\subsection{Taylorentwicklung in mehreren Ver"anderlichen}

\begin{Satz}[\textbf{Taylorentwicklung in zwei Ver"anderlichen}]
Sei $A \co \Bbb{R}^{2}$ eine offene Teilmenge, die den Nullpunkt
enth"alt, und sei $f: A \ra \Bbb{R}$ eine $d$-mal stetig partiell
differenzierbare 
Funktion.\label{TMV}\index{Taylorentwicklung!in mehreren Ver"anderlichen}  
So gibt es genau ein Polynom in zwei Ver"anderlichen
$P (x,y) = \sum_{i+j\leq d} c_{i,j} x^{i} y^{j}$
vom Grad $\leq d$ 
derart, da"s gilt $$\lim_{(x,y)\ra (0,0)} \frac{f(x,y) - P(x,y)}
{| (x,y) |^{d}} = 0$$ Des weiteren werden die Koeffizienten
$c_{i,j}$ dieses Polynoms $P$  gegeben durch die Formel
$$c_{i,j} = \frac{1}{i!j!} \frac{\partial^{i+j}f}{\partial x^{i}\partial
y^{j}} (0,0)$$
\end{Satz}

\begin{Bemerkungl}
Ist $f(x,y) = \sum_{i,j} a_{i,j} x^{i}y^{j}$ selbst eine Polynomfunktion,
so erkennt man leicht, da"s gilt
$$a_{i,j} = \frac{1}{i!j!} \frac{\partial^{i+j}f}{\partial x^{i}\partial
y^{j}} (0,0)$$
In diesem Fall liefert unsere Formel also $P(x,y) = \sum_{i+j \leq d}
a_{i,j} x^{i}y^{j}$ und man sieht sofort, da"s dieses $P$
die geforderte Eigenschaft hat.
\end{Bemerkungl}







