
\section{Ableitungen in mehreren Ver"anderlichen}


\subsection{Partielle Ableitungen und Gradient}
\begin{Definition}\label{dpA}
Eine Funktion $f:\Bbb{R}^{n}\lco A \ra \Bbb{R}$ 
hei"st {\bf partiell differenzierbar nach der
$i$-ten Variablen} an einer Stelle  $p  = (p_{1},\ldots,p_{n})\in A$, \index{partiell!differenzierbar}
 wenn die Funktion $x \mapsto f
(p_{1}, \ldots , p_{i-1}, x , p_{i+1}, \ldots, p_{n})$
differenzierbar ist bei $x = p_{i}$. Die Ableitung dieser Funktion hei"st
 die 
{\bf $i$-te partielle 
Ableitung}\index{Ableitung!partielle}\index{partiell!Ableitung} 
von $f$ und wird notiert als 
$$(\op{D}_i f)(p)=\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(p) \pdef \lim_{h\ra 0}
\frac{f(p_{1},\ldots, p_{i}+h, \ldots, p_{n})-f(p_{1},\ldots,p_{i},
\ldots, p_{n})}{h}$$
\end{Definition}
\begin{figure}[htbp]
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildPab}
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering
Veranschaulichen wir uns eine reellwertige Funktion
von zwei reellen Ver"anderlichen durch die
H"ugellandschaft ihres Graphen,
so beschreibt die partielle Ableitung $\frac{\partial f}{\partial x}(p)$ 
die Steigung bei $p$ derjenigen  Stra"se durch $p$, die  besagte
H"ugellandschaft in Richtung der $x$-Achse durchquert.
\end{minipage}
\end{figure}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Berechnung der partiellen Ableitungen}] 
Unsere partiellen Ableitungen sind, soweit sie existieren, wieder
reellwertige Funktionen. Um
$\frac{\partial f}{\partial  x_{i}}$
zu berechnen, mu"s man sich salopp gesprochen  alle $x_{j}$ mit
$j\neq i$ als Konstanten denken.
Zum Beispiel berechnen wir die partiellen Ableitungen von
$f(x,y)=x \sin (xy)$ und erhalten
$$\begin{array}{rcl}
\frac{\partial f}{\partial x} &=& \sin (xy) + xy \cos (xy)\\[2mm]
\frac{\partial f}{\partial y} &=& x^{2} \cos (xy)
\end{array}$$
Dieses Beispiel zeigt auch die Vorteile der Notation
$\frac{\partial }{\partial x}$ gegen"uber der formal exakteren Notation $\op{D}_i$, bei der man
stets eine Reihenfolge der Variablen festlegen mu"s und schneller
in Indizes ertrinkt. Wenn die
sonstige Notation es erlaubt, benutzt man  auch die sehr konzisen Schreibweisen 
$$\frac{\partial f }{\partial
  x}=\partial_x f=f_x$$ 
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Notation}] 
Ich will an einem Beispiel erl"autern, 
aus welchem Grund es sinnvoll ist, im Fall
mehrerer Ver"anderlichen unsere
bisherige Notation $\frac{\op{d}}{\diff x}$ zu 
$\frac{\partial}{\partial x}$ abzu"andern.
Denken wir uns einen Wanderer auf einer Wanderung durch die 
Alpen, bei der schlechtes Wetter aufkommt. Der
Luftdruck $D = D (t,h)$ 
h"angt dann sowohl von der 
Zeit als auch von der H"ohe ab. Macht unser Wanderer 
zum Zeitpunkt $t=t_0$  in der H"ohe $h=h_0$ eine Pause, 
so "andert sich der Luftdruck, den sein Barometer mi"st,  mit der Rate 
$\frac{\partial D}{\partial t} (t_0, h_0)$. Geht  er jedoch
zum Zeitpunkt $t=t_0$ bergab oder bergauf und gibt die Funktion 
$h(t)$ seine H"ohe zum 
Zeitpunkt $t$ an, so "andert sich der Luftdruck, 
den sein Barometer mi"st,   mit
der Rate $\left.\frac{\diff }{\diff t}\right|_{t=t_0} (D (t,h(t)))$. Wir
werden zeigen, da"s sich diese Rate auch ausdr"ucken l"a"st 
in der Gestalt
$\left.\frac{\diff }{\diff t}\right|_{t=t_0} ( D (t,h(t)))=
\frac{\partial D}{\partial t} (t_0, h(t_0)) + h^{\prime} (t_0) 
\frac{\partial D}{\partial h} (t_0, h(t_0))$ oder 
in Kurzschreibweise
$$\frac{\diff  D}{\diff t} = \frac{\partial D}{\partial t} + 
\frac{\diff  h}{\diff t} \;\frac{\partial D}{\partial h}$$
Der Zweck der Variation unserer Notation liegt nun eben darin, 
da"s mit ihr solche Verk"urzungen
verst"andlich bleiben.
Um die behauptete Formel zu beweisen, f"uhren wir den
Begriff des Differentials ein, studieren seinen Zusammenhang
mit den partiellen Ableitungen und erhalten 
unsere Formel als Korollar \ref{GPa} der Kettenregel f"ur Differentiale.  
\end{Bemerkungl}


\begin{Definition}
Ist  $f: \Bbb{R}^{n}\lco A \ra \Bbb{R}$ 
auf ganz $A$ nach jeder der $n$ Variablen partiell differenzierbar,
so erkl"aren wir den {\bf Gradienten\index{Gradient} von 
$f$} als die Abbildung\index{grad@$\op{grad}$!Gradient}\label{GrAd}
$$\begin{array}{rccl}
\op{grad} f :& A & \ra & \Bbb{R}^{n}\\
&x &\mapsto & \left(\frac{\partial f}{\partial x_{1}} (x), \ldots,
\frac{\partial f}{\partial x_{n}}(x)\right)^\ttop
\end{array}$$
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauung f"ur den Gradienten}] 
Man beachte, da"s in dieser Definition das Symbol $x$ f"ur ein
Element des $\DR^n$ steht und nicht wie zuvor f"ur eine reelle Zahl. 
Ich stelle mir $\op{grad} f$ meist vor als ein Vektorfeld, das also
jedem Punkt aus $A$ einen Vektor aus dem $\Bbb{R}^{n}$ zuordnet.\label{GraFF} 
Das ist auch der Grund daf"ur, da"s ich in obiger Definition den Zeilenvektor
in einen
Spaltenvektor transponiert habe.
Denken wir uns im Fall $n =2$ den Graphen von $f$  als eine
H"ugellandschaft, so zeigt $\op{grad} f$ stets in die Richtung, in der
es am steilsten den Berg hinaufgeht, und $\op{grad} f$ ist desto
l"anger, je steiler es hinaufgeht. Diese Anschauung wird durch 
Bemerkung \ref{Igra} formal gerechtfertigt.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Abh"angigkeit des Gradienten von den Koordinaten}]
  Der Begriff des Gradienten ist nur f"ur reellwertige Funktionen 
auf dem $\DR^n$ sinnvoll. Reellwertigen Funktionen auf
abstrakten endlichdimensionalen reellen Vektorr"aumen kann 
nicht mehr sinnvoll ein Gradient in Gestalt eines Vektorfeldes 
zugeordnet werden. 
Ich vermeide deshalb im folgenden nach M"oglichkeit 
den Begriff des Gradienten und arbeite stattdessen mit den sogenannten
\glqq Differentialen\grqq, die in sehr viel gr"o"serer Allgemeinheit
definiert sind.
Die Beziehung zwischen Differentialen und Gradienten  wird in \ref{JMGG} und
\ref{Grgg} besprochen.
\end{Bemerkungl}
\begin{figure}[htb]
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildNiL}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
    \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildGrF}
\end{minipage}
\\[8mm]
 \centering Einige Niveaulinien und das Gradientenfeld eines
H"ugels, hier m"oglicherweise der Funktion $\frac{1}{2}\sqrt{1-x^2-y^2}$ auf
der Kreisscheibe $x^2+y^2<\frac{1}{2}$.
\end{figure}

%\begin{Bild} 
%\includegraphics[height=0.4\textheight]{SkriptenBilder/}\\[8mm]
%\includegraphics[height=0.4\textheight]{SkriptenBilder/BildGrF}\\[4mm]
%\noindent 
%\end{Bild}

\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}
Sei $R(x,y)=\sum_{i,j}c_{ij}x^iy^j$ ein Polynom in zwei Variablen
mit reellen Koeffizienten $c_{ij}\in\DR$.
Man zeige: Gibt es eine nichtleere offene Teilmenge $A\co\Bbb{R}^2$ derart,
da"s gilt  $R(p)=0\;\forall p\in A$, so ist $R$ das Nullpolynom,
in Formeln $c_{ij}=0\;\forall i,j$.
\end{Ubung}

\subsection{Affine R"aume}
\begin{Bemerkungl}
Dieser Abschnitt ist ein Auszug aus 
Abschnitt \eref{daff}{LA1} meiner Vorlesung zur linearen Algebra.
Ich habe ihn hier 
eingef"ugt, um Unklarheiten zu vermeiden
was die im weiteren 
verwendeten Notationen und Begriffsbildungen
angeht. Meine Hoffnung ist, durch
eine begriffliche Trennung von Punkten und
Richtungsvektoren das Verst"andnis des Differentials zu erleichtern.
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}\label{SSdaffan}
  Ein {\bf affiner Raum}\index{affin!Raum}  
oder kurz  {\bf Raum}\index{Raum!affiner}
"uber einem K"orper $k$
  ist ein Tripel $$E=(E,\vec{E},a)$$ bestehend aus einer 
nichtleeren Menge $E$,  einer abelschen
  Gruppe $\vec{E}\subset \op{Ens}^\times \! E$ von Permutationen von $E$ 
  und einer Abbildung $a:k\times \vec{E}\ra \vec{E}$ derart, da"s gilt:
  \begin{enumerate}
  \item
    F"ur alle $p,q\in E$ gibt es genau ein $\vec v\in\vec E$ mit
    $\vec v(p)=q$;
\item Die Abbildung $a:k\times \vec{E}\ra \vec{E}$ ist die Multiplikation
  mit Skalaren einer Struktur als $k$-Vektorraum auf $\vec E$.
  \end{enumerate}
Die Elemente von $\vec{E}$ hei"sen die 
{\bf Translationen}\index{Translation!von affinem Raum} oder 
{\bf Richtungsvektoren}\index{Richtungsvektor} unseres
affinen Raums. Den Vektorraum $\vec{E}$ selbst nennen wir den
{\bf Richtungsraum}\index{Richtungsraum} unseres affinen Raums $E$
und notieren ihn auch $\vec E=\op{Richt}(E)$. 
Die Operation von $k$ auf $\vec{E}$ mag man die 
{\bf Reskalierung von
    Translationen}\index{Reskalierung!von Translationen} nennen.
 Unter der {\bf Dimension}\index{Dimension!eines affinen Raums} unseres
  affinen Raums verstehen wir die Dimension seines Richtungsraums.
  Das Resultat der Operation von $\vec{v}\in \vec{E}$ auf $p\in E$ notieren wir
  $\vec{v}+p\pdef \vec{v}(p)$\index{+@$+$ Verschieben von Punkt um Richtungsvektor}
  oder  auch $p+\vec{v}$.
\end{Definition}

\begin{Bemerkungw}[\textbf{Inkoh"arenzen der Notation}] 
Die eben eingef"uhrte Notation f"ur den
Richtungsraum eines affinen Raums steht 
in Konflikt mit der Notation aus \ref{rPFf}, nach der ein
Pfeil "uber dem Symbol f"ur eine  Mannigfaltigkeit
die Vorgabe einer Orientierung andeutet.
 Was jeweils gemeint ist, mu"s man aus dem Kontext erschlie"sen.
\end{Bemerkungw}

