\section{Integration und Ableitung}

\subsection{Stetige Funktionen auf Kompakta} \label{STK}
\nichtfinal{Sortiere die Verwendung des Begriffs der Kompaktheit!} 
\begin{Definition}
Man nennt eine Teilmenge $K \subset \bar{\DR}^n$ 
{\bf kompakt}\index{kompakt!Teilmenge von $\bar{\DR}^n$}
oder gleichbedeutend ein {\bf Kompaktum},\index{Kompaktum} wenn\label{Komp} 
jede Folge in $K$ eine Teilfolge besitzt, die gegen einen Punkt aus $K$
konvergiert.\index{Kompaktum}
\end{Definition} 
\begin{Beispiel}[\textbf{Kompakte Intervalle}]
Der Satz von Bolzano-Weierstra"s \ref{HB} zeigt, da"s die 
kompakten Intervalle in $\bar{\DR}$\label{bzt}  
genau die Intervalle der Gestalt $[a,b]$   sind mit $a,b\in\bar{\DR}$.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}[\textbf{Kompakte Rechtecke}]
  Gegeben $a,b,c,d\in\bar \DR$ ist das Rechteck $[a,b]\times [c,a]$ kompakt.
  In der Tat besitzt jede Folge  in diesem Rechteck nach \ref{bzt} eine
  Teilfolge, bei der die ersten Koordinaten der Folgenglieder eine
  konvergente Folge  bilden, und diese hat hinwiederum eine
  Teilfolge, bei der auch die zweiten Koordinaten der Folgenglieder eine
  konvergente Folge bilden. 
\end{Beispiel}
 
\begin{Bemerkungw}
Der Begriff der \glqq Kompaktheit\grqq\ ist f"ur weite Teile der
Mathematik grundlegend. Sie werden in \eref{koTO}{AN2} folgende sehen, wie er 
im Fall allgemeiner \glqq topologischer R"aume\grqq\ 
 in die beiden Begriffe
\glqq folgenkompakt\grqq\ und \glqq "uberdeckungskompakt\grqq\ 
aufspaltet. Sie werden auch sehen,
 da"s es letzterer Begriff ist, der weiter
tr"agt und zu \glqq kompakt\grqq\ abgek"urzt wird, obwohl 
ersterer Begriff die nat"urlichere Verallgemeinerung unserer
obigen Definition zu sein scheint. Aber alles zu seiner Zeit!
\end{Bemerkungw}

\begin{Satz}[\textbf{Extremwerte auf Kompakta}]
  Jede stetige Funktion $f:K \ra \bar{\DR}$ auf einem nichtleeren Kompaktum
  $K$ nimmt das 
Supremum und das Infimum der Menge 
ihrer Funktionswerte als Funktionswert an.\label{Mm}  
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
Ist  in Formeln  $K\neq \emptyset$ kompakt und
$f:K \ra \bar{\DR}$ stetig,
so gibt es demnach $p,q\in K$ mit
$f(p) \leq f(x)\leq f(q) \;\;\forall x\in K$. 
Ist die Funktion $f$ reellwertig, so ist insbesondere ihr Bild beschr"ankt.
Salopp gesprochen kann also eine  stetige reellwertige Funktion
auf einem Kompaktum nicht nach Unendlich streben.
Man beachte, eine wie wichtige Rolle im Falle eines kompakten Intervalls die Endpunkte 
 hier spielen: Eine stetige reellwertige Funktion auf
einem offenen Intervall kann ja durchaus nach Unendlich streben, wie etwa
die Funktion $x\mapsto (1/x)$ auf dem Intervall $(0,1)$. 
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
  Da wir $K\neq\emptyset$ angenommen hatten,
  finden wir nach "Ubung \ref{supgw} eine  Folge 
 $x_{n}$ in $K$ mit $\lim_{n\ra \infty} f(x_{n}) = \sup  f(K)$.
Diese Folge besitzt nun
nach Annahme eine Teilfolge, die gegen einen Punkt $q$
aus $K$ konvergiert. Indem wir zu dieser Teilfolge
"ubergehen, d"urfen wir sogar annehmen, unsere Folge sei selbst schon
konvergent mit
$\lim_{n\ra \infty} x_{n} = q$.
Durch Vertauschen der stetigen Funktion $f$ mit Folgenkonvergenz
nach \ref{vvsf} folgt dann
$$f(q) = \lim_{n\ra \infty} f(x_{n}) = \sup  f(K)$$
Die Existenz von $p \in K$ mit $f(p) = \inf
f(K)$ zeigt man analog.
\end{proof}

\begin{Satz}[\textbf{Fundamentalsatz der Algebra}]
Jedes nicht konstante komplexe Polynom  besitzt\label{FA} 
mindestens eine komplexe Nullstelle.\index{Fundamentalsatz der Algebra}
\end{Satz}

\begin{Bemerkungl}
Der im folgenden wiedergegebene 
Beweis von Jean-Robert Argand hat  den Vorteil, mit besonders
wenigen technischen Hilfsmitteln auszukommen.
Einen "Uberblick "uber die g"angigsten alternativen Beweise
mit ihren St"arken und Schw"a\-chen gebe ich in \eref{KCAA}{LA1}. Alle Beweise
benutzen wesentlich analytische Methoden und das mu"s auch so sein, da ja
$\DR$ und $\DC$ Objekte der Analysis sind.
Merkw"urdig ist eher die Bezeichnung als
\glqq Fundamentalsatz der Algebra\grqq\ f"ur ein Resultat der Analysis.  
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungw} Aus dem Fundamentalsatz der Algebra folgert man unschwer,
  da"s das Aufmultiplizieren eine Bijektion
  $$\begin{array}{ccc}\left\{\begin{array}{c}\text{Endliche Multimengen}\\
        \text{von komplexen Zahlen}
    \end{array}\right\}&\sira &\left\{\begin{array}{c}
    \text{Komplexe Polynome}\\
        \text{mit Leitkoeffizient Eins}
      \end{array}\right\}\\[4mm]
    _\mu\{\lambda_1,\ldots,\lambda_r\}&\mapsto&(X-\lambda_1)\ldots(X-\lambda_r)
  \end{array}
  $$
  liefert. Das vorgestellte $\mu$ aus der linken
  Seite ist ein \glqq Multimengenanzeiger\grqq,
  mit dem wir es uns erlauben,
  Elemente mit Vielfachheiten zu betrachten und anzugeben.
  Den Beweis "uberlassen wir der Algebra \eref{AMBk}{LA1}.
  Man mu"s dazu im wesentlichen nur wissen, da"s
  man f"ur jede Nullstelle einen Linearfaktor abspalten kann.
  Das hinwiederum folgt aus dem Teilen mit Rest in Polynomringen. 
\end{Bemerkungw}
\begin{proof}[Beweis]
Sei $P\in\DC[X]$ unser Polynom.
Wir zeigen zun"achst, da"s 
es eine Stelle
$p \in \DC$ gibt, an der
die
Funktion $\Bbb{C} \ra \Bbb{R},$ $ z \mapsto |P(z)|$ 
 ihr Minimum 
 annimmt, in Formeln $|P(z)|\geq |P(p)|\;\forall z\in\DC$.
 Sei dazu $P(X)=a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\ldots +a_0$. Aus $|z|>0$ folgt
 $$\begin{array}{lll}
   |P(z)|&\geq& |a_nz^n| - |a_{n-1}z^{n-1}+\ldots +a_0|\\
   &\geq&|a_n| |z|^n - |a_{n-1}| |z|^{n-1}-\ldots -|a_0|\\
  &\geq& |z|^n\big(|a_n|-|a_{n-1}|/|z|-\ldots-|a_{0}|/|z|^n\big)  \end{array}
$$ 
 Nun finden wir sicher $R>0$ mit $|a_{n-1}|/R+\ldots+|a_{0}|/R^n \leq |a_n|/2$.
 Aus $|z|>R$ folgt dann $|P(z)|\geq |z|^n(|a_n|/2)$. 
Nehmen  wir also irgendein $u \in \DC$ her, so gibt es
$R \in \Bbb{R}$ derart, da"s aus $|z| \geq R $
folgt $$ |P(z)|\geq |z|^n(|a_n|/2)\geq |P(u)|$$ 
Als stetige Funktion nimmt aber die Funktion $z \mapsto |P(z)|$
auf einem beliebigen kompakten Rechteck $K\subset \DC$, das die Kreisscheibe $\{z \mid |z| \leq R\}$ umfa"st,
ein Minimum an, sagen wir an der Stelle $p\in K$. Das mu"s dann auch
das Minimum von $|P(z)|$ auf ganz
$\DC$ sein.
Wir zeigen nun $P(p) =0$ durch Widerspruch und zeigen dazu:
Ist $p\in\DC$ gegeben und $P$ eine nichtkonstante Polynomfunktion mit
$P(p)\neq 0$, so nimmt die Funktion
$z\mapsto |P(z)|$ bei $p$ nicht ihr Minimum an.
Es reicht, das f"ur $p=0$ zu zeigen. Wir d"urfen auch ohne Beschr"ankung
der Allgemeinheit zus"atzlich
$P(0)=1$ annehmen. Dann hat unser Polynom die Gestalt
$$P(X)=1 + bX^m + X^{m+1}Q(X)$$
mit $b\neq 0$ und $m\geq 1$ und einem weiteren Polynom $Q(X)$ und wir
m"ussen zeigen, da"s $|P(z)|$ nicht minimal ist bei $z=0$. Daf"ur m"ussen wir nur eine Richtung $w\in \DC$ finden derart,
da"s $|(P(z)|$ kleiner wird, wenn wir uns in dieser
Richtung $w$ vom Ursprung entfernen,
in Formeln 
$|P(tw)|<1$ f"ur hinreichend kleines $t>0$.  
Nach \ref{KoWu} gibt es jedoch $w\in \DC$ mit $w^mb=-1$ und f"ur solch ein $w$ finden wir $$P(tw)= 1-t^m + t^{m+1}w^{m+1}Q(tw)$$
F"ur $t\in [0,1]$ und $C>0$ eine positive obere Schranke  f"ur
die stetige Funktion $[0,1]\ra\DR$, $t\mapsto |w^{m+1}Q(tw)|$  folgt 
nach der Dreiecksungleichung $$|P(tw)|\leq 1-t^m + t^{m+1}C$$
Gilt zus"atzlich $0<t<C^{-1}$, so  ist das sicher kleiner als Eins.
\end{proof}


\begin{Definition} 
Eine  Funktion $f: \DR^m\supset D \ra \Bbb{R}^n$ hei"st {\bf gleichm"a"sig
stetig},\index{gleichm"a"sig stetig!reelle Funktion einer Variablen}
 wenn\index{stetig!gleichm"a"sig!reelle Funktion} 
es f"ur beliebiges $\varepsilon  >0$ ein $\delta >0$ gibt derart, da"s f"ur alle
$x,y\in D$ mit $|x-y|<\delta$  gilt $|f(x) - f(y)|<\varepsilon$.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
Bei der Definition der gleichm"a"sigen Stetigkeit kommt es
wesentlich auf den Definitionsbereich $D$ an.
Da wir Funktionen vielfach angeben, ohne ihren Definitionsbereich
explizit festzulegen, ist es in diesem Zusammenhang  oft sinnvoll, 
den jeweils gemeinten
Definitionsbereich zu pr"azisieren. 
Dazu benutzen wir die Sprechweise
{\bf $f$ ist gleichm"a"sig
stetig auf $D$}.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl} Im Gegensatz zur Stetigkeit ist die gleichm"a"sige Stetigkeit kein sinnvoller Begriff f"ur Funktionen
  $f: \bar\DR^m\supset D \ra \bar\DR^n$.
\end{Bemerkungl}
 \begin{Bild} 
 \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildGeSe}\\[4mm]
 \includegraphics[height=0.3\textheight]{SkriptenBilder/BildGeSp}\\[4mm]
\noindent 
Gleichm"a"sige Stetigkeit f"ur stetige Funktionen
auf Intervallen  kann man sich anschaulich wie folgt denken:
F"ur eine beliebig f"ur ein Rechteck  vorgegebene H"ohe
$2\varepsilon>0$ findet man bei gleichm"a"siger 
Stetigkeit  immer eine Breite $2\delta>0$ derart,
da"s an welchen Punkt des Graphen meiner Funktion ich das Zentrum meines
Rechtecks auch verschiebe, der Graph das Rechteck nie durch
die Ober- oder Unterkante verl"a"st. So ist etwa
 die Wurzelfunktion  gleichm"a"sig
stetig auf $\DR_{\geq 0}$, die Quadratfunktion jedoch nicht.
\end{Bild}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Unterschied zwischen Stetigkeit und gleichm"a"siger Stetigkeit}] 
Ich will nun den Unterschied zwischen Stetigkeit und gleichm"a"siger Stetigkeit diskutieren.
Eine  Funktion
$f: \DR^m\supset D\ra \DR^n$ 
 ist
 ja nach dem $\varepsilon$-$\delta$-Kriterium \ref{ede}
 stetig bei $p\in D$ genau dann, 
wenn es f"ur
jedes $\varepsilon >0$ ein $\delta=\delta({\varepsilon },p) >0$ gibt 
derart, da"s f"ur alle $x\in D$
mit $|x-p| < \delta({\varepsilon },p)$ gilt $|f(x) - f(p)| < \varepsilon $.
Des weiteren hei"st sie stetig, wenn sie an jeder Stelle $p\in D$ stetig ist. 
Gleichm"a"sige Stetigkeit bedeutet nun, da"s 
f"ur jedes $\varepsilon >0$
ein $\delta=\delta({\varepsilon })$ gew"ahlt werden kann, das 
es als $\delta({\varepsilon })=\delta({\varepsilon },p)$ 
f"ur alle $p\in D$ gleichzeitig tut.
\end{Bemerkungl}





\begin{Bemerkungl}[\textbf{Eine nicht gleichm"a"sig stetige Funktion}]
Die Funktion $f:\Bbb{R} \ra \Bbb{R}$, $x \mapsto x^{2}$ 
ist  nicht gleichm"a"sig
stetig auf $\DR$, denn $|x^{2}-y^{2}| = |x-y\|x+y|$ kann auch f"ur sehr kleines
$|x-y|$ noch gro"s sein, wenn nur $|x+y|$ hinreichend gro"s ist.
Die Einschr"ankung dieser Funktion auf 
ein beliebiges reelles Kompaktum ist aber daselbst
gleichm"a"sig stetig nach dem anschlie"senden Satz.
\end{Bemerkungl}
\begin{Satz}[\textbf{Gleichm"a"sige Stetigkeit auf Kompakta}]
Jede stetige Funktion\label{glst} $f:\DR^m\supset K\ra\DR^d$ auf einem  Kompaktum $K\subset \DR^m$ ist auf 
besagtem Kompaktum gleich\-m"a"sig
stetig.
\end{Satz}
\begin{proof}[Beweis]
Wir argumentieren durch Widerspruch
und zeigen, da"s eine Funktion auf einem Kompaktum, die
nicht gleichm"a"sig stetig ist, auch nicht stetig sein kann. 
W"are $f$ nicht gleichm"a"sig stetig, so g"abe
es ein $\varepsilon > 0$, f"ur das wir kein $\delta >0$ finden k"onnten:
Wir probieren alle $\delta = 1/n$ aus und finden
immer wieder Punkte $x_{n}$, $y_{n} \in K$ mit $|x_{n}-y_{n}| < 1/n$,
f"ur die dennoch gilt $|f(x_{n}) - f(y_{n})| \geq \varepsilon$.
Gehen wir zu einer Teilfolge "uber, so d"urfen wir ohne Beschr"ankung
der Allgemeinheit annehmen, da"s die Folge der $x_{n}$ gegen einen
Punkt von $K$ konvergiert, in Formeln 
$\lim_{n\ra \infty}x_{n} =x$ mit $x\in K$.
Damit folgt nat"urlich auch $\lim_{n\ra \infty}y_{n} =x$.
W"are nun $f$ stetig bei $x$, so folgte
$$\lim_{n\ra \infty} f(x_{n})=f(x) = \lim_{n\ra \infty}f(y_{n})$$
und damit l"agen notwendig fast alle $f(x_{n})$ und desgleichen fast alle $f(y_{n})$ im
Quader
$\op{B}(f(x);\varepsilon/2)$. Das steht jedoch
 im Widerspruch dazu, da"s ja nach Konstruktion gilt 
$|f(x_{n}) - f(y_{n})| \geq \varepsilon$ f"ur alle $n$.
Wir haben also gezeigt, da"s eine Funktion auf einem reellen 
Kompaktum, die
nicht gleichm"a"sig stetig ist, auch nicht stetig sein kann.
\end{proof}



\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung} Jeder Quader der Gestalt $[a_1,b_1]\times \ldots\times [a_n,b_n]\subset\bar\DR^n$ ist kompakt.\label{KoQ} 
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
  Jede endliche Vereinigung von Kompakta $K_i\subset \bar\DR^n$
  ist kompakt.\label{evK} 
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
Das Bild eines  Kompaktums $K\subset \bar\DR^n$ unter 
einer stetigen Abbildung  $K\ra \bar\DR^m$ ist stets
 kompakt.\label{bkk} 
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
  Man zeige, da"s jede beschr"ankte, monotone 
und stetige Funktion $f:\DR\ra\DR$ 
gleichm"a"sig stetig ist.\label{bmgs}  
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
Sind $K\subset \bar\DR^m$  und $L\subset \bar\DR^n$ kompakt,
  so ist auch $K\times L\subset \bar\DR^{m+n}$ kompakt.\label{prk} 
\end{Ubung}




