Geometrie der Metrischen Raeume (Wintersemester 2023/24)

Dozent: Christian Ketterer (Sprechzeiten: Di, 14--16 (st))

Email: christian.ketterer(at)math(dot)uni-freiburg(dot)de

Assistent:Jonah Reuss

Email: jr1160(at)math(dot)uni-freiburg(dot)de

Vorlesungszeiten, Ort: Mo 08--10 (ct), Mi 08--10 (ct), Ernst-Zermelo-Str. 1, SR 404

Studienleistung:
mindestens 50% der Uebungspunkte und Teilnahme an den Uebungsgruppen (maximal zwei Fehltermine) .

Pruefungsleistung:
Muendliche Pruefung

Kursbeschreibung:
Metrische Räume spielen eine wichtige Rolle in der modernen Differentialgeometrie und auch in vielen anderen mathematischen Disziplinen. In der Differentialgeometrie erscheinen sie zum Beispiel als singuläre Grenzwerte von Folgen Riemannscher Mannigfaltigkeiten oder als Quotientenräume. Das Ziel der Vorlesung ist es, geometrische Methoden und Konzepte zu entwickeln, mit denen wir die globale und lokale Geometrie metrischer Räume untersuchen und Ergebnisse aus der glatten Differentialgeometrie in einen metrischen Kontext verallgemeinern können. Wir beginnen mit einer Einführung in Längenräume und intrinsische metrische Räume, in denen die Vorstellung von Abstand mit einem Konzept von kürzesten Wegen kombiniert wird. Eine wichtige Klasse von metrischen Räumen, die wir dann erkunden werden, sind sogenannte Alexandrov-Räume. Ein Alexandrov-Raum ist ein metrischer Raum, der eine obere (oder untere) synthetische Krümmungsschranke besitzt, wobei "synthetisch" bedeutet, dass sie nicht von einer zugrunde liegenden glatten Struktur abhängt. Diese Klasse umfasst unter anderem die Menge der Riemannschen Mannigfaltigkeiten mit einer oberen (oder unteren) Schnittkrümmungsschranke. Darüber hinaus werden wir uns auf die Frage konzentrieren, wie man abstrakte metrische Räume, die nicht unbedingt in einen "externen" Raum eingebettet sind, vergleichen kann. Um dieses Problem anzugehen, entwickeln wir unter anderem den Gromov-Hausdorff-Abstand, einen Abstand zwischen metrischen Räumen in der Klasse aller metrischen Räume. Weitere Themen der Vorlesung umfassen: den Satz von Hopf-Rinow für metrische Räume, Kegel und Suspensionen, die erste Variation, Alexandrovs Lemma, punktweise Gromov-Hausdorff-Konvergenz, Gromovs Kompaktheitssatz, Tangentialkegel, der Splitting-Satz, metrische Maßräume, messbare Gromov-Hausdorff-Konvergenz. Die Vorlesung kann im Anschluss an die Vorlesung Riemannsche Geometrie aus dem Sommersemester gehört werden. Vorwissen in Riemannschen Geometrie oder in Differentialgeometrie ist aber nicht notwendig. Notwendige Voraussetzungen sind Analysis 1, 2 und 3. Nützlich sind Vorkenntnisse aus der Topology. Die Vorlesung wird bei Bedarf auf Englisch gehalten.

Course Description:
Metric spaces play an important role in modern differential geometry and many other mathematical disciplines. In differential geometry, for example, they appear as singular limits of sequences of Riemannian manifolds or as quotient spaces. The aim of the lecture is to develop geometric methods and concepts that allow us to investigate the global and local geometry of metric spaces and generalize results from smooth differential geometry to a metric context. We begin with an introduction to length spaces and intrinsic metric spaces, where the notion of distance is combined with a concept of shortest paths. An important class of metric spaces that we will then explore are called Alexandrov spaces. An Alexandrov space is a metric space that has an upper (or lower) synthetic curvature bound, where "synthetic" means that it does not depend on an underlying smooth structure. This class includes, among other things, the set of Riemannian manifolds with an upper (or lower) sectional curvature bound. Furthermore, we will focus on the question of how to compare abstract metric spaces that are not necessarily embedded in an "external" space. To address this problem, we develop the Gromov-Hausdorff distance, a distance between metric spaces in the class of all metric spaces. Other topics of the lecture are: the Hopf-Rinow theorem for metric spaces, cones and suspensions, the first variation, Alexandrov's lemma, pointwise Gromov-Hausdorff convergence, Gromov's compactness theorem, tangent cones, the splitting theorem, metric measure spaces, measurable Gromov-Hausdorff convergence. The lecture can be attended following the lecture on Riemannian Geometry from the summer semester. Prior knowledge of Riemannian Geometry or Differential Geometry is not necessary, but prerequisites include Analysis 1, 2, and 3. Pre-existing knowledge of topology is useful. The lecture will be given in English if necessary.