  \begin{Bemerkungl}\label{MuIn}
    Um unseren Satz auch in mehr als zwei Ver"anderlichen "ubersichtlich
    formulieren zu k"onnen, f"uhren wir neue Notationen ein.  Gegeben ein {\bf
      Multiindex}\index{Multiindex} $\al = (\al_{1}, \ldots , \al_{n}) \in
    \DN^{n}$ definieren wir
$$\begin{array}{lcl}
  |\al| &\pdef& \al_{1} + \ldots + \al_{n}\\
  \al ! & \pdef& \al_{1}! \ldots \al_{n}!\\
  x^{\al} &\pdef& x^{\al_{1}}_{1} \ldots x^{\al_{n}}_{n}\\
  \partial^{\al}f &\pdef& \frac{\partial^{|\al|}f}{\partial x_{1}^{\al_{1}}\ldots
    \partial x_{n}^{\al_{n}}}
\end{array}$$
wobei wir f"ur die letzte Notation annehmen, da"s $f$ eine
$|\al|$-mal stetig partiell differenzierbare Funktion von $A \co \Bbb{R}^{n}$
nach $\Bbb{R}$ ist, so da"s es insbesondere beim partiellen Ableiten nicht
auf die Reihenfolge ankommt.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
Unter einem \defind{Polynom} {\bf in mehreren Ver"anderlichen} 
$x_1,x_2,\ldots,x_n$ mit reellen Koeffizienten
versteht man eine \glqq endliche  formale Summe\grqq\  der Gestalt
$$\sum_{\alpha}
c_\alpha x^\alpha=\sum_{\alpha}
c_\alpha x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\ldots x_n^{\alpha_n} $$
wobei die Summe "uber alle Multiindizes
$\alpha\in\DN^n$ laufen soll und alle Koeffizienten $c_\alpha$
reelle Zahlen sind, die dar"uber hinaus fast alle verschwinden m"ussen,
da wir ja salopp gesprochen nur endliche formale Summen zulassen wollen.
Mit dem {\bf Grad}\index{Grad!eines Polynoms!in mehreren Ver"anderlichen} 
oder genauer dem 
{\bf Totalgrad}\index{Totalgrad} 
eines Polynoms
in mehreren Ver"anderlichen meint man 
$\op{sup}\{|\alpha|\mid c_\alpha\neq 0\}.$
Das Nullpolynom hat also den Grad $-\infty,$ konstante Polynome
haben den Grad Null und
$$x^4y^3-z^5y+3z^2x^2y^2$$
ist ein Polynom in den drei Ver"anderlichen $x,y,z$ vom Grad $7$.
Wir werden in \ref{EDPF} zeigen, da"s verschiedene polynomiale Ausdr"ucke
auch verschiedene Funktionen liefern, so da"s wir im Fall reeller
Koeffizienten nicht so genau zu hinterfragen brauchen, was wir unter solch 
einem
\glqq formalen Ausdruck\grqq\  eigentlich genau verstehen wollen.
Den Fall beliebiger Koeffizienten diskutieren wir 
 in \eref{PoRi}{LA1} im Fall einer Variablen und in
\eref{PoRiMV}{LA1} im allgemeinen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Satz}[\textbf{Taylorentwicklung}]\label{TaEn}
Sei $A \co \Bbb{R}^{n}$ offen, $f: A \ra \Bbb{R}$ eine $d$-mal stetig
partiell differenzierbare Funktion, und $p \in A$ ein Punkt.
So gibt es genau ein Polynom $P$ vom Grad $\;\leq \! d$ mit
$$ f(p+h) = P(h) + |h|^{d}\varepsilon(h)$$
f"ur eine Funktion $\varepsilon$ mit $\lim_{h\ra 0}\varepsilon(h)=0,$  
und dieses Polynom wird gegeben durch die Formel
$$P(h) = \sum_{|\al| \leq d} \frac{(\partial^{\al}f) (p)}{\al!} h^{\al}
$$
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
  Dieser Satz ist deutlich schw"acher als unsere verschiedenen Versionen
im Fall einer Variablen in \eref{TEe}{AN1} folgende. Ich denke jedoch, da"s
an dieser Stelle  gr"o"sere Allgemeinheit
den Aufwand nicht  wert ist. Ich habe auch in einer
Variablen den Aufwand nur getrieben, um den Aspekt der
\glqq Verallgemeinerung der Ableitung durch die Taylorentwicklung\grqq\  
herauszuarbeiten. In \ref{koft} deute ich an, wie der vorhergehende Satz 
koordinatenfrei formuliert werden k"onnte. Ich schicke dem 
Beweis ein Lemma voraus.
\end{Bemerkungl}
\begin{Lemma}\label{EDPF}
Sei $R$ ein Polynom in $n$ Ver"anderlichen mit reellen Koeffizienten 
vom Grad $\leq d.$
Gilt $\lim_{h\ra 0} {R(h)}/{|h|^{d}} =0,$ so folgt $R=0.$
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
Wir zeigen das durch Widerspruch.
W"are $R \neq 0,$ so g"abe es $v\neq 0$ mit $R (v) \neq
0,$ und $t \mapsto R(tv)$ w"are ein von Null verschiedenes Polynom in einer
Ver"anderlichen $t \in \Bbb{R}$ vom Grad $\leq d$ mit $\lim_{t\ra 0}
{R(tv)}/{|t|^{d}} = 0.$
Wir wissen aber aus \eref{PFKO}{AN1},
da"s es solch ein Polynom in einer Variablen nicht gibt.
\end{proof}
\begin{proof}[Beweis des Satzes]
Aus unserem Lemma folgt sofort die Eindeutigkeit von $P,$
denn ist $\hat{P}$ ein anderes m"ogliches Approximationspolynom,
so k"onnen wir das Lemma auf $R=P-\hat{P}$ anwenden.
Um die Existenz der Taylorentwicklung nachzuweisen,
nehmen wir ein $h\in \Bbb{R}^m,$ das so klein ist,
da"s sogar das ganze Geradensegment $[p,p+h]=\{p + th \mid t \in [0,1]\}$
in $A$ enthalten ist, und betrachten die Taylorentwicklung der Funktion
$g=g_h:[0,1]\ra \Bbb{R},$ $t \mapsto f(p+ th).$
Wir behaupten zun"achst, da"s
die h"oheren Ableitungen von $g$ gegeben werden durch
$$g^{(\nu)}(t) =
\sum_{|\al| = \nu}\frac{\nu !}{\al !}\;(\partial^{\al}f)(p + t h)\;{h^{\al}}$$
In der Tat gilt nach der Kettenregel in mehreren Ver"anderlichen \ref{GPa}
schon mal
$$g^{\prime} (t) = \frac{\partial f}{\partial x_{1}} (p + t h)\cdot
h_{1} + \ldots + \frac{\partial f}{\partial x_{n}} (p+ t h) \cdot
h_{n}$$ und wir folgern induktiv
$$g^{(\nu)} (t) = \sum_{i_{1},\ldots ,i_{\nu}}
\frac{\partial^{\nu} f}{\partial x_{i_{1}} \ldots \partial x_{i_{\nu}}}
(p+ t h)\cdot h_{i_{1}} \ldots h_{i_{\nu}}$$
wobei die Summe "uber alle m"oglichen $\nu$-Tupel aus 
$\{1, \ldots , n\}$ laufen soll.
Nach dem anschlie"senden Lemma \ref{Zaehl}
gibt es aber genau $\nu !/\al !$ M"oglichkeiten,
ein $\nu$-Tupel $(i_{1},\ldots , i_{\nu}) \in \{1, \ldots , n\}^{\nu}$ 
so zu w"ahlen,
da"s unter den $i_{1},\ldots , i_{\nu}$ jedes $j$ genau $\al_{j}$-mal vorkommt.
Fassen wir also gleiche Summanden zusammen, so ergibt sich die behauptete
Formel f"ur die $\nu$-te Ableitung $g^{(\nu)}$ von $g.$
Jetzt schreiben wir zur Funktion $g(t)$ die Taylorreihe
mit der Lagrange'schen Form des
Restglieds \eref{LFR}{AN1} um den Entwicklungspunkt
$t=0$ hin
und erhalten an der Stelle $t=1$ mit einer kleinen
Umformulierung die Gleichung
$$f(p+h)
= \sum_{|\al| \leq d}\frac{(\partial^{\al}f)(p )}{\al!} {h^{\al}}
 + \sum_{|\al| = d}\frac{(\partial^{\al}f)(p+\xi_h h )-(\partial^{\al}f)(p
   )}{\al!} {h^{\al}}$$
f"ur geeignetes $\xi_h\in (0,1).$
Es reicht also, wenn wir f"ur $|\alpha|=d$ zeigen, da"s gilt 
$\lim_{h\ra 0} (\partial^{\al}f)(p+\xi_h h )-(\partial^{\al}f)(p
   )=0,$ und das folgt sofort aus der Stetigkeit der partiellen Ableitungen.
\end{proof}