\subsection{Integration stetiger Funktionen}
\label{IsF}
\begin{Definition}
Gegeben $f:\DR\supset [a,b]\ra \Bbb{R}$ eine  stetige reellwertige Funktion auf einem nichtleeren kompakten reellen
Intervall\label{DefII} 
erkl"aren wir  die Menge ${\op{T}} (f)\subset\Bbb{R}$
aller \glqq naiven Integrale zu Treppen, die unter $f$ liegen\grqq\  durch
\begin{figure}[p]
  \centering
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildIu}
\\
\noindent
Die schraffierte Fl"ache stellt ein Element von ${\op{T}}(f)$ dar f"ur die
durch den geschwungenen  Graphen dargestellte Funktion $f$. 
\end{figure}
$$
{\op{T}}   (f)\pdef\left\{ \sum^{n-1}_{i=0} c_{i}(a_{i+1}-a_{i})\;
\begin{array}{|l}\text{ Alle m"oglichen
Wahlen von } n\in\DN \\
 \text{ und von Stellen }
a=a_{0}\leq a_{1}\leq \ldots \leq a_{n} =b\\
\text{ und von Werten  }
c_{0},\ldots , c_{n-1}\in\Bbb{R} \text{ derart,}\\
\text{ da"s gilt }\;f(x)\geq c_{i}\text{ f"ur alle } 
x\in [a_{i},a_{i+1}]\end{array}\right\}
$$
Da $f$ stetig ist, hat es
nach \ref{Mm} einen beschr"ankten Wertebereich, als da hei"st, es 
gibt  $m,M\in \DR$ mit
$m \leq f(x) \leq M \; \forall
x \in [a,b]$. Daraus folgt, da"s  $m (b-a)$ zu $ {\op{T}}   (f)$ geh"ort
und da"s 
$M(b-a)$ 
eine obere Schranke von ${\op{T}}   (f)$ ist. 
Als nichtleere nach oben beschr"ankte Teilmenge
von $\Bbb{R}$ hat ${\op{T}}   (f)$ nach \ref{AB} ein Supremum in $\Bbb{R}$. 
Wir nennen dies Supremum  das {\bf Integral
 der Funktion
$f$ "uber das Intervall 
$[a,b]$}\index{Integral!stetige reelle Funktion!"uber kompaktes Intervall} 
und schreiben
$$
 \sup {\op{T}}   (f)\pdef \int^{b}_{a} f(x) \;\diff x = \int^{b}_{a} f=\int_{[a,b]}f
$$  
Auf\index{S@$\int$ Integral} 
 die Bedeutung der Notationen f"ur das Integral gehen wir in \ref{NoIn}  ein.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
Anschaulich mi"st das Integral von $f$ die Fl"ache zwischen
dem Graphen von $f$ und der $x$-Achse, wobei Fl"achenst"ucke unterhalb
der $x$-Achse negativ zu rechnen sind.
Das Wort ist aus dem Lateinischen abgeleitet
und bedeutet so etwas wie \glqq Zusammenfassung\grqq.
Der folgende Satz listet einige Eigenschaften unseres Integrals
auf. Man kann leicht zeigen, da"s unser Integral sogar durch diese
Eigenschaften charakterisiert wird.  
\end{Bemerkungl}
\begin{Satz}[\textbf{Integrationsregeln}]
Sei $[a,b]\subset \DR$ ein nichtleeres kompaktes Intervall.
\begin{enumerate}
\item
F"ur die konstante Funktion mit dem Wert $1 $ gilt
$\int^{b}_{a}1 =b-a$;
\item
F"ur $f : [a,b] \ra \Bbb{R}$ stetig und $ z \in [a,b]$ gilt
$\int^{b}_{a}f=\int^{z}_{a} f + \int^{b}_{z}f$;
\item
Seien $f,g:[a,b] \ra \Bbb{R}$ stetig. Gilt $f(x) \leq g(x) \; \forall x \in
[a,b]$, in Kurzschreibweise $f\leq g$, so folgt
 $\int^{b}_{a}f \leq \int^{b}_{a}g$;
\item
F"ur $f,g :[a,b]\ra \Bbb{R}$ stetig
gilt $\int^{b}_{a} (f+g) = \int^{b}_{a} f + \int^{b}_{a} g$;
\item
F"ur $f:[a,b]\ra \Bbb{R}$ stetig und $\lambda \in \Bbb{R}$
gilt
$\int^{b}_{a} \lambda f = \lambda \int^{b}_{a} f$.
\end{enumerate}\label{InRe}
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
Die beiden letzten Punkte bedeuten in der Sprache der
linearen Algebra, da"s das Integral eine Linearform auf 
dem reellen Vektorraum aller stetigen reellwertigen Funktionen
auf unserem kompakten Intervall ist, als da hei"st, eine lineare Abbildung 
in den K"orper der reellen Zahlen.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
1. Wir wissen ja schon, da"s
aus $m=1\leq f(x)\leq 1=M$ folgt $b-a \leq \int^{b}_{a}f \leq b-a$.
\\[2mm]\noindent
2. F"ur Teilmengen $A,B\subset\Bbb{R}$ definiert man eine neue Teilmenge
$A+B\subset\Bbb{R}$ durch die Vorschrift $A+B=\{x+y\mid x\in A,\;y\in B\}$.
Offensichtlich gilt
$${\op{T}}   (f) = {\op{T}}   (f|_{[a,z]})+{\op{T}}   (f|_{[z,b]})$$
F"ur beliebige nichtleere nach oben beschr"ankte Teilmengen $A,B \subset \Bbb{R}$
haben wir aber $\sup (A+B) = \sup A +\sup B$ nach "Ubung \ref{ABC}.
\\[2mm]\noindent
3. Aus $f\leq g$ folgt offensichtlich ${\op{T}}   (f) \subset {\op{T}}   (g)$.
\\[2mm]\noindent
4 \& 5. Um die letzten beiden Aussagen zu zeigen, m"ussen wir etwas weiter ausholen.
F"ur unsere stetige
Funktion $f:[a,b]\ra\Bbb{R}$ und beliebiges $r\in\DN$, $r\geq 1$
unterteilen wir unser Intervall 
{\bf "aquidistant},\index{"aquidistante Unterteilung} 
lateinisierend f"ur
\glqq mit gleichen Abst"anden\grqq, durch
$$a = t_{0}\leq t_{1} \leq t_{2}\leq \ldots \leq t_{r}=b$$
Es gilt also $
t_{i} = a+ i(b-a)/r$. Wir  definieren nun die
{\bf $r$-te Riemann-Summe}\index{Riemannsumme!f"ur reelle Funktion} 
$S^{r}(f) \in
\Bbb{R}$ durch die Vorschrift
$$S^{r}(f) \pdef \sum_{i=0}^{r-1} f(t_{i}) (t_{i+1}-t_{i}) = \sum_{i=0}^{r-1} f(t_{i})
(\tfrac{b-a}{r})$$
\begin{figure}[p]
  \centering
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildRs}
\\
\noindent
Die schraffierte Fl"ache stellt die f"unfte Riemannsumme der
durch den geschwungenen Graphen beschriebenen Funktion dar.
\end{figure}
In der anschlie"senden Proposition \ref{RS} werden wir 
$$\int^{b}_{a}f = \lim_{r\ra \infty} S^{r}(f)$$
zeigen. Damit erhalten wir dann sofort
$$\begin{array}{ccl}
\int^{b}_{a} (f+g)& = &\underset{r\ra \infty}{\lim} S^{r} (f+g) \\
 &=& \underset{r\ra \infty}{\lim} (S^{r}(f)+S^{r}(g))\\
 &=& \underset{r\ra \infty}{\lim}S^{r}f +\underset{r\ra \infty}{\lim} S^{r}g\\
 &=& \int^{b}_{a}f + \int^{b}_{a}g
\end{array}$$
und "ahnlich folgt $\int^{b}_{a}\lambda f = \lambda \int^{b}_{a}f$.
\end{proof}

\begin{Proposition}\label{RS}
F"ur $a\leq b$ und 
$f: [a,b] \ra \Bbb{R}$ stetig gilt 
$\int^{b}_{a}f =\underset{r\ra \infty}{\lim} S^{r}
(f)$.
\end{Proposition}
\begin{Bemerkunge}
In der Notation $\int_a^b f(x)\diff x$, 
die auf den Philosophen und Mathematiker Leibniz zur"uckgeht,
bedeutet das Integralzeichen\label{NoIn}
$\int$ ein {\em S} wie \glqq Summe\grqq\ 
und $\diff x$ meint die \glqq Differenz im $x$-Wert\grqq. 
Manchmal verwendet man auch allgemeiner f"ur eine weitere 
Funktion $g: [a,b] \ra \Bbb{R}$ mit guten Eigenschaften, 
etwa f"ur $g$  die Differenz
zweier monoton wachsender Funktionen, die Notation
$\int f\diff g$, und meint damit 
den Grenzwert der Summen $\sum_{i=0}^{r-1} f(t_{i}) (g(t_{i+1})-g(t_{i}))$,
dessen Existenz  in \eref{WII1}{AN2} folgende in  gro"ser
Allgemeinheit  diskutiert wird.
\end{Bemerkunge}
\begin{figure}[p]
  \centering
  \includegraphics[height=0.3\textheight]{SkriptenBilder/BildBeI}
\\
\noindent
In der Notation $\int_a^b f(x)\diff x$, 
die auf den Philosophen und Mathematiker Leibniz zur"uckgeht,
bedeutet das Integralzeichen
$\int$ ein {\em S} wie \glqq Summe\grqq\ 
und $\diff x$ meint die \glqq Differenz im $x$-Wert\grqq. 
\end{figure}
\begin{Bemerkungl}
Man mag versucht sein, die in  Proposition \ref{RS} 
enthaltene Beschreibung 
gleich als Definition des Integrals zu nehmen. Ich rate davon jedoch ab, da die
Existenz des fraglichen Grenzwerts nicht so leicht zu zeigen ist, und 
da auch die Zweite unserer Integrationsregeln \ref{InRe} aus dieser Definition
nicht so direkt folgt. Nun kommt das nat"urlich eigentlich
nicht darauf an, wenn unsere  Definitionen "aquivalent sind. 
Aber man legt eben auch in Deutschland ein zentrales Auslieferungslager
besser nach Frankfurt als nach Freiburg!
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
Wir definieren zus"atzlich zur $r$-ten Riemann-Summe die {\bf $r$-ten 
Untersummen}\index{Untersumme}
und {\bf Obersummen}\index{Obersumme}\begin{figure}[p]
  \centering
  \includegraphics[height=7cm]{SkriptenBilder/BildOU}
\\
\noindent
Die  schraffierte Fl"ache stellt die vierte Obersumme der
durch den geschwungenen Graphen beschriebenen Funktion dar, der 
kreuzweise schraffierte Teil ihre Untersumme.
\end{figure} durch
$$\underline{S}^{r}(f) \pdef \sum^{r-1}_{i=0}(\inf f[t_{i},t_{i+1}])(
\tfrac{b-a}{r})
\quad\text{und}\quad
\overline{S}^{r} (f)\pdef \sum^{r-1}_{i=0} (\sup f[t_{i},t_{i+1}])
(\tfrac{b-a}{r})
$$
und behaupten die Ungleichungen
$$\begin{array}{ccccc}
\underline{S}^{r}(f) & \leq & S^{r}(f) &\leq&\overline{S}^{r}(f)\\
\underline{S}^{r}(f) &\leq & \int_{a}^{b} f&\leq & \overline{S}^{r}(f)
\end{array}$$
Die erste Zeile ist offensichtlich. Die zweite Zeile erhalten wir zum Beispiel,
indem wir aus den bereits bewiesenen Teilen 1 und 3 
des Satzes die Ungleichungen
$$(\inf f[t_{i},t_{i+1}])(\tfrac{b-a}{r})
\leq \int_{t_{i}}^{t_{i+1}} f\leq (\sup f[t_{i},t_{i+1}])
(\tfrac{b-a}{r})$$
folgern, diese Ungleichungen aufsummieren, 
und die Mitte mit dem auch bereits bewiesenen Teil 2
des Satzes zu $\int_a^b f$ zusammenfassen.
Damit sind beide Zeilen von Ungleichungen bewiesen.
Nun ist $f$ auf $[a,b]$ gleichm"a"sig stetig nach \ref{glst}, 
f"ur beliebiges $\varepsilon  >0$ existiert also
$\delta =\delta_\varepsilon > 0$ mit $|x-y| 
< \delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon $.
W"ahlen wir $N$ mit
$(\frac{b-a}{N})<\delta$ und nehmen dann $r\geq N$, so schwankt unsere
Funktion $f$ auf jedem Teilintervall $[t_{i},t_{i+1}]$ 
h"ochstens um $\varepsilon $,
mithin gilt $0 \leq \overline{S}^{r}
(f) - \underline{S}^{r}(f) \leq \varepsilon  (b-a)$ und damit
$|S^{r}(f) - \int^{b}_{a}
f | \leq \varepsilon  (b-a)$.
Die Proposition ist gezeigt.
\end{proof}

\begin{Beispiel}[\textbf{Fl"ache eines rechtwinkligen Dreiecks als Integral}]
  F"ur $b\in\DR_{\geq 0}$ finden wir
\begin{displaymath}\begin{array}[t]{ccl}
\int^{b}_{0} x \;\diff x& = &\lim_{r\ra \infty} \left(  \frac{0}{r} +\frac{b}{r} + \frac{2b}
{r} + \cdots \frac{(r-1)b}{r}\right) 
\frac{b}{r}\\[2mm]
 &=& \lim_{r\ra \infty} \frac{r(r-1)}{2} 
\cdot \frac{b^{2}}{r^{2}}
\quad\text{ nach \ref{ErFa}}\\[2mm]
 &=& \frac{b^{2}}{2}
 \end{array}
\end{displaymath}
 \end{Beispiel}


\begin{Lemma}[\textbf{Standardabsch"atzung f"ur Integrale}]
Gegeben $a\leq b$ reelle Zahlen  und 
$f:[a,b]\ra\Bbb{R}$ stetig gilt die Absch"atzung
$$\left| \int^{b}_{a}f \right| \leq \int^{b}_{a} |f|$$
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
Aus $-|f| \leq f\leq |f|$ folgt $-\int |f| \leq \int f \leq \int |f|$.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Integrale mit vertauschten Grenzen}] 
Ist $f:\DR\supset I\ra\Bbb{R}$ eine stetige Funktion auf einem  Intervall  ein Intervall $I$ 
und sind $a,b\in I$ gegeben mit $a>b$, so erkl"aren\label{IGV} 
wir $\int_a^b f(x)\diff x$ durch die Vorschrift 
$$\int_a^b  f(x)\diff x\pdef -\int_b^a  f(x)\diff x$$
Mit dieser Konvention
gilt dann f"ur beliebige 
$a,b,c\in I$  die Formel
$$\int^{c}_{a} f(x)\diff x
=\int^{b}_{a}  f(x)\diff x + \int^{c}_{b} f(x)\diff x$$  
\end{Bemerkungl}

\begin{Bild} 
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildARiS}\\[4mm]
\noindent 
Darstellung einer Riemannsumme im Sinne von \ref{ARS}.
\end{Bild}

\subsubsection*{"Ubungen} 
\begin{Ubung} Diese "Ubung wird verwendet bei der Diskussion der Bogenl"ange.\label{ARS}
Sei $a=a_{0}\leq a_{1}\leq a_{2}\leq \ldots \leq a_{n} =b$
eine {\bf Unterteilung}\index{Unterteilung!von Intervall} 
des kompakten reellen
Intervalls $[a,b]$.
Gegeben eine Funktion $f:[a,b]\ra\Bbb{R}$
bezeichnet man die Summen
$$\sum_{i=0}^{n-1} f(\zeta_i)(a_{i+1}-a_{i})$$
mit beliebigen $\zeta_i\in [a_{i},a_{i+1}]$ als die {\bf
Riemann-Summen}\index{Riemannsumme!f"ur reelle Funktion}
von $f$ zur vorgegebenen Unterteilung.
Die maximale L"ange $\sup\{a_i-a_{i-1}\mid 1\leq i\leq n\}$ 
eines Teilintervalls
hei"st die {\bf Feinheit} der Unterteilung.
Man zeige: Ist $f:[a,b]\ra\Bbb{R}$ stetig, so gibt es zu 
jedem $\varepsilon>0$ ein $\delta>0$
derart, da"s alle Riemannsummen von $f$ zu 
Unterteilungen der Feinheit $\leq\delta$
vom Integral $\int f$ einen Abstand $\leq \varepsilon$ haben.
\end{Ubung}
\begin{Bemerkunge}
 Allgemeiner hei"st eine nicht notwendig stetige Funktion
auf einem kompakten reellen Intervall 
 $f:[a,b]\ra\Bbb{R}$ 
{\bf
  Riemann-integrierbar}\index{Riemann-integrierbar} 
{\bf mit Integral $\int f$},\index{integrierbar!Riemann-integrierbar}  
 wenn die Bedingung vom Ende der vorhergehenden 
"Ubung erf"ullt ist, da"s es n"amlich zu 
jedem $\varepsilon>0$ ein $\delta>0$
gibt derart, da"s alle Riemann-Summen von $f$ zu 
Unterteilungen der Feinheit $\leq\delta$
von $\int f$ einen Abstand $\leq \varepsilon$ haben. 
Wir  werden  in diesem Text den
Begriff der Riemann-In\-te\-grier\-bar\-keit vermeiden: Sp"ater wird eh 
das sehr viel st"arkere Lebesgue-Inte\-gral eingef"uhrt, und bis dahin
reicht unser Integrationsbegriff f"ur stetige Funktionen
aus. F"ur ein vertieftes Studium  der Analysis
ist jedoch auch der Begriff der Riemann-In\-te\-grier\-bar\-keit relevant.
\end{Bemerkunge}
\begin{Ubunge}
Man zeige den \defnoind{Mittelwertsatz der Integralrechnung}:
\index{Mittelwertsatz!der Integralrechnung} Gegeben 
ein nichtleeres kompaktes Intervall $[a,b] \subset \Bbb{R}$ und 
$f: [a,b] \ra \Bbb{R}$
stetig gibt es $\xi \in [a,b]$ mit $\int f = (b-a) f(\xi)$. 
Gegeben eine weitere stetige
Funktion $g: [a,b] \ra \Bbb{R}_{\geq 0}$ gibt es sogar $\xi \in [a,b]$ 
mit $\int fg = f(\xi) \int g$.
\end{Ubunge}






