\section{Darstellungen und Moduln}
\subsection{Definitionen und Grundlagen}\label{DeGru}
\begin{Definition}
Eine \defnoind{Darstellung},\index{Darstellung!von Gruppe}
 englisch und franz"osisch
\defind{representation}, einer Gruppe $G$ "uber einem K"orper $k$
ist ein Paar $(V,\rho)$ bestehend aus einem $k$-Vektorraum $V$
und einem Gruppenhomomorphismus
$$\rho : G \ra \op{GL} (V)$$
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
Oft bezeichnen wir eine Darstellung abk"urzend mit demselben
Symbol wie den zugrundeliegenden Vektorraum. Gegeben eine
Darstellung $V$ einer Gruppe $G$  bezeichnet dann
$\rho_{V}$ den zugeh"origen Gruppenhomomorphismus $\rho_{V}: G \ra
\op{GL} (V).$ In derselben Weise definiert man auch allgemeiner
den Begriff der \defnoind{Darstellung eines Monoids} "uber einem
K"orper oder, noch allgemeiner, 
"uber einem Ring $k.$\index{Darstellung!von Monoid}
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}\label{DarM}
Im Fall $V = k^{n}$ ist $\op{GL} (V) = \op{GL} (n;k)$ die Gruppe der
invertierbaren $n\times n$-Matrizen mit Eintr"agen in $k.$ Ist
unser Gruppenhomomorphismus $\rho : G \ra \op{GL} (V)$
dann auch noch injektiv, so \glqq stellt $\rho$ die
abstrakte Gruppe $G$ dar als eine konkrete Gruppe von Matrizen\grqq, 
daher die Bezeichnung als \glqq Darstellung\grqq. 
So k"onnte zum Beispiel die zweielementige Gruppe dargestellt werden, 
indem man ihr nichttriviales Element als  Punktspiegelung auf der
Ebene operieren l"a"st, oder als Spiegelung an einer Achse in der Ebene, 
oder 
als Punktspiegelung auf dem Raum, oder als Spiegelung an einer Ebene im Raum,
oder auch als Drehung mit dem Winkel $180^\circ$ um eine Achse. 
Das Symbol $\rho$ ist ein \glqq rho\grqq,
das Analogon f"ur unser 
\glqq r\grqq\  im  griechischen Alphabet. Es steht f"ur 
\glqq representation\grqq.
Das folgende Lemma erkl"art, in welchem Sinn eine Darstellung einer
Gruppe $G$  nichts anderes ist als eine Operation von $G$ auf
einem Vektorraum
\glqq durch lineare Abbildungen\grqq.  
\end{Bemerkungl}
\begin{Ubung}
Sei $G$ eine Gruppe und $k$ ein K"orper und $V$ ein $k$-Vektorraum.
So induziert die Bijektion $\op{Ens}(G,\op{Ens}(V,V))\sira
\op{Ens}(G\times V,V)$ aus \ref{ABBK} eine Bijektion
$$\left\{\begin{array}{c}\text{Darstellungen}\\G\ra\op{GL}(V)
 \end{array}\right\}
\;\overset{\sim}{\ra} \; 
\left\{\begin{array}{c}\text{$G$-Operationen } G\times V\ra V\\
\text{durch $k$-lineare Abbildungen}
 \end{array}\right\}
$$
wobei wir mit einer \glqq $G$-Operation durch $k$-lineare Abbildungen\grqq\  
eine $G$-Operation
 $G \times V \ra V$ im Sinne von \ref{Wir} meinen
mit der Eigenschaft, da"s gilt $g(v + w) = gv + gw$ und $g(\lambda
v)=\lambda (gv) \quad \forall g \in G,$ $\lambda \in k$ und $v,w \in V.$ 
Analoges gilt allgemeiner auch f"ur Darstellungen von Monoiden "uber Ringen.
\end{Ubung}
%% \begin{Lemma}
%% Sei $G$ eine Gruppe und $k$ ein K"orper.
%% \begin{enumerate}
%% \item
%% Ist $(\rho,V)$ eine Darstellung von $G$ "uber $k,$ so ist die Abbildung
%% $$\begin{array}{ccc}
%% G\times V& \ra & V\\
%% (g, v) & \mapsto &(\rho (g))(v)
%% \end{array}$$
%% eine Operation der Gruppe $G$ auf der Menge $V.$
%% \item
%% Ist $G \times V \ra V$ eine Operation der Gruppe $G$ auf einem
%% $k$-Vektorraum $V$ derart, da"s gilt $g(v + w) = gv + gw$ und $g(\lambda
%% v)=\lambda (gv) \quad \forall g \in G,$ $\lambda \in k$ und $v,w \in V,$ so
%% definiert die Formel $(\rho (g))(v) = gv$ eine Darstellung $\rho :
%% G \ra \op{GL} (V).$
%% \end{enumerate}
%% \end{Lemma}
%% \begin{proof}[Beweis]
%% Dem Leser "uberlassen.
%% \end{proof}


\begin{Beispiel}
Jeder Vektorraum $V$ wird eine Darstellung seiner Automorphismengruppe $G
= \op{GL} (V) $ vermittels $\rho = \op{id}.$ Diese Darstellung hei"st
die \defind{Standarddarstellung} {\bf von} $\op{GL} (V) .$
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}
Jeder Vektorraum $V$ wird eine Darstellung einer beliebigen Gruppe
$G$ vermittels der trivialen Operation $\rho (g) = \op{id}_{V} \quad
\forall g \in G.$
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}
Ist $K/k$ eine K"orpererweiterung, 
so ist $K$ eine Darstellung  "uber $k$
der
Galoisgruppe $\op{Gal} (K/k).$
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}
Eine Darstellung $(V,\rho)$ der Gruppe $\DZ$ anzugeben bedeutet
nach \ref{GHZ} nichts anderes, als einen Automorphismus
$A \in \op{GL} (V)$ eines Vektorraums $V$ anzugeben, n"amlich dem
Automorphismus $A = \rho (1)$.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}\label{DD22}
Wir untersuchen nun die endlichdimensionalen Darstellungen der Gruppe
$\DZ/2\DZ.$
Eine solche Darstellung ist ja nichts anderes als ein
endlichdimensionaler Vektorraum $V$ mit einem Endomorphismus $A :
V \ra V$ derart, da"s gilt $A^{2} = \op{id}_{V}$.
Wir unterscheiden zwei F"alle.
\begin{description}
\item[$\op{char} k  \neq 2$:] In diesem Fall ist $V$ die direkte
Summe $V = V^{+} \oplus V^{-}$ der Eigenr"aume von $A$ zu den
Eigenwerten $\pm 1,$ f"ur alle $v\in V$  gilt n"amlich
$$v = \frac{1}{2} (v + Av) + \frac{1}{2} (v - Av)$$

\item[$\op{char} k  = 2$:] In diesem Fall hat $A$ nur den
Eigenwert 1, in einer geeigneten Basis von $V$ hat also $A$ eine
Matrix in Jordan'scher Normalform, und aus $A^{2} = \op{id}_{V}$
folgt, da"s hier nur Jordanbl"ocke der Gr"o"sen eins und zwei m"oglich
sind.
\end{description}
Um die Analoga dieser Erkenntnisse 
f"ur eine beliebige Gruppe $G$  formulieren zu k"onnen,
bauen wir zun"achst unseren Begriffsapparat  weiter aus.
\end{Beispiel}
\begin{Definition}
Seien $V,W$ Darstellungen einer Gruppe $G$ "uber einem festen
K"orper $k.$ Ein
\defnoind{Homomorphismus von 
Darstellungen}\index{Homomorphismus!von Darstellungen} ist eine
$k$-lineare Abbildung $f:V \ra W$ derart, da"s gilt $f(gv) = gf (v)$
f"ur alle $v \in V,$ $g \in G.$
Ein \defnoind{Isomorphismus von 
Darstellungen}\index{Isomorphismus!von Darstellungen} ist ein bijektiver
Homomorphismus. Gibt es einen Isomorphismus zwischen zwei Darstellungen
$V$ und $W,$ so schreiben wir auch $V\cong W$ und sagen,
$V$ und $W$ seien \defnoind{isomorph}.\index{isomorph!Darstellungen}
\end{Definition}
\begin{Definition}
Gegeben Darstellungen $V,W$ einer Gruppe $G$ "uber einem K"orper $k$
definieren wir ihre \defind{direkte Summe} als den Vektorraum $V
\oplus W$ mit der Operation $g(v,w) = (gv, gw).$
"Ahnlich definieren wir auch direkte Summen von endlich oder
sogar unendlich vielen Darstellungen.
Die direkte Summe von $n$ Kopien einer Darstellung $V$ k"urzen
wir ab mit $V^n.$  F"ur den Fall $n=0$ 
vereinbaren wir $V^0=0.$
\end{Definition}
\begin{Beispiel}\label{BD2}
Nun k"onnen wir die obigen Erkenntnisse wie folgt formulieren:
\begin{description}
\item[$\op{char} k  \neq 2$:]
Bezeichnet $k_{+}$ bzw.\ $k_{-}$ die triviale
bzw.\ die nichttriviale eindimensionale Darstellung von $\DZ / 2
\DZ,$ so ist jede endlichdimensionale Darstellung von $\DZ/ 2\DZ$
"uber $k$ isomorph zu genau einer Darstellung der Gestalt
$k^{n}_{+} \oplus k^{m}_{-}$ f"ur $n, m \in \DN.$

\item[$\op{char} k  = 2$:]
Bezeichnet $k$ bzw.\ $P$ die triviale Darstellung bzw.\ eine
zweidimensionale Darstellung mit nichttrivialer Operation von $\DZ
/2\DZ,$ bei der also das 
nichtneutrale Element durch einen Jordanblock der Gr"o"se zwei
mit Eigenwert Eins operiert,
so ist jede endlichdimensionale Darstellung von $\DZ /2
\DZ$ "uber $k$ isomorph zu genau einer Darstellung der Gestalt
$k^{n} \oplus P^{m}$ f"ur $n, m \in \DN.$
\end{description}
Von den in \ref{DarM} diskutierten F"allen 
w"are in dieser Notation die Punktspiegelung auf der
Ebene $\DR_-^2,$ die Spiegelung an einer Achse $\DR_+\oplus \DR_-,$
die Punktspiegelung im Raum $\DR_-^3,$ die Spiegelung an einer 
Ebene $\DR_+^2\oplus \DR_-,$ und
die Drehung mit dem Winkel $180^\circ$ um eine Achse $\DR_+\oplus \DR_-^2.$  
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungl}
Wir wollen nun 
"ahnliche Aussagen auch f"ur allgemeinere Gruppen formulieren
und bauen dazu unseren Begriffsapparat noch weiter aus.
\end{Bemerkungl}

\begin{Definition}
Sei $G$ eine Gruppe.
\begin{enumerate}
\item
Eine Teilmenge $W \subset V$ einer Darstellung $V$ von $G$ hei"st
eine \defnoind{Unterdarstellung}\index{Unterdarstellung!abstrakte} 
genau dann, wenn $W$ ein
unter $G$ stabiler Untervektorraum ist, in Formeln
$g \in G,$ $w \in W
\Rightarrow gw \in W.$
\item
Eine Darstellung $V$ von $G$ hei"st 
\defnoind{irreduzibel}\index{Darstellung!irreduzible}\index{irreduzibel!Darstellung,
Gruppe} oder
\defnoind{einfach}\index{Darstellung!einfache}\index{einfach!Darstellung, Gruppe}
genau dann,
wenn $V$ nicht der Nullraum ist, aber 0 und $V$ die einzigen
Unterdarstellungen von $V$ sind.
\item
Eine Darstellung $V$ von $G$ hei"st 
\defnoind{unzerlegbar}\index{Darstellung!unzerlegbare}\index{unzerlegbar!Darstellung} 
genau dann,
wenn $V$ nicht der Nullraum ist und es keine zwei von Null
verschiedenen Unterdarstellungen $W_{1},W_{2}\subset V$ gibt mit $V = W_{1}
\oplus W_{2}.$
\item
Eine Darstellung $V$ von $G$ hei"st 
\defnoind{zyklisch}\index{Darstellung!zyklische}\index{zyklisch!Darstellung} 
genau dann,
wenn es einen Vektor $v\in V$ gibt, dessen Bahn bereits die ganze Darstellung
als Vektorraum erzeugt, in Formeln $\langle Gv\rangle=V.$ 
Solch ein Vektor hei"st dann ein\index{Vektor!zyklischer in Darstellung}
{\bf zyklischer Vektor}.\index{zyklisch!Vektor in Darstellung}
\end{enumerate}
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
Zum Beispiel ist jede eindimensionale Darstellung irreduzibel.
Unsere Darstellung $P$ von \ref{BD2}  ist zwar unzerlegbar, aber nicht
irreduzibel. Wir formulieren nun ein n"achstes Ziel.
\end{Bemerkungl}

\begin{Proposition}\label{EVI}
Eine endliche Gruppe hat "uber jedem  K"orper bis
auf Isomorphismus h"ochstens soviele irreduzible Darstellungen
wie  Elemente. Bezeichnet also $\op{irr}_kG$ die Menge der
Isomorphieklassen irreduzibler Darstellungen einer Gruppe $G$ "uber einem
K"orper $k,$ so gilt in Formeln stets 
$$|\op{irr}_kG|\leq |G|$$
\end{Proposition}
\begin{Bemerkungl}
  Zum Beweis der Proposition \ref{EVI} entwickeln wir im Folgenden allgemeine
  Begriffe und Methoden, die Ihnen auch in anderem Kontext st"andig begegnen
  werden.  Wir beweisen sie dann als Satz \ref{ZIDa}.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkunge}
Bereits f"ur die Klein'sche Vierergruppe gibt es "uber dem
K"orper mit zwei Elementen unzerlegbare Darstellungen 
beliebig gro"ser Dimension, siehe \cite{Ben}, 4.3.
Die Proposition gilt also nicht mehr, wenn wir  darin \glqq irreduzibel\grqq\  
durch \glqq unzerlegbar\grqq\  ersetzen.
\end{Bemerkunge}
\begin{Ubung}\label{pGD}
Man zeige, da"s gegeben eine Primzahl $p$ jede $p$-Gruppe "uber
einem K"orper der Charakteristik $p$ bis auf Isomorphismus nur
eine einzige einfache Darstellung besitzt. Hinweis: 
Man beginne mit dem Fall zyklischer Gruppen und verwende dann \ref{AL}.
\end{Ubung}


\begin{Ubung}\label{ZIA}
Gegeben ein Gruppenhomomorphismus
$H\ra G$ k"onnen wir jede Darstellung $V$ von $G$ 
zur"uckziehen zu einer Darstellung $\op{res}_G^H V$ von $H.$
Man zeige, da"s wir beim Zur"uckziehen mit einem inneren Automorphismus 
$G\ra G$ eine zur urspr"unglichen Darstellung isomorphe Darstellung erhalten.
\end{Ubung}

  

  \begin{Bemerkunge}
    Stabilisiert eine endliche Untergruppe der Automorphismengruppe eines
    endlichdimensionalen reellen Vektorraums ein Gitter, so nennt man sie
    \defind{kristallographisch}. Gleichbedeutend ist nach \ref{ZForm} die
    Forderung, da"s sie bez"uglich einer geeigneten Basis durch Matrizen mit
    rationalen Eintr"agen dargestellt wird.
\end{Bemerkunge}


\begin{Ubunge}\label{ZForm}
Gegeben eine endlichdimensionale Darstellung 
$V$ einer endlichen Gruppe "uber $\DQ$
gibt es stets eine {\bf $\DZ$-Form}\index{Z-Form@$\DZ$-Form!einer Darstellung},
als da hei"st ein unter $G$ stabiles  Gitter $V_\DZ\subset V .$ 
\end{Ubunge}

\begin{Ubung}\label{KGD}
Gegeben eine Darstellung 
$(V,\rho)$ einer Gruppe $G$ "uber einem K"orper $k$
erhalten wir eine Darstellung $(V^\ast,\rho^\ast)$ auf dem
Dualraum durch die Vorschrift $\rho^\ast(g)=(\rho(g^{-1}))^\top.$
Sie hei"st die {\bf kontragrediente
  Darstellung}\index{kontragredient!Darstellung von Gruppe} 
zur Darstellung $(V,\rho).$
Man zeige, da"s eine endlichdimensionale Darstellung einfach ist genau dann,
wenn die zugeh"orige kontragrediente Darstellung einfach ist. Man gebe ein
Beispiel
f"ur eine eindimensionale Darstellung, die nicht zu ihrer kontragredienten
Darstellung
isomorph ist.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}
Die Dimension einer zyklischen und erst recht einer 
irreduziblen Darstellung ist beschr"ankt durch die
Kardinalit"at der dargestellten Gruppe.  
\end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{BsQ}
Man zeige, da"s die Quaternionen aufgefa"st als reeller Vektorraum eine
irreduzible Darstellung der achtelementigen Quaternionengruppe aus \ref{QuatG}
bilden.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
  Wieviele Unterdarstellungen hat die Darstellung $\DR_+\oplus \DR_-$ 
der Gruppe $\DZ/2\DZ$? Ist sie zyklisch? Was ist die Dimension des 
Raums der Homomorphismen von dieser Darstellung zu sich selber?
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
  Man gebe alle Unterdarstellungen der Darstellung $\DR_+^2\oplus \DR_-$ 
der Gruppe $\DZ/2\DZ$ an. Ist diese Darstellung zyklisch? 
Was ist die Dimension des 
Raums der Homomorphismen von dieser Darstellung zu sich selber?
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
  Man bestimme die Dimension des Raums der Homomorphismen von
Darstellungen $(\DR_+^n\oplus \DR_-^m)\ra (\DR_+^a\oplus \DR_-^b).$
\end{Ubung}