\begin{Lemma}\label{Zaehl}
Seien $\al_{1},\ldots,\al_n\in \DN$ gegeben und sei 
$\nu = \al_{1} + \ldots + \al_{n}$
ihre Summe.
So gibt es genau $\nu !/\al_{1} ! \ldots \alpha_{n}!$ 
Abbildungen von einer Menge $X$ mit $\nu$ Elementen nach 
$\{1,\ldots ,n\}$ derart, da"s der Wert $j$ jeweils genau $\al_{j}$-mal
angenommen wird.
\end{Lemma}
\begin{Beispiel}
Wollen wir $10$ nummerierte B"alle so anmalen, da"s $5$ B"alle blau,
$3$ B"alle rot und $2$ B"alle gelb werden, so gibt es 
daf"ur also $10!/(5! 3! 2!)=2520$
M"oglichkeiten. 
\end{Beispiel}

\begin{proof}[Beweis]
Es gibt genau $\nu !$ M"oglichkeiten, unsere Menge $X$ anzuordnen.
Jede dieser M"oglichkeiten liefert eine Abbildung $i$ wie folgt: Wir
bilden die ersten $\al_{1}$ Zahlen auf $1$ ab, die n"achsten $\al_{2}$
Zahlen auf $2,$ und so weiter, bis wir zum Schlu"s die letzten $\al_{n}$
Zahlen auf $n$ abbilden.
So erhalten wir nur Abbildungen der gew"unschten Form, genauer erhalten
wir so jede der gew"unschten Abbildungen genau $(\al_{1}! \cdots
\al_{n}!)$-mal. Das Lemma ist bewiesen.
\end{proof}










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%%% mode: latex
%%% TeX-master: "AAANA2"
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