}).

Beweis : wie früher.

Auch der Begriff “rekursiv aufzählbar” läßt sich relativieren:

Definition : A ⊆ IN^{n} heißt r.a. in h, wenn es eine in h rekursive Relation R ∈ IN^{n+1} gibt mit A(x⃗) ↔ ∃yR(x⃗, y).

Die folgenden Sätze beweist man wieder genau wie die entsprechenden früher:

Satz 5 (Uniformisierungssatz) :

Es sei A ⊆ IN^{n} r.a. in h, dann läßt sich A durch eine in h partiell rekursive Funktion uniformisieren.

Folgerung 6 :

a) A rekursiv in h ⟺ A, ¬A r.a. in h

b) f partiell rekursiv in h ⟺ Graph(f) r.a. in h

c) A r.a. in h ⟺ A = dom(f), f partiell rekursiv in h

Definition : Wir setzen W_{e}^{n}[h] := dom(φ_{e}^{n}[h]) = \{(x_{1}, …, x_{n}) | ∃gT̃^{n}(e, \overline{h((g)_{1})}, x⃗, g)\} und nennen W_{e}^{n}[h] e-te in h r.a. Menge. Analog W_{e}^{n}[A] := W_{e}^{n}[K_{A}].

Wie früher wird der Name durch folgenden Satz gerechtfertigt:

Satz 7 :

a) {(e, x_{1}, …, x_{n}) | (x_{1}, …, x_{n}) ∈ W_{e}^{n}[h]} ist r.a. in h.

b) Jede in h r.a. Menge hat die Form W_{e}^{n}[h] für ein e ∈ IN.

Man kann auch andere Normalformen für in h r.a. Mengen betrachten:

Lemma 8 : Zu jeder in h r.a. Relation A gibt es eine rekursive Relation R mit

A(x⃗) ↔ ∃yR(\overline{h(y)}, x⃗).

Zusatz: Definiert man ⟨x_{0}, …, x_{m}⟩^{\} y := ⟨x_{0}, …, x_{y−1}⟩, dann kann man annehmen: R(x^{\} y, x⃗) → R(x, x⃗).

Beweis: \underline{Übung 3.} Hinweis: Wähle ein e ∈ IN mit A = W_{e}^{n}[h] und setze R(s, x⃗) :↔ ∃g[lg(s) > g ∧ T̃^{n}(e, s^{\} (g)_{1}, x⃗, g)].

Lemma 9 : Zu jeder in B r.a. Relation A existiert eine r.a. Relation R̄ mit

A(x⃗) ⟷ ∃y∃z[R̄(x⃗, y, z) ∧ D_{y} ⊆ B ∧ D_{z} ⊆ IN ^{\} B]

Beweis: \underline{Übung 4.} Hinweis: Es sei A r.a. in K_{B}. Wähle ein e ∈ IN mit A = W_{e}^{n}[K_{B}] und R wie in Lemma 8. Setze nun R̄(x⃗, y, z) :↔ ∃s∀i < lg(s)[(((s)_{i} = 0 → i ∈ D_{y}) ∧ ((s)_{i} = 1 → i ∈ D_{z}))) ∧ R(s, x⃗)].

Weitere Verallgemeinerungen:

Definition : Wir definieren eine relative arithmetische Hierarchie:

Σ_{0}^{0}[h] := Π_{0}^{0}[h] := Klasse der in h rekursiven Mengen
Σ_{n+1}^{0}[h] := {S ⊆ IN^{m} | S(x⃗) ↔ ∃yP (x⃗, y), mit P ∈ Π_{n}^{0}[h], m ∈ IN}
Π_{n+1}^{0}[h] := {P ⊆ IN^{m} | P (x⃗) ↔ ∃yS(x⃗, y), mit S ∈ Σ_{n}^{0}[h], m ∈ IN}

Man erhält für diese Hierarchie dasselbe Inklusions-Diagramm wie in § 7.

Definition :

a) A heißt vollständig in h gdw. A in h r.a. ist und für alle in h r.a. B gilt: B≤_{1}A.

b) Analog: m-vollständig in h (ersetze ≤_{1} durch ≤_{m}).

Satz 10 : Für alle h existiert bis auf rekursive Isomorphie genau ein in h vollständiges A ⊆ IN.

Beweis: Eindeutigkeit: Satz von Myhill. Existenz: A := {x | (x)_{0} ∈ W_{(x)_{1}}^{1}[h]} ist wie gewünscht (Nachweis wie früher).

Nun kommen wir zu einem neuen Begriff:

54 Rekursionstheorie

Definition : Für eine Relation A ⊆ IN sei A′ := {x | (x)_{0} ∈ W_{(x)_{1}}^{1}[K_{A}]} ⊆ IN. A′ heißt Jump von A. Rekursiv definieren wir weiter für alle n ∈ IN: A^{(n+1)} := (A^{(n)})′. Wir haben gerade gezeigt: A′ ist (die) in A vollständige Menge. Es gilt weiterhin:

Satz 11 : Σ_{n}^{0}[A′] = Σ_{n+1}^{0}[A] und Π_{n}^{0}[A′] = Π_{n+1}^{0}[A] für alle n > 0. Beweis: Es genügt zu zeigen: Σ_{1}^{0}[A′] = Σ_{2}^{0}[A] und Π_{1}^{0}[A′] = Π_{2}^{0}[A] (der allgemeine Fall folgt daraus durch Induktion). “⊆”: Es sei B ∈ Σ_{1}^{0}[A′]. Nach Lemma 9 existiert ein r.a. R̄ mit

B(x) ⟷ ∃y∃z[R̄(x, y, z) ∧ D_{y} ⊆ A′ ∧ D_{z} ⊆ IN ^{\} A′]

⟷ \underbrace{∃y∃z[R̄(x, y, z) ∧ ∀i < max\{y, z\}((i ∈ D_{y} → \underbrace{i ∈ A′}_{Σ_{1}^{0}[A]}) ∧ (i ∈ D_{z} → \underbrace{i ∉ A′}_{Π_{1}^{0}[A]})]}_{Σ_{2}^{0}[A]} .

“⊇”: Es sei B aus Σ_{2}^{0}[A], dann gilt

B(x) ⟷ ∃y¬(W_{e}^{1}[A](⟨x, y⟩)) (für ein e ∈ IN)

⟷ \underbrace{∃y \underbrace{¬(⟨⟨x, y⟩, e⟩ ∈ A′)}_{Σ_{0}^{0}[A′]}}_{Σ_{1}^{0}[A′]} (nach Definition von A′).

Der Π_{1}^{0}[A′]-Fall folgt durch Komplementbildung. Folgerung 12 : Σ_{n+1}^{0} = Σ_{1}^{0}[∅^{(n)}] = die in ∅^{(n)} r.a. Mengen. Beweis: klar mit Induktion und Satz 11. (Beachte: A rekursiv in ∅ ⇔ A rekursiv, also Σ_{n}^{0}[∅] = Σ_{n}^{0} für alle n ≥ 0.)

§ 9 Turinggrade

Bis jetzt haben wir die Reduzierbarkeitsrelationen ≤_{1}, ≤_{m} und ≤_{tt} kennengelernt und gesehen, daß ≤_{1} ⊂_{≠} ≤_{m} ⊂_{≠} ≤_{tt} erfüllt ist. Durch die Relation “A rekursiv in B ” aus §8 wird nun eine Reduzierbarkeitsrelation ≤_{T} definiert, die diese Inklusionskette zu ≤_{1} ⊂_{≠} ≤_{m} ⊂_{≠} ≤_{tt} ⊂_{≠} ≤_{T} fortsetzt (≤_{tt} ⊂_{≠}≤_{T} ohne Beweis):

Definition : Es seien A, B ⊆ IN.

A heißt turingreduzierbar auf B ( A ≤_{T} B ) gdw. A rekursiv in B ist.

Bemerkung : Es seien A, B, R ⊆ IN.

a) ≤_{T} ist reflexiv und transitiv.

b) Für rekursives R rekursiv gelten:

i) R ≤_{T} B für alle B ⊆ IN und ii) B ≤_{T} R ⟹ B rekursiv

c) A ≤_{T} B ⟺ für alle f gilt: f rekursiv in A ⇒ f rekursiv in B

Beweis :

a) Wegen der entsprechenden Eigenschaften von “f rekursiv in h”.

b) Klar nach Definition von “f rekursiv in h”.

c) “⇒”: Wegen der Transitivität von “f rekursiv in h”.

“⇐”: Betrachte f = K_{A}.

Beachte, daß ≤_{T} keine Ordnung ist. ≤_{T} induziert aber eine Ordnung auf der Menge der Äquiva-lenzklassen der “Symmetrisierung von ≤_{T} ”:

Definition : Es seien A, B ⊆ IN.

A und B heißen turingäquivalent (Notation: A ≡ B) gdw. A ≤_{T} B und B ≤_{T} A.

Aus der vorigen Bemerkung folgt für ≡_{T} sofort:

Bemerkung : Es seien A, B, R ⊆ IN.

a) ≡_{T} ist eine Äquivalenzrelation

b) Für rekursives R gilt: R ≡_{T} B ⟺ B rekursiv

c) A ≡_{T} B ⟺ für alle f gilt: f rekursiv in A ⇔ f rekursiv in B

Die Äquivalenzklassen bzgl. ≡_{T} werden Turinggrade genannt:

Definition : Es sei A ⊆ IN. deg A:= {B ⊆ IN | A ≡_{T} B } heißt Turinggrad von A und wird auch mit a bezeichnet. 0 := deg ∅ = {B ⊆ IN | B rekursiv } ( ∅ ist rekursiv!) P(IN)_{/≡_{T}} bezeichnet die Menge der Turinggrade.

≤_{T} induziert die folgende Ordnung auf der Menge der Turinggrade:

Definition : deg A ≤ deg B gdw. A ≤_{T} B (Verifiziere, daß ≤ wohldefiniert ist!)

Bemerkung : ≤ ist eine partielle Ordnung auf P(IN)_{/≡_{T}}.

Beweis : ≤ ist reflexiv und transitiv, da ≤_{T} diese Eigenschaften hat. ≤ ist antisymmetrisch, denn für a = deg A und b = deg B mit a ≤ b und b ≤ a folgt A ≤_{T} B und B ≤_{T} A, also A ≡_{T} B und damit a = b.

In diesem Kapitel wollen wir die Menge der Turinggrade zusammen mit dieser Ordnung näher studieren. Dazu ist der folgende Begriff nützlich:

Definition : Ein oberer Halbverband ( M,≤ ) ist eine Menge M mit einer partiellen Ordnung ≤ auf M, so daß gilt: für alle a,b ∈ M existiert sup(a, b) ∈ M (d.h. für alle m ∈ M gilt: m ≥ a und m ≥ b ⇔ m ≥ sup(a, b)).

Satz 1 : (P(IN)_{/≡_{T}} , ≤) ist ein oberer Halbverband a) mit Minimum 0,

b) ohne maximale Elemente,

c) der Mächtigkeit 2^{ℵ_{0}}, und

d) jedes a ∈ P(IN)_{/≡_{T}} hat höchstens ℵ_{0} viele Vorgänger.

Beweis : ≤ ist eine partielle Ordnung nach der letzten Bemerkung. Zu a = deg A und b = deg B ist deg(2A ∪ (2B + 1)) = sup(a, b), denn x ∈ A ↔ 2x ∈ 2A ∪ (2B + 1) und x ∈ B ↔ 2x + 1 ∈ 2A ∪ (2B + 1), also A ≤_{T} 2A ∪ (2B + 1) und B ≤_{T} 2A ∪ (2B + 1).

a) Wegen ∅ ≤_{T} A für alle A ⊆ IN, da ∅ rekursiv ist.

b) Folgt direkt aus Lemma 2 unten.

d) und c) Es existieren abzählbar unendlich viele in A rekursive Funktionen. Daher hat jedes A ⊆ IN abzählbar unendlich viele ≤_{T} -Vorgänger, d.h. jedes a ∈ P(IN)_{/≡_{T}} hat höchstens ℵ_{0} viele ≤-Vorgänger. Wegen | P(IN) |= 2^{ℵ_{0}} folgt dann auch c).

Bevor wir das im vorstehenden Beweis benutzte Lemma 2 angeben, vereinbaren wir noch eine abkürzende Schreibweise für den Turinggrad des Jumps A′ einer Teilmenge A von IN:

Definition : Zu a = deg A ist a′ := deg A′ (a′ ist wohldefiniert, denn: B ≡_{T} A ⇒ B′ ∈ Σ_{1}^{0}[A] und A′ ∈ Σ_{1}^{0}[B] ⇒ B′ ≤_{1} A′ und A′ ≤_{1} B′, also auch B′ ≤_{T} A′ und A′ ≤_{T} B′, d.h. B′≡_{T} A′.)

Lemma 2 : Für alle a ∈ P(IN)_{/≡_{T}} gilt: a < a′

Beweis : Es sei a = deg A. Es sei e ∈ IN mit A = W_{e}[A]. Wegen x ∈ A ↔ ⟨x, e⟩ ∈ A′ ist dann A ≤_{T} A′ erfüllt, also a ≤ a′. Es sei S ∈ Σ_{1}^{0}[A] ^{\} Π_{1}^{0}[A]. Dann gelten: S ≤_{1} A′ wegen S ∈ Σ_{1}^{0}[A] und S ≰_{T} A wegen S ∉ Π_{1}^{0}[A]. Daraus folgt A′ ≰_{T} A (Transitivität), also a′ ≰ a.

Wir haben gesehen, daß ≤ eine partielle Ordnung auf der Menge der Turinggrade ist. Aufgrund des folgenden Theorems von S.C. Kleene und E.L. Post wissen wir, daß ≤ keine lineare Ordnung ist:

Theorem 3 (Kleene-Post) :

Es gibt a, b ∈ P(IN)_{/≡_{T}} mit a ≰ b und b ≰ a.

Es wird sogar gezeigt: Es gibt A, B ⊆ IN mit A ∉ Σ_{1}^{0}[B] und B ∉ Σ_{1}^{0}[A].

Folgerung 4 : ≤ ist keine lineare Ordnung auf P(IN)_{/≡_{T}}.

Die Aussage des Theorems ist klar, falls ℵ_{1} < 2^{ℵ_{0}} gilt, also CH (Kontinuumshypothese) nicht erfüllt ist, denn: Es existiert keine lineare Ordnung (X,≤) mit | X |> ℵ_{1}, so daß jedes Element von X weniger als ℵ_{1} viele Vorgänger hat. (Das gilt übrigens auch für jede andere Kardinalzahl κ anstelle von ℵ_{1}.)

Beweis : Wir verwenden die folgende Normalform (vgl. §8, Lemma 9): Zu C ⊆ IN definieren wir: x ∈ \overline{W}_{e}[C] :↔ ∃ y, z ( W_{e}^{3}(x, y, z) ∧ D_{y} ⊆ C ∧ D_{z} ⊆ ¬C ) Ziel: Konstruiere A, B ⊆ IN mit A ≠ \overline{W}_{e}[B] und B ≠ \overline{W}_{e}[A] für alle e ∈ IN. Damit sind dann A ∉ Σ_{1}^{0}[B] und B ∉ Σ_{1}^{0}[A] gezeigt.

Definiere zur Vereinfachung der Schreibweise: Für s, t, s′, t′ ⊆ IN: (s, t) ≤ (s′, t′) gdw. s ⊆ s′ und t ⊆ t′. Alle Paare (s, t) sind im folgenden als disjunkt (s ∩ t = ∅) vorausgesetzt.

Konstruiere nun zwei aufsteigende Ketten von Paaren endlicher Teilmengen von IN (s_{0}^{a}, t_{0}^{a}) ≤ (s_{1}^{a}, t_{1}^{a}) ≤ (s_{2}^{a}, t_{2}^{a}) ≤ ⋯ und (s_{0}^{b}, t_{0}^{b}) ≤ (s_{1}^{b}, t_{1}^{b}) ≤ (s_{2}^{b}, t_{2}^{b}) ≤ ⋯ mit der Eigenschaft:

Für alle 0 < i < ω, für alle C, D ⊆ IN gilt:

(⋆)

(s_{i}^{a}, t_{i}^{a}) ≤ (C, ¬C)
(s_{i}^{b}, t_{i}^{b}) ≤ (D, ¬D)

⟹ \{ \begin{matrix}C ≠ \overline{W}_{e}[D], & falls i = 2e + 2 \\ D ≠ \overline{W}_{e}[C], & falls i = 2e + 1 \end{matrix}

56 Rekursionstheorie Setze dann A := ⋃_{i<ω} s_{i}^{a} und B := ⋃_{i<ω} s_{i}^{b}. Damit erfüllen A und B (s_{i}^{a},t_{i}^{a}) ≤ (A,¬A) und (s_{i}^{b},t_{i}^{b}) ≤ (B,¬B) für alle i < ω, und wegen (⋆) folgt sofort A ≠ \overline{W}_{e}[B] und B ≠ \overline{W}_{e}[A] für alle e ∈ IN.

Nun zur Konstruktion der beiden Ketten: i = 0 : Setze (s_{0}^{a}, t_{0}^{a}) := (s_{0}^{b}, t_{0}^{b}) := (∅, ∅). Zu (⋆) : Für i = 0 ist nichts zu zeigen. i > 0 : Es seien für alle j < i (s_{j}^{a},t_{j}^{a}) und (s_{j}^{b},t_{j}^{b}) schon konstruiert.

1. Fall: i = 2e + 2

Es sei x ∈ IN ^{\} (s_{i−1}^{a} ∪ t_{i−1}^{a}) minimal (x existiert, da s_{i−1}^{a} ∪ t_{i−1}^{a} endlich ist.)

Fall 1.1: x ∉ \overline{W}_{e}[E] für alle E ⊆ IN mit (s_{i−1}^{b}, t_{i−1}^{b}) ≤ (E, ¬E)

Setze dann s_{i}^{a} := s_{i−1}^{a}∪{x}, t_{i}^{a} := t_{i−1}^{a}, s_{i}^{b} := s_{i−1}^{b} und t_{i}^{b} :=

t_{i−1}^{b}. Zu (⋆) : Es seien C, D ⊆ IN wie in (⋆). Dann folgen: x ∈ C wegen (s_{i}^{a}, t_{i}^{a}) ≤ (C, ¬C) und x ∈ s_{i}^{a} und x ∉ \overline{W}_{e}[D] wegen (s_{i−1}^{b}, t_{i−1}^{b}) ≤ (D, ¬D). Damit ist C ≠ \overline{W}_{e}[D] gezeigt.

Fall 1.2: Es gibt y, z ∈ IN, und es gibt E ⊆ IN, so daß W_{e}^{3}(x, y, z) und

(s_{i−1}^{b}, t_{i−1}^{b}) ≤ (E, ¬E)
(D_{y}, D_{z}) ≤ (E, ¬E).

Wähle y_{0}, z_{0} als diejenigen y, z mit dieser Eigenschaft, so daß ⟨ y_{0}, z_{0} ⟩ minimal ist. Dann: Für alle E ⊆ IN mit (D_{y_{0}}, D_{z_{0}}) ≤ (E, ¬E) folgt x ∈ \overline{W}_{e}[E]. Setze dann s_{i}^{a} := s_{i−1}^{a}, t_{i}^{a} := t_{i−1}^{a}∪{x}, s_{i}^{b} := s_{i−1}^{b}∪D_{y_{0}} und t_{i}^{b} := t_{i−1}^{b} ∪ D_{z_{0}}. Zu (⋆) : Es seien C, D ⊆ IN wie in (⋆). Dann folgen: x ∉ C wegen (s_{i}^{a}, t_{i}^{a}) ≤ (C, ¬C) und x ∈ t_{i}^{a} und x ∈ \overline{W}_{e}[D] wegen (D_{y_{0}}, D_{z_{0}}) ≤ (D, ¬D). Damit ist C ≠ \overline{W}_{e}[D] gezeigt.

2. Fall: i = 2e + 1 Analog mit a und b vertauscht.

Beachte: Nach Konstruktion gelten auch ¬A = ⋃_{i<ω} t_{i}^{a} und ¬B = ⋃_{i<ω} t_{i}^{b}, denn für alle x ∈ IN gibt es i < ω mit x ∈ s_{i}^{a} (Fall 1.1) oder x ∈ t_{i}^{a} (Fall 1.2) und entsprechend für s_{i}^{b} und t_{i}^{b}. Dies wird für Theorem 5 von Bedeutung sein. Bemerkung : Weitere Eigenschaften von (P(IN)_{/≡_{T}} , ≤) sind (ohne Beweis):

a) Es existieren 2^{ℵ_{0}}-viele Turinggrade (a_{i})_{i<2^{ℵ_{0}}} mit a_{i} ≰ sup{a_{i_{1}}, …, a_{i_{n}}} für i ∉ {i_{1}, …, i_{n}}. b) Für alle a_{0} < a_{1} < … < a_{i} < … (i < ω) aus P(IN)_{/≡_{T}} existieren b, c ∈ P(IN)_{/≡_{T}} mit

a_{i} ≤ b und a_{i} ≤ c für alle i < ω und b und c ohne Infimum.

c) Es existieren minimale Turinggrade a, d.h. für alle x ∈ P(IN)_{/≡_{T}} gilt: x < a ⟺ x = 0.

d) Für alle a ∈ P(IN)_{/≡_{T}} gilt: 0′ ≤ a ⟺ es existiert ein b ∈ P(IN)_{/≡_{T}} mit b′ = a

Bei genauerer Betrachtung des Beweises zum Theorem von Kleene-Post stellen wir fest, daß wir die Mengen A und B “in gewisser Weise effektiv” konstruiert haben, d.h. a und b lassen sich bzgl. der partiellen Ordnung ≤ genauer “lokalisieren”. Wir erhalten die folgende Verschärfung von Theorem 3:

Theorem 5 (Zusatz zu Theorem 3) :

In Theorem 3 lassen sich a, b ≤ 0′ bzw. A,B rekursiv in ∅′ wählen.

Beweis : Zur Codierung endlicher Teilmengen von IN verwenden wir wieder die Relation D_{z}(x), die rekursiv in x und z ist (vgl. §3, Übung 1). Wir konstruieren A und B wie im Beweis zu Theorem 3. Damit haben wir die folgende Situation: A = ⋃_{i<ω} s_{i}^{a}, ¬A = ⋃_{i<ω} t_{i}^{a}, B = ⋃_{i<ω} s_{i}^{b} und ¬B = ⋃_{i<ω} t_{i}^{b}. Ziel: Definiere Funktionen α_{s}(i), α_{t}(i), β_{s}(i) und β_{t}(i) rekursiv in ∅′, die die Indizes z der endlichen Mengen D_{z} berechnen, um die sich die Mengen s_{i}^{a}, s_{i}^{b}, t_{i}^{a} und t_{i}^{b} in Schritt i geändert haben, d.h. s_{i}^{a} ^{\} s_{i−1}^{a} = D_{α_{s}(i)}, t_{i}^{a} ^{\} t_{i−1}^{a} = D_{α_{t}(i)}, s_{i}^{b} ^{\} s_{i−1}^{b} = D_{β_{s}(i)} und t_{i}^{b} ^{\} t_{i−1}^{b} = D_{β_{t}(i)}.