\subsection{Moduln "uber Ringen}
\begin{Definition}\label{LM}
Sei $R$ ein Ring. Ein \defnoind{$R$-Modul}\index{Modul!eines Rings} 
ist eine abelsche Gruppe
$(M,+)$ mit einer Abbildung
$$\begin{array}{ccl}
R\times M &\ra & M\\
(r,m) & \mapsto & rm
\end{array}$$
derart, da"s f"ur alle $r, s \in R$ und $m,n \in M$ gilt:
\begin{enumerate}
\item
$r(m+n) = (rm) +(rn)$;
\item
$(r+s)m = (rm)+(sm)$;
\item
$r(sm)=(rs)m$;
\item
$1m =m.$
\end{enumerate}
\end{Definition}

\begin{Beispiel}
Ist $R$ ein K"orper, so nennt man einen $R$-Modul meist einen
$R$-Vektorraum.
Der Ring $R$ selbst ist in offensichtlicher Weise ein
$R$-Modul. Dasselbe gilt f"ur $R^n.$ Weitere Beispiele kommen sp"ater.
\end{Beispiel}
\begin{Bemerkungl}
  Wir vereinbaren auch in diesem Kontext die Regel \glqq Punkt vor Strich\grqq.  Wie
  bei Vektorr"amen zeigt man f"ur alle $m\in M$ die Formel $0m=0,$ genauer $0_R
  m=0_M,$ und folgert $(-1)m=-m.$
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Arbeitet man mit der alternativen Konvention, 
nach der Ringe nicht notwendig unit"ar zu sein brauchen, so ist
die dritte Bedingung nicht mehr sinnvoll und wird 
weggelassen. Unsere Moduln w"urde man in diesen
Konventionen als
\glqq unit"are Moduln "uber einem unit"aren Ring\grqq\  bezeichnen.
\end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkungl}
Gegeben eine abelsche Gruppe $M$ bilden wir
wie in \ref{KonsR}  den Ring $\op{Ab} M$
aller Gruppenhomomorphismen $\varphi : M \ra M,$ den sogenannten
{\bf Endomorphismenring 
von $M$}.\index{Endomorphismenring!von abelscher Gruppe} 
Seine Addition
ist die Addition von Abbildungen, $(\varphi + \psi)(m)=\varphi (m)
+ \psi (m),$ die Multiplikation ist die Verkn"upfung von
Abbildungen, $\varphi \psi = \varphi \circ \psi,$ und das Einselement
ist die Identit"at $\op{id} : M \ra M.$  
\end{Bemerkungl}
\begin{Ubung}\label{DZ}
Gegeben eine abelsche Gruppe $M$ und ein Ring $R$ 
induziert die kanonische Identifikation
$\op{Ens}(R\times M,M)\sira \op{Ens}(R, \op{Ens}(M,M))$
aus \ref{ABBK} eine Bijektion
$$\left\{\begin{array}{c}\text{Strukturen als $R$-Modul}\\
\text{auf der abelschen Gruppe }M 
 \end{array}\right\}
\;\overset{\sim}{\ra} \; 
\left\{\begin{array}{c}\text{Ringhomomorphismen}\\
R\ra \op{Ab}M
 \end{array}\right\}
$$
Im Fall eines K"orpers war das bereits "Ubung \ref{DZk}.
\end{Ubung}
%% \begin{Lemma}\label{DZ}
%% Sei $M$ eine abelsche Gruppe und $R$ ein Ring.
%% \begin{enumerate}
%% \item
%% Ist $\varphi : R \ra \op{Ab} M$ ein Ringhomomorphismus, so macht die
%% Vorschrift $rm = (\varphi (r))(m)$ die abelsche Gruppe $M$ zu
%% einem $R$-Modul.
%% \item
%% Ist $M$ ein $R$-Modul, so induziert die Abbildung $\varphi : R \ra
%% \op{Ens} M,$ $(\varphi (r))(m) =rm$ einen Ringhomomorphismus
%% $\varphi : R \ra \op{Ab} M.$
%% \end{enumerate}
%% \end{Lemma}
%% \begin{proof}[Beweis]
%% Dem Leser "uberlassen.
%% \end{proof}
\begin{Bemerkungl}
In diesem Sinne ist eine $R$-Modulstruktur auf einer
abelschen Gruppe $M$ also \glqq dasselbe\grqq\ 
wie ein Ringhomomorphismus $R \ra \op{Ab} M.$
F"ur jeden Ring $E$ gibt es nun genau einen Ringhomomorphismus $\DZ
\ra E.$
Jede abelsche Gruppe $M$ tr"agt also genau eine
$\DZ$-Modulstruktur.
Wir k"onnen diese $\DZ$-Modulstruktur auch explizit beschreiben,
f"ur $a \in \DN$ ist eben notwendig $1m =m,$ also $2m = (1+1)m = m+m,$
induktiv $(a+1) m = am +m,$ und dann 
$(-a)m = (-1)am= -(am).$  
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkunge}\label{OmeM}
Sei $\Omega$ eine Menge.
Unter einem {\bf $\Omega$-Modul}\index{Modul!"uber Menge}
versteht man manchmal eine abelsche Gruppe $M$ mitsamt einer Abbildung
$\Omega\ra \op{Ab}(M)$ unserer Menge $\Omega$ in den
Endomorphismenring der abelschen Gruppe $M.$ 
Das ist nun allerdings nichts anderes als ein Modul in unserem
bisherigen Sinne "uber dem \glqq nichtkommutativen Polynomring "uber $\DZ$
in durch $\Omega$ indizierten Variablen\grqq, den wir in der Notation
aus \ref{FrO} etwa
$\op{Ring}^\ua\Omega$ notieren k"onnten. Insofern bringt uns
dieses Konzept nichts Neues und alles, was wir im folgenden zu Moduln 
"uber Ringen zeigen, gilt a forteriori auch f"ur Moduln "uber Mengen. 
\end{Bemerkunge}


\begin{Bemerkungl}
Ist $\varphi : R \ra S$ ein Ringhomomorphismus, so wird jeder
$S$-Modul und insbesondere auch $S$ selbst ein
$R$-Modul vermittels der Operation $rm = \varphi (r) m.$
Dies Verfahren hei"st 
{\bf Restriktion der Skalare},\index{Restriktion!der Skalare} 
und zwar
selbst dann, wenn $\varphi : R \ra S$ nicht die Inklusion eines
Teilrings ist.
Zum Beispiel ist f"ur jedes Ideal
$\frak{a} \subset R$ der Quotient
$R/\frak{a}$ ein $R$-Modul in nat"urlicher Weise.  
\end{Bemerkungl}


\begin{Ubung}\label{KX}
Gegeben eine abelsche Gruppe $M$ und ein K"orper $k$ 
haben wir  nat"urliche  Bijektionen
$$
\begin{array}{ccc}
\left\{\begin{array}{c}\text{Strukturen als $k[X]$-Modul}\\
\text{auf der abelschen Gruppe }M 
 \end{array}\right\}
&\overset{\sim}{\ra} & 
\left\{\begin{array}{c}\text{Ringhomomorphismen}\\
k[X]\ra \op{Ab}M
 \end{array}\right\}\\[2mm]
&&\wr\!\da\\[2mm]
\left\{\begin{array}{c}\text{Paare $(\psi,A)$ 
bestehend aus}\\
\text{einer $k$-Vektorraumstruktur}\\ \psi: k\times M\ra M\\
\text{auf der abelschen Gruppe }M\\
\text{und einem Endomorphismus}\\ A\in \op{End}_k( M)
\end{array}\right\}
&\overset{\sim}{\ra}&
\left\{\begin{array}{c}\text{Paare $(\varphi,A)$ 
bestehend aus}\\
\text{einem Ringhomomorphismus}\\ \varphi: k\ra \op{Ab}M\\
\text{und einem mit seinem Bild}\\
\text{kommutierenden Element}\\
A\in \op{Ab}M \end{array}\right\}
\end{array}
$$
Genauer liefert \ref{DZ} die obere horizontale
Bijektion  und \ref{EiP}
die vertikale Bijektion. %  und die obere horizontale
% Bijektion folgt leicht aus \ref{DZ}
In diesem Sinne ist also ein $k[X]$-Modul \glqq dasselbe\grqq\  wie ein
$k$-Vektorraum mit einem $k$-linearen Endomorphismus.  
%Im Fall eines K"orpers war das bereits "Ubung \ref{DZk}.
\end{Ubung}





%% \begin{Lemma}\label{KX}
%% Sei $k$ ein K"orper.
%% \begin{enumerate}
%% \item
%% Ist $M$ ein $k[X]$-Modul, so erhalten wir auf
%% $M$ die Struktur eines $k$-Vektor\-raums durch Restriktion,
%% und die Multiplikation mit
%% $X$ ist eine $k$-lineare Abbildung $M \ra M.$
%% \item
%% Ist $M$ ein $k$-Vektorraum und $A : M \ra M$ eine $k$-lineare
%% Abbildung, so macht die Vorschrift $P m = P(A) (m)$ f"ur $m \in
%% M$ und $P \in k [X]$ unser $M$ zu einem $k[X]$-Modul.
%% \end{enumerate}
%% \end{Lemma}
%% \begin{proof}[Beweis]
%% Dem Leser "uberlassen.
%% \end{proof}


\begin{Definition}\label{GruR}
Gegeben  $k$ ein Ring und $G$ eine Gruppe definieren wir den 
\defind{Gruppenring} $$k G$$  der Gruppe $G$ "uber $k$ wie folgt:
Als abelsche Gruppe ist $k G$ 
wie in \ref{FrOV} die Menge aller Abbildungen $f: G
\ra k,$ die nur an endlich vielen Stellen von Null verschiedene
Werte annehmen. So eine Abbildung schreiben wir als eine formale
Linearkombination $\sum f(g) g$ von Elementen aus $G$ mit
Koeffizienten aus $k.$ Die Multiplikation $\ast$ in $k G,$
manchmal auch 
{\bf Konvolution}\index{Konvolution!Multiplikation eines Gruppenrings} 
oder 
{\bf Faltung}\index{Faltung!Multiplikation eines Gruppenrings}
genannt, erkl"aren wir
durch die Vorschrift
$$\left(\sum_{g\in G} a_{g} g\right) {\ast} \left(\sum_{h \in G}b_{h}h\right)
= \sum_{x
\in G} \left(\sum_{gh=x} a_{g}b_{h}\right)x$$
wo\index{*!Faltung in Gruppenring} 
die innere Summe rechts "uber alle Paare $(g,h)\in G\times G$
laufen soll mit $gh=x.$
Offensichtlich erhalten wir so einen Ring mitsamt einem
Ringhomomorphismus $k\hookrightarrow k G,$ $a\mapsto ae$
f"ur $e\in G$ das neutrale Element und mitsamt einem
Monoidhomomorphismus $G \ra k G,$ $g\mapsto 1g$
von unserer Gruppe in  ihren Gruppenring mit der Multiplikation als 
Verkn"upfung. Ist $k$ ein K"orper, so 
ist dieser Monoidhomomorphismus, wenn wir ihn
als eine durch $G$ indizierte Familie von Elementen von $kG$ 
auffassen, offensichtlich eine Basis von $k G$ "uber $k$. 
F"ur Ringe gilt dasselbe mit dem auf Moduln erweiterten Basisbegriff aus 
\ref{BMoo}. Wir schreiben meist kurz $ae=a$ und 
$1g=g,$ auch wenn wir Elemente des
Gruppenrings meinen, und notieren die Faltung oft ohne $*$
schlicht durch Hintereinanderschreiben.  
H"aufig wird der Gruppenring auch  $k[G]$ notiert.
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl}\label{NotE}
Die eben eingef"uhrte Notation f"ur Gruppenringe ist nur im
Fall multiplikativ notierter Gruppen praktisch: Im Fall additiv notierter
Gruppen w"are  bereits der Ausdruck $g+h$ zweideutig, es k"onnte 
damit entweder
die Summe in der Gruppe $1(g+h)$ oder die Summe im Gruppenring $1g+1h$ 
gemeint sein.
Aus diesem Grund schreibt man im Fall additiv notierter
Gruppen Elemente des Gruppenrings lieber in der Form
$\sum f(g) \op{e}^g,$ 
wobei die Notation $\op{e}^g$ nur eine rein
formale Bedeutung hat. Dann gilt etwa im Gruppenring 
$\op{e}^{g+h}=\op{e}^g\op{e}^h\neq \op{e}^g+\op{e}^h$
und man kann wieder ganz intuitiv rechnen.
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}\label{MoiR}
Wir erhalten einen Isomorphismus $k \DZ\sira k[X,X^{-1}]$
zwischen dem 
Gruppenring der Gruppe $ \DZ$ "uber einem Ring $k$ und dem Ring
$k[X,X^{-1}]$ der Laurentpolynome
mit Koeffizienten in $k$ durch die Vorschrift $\sum a_n \op{e}^n\mapsto
\sum a_n X^n.$ 
Allgemeiner kann man in derselben
Weise auch f"ur jedes Monoid $G$ den \defind{Monoidring} $k G$
einf"uhren und erh"alt 
analog einen Ringisomorphismus $k \DN\sira k[X].$
\end{Bemerkungl}
\begin{Ubung}
Gegeben ein  Ringhomomorphismus  $\varphi: k\ra R$ 
und ein Monoid $G$ und Monoidhomomorphismus $\psi:G\ra (R,\cdot)$
mit der Eigenschaft $\varphi(a)\psi(g)
=\psi(g)\varphi(a)\;\forall a\in k,$ $g\in G$ 
gibt es genau einen Ringhomomorphismus $kG\ra R,$ der
$\varphi$ und $\psi$ fortsetzt.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{MGru}
Diese "Ubung ist grundlegend f"ur die in diesem Text 
vorgesehene Entwicklung der Darstellungstheorie endlicher Gruppen.
Sei $G$ eine Gruppe oder allgemeiner
ein Monoid und $k$ ein K"orper oder allgemeiner ein
Ring und $M$ eine abelsche Gruppe. 
Das Einschr"anken einer Abbildung
$kG\times M\ra M$ zu Abbildungen $k\times M\ra M$ und $G\times M\ra M$
liefert dann die vertikale  Bijektion im Diagramm
%% $$
%% \begin{array}{ccc}
%% \left\{\begin{array}{c}\text{$kG$-Modulstrukturen}\\kG\times M\ra M\\
%% \text{auf der abelschen Gruppe }M 
%%  \end{array}\right\}
%% &\overset{\sim}{\ra} &
%% \left\{\begin{array}{c}\text{$k$-Modulstrukturen}\\k\times M\ra M\\
%% \text{auf der abelschen Gruppe }M \\
%% \text{zusammen mit $G$-Operation}\\G\times M\ra M\\
%% \text{durch $k$-lineare Abbildungen}
%%  \end{array}\right\}\\
%% &&\da\wr\\
%% &&\left\{\begin{array}{c}\text{$k$-Modulstrukturen}\\k\times M\ra M\\
%% \text{auf der abelschen Gruppe }M \\
%% \text{zusammen mit}\\
%% \text{Monoidhomomorphismus}\\G\ra \op{End}_k( M)
%%  \end{array}\right\}
%% \end{array}
%% $$
$$
\begin{array}{ccc}
\left\{\begin{array}{c}\text{$kG$-Modulstrukturen}\\kG\times M\ra M\\
\text{auf der abelschen Gruppe }M 
 \end{array}\right\}&&\\
\da\wr&&\\


\left\{\begin{array}{c}\text{$k$-Modulstrukturen}\\k\times M\ra M\\
\text{auf der abelschen Gruppe }M \\
\text{zusammen mit $G$-Operation}\\G\times M\ra M\\
\text{durch $k$-lineare Abbildungen}
 \end{array}\right\}



&\overset{\sim}{\ra} &



\left\{\begin{array}{c}\text{$k$-Modulstrukturen}\\k\times M\ra M\\
\text{auf der abelschen Gruppe }M \\
\text{zusammen mit einem}\\
\text{Monoidhomomorphismus}\\G\ra \op{End}_k( M)
 \end{array}\right\}
\end{array}
$$
wobei die horizontale Bijektion wie so oft schon 
wieder einmal von
unserer Bijektion $\op{Ens}(G\times M,M)\sira
\op{Ens}(G,\op{Ens}(M,M))$ aus \ref{ABBK} herkommt
und  $\op{End}_k( M)$ das multiplikative Monoid des Rings 
$\op{End}_k( M)$ meint, den wir erst in
\ref{EnZ} einf"uhren werden.
In diesem Sinne ist eine Darstellung 
einer Gruppe $G$ "uber $k$ also  \glqq dasselbe\grqq\  wie ein $kG$-Modul.  
Wir werden einen guten Teil der Darstellungstheorie von Gruppen
aus der Spezialisierung von Resultaten f"ur Moduln 
"uber Ringen erhalten, die hinwiederum durch die Methoden der
linearen Algebra f"ur Moduln "uber K"orpern alias 
Vektorr"aume motiviert werden.
\end{Ubung}
%% \begin{Lemma}
%% Sei $G$ eine Gruppe oder allgemeiner
%% ein Monoid und $k$ ein K"orper oder allgemeiner ein
%% Ring. Wir erhalten eine eineindeutige
%% Entsprechung
%% $$
%% \left\{
%% \text{$k  G$-Moduln}\right\}\;
%% \overset{\sim}{\rightarrow}\;\left\{
%% \text{Darstellungen von $G$ "uber $k$}\right\} 
%% $$
%% indem wir die Operation des Gruppenrings $k G$ auf $k$ und  $G$ einschr"anken.
%% \end{Lemma}
%% \begin{proof}[Beweis]
%% Dem Leser "uberlassen. 
%% \end{proof}


\begin{Ubung}
Man zeige, da"s es f"ur jeden Ring $k$ und $G=\{e,g\}$ eine zweielementige
Gruppe genau einen Ringisomorphismus $k[X]/\langle X^2-1\rangle\sira kG$
gibt mit $\bar{X}\mapsto g.$ Man folgere aus dem abstrakten chinesischen
Restsatz weiter f"ur $k$  einen K"orper mit $\op{char}k\neq 2$ einen
Isomorphismus $k[X]/\langle X^2-1\rangle\sira k\times k.$ 
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
Gegeben Ringe $R_1,\ldots,R_n$ mit Produkt 
$R=R_1\times\ldots\times R_n$ erhalten wir f"ur jede abelsche Gruppe
$M$ eine Bijektion
\begin{displaymath}
\begin{array}{ccc}
\left\{ \begin{array}{c}
\text{Strukturen auf $M$}\\
\text{als $R$-Modul}
\end{array} \right\} &
\overset{\sim}{\rightarrow} & 
\left\{
\begin{array}{c}
\text{Zerlegungen $M=M_1\oplus\ldots \oplus M_n$ mit}\\
\text{jeweils einer $R_i$-Modulstruktur auf $M_i$} 
\end{array} \right\}
\end{array}
\end{displaymath}
indem wir in $R$ die Elemente $\op{e}_i=(0,\ldots,1, \ldots,0)$
mit einer $1$ an der $i$-ten Stelle und Nullen sonst betrachten
und in $M$
 die Untergruppen
$M_i\pdef e_iM$ 
nehmen und sie
mit der hoffentlich offensichtlichen von der $R$-Modulstruktur
auf $M$ induzierten Struktur eines $R_i$-Moduls versehen. 
\end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{GrEW}
Man zeige, da"s der Gruppenring der Gruppe $\DZ/n\DZ$ "uber 
einem K"orper $k$ 
isomorph ist zum Quotienten  $k[X]/\langle X^n-1\rangle$ 
des Polynomrings. Im Fall,
da"s  $X^n-1$ 
"uber $k$ in Linearfaktoren zerf"allt, zeige man weiter,  da"s
die einfachen Darstellungen alle eindimensional sind
 und da"s ihre
Isomorphieklassen  parametrisiert werden durch die
Wurzeln dieses Polynoms.
Unter der Annahme, da"s zus"atzlich  
das Bild von $n$ in $k$ nicht verschwindet,
zeige man weiter, da"s dieser Gruppenring auch isomorph ist zum Produkt
$k\times \ldots \times k$ von $n$ Kopien des K"orpers $k.$ 
Im Fall $k=\DC$ liefert etwa die diskrete Fouriertransformation
aus \ref{VFou} einen derartigen Isomorphismus.
\end{Ubung}
\subsection{Homomorphismen, Untermoduln, Quotienten}\label{HQU}
\begin{Definition}
Eine Abbildung $f: M \ra N$ von einem $R$-Modul in einen weiteren
hei"st \defnoind{$R$-linear}\index{linear} oder ein
\defnoind{$R$-Modulhomomorphismus}\index{Modulhomomorphismus}
genau dann, wenn gilt $f(m+m^{\prime})=f(m) + f(m^{\prime})$ und
$f(r m)= rf(m) \quad \forall m, m^{\prime} \in M,$ $r \in R.$
\end{Definition}
\begin{Definition}\label{EnZ}
Die Menge aller Homomorphismen von einem $R$-Modul $M$ in einen
$R$-Modul $N$ schreiben wir auch
$\op{Hom}_{R} (M,N).$ Sie bildet eine Untergruppe von $\op{Ens} (M,N).$
Ein bijektiver Homomorphismus hei"st  ein 
\defnoind{Isomorphismus}\index{Isomorphismus!von Moduln}
von $R$-Moduln. Gibt es einen Isomorphismus zwischen zwei $R$-Moduln
$M$ und $N,$ so schreiben wir auch $M\cong M$ und sagen,
$M$ und $N$ seien \defnoind{isomorph}.\index{isomorph!Moduln}  
Ein Homomorphismus von einem
Modul zu sich selbst hei"st ein
\defind{Endomorphismus} unseres Moduls. Die Menge aller Endomorphismen 
des $R$-Moduls $M$ notiert man $\op{End}_R(M).$ Sie bildet 
unter der Verkn"upfung als Multiplikation einen Ring.
\end{Definition}

\begin{Lemma}\label{RHO}
Die $R$-Modulhomomorphismen von einem Ring $R,$ aufgefa"st als $R$-Modul,
 zu einem beliebigen weiteren $R$-Modul werden parametrisiert 
durch die Elemente des besagten $R$-Moduls.
F"ur jeden  $R$-Modul $M$  ist genauer die Abbildung
$$\begin{array}{ccc}
M & \ra & \op{Hom}_{R} (R,M)\\
m & \mapsto & (r \mapsto rm)
\end{array}$$
ein Isomorphismus von abelschen Gruppen mit Inversem $\varphi\mapsto
\varphi(1).$ 
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
Dem Leser "uberlassen.
\end{proof}
\begin{Ubung}\label{RII}
  Man zeige: Ist $R$ ein Ring und $e\in R$ ein idempotentes Element und
  $M$ ein $R$-Modul, so induziert das Auswerten bei $e$ eine Bijektion
  $\op{Hom}_R(Re,M)\sira eM.$
\end{Ubung}

