\section{Integralsatz von Stokes}
In  Abschnitt \ref{RaToTc} haben wir 
unser Kurvenintegral aus \eref{KI}{AN1} verallgemeinert zum Integral einer
Funktion "uber eine Fastfaltigkeit in einem $\DR^n$. 
In diesem Abschnitt werden wir unser Wegintegral aus \ref{WII}, 
als da hei"st das Integral
eines Kovektorfelds auf einem endlichdimensionalen reellen Raum
l"angs eines Weges,  verallgemeinern 
zum Integral einer \glqq Differentialform\grqq\
auf einem endlichdimensionalen 
reellen Raum 
"uber eine  \glqq orientierte\grqq\ Fastfaltigkeit.
Als Spezialf"alle enth"alt diese Konstruktion 
inbesondere die Definition des \glqq Flusses eines
Vektorfelds in $\DR^3$
durch eine  orientierte Fl"ache in $\DR^3$\grqq.
Unser eigentliches Ziel ist dann der sogenannte 
\glqq allgemeine Satz von Stokes\grqq\  \ref{ASI},
der den Hauptsatz der Differential- und
Integralrechnung \eref{HSS}{AN1} auf
h"ohere Dimensionen verallgemeinert.






\subsection{Alternierende Formen und Dachprodukt}
\label{MAD} 
\begin{Definition}\label{BAD}
Sei $k$ ein K"orper. Gegeben ein $k$-Vektorraum $V$ und eine
nat"urliche Zahl $p$ bilden wir den Raum der {\bf
alternierenden $p$-Multilinearformen}\index{alternierende $p$-Form}
oder kurz 
{\bf $p$-Formen}\index{Alt@$\op{Alt}$ alternierende Formen} 
$$\op{Alt}^{p} V \pdef \{\omega : V \times \ldots \times V \ra k 
\mid \omega \text{ ist
multilinear und alternierend}\}$$
Hier meint alternierend wie in \eref{aLT}{LA1},
 da"s $\omega (v_{1}, \ldots, v_{p})$
verschwindet wann immer es $i \neq j$ gibt mit $v_{i} =v_{j}$.
\end{Definition}


\begin{Bemerkungl}
  Hat unser K"orper nicht die Charakteristik $2$, so mag man gleichbedeutend 
  fordern, da"s $\omega(v_{1}, \ldots, v_{p})$ sein Vorzeichen "andert, wenn
  man zwei Eintr"age $v_{i}$ und $v_{j}$ vertauscht.
  Daher kommt die Bezeichnung
  \glqq alternierend\grqq.  Unter Nullformen verstehen wir Skalare, in Formeln setzen
  wir also $\op{Alt}^{0} V =k$. Einsformen sind Elemente des Dualraums
alias Linearformen, wir
  haben also $\op{Alt}^{1}V = V^{\ttop}$. Gegeben Linearformen
$f_{1}, \ldots, f_{p} \in
  V^{\ttop}$ erkl"aren wir $\op{alt}( f_{1}, \ldots , f_{p}) \in
  \op{Alt}^{p}V$ durch die Vorschrift\index{alt@$\op{alt}$ Alternator}
$$\op{alt}(f_{1}, \ldots , f_{p})  (v_{1}, \ldots, v_{p}) 
  \pdef \det (f_{i} (v_{j}))$$
  Wir nennen es bis auf weiteres das \glqq Determinantenprodukt\grqq\ der $f_i$.
\end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkungl}
 Wir werden unmittelbar im Anschlu"s das Dachprodukt 
von alternierenden Multilinearformen 
einf"uhren und
dessen Assoziativit"at beweisen ebenso wie die Formel 
  $\op{alt}(f_{1}, \ldots , f_{p}) =f_{1}\wedge \ldots \wedge f_{p}$. 
Sobald das geleistet ist, wird die Notation $\op{alt}(f_{1}, \ldots , f_{p})$
obsolet  und statt \glqq Determinantenprodukt\grqq\
d"urfen und werden wir 
\glqq iteriertes Dachprodukt\grqq\ sagen.
\end{Bemerkungl}