\subsection{Ableitung an einer Stelle}\label{Ablei} 
\begin{Definition}\label{dhoR}
Wir nennen eine Teilmenge 
$D\subset\DR$ {\bf halboffen},\index{halboffen!Teilmenge von $\DR$} 
wenn sie mit jedem Punkt auch mehrpunktiges Intervall umfa"st, das 
besagten Punkt enth"alt.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl} Halboffene Teilmengen k"onnen ziemlich
  absonderlich aussehen, man denke nur an irgendeine Abz"ahlung der
  rationalen Zahlen $q_1, q_2, \ldots$ und die Vereinigung der
  Intervalle $[q_i, q_i+2^{-i}]$. Unser Ziel ist  nicht eine
  Ausdehnung des Differenzierbarkeitsbegriffs auf derartig abstruse F"alle, sondern vielmehr ein begrifflicher Rahmen, der auch noch das Differenzieren an Randpunkten
  kompakter Intervalle erlaubt. Das hinwiederum kommt oft vor und
  ist fast so wichtig wie der Beckenrand beim Schwimmbad, der ja auch dann ben"otigt wird, wenn man eigentlich nur im Wasser schwimmen will. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}\label{DEV}
 Eine Funktion $f: \Bbb{R}\supset D \ra \Bbb{R}$ mit halboffenem Definitionsbereich $D$ 
hei"st\index{Ableitung!bei fester Stelle} 
{\bf differenzierbar bei $p\in D$ mit Ableitung $b \in \Bbb{R}$},
\index{differenzierbar!in einer Ver"anderlichen}  wenn 
gilt
$$\lim_{x\ra p}
\frac{f(x) - f(p)}{x-p} = b$$
Wir k"urzen diese Aussage  ab durch $f^{\prime}(p) = b$ oder
$\frac{\diff f}{\diff x} (p) =b$  
oder,\index{)6@$f'$ Ableitung}\index{)0d@$f'$ Ableitung}
wenn die Funktion $x\mapsto f(x)$ durch
einen gr"o"seren
Ausdruck in $x$ gegeben ist, 
durch $$\left.\frac{\diff }{\diff x}\right|_{x=p} f(x) =b$$
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
Jede nicht vertikale alias nicht zur $y$-Achse parallele 
Gerade in der Ebene ist die
L"osungsmenge genau einer Gleichung der Gestalt $y=a+bx$. Die reelle Zahl 
$b$ hei"st
in diesem Fall die \defind{Steigung} unserer Gerade.
Anschaulich bedeutet der {\bf Differenzenquotient}
\begin{figure}[p]
  \centering
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildAb}
\\
\noindent
Eine Sekantensteigung und die Tangentensteigung der durch den 
gezahnten Graphen dargestellten Funktion
\end{figure}
$$
\frac{f(x) - f(p)}{x-p} 
$$ 
die Steigung der Gerade durch die Punkte 
$(p,f(p))$ und $(x,f(x))$. Diese Gerade hei"st auch 
eine \defind{Sekante}, lateinisch f"ur \glqq Schneidende\grqq,
da sie eben den Graphen unserer Funktion
in den beiden besagten Punkten schneidet.
Der Grenzwert 
$f^{\prime}(p)$ 
der Sekantensteigungen bedeutet 
anschaulich die Steigung der \defind{Tangente},
lateinisch f"ur \glqq Ber"uhrende\grqq,  an den
Graphen von $f$ 
im Punkt $(p,f(p))$. Die Umkehrung dieser Anschauung liefert 
auch eine pr"azise Definition besagter Tangente als der Gerade durch
den Punkt $(p,f(p))$ mit der Steigung $f^{\prime}(p)$. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Differenzierbarkeit, Umformulierungen der
Definition}]
Wir geben noch zwei Umformulierungen der
Definition der Differenzierbarkeit. Ist $D \subset \Bbb{R}$ 
eine halboffene Teilmenge, so ist nach \ref{LS} eine Funktion 
$f: D \ra \Bbb{R}$\label{NoA} %\label{VD} 
differenzierbar bei $p$ mit Ableitung $f'(p)=b $ genau
dann, wenn es eine Funktion $\varphi=\varphi_p : D \ra \Bbb{R}$ gibt, die stetig ist bei
$p$ mit Funktionswert $\varphi (p) =b$ alias
$\lim_{x\ra p}\varphi(x)=\varphi(p)=b$ derart, da"s f"ur alle $x\in D$ gilt
$$ f(x) = f(p) + (x-p)\varphi (x)$$
Das bedeutet, da"s die
{\bf Sekantensteigungsfunktion}  
$\varphi (x)\pdef(f(x)-f(p))/(x-p)$ durch die Vorschrift $\varphi (p)=b$
stetig an die Stelle  $p$ fortgesetzt werden kann.
In nochmals anderen Formeln  ist 
unsere Funktion $f:D\ra \DR$ differenzierbar
bei $p$ mit Ableitung $f'(p)=b$ genau dann, wenn gilt
$$f(p+h)=f(p)+ bh + \varepsilon(h)h$$
f"ur eine 
Funktion $\varepsilon$,  die stetig ist bei Null  und die dort den Wert 
$\varepsilon(0)=0$ annimmt, in Formeln
$\lim_{h\ra 0}\varepsilon(h)=\varepsilon(0)=0$.
Hierbei ist zu verstehen, da"s die Funktion
$\varepsilon$ 
definiert sein  soll auf der Menge aller $h$ mit $h+p\in D$.
Diese Formulierung des Ableitungsbegriffs
hat den Vorteil, besonders gut zum Ausdruck zu bringen,
inwiefern f"ur  festes $p$ und kleines $h$ 
der Ausdruck $f(p)+ bh$ eine besonders gute Approximation von $f(p+h)$ ist.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiele}
Eine konstante Funktion $\DR\ra\DR$ ist an jeder Stelle 
differenzierbar mit Ableitung Null.
Die Funktion $\op{id}:\Bbb{R}\ra\Bbb{R}$, $ x\mapsto x$ hat bei jedem Punkt $p$
die Ableitung $\op{id}'(p)=\frac{\diff x}{\diff x}(p)=1$.
\end{Beispiele}
\begin{Lemma}\label{AK}
Die Funktion $x\mapsto \frac{1}{x}$ ist differenzierbar 
bei jedem Punkt von $\Bbb{R}^{\times}$
und ihre Ableitung bei einer Stelle $p\in \Bbb{R}^{\times}$ 
ist $-\frac{1}{p^{2}}$.
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis] Wir rechnen
$\lim_{x\ra p} \frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{p}}{x-p} = \lim_{x\ra p}
\frac{-1}{xp} = -\frac{1}{p^{2}}$ nach \ref{GSS}.
\end{proof}


\begin{Lemma}
 Ist eine
Funktion $f:\DR\supset D\ra\DR$ mit halboffenem Definitionsbereich $D$  differenzierbar bei $p\in D$, 
so ist $f$ stetig bei $p$.
\end{Lemma}
\begin{proof}
  Das folgt aus der Darstellung $f(x)=f(p) + (x-p)\varphi(x)$ mit
  $\varphi$ stetig bei $p$ aus \ref{NoA}.
\end{proof}









\begin{Bemerkungl}
Ist $f:(a,b)\ra\Bbb{R}$ definiert auf einem offenen Intervall um einen Punkt
$p\in(a,b)$ und existieren  die Grenzwerte
$$\lim_{x \nearrow p} \frac{f(x) - f(p)}{x-p}\;\;\;\text{ beziehungsweise }
\;\;\;\lim_{x \searrow p} \frac{f(x) - f(p)}{x-p}$$
im Sinne von \ref{LRGr}, so nennen wir sie die 
{\bf linksseitige}\index{Ableitung!linksseitige, rechtsseitige}
beziehungsweise die {\bf rechtsseitige
Ableitung}
von $f$ an der Stelle $p$.
Nach der Charakterisierung \ref{LRGr}
eines Grenzwerts als "ubereinstimmender rechts- und linksseitiger Grenzwert
ist $f$  differenzierbar bei $p$ genau dann, 
wenn dort die linksseitige und die rechtsseitige Ableitung existieren und
"ubereinstimmen. Man erkennt so zum Beispiel, da"s der Absolutbetrag 
$\op{abs}: \Bbb{R}\ra\Bbb{R},\; x\mapsto |x|$ nicht 
differenzierbar ist bei $p=0$, da dort die linksseitige 
und die rechtsseitige Ableitung zwar existieren, aber nicht
"ubereinstimmen.
\end{Bemerkungl}

\subsection{Ableitungsregeln}
\label{Abre} 
\begin{Proposition}
Seien  Funktionen 
$f,g : \Bbb{R}\supset D \ra \Bbb{R}$ f"ur $D$  halboffen
differenzierbar bei  $p\in D$. So sind auch
die Funktionen $f+g$ und\label{APSu} 
$fg$ differenzierbar bei $p$ und es gilt
$$
 (f+g)^{\prime} (p) = f^{\prime}(p) 
+ g^{\prime}(p)\quad\text{und}\quad
 (fg)^{\prime}(p)= f^{\prime}(p)g(p) + f(p) g^{\prime}(p)
$$
\end{Proposition}
\begin{proof}[Beweis]
Wir schreiben wie in \ref{NoA}
$$\begin{array}{ccccccc}
f(p+h)& = & f(p) & + & f'(p)h& +&\varepsilon (h)h\\
g(p+h)& = & g(p) & + & g'(p)h &+&\hat{\varepsilon} (h)h
\end{array}$$
f"ur Funktionen $\varepsilon, \hat{\varepsilon}$, die stetig
sind bei Null und die dort verschwinden.
Lassen wir der "Ubersichtlichkeit halber alle  $(p)$ weg, so liest sich das 
$$\begin{array}{ccccccc}
f(p+h)& = & f  & + & f' h& +&\varepsilon (h)h\\
g(p+h)& = & g  & + & g' h &+&\hat{\varepsilon} (h)h
\end{array}$$
Durch Addieren beziehungsweise Multiplizieren dieser Gleichungen erhalten
wir dann 
$$
\begin{array}{ccl}
(f+g) (p+h) &=& (f+g)(p) + \left[f' +g' \right]h\;\; +
\big(\varepsilon (h)+\hat{\varepsilon} (h)\big)h\\[3mm]
(f g)(p+h) &=& (f g)(p)+ \left[f' g + f g' \right]h\\[1mm]
&&+\big(\varepsilon (h)g  + f \hat{\varepsilon} (h) +
 (f'  + {\varepsilon}(h))(g'  + \hat{\varepsilon} (h)) h
  \big)h
\end{array}$$
Nach unseren Kenntnissen "uber stetige Funktionen steht aber in der
letzten eckigen Klammer auf der rechten Seite 
jeder dieser Gleichungen
eine Funktion, die stetig ist bei $h=0$ und die dort den Wert Null annimmt.
\end{proof}





\begin{Definition}
  Ist eine Funktion $f:\Bbb{R}\supset D\ra\Bbb{R}$ mit
 $D$ halboffen  
differenzierbar an jedem Punkt von $D$,
so nennen wir $f$ 
{\bf differenzierbar auf $D$}
und nennen die Funktion
$f':D\ra\Bbb{R}$, $p\mapsto f'(p)$ ihre 
{\bf Ableitung}.\index{Ableitung!als Funktion}   
\end{Definition}


\begin{Beispiel}
Die Funktion
$x\mapsto 1/x$ ist differenzierbar auf $\Bbb{R}^\times$ mit Ableitung
$-1/x^2$. Sind
$f$ und $g$ differenzierbar, so auch $f+g$ und $fg$ und 
f"ur ihre Ableitungen gelten die \defind{Summenregel} und die
{\bf Produktregel}\index{Produktregel!f"ur reelle Funktionen} oder 
{\bf Leibniz-Regel}\index{Leibniz-Regel!f"ur reelle Funktionen}
$$(f+g)'=f'+g' \quad\text{und}\quad(fg)'=f'g+fg'$$  
\end{Beispiel}

\begin{Korollar}[\textbf{Ableiten ganzzahliger Potenzen}]
F"ur alle $n\in\DZ$ und unter der Voraussetzung $x\neq 0$ im Fall $n\leq 0$
ist die Ableitung der Funktion $x\mapsto x^n$
die Funktion $x\mapsto nx^{n-1}$.
\end{Korollar}
\begin{Bemerkungl}
  Im Fall $n=0$ ist die Ableitung der
konstanten Funktion $x^0=1$ nat"urlich "uberall definiert und 
Null, kann
aber nur f"ur $x\neq 0$ in der Form $0x^{-1}$ geschrieben werden.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
Man zeigt das durch vollst"andige Induktion "uber $n$ separat f"ur
$n\geq 0$ und $n\leq -1$.
\end{proof}
\begin{Satz}[\textbf{Kettenregel}]\label{KeRe}
Seien $D,E\subset\DR$ halboffene Teilmengen  
und\index{Kettenregel!in einer Ver"anderlichen!reell} 
$f : D \ra \Bbb{R}$ sowie
 $g : E \ra \Bbb{R}$ Funktionen und es gelte
$f(D) \subset E$. Sei 
$f$ differenzierbar bei $p\in D$ und
$g$ differenzierbar bei
$f(p)$.
So ist $g\circ f: D \ra \Bbb{R}$ differenzierbar bei $p$ mit
Ableitung
$$(g\circ f)^{\prime}(p) = g^{\prime} (f(p)) \cdot f^{\prime}(p)$$
\end{Satz}

\begin{proof}[Beweis]
Der 
besseren "Ubersichtlichkeit halber
benutzen wir  hier Gro"sbuchstaben f"ur die Ableitungen
und setzen  $ f'(p)=L$ und $g'(f(p))=M$. 
Wir haben
$$\begin{array}{rll}
f(p+h)&=& f(p)+Lh+\varepsilon(h)h\\[2mm]
g(f(p)+k)&=& \;\! g(f(p)) + Mk+\hat{\varepsilon} (k)k
\end{array}$$
f"ur Funktionen $\varepsilon$ und 
$\hat{\varepsilon}$, die stetig
sind bei Null und die dort verschwinden.
Wir erhalten durch Einsetzen von $Lh+\varepsilon(h)h$ f"ur $k$ sofort
$$\begin{array}{lll}
g( f (p+h)) &=& g\big(f(p)+Lh+\varepsilon(h)h\big)\\[2mm]
&=& g(f(p)) + MLh + M\varepsilon(h)h+ \hat{\varepsilon}
(Lh+\varepsilon(h)h)(L+\varepsilon(h))h
\end{array}$$
Es ist nun aber offensichtlich, da"s 
sich hier die Summe der 
Terme ab dem dritten Summanden einschlie"slich
in der Gestalt $\eta(h)h$ schreiben l"a"st
f"ur eine Funktion $\eta$,  die stetig
ist bei Null und die dort verschwindet, und wir erhalten 
\begin{equation*}
(g\circ f)(p+h)=(g\circ f)(p)+MLh +\eta(h)h\qedhere
\end{equation*}

\end{proof}

\begin{Proposition}[\textbf{Quotientenregel}]
\index{Ableitung!von Br"uchen, reell}\index{Quotientenregel}
Sei $f: \Bbb{R}\supset D \ra \Bbb{R}$
eine Funktion ohne Nullstelle und $D\subset\DR$  halboffen. 
\begin{enumerate}
\item
Ist $f$ differenzierbar bei $p\in D$, 
so ist auch $1/f : D \ra \Bbb{R}$, $x \mapsto 1/{f(x)}$
differenzierbar bei $p$ 
und hat dort die Ableitung ${-f^{\prime}(p)}/
{f(p)^{2}}$;
\item
Ist zus"atzlich $g: D\ra \Bbb{R}$ differenzierbar bei $p$, so ist auch
${g}/{f}$ differenzierbar bei $p$ mit Ableitung $$
\left(\frac{g}
{f}\right)^{\prime}(p)=
\frac{g'(p)f(p) -g(p)f'(p)}
{f(p)^{2}}$$
\end{enumerate}
\end{Proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Teil 1 folgt sofort aus der Formel \ref{AK} f"ur die Ableitung
  de Funktion $x\mapsto 1/x$ mit der Kettenregel.
Teil 2 folgt aus Teil 1 mit der Produktregel.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl} Seien $D\subset \DR$ halboffen und  $g,f:\DR\supset D\ra\DR$ differenzierbar. Hat $f$ keine
Nullstelle auf $D$, so ist  auch $g/f$ differenzierbar 
auf $D$ mit der Ableitung
$$
\left(\frac{g}
{f}\right)^{\prime}=
\frac{g'f -gf'}
{f^{2}}$$
\end{Bemerkungl}
\begin{Lemma}[\textbf{Ableitung der Exponentialfunktion}]
\index{Ableitung!Exponentialfunktion}
Die Exponentialfunktion ist ihre eigene Ableitung, in Formeln\label{Aex} 
$\exp^{\prime}(p)=\exp(p) \; \forall p \in \Bbb{R}$.
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
In \ref{PRD} werden wir lernen, da"s man \glqq Potenzreihen 
gliedweise differenzieren darf\grqq.
Da wir das aber bis jetzt noch nicht wissen,
m"ussen wir etwas mehr arbeiten.
Wir bestimmen zun"achst die Ableitung der Exponentialfunktion an der Stelle
$p =0$ und erhalten
$$\begin{array}{ccl}
\exp^{\prime}(0) &=& \lim_{x\ra 0}\frac{\exp (x) -\exp (0)}
{x-0}\\[2mm]
&=& \lim_{x\ra 0}\sum^{\infty}_{i=1} \frac{x^{i-1}}{i!}\\[2mm]
&=& \lim_{x\ra 0} \left( 1+x\sum^{\infty}_{i=2} \frac{x^{i-2}}{i!}\right)\\[2mm]
&=& 1
\end{array}$$
nach  unseren Erkenntnissen zum Grenzwert durch Einquetschen \ref{BL2} und
Grenzwert von Summe und Produkt \ref{BL}, da ja
$| \sum^{\infty}_{i=2}\frac{x^{i-2}}{i!}| $
f"ur $|x|\leq 1$ beschr"ankt ist 
durch die Euler'sche Zahl $\op{e.}$
Um $\exp^{\prime}(p)$ f"ur beliebiges $p$ zu bestimmen, 
rechnen wir
$$\begin{array}{ccl}
\exp^{\prime}(p) &=& \lim_{h\ra 0}\frac{\exp (p+h) -\exp (p)}
{h}\\[2mm]
&=& \lim_{h\ra 0}\frac{\exp (h)\; -\;1}
{h}\exp (p)\\[2mm]
&=& \exp (p)
\end{array}$$
Hier verwenden  wir im letzten Schritt den schon behandelten Fall $p=0$
und formal im ersten  Schritt eine der Verkn"upfungsregeln f"ur Grenzwerte aus  \ref{GWSt}, 
um den Grenzwert $x\ra p$ in einen Grenzwert $h\ra 0$ umzuformen.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Ableitung der trigonometrischen Funktionen}]
Ganz genau wie im vorhergehenden Beweis zeigt man, da"s Sinus und Cosinus
bei Null differenzierbar sind mit der Ableitung $\sin'(0)=1$ und $\cos'(0)=0$.
Mit der Additionsformel  $\sin(t+h)=\sin(t)\cos(h)+\cos(t)\sin(h)$
folgt $\sin'=\cos$ und mit der anderen Additionsformel $\cos'=-\sin$.
\end{Bemerkungl}