\begin{Definition}
Eine Teilmenge $N \subset M$ eines $R$-Moduls $M$ hei"st ein 
\defind{Untermodul} genau dann, wenn $N$ eine Untergruppe ist und es gilt
$m \in N,$ $r \in R \RA r m \in N.$  
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
Die Untermoduln eines kommutativen Rings sind genau seine Ideale.
Jeder Schnitt von Untermoduln ist wieder ein Untermodul. Ist $T
\subset M$ eine Teilmenge eines Moduls $M,$ 
so hei"st der kleinste Untermodul von
$M,$ der $T$ enth"alt, auch 
der \defnoind{von $T$ erzeugte 
Untermodul}\index{Untermodul!erzeugt von Teilmenge}
und wir bezeichnen ihn mit $\langle T\rangle_R$ oder 
abk"urzend mit $\langle T\rangle.$ 
Man kann diesen Untermodul  beschreiben als die Menge aller Linearkombinationen
$$\{r_{1}t_{1} + \ldots r_{s}t_{s} \mid s \geq 0,\; r_{i} \in R,\;
t_{i} \in T \}$$
wobei die leere Linearkombination mit $s = 0$ f"ur die Null in $M$ stehen
m"oge. Ein Modul, der von einer endlichen Teilmenge erzeugt wird,
hei"st  {\bf endlich erzeugt}.\index{endlich erzeugt!Modul}
Ein Modul, der von einem einzigen Element erzeugt wird,
hei"st ein \defnoind{zyklischer Modul}.\index{zyklisch!Modul}
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Das Bild eines Untermoduls unter einem Modulhomomorphismus ist wieder ein
  Untermodul. Dasselbe gilt f"ur das Urbild eines Untermoduls.
Insbesondere sind Bild und Kern eines Modulhomomorphismus stets
Untermoduln.
\end{Bemerkungl}
\begin{Ubunge}
In einem endlich erzeugten Modul umfa"st jedes
Erzeugendensystem ein endliches  Erzeugendensystem.
\end{Ubunge}
\begin{Proposition}[\textbf{"uber Quotientenmoduln}]
Sei $M$ ein $R$-Modul und $N \subset M$ ein Untermodul.
\begin{enumerate}
\item
Es gibt genau eine Struktur eines $R$-Moduls auf der Quotientengruppe
$M/N$ derart, da"s die Projektion $\op{can} : M \twoheadrightarrow
M/N$ ein Homomorphismus von $R$-Moduln ist.
\item
Jeder Homomorphismus von $R$-Moduln $\varphi : M \ra M^{\prime}$
mit $ \varphi(N)=0$ faktorisiert in eindeutiger Weise "uber
$M/N,$ es gibt also zu $\varphi$  genau einen $R$-Modul\-ho\-mo\-mor\-phis\-mus
$\tilde{\varphi} : M /N \ra M^{\prime} $ mit $ \varphi =
\tilde{\varphi} \circ \op{can}.$
\end{enumerate}
\end{Proposition}
\begin{proof}[Beweis]
Dem Leser "uberlassen.
\end{proof}
\begin{Ubung}\label{MQR}
Sei $R$ ein Ring und $\frak{a}\subset R$ ein Ideal und $M$ ein $R$-Modul.
Bezeichne $\frak{a}M\subset M$ den Untermodul, der von allen Elementen
$am$ mit $a\in \frak{a}$ und $m\in M$ erzeugt wird, und der bei
sorgf"altigerer Notation eigentlich $\langle \frak{a}M\rangle$
notiert werden m"u"ste.
Man zeige, da"s die Operation von $R$ auf $M/\frak{a}M$ in nat"urlicher Weise
faktorisiert "uber $R/\frak{a},$ so da"s also 
$M/\frak{a}M$ in nat"urlicher Weise
ein $R/\frak{a}$-Modul wird. 
\end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{MER}
Gegeben ein $R$-Modul $M$ wird $M$ ein Modul "uber 
seinem Endomorphismenring $\op{End}_R(M)$ vermittels der 
Vorschrift $fm=f(m)$ f"ur $f\in \op{End}_R(M)$ und $m\in M.$
\end{Ubung}

\begin{Ubung}\label{PHRI}
Gegeben Moduln $M_i$ "uber Ringen $R_i$ kann man das
Produkt $M$ der $M_i$ in offensichtlicher Weise mit der Struktur
eines Moduls "uber dem Produkt $R$ der $R_i$ versehen. Ergibt sich 
in derselben Weise ein $R$-Modul $N$ als das Produkt gewisser
$R_i$-Moduln $N_i,$ so haben wir einen kanonischen
Isomorphismus $$\op{Hom}_R(M,N)\sira \prod_i \op{Hom}_{R_i}(M_i,N_i)$$
\end{Ubung}


\subsection{Einfache Moduln und Kompositionsreihen}\label{EMK}
\begin{Definition}
Ein Modul hei"st
\defnoind{einfach}\index{einfach!Modul}\index{Modul!einfacher}
genau dann, wenn er nicht Null ist, aber au"ser 
sich selbst  und Null keine 
Untermoduln hat.
\end{Definition}
\begin{Beispiele}\label{EMKO}
Die einfachen Moduln "uber einem K"orper oder allgemeiner einem
Schiefk"orper sind genau die eindimensionalen Vektorr"aume.
Jeder Vektorraum ist einfach als Modul
"uber seinem Endomorphismenring.
\end{Beispiele}


\begin{Ubung}\label{EiMo}
Die einfachen $\DZ$-Moduln sind genau die zyklischen abelschen Gruppen von
Primzahlordnung. Allgemeiner sind alle einfachen Moduln "uber einem
Ring isomorph zu einem Quotienten des besagten Rings nach
einem maximalen Linksideal. Ist der Ring kommutativ, so kann man besagtes
Linksideal aus dem Modul zur"uckgewinnen als seinen Annulator.
Genauer ist dann der Quotient unseres Rings nach unserem maximalen 
Ideal bereits ein K"orper, vergleiche \ref{RMI}, und  
unser einfacher Modul ist ein eindimensionaler Vektorraum 
"uber diesem K"orper.
Bei nichtkommutativen Ringen
k"onnen die Quotienten nach verschiedenen maximalen Linksidealen
jedoch durchaus als Moduln isomorph sein: Man denke etwa an den Matrizenring
$\op{M}(r\times r;k)$ mit Eintr"agen in einem K"orper $k$ und den einfachen
Modul $k^r$ dieses Rings: Hier sind ja die Annulatoren verschiedener von
Null verschiedener Elemente im allgemeinen durchaus verschiedene Linksideale.
\end{Ubung}

\begin{Satz}[\defnoind{Existenz von maximalen Idealen}]\label{EMI}
In jedem von Null verschiedenen Ring gibt es mindestens ein maximales Ideal.
Allgemeiner l"a"st sich in einem beliebigen Ring jedes
Ideal, das nicht der ganze Ring ist, vergr"o"sern zu einem maximalen Ideal
unseres Rings.\index{maximal!Ideal}
\end{Satz} 
\begin{proof}[Beweis]
Sei $R$ unser Ring und $\frak{a}\neq R$ unser Ideal.
Wir betrachten das System aller Ideale von $R,$ die $\frak{a}$ enthalten
und nicht ganz $R$ sind oder, gleichbedeutend, nicht die $1$ von $R$
enthalten. Dieses System von Mengen ist offensichtlich nicht leer und stabil
unter aufsteigenden Vereinigungen. Jetzt folgt der Satz aus
dem Zorn'schen Lemma in der Gestalt \ref{KZL}.
\end{proof}
\begin{Ubung}\label{EnSu}
In jedem Ring l"a"st sich auch jedes echte Links- bzw.\ Rechtsideal
vergr"o"sern zu einem maximalen echten Links- bzw.\ Rechtsideal.
Genau dann ist ein Linksideal maximal, wenn der Quotient danach
ein einfacher Modul ist.
Jeder von Null verschiedene Modul "uber
einem Ring besitzt einen einfachen Subquotienten. Insbesondere 
besitzt jeder von Null verschiedene Ring mindestens einen 
einfachen Modul.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
Warum kann man nicht mit demselben Argument zeigen, da"s jede Gruppe
eine maximale echte Untergruppe besitzt? Man zeige auch, da"s
die additive Gruppe $\DQ$ keine maximale echte Untergruppe besitzt.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{QuE}
Jeder endlich erzeugte und von
Null verschiedene Modul besitzt einen einfachen
Quotienten. Hinweis: \ref{EnSu}. Der $\DZ$-Modul $\DQ$ besitzt  
als $\DZ$-Modul weder
einfache Untermoduln noch einfache Quotienten. 
Als $\DQ$-Modul ist $\DQ$ dahingegen einfach.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{EMP}
Ist $k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper, so ist jeder
einfache $k[X]$-Modul eindimensional und isomorph zu
$k[X]/\langle X-\lambda\rangle$ f"ur genau ein $\lambda\in k.$
\end{Ubung}
\begin{Bemerkungl}
Der Hilbert'sche Nullstellensatz \ref{KFa} besagt, da"s alle 
einfachen Moduln "uber einem Polynomring 
in endlich vielen Variablen mit Koeffizienten in
einem K"orper endlichdimensional sind "uber besagtem K"orper. 
Ist der K"orper 
algebraisch abgeschlossen, so sind sie sogar eindimensional,
das folgt dann aus \ref{ESu}. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Lemma}\label{EM} Seien $R$ ein Ring,
 $E, E'$ einfache $R$-Moduln und $M$ ein beliebiger $R$-Modul.
So gilt:
\begin{enumerate}
\item
Jeder Homomorphismus $E \ra M$ ist injektiv oder Null.
\item
Jeder Homomorphismus $M \ra E'$ ist surjektiv oder Null.
\item
Jeder Homomorphismus $E \ra E'$ ist bijektiv oder Null.
\item
Der Endomorphismenring $\op{End}_{R}E$ ist ein Schiefk"orper.
\end{enumerate}
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
$\ker (E \ra M)$ und $\op{im} (M \ra E')$ sind Untermoduln von $E$ bzw.\ von
$E'$
und sind folglich Null oder ganz $E$ bzw.\ ganz $E'.$
\end{proof}


\begin{Korollar}\label{ESu}
Sei $R$ ein kommutativer Ring, der einen algebraisch 
abgeschlossenen K"orper $k$ als
Teilring hat.
So ist ein einfacher $R$-Modul, der endlichdimensional ist als
$k$-Vektorraum, notwendig eindimensional als $k$-Vektorraum.
\end{Korollar}

\begin{proof}
Die Multiplikation mit einem beliebigen 
Element $r\in R$ besitzt notwendig einen Eigenwert,
und der zugeh"orige Eigenraum ist ein von Null
verschiedener Untermodul, also der ganze
Modul. Also operiert jedes $r\in R$ durch einen Skalar, und dann kann unser
Modul nur einfach sein, wenn er eindimensional ist.
\end{proof}

\begin{Definition}
Gegeben ein Modul $M$ "uber einem Ring $R$ definieren wir seine
{\bf L"ange}\index{L"ange!eines Moduls} $$l_R(M)=l(M)\in\DN\amalg \{\infty\}$$
als das Supremum "uber alle $n$ derart, da"s es in $M$ eine
echt absteigende Kette von Untermoduln gibt der Gestalt
$M= M_n\supsetneqq M_{n-1}\supsetneqq\ldots \supsetneqq M_0=0,$
die also salopp
gesprochen in $n$ echten Schritten vom ganzen Modul zum Nullmodul f"uhrt.
\end{Definition}
\begin{Beispiel}
Ist $k$ ein K"orper, so ist die   
L"ange eines $k$-Moduls genau
die Dimension des fraglichen 
$k$-Vektorraums.
\end{Beispiel}
\begin{Bemerkungl}
  Bei einer endlichen echt absteigenden
Kette maximal m"oglicher L"ange ist nat"urlich stets  
$M_i/M_{i-1}$  einfach f"ur $1\leq i\leq n.$
Offensichtlich hat ein Modul  die L"ange Null genau dann, 
wenn er der Nullmodul ist, und
 die L"ange Eins genau dann, wenn er einfach ist.
\end{Bemerkungl}

\begin{Definition}
Sei $R$ ein Ring und $M$ ein $R$-Modul. 
Eine {\bf Kompositionsreihe von}\index{Kompositionsreihe!eines Moduls} 
$M$ ist eine endliche Kette von
Untermoduln
$$M = M_{r}\supset M_{r-1} \supset \ldots\supset M_{0} =0$$
derart, da"s $M_{i}/M_{i-1}$ einfach ist f"ur
$1\leq 
i \leq r.$
Der Modul $M_{i}/M_{i-1}$ hei"st dann der {\bf $i$-te}
\defind{Subquotient}
unserer Kompositionsreihe.
Gegeben ein Modul $M$ "uber einem Ring erkl"aren wir 
seine
\defind{Kompositionsl"ange} $$\lambda_R(M)=\lambda(M)\in\DN\amalg \{\infty\}$$
wie folgt: Besitzt unser Modul eine Kompositionsreihe,
so  sei $\lambda(M)$  die  
kleinstm"ogliche L"ange einer Kompositionsreihe von $M.$
Besitzt unser 
Modul keine Kompositionsreihe, so sagen wir, seine Kompositionsl"ange sei
unendlich und schreiben $\lambda(M)=\infty.$ 
\end{Definition}

\begin{Satz}[\textbf{Jordan-H"older}]\label{JHM}
Die L"ange und die Kompositionsl"ange  stimmen f"ur jeden Modul
"uberein. Weiter haben  je zwei Kompositionsreihen eines Moduls  
dieselbe L"ange und bis\index{Jordan-H"older!f"ur Moduln}
auf Reihenfolge isomorphe Subquotienten. 
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}\label{VKFo}
In Formeln ausgedr"uckt besagt der zweite  Teil:
  Sind  $M = M_{r} \supset\ldots \supset M_{0} = 0$ und $M = N_{s}
  \supset \ldots \supset N_{0}=0$ zwei Kompositionsreihen eines Moduls $M,$ so
  gilt $r = s$ und es gibt eine Permutation $\sigma \in \cal{S}_{r}$ mit
  $N_{i}/N_{i-1} \cong M_{\sigma (i)} /M_{\sigma(i)-1} $ f"ur alle $ i.$
Diese Subquotienten oder genauer ihre Isomorphieklassen hei"sen die
{\bf Kompositionsfaktoren}\index{Kompositionsfaktor!von Modul} 
unseres Moduls endlicher L"ange $M,$ 
und unser Satz sagt auch, da"s jeder Kompositionsfaktor 
mit einer wohlbestimmten
Vielfachheit auftritt. Gegeben ein einfacher Modul $L$ notiert man
die Vielfachheit von $L$ als Kompositionsfaktor von $M$ meist
$$[M:L]$$\index{$[M:L]$ Vielfachheit von Kompositionsfaktor}
\end{Bemerkungl}




\begin{proof}[Beweis] 
Die erste Aussage unseres  Satzes behauptet in Formeln
$l(M)=\lambda(M).$  Offensichtlich ist
a priori  nur die Absch"atzung $l(M)\geq \lambda(M).$ 
Als n"achstes zeigen wir nun, da"s f"ur 
jeden Modul $M$ endlicher Kompositionsl"ange und
jeden von Null verschiedenen Untermodul $N\subset M$
gilt $$\lambda(M/N)<\lambda(M)$$
Sei in der Tat $M = M_{r}
\supset \ldots \supset M_{0} =0$ eine Kompositionsreihe von $M$ und $N \subset
M$ ein Untermodul. Wir betrachten den Quotienten $\bar{M} = M/N$ und die
Bilder $\bar{M}_{i}$ der $M_{i}$ in $\bar{M}$ und 
erhalten kurze
exakte Sequenzen
$$M_{i} \cap N / M_{i-1} \cap N \hookrightarrow M_{i}/M_{i-1}
\twoheadrightarrow \bar{M}_{i} / \bar{M}_{i-1}$$
durch explizites Nachdenken oder formales Anwenden
des Neunerlemmas \ref{NeuL}
auf das kommutative Diagramm
$$\begin{array}{ccccc}
{M}_{i-1}\cap N& \hookrightarrow &{M}_{i}\cap N & 
\twoheadrightarrow & {M}_{i}\cap N/ {M}_{i-1}\cap N\\
\downarrow & &\downarrow & & \downarrow \\
M_{i-1}&\hookrightarrow &M_{i} &\twoheadrightarrow &M_{i}/M_{i-1} \\
\downarrow & &\downarrow & &\downarrow \\
\bar{M}_{i-1}&\hookrightarrow
&\bar{M}_{i}& \twoheadrightarrow & \bar{M}_{i}/\bar{M}_{i-1}
\end{array}$$
Gilt $N \neq 0,$ so kann nicht $M_{i} \cap N = M_{i-1}\cap N$
gelten f"ur alle $i.$ Zu jeder Kompositionsreihe von $M$ 
haben wir  also eine echt k"urzere Kompositionsreihe 
von
$\bar{M}=M/N$ konstruiert und erkennen damit, 
da"s in der Tat aus $\lambda(M)<\infty$  und $N\neq 0$  folgt
$\lambda(M/N) < \lambda(M).$
Man sieht so, da"s die L"ange einer beliebigen echt
absteigenden Kette von Untermoduln eines Moduls endlicher
Kompositionsl"ange $M$ nach oben beschr"ankt ist durch
eben diese Kompositionsl"ange $\lambda(M)$ und folgert sofort 
$l(M)\leq \lambda(M).$
Im Fall $ \lambda(M)=\infty$ ist das  eh klar 
und so ergibt sich schlie"slich f"ur jeden Modul $M$ die Gleichheit
$$l(M)= \lambda(M)$$
Da"s je zwei Kompositionsreihen dieselbe L"ange
haben, folgt sofort. 
Ist weiter 
$N$ einfach, so gibt es oben genau einen Index $j$ mit $$M_{j} \cap
N=N \text{ aber }M_{j-1} \cap N =0$$
F"ur diesen Index haben wir $M_{j}/M_{j-1} \cong N$ und
$\bar{M}_{j}/\bar{M}_{j-1} =0,$ wohingegen f"ur die
anderen Indizes $i \neq j$ gilt $M_{i}/M_{i-1} \cong
\bar{M}_{i}/\bar{M}_{i-1}.$
Nun folgt der Rest des Satzes mit Induktion.
\end{proof}




\begin{Korollar}\label{LKL}
  Gegeben $M\supset N$ ein Modul mit einem Untermodul gilt in $\DN\amalg
  \{\infty\}$ die Gleichheit $l(M) = l(M/N) + l(N).$
\end{Korollar}
\begin{proof}
F"ur jeden Untermodul $N\subset M$ sind die Ungleichungen
  $$
\begin{array}{ccc}
l(M)&\geq& l(M/N)+l(N)\\[2mm]
\lambda(M)&\leq& \lambda(M/N)+\lambda(N)
\end{array}
$$  
offensichtlich. Da nach dem Satz aber die L"ange und die
Kompositionsl"ange "ubereinstimmen, folgt die Behauptung.
\end{proof}






\begin{Korollar}\label{AEK}
Sei $R$ ein Ring, der einen K"orper $k$ als
Teilring hat.
Ist $R$ endlichdimensional als Linksmodul "uber $k,$
so gibt es
bis auf Isomorphismus h"ochstens $\dim_{k} R$ einfache $R$-Moduln.
\end{Korollar}
\begin{proof}[Beweis]
Nat"urlich ist $R$ von endlicher
L"ange als $R$-Modul und es gilt sogar
$l(R) \leq \dim_{k} R.$ Jeder einfache $R$-Modul
ist aber ein Quotient von $R$ und taucht also in einer
und damit in jeder
Kompositionsreihe von $R$ als Subquotient auf.
\end{proof}
\begin{Satz}\label{ZIDa}
Eine endliche Gruppe hat "uber jedem K"orper 
h"ochstens soviele Isomorphieklassen von
irreduziblen Darstellungen, wie sie Elemente hat.
\end{Satz}

\begin{proof}[Beweis]
Bezeichnet $G$ unsere endliche Gruppe und $k$ unseren K"orper, 
so behaupten wir in Formeln, da"s es bis
auf Isomorphismus h"ochstens $|G|$ irreduzible Darstellungen von
$G$ "uber $k$ gibt.
Um das zu zeigen,  
fassen wir unsere Darstellungen mit \ref{MGru} 
als Moduln "uber dem Gruppenring $k G$ auf, und
der Satz  folgt dann aus Korollar \ref{AEK}.
\end{proof}

\begin{Ubung}
Der Quotient eines Moduls nach einem maximalen echten Untermodul
ist stets ein einfacher Modul.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
Der einzige einfache Modul "uber dem Endomorphismenring
eines endlichdimensionalen Vektorraums ist der besagte 
Vektorraum selber, bis auf Isomorphismus.
\end{Ubung}
\begin{Ubunge}
Ein Modul hei"st {\bf artinsch}\index{artinsch!Modul} 
nach dem Mathematiker Emil Artin
genau dann, wenn jede absteigende Folge von Untermoduln 
station"ar wird. 
Man sagt dann auch, unser Modul \glqq erf"ulle die absteigende Kettenbedingung\grqq.
Man zeige, da"s ein Modul artinsch ist genau dann,
wenn er endliche L"ange hat. 
\end{Ubunge}
\begin{Bemerkungl}
  Auf Englisch spricht man von der {\bf descending chain
    condition}\index{descending chain condition} oder kurz \defind{dcc} oder
  auch von {\bf artinian modules}.  Darin liegt eine gewisse 
Ironie der Geschichte,
  Emil Artin war n"amlich armenischen Ursprungs und seine Familie hatte ihren
  Familiennamen Artinian extra zu Artin eingedeutscht.
Wichtiger als die artinschen Moduln 
sind die sogenannten \glqq noetherschen\grqq\  Moduln, die die analoge
\glqq aufsteigende Kettenbedingung\grqq\  erf"ullen, vergleiche \ref{KNoe}. 
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkunge}
  Eine  Variante 
zum hier gew"ahlten Zugang zum Satz von Jordan-H"older findet man etwa in
\cite{JaSe}: Man zeigt wie dort ausgef"uhrt 
ohne gro"se Schwierigkeiten, da"s je zwei endliche Filtrierungen
eines Moduls durch das Einf"ugen geeigneter weiterer Untermoduln so
verfeinert werden k"onnen, da"s die Subquotienten der beiden so enstehenden
Filtrierungen bis auf Reihenfolge isomorph sind.
\end{Bemerkunge}


