\section{Darstellungen und Gruppenringe}\label{ModRi}
\subsection{Darstellungen}\label{DeGru}
\begin{Definition}
Eine {\bf Darstellung einer Gruppe $G$\index{Darstellung!von Gruppe}
  "uber einem K"orper $k$}
ist ein Paar $(V,\rho)$ bestehend aus einem $k$-Vektorraum $V$
und einem Gruppenhomomorphismus
$$\rho : G \ra \op{GL} (V)$$
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl} \nichtfinal{Allgemeines Blahblah sp"ater, Mengenmoduln,
    "aquivariant und multi"aquivariant, was wei"s ich!} 
Allgemeiner versteht man unter einer
 {\bf Darstellung eines Monoids $G$ "uber einem Ring $k$}
 ein Paar $(V,\rho)$ bestehend aus einem $k$-Modul $V$
und einem Monoidhomomorphismus\label{DMr}  
$\rho : G \ra {\op{End}}_k(V)$.\index{Darstellung!von Monoid}
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Notationen}]
Oft bezeichnen wir eine Darstellung abk"urzend mit demselben
Symbol wie den zugrundeliegenden Vektorraum oder Modul. Gegeben eine
Darstellung $V$ eines Monoids $G$  bezeichnet dann
$\rho_{V}$ den zugeh"origen Monoidhomomorphismus $\rho_{V}: G \ra
{\op{End}} (V)$. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Ist unser Monoid $G$ eine Gruppe, so 
landet jeder Monoidhomomorphismus $\rho_{V}: G \ra
{\op{End}} (V)$  in der Gruppe $\op{GL} (V)$
der invertierbaren Elemente des Monoids der Endomorphismen von $V$
und ist ein Gruppenhomomorphismus $\rho_{V}: G \ra
\op{GL} (V)$. Eine Darstellung einer Gruppe \glqq als Monoid\grqq\ ist
also dasselbe wie eine Darstellung einer Gruppe \glqq als Gruppe\grqq.
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Herkunft der Terminologie}] 
  Im Fall des Vektorraums $V = k^{n}$ liefert lineare Algebra
 einen Ringisomorphismus  ${\op{End}}_k (V) \sira\op{Mat} (n;k)$.\label{DarM} 
 Ist unsere Darstellung $\rho : G \ra {\op{End}}_k (V)$
dann auch noch injektiv, so \glqq stellt $\rho$ die
abstrakte Gruppe $G$ dar als eine konkrete Gruppe von Matrizen\grqq, 
daher die Bezeichnung als \glqq Darstellung\grqq. 
Zum Beispiel k"onnte  die zweielementige Gruppe dargestellt werden, 
indem man ihr nichttriviales Element als  Punktspiegelung auf der
Ebene operieren l"a"st, oder als Spiegelung an einer Achse in der Ebene, 
oder 
als Punktspiegelung auf dem Raum, oder als Spiegelung an einer Ebene im Raum,
oder auch als Drehung mit dem Winkel $180^\circ$ um eine Achse. 
Das Symbol $\rho$ ist ein \glqq rho\grqq,
das Analogon f"ur unser 
\glqq r\grqq\  im  griechischen Alphabet. Es steht f"ur 
\glqq representation\grqq.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Geschichtliche Anmerkung}] 
  Die Theorie der Darstellungen endlicher Gruppen durch komplexe Matrizen
  wurde parallel von Theodor Molien in Estland (April 1897),
  Georg Frobenius in Berlin (November 1897) und William Burnside in
  Greenwich (Januar 1898) entwickelt.
  Die wechselseitigen Beziehungen zwischen diesen Autoren wurden von Thomas Hawkins
  untersucht. Er kam zu dem Schlu"s, da"s die beiden erstgenannten Autoren v"ollig
  unabh"angig voneinander arbeiteten und da"s Burnside's Arbeit
  sich auf noch fr"uhrere Arbeiten von Molien und Frobenius st"utzt.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Gegeben $G$ ein Monoid und $k$ ein Ring und $V$ ein $k$-Modul
  induziert das Exponentialgesetz $\op{Ens}(G,\op{Ens}(V,V))\sira
  \op{Ens}(G\times V,V)$ %aus \eref{ABBK}{GR}
  eine Bijektion
$$\left\{\begin{array}{c}\text{Darstellungen}\\G\ra{\op{End}}(V)
 \end{array}\right\}
\;\sira \; 
\left\{\begin{array}{c}\text{$G$-Operationen } G\times V\ra V\\
\text{durch $k$-lineare Abbildungen}
 \end{array}\right\}
$$
Hierbei verstehen wir unter
 einer \glqq $G$-Operation durch $k$-lineare Abbildungen\grqq\  
eine $G$-Operation
 $G \times V \ra V$ %im Sinne von \rref{Wir}{LA2} 
mit der Eigenschaft, da"s gilt $g(v + w) = gv + gw$ und $g(\lambda
v)=\lambda (gv) \quad \forall g \in G$, $\lambda \in k$ und $v,w \in V$.  
\end{Bemerkungl}
%% \begin{Lemma}
%% Sei $G$ eine Gruppe und $k$ ein K"orper.
%% \begin{enumerate}
%% \item
%% Ist $(\rho,V)$ eine Darstellung von $G$ "uber $k$, so ist die Abbildung
%% $$\begin{array}{ccc}
%% G\times V& \ra & V\\
%% (g, v) & \mapsto &(\rho (g))(v)
%% \end{array}$$
%% eine Operation der Gruppe $G$ auf der Menge $V$. 
%% \item
%% Ist $G \times V \ra V$ eine Operation der Gruppe $G$ auf einem
%% $k$-Vektorraum $V$ derart, da"s gilt $g(v + w) = gv + gw$ und $g(\lambda
%% v)=\lambda (gv) \quad \forall g \in G$, $\lambda \in k$ und $v,w \in V$, so
%% definiert die Formel $(\rho (g))(v) = gv$ eine Darstellung $\rho :
%% G \ra \op{GL} (V)$. 
%% \end{enumerate}
%% \end{Lemma}
%% \begin{proof}[Beweis]
%% Dem Leser "uberlassen.
%% \end{proof}

%\begin{Beispiel}
%Jeder Vektorraum $V$ wird eine Darstellung des Monoids 
%${\op{End}} (V) $ seiner Endomorphismen 
% vermittels $\rho = \op{id}$.  Diese Darstellung hei"st
%die \defind{Standarddarstellung} {\bf von} ${\op{End}} (V) $. 
%\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}
Jeder Vektorraum $V$ wird eine Darstellung seiner Automorphismengruppe $G
= \op{GL} (V) $ vermittels $\rho = \op{id}$.  Diese Darstellung hei"st
die \defind{Standarddarstellung} {\bf von} $\op{GL} (V) $. 
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}
Gegeben ein Monoidhomomorphismus\label{ZIA} 
$\varphi:H\ra G$ k"onnen wir jede Darstellung $V$ von $G$ 
zur"uckziehen zu einer Darstellung $\op{res}_G^H V$ von $H$,
indem wir von $\rho_V$ zu $\rho_V\circ\varphi$ "ubergehen. 
\end{Beispiel}


\begin{Beispiel}
Sei $k$ ein Ring. Jeder $k$-Modul $V$ wird eine Darstellung eines beliebigen Monoids
$G$ vermittels der {\bf trivialen Operation}\index{trivial!Operation von Monoid} $\rho (g) = \op{id}_{V} \;
\forall g \in G$. Der Modul $V=k$ mit der trivialen Operation hei"st die
{\bf Einsdarstellung}.\index{Einsdarstellung} 
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}
Ist $K/k$ eine K"orpererweiterung, 
so ist $K$ eine Darstellung  "uber $k$
der
Galoisgruppe $\op{Gal} (K/k)$. 
\end{Beispiel}

\begin{Beispiel}\label{PerD} 
 Ist  $G\times X\ra X$ eine Operation eines Monoids $G$ auf einer Menge
$X$ und $k$ ein Ring, so wird der freie $k$-Modul
$kX$ "uber $X$ mit der linear fortgesetzten Operation
eine Darstellung 
des Monoids $G$ "uber $k$. 
 Darstellungen dieser Bauart nennt man im Fall einer Gruppe $G$ 
{\bf Permutationsdarstellungen}.\index{Permutationsdarstellung} 
Ebenso wird der Funktionenraum 
$\op{Ens}(X,k)$ mit der 
Operation \glqq durch Vorschalten\grqq\ 
eine Darstellung 
des opponierten Monoids $G^{\op{opp}}$. 
\end{Beispiel}


\begin{Beispiel}
Eine Darstellung $(V,\rho)$ des Monoids $\DN$ anzugeben bedeutet
nach der universellen Eigenschaft %\eref{GHZv}{GR} 
von $(\DN,1)$ als \glqq freies Monoid "uber der einelementigen Menge\grqq\  nichts anderes, als einen Endomorphismus
$A \in {\op{End}} (V)$ eines Moduls $V$ anzugeben, n"amlich dem
Endomorphismus $A = \rho (1)$.
Eine Darstellung $(V,\rho)$ der Gruppe $\DZ$ anzugeben bedeutet
nach der universellen Eigenschaft %\eref{GHZ}{GR} 
von $(\DZ,1)$  als \glqq freie Gruppe "uber der einelementigen Menge\grqq\ nichts anderes, als einen Automorphismus
$A \in \op{GL} (V)$ eines Moduls $V$ anzugeben, n"amlich den
Automorphismus $A = \rho (1)$.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}[\textbf{Darstellungen der zweielementigen Gruppe}]
Sei ein K"orper $k$ gegeben.
Wir untersuchen die endlichdimensionalen Darstellungen der Gruppe
$\DZ/2\DZ$ "uber $k$. Eine solche\label{DD22} 
Darstellung $(V,\rho)$  anzugeben bedeutet
nach der universellen Eigenschaft %\eref{GHZ}{GR} 
von $\DZ$ und der universellen Eigenschaft des Quotienten
nichts anderes, als einen Automorphismus
$A \in \op{GL} (V)$ eines $k$-Vektor\-raums $V$ anzugeben 
mit $A^{2} = \op{id}_{V}$,
n"amlich den
Automorphismus $A = \rho (1)$.
Wir unterscheiden zwei F"alle.
\begin{description}
\item[$\op{char} k  \neq 2:$] In diesem Fall ist $V$ die direkte
Summe $V = V^{+} \oplus V^{-}$ der Eigenr"aume von $A$ zu den
Eigenwerten $\pm 1$, f"ur alle $v\in V$  gilt n"amlich
$$v = \frac{1}{2} (v + Av) + \frac{1}{2} (v - Av)$$

\item[$\op{char} k  = 2:$] In diesem Fall zerf"allt  das charakteristische 
Polynom von $A$  bereits "uber $k$ und hat nur den
Eigenwert $1$. In einer geeigneten Basis von $V$ hat also $A$ eine
Matrix in Jordan'scher Normalform. Aus $A^{2} = \op{id}_{V}$
folgt dann, da"s hier nur Jordanbl"ocke der Gr"o"sen eins und zwei m"oglich
sind.
\end{description}
Um die Analoga dieser Erkenntnisse 
f"ur eine beliebige Gruppe, ja ein
beliebiges Monoid $G$  formulieren zu k"onnen,
bauen wir zun"achst unseren Begriffsapparat  weiter aus.
\end{Beispiel}
\begin{Definition}
Seien $V,W$ Darstellungen eines Monoids $G$ "uber einem festen
Ring $k$.  Ein
{\bf Homomorphismus von 
Darstellungen}\index{Homomorphismus!von Darstellungen} ist eine
$k$-lineare Abbildung $f:V \ra W$ mit $f(gv) = gf (v)$
f"ur alle $v \in V$, $g \in G$. Wir notieren die Gruppe aller solchen Homomorphismen
$$\op{Hom}_{k,G}(V,W)$$
Ein {\bf Isomorphismus von 
Darstellungen}\index{Isomorphismus!von Darstellungen} ist ein bijektiver
Homomorphismus. Gibt es einen Isomorphismus zwischen zwei Darstellungen
$V$ und $W$, so schreiben wir auch $V\cong W$ und sagen,
die Darstellungen 
$V$ und $W$ seien {\bf isomorph}.\index{isomorph!Darstellungen}
\end{Definition}


\begin{Bemerkunge}
  Steht der Formalismus der Kategorientheorie zur Verf"ugung,
so kann man das alles auch sehr viel effizienter sagen: Die Kategorie der
Darstellungen eines Monoids $G$ "uber einem Ring $k$ ist  die
Kategorie
$$\op{Cat}([G],\op{Mod}_k)$$ aller Funktoren  der Einobjektkategorie zu $G$ in die Kategorie der
$k$-Moduln.
\end{Bemerkunge}



\begin{Definition}
Gegeben Darstellungen $V,W$ eines Monoids $G$ "uber einem Ring $k$
definieren wir ihre \defind{direkte Summe} als den Modul $V
\oplus W$ mit der Operation $g(v,w) = (gv, gw)$. 
"Ahnlich definieren wir auch direkte Summen von endlich oder
sogar unendlich vielen Darstellungen.
Die direkte Summe von $n$ Kopien einer Darstellung $V$ k"urzen
wir ab mit $V^n$ oder ausf"uhrlicher $V^{\oplus n}$.   F"ur den Fall $n=0$ 
vereinbaren wir $V^0=0$. 
\end{Definition}
\begin{Beispiel}
Sei wieder $k$ ein K"orper.
In unserer neuen Terminologie 
k"onnen wir die obigen Erkenntnisse wie folgt\label{BD2}
 zusammenfassen:
\begin{description}
\item[$\op{char} k  \neq 2:$]
Bezeichnet $k_{+}$ beziehungsweise $k_{-}$ die Einsdarstellung 
beziehungsweise die nichttriviale eindimensionale Darstellung 
der Gruppe $G=\DZ / 2
\DZ$, so ist jede endlichdimensionale Darstellung von $\DZ/ 2\DZ$
"uber $k$ isomorph zu genau einer Darstellung der Gestalt
$k^{n}_{+} \oplus k^{m}_{-}$ f"ur $n, m \in \DN$. 

\item[$\op{char} k  = 2:$]
  Bezeichnet $k$ beziehungsweise $P$ die Einsdarstellung beziehungsweise
  eine
zweidimensionale Darstellung mit nichttrivialer Operation von $\DZ
/2\DZ$, bei der also das 
nichtneutrale Element durch einen Jordanblock der Gr"o"se zwei
mit Eigenwert Eins operiert,
so ist jede endlichdimensionale Darstellung von $\DZ /2
\DZ$ "uber $k$ isomorph zu genau einer Darstellung der Gestalt
$k^{n} \oplus P^{m}$ f"ur $n, m \in \DN$. 
\end{description}
Von den in \ref{DarM} diskutierten F"allen 
w"are in dieser Notation die Punktspiegelung auf der
Ebene $\DR_-^2$, die Spiegelung an einer Achse $\DR_+\oplus \DR_-$,
die Punktspiegelung im Raum $\DR_-^3$, die Spiegelung an einer 
Ebene $\DR_+^2\oplus \DR_-$, und
die Drehung mit dem Winkel $180^\circ$ um eine Achse $\DR_+\oplus \DR_-^2$.   
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungw}
In \ref{FAIn} diskutieren wir die Klassifikation aller
Darstellungen der zweielementigen Gruppe "uber $\DZ$, die als $\DZ$-Moduln
frei und endlich erzeugt sind. Sie zeigt, da"s die
Situation schnell komplizierter wird, wenn wir nicht mehr "uber
K"orpern arbeiten. 
\end{Bemerkungw}
\begin{Bemerkungl}
Wir wollen nun 
"ahnliche Aussagen auch f"ur allgemeinere Monoide formulieren
und bauen dazu unseren Begriffsapparat noch weiter aus.
\end{Bemerkungl}

\begin{Definition}
Seien $G$ ein Monoid und $k$ ein Ring.\label{unzD} 
\begin{enumerate}
\item
Eine Teilmenge $W \subset V$ einer Darstellung $V$ von $G$ "uber $k$ hei"st
eine \defnoind{Unterdarstellung},\index{Unterdarstellung!abstrakte} 
 wenn $W$ ein
unter $G$ stabiler $k$-Untermodul ist, in Formeln
$g \in G$, $w \in W
\Rightarrow gw \in W$;
\item
Eine Darstellung $V$ von $G$ hei"st 
 oder
\defnoind{einfach}\index{Darstellung!einfache}\index{einfach!Darstellung, Gruppe} oder \defnoind{irreduzibel}\index{Darstellung!irreduzible}\index{irreduzibel!Darstellung,
Gruppe},
wenn sie genau zwei Unterdarstellungen hat, als da hei"st, wenn $V$ nicht der Nullraum ist, aber $0$ und $V$ die einzigen
Unterdarstellungen von $V$ sind. Die Menge der Isomorphieklassen
einfacher Darstellungen von $G$ "uber $k$
notiere ich\index{irr@$\op{irr}(k,G)$ irreduzible Darstellungen}
$$\op{irr}(k,G)$$
\item
Eine Darstellung $V$ von $G$ hei"st 
\defnoind{unzerlegbar},\index{Darstellung!unzerlegbare}\index{unzerlegbar!Darstellung} 
wenn $V$ nicht der Nullraum ist und es keine zwei von Null
verschiedenen Unterdarstellungen $W_{1},W_{2}\subset V$ gibt mit $W_{1}
\oplus W_{2}\sira V$ unter dem von den Einbettungen induzierten Homomorphismus; 
\item
Ein Element $v\in V$ einer Darstellung von $G$ hei"st 
\defnoind{zyklisch},\index{Element!zyklisches}\index{zyklisch!Element}
wenn $V$ selbst die einzige Unterdarstellung von $V$ ist, die das  Element $v$ enth"alt. Arbeiten wir "uber einem K"orper, so hei"st 
solch ein Element auch ein\index{Vektor!zyklischer in Darstellung}
{\bf zyklischer Vektor}.\index{zyklisch!Vektor!in abstrakter Darstellung}
Eine Darstellung $V$ von $G$ hei"st  \defnoind{zyklisch},\index{Darstellung!zyklische}\index{zyklisch!Darstellung} wenn sie ein zyklisches Element besitzt.  
\end{enumerate}
\end{Definition}

  \begin{Beispiele}
    Jede eindimensionale Darstellung "uber einem K"orper $k$ ist einfach.
    In einer einfachen Darstellung ist jedes von Null verschiedene Element
    zyklisch. Unsere
    Darstellung $P$ aus \ref{BD2} ist zwar unzerlegbar und zyklisch, aber nicht
    einfach. 
  \end{Beispiele}


\begin{Proposition}[\textbf{Schranke f"ur die Zahl einfacher Darstellungen}] 
Ein endliches Monoid $G$ hat "uber jedem  K"orper $k$ bis\label{EVI} 
auf Isomorphismus h"ochstens soviele einfache Darstellungen
wie  Elemente, in Formeln  
$$|\op{irr}(k,G)|\leq |G|$$
\end{Proposition}
\begin{proof}[Beweis als Vorschau]
  Zum Beweis der Proposition  entwickeln wir im folgenden allgemeine
  Begriffe und Methoden, die Ihnen auch in anderen Kontexten st"andig begegnen
  werden.  
Genauer  k"onnen
 wir unsere Darstellungen mit \ref{MGru} 
als Moduln "uber dem Monoidring $k G$ auffassen.
Die Proposition folgt dann aus dem Korollar \ref{NAEK} zum Satz von
Jordan-H"older f"ur Moduln.
\end{proof}

\begin{Bemerkunge}[\textbf{Eine Gruppe mit vielen unzerlegbaren Darstellungen}] 
Proposition \ref{EVI} 
gilt nicht analog, wenn wir  darin \glqq einfach\grqq\  
durch \glqq unzerlegbar\grqq\  ersetzen:
Bereits f"ur die Klein'sche Vierergruppe gibt es "uber dem
K"orper mit zwei Elementen unzerlegbare Darstellungen 
beliebig gro"ser Dimension. %, siehe \cite{Ben}, 4.3.
In der Tat ist der Gruppenring in dem Fall isomorph
zu $\mathbb F_2[a,b]$ mit $a^2=b^2=0$ und wir zeigen nun
f"ur jeden K"orper $k$, da"s der Ring $k[a,b]/\langle a^2, b^2\rangle$
unzerlegbare Moduln jeder ungeraden 
Dimension hat. Dazu betrachten wir  die Moduln 
$V\pdef k^{2n+1}$ mit $a:\op{e}_{2i}\mapsto \op{e}_{2i+1}$ und
 $b:\op{e}_{2i}\mapsto \op{e}_{2i-1}$ f"ur $1\leq i\leq n$
und $a,b:\op{e}_{2i+1}\mapsto 0$
f"ur $0\leq i\leq n$. 
Dann gilt $\op{ker}a=\op{ker}b$ und wir
k"onnen folglich $$\phi:a(V)\ra V$$ definieren durch $\phi:v\mapsto
b(a^{-1}(v))$. Man erkennt 
$a(V)= \langle \op{e}_3, \op{e}_5, \ldots, \op{e}_{2n+1}\rangle$ und 
$\phi(\op{e}_{2i+1})=\op{e}_{2i-1}$ f"ur $1\leq i\leq n$. Insbesondere
ist $\phi$ injektiv und die Kodimension von $\phi(a(V))\cap a(V)$ in
$a(V)$ ist Eins.  
Aus $V=U\oplus W$ folgt  $a(V)=a(U)\oplus a(W)$ und so
$\phi(a(U))\subset U$ und $\phi(a(W))\subset W$. 
Mit dem Vorhergehenden  folgt weiter 
$$\phi(a(U))\cap a(U)=a(U)\quad\text{oder}\quad \phi(a(W))\cap a(W)=a(W).$$
Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit gelte Ersteres. Wegen der Injektivit"at
von $\phi$ folgt daraus 
$\phi(a(U))=a(U)$. Das impliziert $a(U)=0$,
denn sonst g"abe es ein kleinstes $i$ mit
$a(U)\subset \langle \op{e}_3, \op{e}_5, \ldots, \op{e}_{2i+1}\rangle$
im Widerspruch zu $\phi(a(U))=a(U)$. Wir haben also $U\subset \op{ker}a=\op{ker}b$
und damit $a(U)=b(U)=0$.
Wegen $a(V)+b(V)=\op{ker}a=\op{ker}b$ folgt daraus
$a(W)+b(W)=\op{ker}a=\op{ker}b$
und wegen $\big(a(W)+b(W)\big)\cap U=0$ schlie"slich $U=0$.
\end{Bemerkunge}


%Damit erhalten wir eine Filtrierung
%auf $\op{im}a$ durch 
%$$\op{im}a \supset \phi^{-1}(\op{im}a)\supset 
%\ldots \supset \phi^{-n}(\op{im}a)=0$$ 
%mit eindimensionalen Subquotienten. Das aber zeigt, da"s 
%f"ur jede Zerlegung  unserer Darstellung 
%in zwei direkte Summanden $V=U\oplus W$ f"ur einen  Summanden $W$ gilt
%$\op{im}(a|W)=0$ und damit 
%$W\subset \langle\op{e}_{2i+1}\mid 0\leq i\leq n\rangle$.  
%Es ist aber explizit 
%klar, da"s es einen derartigen Summanden nicht geben kann. 
%\end{Bemerkunge}


\begin{Beispielg}[\textbf{Schwingungen eines Methanmolek"uls}]
    Ein Methanmolek"ul k"onnen  wir uns als einen
    Tetraeder denken mit jeweils einem Wasserstoffatom an jeder der vier
    Ecken und einem
    Kohlenstoffatom in der Mitte. Wir denken uns im folgenden 
    diese Atome durch  eine
    Art Federn verbunden und beschreiben den Zustand unseres
    Molek"uls durch eine
    Abbildung $$\varphi:\{0,1,2,3,4\}\ra\mathbb E$$
    in den Anschauungsraum, einen dreidimensionalen affinen euklidischen Raum $\mathbb E$,  
    mit der Konvention, da"s $\varphi(0)$ die Position des
    Kohlenstoffatoms angeben m"oge und die anderen $\varphi(i)$
    die Positionen der vier Wasserstoffatome. 
    Die Menge aller derartigen Abbildungen $\varphi$ notieren wir $M$.
    In der in \eref{neS}{AN2} eingef"uhrten Terminologie ist
    $M$ der Konfigurationsraum eines mechanischen Systems.
    Das Vorschalten einer Permutation $\sigma\in\mathcal S_4$,
    fortgesetzt auf $\{0,1,2,3,4\}$ durch $0\mapsto 0$, induziert eine Rechtsoperation von
    $\mathcal S_4$ auf $M$ und a forteriori  eine Rechtsoperation von
    $\mathcal S_4$ auf seinem Geschwindigkeitsphasenraum
    $\tT M={\op{T}}M\langle 1/\ph{s}\rangle$, wie er in \eref{GPR}{AN2} eingef"uhrt wird. Andererseits operiert
    die Gruppe 
    ${\op{O}}_{\op{aff}}(\mathbb E)$ der orthogonalaffinen  Automorphismen
    des Anschauungsraums durch Nachschalten von links auf
    unserem Konfigurationsraum $M$ und a forteriori auf seinem Geschwindigkeitsphasenraum
    $\tT M$. Diese beiden
    Operationen kommutieren und liefern
    durch "Ubergang zur Linksoperation der inversen Permutation eine
    Operation von ${\op{O}}_{\op{aff}}(\mathbb E)\times \mathcal S_4$
    auf $M$ und  $\tT M$. Offensichtlich
    sind sowohl die Potentialfunktion $V$ als auch die Funktion der
    kinetischen Energie $K$ invariant unter der
    Operation von ${\op{O}}_{\op{aff}}(\mathbb E)\times \mathcal S_4$.
    Bei jedem Methanmolek"ul in Ruhe $p\in M\subset
    \tT M$
    verschwindet  die kinetische Energie $K$  und das Potential 
    $V:M\ra \langle {\ph{g}}{\ph{m}}^2/{\ph{s}}^2\rangle$
    nimmt  ein lokales Minimum an. Die Isotropiegruppe von $p$ ist in diesem Fall 
    eine diagonal eingebettete Kopie von
    $\mathcal S_4$. Unter dem 
    Isomorphismus ${\op{T}}_pM\sira M, \vec v\mapsto p+\vec v$ 
    entspricht in diesem Fall die das Potential $V$ bei $p$ approximierende Quadrik
    bis auf eine additive Konstante einer energiewertigen
    homogenen quadratischen Form auf
    ${\op{T}}_pM$ und die kinetische Energie
    einer energiewertigen positiv definiten homogenen quadratischen Form auf
    $\tT_p M={\op{T}}_pM\langle 1/\ph{s}\rangle$ alias einer positiv definiten  quadratischen Form auf
    ${\op{T}}_pM$ mit Werten in $\langle {\ph{g}}{\ph{m}}^2\rangle$.
     Beide Formen sind invariant unter $\mathcal S_4$, folglich
    sind auch die Eigenr"aume  nach \eref{EREW}{LA2}
    des quadratischen Anteils der
    potentiellen Energie in Bezug auf die durch die kinetische Energie
    gegebene euklidische Struktur
    stabil unter $\mathcal S_4$ und
    damit Darstellungen von  $\mathcal S_4$. Die zugeh"origen Eigenwerte
    sind 
    Elemente von $\langle {\ph{s}}^{-2}\rangle$ und deren Wurzeln sind 
    nach \eref{KlSw}{AN2} die Frequenzen der
    \glqq kleinen Schwingungen\grqq\ unseres Molek"uls.
    Die Symmetrien unseres Systems erzwingen 
    Vielfachheiten  von Eigenwerten \nichtfinal{(genauer erkl"aren!)}.
    Gewisse Spektrallinien werden
    also in mehrere nah beieinander liegende Linien aufspalten,
    sobald man die Symmetrie bricht, etwa durch das Anlegen eines Magnetfeldes.
\end{Beispielg}
\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}[\textbf{Darstellungen  in Charateristik $p$ von $p$-Gruppen}] 
Gegeben eine Primzahl $p$  besitzt jede $p$-Gruppe $G$ "uber
einem K"orper der Charakteristik $p$ bis auf Isomorphismus nur
eine einzige einfache Darstellung, in Formeln
$$(|G|=p^n\text{ und }{\op{char}}k=p)\;\RA\; |\op{irr}(k,G)|=1$$ Hinweis:\label{pGD}  
Man beginne mit dem Fall zyklischer Gruppen und verwende dann 
Satz \eref{AL}{AL} "uber die Struktur von $p$-Gruppen.
\end{Ubung}


\begin{Ubung}[\textbf{Zur"uckziehen mit inneren Automorphismen}] 
Man zeige, da"s wir beim Zur"uckziehen nach \ref{ZIA} einer
Darstellung eines Monoids $G$ 
mit einem inneren Automorphismus,\index{innerer Automorphismus!eines Monoids}  also einem durch die Konjugation mit einem inveriertbaren
Element gegebenen Automorphismus\label{ZIAu}  
$G\ra G$, eine zur urspr"unglichen Darstellung isomorphe Darstellung erhalten.
\end{Ubung}

 
\begin{Ubung} Im Fall der Operation einer Gruppe
$G$ auf einer Menge $X$ liefert die offensichtliche Einbettung
$kX\hra \op{Ens}(X,k)$ einen Homomorphismus von Darstellungen, wenn man
die Operation rechts mit dem durch das Invertieren gegebenen Isomorphismus
$\op{inv}:G\sira G^{\op{opp}}$ zu einer Operation von $G$ zur"uckzieht. 
\end{Ubung}

  \begin{Bemerkunge}
    Stabilisiert eine endliche Untergruppe der Automorphismengruppe eines
    endlichdimensionalen reellen Vektorraums ein Gitter
    alias den $\DZ$-Spann einer Basis, so nennt man sie
    \defind{kristallographisch}. Gleichbedeutend ist nach \ref{ZForm} die
    Forderung, da"s sie bez"uglich einer geeigneten Basis durch Matrizen mit
    rationalen Eintr"agen dargestellt wird.
\end{Bemerkunge}


\begin{Ubunge}
Gegeben eine endlichdimensionale Darstellung 
$V$ "uber $\DQ$ eines endlichen Monoids $G$\label{ZForm} 
gibt es stets eine {\bf $\DZ$-Form}\index{Z-Form@$\DZ$-Form!einer Darstellung},
als da hei"st, ein unter $G$ stabiles  Gitter $V_\DZ\subset V $.  
\end{Ubunge}

\begin{Ubung}
Gegeben eine Darstellung 
$(V,\rho)$ einer Gruppe $G$ "uber einem K"orper $k$
erhalten wir eine Darstellung $(V^\ast,\rho^\ast)$ auf dem
Dualraum durch die Vorschrift\label{KGD}  
$\rho^\ast(g)\pdef(\rho(g^{-1}))^\top$. 
Sie hei"st die {\bf kontragrediente
  Darstellung}\index{kontragredient!Darstellung von Gruppe} 
zur Darstellung $(V,\rho)$. 
Man zeige, da"s eine endlichdimensionale Darstellung einfach ist genau dann,
wenn die zugeh"orige kontragrediente Darstellung einfach ist. Man gebe ein
Beispiel
f"ur eine eindimensionale Darstellung, die nicht zu ihrer kontragredienten
Darstellung
isomorph ist.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}
Die Dimension einer zyklischen und erst recht einer 
einfachen Darstellung eines Monoids "uber einem K"orper
ist beschr"ankt durch die
Kardinalit"at des dargestellten Monoids.  
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
Man zeige, da"s die Quaternionen aufgefa"st als reeller Vektorraum eine
einfache Darstellung\label{BsQ} der achtelementigen Quaternionengruppe bilden,
wie sie in \eref{QuatG}{AL}
eingef"uhrt wird.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
  Wieviele Unterdarstellungen hat die Darstellung $\DR_+\oplus \DR_-$ 
der Gruppe $\DZ/2\DZ$? Ist sie zyklisch? Was ist die Dimension des 
Raums der Homomorphismen von dieser Darstellung zu sich selber?
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
  Man gebe alle Unterdarstellungen der Darstellung $\DR_+^2\oplus \DR_-$ 
der Gruppe $\DZ/2\DZ$ an. Ist diese Darstellung zyklisch? 
Was ist die Dimension des 
Raums der Homomorphismen von dieser Darstellung zu sich selber?
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
  Man bestimme die Dimension des Raums der Homomorphismen von
Darstellungen $(\DR_+^n\oplus \DR_-^m)\ra (\DR_+^a\oplus \DR_-^b)$. 
\end{Ubung}







