Nadine Große

SS 2025: Seminar - Hauptfaserbündel, Holonomie und charakteristische Klassen

Koordinaten

DozentInnen: Nadine Große und Maximilian Stegemeyer
Zeit: Dienstag 08:15-10:45, SR 404, Ernst-Zermelo-Str. 1
Vorbesprechung und Vortragseinteilung: Dienstag, 4.2.2025, 10 Uhr, SR 318

Motivation und Überblick

Auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit (M,g) kann durch Paralleltransport entlang einer Kurve eine Isometrie zwischen den Tangentialräumen an verschiedenen Punkten gefunden werden. Beschränkt man sich auf geschlossene Kurven, so erhält man eine Gruppe von linearen Isometrien des Tangentialraums eines Punktes. Diese Gruppe hängt bis auf Isomorphismus nur von der Riemannschen Metrik und der Mannigfaltigkeit - nicht aber vom gewählten Punkt - ab. Man bezeichnet diese Gruppe als die Holonomie-Gruppe von (M,g). Die Holonomie-Gruppe enthält wichtige Informationen über die Metrik und über zusätzliche geometrische Strukturen der Mannigfaltigkeit. Im ersten Teil dieses Seminars wollen wir das Konzept der Holonomiegruppe verstehen. Dafür werden wir Zusammenhänge auf Hauptfaserbündeln benutzen und zunächst noch allgemeiner den Begriff der Holonomiegruppe eines Zusammenhangs auf einem Hauptfaserbündel betrachten. Mit den erlernten Methoden über Zusammenhänge auf Hauptfaserbündeln lassen sich dann auch charakteristische Klassen behandeln. Dies sind Kohomologieklassen in der de-Rham-Kohomologie einer Mannigfaltigkeit, die für ein gegebenes Vektorbündel über der Mannigfaltigkeit konstruiert werden können. Im letzten Teil des Seminars werden wir daher auch diese charakteristischen Klassen, ihre Konstruktion und deren Anwendungen kennen lernen.

Vorkenntnisse

Differentialgeometrie 1, insbesondere Grundkenntnisse in Riemannscher Geometrie und Differentialformen. Andere Veranstaltungen aus dem Bereich Differentialgeometrie sind hilfreich, aber keine Voraussetzung für die Teilnahme am Seminar.

Programm

Vortragsplan (vorläufig)