\begin{Bemerkungw}[\textbf{Bezug zur "au"seren Algebra}] 
Im Rahmen unserer Diskussion des\label{hju} 
  Tensorprodukts  werden die Begriffsbildungen 
dieses Abschnitts auch noch unter einem 
anderen Gesichtspunkt 
besprochen. 
Genauer konstruieren wir in \eref{Altt}{LA2} 
%unter der Annahme $\op{dim}V<\infty$
einen kanonischen
Isomorphismus $\op{Alt}^{p} \sira \left(\bigwedge^p V\right)^\ttop$ zwischen dem hier definierten Raum  der 
alternierenden Multilinearformen auf $V$ und dem Dualraum 
der
dort definierten $p$-ten "au"seren Potenz
$\bigwedge^pV$ von $V$. Zus"atzlich erkl"aren wir in \eref{APDn}{LA2}  
f"ur endlichdimensionales $V$  
kanonische Isomorphismen $\left(\bigwedge^pV\right)^\ttop
\sira \bigwedge^p(V^\ttop)
$ zwischen den Dualr"aumen der "au"seren Potenzen 
und  den "au"seren Potenzen des Dualraums
und erhalten so  zusammen endlichdimensionales $V$   einen 
kanonischen Isomorphismus 
 $\op{Alt}^{p} V\;\;\sira\;\; \bigwedge^p(V^\ttop)$.
\end{Bemerkungw}


\begin{Bemerkungl}\label{BADv}
  Sind Linearformen $f_{1}, \ldots, f_{n} \in V^{\ttop}$ gegeben und ist $I
  \subset \{1,\ldots , n\}$ eine Teilmenge mit $p$ Elementen, so setzen wir
$$f_{I} \pdef \op{alt}(f_{i_{1}} , \ldots , f_{i_{p}}) \in
  \op{Alt}^{p}V$$ f"ur das entsprechende Determinantenprodukt der Basisvektoren
  mit $i_{1}< \ldots < i_{p}$ den der Gr"o"se nach gereihten
Elemente von $I$. F"ur $I = \emptyset$ vereinbaren wir $f_{\emptyset} =1$.
\end{Bemerkungl}

\begin{Proposition}[\textbf{Basis des Raums der $p$-Formen}]
Ist $V$ ein Vektorraum und $f_{1}, \ldots,
f_{n}$ eine Basis seines Dualraums $V^{\ttop}$,
so bilden die Determinantenprodukte $f_{I}$\label{BA} 
 mit $|I| =
p$ eine Basis von $\op{Alt}^{p}V$.
\end{Proposition}
\begin{Bemerkungl}
  F"ur einn $n$-dimensionalen Vektorraum
  $V$  gilt also  $\op{dim}\op{Alt}^{n}V=1$ und
  $\op{Alt}^{p}V=0$ f"ur $p>n$.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
Ist $v_{1}, \ldots, v_{n}$ die duale Basis von $V$ und ist auch $J
=\{j_{1}, \ldots , j_{p}\} \subset \{ 1,\ldots , n\}$ gegeben mit
$j_{1} < \ldots < j_{p}$, so gilt offensichtlich
$$f_{I} (v_{j_{1}}, \ldots, v_{j_p}) = \left\{ \begin{array}{rl}
1 & I=J;\\ 0 &\text{sonst}.
\end{array} \right. $$
Das zeigt die lineare Unabh"angigkeit der $f_{I}$. Andererseits
ist klar, da"s eine alternierende Multilinearform schon festgelegt
wird durch ihre Werte auf den $p$-Tupeln
$(v_{j_{1}}, \ldots, v_{j_p})$ mit $j_{1}<\ldots < j_p$.
Das zeigt, da"s die $f_{I}$ auch $\op{Alt}^{p}V$ erzeugen.
\end{proof}

\begin{Bemerkungl}
  Im Vorgriff auf unsere zuk"unftige Notation 
$f_{1}\wedge \ldots \wedge f_{p}$ f"ur
$\op{alt}(f_{1}, \ldots , f_{p})$ ist im Fall eines
Vektorraums $V$ der Dimension $\op{dim}V=4$  also
$\op{Alt}^{2}V$ ein Vektorraum 
der Dimension $\op{dim}(\op{Alt}^{2}V)=6$  und f"ur
 $f_1,\ldots, f_4\in V^\ast$  eine Basis seines Dualraums ist 
$f_1\wedge f_2, f_1\wedge f_3, f_1\wedge f_4, f_2\wedge f_3, 
f_2\wedge f_4, f_3\wedge f_4$ eine Basis von $\op{Alt}^{2}V$. 
\end{Bemerkungl}