\begin{Satz}[\textbf{Ableitung von 
Umkehrfunktionen}\index{Ableitung!von Umkehrfunktion!reell}]\label{AU}
Seien $I\subset\Bbb{R}$ ein mehrpunktiges Intervall sowie
 $f:I \ra \Bbb{R}$ streng monoton, stetig auf $I$ und differenzierbar bei
 $p\in I$ mit
Ableitung $f^{\prime}(p) \neq 0$. So ist die Umkehrfunktion $f^{-1}:
f(I) \ra \Bbb{R}$ differenzierbar bei 
$q=f(p)$ mit Ableitung $$(f^{-1})^{\prime}
(q) =1/{f^{\prime}(f^{-1}(q))}$$
\end{Satz}
\begin{figure}[p]
  \centering
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildUFA}
\\
\noindent
Veranschaulichung der Formel \ref{AU} f"ur die
Ableitung von Umkehrfunktionen
\end{figure}
\begin{proof}[Beweis]
Nach unseren Annahmen gibt es eine stetige Funktion ohne Nullstelle
$\varphi : I \ra \Bbb{R}$ mit $f(x) - f(p)= (x-p) \varphi (x)$ und
$\varphi (p) = f^{\prime} (p)$.
Setzen wir hier $x = f^{-1}(y)$, so ist $\psi = 1/(\varphi\circ f^{-1})
:f(I) \ra \Bbb{R}$ eine stetige Funktion mit $(y-q)\psi (y)= f^{-1}
(y)-f^{-1}(q)$ und $\psi (q) = 1/{f^{\prime}(p)}$.
\end{proof}
\begin{Beispiel}
Die {\bf Ableitung des Logarithmus}\index{Ableitung!Logarithmus} 
ist mithin $$\log^{\prime} (q) =
\frac{1}{\exp (\log q)} = \frac{1}{q}$$
Damit ergibt sich f"ur alle $a \in \Bbb{R}$ die 
{\bf Ableitung der allgemeinen Potenzen},
\index{Ableitung!allgemeiner Potenzen}
also der Funktionen  $(0,\infty)\ra \Bbb{R}$,
$x\mapsto x^{a}$, zu $x \mapsto ax^{a-1}$.
In der Tat,
nach Definition gilt ja $x^{a}=\exp (a \log x)$, die Ableitung wird
also $a \frac{1}{x} \exp (a \log x) = ax^{a-1}$.  
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}
Der Arcussinus ist nach \ref{AU} differenzierbar
auf $(-1,1)$ und seine Ableitung ergibt
sich mit unserer Regel f"ur die Ableitung einer Umkehrfunktion
zu\label{abarcs} 
$$\begin{array}{ccl}
\arcsin'(x)&=&1/(\cos(\arcsin x))\\
 &=& 1/\sqrt{1-\sin^{2}(\arcsin x)}\\
 &=& 1/\sqrt{1-x^2}\end{array}$$
\end{Beispiel}

\begin{Beispiel}\label{AbAr}
Die
Ableitung des Tangens ergibt sich mit der Quotientenregel zu
$\tan^{\prime}(x) = \frac{\cos^{2} x + \sin^{2}x}
{\cos^{2}x} = 1 + \tan^{2}(x)$.
Die Ableitung von $\arctan$ ergibt sich mit der Regel \ref{AU}
"uber die Ableitung der Umkehrfunktion zu
$$\arctan^{\prime} (t) = \frac{1}{1+t^{2}}$$
\end{Beispiel}

\begin{Lemma}\label{e1x}
Die Funktion $f: \Bbb{R} \ra \Bbb{R}$ gegeben durch 
$$\begin{array}{lcr}
f(x) &=& \left\{\begin{array}{lr} \op{e}^{-1/x} & x>0 \\ 0&x\leq 0 \end{array}
\right. \end{array}$$
ist beliebig oft differenzierbar.
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
Wir betrachten allgemeiner f"ur alle $n \in \DN$ die Funktion
$f_{n} : \Bbb{R} \ra \Bbb{R}$,
$$\begin{array}{rcl}
f_{n} (x) &=& \left\{ \begin{array}{cl} x^{-n}\op{e}^{-1/x} & x >0\\
0 &x \leq 0 \end{array}\right. \end{array}$$
und zeigen, da"s sie differenzierbar ist mit Ableitung $f^{\prime}_{n}
= -nf_{n+1} + f_{n+2}$.
Damit sind wir dann nat"urlich fertig. Das einzige Problem ist die
Ableitung an der Stelle $p=0$, wo wir nachweisen m"ussen,
da"s die Sekantensteigungen \glqq von rechts\grqq\  auch gegen Null streben,
da"s also f"ur alle $n \in \Bbb{N}$ gilt
$$\lim_{x\searrow 0} x^{-n-1} \op{e}^{-1/x} =0$$
Nun wissen wir aber nach der Definition von $\exp$, da"s f"ur
jedes $m\in \DN$ und $x>0$ gilt $\exp (x) > x^{m}/m!$. F"ur jedes $n\in\DN$
und $x>0$ gilt also
$\exp (1/x) > x^{-n-2}/(n+2)!$ und wir folgern $0<x^{-n-1}\op{e}^{-1/x}<
(n+2)!\;x$  f"ur $x>0$.
\end{proof}

\subsubsection*{"Ubungen} 
\begin{Ubung}[\textbf{Eine differenzierbare Funktion mit unstetiger Ableitung}]
 Die Funktion $f: \Bbb{R} \ra \Bbb{R}$ gegeben durch 
$f(x) = x^{2}\op{sin} (x^{-1})$ f"ur $x \neq 0$ und
$f(0) =0$ ist differenzierbar auf $\Bbb{R}$, aber 
ihre Ableitung ist nicht stetig beim Nullpunkt.\label{nsdb} 
\end{Ubung}
\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildSiI}\\[4mm]
\noindent 
Illustration zu \ref{nsdb}. Der Graph der Funktion
ist zwischen zwei
parabolischen Backen eingezw"angt und hat deshalb am Ursprung 
Null Grenzwert der Sekantensteigungen, hat aber beliebig nah
am Ursprung immer wieder Stellen mit Steigung Eins. Die entsprechend durch
$ x^{2}\op{sin} (x^{-2})$ gegebene Funktion wird sogar beliebig nah am Ursprung beliebig steil.
\end{figure}



\subsection{Folgerungen aus Eigenschaften der Ableitung}\label{FoEA}
\begin{Definition}\label{Roff}
Eine Teilmenge der reellen Zahlen hei"st 
\defnoind{offen}\index{offen!in $\DR$}, 
wenn sie f"ur jeden ihrer Punkte eine Umgebung ist.
In Formeln ist
demnach eine Teilmenge $U\subset\DR$ offen genau dann, 
wenn es f"ur jeden Punkt $p\in U$ ein $\varepsilon>0$ gibt mit
$(p-\varepsilon, p+\varepsilon)\subset U$.
\end{Definition}
\begin{Satz}[\textbf{Notwendige Bedingung f"ur ein Extremum}]\label{NBM}
Nimmt
eine reellwertige Funktion, die auf einer offenen Teilmenge der
reellen Zahlen definiert ist, an einem
Punkt dieser offenen Teilmenge ihr Maximum oder ihr Minimum an,  
und ist sie dort differenzierbar, so verschwindet 
an diesem Punkt ihre Ableitung.
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl} In Formeln haben wir also
$$\big(f:\DR\lco U\ra\DR\text{ diffbar bei }p\in U\text{ mit }f(x)\geq f(p)\;\forall x\in  U\big)\RA f'(p)=0.$$
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}\label{OBWe}
  Die Bedingung, unsere Teilmenge sei offen, ist an dieser Stelle wesentlich:
Gegeben reelle Zahlen $a<b$ nimmt etwa die Funktion $x\mapsto x$ auf
dem Intervall $[a,b]$ ihr Minimum bei $a$ und ihr Maximum bei $b$ an,
aber die Ableitung unserer Funktion verschwindet weder bei $a$ noch bei $b$.
F"ur Minima oder Maxima einer Funktion 
$f:[a,b]\ra \DR$, die auf $(a,b)$ differenzierbar ist,
kommen ganz allgemein nach unserem Satz nur in Frage:
Einerseits Endpunkte des Intervalls, und andererseits die Punkte im Innern
des Intervalls, an denen die Ableitung verschwindet. Mit etwas Gl"uck
k"onnen wir unter diesen Punkten dann durch Ausprobieren herauskriegen, wo
das Minimum und das Maximum  wirklich angenommen werden.
\end{Bemerkungl}
\begin{figure}[p]
  \centering
  \includegraphics[height=0.4\textheight]{SkriptenBilder/BildNBM}
\\
\noindent
Veranschaulichung der notwendigen Bedingung f"ur ein Maximum \ref{NBM}
\end{figure}
\begin{proof}[Beweis]
Bezeichne $U\subset \DR$ unsere offene Teilmenge und
$f: U \ra \Bbb{R}$ unsere Funktion.
Nimmt $f$ ein Maximum an bei $p\in U$, 
so gilt f"ur die Sekantensteigungsfunktion
$\varphi (x) = \frac{f(x)-f(p)}{x-p}$ offensichtlich $\varphi (x) \geq
0$ f"ur $x < p$ und $\varphi (x) \leq 0$ f"ur $x >p$.
Wenn der Grenzwert der Sekantensteigungen existiert, so folgt  
aus der Erhaltung \ref{UGG} von Ungleichungen im Grenzwert 
$0\leq \lim_{x\nearrow p}\varphi (x)=\lim_{x\ra p}\varphi (x)=
\lim_{x\searrow p}\varphi (x)\leq 0$
und damit ist dann dieser Grenzwert Null.
Nimmt $f$ ein Minimum an bei $p$, so
argumentiert man analog.
\end{proof}


\begin{Beispiel}
Das \defind{Brechungsgesetz} behauptet, da"s das Verh"altnis
vom Sinus des Eintrittswinkels zum Sinus des Austrittswinkels eines
Lichtstrahls beim "Ubergang zwischen zwei Medien, sagen wir Luft und Wasser,
konstant ist. Wir leiten es nun ab aus dem sogenannten 
{\bf Fresnel'schen 
Prinzip}, nach dem ein Lichtstrahl\index{Fresnel'sches Prinzip}
\glqq stets den schnellsten Weg nimmt\grqq.
Ist sagen wir die Lichtgeschwindigkeit in 
Wasser das $\gamma$-fache der Lichtgeschwindigkeit
in Luft, so sollte nach diesem Prinzip der 
Lichtstrahl mit den Bezeichnungen aus nebenstehendem
Bild 
\begin{figure}[p]
  \centering
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bild0028}
\\ \noindent Zum Brechungsgesetz
\end{figure}
bei dem $x$ in das Wasser eintauchen, f"ur das der Ausdruck
\begin{displaymath}
\sqrt{a^2 + x^2} + \gamma \sqrt{b^2 +(L-x)^2}
\end{displaymath}
minimal wird. Ableiten liefert daf"ur die notwendige Bedingung
\begin{displaymath}
\frac{2x}{2\sqrt{a^2+x^2}} + \gamma \frac{-2(L-x)}{2\sqrt{b^2+(L-x)^2}} =0
\end{displaymath}
und damit steht das Brechnungsgesetz 
$
\sin \varphi = \gamma \sin \varphi'
$
auch schon da. 
\end{Beispiel}


\begin{Satz}[\textbf{von Rolle}\index{Rolle}]\label{Ro}
Seien $a<b$ aus $\bar{\DR}$ gegeben und sei 
$f:[a,b]\ra \Bbb{R}$ stetig auf 
dem kompakten Intervall $[a,b]$ 
und differenzierbar auf 
dem offenen Intervall $(a,b)$.
Gilt dann $f(a) = f(b)$, so gibt es $p \in (a,b)$ mit $f^{\prime}(p)=0$.
\end{Satz}
\begin{proof}[Beweis]
Nach \ref{Mm} gibt es Punkte 
$p,q \in [a,b]$, an denen $f$ sein Maximum und sein
Minimum annimmt.
Liegt einer dieser Punkte im Innern $(a,b)$ unseres Intervalls, so
verschwindet dort die Ableitung nach dem 
vorhergehenden Satz und wir sind fertig.
Nimmt $f$ sein Maximum und sein Minimum auf dem Rand des Intervalls an, so
ist die Funktion 
$f$ wegen unserer Annahme $f(a) = f(b)$ konstant und wir sind auch
fertig.
\end{proof}
\begin{Korollar}[\textbf{Mittelwertsatz}\index{Mittelwertsatz}]\label{MiWS}
Seien  $a,b\in \DR$ gegeben mit $a<b$ und sei 
$f:[a,b]\ra \Bbb{R}$ stetig auf 
dem ganzen kompakten  Intervall $[a,b]$ und differenzierbar auf 
dem offenen Intervall $(a,b)$.
So gibt es $p \in (a,b)$ mit $$f^{\prime} (p) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
\end{Korollar}
\begin{figure}[p]
  \centering
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildMWs}
\\
\noindent
Veranschaulichung des Mittelwertsatzes \ref{MiWS}
\end{figure}
\begin{proof}[Beweis]
Man wende den vorhergehenden Satz von Rolle \ref{Ro} an auf die Funktion
$g:[a,b]\ra \Bbb{R}$, $ g(x) = f(x) -f(a)-(x-a) \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$,
die  aus $f$ entsteht durch \glqq Subtraktion der globalen Sekanten\grqq.
\end{proof}


\begin{Satz}[\textbf{Erste Ableitung und Monotonie}]\label{Roo}
Seien $I\subset\DR$ ein mehrpunktiges Intervall und
$f :I\ra \Bbb{R}$ eine differenzierbare Funktion. So
gilt
$$\begin{array}{rcl}
f^{\prime}>0 & \Rightarrow & f \text{ w"achst streng monoton}\\
f^{\prime} \geq 0& \Leftrightarrow & f \text{ w"achst monoton}\\
f^{\prime} < 0 & \Rightarrow & f \text{ f"allt streng monoton}\\
f^{\prime}\leq 0 & \Leftrightarrow & f \text{ f"allt monoton}\\
f^{\prime} = 0 & \Leftrightarrow & f \text{ ist konstant}
\end{array}$$
\end{Satz}
\begin{proof}[Beweis]
Es reicht, die beiden ersten Aussagen zu zeigen.
W"achst $f$ nicht streng monoton, so gibt es $a<b$ mit $f(a) \geq f(b)$
und nach dem Mittelwertsatz finden wir $p \in (a,b)$ mit
$$f^{\prime}(p) = \frac{f(a)-f(b)}{a-b} \leq 0$$
W"achst $f$ nicht monoton, so finden wir in derselben Weise $p \in I$
mit $f^{\prime}(p) <0$. Das zeigt schon mal $\Rightarrow$. Umgekehrt
folgt aus $f$ monoton wachsend, da"s alle Sekantensteigungen nichtnegativ
sind, und damit auch alle Grenzwerte von Sekantensteigungen.
\end{proof}



\begin{Korollar}[\textbf{Funktionen, die ihre eigene Ableitung sind}]
Sei $I\subset \DR$ ein mehrpunktiges Intervall.\label{KEe}
Genau dann stimmt eine differenzierbare  Funktion $f:I\ra\DR$ 
"uberein mit ihrer eigenen Ableitung, wenn sie
ein Vielfaches der Exponentialfunktion ist, in Formeln
$$f'=f\;\; \IFF \;\;\exists c\in\DR \text{ mit } f(x)=c\op{exp}(x)$$
\end{Korollar}
\begin{Bemerkungl}
Eine differenzierbare Funktion $f:\DR^\times\ra \DR$ 
mit $f'=f$ mu"s keineswegs ein Vielfaches der Exponentialfunktion sein.
Zum Beispiel w"are die Funktion $f$ mit $f(x)=0$ f"ur $x<0$ und 
$f(x)=5\op{exp}(x)$ f"ur $x>0$ auch eine M"oglichkeit. 
Aber gut, $\DR^\times$ ist ja auch kein Intervall.
\end{Bemerkungl}

\begin{proof}[Beweis]
Bezeichne $I\subset\DR$ unser mehrpunktiges Intervall und
$f: I \ra \Bbb{R}$ unsere differenzierbare Funktion  mit $f=f^{\prime}$. 
Die Ableitung der Funktion $f(x) \op{e}^{-x}$ ergibt sich
mit der Produktregel zu $f^{\prime}(x)\op{e}^{-x}-
f(x)\op{e}^{-x} = 0$, 
mithin ist die Funktion $f(x)\op{e}^{-x}$ konstant, sagen wir mit 
einzigem Funktionswert $c$, und wir folgern $f(x)=c\op{e}^{x}\;\forall x\in I$.
\end{proof}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Terminologisches zu Intervallen}]
Ein reelles Intervall ist halboffen 
im Sinne unserer Definition \ref{dhoR} 
genau dann, wenn es nicht  aus 
einem einzigen Punkt besteht. 
In der Literatur wird der Begriff \glqq halboffen\grqq\  meist abweichend verwendet f"ur
Intervalle, die weder offen noch kompakt sind, also f"ur
reelle Intervalle der
Gestalt $(a,b]$ oder $[a,b)$. Bei uns hei"sen jedoch auch 
Intervalle der Gestalt $[a,b]$ mit $a<b$ halboffen, da sie eben
halboffen sind als Teilmengen von $\DR$ im Sinne der obigen Definition. 
Da aber der Begriff eines \glqq halboffenen Intervalls\grqq\  schon so fest 
besetzt ist und da auch der Terminus
\glqq unendliches Intervall\grqq\  vermutlich eher als
\glqq Intervall unendlicher L"ange\grqq\  verstanden wird, 
will ich stattdessen lieber von \glqq nicht einpunktigen Intervallen\grqq\ 
oder im Fall, da"s sie auch nicht leer sind, wie bisher von
\glqq mehrpunktigen reellen Intervallen\grqq\ reden.
So richtig  gef"allt mir das auch nicht, es h"ort sich so diskret an.
Mir ist aber nichts Besseres eingefallen, und das Konzept wird uns so
oft begegnen, da"s es eine griffige Bezeichnung braucht.
\end{Bemerkungl}

\begin{Satz}[\textbf{Hinreichende Bedingung f"ur ein 
lokales\index{Maximum} 
Extremum}]\index{Minimum}\index{Extrema!bei einer Ver"anderlichen}
Seien $I\subset\Bbb{R}$ ein mehrpunktiges reelles Intervall,\label{HBLE} 
$f:I\ra \Bbb{R}$ differenzierbar und $p \in I$ ein Punkt mit
$f^{\prime}(p) =0$. Sei zus"atzlich die Ableitung $f^{\prime}$ von $f$ 
differenzierbar bei $p$.
\begin{enumerate}
\item
Gilt $f^{\prime\prime} (p) >0$, so besitzt $f$ ein {\bf\em isoliertes 
lokales Minimum}
\index{isoliertes lokales Minimum}
bei $p$, als da hei"st, es gibt $r>0$ derart, da"s gilt  $f(q ) > f(p) $ f"ur
alle $q\in I$ mit $0<|q-p| <r$;
\item
Gilt $f^{\prime\prime} (p) <0$, so besitzt $f$ ein {\bf\em isoliertes 
lokales Maximum}
\index{isoliertes lokales Maximum} bei
$p$.
\end{enumerate}
\end{Satz}
\begin{proof}[Beweis]
Wir schreiben
$$\begin{array}{ccl}f^{\prime} (x) &=& f^{\prime}(p) + (x-p) \varphi(x)\\
 &=&  (x-p) \varphi(x)\end{array}$$ mit
$\varphi$ stetig in $p$ und $\varphi (p) = f^{\prime\prime}(p)>0$.
So gibt also $r >0$ mit $\varphi (q )>0$ f"ur $q\in I\cap (p-r,p+r)$,
und wir folgern $f^{\prime}(q  ) < 0$ f"ur $q\in I \cap(p-r,p)$ und $f^{\prime}(q
)>0$ f"ur $q \in I \cap(p,p+r)$.
Unseren Funktion $f$ f"allt also streng monoton auf $I \cap (p-r,p)$ und
w"achst streng monoton auf $I\cap(p,p+r)$.
Der andere Fall $f^{\prime\prime} (p)<0$ wird analog behandelt.
\end{proof}