\begin{Bemerkungl}
Ist $E$ ein affiner Raum, so liefert nach Annahme f"ur jedes $p\in E$
die Operation eine Bijektion $\vec{E}\sira E$,  $\vec{u}\mapsto \vec{u}+p$ 
und es gilt
$\vec{0}+p=p$ sowie 
$\vec{u}+(\vec{v}+p)=(\vec{u}+\vec{v})+p$ f"ur alle $\vec{u},
\vec{v}\in \vec{E}$ und $p\in E$.  
Flapsig gesprochen ist also ein affiner Raum 
ein \glqq Vektorraum, bei dem man 
den Ursprung vergessen hat\grqq. Gegeben $p,q\in E$ notieren wir
$$\vec{u}=p-q$$ den Richtungsvektor $\vec{u}\in \vec{E}$ mit $p=\vec{u}+q$.   
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiel}[\textbf{Modellierung von Raum und Zeit}]
Es scheint mir besonders sinnf"allig, den uns umgebenden Raum 
mathematisch als einen dreidimensionalen reellen
affinen Raum $\mathbb E$ zu modellieren. Hierbei denkt man sich $\vec{\mathbb E}$ als 
die Gruppe aller
\glqq r"aumlichen Parallelverschiebungen\grqq. "Ahnlich mag man die Zeit 
 modellieren als einen eindimensionalen reellen
affinen Raum $\mathbb T$. Hierbei denkt man sich $\vec{\mathbb T}$ als 
die Gruppe aller
\glqq Zeitspannen\grqq\ und erlaubt  auch \glqq negative Zeitspannen\grqq.
Die  Sekunde ist damit ein von Null verschiedener Vektor  $\ph{s}\in \vec{\mathbb T}$. 
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungl}
  Unter einem {\bf normierten Raum} verstehen wir im folgenden einen
  reellen affinen Raum $X$, dessen Richtungsraum $\vec X$ mit einer
  Norm versehen ist. Jeden normierten Raum fassen wir
  als metrischen Raum auf mit der  Norm $d(x,y)\pdef \|x-y\|$
  des Richtungsvektors von $y$ nach $x$  als Metrik und versehen ihn mit der
  zugeh"origen metrischen Topologie. "Aquivalente Normen liefern 
  dieselbe Topologie. Insbesondere liefern auf einem endlichdimensionalen
  reellen Raum $X$ nach dem Satz \ref{SSAQN} "uber die "Aquivalenz von Normen
  je zwei Normen dieselbe Topologie.\label{natTop} Sie hei"st die {\bf nat"urliche Topologie auf $X$}.\index{nat"urliche Topologie!auf endlichdimensionalem reellen Raum}
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl} Gegeben ein normierter Raum $X$ ist das 
Verschieben
  $\vec X\times X\ra X, (v,p)\mapsto v+p$\label{nafdt} eine stetige Abbildung. 
   Um das einzusehen, wiederholt man
  den Beweis zur Stetigkeit der Addition in normierten Vektorr"aumen aus 
 "Ubung \ref{nadt}. 
\end{Bemerkungl}

  
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Vom Nutzen allgemeiner normierter R"aume}]
Wir werden es  vorerst  nur mit endlichdimensionalen normierten
R"aumen zu tun haben.\label{DiffA}
 Ich arbeite dennoch hier und im folgenden mit
beliebigen normierten R"aumen, weil das zum Ersten 
in keiner Weise schwieriger ist, weil es zum Zweiten einen gr"o"seren
Abstand zum un"ubersichtlichen Gestr"upp der Koordinaten schafft,
und weil es zum Dritten bei der Behandlung von Differentialgleichungen
\ref{ALAW} in dieser Allgemeinheit gebraucht wird.
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Vektorr"aume als affine R"aume}]
  Jeder Vektorraum $V$ kann   als ein affiner Raum aufgefa"st werden,
indem wir als Translationen\label{SSVRARa} 
 die durch die Addition von festen Vektoren 
 gegebenen Abbildungen nehmen.
 Genauer betrachten wir den injektiven  Gruppenhomomorphismus
 $\op{trans}: V\hra \op{Ens}^\times(V)$\index{trans@$\op{trans}$} gegeben durch
 $\op{trans}(v)\pdef (v+)$ und setzen in Formeln 
$$\vec V\pdef \op{trans}(V)$$
Die Reskalierung von Translationen  erkl"aren wir dann dadurch, da"s der
Grup\-pen\-iso\-mor\-phis\-mus $\op{trans}: V\sira \vec V$
einen Vektorraumisomorphismus auf sein Bild 
liefern soll. Oft schreibe ich abk"urzend  $\op{trans}(v)=\vec v$.
In dieser Notation bedeutet etwa
$\vec 1\in\vec \DR\subset \op{Ens}^\times(\DR)$
die Verschiebung $(1+):\DR\ra\DR$.
Oft wird aber die Identifikation zwischen einem Vektorraum und dem
Richtungsraum des zugeh"origen affinen Raums schlicht gar nicht notiert,
insbesondere f"ur $V=\DR^n$. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Definition}
Eine Abbildung $\varphi:X\ra Y$ zwischen affinen R"aumen 
hei"st eine
\defnoind{affine Abbildung},\index{affin!Abbildung} 
 wenn es eine lineare Abbildung
zwischen den zugeh"origen  Richtungsr"aumen
$\vec{\varphi}:\vec{X}\ra \vec{Y}$ gibt mit $$\varphi(p)-\varphi(q)=
\vec{\varphi}(p-q)\;\;\forall p,q\in X$$ 
Diese lineare Abbildung $\vec{\varphi}$ 
ist dann durch $\varphi$ eindeutig bestimmt und hei"st der
\defind{lineare Anteil} unserer affinen Abbildung.
\end{Definition}

\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}[\textbf{Produkt affiner R"aume}]
  Gegeben affine R"aume $X,Y$ "uber einem K"orper $k$ gibt es genau
  eine Struktur als affiner Raum "uber $k$ auf ihrem Produkt $X\times Y$ derart,
  da"s\label{PaR}
  die Projektionen auf $X$ und $Y$ affine Abbildungen werden.
  Die linearen Anteile der Projektionen induzieren dann einen
  Vektorraumisomorphismus $$(\vec{\op{pr}}_X,\vec{\op{pr}}_Y):
  \overrightarrow{X\times Y}\sira \vec X\times \vec Y$$
  vom Richtungsraum des Produkts zum Produkt der  Richtungsr"aume der Faktoren.
  Wir
  verwenden das Produkt affiner R"aume bei unserer Diskussion des Satzes "uber
  implizite Funktionen. 
\end{Ubung}
\subsection{Differential}

%\begin{Definition}
%Seien $X,Y$ normierte R"aume und 
%$p\in A \co X$ eine bepunktete offene  Teilmenge. 
%Eine Abbildung  $f:A\ra Y$  hei"st 
%{\bf differenzierbar bei}\index{differenzierbar!mehrere Ver"anderliche}  
%$p$,
%wenn es eine  stetige lineare Abbildung $L: \vec{X} \ra \vec{Y}$ 
%gibt derart, da"s
%%gilt
%$$\lim_{\vec v\ra \vec 0}\frac{f(p +\vec v) - f(p) - L\vec v}{ \|\vec v \|}=\vec 0$$
%Ausf"uhrlicher sagt man\index{Frechet@Fr\'echet-differenzier\-bar}
%{\bf total differenzierbar}\index{differenzierbar!total} oder  {\bf Fr\'echet-differenzier\-bar}. Wir zeigen gleich, da"s die lineare Abbildung $L$
%eindeutig bestimmt ist, wenn sie existiert, und nennen dann $L$ das 
%{\bf Differential von $f$ bei $p$}. 
%\end{Definition}  


\begin{Definition}\label{DeDii}
Seien $X,Y$ normierte R"aume. 
Eine Abbildung  $f:X\lco A\ra Y$  hei"st 
{\bf differenzierbar an einer Stelle}\index{differenzierbar!mehrere Ver"anderliche}  
$p\in A$, wenn es eine  stetige lineare Abbildung $L: \vec{X} \ra \vec{Y}$
 gibt
mit  
$$f(p +\vec v) = f(p) + L\vec v + \|\vec v \| \varepsilon (\vec v)$$
f"ur $\varepsilon$ stetig bei $\vec v=\vec 0$ mit Funktionswert $\vec 0$, in Formeln $\lim_{\vec v\ra \vec 0}\varepsilon (\vec v) =\varepsilon (\vec 0) =\vec 0$. Hier ist implizit zu verstehen, da"s die Abbildung $\varepsilon$ 
definiert sein soll auf der Menge aller $\vec v\in \vec{X}$ mit $p+\vec v\in A$.
Ausf"uhrlicher sagt man\index{Frechet@Fr\'echet-differenzier\-bar}
{\bf total differenzierbar}\index{differenzierbar!total} oder  {\bf Fr\'echet-differenzier\-bar}. Wir zeigen gleich in \ref{DeDi2}, da"s die lineare Abbildung $L$
eindeutig bestimmt ist, wenn sie existiert. Sie hei"st dann das 
{\bf Differential} oder {\bf Tangential von $f$ bei $p$}\index{Differential}\label{DeDi} und\index{Tangential}
wird notiert als $$\tiff_pf\pdef L$$
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Notation}]
F"ur das Differential, das wir hier mit $\tiff_p f$ 
bezeichnen, findet man in der Literatur auch die
alternativen Notationen 
$(\op{D}\!f)(p)$ und $f'(p)$  und $\diff_p f$.
Die Notation $\tiff_p f$ hat den Vorteil, gut zu der Notation f"ur
Tangentialr"aume zu passen, die wir sp"ater kennenlernen werden. 
Die Notation $\diff_p f$ pa"st hinwiederum besser 
unserer Notation $\frac{\diff y}{\diff x}$ f"ur Differenzenquotienten und
der Notation $\diff x$, mit der wir beim Integral die Integrationsvariable auszeichnen. 
Das wird in \ref{EEWW} ausgef"uhrt. 
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Eindeutigkeit des Differentials}] 
  Gegeben zwei  Differentiale $L,M$ derselben Abbildung
  an demselben Punkt haben wir $\op{lim}_{\vec v\ra\vec 0}(L-M)\vec v/\|\vec v\|=\vec 0$. Es folgt f"ur jeden Vektor\label{DeDi2} $\vec w\neq\vec 0$  durch Einsetzen
  von $\vec v=t\vec w$
  insbesondere $$\vec 0=\op{lim}_{t\searrow 0}\frac{(L-M)(t\vec w)}{\|t\vec w\|}
  =\op{lim}_{t\searrow 0}\frac{(L-M)(\vec w)}{\|\vec w\|}=\frac{(L-M)(\vec w)}{\|\vec w\|}
 $$ Das hinwiederum zeigt 
   $(L-M)\vec w=\vec 0\;\forall \vec w$ und insgesamt $L=M$.
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Richtungsableitungen und Differential}] 
Gegeben $X,Y$ normierte R"aume  und
$f:X\lco A\ra Y$ differenzierbar bei $p\in A$ gilt 
$$(\tiff_pf)(\vec w)=\lim_{t\ra 0}\frac{f(p+t\vec w)-f(p)}{t}$$
In der Tat folgt das direkt durch Einsetzen von $\vec v=t\vec w$
in der Definition des Differentials.
Diesen Grenzwert in $\vec{Y}$ 
hinwiederum nennt man, wann immer er existiert, die
{\bf Richtungsableitung von $f$ bei $p$ in Richtung}
$\vec w$\index{Ableitung!Richtungs-}
\index{Richtungsableitung}  und k"urzt ihn ab
mit\index{D@${\op{D}}_{p,\vec v}$ Richtungsableitung} $${\op{D}}_{p,\vec w}(f)$$ 
f"ur englisch 
{\bf directional derivative}.\index{directional derivative}
Anschaulich mi"st die Richtungsableitung im Fall $Y=\DR$, wie schnell unsere 
Funktion w"achst beziehungsweise abnimmt, wenn wir von $p$ aus \glqq mit der durch die L"ange von $\vec w$ gegebenen
Geschwindigkeit in der Richtung 
$\vec w$ gehen\grqq.
Unsere Richtungsableitung h"angt insbesondere nicht nur
von der Richtung des Vektors $\vec w$ ab, sondern 
auch von seiner 
L"ange.
Existiert das Differential von $f$ an einer Stelle  $p\in A$, so existieren 
insbesondere auch alle Richtungsableitungen und f"ur alle
Richtungsvektoren $\vec w\in \vec{X}$ gilt\label{RaA}
$${\op{D}}_{p,\vec w}(f) = (\tiff _{p}f)(\vec w)$$
\end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkungw}
  Im folgenden diskutieren wir  die Berechnung der Differentiale
  zun"achst f"ur Abbildungen $\DR^m\ra\DR$, dann f"ur Abbildungen  $\DR^m\ra\DR^n$,  dann f"ur Abbildungen  $\DR\ra\DR^n$ und schlie"slich 
f"ur  Abbildungen $\DR\ra\DR$. Anschlie"send diskutieren wir Anschauungen im abstrakten
  Kontext, etwa f"ur bewegte Teilchen alias Abbildungen $\mathbb T\ra\mathbb E$ von der Zeit in den Raum.
\end{Bemerkungw}
\begin{Beispiel}[\textbf{Partielle Ableitungen als Richtungsableitungen}]
F"ur eine total 
 differenzierbare\label{WwW} Abbildung $f: \Bbb{R}^{m}\lco A\ra \Bbb{R}$ 
existieren alle partiellen
Ableitungen und  die Translationen um diese partiellen Ableitungen sind gerade 
die Richtungsableitungen in Richtung der
Standardbasisvektoren $\vec{\op{e}}_i$ des Richtungsraums des $\DR^n$,
in Formeln $${\op{D}}_{p,\vec{\op{e}}_i}(f) 
=\op{trans}\left(\frac{\partial f}{\partial x_{i}} (p)\right)$$
"Ublicherweise macht man bei Vektorr"aumen
 keinen Unterschied  zwischen
 dem zugrundeliegenden affinen Raum und seinem Richtungsraum
 und schreibt diese Erkenntnis als die Identit"at 
 $${\op{D}}_{p,{\op{e}}_i}(f)
= \frac{\partial f}{\partial x_{i}} (p)$$
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}[\textbf{Partielle Ableitungen als Richtungsableitungen, Variante}]
  F"ur  $f=(f_1,\ldots,f_n)^\ttop : \Bbb{R}^{m}\lco A\ra \Bbb{R}^n$  total 
 differenzierbar   finden wir allgemeiner mit einer durch die zweite
Gleichung erkl"arten vereinfachten Notation ganz rechts\label{Wse}
  $${\op{D}}_{p,{\op{e}}_i}(f) =\left(\frac{\partial f_1}{\partial x_{i}} (p),\ldots, \frac{\partial f_n}{\partial x_{i}} (p)\right)^\ttop
\defp \frac{\partial f}{\partial x_{i}} (p)$$
 \end{Beispiel}