\subsection{Darstellungen als Moduln "uber dem Gruppenring}\label{DMGR} 
\begin{Bemerkungl}\label{GruR}
Gegeben  ein Ring  $k$ und ein Monoid $G$ erkl"aren wir den 
\defind{Monoidring} $$k G$$  des Monoids $G$ "uber $k$ wie folgt:
Als abelsche Gruppe ist $k G$ 
wie in \eref{kX}{LA1} die Menge aller Abbildungen $f: G
\ra k$, die nur an endlich vielen Stellen von Null verschiedene
Werte annehmen. So eine Abbildung schreiben wir als eine formale
Linearkombination $\sum f(g) g$ von Elementen aus $G$ mit
Koeffizienten aus $k$.  Die Multiplikation $\ast$ in $k G$,
manchmal auch 
{\bf Konvolution}\index{Konvolution!Multiplikation eines Monoidrings} 
oder 
{\bf Faltung}\index{Faltung!Multiplikation eines Monoidrings}
genannt, erkl"aren wir
durch die Vorschrift
$$\left(\sum_{g\in G} a_{g} g\right) {\ast} \left(\sum_{h \in G}b_{h}h\right)
= \sum_{x
\in G} \left(\sum_{gh=x} a_{g}b_{h}\right)x$$
Die\index{)8a@$*$ Faltung!in Gruppenring} 
 innere Summe rechts l"auft dabei "uber alle Paare $(g,h)\in G\times G$
mit $gh=x$. 
Offensichtlich erhalten wir so einen Ring mitsamt einem
Ringhomomorphismus $k\hookrightarrow k G$, $a\mapsto ae$
f"ur $e\in G$ das neutrale Element und einem
Monoidhomomorphismus $G \ra k G$, $g\mapsto 1g$
in das multiplikative Monoid des Rings $kG$. Ist $k$ ein K"orper, so 
ist dieser Monoidhomomorphismus, wenn wir ihn
als eine durch $G$ indizierte Familie von Elementen von $kG$ 
auffassen, offensichtlich eine Basis von $k G$ "uber $k$. 
F"ur Ringe gilt dasselbe mit dem auf Moduln erweiterten Basisbegriff aus 
\eref{BMoo}{KAG}. Wir schreiben meist kurz $ae=a$ und 
$1g=g$, auch wenn wir eigentlich Elemente des
Monoidrings meinen, und notieren die Faltung oft ohne $*$
schlicht durch Hintereinanderschreiben. Ist unser Monoid eine Gruppe, so 
nennt man unseren Monoidring auch den {\bf Gruppenring}.\index{Gruppenring}
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Notationsvarianten f"ur Monoidringe}] 
  H"aufig wird der Monoidring in der Literatur $k[G]$\index{)5]@$k[G]$
    Monoidring} notiert. Zu dem in diesem Text befolgten 
Notationsschema pa"st
 das nicht, da ich mir ja in \eref{NfE}{AL} vorgenommen hatte, 
eckige Klammern vorzugsweise f"ur die Erzeugung als Ring \glqq durch   kommutierende
Erzeuger\grqq\ zu verwenden.
Um dieser Konvention zu folgen, sollten wir hier 
besser $k\lfloor G\rfloor$ schreiben.
  Stattdessen benutze ich gerne die alternative Notation
$k\langle G\rangle$, denn als $k$-Modul ist  der Monoidring in der 
  Tat erzeugt, ja sogar frei erzeugt von $G$. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Exponentialnotation f"ur Monoidringe}]
Die eben eingef"uhrte Notation f"ur Monoidringe ist nur im
Fall multiplikativ notierter Monoide praktisch. Im Fall additiv notierter
Monoide ist bereits der Ausdruck $g+h$ zweideutig, es k"onnte 
damit entweder\label{NotE} 
die Summe im Monoid $1(g+h)$ oder die Summe im Monoidring $1g+1h$ 
gemeint sein.
Aus diesem Grund schreibt man im Fall additiv notierter
Monoide Elemente des Monoidrings lieber in der Form
$\sum a_g \op{e}^g$, 
wobei die Notation $\op{e}^g$  rein
formale Bedeutung hat. Dann gilt etwa im Monoidring 
$\op{e}^{g+h}=\op{e}^g\op{e}^h\neq \op{e}^g+\op{e}^h$
und man kann wieder ganz intuitiv rechnen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Der Polynomring als Monoidring}] 
Wir erhalten einen Isomorphismus  
$k \langle\DN\rangle\sira k[T]$
zwischen dem\label{MoiR}  
Monoidring des Monoids $ \DN$ "uber einem Ring $k$ und dem  Polynomring
$k[T]$
mit Koeffizienten in $k$ durch die Vorschrift $\sum a_n \op{e}^n\mapsto
\sum a_n T^n$.  In diesem Fall
ist die Exponentialnotation im Sinne von \ref{NotE} eher
ungew"ohnlich und l"adt zu Mi"sverst"andnissen ein.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Der Ring der Laurentpolynome als Gruppenring}] 
Wir erhalten einen Isomorphismus  
$k \langle\DZ\rangle\sira k[T,T^{-1}]$
zwischen dem\label{MoiR}  
Gruppenring der Gruppe $ \DZ$ "uber einem Ring $k$ und dem Ring
$k[T,T^{-1}]$ der Laurentpolynome
mit Koeffizienten in $k$ durch die Vorschrift $\sum a_n \op{e}^n\mapsto
\sum a_n T^n$.  Im Fall der additiven 
Gruppe $\DZ$ ist die Exponentialnotation im Sinne von \ref{NotE}
eher ungew"ohnlich und l"adt zu Mi"sverst"andnissen ein.
\end{Bemerkungl}


  

  





\begin{Bemerkungl}[\textbf{Darstellungen als Moduln "uber dem Monoidring}]
    Seien $G$ ein Monoid und $k$ ein
    Ring. Sei weiter $M$ eine abelsche\label{MGru} 
    Gruppe.  Das Einschr"anken einer Abbildung $kG\times M\ra M$ zu
    Abbildungen $k\times M\ra M$ und $G\times M\ra M$ liefert dann die
    vertikale Bijektion im Diagramm
$$
\begin{array}{ccc}
  \left\{\begin{array}{c}\text{$kG$-Modulstrukturen}\\kG\times M\ra M\\
      \text{auf der abelschen Gruppe }M 
    \end{array}\right\}&&\\[2mm]
  \da\wr&&\\[2mm]


  \left\{\begin{array}{c}\text{$k$-Modulstrukturen}\\k\times M\ra M\\
      \text{auf der abelschen Gruppe }M \\
      \text{zusammen mit $G$-Operation}\\G\times M\ra M\\
      \text{durch $k$-lineare Abbildungen}
    \end{array}\right\}



  &\overset{\sim}{\ra} &



  \left\{\begin{array}{c}\text{$k$-Modulstrukturen}\\k\times M\ra M\\
      \text{auf der abelschen Gruppe }M \\
      \text{zusammen mit einem}\\
      \text{Monoidhomomorphismus}\\G\ra {\op{End}}_k( M)
    \end{array}\right\}
\end{array}
$$
wobei die horizontale Bijektion wie so oft schon wieder einmal von
unserer Bijektion $\op{Ens}(G\times M,M)\sira
\op{Ens}(G,\op{Ens}(M,M))$ aus \eref{ABBK}{GR} herkommt und
${\op{End}}_k( M)$ das multiplikative Monoid des Rings ${\op{End}}_k( M)$
 meint.
Des weiteren haben wir f"ur je zwei Darstellungen $V,W$ eines Monoids $G$ "uber einem Ring $k$ die Gleichheit
$$\op{Hom}_{k,G}(V,W)=\op{Hom}_{kG}(V,W)$$ von
Homomorphismen von Darstellungen und Homomorphismen von Moduln. 
In diesem Sinne ist eine Darstellung eines
Monoids $G$ "uber $k$ also \glqq dasselbe\grqq\ wie ein $kG$-Modul.
Wir werden einen guten Teil der Darstellungstheorie von Gruppen aus
der Spezialisierung von Resultaten f"ur Moduln "uber Ringen erhalten,
die hinwiederum durch die Methoden der linearen Algebra f"ur Moduln
"uber K"orpern alias Vektorr"aume motiviert werden.
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}
Eine endlich erzeugte freie abelsche Gruppe 
nennen wir ein {\bf Gitter}.\index{Gitter}  
In anderen Zusammenh"angen versteht man unter einem  \glqq Gitter\grqq\
abweichend 
eine endlich erzeugte freie abelsche Gruppe $X$
zusammen mit
einer symmetrischen Bilinearform $X\times X\ra \DZ$. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Proposition*}[\textbf{Gitter mit Involution}]
    Jedes Gitter mit\label{FAIn}
    Involution $(X,\sigma)$ ist isomorph 
als Darstellung der zweielementigen Gruppe "uber $\DZ$ 
zu einer endlichen direkten
    Summe von Kopien von $(\DZ,{\op{id}})$, $(\DZ,-{\op{id}})$ und
    $(\DZ^2, \tau)$ f"ur $\tau$ die Vertauschung der beiden Eintr"age.
Die Zahl der jeweiligen Summanden ist dabei wohlbestimmt.
\end{Proposition*}
\begin{Bemerkungl} Ein Student k"onnte mal versuchen, unzerlegbare
  Darstellungen anderer kleiner Gruppen "uber $\DZ$ zu klassifizieren.
\end{Bemerkungl}
  \begin{proof}
Wir setzen $X^\pm\pdef \{\lambda\in X\mid \sigma(\lambda)=\pm\lambda\}$.
Die Existenz einer Zerlegung der %in der Proposition
beschriebenen Art ist klar im Fall
$X=X^++X^-$. Gibt es dahingegen $\lambda\in X$ mit
$\lambda\not\in (X^++X^-)$, so haben wir $2\lambda=(\lambda+\sigma(\lambda))+(\lambda-\sigma(\lambda))$, also $2\lambda=\mu^++\mu^-$ mit
$\mu^\pm\in X^\pm\backslash 0$. 
Wir pr"ufen nun, da"s
$$Z=Z(\lambda)\pdef\{\nu\in X\mid \exists m\in\DZ_{\neq 0}
\text{ mit }m\nu\in \DZ\mu^++\DZ\mu^-\}$$  
ein unter $\sigma$ stabiles zu $(\DZ^2,\tau)$ 
isomorphes Untergitter ist.
Dazu pr"ufen wir sun"achst einmal 
$$Z^++Z^-\supsetneq 2Z
\supsetneq 2Z^++2Z^-$$
Die Inklusionen gelten hierbei f"ur jedes unter $\sigma$ stabile Untergitter.
Nur da"s sie echt sind, mu"s noch gezeigt werden.
Wegen $2\lambda=\mu^+ + \mu^-$ gilt $\lambda \in Z$.
Andererseits gilt nach Annahme $\lambda \not\in Z^++Z^-$, ja  sogar
$\lambda \not\in X^++X^-$. So folgt $Z\supsetneq Z^+ + Z^-$
und dann auch $2Z\supsetneq 2Z^+ + 2Z^-$.
Andererseits haben wir offensichtlich $\mu^+\in Z^+$,
aber $\mu^+\not\in 2Z$, da sonst wegen $2\lambda\in 2Z$ folgte
$\mu^-\in 2Z$ und $\lambda=\mu^+/2 + \mu^-/2$ l"age
doch in $ X^++X^-$ im Widerspruch zu unserer Annahme.
also gilt auch $Z^++Z^-\supsetneq 2Z$ und 
zusammen 
$Z^++Z^-\supsetneq 2Z
\supsetneq 2Z^++2Z^-$ wie gew"unscht.
Ein zweidimensionaler
$\mathbb F_2$-Vektorraum hat nun nur genau drei
eindimensionale Untervektorr"aume und folglich kommen f"ur das
Bild von $2Z$ in $(Z^++Z^-)/(2Z^+ + 2Z^-)$ nur die drei
Unterr"aume in Betracht, die von den Bildern von $\nu^+, \nu^-$ und
$\nu^++ \nu^-$ erzeugt werden f"ur $\nu^\pm\in Z^\pm$ jeweils Erzeuger
dieser abelschen Gruppen. In den beiden ersten F"allen h"atten wir
aber $Z=Z^+ + Z^-$ im Widerspruch zu unseren Annahmen, also m"uusen wir
im letzten Fall sein und $(Z, \sigma)$ ist isomorph zu $(\DZ^2,\tau)$. 
Nach Konstruktion ist nun $X/Z$ auch ein Gitter. Bilden wir zur kurzen
exakten Sequenz $Z\hra X\sra X/Z$
durch Anwenden von $\op{Hom}_\DZ(\;,\DZ)$ die
duale Sequenz, so erhalten wir wieder eine kurze exakte
Sequenz $(X/Z)^*\hra X^*\sra Z^*$. Diese mu"s aber spalten als Sequenz von
Moduln "uber dem Gruppenring $\DZ[\sigma]/\langle \sigma^2-1\rangle$, 
da  $Z^*$ ebenso wie $Z$ frei zyklisch ist "uber dem Gruppenring alias isomorph 
zu unserem Ring als Modul "uber sich selber. 
Damit spaltet auch die urspr"ungliche Sequenz   
und wir k"onnen den Beweis der Existenz einer 
Zerlegung der beschriebenen Art mit Induktion zu Ende bringen.
 Die Zahl der jeweiligen Summanden wird  eindeutig festgelegt durch
 die Dimensionen der $\sigma$-Eigenr"aume in $\op{Hom}(X,\DQ)$
und die Dimension des $\mathbb F_2$-Vek\-torraums $X/(X^++X^-)$.
 Da"s dieser Quotient auch in der Tat ein Vektorraum "uber $\mathbb F_2$ ist,
folgt aus der Identit"at 
$2\lambda=(\lambda+\sigma(\lambda))+(\lambda-\sigma(\lambda))$.
  \end{proof}

  \begin{Bemerkunge} Meines Wissens  ist derzeit (2020) nicht bekannt,
    ob der Gruppenring jeder torsionsfreien Gruppe "uber jedem kommutativen
    Integrit"atsbereich auch selbst ein Integrit"atsring ist. Im Fall von Koeffizienten in einem K"orper ist das die sogenannte {\bf Nullteilervermutung von Kaplansky}.\index{Kaplansky!Nullteilervermutung}\index{Nullteilervermutung}  
  \end{Bemerkunge}


\begin{Bemerkungw}[\textbf{Dirac-Notation f"ur Monoidringe}]
  Gegeben ein Kring $k$ induziert
  jede  Abbildung $X_1\times\ldots\times X_n\ra Y$ von Mengen
  eine $k$-multilineare Abbildung
  $$kX_1\times\ldots\times kX_n\ra kY$$
  in nat"urlicher Weise.  
  Interpretiert man im Fall
  $k=\DR$ oder $k=\DC$  die Elemente von $kX$ als kompakt getragene
  endliche Ma"se auf dem diskreten Raum $X$, so kann  unsere $k$-multilineare
  Abbildung als das Bilden des Bildma"ses zum Produktma"s beschrieben werden.
Die Multiplikation des Monoidrings
ergibt sich dann aus der Verkn"upfung des zugrundeliegenden Monoids
 als
  das Bildma"s $$\mu\ast\nu=\op{mult}_*(\mu\boxtimes\nu)$$
  des Produktma"ses unter der Verkn"upfungsabbildung
  $\op{mult}:G\times G\ra G$.
   Im Fall $n=0$ wird jeder Abbildung $\{*\}\ra Y$ aus dem leeren Produkt mit $*\mapsto y$
   eine Abbildung $\{*\}\ra kY$ zugeordnet und das Bild von $*$
   entspricht dem Diracma"s $\delta_y$, das dem Punkt $y$ das Ma"s $1$ gibt und
   allen anderen Punkten das Ma"s Null. 
  Ich  will, auch wenn $k$ nicht $\DR$ oder $\DC$ ist, Elemente von Monoidringen vorzugsweise als
   eine Art von Ma"sen auffassen und verwende auch in dieser
   Allgemeinheit die Notation $\delta_y\in kY$ entsprechend.
   Insbesondere ist f"ur $e\in G$ das neutrale Element damit $\delta_e$
   die Eins des Monoidrings. Mehr dazu
   wird in \eref{skfh}{TSK} besprochen, wo wir auch die alternative
   Notation $\op{Ma"s}_!(X;k)=kX$ einf"uhren.
\end{Bemerkungw}


\begin{Bemerkungw}[\textbf{Funktionen und Ma"se}]
  Gegeben ein Kring $k$ und ein Monoid $G$ mag man auch den
  Kring $\op{Ens}(G,k)$ der Funktionen auf $G$ betrachten.
  Er tr"agt nat"urliche Operationen von $G$ von links und rechts durch
  $(yf)(x)\pdef f(xy)$ und $(fy)(x)=f(yx)$. Ebenso tr"agt auch der Gruppenring
  $\op{Ma"s}_!(G;k)=kG$ nat"urliche Operationen von $G$ von links und rechts durch
  $y\mu\pdef \delta_y\ast \mu$ und $\mu y \pdef \mu\ast\delta_y$.
  Man mag nun versucht sein, mit der Einbettung von $k$-Moduln
  $$\op{Ma"s}_{!}(G;k)\hra\op{Ens}(G,k)$$ zu arbeiten, die gegeben wird durch
  $\delta_x\mapsto [x]$ f"ur $[x]$ die charakteristische Funktion der
  einelementigen Menge $\{x\}$.
   Das ist aber keine gute Idee, da diese Abbildung weder mit der Linksoperation noch mit der Rechtsoperation von $G$ vertr"aglich ist. Nat"urlicher ist es,
  $\op{Ens}(G,k)$ als den Dualraum zu $\op{Ma"s}_{!}(G;k)$ aufzufassen.
  F"ur die entsprechende Paarung
$$\langle \;,\, \rangle:\op{Ma"s}_!(G;k)\times \op{Ens}(G,k)\ra k$$
  gilt
  $\langle y\mu,f\rangle=\langle \mu,fy\rangle$ sowie 
  $\langle \mu y,f\rangle=\langle \mu,yf\rangle$ f"ur alle Ma"se $\mu$,
  Funktionen $f$ und Elemente $y\in G$. Ist $G$ eine Gruppe,
  so ist zus"atzlich  die Abbildung\label{FuM}\index{inz@$\op{inz}$}  $$\op{inz}:\op{Ma"s}_!(G;k)\hra\op{Ens}(G;k)$$
  gegeben durch $\delta_x\mapsto [x^{-1}]$ vertr"aglich mit den
  nat"urlichen $G$-Wirkungen von rechts und links.
  Die Abk"urzung $\op{inz}$ meint hier \glqq  durch das Z"ahlma"s teilen und das Invertieren vorschalten\grqq.
  Wir wollen
  stets $kG=\op{Ma"s}_!(G;k)$ verstehen und selbst im Fall
  endlicher Gruppen oder Mengen der Versuchung widerstehen,
  diesen Raum leichtfertig mit $\op{Ens}(G,k)$
  zu identifizieren. Vern"unftig  ist
  auch im Fall endlicher Gruppen vielmehr eine Identifikation mit
  besagter Abbildung $\op{inz}$, die in diesem Fall
  sogar ein Isomorphismus ist.
\end{Bemerkungw}


\subsubsection*{"Ubungen}

\begin{Ubung}[\textbf{Universelle Eigenschaft des Monoidrings}] 
Gegeben ein  Ringhomomorphismus  $\varphi: k\ra R$ 
und ein Monoid $G$ und Monoidhomomorphismus $\psi:G\ra (R,\cdot)$
mit der Eigenschaft $\varphi(a)\psi(g)
=\psi(g)\varphi(a)\;\forall a\in k$, $g\in G$ 
gibt es genau einen Ringhomomorphismus $kG\ra R$, der
$\varphi$ und $\psi$ fortsetzt.
\end{Ubung}



\begin{Ubung}
Man zeige, da"s es f"ur jeden Ring $k$ und $G=\{e,g\}$ eine zweielementige
Gruppe genau einen Ringisomorphismus $k[X]/\langle X^2-1\rangle\sira kG$
gibt mit $\bar{X}\mapsto g$.  Man folgere aus dem abstrakten chinesischen
Restsatz weiter f"ur $k$  einen K"orper mit $\op{char}k\neq 2$ einen
Isomorphismus $k[X]/\langle X^2-1\rangle\sira k\times k$.  
\end{Ubung}

\begin{Ubung}\label{GrEW}
Man zeige, da"s der Gruppenring der Gruppe $\DZ/n\DZ$ "uber 
einem K"orper $k$ 
isomorph ist zum Quotienten  $k[X]/\langle X^n-1\rangle$ 
des Polynomrings. Im Fall,
da"s  $X^n-1$ 
"uber $k$ in Linearfaktoren zerf"allt, zeige man weiter,  da"s
die einfachen Darstellungen alle eindimensional sind
 und da"s ihre
Isomorphieklassen  parametrisiert werden durch die
Wurzeln dieses Polynoms.
Unter der Annahme, da"s zus"atzlich  
das Bild von $n$ in $k$ nicht verschwindet,
zeige man weiter, da"s dieser Gruppenring auch isomorph ist zum Produkt
$k\times \ldots \times k$ von $n$ Kopien des K"orpers $k$.  
Im Fall $k=\DC$ liefert etwa die diskrete Fouriertransformation
aus \eref{hbhc}{AN3} einen derartigen Isomorphismus.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
  Seien $G\supset N$ eine endliche Gruppe mit einer
  Untergruppe. Man zeige, da"s $N$ genau dann ein Normalteiler ist,
  wenn die die $N$-linksinvarianten Elemente $\DZ[G]^N$ des
  Gruppenrings von $G$ einen  $\DZ[G]$-Unterlinksmodul bilden.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
  Eine {\bf Frobenius-Algebra}\index{Frobenius-Algebra}
  ist eine endlichdimensionale
  Ringalgebra "uber einem K"orper mit einer nichtausgearteten
  symmetrischen Bilinearform $\langle \;,\;\rangle$ derart, da"s gilt
  $\langle ab,c\rangle=\langle a,bc\rangle$ f"ur alle Elemente $a,b,c$
  unserer Ringalgebra. Man zeige, da"s der Gruppenring einer endlichen
  Gruppe $G$ mit der Bilinearform $\langle h,f\rangle\pdef [e](hf)$
  eine Frobenius-Algebra ist. Hier meint $[e]$ das Auswerten am
  neutralen Element als Linearform auf dem Gruppenring.
\end{Ubung}