\begin{Proposition}%\label{DP}
Seien $k$ ein K"orper,
 $V$ ein  $k$-Vektorraum endlicher Dimension und $p,q \geq 0$.
So gibt es genau eine bilineare Abbildung, das {\bf\em
Dachprodukt}\index{Dachprodukt}\index{)9@$\wedge$ Dachprodukt}\label{DaPr}
$$\begin{array}{ccc}
\op{Alt}^{p} V \times \op{Alt}^{q}V & \ra & \op{Alt}^{p+q}V\\
(\omega\quad, \quad \eta) &\mapsto &\omega \wedge \eta
\end{array}$$
derart, da"s  f"ur alle $f_{1},
\ldots , f_{p+q} \in V^{\ttop}$ gilt $$\op{alt}(f_{1} , \ldots , f_{p}) \wedge
\op{alt}(f_{p+1} , \ldots , f_{p+q}) = \op{alt}(f_{1} , \ldots ,
f_{p} , f_{p+1} , \ldots , f_{p+q})$$
\end{Proposition}
\begin{Bemerkungl}
Mit \ref{BA} folgt
unmittelbar die {\bf Assoziativit"at des Dachprodukts}
$$(\omega \wedge \eta)\wedge\xi=
\omega \wedge (\eta\wedge\xi)$$
Damit brauchen wir auch bei l"angeren Dachprodukten keine
Klammern zu setzen und unsere Notation \glqq $\op{alt}$\grqq\  wird 
 obsolet, 
denn offensichtlich folgt 
aus der Proposition auch 
$$\op{alt}(f_{1} , \ldots , f_{p})=f_{1} \wedge \ldots \wedge f_{p}$$
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungw}
  Die vorhergehende Definition ist unn"otig einschr"ankend.
  Man kann durchaus auch im unendlichdimensionalen Fall
  sinnvoll ein Dachprodukt von alternierenden Formen erkl"aren,
  vergleiche \eref{shko}{TSK},  
  aber die damit verbundenen Komplikationen m"ochte ich hier vermeiden.
\end{Bemerkungw}

\begin{proof}[Beweis]
Die Eindeutigkeit folgt sofort aus \ref{BA} 
und nur die Existenz ist noch zu zeigen.
Wir betrachten dazu die Menge $\cal{S}_{p,q} \subset \cal{S}_{p+q}$ aller
Permutationen, die die Reihenfolge der ersten $p$ Eintr"age und
die der letzten $q$ Eintr"age unver"andert lassen.
Stellen wir uns unsere Permutationen als Mischvorschriften f"ur ein
Spiel von $p+q$ Karten vor, so heben wir also $p$ Karten ab
und schieben die beiden so gebildeten Stapel von $p$ beziehungsweise $q$ Karten
irgendwie ineinander.
Solche Permutationen hei"sen auch 
{\bf $(p,q)$-Shuffles}\index{Shuffle}, in
Formeln haben wir 
$$\cal{S}_{p,q} =\{\sigma \in \cal{S}_{p+q} \mid \sigma (1) < \ldots <
\sigma (p)\text{ und }\sigma (p+1) < \ldots < \sigma (p +q)\}$$
Weiter betrachten wir in $\cal{S}_{p+q}$ die
Untergruppe $\cal{S}_{p}\boxtimes \cal{S}_{q}$ aller Permutationen, die die
ersten $p$ Eintr"age unter sich vertauschen und die letzten $q$
Eintr"age ebenso.
Die Verkn"upfung von Permutationen liefert dann offensichtlich eine Bijektion
$$\cal{S}_{p,q} \times (\cal{S}_{p} \boxtimes \cal{S}_{q}) \sira \cal{S}_{p+q}$$
Jetzt definieren wir 
f"ur $\omega $ und $\eta$ wie oben
eine Multilinearform $\omega \wedge \eta$
durch die Vorschrift
$$
(\omega \wedge \eta) (v_{1} , \ldots , v_{p+q}) \pdef \sum_{\sigma
\in \cal{S}_{p,q}} \op{sgn} (\sigma)\; \omega (v_{\sigma (1)} , \ldots ,
v_{\sigma (p)}) \;\eta (v_{\sigma(p+1)}, \ldots , v_{\sigma
(p+q)})
$$
Betrachten wir nun unsere Definition des Determinantenprodukts, die wir nach der Leibnizformel schreiben k"onnen als  
$$\op{alt}(f_{1} , \ldots ,
f_{n}) (v_{1}, \ldots , v_{n})=  \sum_{\tau
\in \cal{S}_{n}} \op{sgn} (\tau) f_{1} (v_{\tau (1)}) \ldots f_{n}
(v_{\tau (n)})$$ Setzen das mit $n=p,q$ in
unsere Definition von $\wedge$ ein,  
so ergibt sich mithilfe der 
Bijektion $\cal{S}_{p,q} \times (\cal{S}_{p} \boxtimes
\cal{S}_{q}) \sira \cal{S}_{p+q}$  wie gew"unscht
$$\op{alt}(f_{1} , \ldots , f_{p}) \wedge
\op{alt}(f_{p+1} , \ldots , f_{p+q}) = \op{alt}(f_{1} , \ldots ,
f_{p} , f_{p+1} , \ldots , f_{p+q})$$
Die Bilinearit"at von $\wedge$ zeigt
dann weiter, da"s die Multilinearform 
$\omega \wedge \eta$ auch im allgemeinen 
alternierend ist, so da"s unsere Formel f"ur
$\wedge$  in der Tat eine Abbildung
$\op{Alt}^{p} V \times \op{Alt}^{q}V  \ra  \op{Alt}^{p+q}V$
mit den geforderten Eigenschaften liefert.
\end{proof}
\begin{figure}[htbp]\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildShuffle}\\[4mm]
\noindent Ein $(3,4)$-Shuffle
\end{figure}