Dann folgen

A(x) ↔ ∃ i D_{α_{s}(i)}(x)
¬A(x) ↔ ∃ i D_{α_{t}(i)}(x)

und

B(x) ↔ ∃ i D_{β_{s}(i)}(x)
¬B(x) ↔ ∃ i D_{β_{t}(i)}(x)

, d.h.

A, ¬A ∈ Σ_{1}^{0}[∅′] und

B, ¬B ∈ Σ_{1}^{0}[∅′], also A und B rekursiv in ∅′. (Beachte: D_{z}(x) ist rekursiv.)

Wir untersuchen nun die im Beweis zu Theorem 3 durchgeführten Schritte auf Rekursivität in ∅′:

Zur 1. Fallunterscheidung: Die Relationen ∃ e < i ( i = 2e + 2 ) und ∃ e < i ( i = 2e + 1 ) sind rekursiv in i.

Zur Berechnung von x ∈ IN ^{\} (s_{i−1}^{a} ∪ t_{i−1}^{a}) minimal definieren wir die rekursive Funktion

η(s, t) := μx ( x ∉ D_{s} ∧ x ∉ D_{t})

(Hier, wie im folgenden, schreiben wir μx R(z⃗, x) statt μx ( K_{R}(z⃗, x) = 0 ) für eine Relation R(z⃗, x) und ihre charakteristische Funktion K_{R}(z⃗, x).)

Zur 2. Fallunterscheidung:

Beachte die Äquivalenz: ∃ E ⊆ IN mit

(D_{s}, D_{t}) ≤ (E, ¬E)
(D_{y}, D_{z}) ≤ (E, ¬E)

⟺ D_{s} ∩ D_{z} = ∅ und D_{t} ∩ D_{y} = ∅

D_{s} ∩ D_{z} = ∅ und D_{t} ∩ D_{y} = ∅ läßt sich rekursiv ausdrücken:

R_{≤}(s, t, y, z) :⟷ ∀u < z (u ∉ D_{s} ∨ u ∉ D_{z}) ∧ ∀w < y (w ∉ D_{t} ∨ w ∉ D_{y})

Mit Hilfe von R_{≤}(s, t, y, z) können wir “die Situation in Fall 1.2 ” r.a. beschreiben:

R(e, x, s, t) :⟷ \underbrace{∃ y, z ( \underbrace{W_{e}^{3}(x, y, z)}_{Σ_{1}^{0}} ∧ \underbrace{R_{≤}(s, t, y, z)}_{Δ_{1}^{0}} )}_{Σ_{1}^{0}}

Schließlich definieren wir zur Berechnung von y_{0} und z_{0} in Fall 1.2 die Funktion

ϱ(e, x, s, t) := μv (\underbrace{(\underbrace{\underbrace{W_{e}^{3}(x, (v)_{0}, (v)_{1})}_{Σ_{1}^{0}} ∧ \underbrace{R_{≤}(s, t, (v)_{0}, (v)_{1})}_{Δ_{1}^{0}} ∧ \underbrace{R(e, x, s, t)}_{Σ_{1}^{0}}}_{Σ_{1}^{0}}) ∨ (\underbrace{\underbrace{v = 0}_{Δ_{1}^{0}} ∧ \underbrace{¬R(e, x, s, t)}_{Π_{1}^{0}}}_{Π_{1}^{0}})}_{Δ_{2}^{0}})

ϱ(e, x, s, t) ist rekursiv in ∅′, da die in der Definition auftretende Relation aus Δ_{2}^{0} = Δ_{1}^{0}[∅′] ist.

Hiermit steht alles zur Verfügung, um durch Fallunterscheidung Funktionen σ^{a}, σ^{b}, τ^{a} und τ^{b} rekursiv in ∅′ zu definieren, die dazu dienen werden, die Funktionen α_{s}, α_{t}, β_{s} und β_{t} (im wesentlichen durch Induktion (R2)) rekursiv in ∅′ zu definieren. Wir führen dies nur für die Funktion σ^{a} aus; σ^{b}, τ^{a} und τ^{b} lassen sich entsprechend definieren.

Es soll gelten: s_{i}^{a} ^{\} s_{i−1}^{a} = D_{α_{s}(i)}, d.h. α_{s}(i) = \{ \begin{matrix}2^{x} , & Fall 1.1 (\{x\} = D_{2^{x}}) \\ y_{0} , & Fall 2.2 \\ 0 , & sonst (∅ = D_{0}) \end{matrix}

Deshalb definieren wir die Funktion:

σ^{a}(i, s^{a}, t^{a}, s^{b}, t^{b}) := \{ \begin{matrix}2^{η(s^{a},t^{a})} , & ∃ e < i ( i = 2e + 2 ∧ ¬R( e , η(s^{a}, t^{a}) , s^{b} , t^{b} ) ) \\ ( ϱ(\frac{i−1}{2}, s^{a}, t^{a}) )_{0} , & ∃ e < i ( i = 2e + 1 ∧ R( e , η(s^{b}, t^{b}) , s^{a} , t^{a} ) ) \\ 0 , & sonst \end{matrix}

Da alle in der Fallunterscheidung auftretenden Funktionen und Relationen aus Δ_{2}^{0} = Δ_{1}^{0}[∅′] sind, ist σ^{a}(i, s^{a}, t^{a}, s^{b}, t^{b}) rekursiv in ∅′. α_{s}(i) läßt sich nun nicht direkt aus σ^{a}(i, s^{a}, t^{a}, s^{b}, t^{b}) durch Induktion (R2) definieren, da neben i und s^{a} auch s^{b}, t^{a} und t^{b} Argumente von σ^{a} sind. Codiere daher diese vier letzten Variablen über ihre Gödelnummer zu einer Variablen. Definiere dazu die in ∅′ rekursive Funktion

\overline{σ}^{a}(i, z) := σ^{a}(i, (z)_{0}, (z)_{1}, (z)_{2}, (z)_{3}) .

Entsprechend verfährt man mit σ^{b}, τ^{a} und τ^{b} und erhält \overline{σ}^{b}(i, z), \overline{τ}^{a}(i, z) und \overline{τ}^{b}(i, z) rekursiv in ∅′. Jetzt kann die “Gödelnummer-Funktion” von α_{s}(i), α_{t}(i), β_{s}(i) und β_{t}(i) durch Induktion (R2) rekursiv in ∅′ definiert werden:

f(0) := ⟨ 0 , 0 , 0 , 0 ⟩
f(i) := ⟨ \overline{σ}^{a}( i , f(i − 1) ) , \overline{σ}^{b}( i , f(i − 1) ) , \overline{τ}^{a}( i , f( i − 1) ) , \overline{τ}^{b}( i , f(i − 1) ) ⟩

Unsere gewünschten Funktionen erhalten wir dann als Komponentenfunktionen von f(i) rekursiv in ∅′:

α_{s}(i) := (f(i))_{0}, α_{t}(i) := (f(i))_{1}, β_{s}(i) := (f(i))_{2} und β_{t}(i) := (f(i))_{3} .

Da 0 der kleinste Turinggrad ist, haben wir:

Folgerung 6 : ≤ ist keine lineare Ordnung auf {a ∈ P(IN)_{/≡_{T}} | 0 ≤ a ≤ 0′}.

Dies liefert die Existenz von Turinggraden zwischen 0 und 0′:

Folgerung 7 : Es gibt a ∈ P(IN)_{/≡_{T}} mit 0 < a < 0′.

Beweis : {0, 0′} ist linear geordnet durch ≤ .

Im folgenden wollen wir diesen Abschnitt zwischen 0 und 0′ genauer studieren. Wir haben die folgende Situation vorliegen:

Lemma 8 : Es sei A ⊆ IN.

a) A rekursiv ⟺ deg A = 0

b) A r.a. ⟹ deg A ≤ 0′

c) A vollständig ⟹ deg A = 0′

Beweis : Es sind nur noch b) und c) zu zeigen. Beachte im folgenden, daß ∅′ vollständig ist!

b) A r.a. impliziert A ≤_{1} ∅′, also auch A ≤_{T} ∅′ und damit deg A ≤ 0′.

c) A vollständig impliziert A ≡_{1} ∅′, also auch A ≡_{T} ∅′ und damit deg A = 0′.

Bemerkung : Die Umkehrungen von b) und c) sind falsch.

Beweis : ∅′ ∈ Σ_{1}^{0} ^{\} Π_{1}^{0}, da ∅′ vollständig ist. Aber deg ¬ ∅′ = 0′ und ¬ ∅′ ∉ Σ_{1}^{0}.

Die Turinggrade r.a. Teilmengen von IN liegen also alle zwischen 0 und 0′. E.L. Post stellte die Frage, ob 0 und 0′ die einzigen Turinggrade rekursiv aufzählbarer Teilmengen von IN seien (Posts Problem 1944). Zur Beantwortung dieser Frage beschränken wir uns im folgenden auf die Betrachtung der Turinggrade rekursiv aufzählbarer Teilmengen von IN:

Definition :

a ∈ P(IN)_{/≡_{T}} heißt r.a.Turinggrad gdw. es ein A ∈ a mit A r.a. gibt P(IN)_{r.a./≡_{T}} bezeichnet die Menge der r.a. Turinggrade.

Bemerkung : Für alle a ∈ P(IN)_{r.a./≡_{T}} mit a > 0 gibt es ein B ∈ a mit B nicht r.a.

Beweis : Es seien a r.a. Turinggrad mit a > 0 und A ∈ a mit A r.a. Für B := ¬A folgen dann B ∈ a und B nicht r.a. (A ist nicht rekursiv wegen a > 0.)

Das Theorem von Kleene-Post zeigt, daß ≤ eingeschränkt auf die Turinggrade zwischen 0 und 0′ keine lineare Ordnung ist. Es liefert jedoch lediglich die Existenz von a = deg A mit 0 < a < 0′ und A nicht r.a. (wegen A ∉ Σ_{1}^{0}[B]), aber macht keine Aussage darüber, ob a r.a. ist oder nicht. R.M. Friedberg und A. Mučnik zeigten nun als Verschärfung des Theorems von Kleene-Post, daß auch die r.a. Turinggrade durch ≤ nicht linear geordnet sind:

Theorem 9 (Friedberg-Mučnik 1956) :

Es gibt a, b ∈ P(IN)_{r.a./≡_{T}} mit a ≰ b und b ≰ a.

Folgerung 10 : ≤ ist keine lineare Ordnung auf P(IN)_{r.a./≡_{T}}.

Damit muß Posts Frage negativ beantwortet werden (Beweis analog zu Folgerung 7):

Folgerung 11 : Es gibt a ∈ P(IN)_{r.a./≡_{T}} mit 0 < a < 0′.

Beweis (zu Theorem 9) : Der Beweis wird mit der sogenannten Prioritätsmethode geführt.

Wir verwenden die gleiche Normalform wie im Beweis zum Theorem von Kleene-Post: Dort hatten wir für C ⊆ IN definiert: x ∈ \overline{W}_{e}[C] :↔ ∃ y, z ( W_{e}^{3}(x, y, z) ∧ D_{y} ⊆ C ∧ D_{z} ⊆ ¬C)

Ziel: Konstruiere A, B ⊆ IN r.a. mit ¬A ≠ \overline{W}_{e}[B] und ¬B ≠ \overline{W}_{e}[A] für alle e ∈ IN.

Damit sind dann ¬A ∉ Σ_{1}^{0}[B] und ¬B ∉ Σ_{1}^{0}[A] gezeigt.

Anmerkungen : Das Theorem von Kleene-Post liefert A, B ⊆ IN mit ¬A ∉ Σ_{1}^{0}[B] und ¬B ∉ Σ_{1}^{0}[A] (⟺ ¬A ∉ Σ_{1}^{0}[¬B] und ¬B ∉ Σ_{1}^{0}[¬A], denn Σ_{1}^{0}[¬A] = Σ_{1}^{0}[A] wegen ¬A ≡_{T} A), aber A und B lediglich rekursiv in ∅′. Die Prioritätsmethode ist nun eine Weiterentwicklung der Beweismethode des Theorems von Kleene-Post. Um A und B r.a. zu ereichen, ersetzen wir die dort vorkommende r.a. Relation W_{e}^{3}(x, y, z) durch die rekursive Relation ∃ g ≤ i T_{e}^{3}(x, y, z, g). Beachte: W_{e}^{3}(x, y, z) ↔ ∃ g T_{e}^{3}(x, y, z, g) ↔ ∃ i ∃ g ≤ i T_{e}^{3}(x, y, z, g). Da in der Situation ¬ ∃ g ≤ i T_{e}^{3}(x, y, z, g) aber noch nicht entschieden ist, ob W_{e}^{3}(x, y, z) oder ¬ W_{e}^{3}(x, y, z) gilt (für j > i ist ∃ g ≤ j T_{e}^{3}(x, y, z, g) möglich), betrachten wir während der Konstruktion von A und B für jedes e ∈ IN die Relation ∃ g ≤ i T_{e}^{3}(x, y, z, g) für unendlich viele i < ω und damit für beliebig große i < ω. Deshalb ersetzen wir im 1. Fall i = 2e + 2 durch i = 2n + 2 und wählen als Index e := (n)_{0}; im 2. Fall verfahren wir entsprechend.

Wir definieren zu C ⊆ IN: für alle i < ω x ∈ \overline{W} _{e}^{i}[C] :↔ ∃ y, z ≤ i ( ∃ g ≤ i T_{e}^{3}(x, y, z, g) ∧ D_{y} ⊆ C ∧ D_{z} ⊆ ¬C).

Dann haben wir für alle C ⊆ IN: x ∈ \overline{W}_{e}[C] ↔ x ∈ ∃ i \overline{W} _{e}^{i}[C], und \overline{W} _{e}^{i}[C](x) ist eine in C rekursive Relation in e und x.

Konstruiere nun zwei aufsteigende Ketten von endlichen Teilmengen von IN a_{0} ⊆ a_{1} ⊆ a_{2} ⊆ ⋯ und b_{0} ⊆ b_{1} ⊆ b_{2} ⊆ ⋯ mit den Eigenschaften:

Für alle e ∈ IN existiert ein x ∈ IN mit:

i) Es existiert ein s < ω, so daß: (⋆) x ∈ a_{s} und es gibt ein z_{0} ≤ s mit ∃y ≤ s ( ∃ g ≤ s T_{e}^{3}(x, y, z_{0}, g) ∧ D_{y} ⊆ b_{s}) und

D_{z_{0}} ⊆ ¬b_{k} für alle k ≥ s

oder ii) x ∉ a_{k} und x ∉ \overline{W} _{e}^{k}[b_{k}] für unendlich viele k < ω,

(⋆⋆) der entsprechenden Eigenschaft mit a und b vertauscht und

(⋆ ⋆ ⋆) es existieren rekursive Funktionen α(i) und β(i) mit a_{i} ^{\} a_{i−1} = D_{α(i)} und b_{i} ^{\} b_{i−1} = D_{β(i)}

für alle i < ω.

Setze dann A := ⋃_{i<ω} a_{i} und B := ⋃_{i<ω} b_{i}.

Damit existiert für alle e ∈ IN ein x ∈ IN mit:

x ∈ A und x ∈ \overline{W}_{e}[B], falls i) in (⋆). Denn dann folgt D_{z_{0}} ⊆ ⋂_{j<ω} ¬b_{j}, also D_{z_{0}} ⊆ ¬B. Oder x ∉ A und x ∉ \overline{W}_{e}[B], falls ii) in (⋆). Denn die Annahme x ∈ \overline{W}_{e}[B] impliziert:

Es gibt ein i < ω mit x ∈ \overline{W} _{e}^{i}[B], also existieren y, z ≤ i mit ∃ g ≤ i T_{e}^{3}(x, y, z, g), D_{y} ⊆ B und

D_{z} ⊆ ¬B. Es sei l < ω mit D_{y} ⊆ b_{l} (D_{y} ist endlich!). Setze m := max {i, l}. Dann folgt wegen

D_{z} ⊆ ⋂_{j<ω} ¬b_{j} für alle k ≥ m x ∈ \overline{W} _{e}^{k}[b_{k}]. Das ist aber ein Widerspruch zu ii) in (⋆). In beiden Fällen erhalten wir ¬A ≠ \overline{W}_{e}[B].

Mit der Eigenschaft (⋆⋆) folgt analog ¬B ≠ \overline{W}_{e}[A].

Aufgrund von Eigenschaft (⋆ ⋆ ⋆) folgen A(x) ↔ ∃ i D_{α(i)}(x) und B(x) ↔ ∃ i D_{β(i)}(x). Wegen α(i) und β(i) rekursiv ist damit A und B r.a. gezeigt.

Anmerkungen : Zur Idee der Konstruktion:

1. Fall: i = 2n + 2: Setze e := (n)_{0} (“Schritt i hat Index e”.)

Es sei x ∈ IN ^{\} a_{i−1} minimal. (x existiert, da a_{i−1} endlich ist.) Fall 1.1: Es gibt z ≤ i mit ∃ y ≤ i ( ∃ g ≤ i T_{e}^{3}(x, y, z, g) ∧ D_{y} ⊆ b_{i−1} ∧ D_{z} ⊆ ¬b_{i−1}). Wähle z_{0} als das kleinste z mit dieser Eigenschaft. Setze dann a_{i} := a_{i−1} ∪ {x} und b_{i} := b_{i−1}. Problem 1: Konstruiere die b_{k} für k > i so, daß D_{z_{0}} ⊆ ¬b_{k} erfüllt ist. Dann wäre i) in (⋆) für s := i erreicht. Fall 1.2: x ∉ \overline{W} _{e}^{i}[b_{i−1}]: Setze dann a_{i} := a_{i−1} und b_{i} := b_{i−1}. Problem 2: Konstruiere die a_{k} für k > i so, daß x ∉ a_{k} gilt. Problem 3: Fall 1.2 muß in unendlich vielen Schritten k > i mit Index e eintreten. Dann wäre ii) in (⋆) erreicht.

2. Fall: i = 2n + 1: setze f := (n)_{0}. Analog mit a und b vertauscht und f statt e.

Zur Lösung der Probleme:

Zu Problemen 1 und 3: Tritt im 1. Fall (i = 2n + 2 und e := (n)_{0}) Fall 1.1 ein, so stelle für das dort auftretende D_{z_{0}} die Forderung auf, die b_{k} für k > i so zu konstruieren, daß D_{z_{0}} ⊆ ¬b_{k} erfüllt wird. Man nennt D_{z_{0}} ein a-e requirement. Das Problem besteht nun darin, in jedem Schritt j > i b_{j} so zu konstruieren, daß für alle a-g requirements D_{z} (g ∈ IN) die Forderung D_{z} ⊆ ¬b_{j} berücksichtigt wird. D.h. x müßte im 2. Fall (sonst b_{j} = b_{j−1}) so gewählt werden, daß x ∉ D_{z} für alle a-g requirements D_{z} erfüllt ist. Dies ist jedoch aus folgendem Grund problematisch: Die Bildung eines neuen a-g requirements in einem Schritt j (Fall 1.1) könnte bewirken, daß im 2. Fall in Schritt j + 1 ein anderes x betrachtet werden müßte als in Schritt j − 1. Um ii) in (⋆) zu erreichen, ist aber x ∉ \overline{W} _{e}^{k}[b_{k}] für unendlich viele k < ω und immer das gleiche x zu zeigen. Dies wäre dann unmöglich, falls während der Konstruktion das x beliebig oft “gewechselt” werden müßte. Diese Situation könnte aber auftreten.

In der unten durchgeführten Konstruktion wird nun durch den folgenden Trick (Prioritätsmethode) verhindert, daß das x beliebig oft “gewechselt” werden muß.

Trick: In einem Schritt j werden i.a. nicht für alle b-f bzw. a-e requirements die Forderungen berücksichtigt, sondern im 1. Fall mit Index e nur für b-g requirements D_{z} mit g < e (, d.h. D_{z} ⊆ ¬a_{j}), dagegen werden die Forderungen im 2. Fall mit Index f nur für a-g requirements D_{z} mit g ≤ f (, d.h. D_{z} ⊆ ¬b_{j}) berücksichtigt. (Beachte den Unterschied: g < e im 1. Fall und g ≤ f im 2. Fall! Dies ist für die Behauptung unten wichtig.) Man sagt: b-g hat höhere Priorität als a-e bzw. a-g hat höhere Priorität als b-f.

Es kann nun allerdings vorkommen, daß in einem Schritt i mit Index e die Forderung für ein b-g requirement D_{z} mit g ≥ e verletzt wird (Fall 1.1). Man sagt: D_{z} wird in Schritt i inaktiv. Entsprechend kann in einem Schritt j mit Index f ein a-g requirement für g > f inaktiv werden (Fall 2.1). Ist dies geschehen, so wird im “nächsten” Schritt k > j mit Index e, in dem Fall 1.1 eintritt, ein neues a-e requirement gebildet (wegen Problem 1). Es wird aber nur dann ein neues a-e requirement gebildet, so daß in jedem Schritt höchstens ein aktives a-e requirement vorhanden ist.

Konsequenzen : Mit diesem Trick wird erreicht, daß während der gesamten Konstruktion für jedes e und f ∈ IN nur endlich viele a-e und b-f requirements gebildet werden (siehe Behauptung unten).

Das hat zur Folge, daß für alle e ∈ IN eine Schranke s < ω existiert, so daß in keinem Schritt k ≥ s ein neues a-e requirement gebildet wird. Entsprechendes gilt für b-f requirements.

Zu Problem 2: Wähle eine disjunkte Zerlegung von IN in unendliche, rekursive Teilmengen N_{e} für e ∈ IN, z.B. N_{e} := {z ∈ IN | (z)_{0} = e}. Betrachte dann in einem Schritt i mit Index e z.B. im 1. Fall nur solche x mit x ∈ N_{e} statt allgemein x ∈ IN. Dann folgt a_{i} = a_{i−1} ∪ (N_{e} ∩ a_{i}). Für x ∈ N_{e} ist x ∈ a_{j} ^{\} a_{j−1} also nur in einem Schritt j mit Index e möglich.

Bevor wir die Konstruktion durchführen, stellen wir die im folgenden benötigten Definitionen zusammen:

Schritt i hat Index e gdw. i = 2n + 2 und (n)_{0} = e oder i = 2n + 1 und (n)_{0} = e.

a-e requirements sind endliche Teilmengen D_{z} von IN, für die in einem Schritt i mit Index e die Forderung aufgestellt wird, die b_{k} für k > i so zu konstruieren, daß D_{z} ⊆ ¬b_{k} erfüllt ist.