\newpage


\section{Moduln "uber Mengen} 

\subsection{Begrifflichkeit der Mengenmoduln}

\begin{Definition}
Sei $\Omega$ eine Menge.
Ein  {\bf $\Omega$-Mengenmodul}\index{Mengenmodul} oder kurz {\bf $\Omega$-Modul} ist
%wie in \eref{OmeM}{KAG}
ein Paar $(M,\sigma)$ bestehend aus einer abelschen Gruppe $M$ und
einer Abbildung\label{OMO} 
$$\sigma:\Omega\ra \op{Ab}(M)$$ von $\Omega$ in den 
Endomorphismenring der abelschen Gruppe $M$. Wir verwenden in diesem
Kontext die Abk"urzung $\omega m\pdef (\sigma(\omega))(m)$. 
\end{Definition}
\begin{Beispiele} Gegeben ein K"orper $k$ ist ein
  $k$-Vektorraum ein $k$-Mengenmodul mit zus"atzlichen Eigenschaften. Ein
  $\emptyset$-Modul ist  eine abelsche Gruppe. 
\end{Beispiele}





\begin{Definition}
Sei $\Omega$ eine Menge. Eine Abbildung $f: M \ra N$ von  $\Omega$-Moduln hei"st  ein
{\bf Modulhomomorphismus},\index{Modulhomomorphismus}
wenn sie ein Homomorphismus von abelschen Gruppen ist und
wenn zus"atzlich gilt $$
f(\omega m)= \omega f(m) \quad \forall m \in M, \omega \in \Omega$$
und erhalten so die Kategorie $\Omega\op{-Mod}=\op{Mod}_{\Omega}$ der $\Omega$-Moduln. 
\end{Definition}
\begin{Beispiele} Gegeben ein K"orper $k$ ist eine $k$-lineare Abbildung von
  $k$-Vek\-tor\-r"au\-men dasselbe wie  $k$-Modulhomomorphismus der
  zugrundeliegenden Mengenmoduln. Ein Homomorphismus von $\emptyset$-Moduln ist  ein Homomorphismus von abelschen Gruppen. 
\end{Beispiele}


\begin{Bemerkungl} Gegeben ein Ring $R$ 
  unterscheiden wir zwischen $R$-Moduln im Sinne von \eref{LM}{KAG}, die wir
  ausf"uhrlicher 
  {\bf $R$-Ringmoduln}\index{Ringmodul} nennen, und  $R$-Meng\-en\-mo\-duln, die wir hier
  eingef"uhrt haben. Homomorphismen von $R$-Ringmoduln und $R$-Mengenmoduln
  sind dieselben, aber es gibt f"ur gew"ohnlich mehr Moduln "uber der Menge $R$
  als "uber dem Ring $R$.  Ich verwende f"ur beide dieselbe Notation
  $R\op{-Mod}=\op{Mod}_R$ in der Hoffnung,
  da"s der Leser aus dem Kontext erschlie"sen kann, was jeweils gemeint ist.
  Die $R^{\op{opp}}$-Ringmoduln sind ebenfalls 
   $R$-Meng\-en\-mo\-duln. Diese notiere ich vorzugsweise
   $\op{Mod-}R=\op{Mod}_{-R}$. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl} Gegeben ein Monoid $G$ gilt es  zu
  unterscheiden zwischen Darstellungen von $G$
  "uber $\DZ$ im Sinne von  \ref{DMr}, die wir auch 
  ausf"uhrlicher 
  {\bf $G$-Monoidmoduln}\index{Monoidmodul} nennen,
  und den  $G$-Meng\-en\-mo\-duln, die wir hier
  eingef"uhrt haben. Die $G$-Mo\-noid\-mo\-duln bilden 
  eine volle Unterkategorie der $G$-Mengenmoduln.
  Ich verwende f"ur beide dieselbe Notation $G\op{-Mod}=\op{Mod}_G$
  in der Hoffnung,
  da"s der Leser aus dem Kontext erschlie"sen kann, was jeweils gemeint ist.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl} 
  Eine Darstellung eines Monoids $G$ "uber einem Ring $k$ ist ein Modul
  "uber der Menge $k\sqcup G$ mit gewissen Zusatzeigenschaften.
  Ich notiere die Kategorie dieser Darstellungen 
  $$(G,k)\op{-Mod}=\op{Mod}_{k,G}$$
  Allgemein sollen durch Kommata getrennte Aufz"ahlungen 
  operierender Mengen bedeuten, da"s die Operationen der Elemente der
  verschiedenen Mengen miteinander kommutieren.
  Wenn in der Aufz"ahlung Monoide oder Ringe auftreten,
  wird a priori implizit gefordert, da"s diese auch als Ringe beziehungsweise
  Monoide operieren, und zwar von links, wenn sie auf der linken Seite
  des K"urzels $\op{Mod}$ stehen,
  und von rechts, wenn sie auf der rechten Seite stehen. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Man h"atte fast Lust, im vorhergehenden $\op{Ab}$ statt $\op{Mod}$ zu schreiben, aber das habe ich mich nicht getraut.
\end{Bemerkungl}




\begin{Bemerkungl}[\textbf{Universelle Eigenschaft injektiver Modulhomomorphismen}] 
  Injektive Modulhomomorphismen $i:U\hra M$
  haben die universelle Eigenschaft, da"s f"ur jeden Modulhomomorphismus
  $\varphi:X\ra M$ mit  $\varphi(X)\subset U$ die induzierte Abbildung
  $\varphi:X\ra U$ auch ein Modulhomomorphismus ist. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}
  Seien $\Omega$ eine Menge und $M$ ein  $\Omega$-Modul.
  Eine Teilmenge $L\subset M$ hei"st ein {\bf $\Omega$-Untermodul} oder ausf"uhrlicher {\bf Untermengenmodul}\index{Untermengenmodul},
  wenn sie eine abelsche Untergruppe ist mit der Eigenschaft 
  $l\in L,\omega\in\Omega\RA \omega l\in L$. 
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
  Eine Teilmenge eines $\Omega$-Moduls ist genau dann ein $\Omega$-Untermodul,
  wenn sie so mit der Struktur eines $\Omega$-Moduls versehen werden kann,
  da"s die Einbettung eine Modulhomomorphismus ist. Die Modulstruktur
  auf besagter Teilmenge ist
  dann eindeutig bestimmt. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiele}
  Ein $k$-Untervektorraum eines $k$-Vektorraums $V$ ist dasselbe wie ein
  $k$-Untermengenmodul von $V$. Der Kern und das Bild
  jedes Homomorphismus von Mengenmoduln ist ein
  Untermengenmodul. 
\end{Beispiele}

\begin{Bemerkungl}
  Der Schnitt "uber ein beliebiges System von Untermoduln eines Moduls
  ist wieder ein Untermodul. Gegeben ein $\Omega$-Modul $M$ und eine Teilmenge $T\subset M$ gibt es also einen kleinsten Untermodul $U\subset M$, der $T$
  umfa"st. Wir notieren ihn
  $$\langle T\rangle_\Omega\pdef U$$
  und nennen ihn den {\bf von $T$ erzeugten Untermodul}. Er kann explizit beschrieben werden als die von allen $\omega_r\ldots\omega_1 m$ f"ur
  $r\geq 0$ und $\omega_i\in \Omega$ und $m\in M$ erzeugte abelsche Untergruppe.
  Ein Modul hei"st {\bf endlich erzeugt}, wenn er von einer endlichen Teilmenge erzeugt wird. Er hei"st {\bf zyklisch}, wenn er von einer einelementigen Teilmenge erzeugt wird. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Universelle Eigenschaft surjektiver Modulhomomorphismen}] 
  Surjektive Modulhomomorphismen $p:M\sra Q$
  haben die universelle Eigenschaft, da"s f"ur jeden Modulhomomorphismus
  $\varphi:M\ra Y$ mit $\op{ker}p\subset \op{ker}\varphi$
  die induzierte Abbildung von abelschen Gruppen 
  $\varphi:Q\ra Y$ ein Modulhomomorphismus ist. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Gegeben $\Omega$ eine Menge, $M$ ein $\Omega$-Modul und 
  $L\subset M$  ein Untermodul gibt es auf der Restklassengruppe $M/L$
  genau eine Struktur als $\Omega$-Modul derart, da"s die Projektion
  $M\sra M/L$ ein Modulhomomorphismus ist. Wir nennen $M/L$
  mit dieser Struktur den {\bf Quotient von $M$ nach $L$}. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiel}
  Der Quotient eines Vektorraums nach einem Untervektorraum ist ein Beispiel
  f"ur einen Quotientenmodul. In diesem Fall ist der Quotient st"arker
  nicht nur ein
  Mengenmodul, sondern sogar wieder ein Vektorraum.
\end{Beispiel}
\subsection{Einfache Moduln und Kompositionsreihen}\label{NEMK}
\begin{Definition}
Gegeben ein Modul $M$ "uber einer Menge $\Omega$ definieren wir seine
{\bf L"ange}\index{L"ange!eines Moduls}\index{l@$\op{l}(M)$ L"ange von $M$} $$\op{L"ange}_\Omega(M)=\op{L"ange}(M)=\op{l}_\Omega(M)=\op{l}(M)\in\DN\amalg \{\infty\}$$
als\index{L"ange@$\op{L"ange}(M)$ L"ange von $M$} das Supremum "uber alle $n$ derart, da"s es in $M$ eine
echt absteigende Kette von Untermoduln gibt der Gestalt
$M= M_n\supsetneq M_{n-1}\supsetneq\ldots \supsetneq M_0=0$,
die also salopp
gesprochen in $n$  Schritten vom ganzen Modul zum Nullmodul f"uhrt.\label{Lae} 
\end{Definition}
\begin{Definition}
Ein Modul hei"st
{\bf einfach}\index{einfach!Modul}\index{Modul!einfacher} oder
gleichbedeutend {\bf irreduzibel},\index{irreduzibel!Modul}\index{Modul!irreduzibler} 
 wenn er nicht Null ist, aber au"ser 
sich selbst  und Null keine 
Untermoduln hat.
\end{Definition}

\begin{Beispiel}
Offensichtlich hat ein Modul  die L"ange Null genau dann, 
wenn er der Nullmodul ist, und
 die L"ange Eins genau dann, wenn er einfach ist.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}\label{EMKO}
Die einfachen Moduln "uber einem K"orper oder allgemeiner einem
Schiefk"orper sind genau die eindimensionalen Vektorr"aume. Die L"ange
eines Moduls $M$ "uber einem K"orper oder allgemeiner einem
Schiefk"orper $k$ ist seine Dimension, in Formeln $l_K(M)=\op{dim}_k(M)$.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}
  Ein $\emptyset$-Modul alias eine abelsche Gruppe alias ein
  $\DZ$-Ringmodul ist einfach genau dann,
  wenn er endlich ist von Primzahlordnung, also isomorph zu $\DZ/p\DZ$ f"ur
 eine Primzahl $p$. 
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}\label{NEMKO}
Jeder von Null verschiedene Vektorraum ist einfach als Modul
"uber seinem Endomorphismenring.
\end{Beispiel}

\begin{Beispiele}[\textbf{Einfache Kringmoduln}]
   Die Menge der Isomorphieklassen  einfacher Moduln "uber einem Kring
   $R$ ist in Bijektion zur Menge $\op{Max}R$ der maximalen Ideale
   von $R$ vermittels der Abbildung $\mathfrak m\mapsto R/\mathfrak m$. 
   Die Umkehrabbildung ist $E\mapsto \op{Ann}_R E$.  Genauer ist  der
    Quotient eines Krings nach einem maximalen Ideal bereits ein K"orper,
    vergleiche \eref{RMI}{KAG}, 
    und unser einfacher Modul ist dann ein eindimensionaler
    Vektorraum "uber diesem K"orper. 
  \end{Beispiele}

\begin{Beispiele}[\textbf{Einfache Ringmoduln}]
  Alle einfachen Ringmoduln "uber einem nicht notwendig kommutativen Ring sind 
    isomorph zu einem Quotienten des besagten Rings nach einem maximalen
    Linksideal.\label{NEiMo}   Bei nichtkommutativen Ringen k"onnen 
    Quotienten nach verschiedenen maximalen Linksidealen jedoch  als
    Moduln durchaus isomorph sein. Man denke etwa an den Matrizenring
    $\op{Mat}(r;k)$ mit Eintr"agen in einem
    K"orper $k$ und den einfachen Modul $k^r$
    dieses Rings. In diesem Fall sind ja die
    Annullatoren verschiedener von Null
    verschiedener Elemente im allgemeinen durchaus verschiedene Linksideale.
  \end{Beispiele}
 

\begin{Beispiele}
Der Hilbert'sche Nullstellensatz \eref{KFa}{KAG} besagt, da"s alle 
einfachen Ringmoduln "uber einem Polynomring 
in endlich vielen Variablen mit Koeffizienten in
einem K"orper endlichdimensional sind "uber besagtem K"orper. 
Ist der K"orper 
algebraisch abgeschlossen, so sind sie sogar eindimensional. 
\end{Beispiele}






\begin{Lemma}[\textbf{Homomorphismen von und zu einfachen Moduln}]
 Seien $\Omega$ eine Menge und
 $E, F$ einfache $\Omega$-Moduln und $M$ ein beliebiger $\Omega$-Modul.
So gilt:\label{NEM} 
\begin{enumerate}
\item
Jeder Homomorphismus $E \ra M$ ist injektiv oder Null;
\item
Jeder Homomorphismus $M \ra F$ ist surjektiv oder Null;
\item
Jeder Homomorphismus $E \ra F$ ist bijektiv oder Null;
\item
Der Endomorphismenring ${\op{End}}_{\Omega}E$ ist ein Schiefk"orper.
\end{enumerate}
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
Der Kern $\ker (E \ra M)$ und das Bild $\op{im} (M \ra F)$ sind Untermoduln von $E$ beziehungsweise von
$F$
und sind folglich Null oder ganz $E$ beziehungsweise ganz $F$.
\end{proof}


\begin{Korollar}\label{ESu}
Sei $R$ ein kommutativer Ring, der einen algebraisch 
abgeschlossenen K"orper $k=\bar k$ als
Teilring hat.
So ist ein einfacher $R$-Modul, der endlichdimensional ist als
$k$-Vektorraum, notwendig eindimensional als $k$-Vektorraum.
\end{Korollar}

\begin{proof}
Die Multiplikation mit einem beliebigen 
Element $r\in R$ besitzt notwendig einen Eigenwert 
und der zugeh"orige Eigenraum ist ein von Null
verschiedener Untermodul, also der ganze
Modul. Mithin operiert jedes $r\in R$ durch einen Skalar, und dann kann unser
Modul nur einfach sein, wenn er eindimensional ist.
\end{proof}








\begin{Definition}
Seien $\Omega$ eine Menge und $M$ ein $\Omega$-Modul. 
Eine {\bf Kompositionsreihe von}\index{Kompositionsreihe!eines Moduls} 
$M$ ist eine endliche Kette von
Untermoduln
$$M = M_{r}\supset M_{r-1} \supset \ldots\supset M_{0} =0$$
derart, da"s $M_{i}/M_{i-1}$ einfach ist f"ur
$r\geq 
i \geq 1$.
Der Modul $M_{i}/M_{i-1}$ hei"st dann der {\bf $i$-te}
\defind{Subquotient}
unserer Kompositionsreihe.
Gegeben ein Modul $M$ "uber einer Menge $\Omega$ erkl"aren wir 
seine
\defind{Kompositionsl"ange} $$\lambda_\Omega(M)=\lambda(M)\in\DN\amalg \{\infty\}$$
als die  
kleinstm"ogliche L"ange einer Kompositionsreihe von $M$,
wenn unser Modul eine Kompositionsreihe besitzt,
und setzen andernfalls $\lambda(M)=\infty$. 
\end{Definition}








































\begin{Beispiel}
  Man "uberlegt sich leicht, da"s die L"ange und die Kompositionsl"ange eines
  Vektorraums beide mit seiner Dimension zusammenfallen. Der anschlie"sende Satz besagt unter anderem, da"s auch f"ur allgemeine  Mengenmoduln   L"ange und  Kompositionsl"ange "ubereinstimmen. 
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}
  Man "uberlegt sich, da"s ein $\emptyset$-Modul  $M$
  alias eine abelsche Gruppe 
  genau dann endliche  L"ange hat, wenn sie endlich ist,
  und da"s ihre  Kompositionsl"ange und L"ange dann beide mit
  der Zahl der mit ihren Vielfachheiten gez"ahlten Primfaktoren von $|M|$  zusammenfallen.
\end{Beispiel}

% \nichtfinal{WOHIN? Bei einer endlichen echt absteigenden
%Kette maximal m"oglicher L"ange ist nat"urlich stets  
%$M_i/M_{i-1}$  einfach f"ur $1\leq i\leq n$.}



\begin{Satz}[\textbf{Jordan-H"older}]
F"ur jeden Modul stimmen seine L"ange\label{NJHM} und seine Kompositionsl"ange  
"uberein. Weiter haben  je zwei Kompositionsreihen  
dieselbe L"ange und bis\index{Jordan-H"older!f"ur Moduln}
auf Reihenfolge isomorphe Subquotienten. 
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
  Sobald der Satz bewiesen ist, wird der Begriff der \glqq Kompositionsl"ange\grqq\ "uberfl"ussig und wir sprechen nur noch von der
  \glqq L"ange\grqq\ eines Moduls.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
In Formeln ausgedr"uckt besagt der zweite  Teil unseres Satzes:
  Sind  $M = M_{r} \supset\ldots \supset M_{0} = 0$ und $M = N_{s}
  \supset \ldots \supset N_{0}=0$ zwei Kompositionsreihen eines Moduls $M$, so
  gilt $r = s$ und es gibt eine Permutation $\sigma \in \cal{S}_{r}$ mit
  $N_{i}/N_{i-1} \cong M_{\sigma (i)} /M_{\sigma(i)-1} $ f"ur alle $ i$.
Diese Subquotienten oder genauer ihre Isomorphieklassen\label{NVKFo} hei"sen die
{\bf Kompositionsfaktoren}\index{Kompositionsfaktor!von Modul} 
unseres Moduls endlicher L"ange $M$  
und unser Satz sagt auch, da"s jeder Kompositionsfaktor 
mit einer wohlbestimmten
Vielfachheit auftritt. Gegeben ein einfacher Modul $L$ notiert man
die Vielfachheit von $L$ als Kompositionsfaktor von $M$ meist
\index{)5]@$[M:L]$ Vielfachheit}$$[M:L]$$
  Sie hei"st auch die {\bf Jordan-H"older-Multiplizit"at}\index{Jordan-H"older-Multiplizit"at}
  von $L$ in $M$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}
  Im Fall einer endlichen abelschen Gruppe $M$ gilt die Identit"at   
  $[M:\DZ/p\DZ]=\op{max}\{r\mid p^r\text{ teilt }|M|\}$ f"ur die Vielfachheit von $\DZ/p\DZ$ in $M$.  
\end{Beispiel}

\begin{proof}[Beweis] 
Die erste Aussage unseres  Satzes behauptet in Formeln
$\op{l}(M)=\lambda(M)$.  Offensichtlich ist
a priori  nur die Absch"atzung $\op{l}(M)\geq \lambda(M)$,
die L"ange ist in Worten offensichtlich mindestens so gro"s wie die
Kompositionsl"ange. 
Als n"achstes zeigen wir nun, da"s f"ur 
jeden Modul $M$ endlicher Kompositionsl"ange und
jeden von Null verschiedenen Untermodul $0\neq N\subset M$
gilt $$\lambda(M/N)<\lambda(M)$$
Seien in der Tat $M = M_{r}
\supset \ldots \supset M_{0} =0$ eine Kompositionsreihe von $M$ und $N \subset
M$ ein Untermodul. Wir betrachten den Quotienten $\bar{M} \pdef M/N$ und die
Bilder $\bar{M}_{i}$ der $M_{i}$ in $\bar{M}$ und 
erhalten kurze
exakte Sequenzen
$$(M_{i} \cap N) /( M_{i-1} \cap N) \hookrightarrow M_{i}/M_{i-1}
\twoheadrightarrow \bar{M}_{i} / \bar{M}_{i-1}$$
durch explizites Nachdenken: Geht ein Element $m+M_{i-1}$ 
aus der Mitte rechts nach Null, landet es also in $\bar M_{i-1}$, so mu"s es
aus $N+M_{i-1}$ stammen und sich folglich 
mit $m\in M_i\cap N$ darstellen lassen.
Alternativ mag man 
das Neunerlemma \eref{NeuL}{LA2} 
auf das kommutative Diagramm
$$\begin{array}{ccccc}
{M}_{i-1}\cap N& \hookrightarrow &{M}_{i}\cap N & 
\twoheadrightarrow & ({M}_{i}\cap N)/ ({M}_{i-1}\cap N)\\
\downarrow & &\downarrow & & \downarrow \\
M_{i-1}&\hookrightarrow &M_{i} &\twoheadrightarrow &M_{i}/M_{i-1} \\
\downarrow & &\downarrow & &\downarrow \\
\bar{M}_{i-1}&\hookrightarrow
&\bar{M}_{i}& \twoheadrightarrow & \bar{M}_{i}/\bar{M}_{i-1}
\end{array}$$
anwenden. Gilt zus"atzlich 
$N \neq 0$, so kann nicht $M_{i} \cap N = M_{i-1}\cap N$
gelten f"ur alle $i$. Zu jeder Kompositionsreihe von $M$ 
haben wir  also eine echt k"urzere Kompositionsreihe 
von
$\bar{M}=M/N$ konstruiert und erkennen damit, 
da"s in der Tat aus $\lambda(M)<\infty$  und $N\neq 0$  folgt
$\lambda(M/N) < \lambda(M)$.
Man sieht so, da"s die L"ange einer beliebigen echt
absteigenden Kette von Untermoduln eines Moduls endlicher
Kompositionsl"ange $M$ nach oben beschr"ankt ist durch
eben diese Kompositionsl"ange $\lambda(M)$ und folgert sofort 
$\op{l}(M)\leq \lambda(M)$.
Im Fall $ \lambda(M)=\infty$ ist das  eh klar und 
so ergibt sich schlie"slich f"ur jeden Modul $M$ die Gleichheit
$$\op{l}(M)= \lambda(M)$$
Da"s je zwei Kompositionsreihen dieselbe L"ange
haben, folgt sofort. 
Ist weiter 
$N\subset M$ ein einfacher Untermodul, 
so gibt es oben genau einen Index $j$ mit $$M_{j} \cap
N=N \text{ aber }M_{j-1} \cap N =0$$
F"ur diesen Index haben wir $M_{j}/M_{j-1} \cong N$ und
$\bar{M}_{j}/\bar{M}_{j-1} =0$, wohingegen f"ur die
anderen Indizes $i \neq j$ gilt $M_{i}/M_{i-1} \cong
\bar{M}_{i}/\bar{M}_{i-1}$.
Nun folgt der Rest des Satzes mit Induktion. Ist genauer
$M=N_r\supset\ldots\supset N_1=N$ eine weitere Kompositionsreihe,
so d"urfen wir induktiv annehmen, da"s die 
Kompositionsfaktoren $N_k/N_{k-1}$ f"ur $k\geq 2$ von $\bar M=M/N$ 
bis auf Reihenfolge und Isomorphismus mit den 
$\bar M_{i}/\bar M_{i-1}$ f"ur $i\neq j$ "ubereinstimmen. 
\end{proof}




\begin{Korollar}[\textbf{L"angenformel}]
  Gegeben $M\supset N$ ein Modul mit einem Untermodul gilt in $\DN\amalg
  \{\infty\}$ die Gleichheit $\op{l}(M) = \op{l}(M/N) + \op{l}(N)$.\label{NLKL}
\end{Korollar}
\begin{proof}
F"ur jeden Untermodul $N\subset M$ sind die Ungleichungen
  $$
\begin{array}{ccc}
\op{l}(M)&\geq& \op{l}(M/N)+\op{l}(N)\\[2mm]
\lambda(M)&\leq& \lambda(M/N)+\lambda(N)
\end{array}
$$  
offensichtlich. Da nach dem Satz \ref{NJHM} von
Jordan-H"older die L"ange und die
Kompositionsl"ange "ubereinstimmen, folgt die Behauptung.
\end{proof}



\begin{Korollar}\label{AEK}
Sei $R$ ein Ring, der einen K"orper $k$ als
Teilring hat.
Ist $R$ endlichdimensional als Linksmodul "uber $k$,
so gibt es
bis auf Isomorphismus h"ochstens $\dim_{k} R$ einfache $R$-Moduln.
\end{Korollar}
\begin{proof}[Beweis]
Nat"urlich ist $R$ von endlicher
L"ange als $R$-Modul und es gilt sogar
$\op{l}(R) \leq \dim_{k} R$. Jeder einfache $R$-Modul
ist aber ein Quotient von $R$ und taucht folglich in einer
und damit in jeder
Kompositionsreihe von $R$ als Subquotient auf.
\end{proof}
\begin{Bemerkunge}
  Eine  Variante 
zum hier gew"ahlten Zugang zum Satz von Jordan-H"older findet man etwa in
\cite{JaSe}: Man zeigt, wie dort ausgef"uhrt, 
ohne gro"se Schwierigkeiten, da"s je zwei endliche Filtrierungen
eines Moduls durch das Einf"ugen geeigneter weiterer Untermoduln so
verfeinert werden k"onnen, da"s die Subquotienten der beiden so enstehenden
Filtrierungen bis auf Reihenfolge isomorph sind.
\end{Bemerkunge}


\begin{Proposition}\label{QuE} 
  Jeder von Null verschiedene\label{eQu} 
  endlich erzeugte Modul hat einen einfachen Quotienten.\label{NQuE} 
\end{Proposition}
\begin{proof}
  Jedes endliche Erzeugendsystem
  k"onnen wir zu einem  minimalen  Erzeugendensystem verkleinern.
  Nach  dem Zorn'schen Lemma  gibt es dann  f"ur jeden
  Erzeuger einen Untermodul, der maximal ist mit der
  Eigenschaft, besagten Erzeuger nicht zu enthalten.
  So ein Untermodul aber  mu"s alle anderen Erzeuger enthalten und
  ist mithin maximal  unter allen echten
  Untermoduln.  
\end{proof}
\begin{Beispiel}
  Der $\DZ$-Modul $\DQ$ besitzt  
als $\DZ$-Modul weder
einfache Untermoduln noch einfache Quotienten. 
Als $\DQ$-Modul ist $\DQ$ dahingegen einfach.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel} Jeder Modul endlicher L"ange ist endlich erzeugt.
  Um ein endliches Erzeugendensystem anzugeben, k"onnen wir etwa
  eine Kompositionsreihe $M = M_{r}\supset M_{r-1} \supset \ldots\supset M_{0} =0$ w"ahlen und  Elemente $m_i\in M_i\backslash M_{i-1}$ und dann ist
  $\{m_1,\ldots, m_r\}$ offensichtlich ein Erzeugendensystem. Jeder einfache
  Modul ist zyklisch und jedes von Null verschiedene Element ist darin ein Erzeuger.
\end{Beispiel}
\begin{Definition}
  Ein Modul hei"st {\bf noethersch}\index{noethersch!Modul} nach der
  Mathematikerin Emmy Noether, wenn jeder Untermodul\label{Noea}
  endlich erzeugt ist.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
  Jede endlich erzeugte abelsche Gruppe alias jeder  endlich erzeugte
  $\emptyset$-Modul ist noethersch nach \eref{BNAB}{KAG}.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Charakterisierungen noetherscher Moduln}] 
 Ich erinnere zwei alternative Charakterisierungen
 noetherscher Moduln aus \eref{KNoe}{KAG}: 
 Ein Modul ist noethersch genau dann, wenn jedes
  nichtleere System von Untermoduln ein maximales Element hat, und auch  genau dann, wenn
  jede aufsteigende Folge von
  Untermoduln stagniert. Man sagt dann, unser
  Modul \glqq erf"ullt die aufsteigende Kettenbedingung\grqq.
\end{Bemerkungl}



\begin{Definition}
  Ein Modul hei"st {\bf artinsch}\index{artinsch!Modul} nach dem
  Mathematiker Emil Artin, wenn jede absteigende Folge von
  Untermoduln station"ar wird.\label{Ndear} Man sagt dann auch, unser
  Modul \glqq erf"ullt die absteigende Kettenbedingung\grqq.
\end{Definition}
\begin{Bemerkunge}
  Auf Englisch spricht man von der {\bf descending chain
    condition}\index{descending chain condition} oder kurz \defind{dcc} oder
  auch von {\bf artinian modules}.  Darin liegt eine gewisse 
Ironie der Geschichte. 
  Emil Artin war armenischen Ursprungs und seine Familie hatte ihren
  Familiennamen Artinian  zu Artin eingedeutscht.
\end{Bemerkunge}



\begin{Bemerkunge}
Man kann auch zeigen,
da"s ein Kring genau dann endliche L"ange hat,
wenn er ein
{\bf artinscher Kring}\index{artinsch!Kring} alias
 artinsch als Modul "uber sich selber ist.
Diese Erkenntnis
scheint mir im Gesamtgeb"aude der Theorie eher nebens"achlich
und ich selber werde  stets von
Kringen endlicher L"ange reden.
Ich gebe  dennoch einen Beweis, da die Terminologie eines artinschen Krings
oft verwendet wird. 
Problematisch ist nur der Nachweis, da"s jeder artinsche Kring bereits
von endlicher L"ange ist.
Wir zeigen dazu zun"achst, da"s
jedes Primideal eines artinschen Krings maximal ist. 
In der Tat ist der Restklassenring ein artinscher Integrit"atsbereich,
und solch ein Kring mu"s ein K"orper sein: W"are sonst $x$ eine
von Null verschiedene Nichteinheit, so m"uste es $n$ geben mit
$\langle x^n\rangle =\langle x^{n+1}\rangle$, also
$x^ny=x^{n+1}$ f"ur eine Einheit $y$, und dann folgte $x=y$ im Widerspruch
zu unserer Annahme, $x$ sein keine Einheit. 
Weiter kann ein   artinscher Kring nur endlich viele maximale Ideale haben,
da wir sonst aus Schnitten von  immer gr"o"seren
endlichen Familien maximaler Ideale
eine unendliche absteigende Folge von Idealen bilden k"onnten.
Nach \ref{SPI} ist der Schnitt unserer maximalen Ideale das Nilradikal
$\frak n$ unseres Krings. Wenn wir zeigen k"onnen, da"s 
es ein $n$ gibt mit $\frak n^n=0$, so sind wir fertig mit
derselben Argumentation wie oben. Sicher wird die Folge der 
 $\frak n^n$ stabil, sagen wir $\frak n^n=\frak n^{n+1}=\ldots =\frak a$.
Ist $\frak a\neq 0$, so folgt 
$\frak a^2=\frak a\neq 0$, und dann gibt es auch ein minimales Ideal 
$\frak b\subset\frak a$ mit
$\frak a\frak b\neq 0$. Offensichtlich ist jedes solche minimale $\frak b$
ein Hauptideal, also $\frak b=\langle x\rangle$ mit $x\neq 0$. 
Andererseits gilt f"ur jedes solche minimale $\frak b$ auch
$\frak a\frak b=\frak b$, zusammen also $\frak a x=\langle x\rangle$.
Dann gibt es aber $y\in \frak a$ mit $yx= x$ und 
damit $y^rx=x$ f"ur alle $r$. Da aber $y$ nilpotent ist, steht das im
Widerspruch zu $x\neq 0$.
\end{Bemerkunge}



\begin{Bemerkunge}\label{laln}
 Analoges gilt mit einem umfangreicheren Beweis sogar f"ur
beliebige, nicht notwendig kommutative Ringe: Jeder Ring, der 
als Linksmodul "uber sich selber artinsch ist, ist 
als Linksmodul "uber sich selber bereits von endlicher L"ange.
Solche Ringe hei"sen auch {\bf linksartinsch}.\index{linksartinsch!Ring} 
Einen Beweis findet man zum Beispiel in \cite{JaSe}. 
\end{Bemerkunge}