\begin{Beispiel}[\textbf{Differential und Jacobimatrix}]  
  Gegeben eine lineare Abbildung $L:\DR^m\ra\DR^n$ ist ihre darstellende Matrix
  nach  \eref{MLA}{LA1} die Matrix $[L]$ mit den Spaltenvektoren $L({\op{e}}_i)$,
  in Formeln $[L]=(L({\op{e}}_1)|\ldots|L({\op{e}}_m))$.
Ist speziell eine Abbildung $$f:\DR^m\lco A\ra\DR^n$$ differenzierbar bei $p$, so  ist die darstellende Matrix ihres Differentials
$\tiff_pf$ folglich  
die Matrix mit den Spaltenvektoren 
$(\tiff_pf)(\op{e}_i)=\frac{\partial f}{\partial x_i}(p)$ in der
in \ref{Wse} eingef"uhrten Notation.
Hat unsere   Abbildung also die Gestalt $f=(f_1,\ldots, f_n)^\ttop$
mit Funktionen $f_j:A\ra\DR$, 
so hat die
darstellende Matrix ihres Differentials $\tiff_pf$  die Gestalt 
$$[\tiff_pf]=\left(\begin{array}{ccc}
\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} (p) &\ldots &
\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{m}}(p)\\
\cdot & &\cdot \\[-3mm]
\cdot & &\cdot \\[-3mm]
\cdot & &\cdot \\
\frac{\partial f_{n}}{\partial x_{1}} (p) &\ldots & \frac{\partial
f_{n}}{\partial x_{m}} (p) \end{array}\right) $$
Diese Matrix hei"st  die {\bf Jacobi-Matrix}\index{Jacobi-Matrix}
unserer Abbildung.  
Wir denken uns in diesem Zusammenhang 
Vektoren stets als Spaltenvektoren
und haben unsere Abbildung $f=(f_1,\ldots, f_n)^\ttop$ 
geschrieben, um das zu betonen.
F"ur die Jacobimatrix findet man h"aufig  die Notation
$$\frac{\partial(f_{1},\ldots, f_{n})}{\partial(x_{1},\ldots , x_{m})}(p)$$
Wenn Ihnen die Identifikation von Matrizen mit 
linearen Abbildungen 
$\DR^m\ra\DR^n$ aus \eref{MLA}{LA1} und 
\eref{inA}{LA1} einmal richtig in Fleisch und 
Blut "ubergegangen ist, 
werden Sie sich auch nicht mehr daran st"oren, wenn wir 
sp"ater in diesem Kontext mit
$\tiff_p f$ sowohl das Differential als auch die Jacobimatrix 
bezeichnen sollten.
\end{Beispiel}
\begin{Bemerkungw}[\textbf{Differenzierbarkeit bei stetigen partiellen Ableitungen}] In \ref{PTD} werden wir umgekehrt f"ur $f:\DR^m\lco A\ra\DR^n$ zeigen, da"s wenn alle $\frac{\partial f_i}{\partial x_j}$ auf
  ganz $A$
  existieren und stetig sind, da"s dann $f$ differenzierbar ist. 
\end{Bemerkungw}
\begin{Beispiel}[\textbf{Differential und Gradient}] 
Gegeben eine reellwertige Abbildung $f:\DR^m\lco A\ra\DR$ 
ist ihre Jacobimatrix  die\label{JMGG}  
Zeilenmatrix $$[\tiff_pf]=\left(
\frac{\partial f}{\partial x_{1}} (p), \ldots,
\frac{\partial f}{\partial x_{m}}(p) \right) $$
und stimmt "uberein mit dem Transponierten des Gradienten,
der ja als Vektor in unseren Konventionen a priori als eine Spaltenmatrix
aufzufassen ist, in Formeln
$$[\tiff_pf]=\big((\op{grad}f)(p)\big)^\ttop$$
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Gradient in Bezug auf ein Skalarprodukt}]
\nichtfinal{Nicht hier!}  Gegeben  allgemeiner ein endlichdimensionaler
Raum $X$ liefert jedes Skalarprodukt $s$ auf seinem
Richtungsraum $\vec X$ einen Isomorphismus
$\hat{s}:\vec X\sira \vec X^\ttop$ vom Richtungsraum zu seinem Dualraum  durch $\hat{s}(v)(w)\pdef s(v,w)$ und\label{Grsk} 
wir k"onnen f"ur eine Abbildung $f:X\lco A\ra\DR$ ihren {\bf $s$-Gradienten bei $p\in A$}, einen Richtungsvektor $(\op{grad}_sf)(p)\in \vec X$,
erkl"aren durch die Vorschrift
$$(\op{grad}_sf)(p)\pdef \hat{s}^{-1}(\tiff_pf)$$ 
Ausgeschrieben mit der Definition von
$\hat s$ wird der $s$-Gradient von $f$ also
charakterisiert durch
die Identit"at $(\tiff_pf)(\vec w)= s\big((\op{grad}_sf)(p),\vec w\big)\;\forall \vec w$.
Im Fall des Standardskalarprodukts auf $\DR^n$ erhalten wir den "ublichen 
Gradienten aus \ref{GrAd} zur"uck.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Gradient und Richtungsableitung}]
F"ur die Richtungsableitung einer differenzierbaren
reellwertigen Funktion\label{Igra} 
$f: \Bbb{R}^{n}\lco A \ra \Bbb{R}$ am Punkt $p$ in Richtung $ \vec w$
erhalten wir speziell
$${\op{D}}_{p, \vec w} (f)=(\tiff _p f)( \vec w)=\langle (\op{grad} f)(p), \vec w\rangle$$
Insbesondere wird die Richtungsableitung bei $p$ in Richtung eines Vektors
$\vec w$ der L"ange Eins maximal unter allen Richtungsvektoren der
L"ange Eins genau dann, wenn der Gradient von $f$
ein nichtnegatives Vielfaches von $ \vec w$ ist. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Gradient und Richtungsableitung, Variante}]
\nichtfinal{Nicht hier!} F"ur die Richtungsableitung $({\op{D}}_{  \vec w} f)(p)$ einer differenzierbaren
reellwertigen Funktion\label{Igra} 
$f: X \ra \Bbb{R}$ auf einem endlichdimensionalen
Raum am Punkt $p\in X$ in Richtung $\vec w\in \vec X$
gegeben ein Skalarprodukt $s$ auf $\vec X$ erhalten wir allgemeiner
$$({\op{D}}_{ \vec  w} f)(p)=(\tiff _p f)( \vec  w)=s\big((\op{grad}_s f)(p),  \vec w\big)$$
In dieser Allgemeinheit  wird
also die Richtungsableitung bei $p$ in Richtung eines Vektors
$ \vec  w$ der $s$-L"ange Eins maximal unter allen Vektoren der
L"ange Eins genau dann,
wenn der $s$-Gradient von $f$
ein nichtnegatives Vielfaches von $ \vec  w$ ist.
  \end{Bemerkungl}


\begin{Beispiel}[\textbf{Differential als physikalischer Geschwindigkeitsvektor}]
  Gegeben eine differenzierbare Abbildung
  $\gamma:\mathbb T\lco A\ra \mathbb E$ von der
  Zeit in den Raum ist ihr Differential $\tiff_t\gamma:\vec{\mathbb T}\ra \vec{\mathbb E}$ zu einem vorgegebenen Zeitpunkt $t\in A$ ein Element
  $$\tiff_t\gamma\in \op{Hom}_\DR(\vec{\mathbb T}, \vec{\mathbb E})$$
  Die Elemente dieses Vektorraums hei"sen\label{Tempo}   {\bf vektorielle
    Geschwindigkeiten}.\index{Geschwindigkeit!vektorielle} Man verwendet in diesem Fall  meist die alternative Notation $ \dot\gamma(t)\pdef \tiff_t\gamma$. 
\end{Beispiel}