\subsection{Summen und Produkte von Moduln}\label{SPM}
\begin{Bemerkungl}
  Die folgenden Konstruktionen verallgemeinern unsere Konstruktionen
im Fall von Vektorr"aumen aus \ref{SPV}.
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}
Gegeben eine Familie $(M_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$ 
von Moduln "uber einem Ring $R$
bilden wir zwei neue $R$-Moduln, das
\defind{Produkt} $\prod M_\lambda$ und die \defind{direkte Summe} 
oder  kurz \defind{Summe}  $\bigoplus M_\lambda$
durch die Regeln
$$
\begin{array}{ccl}
\prod_{\lambda\in \Lambda} M_\lambda&=&\{(m_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}\mid m_\lambda\in
M_\lambda\}\\[2mm]
\bigoplus_{\lambda\in \Lambda} M_\lambda&=&\{(m_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}\mid m_\lambda\in
M_\lambda,\text{ nur endlich viele $m_\lambda$ sind nicht null}\}
\end{array}$$
mit der offensichtlichen komponentenweisen Addition und
Multiplikation mit Skalaren aus $R.$
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl}
F"ur eine endliche Familie von Moduln $M_{1}, \ldots , M_{s}$
stimmen die direkte Summe und das Produkt "uberein. Wir benutzen dann
alternativ die Notationen $$M_{1}\times \ldots \times M_{s}=M_{1}\oplus \ldots
\oplus M_{s}$$  
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
Das Produkt bzw. die Summe 
sind das Produkt bzw. Koprodukt in der Kategorie der 
$R$-Moduln im Sinne unserer allgemeinen Definitionen
\ref{PrKao} bzw. \ref{KoPro}. Ausformuliert bedeutet das: 
%haben sie mithin die folgenden Eigenschaften:
Die offensichtlichen Einbettungen und Projektionen sind Homomorphismen
$$
\op{in}_\lambda: M_\lambda \hra \bigoplus_{\lambda\in 
\Lambda} M_\lambda\qquad\text{ bzw. }
\qquad\op{pr}_\lambda:\prod_{\lambda\in \Lambda} M_\lambda \sra  M_\lambda$$
und\index{in@$\op{in}$, Morphismus in Koprodukt}
ist\index{pr@$\op{pr}$, Projektion aus Produkt}
$M$ ein weiterer $R$-Modul, so induzieren  die
durch Vorschalten der $\op{in}_\lambda$ bzw.\ Nachschalten der
$\op{pr}_\lambda$ gegebenen Abbildungen Bijektionen
$$\begin{array}{rcc}
\op{Hom}_R (\bigoplus_{\lambda\in \Lambda} M_\lambda, M) & \sira &
\prod_{\lambda\in\Lambda}\op{Hom}_R (M_{\lambda},M)\\[1mm]
f & \mapsto & (f\circ \op{in}_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}\\[4mm]
\op{Hom}_R (M, \prod_{\lambda\in \Lambda} M_\lambda) & \sira & 
\prod_{\lambda\in\Lambda}\op{Hom}_R
(M,M_{\lambda})\\[1mm]
f & \mapsto & (\op{pr}_{\lambda}\circ f)_{\lambda\in \Lambda}
\end{array}$$  
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Gegeben eine Familie $(M_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$ von Untermoduln
eines Moduls $M$ bezeichnet man den von ihrer Vereinigung erzeugten 
Untermodul auch als ihre \defnoind{Summe}\index{Summe!von Untermoduln}
und notiert ihn $\sum_{\lambda\in \Lambda} M_\lambda.$ Diese Summe
kann auch interpretiert werden als das Bild eines nat"urlichen
Homomorphismus $\bigoplus_{\lambda\in \Lambda} M_\lambda\ra M$ von
der direkten Summe nach $M.$ Ist dieser Homomorphismus injektiv,
so sagen wir, die \glqq Summe der Untermoduln $M_\lambda$ sei direkt\grqq\  
und schreiben
statt $\sum_{\lambda\in \Lambda} M_\lambda$ auch 
$\bigoplus_{\lambda\in \Lambda} M_\lambda.$
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}\label{BMoo}
Auch bei Moduln "uber Ringen nennt man eine 
Familie $(m_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$
\defind{linear unabh"angig} genau dann, wenn nur die triviale
(endliche) Linearkombination verschwindet, wenn also
f"ur eine Familie $(r_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ 
von Elementen unseres Rings mit nur
endlich vielen von Null verschiedenen Mitgliedern gilt
$$\sum_{\lambda\in\Lambda} r_\lambda m_\lambda=0\;\;\RA \text{ alle }
r_{\lambda} \text{ sind null}$$ Ein linear unabh"angiges Erzeugendensystem
hei"st wie bei Vektorr"aumen eine {\bf Basis},\index{Basis!von Modul} 
und wie dort
erkl"aren wir die Begriffsvarianten einer 
{\bf Basis als Teilmenge},\index{Basis!als Teilmenge!von Modul} 
einer {\bf Basis als Familie},\index{Basis!als Familie!von Modul}  
und einer {\bf angeordneten Basis}.\index{Basis!angeordnete!von Modul}  
Allerdings besitzen
keineswegs alle Moduln eine Basis, wie man das von Vektorr"aumen
gewohnt ist.
Die Moduln, die eine Basis besitzen, nennt man 
\defnoind{freie Moduln}.\index{frei!Modul}  
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}
  $\DZ/5\DZ$ ist kein freier $\DZ$-Modul, aber durchaus ein freier Modul
"uber dem Ring  $\DZ/5\DZ.$
\end{Beispiel}


  \begin{Beispiel}
    F"ur jede Menge $\Lambda$ ist der Modul $$R\Lambda\pdef
    \{f:\Lambda \ra R\mid f(\lambda)=0 \text{ f"ur fast alle }\lambda\}$$
    frei, denn die Abbildungen, die an einer Stelle den Wert $1$ annehmen und
    sonst den Wert Null, bilden eine Basis.  Nach unseren Definitionen ist
    umgekehrt eine Familie $(m_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ in einem Modul
    $M$ eine Basis genau dann, wenn die Abbildung $R\Lambda \ra M$ mit
    $(r_\lambda)\mapsto \sum r_\lambda m_\lambda$ ein Isomorphismus ist.
  \end{Beispiel}

\begin{Ubung}\label{QFM}
Jeder Modul ist Quotient eines freien Moduls.
\end{Ubung}
\begin{Bemerkungl}\label{BRNN}
  F"ur beliebige Ringe $R$ folgt aus $R^n\cong R^m$ im allgemeinen 
keineswegs $n=m.$
  Das einfachste Gegenbeispiel ist der Nullring, und das ist
nach \ref{NKR}  auch das einzige
  kommutative Gegenbeispiel.  Unter den 
nicht kommutativen Ringen gibt es jedoch
  auch interessantere Gegenbeispiele. Betrachten wir etwa 
 zu einem beliebigen K"orper
den freien  Vektorraum $V$ "uber der Menge $\DN$, 
so gibt es einen Isomorphismus $V\sira V\oplus V,$ 
und f"ur den
Endomorphismenring $R=\op{End} V$ erhalten wir einen Isomorphismus von
  $R$-Moduln $R\cong R^2$ als die Verkn"upfung
 $R=\op{End} V \cong \op{Hom} (V\oplus V,V)\cong R\oplus R.$
\end{Bemerkungl}


\begin{Ubung}\label{NKR}
Gegeben ein kommutativer von Null verschiedener Ring $R$ folgt aus $R^n\cong
R^m$ schon $n=m.$ Hinweis: Man benutze 
\ref{MQR} und w"ahle mit \ref{EnSu} ein maximales Ideal  $\frak{a}\subset
R,$ so da"s $R/\frak{a}$ nach \ref{RMI} ein K"orper ist.
Ein alternativer Beweis, der ohne das Zorn'sche Lemma auskommt,
wird in \ref{ABTR} gegeben.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
Gegeben Moduln $M_1,\ldots,M_m$ und $N_1,\ldots,N_n$
"uber einem Ring $R$ haben wir eine nat"urliche Identifikation
$$\op{Hom}_R(M_1\oplus\ldots\oplus M_m,N_1\oplus\ldots\oplus N_n)\sira
\prod_{i,j} \op{Hom}_R(M_j,N_i)$$
\end{Ubung}
\begin{Bemerkungl}\label{SVK}
Wir werden die Elemente einer endlichen direkten Summe oft als Spaltenvetoren
von Elementen der Summanden auffassen und die Homomorphismen zwischen direkten
Summen als Matrizen von Homomorphismen zwischen den Summanden. Das erlaubt uns,
die Komposition solcher Homomorphismen mit dem Formalismus der
Matrixmultiplikation zu berechnen.
\end{Bemerkungl}

\begin{Ubung}\label{PVDS}
Gegeben eine Familie von Moduln $M_{ij}$ mit $i\in I,$ $j\in J$ 
haben wir stets eine kanonische Injektion
$\bigoplus_i(\prod_j M_{ji})\ra \prod_j(\bigoplus_i M_{ji}),$
die im allgemeinen aber kein Isomorphismus ist.
\end{Ubung}


\begin{Lemma}[\textbf{Verallgemeinerte Hauptraumzerlegung}]
Gegeben  ein Modul $M$ "uber einem Kring $R$
und ein maximales Ideal $\chi \in \op{Max}R$ setze man\label{ZAM}
$M_\chi =\{m\in M \mid \chi^k m= 0$ f"ur $k\gg 0\}.$
Mit dieser Notation liefern die Inklusionen eine Einbettung
$$\bigoplus_{\chi \in \op{Max}R}
M_{\chi}\hra M$$
und das Bild dieser Einbettung ist die Vereinigung aller Untermoduln
endlicher L"ange.
\end{Lemma}
\begin{Bemerkungl}
Im Spezialfall eines Polynomrings in einer Ver"anderlichen
"uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper $k$ ist das
 die Hauptraumzerlegung \ref{Haui}, vergleiche auch \ref{DSHR}.
Unter  der Bijektion $k\sira \op{Max}(k[X]),$ $\lambda\mapsto \langle
X-\lambda\rangle$ 
entspricht genauer die Hauptraumzerlegung des
durch Multiplikation mit $X$ gegebenen Endomorphismus
des $k$-Vektorraums $M$ genau der  Zerlegung 
in der Proposition. 
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
W"are die Summe der $M_\chi$ nicht direkt,
so w"are auch schon eine endliche Teilsumme nicht direkt
und wir h"atten etwa eine endliche direkte Teilsumme
$M_\nu\oplus\ldots\oplus M_\mu,$ die von einem 
weiteren $M_\chi$ nichttrivial geschnitten wird.
Wegen $(M\oplus N)_\chi=M_\chi\oplus N_\chi$ 
h"atten wir dann $\mu\neq \chi$ mit 
$ M_\mu\cap M_\chi\neq 0.$ Das ist aber absurd, da gilt $R=\chi+\mu,$
also $1=a+b$ mit $a\in \chi,$ $b\in \mu,$ also
 f"ur alle $n$ auch $1=(a+b)^{2n}=c+d$ 
mit $c\in \chi^n,$ $d\in \mu^n,$
und damit $1m=0$ f"ur alle $m\in M_\mu\cap M_\chi.$
Die Summe ist also direkt und es reicht, wenn wir 
f"ur $M$
von endlicher L"ange $M=\sum M_\chi$ zeigen. 
Unter dieser Annahme ist klar, da"s wir paarweise verschiedene
$\chi_1,\ldots,\chi_r\in \op{Max}R$ finden k"onnen und $n\in\DN$ 
mit
$$(\chi_1\ldots\chi_r)^nM=0$$
Der chinesische Restsatz \ref{ACR} liefert 
dann 
einen Isomorphismus
$$R/(\chi_1\ldots\chi_r)^n\sira R/\chi_1^n\times\ldots\times R/\chi_r^n$$
den wir benutzen k"onnen, um unser $M$ aufzufassen als einen Modul
"uber dem Produktring. 
Die Elemente $e_i$  in diesem
Produktring mit einem einzigen Eintrag $1$ an der 
$i$-ten Stelle und Nullen sonst
haben als Elemente der rechten Seite die Eigenschaft 
$\chi_i^ne_i=0$ 
und f"ur alle $m\in M$ geh"ort
$m=e_1m+\ldots +e_rm$  folglich zur Summe der $M_\chi.$
\end{proof}
\begin{Ubung}
  Man bestimme die verallgemeinerte Hauptraumzerlegung von $\DZ/1000\DZ.$
\end{Ubung}

\subsection{Matrizenrechnung}
\begin{Definition}\label{ReMo}
Sei $R$ ein Ring.
Ein \defnoind{$R$-Rechtsmodul}\index{Rechtsmodul} ist eine abelsche Gruppe $(M,+)$
mitsamt einer Abbildung $M \times R\ra M,$ $(m, r) \mapsto mr$
derart,
da"s gilt f"ur alle $m, n \in M$ und $ r, s \in R:$
\begin{enumerate}
\item
$(m+n) r = mr+nr;$
\item
$m(r+s) = mr + ms;$
\item
$m(rs)=(mr)s;$
\item
$m 1 = m.$
\end{enumerate}
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl}
  Unsere $R$-Moduln aus Definition \ref{LM} 
nennt man manchmal auch genauer {\bf
    Linksmoduln}. Um den Unterschied klar zu machen, definieren wir f"ur jeden
  Ring $R =(R, +, \cdot)$ den \defnoind{opponierten 
Ring}\index{opponierter Ring}\index{Ring!opponierter}\index{opp@$\op{opp}$}
 $R^{\op{opp}} = (R, + , \ast)$ als  die abelsche Gruppe $R$ mit der
  \glqq vertauschten\grqq\  Multiplikation $r \ast s = sr$ f"ur $r, s \in R.$ Man pr"uft
  ohne Schwierigkeiten, da"s ein $R$-Rechtsmodul dasselbe ist wie ein
  $R^{\op{opp}}$-Linksmodul, alias eine abelsche Gruppe $M$ mitsamt einem
  Ringhomomorphimus $R^{\op{opp}} \ra \op{End} M.$ Insbesondere braucht man bei
  kommutativen Ringen zwischen Rechtsmoduln und Linksmoduln keinen Unterschied
  zu machen.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}\label{HMRR}
  F"ur $R$-Rechtsmoduln $M,N$ nennen wir einen Homomorphismus von abelschen
  Gruppen $f:M\ra N$
  mit $f(mr)=f(m)r$ $\forall m\in M,r\in R$ auch einen \defnoind{Homomorphismus
    von $R$-Rechtsmoduln} und bezeichnen die Menge aller Homomorphimen von
  $R$-Rechtsmoduln\index{Hom@$\op{Hom}_{-R}$} mit $$\op{Hom}_{-R} (M,N)$$
  Genau
  wie bei K"orpern haben wir auch bei Ringen $R$ eine nat"urliche Bijektion
  $$\begin{array}{crcc}
    M:&\op{Hom}_{-R} (R^{n},R^{m}) & \sira & \op{M}(m\times n; R)\\
   & f\;\;\;\; & \mapsto & [f]
\end{array}$$
wo die Spalten der Matrix $M(f) =[f]= (a_{ij})$ 
die Bilder unter $f$ der Vektoren
$\op{e}_{1} , \ldots , \op{e}_{n}$ der Standardbasis des $R^{n}$ sind, in Formeln
$f(\op{e}_{j}) = (a_{1j},\ldots , a_{mj})$ f"ur $1 \leq j\leq n.$ Die inverse
Abbildung ordnet jeder Matrix $A$ die $R$-rechtslineare 
Abbildung $x \mapsto Ax$
zu, wo wir die Elemente $x \in R^{n}$ bzw.\ $A x \in R^{m}$ als Spaltenmatrizen
auffassen.  Wie bei K"orpern entspricht die Matrixmultiplikation der
Verkn"upfung von Abbildungen, in Formeln $[f\circ g]= [f]\circ [g],$ und $f$ ist
ein Isomorphismus genau dann, wenn seine Matrix $[f]$ invertierbar ist.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}\label{HMRRb}
Gegeben
  $R$-Rechtsmoduln $M,N$ 
mit angeordneten Basen $\mathcal A, \mathcal B$ 
erhalten wir genau
  wie bei K"orpern  auch bei Ringen $R$ eine nat"urliche Bijektion
  $$\begin{array}{ccc}
    \op{Hom}_{-R} (M,N) & \sira & \op{M}(m\times n; R)\\
    f\;\;\;\; & \mapsto & _{\mathcal B}[f]_{\mathcal A}
\end{array}$$
und nennen wieder $_{\mathcal B}[f]_{\mathcal A}$ die {\bf darstellende Matrix der
Abbildung $f$ in Bezug auf die Basen $\mathcal A$ und $\mathcal B$}.
\index{darstellende Matrix!bei Moduln} 
Die Formel ${}_{\mathcal C} [g\circ f]_{\mathcal A} 
= {}_{\mathcal C}[g]_{\mathcal B} \circ
{}_{\mathcal B}[f]_{\mathcal A}$ gilt entsprechend.
\end{Bemerkungl}
\begin{Ubung}\label{ENRj}
 Gegeben ein Ring $R$ liefert die durch Rechtsmultiplikation 
gegebene Abbildung aus  \ref{RHO} einen Ringisomorphismus 
$R^{\op{opp}}\sira \op{End}_R(R)$ und die durch Linksmultiplikation
gegebene Abbildung einen Ringisomorphismus 
$R\sira \op{End}_{-R}(R).$
\end{Ubung}

\begin{Bemerkungl}
  Ich erinnere an die Definition der Determinante quadratischer
Matrizen mit Eintr"agen in einem kommutativen Ring 
durch die Leibnizformel  \ref{DefD}, an  die Multiplikationsformel
$\det (AB)=(\det A)( \det B)$ aus \ref{MuDet} und
daran, da"s eine quadratische Matrix nach
\ref{InvD} genau dann invertierbar ist, wenn ihre Determinante
eine Einheit in fraglichen kommutativen Ring ist. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkunge}
Die Leibnizformel
  ist zwar auch f"ur nichtkommutative Ringe noch sinnvoll, aber die Formel
  $\det (AB)=(\det A)( \det B)$ ist dann nicht mehr richtig, und deshalb 
sind Determinanten in der Allgemeinheit 
nichtkommutativer Ringe nicht mehr von Nutzen. 
\end{Bemerkunge}

%   \begin{Definition}
%     Ist $R$ ein kommutativer Ring, 
% so bilden wir f"ur quadratische Matrizen $A =
%     (a_{ij})^{n}_{i,j=1} \in \op{M}(n\times n; R)$ die {\bf
%       Determinante}\index{Determinante} durch die Vorschrift
%     $$\det A = \sum_{\sigma \in \cal{S}_{n}} (\op{sgn} \sigma) a_{1\sigma (1)}
%     \ldots a_{n\sigma (n)}$$
%     falls $n\neq 0$ und $\det A =1$ im Fall $n = 0.$
% \end{Definition}