\subsubsection*{"Ubungen} 
\begin{Ubung}
 Ist ein Ring einfach als Linksmodul "uber sich selbst, so ist 
unser Ring ein Schiefk"orper.
\end{Ubung}


\begin{Ubung}\label{EnSu}
In jedem Ring l"a"st sich auch jedes echte Links- beziehungsweise Rechtsideal
vergr"o"sern zu einem maximalen echten Links- beziehungsweise Rechtsideal.
Genau dann ist ein Linksideal maximal, wenn der Quotient danach
ein einfacher Modul ist.
Jeder von Null verschiedene Modul "uber
einem Ring besitzt einen einfachen Subquotienten. Insbesondere 
besitzt jeder von Null verschiedene Ring mindestens einen 
einfachen Modul. Hinweis: \ref{EMI}.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}
  Ein Modul, der sowohl artinsch als auch noethersch ist, ist von endlicher
  L"ange. Hinweis: Man
  interessiere sich f"ur maximale Untermoduln endlicher L"ange.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
Der Quotient eines Moduls nach einem maximalen echten Untermodul
ist stets ein einfacher Modul.
\end{Ubung}


\begin{Ubung}\label{EMP}
Ist $k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper, so ist jeder
einfache $k[X]$-Modul eindimensional und isomorph zu
$k[X]/\langle X-\lambda\rangle$ f"ur genau ein $\lambda\in k$.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
Der Quotient eines Moduls nach einem maximalen echten Untermodul
ist stets ein einfacher Modul.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
  Gegeben ein algebraisch abgeschlossener K"orper $k$ 
und eine ringendliche $k$-Kringalgebra $A$  ist jeder
$A$-Modul von endlicher L"ange bereits endlichdimensional 
und seine L"ange f"allt mit seiner Dimension als $k$-Vektorraum
zusammen. 
\end{Ubung}


\begin{Ubung}
Der einzige einfache Modul "uber dem Endomorphismenring
eines endlichdimensionalen Vektorraums ist der besagte 
Vektorraum selber, bis auf Isomorphismus.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
  Man zeige: 
Ein $\DZ$-Modul $M$ ist von endlicher L"ange genau dann, wenn er endlich ist.
Seine L"ange ist dann die Zahl der Primfaktoren seiner Kardinalit"at $|M|$,
mit Vielfachheiten gerechnet.
\end{Ubung}
\begin{Ubunge}
Man zeige, da"s jeder Modul  endlicher L"ange artinsch ist. 
Ein Beispiel f"ur einen artinschen $\DZ$-Modul unendlicher L"ange
ist der Quotient $\DZ[2^{-1}]/\DZ$.
\end{Ubunge}







\begin{Ubung}
  Ein Modul hei"se {\bf lokal endlich},\index{lokal endlich!Mengenmodul}
  wenn jedes Element in einem Untermodul endlicher L"ange enthalten ist.
  Man zeige durch ein Beispiel, da"s gegeben eine kurze exakte Sequenz
  von Moduln $M'\hra M\sra M''$ mit $M'$ und $M''$ lokal endlich
  die Mitte $M$ keineswegs lokal endlich sein mu"s. Hinweis: $k[x_i]/\langle x_i^2\rangle$ f"ur eine unendliche Familie von Variablen. Im Fall von Moduln "uber einem noetherschen Ring gilt die Aussage aber doch\label{milo} und
  wird in der kommutativen Algebra bewiesen.
\end{Ubung}


\subsection{Halbeinfache Moduln}\label{HeM}

\begin{Definition}\label{MRHE}
Ein Modul hei"st \defnoind{halbeinfach},\index{halbeinfach!Modul}
 wenn er die Summe\index{Modul!halbeinfacher}
seiner einfachen Untermoduln ist.
\end{Definition}

  

\begin{Bemerkungl}
  Mit der Summe von Untergruppen eine abelschen Gruppe meinen wir in anderen
  Worten 
   die von ihrer Vereinigung erzeugte Untergruppe. 
  Wir fordern bei der Definition nicht, da"s unser Modul die
direkte Summe seiner einfachen Untermoduln sein soll. 
  Zum Beispiel ist  jeder Vektorraum "uber einem K"orper halbeinfach,
er ist ja die Summe seiner eindimensionalen Teilr"aume, aber im Fall 
einer Dimension  Zwei oder mehr keineswegs deren direkte Summe.
Der Nullmodul ist stets halbeinfach als die Summe "uber die leere
Familie seiner einfachen Untermoduln.
\end{Bemerkungl}




\begin{Bemerkungl}
Zwei Untermoduln $U,D\subset M$ eines Moduls hei"sen
\defind{komplement"ar} und wir schreiben $M=U\oplus D$,
wenn die Addition
einen Isomorphismus $U\oplus D\sira M$ liefert.
Hinreichend und notwendig ist daf"ur, da"s  gilt
$U\cap D=0$ und $U+D=M$. 
Wir sagen in dem Fall auch, $M$ sei die \defind{direkte Summe} 
von $U$ und $D$ und $D$ sei ein \defind{Komplement} von $U$ in $M$. 
Analoge Begriffsbildungen benutzen wir auch f"ur beliebige
Familien von Untermoduln eines Moduls.
\end{Bemerkungl}

\begin{Proposition}[\textbf{Charakterisierung halbeinfacher Moduln}]
Gegeben eine Menge  $\Omega$ und ein $\Omega$-Modul $M$\label{HEE} sind gleichbedeutend:
\begin{enumerate}
\item
$M$ ist halbeinfach alias die Summe
seiner einfachen
Untermoduln;
\item
$M$ ist eine  direkte Summe von einfachen
Untermoduln;
\item
Jeder Untermodul  von $M$ besitzt ein 
Komplement in $M$. 
\end{enumerate}
\end{Proposition}

\begin{proof}[Beweis]
2$\RA $1: Das ist klar. 
\\[2mm]\noindent
1$\RA $3: 
Sei $M = \sum_{i \in I} M_{i}$ das Erzeugnis
einer Familie von einfachen
Untermoduln $M_{i} \subset M$ und sei $U\subset M$ der
Untermodul, f"ur den wir ein Komplement suchen. Gegeben $J \subset I$ setzen
wir $$M_{J} \pdef\sum_{i\in J} M_{i}$$  Ist $I$ endlich, so finden wir nat"urlich
unter allen Teilmengen $J \subset I$ mit
$M_{J} \cap U= 0$ eine bez"uglich Inklusion maximale Teilmenge.
Ist $I$
unendlich, so folgt die Existenz eines solchen maximalen $J$ mit dem
Zorn'schen Lemma.
In jedem Fall behaupten wir f"ur solch
ein maximales $J$, da"s gilt $M_{J}\oplus
U=M$. 
In der Tat,
aus $M_{J} +U \neq M$ folgt, da"s es ein $i \in I$ gibt mit $M_{i}
\not\subset
(M_{J} + U)$, also $M_{i} \cap (M_{J} +U)=0$ da $M_{i}$ einfach ist.
Dann folgt aber $(M_{i} + M_{J}) \cap U=0$ und $J$ war nicht maximal.
\\[2mm]\noindent
3$\RA $2: Wir bemerken zun"achst, da"s sich
die Eigenschaft 3 auf Untermoduln vererbt: Sind n"amlich
$U\subset N\subset M$ Untermoduln und ist $V$ ein Komplement von $U$ in $M$,
so ist notwendig $V\cap N$ ein Komplement von $U$ in $N$. 
Jetzt finden wir
mithilfe des Zorn'schen Lemmas eine maximale Menge von
einfachen Untermoduln derart, da"s ihre Summe in $M$ direkt ist.
W"are diese Summe $S$ nicht ganz $M$, so f"anden wir ein von
Null verschiedenes Komplement $D$ von $S$ in $M$. 
In diesem Komplement $D$ g"abe es einen von Null verschiedenen
zyklischen Untermodul $Z\subset D$, 
und der h"atte nach "Ubung \ref{NQuE} seinerseits einen 
einfachen Quotienten $Z\sra Q$. 
Nun hat diese Surjektion einen Kern $K\subset Z$
und dieser Kern hat ein Komplement $E\subset Z$ und wegen
$E\cong Q$ ist $E$ einfach.
Das aber steht
im Widerspruch
zur Maximalit"at von $S$. 
\end{proof}
\begin{Bemerkunge}
Beim Nachweis der Implikation 1$\RA $3 im vorhergehenden Beweis 
h"atten wir auch gleich mit der Familie aller einfachen
Untermoduln arbeiten k"onnen.  Ich hoffe jedoch, da"s man
anhand des oben gegebenen Arguments  besser nachvollziehen kann,
in welchen F"allen das Zorn'sche Lemma ben"otigt wird.
\end{Bemerkunge}




\begin{Korollar}
Jeder Quotient und jeder Untermodul eines halbeinfachen Moduls
ist halbeinfach.\label{QHUU} 
\end{Korollar}
\begin{proof}[Beweis]
Nat"urlich ist jeder Quotient eine Summe einfacher
Untermoduln
und ist damit halbeinfach nach \ref{HEE}. 
Weiter besitzt 
nach \ref{HEE} jeder Untermodul ein Komplement
und ist  damit auch isomorph zu einem Quotienten unseres Moduls, 
n"amlich zu dem Quotienten
nach besagtem Komplement. Alternativ kann man sich daran erinnern, da"s
wir beim Beweis von 3$\RA$1 in \ref{HEE} bereits gezeigt hatten, da"s
sich die Eigenschaft 3 auf Untermoduln vererbt.
\end{proof}

\begin{Definition}\label{ITY}
Seien $\Omega$  eine Menge und $M$ ein  $\Omega$-Modul. Gegeben
ein einfacher $\Omega$-Modul $E$  nennen wir die Summe
aller zu $E$ isomorphen Untermoduln von $M$ den 
\defnoind{$E$-isotypischen 
Anteil}\index{isotypisch!Anteil}
{\bf von $M$} und notieren diesen Untermodul  $$M_{E} \subset M$$ 
\end{Definition}

\begin{Beispiel}[\textbf{Eigenraum als isotypischer Anteil}]
  Gegeben ein K"orper $k$ und eine einelementige Menge
  $\{*\}$ ist jeder $k$-Vektorraum $V$ mit einem Endomorphismus $f:V\ra V$
  ein Modul "uber der Menge $\Omega\pdef \{*\}\sqcup k$. Betrachten wir
  f"ur $\lambda\in k$ den einfachen $\Omega$-Modul $k_\lambda$ gegeben durch
  $(\lambda\cdot):k\ra k$, so ist der zugeh"orige isotypische Anteil von $V$
  der $\lambda$-Eigenraum, in Formeln
  $$V_{k_\lambda}=\op{Eig}(f|V;\lambda)$$
\end{Beispiel}
  


\begin{Satz}[\textbf{Zerlegung in isotypische Anteile}]
Gegeben eine Menge $\Omega$ und ein\label{ITy}  $\Omega$-Modul  $M$   liefert die Einbettung der isotypischen Anteile
eine Einbettung ihrer direkten Summe
$$\bigoplus_{E \in \op{irr}(\Omega)} M_{E}\hra M$$
mit der Notation $\op{irr}(\Omega)$ f"ur die Menge der Isomorphieklassen
einfacher $\Omega$-Moduln.
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
  Das Bild dieser Einbettung ist 
offensichtlich der gr"o"ste halbeinfache Untermodul von $M$.
  Er hei"st 
 der {\bf Sockel\index{Sockel}} $\op{soc}M$\index{soc@$\op{soc}$
    Sockel} von $M$.  Insbesondere zerf"allt jeder halbeinfache Modul in die
  direkte Summe seiner isotypischen Anteile, die in diesem Fall auch seine
{\bf isotypischen Komponenten} hei"sen.\index{isotypische Komponente}
\end{Bemerkungl}

\begin{proof}[Beweis]
Da"s das Bild unserer Abbildung der gr"o"ste halbeinfache 
Untermodul ist, scheint mir klar.
Es mu"s also nur noch gezeigt werden, da"s die Summe 
der isotypischen Komponenten direkt ist. Nach \eref{Kds}{KAG} reicht es
also zu zeigen, 
da"s  f"ur alle $E$
gilt $$M_E\cap \sum_{F\neq E}M_F=0$$
Dazu hinwiederum brauchen wir nur zu 
zeigen, da"s  jeder 
einfache Untermodul einer Summe von einfachen Untermoduln
zu einem der
Summanden isomorph ist. Da aber besagte 
Summe halbeinfach ist, ist unser einfacher
Untermodul auch ein Quotient dieser 
Summe und damit notwendig auch ein
Quotient eines Summanden und folglich isomorph zu diesem Summanden.
\end{proof}


\subsection{Externes Tensorieren} 

\begin{Lemma}[\textbf{Kompaktheit endlich erzeugter Moduln}]
  Gegeben eine Menge $\Omega$ und ein endlich erzeugter $\Omega$-Modul
  $M$ ist der Funktor $$\op{Hom}_\Omega(M,\;): \op{Mod}_\Omega \ra \op{Ab}$$
  vertr"aglich mit beliebigen Koprodukten.\label{KeeM} 
\end{Lemma}
\begin{Bemerkungw} Allgemein hei"st ein Objekt einer
   additiven Kategorie  kompakt,
   wenn der zugeh"orige kovariante Hom-Funktor  mit beliebigen
   Koprodukten vertauscht, daher die Bezeichnung f"ur unser Lemma.
\end{Bemerkungw}
\begin{proof}
  Auch ohne irgendwelche Annahmen an $M$ ist klar, da"s unser Funktor
  vertr"aglich ist mit beliebigen Produkten. Die Morphismen eines endlich
  erzeugten Moduls in eine direkte Summe m"ussen aber bereits in einer
  Teilsumme von endlich vielen Summanden landen. Die Behauptung folgt. 
\end{proof}


\begin{Proposition}[\textbf{Beschreibung der isotypischen Komponenten}] 
   Gegeben eine Menge $\Omega$ und\label{Isoko}  ein einfacher $\Omega$-Modul $E$
   mit Endomorphismenschiefk"orper $S\pdef {\op{End}}_\Omega E$
   liefert f"ur jeden weiteren   $\Omega$-Modul  $M$
das Einsetzen einen Isomorphismus von $\Omega$-Moduln 
$$\op{Hom}_\Omega(E,M)\otimes_{S} E\sira M_E$$
\end{Proposition}

\begin{proof}
  Offensichtlich liefert die Einbettung unserer isotypischen Komponente einen Isomorphismus
  $\op{Hom}_\Omega(E,M_E)\sira \op{Hom}_\Omega(E,M)$. Wir d"urfen also
  $M=M_E$ annehmen und dann auch, da"s $M=\bigoplus_{i\in I}E$ eine direkte Summe von Kopien von
  $E$ ist.  Da das Tensorprodukt mit direkten Summen vertauscht
  und  nach der Kompaktheit endlich erzeugter Moduln \ref{KeeM} auch
  $\op{Hom}_\Omega(E,\;)$, d"urfen wir sogar $M=E$ annehmen.
  In diesem Fall aber ist die
  Behauptung klar.
\end{proof}
\begin{Proposition}[\textbf{Halbeinfache Moduln als Modulkategorie}]  
  Gegeben eine Menge $\Omega$ und\label{Isokov}  ein
  einfacher $\Omega$-Modul $E$ mit Endomorphismenschiefk"orper $S\pdef {\op{End}}_\Omega E$ und ein Universum $\mathfrak U$ mit $E\in \mathfrak U$
  induziert das Darantensorieren
  eine "Aquivalenz von Kategorien  
    $$\otimes_S E: \mathfrak U\!\op{Mod-}S\sirra \Omega{\op{-}}\mathfrak U\!\op{Mod}_{(E)}$$
  zwischen der Kategorie der  $S$-Rechtsmoduln und
  der Kategorie der  $\Omega$-Moduln $M$ mit $M=M_E$, die jeweils eine
  Grundmenge aus $\mathfrak U$ haben.
\end{Proposition}
\begin{Bemerkungl}
  Statt mit Universen zu arbeiten, 
   kann man sich alternativ die Aussage dahingehend pr"azisiert denken,
  da"s mit dem im Beweis angegebenen adjungierten Funktor in die Gegenrichtung
  die Einheit und die Koeinheit der Adjunktion
  aus Isomorphismen bestehen. 
\end{Bemerkungl}
\begin{proof} Wir betrachten den rechtsadjungierten Funktor
  $\op{Hom}_\Omega(E,\;)$ und wissen aus \ref{Isoko}, da"s die
  Koeinheit der Adjunktion f"ur alle $M\in \Omega\op{-Mod}_{(E)}$
  ein Isomorphismus $\op{Hom}_\Omega(E,M)\otimes_S E\sira M$ ist.
  Ebenso ist f"ur jeden $S$-Rechtsmodul $N$ die
  Einheit der Adjunktion ein Isomorphismus
  $N\sira \op{Hom}_\Omega(E,N\otimes_SE)$, denn das gilt f"ur $N=S$ und
  beide Seiten sind vertr"aglich mit Koprodukten aufgrund der
  Kompaktheit endlich erzeugter Moduln \ref{KeeM}. Die Behauptung folgt. 
\end{proof}
\begin{Proposition*}[\textbf{Additives Erzeugnis als Kategorie freier Moduln}]  
  Gegeben eine Menge $\Omega$ und\label{Isokpp} ein
  endlich erzeugter $\Omega$-Modul  $E$ mit
  Endomorphismenring $S\pdef {\op{End}}_\Omega E$
  und ein Mengensystem $\mathfrak U$ induziert das Darantensorieren
  eine "Aquivalenz von Kategorien  
  $$\otimes_S E: \op{add}_{\mathfrak U}({\op{-}}S)\sirra
  \op{add}_{\mathfrak U}(E)$$
  zwischen der Kategorie aller freien $S$-Rechtsmoduln
  der Gestalt $S^{\oplus U}$ f"ur  $U\in \mathfrak U$  und
  der Kategorie aller  $\Omega$-Moduln $M$ der Gestalt  $E^{\oplus U}$ f"ur $U\in \mathfrak U$.
\end{Proposition*}
\begin{Bemerkungl} Besteht $\mathfrak U$ nur aus endlichen Mengen,
  so gilt die Proposition mit demselben Beweis sogar ohne die Annahme,
  $E$ sei endlich erzeugt. 
\end{Bemerkungl}
\begin{proof} Wir betrachten den rechtsadjungierten Funktor
  $\op{Hom}_\Omega(E,\;)$ und wissen nach der Kompaktheit endlich erzeugter Moduln
  \ref{KeeM}, da"s er mit beliebigen Koprodukten vertauscht.
  Um zu zeigen, da"s die 
  Koeinheit der Adjunktion f"ur $M=E^{\oplus U}$ stets
  ein Isomorphismus $\op{Hom}_\Omega(E,M)\otimes_S E\sira M$ ist,
  reicht es also, das f"ur $M=E$ zu zeigen, und in dem Fall ist es klar.
  Ebenso ist f"ur jeden $S$-Rechtsmodul der Gestalt  $N=S^{\oplus U}$ die
  Einheit der Adjunktion ein Isomorphismus
  $N\sira \op{Hom}_\Omega(E,N\otimes_SE)$, denn das gilt f"ur $N=S$ und
  beide Seiten sind vertr"aglich mit Koprodukten aufgrund der
  Kompaktheit endlich erzeugter Moduln \ref{KeeM}. Die Behauptung folgt. 
\end{proof}


 \begin{Bemerkungl}[\textbf{"Aquivalenzen mit Operationen}]
   Gegeben eine Menge $\Omega$ und  ein einfacher $\Omega$-Modul $E$ 
und $S\pdef {\op{End}}_\Omega E$ 
sein Endomorphismenschiefk"orper und ein Universum $\mathfrak U$ mit $E\in \mathfrak U$ und eine weitere Menge $\Theta$ 
liefert die "Aquivalenz aus \ref{Isokov} offensichtlich auch eine
    "Aquivalenz
    $$\otimes_{S} E: \Theta\op{-}(\mathfrak U\!\op{Mod-}S)\sirra \Theta\op{-}(\Omega\op{-}\mathfrak U\!\op{Mod}_{(E)})$$
zwischen den Kategorien der jeweiligen Objekte mit $\Theta$-Operation. 
   Ist zus"atzlich $\Theta$ ein Ring, so induziert sie ebenso auch 
    eine "Aquivalenz zwischen den jeweiligen Unterkategorien der
    Objekte, die sogar
    Ringmoduln sind in Bezug auf $\Theta$.
 \end{Bemerkungl}
 \begin{Proposition}[\textbf{Externe Tensorprodukte mit einfachen Moduln}]
   Gegeben eine Menge $\Omega$, ein Kring $k$, ein einfacher $\Omega$-$k$-Modul $E$ mit Endomorphismenschiefk"orper $S\pdef {\op{End}}_{\Omega,k} E$ und eine
   $k$-Ringalgebra $B$  und ein Universum $\mathfrak U$ mit $E\in \mathfrak U$
   liefert das Tensorprodukt eine "Aquivalenz 
$$\otimes_{S} E: \mathfrak U\!\op{Mod-}(S\otimes_kB)\sirra \Omega\op{-}\mathfrak U\!\op{Mod_{(E)}-}B$$
   zur Kategorie derjenigen  $\Omega$-$B$-Moduln, deren
   Restriktion zu $(\Omega,k)$ isomorph ist zu einer
   Summe von Kopien von $E$.\label{AlOK} 
 \end{Proposition}
 \begin{Bemerkungl}
   Gegeben ein $B$-Rechtsmodul $M$ ist insbesondere $E\otimes_kM$ einfach beziehungsweise halbeinfach als $\Omega$-$B$-Modul genau dann, wenn
   $S\otimes_kM$  einfach beziehungsweise halbeinfach ist als $S\otimes_kB$-Rechtsmodul. Der Fall $S=k$ war "Ubung \ref{itiA}. 
 \end{Bemerkungl}
   \begin{proof}
  Gegeben eine Menge $\Omega$ und ein Kring $k$ und ein einfacher $\Omega$-$k$-Modul $E$ 
und $S\pdef {\op{End}}_{\Omega,k} E$ 
sein Endomorphismenschiefk"orper mit dem offensichtlichen Ringhomomorphismus
$k\ra \op{Z}(S)$ 
ist die "Aquivalenz
    $$\otimes_{S} E: \op{Mod-}S\sirra \Omega\op{-Mod-}_{(E)}k$$
aus \ref{Isokov} offensichtlich vertr"aglich mit den nat"urlichen $k$-Modulstrukturen auf den Morphismenr"aumen. Ist zus"atzlich $A$  eine $k$-Ringalgebra,
so induziert unsere "Aquivalenz folglich eine "Aquivalenz zwischen den
Kategorien der $A$-Moduln auf beiden Seiten, deren  Objekte  wir erkl"aren als
Paare $(X,\varphi)$ aus einem Objekt $X$ der jeweiligen Kategorie mit
einem Homomorphismus $\varphi:A\ra \op{End}X$ von $k$-Ringalgebren. Wir
notieren diese "Aquivalenz
$$\otimes_{S} E: A\op{-}(\op{Mod-}S)\sirra A\op{-}(\Omega\op{-}k\op{-Mod}_{(E)})$$
Mit $B\pdef A^{\op{opp}}$  erhalten wir die "Aquivalenz aus der
Proposition. 
   \end{proof}
 
   \begin{Korollar}[\textbf{Skalarerweiterung bei einfachen Mengenmoduln}]
     Gegeben eine K"orpererweiterung $K/k$ und eine Menge $\Omega$ und ein
     einfacher $(\Omega,k)$-Modul $E$ mit Endomorphismenring $k$ ist
     $K\otimes_kE$  ein
     einfacher $(\Omega,K)$-Modul mit Endomorphismenring $K$.
   \end{Korollar}
  
   \begin{Bemerkungl}[\textbf{Tensorprodukte von K"orpern und  Schiefk"orpern}]
     Die Resultate dieses Abschnitts
     liefern besonders interessante Aussagen, wenn man mehr "uber
     Tensorprodukte von K"orpern und  Schiefk"orpern wei"s.
     Ich zitiere hierzu insbesondere \eref{TPES}{AL}, da"s und
     wie gegeben $T/k$ eine K"orpererweiterung und $S/k$ eine
     endliche separable K"orpererweiterung das Tensorprodukt
     $T\otimes_k S$ ein Produkt von endlich vielen endlichen separablen
     K"orpererweiterungen von $T$ ist. Weiter wird in \ref{suEK}
     unter anderem gezeigt, da"s in Charakteristik Null
     das Tensorprodukt "uber einem K"orper $k$ zweier Schiefk"orper, die endlichdimensionale
     $k$-Ringalgebren sind, zumindest eine halbeinfache $k$-Ringalgebra
     ist, also ein endliches Produkt von Matrixringen "uber Schiefk"orpern.
   \end{Bemerkungl}
   
\begin{Satz}[\textbf{Externes Tensorieren einfacher Moduln}] Gegeben
  ein K"orper $k$ und Mengen $\Omega,\Theta$ und\label{Isokod}
  einfache Moduln $E,F$ "uber $(\Omega,k)$ beziehungsweise
  $(\Theta,k)$ mit Endomorphismenschiefk"orpern $S,T$
  und ein Universum $\mathfrak U$ mit $E,F\in \mathfrak U$
  liefert das Tensorieren eine
  "Aquivalenz von Kategorien
  $$\otimes_{(T\otimes_k S)}(F\otimes_kE):\mathfrak U\!\op{Mod-}(T\otimes_kS)\;\sirra\; 
 \mathfrak U\!\op{Mod-} (\Theta,\Omega,k)_{(F,E)}$$
  zur Kategorie aller $k$-Vektorr"aume mit kommutierenden Operationen
  von $\Theta$ und $\Omega$ derart, da"s die Restriktion zu  $(k,\Omega)$  beziehungsweise $(k,\Theta)$ isomorph ist zu einer  Summe von Kopien von $E$
  beziehungsweise $F$.
\end{Satz}