  \begin{Beispiel}[\textbf{Differential als mathematischer Geschwindigkeitsvektor}]
  Gegeben  eine differenzierbare Abbildung
  $\gamma:\DR\lco A\ra  E$  von einem Teil der Zahlengerade in einen normierten Raum $E$ ist ihr Differential $\tiff_t\gamma:\vec\DR\ra \vec{ E}$ bei $t\in A$
  ein Element\label{DifGes} 
  $$\tiff_t\gamma\in \op{Hom}_\DR(\vec \DR , \vec{ E})$$
  Man schreibt dann meist  $\gamma'(t)\pdef (\tiff_t\gamma)(\vec 1)\in\vec{ E}$  mit $\vec 1\in \vec\DR$ wie in \ref{SSVRARa}
  und nennt diesen Vektor manchmal auch den {\bf 
   Geschwindigkeitsvektor}. F"ur $E=\DR^n$ spezialisiert unser Geschwindigkeitsvektor zu dem
 bereits  in \eref{Geschn}{AN1} eingef"uhrten Geschwindigkeitsvektor $\gamma'(t)$.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}[\textbf{Differential und Ableitung}]
  Gegeben  eine differenzierbare Abbildung
  $f:\DR\ra  \DR$   ist insbesondere ihr Differential
  $\tiff_p f:\vec\DR\ra \vec\DR$ bei $p\in\DR$
  die lineare Abbildung  $\tiff_p f= (f'(p)\cdot)$ der
  Multiplikation mit der Ableitung. Ihre Jacobimatrix ist also
  die $(1\times 1)$-Matrix $[\tiff_p f]=(f'(p))$.
\end{Beispiel}



\begin{figure}[htbp]
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildDPo}
Dies Bild soll die Bedeutung des Differentials in
der Anschauung einer Abbildung \glqq als Abbildung\grqq\  verdeutlichen.
Wir betrachten die {\bf Po\-lar\-ko\-or\-di\-na\-ten\-ab\-bil\-dung}\index{Polarkoordinatenabbildung}
$
f : \Bbb{R}_{>0} \times (0,2\pi) 
 \rightarrow  \Bbb{R}^2$, $
(r ,  \vartheta)
\mapsto  (r \cos \vartheta, r \sin \vartheta)$.
Ihr Differential an der Stelle $p=(r,\vartheta)=(1\frac{1}{2},\frac{\pi}{2})$
wird beschrieben durch die Jacobi-Matrix
\begin{displaymath}
[\tiff_p f] = {\cos \vartheta \; - r \sin \vartheta \choose
\sin \vartheta \;\;\;\;\;  r \cos \vartheta} = {0 \;\;\; {-}{1\frac{1}{2}}  \choose
1 \;\;\;\;\;\;\; 0}
\end{displaymath}
Die Pfeile im Bild sollen zeigen, da"s das
 in der Tat diejenige lineare Abbildung $L$ ist, f"ur die
 f"ur kleines $h$
die Abbildung $p+h\mapsto f(p)+Lh$  unsere Abbildung 
$p+h\mapsto f(p+h)$ am besten approximiert.
\end{figure}











\begin{figure}[htbp] 
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildDED}\\[4mm]
\noindent Dieses Bild soll das Differential einer Abbildung
$\DR\ra\DR$ veranschaulichen, genauer der Abbildung
$f:\DR^\times\ra\DR$ gegeben durch $x\mapsto 2/x$ an der Stelle
$x=1$. Nach der allgemeinen Theorie wird in diesem Fall das 
Differential gegeben durch die $(1\times 1)$-Matrix
$[\tiff_pf]=(f'(p))$ mit dem einzigen Eintrag $f'(p)$.
In unserem Fall h"atten wir etwa $[\tiff_1f]=(-2)$. 
Im Bild habe ich
versucht, unsere Abbildung sowohl durch ihren Graphen als 
auch durch eine echte Abbildung, in unserem Fall einem 
\glqq Umdrehen und Verzerren  der Zahlengeraden\grqq,
 zu veranschaulichen. Ein kleiner von
$1$ ausgehender Richtungsvektor  wird dann in etwa
und im Grenz"ubergang ganz genau auf das Doppelte seines
Negativen abgebildet. Das will unser Bild anschaulich 
machen.
\end{figure}










\begin{Bemerkungl}[\textbf{"Aquivalente Normen liefern dasselbe Differential}] 
Unser Differenzierbarkeitsbegriff und das Differential  "andern sich
nicht, wenn wir die Normen auf den beteiligten Richtungsr"aumen
durch "aquivalente
Normen ersetzen. Das sieht  man 
direkt, es wird aber auch formal aus der
Kettenregel \ref{Kett} folgen. 
Sind insbesondere $X$ und $Y$ endlichdimensional,
so ist unser Differenzierbarkeitsbegriff nach dem Satz
"uber die "Aquivalenz von Normen \ref{SSAQN} 
unabh"angig von der Wahl der
Normen.  
\end{Bemerkungl}
\begin{figure}[htb]
\begin{minipage}{0.25\textwidth}
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildHoO}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.65\textwidth}
\centering  Ein Kegelchen der Gestalt $p + [0,1]C$ in der Papierebene, f"ur
$C$ die Menge aller Richtungsvektoren, die von $p$
ins Innere der ellipsenf"ormigen Menge zeigen.
\end{minipage}
\end{figure}

\begin{Definition}
Eine Teilmenge $A$ eines normierten  Raums $X$ 
nennen wir {\bf halboffen},\index{halboffen!in reellem affinen Raum} 
wenn es f"ur jeden Punkt $p\in A$\label{dho}  
eine nichtleere offene Teilmenge $C \co \vec{X}$ gibt
mit $p + [0,1]C \subset A$. 
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl} Anschaulich gesprochen ist eine Teilmenge eines normierten
  Raums halboffen, wenn es f"ur jeden Punkt $p\in A$ ein kleines
Kegelchen mit Spitze in $p$ gibt, das auch noch ganz in $A$ liegt.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{R"uckw"artskompatibilit"at}]
  Offensichtlich ist eine Teilmenge $D\subset \DR$ genau dann halboffen
  im Sinne von \eref{dhoR}{AN1}, wenn sie halboffen ist im hier erkl"arten Sinne.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Differential bei halboffenem
Definitionsbereich}] 
Gegeben normierte R"aums $X,Y$ und  eine Abbildung $f:X\supset A\ra Y$ \label{dhox} mit $A\subset X$ halboffen 
ist das Differential $$\tiff_pf:\vec X\ra\vec Y$$
offensichtlich immer noch wohldefiniert and jeder Stelle $p\in A$, wenn es denn existiert.
Formal folgt das zum Beispiel aus
"Ubung \ref{EZOT}, nach der ein normierter reeller
Vektorraum von jeder nichtleeren offenen Teilmenge erzeugt wird.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] 
  Der Begriff \glqq halboffen\grqq\ kommt in der Literatur sonst nicht
  vor. Er scheint mir jedoch n"utzlich, da er hilft, Verkrampfungen
  bei der Definition der Differenzierbarkeit auf abgeschlossenen
  Halbr"aumen und dergleichen zu vermeiden.  Eine Definition in dieser
  Allgemeinheit hinwiederum ben"otigen wir bei der Verallgemeinerung
  des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung auf h"ohere
  Dimensionen.
\end{Bemerkungl}



  \begin{Bemerkunge}[\textbf{Virtuelle partielle Ableitung}]
Gegeben $A\subset \Bbb{R}^{n}$ eine halboffene Teilmenge
 und $f:\Bbb{R}^{n}\supset A\ra \Bbb{R}$\index{partiell!Ableitung, virtuelle} 
    differenzierbar bei $p\in A$ setzen wir\label{PaLN} 
    $$\frac{\partial f}{\partial x_{i}} (p) \pdef (\tiff_p f)(\op{e}_i) $$
    auch
    dann, wenn der Grenzwert $\lim_{t\ra 0}$
    in unserer urspr"unglichen Definition einer partiellen Ableitung gar
    nicht gebildet werden kann, weil in $\{t\mid p+t{\op{e}}_i\in A\}$
    die Null ein isolierter Punkt ist.
\end{Bemerkunge}


\begin{Beispiel}[\textbf{Differential affiner Abbildungen}] 
Das Differential einer stetigen affinen Abbildung ist an jeder Stelle ihr
linearer Anteil. Sind also $X,Y$ normierte R"aume 
und ist $\varphi:X\ra Y$ stetig und affin,
so gilt  f"ur alle $p\in X$\label{Dal} in Formeln
$$\tiff_p\varphi=\vec\varphi:\vec X\ra \vec Y$$
% gegeben durch $f(v+h)= Lh+ w$ mit  einer
% stetigen linearen Abbildung $L:\vec{X}\ra \vec{Y}$
% und $v\in X$, $w\in Y$ fest,
% so haben wir $\tiff _pf = L$ f"ur alle $p\in X$.
%Insbesondere ist das Differential einer konstanten Abbildung
%an jedem Punkt die Nullabbildung. Sind $X,Y$ bereits selbst normierte
%Vektorr"aume und ist $\varphi:X\ra Y$ stetig linear, so haben wir
%$\vec\varphi\circ\op{trans}=\op{trans}\circ \varphi:X\ra \vec Y$. In diesem
%Fall macht man die Unterscheidung zwischen $X$ und $\vec X$ beziehungsweise $\varphi$ und $\vec\varphi$ meist nicht explizit und schreibt etwa\label{Dal}
%$\tiff_p\varphi=\varphi$ und sagt, jede lineare
%Abbildung sei \glqq ihr eigenes Differential\grqq.
\end{Beispiel}
\begin{figure}[htb] 
\includegraphics[width=0.45\textwidth]{SkriptenBilder/BildDIf}
\hfill
\includegraphics[width=0.45\textwidth]{SkriptenBilder/BildDIff}\\[4mm]
\centering
Anschauliche Bedeutung des Differentials einer
reellwertigen Funktion einer reellen
Variablen in der Veranschaulichung der Funktion durch ihren 
Graphen nach  \ref{Lapp}.
Der Graph des  Differentials ist bis auf eine Verschiebung
gerade die Tangente.  \nichtfinal{Notation anpassen!} 
\end{figure}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Graph des Differentials einer reellen Funktion auf der Ebene}]
Im allgemeinen kann man sich $\tiff _p f$
vorstellen als\label{Lapp}  
\glqq den linearen Anteil der affinen Abbildung, die 
unsere Funktion in der N"ahe der 
vorgegebenen Stelle bestm"oglich approximiert\grqq\ 
oder in anderen Worten als
\glqq diejenige lineare Abbildung $L$, f"ur die
$x\mapsto f(p)+ L(x-p)$ unsere Funktion $x\mapsto f(x)$ in
der N"ahe von $p$ am besten approximiert\grqq.
Veranschaulichen wir uns
zum Beispiel eine Funktion $f: \Bbb{R}^2 \ra \Bbb{R}$
durch ihren Graphen,
eine h"ugelige Landschaft,
so ist die
schmutzige anschauliche Tangentialebene  an unsere h"ugelige Landschaft 
im Punkt $(p,f(p))$ im verschobenen Koordinatensystem mit
Ursprung $(p,f(p))$ der Graph des Differentials 
$\tiff _pf :\Bbb{R}^{2} \ra \Bbb{R}$.
\end{Bemerkungl}


\begin{figure}[htbp] 
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bilddpf}\\[4mm]
\noindent 
Anschauliche Bedeutung des Differentials einer
reellwertigen Funktion von zwei reellen
Variablen in der Veranschaulichung der Funktion durch ihren 
Graphen nach  \ref{Lapp}.
Der Graph des  Differentials ist bis auf eine Verschiebung
gerade die Tangentialebene. Der Wert des Differentials auf dem
Vektor $h$ ist etwa der im Bild 
durch eine geschweifte Klammer 
angedeutete Abstand oder noch genauer die zugeh"orige positive reelle Zahl. 
\end{figure}











