ÄQUIVARIANTE η-INVARIANTEN HOMOGENER RÄUME

Zusammenfassung

In meiner Doktorarbeit berechne ich die G-äquivarianten η-Invarianten einer Familie verallgemeinerter Dirac Operatoren auf Quotienten M = G/H kompakter zusammenhängender Lie-Gruppen. Genauer: Wenn M homogen spin ist, sei ΣM das Spinorbündel, U^{κ}M das von der irreduziblen H-Darstellung mit Höchstgewicht κ induzierte homogene Vektorbündel über M und D_{M}^{κ} der natürliche Dirac-Operator auf ΣM ⊗ U^{κ}M. Wir konstruieren einen ”reduktiven“ Dirac-Operator D̃_{M}^{κ}, der mit D_{M}^{κ} bis auf Terme nullter Ordnung übereinstimmt.

Seien nun T ⊃ S maximale Tori von G und H, und sei G/T ebenfalls homogen spin. Dann läßt sich die Berechnung von η_{G}(D̃_{M}^{κ}) auf den Torus T/S zurückführen:

η_{G}(D̃_{M}^{κ})(g, s) = η_{G}(D̃_{G/S}^{κ+ρ_{H}} )(g, s) = \frac{A_{G}(η_{T} (D̃_{T/S}^{κ+ρ_{H}})( · , s))}{A_{G}(ρ_{G})} (g)

für g ∈ T und s ∈ ℂ; hierbei sind ρ_{H} und ρ_{G} Halbsummen positiver Wurzeln, und A_{G} ist die alternierende Summe über die Weyl-Gruppe von G. Durch Berechnen von η_{T} (D̃_{T/S}^{κ+ρ_{H}}) erhält man eine explizite Formel für η_{G}(D̃_{M}^{κ}), die mit leichten Modifizierungen auch dann gilt, wenn M oder G/T nicht homogen spin ist. Außerdem verschwindet η_{G}(D̃_{M}^{κ}), wenn rk G − rk H > 1.

Die Funktion η_{G}(D̃_{M}^{κ}) ”approximiert“ η_{G}(D_{M}^{κ}) in einem nicht-technischen Sinn: Eingeschränkt auf die Menge G_{0} ⊂ G der frei auf M operierenden Elemente ist η_{G}(D̃_{M}^{κ}) − η_{G}(D_{M}^{κ}) ein virtueller Charakter von G, der für den ungetwisteten Dirac-Operator sogar verschwindet. Insbesondere lassen sich gewisse ℝ/ℤ-wertige Invarianten flacher Bündel über lokal homogenen Räumen vom Typ Γ\G/H mit Hilfe besagter Formel ausrechnen.

Wenn M ein kompakter symmetrischer Raum ist, gilt D̃_{M}^{κ} = D_{M}^{κ}. Wir berechnen die äquivariante η-Invariante des ungetwisteten Dirac-Operators und des Signatur-Rand-Operators für alle irreduziblen symmetrischen Räume mit rk G − rk H = 1, also für die ungerade-dimensionalen reellen Grassmann-Mannigfaltigkeiten und den Raum SU_{3}/SO_{3}.

Als Funktion auf G kann η_{G}(D) Singularitäten bei allen g ∈ G haben, die nicht frei operieren. Wenn M = ∂N für eine Mannigfaltigkeit N gilt, auf die sich D und die G-Aktion in verträglicher Weise fortsetzen lassen, kann man die Singularität bei g durch ein Integral über eine äquivariante Differentialform auf der Fixpunktmenge von g beschreiben, und erhält η_{G}(D) so auf ganz G, wenn man nur die Werte auf G_{0} kennt und G_{0} in G dicht liegt. Mit dieser Methode und der Formel für η_{G}(D̃_{M}) berechnen wir η_{G}(D_{M}) für die Aloff-Wallach-Mannigfaltigkeiten M = SU_{3}/S^{1}.

Sebastian Goette, Math. Inst. der Univ. Freiburg, Eckerstr. 1, 79104 Freiburg, Germany

   E-mail address: goette@mathematik.uni-freiburg.de

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