\begin{proof}
  Wir arbeiten mit dem Diagramm
  \begin{displaymath}
  \xymatrix{&\mathfrak U\!\op{Mod-}(T\otimes_kS)\ar[dr]^\approx\ar[dl]_\approx&\\
\mathfrak U\!\op{Mod-}(\Theta,S)_{(F)}\ar[dr]^\approx\ar@{=>}^\sim[rr]&&\mathfrak U\!\op{Mod-}(T,\Omega)_{(E)}\ar[dl]_\approx\\
    &\mathfrak U\!\op{Mod-} (\Theta,k,\Omega)_{(F,E)}\ar@{^(->}[d]&\\
 &\mathfrak U\!\op{Mod-} (\Theta,k,\Omega)&}
\end{displaymath}
Hier meint $\mathfrak U\!\op{Mod-}(\Theta,S)_{(F)}$ die Kategorie derjenigen
$\Theta$-$S$-Rechtsmoduln, die als $\Theta$-$k$-Moduln isomorph sind zu einer
Summe von Kopien von $F$. Wir wissen bereits aus \ref{AlOK},
da"s $\otimes_TF$ eine "Aquivalenz von Kategorien induziert wie der Pfeil oben
 links andeutet. Ebenso liefert 
$\otimes_{S}E$ die "Aquivalenz oben rechts. 
 Da"s $\otimes_{S}E$ einen  volltreuen Funktor von  links nach ganz unten
 induziert, wissen wir bereits aus \ref{Isokov}. Analog induziert $\otimes_{T}F$ einen  volltreuen Funktor von  rechts nach ganz unten
und eine Isotransformation zwischen beiden 
verkn"upften Funktoren von ganz oben nach ganz unten ist auch schnell angegeben.
 Nun ist $T$ ein Schiefk"orper und
$\otimes_TF$ gefolgt vom Vergessen
der $\Theta$-Operation bildet offensichtlich $\mathfrak U\!\op{Mod-}(T,\Omega)_{(E)}$ nach
$\mathfrak U\!\op{Mod-}(k,\Omega)_{(E)}$ ab. Dasselbe gilt auf der anderen Seite und so
landen unsere unteren Funktoren in der
Tat in $\mathfrak U\!\op{Mod-} (\Theta,k,\Omega)_{(F,E)}$
wie behauptet.
Ausf"uhrlicher haben wir nach \ref{Isokov} eine
"Aquivalenz
$$\otimes_TF: \mathfrak U\!\op{Mod-}(T,\Omega)\sirra\mathfrak U\!\op{Mod-}(\Theta,k,\Omega)_{(F)}$$
und offensichtlich 
bildet $\otimes_TF$ ein Objekt genau dann nach
$\mathfrak U\!\op{Mod-}(\Theta,k,\Omega)_{(F,E)}$ ab, wenn es zu  $\mathfrak U\!\op{Mod-}(T,\Omega)_{(E)}$ geh"ort.
Folglich induziert unsere "Aquivalenz auch eine
"Aquivalenz
\begin{displaymath}\otimes_TF: \mathfrak U\!\op{Mod-}(T,\Omega)_{(E)}\sirra\mathfrak U\!\op{Mod-}(\Theta,k,\Omega)_{(F,E)}
\qedhere\end{displaymath}
\end{proof}
\begin{Korollar}[\textbf{Halbeinfachkeit externer Tensorprodukte}] Gegeben
 $k$  ein K"orper und $\Omega,\Theta$ Mengen  und\label{Isokoe}  $E,F$ jeweils ein einfacher $k$-Mengenmodul und $S,T$ deren Endomorphismenschiefk"orper gilt:
  \begin{enumerate}
  \item
    Genau dann
ist  $F\otimes_kE$  einfach,
wenn $S\otimes_kT$ ein Schiefk"orper ist;
\item
  Genau dann
  ist  $F\otimes_kE$  halbeinfach,
wenn $S\otimes_kT$ ein halbeinfacher $S\otimes_kT$-Rechtsmodul ist.
  \end{enumerate}
\end{Korollar}
\begin{Bemerkungl}
Das kann man auch bei Bourbaki \cite{BouSemi} nachlesen, der im wesentlichen denselben
  Beweis gibt, aber die Sprache der  Kategorientheorie vermeidet.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
  Wir erinnern unsere "Aquivalenz \ref{Isokod}. Nach diesem Satz
  ist  $F\otimes_kE$ genau dann einfach, wenn $S\otimes_kT$ ein einfacher $S\otimes_kT$-Rechtsmodul ist, und genau dann
 halbeinfach, wenn $S\otimes_kT$ ein halbeinfacher $S\otimes_kT$-Rechtsmodul ist. 
\end{proof}




  \begin{Lemma} Seien $k$ ein K"orper und $\Omega,\Theta$
    Mengen. Gegeben ein $(\Omega,k)$-Modul $M$ und ein
    endlichdimensionaler $(\Theta,k)$-Modul $N$ ist die offensichtliche
    Abbildung ein Isomorphismus\label{EndBT} 
    $$\op{End}_{\Omega,k}M\otimes_k \op{End}_{\Theta,k}N\sira
    \op{End}_{\Omega,\Theta,k}(M\boxtimes N)$$ 
  \end{Lemma}
  \begin{Bemerkungw} Der gleich folgende Satz \ref{EnAP} zeigt dieselbe
    Aussage unter schw"acheren Annahmen. Das Lemma bereitet nur den Beweis
    dieses Satzes vor. 
  \end{Bemerkungw}
  \begin{proof}
    Zun"achst liefert lineare Algebra einen Isomorphismus
    $$\op{End}_{\Omega,k}M\otimes_k \op{End}_{k}N\sira
    \op{End}_{\Omega,k}(M\boxtimes N)$$
    In der Tat liefert jede Wahl einer Basis von $N$ einen Isomorphismus
    von $M\otimes N$ mit einer direkten Summe von $\op{dim}_kN$ Kopien von $M$.
    Dann pr"uft man, da"s dieser Isomorphismus
    den gew"unschten Isomorphismus induziert.
    Es reicht ja sogar, da"s f"ur $\Theta$ bestehend
    aus nur einem Element $\theta$ 
    zu pr"ufen. 
  \end{proof}

  \begin{Satz}[\textbf{Endomorphismenringe externer Produkte}]
    Seien $k$ ein K"orper und $\Omega,\Theta$
    Mengen. Gegeben ein $(\Omega,k)$-Modul $M$ und ein
    endlich erzeugter $(\Theta,k)$-Modul $N$ mit
    $S\pdef \op{End}_{\Theta,k}N$ endlichdimensional "uber $k$
    ist die offensichtliche
    Abbildung ein Isomorphismus\label{EnAP} 
    $$\op{End}_{\Omega,k}M\otimes_k \op{End}_{\Theta,k}N\sira
    \op{End}_{\Omega,\Theta,k}(M\boxtimes N)$$
  \end{Satz}
  \begin{Bemerkungl}
    Es w"are nett, Gegenbeispiele zu haben f"ur F"alle, in denen
    die Bedingungen
    im Satz verletzt sind.
  \end{Bemerkungl}
  \begin{proof}
    Da wir  $N$ endlich erzeugt annehmen, liefert
    f"ur jedes Mengensystem $\mathfrak U$ der Funktor $\otimes_S N$ eine "Aquivalenz von Kategorien $\op{add}_{\mathfrak U}({\op{-}}S)\sirra
    \op{add}_{\mathfrak U}(N)$ nach
    \ref{Isokpp}. Das induziert eine "Aquivalenz zwischen den
    Kategorien $\Omega\op{-add}_{\mathfrak U}({\op{-}}S)\sirra
    \Omega\op{-add}_{\mathfrak U}(N)$ der Objekte der jeweiligen Kategorien
    mit $\Omega$-Operation. Unter diesem Funktor finden wir
    $M\boxtimes S\mapsto M\boxtimes N$
    und erhalten so den oberen  Isomorphismus eines kommutativen Diagramms 
    $$\xymatrix{\op{End}_{\Omega,{\op{-}}S, k}(M\boxtimes S)\ar[r]^\sim&
      \op{End}_{\Omega,\Theta,k}(M\boxtimes N)\\
     \op{End}_{\Omega, k}M\otimes \op{End}_{{\op{-}}S}(S)\ar[u]^\wr\ar[r]^\sim& \op{End}_{\Omega,k}M\otimes_k \op{End}_{\Theta,k}N\ar[u]}$$
    Hier ist  die linke Seite ein Isomorphismus nach \ref{EndBT} und
    die untere Horizontale ein Isomorphismus wegen
    $\op{End}_{\Theta,k}N=S\sira \op{End}_{{\op{-}}S}(S)$ und der Satz folgt. 
  \end{proof}

\subsubsection*{"Ubungen}
\nichtfinal{Noch durchgehen! Mengenmoduln von Ringmoduln separieren!} 
\begin{Ubung}
  Gegeben $m\geq 1$ ist $\DZ/m\DZ$ ein halbeinfacher $\emptyset$-Modul
  alias eine halbeinfache abelsche Gruppe genau dann,
wenn kein Primfaktor in $m$ mehrfach vorkommt.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
Ein $\DC[X]$-Ringmodul $M$ ist halbeinfach genau dann, wenn der durch
Multiplikation mit $X$  gegebene Endomorphismus des $\DC$-Vektor\-raums
$M$ diagonalisierbar ist, als da hei"st,\label{HEMP} 
wenn $M$ eine Basis aus Eigenvektoren besitzt. Dasselbe gilt 
im Fall von $k[X]$-Ringmoduln f"ur jeden algebraisch abgeschlossenen K"orper $k$. 
Hinweis: \eref{EMP}{KAG}.
Ist $k$ ein vollkommener K"orper und $\bar{k}$ ein
algebraischer Abschlu"s, so ist ein $k[X]$-Ringmodul halbeinfach genau dann, 
wenn der durch Erweiterung der Skalare entstehende $\bar{k}[X]$-Modul 
halbeinfach ist. Ist $k$ nicht vollkommen, so gilt das nicht mehr.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}\label{FIKK} 
Gegeben ein Homomorphismus  $\varphi:M\ra N$ von $\Omega$-Moduln 
und $E$ ein einfacher   $\Omega$-Modul
bildet $\varphi$ den entsprechenden isotypischen Anteil in den 
entsprechenden isotypischen Anteil ab, in Formeln $\varphi(M_E)\subset N_E$.
Ist $U\subset M$ ein Untermodul, so haben wir sogar $U_E=U\cap M_E$. 
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
Eine Sequenz $M^{\prime} \rightarrow M 
\rightarrow M^{\prime\prime}$ von
halbeinfachen Moduln ist exakt genau dann, 
wenn f"ur alle einfachen Moduln die induzierte
Sequenz
$M^{\prime}_{E} \ra M_{E} \ra M_{E}^{\prime\prime}$
exakt ist.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
  Man gebe eine halbeinfache abelsche Gruppe mit genau tausend 
Elementen an.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
  Man bestimme die isotypischen
Komponenten der abelschen Gruppe $\DZ/30\DZ$.  
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
Man erkl"are, inwiefern die Zerlegung 
eines halb\-einfachen Moduls in isotypische Komponenten
die Eigenraumzerlegung eines
Vektorraums unter einem 
diagonalisierbaren Endomorphismus verallgemeinert. Hinweis: \ref{HEMP}.
\end{Ubung}

\subsection{Mengenmoduln und K"orpererweiterungen}
\begin{Lemma}[\textbf{Skalarerweiterung und Homomorphismen}]
  Seien $\Omega$ eine Menge und $k$ ein K"orper und $K$ eine $k$-Ringalgebra. 
  Seien  $\Omega$-$k$-Moduln $M, N$ gegeben  mit  
  $\op{dim}_k\op{Hom}_{k,\Omega}(M,N)< \infty$. So ist die offensichtliche Abbildung ein Isomorphismus\label{hos}  
$$K\otimes_k\op{Hom}_{k,\Omega}(M,N)\sira\op{Hom}_{K,\Omega}(K\otimes_kM,K\otimes_kN)$$
\end{Lemma}
\begin{Bemerkungl}
  Unter einer der Annahmen $\op{dim}_kK<\infty$ oder 
  $\op{dim}_kM<\infty$ gilt das auch
  ohne unsere Zusatzannahme $\op{dim}_k\op{Hom}<\infty$, vergleiche \eref{EwSk}{LA2}. Ich habe die Aussage in der hier gegebenen 
  Allgemeinheit nicht in der
  Literatur gefunden. 
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
Die  Erweiterung der Skalare liefert einen
  Isomorphismus $$\op{Hom}_{k,\Omega}(M,K\otimes_kN)\sira \op{Hom}_{K,\Omega}(K\otimes_kM,   K\otimes_kN)$$
  Sei $(\alpha_i)_{i\in I}$ eine $k$-Basis von $K$.
 Bezeichne $\alpha^i:K\ra k$ die Koordinatenfunktionen unserer Basis und  $\tilde\alpha^i\in \op{Hom}_{\Omega,k}(K\otimes_kN,N)$
 die davon induzierten Homomorphismen.
 Gegeben $\psi\in \op{Hom}_{\Omega,k}( M, K\otimes_kN$ 
   gilt dann
  $$\tilde\alpha^i\circ \psi \in \op{Hom}_{k,\Omega}(M, N)$$
  Nun finden wir induktiv $v_1,\ldots,v_d\in M$
  mit $d\pdef \op{dim}_k\op{Hom}_{k,\Omega}(M, N)$ derart, da"s f"ur $\phi\in
  \op{Hom}_{k,\Omega}(M, N)$ aus $\phi(v_1)=\ldots=\phi(v_d)=0$ folgt $\phi=0$.
  Nun kann es aber f"ur jedes $j$  nur h"ochstens endlich viele $i$ geben mit
  $(\tilde\alpha^i\circ \psi)(v_j)\neq 0$. Also kann es "uberhaupt  nur h"ochstens endlich viele $i$ geben mit
  $\tilde\alpha^i\circ \psi\neq 0$ und dann ist $\psi$ das Bild
  von $\sum \alpha_i\otimes (\tilde\alpha^i\circ \psi)$ und unser Isomorphimus in spe ist schon mal surjektiv. Die Injektivit"at folgt aus \eref{TVIn}{LA2}.   
\end{proof}
\begin{Proposition}[\textbf{Skalarerweiterung und einfache Moduln}] 
  Seien $\Omega$ eine Menge und $K/k$ eine K"orpererweiterung
  und $M$ ein einfacher  $\Omega$-$k$-Modul, der au"ser den Skalaren keine weiteren Endomorphismen hat, in Formeln $$\op{End}_{k,\Omega}(M)= k\op{id}$$
  So ist auch
  $K\otimes_k M$ ein einfacher  $\Omega$-$K$-Modul mit $\op{End}_{K,\Omega}(K\otimes_k M)= K\op{id}$. 
\end{Proposition}
\begin{proof}
  Die letzte Aussage $\op{End}_{K,\Omega}(K\otimes_k M)= K\op{id}$ folgt sofort
  aus der Vertr"aglichkeit von Homomorphismen und Skalarerweiterungen \ref{hos}. Es gilt damit nur noch zu zeigen, da"s $K\otimes_k M$ einfach ist. Zun"achst einmal ist sicher $\op{res}_K^k(K\otimes_k M)$ ein halbeinfacher
  $\Omega$-$k$-Modul, ja eine direkte Summe von Kopien von $M$. Jede
  kurze exakte Sequenz 
  $U\hra K\otimes_kM\sra Q$
  induziert also eine kurze exakte Sequenz von $K$-Moduln 
  $$\op{Hom}_{k,\Omega}(M,U)\hra \op{Hom}_{k,\Omega}(M,K\otimes_kM)\sra \op{Hom}_{k,\Omega}(M,Q)$$  Nun ist die Mitte eindimensional "uber $K$ nach der bereits bewiesenen Teilaussage. 
  Folglich steht rechts oder links eine Null und es folgt $U=0$ oder $Q=0$. 
\end{proof}

\newpage
\section{Moduln "uber Ringen}

\subsection{Einfache Moduln "uber Ringen}





\begin{Definition}
  Ein {\bf Ring von endlicher L"ange}\index{Ring!von endlicher L"ange}
ist ein Ring, der sowohl als Linksmodul als auch als Rechtsmodul "uber
sich selber von endlicher L"ange ist. 
\end{Definition}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Zahl einfacher Ringmoduln}]
  Sei $R$ ein Ring.
  Die Menge der Isomorphieklassen von einfachen $R$-Moduln notieren wir
  $\op{irr}(R)$. F"ur jeden Ring  folgt aus dem Satz von
  Jordan-H"older in $\DN\sqcup\{\infty\}$ die Absch"atzung 
  $$|\op{irr}(R)|\leq \op{l}_R(R)$$
  In der Tat ist jeder einfache $R$-Modul ein Quotient von $R$ und
  tritt folglich in einer und jeder Kompositionsreihe von $R$
   als Subquotient auf.
\end{Bemerkungl}


\begin{Korollar}[\textbf{Zahl einfacher Ringmoduln und Dimension}]
Sei $R$ ein Ring, der einen K"orper $k$ als
Teilring hat.\label{NAEK}
Ist $R$ endlichdimensional als Linksmodul "uber $k$,
so gibt es
bis auf Isomorphismus h"ochstens $\dim_{k} R$ einfache $R$-Moduln, in Formeln
gilt also
$$|\op{irr}(R)|\leq {\op{dim}}_kR$$
\end{Korollar}
\begin{proof}[Beweis]
Offensichtlich gilt $|\op{irr}(R)|\leq \op{l}_R(R)$ und $\op{l}_R(R)\leq {\op{dim}}_kR$.
\end{proof}

\begin{Bemerkunge}\label{Nlaln}
 Jeder Ring, der 
als Linksmodul "uber sich selber artinsch ist, ist 
als Linksmodul "uber sich selber bereits von endlicher L"ange.
Solche Ringe hei"sen auch {\bf linksartinsch}.\index{linksartinsch!Ring} 
Einen Beweis findet man zum Beispiel in \cite{JaSe}. 
\end{Bemerkunge}

\subsubsection*{"Ubungen} 
\begin{Ubung}
 Ist ein Ring einfach als Linksmodul "uber sich selbst, so ist 
unser Ring ein Schiefk"orper.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{NEnSu}
In jedem Ring l"a"st sich auch jedes echte Linksideal
vergr"o"sern zu einem maximalen echten Linksideal.
Genau dann ist ein Linksideal maximal, wenn der Quotient danach
ein einfacher Modul ist.
Jeder von Null verschiedene Modul "uber
einem Ring besitzt einen einfachen Subquotienten. Insbesondere 
besitzt jeder von Null verschiedene Ring mindestens einen 
einfachen Modul. Hinweis: \eref{EMI}{KAG}.
\end{Ubung}



\begin{Ubung}\label{NEMP}
Ist $k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper, so ist jeder
einfache $k[X]$-Modul eindimensional und isomorph zu
$k[X]/\langle X-\lambda\rangle$ f"ur genau ein $\lambda\in k$.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}
Der einzige einfache Modul "uber dem Endomorphismenring
eines endlichdimensionalen Vektorraums ist der besagte 
Vektorraum selber, bis auf Isomorphismus. Dasselbe gilt f"ur\label{modEn}  endlichdimensionale Vektorr"aume "uber Schiefk"orpern. Hinweis: Jordan-H"older.
Von einem h"oheren Standpunkt mag man das auch als
Konsequenz der Morita-"Aquivalenz \eref{MorBs}{NAS} verstehen.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}[\textbf{Isotypische Komponenten als Ideale}]
  Ist $R$ ein Ring und $E$ ein einfacher $R$-Modul,
so ist die\label{ISKI}  
$E$-iso\-ty\-pi\-sche Komponente  $R_E$ des $R$-Mo\-duls
$R$ ein beidseitiges Ideal von $R$. Ist  $F$ ein weiterer einfacher
$R$-Modul mit $E\not\cong F$, so gilt 
f"ur das Produkt der isotypischen Komponenten
insbesondere $R_E R_F=0$.  
\end{Ubung}

\begin{Ubunge}[\textbf{Tensorprodukte einfacher Moduln}] 
Gegeben Ring\-al\-ge\-bren  $A,B$ "uber einem K"orper $k$ und  ein einfacher $A$-Modul  $E$ mit Endomorphismenring $\op{End}_AE=k\op{id}_E$
  liefert die Vorschrift $F\mapsto E\otimes_kF$ eine Bijektion
  $$\op{irr}(B)\sira\{M\in \op{irr}(A\otimes_kB)\mid \op{Hom}_A(E,M)\neq 0\}$$
  In der Tat liefert der Funktor $F\mapsto E\otimes_kF$ sogar eine "Aquivalenz von Kategorien
  $$\op{Mod}_B\sirra \{M\in \op{Mod}_{A\otimes_kB}\mid M=M_E\}$$
  zwischen der Kategorie aller $B$-Moduln und  der Kategorie
  aller der $(A\otimes_kB)$-Moduln,\label{itiA} 
  die als $A$-Moduln mit ihrer $E$-isotypischen Komponente zusammenfallen.
  Um das einzusehen, erinnere man die kanonische Beschreibung isotypischer Komponenten \ref{Isoko} und  pr"ufe, da"s  die
  Vorschrift $M\mapsto \op{Hom}_A(E,M)$ einen quasiinversen Funktor liefert.
  Das ist im wesentlichen der Fall $S=k$ von \ref{AlOK}.
\end{Ubunge}
\begin{Bemerkunge}[\textbf{Einfache Moduln "uber Tensorproduktalgebren}]
   Im allgemeinen wird es selbst im Fall eines algebraisch
  abgeschlossenen Grundk"orpers  $k=\bar k$
  f"ur $k$-Ringalgebren $A,B$ auch einfache
  Moduln "uber $A\otimes_k B$ geben, die
  weder als $A$-Moduln noch als $B$-Moduln einfache Untermoduln besitzen
  und die mithin nicht von der Gestalt $E\otimes_kF$ sind. Das einfachste
  Beispiel, das mir einf"allt,\label{ggBl} 
  arbeitet mit den Ringen von algebraischen
  Differentialoperatoren $A=B=\DC\lfloor X,\partial\rfloor=A_1$,
  wie sie in \eref{Weya}{DM} folgende besprochen werden.
  F"ur die diagonale Einbettung $i:\Delta\hra \DC^2$ liefert dann
  $i_+\mathcal O(\Delta)$ nach dem Einbettungssatz
  von Kashiwara \eref{KaEE}{DM} einen einfachen Modul "uber $A_2\cong A_1\otimes_\DC A_1$, von dem man unschwer einsieht, da"s er kein Tensorprodukt einfacher $A_1$-Moduln sein kann.
\end{Bemerkunge}


\subsection{Endomorphismen gewisser einfacher Moduln}
\begin{Definition} Gegeben eine Menge $\Omega$ und ein Ring $k$
  verstehen wir unter einem  {\bf $(\Omega,k)$-Modul} einen $k$-Ringmodul $M$
  mit einer Operation von $\Omega$ durch $k$-Endomorphismen von $M$.
\end{Definition}


\begin{Satz}
  Gegeben ein algebraisch abgeschlossener
  K"orper\index{Schur, Lemma von|main} $k=\bar k$
  eine Menge $\Omega$ und 
  und ein einfacher $(\Omega,k)$-Modul $E$\label{SLII} 
  endlicher $k$-Dimension ${\op{dim}}_k E<\infty$  liefert
  die offensichtliche Einbettung $\lambda\mapsto \lambda\op{id}_E$ einen
  Isomorphismus\label{SchuL}  
$$k\sira {\op{End}}_{(\Omega,k)}E$$
\end{Satz}
\begin{proof}[Beweis]
Nach Annahme gilt  $E\neq 0$.
Jedes $\varphi\in \op{Mod}_{(\Omega,k)}E$ besitzt also einen Eigenwert, sagen wir
$\lambda$, und der zugeh"orige Eigenraum ist offensichtlich ein von Null
verschiedener $(\Omega,k)$-Untermodul  $\op{Eig}(\varphi;\lambda)=\op{ker}(\varphi-\lambda\op{id})$.
Wenn $E$ einfach ist,
 mu"s er schon ganz $E$ sein und wir folgern
$\varphi=\lambda\op{id}_E$. 
\end{proof}

\begin{Beispiel} 
Ist $k\subset L$ ein K"orpererweiterung, so wird $E\pdef L$ ein 
einfacher Modul "uber $( L,k)$-Modul.
In diesem Fall haben wir offensichtlich
${\op{End}}_{( L,k)}E=L\op{id}_E$. Im allgemeinen kann nat"urlich $k\neq L$ gelten, aber eben nur dann, wenn
entweder gilt ${\op{dim}}_kL=\infty$ oder  wenn $k$ nicht algebraisch
 abgeschlossen ist. 
\end{Beispiel}

 \begin{Korollar}[\defnoind{Schur'sches Lemma}]
 Gegeben eine endlichdimensionale einfache Darstellung 
eines Monoids\label{irrA} $G$ 
"uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper $k$ sind die Skalare ihre
einzigen Endomorphismen.
  \end{Korollar}
 \begin{proof}
   Eine einfache Darstellung ist insbesondere ein einfacher $(G,k)$-Modul.
   Die Behauptung folgt so aus \ref{SchuL}.
 \end{proof}

  \begin{Korollar}
    Jede endlichdimensionale einfache Darstellung 
eines kommutativen Monoids\label{irrA} 
    "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper ist eindimensional.
  \end{Korollar}
  \begin{proof}
    Jedes Element unseres Monoids operiert in diesem Fall durch einen
    Endomorphismus unserer Darstellung, also nach dem Lemma von
Schur durch ein Vielfaches der Identit"at. Dann aber ist jeder Untervektorraum
bereits eine Unterdarstellung und unsere Darstellung kann nur einfach
sein, wenn sie eindimensional ist. 
  \end{proof}


\begin{Bemerkungl}
Die nun folgende Variante von \ref{SLII} ist f"ur die 
Darstellungstheorie endlicher Gruppen ohne Bedeutung. 
Ihr Beweis ben"otigt st"arkere Resultate der Mengenlehre.
\end{Bemerkungl}
\begin{Satz*}  Gegeben eine Ringalgebra $R$ "uber einem algebraisch abgeschlossenen
  K"orper\index{Schur, Lemma von|main} $k=\bar k$  
  und ein einfacher $R$-Modul $E$, dessen
Dimension  als $k$-Vektorraum
echt kleiner ist als die Kardinalit"at von $k$, liefert
  die offensichtliche Einbettung $\lambda\mapsto \lambda\op{id}_E$ einen
  Isomorphismus\label{VaSL} 
$$k\sira {\op{End}}_RE$$
 \end{Satz*}

\begin{Bemerkungl}
Insbesondere besitzt eine  einfache Darstellung eines Monoids
"uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper,
deren Dimension echt kleiner ist als die Kardinalit"at des K"orpers,
au"ser den Skalaren keine Endomorphismen. Wie zuvor folgt auch, da"s 
eine  einfache Darstellung eines kommutativen Monoids "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper,
deren Dimension echt kleiner ist als die Kardinalit"at des K"orpers,
eindimensional sein mu"s.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkunge}
  Der Hilbert'sche Nullstellensatz \eref{KFa}{KAG} oder auch
  \eref{MIi}{KAG} liefert die verwandte Aussage,  da"s 
   gegeben eine ringendliche Kringalgebra $R$ "uber einem algebraisch abgeschlossenen
  K"orper $k=\bar k$  jeder 
  einfache $R$-Modul eindimensional ist "uber $k$. 
\end{Bemerkunge}

\begin{proof}
Das Anwenden auf ein beliebiges von Null verschiedenes Element
unseres einfachen $R$-Moduls $E$ liefert
nat"urlich eine 
Injektion $({\op{End}}_R E)\hra E$.
Die Dimension des Endomorphismenrings von $E$ "uber $k$ ist folglich 
h"ochstens so gro"s wie die Dimension von $E$ "uber $k$.
 W"are unser Endomorphismenring echt gr"o"ser als $k$, so m"u"ste er den
Funktionenk"orper $k(X)$ umfassen, in dem die Familie der 
$\left((X-\lambda)^{-1}\right)_{\lambda\in k}$ 
etwa nach \eref{PBZ}{LA1} 
linear unabh"angig ist "uber $k$. Das steht jedoch 
 im Widerspruch zu unseren Voraussetzungen an
die Kardinalit"aten.
\end{proof}
%% \begin{Ubung}
%% Die Dimension einer einfachen Darstellung einer Gruppe 
%% "uber einem vorgegebenen Grundk"orper
%% ist h"ochstens so gro"s wie die Kardinalit"at der Gruppe.
%% \end{Ubung}
\subsubsection*{"Ubungen}

\begin{Ubunge}
  Jede 
einfache Darstellung einer  abelschen Gruppe "uber einem
algebraisch abgeschlossenen K"orper,
deren Dimension echt kleiner ist als 
die Kardinalit"at des K"orpers,
 ist eindimensional.
\end{Ubunge}

\begin{Ubung}
 Ist eine endlichdimensionale Ringalgebra "uber 
 einem algebraisch abgeschlossenen K"orper ein Schiefk"orper,
 so f"allt sie mit unserem algebraisch abgeschlossenen K"orper
zusammen.
\end{Ubung}