\begin{Lemma}[\textbf{Graduierte Kommutativit"at des Dachprodukts}]
Sei $V$ ein endlichdimensionaler 
Vektorraum. F"ur beliebige 
$\omega \in \op{Alt}^{p}V$ und
$\eta \in \op{Alt}^{q}V$ gilt\label{GrDac} 
$\omega \wedge \eta = (-1)^{pq}\eta \wedge  \omega$.
Bezeichnet\index{)5@${\mid}\omega{\mid}$ Grad der Form $\omega$}   
$|\omega| $ den Grad von $\omega$,
also $|\omega |=p$ f"ur $\omega \in \op{Alt}^{p}$, so k"onnen wir diese
Regel auch schreiben in der Gestalt
$$\omega \wedge \eta = (-1)^{|\omega||\eta|}\eta \wedge  \omega$$
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
Aus \ref{DaPr} folgt sofort $f_{\sigma(1)} \wedge
\ldots \wedge f_{\sigma(n)} = (\op{sgn} \sigma)f_{1}\wedge \ldots \wedge f_{n}$
f"ur jede Permutation $\sigma \in \cal{S}_{n}$
und alle  $f_{1}, \ldots, f_{n} \in V^{\ttop}$. 
Die Permutation $\sigma \in \cal{S}_{p+q}$, die die ersten $p$ Eintr"age an den
Schlu"s schiebt und die letzten $q$ Eintr"age an den Anfang, 
hat aber nach \eref{FehS}{LA1} das Signum $\op{sgn} (\sigma) = (-1)^{pq}$.
Das Lemma folgt so zun"achst f"ur $\omega, \eta$ 
iterierte Dachprodukte und dann auch f"ur allgemeine
endlichdimensionale R"aume. 
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Funktorialit"at alternierender Multilinearformen}]
Zu jeder linearen Abbildung
$L:V\ra W$ bilden wir wie in \eref{NTAb}{LA1} ihre\label{ZHd} 
transponierte Abbildung $L^\ttop:W^\ttop\ra V^\ttop$, $f\mapsto f\circ L$
und allgemeiner auch die linearen Abbildungen
$$
\begin{array}{cccl}
L^\ttop:&\op{Alt}^p W&\ra&\op{Alt}^p V\\
&\omega&\mapsto &\omega\circ
(L\times\ldots\times L)
\end{array}
$$   
mit $L\times\ldots\times L$ wie in  \eref{KrAA}{LA1} alias $(L^\ttop \omega)(v_1,\ldots, v_p)=\omega(Lv_1,\ldots, Lv_p)$.
Wir nennen auch sie 
{\bf transponierte Abbildungen}.\index{transponiert!Abbildung} 
Aus den Definitionen folgen leicht die Formeln
$\op{id}^{\ttop}=\op{id}$ und $(L\circ M)^{\ttop}=M^{\ttop}\circ L^{\ttop}$ 
f"ur die transponierten\label{DAFF} 
Abbildungen sowie die Vertr"aglichkeit mit dem Dachprodukt
$$L^{\ttop}(\omega\wedge\eta)=(L^{\ttop}\omega)\wedge(L^{\ttop}\eta)$$  
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkunge}
  In der Sprache der Kategorientheorie \eref{DefF}{LA2} ausgedr"uckt
bilden demnach f"ur
  jedes $p$ die Zuordnungen $V\mapsto \op{Alt}^p V$, $L\mapsto L^\ttop$ einen
  kontravarianten Funktor $\op{Alt}^p$ von der Kategorie der $k$-Vektorr"aume
  in sich selber, dessen Effekt auf Morphismen ich nur der Bequemlichkeit der
  Notation halber $L\mapsto L^\ttop$ statt $L\mapsto \op{Alt}^p(L)$ notiert
  habe, und $V\mapsto \op{Alt} V\pdef \bigoplus_p \op{Alt}^p V$ ist ein
  kontravarianter Funktor von der Kategorie der $k$-Vektorr"aume in die
  Kategorie der $k$-Ringalgebren.
\end{Bemerkunge}