% \begin{Proposition}[\defnoind{Multiplikativit"at 
% der Determinante}\index{Multiplikativit"at!der Determinante}]
% Sei $R$ ein kommutativer Ring.
% \begin{enumerate}
% \item
% F"ur je zwei quadratische $n \times n$-Matrizen $A, B \in \op{M} (n
% \times n;R)$ gilt
% $$\det (AB) = (\det A) (\det B)$$
% \item
% Genau dann ist eine quadratische Matrix $A$ invertierbar in $\op{M} (n\times n;
% R),$ wenn
% ihre
% Determinante eine Einheit von $R$ ist, wenn also in Formeln 
% gilt $(\det A) \in R^{\times}.$
% \end{enumerate}
% \end{Proposition}
% \begin{proof}[Beweis]
% 1.
% Die Multiplikativit"at 
% der Determinante 
% ist f"ur Matrizen mit Eintr"agen in einem K"orper \ref{MuDet}
% bekannt aus der
% linearen
% Algebra und der erste unserer beiden Beweise
% funktioniert ohne "Anderungen auch in unserer Situation hier. 
% Alternativ kann man auch wie folgt argumentieren:
% Die Multiplikativit"at 
% der Determinante folgt sicher f"ur Matrizen mit Eintr"agen 
% im Integrit"atsbereich
% $$\DZ [X_{ij}, Y_{ij}]_{1\leq i,j\leq n}$$
% denn der ist ein Teilring seines Quotientenk"orpers. In diese
% abstrakte Identit"at k"onnen wir dann f"ur die $X_{ij}$
% und  $Y_{ij}$ Elemente
% eines beliebigen kommutativen Rings einsetzen, und die Behauptung
% folgt.
% \\[2mm]
% \noindent
% 2.
% Aus der Multiplikativit"at 
% der Determinante  folgt, da"s die Determinante jeder invertierbaren Matrix eine
% Einheit ist.
% Um die Umkehrung zu zeigen, erinnern wir uns an feinere Aussagen
% des Determinantenkalk"uls.
% F"ur eine quadratische Matrix $A \in \op{M} (n \times n; R)$ bildet man
% dort
% die adjungierte Matrix
% $A^{\#} \in \op{M} (n \times n; R)$ mit Eintr"agen
% $$A^{\#}_{ij} = (-1)^{i+j} \det A^{ji}$$
% wo $A^{ji}$ die $(n -1) \times (n-1)$-Matrix bezeichnet, die aus
% $A$ entsteht durch Streichen der $j$-ten Zeile und der $i$-ten
% Spalte.
% F"ur Koeffizienten in einem K"orper zeigt man in der linearen
% Algebra
% $$A^{\#} A = (\det A) I$$
% mit $I$ der $(n \times n)$-Einheitsmatrix.
% "Ahnlich wie im ersten Teil des Beweises "ubertr"agt man diese
% Formel dann auf beliebige kommutative Ringe $R.$
% \end{proof}

\begin{Proposition}\label{ABTR}
Ist $R$ ein kommutativer Ring und nicht der Nullring,
so folgt aus der Existenz eines Isomorphismus von Moduln 
$R^n\cong R^m$ bereits $n=m.$
\end{Proposition}
\begin{Bemerkungl}
Ein alternativer Beweis wird in "Ubung 
\ref{NKR} skizziert. Ein Gegenbeispiel f"ur nichtkommutative Ringe
erkl"art \ref{BRNN}.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
Ein Isomorphismus $R^n\cong R^m$ wird notwendig
beschrieben durch Matrizen $A$ und $B.$ W"are $n\neq m,$ so
w"aren unsere Matrizen nicht quadratisch.
Hat ohne Beschr"ankung der
Allgemeinheit $A$ mehr Zeilen  als Spalten und erg"anzen wir
unsere Matrizen
durch Nullen zu quadratischen Matrizen $\tilde{A}$ und $\tilde{B},$
so gilt immer noch
$\tilde{A}\tilde{B}=I$ mit $I$ der Einheitsmatrix, im Widerspruch
zu $\det\tilde{A}=0.$
\end{proof}

  \begin{Bemerkungl}
    Ist $M$ ein endlich erzeugter freier Modul "uber einem kommutativen Ring
    $R\neq 0,$ so hei"st die Zahl $n\in\DN$ mit $M\cong R^n$ auch der
    \defnoind{Rang}\index{Rang!von Modul} von $M.$
Das Beispiel \ref{GBSP} zeigt, da"s man "uber nichtkommutativen
Ringen im allgemeinen nicht mehr sinnvoll vom Rang eines freien Moduls
reden kann.
\end{Bemerkungl}



\begin{Ubunge}\label{UbMo}
F"ur jeden Ring $R$ und jede nat"urliche Zahl $n\geq 1$ liefert 
die Zuordnung $M\mapsto M^n$ 
eine  "Aquivalenz von Kategorien
$$R\op{-Mod} \;\;\overset{\sim}{\ra}\;\; \op{M} (n\times n; R) \op{-Mod}$$
In anderen Worten ist  jeder Modul "uber $S=\op{M} (n\times n; R)$ 
isomorph  zu
einem Modul der Gestalt $M^n$ mit $M\in R\op{-Mod}$ und 
unsere Zuordnung  induziert  Bijektionen 
$\op{Hom}_R(M,N)\sira \op{Hom}_S(M^n,N^n)$.
Etwas allgemeiner ist f"ur jeden freien $R$-Rechtsmodul 
$V$  mit Endomorphismenring $E=\op{End}_{-R}(V)$
die Zuordnung $M\mapsto V\otimes_R M$
eine  "Aquivalenz von Kategorien
$R\op{-Mod} \overset{\sim}{\ra} E \op{-Mod}.$
Diese Aussagen sind
im "ubrigen  Spezialf"alle
unserer allgemeinen "Uberlegungen \ref{BMA}.
\end{Ubunge}

\begin{Bemerkunge}\label{AP}
Es gibt Schiefk"orper $K\subset L$ derart,
da"s $L$ "uber $K$ endlich
  erzeugt ist als Linksmodul, nicht aber als Rechtsmodul.
Die Frage nach einem solchen Beispiel war lange als
{\bf Artin's Problem}\index{Artin's Problem} bekannt. 
Eine explizite Konstruktion kann man in  \cite{CohnSKF}
finden.
\end{Bemerkunge}
\subsection{Noethersche Moduln und Ringe}\label{neomo}

% \begin{Bemerkungl}
%   Ich erinnere an den Begriff eines Moduls "uber einem Ring 
% aus \ref{LM} und an die Begriffsbildungen zu Untermoduln, Quotienten und 
% Homomorphismen aus \ref{HQU}. 
% \end{Bemerkungl}


\begin{Definition}
Ein Modul  "uber einem Ring  hei"st 
{\bf noethersch}\index{noethersch!Modul}
genau dann, wenn 
alle seine Untermoduln endlich erzeugt sind. Mit gemeint ist die
Forderung, da"s unser Modul selbst endlich erzeugt sein soll.
\end{Definition}
\begin{Definition}
Ein Ring  hei"st  \defind{linksnoethersch}
bzw.\
\defind{rechtsnoethersch} genau dann, wenn er noethersch ist 
als Links- bzw.\ Rechtsmodul "uber sich selbst, 
 und {\bf noethersch}\index{noethersch!Ring}
genau dann,
wenn er linksnoethersch und rechtsnoethersch ist.
\end{Definition}

\begin{Beispiel}
Ein Vektorraum "uber einem K"orper $k$ 
ist noethersch als $k$-Modul genau dann, wenn er
endlichdimensional ist. Jeder Hauptidealring ist noethersch.
%und jeder Quotient eines noetherschen Rings ist noethersch. 
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}
Der Polynomring $R = \DZ [T_{1},T_{2},
\ldots]$ in abz"ahlbar vielen Variablen ist nicht
noethersch, denn das von allen $T_i$ erzeugte Ideal
ist nicht endlich erzeugt. Um das zu sehen, zeigt man diese Aussage
vielleicht noch leichter f"ur den Quotienten dieses Ideals
nach dem
von allen $T_i T_j$ erzeugten Unterideal.
\end{Beispiel}

\begin{Proposition}\label{ENn}%\label{EN}
Jeder Quotient und jeder Untermodul eines noetherschen Moduls ist
noethersch.
Besitzt ein Modul $M$ einen noetherschen Untermodul $M'$ derart,
da"s auch der Quotient $M/M'$ noethersch ist, so ist bereits $M$ selbst
noethersch.
\end{Proposition}
\begin{Bemerkungl}
F"ur diejenigen  Leser, die mit exakten Sequenzen
vertraut sind, k"onnen wir die Proposition auch wie folgt
formulieren: Ist $M^{\prime} \hookrightarrow M \twoheadrightarrow
M^{\prime\prime}$ eine kurze exakte Sequenz von Moduln "uber einem
Ring, so ist $M$ noethersch genau dann, wenn $M^{\prime}$ und
$M^{\prime\prime}$ noethersch sind.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
Der erste Teil bleibt dem Leser "uberlassen.
Wir m"ussen im zweiten Teil zeigen, da"s jeder Untermodul $U \subset M $
endlich erzeugt ist.
Nach Annahme ist aber $\bar{U} \subset M/M'$ endlich erzeugt, wir
finden also Elemente $u_{1}, \ldots, u_{r} \in U,$ deren Bilder $\bar{U}$
erzeugen.
Ganz genauso ist $U \cap M'$ endlich erzeugt, sagen wir
von $v_{1}, \ldots, v_{s} \in U,$ und dann sieht man leicht, da"s
die $u_{1}, \ldots, u_{r}, v_{1}, \ldots , v_{s}$ ganz $U$ erzeugen.
\end{proof}
\begin{Ubung}\label{QN}
Jeder Quotient eines linksnoetherschen Rings ist linksnoethersch.
Jeder Quotient eines rechtsnoetherschen Rings ist rechtsnoethersch.
Jeder Quotient eines noetherschen Rings ist noethersch.
\end{Ubung}
\begin{Satz}\label{NoUI}
Ein Modul "uber einem noetherschen Ring ist noethersch
genau dann, wenn er endlich erzeugt ist.
\end{Satz}
\begin{proof}[Beweis]
Ein noetherscher Modul ist immer endlich erzeugt.
Ist umgekehrt $M$ endlich erzeugt, so ist $M$ ein Quotient von
$R^{n},$ und f"ur $R$ noethersch ist auch $R^{n}$ noethersch nach
\ref{ENn}.
\end{proof}
\begin{Beispiel}\label{BNAB}
Dieser Satz zeigt insbesondere, da"s
jede Untergruppe einer endlich erzeugten abelschen Gruppe
endlich erzeugt ist.
In der Tat ist ja
eine abelsche Gruppe dasselbe wie ein $\DZ$-Modul, und
$\DZ$ ist ein Hauptidealring, also noethersch.
\end{Beispiel}
\begin{Satz}[\defind{Hilbert'scher 
Basissatz}]\label{HiBaa}\index{Basissatz, Hilbert'scher}
Ist $R$ ein linksnoetherscher Ring, so ist auch
der Polynomring $R[T]$ "uber $R$ linksnoethersch.
Dasselbe gilt auch f"ur rechtsnoethersch und noethersch.
\end{Satz}

\begin{proof}[Beweis]
Sei $I \subset R [T]$ ein Linksideal.
Wir betrachten das Linksideal $\frak{a} \subset R,$ das erzeugt wird
von den Leitkoeffizienten aller Polynome aus $I.$
Da $R$ noethersch ist, gibt es endlich viele Polynome $f_{1},
\ldots , f_{t} \in I,$ deren Leitkoeffizienten das 
Linksideal $\frak{a} \subset R$
erzeugen. Sei $m$ das Maximum der Grade der $f_i.$
Gegeben $h \in I$ mit $\op{deg} h \geq m$  
finden wir offensichtlich $p_{i} \in R [T]$ derart,
da"s
$$ h - (p_{1} f_{1} + \ldots + p_{t}f_{t})$$
echt kleineren Grad hat als $h.$
Induktiv finden wir dann sogar $p_{i}$ derart, da"s diese
Differenz echt kleineren Grad hat als $m.$
Die Polynome aus $R [T]$ vom Grad $< m$ und dann auch
die Polynome aus $I$ vom Grad $< m$ bilden aber einen endlich
erzeugten $R$-Modul, und w"ahlen wir Erzeuger $g_{1}, \ldots,
g_{r}$ dieses $R$-Moduls, so erzeugen offensichtlich $f_{1},
\ldots , f_{t}, g_{1}, \ldots , g_{r}$ unser Linksideal $I$ "uber
$R[T].$
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{Bemerkungl}\label{KHB}
Insbesondere ist also ein Polynomring $K [T_{1}, \ldots , T_{n}]$
in endlich vielen Variablen "uber einem K"orper $K$ noethersch.
\end{Bemerkungl}

\begin{Lemma}\label{KNoe}%\label{KaN}
F"ur einen Modul sind gleichbedeutend:
\begin{enumerate}
\item 
Unser Modul ist noethersch, als da hei"st,  jeder Untermodul
ist endlich erzeugt.
\item
Jedes nichtleere System von Untermoduln unseres Moduls 
 besitzt ein maximales Element. 
\item
Jede
aufsteigende Folge $M_{0} \subset M_{1} \subset
\ldots $ von Untermoduln unseres Moduls wird station"ar.
\end{enumerate}
\end{Lemma}

\begin{Bemerkungl}\label{KaNL}
Ein Ring  ist insbesondere linksnoethersch genau dann, wenn jede
aufsteigende Folge  von Linksidealen station"ar wird.  
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
$(1)\RA (3):$ Sei $M$ unser Modul.
Ist jeder Untermodul von $M$ endlich erzeugt, so auch die Vereinigung
$\bigcup_{i=0}^{\infty} M_{i}$ "uber unsere 
aufsteigende Folge von Untermoduln. Es gibt
also ein $j$ derart, da"s alle Erzeuger dieser Vereinigung schon
in $M_{j}$ liegen, und dann gilt notwendig $M_{j}=M_{j+1} =
\ldots=\bigcup_{i=0}^{\infty} M_{i}.$ 
\\[2mm]\noindent
$(3)\RA (1):$ 
Ist ein Untermodul $N \subset M$ nicht endlich erzeugt, so finden
wir induktiv eine Folge $m_0, m_1, \ldots$ in $ N$ derart, 
da"s f"ur jedes $i\geq 0$ das $i$-te Folgenglied $m_{i}$ nicht im Erzeugnis
der vorhergehenden $m_{0}, m_{1}, \ldots , m_{i-1}$ liegt. Die $M_{i} = \langle
m_{0}, m_{1}, \ldots, m_{i}\rangle$ bilden dann eine aufsteigende 
Folge von Untermoduln von $M,$ die
nicht station"ar wird. 
\\[2mm]\noindent
$(2)\IFF (3):$ Offensichtlich besitzt in einer partiell geordneten Menge 
jede nichtleere Teilmenge
mindestens ein maximales Element genau dann, wenn jede monoton wachsende
Folge in unserer Menge station"ar wird. Diese Erkenntnis gilt es anzuwenden
auf das System alias die Menge aller Untermoduln unseres Moduls.
\end{proof}

\subsection{Moduln "uber Hauptidealringen}\label{NFS}
\begin{Satz}[\textbf{Elementarteilersatz}]\label{ES}
Sei\index{Elementarteilersatz!"uber Hauptidealringen} 
$f$ ein Homomorphismus 
zwischen zwei freien Moduln  endlichen Ranges
"uber einem Kring, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist. So gilt:
\begin{enumerate}
\item Es gibt angeordnete Basen $\mathcal A, \mathcal B$ 
unserer Moduln,
  derart, da"s die darstellende Matrix $D\pdef _{\mathcal B}[f]_{\mathcal A}$
  eine (nicht notwendig quadratische) Diagomalmatrix ist, deren vordere
  Diagonaleintr"age jeweils die hinteren teilen, in Formeln
  $d_{11}|d_{22}|\ldots |d_{rr}$ f"ur $r$ das Minimum der beiden R"ange. 
\item  Ist unser Kring zus"atzlich 
  ein Integrit"atsbereich, so sind die Diagonaleintr"age $d_{ii}$ einer 
derartigen darstellenden Matrix
   durch die Abbildung $f$ wohlbestimmt bis auf Multiplikation mit
  Einheiten.
\end{enumerate}
\end{Satz}
% \begin{Satz}[\textbf{Elementarteilersatz}]\label{ES}
% Sei\index{Elementarteilersatz!"uber Hauptidealringen} 
% $f: E \ra F$ ein Homomorphismus 
% zwischen zwei freien Moduln von endlichen R"angen $m,n$
% "uber einem Kring $R,$ in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist. 
% So gibt es eine diagonale Matrix $D \in \op{M} (n \times m; R),$ deren
% Diagonaleintr"age jeweils die folgenden Diagonaleintr"age teilen,
% in Formeln $d_{11}|d_{22}|\ldots |d_{rr}$ f"ur $r = \min (n,m),$ und
% Isomorphismen
% $E \sira R^{m},$ $ F \sira R^{n}$ derart, da"s das folgende
% Diagramm kommutiert:
% $$\begin{array}{ccc}
% E & \overset{f}{\longrightarrow} & F\\
% \da\wr & &\da\wr\\
% R^{m} & \overset{D}{\longrightarrow} & R^{n}
% \end{array}$$
% Ist unser Kring $R$ zus"atzlich ein Integrit"atsbereich,
% so sind Diagonaleintr"age $d_{ii}$ von $D$  durch die
% Abbildung $f$ wohlbestimmt bis auf 
% Multiplikation mit Einheiten des Rings $R.$
% \end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
Den K"orperfall kennen wir bereits aus \ref{ETSS}, den Fall
des Hauptidealrings $\DZ$ aus \ref{ETS}, den Fall eines
Polynomrings aus \ref{SmZe}. 
%% Unser Satz gilt nat"urlich 
%% f"ur Hauptidealringe, er gilt aber etwa auch f"ur Quotienten
%% von Hauptidealringen, die ja keine Integrit"atsbereiche mehr sein 
%% m"ussen und damit keine Hauptidealringe im Sinne unserer 
%% strengen Definition
%% \ref{HIRi}.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}\label{ESW}
Nach unserer  Definition \ref{HIRi} ist ein 
Hauptidealring ein kommutativer Integrit"atsbereich,
in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist.
Wir k"onnen unseren Satz auch verstehen als die Beschreibung
eines Systems von Repr"asentanten f"ur die Bahnen 
der offensichtlichen Wirkung der Gruppe $\op{GL}(n;R)\times \op{GL}(m;R)$
auf der Menge $\op{M}(n\times m;R)$ f"ur Hauptidealringe $R.$
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
Wir d"urfen $E = R^{m}$ und $F = R^{n}$ annehmen.
Die Abbildung $f$ wird beschrieben durch eine Matrix $A \in \op{M} (n
\times m; R)$ und es gilt, invertierbare Matrizen $P \in \op{M} (n
\times n; R)$ und $Q \in \op{M} (m \times m; R)$ zu finden derart,
da"s $P AQ =
D$ diagonal ist von der gew"unschten Form.
F"ur eine Matrix $A$ bezeichne $\langle A\rangle  \subset R$ das von den
Eintr"agen von $A$ erzeugte Ideal. 
Sicher gilt $\langle XA\rangle  \subset \langle A\rangle $
f"ur jede Matrix $X,$ also $\langle XA\rangle  
= \langle A\rangle $ f"ur $X$ invertierbar.
Ebenso gilt $\langle AY\rangle  \subset \langle A\rangle $ 
f"ur jede Matrix $Y$ und $\langle AY\rangle  =
\langle A\rangle $ f"ur $Y$ invertierbar.
Wir geben im folgenden ein Verfahren an, 
das im Fall $\langle a_{11}\rangle  \neq
\langle A\rangle $ invertierbare Matrizen $X$ und $Y$ liefert
derart, da"s der obere linke Eintrag von $X A Y$ ein echt
gr"o"seres Ideal erzeugt als $a_{11}.$
Mit Induktion finden wir dann sogar $\tilde{X}$ und $\tilde{Y}$
invertierbar derart, da"s der obere linke Eintrag von
$\tilde{X}A\tilde{Y}$ das Ideal 
$\langle \tilde{X}A \tilde{Y}\rangle =\langle A\rangle $ erzeugt,
d.h.\ da"s er alle Eintr"age von $\tilde{X}A \tilde{Y}$ teilt.
Da nun Zeilen- und Spaltenoperationen auch durch Multiplikation
mit invertierbaren Matrizen von links bzw.\ rechts gegeben werden,
finden wir dann sogar invertierbare Matrizen $\hat{X}, \hat{Y}$
derart, da"s $\hat{X} A \hat{Y}$ au"ser einem Eintrag $a_{11}=d_{11}$
in der oberen linken Ecke nur Nullen in der ersten Zeile
und erste Spalte stehen hat und da"s zus"atzlich gilt 
$\langle d_{11}\rangle =\langle A\rangle .$
Dann k"onnen wir aber den Beweis beenden mit einer
offensichtlichen Induktion.
Es bleibt, das versprochene Verfahren anzugeben.
Wir unterscheiden drei F"alle.
\begin{enumerate}
\item[(i)]
Falls $a_{11}$ nicht alle Elemente der ersten Zeile teilt, sagen
wir $a_{11}$ teilt nicht $a_{12},$ so betrachten wir das Ideal
$\langle a_{11}, a_{12}\rangle $ und w"ahlen daf"ur einen Erzeuger $d.$
Wir k"onnen nun schreiben $d = x a_{11} + y a_{12}$ sowie zus"atzlich $a_{11}
= d \lambda, a_{12} = d\mu$ und folgern $1 = x \lambda + y \mu.$
Jetzt beachten wir
$$\left(\begin{array}{c|c}
\begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12} \\
\ast   &  \ast  \end{array} &\ast  \\ \hline
\ast&\ast\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c|c}
\begin{array}{cc}
x & -\mu \\
y   &  \lambda  \end{array} &0  \\ \hline
0&I\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{c|c}
\begin{array}{cc}
d & \ast \\
\ast   &  \ast  \end{array} &\ast  \\ \hline
\ast&\ast\end{array}\right)$$
mit $I$ der Einheitsmatrix und haben schon gewonnen.