Ein a-e requirement D_{z} heißt aktiv in Schritt i gdw. D_{z} ⊆ ¬b_{i−1}; sonst heißt es inaktiv in Schritt i.

Ein a-e requirement heißt permanent gdw. es in keinem Schritt inaktiv wird.

Entsprechendes wird für a und b vertauscht und f statt e definiert.

Für e ∈ IN definieren wir: N_{e} := {z ∈ IN | (z)_{0} = e}. Damit ist ⋃_{e∈IN} N_{e} eine disjunkte Zerlegung von IN.

Nun zur Konstruktion der beiden Ketten:

i = 0 : Setze a_{0} := b_{0} := ∅. i > 0 : Es seien für alle j < i a_{j} und b_{j} schon konstruiert.

1. Fall: i = 2n + 2 Setze e := (n)_{0}.

Es sei x ∈ N_{e} ^{\} a_{i−1} minimal mit: x ∉ D_{z} für alle b-g requirements D_{z} mit g < e. (x existiert, da N_{e} unendlich, a_{i−1} aber endlich ist und nur endlich viele (höchstens \frac{i}{2}) b-f requirements existieren.)

Fall 1.1:  Es gibt kein (in Schritt i) aktives a-e requirement,  und

es gibt z ≤ i mit ∃ y ≤ i ( ∃ g ≤ i T_{e}^{3}(x, y, z, g) ∧ D_{y} ⊂

b_{i−1} ∧ D_{z} ⊆ ¬b_{i−1}).

Wähle z_{0} als das kleinste z mit dieser Eigenschaft.

Setze dann a_{i} := a_{i−1} ∪ {x} und b_{i} := b_{i−1} und bilde das a-e requirement D_{z_{0}}.

Fall 1.2:  Es gibt ein (in Schritt i) aktives a-e requirement  oder
x ∉ \overline{W} _{e}^{i}[b_{i−1}]

Setze dann a_{i} := a_{i−1} und b_{i} := b_{i−1}.

2. Fall: i = 2n + 1 Setze f := (n)_{0}.

Es sei x ∈ N_{f} ^{\} b_{i−1} minimal mit: x ∉ D_{z} für alle a-g requirements D_{z} mit g ≤ f.

Weiter analog mit a und b vertauscht und f statt e.

Zum Nachweis von (⋆) und (⋆⋆) beweisen wir:

Behauptung : Für alle e, f ∈ IN gilt:

Es werden nur endlich viele a-e und b-f requirements gebildet. (⟺ Es werden nur endlich viele a-e und b-f requirements inaktiv.)

Beweis : Durch Induktion über e, f ∈ IN (in der Reihenfolge a-0, b-0, a-1, b-1, usw.): a-0 : ein a-0 requirement kann nie inaktiv werden (0 ≤ f im 2. Fall!), d.h. es kann höchstens ein a-0 requirement gebildet werden. b-f : Es sei die Behauptung schon für a-0, b-0, a-1, ....., b-(f − 1), a-e gezeigt. In einem Schritt i kann ein b-f requirement nur dann inaktiv werden, wenn a_{i} ≠ a_{i−1} gilt, also ein neues a-g requirement für g ≤ f gebildet wird (Fall 1.1 mit Index g). Da nach Induktionsvoraussetzung für alle g ≤ f aber nur endlich viele a-g requirements gebildet werden, können auch nur endlich viele b-f requirements inaktiv werden. Daraus folgt die Behauptung für b-f, denn ein b-f requirement kann nur in einem Schritt gebildet werden, in dem kein aktives b-f requirement vorhanden ist. a-(e + 1) : Analog mit a und b vertauscht, e + 1 statt f und < statt ≤.

Zu (⋆) : Es sei e ∈ IN.

Fall a): Es gibt ein permanentes a-e requirement D_{z}. Es sei D_{z} in Schritt s ≥ z gebildet worden (Fall 1.2). Für das dort betrachtete x gelten dann x ∈ a_{s}, ∃y ≤ s (T_{e}^{3}(x, y, z, g) ∧ D_{y} ⊆ b_{s}) und D_{z} ⊆ ¬b_{k} für alle k ≥ s. Damit ist i) in (⋆) gezeigt. Fall b): Es gibt kein permanentes a-e requirement. Sei s < w so groß, daß beim Schritt s kein aktives a-e requirement existiert und in keinem Schritt k ≥ s ein neues a-e requirement oder b-g requirement (für g < e) gebildet wird. Für alle k ≥ s mit Index e tritt also im 1. Fall der Fall 1.2 ein (sonst würde ein neues a-e requirement gebildet). Es ist also N_{e} ^{\} a_{k} = N_{e} ^{\} a_{s} für alle k ≥ s. Weil keine neuen b-g requirements (g < f) mehr gebildet werden, wird für alle k ≥ s mit Index e im 1. Fall das gleiche x = x_{0} betrachtet. Weil es kein aktives a-e requirement gibt und Fall 1.2 eintritt, ist also für alle diese k (k ≥ s mit Index e, 1. Fall; das sind unendlich viele): x_{0} ∉ \overline{W} _{e}^{k}(b_{k}). Damit ist ii) in (⋆) gezeigt.

Zu (⋆⋆) : Analog mit a und b vertauscht und f statt e.

Zu (⋆⋆⋆) : Der Beweis wird ähnlich zu demjenigen von Theorem 5 geführt (\underline{Übung 1}).

Für die r.a. Turinggrade haben wir das folgende Analogon zu Satz 1:

Satz 12 : (P(IN)_{r.a./≡_{T}} , ≤) ist ein oberer Halbverband a) mit Minimum 0,

b) mit Maximum 0′ und

c) der Mächtigkeit ℵ_{0}.

Beweis : Vergleiche mit dem Beweis zu Satz 1. Das dort angegebene sup(a, b) ist für a und b r.a. ebenfalls r.a., denn sind A, B ⊆ IN r.a., so auch 2A und 2B + 1 und damit auch 2A ∪ (2B + 1).

a) und b) sind schon gezeigt.

c) Es gibt nur ℵ_{0} viele r.a. Teilmengen von IN. Daß P(IN)_{r.a./≡_{T}} unendlich ist, folgt aus Theorem 15 unten.

Zum Abschluß dieses Kapitels geben wir noch einige Ergebnisse ohne Beweise an. Mit einer Erweiterung der Prioritätsmethode (auf englisch: infinite injury; Prioritätsmethode auf englisch: finite injury oder priority) kann das folgende Theorem bewiesen werden:

Theorem 13 (Splitting Theorem von Sacks) : Es seien A, D ⊆ IN r.a., nicht rekursiv. Dann existieren B, C ⊆ IN r.a. mit A = B ∪· C, D ≰_{T} B und D ≰_{T} C.

Folgerung 14 : Es seien a, d ⊆ P(IN)_{r.a./≡_{T}} mit a, d ≠ 0.

Dann existieren b, c ∈ P(IN)_{r.a./≡_{T}} mit a = b ∪ c, d ≰ b und d ≰ c.

Bemerkung : Wählt man in der Folgerung a = d, so erhält man b und c mit a = b ∪ c und b und c unvergleichbar, d.h. b ≰ c und c ≰ b.

Theorem 15 (Density Theorem von Sacks) : Die r.a. Turinggrade sind dicht geordnet, d.h. für alle a, b ∈ P(IN)_{r.a./≡_{T}} mit a < b existiert ein c ∈ P(IN)_{r.a./≡_{T}} mit a < c < b.

Definition : Es sei a ∈ P(IN)_{r.a./≡_{T}}. a heißt low gdw. a′ = 0′ und a heißt high gdw. a′ = 0′′.

Bemerkung :

a) 0′ ≤ a′ für alle a ∈ P(IN)_{/≡_{T}}.

b) a′ ≤ 0′′ für alle a ∈ P(IN)_{r.a./≡_{T}}.

c) 0 ist low, und 0′ ist high.

Beweis : Für alle a, b ∈ P(IN)_{/≡_{T}} mit a ≤ b folgt a′ ≤ b′, denn seien A, B ⊆ IN mit a = deg A und b = deg B; dann folgt wegen A′ ∈ Σ_{1}^{0}[A] und A ≤_{T} B A′ ∈ Σ_{1}^{0}[B], also A′ ≤_{T} B′ und damit a′ ≤ b′. Daraus erhalten wir a) und b) wegen 0 ≤ a für alle a ∈ P(IN)_{/≡_{T}} bzw. a ≤ 0′ für alle a ∈ P(IN)_{r.a./≡_{T}}. c) ist klar.

Satz 16 :

Es existiert a ∈ P(IN)_{r.a./≡_{T}} mit a ≠ 0 und a low.

Es existiert a ∈ P(IN)_{r.a./≡_{T}} mit a ≠ 0′ und a high.

Die high Turinggrade sind genau diejenigen, die eine Menge mit den folgenden Eigenschaften enthalten (siehe Satz 18):

Definition : A ⊆ IN r.a. heißt maximal gdw. IN ^{\} A unendlich ist und für alle r.a. B ⊆ IN gilt: A ⊆ B ⟹ B ^{\} A ist endlich oder IN ^{\} B ist endlich.

Bemerkung : A maximal ⟹ A simpel.

Beweis: Es sei A maximal. Nehmen wir an, A sei nicht simpel. Dann existiert eine unendliche r.a. Menge C mit C ∩ A = ∅. Nach § 5, Lemma 2 a) gibt es eine injektive rekursive Funktion f mit C = f[IN]. Betrachte D := {f(2n) | n ∈ IN} und setze B := A ∪ D. Dann ist B r.a. mit A ⊆ B, aber B ^{\} A und IN ^{\} B sind unendlich. Das ist ein Widerspruch zu der Voraussetzung, daß A maximal ist.

Theorem 17 (Friedberg) : Es gibt maximale Mengen.

Bemerkung : Für alle r.a. Turinggrade a gilt: a ≠ 0 ⟹ es existiert eine simple Menge D mit D ∈ a.

Beweis : Es seien a ≠ 0 r.a. Turinggrad und A r.a. mit a = deg A. Dann existiert eine injektive, rekursive Funktion f mit A = f[IN] (§ 5, Lemma 2 a)). Nach § 6, Übung 5 ist D = {x | ∃y > x f(y) < f(x)} simpel. Aufgrund des Beispiels aus § 8 folgt A ≡_{T} D (§ 8, Satz 1).

Satz 18 (Martin) : Für alle r.a. Turinggrade a gilt:

a high ⟺ es existiert eine maximale Menge M mit M ∈ a.

§ 10 Die analytische Hierarchie

In § 8 hatten wir uns mit relativer Berechenbarkeit beschäftigt. Zu vorgegebenem h : IN → IN haben wir den Begriff “rekursiv in h” definiert. In diesem Kapitel wollen wir die Theorie in dem Sinne erweitern, daß wir h nicht fest vorgeben, sondern als variabel ansehen.

Wir betrachten im folgenden partielle Abbildungen, deren Definitionsbereich auch Funktionen α : IN → IN enthält:

Definition : Es seien n, r < ω. Wir setzen R := ^{I}NIN (Elemente von R werden im folgenden mit α, β, γ, … bezeichnet.) F : IN^{n} × R^{r} ↪ IN heißt partielles Funktional.

Analog zum Begriff der partiell rekursiven Funktion definieren wir:

Definition : Ein partielles Funktional F : IN^{n}×R^{r} ↪ INheißt partiell rekursiv gdw. F sich aus den Grundfunktionen R0 durch die Operationen R1, R2 und R3 ergibt. Dabei sind R0, R1, R2 und R3 analog wie früher definiert: R0 :

N^{1,0}(x) := x + 1
I_{i}^{n,r}(x_{1}, …, x_{n}, α_{1}, …, α_{r}) := x_{i} (i ≤ n)
C_{0}^{0,0} := 0
Eins^{1,1}(x, α) := α(x)

R1 (Einsetzung) :

Wenn H (k,r-stellig) und F_{1}, …, F_{k} (n,r-stellig) partiell rekursive Funktionale sind, dann ist auch F - definiert durch

F (x⃗, α⃗) :≃ H(F_{1}(x⃗, α⃗), …, F_{k}(x⃗, α⃗), α⃗)

- ein partiell rekursives Funktional. R2 (Induktion) :

Wenn H (n+2,r-stellig) und G (n,r-stellig) partiell rekursive Funktionale sind, dann ist auch F - definiert durch

F (x⃗, 0, α⃗) :≃ G(x⃗, α⃗)
F (x⃗, y + 1, α⃗) :≃ H(x⃗, y, F (x⃗, y, α⃗), α⃗)

- ein partiell rekursives Funktional. R3 (μ-Operator) :

Wenn G (n+1,r-stellig) ein partiell rekursives Funktional ist, dann ist auch F - definiert durch

F (x⃗, α⃗) :≃ μy (G(x⃗, y, α⃗) ≃ 0)

- ein partiell rekursives Funktional.

Die folgenden Beispiele sind nach § 8 klar:

Beispiele :

1) F : IN^{n} × R ↪ IN ist partiell rekursives Funktional ⟺ es existiert ein e ∈ IN mit F (x⃗, α) ≃ φ_{e}^{1}[α](x⃗) für alle α ∈ R.

2) f : IN^{n} ↪ IN ist partiell rekursiv in α ∈ R ⟺ es existiert ein partiell rekursives Funktional F : IN^{n}×R mit f(x⃗) ≃ F (x⃗, α).

Analog zu früher definieren wir:

Definition :

1) Ein rekursives Funktional ist ein partiell rekursives Funktional, das total ist.

2) A ⊆ IN^{n} × R^{r} heißt rekursiv gdw. das charakteristische Funktional K_{A} von A rekursiv ist.

3) A ⊆ IN^{n}×R^{r} heißt rekursiv aufzählbar (r.a.) gdw. eine rekursive Relation R ⊆ IN^{n} × IN × R^{r}

existiert mit A(x⃗, α⃗) ↔ ∃y R(x⃗, y, α⃗).

Da wir auch Funktionsvariablen zulassen, hat es Sinn, auch Abbildungen nach R zu betrachten:

Definition : Eine Abbildung F : IN^{n} × R^{r} ⟶ R heißt rekursiver Operator gdw. F_{F} : IN^{n} × IN × R^{r} ⟶ IN mit (x⃗, y, α⃗) ↦ F(x⃗, α⃗) (y) ein rekursives Funktional ist.

Es lassen sich Resultate für r.a. Relationen im früheren Sinne (vgl. § 5) auf die neue Situation erweitern. Dazu die folgende Definition:

Definition : Es seien A ⊆ IN^{n} × IN × R^{r} und F : IN^{n} × R^{r} ein partielles Funktional.

a) dom(A) := {(x⃗, α⃗) ∈ IN^{n} × R^{r} | ∃y A(x⃗, y, α⃗)} heißt Domain von A.

b) Graph(F) := {(x⃗, y, α⃗) ∈ IN^{n} × IN × R^{r} | F (x⃗, α⃗) ≃ y} heißt Graph von F.

dom(F) := dom( Graph(F) ) heißt Domain von F.

c) F uniformisiert A gdw. Graph(F) ⊆ A und dom(F) = dom(A) erfüllt sind.

Satz 1 : Es sei A ⊆ IN^{n} × R^{r}.

a) (Uniformisierungssatz) : Jedes r.a. B ⊆ IN^{n} × IN × R^{r} ist durch ein partiell rekursives Funktional

F : IN^{n} × R^{r} ↪ IN uniformisierbar.

b) A ist rekursiv gdw. A und ¬A r.a. sind.

c) F : IN^{n} × R^{r} ↪ IN ist partiell rekursiv gdw. Graph(F) r.a. ist. d) A ist r.a. gdw. A = dom(F) für ein partiell rekursives Funktional F.

e) A ist r.a. gdw. ein r.a. R ⊆ IN^{n+r} existiert mit A(x⃗, α_{1}, …, α_{r}) ⟷ ∃k R(x⃗, \overline{α_{1}(k)}, …, \overline{α_{r}(k)}).

Dabei kann R so gewählt werden, daß für alle l < ω und für alle (x⃗, y⃗, z⃗) ∈ IN^{n+l+r}

R(x⃗, z_{1}, …, ⟨y_{0}, …, y_{l−1}⟩, …, z_{r}) ⟶ R(x⃗, z_{1}, …, ⟨y_{0}, …, y_{l−1}, y_{l}⟩, …, z_{r}) erfüllt ist.

Beweis : Analog zu früher. Siehe § 5, Satz 3 und Folgerung 4 und § 8, Lemma 8.

Wegen e) haben wir die folgende Normalform:

Definition : Es seien n, r < ω.

\overline{W}^{n,r}(e, x⃗, α⃗) :⟷ ∃k W^{n+r}(e, x⃗, \overline{α_{1}(k)}, …, \overline{α_{r}(k)}). \overline{W} _{e}^{n,r} := \{(x⃗, α⃗) ∈ IN^{n} × R^{r} | \overline{W}^{n,r}(e, x⃗, α⃗)\} heißt e-te (n,r-stellige) r.a. Relation.

Satz 2 :

a) (Universelle Relation:) Jede r.a. Menge A ⊆ IN^{n} × R^{r} hat die Form \overline{W} _{e}^{n,r} für ein e ∈ IN.

b) (s̄-m-n-Theorem:) Für alle n, m, r < ω existiert eine rekursive Funktion \overline{s}_{n,r}^{m} mit

\overline{W} _{e}^{n+m,r}(x_{1}, …, x_{n}, y_{1}, …, y_{m}, α_{1}, …, α_{r}) ⟷ \overline{W} _{\overline{s}_{n,r}^{m}(e,y_{1},... ,y_{m})}^{n,r}(x_{1}, …, x_{n}, α_{1}, …, α_{r}) .

Beweis : Mit Satz 1 e) und Satz 5 aus § 5.

Die Abgeschlossenheitseigenschaften r.a. Relationen von früher (§ 5, Lemma 1) gelten in der erweiterten Situation analog:

Lemma 3 :

a) Jede rekursive Relation ist r.a.

b) A ⊆ IN^{n} × IN × R^{r} r.a. und F : IN^{n} × R^{r} → IN rekursives Funktional ⟹ A(x⃗, F (x⃗, α⃗), α⃗) r.a.

c) A, B r.a. ⟹ A ∨ B und A ∧ B r.a.

d) A(x⃗, y, α⃗) r.a. ⟹ ∃y A(x⃗, y, α⃗) r.a.

e) A(x⃗, y, α⃗) r.a. ⟹ ∀z < y A(x⃗, z, α⃗) r.a.

Beweis : Analog zu früher.

Neu ist die Abgeschlossenheit unter Einsetzung rekursiver Operatoren:

Lemma 4 : Es seien A ⊆ IN^{n} × R^{r} × R r.a. und F : IN^{n} × R^{r} → R rekursiver Operator. Dann ist A(x⃗, α⃗, F(x⃗, α⃗)) r.a.

Beweis : Es sei R r.a. wie in e) von Satz 1, also mit A(x⃗, α⃗, β⃗) ⟷ ∃k R(x⃗, \overline{α(k)}, \overline{β(k)}). Dann ist A(x⃗, α⃗, F(x⃗, α⃗)) ⟷ ∃k, s ( lg(s) = k ∧ R(x⃗, \overline{α_{1}(k)}, …, \overline{α_{r}(k)}, s) ∧ ∀i <

k \underbrace{F(x⃗, α⃗)(i) = (s)_{i}}_{r.a. nach 1c), 2b)}).

Wir erweitern nun Σ_{m}^{0} und Π_{m}^{0} auf die neue Situation:

Definition : Es sei m < ω. A ⊆ IN^{n} × R^{r} heißt Σ_{m}^{0}-Relation gdw. A(x⃗, α⃗) ⟷ ∃y_{1} ∀y_{2} ∃y_{3} … Qy_{m} R(x⃗, y_{1}, …, y_{m}, α⃗) für ein rekursives R, Π_{m}^{0}-Relation gdw. A(x⃗, α⃗) ⟷ ∀y_{1} ∃y_{2} ∀y_{3} … Qy_{m} R(x⃗, y_{1}, …, y_{m}, α⃗) für ein rekursives R. Hierbei ist Q ∈ {∀, ∃}. Σ_{m}^{0} und Π_{m}^{0} bezeichnen die Klassen aller Σ_{m}^{0}- bzw. Π_{m}^{0}-Relationen. Δ_{m}^{0} := Σ_{m}^{0} ∩ Π_{m}^{0} ⋃_{m<ω} Σ_{m}^{0} = ⋃_{m<ω} Π_{m}^{0} nennen wir die Klasse der arithmetischen Mengen.

Die Abgeschlossenheitseigenschaften von früher gelten in der erweiterten Situation analog; dazu kommt noch die Abgeschlossenheit unter Einsetzung rekursiver Operatoren:

Satz 5 (Abgeschlossenheitseigenschaften) : Es sei m < ω.

a) Σ_{m}^{0} ∪ Π_{m}^{0} ⊆ Δ_{m+1}^{0}

b) A ∈ Σ_{m}^{0} (Π_{m}^{0}) ⟺ ¬A ∈ Π_{m}^{0} (Σ_{m}^{0})

c) Es seien A ⊆ IN^{n} × IN × R^{r} und F : IN^{n} × R^{r} → IN rekursives Funktional. A(x⃗, y, α⃗) ∈ Σ_{m}^{0} (Π_{m}^{0}) ⟹ A(x⃗, F (x⃗, α⃗), α⃗) ∈ Σ_{m}^{0} (Π_{m}^{0})

d) Es seien A ⊆ IN^{n} × R^{r} × R und F : IN^{n} × R^{r} → R rekursiver Operator. A(x⃗, α⃗, β) ∈ Σ_{m}^{0} (Π_{m}^{0}) ⟹ A(x⃗, α⃗, F(x⃗, α⃗)) ∈ Σ_{m}^{0} (Π_{m}^{0})

e) A, B ∈ Σ_{m}^{0} (Π_{m}^{0}) ⟹ A ∨ B, A ∧ B ∈ Σ_{m}^{0} (Π_{m}^{0})

f) A(x⃗, y, α⃗) ∈ Σ_{m}^{0} (Π_{m}^{0}) ⟹ ∃y A(x⃗, y, α⃗) ∈ Σ_{m}^{0} (∀y A(x⃗, y, α⃗) ∈ Π_{m}^{0})

g) A(x⃗, y, α⃗) ∈ Σ_{m}^{0} (Π_{m}^{0}) ⟹ ∀z < y A(x⃗, z, α⃗) ∈ Σ_{m}^{0} (∃z < y A(x⃗, z, α⃗) ∈ Π_{m}^{0})

Beweis : a) durch Einführung blinder Variablen analog zu § 7, Lemma 2. d) ist klar wegen Lemma 4 und sonst analog zu § 7, Satz 1.

