Nadine Große

WS 2020/21: Seminar - Hyperfunktionen

Koordinaten

Zeit: Dienstag 12-14, SR 404, Ernst-Zermelo-Straße 1
Tutorium: Dr. Ksenia Fedosova
Vorbesprechung: Mittwoch, 27.07.2022, Uhrzeit 13 Uhr s.t, in SR127 in Ernst-Zermelo-Str. 1

Für Studierende im Lehramt mit Vorkenntnissen in Funktionentheorie geeignet!

Abstrakt

Manchmal ist die Menge der klassischen Funktionen nicht ausreichend, sondern man benötigt allgemeinere Objekte. Ein Beispiel ist die Dirac-Deltafunktion. Sie taucht in der Physik als Dichte einer idealisierten Punktmasse auf und ist überall Null außer in einem Punkt. Weiterhin, ist das Integral über die reelle Achse gleich eins. Das impliziert, dass die Dirac-Deltafunktionen entgegen ihrem Namen keine Funktion sein kann.

Es gibt verschiedene Wege die Menge der klassischen Funktionen derart zu erweitern, dass man eine mathematisch rigorose Definition der Dirac-Deltafunktion erhält und sogar derart, dass man alle Ableitungen von lokal integrierbaren Funktionen in diesen Rahmen fassen kann, selbst dann, wenn diese Funktionen im klassischen Rahmen gar keine Ableitung besitzen. Eine solche Möglichkeit benutzt sogenannte Distributionen. Dort betrachtet man (statt Funktionen) lineare Abbildungen, die auf 'genügend schönen' Funktionen wirken. Ein anderer - noch allgemeinere Weg - sind Hyperfunktionen.

Hyperfunktionen können als 'Sprung' einer holomorphen Funktion auf der oberen Halbenene zu einer anderen holomorphen Funktion auf der unteren Halbebene der komplexen Ebene definiert werden. Diese 'Sprung ' kann nicht als Differenz von Grenzwerten von zwei Funktionen aufgefasst werden, da der Grenzwert nicht existieren muss. Überraschenderweise hat der Sprung aber eine natürliche Interpretation, die aus der Hydrodynamik kommt, von 'Vortex sheets' einer perfekten Flüssigkeit.

Das Hauptziel dieses Seminars ist es die Theorie der Hyperfunktionen in einer Dimension zu entwickeln und ihre zugehörige Fouriertheorie kennenzulernen.

Programm

Vortragsplan (vorläufig)