\subsubsection*{"Ubungen}


\begin{Ubung}[\textbf{Schrankensatz, Variante}]
  Seien $X$ ein normierter Raum und $\gamma:[a,b]\ra X$ eine
  differenzierbare Abbildung und $C\co \vec X$ ein offene konvexe
  Teilmenge. Gilt $\gamma'(t)\in C\;\forall t\in [a,b]$, so folgt
  $\gamma(b)-\gamma(a)\in (b-a)C$.\label{MWSan}
  Hinweis: Man kopiere mutatis mutandis den
  Beweis des Schrankensatzes \eref{MWSn}{AN1}.  Unser Satz gilt genauso f"ur $C$ konvex und  abgeschlossen in $\vec X$,
  da wir so ein $C$  schreiben k"onnen als den Schnitt der
offenen konvexen Mengen $C=\bigcap_{\eta>0}(C+\op{B}(0;\eta))$.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}[\textbf{Bogenl"ange als Integral, Variante}]
Gegeben $\gamma:[a,b]\ra X$ eine
  stetig differenzierbare Abbildung in einen normierten Raum zeige man 
  $$\int_a^b\|\gamma'(t)\|\diff t=\op{sup}\left.\left\{\sum_{i=1}^n\|\gamma(a_i)-\gamma(a_{i-1})\|\right|a=a_0\leq a_1\leq\ldots\leq a_n=b\right\}$$
  Hinweis: Man orientiere sich am Spezialfall \eref{BoL}{AN1}.
\end{Ubung}

\begin{Ubunge}\label{DEX} 
Das Differential bei der Nullmatrix der Exponentialabbildung 
$\exp: \op{Mat}(n;\DC)\ra \op{Mat}(n;\DC)$ ist die Identit"at,
in Formeln gilt also $\tiff_0\exp=\op{id}:\op{Mat}(n;\DC)
\ra \op{Mat}(n;\DC)$.
Man zeige das und zeige es allgemeiner auch f"ur die Exponentialabbildung auf 
dem Raum der stetigen Endomorphismen eines beliebigen Banachraums
aus \ref{ExBR}.
\end{Ubunge}

%\begin{Ubunge}\label{KRD}
%Eine Abbildung $f:\DC\ra\DC$ ist komplex differenzierbar bei $p\in\DC$  im
%Sinne von \eref{DEVc}{AN1} mit Ableitung $f'(p)\in \DC$ genau dann, wenn
%so  $f$ bei $p$  differenzierbar ist im
%Sinne von \ref{DeDi} 
%und sein Differential $\tiff_p f:\DC\ra\DC$ eine komplexlineare Abbildung.
%In diesem Fall ist das
% Differential von $f$ gerade die Multiplikation
%mit seiner komplexen Ableitung $f'(p)$ aus \eref{DEVc}{AN1}, in Formeln
%$\tiff_p f = (f'(p)\cdot):\DC\ra\DC$. Analoges gilt, wenn $f$ nur auf
%einer halboffenen Teilmenge von $\DC$ definiert ist.
%\end{Ubunge}
\begin{Ubunge}\label{DPZ}
Man erinnere die Polarzerlegung \eref{PZR}{LA2}
einer invertierbaren Matrix $A=UP$ mit $U=U(A)$ orthogonal
und $P=P(A)$ symmetrisch positiv definit. Man zeige
f"ur das Differential bei der Einheitsmatrix 
der Abbildungen, die jeder invertierbaren Matrix 
ihren orthogonalen beziehungsweise
positiv definiten symmetrischen Anteil zuordnen, die Formeln
$\tiff_{{\op{I}}}U:D\mapsto (D-D^\ttop)/2$ und 
$\tiff_{{\op{I}}}P:D\mapsto (D+D^\ttop)/2$. Im allgemeineren Fall 
der Polarzerlegung von Automorphismen eines
Skalarproduktraums zeige man dieselbe Formel, wo 
$D^\ttop$ den zu $D$ adjungierten Endomorphismus meint. 
\end{Ubunge}


\subsection{Kettenregel in mehreren Ver"anderlichen}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit}]
  Gegeben endlichdimensionale R"aume $X,Y$ ist f"ur $A\subset X$ halboffen
  jede Abbildung
  $f:X\supset A\ra Y$, die bei 
  $p\in A$ differenzierbar ist, dort auch stetig.
  In der Tat gilt ja nach Annahme
  $$f(p+\vec v)=f(p)+(\tiff_pf)(\vec v)+ \varepsilon (\vec v)$$
  mit $\tiff_pf$ linear und $\varepsilon$ stetig bei $\vec v=\vec 0$. 
  Dasselbe gilt auch f"ur beliebige normierte R"aume $X,Y$, weil wir
  ja bei der Definition der Differenzierbarkeit gefordert hatten, da"s
  $\tiff_pf$  eine stetige lineare Abbildung sein soll. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Satz}[\textbf{Kettenregel}]
Seien $A,B,C$ halboffene 
Teilmengen\index{Kettenregel!in mehreren Ver"anderlichen}
normierter R"aume $X,Y,Z$. Seien
$f:A\ra B$ und  $g: B\ra C$ Abbildungen\label{Kett} 
und $p\in A$ ein Punkt derart, da"s
$f$ differenzierbar ist bei $p$ und  $g$ differenzierbar bei 
$f(p)$. So ist auch $g \circ f$ differenzierbar bei $p$
und es gilt
$$\tiff _{p}(g\circ f)= (\tiff _{f(p)}g) \circ (\tiff _{p}f)$$
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
Es ist anschaulich klar, da"s die bestm"ogliche affine
Approximation an die Verkn"upfung $g\circ f$ 
zweier Abbildungen $f$ und $g$ bei einer vorgegebenen Stelle 
$p$ gerade
die Verkn"upfung der bestm"oglichen affinen
Approximation an $f$
bei $p$ mit der bestm"oglichen affinen
Approximation an $g$ bei $f(p)$ sein mu"s.
Die Kettenregel formalisiert diese Anschauung f"ur die linearen Anteile
unserer bestm"oglichen affinen
Approximationen.  
\end{Bemerkungl}





\begin{Beispiel}
Sind unsere drei normierten R"aume $\DR^n,\DR^m,\DR^l$,
so bedeutet die Kettenregel  die Identit"at von 
Jacobi-Matrizen
$$[\tiff _{p}(g\circ f)]= [\tiff _{f(p)}g] \circ [\tiff _{p}f]$$
 oder ausgeschrieben  die Identit"at
\\[4mm]
$
\left(\begin{array}{ccc}
    \frac{\partial (g\circ f)_{1}}{\partial x_{1}} (p) &\ldots &
    \frac{\partial (g\circ f)_{1}}{\partial x_{n}}(p)\\
    \cdot & &\cdot \\[-3mm]
    \cdot & &\cdot \\[-3mm]
    \cdot & &\cdot \\
    \frac{\partial (g\circ f)_{l}}{\partial x_{1}} (p) &\ldots & \frac{\partial
      (g\circ f)_{l}}{\partial x_{n}} (p) \end{array}\right)=\hfill
$
\\[4mm]
$\hfill =\left(\begin{array}{ccc}
    \frac{\partial g_{1}}{\partial y_{1}} (f(p)) &\ldots &
    \frac{\partial g_{1}}{\partial y_{m}}(f(p))\\
    \cdot & &\cdot \\[-3mm]
    \cdot & &\cdot \\[-3mm]
    \cdot & &\cdot \\
    \frac{\partial g_{l}}{\partial y_{1}} (f(p)) &\ldots & \frac{\partial
      g_{l}}{\partial y_{m}} (f(p)) \end{array}\right)
\circ
\left(\begin{array}{ccc}
    \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} (p) &\ldots &
    \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}}(p)\\
    \cdot & &\cdot \\[-3mm]
    \cdot & &\cdot \\[-3mm]
    \cdot & &\cdot \\
    \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{1}} (p) &\ldots & \frac{\partial
      f_{m}}{\partial x_{n}} (p) \end{array}\right) $
\end{Beispiel}








\begin{proof}[Beweis]
Zur Vereinfachung setzen wir $q = f(p)$, $L = \tiff _{p}f$ und $M=
\tiff _{q}g$
und haben
$$\begin{array}{llll}
f(p+h)&=& f(p)+Lh&+\|h\|\varepsilon(h)\\[2mm]
g(q+j)&=& \;\! g(q) + Mj&+\|j\|\eta  (j)
\end{array}$$
f"ur Abbildungen $\varepsilon$ und 
$\eta $, die stetig
sind bei Null und die dort verschwinden.
Wir schreiben $$f(p+h) = q +j(h)$$
mit $j(h) = Lh+ \|h\| \varepsilon (h)$ und erhalten durch Einsetzen
$$\begin{array}{lll}
(g\circ f) (p+h) &=& g(q+j(h))\\[2mm]
&=& g(q) + Mj(h) + \|j(h)\|  \eta (j(h))\\[2mm]
&=&(g\circ f)(p) + MLh + M\|h\| \varepsilon(h) +
\|j(h)\|  \eta (j(h))
\end{array}$$
Wir sind fertig, sobald wir
zeigen $$\lim_{h\ra 0} M\varepsilon (h) =0\;\;\;\text{ und }\;\;\;
\lim_{h\ra 0} \frac{\|j(h)\|}{\|h\|} \eta (j(h)) =0$$
Der erste
Grenzwert ergibt sich m"uhelos,  $h\mapsto M\varepsilon (h)$
ist eben auch stetig bei $h=0$ und nimmt dort den Wert Null an.
Um den zweiten Grenzwert zu berechnen, sch"atzen wir erst ab
$\|j(h)\| \leq \|h\| (\|L\|+ \|\varepsilon(h)\|)$ und dann
$$\frac{\|j(h)\|}{\|h\|} \|\eta (j(h))\|\leq (\|L\|+
\|\varepsilon(h)\|) \| \eta (j(h))\|$$
Die rechte Seite ist wieder stetig bei $h=0$ und nimmt dort den
Wert Null an, gleichbedeutend strebt sie also f"ur $h\ra
0$ gegen Null, und durch Einquetschen \ref{SSBL24} strebt
die linke Seite  dann erst gegen Null.
\end{proof}

\begin{Beispiel}[\textbf{Kettenregel beim Nachschalten affiner Abbildungen}]
  Gegeben normierte R"aume $X,Y,Z$ und  $f:X\ra Y$ differenzierbar und
  $\varphi:Y\ra Z$        affin  und stetig
  liefert die Kettenregel $\tiff_p(\varphi\circ f)=\vec\varphi\circ \tiff_pf$ nach \ref{Dal}. 
\end{Beispiel}

\begin{Beispiel}[\textbf{Kettenregel f"ur Geschwindigkeiten}]\label{Lr}
  Gegeben normierte R"au\-me  $Y,Z$  und $\gamma:\DR\ra Y$ sowie $g:Y\ra Z$ differenzierbar
  liefert die Kettenregel $\tiff_t(g\circ\gamma)=\tiff_{\gamma(t)}g \circ \tiff_t\gamma$.
Mit der Beziehung \ref{DifGes} zwischen Differential und Geschwindigkeit  erhalten wir daraus durch Auswerten auf $\vec 1\in\vec\DR$ sofort $$(g\circ\gamma)'(t)=(\tiff_{\gamma(t)}g)(\gamma'(t))$$
\end{Beispiel}