Auch die Existenz einer universellen Σ_{m}^{0}-Relation (§ 7, Lemma 3) bleibt erhalten:

Lemma 6 : Es seien n, r < ω.

Für alle m > 0 existiert eine universelle Σ_{m}^{0}-Relation U_{m}^{n,r} ⊂ IN × IN^{n} × R^{r}.

Beweis : Wir verwenden die oben definierte Normalform \overline{W} _{e}^{n,r}.

Setze U_{m}^{n,r}(e, x⃗, α⃗) :⟷ ∃y_{1} ∀y_{2} … Qy_{m−1} \{ \begin{matrix}\overline{W} _{e}^{n+m−1,r}(x⃗, y_{1}, …, y_{m−1}, α⃗) , & Q = ∀ \\ ¬\overline{W} _{e}^{n+m−1,r}(x⃗, y_{1}, …, y_{m−1}, α⃗) , & Q = ∃ . \end{matrix}

Folgerung 7 : Für alle n, r < ω, nicht beide = 0, und alle m > 0 ist Σ_{m}^{0} ⊈ Π_{m}^{0}.

Beweis : Die folgende Relation B ist Σ_{m}^{0} aber nicht Π_{m}^{0} (Diagonalargument): Ist n > 0, so setze B(x⃗, α⃗) :⟷ U^{n,r}(x_{1}, x⃗, α⃗). Ist n = 0, so setze B(α⃗) :⟷ U^{0,r}(α_{1}(0), α⃗).

Aus § 8 ist klar:

Bemerkung : A ∈ Σ_{m}^{0}[α] ⟺ es existiert ein B ∈ Σ_{m}^{0} mit A(x⃗) ↔ B(x⃗, α) .

Wir erweitern die Theorie jetzt, indem wir auch Quantifizierung über Funktionsvariablen zulassen:

Definition : Es sei m < ω. A ⊆ IN^{n} × R^{r} heißt Σ_{m}^{1}-Relation gdw. A(x⃗, α⃗) ⟷ ∃β_{1} ∀β_{2} ∃β_{3} … Qβ_{m} R(x⃗, α⃗, β_{1}, …, β_{m}) für ein arithmetisches R, Π_{m}^{1}-Relation gdw. A(x⃗, α⃗) ⟷ ∀β_{1} ∃β_{2} ∀β_{3} … Qβ_{m} R(x⃗, α⃗, β_{1}, …, β_{m}) für ein arithmetisches R. Hierbei ist Q ∈ {∀, ∃}. Σ_{m}^{1} und Π_{m}^{1} bezeichnen die Klasse aller Σ_{m}^{1}- bzw. Π_{m}^{1}-Relationen. Δ_{m}^{1} := Σ_{m}^{1} ∩ Π_{m}^{1} ⋃_{m<ω} Σ_{m}^{1} = ⋃_{m<ω} Π_{m}^{1} nennen wir die Klasse der analytischen Mengen oder auch der projektiven Mengen.

Neben den Abgeschlossenheitseigenschaften, analog zu denjenigen aus Satz 5, haben wir die Abgeschlossenheit unter ∀y und ∃y:

Satz 8 (Abgeschlossenheitseigenschaften) : Es sei m < ω.

a) Σ_{m}^{1} ∪ Π_{m}^{1} ⊆ Δ_{m+1}^{1}

b) A ∈ Σ_{m}^{1} (Π_{m}^{1}) ⟺ ¬A ∈ Π_{m}^{1} (Σ_{m}^{1})

c) Es seien A ⊆ IN^{n} × IN × R^{r} und F : IN^{n} × R^{r} → IN rekursives Funktional. A(x⃗, y, α⃗) ∈ Σ_{m}^{1} (Π_{m}^{1}) ⟹ A(x⃗, F (x⃗, α⃗), α⃗) ∈ Σ_{m}^{1} (Π_{m}^{1})

d) Es seien A ⊆ IN^{n} × R^{r} × R und F : IN^{n} × R^{r} → R rekursiver Operator. A(x⃗, α⃗, β) ∈ Σ_{m}^{1} (Π_{m}^{1}) ⟹ A(x⃗, α⃗, F(x⃗, α⃗)) ∈ Σ_{m}^{1} (Π_{m}^{1})

e) A, B ∈ Σ_{m}^{1} (Π_{m}^{1}) ⟹ A ∨ B, A ∧ B ∈ Σ_{m}^{1} (Π_{m}^{1})

f) A(x⃗, y, α⃗) ∈ Σ_{m}^{1} (Π_{m}^{1}) ⟹ ∃y A(x⃗, y, α⃗) , ∀y A(x⃗, y, α⃗) ∈ Σ_{m}^{1} (Π_{m}^{1})

g) Für m > 0 : A(x⃗, α⃗, β) ∈ Σ_{m}^{1} (Π_{m}^{1}) ⟹ ∃β A(x⃗, α⃗, β) ∈ Σ_{m}^{1} (∀β A(x⃗, α⃗, β) ∈ Π_{m}^{1})

Im Beweis verwenden wir die folgenden beiden rekursiven Operatoren:

Lemma 9 :

a) F : IN × R → R mit F(i, α)(x) := ( α(x) )_{i} ist ein rekursiver Operator. Für F(i, α) schreiben wir auch (α)_{i}.

b) F : IN × R → R mit F(z, α)(x) := α( ⟨x, z⟩) ist ein rekursiver Operator. Für F(z, α) schreiben wir auch [α]_{z}.

Beweis :

a) F_{F} : IN × IN × R → R mit F_{F}(i, x, α) = ( Eins^{1,1}(x, α) )_{i} ist ein rekursives Funktional (R1).

b) F_{F} : IN × IN × R → R mit F_{F}(z, x, α) = Eins^{1,1}( ⟨x, z⟩, α) ist ein rekursives Funktional (R1).

Beweis (von Satz 8) :

a) Durch Einführung blinder Variabler: Es sei A ∈ Σ_{m}^{1} mit A(x⃗, α⃗) ↔ ∃β_{1} ∀β_{2} … Qβ_{m} R(x⃗, α⃗, β_{1}, …, β_{m}) für R rekursiv. Dann ist wegen

A(x⃗, α⃗) ↔ \underbrace{∀β_{0} ∃β_{1} ∀β_{2} … Qβ_{m}R(x⃗, α⃗, β_{1}, …, β_{m})}_{∈Π_{m+1}^{1}} und A(x⃗, α⃗) ↔ \underbrace{∃β_{1} ∀β_{2} … Qβ_{m} \overline{Q}β_{m+1}R(x⃗, α⃗, β_{1}, …, β_{m})}_{∈Σ_{m+1}^{1}}

(wobei \overline{Q} = ∀, falls Q = ∃ und \overline{Q} = ∃, falls Q = ∀) A ∈ Δ_{m+1}^{1} erfüllt. Für A ∈ Π_{m}^{1} geht man analog vor.

b) Klar (vgl. § 7 Satz 1 a)).

c) und d) Klar nach Satz 5 c) bzw. d).

e) Durch Induktion über n, simultan für Σ_{m}^{1} und Π_{m}^{1}: m = 0 : Klar nach Satz 5 e) m → m + 1 : Es seien A, B ∈ Σ_{m+1}^{1} mit A(x⃗, α⃗) ↔ ∃β A′(x⃗, α⃗, β) und B(x⃗, α⃗) ↔ ∃β B′(x⃗, α⃗, β) für A′, B′ ∈ Π_{m}^{1}. Dann gilt

A∨B (x⃗, α⃗) ↔ ∃β \underbrace{( A′(x⃗, α⃗, β) ∨ B′(x⃗, α⃗, β) )}_{∈Π_{m}^{1} (Ind.-Ann.)} und A∧B (x⃗, α⃗) ↔ ∃β \underbrace{( A′(x⃗, α⃗, (β)_{0}) ∧ B′(x⃗, α⃗, (β)_{1} )}_{∈Π_{m}^{1} (Ind.-Ann. und d))} .

Der Π_{m+1}^{1}-Fall folgt daraus mit b).

f) m = 0 : Klar nach Definition der arithmetischen Relationen. m > 0 : Es sei A ∈ Σ_{m+1}^{1} mit A(x⃗, y, α⃗) ↔ ∃β B(x⃗, y, α⃗, β) für B ∈ Π_{m}^{1}. Dann gelten:

1) ∃y A(x⃗, y, α⃗) ↔ ∃β \underbrace{B(x⃗, (β)_{1}(0), α⃗, (β)_{0})}_{∈Π_{m}^{1} nach c) und d)} ,

also ∃y A(x⃗, y, α⃗) ∈ Σ_{m+1}^{1}. Der Fall A(x⃗, y, α⃗) ∈ Π_{m+1}^{1} ⟹ ∀y A(x⃗, y, α⃗) ∈ Π_{m+1}^{1} folgt daraus mit b). (⋆)

2) ∀y A(x⃗, y, α⃗) ↔ ∃β \underbrace{∀y B(x⃗, y, α⃗, [β]_{y})}_{∈Π_{m}^{1} nach (⋆) und d)} ,

also ∀y A(x⃗, y, α⃗) ∈ Σ_{m+1}^{1}. Der Fall A(x⃗, y, α⃗) ∈ Π_{m+1}^{1} ⟹ ∃y A(x⃗, y, α⃗) ∈ Π_{m+1}^{1} folgt daraus mit b).

g) Nach Voraussetzung ist m > 0. Es sei A ∈ Σ_{m+1}^{1} mit A(x⃗, α⃗, β) ↔ ∃γ B(x⃗, α⃗, β, γ) für B ∈ Π_{m}^{1}. Dann ist

∃β \underbrace{A(x⃗, α⃗, β) ↔ ∃γ B(x⃗, α⃗, (γ)_{0}, (γ)_{1})}_{∈Π_{m}^{1} nach d)} ,

also ∃β A(x⃗, α⃗, β) ∈ Σ_{m+1}^{1}.

Aufgrund des folgenden Lemmas haben wir eine Normalform für analytische Relationen:

Lemma 10 : Es seien m > 0 und A ⊆ IN^{n} × R^{r}.

A ∈ Σ_{m}^{1} ⟹ es existiert ein e < ω mit

A(x⃗, α⃗) ⟷ ∃β_{1} ∀β_{2} … Qβ_{m} \{ \begin{matrix}\overline{W} _{e}^{n,r+m}(x⃗, , α⃗, β_{1}, …, β_{m}) , & Q = ∀ \\ ¬\overline{W} _{e}^{n,r+m}(x⃗, , α⃗, β_{1}, …, β_{m}) , & Q = ∃ . \end{matrix}

Entsprechendes gilt für A ∈ Π_{m}^{1}.

Beweis : Es sei A ∈ Σ_{m}^{1}. Dann ist

A(x⃗, α⃗) ⟷ ∃β_{1}∀β_{2} … \left\{{∀β_{m} ∃y \atop ∃β_{m} ∀y}\right\} B(x⃗, y, α⃗, β_{1}, …, β_{m}) mit B ∈ \left\{{Π_{n}^{0} \atop Σ_{n}^{0}}\right\} für ein n < ω.

(Dies gilt o.B.d.A. wegen Satz 5 a).) Wir betrachten zunächst die Relation \left\{{∀β_{m} ∃y \atop ∃β_{m} ∀y}\right\} B(x⃗, y, α⃗, β_{1}, …, β_{m}). Durch Induktion über k zeigen wir unten: Für alle C ∈ Σ_{k}^{0} (Π_{k}^{0}) existiert ein rekursives R mit

∃γ ∀z C(x⃗, z, α⃗, γ) ⟷ ∃δ ∀u R(x⃗, u, α⃗, δ) .

Dann folgt: Es existiert ein rekursives R mit

\left\{{∀β_{m} ∃y \atop ∃β_{m} ∀y}\right\} B(x⃗, y, α⃗, β_{1}, …, β_{m}) ⟷ \left\{{∀δ ∃u ¬ \atop ∃δ ∀u}\right\} R(x⃗, u, α⃗, β_{1}, …, β_{m−1}, δ).

Für e < ω mit ∃u ¬R(x⃗, u, γ⃗) ⟷ \overline{W} _{e}^{n,r+m}(x⃗, γ⃗) erhalten wir dann

A(x⃗, α⃗) ⟷ ∃β_{1} ∀β_{2} … \left\{{∃β_{m−1} ∀δ \atop ∀β_{m−1} ∃δ ¬}\right\} \overline{W} _{e}^{n,r+m}(x⃗, α⃗, β_{1}, …, β_{m−1}, δ) ,

also die Behauptung. Der Induktionsbeweis wird simultan für Σ_{n}^{0} und Π_{n}^{0} geführt: n = 0 : Klar. n → n + 1 : Es sei C ∈ Σ_{n+1}^{0} mit C(x⃗, z, α⃗, γ) ⟷ ∃vD(x⃗, z, v, α⃗, γ) für D ∈ Π_{n}^{0}. Dann ist

∃γ ∀z C(x⃗, z, α⃗, γ) ⟷ ∃δ ∀z \underbrace{D(x⃗, z, (δ)_{0}(z), α⃗, (δ)_{1})}_{∈Π_{n}^{0} nach Satz 5c) und d)} ⟷ ∃δ ∀u R(x⃗, u, α⃗, δ)

für ein rekursives R (nach Ind.-Ann.). Es sei C ∈ Π_{n+1}^{0} mit C(x⃗, z, α⃗, γ) ⟷ ∀v D(x⃗, z, v, α⃗, γ) für D ∈ Σ_{n}^{0}. Dann ist

∃γ ∀z C(x⃗, z, α⃗, γ) ⟷ ∃γ ∀u \underbrace{D(x⃗, (u)_{0}, (u)_{1}, α⃗, γ)}_{∈Σ_{n}^{0} nach Satz 5c)} ⟷ ∃δ ∀u R(x⃗, u, α⃗, δ)

für ein rekursives R (nach Ind.-Ann.).

Die Aussage für A ∈ Π_{m}^{1} folgt mit Satz 8 b).

§ 10 Die analytische Hierarchie 73

Es folgt die Existenz universeller Σ_{m}^{1}-Relationen: Satz 11 : Es seien n, r < ω.

Für alle m > 0 existiert eine universelle Σ_{m}^{1}-Relation \overline{U}_{m}^{n,r} ⊆ IN × IN^{n} × R^{r}. Beweis :

Setze \overline{U}_{m}^{n,r}(e, x⃗, α⃗) :⟷ ∃β_{1} ∀β_{2} … Qβ_{m} \{ \begin{matrix}\overline{W} _{e}^{n,r+m}(x⃗, α⃗, β_{1}, …, β_{m}) , & Q = ∀ \\ ¬\overline{W} _{e}^{n,r+m}(x⃗, α⃗, β_{1}, …, β_{m}) , & Q = ∃ . \end{matrix}

Folgerung 12 : Für alle n, r < ω, nicht beide = 0, und alle m > 0 ist Σ_{m}^{1} ⊈ Π_{m}^{1}. Beweis : Analog zu dem Beweis von Folgerung 7.

§ 11 Π_{1}^{1}- Mengen

Wir wollen uns nun die Π_{1}^{1}-Mengen genauer ansehen und werden dabei eine weitere Charakterisierung dieser Mengen erhalten. Dazu definieren wir zunächst, was wir unter einem “Baum” verstehen: Definition :

a) T ⊆ ⋃_{n∈IN} ^{n}IN heißt Baum gdw. für alle s ∈ T und alle s′ : n → IN mit s′ ⊆ s auch s′ ∈ T gilt.

b) T_{s} := {t | s^{∩}t ∈ T } heißt Teilbaum von T.

c) Eine Funktion α : IN → IN heißt Baum gdw. ihre Nullstellenmenge T^{α} := {s | α(⟨s⟩) = 0}

ein Baum ist.

Erläuterung : Wir haben hier (wie in der Mengenlehre üblich) n mit der Menge {0, …, n − 1} identifiziert. s : n → IN ist also die Folge (s(0), …, s(n − 1)) und “⊆” bedeutet “Anfangsstück von”. ⟨s⟩ ist die Gödelnummer ⟨s(0), …, s(n − 1)⟩ von s. – Häufig schreiben wir einfach s für ⟨s⟩. Der Ausdruck s^{∩}t bezeichnet das Aneinanderhängen von Folgen oder Gödelnummern von Folgen: Für s = (s(0), s(1), …, s(n)) und t = (t(0), t(1), …, t(m)) ist s^{∩}t = (s(0), s(1), …, s(n), t(0), t(1), …, t(m)). (Entsprechend für Gödelnummern.) – Dieses Aneinanderhängen ist rekursiv, denn: ⟨s^{∩}t⟩ = μz(lg(z) = lg(s) + lg(t) ∧ ∀i < lg(s) (s)_{i} = (z)_{i} ∧ ∀j < lg(t) (t)_{j} = (z)_{lg(s)+j}).

Bemerkungen :

a) T_{s} = ∅ für s ∉ T.

b) ∅ ist Element eines jeden nichtleeren Baumes.

c) Wir fassen Elemente von Bäumen wahlweise als Folgen oder als Gödelnummern von Folgen auf;

wir schreiben daher auch mitunter T ⊆ IN.

Anschaulich sieht ein typischer Baum etwa so aus:

⋮  ⋮  ⋮
•  •  •  •

↖ ↑ ↗  ↑
• • •
↑ ↗  ↑
•  •
↑  ↑
•  •
↑  ↗
• • • •
↖ ↑  ↑ ↗
• • • → • ⋯
↖ ↑ ↗
•

Jeder Knotenpunkt ist dabei ein Element von T.

Eine Klasse von besonders “schönen” Bäumen sind die fundierten Bäume:

Definition :

a) Ein Baum T heißt fundiert gdw. es keine unendliche aufsteigende Folge der Form

s_{0} ⊂_{≠} s_{1} ⊂_{≠} s_{2} ⊂_{≠} s_{3} ⊂_{≠} …, s_{i} ∈ T, gibt.

b) T := {α | T^{α} fundierter Baum}

Beachte: T ≠ ∅, da zum Beispiel α := K_{{0}} ∈ T . (Erinnerung: 0 = ⟨∅⟩)

Lemma 1 : T ∈ Π_{1}^{1}

Beweis: α ∈ T ⟺ ∀x∀n (α(x) = 0 → α(x^{\} n) = 0) (d.h.: Baum)
∧∀β∃n α(\overline{β(n)}) ≠ 0  (d.h.: fundiert)

Die obere Eigenschaft ist Π_{1}^{0}, die untere Π_{1}^{1}.

Zusatz : “α ist nichtleerer fundierter Baum” ist ebenfalls Π_{1}^{1}, da die zusätzliche Bedingung äquivalent ist zu α(0) = 0; diese Eigenschaft ist sogar Π_{0}^{0}.

Satz 2 : A ⊆ IN^{n} × R^{r} ist Π_{1}^{1} gdw. ein rekursiver Operator F : IN^{n} × R^{r} → R existiert mit A = {(x⃗, α⃗) | F(x⃗, α⃗) ∈ T }.

(Vergleiche den Begriff der m-Vollständigkeit (§6)! Analog zum dortigen Ergebnis ist T die “komplizierteste” Π_{1}^{1}-Menge.)

Beweis: “⇐” ist klar wegen Lemma 1 und der Abgeschlossenheit von Π_{1}^{1} unter rekursiver Einsetzung. “⇒”: Nach §10, Lemma 10 gilt A(x⃗, α⃗) ↔ ∀βR(x⃗, α⃗, β) für eine r.a. Relation R. Also existiert eine r.a. Relation R′ mit R(x⃗, α⃗, β) ↔ ∃kR′(x⃗, \overrightarrow{α(k)}, \overline{β(k)}). (Hier steht \overrightarrow{α(k)} für das Tupel (\overline{α_{1}(k)}, \overline{α_{2}(k)}, …, \overline{α_{n}(k)}), wobei die \overline{α_{i}(k)} die Gödelisierungen ⟨α_{i}(0), α_{i}(1), …, α_{i}(k)⟩ sind.) Weiterhin gibt es eine rekursive Relation R′′ mit R′(x⃗, s⃗, t) ↔ ∃lR′′(x⃗, s⃗, t, l), also A(x⃗, α⃗) ↔ ∀β∃k, l R′′(x⃗, \overrightarrow{α(k)}, \overline{β(k)}, l). Setze nun T (x⃗, α⃗) := \{t | \underbrace{∀k, l < lg(t) ¬R′′(x⃗, \overrightarrow{α(k)}, t^{\} k, l}_{rekursiv in x⃗, α⃗}\}.

— Daß T ein Baum ist, ist klar nach Definition; weiter gilt A(x⃗, α⃗) ↔ ∀β∃n \overline{β(n)} ∉ T (x⃗, α⃗), d.h.: T ist fundiert. Mit F := K_{T} haben wir also wie gewünscht A(x⃗, α⃗) ↔ F(x⃗, α⃗) ∈ T .

Folgerung : T ist nicht Δ_{1}^{1}. Beweis: Sonst ließe sich jede Menge A ∈ Π_{1}^{1}, insbesondere also auch jede Menge A ∈ Π_{1}^{1} ^{\} Σ_{1}^{1}, vermöge einer solchen Funktion schon Δ_{1}^{1} entscheiden.

Wir wollen nun die Π_{1}^{1}-Mengen einer Ordinalzahl-Analyse unterziehen und führen dazu ein Maß für die “Höhe” von Bäumen ein: Es sei T ein fundierter Baum. Dann läßt sich eine Rang-Funktion rg_{T} definieren, die jedem s ∈ T eine Ordinalzahl wie folgt zuordnet:

rg_{T} (s) ist 0, wenn s ein “Blatt” des Baumes T ist, und sonst die kleinste Ordinalzahl, die größer ist als die Ränge aller Nachfolger von s.

Diese Definition ist nur für fundierte Bäume sinnvoll, da sonst ein unendlicher Regreß eintritt. Der Rang eines Baumes ist dann gleich dem höchsten Rang eines seiner Elemente, nämlich rg_{T} (0).

Formal: Definition : a) Für fundierte Bäume T ist der T -Rang eine Funktion

rg_{T} : T → On
s ↦ \{ \begin{matrix}0 & , wenn ∀i s^{∩}⟨i⟩ ∉ T \\ min\{y | ∀i ∈ IN y > rg_{T} (s^{∩}⟨i⟩)\} & , sonst. \end{matrix}

b) Für alle Bäume T wird der Rang von T definiert als

|T | := \{ \begin{matrix}rg_{T} (0) & , wenn T fundiert und nichtleer \\ −1 & , wenn T leer \\ ω_{1} & , wenn T nicht fundiert und nichtleer. \end{matrix}

c) Für Funktionen α definieren wir entsprechend |α| := |T^{α}|.