\begin{Definition}
Wir nennen eine Funktion $f:I\ra \Bbb{R}$ auf einem reellen 
Intervall $I$ {\bf konvex}
\index{konvex!Funktion} beziehungsweise {\bf konkav},\index{konkave Funktion}  wenn
ihr Graph unter beziehungsweise "uber jeder seiner Sekanten liegt, wenn also in Formeln
f"ur alle $x<y<z$ aus $I$ gilt\label{koka} 
$$
\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\leq \frac{f(y)-f(z)}{y-z}$$
beziehungsweise $\geq$ f"ur konkave Funktionen.
\end{Definition}

  \begin{Bemerkungl}
    Man zeigt leicht, da"s die Bedingung der Konvexit"at gleichbedeutend ist zu
$$f(tx+sz)\leq tf(x)+sf(z)\;\;\forall s,t\in[0,1] \text{ mit }s+t=1.$$
\end{Bemerkungl}

\begin{Satz}[\textbf{Zweite Ableitung und Konvexit"at}]
Sei $I\subset\Bbb{R}$ ein mehrpunktiges Intervall und\label{ZAK} 
sei $f: I \ra \Bbb{R}$ eine zweimal differenzierbare Funktion. So gilt
$$\begin{array}{rcll}
f \text{ ist konvex}& \Leftrightarrow & f^{\prime\prime}(x)
\geq 0 & \forall x \in I\\
f \text{ ist konkav} & \Leftrightarrow & f^{\prime\prime}(x)
\leq 0 & \forall x \in I
\end{array}$$
\end{Satz}
\begin{proof}[Beweis]
Wir zeigen nur die erste Aussage. Ist $f$ nicht konvex, so gibt es
$x,y,z$ mit $x<y<z$ aber
$$\frac{f(x)-f(y)}{x-y}> \frac{f(y)-f(z)}{y-z}$$
Nach dem Mittelwertsatz finden wir dann aber $\xi < \zeta$ mit
$f^{\prime}(\xi) > f^{\prime}(\zeta)$ und bei nochmaligem Anwenden
$\eta$ mit $f^{\prime\prime} (\eta) <0$.
Ist umgekehrt $f$ konvex, so reicht es nach 
\ref{Roo} zu zeigen, da"s $f^{\prime}$ monoton
w"achst.
K"urzen wir  die Steigung der Sekante durch $(x,f(x))$ und
$(y,f(y))$ ab mit $s_{xy}\pdef\frac{f(x)-f(y)}{x-y}$, 
so impliziert die Konvexit"at 
die Ungleichungskette
\begin{figure}[p]
  \centering
  \includegraphics[height=0.3\textheight]{SkriptenBilder/BildKoKa}
\\
\noindent
Links der Graph einer konvexen, rechts der  einer konkaven Funktion
\end{figure}
$$s_{xy}\leq s_{xz}\leq s_{yz}$$
Hier ist $s_{xy}\leq  s_{yz}$ eine direkte Konsequenz
der Konvexit"at, und da sicher gilt
$(x-y)s_{xy}+(y-z)s_{yz}=(x-z)s_{xz}$, liegt
$s_{xz}$ als ein \glqq gewichtetes Mittel\grqq\  zwischen $s_{xy}$
und $s_{yz}$.
Unsere Ungleichungskette schreiben wir  aus zu
$$
\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\leq \frac{f(x)-f(z)}{x-z}\leq \frac{f(y)-f(z)}{y-z}$$
Die Sekantensteigungsfunktionen $y\mapsto
\frac{f(x)-f(y)}{x-y}
$ und $y\mapsto
\frac{f(y)-f(z)}{y-z}
$ wachsen insbesondere  monoton auf  
$(x,z]$ beziehungsweise $[x,z)$ und im Grenzwert folgt
\begin{equation*}
f'(x)\leq \frac{f(x)-f(z)}{x-z}\leq f'(z)\qedhere
\end{equation*}
\end{proof}
\begin{figure}[p]
  \centering
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildKov}
\\
\noindent
Veranschaulichung unserer Ungleichungskette f"ur die Sekantensteigungen bei
konvexen Funktionen aus dem Beweis von \ref{ZAK}
\end{figure}
\begin{Definition}
Wir nennen eine Funktion $f:I\ra \Bbb{R}$ auf einem reellen
Intervall $I$ {\bf streng
konvex}
beziehungsweise {\bf streng konkav}, wenn
ihr Graph echt unter beziehungsweise echt "uber jeder Sekante liegt, 
wenn also in Formeln
f"ur alle $x<y<z$ aus $I$ gilt
$$
\frac{f(x)-f(y)}{x-y}< \frac{f(y)-f(z)}{y-z}$$
beziehungsweise  $>$ f"ur streng konkave Funktionen.  
\end{Definition}

\begin{Satz}
Seien $I\subset\Bbb{R}$ ein mehrpunktiges Intervall und $f: I \ra \Bbb{R}$ 
zweimal differenzierbar. So gilt
$$\begin{array}{rcll}
f \text{ ist streng konvex}& \Leftarrow & f^{\prime\prime}(x)
> 0 & \forall x \in I\\
f \text{ ist streng konkav} & \Leftarrow & f^{\prime\prime}(x)
< 0 & \forall x \in I
\end{array}$$
\end{Satz}
\begin{proof}
"Ubung.
\end{proof}




\subsubsection*{"Ubungen}


\begin{Ubung}
  An welchen Stellen nimmt die Funktion $[-1,2]\mapsto \DR$ gegeben durch
$x\mapsto |2-x^2|$ ihr Minimum und Maximum an?
\end{Ubung}
\begin{Ubunge}
Bei welchem Verh"altnis zwischen Durchmesser und H"ohe umfa"st eine
Konservendose mit fest vorgegebener Oberfl"ache das gr"o"stm"ogliche Volumen?
\end{Ubunge}
\begin{Ubung}
Eine differenzierbare Funktion auf einem mehrpunktigen Intervall, deren
Ableitung  beschr"ankt ist, ist gleichm"a"sig stetig.\label{ABbb}
\end{Ubung}
\begin{Ubunge}
Gegeben eine differenzierbare Funktion auf einem mehrpunktigen Intervall
ist das Bild des fraglichen Intervalls unter der Ableitung unserer Funktion
wieder\label{AbInt} 
ein Intervall. Hinweis: Mittelwertsatz. Man beachte, da"s die 
Stetigkeit der Ableitung nicht vorausgesetzt wird.
\end{Ubunge}
\begin{Ubung}\label{Le}
Sei $a\in\Bbb{R}$ gegeben. Ist $f:\Bbb{R}\ra\Bbb{R}$ 
differenzierbar und l"ost die
Differentialgleichung $f'=a f$, so gilt $f(x)=f(0) \op{e}^{a x}$
f"ur alle $x\in\Bbb{R}$.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}[\textbf{Funktionen, die mindestens ihre eigene Ableitung sind}]
  Ist eine Funktion $f:[0,b)\ra\DR$ differenzierbar mit
$f'(t)\leq f(t)$ f"ur alle $t\in [0,b)$, so folgt $f(t)\leq f(0){\op{e}}^t$
f"ur alle $t\in [0,b)$. Ist allgemeiner $f:[0,b)\ra\DR$ differenzierbar 
und $\alpha\in \DR$ derart, da"s gilt\label{fmeA} 
$f'(t)\leq \alpha f(t)$ f"ur alle $t\in [0,b)$, so folgt $f(t)\leq
f(0){\op{e}}^{\alpha t}$
f"ur alle $t\in [0,b)$. 
\end{Ubung}


\begin{Ubung}\label{NSTa} 
  Seien $I\subset \DR$ ein mehrpunktiges Intervall und
$f:I\ra\DR$ differenzierbar mit der Eigenschaft 
$f(x)=0\RA f'(x)<0$. Man zeige, da"s dann $f$  in $I$ h"ochstens eine 
Nullstelle haben kann, und da"s $f$ links von dieser Nullstelle positiv und
rechts davon negativ sein mu"s. Hinweis: Zwischen zwei verschiedenen Nullstellen mu"s es nach Voraussetzung eine Nichtnullstelle geben und dann
eine kleinste Nullstelle oberhalb und eine gr"o"ste Nullstelle unterhalb dieser Nichtnullstelle. Von da aus finde man einen Widerspruch zu den Annahmen.
Die "Ubung wird bei der Diskussion differentieller Ungleichungen helfen. 
\end{Ubung}


\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildBrett}\\[4mm]
\noindent Illustration zu "Ubung \ref{Brett}.
\end{figure}
\begin{Ubunge}\label{Brett}
Man zeige, da"s ein Punkt $(x,y) \in (0,1)^2$ genau dann auf einem
Geradensegment der L"ange Eins mit einem Ende auf der $x$-Achse und
dem anderen Ende auf der $y$-Achse liegt, wenn gilt $y^{2/3} + x^{2/3} \leq 1$.
Hinweis: Man halte $x$ fest und berechne f"ur alle $a \in [x,1]$ die H"ohe
$h_x (a)$ an der Stelle $x$ eines Brettes der L"ange $1$, das  bei
$a$ auf der $x$-Achse steht und  an die $y$-Achse angelehnt ist.
Man bestimme das Maximum dieser H"ohen bei festem $x$ 
und variablem $a$.
\end{Ubunge}


\begin{Ubung}\label{JHU}
Gegeben reelle Zahlen 
$a,b\geq 0$ und $p,q>1$ mit $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ zeige man
die {\bf Young'sche Ungleichung}\index{Young'sche Ungleichung}
$ab\leq p^{-1} a^p+ q^{-1} b^q$.
Hinweis: Man gehe von der Konvexit"at der Exponentialfunktion aus.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{HUN}
Gegeben reelle Zahlen 
$a,b\geq 0$ und $p\geq 1$ zeige man
die Ungleichung
$(a+b)^p\leq 2^{p-1}( a^p+  b^p)$.
Hinweis: Man gehe  von der Konvexit"at der Funktion 
$[0,\infty)\ra\DR$, $x\mapsto x^p$ aus.
\end{Ubung}

\begin{Ubunge}\label{KWPZ}
F"ur $P\subset\DN$ die Menge aller Primzahlen gilt 
$$\sum_{p\in P}\frac{1}{p}=\infty$$
In der Tat folgt aus $\sum_{k=1}^\infty 1/k=\infty$ 
und  der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung und 
der Entwicklung $(1-1/p)^{-1}=(1+p^{-1}+p^{-2}\ldots)$
in eine geometrische Reihe,
da"s 
die Menge der partiellen Produkte des unendlichen Produkts
 $\prod_{p\in P}(1-1/p)^{-1}$ nicht beschr"ankt sein kann.
Nun wende man den Logarithmus an und sch"atze ab.
\end{Ubunge}
\subsection{Regeln von de l'Hospital}

\begin{Satz}[\textbf{Regeln von de l'Hospital}\index{Regeln von de l'Hospital}]
Seien\index{Hospital, Regeln von}  $I \subset\Bbb{R}$ ein mehrpunktiges 
reelles Intervall und $p$\label{RHo}  
ein H"aufungspunkt zu $I$ in $\bar{\Bbb{R}}$.
Seien $f,g : I \ra \Bbb{R}$ differenzierbare
Funktionen derart, da"s gilt
$$\lim_{x\ra p} f(x) = \lim_{x \ra p} g(x) =0
\quad\text{ oder }\quad 
 \lim_{x \ra p} |g(x)| =\infty.$$
Haben $g$ und $g^{\prime}$ keine Nullstelle auf 
$I\backslash p$ und existiert der
Grenzwert des Quotienten der Ableitungen $\lim_{x \ra p} ({f'(x)}/{g'(x)})$ in
$\bar{\Bbb{R}}$, so existiert auch der 
Grenzwert des Quotienten der Funktionen $\lim_{x
\ra p} ({f(x)}/{g(x)})$ in $\bar{\Bbb{R}}$ und diese beiden Grenzwerte
stimmen "uberein, in Formeln
$$\lim_{x \ra p} \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \lim_{x \ra p}
 \left(\frac{f'(x)}{g'(x)}\right)$$
\end{Satz}
\begin{figure}[p]
  \centering
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildHop}
\\
\noindent
Veranschaulichung der Regel von de l'Hospital \ref{RHo} im
Fall $p\in I$ unter der Annahme, da"s beide Funktionen 
bei $p$ nach Null streben und da"s gilt $g'(p)\neq 0$.
Es scheint mir anschaulich klar,
da"s der Grenzwert des Quotienten sich nicht "andert, wenn wir 
beide Funktionen durch ihre beste lineare Approximation bei $p$
ersetzen, und das ist auch genau die anschauliche 
Bedeutung der Regel von de l'Hospital in diesem Fall.
\end{figure}
\begin{proof}[Beweis]
Wir beginnen den Beweis mit folgendem
\begin{Lemma}[\textbf{Verallgemeinerter 
Mittelwertsatz}\index{verallgemeinerter Mittelwertsatz}]
Seien\index{Mittelwertsatz!verallgemeinerter} 
$a<b$ in $\bar\DR$ gegeben und seien  $f,g$\label{AMSl}  
stetige reellwertige Funktionen auf dem kompakten Intervall
$[a,b]$, die differenzierbar sind auf dem offenen Intervall $(a,b)$.
So gibt es $\xi \in (a,b)$ mit
$$f^{\prime} (\xi) (g(a) - g(b)) = g^{\prime}(\xi) (f(a)-f(b))$$
\end{Lemma}
\begin{Bemerkungw}
  Um dieses Lemma anschaulich zu verstehen, mag man den Weg $\gamma:[a,b]\ra\DR^2$ betrachten, der durch $\gamma(t)=(f(t),g(t))$ gegeben
  wird. Es sagt dann, da"s  der
  Vektor 
  $\gamma(a)-\gamma(b)$  und der Geschwindigkeitsvektor $\gamma'(t)$
  nicht f"ur alle $t\in (a,b)$ voneinander linear unabh"angig sein
  k"onnen. Das ist eh klar, wenn $\gamma(a)-\gamma(b)$ Null ist oder
  $\gamma'(t)$ irgendwo den Wert Null annimmt, und
  scheint mir andernfalls zumindest anschaulich offensichtlich.
\end{Bemerkungw}
\begin{Bemerkungl}
Verschwindet $g^{\prime}$ nirgends auf $(a,b)$, so gilt $g(a) \neq
g(b)$ nach dem Satz von Rolle \ref{Ro} 
und wir k"onnen unsere Gleichung schreiben in
der Form
$$ \frac{f(a)-f(b)}{g(a)-g(b)} =
\frac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)}$$
Ist $g(x)=x$, so erhalten wir unseren
Mittelwertsatz
\ref{MiWS} als Spezialfall. 
Der verallgemeinerte Mittelwertsatz wird in dieser Vorlesung
ebenso wie die Regeln von de l'Hospital  bei der Diskussion von Restgliedern in der Taylorentwicklung noch
eine Rolle spielen. 
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
Man wende den Satz von Rolle \ref{Ro}  an auf die Funktion
\begin{equation*}
F(x) \pdef f(x) \big(g(a))-g(b)\big)\;- g(x)  \big(f(a)-
f(b)\big)\qedhere
\end{equation*}
\end{proof}\noindent
Jetzt zeigen wir die Regeln von de l'Hospital.
Wir d"urfen ohne Beschr"an\-kung der Allgemeinheit $p\not\in I$ annehmen,
indem wir sonst $I$ an der Stelle $p$ in zwei Teile zerschneiden
und den rechtsseitigen und linksseitigen Grenzwert
bei $p$ getrennt betrachten.
F"ur jede Umgebung $W$ des Grenzwerts $$q\pdef\lim_{x\ra p}
f^{\prime}(x)/g^{\prime}(x)$$ finden wir
per definitionem eine Intervallumgebung $V$ von $p$ mit der Eigenschaft $\xi
\in I\cap V \Rightarrow f^{\prime}(\xi)/g^{\prime}(\xi) \in W$.
F"ur beliebige $a,b \in I\cap V $ mit $a \neq b$ gilt
weiter
$g(a)\neq g(b)$, da nach Annahme
die Ableitung von $g$ keine Nullstelle auf $I\backslash
p$ hat.
Aus dem verallgemeinerten Mittelwertsatz \ref{AMSl} folgt dann 
$$\frac{f(a) - f(b)}{g(a) - g(b)} \in W\quad\text{f"ur alle }a,b\in I\cap V\text{mit }a\neq b.$$
Von nun an m"ussen wir die beiden F"alle im Satz getrennt weiterbehandeln.
Als erstes behandeln wir den Fall 
$\lim_{x \ra p} f(x) = \lim_{x\ra p} g(x)=0$.
Ist $W$ ein kompaktes Intervall, so folgt 
${f(a)}/{g(a)} \in W$ sofort, indem
wir $a$ festhalten, $b$ gegen $p$ streben lassen
und uns an die Erhaltung von schwachen Ungleichungen im Grenzwert \ref{UGG} erinnern.
Die Behauptung im ersten Fall folgt dann, da 
f"ur jeden Punkt $q\in\bar\DR$ jede Umgebung von $q$ eine
kompakte  Intervallumgebung von $q$ umfa"st.
Jetzt behandeln wir noch den Fall
$% \lim_{x\ra p} |f(x)| =
\lim_{x\ra p}|g(x)| = \infty$.
Daf"ur schreiben wir unseren Quotienten um zu 
$$\frac{f(a)-f(b)}{g(a)-g(b)} = \frac{f(b)/g(b)-f(a)/g(b)}{1-g(a)/g(b)}
$$
und folgern unmittelbar
$$\frac{f(b)}{g(b)}\in \big(1-g(a)/g(b)\big)W + 
f(a)/g(b)\quad\text{f"ur alle }a,b\in I\cap V\text{mit }a\neq b.$$
Ist nun $a\in I\cap V$ fest gew"ahlt, so finden 
wir f"ur jedes   $\varepsilon \in (0,1)$  eine Umgebung
$U_\varepsilon$ von $p$ derart, da"s 
gilt $b\in U_\varepsilon\cap I \Rightarrow |f(a)/g(b)|<\varepsilon,\;|g(a)/g(b)|
< \varepsilon$ und insbesondere $a\neq b$. Damit sehen wir, da"s
wir f"ur jede Umgebung $W$ von $q$ und
jedes   $\varepsilon \in (0,1)$  eine Umgebung
$U_\varepsilon$ von $p$ finden k"onnen mit 
$$b\in U_\varepsilon\cap I \;\;\Rightarrow\;\;  \frac{f(b)}{g(b)}\in
(1-\varepsilon,1+\varepsilon)W+ (-\varepsilon, \varepsilon)$$
Die Behauptung folgt  im  zweiten Fall,
da es  f"ur jede Umgebung $W'$ von $q$
eine Umgebung $W$ von $q$ und  $\varepsilon\in (0,1)$ 
gibt mit $(1-\varepsilon,1+\varepsilon)W+ (-\varepsilon, \varepsilon)
\subset W'$. 
\end{proof}

\begin{Beispiel}
F"ur $\lambda>0$ gilt
$$\begin{array}{rcl}
\lim_{x\ra \infty} (\log x)/x^\lambda &=& \lim_{x \ra \infty}
({1/x})/{\lambda x^{\lambda-1}}\\[2mm]
 &=& \lim_{x\ra \infty}
{1}/{\lambda x^{\lambda}}\\[2mm]
 &=& 0
\end{array}$$
\end{Beispiel}