\item[(ii)]
Falls $a_{11}$ nicht alle Elemente der ersten Spalte teilt, gehen
wir analog vor.

\item[(iii)]
Teilt $a_{11}$ alle Elemente der ersten Zeile und der ersten
Spalte, so finden wir schon mal invertierbare $X,Y$ derart,
da"s
$XAY$
au"ser einem Eintrag $a_{11}$
in der oberen linken Ecke nur Nullen in der ersten Zeile
und der ersten Spalte stehen hat.
Unter der Annahme 
$\langle a_{11}\rangle  \neq \langle A\rangle $ kann aber $a_{11}$ nicht
alle Eintr"age von $A$ teilen. Addieren wir nun eine geeignete
Zeile zur ersten Zeile, so landen wir im Fall (i) und haben wieder
gewonnen.
\end{enumerate}
Damit haben wir das versprochene Verfahren angegeben und
Teil 1 ist gezeigt.
\\[2mm]\noindent
2. Wir zeigen nun die Eindeutigkeit der Diagonaleintr"age
bis auf Einheiten. Dazu betrachten
wir f"ur $i \geq 1$ das von allen Determinanten von 
$(i\times i)$-Untermatrizen von $A$ 
erzeugte Ideal $J_{i} (A) .$ Ist $X$ eine weitere
Matrix, so gilt $J_{i} (XA) \subset J_{i}(A),$
denn die Zeilen von $XA$ sind Linearkombinationen von Zeilen von
$A.$
Insbesondere gilt also $J_{i} (XA) = J_{i} (A)$ f"ur invertierbares $X$
und ebenso $J_{i} (AY) = J_{i}(A)$ f"ur invertierbares $Y.$
Es folgt sofort, da"s $J_{i} (A)$ das vom Produkt $d_{11}d_{22} \cdots d_{ii}$
erzeugte Ideal ist, in Formeln 
$J_{i} (A) = \langle d_{11}d_{22} \cdots d_{ii}\rangle$, und im 
nullteilerfreien Fall folgt daraus 
dann die
Eindeutigkeit der $d_{ii}$ bis auf Einheiten.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}
Wir geben nun zwei Formen der Klassifikation endlich erzeugter
Moduln "uber Hauptidealringen an.  
  Wenden wir diese Klassifikationen 
an auf den Hauptidealring $\DZ,$ so erhalten wir die
  Klassifikation der endlich erzeugten abelschen Gruppen 
\ref{ek} und \ref{zk} vom Beginn der
  Vorlesung.  Wenden wir unsere S"atze an 
auf einen Polynomring "uber einem algebraisch
  abgeschlossenen K"orper, so ergibt sich die Jordan'sche Normalform
\ref{JNFa}, wie als Korollar \ref{JNF} ausgef"uhrt wird.
\end{Bemerkungl}

\begin{Satz}[\defnoind{Klassifikation 
durch Idealketten}\index{Klassifikation!Moduln "uber Hauptidealringen}]
Ist $M$ ein endlich erzeugter\label{KIK} Modul "uber einem Hauptidealring
$R,$
so gibt es genau eine aufsteigende Kette $\frak{a}_{1} \subset
\frak{a}_{2} \subset \ldots\subset \frak{a}_{s} \subset R$
von Idealen von $R$ mit $\frak{a}_s\neq R$ und
$$M \cong R/\frak{a}_{1} \times \ldots \times R/\frak{a}_{s}$$
Der Nullmodul wird abgedeckt durch den Fall $s=0.$ \end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
  Ist $R$ ein faktorieller Ring, so nennen wir die Potenzen irreduzibler
  Elemente von $R$ auch die 
\defnoind{Primpotenzen}\index{Primpotenz!in faktoriellem Ring}
von $R.$ Jede Primpotenz $q$
  hat also die Form $q = p^{e}$ mit $p$ irreduzibel 
und $e\geq 1.$ Wir verwenden diesen Begriff bei der 
Darstellung einer zweiten Klassifikation derselben Objekte.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkunge}
Die Existenz ist mir auch klar f"ur Kringe, in denen jedes
Ideal ein Hauptideal ist. Aber wie steht es in dieser Allgemeinheit
mit der Eindeutigkeit?
\end{Bemerkunge}
\begin{Satz}[\defnoind{Klassifikation durch Multimengen von
Primpotenzen}]
Ist $M$ ein endlich erzeugter Modul "uber einem Hauptidealring
$R,$ so gibt es $r \in \DN$ und\label{NFF} Primpotenzen $q_{1}, \ldots,
q_{t} \in R$ derart, da"s gilt
$$M \cong R^{r} \times R/q_{1}R \times \ldots \times R/q_{t}R$$
Hier ist $r$ wohlbestimmt und die $q_{i}$ sind wohlbestimmt bis
auf Einheiten und Reihenfolge. Der Nullmodul wird abgedeckt durch den
Fall $r=t=0.$
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
Der Beweis beider S"atze ist mutatis mutandis derselbe wie 
der Beweis ihrer als \ref{ek} und \ref{zk} diskutierten 
Spezialisierungen f"ur den Hauptidealring $\DZ$ der ganzen Zahlen.
\end{Bemerkungl}


\begin{proof}[Beweis von \ref{KIK}]
Gegeben ein Erzeugendensystem $g_1 , \ldots , g_n$ 
von  $M$ 
erkl"aren wir
durch die Vorschrift $(a_1,\ldots,a_n)\mapsto a_1g_1+\ldots+a_ng_n$
einen surjektiven Modulhomomorphismus
$$R^n \twoheadrightarrow M$$
Dessen Kern ist nach \ref{NoUI} ein endlich erzeugter $R$-Modul
$K$, f"ur den wir wieder einen surjektiven Homomorphismus 
$R^{m} \twoheadrightarrow K$ finden k"onnen. Mit der Komposition
$R^{m} \sra K\hra  R^{n}$ als erster Abbildung entsteht 
so eine im Sinne von \ref{exSG}
exakte Sequenz
von $R$-Moduln
$$R^{m} \ra  R^{n} \ra M \ra 0$$ 
Nach \ref{HMRR} sind die Homomorphismen
$R^{m} \ra  R^{n}$ genau die Multiplikationen 
von links mit 
$(n\times m)$-Matrizen mit Eintr"agen in $R$.
Weiter "uberlegt man sich, da"s auch in dieser 
Situation die Verkn"upfung von Homomorphismen der
Multiplikation von Matrizen entspricht.
Bezeichnet nun $A$ die Matrix unserer Abbildung 
$R^{m} \ra  R^{n}$ und w"ahlen wir $P$ und $Q$ 
wie im Elementarteilersatz oder vielmehr dem Beginn seines
Beweises, so ergibt sich ein
kommutatives Diagramm von $R$-Moduln
$$
\xymatrix{
R^m \ar[r]^{A\circ} 
&R^n \ar[d]_{P\circ}^{\wr}\\
R^m \ar[u]_{\wr}^{Q\circ}  \ar[r]^{D\circ}&  R^n 
}$$
f"ur eine nicht notwendigerweise quadratische Diagonalmatrix 
$D$
mit  Eintr"agen $d_1| d_2| \ldots | d_r$ 
f"ur $r = \op{min} (m,n)$.
Bilden wir nun andererseits das Produkt der 
exakten Sequenzen $R \stackrel{d_i}{\ra}R \ra R /\langle d_i\rangle  \ra 0$
f"ur $1\leq i\leq r$ mit $m-r$ Kopien der 
exakten Sequenzen $R \ra 0\ra 0 \ra 0$ im Fall $m>n$ bzw.\
$n-r$ Kopien der 
exakten Sequenzen
$0\ra R \stackrel{\op{id}}{\ra}R  \ra 0$ im Fall $n>m,$
so erhalten wir mit \ref{PexA} die untere Horizontale
in einem kommutativen Diagramm mit exakten Zeilen
$$
\xymatrix{
 R ^m \ar[r]^{A\circ} 
& R ^n \ar[d]_{P\circ}^{\wr}\ar[r] & M\ar[r]&0\ar[d]\\
 R ^m \ar[u]_{\wr}^{Q\circ}  \ar[r]^{D\circ}&   R ^n 
\ar[r] &  R /\langle d_1  \rangle  \times \ldots 
\times  R /\langle d_r  \rangle  \times 
 R ^{n-r}
\ar[r]&0
}$$
Damit liefert  \ref{Ikok} oder vielmehr eine offensichtliche Variante 
dieses Resultats f"ur Moduln einen Isomorphismus 
$M\sira  R /\langle d_1  \rangle  \times \ldots 
\times  R /\langle d_r  \rangle  \times 
 R ^{n-r}.$ 
% Dieses Diagramm liefert einen 
% Isomorphismus zwischen $G$ und dem Quotienten von $\Bbb{Z}^n$ nach dem
% Bild der unteren Horizontalen: In der Tat ist ja nach Konstruktion und
% \ref{ISa} die Gruppe $G$ isomorph zum Quotienten 
% von $\Bbb{Z}^n$ nach dem
% Bild der oberen Horizontalen, und einen Isomorphismus zwischen
% diesen beiden Quotienten liefert etwa \ref{unin}.
% Der Quotient nach dem
% Bild der unteren Horizontalen
% ist nun aber offensichtlich isomorph zu
% $$\Bbb{Z}/d_1 \Bbb{Z} \times \ldots \times \Bbb{Z}/d_r \Bbb{Z} \times 
% \Bbb{Z}^{n-r}$$
Lassen wir von unserer Folge 
$d_1 | d_2 | \ldots | d_r$ alle Einheiten vorne weg
und erg"anzen am Ende $(n-r)$ Nullen und drehen die Nummerierung um, 
so erhalten wir eine Folge $a_{s}| \ldots| a_{1}$ 
derart, da"s die von ihren Gliedern erzeugten Ideale 
eine Kette 
bilden wie im Satz \ref{KIK} 
gefordert, und
die Existenz dort ist gezeigt.
Um die Eindeutigkeit zu zeigen bemerken wir, 
da"s f"ur jeden endlich erzeugten $R$-Modul $M$ und jedes
irreduzible Element
$p$ und alle $n \geq 1$ 
der  Quotient
$p^{n-1}M/p^{n} M$ 
nach \ref{MQR} % und \ref{ee} 
ein
endlichdimensionaler Vektorraum "uber 
dem Restklassenring $R/\langle p\rangle$ ist, 
der hinwiederum nach \ref{Ubb} ein
K"orper sein mu"s.
Wir notieren seine Dimension
$$D^n_p (M)\pdef \op{dim}_{R/\langle p\rangle}(p^{n-1}M/p^{n} M)$$
Man folgert  unmittelbar
$D^n_p (M\times N)=D^n_p (M)+D^n_p (N)$ f"ur je zwei endlich erzeugte 
$R$-Moduln $M$ und $N.$
F"ur zyklische $R$-Moduln  $M \cong  R /aR $ 
behaupten wir nun
$$\begin{array}{ccc}
D^n_p ( R /a R ) &=& \left\{ \begin{array}{cl}
1 & p^{n} \text{ teilt } a;\\
0 & \text{sonst}.
 \end{array}\right.
\end{array}$$
In der Tat ist das klar f"ur $a=p^m,$ 
 f"ur $a$ teilerfremd zu $p$ ist es eh klar,
und mit dem 
chinesischen Restsatz  \ref{ACR} folgt es im allgemeinen.
F"ur eine Zerlegung 
$M \cong R/\langle d_{1}\rangle \times \ldots 
\times R/\langle d_{s}\rangle$
wie in \ref{KIK} finden wir also  
$$D^n_p ( M )=|\{i\mid p^{n}\text{ teilt }d_i\}|$$
Die Zahl der Nullen unter unseren $d_i$ wird damit
f"ur jedes $p$  gegeben durch die Formel 
$|\{i\mid d_i=0\}|=\lim_{n\ra\infty} D^n_p ( M ),$ 
und welche Potenz von jedem irreduziblen Element $p$
 in jedem von Null verschiedenen
$d_i$ stecken mu"s, kann man offensichtlich an den Zahlen $D^n_p(M)$
 auch ablesen. Folglich h"angen die Ideale 
$\langle d_i\rangle$ nur von  $M$ und nicht von der
gew"ahlten Zerlegung ab. 
\end{proof}


% \begin{proof}[Beweis von \ref{zk}]
% Die Existenz folgt aus \ref{ek} mit  dem Chinesischen Restsatz \ref{CR}. 
% Die Eindeutigkeit erkennt man, indem man sich "uberlegt, da"s 
% verschiedene Folgen $a_1 |a_2|\ldots| a_s$ auch zu verschiedenen 
% Produkten wie in \ref{zk} f"uhren. Genauer kann man $a_1$ beschreiben
% als das Produkt der jeweils h"ochsten Primzahlpotenzen f"ur alle
% vorkommenden Primzahlen,   $a_2$ 
% als das Produkt der jeweils zweith"ochsten und so weiter,
% bis am Ende die Zahl der Nullen gerade die Zahl der Faktoren
% $\DZ$ in der Zerlegung \ref{zk} sein mu"s.
% \end{proof}
\begin{proof}
  Aus \ref{KIK}
folgt sofort die Existenzaussage in Satz \ref{NFF}, indem wir im Fall
  $\frak{a}_{i} \neq 0$ einen Erzeuger $d_i$ von $\frak{a}_{i}$ als Produkt von
  paarweise teilerfremden Primpotenzen $d_i = q_{1} \ldots q_{k}$ schreiben und
  mit dem chinesischen Restsatz zerlegen
$$R/\frak{a}_{i} \cong R/q_{1}R \times \ldots \times R/q_{k}R$$
F"ur die Eindeutigkeit argumentieren wir wie im vorhergehenden Beweis:
F"ur $M \cong R^{r} \times R/q_{1}R \times \ldots \times R/q_{t}R$
wie in \ref{NFF} finden wir diesmal
$$D^n_p ( M )=r+ |\{i\mid p^{n}\text{ teilt }q_i\}|$$
Wenden wir diese Erkenntnis an auf alle 
irreduziblen Elemente  $p,$ 
so folgt die im Satz behauptete
Eindeutigkeit ohne weitere Schwierigkeiten:
Die Zahl der Primpotenzen $q_i,$ die bis auf eine Einheit $p^n$ sind,
mu"s n"amlich bei jeder Zerlegung gerade $D^{n}_p ( M )-D^{n+1}_p ( M )$
sein,  und den Rang $r$ des freien Anteils k"onnen wir
als 
die auch von allen Wahlen unabh"angige Zahl $r=\lim_{n\ra\infty} D^n_p ( M )$ 
beschreiben, f"ur jedes irreduzible Element $p$.
\end{proof}


% \begin{proof}[Beweis der beiden S"atze]
% Wir beginnen mit dem Beweis der Eindeutigkeit im zweiten Satz
% und zeigen zun"achst die Eindeutigkeit von $s.$
% Sei $Q=\op{Quot} R$ der Quotientenk"orper von $R.$
% Wir behaupten
% $$ s = \dim_{Q} \op{Hom}_{R} (M,Q),$$
% wo wir f"ur jeden $R$-Modul $M$ den Raum $\op{Hom}_{R} (M,Q)$
% als Untervektorraum auffassen im Raum aller Abbildungen von $M$ nach $Q.$
% Nach den allgemeinen Eigenschaften der direkten Summe gilt in der Tat
% $$\op{Hom}_{R} (M,Q)=\op{Hom}_{R} (R/q_{1}R,Q)
% \times \ldots \times \op{Hom}_{R}(R/q_{t}R,Q) \times
% \op{Hom}_{R}(R,Q)^{s}$$
% Nach \ref{RHO} gilt $\op{Hom}_{R}(R,Q)\cong Q$ 
% und wir m"ussen nur noch zeigen,
% da"s gilt
% $\op{Hom}_{R} (R/\frak{a}, Q)=0$  f"ur jedes
% von Null verschiedene Ideal $\frak{a} \subset R.$
% In der Tat k"onnen wir aber diesen Raum identifizieren als
% $$\op{Hom}_{R} (R/\frak{a}, Q)=\{ f \in \op{Hom}_{R} (R,Q) 
% \mid f|_\frak{a} =0\}$$
% und da jeder von Null verschiedene $R$-Modulhomomorphismus $f: R
% \ra Q$ injektiv ist, kann nur Nullabildung auf einem von Null
% verschiedenen Ideal verschwinden. Das zeigt die Eindeutigkeit von $s.$
% Um auch die Eindeutigkeit der auftauchenden Primpotenzen zu zeigen,
% betrachten wir f"ur $n\geq 1$ und jeden endlich erzeugten $R$-Modul $M$ und
% jedes irreduzible Element $p\in R$ den K"orper $R/pR$ und die nat"urlichen 
% Zahlen
% $$d^n_p(M)=\dim_{R/pR} (p^{n-1}M/p^{n}M)$$
% Sie haben die folgenden Eigenschaften:
% \begin{enumerate}
% \item
% $d^n_p(M\oplus N)=d^n_p(M)+d^n_p(N)$ f"ur alle $p$ und $n$
% und $N$ auch endlich erzeugt.
% \item
% $d^n_p(R)=1$ f"ur alle $p$ und $n.$
% \item
% Ist $\pi$ ein weiteres irreduzibles Element von $R,$ so gilt
% $$d^n_p(R/\pi^mR)=\left\{\begin{array}{ll}
% 1&\pi\in R^\times p,\;m\leq n;\\
% 0&\text{sonst.}\end{array}\right.$$
% \end{enumerate}
% Hier ist die erste Eigenschaft offensichtlich.
% F"ur $\pi=p$ induziert die Multiplikation mit $p^{n-1}$
% Isomorphismen $R/pR\sira p^{n-1}R/p^{n}R,$ und das
% zeigt 2 sowie in 3 alle F"alle mit $\pi\in R^\times p.$
% Im verbleibenden Fall  $\pi\not\in R^\times p$
% ist die Restklasse von $p$ eine Einheit in $R/\pi^m R$
% und das zeigt $d^n_p(R/\pi^m R)=0$ f"ur alle $m.$
% Damit erhalten wir f"ur jedes irreduzible $p \in R$ und $n \geq 1$
% die Formel
% $$d^n_p(M) = s +\# \{ i \mid p^{n} \text{
% teilt } q_{i}\},$$
% und das zeigt die Eindeutigkeit der $q_{i}$ bis auf
% Reihenfolge und Einheiten.