Beispiele:

a) |{∅}| = 0

b) T_{ω} mit der Struktur  •
↗
•  •
↑  ↗
• • • ⋯
↖ ↑ ↗
•

hat den Rang ω. ( T_{ω} ist der “kleinste unendliche fundierte Baum”.)

c) Der Baum  T_{ω}
↑
•

hat den Rang ω + 1.

d) Der Baum  T_{ω}
↗
T_{ω}  •
↑  ↗
T_{ω} • • ⋯
↖ ↑ ↗
•

hat den Rang 2ω.

Bemerkungen :

a) Wegen der Regularität von ω_{1} haben alle fundierten Bäume einen Rang echt kleiner als ω_{1}.

b) Für jede abzählbare Ordinalzahl η gibt es einen fundierten Baum T mit η = |T |, denn (Induktion über η): η = 0 : T = {∅} sonst: Sei {ξ_{i} | i ∈ M} , M ⊆ IN, eine Aufzählung der Ordinalzahlen unterhalb von η; hierfür existieren nach Induktionsannahme Bäume T^{i} mit |T^{i}| = ξ_{i}; setze T := {∅} ∪ {⟨i⟩^{∩}s | s ∈ T^{i}, i ∈ M}. T ist wie gewünscht.

\underline{Übung 1:} Es sei T fundierter Baum. Dann ist für alle s ∈ T rg_{T} (s) =| T_{s} | . Hinweis: Zeige durch transfinite Induktion über γ < ω_{1}: Für alle s ∈ T gilt : rg_{T} (s) ≤ γ ⟺ | T_{s} |≤ γ. Beachte dazu, daß für alle s ∈ T und für alle i ∈ IN mit ⟨i⟩ ∈ T_{s} gilt: (T_{s})_{⟨i⟩} = T_{s^{∩}⟨i⟩}

Notation : Dies rechtfertigt es, im folgenden für Ordinalzahlen η mit T^{η} einen Baum zu bezeichnen, für den |T^{η}| = η gilt.

Wir definieren nun eine Ordnungsrelation auf ω_{1} + 1:

Definition : η ≤^{∗} ξ gdw. η < ω_{1} und η ≤ ξ (für η, ξ ≤ ω_{1})

Lemma 3 :

a) |α| < |β| ist eine Π_{1}^{1}-Relation (in α, β).

b) |α| ≤^{∗} |β| ist eine Π_{1}^{1}-Relation (in α, β).

Beweis:

a) (Skizze) Zu zeigen ist: |β| ≤ |α| (d.h.: |T^{β}| ≤ |T^{α}|) ist eine Σ_{1}^{1}- Relation. – Wir betrachten nur den Fall, daß T^{β} fundiert ist; wir definieren dann eine Abbildung f : ⋃_{n∈IN} ^{n}IN → ⋃_{n∈IN} ^{n}IN mit den folgenden Eigenschaften:

f(s) ∈ T^{α}  (s ∈ T^{β})
f(s) = ∅  (s ∉ T^{β})
f(∅) = ∅
lg(s) = lg(f(s))  (s ∈ T^{β})
f(s) ⊆ f(t)  (s ⊆ t ∈ T^{β})

T_{s}^{β} T_{f(s)}^{α}

f

T^{β} T^{α}

Diese Konstruktion ist möglich, wenn |β| ≤ |α| (induktiv über lg(s)). (Übung!) Dann gilt:

|T^{β}| ≤ |T^{α}| ↔ ∃f(∀s ∀i ∃j(s^{∩}⟨i⟩ ∈ T^{β} → f(s^{∩}⟨i⟩) = f(s)^{∩}⟨j⟩ ∈ T^{α})∧f(∅) = ∅)

Die Aussage auf der rechten Seite ist offensichtlich Σ_{1}^{1}.

b) |T^{α}| ≤^{∗} |T^{β}| ↔ \underbrace{\underbrace{α ∈ T}_{Π_{1}^{1}} ∧ ∀i(\underbrace{⟨i⟩ ∈ T^{α}}_{rekursiv} → \underbrace{|T_{⟨i⟩}^{α}| < |T^{β}|}_{Π_{1}^{1}})}_{Π_{1}^{1}}

Definition : Ein Baum T heißt rekursiv gdw. seine charakteristische Funktion K_{T} rekursiv ist. η < ω_{1} heißt rekursiv gdw. ein rekursiver Baum T mit |T | = η existiert.

Bemerkungen :

a) Es existieren nur abzählbar viele rekursive Ordinalzahlen, da nur abzählbar viele rekursive

Mengen existieren.

b) Mit η ist auch η + 1 rekursiv. (Klar!)

c) Wenn η rekursiv ist und ξ < η, dann ist auch ξ rekursiv. Beweis: (Induktion über η) Sei ξ < η = |T |, T rekursiv. Nach Definition existiert ein j mit |T_{j}| ≥ ξ, |T_{j}| < η. Falls ξ = |T_{j}|, dann sind wir fertig; falls aber ξ < |T_{j}|, dann benutze die Induktionsannahme.

Definition : ω_{1}^{c} := sup {η | η rekursiv} (Das “c” kommt von dem englischen Namen “constructive ordinal”.)

Es gilt:

– ω_{1}^{c} < ω_{1} (wegen Bemerkung a));

– η rekursiv gdw. η < ω_{1}^{c} (wegen Bemerkungen b), c)).

Nun wollen wir Bäume vermittels ihres Ranges klassifizieren:

Lemma 4 : Mit T_{ξ} := {α ∈ R | |α| < ξ} gilt: ξ < ω_{1}^{c} gdw. T_{ξ} ∈ Δ_{1}^{1}.

Beweis: “⇒”: Es sei β rekursiv, ξ = |β| (β existiert wegen ξ < ω_{1}^{c}). Dann gilt:

α ∈ T_{ξ} ↔ |α| < |β| (Diese Relation ist Π_{1}^{1} in α.)
↔¬ |β| ≤^{∗} |α| (Wegen |β| < ω_{1}^{c} < ω_{1}; diese Relation ist Σ_{1}^{1} nach dem vorigen Lemma.)

“⇐”: Es sei ξ ≥ ω_{1}^{c}. Wähle A ⊆ IN aus Π_{1}^{1} ^{\} Σ_{1}^{1}. Nach §10, Satz 1d) existiert ein rekursiver Operator F : IN → R mit A = {n | F(n) ∈ T } = {n | F(n) ∈ T_{ξ}}, denn |F(n)| < ω_{1}^{c} ≤ ξ, da F(n) rekursiv ist. Wäre nun T_{ξ} ∈ Σ_{1}^{1}, dann auch A ∈ Σ_{1}^{1}; Widerspruch!

(Das war also wieder einmal unser Standard-Trick: Rückführung auf die Aussage des Hierarchie-Satzes.)

Korollar 5 :

a) Wenn T fundiert ist, T ∈ Δ_{1}^{1}, dann gilt |T | < ω_{1}^{c}.

b) Wenn A ⊆ T , A ∈ Σ_{1}^{1}, dann existiert ein ξ < ω_{1}^{c} mit A ⊆ T_{ξ}. (“Beschränktheitseigenschaft”)

Beweis:

a) klar (betrachte T_{| T |}).

b) Es sei ξ ≤ ω_{1} minimal mit A ⊆ T_{ξ}. Dann gilt T_{ξ} = \{α | \underbrace{∃β[ \underbrace{β ∈ A}_{Voraussetzung^{Σ_{1}^{1} nach}} ∧ \underbrace{|α| ≤^{∗} |β|}_{Σ_{1}^{1}}}_{Σ_{1}^{1}}]\}

— also ξ < ω_{1}^{c} nach Lemma 4 (siehe den zweiten Teil des Beweises).

Satz 6 : Je zwei disjunkte Σ_{1}^{1}-Mengen A und B lassen sich durch eine Δ_{1}^{1}-Menge trennen.

Beachte: Früher hatten wir einen solchen Satz für Π_{1}^{0}-Mengen gezeigt! (§5, Satz 9)

Beweis: Gesucht ist C ∈ Δ_{1}^{1} mit A ⊆ C ⊆ B^{c}, wobei B^{c} ∈ Π_{1}^{1}.

Es sei F : IN^{n} × R^{r} → R ein rekursiver Operator mit B^{c} = {(x⃗, α⃗) | F(x⃗, α⃗) ∈ T }. Die Idee ist nun, die Situation auf Mengen von Bäumen hinüberzutransportieren: Das Bild von A unter F ist beschränkt; betrachte dann das Urbild einer beschränkenden Menge T_{ξ}:

B^{c} F(B^{c}) F^{−1}

C T_{ξ}

A F(A)

F

Genauer: F(A) ist Σ_{1}^{1}, denn β ∈ F(A) ↔ ∃α⃗ ∈ AF(x⃗, α⃗) = β ↔ ∃α⃗ ∈ A∀tF(x⃗, α⃗)(t) = β(t).

Wegen A ⊆ B^{c} ist also F(A) ⊆ T_{ξ} für ein ξ < ω_{1}^{c} (wegen Beschränktheit!); setze nun C := {(x⃗, α⃗) | F(x⃗, α⃗) ∈ T_{ξ}}. C ist wie gewünscht.

78 Rekursionstheorie

Wir können nun die Entsprechung zu einem wichtigen früheren Satz zeigen, den wir dort für Σ_{0}^{1}-Mengen gezeigt hatten (§5, Satz 3):

Satz 7 (Π_{1}^{1}-Uniformisierung) : Jede Π_{1}^{1}-Relation läßt sich Π_{1}^{1}-uniformisieren. Zur Erläuterung: Wir haben die folgende Situation:

R
R ⊆ IN^{n} × R^{r+1}

S

IN^{n} ×

R^{r}

Wir betrachten hier nur die Uniformisierung “in der Richtung von R”; der Satz gilt aber auch “in der Richtung von IN”. Dies folgt aus dem von uns bewiesenen Fall, läßt sich aber noch einfacher direkt zeigen. (\underline{Übung 2})

Beweis: Wir betrachten der Einfachheit halber nur den Fall n = 0, r = 1. Sei also R ⊆ R × R eine Π_{1}^{1}-Relation und F : R × R → R wie üblich ein rekursiver Operator mit R = {(α, β) | F(α, β) ∈ T }; für alle α, β ∈ R × R sei T^{F(α,β)} := {x | F(α, β)(x) = 0} der zugehörige Baum. – Die Idee ist, vermittels dieses Operators und seines Nullstellenbaumes eine Ordnung zu definieren, über die dann eindeutig ein uniformisierendes Paar zu (α, β) gewählt wird. Sei Ω := {ξ | ξ ≤ ω_{1}}; wir betrachten ^{I}NΩ×^{I}NIN in der lexikographischen Ordnung vermöge der Ordnungen auf Ω und IN, in der Reihenfolge Ω × IN × Ω × IN × ⋯; also gilt (x_{i})_{i∈IN} < (y_{i})_{i∈IN} ↔ ∃s(∀i < s x_{i} ≤ y_{i}) ∧ x_{s} < y_{s}. Allgemein kann man in einer solchen Situation den folgenden Hilfssatz zeigen:

a) Jede Teilmenge A ⊆ ^{I}NΩ ×^{I}NIN, A ≠ ∅, hat ein Infimum (x̃_{i})_{i∈IN}.

b) Es existiert eine abzählbare Folge (y^{n})_{n∈IN}, y^{n} ∈ A, mit ∀i lim_{n→∞} y_{i}^{n} = x̃_{i} (komponentenweise Konvergenz in der diskreten Topologie). Beweis: \underline{Übung 3}! (Tip: Setze x̃_{0} := min\{y_{0} | (y_{i})_{i∈IN} ∈ A\}; x̃_{n+1} := min\{y_{n+1} | (y_{i})_{i∈IN} ∈ A ∧ y_{0} = x̃_{0} ∧ y_{1} = x̃_{1} ∧ ⋯ ∧ y_{n} = x̃_{n}}.)

Definiere zunächst eine Abbildung G : R × R →^{I}NΩ ×^{I}NIN
(α, β) ↦((|T_{s}^{F(α,β)}|)_{s∈IN}, β).

Setze dann S(α, β) :↔ R(α, β) ∧ [∃(η_{s})_{s∈IN} ((η_{s})_{s∈IN}, β) = inf{G(α, γ) | γ ∈ R}].

Daß dieses S wie gewünscht ist, zeigen wir in fünf Schritten:

(i) \underline{S ⊆ R}: klar wegen des ersten Teils der Definition. (ii) \underline{Wenn S(α, β_{1}) und S(α, β_{2}), dann β_{1} = β_{2}}: klar, da das Infimum eindeutig ist. (iii) \underline{Für α ∈ dom R gilt ((η_{s})_{s∈IN}, β) = G(α, β)}: D.h.: Für ((η_{s})_{s∈IN}, β) = inf{G(α, γ) | γ ∈ R} gilt: η_{s} = |T_{s}^{F(α,β)}| für alle s ∈ IN. (Hier wird noch nicht behauptet, daß (α, β) ∈ R; dazu siehe (iv) ! ) Beweis: Nach Definition ist klar, daß η_{s} ≤ |T_{s}^{F(α,β)}|; zu zeigen bleibt “≥”. Wir zeigen das durch Induktion über |T_{s}^{F(α,β)}|.

Induktionsanfang: Wenn |T_{s}^{F(α,β)}| = −1, d.h. T_{s}^{F(α,β)} = ∅, dann ist alles klar. Induktionsschritt: T_{s}^{F(α,β)} sei ein nichtleerer Baum, χ := |T_{s}^{F(α,β)}| > ξ. Die Behauptung sei bewiesen für alle t mit |T_{t}^{F(α,β)}| < χ; zu zeigen ist dann, daß auch η_{s} > ξ. Es existiert ein ⟨i⟩ ∈ T_{s}^{F(α,β)} mit |T_{s^{∩}⟨i⟩}^{F(α,β)}| ≥ ξ, |T_{s^{∩}⟨i⟩}^{F(α,β)}| < |T_{s}^{F(α,β)}| (nach Definition des Rangs). Wegen der Induktionsvoraussetzung ist dann η_{s^{∩}⟨i⟩} ≥ |T_{s^{∩}⟨i⟩}^{F(α,β)}|. Wähle nun eine Folge (β^{n})_{n∈IN}, β^{n} ∈ ^{I}NIN, mit ((η_{s})_{s∈IN}, β) = lim_{n→∞} G(α, β^{n}). (Eine solche Folge existiert nach dem oben erwähnten Hilfssatz.) N sei so groß, daß für alle n ≥ N gilt: ⟨i⟩ ∈ T_{s}^{F(α,β^{n})} ∧ η_{s^{∩}⟨i⟩} = |T_{s^{∩}⟨i⟩}^{F(α,β^{n})}| ∧ η_{s} = |T_{s}^{F(α,β^{n})}|. (Ein solches N existiert wegen der punktweisen diskreten Konvergenz; β^{n} konvergiert gegen β und |T_{s}^{F(α,β^{n})}| konvergiert gegen |T_{s}^{F(α,β)}|.) Also η_{s} = |T_{s}^{F(α,β^{n})}| > |T_{s^{∩}⟨i⟩}^{F(α,β^{n})}| = η_{s^{∩}⟨i⟩} ≥ ξ: Das wollten wir gerade zeigen. (iv) \underline{dom R = dom S}: “⊇” ist klar wegen (i); wenn nun α ∈ dom R, dann existiert ein γ mit R(α, γ). Also ist F(α, γ) ∈ T , mithin |T_{0}^{F(α,γ)}| < ω_{1}. Für das Element ((η_{s}))_{s∈IN}, β) aus Schritt (iii) gilt: η_{0} ≤ |T_{0}^{F(α,γ)}| < ω_{1}; also |T_{0}^{F(α,β)}| ≤ η_{0} < ω_{1}; das heißt aber F(α, β) ∈ T oder, mit anderen Worten, R(α, β).

(v) \underline{S ∈ Π_{1}^{1}} :

R(α, β)∧G(α, β) = inf\{G(α, γ) | γ ∈ R\} ↔ \underbrace{R(α, β)}_{Π_{1}^{1}} ∧ \underbrace{∀γ ≠ β∃s(∀i < s}_{Diese Quantoren ändern nichts}[\underbrace{|T_{i}^{F(α,β)}| ≤ |T_{i}^{F(α,γ)}|}_{Π_{1}^{1}, da linke Seite < ω1} ∧

∧ \underbrace{β(i) ≤ γ(i)}_{Π_{1}^{1}}] ∧ [\underbrace{|T_{s}^{F(α,β)}| < |T_{s}^{F(α,γ)}|}_{Π_{1}^{1}} ∨ \underbrace{(|T_{s}^{F(α,β)}| ≤ |T_{s}^{F(α,γ)}| ∧ β(s) < γ(s))]}_{Π_{1}^{1}})

ist Π_{1}^{1}.

Korollar 8 : Jede Σ_{2}^{1}-Relation läßt sich Σ_{2}^{1}-uniformisieren.

Beweis: Es sei zum Beispiel R̄ ⊆ R × R eine Σ_{2}^{1}-Relation, also R̄(α, β) ↔ ∃γR̃(α, β, γ), R̃ ∈ Π_{1}^{1}. Definiere R(α, δ) :↔ R̃(α, (δ)_{0}, (δ)_{1}), R ∈ Π_{1}^{1}. S(α, δ) uniformisiere R; definiere dann S̄(α, β) :↔ ∃δ[S(α, δ) ∧ β = (δ)_{0}]. Diese Relation uniformisiert R̄ und ist offenbar Σ_{2}^{1}.

§ 12 Induktive Mengen

Ziel dieses Kapitels ist eine andere Charakterisierung der Π_{1}^{1}-Mengen. Zu diesem Zweck führen wir den Begriff der induktiven Definition ein.

Definition : Es sei X eine Menge Eine Abbildung Γ : P(X) ⟶ P(X) heißt induktive Definition auf X gdw. Γ isoton ist, d.h. A ⊆ B impliziert Γ(A) ⊆ Γ(B)

Definition : Es sei Γ eine induktive Definition auf X A ⊆ X heißt Fixpunkt von Γ gdw. Γ(A) = A

Von besonderer Bedeutung ist der kleinste Fixpunkt, der sich sowohl von oben als auch von unten konstruieren läßt:

Lemma 1 (Konstruktion von oben) : Es sei Γ eine induktive Definition auf X I^{Γ} := ⋂ {B ⊆ X | Γ(B) ⊆ B} ist der kleinste Fixpunkt von Γ

Beweis : Aufgrund der Definition von I^{Γ} genügt es, zu zeigen, daß I^{Γ} ein Fixpunkt von Γ ist, also Γ(I^{Γ}) = I^{Γ}. “⊆” : Es sei B ⊆ X mit Γ(B) ⊆ B. Dann haben wir I^{Γ} ⊆ B, und wegen der Isotonie von Γ folgt Γ(I^{Γ}) ⊆ Γ(B) ⊆ B. Da B beliebig gewählt war, erhalten wir Γ(I^{Γ}) ⊆ I^{Γ}. “⊇” : Γ(I^{Γ}) ⊆ I^{Γ} liefert wiederum wegen der Isotonie von Γ Γ( Γ(I^{Γ}) ) ⊆ Γ(I^{Γ}). Damit ist Γ(I^{Γ}) ∈ {B ⊆ X | Γ(B) ⊆ B}, also I^{Γ} ⊆ Γ(I^{Γ}).

Bemerkung (Konstruktion von unten) : Es sei Γ eine induktive Definition auf X. Definiere für α ∈ On I^{α} rekursiv durch: I^{0} := ∅, I^{α+1} := Γ(I^{α}) und I^{λ} := ⋃_{α<λ} I^{α} für Limeszahlen λ. Dann gelten:

1) I^{0} ⊆ I^{1} ⊆ I^{2} ⊆ … ⊆ I^{α} ⊆ … (α ∈ On).

2) Es gibt eine Ordinalzahl δ <| X |^{+} mit I^{δ} = I^{β} für alle β > δ. Das kleinste solche δ heißt

die Abschlußordinalzahl von Γ und wird mit κ_{Γ} bezeichnet.

3) I^{Γ} = ⋃_{α∈On} I^{α}. Insgesamt folgt also I^{Γ} = I^{κ_{Γ}}.

Beweis : \underline{Übung 1} Hinweis: Zu 1): Durch transfinite Induktion über α ∈ On. Zu 3): Zeige ⋃_{α∈On} I^{α} ist ein Fixpunkt von Γ und eine Teilmenge von I^{Γ} (zeige dazu für alle B ⊆ X mit Γ(B) ⊆ B : für alle α ∈ On ist I^{α} ⊆ B).

Induktive Definitionen treten in der Mathematik häufig auf. Wir wollen an dieser Stelle nur ein Beispiel geben. In § 13 werden wir eine weitere Anwendung einer induktiven Definition kennenlernen (§ 13, Lemma 1).

Beispiel : Es seien (G, •) eine Halbgruppe und B ⊆ G. Betrachte die induktive Definition Γ(Y) := Y • Y ∪ B mit Y • Y := {y • z | y, z ∈ Y }. Dann ist I^{Γ} = ⋂ { H ⊆ G | (H, •) ist Halbgruppe mit B ⊆ H }, also die von B erzeugte Halbgruppe (bzgl. •) und läßt sich von unten konstruieren durch H = B ∪ B • B ∪ B • B • B ∪ … Die Abschlußordinalzahl ist in diesem Fall κ_{Γ} ≤ ω.

Wir wollen nun den Zusammenhang zu Π_{1}^{1}-Mengen herstellen. Dazu betrachten wir Operatoren von R^{r} in die Menge der induktiven Definitionen auf IN^{n}:

Definition : Es seien n, r < ω.

Ein Operator Γ̂ : R^{r} ⟶ { Γ : P(IN^{n}) → P(IN^{n}) | Γ induktive Definition auf IN^{n}}

heißt arithmetisch (Π_{1}^{0} bzw. Π_{1}^{1}) gdw. y⃗ ∈ Γ̂(α_{1}, …, α_{r})(T_{(n)}^{β}) arithmetisch (Π_{1}^{0} bzw. Π_{1}^{1}) in y⃗, α_{1}, …, α_{r} und β ist. Dabei ist für β ∈ R T_{(1)}^{β} := {x | β(x) = 0} (= T^{β}!) und T_{(n)}^{β} := {(x_{1}, …, x_{n}) ∈ IN^{n} | β(⟨x_{1}, …, x_{n}⟩) = 0} für n > 1. R ⊆ IN^{n} × R^{r} heißt Fixpunkt gdw. (y⃗, α⃗) ∈ R ↔ y⃗ ∈ I^{Γ̂(α⃗)} für einen arithmetischen Operator Γ̂. R ⊆ IN^{n} × R^{r} heißt induktiv gdw. R(y⃗, α⃗) ↔ S(m, y⃗, α⃗) für einen Fixpunkt S ⊂ IN × IN^{n} × R^{r} und ein m ∈ IN.