\subsection{Dichtesatz und Anwendungen}

\begin{Satz}[\textbf{Jacobson's Dichtesatz}]
Gegeben ein Ring  $R$\index{Dichtesatz!von Jacobson} und ein
halbeinfacher $R$-Modul $M$ ist das\index{Jacobson's Dichtesatz} 
Bild des offensichtlichen\label{JaDi} Ringhomomorphismus
$$R \rightarrow {\op{End}}_{({\op{End}}_{R}M)} M$$
dicht in folgendem Sinne:\index{Dichtesatz von Jacobson}
Gegeben $f\in {\op{End}}_{({\op{End}}_{R} M)} M$ und endlich viele Elemente
$m_{1},\ldots , m_{r} \in M$ existiert stets ein $x \in R$ mit $ xm_{i}=f(m_{i})
$ f"ur $1\leq i\leq r$.
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
Jeder Modul ist nach \eref{MER}{KAG} auch ein Modul "uber seinem
eigenen Endomorphismenring. 
  Ist unser Modul der Ring $R$ selber, so liefert nach \eref{ENRj}{KAG}
sogar ohne alle weitere
Voraussetzungen und f"ur jeden beliebigen Ring $R$
die Multiplikation einen Isomorphismus $R\sira {\op{End}}_{({\op{End}}_{R} R)} R$. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
Gegeben eine Menge $E$  mit Verkn"upfung alias ein Magma 
und eine Teilmenge 
 $T\subset E$ 
erkl"art man den {\bf Kommutator}\index{Kommutator!einer Teilmenge} 
{\bf von $T$  in $E$} 
durch die Formel
$T'\pdef\{x\in E\mid xt=tx\;\forall t\in T\}$. 
Der Kommutator $T'' $ des Kommutators $T'$ von $T$ hei"st
 der \defind{Bikommutator} {\bf von} $T$ und umfa"st $T$, in Formeln $$T\subset T''$$
Unser Satz sagt in dieser Terminologie, da"s 
gegeben ein halbeinfacher Modul $M$ "uber einem Ring $R$
das Bild $D\subset {\op{End}}_\DZ M$ 
von $R\ra{\op{End}}_\DZ M$ 
in der oben ausgef"uhrten Weise \glqq dicht\grqq\  liegt in
seinem Bikommutator $D''\subset {\op{End}}_\DZ M$. Im "ubrigen f"allt\label{MaDF} 
der \glqq Trikommutator\grqq\  stets mit dem Kommutator zusammen, in Formeln 
$$T^{\prime\prime\prime}=T'$$
In der Tat,
$T'' \supset T$ impliziert $T^{\prime\prime\prime}\subset T'$ 
und $T^{\prime\prime\prime}\supset T'$ 
folgt durch Anwenden der Regel $S'' \supset S$ auf $S\pdef T'$.
Man mag das auch als Spezialfall unserer allgemeinen Erkenntnisse 
\eref{IZDS}{KAG} im Zusammenhang mit Inzidenzstrukturen auffassen, 
angewandt auf die Inzidenzstruktur $K\subset E\times E$ 
aller kommutierenden Paare. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
Hier  ein Gegenbeispiel. Man betrachte den Ring 
$R\subset\op{Mat}(2;k)$ der
oberen Dreiecksmatrizen mit Eintr"agen in einem K"orper $k$ und seinen
Modul $M\pdef k^2$ der Spaltenvektoren.
Der Kommutator $D'\subset\op{End}_\DZ k^2$ von $D=R\subset\op{End}_\DZ k^2$ besteht nur aus Skalaren $D'=k\op{id}\subset\op{End}_\DZ k^2$ und
sein Bikommutator
ist folglich der 
ganze Matrixring $D''=\op{Mat}(2;k)\subset\op{End}_\DZ k^2$. Offensichtlich
liegt also $D$ nicht dicht in $D''$. Zum Gl"uck ist hier auch $M$ kein
halbeinfacher $R$-Modul. Dies Beispiel zeigt jedoch, da"s der Dichtesatz nicht ohne alle Voraussetzungen gilt. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Hier kommt ein weiteres Gegenbeispiel. Man betrachte den Ring der
dualen Zahlen $ D\pdef \DZ[\varepsilon]$  mit $\varepsilon^2=0$
und den injektiven Endomorphismus dieses Rings mit
$\varepsilon\mapsto n\varepsilon$ f"ur $n\geq 1$. Sein Bild ist ein Teilring $R\subset D$. Betrachten wir $M\pdef D$ als $R$-Modul, so
gilt der Dichtesatz nicht, wie der Leser zur "Ubung selbst pr"ufen mag.
\end{Bemerkungl}

\begin{proof}[Beweis]
Wir beginnen mit dem Fall $r=1$ und betrachten zu $m = m_{1}$ ein
Komplement $N$ des Untermoduls $Rm \subset M$, so da"s also gilt 
$$M = R m \oplus N$$
Da die Projektion $\pi : M \twoheadrightarrow Rm \hookrightarrow
M$ l"angs unserer Zerlegung in ${\op{End}}_{R} M$ liegt, und da gilt $ f\circ
\pi = \pi \circ f$ nach Annahme, folgt $f(m) \in Rm$. Es gibt also
in anderen Worten $x \in R$ mit $f(m) = x m$.
Den allgemeinen Fall f"uhren wir auf den Fall $r =1$ zur"uck,
indem wir das Element $(m_{1}, \ldots, m_{r}) \in M^{\oplus r}$
betrachten und die Abbildung
$f\times \ldots \times f$. Sie entspricht unter
dem Isomorphismus $${\op{End}}_{\DZ}(M^{\oplus r}) \sira \op{Mat} (r ;
{\op{End}}_{\DZ} M)$$ gegeben durch $\varphi\mapsto (\op{pr}_j\circ \varphi\circ\op{in}_i)_{ij}$ einer Diagonalmatrix $\op{diag}(f,\ldots,f)$ 
und kommutiert in der Tat mit allen
Elementen von ${\op{End}}_{R}(M^{\oplus r})$,  da diese unter
unserem Isomorphismus den Matrizen aus 
$ \op{Mat} (r ;
{\op{End}}_{R} M)$ entsprechen.
\end{proof}
\begin{Korollar}[\textbf{Satz von Burnside}]\index{Burnside}
Gegeben ein algebraisch abgeschlossener K"orper $k$ und  
$A\subset \op{Mat}(n ; k)$\label{WBu}   
eine $k$-Unterringalgebra derart, da"s $k^{n}$ einfach ist als
$A$-Modul, gilt bereits $A=\op{Mat}(n; k)$.
\end{Korollar}

\begin{Bemerkungl}
  Das Beispiel des Quaterionenschiefk"orpers $\mathbb H\cong \DC^2$
  mit seiner
  komplexen Vektorraumstruktur durch Multiplikation mit
  komplexen Skalaren von rechts und seiner offensichtlichen
  Struktur als Linksmodul "uber den Quaternionen $A=\mathbb H$ zeigt, da"s
  das Korollar nicht f"ur einen beliebigen Teilring gilt.
\end{Bemerkungl}

\begin{proof}[Beweis]
Zun"achst gilt ${\op{End}}_{A}k^{n} =k$, da alle
Eigenr"aume von
Elementen
$\varphi \in {\op{End}}_{A} k^{n}$ in Bezug auf $A$ Untermoduln sind und jeder Untermodul entweder Null ist oder ganz $k^n$. Dann folgt $A ={\op{End}}_{k}k^{n}$ aus dem Dichtesatz \ref{JaDi}.
\end{proof}



\begin{Bemerkungl}
Man mag den Satz von Burnside auch koordinatenfrei formulieren: 
Ist $k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper und  
$V$ ein endlichdimensionaler $k$-Vektorraum und 
$A\subset {\op{End}}_k V$  
eine $k$-Unterringalgebra derart, da"s $V$ einfach ist als
$A$-Modul, so gilt bereits $A={\op{End}}_k V$.
In dieser Sprache l"a"st sich die Notwendigkeit der 
Bedingung $k=\bar k$ besonders gut einsehen:
Sind $k\subset L$ K"orper und betrachten wir den Teilring
$L\subset {\op{End}}_kL$, so ist ja $L$ ein einfacher $L$-Modul, aber 
im Fall $k\neq L$ gilt $L\neq {\op{End}}_kL$.
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungw}
  Aus dem Satz von Burnside folgt insbesondere, da"s f"ur 
jede einfache
Darstellung $V$ eines endlichen Monoids $G$ "uber einem algebraisch 
abgeschlossenen K"orper $k$ gilt $({\op{dim}}_kV)^2\leq |G|$. St"arkere 
Aussagen in dieser Richtung werden wir in \ref{DEDa} kennenlernen. 
"Uber allgemeineren K"orpern gilt diese Absch"atzung  im 
allgemeinen nicht mehr, wie \ref{BsQ} zeigt. 
\end{Bemerkungw}

\begin{Proposition} Gegeben ein Schiefk"orper $D$ und $n\geq 1$
  besteht das Zentrum von $\op{Mat}(n;D)$ genau
  aus allen Diagonalmatrizen\label{zMsK} 
  $\op{diag}(z,\ldots, z)$ mit $z\in {\op{Z}}(D)$.
\end{Proposition}
\begin{proof} Man kann das durch explizite Rechnung pr"ufen. Alternativ liefert
  der Dichtesatz einen Isomorphismus $D^{\op{opp}}\sira \op{End}_{\op{Mat}(n;D)}D^n$
  durch $d^\circ\mapsto  (\cdot d)$ und so einen Homomorphismus
  $\varphi:{\op{Z}}(\op{Mat}(n;D)) \hra D^{\op{opp}}$ mit
  $z\circ\vec v= \vec v \cdot \varphi(z)$ f"ur alle $\vec v\in D^n$.
  Das zeigt unmittelbar die Behauptung.
\end{proof}


\subsection{Moduln "uber Tensorproduktalgebren}

  \begin{Bemerkungl}
    Gegeben Ringalgebren $A,B$ "uber einem Kring $k$ und
    Moduln $M$ "uber $A$ und $N$ "uber $B$ k"onnen wir  
    $M\otimes_kN$ zu einem Modul "uber der Ringalgebra $A\otimes_k B$  machen, indem wir setzen $(a\otimes b)(m\otimes n)=am\otimes bn$. Ich
    schlage f"ur diesen Modul die Notation\label{bpM} 
 $$M\boxtimes N=M\boxtimes_k N$$ vor und nenne ihn das {\bf "au"sere
      Produkt}\index{"au"seres Produkt!von Moduln}\index{Produkt!"au"seres!von Moduln}
    oder {\bf Boxprodukt}\index{Boxprodukt!von Moduln} von $M$ und $N$.
     \index{)xbox@$\boxtimes$ "au"seres Produkt!von Moduln}
  \end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkungl}
Gegeben eine Ringalgebra $A$ "uber einem  K"orper $k$ bezeichne 
$$\op{irrf}_k(A)$$ die Menge 
aller\index{irrf@$\op{irrf}_k(A)$ einfache endlichdimensionale
Moduln}
Isomorphieklassen einfacher und "uber $k$ endlichdimensionaler
$A$-Moduln.  Der Buchstabe $\op{f}$ steht hier f"ur
\glqq finite\grqq\  oder \glqq fini\grqq. Die f"ur einen 
deutschen Text naheliegende Notation $\op{irre}$
 h"atte zu merkw"urdig ausgesehen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Satz}[\textbf{Einfache Moduln "uber Tensorproduktalgebren}]
Gegeben Ringalgebren $A,B$ "uber einem algebraisch\label{EDPr} 
abgeschlossenen K"orper $k=\bar k$
induziert das Boxprodukt eine Bijektion
$$(\op{irrf}_k{A}) \times (\op{irrf}_k{B}) 
\sira \op{irrf}_k({A\otimes_k B})$$
\end{Satz}
\begin{Beispiel}
Ist $k$ nicht algebraisch abgeschlossen, so ist das im
allgemeinen falsch. Zum Beipiel ist $\DC$ ein einfacher
Modul "uber der  $\DR$-Ringalgebra $\DC$, aber
 $\DC\boxtimes_\DR\DC$ ist kein 
 einfacher
Modul "uber der  $\DR$-Ringalgebra $\DC\otimes_\DR\DC$. Zum Beispiel ist der
Kern der durch die
Multiplikation gegebenen Surjektion  $\DC\otimes_\DR\DC\sra \DC $
 ein von Null verschiedener echter Untermodul. 
\end{Beispiel}
\begin{Bemerkungl}
St"arkere und allgemeinere Aussagen m"ogen Sie bereits als "Ubung
\ref{itiA} gezeigt haben.
Noch  allgemeinere Aussagen werden in 
\ref{Isokod} und \ref{Isokoe} gezeigt.  
Ein Gegenbeispiel im Fall unendlicher Dimension
  wird in \ref{ggBl} gegeben. 
\end{Bemerkungl}

\begin{proof}[Beweis]
Gegeben $E\in A\op{-Mod}$ und  $F \in B\op{-Mod}$ einfach und 
endlichdimensional "uber $k$  ist auch
$E\boxtimes F \in (A\otimes B)\op{-Mod}$
einfach, 
da nach dem Satz von Burnside \ref{WBu} die Operationen Surjektionen 
$A\sra {\op{End}}_kE$ und $B\sra {\op{End}}_kF$ liefern und damit 
auch eine Surjektion  von $A\otimes B\sra{\op{End}}_k(E\otimes F)$.
Die im Satz angegebene Abbildung ist also sinnvoll definiert.
Ist $T$ ein "uber $k$ endlichdimensionaler 
 $A\otimes B$-Modul, so besitzt $T$ als
$A$-Modul einen einfachen Untermodul $E \subset T$.
Die offensichtliche Abbildung 
$E \boxtimes \op{Hom}_A(E,T) \ra T$ ist dann nach \ref{IHo}
ein injektiver $(A\otimes B)$-Homomorphismus 
f"ur die Operation durch Nachschalten von
$B$ auf dem $\op{Hom}$-Raum.
Ist $T$ einfach, so mu"s diese Abbildung auch 
surjektiv sein und der $\op{Hom}$-Raum mu"s
ein einfacher $B$-Modul $F$ sein.
Die im Satz angegebene Abbildung ist also surjektiv.
Den Nachweis ihrer Injektivit"at kann der Leser
ohne M"uhe aus dem Nachweis der Surjektivit"at 
extrahieren.
\end{proof}
\begin{Lemma}\label{IHo}
Gegeben $k$ ein K"orper und $A$ eine $k$-Ringalgebra und
  $M$ ein $A$-Modul und  $E$ ein einfacher $A$-Modul mit
 Endomorphismenring ${\op{End}}_{A} E =k\op{id}_E$
induziert das Auswerten eine Inklusion
$$E \otimes_{k} \op{Hom}_{A} (E,M) \hookrightarrow M$$
\end{Lemma}

\begin{proof}[Beweis]
Eventuell haben Sie bereits eine st"arkere
Aussage als "Ubung \ref{Isoko} gezeigt.
Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir annehmen, da"s
$M$ eine Summe und dann auch eine direkte Summe ist von zu $E$ isomorphen
Untermoduln ist, und in diesem Fall ist das Lemma explizit klar.
\end{proof}

\begin{Definition}
  Seien  $A,B$ Ringe und
  $M$ ein Modul "uber $A \otimes_\DZ B$.\label{duaP} 
Man nennt $(A,B)$ ein {\bf duales Paar\index{duales Paar} 
vermittels} $M$, wenn die offensichtlichen Abbildungen Surjektionen
$B\sra {\op{End}}_A M$ sowie $A\sra {\op{End}}_B M$ liefern.
\end{Definition}
\begin{Proposition*}[\textbf{Zerlegung unter dualen Paaren}]
Sind zwei
Ringalgebren $A,B$ "uber einem
algebraisch abgeschlossenen K"orper $k$  ein duales Paar vermittels eines "uber $k$ endlichdimensionalen
$(A\otimes_k B)$-Moduls $M$ und ist $M$  
halb\-einfach als $A$-Modul, so\label{ZduP}  
gibt es einfache  paarweise nicht isomorphe 
$A$-Moduln $E_{1}, \ldots , E_{r}$  sowie einfache  paarweise nicht isomorphe $B$-Moduln  $F_{1}, \ldots, F_{r}$  derart,
da"s $M$ unter $A \otimes_k B$ zerf"allt als 
$$M \cong \bigoplus^{r}_{\nu =1} E_{\nu} \boxtimes_k F_{\nu}$$
\end{Proposition*}

\begin{proof}[Beweis]
Mit \ref{IHo}  finden  wir schon einmal eine derartige Zerlegung 
mit  allen
$E_{\nu}$ einfach und paarweise
nicht isomorph. Dann liefert die offensichtliche 
Abbildung einen Isomorphismus
$\prod^{r}_{\nu = 1} {\op{End}}_{k} F_{\nu} \sira 
{\op{End}}_{A} M$. Folglich sind die $F_{\nu}$ 
einfache Moduln f"ur ${\op{End}}_AM$
und damit nach Annahme f"ur $B$. Damit ist $M$ auch als  $B$-Modul
halbeinfach. Lassen wir nun dasselbe Argument andersherum laufen, 
so folgt zus"atzlich, da"s die $F_\nu$ paarweise nicht isomorph sind. 
\end{proof}







\subsection{Halbeinfache Ringe}
\begin{Definition}
  Ein Ring hei"st \defnoind{halbeinfach},\index{halbeinfach!Ring} 
  wenn er halbeinfach ist als Linksmodul "uber sich selber.
\end{Definition}


\begin{Bemerkungl}\label{GRhe}
Aus dem Satz "uber die Struktur halbeinfacher Ringe 
\ref{SHER} wird folgen, da"s ein Ring halbeinfach ist genau dann,
wenn der opponierte Ring halbeinfach ist. In Teilen der Literatur wird 
aus mir unerfindlichen Gr"unden
von einem halbeinfachen Ring zus"atzlich gefordert, da"s er nicht der 
Nullring sein darf.
Der Gruppenring einer endlichen Gruppe "uber einem K"orper oder sogar
Schiefk"orper, dessen
Charakteristik die 
Gruppenordnung nicht teilt, ist halbeinfach nach dem Satz
von Maschke \ref{Mas}. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Definition}
  Ein Ring hei"st \defnoind{einfach},\index{einfach!Ring} 
  wenn er nicht Null ist und au"ser Null und sich selber
  keine weiteren zweiseitigen Ideale besitzt.
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Einfache halbeinfache Ringe}]
  Ein einfacher Ring $R$, der
  einen einfachen Untermodul $L\subset R$ besitzt,
  mu"s halbeinfach sein. In der Tat
  ist  in jedem Ring $R$ die Summe aller einfachen Untermoduln
  $S\subset R$  offensichtlich
  ein zweiseitiges Ideal. 
  Ist es nicht Null und unser Ring einfach, so haben wir
  notwendig $S=R$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkunge}[\textbf{Einfache nicht halbeinfache Ringe}]
  Im allgemeinen brauchen einfache Ringe keineswegs
  halbeinfach zu sein.
Zum Beispiel
  erh"alt man einen einfachen Ring, wenn man in ${\op{End}}(\DC[X])$ den
Teilring betrachet, der von den Multiplikationen mit Polynomen und der
Operation $\partial$ des 
Ableitens erzeugt wird. Er wird $\DC\lfloor X,\partial\rfloor$ notiert, hei"st 
die \glqq Algebra der algebraischen Differentialoperatoren
auf $\DC$\grqq\  oder auch
\glqq Weyl-Algebra in einer Ver"anderlichen\grqq, 
und wir zeigen in \eref{WeyE}{DM}, da"s er 
einfach ist.
Als weiteres Beispiel
  erh"alt man auch einen einfachen Ring, wenn man den Quotienten des
  Endomorphismenrings eines Vektorraums abz"ahlbarer Dimension nach dem Ideal
  aller Endomorphismen endlichen Ranges betrachtet, wie der Leser zur "Ubung
  selbst pr"ufen mag. Dieser Ring $E$ ist jedoch als Linksmodul "uber sich
  selber mit denselben Argumenten wie in  \eref{BRNN}{KAG} 
isomorph zu $E^{\oplus 2}$,
  folglich kann er nach \ref{HEDi} nicht halbeinfach sein.  In der Literatur
  wird auch oft unter einem \glqq einfachen Ring\grqq\
  das verstanden, was in der hier
  gew"ahlten Terminologie  ein \glqq halbeinfacher einfacher Ring\grqq\
  hei"st. 
\end{Bemerkunge}





\begin{Satz}[\textbf{Struktur halbeinfacher Ringe}]
  \label{HEDi}
  \begin{enumerate}
\item
Der Ring ${\op{End}}_D L$ der Endomorphismen eines
endlich erzeugten Moduls $L$ "uber einem Schiefk"orper $D$ 
ist stets  halbeinfach.  Unter der 
zus"atzlichen Annahme $L\neq 0$ ist er auch einfach
und hat  bis auf Isomorphismus $L$ als einzigen einfachen Modul; 
\item
Jedes endliche Produkt von 
 halbeinfachen Ringen ist halbeinfach; 
\item 
    Jeder halbeinfache Ring besitzt bis auf Isomorphismus nur endlich viele
    einfache Moduln und ist selbst eine direkte Summe von endlich vielen
    einfachen Untermoduln alias Linksidealen;  
\item
  Jeder halbeinfache Ring ist isomorph zu einem endlichen Produkt von
  Ringen quadratischer Matrizen "uber Schiefk"orpern;
\item
  Der opponierte Ring eines halbeinfachen Rings ist stets auch wieder
halbeinfach;
\item
Jeder einfache Modul "uber einem halbeinfachen Ring
ist endlichdimensional als Modul "uber seinem 
 Endomorphismenschiefk"orper;
\item
Ist $L_1,\ldots,L_r$ ein Vertretersystem f"ur die
    Isomorphieklassen von einfachen Moduln 
eines halbeinfachen Rings $R$ 
und sind $D_i\pdef{\op{End}}_R L_i$  deren
    Endomorphismenschiefk"orper, so liefert die offensichtliche 
Abbildung einen
    Ring\-isomorphismus
$$R \sira ({\op{End}}_{D_1} L_{1}) \times \ldots \times ({\op{End}}_{D_r} L_{r})$$
\end{enumerate}
\label{SHER}
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
Man mag zur "Ubung zeigen, da"s die Faktoren 
rechts im letzten Teil dieses Satzes
unter unserem Isomorphismus den isotypischen
Komponenten des $R$-Moduls $R$ entsprechen. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Halbeinfache endlichdimensionale Ringalgebren}]
  Eine endlichdimensionale Ringalgebra "uber einem 
  K"orper ist insbesondere genau dann halbeinfach, wenn sie isomorph ist zu
  einem endlichen
  Produkt von Matrixringen in endlichdimensionalen Schiefk"orpern
  "uber besagtem K"orper.  Eine endlichdimensionale Ringalgebra "uber einem algebraisch abgeschlossenen
  K"orper ist damit genau dann halbeinfach, wenn sie isomorph ist zu
  einem endlichen\label{heMR} 
  Produkt von Matrixringen "uber besagtem K"orper.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}[\textbf{Halbeinfache endlichdimensionale reelle Ringalgebren}]
Wir wissen   aus \eref{Quat}{AL}, da"s es bis auf Isomorphismus nur
  drei endlichdimensionale $\DR$-Ring\-al\-ge\-bren gibt, die Schiefk"orper sind,
  n"amlich $\DR,\DC$ und den Schiefk"orper $\mathbb H$ der Quaternionen.
  Jede halbeinfache endlichdimensionale $\DR$-Ring\-al\-ge\-bra ist also
  isomorph zu einem endlichen Produkt von Matrizenringen in diesen drei
  $\DR$-Ring\-al\-ge\-bren. Ein typisches Beispiel f"ur eine  endlichdimensionale halbeinfache
  $\DR$-Ringalgebra w"are etwa
  $$\op{Mat}(2;\DR)\times \op{Mat}(7;\DC)\times \op{Mat}(2;\DC)\times \op{Mat}(5;\mathbb H)$$
\end{Beispiel}
\begin{proof}
1. Gegeben ein Schiefk"orper $D$ und $n\geq 1$ ist
der Matrizenring $\op{Mat}(n;D)$ einfach und halbeinfach.
In der Tat sieht man leicht ein, da"s das von einer beliebigen
von Null verschiedenen Matrix erzeugte zweiseitige Ideal bereits
der ganze Matrizenring sein mu"s und da"s der 
Linksmodul $D^n$ der Spaltenvektoren ein einfacher 
Modul "uber unserem Matrizenring ist. 
Der Matrizenring $\op{Mat}(n;D)$ ist nun als Linksmodul "uber
sich selber isomorph zu einer direkten Summe von $n$ Kopien 
dieses einfachen Moduls, etwa den Untermoduln 
aller Matrizen, bei denen h"ochstens eine
vorgegebene Spalte 
von Null verschieden ist. Folglich ist er auch halbeinfach.
Nun zeigt der Satz von Jordan-H"older \ref{NJHM} oder alternativ die 
 Zerlegung in isotypische Komponenten \ref{ITy}, 
da"s  $D^n$ im Fall eines Schiefk"orpers $D$
 bis auf Isomorphismus der einzige einfache
Modul von $\op{Mat}(n;D)$ ist.  
\\[2mm]\noindent
2. Da"s jedes endliche Produkt halbeinfacher Ringe wieder halbeinfach ist,
folgt unmittelbar aus den Definitionen.
\\[2mm]\noindent
3. Jeder   halbeinfache Ring 
zerf"allt in eine direkte Summe von einfachen Untermoduln.
Seine Eins mu"s dabei wie jedes Element bereits in einer
Summe von endlich vielen dieser einfachen Untermoduln liegen,
und diese Summe ist dann notwendig bereits der ganze Ring.
Da jeder einfache Modul Quotient unseres Rings ist und damit in
einer isotypischen Zerlegung unseres Rings auftreten mu"s,
besitzt unser Ring bis
auf Isomorphismus nur endlich viele einfache Moduln.
\\[2mm]\noindent
4. Ist $L_1,\ldots,L_r$ ein Vertretersystem f"ur die  
Isomorphieklassen einfacher Moduln und $m_i$ deren jeweilige 
Vielfachheit im $R$-Modul $R$, so haben wir nach 3 einen Isomorphismus von
$R$-Linksmoduln $R\cong L_1^{m_1}\oplus \ldots \oplus L_r^{m_r}$. 
Sind
$D_i\pdef{\op{End}}_R L_i$ die Endomorphismenringe unserer einfachen Moduln,
so erhalten wir nach \eref{ENRj}{KAG} und 
\eref{SVK}{KAG} 
 Ring\-isomorphismen $$R^{\op{opp}}\sira {\op{End}}_R R\sila  
 \op{Mat}(m_1;D_1)\times\ldots \times \op{Mat}(m_r;D_r)$$
 Das Transponieren von Matrizen liefert dann auch einen Ringisomorphismus
  $$R\sira
 \op{Mat}(m_1;D_1^{\op{opp}})\times\ldots \times \op{Mat}(m_r;D_r^{\op{opp}})$$
Jeder halbeinfache Ring ist also isomorph zu einem endlichen Produkt
von Ringen endlicher quadratischer Matrizen 
 mit
 Eintr"agen in Schiefk"orpern.
 \\[2mm]\noindent
5.  Aus  1 und 2 folgt, da"s
alle endlichen Produkte
von Ringen endlicher quadratischer Matrizen 
 mit
 Eintr"agen in Schiefk"orpern halbeinfach sind. Nach 4 ist folglich 
der opponierte Ring eines halbeinfachen Rings stets wieder 
halbeinfach. 
\\[2mm]\noindent
6. Nach 4 ist jeder halbeinfache Ring $R$ isomorph zu einem
 endlichen Produkt
von Ringen endlicher quadratischer Matrizen 
 mit
 Eintr"agen in Schiefk"orpern. Gegeben ein einfacher $R$-Modul $L$ operieren
 alle Faktoren dieses Produkts bis auf einen durch Null. Wir d"urfen also
 ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $R=\op{Mat}(m;D)$ annehmen
 f"ur einen Schiefk"orper $D$ und $m\geq 1$ und nach 1 auch 
 $L=D^m$ den Modul der Spaltenmatrizen. Der Endomorphismenring
 dieses Moduls ist nun offensichtlich $D^{\op{opp}}$ operierend durch
 Rechtsmultiplikation auf Spaltenvektoren und f"ur diese Operation
 ist $L$ endlich erzeugt. 
\\[2mm]\noindent
7. 
Sicher  liefert die offensichtliche 
Abbildung einen
    injektiven Homomorphismus
    $$R \hra ({\op{End}}_{D_1} L_{1}) \times \ldots \times ({\op{End}}_{D_r} L_{r})$$
Teil 6 zusammen mit dem Dichtesatz zeigt, da"s er ein Isomorphismus sein mu"s. 
Im R"uckblick folgern wir zus"atzlich  $m_i={\op{dim}}_{D_i}L_i$. In Worten
stimmt also die Multiplizit"at eines einfachen Linksideals in $R$  "uberein
mit seiner Dimension  "uber dem jeweiligen Endomorphismenschiefk"orper. 
\end{proof}