\subsection{Zusammenhang zwischen Integral und Ableitung}
\begin{Satz}[\textbf{Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung}]
  Gegeben eine stetige Funktion
  $f:\DR\supset I\ra \DR$ auf einem mehrpunktigen reellen
  Intervall $I$\label{HSS} 
 und ein Punkt 
$a\in I$  ist die Funktion
$$\begin{array}{cccl}
F : &I &\ra & \Bbb{R}\\
&x & \mapsto & \int^{x}_{a} f(t) \;\diff t
\end{array}$$
die einzige differenzierbare Funktion
$F:I\ra\DR$ mit $F^{\prime}= f$ und 
$F (a) =0$. 
\end{Satz}
\begin{figure}[p]
  \centering
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildHSID}
\\
\noindent
Veranschaulichung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung
\ref{HSS}. Die kreuzweise schraffierte Fl"ache stellt $F(p)$ dar,
die irgendwie schraffierte $F(x)$, die einfach schraffierte $F(x)-F(p)$.
Ich hoffe, man sieht, da"s die Fl"ache unter der Kurve beim
Verschieben der oberen Grenze um so st"arker w"achst, je gr"o"ser 
dort der Wert unserer Funktion ist. Das ist qualitativ ausgedr"uckt die
anschauliche Bedeutung des Hauptsatzes.
\end{figure}
\begin{Bemerkungl}
 Im Fall $x<a$ ist dies Integral
 unter Verwendung unserer Konvention \ref{IGV}
als $\int^{x}_{a} f(t) \;\diff t= -\int^{a}_{x} f(t) \diff t$ 
zu interpretieren.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
F"ur $p\in I$  rechnen wir
$$
\lim_{x\ra p} \frac{F(x)-F(p)}{x-p}= \lim_{x\ra p}\frac{1}{x-p}\int^{x}_{p}
f (t) \;\diff t$$
Da  $f$ stetig ist, finden wir f"ur jedes 
$\varepsilon > 0$ ein $\delta > 0$ derart, da"s
aus $|t-p| \leq \delta $ folgt $ f(p)-\varepsilon 
\leq f(t)\leq f(p)+\varepsilon$.
Aus $0<x-p \leq \delta$ folgen also
durch Bilden des Integrals und Teilen durch $(x-p)$ die Ungleichungen
$$
f(p)-\varepsilon\;\leq\;
\frac{1}{x-p}\int^{x}_{p} f(t) \;\diff t\;
\leq \;f(p)+ \varepsilon$$
und aus $-\delta\leq x-p <0$ folgen mit zweimaligem Umdrehen der Ungleichungen
beim Integrieren und beim Teilen durch $(x-p)$ dieselben Ungleichungen.
Damit zeigt das $\varepsilon$-$\delta$-Kriterium f"ur Grenzwerte \ref{LSede}, da"s der Ausdruck in der Mitte f"ur $x\ra p$ gegen
$f(p)$ konvergiert.
Es folgt $F^{\prime} (p) = f(p)$ f"ur alle $p\in I$.
Ist  $G:I\ra \DR$ auch differenzierbar mit
$G'=f$, so verschwindet die Ableitung der 
Differenz $G-F$. Nach \ref{Roo} ist diese 
Differenz also konstant. Haben wir zus"atzlich $G(a)=0$,
so ist sie konstant Null und wir folgern $F=G$.
\end{proof}

\begin{Korollar}[\textbf{Integrieren mit Stammfunktionen}]
Seien $I\subset \Bbb{R}$ ein mehrpunktiges Intervall\label{ImS} 
und $f:I\ra \Bbb{R}$ 
eine stetige
Funktion.
Ist $G : I \ra \Bbb{R}$ eine {\bf\em Stammfunktion\index{Stammfunktion} 
von} $f$, als da hei"st
eine differenzierbare Funktion mit Ableitung $G^{\prime} =f$,
so gilt f"ur alle $a,b \in I$ die Formel
$$\int^{b}_{a} f(t) \;\diff t = G (b) - G(a)$$
\end{Korollar}
\begin{proof}[Beweis]
Wir betrachten $F : I
\ra \Bbb{R}$ wie im Hauptsatz \ref{HSS} 
und folgern aus der Eindeutigkeitsaussage
von dort $F(x)= G(x)-G(a)$ f"ur alle $x\in [a,b]$.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}
Ist $G$ ein komplizierterer Ausdruck, 
so ist es bequem und "ublich, die Differenz
$G(b) - G(a)$ mit $G(x)|^{b}_{a}$ 
\index{\mid@$G(x){\mid}^{b}_{a}\pdef G(b)-G(a)$} 
abzuk"urzen. Man spricht 
einen solchen Ausdruck \glqq $G$, ausgewertet zwischen den Grenzen $a$ und $b$\grqq.
F"ur $a,b$ positiv ergibt sich zum Beispiel
$$\int_a^b\frac{1}{x}\;\diff x=\log x|_a^b=\log b- \log a$$
Die Ableitung von $\DR^\times\ra\DR$, $x\mapsto \log|x|$ ist
im "ubrigen $x\mapsto 1/x$,
als da hei"st, f"ur $a,b$ negativ w"urden wir 
$\log |b|- \log |a|$ erhalten. "Uber den Nullpunkt hinweg d"urfen wir 
die Funktion $1/x$ aber
 trotzdem nicht in dieser Weise
integrieren. Unser 
Korollar erlaubt das auch nicht, 
es trifft vielmehr nur Aussagen "uber
die Integration von  auf einem mehrpunktigen Intervall definierten
stetigen Funktionen.
\end{Bemerkungl}
\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[height=0.4\textheight]{SkriptenBilder/BildFuF}
 \end{figure}\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[height=0.4\textheight]{SkriptenBilder/BildFWU}\\[4mm]
\noindent 
Illustration zu "Ubung \ref{IUEE}.
\end{figure}
\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}\label{IUEE}
Gegeben $\alpha\in\DR$ zeige man, da"s 
$\lim_{t \rightarrow \infty} \int_1^t x^\alpha\diff x$
existiert in $\bar{\DR}$ und da"s dieser Grenzwert endlich ist genau
dann,
wenn gilt $\alpha<-1$. Des weiteren zeige man, da"s 
$\lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \int_\varepsilon^1 x^\alpha\diff x$
existiert in $\bar{\DR}$ und da"s dieser Grenzwert endlich ist genau
dann,
wenn gilt $\alpha>-1$. Anschaulich gesprochen ist also die Hyperbel
$x\mapsto (1/x)$ gerade der Grenzfall, in dem sowohl die Fl"ache
zwischen Kurve und $x$-Achse ab jedem $x$-Wert als auch symmetrisch
die Fl"ache
zwischen Kurve und $y$-Achse ab jedem $y$-Wert
unendlich gro"s sind.
\end{Ubung}


\begin{Ubunge}\label{Intlog}
  Der {\bf Integral-Logarithmus}\index{Integrallogarithmus}
  $\op{Li}:(1,\infty) \rightarrow \Bbb{R}$ wird
erkl"art durch die Vorschrift
\begin{displaymath}
\op{Li} (x) \pdef \int^x_2 \frac{\diff t}{\log t}
\end{displaymath}
Man zeige $\lim_{x \rightarrow \infty} (\log (x) \op{Li}(x) /x) =1$.
\end{Ubunge}

\begin{Ubung}
Eine zweimal differenzierbare Funktion $f:\DR\ra\DR$ erf"ulle
die Eigenschaften $|f(x)|\leq 1$ und $|f''(x)|\leq 1$ f"ur alle $x$.
Man zeige $|f'(x)|\leq \sqrt{2}$ f"ur alle $x$. 
\end{Ubung}

\subsection{Integrationsregeln}
\label{IntR}
\begin{Theorem}[\textbf{Integration durch 
Substitution}\index{Substitutionsregel}]
Gegeben reelle Zahlen 
$a< b$ und  $g :[a,b] \ra \Bbb{R}$ stetig\label{IdS} differenzierbar und
$f : g ([a,b]) \ra \Bbb{R}$ stetig gilt
$$\int^{b}_{a}  f(g(x))g^{\prime}(x) \diff x = \int^{g(b)}_{g(a)}
f(y) \diff y$$
Im Fall $g(b)<g(a)$ ist das Integral rechts dabei der
Konvention \ref{IGV} gem"a"s als das Negative des Integrals "uber das Intervall
$[g(b),g(a)]$ zu verstehen.
\end{Theorem}
\begin{Bemerkungl}
Es gibt durchaus differenzierbare Abbildungen, deren Ableitung nicht
stetig ist, vergleiche \ref{nsdb}.
  Das Wort \glqq Substitution\grqq\ bedeutet
  ebenso wie \glqq Prostitution\grqq\ auf lateinisch 
 \glqq Ersetzen\grqq.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
Ist $g$ konstant, so verschwinden beide Seiten und die
Formel gilt. 
Ist sonst 
$F$ eine Stammfunktion von $f$, in Formeln $F'=f$, 
so ist $F\circ g$ nach der Kettenregel \ref{KeRe}
eine Stammfunktion von
$t\mapsto f(g(t))g'(t)$. Berechnen wir beide Integrale
mithilfe dieser Stammfunktionen, so ergibt sich
auf beiden Seiten der Wert $F(g(b))-F(g(a))$.
\end{proof}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauung f"ur die Substitutionsregel}] 
W"achst $g$ streng monoton, so kann man 
 einen anschaulicheren Beweis geben, indem man\label{ABSu} 
$a=a_0<a_1<\ldots <a_r=b$ "aquidistant unterteilt und 
nach  dem Mittelwertsatz 
$\xi_i\in (a_{i-1}, a_i)$ findet mit 
$g(a_i)-g(a_{i-1})=g'(\xi_i)(a_i-a_{i-1})$.
Damit gilt ja die Gleichheit von Riemannsummen 
$$\sum_{i=1}^r f(g(\xi_i))g'(\xi_i)(a_i-a_{i-1})
=\sum_{i=1}^r f(g(\xi_i))(g(a_i)-g(a_{i-1}))$$
Mithilfe der Beschreibung \ref{ARS} des Integrals durch Riemann-Summen
zeigt man dann, da"s 
 diese Gleichheit im Grenz"ubergang $r\ra\infty$ gerade die
Substitutionsregel liefert.
\end{Bemerkungl}
\begin{figure}[p]
  \centering
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildSubR}\\[4mm]
\noindent
Anschauliche Bedeutung der Substitutionsregel nach \ref{ABSu}
im Fall $g(x)=x^2$. Die schraffierte Fl"ache stellt 
in diesem Spezialfall f"ur $r=4$ und das Intervall $[a,b]=[0,4]$ die Summe
$$\sum_{i=0}^{r-1} f(g(\xi_i))g'(\xi_i)(a_{i+1}-a_{i})
=\sum_{i=0}^{r-1} f(g(\xi_i))(g(a_{i+1})-g(a_{i})) $$ dar.
Die $\xi_i$ sind mit dem Mittelwertsatz gerade so gew"ahlt,
da"s gilt $g(a_{i+1})-g(a_{i})=g'(\xi_i)(a_{i+1}-a_{i})$.
Ich finde, man sieht sehr gut, da"s diese Summen 
gegen $\int_{g(a)}^{g(b)}f(y)\diff y=\int_{0}^{16}f(y)\diff y$ konvergieren.
\end{figure}


\begin{Bemerkungl}
Als Ged"achtnisst"utze, die in \eref{WII}{AN2} auch echte Bedeutung erh"alt,
kann man sich merken, da"s beim Substituieren von
$y$ durch $g(x)$ nicht nur $f(y)$ durch $f(g(x))$ ersetzt 
werden mu"s, sondern auch
$\diff y$ durch $g^{\prime}(x)\diff x$, wie es die Notation $g^{\prime}(x)=
\frac{\diff y}{\diff x}$ suggeriert.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel} 
Indem wir uns das Integral etwas zurechtlegen, 
erhalten wir durch die Substitution $g(x)=x^2=y$, $g'(x)=2x\diff x=\diff y$
leicht
$$\int_a^b \frac{x\diff x}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{1}{2}\int_a^b \frac{2x\diff x}{\sqrt{1+x^2}}=
\frac{1}{2}\int_{a^2}^{b^2} \frac{\diff y}{\sqrt{1+y}}
=\sqrt{1+y}\;|_{a^2}^{b^2}=\sqrt{1+x^2}\;|_{a}^{b}$$
und als eine Stammfunktion des urspr"unglichen Integranden ergibt sich 
die Funktion $\sqrt{1+x^2}$.
\end{Beispiel}


\begin{Bemerkungl}
Beim Anwenden der Substitutionsregel  wird man oft mit einer umkehrbaren Abbildung $g$
arbeiten und die Regel in der Form
$$\int^{\beta}_{\al} f(y) \diff y = \int^{g^{-1}(\beta)}_{g^{-1}(\al)}
 f(g(x))g^{\prime}(x) \diff x$$
verwenden. Auch wenn $g$ nicht umkehrbar ist, kann man in dieser
Weise vorgehen und statt $g^{-1}(\al)$ und $g^{-1}(\beta)$ eben
irgendwelche $a,b$ w"ahlen derart, da"s $g$ auf ganz
$[a,b]$ stetig differenzierbar ist mit $\al=g(a)$ und $\beta=g(b)$.
Meist arbeiten wir sogar ohne explizite Erw"ahnung der Grenzen:
Suchen wir nur eine Stammfunktion, so kommt es auf die untere Grenze eh nicht
an und die obere Grenze wird mitgedacht und nach gelungener Integration
wieder \glqq zur"ucksubstituiert\grqq, wie es unsere Formel fordert.  
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiel}
Wir bestimmen  eine Stammfunktion von
$f(y) = y\sqrt{1-y}$ durch die Substitution $\sqrt{1-y}=x$, $y=1-x^{2}=
g(x)$, $\diff y = -2x \diff x$ zu
$$\begin{array}{rcl}
\int y \sqrt{1-y}\;\diff y &=& \int (1-x^{2}) x (-2x)\diff x\\[2mm]
&=& \int (2x^{4}-2x^{2})\;\diff x\\[2mm]
 &=& \frac{2}{5} x^{5} - \frac{2}{3}x^{3}\\[2mm]
 &=& \frac{2}{5} (1-y)^{2}\sqrt{1-y} - \frac{2}{3} (1-y) \sqrt{1-y}
 \end{array}$$ 
\end{Beispiel}
\begin{Bild} 
 \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildFlK}\\[4mm]
 \noindent 
Eine anschauliche Begr"undung daf"ur, da"s die Fl"ache einer Kreisscheibe
das Produkt aus Radius und halbem Umfang sein sollte. 
Der erste geschl"angelte
Pfeil deutet dabei ein Zerschneiden und Neu-Zusammenf"ugen an,
die anderen einen Grenz"ubergang.
\end{Bild}
\begin{Beispiel}[\textbf{Fl"ache des Einheitskreises}]
  Es gilt ${\pi}/{2} = \int^{1}_{-1} \sqrt{1-t^{2}}\;\diff t$. In der
  schmutzigen Anschauung  ist also $\pi$ die Fl"ache des Einheitskreises.\label{FEK} 
Um das zu pr"ufen, substituieren
wir $t = \sin x$, $\diff t = \cos x \; \diff x$ und erhalten
$$\int^{1}_{-1} \sqrt{1-t^{2}}\;\diff t = 
\int^{\pi/2}_{-\pi/2} \cos^{2}x \;\diff x$$
Mithilfe der Formel $\cos^{2} x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 2 x$,
die ihrerseits aus den Additionsformel folgt,
ergibt
sich unser Integral m"uhelos zu
\begin{equation*}
\frac{1}{2} x + \left.\frac{1}{4} \sin
2x \right|^{\pi/2}_{-\pi/2} = \frac{\pi}{2}
\end{equation*}
\end{Beispiel}

\begin{Theorem}[\textbf{Partielle Integration}\index{partiell!Integration}]
Gegeben reelle Zahlen $a<b$ und zwei stetig differenzierbare Funktionen
$f,g: [a,b] \ra \Bbb{R} $  gilt\index{Integration!partielle!}\label{Parti} 
$$\int^{b}_{a} fg^{\prime} = \left. 
fg \right|^{b}_{a}- \int^{b}_{a} f^{\prime}g$$
\end{Theorem}
\begin{proof}[Beweis]
Nach der Produktregel gilt $fg'=(fg)'-f'g$ auf $[a,b]$, folglich stimmen
auch die Integrale dieser Funktionen "uberein.
\end{proof}
\begin{Beispiele}
$\begin{array}[t]{rcl}
\int  x^{2}\op{e}^{x} \;\diff x &=& x^{2}\op{}e^{x}-\int 2x\op{e}^{x}\;\diff x\\[2mm]
&=& x^{2}\op{e}^{x}-2x\op{e}^{x}+\int 2\op{e}^{x}\;\diff x\\[2mm]
&=& (x^{2}-2x +2)\op{e}^{x}\\[4mm]
\int  \log x  \;\diff x&=& x\log x-\int x\frac{1}{x}\;\diff x\\[2mm]
&=& x\log x-x
\end{array}$
\end{Beispiele}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Alternativer Zugang zur Exponentialfunktion}]
Ich erkl"are nun noch einen alternativen  Zugang zur
Exponentialfunk\-tion, der unsere Definition  "uber eine
a priori unmotivierte Reihe vermeidet. Suchen wir\label{AAExp} 
eine stetig differenzierbare Funktion $g:\DR\ra\DR_{>0}$ mit 
$g'=g$ und $g(0)=1$, so haben wir nach der Substitutionsregel
$$x=\int_0^x \diff t=\int_0^x \frac{g'(t)}{g(t)}\diff t=
\int_{1}^{g(x)} \frac{1}{u}\diff u$$
Man definiert also notgedrungen
eine Funktion $\op{log}: \DR_{>0}\ra\DR$ durch die Vorschrift
$\op{log}(y)= \int_1^y \frac{1}{u}\diff u$  
und die gesuchte Funktion $g$ mu"s deren Umkehrfunk\-tion  sein.
\end{Bemerkungl}

\begin{Satz*}\label{pinr}
Die Kreiszahl $\pi$ ist nicht rational, in Formeln
$\pi \not\in \Bbb{Q}$.
\end{Satz*}
\begin{Bemerkungl}
Das wurde bereits 1766 von Johann Heinrich Lambert
gezeigt. Der Beweis der Transzendenz von $\pi$ ist schwieriger,
mir gef"allt die Darstellung in \cite{Lor}.
Der hier gegebene  Beweis der Irrationalit"at wirkt auf mich wie Zauberei.
Ich folge der Darstellung von Stewart  \cite{Ste}.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
Man betrachte 
f"ur reelles $\alpha \neq 0$ und nat"urliches $n\in\DN$ das Integral
\begin{equation*}
I_n = I_n (\alpha)= \int^1_{-1} (1-x^2)^n \cos (\alpha x) \diff x
\end{equation*}
Partielles Integrieren liefert
$
\alpha^2 I_n(\alpha) = 2n (2n -1) I_{n-1} - 4 n (n-1) I_{n-2}
$
f"ur $n \geq 2$.
Vollst"andige Induktion zeigt dann
\begin{equation*}
\alpha^{2n +1} I_n = n! (P_n (\alpha) \sin \alpha + Q_n
(\alpha) \cos \alpha)
\end{equation*}
f"ur $P_n, Q_n \in \Bbb{Z} [X]$ Polynome vom Grad $\leq 2n$.
W"are nun $\pi = a/b $ mit $a, b \in \Bbb{Z}$ und setzen wir
oben $\alpha = \pi$ ein, so erg"abe sich, da"s
\begin{equation*}
\frac{a^{2n+1}}{n!} I_n (\pi)
\end{equation*}
f"ur alle $n \in \Bbb{N}$ eine von Null verschiedene 
ganze Zahl sein mu"s. Das steht im Widerspruch
dazu, da"s dieser Ausdruck  f"ur $n \rightarrow
\infty$ gegen Null strebt. Dasselbe Argument zeigt: 
Gegeben $\alpha\in\DQ^\times$ k"onnen nicht $\sin \alpha$ und
$\cos \alpha$ beide rational sein. 
\end{proof}