Literatur:
Burago, Burago, Ivanov: "A course in metric geometry"
Gromov: "Metric Structures for Riemannian and non-Riemannian spaces"

Skript

Vorlaeufiger Zeitplan

Woche 1 Vorlesung 1 Einfuehrung; Grundlegende Definitionen: Metrischer Raum
Vorlesung 2 Topologie metrischer Raeume, Vollstaendigkeit
Blatt 1, Anwesenheitsblatt 1, Blatt 1 (english), Anwesenheitsblatt 1 (english)
Woche 2 Vorlesung 3 Kompakte metrische Raeume; Lipschitz Abbildungen zwischen kompakten metrischen Raeumen
Vorlesung 4 Hausdorff Mass und Hausdorff Dimension
Blatt 2, Anwesenheitsblatt 2, Blatt 2 (english), Anwesenheitsblatt 2 (english)
Woche 3 Vorlesung 5 Laengenraeume; Beispiele; Intrinsische metrische Raeume; Strikt intrinsische (metrische) Raeume;
Keine Vorlesung Allerheiligen
Blatt 3, Anwesenheitsblatt 3, Blatt 3 (english), Anwesenheitsblatt 3 (english)
Woche 4 Vorlesung 6 Induzierte Bogenlaenge in metrischen Raeumen; Rektifizierbare Kurven; Geschwindigkeit
Vorlesung 7 Existenz Kuerzester Pfade; Satz von Arzela-Ascoli
Blatt 4, Anwesenheitsblatt 4, Blatt 4 (english), Anwesenheitsblatt 4 (english)
Woche 5 Vorlesung 8 Der Satz von Hopf-Rinow fuer metrische Raeume
Vorlesung 9 Metrische Geschwindigkeit
Blatt 5, Anwesenheitsblatt 5, Blatt 5 (english), Anwesenheitsblatt 5 (english)
Woche 6 Vorlesung 10 Absolut stetige Kurven und ihre Geschwindigkeit
Vorlesung 11 Laenge einer Kurve und Bezug zum 1-dimensional Hausdorff-Mass; Lokalitaet von Laengenraeumen
Blatt 6, Anwesenheitsblatt 6, Blatt 6 (english), Anwesenheitsblatt 6 (english)
Woche 7 Vorlesung 12 Das Verkleben von metrischen Raeumen; direktes Product
Vorlesung 13 Konvexe Mengen; metrischer Kegel und Bezug zu Laengenraeumen
Blatt 7, Anwesenheitsblatt 7, Blatt 7 (english), Anwesenheitsblatt 7 (english)
Woche 8 Vorlesung 14 Winkel; Raum der Richtungen
Vorlesung 15 Raeume mit nichpositiver/nichtnegativer Kruemmung: Vergleichskriterien; Beispiele
Blatt 8, Anwesenheitsblatt 8, Blatt 8 (english), Anwesenheitsblatt 8 (english)
Woche 9 Vorlesung 16 Winkelvergleichs- und Monotoniekriterium; Aequivalenz von Kruemmungsbedingungen
Vorlesung 17 Analysis der Distanzfunktion; Gegenbeispiel: normierte Raeume; Halbstetigkeit von Winkeln
Blatt 9, Anwesenheitsblatt 9, Blatt 9 (english), Anwesenheitsblatt 9 (english)
Woche 10 Vorlesung 18 Erste Variation der Bogenlaenge
Vorlesung 19 Kruemmungschranken ungleich null; Globalisierung
Blatt 10, Anwesenheitsblatt 10, Blatt 10 (english), Anwesenheitsblatt 10 (english)
Woche 11 Vorlesung 20 Gleichmaessige Konvergenz; Hausdorff Abstand; Definition des Gromo-Hausdorff Abstand
Vorlesung 21 Dreiecksungleichung fuer den GH Abstand; Korrespondenzen und epsilon-Isometrien
Blatt 11, Anwesenheitsblatt 11, Blatt 11 (english), Anwesenheitsblatt 11 (english)
Woche 12 Vorlesung 22 GH Konvergenz; Approximation durch endliche Raeume
Vorlesung 23 GH Konvergenz von Laengenraeumen; gepunktete GH Konvergenz
Blatt 12, Anwesenheitsblatt 12, Blatt 12 (english), Anwesenheitsblatt 12 (english)
Woche 13 Vorlesung 24 Gromov's Kompaktheitssatz
Vorlesung 25 4 Punkt Bedingung fuer Alexandrov Raeume mit nach unten beschraenkter Kruemmung; Beispiele
Blatt 13, Blatt 13 (english)
Woche 14 Vorlesung 26 Alexandrov Raeum mit Kruemmung groesser als 1
Vorlesung 27 strainer-Punkte, lokale Regularitaet, Homothety map
Blatt 14, Blatt 14 (english)
Woche 15 Vorlesung 28 Bishop-Gromov Volumen Monotonie; Gromov's Kompaktheitssatz
Vorlesung 29 Raum der Richtungen als Alexandrov Raum, Tangentialkegel, regulaere Punkte, Randpunkte