% Als n"achstes zeigen wir die Existenz im ersten Satz.
% Sei also $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul. Sicher finden wir
% eine Surjektion
% $p:R^{m} {\twoheadrightarrow} M.$ Da $R$ noethersch ist,
% ist $\ker p$ auch endlich erzeugt und wir finden eine Surjektion
% $f:R^{n} {\twoheadrightarrow} \ker p.$
% Jetzt fassen wir $f$ auf als eine Abbildung $f: R^{n} \ra R^{m}$
% und haben $M \cong R^{m} / \op{im} f.$
% Nach Satz \ref{ES} finden wir aber $X,Y$ invertierbar und $D$
% diagonal derart, da"s das Diagramm
% $$\begin{array}{ccc}
% R^{n} & \overset{f}{\longrightarrow} & R^{m}\\
% X \uparrow \;\;\;\;& & \;\;\downarrow Y\\
% R^{n} & \overset{D}{\longrightarrow} & R^{m}
% \end{array}$$
% kommutiert, und k"onnen f"ur die Diagonaleintr"age von $D$ sogar
% $d_{11}|d_{22}|\ldots | d_{rr}$ erreichen mit $r = \min (m,n).$
% Es folgt
% $$\begin{array}{ccl}
% M & \cong & R^{m}/\op{im} D\\
%  & \cong & R/d_{11}R \times \ldots \times R/d_{rr}R \times R^{m-r}
%  \end{array}$$
% In dieser Darstellung d"urfen wir die Terme mit $d_{ii} \in R^{\times}$
% weglassen und erhalten so die Existenzaussage in Satz \ref{KIK}.
% Daraus folgt sofort die Existenzaussage in Satz \ref{NFF}, indem
% wir im Fall $\frak{a}_{i} \neq 0$ einen Erzeuger $d$ von $\frak{a}_{i}$
% als Produkt von paarweise teilerfremden Primpotenzen $d =
% q_{1} \ldots q_{k}$ schreiben und mit dem chinesischen Restsatz
% zerlegen
% $$R/\frak{a}_{i} \cong R/q_{1}R \times \ldots \times R/q_{k}R$$
% Umgekehrt zeigt die bereits bewiesene Eindeutigkeit in Satz
% \ref{NFF} auch die behauptete Eindeutigkeit in Satz \ref{KIK}, wir
% haben notwendig $\frak{a}_{1} = \ldots = \frak{a}_{s} =0,$ dann ist
% $\frak{a}_{s+1}$ erzeugt vom Produkt der jeweils gr"o"sten unter den $q_{i}$
% vorkommenden Potenzen der verschiedenen Primelemente, und so
% weiter.
% \end{proof}

\begin{Korollar}[\defind{Jordan'sche Normalform}]\label{JNF}
Sei $V$ ein
endlichdimensionaler Vektorraum "uber einem
algebraisch abgeschlossenen K"orper $k$  und sei
$A : V \ra V$ eine lineare Abbildung.
So gibt es eine Basis von $V$ derart, da"s die Matrix von $A$
bez"uglich dieser Basis blockdiagonal ist, wobei die Bl"ocke
konstant sind auf der Diagonale, konstant Eins auf der ersten oberen
Nebendiagonale, und Null an allen anderen
Stellen.
\end{Korollar} 
\begin{Bemerkung}
 Das ist genau Satz \ref{JNFa} aus der linearen Algebra.
\end{Bemerkung}

\begin{proof}[Beweis]
Mithilfe von  \ref{KX} fassen wir
$V$  als $k[X]$-Modul auf und mit \ref{NFF} finden  wir
einen Isomorphismus
von $k[X]$-Moduln
$$V \cong k [X]/\langle(X-\lambda_{1})^{n_{1}}\rangle 
\times \ldots \times 
k[X]/\langle(X-\lambda_{t})^{n_{t}}\rangle$$
W"ahlen wir auf der rechten Seite im Summanden 
$k [X]/\langle(X-\lambda)^{n}\rangle$ als angeordnete Basis die
Nebenklassen von  $
{(X-\lambda)}^{n-1},$ $\ldots,$ ${(X-\lambda)}$ und $1,$ so
erh"alt man die Matrix der Multiplikation mit $X,$ indem man 
zun"achst die Matrix der Multiplikation mit $(X-\lambda)$ berechnet und dann
die Diagonalmatrix $\lambda I$ addiert. So erkennt man dann leicht, da"s die
Matrix der Multiplikation mit $X$
die gew"unschte Form hat.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}
 Auf "ahnliche Weise erh"alt man auch Normalformen f"ur die Matrizen von
 Endomorphismen "uber nicht notwendig algebraisch abgeschlossenen K"orpern,
wie in den folgenden "Ubungen ausgef"uhrt wird.
\end{Bemerkungl}


\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildMNWF}\\[4mm]
\noindent 
Illustration zu \ref{WNF}
\end{figure}
\begin{Ubung}\label{WNF}
Jedes normierte Polynom $P\in k[X]$ ist bis auf Vorzeichen das
charakteristische Polynom der $k$-linearen Abbildung
$(X\cdot):k[X]/\langle P\rangle\ra k[X]/\langle P\rangle.$
Hat unser Polynom die Gestalt 
$P=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\ldots+a_{1}X+a_0,$ so bilden die Nebenklassen
von $1,X,\ldots,X^{n-1}$ eine angeordnete Basis des Quotienten, 
und in Bezug auf diese Basis hat die durch Multiplikation mit 
$X$ gegebene $k$-lineare  Abbildung die in nebenstehender Abbildung
angegebene Matrix. Hinweis: Eine Methode ist die explizite Berechnung mithilfe
der Determinante. Alternativ mag man $k$ algebraisch abgeschlossen annehmen
und sich mithilfe des chinesischen Restsatzes auf den Fall
zur"uckziehen, da"s $P$ eine Potenz eines linearen Polynoms ist.
\end{Ubung}

\begin{Ubunge}\label{KEC}
  Sei $A:V\ra V$ ein Endomorphismus eines endlichdimensionalen Vektorraums
"uber einem K"orper $k$. Man zeige: Genau dann hat $A$ das charakteristische
Polynom $P,$ wenn es eine Faktorisierung $P=Q_1\ldots Q_r$ gibt derart,
da"s der  $(V,A)$ entsprechende $k[X]$-Modul isomorph ist zu 
$$k[X]/\langle Q_1\rangle\times\ldots\times k[X]/\langle Q_r\rangle$$
Man nutze diese Erkenntnis, um einen alternativen Beweis des Satzes von
Cayley-Hamilton \ref{CaHa} zu geben. Hinweis: \ref{WNF} und \ref{KIK}
oder \ref{NFF}.
In anderen Worten kann das Aufmultiplizieren einer endlichen Multimenge 
von  Null verschiedener Polynome bis auf eine multiplikative
Konstante aus $k^\times$ demnach geschrieben werden als die Verkn"upfung 
\begin{displaymath}
\begin{array}{ccc}
 \{ Q_1, \ldots , Q_r\} &\in 
&\left\{ \begin{array}{c}\text{endliche Multimengen}\\
\text{von Polynomen aus } k [X]\backslash 0
\end{array} \right\}\\
\da&&\da\\
k [X]/ \langle Q_1\rangle \times \ldots \times  k [X]/ \langle Q_r
\rangle
 & \in
& \left\{\begin{array}{c}\text{endlichdimensionale}\\
k[X]\text{-Moduln}
\end{array} \right\}\\
& & \downarrow\\
(V,A)&\in&\left\{\begin{array}{c}\text{endlichdimensionale}\\
k\text{-Vektorr"aume }V\\
\text{mit Endomorphismus}
\end{array} \right\}
\\
\da&&\da\\
\chi_A & \in & k [X] 
\end{array}
\end{displaymath}
mit unserer Entsprechung $M\mapsto (M,(X\cdot))$ aus \ref{KX} als mittlerem
Pfeil.
\end{Ubunge}
\begin{Ubunge}
  Sei $A:V\ra V$ ein Endomorphismus eines Vektorraums
"uber einem K"orper $k$. Man zeige: Genau dann 
entspricht $(V,A)$ einem  $ k[X]$-Modul der Gestalt $k[X]/\langle P\rangle$
f"ur ein Polynom $P\in k[X]$, wenn es einen Vektor $v\in V$
gibt
derart, da"s die $A^iv$ den Vektorraum $V$ erzeugen. 
Ein derartiger Vektor
hei"st auch 
ein {\bf zyklischer Vektor}.\index{zyklischer Vektor!eines Endomorphismus}
\end{Ubunge}
\begin{Ubunge}
  Sei $A:V\ra V$ ein Endomorphismus eines 
endlichdimensionalen Vektorraums
"uber einem K"orper $k$. Man zeige: 
Kommen im  charakteristischen Polynom $\chi_A$ von $A$ keine
$k$-irreduziblen Faktoren mehrfach vor, so 
entspricht $(V,A)$ dem  $ k[X]$-Modul  $k[X]/\langle \chi_A\rangle$.
\end{Ubunge}




\subsection{Halbeinfache Moduln und Ringe}\label{HeM}
\begin{Definition}\label{MRHE}
Ein Modul hei"st \defnoind{halbeinfach}\index{halbeinfach!Modul}
genau dann, wenn er die Summe\index{Modul!halbeinfacher}
seiner einfachen Untermoduln ist,  in anderen Worten also das 
Erzeugnis der Vereinigung seiner einfachen Untermoduln.
Ein Ring hei"st \defnoind{halbeinfach}\index{halbeinfach!Ring} 
genau dann, wenn er halbeinfach ist
als Linksmodul "uber sich selber. 
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl}\label{GRhe}
Aus dem Satz "uber die Struktur halbeinfacher Ringe 
\ref{SHER} wird folgen, da"s ein Ring halbeinfach ist genau dann,
wenn der opponierte Ring halbeinfach ist. Jeder Vektorraum 
alias Modul "uber einem K"orper ist halbeinfach nach \ref{EMKO}.
Der Gruppenring einer endlichen Gruppe "uber einem K"orper oder sogar
Schiefk"orper, dessen
Charakteristik die 
Gruppenordnung nicht teilt, ist halbeinfach nach dem Satz
von Maschke \ref{Mas}. Unter einem 
{\bf einfachen Ring}\index{Ring!einfacher}\index{einfach!Ring} 
verstehen wir
dahingegen einen Ring, der nicht Null ist und au"ser Null und
dem ganzen Ring keine weiteren zweiseitigen Ideale besitzt.
Diese Terminologie ist mit der eben 
in \ref{MRHE} eingef"uhrten Terminologie 
nicht gut vertr"aglich,
da einfache Ringe keineswegs halbeinfach als Linksmodul zu sein brauchen. 
 Ein einfacher Ring $R$ ist vielmehr einfach als Modul "uber dem Produktring 
$R\times R^{\op{opp}},$ dessen Operation 
auf $R$ dabei durch simultane Links- und Rechtsmultiplikation 
zu verstehen ist.
Zum Beispiel erh"alt man einen einfachen Ring, wenn man den Quotienten des 
Endomorphismenrings eines  Vektorraums abz"ahlbarer Dimension
nach dem Ideal aller Endomorphismen endlichen Ranges betrachtet,
wie der Leser zur "Ubung selbst pr"ufen mag. Dieser
Ring $E$  ist  jedoch als Linksmodul "uber sich selber mit denselben 
Argumenten wie in \ref{BRNN} isomorph zu $E^2,$ folglich kann er
nach \ref{HEDi} nicht halbeinfach sein. 
In der Literatur wird  auch oft unter einem
 \glqq einfachen Ring\grqq\  das verstanden, 
was in der hier gew"ahlten Terminologie  
als ein \glqq halbeinfacher einfacher Ring\grqq\ 
zu bezeichnen ist.
\end{Bemerkungl}

\begin{Ubunge}
Gegeben $m\geq 1$ ist $\DZ/m\DZ$ ein halbeinfacher $\DZ$-Modul genau dann,
wenn kein Primfaktor in $m$ mehrfach vorkommt.
\end{Ubunge}
\begin{Ubunge}\label{HEMP}
Ein $\DC[X]$-Modul $M$ ist halbeinfach genau dann, wenn der durch
Multiplikation mit $X$  gegebene Endomorphismus des $\DC$-Vektorraums
$M$ diagonalisierbar ist, als da hei"st,
wenn $M$ eine Basis aus Eigenvektoren besitzt. Dasselbe gilt 
im Fall von $k[X]$-Moduln f"ur jeden algebraisch abgeschlossenen K"orper $k.$
Hinweis: \ref{EMP}.
Ist $k$ ein vollkommener K"orper und $\bar{k}$ ein
algebraischer Abschlu"s, so ist ein $k[X]$-Modul halbeinfach genau dann, 
wenn der durch Erweiterung der Skalare entstehende $\bar{k}[X]$-Modul 
halbeinfach ist. Ist $k$ nicht vollkommen, so gilt das nicht mehr.
\end{Ubunge}
\begin{Bemerkungl}
Zwei Untermoduln $U,D\subset M$ eines Moduls hei"sen
\defind{komplement"ar} und wir schreiben $M=U\oplus D$ genau dann,
wenn die Addition
einen Isomorphismus $U\oplus D\sira M$ liefert.
Daf"ur hinreichend und notwendig ist, da"s sowohl gilt
$U\cap D=0$ als auch $U+D=M.$
Wir sagen in dem Fall auch, $M$ sei die \defind{direkte Summe} 
von $U$ und $D$ und $D$ sei ein \defind{Komplement} von $U$ in $M.$
Analoge Begriffsbildungen benutzen wir auch f"ur beliebige
Familien von Untermoduln eines Moduls.
\end{Bemerkungl}

\begin{Proposition}[\textbf{Charakterisierung halbeinfacher Moduln}]
Sei $R$ ein Ring und $M$ ein $R$-Modul.\label{HEE} So sind gleichbedeutend:
\begin{enumerate}
\item
$M$ ist halbeinfach alias die Summe
seiner einfachen
Untermoduln;
\item
$M$ ist eine  direkte Summe von einfachen
Untermoduln;
\item
Jeder Untermodul  von $M$ besitzt ein 
Komplement in $M.$
\end{enumerate}
\end{Proposition}

\begin{proof}[Beweis]
$2\RA 1:$ Das ist klar. 
\\[2mm]\noindent
$1\RA 3:$ 
Sei $M = \sum_{i \in I} M_{i}$ das Erzeugnis
einer Familie von einfachen
Untermoduln $M_{i} \subset M$ und sei $U\subset M$ der
Untermodul, f"ur den wir ein Komplement suchen. Gegeben $J \subset I$ setzen
wir $M_{J} =\sum_{i\in J} M_{i}.$ Ist $I$ endlich, so finden wir nat"urlich
unter allen Teilmengen $J \subset I$ mit
$M_{J} \cap U= 0$ eine bez"uglich Inklusion maximale Teilmenge.
Ist $I$
unendlich, so folgt die Existenz eines solchen maximalen $J$ mit dem
Zorn'schen Lemma.
In jedem Fall behaupten wir f"ur solch
ein maximales $J,$ da"s gilt $M_{J}\oplus
U=M.$
In der Tat,
aus $M_{J} +U \neq M$ folgt, da"s es ein $i \in I$ gibt mit $M_{i}
\not\subset
(M_{J} + U),$ also $M_{i} \cap (M_{J} +U)=0$ da $M_{i}$ einfach ist.
Dann folgt aber $(M_{i} + M_{J}) \cap U=0$ und $J$ war nicht maximal.
\\[2mm]\noindent
$3\RA 2:$ Wir bemerken zun"achst, da"s sich
die Eigenschaft $3$ auf Untermoduln vererbt: Sind n"amlich
$U\subset N\subset M$ Untermoduln und ist $V$ ein Komplement von $U$ in $M,$
so ist notwendig $V\cap N$ ein Komplement von $U$ in $N.$
Jetzt finden wir
mithilfe des Zorn'schen Lemmas eine maximale Menge von
einfachen Untermoduln derart, da"s ihre Summe in $M$ direkt ist.
W"are diese Summe $S$ nicht ganz $M,$ so f"anden wir ein von
Null verschiedenes Komplement $D$ von $S$ in $M.$
In diesem Komplement $D$ g"abe es einen von Null verschiedenen
zyklischen Untermodul $Z\subset D,$ 
und der h"atte nach \ref{QuE} seinerseits einen 
einfachen Quotienten $Z\sra Q.$ Nun hat diese Surjektion einen Kern $K\subset
Z$ und der hat ein Komplement $F\subset Z,$ und wegen
mit $F\cong Q$ ist $F$ einfach.
Das aber steht
im Widerspruch
zur Maximalit"at von $S.$
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}
Beim Nachweis der Implikation $1\RA 3$ im vorhergehenden Beweis 
h"atten wir nat"urlich auch gleich mit der Familie aller einfachen
Untermoduln arbeiten k"onnen.  Ich hoffe jedoch, da"s man
anhand des oben gegebenen Arguments  besser nachvollziehen kann,
in welchen F"allen das Zorn'sche Lemma wirklich ben"otigt wird.
\end{Bemerkungl}
\begin{Ubung}\label{HEDi}
Jeder halbeinfache Ring zerf"allt als Linksmodul "uber sich selber 
in eine direkte Summe von endlich vielen einfachen Untermoduln.
Hinweis: Man betrachte die zu einer Zerlegung in eine direkte Summe geh"orige
Zerlegung der Eins.
\end{Ubung}



\begin{Korollar}
Jeder Quotient und jeder Untermodul eines halbeinfachen Moduls
ist halbeinfach.
\end{Korollar}
\begin{proof}[Beweis]
Nat"urlich ist jeder Quotient eine Summe einfacher
Untermoduln
und ist damit halbeinfach nach \ref{HEE}. 
Weiter besitzt 
nach \ref{HEE} jeder Untermodul ein Komplement
und ist  damit auch isomorph zu einem Quotienten unseres Moduls, 
n"amlich zu dem Quotienten
nach besagtem Komplement. Alternativ kann man sich daran erinnern, da"s
wir beim Beweis von $3\RA 1$ in \ref{HEE} bereits gezeigt hatten, da"s
sich die Eigenschaft 3 auf Untermoduln vererbt.
\end{proof}
\begin{Ubung}\label{LMHE}
Man zeige, da"s jeder Linksmodul
"uber einem halbeinfachen Ring halbeinfach ist.
\end{Ubung}
\begin{Definition}\label{ITY}
Sei $R$ ein Ring und $M$ ein  $R$-Modul. Gegeben
ein einfacher $R$-Modul $E$ notieren wir $M_{E} \subset M$ die Summe
aller zu $E$ isomorphen Untermoduln von $M$ und nennen sie die 
\defnoind{isotypische 
Komponente}\index{isotypisch!Komponente von Modul}
{\bf von $M$ vom Typ $E$}.\index{Komponente!isotypische von Modul}
\end{Definition}
\begin{Satz}[\textbf{Zerlegung in isotypische Komponenten}]
Sei $R$ ein Ring, $M$ ein halbeinfacher $R$-Modul und $\op{irr}(R)$
ein Repr"asentantensystem f"ur die Isomorphieklassen einfacher $R$-Moduln.
So zerf"allt $M$ als die direkte Summe seiner isotypischen Komponenten
$$M =\bigoplus_{E \in \op{irr}(R)} M_{E}$$\label{ITy}
\end{Satz}
\begin{proof}[Beweis]
Da $M$ nach Annahme halbeinfach ist, 
mu"s nur gezeigt werden, da"s die Summe 
der isotypischen Komponenten direkt ist,
da"s also gilt $$M_E\cap \sum_{F\neq E}M_F=0$$
f"ur alle $E.$
Dazu hinwiederum brauchen wir nur zu 
zeigen, da"s  jeder 
einfache Untermodul einer Summe von einfachen Untermoduln
zu einem der
Summanden isomorph ist. Da aber besagte 
Summe halbeinfach ist, ist unser einfacher
Untermodul auch ein Quotient dieser 
Summe und damit notwendig auch ein
Quotient eines Summanden.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}
Das Erzeugnis der Vereinigung 
aller einfachen Untermoduln eines Moduls $M$ hei"st
der \defind{Sockel} {\bf von} $M$ und wird notiert $\op{soc}M.$ 
Der Sockel ist nat"urlich der gr"o"ste halbeinfache Untermodul.
\end{Bemerkungl}
\begin{Ubung}
Jeder Homomorphismus von 
Moduln erh"alt die  isotypischen 
Komponenten.
Eine Sequenz $M^{\prime} \rightarrow M 
\rightarrow M^{\prime\prime}$ von
halbeinfachen Moduln ist exakt genau dann, 
wenn f"ur alle einfachen Moduln die induzierte
Sequenz
$M^{\prime}_{E} \ra M_{E} \ra M_{E}^{\prime\prime}$
exakt ist.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
  Man gebe einen halbeinfachen $\DZ$-Modul mit genau tausend 
Elementen an.
\end{Ubung}
\begin{Ubunge}
Man bestimme die isotypischen
Komponenten des $\DZ$-Moduls $\DZ/30\DZ.$ 
\end{Ubunge}
\begin{Ubunge}
Man erkl"are, inwiefern die Zerlegung 
eines halbeinfachen Moduls in isotypische Komponenten
die Eigenraumzerlegung eines
Vektorraums unter einem 
diagonalisierbaren Endomorphismus verallgemeinert. Hinweis: \ref{HEMP}.
\end{Ubunge}
\begin{Ubunge}\label{ERHE}
  Man zeige: Besitzt ein einfacher Ring ein Linksideal, das als Linksmodul
einfach ist, so ist unser Ring bereits halbeinfach.
\end{Ubunge}