\begin{Korollar}[\textbf{Spezialfall der Kettenregel f"ur Geschwindigkeiten}]
Gegeben seien
 differenzierbare Abbildungen $x_1,\ldots,x_n: \Bbb{R}\ra\Bbb{R}$
und  $F:\Bbb{R}^n\ra\Bbb{R}$  differenzierbar.
So ist die durch die Vorschrift\label{GPa}  
$t\mapsto F(x_1(t),\ldots,x_n(t))$ gegebene Abbildung
differenzierbar und ihre Ableitung
an der Stelle $t=a$ wird unter Verwendung der Abk"urzung
$x(t)=(x_1(t),\ldots,x_n(t))$ gegeben durch die Formel
$$\left.\frac{\diff }{\diff t}\right|_{t=a}F(x(t))=
\frac{\partial F}{\partial x_1}(x(a))\frac{\diff x_1}{\diff t}(a)
+\ldots+\frac{\partial F}{\partial x_n}(x(a))\frac{\diff x_n}{\diff t}(a)$$
\end{Korollar}
\begin{Bemerkungl}
Nat"urlich gilt die Aussage auch dann noch, wenn unsere Funktionen
$x_{i}$ auf einer halboffenen Teilmenge $I \subset \Bbb{R}$ definiert sind
und $F$ auf einer
halboffenen Teilmenge von $\Bbb{R}^n$, solange
nur $x(t)$ stets im Definitionsbereich von $F$ liegt.
Man schreibt diese Formel meist etwas salopp in der Form
$$\frac{\diff F}{\diff t}=
\frac{\partial F}{\partial x_1} \frac{\diff x_1}{\diff t}
+\ldots+\frac{\partial F}{\partial x_n} \frac{\diff x_n}{\diff t}$$
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
  Das ist die Kettenregel f"ur Geschwindigkeiten \ref{Lr} ausgeschrieben
  f"ur $Y=\DR^n$ und $Z=\DR$ in anderen Buchstaben. 
Wir betrachten $x$ als eine Abbildung $x:\Bbb{R}\ra\Bbb{R}^n$.
Nach Definition ist $\left.\frac{\diff }{\diff t}\right|_{t=a}
F(x(t))$ der einzige Eintrag in der
Matrix $[\tiff _a(F\circ x)]$ der linearen Abbildung
$\tiff _a(F\circ x):\Bbb{R}\ra\Bbb{R}$.
Mit der Kettenregel finden wir nun
$$\begin{array}{ccl}
[\tiff _a(F\circ x)]
&=&[\tiff _{x(a)}F\circ \tiff _a x]\\[1mm]
&=&[\tiff _{x(a)}F]\circ [\tiff _a x]\\[1mm]
&=&\left(\frac{\partial F}{\partial x_1}(x(a)),\ldots,\frac{\partial F}{\partial x_n}
(x(a))\right)\left(\rule{0mm}{5mm}\frac{\diff x_1}{\diff t}(a)),\ldots,\frac{\diff x_n}{\diff t}(a)\right)^{\ttop}\\[3mm]
&=&\left(\frac{\partial F}{\partial x_1}(x(a))\frac{\diff x_1}{\diff t}(a)
+\ldots+\frac{\partial F}{\partial x_n}(x(a))\frac{\diff x_n}{\diff t}(a)\right)
\end{array}$$
wobei in der vorletzten Zeile das Produkt
einer Zeilenmatrix mit einer Spaltenmatrix zu verstehen ist,
wie der obere Index $\ttop$  andeutet.
\end{proof}

\begin{Bemerkunge}[\textbf{Partielle Ableitungen mit Einheiten}]
\nichtfinal{Woanders?} Oft werden auch partielle Ableitungen in
gr"o"serer Allgemeinheit verwendet als in 
\ref{dpA}.\label{PhNo} 
Sind genauer $X_1,\ldots, X_n$  
eindimensionale reelle R"aume und ist $Y$ ein normierter
reeller Raum und $U\co X_1\times\ldots\times X_n$ 
eine offene Teilmenge 
und $x_i:U\ra X_i$ die $i$-te Projektion und  $f:U\ra Y$ 
eine Abbildung, so bezeichnet 
$$\frac{\partial f}{\partial x_i}$$
 das \glqq Differential der Restriktion
auf $X_i$ bei festen anderen Variablen\grqq, eine Abbildung 
$\frac{\partial f}{\partial x_i}: U\ra \op{Hom}_\DR(\vec{X_i},\vec{Y})$. 
Unter der Identifikation des Richtungsraums unseres Produkts 
$X_1\times\ldots\times X_n$ mit dem Produkt der
Richtungsr"aume und 
des Raums Homomorphismen von dort nach $\vec Y$ mit dem 
Produkt der Homomorphismenr"aume
haben wir dann\index{Ableitung!partielle, mit Einheiten}\index{partiell!Ableitung, mit Einheiten} 
$$\tiff f=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1}\left|\ldots\left|
\frac{\partial f}{\partial x_n}\right)\right.\right.$$
Im Fall $Y=\DR^m$ erhalten wir speziell wieder unsere Jacobimatrix
als eine Zeilenmatrix von Spaltenvektoren.
\end{Bemerkunge}

\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}\label{Asc}
Seien $X,Y$  normierte reelle R"aume.
Sei $A\subset X$  halboffen und
$f:A\ra Y$ differenzierbar. 
Liegt f"ur zwei Punkte $p,q\in A$ das ganze verbindende
Geradensegment $[p,q]$ in $A$ und ist die 
Operatornorm  des Differentials von $f$ auf $[p,q]$
beschr"ankt  durch eine Konstante $K$, 
in Formeln
$\|\tiff_x f\|\leq K\;\forall x\in A$, so gilt
$\|f(p)-f(q)\|\leq K\|p-q\|$. Hinweis: Schrankensatz
%\eref{MWSn}{AN1} beziehungsweise
\ref{MWSan}.
\end{Ubung}



\subsection{Differenzierbarkeit "uber partielle Ableitungen}

\begin{Proposition}[\textbf{Differenzierbarkeit bei stetigen partiellen Ableitungen}]
Sei $f : \Bbb{R}^{m}\lco U \ra \DR$
eine Abbildung.\label{PTD}
Existieren alle partiellen Ableitungen von $f$ und sind stetig
als Abbildungen $\frac{\partial f}{\partial
x_{j}}: U \ra \DR$, so ist die Abbildung $f$ 
total differenzierbar.
\end{Proposition}
\begin{Bemerkungl}
Es folgt unmittelbar, da"s $f : \Bbb{R}^{m}\lco U \ra \DR^n$ total differenzierbar ist, wenn alle $\frac{\partial f_i}{\partial
x_{j}}$ stetig sind auf $U$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}
Eine stetige Funktion $f:\DR^2\ra\DR$, deren s"amtliche Richtungsableitungen 
an jeder Stelle existieren, die jedoch im Ursprung nicht total differenzierbar
ist, kann man wie folgt erhalten: Man w"ahlt eine
 stetig differenzierbare Funktion
$g:\DR\ra\DR$ mit der Eigenschaft 
$g(x+\pi)=-g(x)$, die nicht identisch Null ist, und setzt 
$f(r\cos\theta, r\sin\theta)= r g(\theta)$ f"ur $r>0$ und $f(0,0)=0$.
 Ist $g$ nicht die Nullfunktion und hat mehr als zwei Nullstellen auf
 $[0,2\pi)$, so h"angen  die Richtungsableitungen am Ursprung unserer Funktion $f$ nicht
   linear vom Richtungsvektor ab und sie kann folglich
   beim Ursprung nicht total differenzierbar sein. 
\end{Beispiel}
\begin{proof}[Beweis]
Es gilt, an jeder Stelle
$p \in U$ die totale Differenzierbarkeit zu zeigen.
Indem wir vor $f$ eine geeignete Verschiebung davorschalten, 
d"urfen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit 
$p=0$ annehmen.
Indem wir zu $f$ eine geeignete Konstante sowie eine
geeignete lineare Abbildung addieren, d"urfen wir ohne
Beschr"ankung der Allgemeinheit weiter annehmen, da"s gilt $f(p) =0$ und
$\frac{\partial f}{\partial x_{j}} (p) = 0 \;\forall j$.
Unter diesen zus"atzlichen Annahmen m"ussen wir nun zeigen, da"s $f$ total
differenzierbar ist bei $p=0$ mit Differential Null, in Formeln $\tiff_p f=0$.
Gegeben $\varepsilon>0$ 
finden wir nun sicher $\delta= \delta_\varepsilon >0$ derart, da"s
gilt $\op{B}(0;\delta)\subset U$ und da"s
alle partiellen
Ableitungen $\frac{\partial f}{\partial x_{j}}$ auf diesem Ball
 nur Werte  in $C\pdef
(-\varepsilon,\varepsilon)$ annehmen.
Aus dem Mittelwertsatz 
folgt f"ur $|h| < \delta$ schon $f (h_{1}, \ldots
,h_{j-1}, h_{j}, 0, \ldots , 0)- f(h_{1}, \ldots , h_{j-1}, 0,0, \ldots , 0)
\in h_{j} C$
und insgesamt
$$f(h)=f(h) - f(0) \in (h_{1} + \ldots+ h_{m})C$$
F"ur  $0<|h|<\delta_\varepsilon$ gilt also  $|f(h)| / |h|\leq  m \varepsilon$. Da wir f"ur alle $\varepsilon>0$ so ein $\delta_\varepsilon$ finden k"onnen, folgt
$\op{lim}_{h\ra 0} f(h) /|h| =0$ wie
gew"unscht.
\end{proof}





\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubunge}\label{DiEx}
Man zeige, da"s die komplexe Exponentialfunktion
$\exp:\DC\ra\DC$ differenzierbar ist mit Differential
$$\tiff _z\exp=\big((\exp z)\cdot\big):\DC\ra\DC$$
\end{Ubunge}

%\begin{Ubunge}
%Jede stetig differenzierbare reellwertige Funktion 
%auf einer offenen Teilmenge der Hyperebene $0\times \DR^n$ 
%oder einer offenen Teilmenge des Halbraums 
%$\DR_{\leq 0}\times \DR^n$ l"a"st sich zu
%einer stetig differenzierbaren Funktion auf einer offenen Teilmenge des
%$\DR^{n+1}$ fortsetzen.
%\end{Ubunge}

\begin{Ubung}[\textbf{Stetig differenzierbare Fortsetzungen}]
  Jede stetig differenzierbare Funktion
  $f:\DR_{\leq 0}^{k}\times \DR^{l}\ra \DR$ l"a"st sich zu einer
  stetig differenzierbaren Funktion $g:\DR_{\leq 0}^{k-1}\times \DR^{l+1}\ra \DR$
  fortsetzen. Im Fall $f(x_1, \ldots, 0, \ldots, x_l)=0$\label{FC1} 
  des Verschwindens der Funktion f"ur $x_k=0$ k"onnen wir als Fortsetzung
  $g(x_1, \ldots, x_k, \ldots, x_l)\pdef
  f(x_1, \ldots, -x_k, \ldots, x_l)$ nehmen f"ur $x_k>0$.
  Andernfalls dehnen wir erst  $f(x_1, \ldots, x_k, \ldots, x_l)-f(x_1, \ldots, 0, \ldots, x_l)$ aus und z"ahlen dann $f(x_1, \ldots, 0, \ldots, x_l)$ wieder
  dazu. Induktiv und analog
  l"a"st sich damit auch jede stetig differenzierbare Funktion
  $f:\DR_{\leq 0}^{k}\times \DR^{l}\lco W\ra \DR$  zu einer
  stetig differenzierbaren Funktion $g: \DR^{k+l}\lco V\ra \DR$
  fortsetzen.
\end{Ubung}


