\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}
Eine Funktion $f:\DR\ra\DR$ hei"st {\bf gerade},\index{gerade!Funktion}
 wenn gilt $f(-x)=f(x)$ f"ur alle $x$, und
{\bf ungerade},\index{ungerade!Funktion}
 wenn gilt $f(-x)=-f(x)$ f"ur alle $x$.
Man zeige f"ur jede ungerade stetige Funktion und alle reellen $r$ die
Formel $\int_{-r}^{r}f=0$.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
Man finde Stammfunktionen zu
den Kehrwerten quadratischer Polynome, also
zu Funktionen der Gestalt  $x\mapsto (x^2 + ax +b)^{-1}$.
Hinweis: Hat das fragliche quadratische Polynom 
zwei verschiedene reelle Nullstellen $\lambda
\neq \mu$, so kann man unsere Funktion in der 
Gestalt $\alpha /(x-\lambda) + \beta
/(x -\mu)$ schreiben. Sonst bringe man sie 
in die Form $((x+a/2)^2 + d)^{-1}$
mit $d\geq 0$ und erinnere sich an $\op{arctan}'(t)=1/(1+t^2)$.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
  Man finde eine Stammfunktion von $\sqrt{1-t^2}$. Hinweis: Bei der Berechnung
  \ref{FEK} der Fl"ache des Einheitskreises haben wir das schon fast erreicht.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
Man finde eine Stammfunktion f"ur den Arcustangens.
Hinweis: Man wende auf das Produkt
$1\cdot \op{arctan}$ partielle Integration an.
\end{Ubung}
\begin{Ubunge}
Man f"uhre die partiellen Integrationen des  Beweises von \ref{pinr} aus und
pr"ufe die Induktionsbasis, als da hei"st die F"alle $n = 0,1$.
\end{Ubunge}
\begin{Ubung}\label{inhg} 
Man zeige 
$\lim_{x\ra \infty} \int^{x}_{-x} \frac{1}{1+t^{2}} \;\diff t = \pi$. 
\end{Ubung}


\begin{Ubung}\label{PRr}%\label{PR} vormals
Sei $S^1=\{(x,y)\in\Bbb{R}^2\mid x^2+y^2=1\}$ der Einheitskreis.
Wir konstruieren eine Bijektion
$\gamma:\Bbb{R}\sira S^1\setminus (-1,0)$, indem wir jedem Punkt
$t\in\Bbb{R}$ den Schnittpunkt der Gerade durch $(-1,0)$ und $(0,t)$ mit
$S^1\setminus(-1,0)$ zuordnen. 
Man pr"ufe, da"s diese Abbildung gegeben wird
durch $$\gamma(t)=\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2}\right)$$
Man pr"ufe $\|\gamma'(t)\|=2/(1+t^2)$ und interpretiere
die vorstehende bemerkenswerte Formel aus \ref{inhg}. 
Der Punkt $(\cos \tau, \sin\tau)$
f"ur $\tau\in (-\pi, \pi)$ wird hierbei "ubrigends parametrisiert
durch $t=\op{tan}(\tau/2)$, wie man durch Rechnung oder
elementargeometrische "Uberlegungen pr"uft. Man beachte auch die 
"Ahnlichkeit zur Parametrisierung der Hyperbel \ref{PH}.
\end{Ubung}
\begin{figure}[p]
  \centering
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bild0015}
\\ \noindent Die Abbildung $\gamma$ aus \ref{PRr}
\end{figure}
\begin{Bemerkunge}
Die Abbildung $\gamma$ aus der vorstehenden "Ubung liefert im
"Ubrigen auch eine Bijektion von $\Bbb{Q}$ auf die Punkte von
$S^{1}\backslash (-1,0)$ mit rationalen Koordinaten. Diese
Bijektion ist "au"serst hilfreich bei der Bestimmung aller {\bf
pythagoreischen Zahlentripel}\index{phytagoreische Zahlentripel},
als da hei"st, aller Tripel $a,b,c$ von nat"urlichen Zahlen mit $a^{2}+b^{2}
= c^{2}$. Die Abbildung $\gamma$ aus der vorstehenden "Ubung liefert 
allgemeiner 
sogar f"ur jeden K"orper $k$ einer von
Zwei verschiedenen Charakteristik  
eine Bijektion von $k$ auf das Komplement des Punktes 
$(-1,0)$ in der L"osungsmenge der Gleichung $x^2+y^2=1$ in der Ebene
$k^2=k\times k$. In der algebraischen Geometrie k"onnen Sie dann lernen,
wie man das zu einer Bijektion von $\DP^1k$ mit der 
Quadrik $Q\subset \DP^2k$ erweitert, die durch die homogenisierte Gleichung
$x^2+y^2=z^2$ definiert wird.
\end{Bemerkunge}


\begin{Bemerkungl} Das kleinste pythagoreische Zahlentripel ist $3,4,5$.
  Das zugeh"orige rechtwinklige Dreieck hat lustiger Weise einen
  Inkreis vom Radius Eins. Um das zu sehen, mag man dies Dreieck in
  der mit Ecken $(0,0), (0,3), (4,0)$ realisieren
  und erkennt,
  da"s die Winkelhalbierende zu $(0,3)$ die Strecke von $(0,-2)$ nach
  $(4,0)$ halbieren mu"s, da"s sie also durch $(2,-1)$ geht und den
  Richtungsvektor $(2,-4)$ oder auch $(1,-2)$ hat. Z"ahlen wir ihn
  zu $(0,3)$ dazu, so sehen wir, da"s $(1,1)$ auf zwei Winkelhalbierenden liegt.
\end{Bemerkungl}



\begin{Ubunge}\label{UAExp}
Wie k"onnte ein Autor, der den Zugang \ref{AAExp} 
zur Exponentialfunktion gew"ahlt hat, 
die Funktionalgleichung \ref{FdE}
beweisen?
\end{Ubunge}
\begin{Ubunge}\label{IXA}
Man zeige durch Vergleich mit dem
Integral der Funktion $x^{-\alpha}$, da"s f"ur jedes $\alpha>1$ die Reihe 
$\sum_{k= 1}^\infty k^{-\alpha}$ konvergiert.
\end{Ubunge}
\begin{figure}[p]
  \centering
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bildshch}
\\
\noindent
Die Graphen von Sinus und Cosinus hyperbolicus
\end{figure}
\subsection{Hyperbolische trigonometrische Funktionen}
\label{HytF} 
\begin{Definition} Mit
{\bf Sinus hyperbolicus}\index{Sinus hyperbolicus}\index{sinh@$\sinh$ Sinus hyperbolicus} 
und {\bf Cosinus hyperbolicus}\index{cosh@$\cosh$ Cosinus hyperbolicus} 
\index{Cosinus hyperbolicus} bezeichnet man
die Abbildungen
$\sinh ,\cosh : \Bbb{R} \ra \Bbb{R}$, die
gegeben werden durch die Formeln
$$\sinh x = \frac{\op{e}^{x}-\op{e}^{-x}}{2}\qquad \text{ und }\qquad \cosh x 
= \frac{\op{e}^{x}+
\op{e}^{-x}}{2}$$  
\end{Definition}
\begin{Bemerkungw}
Der Graph des Cosinus hyperbolicus hei"st auch die
\defind{Kettenlinie}, weil er dieselbe Gestalt
hat wie eine h"angende Kette. Wir zeigen das in \ref{GHK} 
im Anschlu"s an die
Diskussion der Bogenl"ange.
\end{Bemerkungw}
\begin{Bemerkungl}
Offensichtlich gilt
$\sinh (0) = 0$, $\cosh (0) =1$, 
$\sinh (-x)=-\sinh (x)$, und $\cosh (-x)=\cosh (x)$,
die Ableitungen unserer Funktionen sind
$$\sinh^{\prime} = \cosh,\;\;\cosh^{\prime}
=\sinh$$
es gelten $\cosh^{2} - \sinh^{2} =1$ und die Additionstheoreme
$$\begin{array}{rcl}
\sinh (a+b) &= &\sinh (a) \cosh (b) + \cosh (a)\sinh (b)\\
\cosh (a+b) &=& \cosh (a) \cosh (b) + \sinh (a) \sinh (b)
\end{array}$$
Die Funktion $\cosh$ nimmt bei $x=0$ ihr Minimum an und $\sinh$ ist
eine Bijektion
$\sinh : \Bbb{R} \ra \Bbb{R}$.
Die inverse Abbildung nennt man {\bf Area Sinus hyperbolicus}\index{Area Sinus hyperbolicus} und
bezeichnet sie mit
$\op{arsinh} : \Bbb{R} \ra \Bbb{R}$. Sie l"a"st sich auch
elementar ausdr"ucken als $\op{arsinh}(x)=\log(x+\sqrt{x^2+1})$ und 
f"ur die Ableitung von $\op{arsinh}$ erhalten wir
$$
\op{arsinh}^{\prime} (y) =  \frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}}
$$
In der Tat gilt $\sinh^{\prime} (x) = \cosh (x) = \sqrt{1-\sinh^{2} (x)}$,
$\sinh'(\op{arsinh} y)={\sqrt{1+y^{2}}}$.
"Ahnlich liefert $\cosh$ eine Bijektion
$\cosh : [0,\infty) \ra [ 1,\infty )$,
die inverse Abbildung {\bf Area Cosinus hyperbolicus}\index{Area Cosinus
hyperbolicus}
$\op{arcosh} : [ 1,\infty) \ra [0,\infty )$ kann
 geschrieben werden als $\op{arcosh}(x)=\log(x+\sqrt{x^2-1})$ und
ist differenzierbar auf $(1,\infty)$ mit der Ableitung
$$
\op{arcosh}^{\prime} (y) = \frac{1}{\sqrt{y^{2}-1}}
$$  
Sehr viel seltener benutzt man den 
{\bf Secans hyperbolicus}\index{Secans hyperbolicus} $x\mapsto 1/\cosh(x)$,
den {\bf Cosecans hyperbolicus}\index{Cosecans hyperbolicus}
$x\mapsto 1/\sinh(x)$ und den {\bf Tangens 
hyperbolicus}\index{Tangens  hyperbolicus} 
$\op{tanh}:x\mapsto \sinh(x)/\cosh(x)$ sowie seine Umkehrung 
$\op{artanh}:(-1,1)\sira\DR$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] 
Die Namen unserer Funktionen haben den folgenden
geometrischen Hintergrund:
F"ur $t\in \Bbb{R}$ durchl"auft der Punkt mit Koordinaten $(\cosh t, \sinh t)$
den Hyperbelast
\begin{figure}[p]
  \centering
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bildgsh}
\\
\noindent
Die geometrische Bedeutung von Sinus und Cosinus hyperbolicus
\end{figure}
$$\{ (x,y) \in \Bbb{R}^{2}\mid (x+y)(x-y) =1,\; x > 0\}$$
Hierbei ist $|t/2|$ gerade die Fl"ache oder lateinisch \glqq area\grqq, die von
$x$-Achse, Hyperbel und dem Geradensegment von $(0,0)$ nach
$(\cosh t, \sinh t)$ eingeschlossen wird.
Es ist eine ausgezeichnete "Ubung, diese Behauptung nachzurechnen.
Man sieht so die Verwandschaft zu den "ublichen trigonometrischen
Funktionen, bei denen man nur die Hyperbel $x^{2}-y^{2}=1$
zu ersetzen hat durch den Einheitskreis $x^{2}+y^{2}=1$. Dehnen wir 
die hyperbolischen trigonometrischen Funktionen in
der offensichtlichen  Weise zu Funktionen  
$\DC\ra\DC$ aus, so k"onnen wir  
die formale Analogie mit den gew"ohnlichen trigonometrischen  Funktionen
pr"azisieren zu den Formeln $\cos z=\cosh ({\op{i}}z)$ und 
$\sin z=-{\op{i}}\sinh ({\op{i}}z)$ f"ur alle $z\in\DC$. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}\label{PaR}
Die L"osungsmengen in der Ebene $\DR^2$ von Gleichungen der Gestalt 
$ax^{2}+bxy+cy^{2} =d$
mit $(a,b,c) \neq (0,0,0)$ hei"sen 
\defind{ebene Quadriken} oder auch 
\defnoind{Kegelschnitte}\index{Kegelschnitt},
da man sie erhalten kann als Schnitte 
r"aumlicher Ebenen mit dem {\bf Kegel}\index{Kegel!im $\DR^3$} 
$\{(x,y,z) \in \Bbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2} = z^{2}\}$ 
bei geeigneter orthonormaler Identifikation unserer
r"aumlichen Ebenen mit dem $\Bbb{R}^{2}$.
Jeder Kegelschnitt ist bis auf Drehung und Verschiebung 
eine \defind{Ellipse} 
$\alpha x^{2}+\beta y^{2} =1$ mit $\alpha, \beta > 0$, 
eine \defind{Hyperbel} $xy = \gamma$ mit
$\gamma >0$, eine \defind{Parabel} $x^{2} = \delta y$ 
mit $\delta >0$, ein Geradenkreuz, eine Gerade,
ein Punkt oder die leere Menge.
Die Bezeichnung \glqq Parabel\grqq\  kommt hier vom griechischen 
Wort f"ur \glqq Werfen\grqq. In der Tat
beschreibt ein Wurfgeschoss unter Vernachl"assigung des 
Luftwiderstands stets eine \glqq parabolische\grqq\ 
Bahn, vergleiche \eref{WrPa}{AN2}.
\end{Bemerkungl}
\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubunge}\label{PH}
Sei $H \pdef \{(x,y) \in \Bbb{R}^{2} \mid x^{2} - y^{2} =1\}$ die
Hyperbel. Wir konstruieren eine Bijektion $\varphi : \Bbb{R}
\backslash \{\pm 1\} \overset{\sim}{\ra} H\backslash (1,0)$, indem
wir jedem Punkt $t \in \Bbb{R}\backslash \{\pm 1\}$ den
Schnittpunkt der Geraden durch $(0,t)$ und $(1,0)$ mit
$H\backslash (1,0)$ zuordnen.
Man pr"ufe, da"s diese Abbildung gegeben wird durch
$$\varphi (t) = \left( \frac{t^{2} +1}{t^{2}-1}, \frac{2t}{t^{2}-1}\right)$$
Eine eng verwandte Parametrisierung des Einheitskreises wurde in 
\ref{PRr} besprochen.
\end{Ubunge}
\begin{Ubung}
  Man finde eine Stammfunktion von $\sqrt{1+t^2}$. Hinweis: Bei der Berechnung
  \ref{FEK} der Fl"ache des Einheitskreises haben wir fast eine Stammfunktion von $\sqrt{1-t^2}$ bestimmt. Man gehe "ahnlich vor mit der Substitution
  $t=\op{sinh}x$.
\end{Ubung}
\begin{figure}[p]
  \centering
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bildgph}
\\
\noindent
Die geometrische Bedeutung der Abbildung $\varphi$ aus \ref{PH}
\end{figure}