Als Beispiel einer induktiven Menge betrachten wir die Π_{1}^{1}-Menge T der fundierten Bäume aus § 11:

Beispiel : T (= {α ∈ R | T^{α} fundierter Baum }) ist induktiv.

Beweis : Es sei Γ̂ : R ⟶ { Γ : P(IN) → P(IN) | Γ induktive Definition auf IN} mit Γ̂(α)(X) := {x ∈ IN | “T^{α} Baum” ∧ ( [x = 0 ∧ T^{α} = ∅] ∨ [ x ∈ T^{α} ∧ ∀i ( x^{∩}⟨i⟩ ∈ T^{α} → x^{∩}⟨i⟩ ∈ X) ] )}. (Verifiziere, daß Γ̂(α) isoton ist.) “T^{α} Baum” ist Π_{1}^{0} in α (vgl.§ 11 Beweis von Lemma 1), T^{α} = ∅ (⇔ α(0) ≠ 0) ist rekursiv in α, und x^{∩}⟨i⟩ ∈ T^{α} (⇔ α(x^{∩}⟨i⟩) = 0) ist rekursiv in x, i und α, da x^{∩}⟨i⟩ rekursiv in x und i ist (vgl. § 11). Daher ist y ∈ Γ̂(α)(T^{β}) Π_{1}^{0} in y, α und β, also Γ̂ ein Π_{1}^{0}-Operator.

Für einen nicht-leeren, fundierten Baum T^{α} ist Γ̂(α)(∅) anschaulich die Menge der “Baumspitzen” von T^{α} und weiter für alle β < ω_{1} I^{β} die Menge aller s ∈ T^{α} mit rg_{T^{α}}(s) ≤ β.

Zeige nun α ∈ T ⟺ 0 ∈ I^{Γ̂(α)}. Dann ist für den Fixpunkt S ⊆ IN × R mit (y, α) ∈ S ↔ y ∈ I^{Γ̂(α)} α ∈ T ↔ S(0, α) erfüllt, also T induktiv. “⇒” : Es sei α ∈ T . Ist T^{α} = ∅, so folgt 0 ∈ Γ̂(α)(∅) ⊆ I^{Γ̂(α)} nach Definition von Γ̂(α)(X). Ist T^{α} ≠ ∅, so zeigen wir durch Induktion über rg_{T^{α}}(x): T^{α} ⊆ I^{Γ̂(α)}. Dann folgt 0 ∈ I^{Γ̂(α)}. Zum Induktionsbeweis: Es sei x ∈ T^{α} mit rg_{T^{α}}(x) = γ, und für alle y ∈ T^{α} mit rg_{T^{α}}(y) < γ gelte y ∈ I^{Γ̂(α)}. Für alle i ∈ IN mit x^{∩}⟨i⟩ ∈ T^{α} folgt dann rg_{T^{α}}(x^{∩}⟨i⟩) < γ, also nach Induktionsvoraussetzung x^{∩}⟨i⟩ ∈ I^{Γ̂(α)}. Nach Definition von Γ̂(α)(X) folgt x ∈ Γ̂(α)(I^{Γ̂(α)}) = I^{Γ̂(α)}. “⇐” : durch Kontraposition: Es sei α ∉ T .

1. Fall: T^{α} ist kein Baum. Dann ist Γ̂(α)(∅) = ∅, also I^{Γ̂(α)} = ∅ und damit 0 ∉ I^{Γ̂(α)}.

2. Fall: T^{α} ist ein Baum, der nicht fundiert ist. Dann existiert ein unendlicher Pfad β ∈ R durch T^{α}, d.h. für alle n ∈ IN ist \overline{β(n)} ∈ T^{α}. Betrachte Y := IN ^{\} \{\overline{β(n)} | n ∈ IN\}. Für y ∈ Γ̂(α)(Y) folgt ∀i (y^{∩}⟨i⟩ ∈ \{\overline{β(n)} | n ∈ IN\} → y^{∩}⟨i⟩ ∉ T^{α}) (Kontraposition), also y ∉ \{\overline{β(n)} | n ∈ IN\}. Wir erhalten Γ̂(α)(Y) ⊆ Y und 0 ∉ Y (wegen \overline{β(0)} = 0). Damit ist 0 ∉ I^{Γ̂(α)} (nach Konstruktion von oben).

Wir haben gesehen, daß die Π_{1}^{1}-Menge T induktiv ist. Durch eine Verallgemeinerung des vorigen Beweises zeigen wir nun, daß jede Π_{1}^{1}-Menge induktiv ist. Darüberhinaus erhalten wir die folgende Charakterisierung der Π_{1}^{1}-Mengen:

Satz 1 : Für alle n, r < ω und A ⊆ IN^{n} × R^{r} gilt:

A ∈ Π_{1}^{1} ⟺ A ist induktiv.

Zusatz (ohne Beweis) :

a) A ∈ Π_{1}^{1} ⟹ A ist induktiv mit Π_{1}^{0}-Operator Γ̂.

b) A ist induktiv mit Π_{1}^{1}-Operator Γ̂ ⟹ A ∈ Π_{1}^{1}.

Beweis : Es sei A ⊆ IN^{n} × R^{r}. “⇒” : Es sei A ∈ Π_{1}^{1}. Dann existiert nach § 10, Lemma 10 und Satz 1 e) eine r.a. Relation R ⊆ IN^{n+r+1} mit

1) ¬ R(x⃗, z_{1}, …, z_{r+1}) → ¬ R(x⃗, z_{1} ^{\} m, …, z_{r+1} ^{\} m) für alle m < ω und

2)  A(x⃗, α⃗) ⟷ ∀β ∃k R(x⃗, \overline{α_{1}(k)}, …, \overline{α_{r}(k)}, \overline{β(k)})
⟷ ∀β ∃k R(x⃗, \overline{α_{1}(lg(\overline{β(k)}))}, …, \overline{α_{r}(lg(\overline{β(k)}))}, \overline{β(k)}) .
Betrachte nun die Π_{1}^{0}-Relation T ⊆ IN × IN^{n} × R^{r}, definiert

durch

T (s, x⃗, α⃗) :⟷ ¬R(x⃗, \overline{α_{1}(lg(s))}, …, \overline{α_{r}(lg(s))}, s) .

Dann ist für alle (x⃗, α⃗) ∈ IN^{n} × R^{r} die Relation T_{(x⃗,α⃗)} ⊆ IN, definiert durch

T_{(x⃗,α⃗)}(s) :⟷ T (s, x⃗, α⃗) ,

ein Baum, da wegen 1) gilt: T (s, x⃗, α⃗) → T (s^{\} m, x⃗, α⃗) für alle m < ω. Mit 2) folgt A(x⃗, α⃗) ⟷ ∀β ∃k ¬ T_{(x⃗,α⃗)}(\overline{β(k)}), also haben wir für alle (x⃗, α⃗) ∈ IN^{n} × R^{r}:

(x⃗, α⃗) ∈ A ⟺ T_{(x⃗,α⃗)} ist ein fundierter Baum.

In Verallgemeinerung zum vorigen Beweis betrachten wir den Operator

Γ̂ : R^{r} ⟶ {Γ : P(IN^{n+1}) → P(IN^{n+1}) | Γ induktive Definition auf IN^{n+1}} mit

Γ̂(α⃗)(X) := {(s, x⃗) ∈ IN^{n+1} | [ s = 0 ∧ T_{(x⃗,α⃗)} = ∅] ∨ [ s ∈ T_{(x⃗,α⃗)} ∧ ∀i (s^{∩}⟨i⟩ ∈ T_{(x⃗,α⃗)} → (s^{∩}⟨i⟩, x⃗) ∈ X) ]}.

Γ̂ ist damit arithmetisch (, sogar Π_{2}^{0}). Nach dem gleichen Prinzip wie im vorigen Beweis läßt sich nun zeigen: (x⃗, α⃗) ∈ A ⟺ (0, x⃗) ∈ I^{Γ̂(α)} (Übung). Damit ist A induktiv. “⇐” : Es sei A induktiv. Nach Definition existiert dann ein arithmetischer Operator 82 Rekursionstheorie

Γ̂ und ein m ∈ IN , so daß für alle (x⃗, α⃗) ∈ IN^{n} × R^{r} gilt:

(x⃗, α⃗) ∈ A ⟷ (m, x⃗) ∈ I^{Γ̂(α⃗)}

⟷ (m, x⃗) ∈ ⋂ {B ⊆ IN^{n+1} | Γ̂(α⃗)(B) ⊆ B}

⟷ (m, x⃗) ∈ ⋂ {T_{n+1}^{β} | β ∈ R mit Γ̂(α⃗)(T_{n+1}^{β}) ⊆ T_{n+1}^{β}}

⟷ ∀β ( \underbrace{\underbrace{∀y⃗ ( \underbrace{(m, y⃗) ∈ Γ̂(α⃗)(T_{n+1}^{β})}_{arithmetisch} → \underbrace{(m, y⃗) ∈ T_{n+1}^{β}}_{rekursiv} )}_{arithmetisch} ⟶ \underbrace{(m, x⃗) ∈ T_{n+1}^{β}}_{rekursiv}}_{arithmetisch} )

Damit ist A ∈ Π_{1}^{1} gezeigt.

Aufgrund dieses Satzes ist klar: Bemerkung : Die induktiven Mengen haben genau die gleichen Abgeschlossenheitseigenschaften wie die Π_{1}^{1}-Mengen.

§ 13 Hyperarithmetische Mengen

Im letzten Kapitel haben wir die Π_{1}^{1}-Mengen auf eine zweite Art charakterisiert. Hier wollen wir nun dasselbe für die Δ_{1}^{1}-Mengen durchführen. Ein wichtiges Beispiel einer Δ_{1}^{1}-Menge ist:

Beispiel: Es gibt eine Δ_{1}^{1}-Relation U ⊆ IN × IN mit: Jede arithmetische Menge A ⊆ IN hat die Form A(x) ↔ U(e, x) für ein geeignetes e ∈ IN. Beachte, daß U nicht arithmetisch ist (mit Diagonalargument). U heißt universelle arithmetische Relation.

Beweis: Idee: U( ⟨e, n⟩ , x) ⟷ U_{n}^{1}(e, x) mit U_{n}^{1} der universellen Σ_{n}^{0}-Menge (vgl. § 7 Lemma 3), also

U_{n}^{1}(e, x) ⟷ ∃y_{1} ∀y_{2} … \left\{{∀y_{n−1} \atop ∃y_{n−1} ¬}\right\} W_{e}^{n}(x, y_{1}, …, y_{n−1}).

Dieser Ansatz führt zu Schwierigkeiten, denn für jedes n < ω wird eine andere r.a. Relation W^{n}(e, x, y_{1}, …, y_{n−1}) benötigt. Ein weiteres Problem ist die Abhängigkeit der Länge des Präfixes von n.

\underline{Übung 1:} Zeige für alle n < ω:

1) Es existiert eine rekursive Funktion h^{n} : IN → IN mit

W_{e}^{n}(x, y_{1}, …, y_{n−1}) ⟷ W_{h^{n}(e)}^{1}(⟨x, y_{1}, …, y_{n−1}⟩) .

2) Für alle A ⊆ IN^{n} gilt ∀v_{1} ∃v_{2} ∀v_{3} … \left\{{∀v_{n−1} \atop ∃v_{n−1}}\right\} A(x, v_{1}, …, v_{n−1}) ⟷

∃α_{2} ∃α_{4} … \left\{{∃α_{n−2} \atop ∃α_{n−1}}\right\} ∀v_{1} ∀v_{3} … \left\{{∀v_{n−1} \atop ∀v_{n−2}}\right\} A(x, v_{1}, α_{2}(⟨v_{1}⟩) , v_{3}, α_{4}(⟨v_{1}, v_{3}⟩) … \left\{{v_{n−1} \atop α_{n−1}(⟨v_{1},v_{3},...,v_{n−2}⟩)}\right\} ) .

α_{2}, α_{4}, α_{6}, … werden Skolemfunktionen genannt.

Zurück zum Beweis: Wir definieren U so, daß für alle n < ω U( ⟨h^{n}(e), n⟩ , x ) ⟷ U_{n}^{1}(e, x) erfüllt ist, durch:

U(z, x) :⟷ ∃y_{1} ∀y_{2} ∃y_{3} … \left\{{∀y_{n−1} \atop ∃y_{n−1} ¬}\right\} W_{(z)_{0}}^{1}(⟨x, y_{1}, …, y_{(z)_{1}−1}⟩).

Mit dem rekursiven Operator F(i, α) = (α)_{i} aus § 10, Lemma 9 a) haben wir dann wegen 2)

U(z, x) ⟷ ∃y_{1} ∃β ∀u _{{¬}} W_{(z)_{0}}^{1}( G((z)_{1}, x, y_{1}, u, β) ) mit

G(n, x, y_{1}, u, β) :=⟨ x, y_{1}, (u)_{2}, (β)_{3}(⟨(u)_{2}⟩) , (u)_{4}, (β)_{5}(⟨(u)_{2}, (u)_{4}⟩) , …,\left\{{(u)_{n−1} \atop (β)_{n−1}(⟨(u)_{2},(u)_{4},...,(u)_{n−2}⟩)}\right\}⟩
=μ w ( lg(w) = n ∧ ∀i < n( ( i = 0 ∧ (w)_{0} = x ) ∨ ( i = 1 ∧ (w)_{1} = y_{1} ) ∨
∃j < i ( j ≠ 0 ∧ ( ( 2j = i ∧ (w)_{i} = (u)_{i} ) ∨ ( 2j + 1 = i ∧
∃y ( lg(y) = j ∧ ∀l < j ( (y)_{l} = (u)_{2l+2} ) ∧ (w)_{i} = F_{F}(i, y, β) ) ) ) ) ) ) ,

wobei F_{F}(i, y, β) = (β)_{i}(y) ist (vgl. § 10, Lemma 9 a)) (G ist damit rekursives Funktional), also U ∈ Σ_{1}^{1} nach § 10, Satz 8 c) und f), und

¬ U(z, x) ⟷ ∃β ∀u {¬} W_{(z)_{0}}^{1}(H((z)_{1}, x, u, β)) mit

H(n, x, u, β) := ⟨ x, (u)_{1}, (β)_{2}(⟨(u)_{1}⟩) , (u)_{3}, (β)_{4}(⟨(u)_{1}, (u)_{3}⟩) , …, \left\{{(β)_{n−1}(⟨(u)_{1},(u)_{3},...,(u)_{n−2}⟩) \atop (u)_{n−1}}\right\} ⟩, also ¬ U ∈ Σ_{1}^{1} nach § 10, Satz 8 c). Damit ist U ∈ Δ_{1}^{1} gezeigt.

Zur Charakterisierung der Δ_{1}^{1}-Mengen benötigen wir den Begriff der hyperarithmetischen Menge. Dazu definieren wir erst einmal hyperarithmetische Indizes:

Definition: Wir bezeichnen mit H die kleinste Menge M ⊆ IN, die ⟨0, e⟩ ∈ M für alle e ∈ IN , e ∈ M ⟶ ⟨1, e⟩ ∈ M und W_{e}^{1} ⊆ M ⟶ ⟨2, e⟩ ∈ M erfüllt. H heißt Menge der hyperarithmetischen Indizes.

Diese Definition ist ein weiteres Beispiel für die Anwendung einer induktiven Definition. H ist der kleinste Fixpunkt von Γ mit Γ aus dem Beweis des folgenden Lemmas. Aufgrund des letzten Kapitels erhalten wir:

Lemma 1: H ist eine Π_{1}^{1}-Menge.

Beweis: Betrachte die induktive Definition Γ : P(IN) ⟶ P(IN) auf IN, definiert durch Γ(X) := {x ∈ IN | lg(x) = 2 ∧ ( [ (x)_{0} = 0 ] ∨ [ (x)_{0} = 1 ∧ (x)_{1} ∈ X] ∨ [ (x)_{0} = 2 ∧ W_{(x)_{0}}^{1} ⊆ X] )}. x ∈ Γ(T^{β}) ist Π_{1}^{0} in x und β, da W_{(x)_{0}}^{1} ⊆ T^{β} Π_{1}^{0} in x und β ist. Wegen x ∈ H ↔ x ∈ I^{Γ} ist H induktiv und damit nach § 12, Satz 1 auch Π_{1}^{1}.

In der folgenden Definition verwenden wir die in § 10 definierte Normalform \overline{W} _{e}^{n,r} für r.a. Relationen.

Definition: Es seien n, r < ω. H_{e}^{n,r} ⊆ IN^{n} ×R^{r} ist induktiv über e ∈ H definiert durch: H_{⟨0,e⟩}^{n,r} = \overline{W} _{e}^{n,r} H_{⟨1,e⟩}^{n,r} = ¬H_{e}^{n,r} und H_{⟨2,e⟩}^{n,r} = ⋃_{f∈W_{e}^{1}} H_{f}^{n,r} H_{e}^{n,r} heißt e-te (n,r-stellige) hyperarithmetische Menge.

Folgerung 2: Es seien n, r < ω.

e ∈ H ∧ H_{e}^{n,r}(x⃗, α⃗) ist Π_{1}^{1} in e, x⃗ und α⃗.

Beweis: \underline{Übung 2}. (Hinweis: Definiere {(e, i, x) | e ∈ H ∧ K_{H_{e}^{n,r}}(x⃗, α⃗) = i} als I^{Γ̂(α⃗)} für einen geeigneten arithmetischen Operator Γ̂. Dabei bezeichnet K_{H_{e}^{n,r}} die charakteristische Funktion von H_{e}^{n,r}.)

Folgerung 3: Für alle n, r < ω und R ⊆ IN^{n} × R^{r} gilt:

R ist hyperarithmetisch ⟹ R ist Δ_{1}^{1}.

Beweis: Es sei R = H_{e}^{n,r} für ein e ∈ H. Dann ist ¬R = H_{⟨1,e⟩}^{n,r}. Mit Folgerung 3 erhalten wir R und ¬R als Π_{1}^{1} und damit R als Δ_{1}^{1}.

Die Menge der hyperarithmetischen Relationen hat die gleichen Abgeschlossenheitseigenschaften wie die Menge der arithmetischen Relationen:

Lemma 4: Die Menge der hyperarithmetischen Relationen ist effektiv abgeschlossen unter ¬ , ∪ , ∩ , Einsetzung von rekursiven Funktionalen und Operatoren und unter ∃x und ∀x. (Unter “effektiv” verstehen wir dabei z.B. für den Fall ∪: Für alle n, r < ω existiert eine rekursive Funktion J : IN^{2} → IN , so daß für alle e, f ∈ H J (e, f) ∈ H und H_{e}^{n,r} ∪ H_{f}^{n,r} = H_{J (e,f)}^{n,r} erfüllt sind. Für die anderen Fälle siehe Beweis.)

Beweis: Es seien n, r < ω. ¬ : Wähle die rekursive Funktion J : IN → IN mit J (x) = ⟨1, x⟩. Damit gelten für alle e ∈ H

J (e) ∈ H und ¬H_{e}^{n,r} = H_{J (e)}^{n,r} .

∪ : Nach dem s-m-n-Theorem existiert eine rekursive Funktion G : IN^{2} → IN, so daß W_{G(y,z)}^{1} = {y, z} für alle y, z ∈ IN. Definiere J : IN^{2} → IN durch J (x, y) := ⟨2, G(x, y)⟩. J ist somit rekursiv, und es folgen

J (e, f) ∈ H und H_{e}^{n,r} ∪ H_{f}^{n,r} = H_{J (e,f)}^{n,r}

für alle e, f ∈ H nach Definition der hyperarithmetischen Indizes bzw. Mengen.

∩ : Folgt wegen A ∩ B = ¬ ( ¬ A ∪ ¬ B) für beliebige Relationen A und B.

Einsetzung eines rekursiven Funktionals: Es sei F : IN^{n+1} × R^{r} → IN ein rekursives Funktional. Dann ist zu zeigen, daß eine rekursive Funktion J : IN → IN existiert mit

J (e) ∈ H und (x⃗, F (x⃗, y, α⃗), α⃗) ∈ H_{e}^{n+1,r} ⟷ (x⃗, y, α⃗) ∈ H_{J (e)}^{n+1,r}

für alle e ∈ IN und (x⃗, y, α⃗) ∈ IN^{n+1} × R^{r}. Dies kann analog zum nächsten Fall durchgeführt werden (Übung).

Einsetzung eines rekursiven Operators: Es sei F : IN^{n} ×R^{r+1} → R ein rekursiver Operator. Dann ist eine rekursive Funktion J : IN → IN gesucht mit

J (e) ∈ H und (x⃗, α⃗, F(x⃗, α⃗, β) ) ∈ H_{e}^{n,r+1} ⟷ (x⃗, α⃗, β) ∈ H_{J (e)}^{n,r+1}

für alle e ∈ IN und (x⃗, α⃗, β) ∈ IN^{n} × R^{r+1}. Wegen (x⃗, α⃗, F(x⃗, α⃗, β) ) ∈ \overline{W} _{e}^{n,r+1} ⟷ (x⃗, e, α⃗, β) ∈ \overline{W} _{f}^{n+1,r+1}, für ein geeignetes f ∈ IN (§ 10, Satz 2 a)), existiert nach dem s̄-m-n-Theorem (§ 10, Satz 2 b)) eine rekursive Funktion G : IN → IN mit (x⃗, α⃗, F(x⃗, α⃗, β) ) ∈ \overline{W} _{e}^{n,r+1} ⟷ (x⃗, α⃗, β) ∈ \overline{W} _{G(e)}^{n,r+1} ( G(z) := \overline{s}_{n,r}^{1}(f, z) ).

Es genügt nun, eine rekursive Funktion J zu finden, die die folgenden drei Eigenschaften hat:

1) J (⟨0, e⟩) = ⟨0, G(e)⟩ für alle e ∈ IN,

2) J (⟨1, e⟩) = ⟨1, J (e)⟩ für alle e ∈ H und

3) J (⟨2, e⟩) = ⟨2, ε_{J} (e)⟩ für alle e ∈ IN mit W_{e}^{1} ⊆ H. Es ist ε_{J} (e) ∈ IN mit W_{ε_{J} (e)}^{1} = {J (f) | f ∈ W_{e}^{1}}.

Denn betrachte zu einer solchen Funktion J die Menge H′ aller hyperarithmetischen Indizes, für die J die angestrebte Eigenschaft hat, also

H′ := {e ∈ H | J (e) ∈ H und (x⃗, α⃗, F(x⃗, α⃗, β) ) ∈ H_{e}^{n,r+1} ⟷ (x⃗, α⃗, β) ∈ H_{J (e)}^{n,r+1}} .