\subsubsection*{"Ubungen}

\begin{Ubung}
Man zeige, da"s jeder Linksmodul\label{zhity} 
"uber einem halbeinfachen Ring halbeinfach ist.\label{LMHE} 
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
  Besitzt ein Ring einen endlich erzeugten
   halbeinfachen Modul
  mit verschwindendem Annulator, so ist er
  halbeinfach.\label{Modehe} 
\end{Ubung}

%\begin{Ubunge}
% Besitzt ein einfacher Ring ein Linksideal, das als Linksmodul
%einfach ist, so mu"s unser Ring keineswegs halbeinfach sein:
%Der Endomorphismenring jedes\label{ERHE} 
%Vektorraums unendlicher Dimension ist ein Gegenbeispiel. FALSCH!
%\end{Ubunge}

\begin{Ubung}
Gegeben ein Modul "uber einem Schiefk"orper 
sind die einzigen zentralen Idempotenten seines Endomorphismenrings
die Null und die Identit"at.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}[\textbf{Automorphismen von Matrizenringen "uber Schiefk"orpern}]
  Gegeben ein Schiefk"orper $D$ und ein zentraler Unterk"orper
  $k\subset D$ und ein endlich erzeugter 
$D$-Modul $L$ ist jeder $k$-lineare Ringautomorphismus
$\varphi:{\op{End}}_D(L)\sira {\op{End}}_D(L)$ 
die Konjugation mit einem Element
$g\in({\op{End}}_k L)^\times$ und dessen Nebenklasse modulo
$k^\times{\op{id}}_L$ ist wohlbestimmt und wir erhalten so einen
injektiven Gruppenhomomorphismus 
 $$\op{Ralg}^\times_k({\op{End}}_D(L))\hra
({\op{Aut}}_k L)/k^\times{\op{id}}_L$$
 Hinweis: Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir
 $L\neq 0$ annehmen. Der mit  $\varphi$
 zur"uckgezogene ${\op{End}}_D(L)$-Modul $\varphi_*^\circ L$ ist
 dann ebenfalls einfach als ${\op{End}}_D(L)$-Modul
 und folglich isomorph zu $L$ "uber $k$.\label{AutEE} 
\end{Ubung}
\begin{Beispiel} Ist $K/k$ eine K"orpererweiterung und $D=K=L$,
  so finden wir ${\op{End}}_D L=K$ und
  $\op{Ralg}^\times_k({\op{End}}_D(L))=\op{Gal}(K/k)$ und die Inklusion
  in "Ubung \ref{AutEE} ist meist echt.
\end{Beispiel}


\begin{Beispiel}[\textbf{Automorphismen von Matrizenringen}]
  Gegeben $k$ ein K"orper und $n\in \DN$ 
 induziert die Konjugation einen Isomorphismus\label{AutM} 
 $$\op{GL}(n;k)/k^\times{\op{I}}\;\sira\; \op{Ralg}^\times_k(\op{Mat}(n;k))$$
 Das ist ein Spezialfall von "Ubung \ref{AutEE}.  
\end{Beispiel}
\begin{Bemerkungw} Der Satz von Skolem-Noether \cite{JaSe} IX.6.3
  besagt unter anderem,
  da"s allgemeiner gegeben ein K"orper $k$ und eine
  einfache endlichdimensionale $k$-Ringalgebra $A$ mit $k=\op{Z}(R)$
  alle Ringalgebrenautomorphismen von $A$ durch Konjugation mit einer
  Einheit gegeben werden. Die Operation durch Konjugation liefert
  dann mithin einen Isomorphismus
  $$A^\times/k^\times\;\sira\; \op{Ralg}^\times_k(A)$$
\end{Bemerkungw}
\begin{Ubung} Gegeben
ein endlich erzeugter halbeinfacher Modul $M$ "uber einem
Ring $R$ zeige man, da"s sein Endomorphismenring
${\op{End}}_RM$ halbeinfach ist, da"s die $R$-isotypischen 
Komponenten von $M$ mit den ${\op{End}}_RM$-isotypischen
Komponenten von $M$ zusammenfallen, und da"s jeder 
einfache Modul von ${\op{End}}_RM$ isomorph ist
zu einem Untermodul von $M$. Wir erhalten mithin eine 
Injektion $\op{irr}({\op{End}}_RM)\hra \op{irr}(R)$, deren Bild
aus allen Isomorphieklassen von
einfachen $R$-Moduln besteht, die in $M$ vorkommen. 
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
  Ein zentrales Idempotentes $z\in R$ eines Rings
hei"st {\bf primitiv},\index{primitiv!zentrales
  Idempotentes}\index{Idempotentes!zentrales primitives} 
 wenn es nicht Null ist und es keine
von Null verschiedenen zentralen Idempotenten $z_1,z_2$ gibt mit
$z_1+z_2=z$ aber $z_1z_2=0$. Man zeige:\label{zIdP}  
Gegeben von Null verschiedene 
Vektorr"aume $L_1,\ldots,L_r$ "uber Schiefk"orpern
 $D_1\ldots,D_r$ 
sind die primitiven zentralen Idempotenten  des Produktrings
$$R\pdef ({\op{End}}_{D_1} L_{1}) \times \ldots \times ({\op{End}}_{D_r} L_{r})$$
genau die Tupel mit der Identit"at an einer Stelle und sonst nur Nullen.
Insbesondere ist in einem halbeinfachen Ring stets die Eins die Summe der
primitiven zentralen Idempotenten.
\end{Ubung}



  \begin{Ubung}
Selbst in einem kommutativen
aber nicht halbeinfachen  Ring mu"s im allgemeinen die Eins keineswegs
    die Summe der primitiven zentralen Idempotenten sein. Man gebe ein
Gegenbeispiel. 
  \end{Ubung}









  \begin{Ubung}\label{MRee}
    Jeder Ring $\op{Mat}(n;D)$ von endlichen quadratischen Matrizen mit
    Koeffizienten in einem Schiefk"orper $D$ und $n\geq 1$ ist einfach, und
    jeder halbeinfache einfache Ring ist isomorph zu einem derartigen
    Matrizenring f"ur genau ein $n$ und einen bis auf Isomorphismus
    wohlbestimmten Schiefk"orper $D$, seinen
\defind{Goldie-Schiefk"orper}.\index{Schiefk"orper!Goldie-Schiefk"orper}  
Das fragliche $n$ hei"st dann der
    \defind{Goldie-Rang}\index{Rang!Goldie-Rang} unseres halbeinfachen
    einfachen Rings.
  \end{Ubung}

 % Hinweis: \ref{HEDi}, \ref{HEE}, \ref{ITy}, \ref{ENRj}, \ref{SVK}.
%  Wer spickeln will, kann auch in \ref{SHER} nachsehen. 
\begin{Ubung}
Gegeben ein Schiefk"orper $D$ und ein endlich erzeugter
 $D$-Modul $V$  und\label{EZYK}   ein Endomorphismus
$a\in E\pdef {\op{End}}_DV$ sind gleichbedeutend:
\begin{enumerate}
\item Das von $a$ erzeugte Linksideal $Ea$ ist
ein einfacher $E$-Modul;
\item Das von $a$ erzeugte Rechtsideal $aE$ ist
ein einfacher $E$-Rechtsmodul;
\item
Unser Endomorphismus $a$ hat den Rang Eins alias
$aV\cong D$ als $D$-Modul;
\item
Unser $D$-Modul $V$ besitzt eine Basis derart, 
da"s die Matrix von $a$ in Bezug auf diese
Basis genau einen von Null verschiedenen Eintrag hat.
\end{enumerate}
Hinweis: Sind zwei Spalten unserer Matrix $a$ linear unabh"angig,
so h"atte $Ea$ eine zu gro"se Dimension. Dann beachte man,
da"s Zeilenrang gleich
Spaltenrang auch f"ur Matrizen mit Eintr"agen in  Schiefk"orpern gilt.
\end{Ubung}




\subsection{Jacobsonradikal und Spurradikal*}
\begin{Bemerkungl}
Sei $R$ ein Ring.
Der Schnitt ${\op{J}}(R)=\op{Jac}(R)$\index{Jac@$\op{Jac}(R)$ Jacobson-Radikal} aller\index{J@$\op{J}(R)$ Jacobson-Radikal}
Annullatoren einfacher $R$-Moduln hei"st das 
{\bf Jacobson-Radikal\index{Jacobson-Radikal} von} 
$R$.\index{Radikal!Jacobson-Radikal}\label{JacRn} Im Fall des Nullrings
ist der Schnitt "uber die leere Familie von Teilmengen von $R=0$ ganz $R$,
also $\op{Jac}(0)=0$. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Jacobsonradikal "uber Rechtsannullatoren}]
  Das Jacobsonradikal von $R$ ist auch der Schnitt aller Annulatoren einfacher
  $R$-Rechtsmoduln, in Formeln  gilt also ${\op{J}}(R)={\op{J}}(R^{\op{opp}})$.
  Um das einzusehen bemerkt man zun"achst\label{JRA} 
  $${\op{J}}(R)=\{x\in R\mid 1-rx \text{ besitzt f"ur alle
    $r\in R$ ein Linksinverses}\}.$$
  In der Tat finden wir f"ur $x\not\in{\op{J}}(R)$ einen 
  einfachen $R$-Modul $E$ und $e\in E$ mit $xe\neq 0$ und insbesondere
  $e\neq 0$ und dann ein
  $r\in R$ mit $rxe=e$ alias $(1-rx)e=0$ und dann kann $(1-rx)$ kein
  Linksinverses haben. Gibt es  umgekehrt $r\in R$ so da"s
  $(1-rx)$ kein Linksinverses hat, so liegt
  es in einem maximalen Linksideal, annulliert also einen
  einfachen $R$-Linksmodul $E$ und dann kann $rx$ und a forteriori $x$
  nicht zum Annulator von $E$ geh"oren.   Nun folgern wir st"arker
  $${\op{J}}(R)=\{x\in R\mid 1-rxs\; \text{ ist f"ur alle
    $r,s\in R$ invertierbar}\}$$
  Die Inklusion $\supset$ ist hier eh klar.
  Andererseits impliziert $x\in {\op{J}}(R)$ bereits $xs\in{\op{J}}(R)$
  f"ur alle $s\in R$ und es gibt folglich  $u$ mit
  $u(1-rxs)=1$ alias $1+urxs=u$. Andererseits gibt es dann
  auch $v$ mit $v(1+urxs)=1=vu$. Aus $vu=1$ und $ua=1$ folgt
  aber direkt $v=a$ und
  so die Invertierbarkeit von $a$. Das wenden wir auf $a=1-rxs$ an und folgern,
  da"s dies Element invertierbar ist.  
\end{Bemerkungl}


 \begin{Proposition}[\textbf{Quelle der Nakayama-Lemmata}]
    Gegeben ein Ring $R$ und ein endlich erzeugter
    $R$-Modul $M$ mit\label{lvayn}
    $(\op{Ann}_RE) M=M$ f"ur alle einfachen $R$-Moduln $E$ gilt $M=0$.  
  \end{Proposition}
   \begin{proof}
    Durch Widerspruch. H"atten wir $M\neq 0$, so h"atte $M$ 
    nach \ref{eQu} einen maximalen echten Untermodul $N\subsetneq M$.
    Dann w"are $E\pdef M/N$ einfach und wir h"atten
    $(\op{Ann}_RE) M \subset N\subsetneq M$. 
   \end{proof}



\begin{Korollar}[\textbf{Lemma von Nakayama}] 
  Gegeben ein Ring $R$
  und ein endlich erzeugter $R$-Modul
  $M$ mit $\op{Jac}(R)M=M$ gilt
  $M=0$.\label{nkLvN}\index{Nakayama, Lemma von!nichtkommutatives} 
\end{Korollar}
\begin{proof}
 Das folgt sofort aus der Quelle \ref{lvayn}. 
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}
  Im Fall kommutativer Ringe kann  man
  verschiedene Varianten dieser Aussage auch
  ohne das Zorn'sche Lemma zeigen,
  vergleiche \eref{lvay}{KAG} folgende.
\end{Bemerkungl}

\begin{Korollar} 
  Seien $R$ ein Ring 
  und $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul und $T\subset M$
  eine Teilmenge, deren Bild $\bar T$ den Quotienten $M/\op{Jac}(R)M$
  erzeugt. So erzeugt $T$ bereits $M$ selbst.
\end{Korollar}
\begin{proof}
  Wir setzen  $J\pdef \op{Jac}(R)$.
  Sei $N\subset M$ der von $T$ erzeugte Untermodul. Es folgt
  erst $N+ J M=M$ und dann  $J M\sra M/N$
  und schlie"slich $J (M/N)=M/N$ und so $M/N=0$ alias $M=N$. 
\end{proof}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Jacobsonradikal eines Rings endlicher L"ange}]
Sei  $R$ ein Ring, der von endlicher L"ange ist als Linksmodul 
"uber sich selber.\label{JREL} 
So ist ${\op{J}}(R)$ offensichtlich ein nilpotentes zweiseitiges Ideal,
in Formeln ${\op{J}}(R)^n=0$ f"ur $n\gg 0$, ja f"ur
$n\geq l_R(R)$. Umgekehrt mu"s jedes
Linksideal $J$, das aus nilpotenten Elementen besteht,
jeden einfachen Modul annullieren, denn aus $JL\neq 0$ folgt 
erst die Existenz von $x\in J$ und $m\in L$ mit $xm\neq 0$ 
und dann die Existenz von $r\in R$ mit $(rx)m=m$ im Widerspruch zu $(rx)\in J$.
 Mithin 
ist in diesem Fall ${\op{J}}(R)$ da"s gr"o"ste Linksideal von $R$, das aus
nilpotenten Elementen besteht, und nach \ref{JRA} dann nat"urlich auch das gr"o"ste Rechtsideal, das aus nilpotenten Elementen besteht.
\end{Bemerkungl}


\begin{Proposition}[\textbf{Ringe endlicher L"ange mit
      Jacobsonradikal Null}] Ein Ring $R$,
  der von endlicher L"ange ist als Linksmodul\label{JKHE}  
  "uber sich selber, ist genau dann halbeinfach, wenn
  sein Jacobsonradikal verschwindet.
\end{Proposition}
\begin{proof} 
Verschwindet das Jacobsonradikal, so  findet man  
Elemente einfacher Moduln $m_1\in L_1,\ldots, m_t\in L_t$ derart,
da"s das Daranmultiplizieren an $(m_1,\ldots, m_t)\in L_1\oplus\ldots\oplus
L_t$
eine Injektion $R\hra L_1\oplus\ldots\oplus L_t$ induziert.
Damit ist $R$  nach \ref{QHUU}
halbeinfach als Untermodul eines 
halbeinfachen Moduls.
Ist umgekehrt $R$ halbeinfach, also eine Summe einfacher Untermoduln,
so ist der Schnitt der Annullatoren der Summanden offensichtlich das Nullideal.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Jacobsonradikal und Erweiterung der Skalare}]  
  Ist $K/k$ ein K"orpererweiterung und $A$ eine
  endlichdimensionale $k$-Ringalgebra,
  so induziert die Multiplikation eine Injektion\label{JzT}
  $${\op{Jac}}(A)\otimes_kK \hra {\op{Jac}}(A\otimes_kK)$$
 In der Tat ist ${\op{Jac}}(A)$  ein nilpotentes
 zweiseitiges Ideal und folglich ist auch das Bild von
 ${\op{Jac}}(A)\otimes_kK$
  ein nilpotentes
  zweiseitiges Ideal in $A\otimes_kK$ und folglich
  enthalten im Jacobson-Radikal  ${\op{Jac}}(A\otimes_kK)$.
  Ist also $A\otimes_kK$ halbeinfach, so mu"s $A$ selbst
  bereits halbeinfach gewesen sein. 
  Aus $A$ halbeinfach folgt jedoch im allgemeinen
  keineswegs $A\otimes_kK$ halbeinfach, wie wir im folgenden diskutieren. 
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Die Spurform und ihre Eigenschaften}]
  Sei $k$ ein K"orper.
Auf jeder endlichdimensionalen $k$-Algebra $A$ k"onnen
  wir  die Linearform $$
  \begin{array}{cccl}
\op{Tr} :& A &\rightarrow &k\\
&a &\mapsto &\op{tr} ((a
  \cdot) | A)
\end{array}
$$
betrachten und die {\bf Spur-Form}\index{Spurform}
 $A\times A\mapsto k$ erkl"aren durch\label{SpFFO}  
    \begin{equation*}
      (a,b)_{\op{tr}} \pdef  \op{tr} \big((a\cdot)\circ (b\cdot)|A\big)
    \end{equation*}
    Man pr"uft leicht  $(a,b)_{\op{tr}} = (b,a)_{\op{tr}} $.
    Ist unsere Algebra assoziativ, so haben wir $(a,b)_{\op{tr}}=\op{Tr}(ab)$
und $(ax, b)_{\op{tr}} = (a, xb)_{\op{tr}}$ f"ur alle
$a,b, x \in A$.  Daraus folgt, da"s das Radikal
$$\op{Rad}_{\op{tr}}(A)=\op{Rad}_{k}(A)$$
der Spurform
einer endlichdimensionalen
assoziativen Algebra "uber einem K"orper $k$ stets ein
zweiseitiges Ideal ist. Wir nennen es das
{\bf Spur-Radikal}.\index{Spurradikal}
\end{Bemerkungl}

 \begin{Beispiel}[\textbf{Spurradikal f"ur Matrixringe}] 
Sei $k$ ein K"orper.  Auf der $k$-Algebra $A=\op{Mat}(n;k)$
wird die Spur nach \eref{FT}{LA1} beschrieben 
durch die Formel $\op{Tr}(M)= n\op{tr}(M)$ f"ur
die "ubliche Spur $\op{tr}:\op{Mat}(n;k)\ra k$ aus der
linearen Algebra. In diesem Fall ist das Spurradikal Null beziehungsweise
der ganze Matrizenring je nachdem, ob $n$ in $k$ verschwindet, in Formeln
$$\op{Rad}_{k}(\op{Mat}(n;k))=\left\{\begin{array}{cl}0&n_k\neq 0;\\
\op{Mat}(n;k))&n_k=0.
\end{array}\right.
$$\label{SpfMa}
 \end{Beispiel}

\begin{Bemerkungw}
   Im Fall endlichdimensionaler Liealgebren spezialisiert
 unsere Spurform zur
   sogenannten Killingform \eref{Kiln}{HL}.
 \end{Bemerkungw}
 \begin{Bemerkungw}
   Etwas allgemeiner gelingt  die Definition von Spurform und Spur auch noch
   f"ur Ringalgebren "uber allgemeineren Kringen $k$, die endlich erzeugt
   und projektiv sind als $k$-Moduln. Wir diskutieren das
   in \eref{SPPa}{VAL}. 
\end{Bemerkungw}

 \begin{Bemerkunge}
 Auf jeder endlichdimensionalen Algebra $A$ "uber einem K"orper $k$ k"onnten
  wir  zus"atzlich zur Linearform 
$\op{Tr} :a \mapsto \op{tr} ((a
  \cdot) : A \rightarrow A)
$ a priori  auch noch die Linearform 
$a \mapsto \op{tr} ((\cdot a
  ) : A \rightarrow A)
$
betrachten und  so eine Variante der Spurform erhalten.
Ich kenne jedoch keinen
Fall, in dem man mit dieser Variante einen
Zusatznutzen erzielen k"onnte.
 \end{Bemerkunge}






 \begin{Proposition}[\textbf{Jacobsonradikal als Spurradikal}] 
    Gegeben eine endlichdimensionale\index{Spurkriterium} Ringalgebra $A$ 
    "uber einem K"orper $k$ 
    gilt\label{gjRs} 
    $$\op{Jac}(A)\subset \op{Rad}_{\op{tr}}(A)$$
    und "uber einem K"orper $k$ der Charakteristik $\op{char} k=0$
    sogar 
    $$\op{Jac}(A)=\op{Rad}_{\op{tr}}(A)$$
 \end{Proposition}
 \begin{proof} 
Da die Spur nilpotenter Endomorphismen Null ist
und da das Jacobsonradikal einer endlichdimensionalen Ringalgebra nach \ref{JREL} aus nilpotenten Elementen besteht,
mu"s im Fall einer endlichdimensionalen Ring\-al\-ge\-bra $A$ das
Jacobsonradikal
${\op{Jac}}(A)$ stets im Spurradikal
enthalten sein. 
Nach \eref{SpP}{AL} ist andererseits
ein Endomorphismus eines endlichdimensionalen
   Vektorraums "uber einem K"orper der Charakteristik Null nilpotent genau
   dann, wenn die Spuren aller seiner echten Potenzen verschwinden.
   F"ur $x \in\op{Rad}_{\op{tr}}(A)$ gilt nun aber sicher
   $(x^n,x)_{\op{tr}}=0$
   f"ur $n\geq 0$ und damit ist $\op{Rad}_{\op{tr}}(A)$ in unserem Fall
   ein Linksideal aus nilpotenten Elementen und mu"s mithin im Jacobsonradikal
   enthalten sein. 
 \end{proof}
 \begin{Korollar} Gegeben eine endlichdimensionale
   Ringalgebra $A$ "uber einem K"orper $k$ der Charakteristik
   $\op{char}k=0$ und eine K"orpererweiterung $K/k$ ist die
   offensichtliche Abbildung ein Isomorphismus
   $${\op{Jac}}(A)\otimes_kK \sira {\op{Jac}}(A\otimes_kK)$$
 \end{Korollar}
 \begin{proof}
   Nach \ref{gjRs} f"allt in Charakteristik Null
   das Jacobsonradikal mit dem Spurradikal zusammen.
   Da das  Spurradikal eh unver"andert bleibt unter
   K"orpererweiterungen, gilt dasselbe f"ur das Jacobsonradikal.
 \end{proof}
  
 \begin{Korollar}[\textbf{Spurkriterium f"ur Halbeinfachkeit}] 
    Eine endlichdimensionale\index{Spurkriterium} Ringalgebra $A$ 
    "uber einem K"orper der Charakteristik Null
    ist genau dann halb\-ein\-fach, wenn
 ihre\label{SpuK} 
Spurform nichtausgeartet ist.
 \end{Korollar}
 \begin{proof}
   Ein Ring endlicher L"ange ist nach \ref{JKHE} genau dann
   halbeinfach, wenn sein Jacobsonradikal verschwindet.
   Das Korollar folgt unmittelbar aus der Gleichheit \ref{gjRs}
   von Jacobsonradikal und Spurradikal unter den Annahmen des Korollars.
\end{proof}
 \begin{Bemerkungl}
  Insbesondere ist eine halbeinfache endlichdimensionale 
Ringalgebra "uber einem K"orper 
der Charakteristik Null  halbeinfach genau dann, wenn sie unter
einer und jeder 
K"orpererweiterung\label{suEK} 
des Grundk"orpers halbeinfach wird.
 In Formeln ist also $A$ halbeinfach genau dann, wenn 
$K\otimes_k A$ halbeinfach ist f"ur $K/k$ eine beliebige K"orpererweiterung 
und $\op{char}k=0$.   Ebenso folgt, da"s gegeben zwei
halbeinfache endlichdimensionale 
Ringalgebren $A,B$ "uber einem K"orper $k$ 
der Charakteristik Null auch die Ringalgebra $A\otimes_kB$ halbeinfach ist,
denn  Orthogonalbasen der jeweiligen Algebren bez"uglich
der Spurform liefern unmittelbar eine Orthogonalbasis ihres Tensorprodukts.
Ein Gegenbeispiel in positiver Charakteristik gibt \eref{PSKe}{AL},
wo wir eine endliche  K"orpererweiterung $L/K$ angeben derart, da"s der
Ring $L\otimes_K L$ von Null verschiedene nilpotente Elemente hat.
\nichtfinal{Es wäre naheliegend, zu
  erwarten, da"s "uber vollkommenen K"orpern alles gilt wie in Charakteristik
  Null. Ich mu"s dazu einmal die Literatur befragen.}
 \end{Bemerkungl}



 \begin{Bemerkungl}[\textbf{Einfache Moduln und
       Erweiterung des Grundk"orpers}] 
  Seien $k$ ein K"orper und $A$ eine Ringalgebra "uber $k$ und
  $L$ ein einfacher $A$-Modul. Gegeben eine K"orpererweiterung $K/k$
  mu"s $L_K\pdef L\otimes_kK$ kein einfacher, ja noch nicht einmal ein
  halbeinfacher Modul "uber
  $A_K\pdef A\otimes _kK$ sein, wie das Beispiel \eref{PSKe}{AL} zeigt.
  Ist jedoch $L$ endlichdimensional "uber $k$,
  so ist das Bild $B\subset \op{End}_kL$ von $A$ halbeinfach nach \ref{Modehe}
  und sind wir zus"atzlich in Charakteristik Null, so ist auch $B_K$
  halbeinfach nach \ref{suEK} und damit ist
  $L_K$ halbeinfach als $B_K$-Modul und
  a forteriori als $A_K$-Modul.\label{emEG} 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Einfache Moduln und Galoiserweiterungen}]
  Seien  $A$ eine Ring\-al\-ge\-bra "uber einem K"orper $k$ und
  $K/k$ eine Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $\Gamma$. Sei weiter $L$ ein einfacher $A$-Modul derart, da"s $L_K$ ein halbeinfacher $A_K$-Modul ist.
So ist operiert $\Gamma$ durch\label{emG} 
  $k$-lineare Ringautomorphismen auf $A_K$  und
f"ur $\gamma\in\Gamma$ %auf $L_K$
ist $\op{id}\otimes\gamma^{-1}:L_K\sira L_K$ ein
  Isomorphismus
  $${\op{res}}^\gamma L_K\sira L_K$$
  zwischen dem mit $\op{id}\otimes\gamma:A_K\ra A_K$ restringierten $A_K$-Modul $L_K$ und $L_K$ selbst. Ist der einfache $A_K$-Modul $E$ ein
  direkter Summand von $L_K$, so ist folglich auch ${\op{res}}^\gamma E$ ein
  direkter Summand von $L_K$ und kommt mit derselben Vielfachkeit vor wie
  $E$. Dar"uberhinaus m"ussen alle einfachen Summanden des $A_K$-Moduls
  $L_K$ gewisse ${\op{res}}^\gamma E$ f"ur unser festes $E$ sein, da die Summe aller zugeh"origen
  isotypischen Komponenten von $L_K$ ein $\Gamma$-stabiler $A_K$-Untermodul
  ist, der nach \eref{defKk}{AL} durch Erweiterung der Skalare aus einem
  $A$-Untermodul von $L$ hervorgehen mu"s. Als $A_K$-Modul besitzt $L_K$ mithin eine Zerlegung der
  Gestalt 
  $$L_K\cong E_1^{\oplus n}\oplus  E_2^{\oplus n}\oplus \ldots \oplus E_r^{\oplus n}$$
  mit $n,r\geq 1$ und einfachen $A_K$-Moduln $E_i$ derart, da"s es f"ur beliebige $i,j$ mindestens ein Element  $\gamma$ der Galoisgruppe gibt mit
  $E_i\cong {\op{res}}^\gamma E_j$.
  Nehmen wir nun zus"atzlich $\op{dim}_kL<\infty$ an, so ist $L$
  auch endlichdimensional "uber seinem 
  Endomorphismenschiefk"orper $D\pdef \op{End}_AL$ und f"ur $m\pdef \dim_DL$
  und $d\pdef \op{dim}_kD$ finden wir $dm=\op{dim}_kL$ sowie 
  $\op{End}_DL\cong\op{Mat}(m;D)^{\op{opp}}$. F"ur $D_i\pdef {\op{End}}_{A_K}E_i$
  der Endomorphismenschiefk"orper
 von $E_i$  finden wir 
 durch Erweiterung der Skalare weiter
  $$\begin{array}{lll}D_K\cong {\op{End}}_{A_K}L_K&\cong& {\op{End}_{A_K}}E_1^{\oplus n}\times \ldots\times {\op{End}_{A_K}}E_r^{\oplus n}
    \\[2mm]&\cong& \op{Mat}(n;D_1)\times \ldots\times\op{Mat}(n;D_r)
  \end{array}
 $$
 Sicher haben alle $D_i$ dieselbe $K$-Dimension $d_1\pdef \op{dim}_KD_1$
 und
 damit  gilt dann  $d=\op{dim}_KD_K=rn^2d_1$ sowie $m=(\op{dim}_kL)/rn^2d_1$.
\end{Bemerkungl}

 
\begin{Bemerkungl}\nichtfinal{Wohin?}   
 Seien $k$ ein K"orper der  Charakteristik Null und $A$ eine
 endlichdimensionale $k$-Ringalgebra derart, da"s
 $A/{\op{Jac}}(A)=D_1\times\ldots\times D_r$ ein Produkt von Schiefk"orpern ist.
 Die einfachen $A$-Moduln sind also gewisse $L_1,\ldots,L_r$
 und deren Endomorphismenschiefk"orper sind die $D_i$ und sind $P_i\sra L_i$
 projektive Decken der $L_i$, so gibt es einen nicht eindeutigen Isomorphismus 
 $A\sira  P_1\oplus\ldots\oplus P_r$ von $A$-Moduln, der hinwiederum
 einen Isomorphismus
 $$A^{\op{opp}}\sira \op{End}_A(P_1\oplus\ldots\oplus P_r)$$
 induziert. Unter Erweiterung der Skalare, angegeutet durch einen Querstrich,  wird er ein
 Isomorphismus  $$\bar A^{\op{opp}}\sira \op{End}_{\bar  A}(\bar P_1\oplus\ldots\oplus \bar P_r)$$
 und $\bar P\sra \bar L$ ist auch eine projektive Decke.
 Im Fall einer Galoiserweiterung wissen wir aus \ref{emG},
 da"s $\bar L$ "uber $\bar A$ eine Zerlegung der
  Gestalt 
  $$\bar L\sira  E_1^{\oplus n}\oplus  E_2^{\oplus n}\oplus \ldots \oplus E_d^{\oplus n}$$
hat  mit $n,d\geq 1$ und einfachen $\bar A$-Moduln $E_i$ derart, da"s es f"ur beliebige $i,j$ mindestens ein Element  $\gamma$ der Galoisgruppe gibt mit
$E_i\cong {\op{res}}^\gamma E_j$. Wir finden eine endliche Galoiserweiterung derart, da"s alle $E_i$ den K"orper $K$ als Endomorphismenring haben.
Dann finden wir auch einen Lift zu einem Isomorphismus
von $\bar A$-Moduln
$$\bar P\sira  Q_1^{\oplus n}\oplus  Q_2^{\oplus n}\oplus \ldots \oplus Q_d^{\oplus n}$$ mit $Q_i\sra E_i$ jeweils einer projektiven Decke, und auch der ist unkanonisch. 
\end{Bemerkungl}