\begin{Ubunge}\label{MRee}
Jeder Ring $\op{M}(n\times n;D)$ von endlichen quadratischen Matrizen 
mit Koeffizienten in einem Schiefk"orper $D$ und $n\geq 1$  ist einfach, 
und jeder 
halbeinfache einfache Ring ist isomorph zu einem
derartigen Matrizenring  f"ur genau ein $n$
und einen bis auf Isomorphismus wohlbestimmten Schiefk"orper $D.$ 
Das fragliche $n$ hei"st dann der 
\defind{Goldie-Rang}\index{Rang!Goldie-Rang} unseres 
halbeinfachen einfachen Rings. 
Hinweis: \ref{HEDi}, \ref{HEE}, \ref{ITy}, \ref{ENRj}, \ref{SVK}.
Wer spickeln will, kann auch in \ref{SHER} nachsehen. 
\end{Ubunge}
\begin{Satz}[\textbf{Struktur halbeinfacher Ringe}]
  
  \begin{enumerate}
\item 
    Jeder halbeinfache Ring besitzt bis auf Isomorphismus nur endlich viele
    einfache Moduln.  
\item
Der opponierte Ring eines halbeinfachen Rings ist stets auch wieder
halbeinfach.
\item
Jeder einfache Modul "uber einem halbeinfachen Ring
ist endlichdimensional als Modul "uber dem 
Schiefk"orper seiner Endomorphismen.
\item
Ist $L_1,\ldots,L_r$ ein Vertretersystem f"ur die
    Isomorphieklassen einfacher Moduln 
eines halbeinfachen Rings $R$ 
und sind $D_i=\op{End}_R L_i$  ihre
    Endomorphismenringe, so liefert die kanonische Abbildung einen
    Ring\-isomorphismus
$$R \sira (\op{End}_{D_1} L_{1}) \times \ldots \times (\op{End}_{D_r} L_{r})$$
\end{enumerate}
\label{SHER}
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
Die $D_i$ m"ussen nat"urlich Schiefk"orper sein.
Umgekehrt zeigt man unschwer, da"s jedes endliche Produkt 
von Matrizenringen "uber Schiefk"orpern ein halbeinfacher Ring ist. 
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
Jeder   halbeinfache Ring besitzt nach \ref{HEDi} bis
auf Isomorphismus nur endlich viele einfache Moduln und zerf"allt sogar in
eine endliche direkte Summe von einfachen Moduln.
Ist $L_1,\ldots,L_r$ ein Vertretersystem f"ur die  
Isomorphieklassen einfacher Moduln und $m_i$ deren jeweilige 
Vielfachheit, so haben wir also einen Isomorphismus von
$R$-Linksmoduln $R\cong L_1^{m_1}\oplus \ldots \oplus L_r^{m_r}.$
Sind
$D_i=\op{End}_R L_i$ die Endomorphismenringe unserer einfachen Moduln,
so erhalten wir nach \ref{ENRj} und 
offensichtlichen "Uberlegungen
 Ringisomorphismen $$R^{\op{opp}}\sira \op{End}_R R\stackrel{\sim}{\leftarrow} 
\op{M}(m_1\times m_1;D_1)\times\ldots \times \op{M}(m_r\times m_r;D_r)$$
Jeder halbeinfache Ring ist also isomorph zu einem endlichen Produkt
von Ringen endlicher quadratischer Matrizen 
 mit
Eintr"agen in Schiefk"orpern. Umgekehrt kann man 
auch leicht zeigen, da"s
alle Ringe dieser Gestalt halbeinfach sind. Insbesondere ist
der opponierte Ring eines halbeinfachen Rings stets wieder 
halbeinfach. 
Nun ist nach \ref{UbMo} klar, da"s gegeben ein Schiefk"orper $D$ und
eine nat"urliche Zahl $m\geq 1$ jeder einfache Modul des  Matrizenrings 
$\op{M}(m\times m;D)$ isomorph ist zum Modul $D^m$ von
Spaltenmatrizen und jeder einfache Rechtsmodul isomorph  zum Modul
$\op{M}(1\times m;D)$ von Zeilenmatrizen, dessen
Endomorphismenring hinwiederum $D$ selber ist, nun aber 
durch Linksmultiplikation wirkend. Das zeigt die vorletzte Aussage.
Die
letzte Aussage folgt dann unmittelbar.
\end{proof}

\subsection{Das Lemma von Schur}
\begin{Satz}[\defnoind{Schur'sches Lemma}]
Eine\index{Schur, Lemma von!bei Gruppen} 
endlichdimensionale 
irreduzible Darstellung einer  Gruppe\label{SchuL} "uber einem
algebraisch abgeschlossenen K"orper
besitzt au"ser den Skalaren keine Endomorphismen.
\end{Satz}
\begin{proof}[Beweis]
Sei $G$ unsere Gruppe, $k$ unser algebraisch abgeschlossener K"orper und
$V$ unsere endlichdimensionale irreduzible Darstellung. Der Satz behauptet  in
Formeln
$$k\sira \op{Mod}^G_k V$$
Nach Annahme gilt  $V\neq 0.$
Jedes $\varphi\in \op{Mod}^G_k V$ besitzt also einen Eigenwert, sagen wir
$\lambda,$ und der zugeh"orige Eigenraum ist offensichtlich eine von Null
verschiedene Unterdarstellung als Kern von $\varphi-\lambda\op{id}.$
Also mu"s dieser Kern schon ganz $V$ sein und wir folgern
$\varphi=\lambda\op{id}.$ 
\end{proof}
\begin{Beispiel}
Die Gruppe $G$ der vierten Einheitswurzeln
in $\DC$ operiert durch Multiplikation auf dem
$\DR$-Vektorraum $\DC$ und macht diesen zu einer irreduziblen Darstellung
$V=\DC$ von $G$ "uber $k=\DR.$ Dennoch haben wir in diesem Fall $k\neq
\op{Mod}^G_k V.$ Das steht nicht in Widerspruch zu unserem Satz, da $k=\DR$  
nicht algebraisch abeschlossen ist.
\end{Beispiel}



\begin{Beispiel}
Ist $k\subset L$ ein K"orpererweiterung, so wird $V=L$ eine 
irreduzible Darstellung der Gruppe $G=L^\times$ "uber $k.$
In diesem Fall haben wir offensichtlich $\op{End}_{k G}
V=L$ und im allgemeinen kann nat"urlich $k\neq L$ gelten selbst wenn
$k$ algebraisch abgeschlossen ist, zum Beispiel mit $L=k(X).$
Das steht jedoch auch nicht in Widerspruch zu unserem Satz, da unter
der Voraussetzung $k$ algebraisch abgeschlossen notwendig gilt
$\op{dim}_kL=\infty.$ 
\end{Beispiel}


  \begin{Ubung}\label{SLII}
 Sei $R$ ein Ring und $k\subset R$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper
    derart, da"s gilt $ar=ra\;\forall a\in k, r\in R.$ So gilt f"ur jeden
    einfachen $R$-Modul $M,$ der endlichdimensional ist als $k$-Vektorraum,
    notwendig $k\sira \op{End}_R M.$  
\end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{irrA}
  Jede endlichdimensionale 
irreduzible Darstellung einer  abelschen Gruppe "uber einem
algebraisch abgeschlossenen K"orper ist eindimensional.
Hinweis: Jedes Gruppenelement operiert 
in diesem Fall durch einen Endomorphismus 
unserer Darstellung.
\end{Ubung}
\begin{Bemerkungl}
Die nun folgenden Verallgemeinerungen sind f"ur die 
Darstellungstheorie endlicher Gruppen ohne Bedeutung. 
Ihr Beweis ben"otigt st"arkere Resultate der Mengenlehre.
\end{Bemerkungl}
\begin{Satz}[\textbf{Schur'sches Lemma}]
  Sei\index{Schur, Lemma von!bei Moduln} 
$R$ ein Ring und $k\subset R$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper
  mit $ar=ra\;\forall a\in k, r\in R.$ So liefert f"ur jeden
  einfachen $R$-Modul $E,$ dessen Dimension  als $k$-Vektorraum
echt kleiner ist als die Kardinalit"at von $k,$\label{VaSL}
  die Abbildung $a\mapsto a\op{id}_E$ einen Isomorphismus  
$$k\sira \op{End}_R E$$
  \end{Satz}

\begin{Bemerkungl}
Insbesondere besitzt eine  irreduzible Darstellung einer Gruppe
"uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper,
deren Dimension echt kleiner ist als die Kardinalit"at des K"orpers,
au"ser den Skalaren keine Endomorphismen.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
Das Anwenden auf ein beliebiges von Null verschiedenes Element definiert ein 
Injektion $(\op{Mod}_R E)\hra E.$
Die Dimension des Endomorphismenrings von $E$ "uber $k$ ist folglich 
h"ochstens so gro"s wie die Dimension von $E$ "uber $k$.
Unser Endomorphismenring ist jedoch auch ein Schiefk"orper.
 W"are er echt gr"o"ser als $k,$ so m"u"ste er den
Funktionenk"orper $k(X)$ umfassen, in dem die Familie der 
$\left((X-\lambda)^{-1}\right)_{\lambda\in k}$ 
etwa nach \ref{pbzz} 
linear unabh"angig ist "uber $k,$ im Widerspruch zu unserer Bedingung an
die Kardinalit"aten.
\end{proof}
%% \begin{Ubung}
%% Die Dimension einer irreduziblen Darstellung einer Gruppe 
%% "uber einem vorgegebenen Grundk"orper
%% ist h"ochstens so gro"s wie die Kardinalit"at der Gruppe.
%% \end{Ubung}
\begin{Ubunge}
  Jede 
irreduzible Darstellung einer  abelschen Gruppe "uber einem
algebraisch abgeschlossenen K"orper,
deren Dimension echt kleiner ist als 
die Kardinalit"at des K"orpers,
 ist eindimensional.
\end{Ubunge}



\subsection{Der Dichtesatz von Jacobson}
\begin{Bemerkungl}
Jeder Modul ist nach \ref{MER} auch ein Modul "uber seinem
eigenen Endomorphismenring. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Satz}[\defind{Jacobson's Dichtesatz}]
Ist $R$ ein Ring und $M$ ein halbeinfacher\label{JaDi} $R$-Modul, so ist das
Bild des offensichtlichen Ringhomomorphismus
$$R \rightarrow \op{End}_{(\op{End}_{R}M)} M$$
dicht in folgendem Sinne:\index{Dichtesatz von Jacobson}
Gegeben $f\in \op{End}_{(\op{End}_{R} M)} M$ und endlich viele Elemente
$m_{1},\ldots , m_{r} \in M$ existiert stets ein $x \in R$ mit $f(m_{i}) =
xm_{i} \;\;\forall i.$
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
  Ist unser Modul der Ring $R$ selber, so gilt nach \ref{ENRj}
sogar ohne weitere
Voraussetzungen stets $R\sira \op{End}_{(\op{End}_{R} R)} R.$
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Gegeben eine Menge mit Verkn"upfung $E$ und eine Teilmenge 
 $T\subset E$ 
erkl"art man den \defind{Kommutator} {\bf von $T$  in $E$} 
durch die Formel
$T'=\{x\in E\mid xt=tx\quad\forall t\in T\}.$ 
Der Kommutator des Kommutators $T\grqq\ $ hei"st
dann der \defind{Bikommutator} und umfa"st nat"urlich $T$ selbst.
Unser Satz sagt in dieser Terminologie, da"s 
gegeben ein halbeinfacher Modul $M$ "uber einem Ring $R$
das Bild 
von $R\ra\op{End}_\DZ M$ 
in der oben ausgef"uhrten Weise \glqq dicht\grqq\  liegt in
seinem Bikommutator. Im "ubrigen f"allt 
der \glqq Trikommutator\grqq\  stets mit dem Kommutator zusammen, in Formeln 
$T\grqq\ '=T',$ denn
$T\grqq\ \supset T$ impliziert $T\grqq\ '\subset T'$ und $T\grqq\ '\supset T'$ 
folgt durch Anwenden der Regel $S\grqq\ \supset S$ auf $S=T'.$
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
Wir beginnen mit dem Fall $r=1$ und betrachten zu $m = m_{1}$ ein
Komplement $N$ des Untermoduls $Rm \subset M,$ also
$$M = R m \oplus N$$
Da die Projektion $\pi : M \twoheadrightarrow Rm \hookrightarrow
M$ l"angs unserer Zerlegung in $\op{End}_{R} M$ liegt, und da gilt $ f\circ
\pi = \pi \circ f$ nach Annahme, folgt $f(m) \in Rm.$ Es gibt also
in anderen Worten $x \in R$ mit $f(m) = x m.$
Den allgemeinen Fall f"uhren wir auf den Fall $r =1$ zur"uck,
indem wir das Element $(m_{1}, \ldots, m_{r}) \in M \oplus \ldots \oplus M$
betrachten und die Abbildung
$f\times \ldots \times f,$  die
in der Tat kommutiert mit allen
Elementen von 
\begin{equation*}
\op{End}_{R}(M\oplus \ldots \oplus M) = \op{M} (r \times r;
\op{End}_{R} M)\qedhere
\end{equation*}
\end{proof}
\begin{Korollar}[\textbf{Satz von Wedderburn}]\index{Wedderburn}
Ist $k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper\label{WBu} und  
$A\subset \op{M}(n \times n; k)$  
ein Teilring derart, da"s $k^{n}$ einfach ist als
$A$-Modul, so gilt bereits $A=\op{M}(n\times n; k).$
\end{Korollar}

\begin{proof}[Beweis]
Zun"achst gilt $\op{End}_{A}k^{n} =k,$ da sonst 
Eigenr"aume von
Elementen
$\varphi \in \op{End}_{A} k^{n}$ nichttriviale $A$-Untermoduln
w"aren.
Dann folgt $A =\op{End}_{k}k^{n}$ aus dem Dichtesatz \ref{JaDi}.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}
Man mag den Satz von Wedderburn auch koordinatenfrei formulieren: 
Ist $k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper und  
$V$ ein endlichdimensionaler $k$-Vektorraum und 
$A\subset \op{End}_k V$  
ein Teilring derart, da"s $V$ einfach ist als
$A$-Modul, so gilt bereits $A=\op{End}_k V.$
In dieser Sprache l"a"st sich die Notwendigkeit der 
Bedingungen besonders gut einsehen:
Sind $k\subset L$ K"orper und betrachten wir den Teilring
$L\subset \op{End}_kL,$ so ist ja $L$ ein einfacher $L$-Modul, aber 
im Fall $k\neq L$ gilt $L\neq \op{End}_kL.$
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}
  Aus dem Satz von Wedderburn folgt insbesondere, da"s f"ur jede irreduzible
Darstellung $V$ einer endlichen Gruppe $G$ "uber einem algebraisch 
abgeschlossenen K"orper gilt $(\op{dim}V)^2\leq |G|.$ St"arkere 
Aussagen in dieser Richtung werden wir gleich kennenlernen. 
"Uber allgemeineren K"orpern gilt diese Absch"atzung jedoch im 
allgemeinen nicht mehr, wie \ref{BsQ} zeigt. 
\end{Bemerkungl}



\subsection{Darstellungen von Produkten}
\begin{Bemerkungl}
Gegeben eine Darstellung $V$ einer Gruppe $G$ 
und eine Darstellung $W$ einer Gruppe $H$ "uber demselben 
Grundk"orper $k$ k"onnen wir $V\otimes_kW$ zu einer
Darstellung des Produkts  $G\times H$ unserer Gruppen machen, indem wir 
setzen $(g,h)(v\otimes w)=gv\otimes hw.$ Ich schlage f"ur diese Darstellung
die Notation $V\boxtimes W$ oder ausf"uhrlicher $V\boxtimes_k W$ 
vor und nenne sie das 
{\bf "au"sere Produkt}\index{"au"seres Produkt!von Darstellungen} 
der\index{ Produkt!"au"seres!von Darstellungen}  
Darstellungen $V$ und $W$.
\index{$\boxtimes$!"au"seres Produkt!von Darstellungen}
\index{X@$\boxtimes$!"au"seres Produkt!von Darstellungen}
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
Gegeben eine Gruppe $G$ und ein K"orper $k$ bezeichne 
$$\op{irrf}_k{G}$$ die Menge 
aller\index{irrf@$\op{irrf}_kG$ irreduzible endlichdimensionale
Darstellungen}
Isomorphieklassen irreduzibler endlichdimensionaler
Darstellungen von $G$ "uber $k.$  Der Buchstabe f steht hier f"ur
\glqq finite\grqq\  oder \glqq fini\grqq, die Notation irre h"atte zu merkw"urdig ausgesehen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Satz}[\textbf{Einfache Darstellungen von Produkten}]
Gegeben Gruppen $G,H$ und ein algebraisch\label{EDPr} 
abgeschlossener K"orper $k$
induziert das 
Tensorprodukt oder genauer das "au"sere Produkt eine Bijektion
$$(\op{irrf}_k{G}) \times (\op{irrf}_k{H}) 
\sira \op{irrf}_k({G\times H})$$
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
Ist $k$ nicht algebraisch abgeschlossen, so ist das im
allgemeinen falsch. Zum Beipiel ist $\DC$ eine irreduzible
Darstellung  "uber $k=\DR$ der Gruppe $G=\mu_4$ der komplexen vierten 
Einheitswurzeln,  aber die Darstellung $\DC\otimes_\DR\DC $ 
von $G\times G$
hat  den Kern der durch die
Multiplikation gegebenen Surjektion  $\DC\otimes_\DR\DC\sra \DC $
als Unterdarstellung. 
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
Gegeben $V\in G\op{-Mod}_{k}$, $W \in H\op{-Mod}_{k}$ einfache
endlichdimensionale Darstellungen ist 
$V\otimes_{k} W \in (G\times H)\op{-Mod}_{k}$
einfach, 
da nach dem Satz von Wedderburn \ref{WBu} die Operationen Surjektionen 
$kG\sra \op{End}_kV$ und $kH\sra \op{End}_kW$ liefern und damit 
auch eine Surjektion des Gruppenrings von $G\times H$ 
auf $\op{End}_k(V\otimes_k W).$
Die im Satz angegebene Abbildung ist also sinnvoll definiert.
Ist $T$ eine endlichdimensionale 
Darstellung von $G\times H$, so besitzt $T$ als
$G$-Darstellung eine einfache Unterdarstellung $V \subset T$.
Die offensichtliche Abbildung 
$V \otimes_{k} \op{Hom}_k(V,T)^{G} \ra T$ ist dann nach \ref{IHo}
ein injektiver $(G\times H)$-Homomorphismus 
f"ur die offensichtliche Operation von
$H$ auf dem $\op{Hom}$-Raum.
Ist $T$ einfach, so mu"s diese Abbildung auch 
surjektiv sein und der $\op{Hom}$-Raum mu"s
eine einfache Darstellung $W$ von $H$ sein.
Die im Satz angegebene Abbildung ist also surjektiv.
Der Nachweis ihrer Injektivit"at kann der Leser
ohne M"uhe aus dem Nachweis der Surjektivit"at 
extrahieren.
\end{proof}
\begin{Lemma}\label{IHo}
Ist $T$ eine Darstellung einer Gruppe $G$ "uber einem K"orper $k$
 und ist weiter $V \in G\op{-Mod}_{k}$ eine einfache Darstellung mit
Endomorphismenring $\op{Mod}^{G}_{k} V =k,$
so induziert das Auswerten eine Inklusion
$$V \otimes_{k} \op{Hom}_{k} (V,T)^{G} \hookrightarrow T$$
\end{Lemma}
\begin{Bemerkungl}
Das Bild dieser Injektion ist im "Ubrigen genau die 
isotypische Komponente des $kG$-Moduls $T$ vom Typ $V$
im Sinne von \ref{ITY}.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir annehmen, da"s
$T$ eine Summe und dann auch eine direkte Summe ist von zu $V$ isomorphen
Unterdarstellungen. In diesem Fall ist aber das Lemma explizit klar.
\end{proof}

\subsection{Tensorprodukt von Darstellungen}
\emph{Noch zu entwickeln...}
\begin{Bemerkungl}
  Gegeben Darstellungen $V,W$ einer Gruppe $G$ "uber einem K"orper $k$ k"onnen
  wir ihr Tensorprodukt
  $
    V \otimes W
  $
  zu einer Darstellung von $G$ machen durch die Vorschrift $g (v\otimes w) =
  (gv) \otimes (gw)$. Es ist diese Konstruktion, die die Darstellungstheorie
weit "uber das Studium von Moduln "uber Ringen hinauswachsen l"a"st. 

\end{Bemerkungl}






%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "AATOTAL"
%%% End: 