Es gelten dann:

a) ⟨0, e⟩ ∈ H′ für alle e ∈ IN, denn ⟨0, G(e)⟩ ∈ H für alle e ∈ IN, und wegen (x⃗, α⃗, F(x⃗, α⃗, β) ) ∈ \overline{W} _{e}^{n,r+1} ⟷ (x⃗, α⃗, β) ∈ \overline{W} _{G(e)}^{n,r+1} = H_{⟨0,G(e)⟩}^{n,r+1}

folgt nach 1) (x⃗, α⃗, F(x⃗, α⃗, β) ) ∈ H_{⟨0,e⟩}^{n,r+1} ⟷ (x⃗, α⃗, β) ∈ H_{J (⟨0,e⟩)}^{n,r+1} . b) e ∈ H′ ⟶ ⟨1, e⟩ ∈ H′, denn für e ∈ H′ ist J (e) ∈ H, also ⟨1, J (e)⟩ ∈ H, und es gilt

nicht { (x⃗, α⃗, F(x⃗, α⃗, β) ) ∈ H_{e}^{n,r+1} } ⟷ nicht { (x⃗, α⃗, β) ∈ H_{J (e)}^{n,r+1} }
und daher  (x⃗, α⃗, F(x⃗, α⃗, β) ) ∈ ¬H_{e}^{n,r+1} ⟷ (x⃗, α⃗, β) ∈ ¬H_{J (e)}^{n,r+1} = H_{⟨1,J (e)⟩}^{n,r+1} ,
also nach 2)  (x⃗, α⃗, F(x⃗, α⃗, β) ) ∈ H_{⟨1,e⟩}^{n,r+1} ⟷ (x⃗, α⃗, β) ∈ H_{J (⟨1,e⟩)}^{n,r+1} .

c) W_{e}^{1} ⊆ H′ ⟶ ⟨2, e⟩ ∈ H′, denn für W_{e}^{1} ⊆ H′ ist J (f) ∈ H für alle f ∈ W_{e}^{1}, also W_{ε_{J} (e)}^{1} ⊆ H und damit ⟨2, ε_{J} (e)⟩ ∈ H, und es gilt

(x⃗, α⃗, F(x⃗, α⃗, β) ) ∈ ⋃_{f∈W_{e}^{1}} H_{f}^{n,r+1} ⟷ (x⃗, α⃗, β) ∈ ⋃_{f∈W_{e}^{1}} H_{J (f)}^{n,r+1}
und daher  (x⃗, α⃗, F(x⃗, α⃗, β) ) ∈ H_{⟨2,e⟩}^{n,r+1} ⟷ (x⃗, α⃗, β) ∈ H_{⟨2,ε_{J} (e)⟩}^{n,r+1} ,
also nach 3)  (x⃗, α⃗, F(x⃗, α⃗, β) ) ∈ H_{⟨2,e⟩}^{n,r+1} ⟷ (x⃗, α⃗, β) ∈ H_{J (⟨2,e⟩)}^{n,r+1} .

H ist nach Definition die kleinste Menge mit den Eigenschaften

a), b) und c). Wegen H′ ⊆ H erhalten wir also H′ = H. Damit ist gezeigt, daß es genügt, eine rekursive Funktion J mit den Eigenschaften 1),2) und 3) zu finden. Um die Existenz einer solchen rekursiven Funktion J zu zeigen, gehen wir genauso vor wie beim Nachweis, daß die Ackermann-Funktion rekursiv ist (vgl. die Anwendung, die unmittelbar auf §4, Satz 5 folgt): Betrachte φ_{z}^{1}(x) für variables z ∈ IN. Definiere mit partiell rekursiver Fallunterscheidung

F (x, z) :≃ \{ \begin{matrix}0 , & lg(x) ≠ 2 ∨ (x)_{0} ∉ \{0, 1, 2\} \\ ⟨0, G(y)⟩ , & x = ⟨0, y⟩ \\ ⟨1, φ_{z}^{1}(y)⟩ , & x = ⟨1, y⟩ \\ ⟨2, H(y, z)⟩ , & x = ⟨2, y⟩ \end{matrix}

mit H : IN^{2} → IN rekursiv, so daß W_{H(y,z)}^{1} = {φ_{z}^{1}(x) | x ∈ W_{y}^{1}} = {u ∈ IN | ∃x (x ∈ W_{y}^{1} ∧ u ≃ φ_{z}^{1}(x) ) } (s-m-n-Theorem). F ist also eine partiell rekursive Funktion und damit ist F = φ_{g}^{2} für ein geeignetes g ∈ IN. Nach dem s-m-n-Theorem existiert eine rekursive Funktion h : IN → IN mit F (x, z) ≃ φ_{h(z)}^{1}(x) (h(z) := s_{2}^{1}(g, z)). Der Rekursionssatz liefert dann ein f ∈ IN mit φ_{h(f)}^{1} = φ_{f}^{1}; wir erhalten F (x, f) ≃ φ_{f}^{1}(x), also

φ_{f}^{1}(x) ≃ \{ \begin{matrix}0 & , wenn lg(x) ≠ 2 ∨ (x)_{0} ∉ \{0, 1, 2\} \\ ⟨0, G(y)⟩ & , wenn x = ⟨0, y⟩ \\ ⟨1, φ_{f}^{1}(y)⟩ & , wenn x = ⟨1, y⟩ \\ ⟨2, H(y, f)⟩ & , wenn x = ⟨2, y⟩. \end{matrix}

Durch Induktion über x folgt φ_{f}^{1}(x) ↓ für alle x ∈ IN (beachte: x = ⟨1, y⟩ impliziert y < x). φ_{f}^{1} ist also total und daher rekursiv. J := φ_{f}^{1} ist somit eine Funktion mit den gewünschten Eigenschaften.

∃x : Es ist zu zeigen, daß eine rekursive Funktion J : IN → IN existiert, so daß

∃xH_{e}^{n+1,r}(x, y⃗, α⃗) ⟷ H_{J (e)}^{n,r}(y⃗, α⃗)

für alle e ∈ H und (x⃗, α⃗) ∈ IN^{n}×R^{r} erfüllt ist. Wir gehen nach dem gleichen Prinzip wie im vorigen Fall vor, um die Existenz einer rekursiven Funktion \overline{J} : IN^{2} → IN mit

H_{e}^{n+1,r}(x, y⃗, α⃗) ⟷ H_{\overline{J} (e,x)}^{n,r}(y⃗, α⃗)

für alle e ∈ IN und (y⃗, α⃗) ∈ IN^{n} × R^{r} zu zeigen. Dann erhalten wir ∃xH_{e}^{n+1,r}(x, y⃗, α⃗) ⟷ ⋁_{x∈IN} H_{\overline{J} (e,x)}^{n,r}(y⃗, α⃗). Nach dem s-m-n-Theorem gibt es nun eine rekursive Funktion F : IN → IN mit W_{F (e)}^{1} = \{\overline{J} (e, x) | x ∈ IN\} = \{z ∈ IN | ∃x \overline{J} (e, x) = z\}. Wir erhalten also

∃xH_{e}^{n+1,r}(x, y⃗, α⃗) ⟷ ⋁_{f∈W_{F (e)}^{1}} H_{f}^{n,r}(y⃗, α⃗) ⟷ H_{⟨2,F (e)⟩}^{n.r}(y⃗, α⃗) .

Die rekursive Funktion J : IN → IN mit J (x) := ⟨2, F (x)⟩ erfüllt dann die gewünschte Äquivalenz. Die Existenz von \overline{J} kann mit der Methode aus dem vorigen Fall nachgewiesen werden (Übung). Dabei ist zu beachten, daß neben e auch x Argument ist, \overline{J} also die folgenden Eigenschaften haben muß:

1) \overline{J} (⟨0, e⟩, x) = ⟨0, G(e, x)⟩ für ein G : IN^{2} → IN rekursiv mit W_{e}^{n+1,r}(x, y⃗, α⃗) ⟷ W_{G(e,x)}^{n,r}(y⃗, α⃗),

2) \overline{J} (⟨1, e⟩, x) = ⟨1, \overline{J} (e, x)⟩ und

3) \overline{J} (⟨2, e⟩, x) = ⟨2, ε\overline{J} (e, x)⟩ mit W_{ε\overline{J} (e,x)}^{1} = \{\overline{J} (f, x) | f ∈ W_{e}^{1}\}.

∀x : Folgt wegen ∀xA = ¬ ∃x ¬ A für eine beliebige Relation A.

Folgerung 5: Alle arithmetischen Relationen sind hyperarithmetisch.

Beweis: Die Menge der arithmetischen Relationen ist die kleinste Menge, die alle Σ_{1}^{0}- und alle Π_{1}^{0}-Relationen enthält und abgeschlossen ist unter ∃x und ∀x. Die Menge der hyperarithmetischen Relationen enthält aber nach Definition alle Σ_{1}^{0}- und Π_{1}^{0}-Relationen und ist nach dem letzten Lemma auch unter ∃x und ∀x abgeschlossen.

Wichtig für den Übergang zu anderen Stelligkeiten ist:

Lemma 6: Es seien n, r < ω.

a) Es existiert eine rekursive Funktion J : IN → IN mit J (e) ∈ H und H_{J (e)}^{n+1,r} = IN × H_{e}^{n,r} für alle e ∈ H.

b) Es existiert eine rekursive Funktion J : IN → IN mit J (e) ∈ H und H_{J (e)}^{n,r+1} = H_{e}^{n,r} × R für alle e ∈ H.

Beweis: Nach dem gleichen Prinzip wie der Beweis von Lemma 4 (Einsetzung eines rekursiven Operators) (Übung).

Beispiele hyperarithmetischer Relationen müssen wegen Folgerung 3 aus Δ_{1}^{1} sein. Am Anfang dieses Kapitels haben wir eine Δ_{1}^{1}-Relation kennengelernt. Für sie kann gezeigt werden:

\underline{Übung 3:} Die universelle arithmetische Relation U ist hyperarithmetisch.

In § 11, Lemma 4 haben wir gesehen, daß T_{ξ} für alle ξ < ω_{1}^{c} aus Δ_{1}^{1} ist. Diese T_{ξ}’s sind weitere Beispiele hyperarithmetischer Mengen. Das folgende Lemma zeigt dies nur für Nachfolgerordinalzahlen. Es ist auch wesentlicher Beweisschritt für die Charakterisierung der Δ_{1}^{1}-Mengen unten (Folgerung 9).

Lemma 7: Für alle ξ < ω_{1}^{c} ist T_{ξ+1} hyperarithmetisch.

(Nach Folgerung 9 unten ist auch T_{ξ} hyperarithmetisch.)

Beweis: Es sei ξ < ω_{1}^{c}. Fall ξ = −1: Dann ist T_{ξ+1} = T_{0} arithmetisch wegen α ∈ T_{0} ⟷ ∀x α(x) ≠ 0, also hyperarithmetisch nach Folgerung 5. Fall ξ ≥ 0: Dann existiert ein rekursiver, fundierter Baum T mit | T |= ξ (vgl. § 11), also 0 ∈ T. Wir betrachten die in § 11 definierte Abbildung rg_{T} : T → On. Wegen 0 ∈ T und nach §11, Übung 1 haben wir rg_{T} (0) =| T_{0} |=| T |= ξ. Wir zeigen, daß eine rekursive Funktion J : IN → IN existiert, so daß für alle s ∈ T J (s) ∈ H und H_{J (s)}^{0,1} = T_{rg_{T} (s)+1} erfüllt sind. Dann folgt T_{ξ+1} = T_{rg_{T} (0)+1} = H_{J (0)}^{0,1}, also T_{ξ+1} hyperarithmetisch. Zum Nachweis der Existenz von J betrachten wir die folgenden Äquivalenzen für s ∈ T (⋆):

α ∈ T_{rg_{T} (s)+1} ⟷ “T^{α} Baum” ∧ | T^{α} | ≤ rg_{T} (s)
⟷ “T^{α} Baum” ∧ ∀i ( ⟨i⟩ ∈ T^{α} → | T_{⟨i⟩}^{α} | < rg_{T} (s) )
⟷ “T^{α} Baum” ∧ ∀i ( ⟨i⟩ ∈ T^{α} → ∃j ( s^{∩}⟨j⟩ ∈ T ∧ | T_{⟨i⟩}^{α} | ≤ rg_{T} (s^{∩}⟨j⟩) ) )
⟷ “T^{α} Baum” ∧ ∀i ( ⟨i⟩ ∈ T^{α} → ∃j ( s^{∩}⟨j⟩ ∈ T ∧ K_{T_{⟨i⟩}^{α}} ∈ T_{rg_{T} (s^{∩}⟨j⟩)+1} ) )

Es genügt nun, eine rekursive Funktion J : IN → IN zu finden, so daß gilt (⋆⋆):

J (s) ∈ H und α ∈ H_{J (s)}^{0,1} ⟷ “T^{α} Baum” ∧ ∀i ( ⟨i⟩ ∈ T^{α} → ∃j ( s^{∩}⟨j⟩ ∈ T ∧ K_{T_{⟨i⟩}^{α}} ∈ H_{J (s^{∩}⟨j⟩)}^{0,1} ) )

für alle s ∈ T. Denn für eine solche Funktion J folgt durch Induktion über rg_{T} (s): H_{J (s)}^{0,1} = T_{rg_{T} (s)+1} für alle s ∈ T. Dazu sei s ∈ T mit rg_{T} (s) = 0. Dann folgt nach Definition von rg_{T} s^{∩}⟨i⟩ ∉ T für alle i ∈ IN. In der Äquivalenz aus (⋆⋆) ist somit ∃j ( s^{∩}⟨j⟩ ∈ T ∧ K_{T_{⟨i⟩}^{α}} ∈ H_{J (s^{∩}⟨j⟩)}^{0,1} )

nie erfüllt, also gilt ⟨i⟩ ∉ T^{α} für alle i ∈ IN. D.h. H_{J (s)}^{0,1} = {α ∈ R | T^{α} ∈

{ ∅ , {0} } } = T_{1}. Es sei nun s ∈ T^{α} mit rg_{T} (s) = γ, und für alle t ∈ T^{α} mit rg_{T} (t) < γ gelte H_{J (t)}^{0,1} = T_{rg_{T} (t)+1}. Aus (⋆⋆) erhalten wir dann nach Induktionsvoraussetzung α ∈ H_{J (s)}^{0,1} ⟷ “T^{α} Baum” ∧ ∀i ( ⟨i⟩ ∈ T^{α} → ∃j ( s^{∩}⟨j⟩ ∈ T ∧ K_{T_{⟨i⟩}^{α}} ∈ T_{rg_{T} (s^{∩}⟨j⟩)+1} ) ), und mit (⋆) folgt α ∈ H_{J (s)}^{0,1} ⟷ α ∈ T_{rg_{T} (s)+1}. Es bleibt noch zu zeigen, daß eine rekursive Funktion J : IN → IN mit (⋆⋆) existiert. Wir nutzen dazu den Rekursionssatz aus und betrachten φ_{z}^{1}(x) für variables z ∈ IN. Beachte, daß F(i, α) := K_{T_{⟨i⟩}^{α}} ein rekursiver Operator ist, denn F(i, α)(t) = μ u ( [ u = 0 ∧ Eins^{1,1}(⟨i⟩^{∩}t, α) = 0 ] ∨ u = 1 ) ist rekursiv in i, t und α, da ⟨i⟩^{∩}t rekursiv in i und t ist (vgl. § 11).

Nach Lemmata 6 und 4 existieren rekursive Funktionen J_{1} bzw. J_{2}, die für alle e ∈ H J_{1}(e), J_{2}(e) ∈ H und die folgenden Äquivalenzen erfüllen:

F(i, α) ∈ H_{e}^{0,1} ⟷ ( i, F(i, α) ) ∈ IN × H_{e}^{0,1}
⟷ ( i, F(i, α) ) ∈ H_{J_{1}(e)}^{1,1}
⟷ (i, α) ∈ H_{J_{2}(J_{1}(e))}^{1,1}

Für die rekursive Funktion \overline{J} (f) := J_{2}( J_{1}(f) ) sind somit \overline{J} (e) ∈ H und K_{T_{⟨i⟩}^{α}} ∈ H_{e}^{0,1} ⟷ (i, α) ∈ H_{\overline{J} (e)}^{1,1} für alle e ∈ H erfüllt. Weiter existiert nach dem s-m-n-Theorem eine rekursive Funktion J′ : IN → IN mit W_{J′(s,z)}^{1} = \{\overline{J} ( (φ_{z}^{1}(s^{∩}⟨j⟩) ) | j ∈ IN mit s^{∩}⟨j⟩ ∈ T \} = \{u ∈ IN | ∃j ( s^{∩}⟨j⟩ ∈ T ∧ u ≃ \overline{J} ( φ_{z}^{1}(s^{∩}⟨j⟩) )\}. Es seien f, g ∈ H mit H_{f}^{0,1} = {α ∈ R | T^{α} Baum } (“T^{α} Baum” ist Π_{1}^{0} (vgl. Beweis von § 11, Lemma 1)) und H_{g}^{1,1} = {(i, α) ∈ IN × R | α(⟨i⟩) ≠ 0}. Wir erhalten dann, ausgehend von (⋆⋆) mit J ersetzt durch φ_{z}^{1}, die folgenden Äquivalenzen:

“T^{α} Baum” ∧ ∀i ( ⟨i⟩ ∈ T^{α} → ∃j ( s^{∩}⟨j⟩ ∈ T ∧ K_{T_{⟨i⟩}^{α}} ∈ H_{φ_{z}^{1}(s^{∩}⟨j⟩)}^{0,1} ) )

⟷ α ∈ H_{f}^{0,1} ∧ ∀i ( α(⟨i⟩) ≠ 0 ∨ ∃j ( s^{∩}⟨j⟩ ∈ T ∧ (i, α) ∈ H_{\overline{J} ( φ_{z}^{1}(s^{∩}⟨j⟩) )}^{1,1} ) )
⟷ α ∈ H_{f}^{0,1} ∧ ∀i ( (i, α) ∈ H_{g}^{1,1} ∨ (i, α) ∈ ⋃_{u∈W_{J′(s,z)}^{1}} H_{u}^{1,1} )
⟷ α ∈ H_{f}^{0,1} ∧ ∀i ( (i, α) ∈ H_{g}^{1,1} ∪ H_{⟨2,J′(s,z)⟩}^{1,1} )

Mit Lemma 4 sieht man, daß eine rekursive Funktion G : IN^{2} → IN existiert, so daß

G(s, z) ∈ H und α ∈ H_{f}^{0,1} ∧ ∀i ( (i, α) ∈ H_{g}^{1,1} ∪ H_{⟨2,J′(s,z)⟩}^{1,1} ) ⟷ α ∈ H_{G(s,z)}^{0,1}

für alle (s, z) ∈ IN^{2} mit ⟨2, J′(s, z)⟩ ∈ H erfüllt sind (Übung). Nach dem s-m-n-Theorem existiert eine rekursive Funktion r : IN → IN mit φ_{r(z)}^{1}(s) = G(s, z), und der Rekursionssatz liefert ein k ∈ IN mit φ_{k}^{1} = φ_{r(k)}^{1}, also φ_{k}^{1}(s) = G(s, k). Damit ist φ_{k}^{1} total, und für alle s ∈ IN mit ⟨2, J′(s, k)⟩ ∈ H haben wir:

φ_{k}^{1}(s) ∈ H und “T^{α} Baum” ∧ ∀i ( ⟨i⟩ ∈ T^{α} → ∃j ( s^{∩}⟨j⟩ ∈ T ∧ K_{T_{⟨i⟩}^{α}} ∈ H_{φ_{k}^{1}(s^{∩}⟨j⟩)}^{0,1} ) ) ⟷ α ∈ H_{φ_{k}^{1}(s)}^{0,1} .

Durch Induktion über rg_{T} (s) zeigen wir noch: ⟨2, J′(s, k)⟩ ∈ H für alle s ∈ T. Es sei s ∈ T mit rg_{T} (s) = 0. Dann ist für alle i ∈ IN s^{∩}⟨i⟩ ∉ T und damit W_{J′(s,k)}^{1} = ∅ ⊂ H. Es folgt ⟨2, J′(s, k)⟩ ∈ H nach Definition der hyperarithmetischen Indizes. Es sei s ∈ T mit rg_{T} (s) = γ, und für alle t ∈ T mit rg_{t}(t) < γ gelte ⟨2, J′(t, k)⟩ ∈ H. Dann folgt für alle j ∈ IN mit s^{∩}⟨j⟩ ∈ T nach Induktionsvoraussetzung und Eigenschaft von φ_{k}^{1} φ_{k}^{1}(s^{∩}⟨j⟩) ∈ H, also auch \overline{J} ( φ_{k}^{1}(s^{∩}⟨j⟩) ) ∈ H und somit ⟨2, J′(s, k)⟩ ∈ H. Damit ist J := φ_{k}^{1} eine rekursive Funktion mit (⋆⋆).

Mit Hilfe von Lemma 7 läßt sich der folgende Trennungssatz für Σ_{1}^{1}-Relationen beweisen. Als Folgerung daraus erhalten wir dann die Charakterisierung der Δ_{1}^{1}- Mengen.

Satz 8: Disjunkte Σ_{1}^{1}-Relationen lassen sich hyperarithmetisch trennen.

Beweis: Es seien A, B ∈ Σ_{1}^{1}. Im Beweis von Satz 6 in § 11 hatten wir gesehen, daß es einen rekursiven Operator F und ein η < ω_{1}^{c} gibt, so daß C := {(x⃗, α⃗) | F(x⃗, α⃗) ∈ T_{η}} die Mengen A und B trennt. Dabei kann η als Nachfolgerordinalzahl, also η = ξ + 1 mit ξ < ω_{1}^{c}, gewählt werden (siehe Beweis von § 11, Satz 6). Dann ist C nach Lemma 7 hyperarithmetisch.

Folgerung 9: Für alle n, r < ω und A ⊆ IN^{n} × R^{r} gilt:

A ist hyperarithmetisch ⟺ A ∈ Δ_{1}^{1}.

Beweis: Wegen Folgerung 3 ist nur noch eine Richtung zu zeigen. Es sei A eine Δ_{1}^{1}-Relation. Dann sind A und ¬ A disjunkte Σ_{1}^{1}-Relationen. Nach Satz 7 existiert also eine hyperarithmetische Relation H mit A ⊆ H und ¬ A ⊆ ¬ H, also A ⊆ H ⊆ A.