\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}
  Gegeben $A\supset I$ eine endlichdimensionale Algebra mit einem
  Ideal stimmt  die Spurform von $I$, aufgefa"st als eigenst"andige Algebra,   "uberein mit der Einschr"ankung der Spurform von $A$ auf $I$.\label{ResSP}  
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
  Gegeben ein Endomorphismus eines endlichdimensionalen 
  $\DZ/2\DZ$-graduierten $k$-Vektorraums alias
  {\bf Supervektorraums}\index{Supervektorraum}
  $V=V_0\oplus V_1$ erkl"art man die {\bf Superspur}\index{Superspur}
  $\op{str}:{\op{End}}(V)\ra k$ in hoffentlich selbsterkl"arender
  Notation durch die Formel  $$\op{str}(A)\pdef\op{tr}(A_{0}^{0})-
  \op{tr}(A_{1}^{1})$$
Man zeige, da"s auch eine endlichdimensionale
$\DZ/2\DZ$-graduierte $k$-Ringalgebra $A$ mit nichtausgearteter
Superspurform $(a,b)\mapsto \op{str}(ab:A\ra A)$ halbeinfach ist als Ring.\label{spF}
Hinweis: Man kopiere  das Argument aus
\ref{SpFFO}. Im "ubrigen ist die Superspurform nicht symmetrisch,
sondern \glqq supersymmetrisch\grqq. F"ur ein systematisches Verst"andnis
dieser Vorzeichen mag man mit der \glqq Multikategorie der Supervektorr"aume\grqq\ \eref{Str}{TS} arbeiten.
\end{Ubung}
\nichtfinal{\begin{Ubung}
Eine endlichdimensionale
$\DZ/2\DZ$-graduierte Ringalgebra $A$ "uber einem K"orper der Charakteristik
Null ist halbeinfach als Ring genau dann, 
wenn  ihre Superspurform nicht ausgeartet ist. Hinweis: Mithilfe von
\ref{SpuK} d"urfen wir uns auf den Fall eines
algebraisch abgeschlossenen Grundk"orpers zur"uckziehen. ???????
\end{Ubung}}

\subsection{Erzeugende und Relationen f"ur Ringalgebren**}


\begin{Bemerkungl}
Gegeben ein Kring $k$ und eine Menge
$I$ definiert man die {\bf freie $k$-Ring\-al\-ge\-bra}
\index{Ringalgebra!freie} $\op{Ralg}_k\frei  I$
 "uber $I$
als den Monoidring "uber $k$ nach \ref{MoiR} des freien 
Monoids "uber $I$ nach \eref{FrMo}{TF},
in Formeln\label{FRiA} 
\begin{equation*}
\op{Ralg}_k\frei  I \pdef k \langle\op{Mon}\frei I\rangle
\end{equation*}
Salopp gesprochen kann man diese freie Ringalgebra 
verstehen als einen \glqq Polynomring in den 
nicht-kommu\-tierenden Variablen $(X_i)_{i \in I}$\grqq. Wir notieren sie auch
$$k\lfloor' X_1, X_2,\ldots,X_n\rfloor=k\lfloor X_1, X_2,\ldots,X_n\rfloor$$
im Fall endlich vieler Variablen oder $k\lfloor' X_i|i\in I\rfloor=
k\lfloor'_! I\rfloor$ im
allgemeinen. Die unfertigen Klammern  sollen andeuten, 
da"s nichtkommutierende
Variablen gemeint sind. Das \glqq Freiheitsstrichlein\grqq\  
bedeutet wie in \eref{NfE}{KAG} vereinbart die Freiheit der Erzeuger.  
Die kanonische Einbettung $\op{can} 
: I \rightarrow \op{Ralg}_k\frei  I$
hat dann die universelle Eigenschaft, da"s f"ur jede 
weitere $k$-Ringalgebra $B$ das Vorschalten
von $\op{can}$ eine Bijektion
\begin{equation*}
\op{Ralg}_k (\op{Ralg}_k\frei  I, B) 
\overset{\sim}{\rightarrow} \op{Ens} (I,B)
\end{equation*}
zwischen 
Homomorphismen von $k$-Ringalgebren und Abbildungen von Mengen induziert.
Jede Abbildung
von der Menge $I$ in eine $k$-Ringalgebra $B$ faktorisiert 
also eindeutig "uber einen
Homomorphismus von $k$-Ringalgebren $\op{Ralg}_k\frei  I \rightarrow B,$
im Diagramm 
\begin{displaymath}
\xymatrix{
I \ar[r]^-{\op{can}}\ar[dr]^{\varphi} 
&\op{Ralg}_k\frei  I\ar@{-->}[d]^{\tilde{\varphi}}\\
&B\\
}
\end{displaymath}
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}\label{ErAA}
Gegeben ein Kring $k$, eine Menge $I$ und eine 
Teilmenge $R \subset \op{Ralg}_k\frei  I$ 
der freien $k$-Ringalgebra "uber $I$ bezeichnen wir den Quotienten
\index{Algebra!Erzeuger und Relationen}
\begin{equation*}
(\op{Ralg}_k\frei  I) / \langle R \rangle
\end{equation*}
nach dem von $R$ erzeugten Ideal auch als die {\bf von der Menge $I$ mit den
Relationen $R$ erzeugte $k$-Ringalgebra}. 
In der Literatur spricht man meist etwas unscharf von der 
\glqq von der Menge $I$ mit den
Relationen $R$ erzeugten $k$-Algebra\grqq.
Oft schreibt man Relationen auch in der Form $a = b$ mit Elementen
$a,b \in \op{Ralg}_k\frei  I$.
Damit ist gemeint, da"s die Differenz $a-b$ unserer beiden Elemente
zu $R$ geh"oren soll.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}
Ist $k$ ein K"orper und $B\subset V$ eine Basis eines $k$-Vektorraums $V$,
so kann die "au"sere Algebra $\bigwedge V$ von $V$ 
aus \eref{APRR}{LA2} beschrieben werden als die von der Menge
$B$ mit den Relationen $b^2 =0$ erzeugte $k$-Ringalgebra. 
Genauer induziert die Abbildung 
$B\ra \bigwedge V,$ $b\mapsto b\in \bigwedge^1 V$
einen Isomomorphismus von $k$-Ringalgebren
$$(\op{Ralg}_k\frei  B)/\langle b^2\mid b\in B\rangle\sira \bigwedge V$$
\end{Beispiel}

\begin{Beispiel}
  Der Polynomring "uber einem Kring $k$ in Variablen $X_1,\ldots, X_n$ 
ist die von den Variablen $X_i$ mit den Relationen $X_iX_j=X_jX_i$ erzeugte
$k$-Ringalgebra.
\end{Beispiel}
\subsubsection*{"Ubungen} 
\begin{Ubung}\label{FRAk} 
  Gegeben eine Menge $I$ und ein K"orper $k$ ist unser Monoidring 
$k\langle\op{Mon}\frei  I\rangle$ zum freien Monoid 
$\op{Mon}\frei  I$ "uber $I$ aus \eref{FrMo}{TF}
isomorph zur Tensoralgebra ${\op{T}}(k\langle I\rangle)$ "uber dem
freien Vektorraum "uber $I$ im Sinne von \eref{TeAl}{LA2}.
Genauer haben die offensichtlichen Abbildungen 
$I\ra k\langle\op{Mon}\frei  I\rangle$ und $I\ra {\op{T}}(k\langle I\rangle)$
beide dieselbe universelle Eigenschaft: F"ur jede $k$-Ringalgebra $A$ 
induziert
ihr Vorschalten  Bijektionen
$$\op{Ralg}_k( k\langle\op{Mon}\frei  I\rangle, A)\sira \op{Ens}(I,A)\quad\text{und}\quad
\op{Ralg}_k( {\op{T}}(k\langle I\rangle), A)\sira \op{Ens}(I,A)$$
\end{Ubung}
\begin{Ubung}[\textbf{Freier Ring "uber
      einer Menge unter einem gegebenen  Ring}]
  Gegeben ein Ring $R$ mag man die Kategorie $\op{Ring}^R$ der
  \glqq Ringe unter $R$\grqq\ betrachten. Objekte sind Ringe $A$ mit
  einem ausgezeichneten Ringhomomorphismus $R\ra A$. Auch f"ur diese
  Kategorie hat das Bilden der zugrundeliegenden Menge\label{frk} 
  $\op{Ring}^R\ra\op{Ens}$ einen Linksadjungierten.
  Ein m"ogliche Konstruktion dieses Linksadjungierten
  besteht darin, f"ur jedes Wort in $I$
  der L"ange $l$ die $(l+1)$-te Tensorpotenz von $R$ "uber $\DZ$ 
  zu betrachten und die direkte Summe aller dieser Tensorpotenzen
  zu bilden, in Formeln die abelsche Gruppe\index{)5floor@$R{\mid}I\rfloor$ freier Ring}  
$$R|I\rfloor\pdef \bigoplus_{n=0}^\infty\bigoplus_{(i_1,\ldots, i_n)\in I^n}R^{\otimes (n+1)}$$
  Als Produkt zweier Tensoren erkl"art man
  das Zusammentensorieren "uber $R$ in der Tensorpotenz
  zum verkn"upften Wort. Mit dem Ringhomomorphismus
  $R\ra R|I\rfloor$ gegeben durch
  Interpretation eines Ringelements als Tensor zu $n=0$
  und der Abbildung $I\ra R|I\rfloor$ gegeben durch $i\mapsto (1\otimes 1)$ im Summanden
  zum Index $i\in I$ hat dann $R|I\rfloor$ die gew"unschte universelle Eigenschaft.
  Ein Tensor $r_1\otimes r_{2}\otimes \ldots\otimes  r_{n+1}$ zum Index
$(i_1,\ldots, i_n)$
  ist dann in $R|I\rfloor$ das Produkt $r_1i_1r_2 \ldots i_n r_{n+1}$,
  wobei wir genau genommen unter den Faktoren
  die Bilder der $r_\nu$ und $i_\nu$ in $R|I\rfloor$ verstehen.
  Die Notation $R| I\rfloor$ soll andeuten, da"s im Gegensatz zu $R\lfloor I\rfloor$
  die Variablen noch nicht einmal mit den Ringelementen kommutieren m"ussen.
 \end{Ubung}




\subsection{Tensorkalk"ul f"ur Darstellungen*}


\begin{Bemerkungl}
  F"ur manche Allgemeinheiten erweist es sich als sinnvoll,
   die noch allgemeinere Situation eines Moduls $V$ "uber einem
  Ring $k$ mitsamt  einer Abbildung $\rho:\Omega\ra {\op{End}}_k(V)$
 einer beliebigen Menge $\Omega$ in seinen Endomorphismenring zu betrachten.\label{DaMeRi} 
  Solch ein Paar $(V,\rho)$ hei"st eine\index{Darstellung!einer Menge} 
  {\bf Darstellung der Menge $\Omega$ "uber dem Ring $k$}.
  Man "uberlegt sich leicht, da"s das dasselbe ist wie eine Darstellung
  "uber $k$ des freien Monoids  $\op{Mon}\frei\Omega$ "uber der Menge $\Omega$.
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}
  Die Darstellungstheorie von Gruppen, Monoiden oder Mengen 
  ist zum Teil das Studium der Moduln "uber speziellen Ringen,
  eben den entsprechenden Gruppenringen, Monoidringen oder
  Monoidringen des freien Monoids "uber einer gegebenen Menge.
  Die Begriffe einfach, halbeinfach, isotypische Komponente, isotypische Zerlegung, L"ange und viele mehr bleiben so auch f"ur Darstellungen von
  Gruppen, Monoiden und sogar Mengen sinnvoll.
   Zus"atzlich k"onnen wir f"ur Darstellungen
  von  Monoiden
  "uber kommutativen Ringen jedoch multilineare Abbildungen erkl"aren
  und erhalten so die viel reichhaltigere Struktur einer
  Schmelzkategorie mit stabil universellen Verschmelzungen, ja im Fall
  einer Gruppe sogar mit Multihom. Das soll im folgenden ausgef"uhrt werden. 
\end{Bemerkungl}


  
\begin{Bemerkungl}
Gegeben  $r\geq 0$ und Darstellungen $W_1,\ldots, W_r,V$
eines Monoids oder gar einer Menge $G$ "uber einem Kring $k$ verstehen wir
unter einer {\bf Verschmelzung von
Darstellungen}\index{Verschmelzung!von
Darstellungen} eine
multilineare Abbildung\label{DarMKv} $\varphi:W_1\times\ldots\times W_r\ra V$, die $G$-\"{a}quivariant ist in dem Sinne, da"s gilt $\varphi(gw_1,\ldots,gw_r)=g\varphi(w_1,\ldots,w_r)$ f"ur alle $w_i\in W_i$ und $g\in G$.
Wir verwenden f"ur die Gesamtheit aller derartigen Abbildungen 
wie in \eref{Mulin}{LA2} die beiden Notationen
$$\op{Mod}_{k,G}(W_1\curlyvee\ldots\curlyvee W_r,V)=
\op{Hom}_{k,G}^{(r)}(W_1\times\ldots\times W_r,V)$$
Insbesondere liefert
im Fall $r=0$ das Auswerten auf dem einzigen Punkt $\ast$ 
des leeren Produkts eine Bijektion
$\op{Mod}_{k,G}(\curlyvee,V)=
\op{Hom}_{k,G}(\ast,V)\sira V^G$ alias eine Bijektion
zwischen den Mengen der 
 $G$-"aquivarianten $0$-linearen Abbildungen in eine Darstellung und der Menge der $G$-invarianten Vektoren unserer Darstellung.
Unsere Multiverkn"upfung 
multilinearer Abbildungen \eref{MuliV}{LA2} 
induziert eine Multiverkn"upfung von 
Verschmelzungen von Darstellungen. 
Unsere universellen Verschmelzungen
$$\tau: W_1\times\ldots\times W_r\ra W_1\otimes\ldots\otimes W_r$$
aus \eref{TeKorM}{LA2} im Fall eines K"orpers $k$ 
und aus \eref{TPro}{TS} im Allgemeinen werden $G$-"aquivariant
mit derjenigen $G$-Operation auf dem Tensorprodukt,
die f"ur $g\in G$ gegeben wird durch 
$g(w_1\otimes\ldots\otimes w_r)\pdef
gw_1\otimes\ldots\otimes gw_r$ im Fall $r\geq 1$ und
durch die triviale Operation auf dem
leeren Tensorprodukt $k$ im Fall $r=0$. Es ist dann klar,
da"s diese Verschmelzungen von Darstellungen  $\tau$ in das Tensorprodukt 
in der Weise universell sind, da"s das Vorschalten von $\tau$ 
f"ur jede weitere Darstellung $V$ eine Bijektion
 $$\op{Mod}_{k,G}(W_1\otimes\ldots\otimes W_r,V)
\sira \op{Mod}_{k,G}(W_1\curlyvee\ldots\curlyvee W_r,V)
$$ liefert. Im Fall $r=0$ spezialisiert das 
unter unseren ganzen Identifikationen zu der 
durch das Auswerten bei $1\in k$ gegebenen
 Bijektion
 $\op{Mod}_{k,G}(k,V) \sira V^G$. In anderen Worten ist unsere Einsdarstellung
 $k$ versehen mit der durch $\ast\mapsto 1$ erkl"arten Leerverschmelzung das
 Einsobjekt unserer Schmelzkategorie. 
 \end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Internes Hom von Gruppendarstellungen}] 
Seien $k$ ein Kring und $G$ eine Gruppe und $U,V,W$
Darstellungen von $G$ "uber $k$.
Erkl"aren wir eine Operation von $G$ auf $\op{Hom}_k(V,W)$
durch die Vorschrift\label{ihD}  
$gf\pdef \rho_W(g)\circ f\circ\rho_V(g^{-1})$ 
f"ur $g\in G$ und $f \in
\op{Hom}_k(V,W)$, so  induziert die offensichtliche 
Bijektion $\op{Mod}_k(U\curlyvee V,W)
\sira \op{Mod}_k(U,\op{Hom}_k(V,W))$ eine Bijektion
 $$\op{Mod}_{k,G}(U\curlyvee V,W)
\sira \op{Mod}_{k,G}(U,\op{Hom}_k(V,W))$$
Die definitorische Gleichheit
$\op{Mod}_{k,G}(V,W)=\op{Hom}_k(V,W)^G$ von Homomorphismen
von Darstellungen und $G$-Invarianten in der Darstellung
auf dem Raum aller linearen Abbildungen kann man dann auch als
die Verkn"upfung von kanonischen Isomorphismen
 $$\op{Mod}_{k,G}(V,W)
\sira \op{Mod}_{k,G}(k,\op{Hom}_k(V,W))\sira \op{Hom}_k(V,W)^G$$
verstehen, von denen der Erste von \eref{MUMU}{LA2} herkommt
und der Letzte von \ref{DarMKv}.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungw}[\textbf{Darstellungen als Schmelzkategorie}] 
In der in  \eref{smkk}{TS}
eingef"uhrten Terminologie kann man die vorhergehenden Bemerkungen
dahingehend zusammenfassen, da"s\label{Dmk} 
die Darstellungen eines Monoids, ja einer Menge $G$ "uber einem Kring $k$
eine Schmelzkategorie $\op{Mod}_{k,G}$ mit stabil universellen Verschmelzungen  bilden. 
Ist unser Monoid $G$ eine Gruppe, so hat unsere Schmelzkategorie 
zus"atzlich internes
Hom im Sinne von \eref{Muhom}{TS}. Die definitorische Gleichheit
$\op{Mod}_{k,G}(V,W)=\op{Hom}_k(V,W)^G$ wird dann
ein Spezialfall der nat"urlichen Bijektion
$\mathcal M(V,W)\sira \mathcal M(\curlywedge,V{\Rrightarrow}W)$ aus
\eref{stMH}{TS} zwischen Einsverschmelzungen und Leerverschmelzungen in das interne Hom-Objekt.
\end{Bemerkungw}

\subsection{Vertwistete Monoidringe*}
\begin{Bemerkungl}
  Seien $A$ ein Ring und $G$ ein Monoid,
  das durch Ringhomomorphismen auf $A$ operiert.
Formal nehmen wir also an, da"s wir einen 
Monoidhomomorphismus 
$\sigma : G \ra \op{Ring}( A)$ ausgezeichnet haben.
Unter diesen Annahmen erkl"aren wir die Kategorie\label{GqeA} 
$$\op{Mod}_{A,\sigma,G}=A\op{-Mod}^{G}=A\op{-Mod}^{(G,\sigma)}$$
der {\bf $G$-"aquivarianten $A$-Moduln}\index{Modul!"aquivarianter!f"ur Monoidoperation} 
als die Kategorie 
aller Paare $(M,\tau)$, die bestehen aus einem $A$-Modul $M$
und einer $G$-Operation $\tau:G\ra \op{Ab}(M)$ auf der abelschen Gruppe $M$
mit der Eigenschaft, da"s die Multiplikation mit Skalaren eine
$G$-"aquivariante Abbildung
$$A\times M\ra M$$
ist. In Formeln fordern wir also $^x\!(am)={^x\! a}\!\;{^x\! m}$
f"ur alle $x\in G$, $a\in A$ und $m\in M$ und verwenden dabei die Notationen
${^x\! a}\pdef (\sigma(x))(a)$ und ${^x\! m}\pdef (\tau(x))(m)$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkunge}[\textbf{"Aquivariante Moduln als Schmelzkategorie}]
Gegeben ein Kring $A$  mit der Operation eines Monoids $G$ erhalten wir auf diese Weise sogar eine
Schmelzkategorie im Sinne von \eref{smkk}{TSK} mit multilinearen $G$-"aqui\-va\-ri\-an\-ten Abildungen als
Verschmelzungen.
Der mit dieser Begrifflichkeit vertraute
Leser wird unschwer zeigen k"onnen, da"s diese Schmelzkategorie
stabil universelle
Verschmelzungen hat und, wenn $G$ eine Gruppe ist,
 sogar internes Hom.
\end{Bemerkunge}

\begin{Beispiel}\label{HIDN} 
  Ist $K$ ein K"orper und $\Gamma\subset \op{Aut}(K)$ eine endliche
  Untergruppe seiner Automorphismengruppe und $k\pdef K^\Gamma$
  deren Fixk"orper, so liefert das Bilden der $\Gamma$-Invarianten
  eine "Aquivalenz von Schmelzkategorien
  $$K\op{-Mod}^\Gamma\sirra k\op{-Mod}$$
  Das ist im wesentlichen die Aussage von Hilbert's Satz 90 aus \eref{HS90}{AL}
  und gilt immer noch nach \eref{HS90}{AL} sogar st"arker
  f"ur beliebige Galoiserweiterungen
  $K/k$ mit Galoisgruppe $\Gamma$, wenn wir die Galoisgruppe mit ihrer
  Krulltopologie versehen und nur solche "aquivarianten Moduln $M$
  betrachten, f"ur die die Operation $\Gamma\times M\ra M$ stetig ist in
  Bezug auf
  die Krulltopologie auf $\Gamma$ und die diskrete Topologie auf $M$.
\end{Beispiel}
  
  
% und $N$ ein zweiter solcher 
% $A^{\sigma}\!\langle G\rangle$-Modul, so ist auch ihr Tensorprodukt 
%   $M \otimes_{A} N$ ein $A^{\sigma}\!\langle G\rangle$-Modul 
% in nat"urlicher Weise. Erkl"aren wir Multimorphismen von
% $A^{\sigma}\!\langle G\rangle$-Moduln als $G$-"aquivariante
% $A$-multilineare Abbildungen, so erhalten wir
% auf $A^{\sigma}\!\langle G\rangle\op{-Mod}$ die Struktur einer
% Multikategorie, f"ur die der offensichtliche Multimorphismus
% $M\times N\ra M \otimes_{A} N$ universell ist.  Nullmorphismen
% nach $M$ versteht man in diesem Kontext als Invarianten alias
% Elemente von $M^G$. Ein universeller Nullmorphismus ist
% in diesem Fall die $1$ in $A$.






% ein Monoidhomomorphismus. Moduln "uber $A^{\sigma}\!\langle G\rangle$ sind 
% dasselbe wie $A$-Moduln $M$ mit einer Operation
% von $G$, f"ur die die Multiplikation $A\times M \ra M$ "aquivariant ist
% in Bezug auf die $G$-Operation.
% \end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}\label{VTGR}
  Operiert ein Monoid $G$ auf einem Ring $A$, geben wir
  also einen Monoidhomomorphismus $\sigma : G \ra \op{Ring}( A)$ vor,
so bilden wir
  den \defnoind{vertwisteten 
Monoidring}\index{Monoidring!vertwistet}\index{vertwistet!Monoidring}
$$A^\rtimes \!\langle G\rangle
  =A^{\sigma}\!\langle G\rangle=A^{\sigma} \!\langle'_! G\rangle$$ 
Als additive Gruppe nehmen wir
dem "ublichen Monoidring. Er besteht mithin aus allen
Abbildungen $G\ra A$ mit endlichem Tr"ager oder besser kompakt getragenen Ma"sen, die wir schreiben als
formale Linearkombinationen $\sum_y a_y y$ mit $a_y\neq 0$ f"ur
h"ochstens endlich viele $y\in G$. Um die Multiplikation zu erkl"aren,
vereinbaren wir f"ur die Operation unseres Monoids die Notation ${^x\! a}\pdef (\sigma(x))(a)$ und erkl"aren die 
Multiplikation durch die Vorschrift 
$(ax)(by)\pdef (a\;\!{^x\! b})(xy)$ f"ur $a,b\in A$ und $x,y\in G$.
Es ist leicht zu sehen, da"s wir  einen Isomorphismus von Kategorien
$$A^\rtimes \!\langle G\rangle\op{-Mod}\sira A\op{-Mod}^{(G,\sigma)}$$
zwischen der Kategorie der Moduln "uber dem vertwisteten Monoidring
und der Kategorie der $G$-"aquivarianten $A$-Moduln erhalten,
indem wir die Operation von $A^\rtimes \!\langle G\rangle$ einschr"anken zu Operationen von $A$ und von $G$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}
  In \eref{KaII}{AL} erkl"aren wir f"ur jede endliche Galoiserweiterung
  $K/k$ mit Galoisgruppe $\Gamma$
  einen Isomorphismus
  von $k$-Ringalgebren $$K^\rtimes \langle \Gamma\rangle\sira {\op{End}}_kK$$
  In \eref{UbMo}{KAG} diskutieren wir eine "Aquivalenz
  $k\op{-Mod}\sirra \op{Mat}(n;k)\op{-Mod}$ von Kategorien, die  in unserer
  Situation und in koordinatenfreier Schreibweise zu einer "Aquivalenz
  $k\op{-Mod}\sirra ({\op{End}}_kK)\op{-Mod}$ mit $M\mapsto K\otimes_kM$ spezialisiert. Unsere "Aquivalenzen aus \ref{HIDN} und \ref{VTGR}
  f"ugen sich in diesem Fall zusammen zu einem bis auf eine
  nat"urliche Isotransformation kommutativen Viereck
$$\xymatrix{
  K\op{-Mod}^\Gamma \ar[r]^{\approx} \ar[d]^{\wr}&k\op{-Mod}\ar@{=>}[dl]_{\sim}\ar[d]^{\wr\wr}\\
 K^\rtimes \langle \Gamma\rangle\op{-Mod}\ar[r]^{\sim} &({\op{End}}_kK)\op{-Mod} 
& 
  }$$
  aus Isomorphismen und "Aquivalenzen von Kategorien.
  Die fragliche Isotransformation bilden dabei die
  durch Multiplikation gegebenen Isomorphismen $K\otimes_kM^\Gamma\sira M$.
\end{Beispiel}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] 
Viele Autoren bezeichnen unseren ver\-twisteten 
Gruppenring  als {\bf Smashprodukt}\index{Smashprodukt!der Ringtheorie}
und notieren ihn $A\# \DZ[G].$
\end{Bemerkungl}


\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Bemerkungl}
  Man schreibe Beweise zu den in diesem Abschnitt aufgestellten
  Behauptungen aus.
\end{Bemerkungl}








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