\subsection{Integration rationaler Funktionen}\label{IRFu}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Das Prinzip der Integration durch Partialbruchzerlegung}] 
Zur Integration rationaler Funktionen
erinnern wir zun"achst die Partialbruchzerlegung aus \eref{PBZ}{LA1}.
Danach bilden die Potenzen 
$(X^n)_{n\geq 0}$ mitsamt den
Potenzen der Inversen der Linearfaktoren $((X-\mu)^{-n})_{n\geq 1,\;\mu\in \DC }$ 
eine $\DC$-Basis des  K"orpers der komplexen rationalen Funktionen  $\DC(X)$.
Wenn wir  vergessen, da"s wir uns 
dabei in die komplexe
Zahlenebene vorgewagt haben, so wird das Integrieren
rationaler Funktionen sehr einfach. Es reicht damit n"amlich,  Stammfunktionen f"ur die
Funktionen $x\mapsto (x-\mu)^m$ mit $m\in\DZ$ anzugeben, und derartige Stammfunktionen sind f"ur $\mu\in\DR$ bekanntlich 
$\frac{1}{m+1}(x-\mu)^{m+1}$ im Fall $m\neq -1$
sowie $\log |x-\mu|$
im Fall $m=-1$.
Im folgenden soll ausgef"uhrt werden, inwiefern
diese Formeln f"ur $\mu\in\DC$
im wesentlichen genauso gelten, wenn wir sie nur
richtig interpretieren. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Es gibt auch eine Partialbruchzerlegung f"ur reelle rationale
  Funktionen und man kann auch mit ihrer Hilfe reelle rationale
  Funktionen integrieren. So kann man die komplexen
  Zahlen weitgehend vermeiden, erh"alt aber  kompliziertere Formeln
  gewinnt weniger konzeptuelle Klarheit.
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiel}
Wir bestimmen eine Stammfunktion zu $1/(x^2-1)$. 
Die Nullstellen des Nenners sind $\pm 1$ und
der Grad des Z"ahlers ist echt kleiner als der Grad des Nenners.
Wir d"urfen den Ansatz
\begin{displaymath}
\frac{1}{x^2-1} = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{x-1}
\end{displaymath}
machen und finden sofort $(a+b) x - a + b =1$,
also $a+b =0$ und $b -a=1$ und folglich 
$a = -1/2$ und $b = 1/2$.
Eine Stammfunktion ist mithin
\begin{displaymath}
\frac{1}{2} \log |x-1| - \frac{1}{2} \log |x+1|
\end{displaymath}
Man beachte, da"s unsere Funktion zwei Definitionsl"ucken hat
und wir mit unserer Stammfunktion nur die Integrale
"uber Intervalle $[a,b]$ bestimmen k"onnen, die keine der beiden
Definitionsl"ucken enthalten.  
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}\label{BPD}
Wir bestimmen zu $(x^4 + 2 x^2) / (x^2+2x +1)$ eine Stammfunktion.
Die Partialbruchzerlegung haben wir bereits in \eref{BPDa}{LA1} durchgef"uhrt und
erhielten
\begin{displaymath}
\frac{x^4+2x^2}{x^2 +2x +1} = x^2 -2x +5 - \frac{8}{x+1} + \frac{3}{(x+1)^2}
\end{displaymath}
Als Stammfunktion finden wir damit sofort
\begin{displaymath}
\frac{x^3}{3} -x^2 +5x -8 \log |x+1| - \frac{3}{(x+1)}
\end{displaymath}
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}
  Wir bestimmen eine Stammfunktion zu $1/(x^2+1)$. Wir wissen zwar bereits
  aus \ref{AbAr}, da"s der Arcustangens $\op{arctan}(x)$ so eine Stammfunktion
  ist, aber diesmal geht es uns um das allgemeine Prinzip.
Die Nullstellen des Nenners sind $\pm \op{i}$ und
der Grad des Z"ahlers ist echt kleiner als der Grad des Nenners.
Wir d"urfen deshalb den Ansatz
\begin{displaymath}
\frac{1}{1+x^2} = \frac{a}{x+\op{i}} + \frac{b}{x-\op{i}}
\end{displaymath}
machen und finden sofort $(a+b) x - \op{i}a + \op{i}b =1$,
also $a+b =0$ und $a -b =\op{i}$ und folglich 
$a = \op{i}/2$ und $b = -\op{i}/2$.
Wir d"urfen folglich die  Hoffnung haben, da"s 
\begin{displaymath}
\frac{\op{i}}{2} \log (x+\op{i}) - \frac{\op{i}}{2} \log (x-\op{i})
\end{displaymath}
eine Stammfunktion ist, wenn wir diesen Ausdruck richtig interpretieren.
Dazu lege ich eine Pause ein und diskutiere 
den komplexen Logarithmus.
\end{Beispiel}
\begin{Bemerkungl}\label{clog}
Aus unseren Erkenntnissen \ref{SurCE} "uber die komplexe Exponentialfunktion folgt,  
da"s sie
eine Bijektion
$$\exp : \Bbb{R} + ( - \pi, \pi ] \op{i}\;\sira \;\DC^{\times}$$
liefert. Die Umkehrfunktion
$$\log : \DC^{\times} \sira \;\Bbb{R} + ( -\pi,\pi] \op{i}$$
wird auf der positiven reellen Achse gegeben durch unseren "ublichen
Logarithmus $u\mapsto \log u$,  auf der negativen
reellen Achse durch $u\mapsto \log (-u) + {\op{i}\pi}/{2}$ und
auf
der oberen beziehungsweise unteren komplexen Halbebene durch die Vorschrift
$$\log (u +\op{i}v) = \log \sqrt{u^{2}+v^{2}}\;
\pm \op{i}\frac{\pi}{2} -\op{i}\arctan
\frac{u}{v}
\;\;\;\text{ f"ur }\pm v > 0$$ 
Diese Funktion $\log$ hei"st der
{\bf Hauptzweig des komplexen Logarithmus}.\index{Hauptzweig des Logarithmus}
Man beachte, da"s er nicht stetig\index{Logarithmus!Hauptzweig des komplexen}   
ist l"angs der negativen reellen Achse, obwohl seine
Einschr"ankung auf die negative reelle Achse durchaus stetig ist:
Wir haben f"ur $u<0$ genauer 
$$\lim_{v\searrow 0}\log (u +\op{i}v)=
\log (u)=\lim_{v\nearrow 0}\log (u +\op{i}v)+2\pi\op{i}$$
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiel}
  Wir arbeiten weiter an unserer Stammfunktion zu $1/(x^2+1)$.
  Interpretieren wir in unserer obigen Hoffnung $\log$ als den
  Hauptzweig des komplexen Logarithmus,
  so k"onnen wir unsere Hoffnung 
$
\frac{\op{i}}{2} \log (x+\op{i}) - \frac{\op{i}}{2} \log (x-\op{i})
$
auf eine Stammfunktion zu $1/(x^2+1)$ umschreiben zu
$$\frac{\op{i}}{2}\log \sqrt{x^{2}+1} - \frac{\op{i}}{2}\log \sqrt{x^{2}+1} - \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}\\
+\frac{1}{2}\arctan(x) - \frac{1}{2}\arctan(-x)$$
und erhalten als Stammfunktion 
$\arctan(x)-\pi/2$ in "Ubereinstimmung mit 
unserer Berechnung der Ableitung des Arcustangens aus \ref{AbAr}. Unsere
Hoffnung war also berechtigt. 
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungl}
  Um zu erkl"aren, warum dieses Verfahren auch im allgemeinen funktioniert,
  diskutiere ich im folgenden einige Grundlagen der komplexen Ableitung.
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}
  Eine Teilmenge $U\subset \DC$ hei"st {\bf offen},\index{offen!in der komplexen Zahlenebene} wenn sie f"ur jeden ihrer Punkte eine Umgebung ist,
  wenn sie also anschaulich gesprochen mit jedem Punkt ein ganzes Rechteck
  um diesen Punkt umfa"st. Wir schreiben  $U\co\DC$ als Abk"urzung f"ur
  die Aussage, da"s $U$ eine offene Teilmenge von $\DC$ sein soll.
\end{Definition}
  \begin{Definition}
    Eine komplexwertige Funktion $f:\DC\lco U\ra \DC$ auf einer offenen
    Teilmenge der komplexen Zahlenebene  hei"st {\bf komplex differenzierbar bei $p\in U$}, wenn es $b\in\DC$ gibt mit 
    $$\lim_{U\ni z\ra p}  \frac{f(z) - f(p)}{z-p} = b$$
Wir k"urzen diese Aussage auch in dieser Situation
ab durch $f^{\prime}(p) = b$. Unsere Funktion
hei"st {\bf komplex differenzierbar} oder
gleichbedeutend  {\bf holomorph},\index{holomorph} wenn sie bei jeder
Stelle $p\in U$ komplex differenzierbar ist. 
\end{Definition}

  \begin{Bemerkungl}[\textbf{Regeln f"ur die komplexe Ableitung}] 
    Genau wie f"ur die reelle Differenzierbarkeit zeigt man auch f"ur
    komplexe Differenzierbarkeit die Summenregel, Produktregel und Kettenregel.
    Genau wie im Reellen zeigt man weiter, da"s die Ableitung jeder konstanten Funktion die Nullfunktion ist und da"s die Ableitung der Funktion $f(z)=1/z$
    gegeben wird durch $f'(z)=-1/z^2$. Genau wie im Reellen folgt, da"s
    $(z-\mu)^n$ die Ableitung $n(z-\mu)^{n-1}$ hat f"ur alle $n\in\DZ$.
    Genau wie im Reellen zeigt man auch, da"s die komplexe Exponentialfunktion
    ihre eigene komplexe Ableitung ist, in Formeln $\exp'=\exp$. Genau wie im
    Reellen zeigt man schlie"slich, da"s wenn $f:\DC\lco U\ra\DC$ komplex differenzierbar und injektiv ist
    mit offenem Bild $V\pdef f(U)\co \DC$ und nirgends verschwindender Ableitung und wenn zus"atzlich die Umkehrfunktion
    $g=f^{-1}:V\ra U$ stetig ist, da"s dann  auch die Umkehrfunktion $g$ komplex differenzierbar ist mit
    der Ableitung  $$g'(z)=\frac{1}{f'(g(z))}$$
    Daraus folgt, da"s unser geeignet eingeschr"ankter
    Hauptzweig des Logarithmus
    $\log:\DC\backslash \DR_{\leq 0}\ra \DC$ komplex differenzierbar ist mit
    der Ableitung $$\log'(z)=\frac{1}{z}$$
    Nach der Kettenregel hat somit  $\log(z-\mu)$ auf
    $\DC\backslash (\mu +\DR_{\leq 0})$ die komplexe Ableitung $(z-\mu)^{-1}$. 
  \end{Bemerkungl}
  \begin{Bemerkungw}
    Die Theorie holomorpher Funktionen hei"st die
    \glqq Funktionentheorie\grqq\ und ist der Gegenstand einer eigenen
    Vorlesung. Man zeigt dort zum Beispiel, da"s 
    jede injektive holomorphe Funktion bereits offenes Bild und eine
    holomorphe Umkehrfunktion hat.
  \end{Bemerkungw}
\begin{Bemerkungl}
  Eine komplexwertige Funktion $f:\DR\supset D\ra \DC$ auf einer halboffenen
  Teilmenge der Zahlengeraden hei"st 
  {\bf differenzierbar} oder genauer {\bf reell-komplex differenzierbar bei $p\in D$},\index{differenzierbar!reell-komplex}
  wenn es $b\in\DC$ gibt mit  $$\lim_{x\ra p}
\frac{f(x) - f(p)}{x-p} = b$$ 
Wir k"urzen diese Aussage auch in dieser Situation
ab durch $f^{\prime}(p) = b$. Nimmt hier $f$ nur reelle Werte an, ist das
unsere ganz gew"ohnliche Ableitung.  
Nach unseren Regeln f"ur komponentenweise Grenzwerte \ref{StKg} ist
$f$ in dieser Situation allgemeiner  genau dann reell-komplex differenzierbar, 
wenn $\op{Re}f$ und $\op{Im}f$ reell differenzierbar sind,\label{Ablk}
und dann gilt 
$$f'(p)= (\op{Re}f)'(p)+{\op{i}}(\op{Im}f)'(p)$$
Schr"anken wir anderseits eine komplex differenzierbare Funktion
    $h:\DC\lco U\ra \DC$ ein auf die reelle Achse
    zu $\underline{h}:\DR\lco D\ra \DC$ mit $D\pdef \DR\cap U$, so gilt f"ur alle $p\in D$
    offensichtlich die Beziehung 
$$h'(p)=\underline{h}'(p)$$
    zwischen der komplexen  Ableitung und der reell-komplexen Ableitung
    der Einschr"ankung auf die reelle Achse.
    Eine Funktion  $F:\DR\supset D\ra \DC$ mit $F'=f$ im Sinne der
    reell-komplexen Ableitung nennen wir wieder eine
    {\bf Stammfunktion von $f$} oder ausf"uhrlicher eine
    {\bf Stammfunktion im Sinne der reell-komplexen Ableitung}.
    Dann ist $\op{Re}(F)$ eine Stammfunkton von $\op{Re}f$ im urspr"unglichen Sinne. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Stammfunktion durch komplexe Partialbruchzerlegung}]
 Wir erinnern, da"s die Potenzen 
$(X^n)_{n\geq 0}$ mitsamt den
Potenzen der Inversen der Linearfaktoren $((X-\mu)^{-n})_{n\geq 1,\;\mu\in \DC }$ 
eine $\DC$-Basis des  K"orpers der komplexen rationalen Funktionen  $\DC(X)$
bilden.   Um eine Stammfunktion im Sinne der  reell-komplexen Ableitung einer
komplexen rationalen Funktion $P(x)/Q(x)$ anzugeben, reicht es aus,
ihre Partialbruchzerlegung zu bestimmen und Stammfunktionen aller
$(x^n)_{n\geq 0}$ und aller $((x-\mu)^{-n})_{n\geq 1,\;\mu\in \DC }$ anzugeben.
Nach unseren Vor"uberlegungen sind solche Stammfunktionen 
$x^{n+1}/(n+1)$ beziehungsweise $(x-\mu)^{-n+1}/(-n+1)$ falls $n>1$
beziehungsweise $\log (x-\mu)$ falls $n=1$, jeweils mit $\log$ unserem
Hauptzweig des Logarithmus. Damit ist unsere Integrationsaufgabe
 zur"uckgef"uhrt auf die Bestimmung der Partialbruchzerlegung.
    Dieses Problem hinwiederum l"a"st sich algorithmisch l"osen, wenn man
    die Nullstellen des Nennerpolynoms kennt. F"ur die Bestimmung dieser
    Nullstellen jedoch gibt es nur algebraische Verfahren, wenn
    unser Polynom  h"ochstens den Grad vier hat.
  \end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Die Problematik komplexer Potenzen}]
Setzt man f"ur $a\in\DC^\times$ und $b\in\DC$ 
"ahnlich wie im Reellen $a^b\pdef 
\exp(b\log a)$ mit $\log$ dem eben definierten
Hauptzweig des\label{ahb}  
komplexen Logarithmus, 
so ergibt sich $\op{i}^{\op{i}}=\exp(-\pi/2)$.  
Insbesondere ist in diesem Sinne also $\op{i}^{\op{i}}$ reell.
Allerdings ist dann $a\mapsto a^b$ f"ur $b\in\DC\backslash \DZ$ 
unstetig l"angs der negativen reellen Achse und 
wir haben im allgemeinen  $a^{bc}\neq (a^{b})^{c}$.
\end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Integrale rationaler Ausdr"ucke $R({\op{e}}^t),R(\sqrt[n]{t})$}]
Gegeben eine  rationale Funktion
 $R =P/Q$  
betrachten wir die Funktion $D \ra \Bbb{R}$, $t \mapsto R (\op{e}^{t})$ 
mit dem Definitionsbereich\label{Iex}
$D = \{ t \in \Bbb{R} \mid Q (\op{e}^{t}) \neq 0\}$. 
Das Integral eines solchen  rationalen Ausdrucks
in $\op{e}^{t}$ kann man auf das Integral einer
 rationalen Funktion zur"uckf"uhren durch die Substitution 
$x = \op{e}^{t}$, 
$\diff x =  \op{e}^{t}\diff t= x\diff t$. 
Zum Beispiel berechnen wir 
$$\int \frac{\diff t}{\cosh t} = 
\int \frac{2\diff t}{\op{e}^{t}+ \frac{1}{\op{e}^{t}}} 
= \int \frac{2\diff x}{x^{2}+1} 
=2 \op{arctan}x = 2 \op{arctan} (\op{e}^{t})$$
Das Integral eines  rationalen Ausdrucks in $\sqrt[n]{t}$ 
f"ur eine nat"urliche Zahl $n\geq 1$ kann 
man "ahnlich durch die Substitution $\sqrt[n]{t}=x$, $\diff t=nx^{n-1}\diff x$
auf das Integral einer
 rationalen Funktion in $x$ zur"uckf"uhren.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Integrale rationaler Ausdr"ucke $R(\sin,\cos)$}]
Das Integral eines  rationalen\label{RSCI} 
Ausdrucks im Funktionenpaar $(\sin,\cos)$ wie zum Beispiel 
$$\frac{\sin^3(\tau)+\cos(\tau)}{\cos(\tau)+\cos^2(\tau)}$$
kann man auffassen als Kurvenintegral im Sinne von \ref{KI}
einer rationalen Funktion
in zwei Ver"anderlichen, in unserem Beispiel
das Integral der Funktion $$R(x,y)=\frac{y^3+x}{x+x^2}$$
 "uber ein St"uck des Einheitskreises.
Mit
der Umparametrisierung \ref{PRr},
also mithilfe der Substitution $t=\op{tan}(\tau/2)$ und folglich
$\sin(\tau)=2t/(1+t^2)$, 
$\cos(\tau)=(1-t^2)/(1+t^2)$,
$\diff\tau=(2/(1+t^2))\diff t$
l"a"st es sich dann umwandeln in ein Integral
einer rationalen Funktion einer Ver"anderlichen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Integrale rationaler Ausdr"ucke $R(\sqrt{1-x^2},x)$}] Integrale "uber  rationale
Ausdr"ucke im Funktionenpaar
$(\sqrt{1-x^2},x)$ kann man in "ahnlicher Weise
als Kurvenintegral auffassen und l"osen, im Gegensatz zu eben
hat nur $x\mapsto (\sqrt{1-x^2},x)$ nicht konstante absolute Geschwindigkeit
$1$, sondern vielmehr die absolute Geschwindigkeit $1/\sqrt{1-x^2}$.  
Formal mag man auch $x=\sin t$, $\diff x=\cos t \diff t$
substituieren und sich so auf den
bereits behandelten Fall eines rationalen
Ausdrucks im Funktionenpaar $(\sin,\cos)$ zur"uckziehen. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Integrale rationaler Ausdr"ucke $R(\sqrt{x^2\pm 1},x)$}] Integrale von  rationalen
Ausdr"ucken in den Funktionenpaaren\label{INTSH} 
 $(\sqrt{x^2+ 1},x)$ 
oder $(\sqrt{x^2- 1},x)$ kann man auf die bereits
in \ref{Iex} behandelten Integrale
 rationaler Funktionen in $\op{e}^t$ zur"uckf"uhren 
durch die Substitution $x=\sinh t$, $\diff x=\cosh t\diff t$ beziehungsweise
$x=\cosh t$, $\diff x=\sinh t\diff t$.  
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkunge} Ein  geometrischer Zugang 
zu all diesen Integralen wird in \eref{Goe}{AN2} diskutiert.
\end{Bemerkunge}
\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}
  Man zeige f"ur die reell-komplexe Ableitung
   differenzierbarer komplexwertiger Funktionen
  $f,g:\DR\supset D\ra \DC$ einer reellen
  Ver"anderlichen auf einer halboffenen Teilmenge $D\subset \DR$
die Summenregel $(f+g)^{\prime} = f^{\prime} +
g^{\prime}$,
die Produktregel $(fg)^{\prime} = f^{\prime}g + f g^{\prime}$
und die Regel f"ur die Ableitung des Kehrwerts
$(1/f)^{\prime} = - f^{\prime}/f^{2}$. 
\end{Ubung}

\begin{Ubunge}
Man finde eine Stammfunktion zu $1/({1+x^{4}})$. 
\end{Ubunge}
\begin{Ubung} 
F"ur alle $\lambda \in \Bbb{C}$ hat die Abbildung $\Bbb{C}\ra
\Bbb{C}$, $ z\mapsto \op{e}^{\lambda z}$ die komplexe Ableitung $z \mapsto \lambda
\op{e}^{\lambda z}$.\label{AExp}  
\end{Ubung}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "XXAN1"
%%% End: 