§ 13 Hyperarithmetische Mengen 93

Literatur

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Verzeichnis der verwendeten Symbole

A^{∗} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 ∅ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 α^{n} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 a_{1} … a_{n} − 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 R_{r} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 R_{r}a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 R_{r} − 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 R_{r}? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 M(K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 M^{n}(0, I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 L^{r} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 K_{h}^{r,s} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 \underline{L}^{n} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 K_{R}(x⃗) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 ⟨⋯⟩ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 lg(·) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 (·)_{i} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 D_{x} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 · . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 W_{w} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 B_{b} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 M_{m} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 W^{♣} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 B^{♠} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 M^{♡} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Na . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 T^{n}(m, x_{1}, …, x_{n}, g) . . . . . . . . . . 19 φ_{m}^{n}(x⃗) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20,22 f : IN_{n} ↪ IN . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 dom(f) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 f(x⃗) ↓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 f(x⃗) ↑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 f(x⃗) ≃ g(x⃗) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 φ^{n}(e, x⃗) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 φ_{e}^{n}(x⃗) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 s_{n}^{m} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 g_{n}(x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Graph(φ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 28,64 dom(A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28,64 W^{n} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 W_{e}^{n} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Σ_{1}^{0} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Π_{1}^{0} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 A ∪· B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 A ≡ B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 A ≤_{1} B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 rng(φ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 A ≤_{m} B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Σ_{n}^{0} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39,65 Π_{n}^{0} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39,65 Δ_{n}^{0} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39,65 Δ_{ω}^{0} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 U_{n}^{m} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 V_{n}^{m} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Tot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Fin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 A ≤_{tt} B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 φ_{e}^{n}[h] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 W_{e}^{n}[h] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 W_{e}^{n}[A] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 x^{\} y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Σ_{n}^{0}[h] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Π_{n}^{0}[h] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 A′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 A^{(n)} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 A ≤_{T} B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 A ≡_{T} B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 deg A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 P(IN)_{/≡_{T}} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 deg A ≤ deg B . . . . . . . . . . . . . . . . 52 a′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 P(IN)_{r.a./≡_{T}} . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 \overline{W}^{n,r} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 \overline{W} _{e}^{n,r} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 \overline{s}_{n,r}^{m} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Σ_{m}^{0} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Π_{m}^{0} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Δ_{m}^{0} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 U_{m}^{n,r} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Σ_{m}^{1} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Π_{m}^{1} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Δ_{m}^{1} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 \overline{U}_{m}^{n,r} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 T^{α} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 rg_{T} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 |T | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 T_{ω} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 T^{η} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 η ≤^{∗} ξ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 ω_{1}^{c} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 T_{ξ} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 I^{Γ} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 κ_{Γ} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Γ̂ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 ; H_{e}^{n,r} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 ; J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Register

Abschlußordinalzahl 78 Ackermann-Funktion 25 a − e requirement 59 Alphabet 3 analytische Menge 66 Arithmetik, Standardmodell der 44 arithmetische Menge 39,65 —r Operator 79 aufzählbar, rekursiv ∼ (r.a.) 27

Baum 70 —, rekursiver 73 Befehl 4 berechenbar 6

— in h (A) 45

Churchs These 8 Codierung 16 constructive ordinal 74

∃k(∀k)-definierbar 44 Definition, induktive 78 Density Theorem 62 Domain 28,64

Fallunterscheidung, rekursive 14 Fixpunkt 78,79 Fixpunktsatz 24,26,29 Flußdiagramm 3 Friedberg, Satz von 62 Friedberg-Mučnik 57 fundiert 71 Funktional, partielles 63 —, rekursives 64

Gödelisierung 16 Gödelnummer 17 Graph 28,64 Halbverband, oberer 52 Hauptsatz der Rekursionstheorie 22 Hierarchiesatz 41 high 62 hyperarithmetisch 83 Index 22,29 —, hyperarithmetischer 83 induktiv 79 —e Definition 78 isomorph, rekursiv ∼ 33 isoton 78 Jump 50 Kleene, Hauptsatz von 22 Kleene-Post, Satz von 53 Kleene-Prädikat 20 Konfiguration 5 Kopiermaschine 9 kreativ 35 Löschmaschine 8 low 62 Martin, Satz von 62 maximal 62 Mengen, analytische 66 —, arithmetische 39,65 —, hyperarithmetische 83 —, projektive 66 m-reduzierbar 35 m-vollständig 35 Myhill, Satz von 34 Nachfolgekonfiguration 5 Normalformsatz 47 Operator, arithmetischer 79 —, rekursiver 64

Paar, reduzierendes 30 partielle Funktion 21 —e Σ_{1}^{0}(Π_{1}^{0})-Funktion 43 —es Funktional 63

— rekursiv 21

— — in h (A) 46 Posts Problem 57 primitiv rekursiv (p.r.) 13,14 Prioritätsmethode 57 produktiv 35 projektive Menge 66

Rang 72 reduzierbar, 1-∼ 33 —, m-∼ 35 —, tt-∼ 47 —, turing-∼ 51 reduzierendes Paar 30 Registerinhalt 5 Registermaschine (RM) 3,4 —, zusammengesetzte 9 —n-berechenbar 6 —n-berechenbar in h (A) 45 Rekursionssatz 24,26,29,48 Rekursionstheorie, Hauptsatz der 22 rekursiv 7,64

— in h (A) 46

— äquivalent 17

— aufzählbar (r.a.) 27,64

— — in h 48 —er Baum 73 —es Funktional 64

— isomorph 33 —er Operator 64 —, partiell ∼ 21

— — in h (A) 46 —, primitiv ∼ (p.r.) 13,14 —e Trennung 31 Sacks, Density Theorem von 62 —, Splitting Theorem von 61 Separation, rekursive 30 simpel 38 Skolem-Funktion 82 s-m-n-Theorem 22,29,48 s̄-m-n-Theorem 64 Splitting Theorem 61 Standradmodell der Arithmetik 44 Stopkonfiguration 5 Teilbaum 70 Trennung, rekursive 31 tt-reduzierbar 47 turingäquivalent 51 Turinggrad 51 —, rekursiv aufzählbarer 57 turingreduzierbar 51 Uniformisierungssatz 28,49,64,75 universelle Funktion 48

— Relation 29,64

— arithmetische Relation 82

— Σ_{n}^{0}(Π_{n}^{0})-Relation 41,66

— Σ_{m}^{1}-Relation 69 vollständig 35

— in h 50 —, m-∼ 35

— — in h 50 —, Σ_{n}^{0}(Π_{n}^{0})-∼ 42 Wahrheitstafel 47 Wertverlaufsrekursion 17 Wort 3 Zylinder 38 Zylindrifizierung 38

Errata in der 1. Auflage

Niemand ist ohne Fehler – nicht einmal das Rekursionstheorie-Skript. Die zweite Auflage (1987) ist durchgesehen und verbessert sowie um ein Schlagwortregister und einen Index der verwendeten Notationen erweitert worden. Dies ist eine Liste der sachlichen Verbesserungen, die gegenüber der ersten Auflage nötig waren.

Seite 1 bis 89 (31. März 1987) Übungen umnumeriert.

Seite 6, Zeile 6 (31. März 1987) Im Fall (l > 0) muß es statt “W_{a_{l}}” heißen “W a_{l} für ein W ”.

Seite 9, Zeile 3 (31. März 1987) Statt “(W_{0}, …, W_{R}, …, W_{R−1})” muß es heißen “(W_{0}, …, W_{r}, …, W_{R−1})”.

Seite 10, Zeile 7 (31. März 1987) Statt “B_{i}” muß es “B^{i}” heißen.

Seite 10, die letzten 5 Zeilen (31. März 1987) Statt “∅” muß es jeweils “0” heißen.

Seite 13, Zeile 7 (1. April 1987) Statt “durch Einsetzen von C_{0}^{0} in I_{0}^{n}” muß es heißen “durch Einsetzen von I_{1}^{n} in C_{0}^{0}”.

Seite 14, Zeile 18 (1. April 1987) Statt “K_{P} · . . . · K_{Q}” muß es heißen “K_{P} · K_{Q}”.

Seite 14, Zeilen 4 und 2 von unten (1. April 1987) Statt “¬P_{0}(x⃗), …, ¬P_{n}(x⃗)” muß es heißen “¬P_{1}(x⃗), …, ¬P_{n}(x⃗)”.

Seite 15, Zeilen 4 f. (1. April 1987) Statt “¬P_{0}(x⃗)” muß es jeweils heißen “¬P_{1}(x⃗)”.

Seite 15, Zeile 10 (1. April 1987) Statt “K_{=0}(K_{R}(x⃗, z) ∧ K_{P} (x⃗, z))” muß es heißen “K_{=0}(K_{R}(x⃗, z) + K_{P} (x⃗, z))”.

Seite 17, Zeile 4 (1. April 1987) Statt “g(x⃗, 0, 0)” muß es heißen “g(⟨x⃗⟩, 0, 0)”.

Seite 18, Zeile 2 (1. April 1987) Statt “ ‘W_{w} ∈ A_{L}^{∗}’ ” muß es heißen “ ‘W_{w} ∈ A^{∗}’, wobei A = {a_{1}, …, a_{L}}”.

Seite 14 f. (1. April 1987) Die in Lemma 9 erwähnte Funktion muß statt “N” “Na” heißen. Seite 18, Zeilen 13 f. (1. April 1987) Zum Beweis werden drei Hilfsfunktionen benötigt: Ers(s, i, y) bleibt unverändert; neu definiert wird

D(s, i) := ⟨x_{0}, …, x_{n−1}, i⟩, wenn s = ⟨x_{0}, …, x_{n−1}⟩.

Dadurch vereinfacht sich die Definition von F (s, i) entsprechend.

Seite 19, Zeile 2 (1. April 1987) Statt “(r, c_{1}, …, c_{L})” muß es heißen “(r, c_{0}, …, c_{l})”.

Seite 19, Zeile 10 von unten (1. April 1987) Statt “G_{n}(t + 1, x⃗) = F (g(t, x⃗), 0)” muß es heißen “G_{n}(t + 1, x⃗) = D(g(t, x⃗), 0)”.

Seite 22, Zeile 3 (1. April 1987) Statt “μy(g(x_{1}, …, x_{n}) = 0” muß es heißen “μy(g(x_{1}, …, x_{n}, y) = 0”.

Seite 22, Zeile 10 von unten (1. April 1987) Statt “φ_{s_{n}^{m}(e,y_{1},... ,y_{m})}(x_{1}, …, x_{n})” muß es heißen “φ_{s_{n}^{m}(e,y_{1},... ,y_{m})}^{n}(x_{1}, …, x_{n})”.

Seite 22, Zeile 3 von unten (1. April 1987) Statt “φ_{s_{n}^{m}(e,y⃗)}^{m}(x⃗)” muß es heißen “φ_{s_{n}^{m}(e,y⃗)}^{n}(x⃗)”.

Seite 23, Zeile 1 (1. April 1987) Statt “⟨b_{0}, …, b_{n}⟩” muß es heißen “⟨ b_{0} , …, b_{n} ⟩”.

Seite 23, Zeile 2 (1. April 1987) Die linke Gleichung “M′ = ((n + 1, 1), …, (n + 1, 1), \overline{b}_{0}, …, \overline{b}_{N})” wird ergänzt zu

“M′ = (\underbrace{(n + 1, 1), …, (n + 1, 1)}_{y-viele}, \overline{b}_{0}, …, \overline{b}_{N})”.

Seite 23, Zeile 2 (1. April 1987) Statt “⟨n + 1, 1⟩, …, ⟨n + 1, 1⟩, \overline{b}_{0}, …, \overline{b}_{n}⟩” muß die rechte Gleichung heißen: “⟨n + 1, 1⟩, …, ⟨n + 1, 1⟩, \overline{b}_{0}, …, \overline{b}_{N}⟩” heißen. Seite 23, Zeile 4 (1. April 1987) Statt “⟨r, l⟩” muß es jeweils heißen “(r, l)”. Seite 23, Zeile 6 (1. April 1987) Statt “b_{i} = ⟨r, c_{0}, …, c_{n}⟩ ⟹ \overline{b}_{i} = ⟨r, c_{0} + y, …, c_{n} + y⟩” muß es heißen “b_{i} = (r, c_{0}, …, c_{L}) ⟹ \overline{b}_{i} = (r, c_{0} + y, …, c_{L} + y)”. Seite 23, Zeile 9 (1. April 1987) Statt “p_{b}^{(b+x)^{2}}” muß es heißen “p_{b}^{(b+y)^{2}}”. Seite 23, Zeile 12 (1. April 1987) Statt “p_{e+y}^{((e+y)+⟨m+1,1⟩)^{2}}” muß es heißen “p_{e+y}^{((e+y)+⟨n+1,1⟩)^{2}}”. Seite 25, Zeile 19 (1. April 1987) Statt “φ_{h(z)}(n, x, y)” muß es heißen “φ_{h(z)}^{3}(n, x, y)”. Seite 26, Zeile 11 (1. April 1987) Statt “φ_{e_{0}}^{2}(x, z)” muß es heißen “φ_{e_{1}}^{2}(x, z)”. Seite 29, Zeilen 17 f. (1. April 1987) Statt “x” muß es jeweils “x⃗” heißen. Seite 29, Zeile 10 (13. Februar 1987) “K_{A} = φ partiell rekursiv” wird ergänzt zu “K_{A} = φ partiell rekursiv und total”. Seite 30, Zeile 12 von unten (13. Februar 1987) Statt “A, B ∈ IN^{n}” muß es “A, B ⊆ IN^{n}” heißen. Seite 30, Zeile 11 von unten (13. Februar 1987) “A^{∗} ⊆ A, B^{∗} ⊆ B, A^{∗} ∪· B^{∗} = A ∪ B” wird ergänzt zu “A^{∗} ⊆ A, B^{∗} ⊆ B, A^{∗} ∩ B^{∗} = ∅, A^{∗} ∪· B^{∗} = A ∪ B”, auch wenn das redundant ist. Seite 31, Zeile 5 (2. April 1987) Zur Erläuterung wird eingefügt “(A^{∗} ∪· B^{∗} bezeichnet die disjunkte Vereinigung von A^{∗} und B^{∗}.)”.

Seite 34, Zeile 19 (2. April 1987) Statt “f((gf)^{n}(a)” muß es heißen “f(gf)^{n}(a)”. Seite 35, Zeile 12 (2. April 1987) Ergänze “Lemma 1b” zu “§ 5, Lemma 1b”. Seite 35, Zeile 8 von unten (2. April 1987) Statt “A = f^{−1}(B)” muß es heißen “A = f^{−1}[B]”. Seite 36, Zeile 7 (2. April 1987) Statt “h^{−1}(A_{1})” muß es heißen “h^{−1}[A_{1}]”. Seite 36, Zeilen 17, 16 und 12 von unten (2. April 1987) Statt “W_{e}^{2}(y, z, x)” bzw. “W_{e}^{2}(y, φ(h(x)), x)” muß es jeweils heißen “W_{e}^{3}(y, z, x)” bzw. “W_{e}^{3}(y, φ(h(x)), x)”. Seite 36, Zeile 15 von unten (2. April 1987) Statt “φ_{f}(s(f))” muß es heißen “φ_{f}^{1}s(f)”. Seite 36, Zeile 4 von unten (2. April 1987) Ergänze “(Vergleiche § 3, Übung 1.)”. (Das ist Übung 5 in der alten Numerierung.) Seite 37, Zeile 4 (2. April 1987) Statt “f^{−1}(D_{x})” muß es heißen “f^{−1}[D]”. Seite 38, Zeilen 19 bis 23 (11. Februar 1987) Statt “rg” muß es jeweils “rng” heißen. Seite 43, Zeilen 13, 19 und 24 (2. April 1987) Statt “f(x)” muß es jeweils “f(x⃗)” heißen. Seite 47, Zeile 7 von unten (2. April 1987) Statt “\overline{h((g)_{1})}” muß es “\overline{h((g)_{2})}” heißen. Seite 48, Zeilen 18 f. (2. April 1987) Statt “↔ ∃g[T^{n+2}(e, \overline{h((g)_{1})}, (g)_{0}, x⃗, (g)_{2})∧(g)_{0} = x_{0}] ↔ (μgT^{n+2}(e, \overline{h((g)_{1})}, (g)_{0}, x⃗, (g)_{2}))_{0} ≃ x_{0} ↔ (μgT̃^{n}(e, \overline{h((g)_{1})}, x⃗, g))_{0} ≃ x_{0}” muß es heißen “↔ ∃g[T^{n+2}(e, \overline{h((g)_{2})}, (g)_{0}, x⃗, (g)_{1})∧(g)_{0} = x_{0}] ↔ (μgT^{n+2}(e, \overline{h((g)_{2})}, (g)_{0}, x⃗, (g)_{1}))_{0} ≃ x_{0} ↔ (μgT̃^{n}(e, \overline{h((g)_{2})}, x⃗, g))_{0} ≃ x_{0}”.

Seite 48, Zeile 22 (2. April 1987) Statt “φ_{e}^{n+m}[h](x_{1}, …, x_{n}, y_{1}, …, y_{n})” muß es heißen “φ_{e}^{n+m}[h](x_{1}, …, x_{n}, y_{1}, …, y_{m})”. Seite 49, Zeile 9 (2. April 1987) Ergänze “Analog W_{e}^{n}[A] := W_{e}^{n}[K_{A}].”. Seite 52, Zeile 3 von unten (3. April 1987) Statt “A = \overline{W}_{e}[A]” muß es “A = W_{e}[A]” heißen. Seite 58, Zeile 3 (17. Februar 1987) Statt “\overline{W}_{e}[C](x) ist eine in C … ” muß es heißen “\overline{W} _{e}^{i}[C](x) ist eine in C … ”. Seite 58, Zeile 2 von unten (17. Februar 1987) Statt “x ∉ \overline{W} _{e}^{i}[b_{i}]” muß es heißen “x ∉ \overline{W} _{e}^{i}[b_{i−1}]”. Seite 60, Zeile 16 (17. Februar 1987) Statt “x ∉ \overline{W} _{e}^{i}[b_{i}]” muß es heißen “x ∉ \overline{W} _{e}^{i}[b_{i−1}]”. Seite 63, Zeile 22 (17. Februar 1987) Statt “H(F_{1}(x⃗, α⃗), …, F_{k}(x⃗, α⃗))” muß es heißen “H(F_{1}(x⃗, α⃗), …, F_{k}(x⃗, α⃗), α⃗)”. Seite 64, Zeile 2 von unten (3. April 1987) Statt “\overline{W} _{\overline{s}_{n,r}^{m}(y_{1},... ,y_{m})}^{n,r}(x_{1}, …, x_{n}, α_{1}, …, α_{r})” muß der Ausdruck auf der rechten Seite heißen: “\overline{W} _{\overline{s}_{n,r}^{m}(e,y_{1},... ,y_{m})}^{n,r}(x_{1}, …, x_{n}, α_{1}, …, α_{r})”. Seite 67, Zeilen 19, 17 und 2 von unten (3. April 1987) Statt “Π_{m}^{0}” muß es jeweils “Π_{m}^{1}” heißen. Seite 67, Zeile 10 von unten (3. April 1987) Am Ende der Zeile fehlt ein “(⋆)”. Seite 67, Zeilen 10 und 6 von unten (3. April 1987) Statt “Π_{m}^{1}” muß es jeweils “Π_{m+1}^{1}” heißen. Seite 68, Zeile 6 von unten (3. April 1987) Statt “Π_{n}^{0}” muß es “Π_{n+1}^{0}” heißen. Seite 71, Zeile 10 (11. Februar 1987) Statt “Die obere Eigenschaft ist Π_{0}^{1}” muß es heißen: “Die obere Eigenschaft ist Π_{1}^{0}”.

Seite 71 f. (6. April 1987) Die Definition des Rangs und die Anmerkung zur Erlaubtheit werden gestrichen und durch das folgende ersetzt: “Es sei T ein fundierter Baum. Dann läßt sich eine Rang-Funktion rg_{T} definieren, die jedem s ∈ T eine Ordinalzahl wie folgt zuordnet:

rg_{T} (s) ist 0, wenn s ein “Blatt” des Baumes T ist, und sonst die kleinste Ordinalzahl, die größer ist als die Ränge aller Nachfolger von s.

Diese Definition ist nur für fundierte Bäume sinnvoll, da sonst ein unendlicher Regreß in der Definition eintritt. Der Rang eines Baumes ist dann gleich dem höchsten Rang eines seiner Elemente, nämlich rg_{T} (0).

Formal:

Definition : a) Für fundierte Bäume T ist der T -Rang eine Funktion

rg_{T} : T → On
s ↦ \{ \begin{matrix}0 & , wenn ∀i s^{∩}⟨i⟩ ∉ T \\ min\{y | ∀i ∈ IN y > rg_{T} (s^{∩}⟨i⟩)\} & , sonst. \end{matrix}

b) Für alle Bäume T wird der Rang von T definiert als

|T | := \{ \begin{matrix}rg_{T} (0) & , wenn T fundiert und nichtleer \\ −1 & , wenn T leer \\ ω_{1} & , wenn T nicht fundiert und nichtleer. \end{matrix}

c) Für Funktionen α definieren wir entsprechend |α| := |T^{α}|.”

Seite 72, Zeile 5 von unten (6. April 1987)

Übung 26 (in der alten Numerierung) von §12 (Seite 79) wird hinter die Bemerkungen eingefügt.

Seite 71, Zeile 15 von unten (11. Februar 1987) Statt “R(x⃗, s⃗, t) ↔ ∃lR′′(x⃗, s⃗, t, l)” muß es heißen: “R′(x⃗, s⃗, t) ↔ ∃lR′′(x⃗, s⃗, t, l)”.

Seite 77, Zeilen 8, 10 und 12 (17. Februar 1987)

In Korollar 8 muß es statt “Σ_{1}^{2}” jeweils heißen “Σ_{2}^{1}”.

Seite 77, Zeile 11 (17. Februar 1987)

Statt “S̄(α, δ)” muß es heißen “S̄(α, β)”.

Seite 79, Zeile 12 (6. April 1987)

Statt “T_{(1)}^{β} := T^{β}” heißt es besser “T_{(1)}^{β} := {x | β(x) = 0} (= T^{β}!)”.

Seite 79, Zeilen 19 bis 24 (6. April 1987)

Die Definition des Rangs und die Übung werden hier gestrichen. (Vgl. §11)

Seite 83, Zeile 6 von unten (6. März 1987)

Statt “{(e, i) | e ∈ H ∧ K_{H_{e}^{n,r}}(x⃗, α⃗) = i} als I^{Γ̂(x⃗,α⃗)}” muß es heißen “{(e, i, x) | e ∈ H ∧ K_{H_{e}^{n,r}}(x⃗, α⃗) = i} als I^{Γ̂(α⃗)}”.