\subsection{Weitere Ableitungsregeln*}

\begin{Proposition}[\textbf{Komponentenregel}]
Seien $X,Y_1,Y_2$ normierte 
R"aume und $A\subset X$ eine  halboffene Teilmenge 
und $f=(f_1,f_2):A\ra Y_1\times Y_2$ eine Abbildung. 
Genau dann ist $f$ differenzierbar bei $p\in A$, wenn $f_1$ und $f_2$
es sind, und dann gilt f"ur die Differentiale die Formel\label{kd} 
$$\tiff _p f=(\tiff_p f_1, \tiff_p f_2)^\ttop:\vec{X}\ra 
\vec{Y_1}\times \vec{Y_2}$$
\end{Proposition}
%\begin{Bemerkungl}
%  Man beachte, da"s $(\tiff_p f_1, \tiff_p f_2)^\ttop$  
%in Matrixschreibweise unter unseren 
%Konventionen \eref{MaDS}{LA1}, anders als die 
%Schreibweise suggerieren mag,
%als Spaltenmatrix von Homomorphismen aufzufassen w"are.
%\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
Die Projektionen $\op{pr}_i:X\ra Y_i$ sind stetig und linear.
Ist $f$ differenzierbar bei $p$, so sind damit nach der Kettenregel
auch die $f_i=\op{pr}_i\circ f$ differenzierbar bei $p$
und die Kettenregel liefert
zus"atzlich
$\tiff _p f_i=\tiff _{f(p)}\op{pr}_i\circ \tiff _p f
=\op{pr}_i\circ \tiff _p f$,
also $\tiff _p f=(\tiff _p f_1, \tiff _p f_2)$.
Sind umgekehrt $f_1$ und $f_2$ differenzierbar bei $p$
mit Differentialen $L_1$ und $L_2$, so k"onnen wir nach Definition
schreiben
$$f_i(p +h) = f_i(p) + L_ih + \|h \| \varepsilon_i (h)$$
f"ur geeignete Abbildungen $\varepsilon_i$, die stetig sind bei Null
und die dort den Wert
$\varepsilon_i (0) =0$ annehmen. Setzen wir $L=(L_1,L_2)$ und
$\varepsilon=(\varepsilon_1,\varepsilon_2)$, so ist $L$ ist stetig linear
und $\varepsilon$
stetig bei $0$ mit Funktionswert
$\varepsilon (0) =0$ und es gilt
$$f(p +h) = f(p) + Lh + \|h \| \varepsilon (h)$$
Das bedeutet aber, da"s $f$ differenzierbar ist bei $p$
mit Differential $\tiff _p f=L$.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}\label{KD}
Mit Induktion folgt die analoge Aussage
f"ur eine Abbildung $f:A\ra Y_1\times\ldots\times Y_m$ in ein
l"angeres kartesisches Produkt normierter R"aume.
Insbesondere ist eine Abbildung
$f=(f_1,\ldots,f_m):A\ra \Bbb{R}^m$ differenzierbar bei $p\in A$
genau dann, wenn alle $f_j$ es sind, und in diesem Fall gilt
f"ur die Differentiale  die Formel
$$\tiff _p f=(\tiff _p f_1,\ldots,\tiff _p f_m)^\ttop:\vec{X}\ra\Bbb{R}^m$$
%Wieder ist hier $(\tiff _p f_1,\ldots,\tiff _p f_m)$  
%gem"a"s unseren Konventionen,
%anders als die Schreibweise suggerieren mag,  als
%Spaltenmatrix von Homomorphismen aufzufassen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Korollar}[\defind{Summenregel}]
Seien $X$ ein normierter Raum, 
$V$ ein normierter Vektorraum\label{SuRe} und $A\subset X$ eine
halboffene Teilmenge. Sind $f,g:X\supset A\ra V$ differenzierbar bei $p\in A$,
so ist auch $f+g:X\supset A\ra V$ differenzierbar bei $p$ und es gilt
$$\tiff _p(f+g)=\tiff _p f +\tiff _p g$$
\end{Korollar}
\begin{proof}[Beweis]
Die Addition $+:V\times V\ra V$,
 $(w,w')\mapsto w+w'$ ist linear und
stetig, und wir k"onnen $f+g$ schreiben als die Verkn"upfung
$f+g=+\circ (f,g)$. Das Differential von $f+g$ 
an der Stelle $p$ ergibt sich also
mit der Kettenregel zu
$\tiff _p(f+g)=+\circ(\tiff _p f ,\tiff _p g)=\tiff _p f +\tiff _p g$.
\end{proof}

\begin{Proposition}[\textbf{Differential bilinearer Abbildungen}]
Seien\index{Differential!von bilinearer Abbildung} 
$U,V,W$ normierte Vektorr"aume\label{PRm} und 
$\varphi:U\times V\ra W$, $(u,v)\mapsto \varphi(u,v)$
eine stetige
bilineare Abbildung. So ist $\varphi$ differenzierbar und das
Differential von $\varphi$ im Punkt $(p,q)$ ist die lineare Abbildung
$$\begin{array}{rccl}
\tiff _{(p,q)}\varphi:&\vec U\times \vec V&\ra&\vec W\\
&(\vec u,\vec v)&\mapsto &\op{trans}\big(\varphi( u,q)+\varphi(p, v)\big)
\end{array}$$
\end{Proposition}
\begin{Bemerkungl} Wenn wir nicht so pedantisch
  zwischen einem Vektorraum und dem Richtungsraum des zugeh"origen affinen
  Raums unterscheiden, liest sich das einfacher als $
  \tiff _{(p,q)}\varphi:(u,v)\mapsto \varphi( u,q)+\varphi(p, v)$.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
Wir rechnen
$$\varphi(p+\vec u,q+\vec v)=\varphi(p,q)+\varphi(u, q)+\varphi(p, v)+\varphi(u,v)$$
und m"ussen nur noch
$\lim_{(u,v)\ra 0}\varphi(u,v)/\|(u,v)\|=0$
zeigen. Das folgt aber mit \ref{SML} aus der Stetigkeit von $\varphi$.
\end{proof}

\begin{Beispiel}
Die Leibnizregel \eref{APSu}{AN1} k"onnen wir aus der  Kettenregel
f"ur Differentiale
herleiten wie folgt: Gegeben $f,g : \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ 
schreiben wir das Produkt $fg$  als die Verkn"upfung
$fg = \op{mult} \circ (f,g)$ der Funktion $(f,g)^\ttop 
: \mathbb R \rightarrow \mathbb R^2$
mit der Multiplikation $\op{mult}: \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R$.
Sind $f$ und $g$ differenzierbar bei $t \in \mathbb R$, 
so nach der Komponentenregel
auch ihre Zusammenfassung $(f,g)^\ttop$, und deren Jacobi-Matrix ist die Spaltenmatrix
$[\tiff_t (f,g)^\ttop] = (f^\prime (t), g^\prime (t))^\ttop$.
Andererseits ist die Multiplikation differenzierbar als 
stetige bilineare Abbildung oder auch nach \ref{PTD} 
wegen der Existenz und Stetigkeit der
partiellen Ableitungen
und ihr Differential bei $(x,y)$ hat als 
Jacobi-Matrix die Zeilenmatrix 
$[\tiff_{(x,y)}\op{mult}] = (y,x)$.
Mit der Kettenregel in mehreren Ver"anderlichen folgt
dann 
\begin{displaymath}
\begin{array}{lll}
(fg)^\prime (t) &= &[\tiff_t (f\circ g)]\\[2mm] 
&=& [\tiff_{(f(t),g(t))} \op{mult} ]\circ [ \tiff_t (f,g)]\\[2mm]
&=&(g(t), f(t))\circ (f^\prime (t), g^\prime (t))^\ttop \\[2mm]
&=&g(t) f^\prime (t) + f(t) g^\prime (t)
\end{array}
\end{displaymath}
\end{Beispiel}
\begin{Korollar}
Gegeben
$A:\DR\ra \op{M}(n\times m;\Bbb{R})$ und $B:\DR\ra \op{M}(m\times k;\Bbb{R})$
differenzierbare matrixwertige Funktionen ist auch das Produkt
$A B:t\mapsto A(t)B(t)$
differenzierbar und die Geschwindigkeit $(AB)'$ der
Produktfunktion $AB:\DR\ra \op{M}(n\times k;\Bbb{R})$
wird gegeben durch die Formel
$$(AB)'=A'B+AB'$$
\end{Korollar}
\begin{Bemerkungl}
Das sollten Sie zur "Ubung schon  in Koordinaten nachgerechnet haben. 
Der hier gegebene Beweis ist komplizierter und dient  in erster
Linie nicht der Herleitung des Resultats, sondern vielmehr der Illustration 
unserer allgemeinen Regeln durch ein "ubersichtliches Beispiel.
Man beachte jedoch auch, wie un"ubersichtlich dieses Beispiel wird,
sobald wir versuchen,
statt mit abstrakten Differentialen mit Jacobi-Matrizen zu arbeiten.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
Die Matrixmultiplikation ist eine stetige bilineare
Abbildung
$$\op{Mult}: \op{M}(n\times m;\Bbb{R})\times \op{M}(m\times k;\Bbb{R})\ra \op{M}(n\times k;\Bbb{R})$$
und wir k"onnen $AB$ schreiben als die Verkn"upfung
$AB=\op{Mult}\circ (A,B)$. Mit der Kettenregel und der Komponentenregel ergibt
sich $$\tiff _t(AB)=(\tiff _{(A(t),B(t))}\op{Mult})\circ (\tiff _t A,\tiff
_t B)$$ Wenden wir diese lineare Abbildung $\Bbb{R}\ra \op{M}(n\times
k;\Bbb{R})$ an auf  $\vec 1\in\vec{\Bbb{R}}$, so erhalten wir mit
der Formel f"ur das Differential bilinearer Abbildungen
\ref{PRm} wie gew"unscht
\begin{equation*}
\begin{array}[b]{ccl}(AB)'(t)
&=&\tiff _t(AB)(\vec 1)\\[2mm]
&=&(\tiff _{(A(t),B(t))}\op{Mult})(A'(t),B'(t))\\[2mm]
&=&A'(t)B(t)+A(t)B'(t)
\end{array}\qedhere
\end{equation*}
\end{proof}




\begin{Bemerkungl}\label{PaVf} 
Gegeben $Y$ ein normierter Raum und  $f : \Bbb{R}^{n}\lco U \ra Y$
eine Abbildung erkl"aren wir die partiellen Ableitungen
weiter als die Richtungsableitungen nach den Vektoren der Standardbasis, in Formeln 
 $$\frac{\partial f}{\partial
x_{i}}(p)\pdef({\op{D}}_{\op{e}_i}f)(p)=\lim_{t\ra 0}\frac{f(p+t{\op{e}_i})-f(p)}{t}$$
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Seien $X,Y$ normierte R"aume und $A\subset X$ halboffen.
 Eine Abbildung $f:A\ra Y$ hei"st {\bf differenzierbar},
wenn sie differenzierbar ist bei jedem Punkt $p\in A$.
Sie hei"st  {\bf stetig differenzierbar},\index{stetig differenzierbar!in mehreren Variablen} 
wenn sie differenzierbar ist und wenn zus"atzlich die Abbildung $A\ra \mathcal B(\vec X,\vec Y)$ gegeben\label{SDi} 
durch $p\mapsto \tiff_pf$ stetig ist 
in Bezug auf die Operatornorm \ref{SSOPn}
  auf dem Raum $\cal{B}(\vec{X},\vec{Y})$ der stetigen linearen Abbildungen.
\end{Bemerkungl}

\begin{Proposition}[\textbf{Differenzierbarkeit "uber partielle Ableitungen, Variante}]
Seien  $Y$ ein normierter Raum und  $f : \Bbb{R}^{m}\lco U \ra Y$
eine Abbildung.\label{PTDv}
Existieren alle partiellen Ableitungen von $f$ und sind stetig
als Abbildungen $\frac{\partial f}{\partial
x_{j}}: U \ra \vec{Y}$, so ist die Abbildung $f$ 
stetig differenzierbar.
\end{Proposition}

\nichtfinal{Sollte als "Ubung und gleich den superallgemeinen Fall.} 

\begin{proof}[Beweis]
Es gilt, an jeder Stelle
$p \in U$ die totale Differenzierbarkeit zu zeigen.
Indem wir zu $f$ eine geeignete Konstante sowie eine
geeignete lineare Abbildung addieren, d"urfen wir ohne
Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, da"s gilt $f(p) =0$ und
$\frac{\partial f}{\partial x_{j}} (p) = 0 \;\forall j$.
Unter diesen zus"atzlichen Annahmen m"ussen wir nun zeigen, da"s $f$ total
differenzierbar ist bei $p$ mit Differential Null.
Indem wir vor $f$ eine geeignete Verschiebung davorschalten, 
d"urfen wir zus"atzlich auch ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit 
$p=0$ annehmen.
Gegeben eine punktsymmetrische offene konvexe Umgebung $C\co \vec{Y}$ 
des Nullvektors von $\vec{Y}$ 
finden wir nun sicher $\delta= \delta_C >0$ derart, da"s alle partiellen
Ableitungen $\frac{\partial f}{\partial x_{j}}$ auf dem Ball
$\op{B}(0;\delta)$ nur Werte in $C$ annehmen und da"s dieser Ball
ganz in $U$ enthalten ist.
Aus dem Schrankensatz 
\ref{MWSan} folgt f"ur $|h| < \delta$ schon $f (h_{1}, \ldots
,h_{j-1}, h_{j}, 0, \ldots , 0)- f(h_{1}, \ldots , h_{j-1}, 0,0, \ldots , 0)
\in h_{j} C=|h_{j}| C$
und insgesamt
$$f(h)=f(h) - f(0) \in (|h_{1}| + \ldots+ |h_{m}|)C$$
F"ur $h\neq 0$ und $|h|<\delta_C$ gilt also  $f(h) / |h| \in m C$. Da wir f"ur alle $C$ so ein $\delta_C$ finden k"onnen, folgt
$\op{lim}_{h\ra 0} f(h) /|h| =0$ wie
gew"unscht.
\end{proof}













\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubunge}\label{DMLL}
Man zeige, da"s auch  im Kontext normierter Vektorr"aume
stetige multilineare Abbildungen  differenzierbar sind,
und gebe eine zur Produktregel \ref{PRm} analoge Formel f"ur 
deren Differential. Hinweis: \ref{SML}.
\end{Ubunge}
\begin{Ubunge}
  Gegeben ein eindimensionaler Vektorraum $V$ hat die Abbildung
  $f:v\mapsto v^{\otimes n}$ bei $w\in V$ das Differential
  $\tiff_wf: v\mapsto nw^{\otimes {n-1}}\otimes v$. Hinweis: Differential multilinearer Abbildungen \ref{DMLL} und Kettenregel. 
\end{Ubunge}

\begin{Ubunge}\label{DiDet}
Man zeige, da"s $\det: \op{M}(n;\Bbb{R})\ra \Bbb{R}$
differenzierbar ist, und da"s das Differential der Abbildung $\det$ an der
Einheitsmatrix $\op{I}$ die Spur $\op{tr}$
ist, in Formeln 
$$\tiff _{\op{I}} \det=\op{tr}:\op{M}(n;\Bbb{R})\ra \Bbb{R}$$ 
F"ur das Differential von $\det$ an
einer beliebigen Stelle $P$ zeige man die Formel
$(\tiff _P\det)(H)=\op{tr}((\det P)P^{-1}H)$. Hier meint
$(\det P)P^{-1}$ den Wert bei $P$ der stetigen Fortsetzung der Abbildung 
$P\mapsto (\det P)P^{-1}$ vom
Raum der invertierbaren Matrizen auf den Raum aller Matrizen alias die
\glqq adjungierte Matrix\grqq\  $P^\sharp$ aus \eref{CraRe}{LA1}.
Hinweis: Man mag mit \ref{DMLL} arbeiten, 
oder auch mit partiellen Ableitungen.
Erinnerung: Die Spur einer Matrix ist die Summe der
Eintr"age auf der Diagonalen. 
\end{Ubunge}

\begin{Ubung}\label{DInvn}
Sei $\op{inv}: \op{GL}(n;\Bbb{R})\ra \op{M}(n\times n;\Bbb{R})$ 
das Invertieren von
Matrizen, $\op{inv}(X)=X^{-1}$. 
Man zeige f"ur das Differential des Invertierens bei der
Einheitsmatrix $\op{I}$
die Formel 
$\tiff _{\op{I}}\op{inv}:H\mapsto -H$.
Man zeige allgemeiner, da"s das Differential dieser
Abbildung am Punkt $P$ in Verallgemeinerung der Ableitungsregel f"ur 
$x\mapsto 1/x$
gegeben wird durch
$$\begin{array}{rccl}
\tiff _P\op{inv}: &\op{M}(n\times n;\Bbb{R})&\ra&\op{M}(n\times n;\Bbb{R})\\
&H&\mapsto&-P^{-1} H P^{-1}
\end{array}$$
Hinweis: Man zeige erst, da"s $\op{inv}$ differenzierbar ist.
Dann nehme man in der Gleichung
$\op{inv}(X)X=I$ auf beiden Seiten das Differential
an der Stelle $P$.
Alternativer Hinweis: Man erinnere die Darstellung des Inversen durch eine Reihe
\ref{IsE} und die Identit"at $ (\cdot P^{-1})\circ\op{inv}\circ (P^{-1}\cdot)=\op{inv}$. 
\end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{DInvN}
Gegeben ein Banachraum $V$ ist das 
Invertieren $\op{inv}:\mathcal B(V)^\times\ra \mathcal B(V)$  differenzierbar mit dem Differential 
$\tiff _p\op{inv}: h\mapsto -p^{-1} h p^{-1}$ an einer Stelle $p$.
Hinweis: "Ubung \ref{IsE}.
\end{Ubung}



\begin{Ubunge}\label{DeRR}
Sei $B\in \op{M}(n;\Bbb{R})$ fest.
Das Differential der Abbildung 
$\psi: \op{GL}(n;\Bbb{R})\ra \op{M}(n;\Bbb{R})$
gegeben durch $A\mapsto ABA^{-1}$ bei der Einheitsmatrix ist
die lineare Abbildung $H\mapsto HB-BH$.
\end{Ubunge}


\nichtfinal{\begin{Ubunge}\label{dem}
Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum $V$ 
und $W\subset \op{End}V$ ein Untervektorraum seines 
Endomorphismenraums, der aus paarweise kommutierenden Abbildungen
besteht, 
zeige man f"ur
das Differential von $\exp : W \rightarrow \op{End}V$
bei $A \in W$
die Formel
$
\tiff_A \op{exp} = (\cdot \op{exp} A):W\ra  \op{End}V$.
Idem f"ur $V$ ein Banachraum und 
$\cal{B}(V)$ statt $\op{End}V$.
Eine allgemeine Formel f"ur das 
Differential von $\exp : \op{End}V \rightarrow \op{End}V$
wird in \ref{ADEx} diskutiert.
\end{Ubunge}}


\nichtfinal{
\begin{Ubunge}\label{logA}
Seien $V$ ein Banachraum und $A \in \mathcal B (V)$
ein stetiger Endomorphismus von $V$ der Norm $\| A \| < 1$. Man zeige, da"s das
formale Einsetzen von $A$ in die Taylorreihe von $\log (1 + x)$, als
da hei"st, die  Reihe
\begin{equation*}
A - \frac{A^2}{2} + \frac{A^3}{3} - \ldots
\end{equation*}
gegen einen Endomorphismus $B \in \mathcal B (V)$ 
mit der Eigenschaft $\op{exp} (B) = I + A$ konvergiert. Hinweis: Man  
berechne unter Verwendung von \ref{dem}
die Ableitung der Abbildung
$f: t \mapsto \op{exp}(t A - \frac{t^2 A^2}{2} + \frac{t^3A^3}{3} - \ldots)$
und die Ableitung der Abbildung $t \mapsto f(t)(I+tA)^{-1}$ und zeige,
da"s letztere Funktion konstant ist.
Ein besser verallgemeinerbares Argument findet man in \eref{logAe}{FT1}.
\end{Ubunge}}


\begin{Ubunge}[\textbf{Inversionen sind konforme Abbildungen}]
 Sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit 
einer symmetrischen Bilinearform $\langle \; , \;
\rangle$.
Die auf dem Komplement 
des Nullkegels $\{v \in V \mid \langle v, v\rangle = 0\}$ 
erkl"arte Abbildung
$
\op{inv}: v \mapsto v/\langle v, v\rangle$
hei"st dann in Verallgemeinerung von \eref{MoGe}{EL} eine 
{\bf Inversion}.\index{Inversion} Die Fixpunktmenge unserer
Inversion ist $\{v \in V \mid \langle v, v\rangle = 1\}$.
Man zeige f"ur das Differential von $\op{inv}$ bei $v$ die Formel\label{InKo} 
\begin{equation*}
 (\tiff_v \op{inv})(h) = \frac{h}{\langle v, v \rangle} - 
\frac{2 \langle h, v\rangle v}{\langle v, v\rangle^2}
\end{equation*}
und folgere $\langle  (\tiff_v \op{inv})(h), (\tiff_v \op{inv})(k)\rangle 
= \langle h, k\rangle / \langle v,v\rangle^2$ f"ur alle $h,k$.
In Worten erh"alt $\tiff_v \op{inv}$ also f"ur alle $v$ unsere 
Bilinearform bis auf einen von Null verschiedenen skalaren Faktor.
Abbildungen $\op{inv}$ mit dieser Eigenschaft hei"sen 
{\bf konforme Abbildungen},\index{konform!Abbildung} 
 deshalb die "Uberschrift.
\end{Ubunge}

\begin{Ubunge}[\textbf{Differential "uber partielle Ableitungen, Zugabe}]
Seien $X,Y,Z$ normierte R"aume,\label{PTDn}
$U \co X$ sowie $V\co Y$   offene Teilmengen und $f : U\times V \ra Z$
eine Abbildung. Wir betrachten f"ur alle $x\in U$ die \glqq vertikale\grqq\  Einbettung
$j_x:V\ra U\times V$, $ y\mapsto (x,y)$ und f"ur alle $y\in V$ die
\glqq horizontale\grqq\  Einbettung
$i_y:U\ra U\times V$, $ x\mapsto (x,y)$. 
Existieren f"ur alle $(x,y)\in U\times V$ die Differentiale
$\tiff_x(f i_y):\vec{X}\ra \vec{Z}$ und 
$\tiff_y(f j_x):\vec{Y}\ra \vec{Z}$ und sind stetig als Funktionen
$U\times V\ra\cal{B}(\vec{X}, \vec{Z})$  beziehungsweise
$U\times V\ra\cal{B}(\vec{Y}, \vec{Z})$, 
so ist die Abbildung $f$ 
differenzierbar mit Differential
$$\tiff_{(x,y)} f: (\vec v,\vec w)
\mapsto \tiff_x(f i_y)(\vec v)+\tiff_y(f j_x)(\vec w)$$
Die offensichtliche Identifikation von $\vec X\times \vec Y$ mit dem
Richtungsraum
des Produkts
 $X\times Y$ haben wir hier der "Ubersichtlichkeit halber nicht explizit
notiert. 
Hinweis: Man kopiere mutatis mutandis den Beweis der
Differenzierbarkeit unter der Annahme stetiger partieller Ableitungen
\ref{PTD}.
Mutige m"ogen umgekehrt \ref{PTD} aus dem Ergebnis 
dieser "Ubung ableiten durch Induktion "uber $n$.
\end{Ubunge}








%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "XXAN2"
%%% End: 