\begin{Lemma}[\textbf{Dachprodukt und Determinante}]
Gegeben ein $n$-di\-men\-sio\-na\-ler Vektorraum $V$ 
und eine lineare Abbildung $L:V\ra V$\label{DDP}
gilt $$L^{\ttop}=(\op{det}L):\op{Alt}^nV\ra \op{Alt}^nV$$
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
Ist $V$ ein $n$-di\-men\-sionaler Vektorraum, 
so ist $\op{Alt}^nV$ eindimensional.
F"ur $L:V\ra V$ linear mu"s also $L^{\ttop}:\op{Alt}^nV\ra \op{Alt}^nV$ die 
Multiplikation mit einem Skalar aus dem Grundk"orper sein. 
Ist $v_1,\ldots,v_n$ eine Basis von $V$ und $f_1,\ldots,f_n$
die duale Basis von $V^\ttop$, so ist $f_1\wedge\ldots\wedge f_n$ eine 
Basis von $\op{Alt}^nV$ und das Lemma folgt mit
expliziter Rechnung, f"ur $(\op{det}L)$ die 
Determinante der Matrix von $L$ in der gew"ahlten Basis. 
Da"s die fragliche Determinante von der Wahl der Basis gar nicht abh"angt
und deshalb in der Tat $(\op{det}L)$ notiert werden darf, erh"alt man
als Konsequenz.
\end{proof}
\begin{Bemerkunge}\label{ABM}
Nehmen wir \ref{DAFF} und \ref{DDP} zusammen, so ergibt sich unmittelbar die
Multiplikationsformel f"ur Determinanten \eref{MuDet}{LA1}.
\end{Bemerkunge}
\begin{Bemerkunge}
Gegeben endlichdimensionale Vektorr"aume $V,W$ 
und Formen $\omega\in \op{Alt}^pV$ und $\eta\in \op{Alt}^qW$
verwenden wir f"ur die 
$(p+q)$-Form $(\op{pr}_1^\ttop\omega)\wedge(\op{pr}_2^\ttop\eta)$ auf $V\times W$
die  Notation $\omega\boxtimes\eta$.\index{)xbox@$\boxtimes$ "au"seres Produkt!von Differentialformen}
Manche Autoren verwenden allerdings auch  $\wedge$ f"ur dieses \glqq "au"sere Dachprodukt\grqq.\index{)9@$\wedge$ Dachprodukt!{\it "au"seres Dachprodukt}}
\end{Bemerkunge}
\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}
F"ur jeden Vektorraum $V$ endlicher Dimension $\dim V = n$ liefert das
Dachprodukt $V^\ttop \times \op{Alt}^{n-1} V \ra \op{Alt}^{n}V$ eine
nichtausgeartete Paarung im Sinne von \eref{NAPP}{LA2},
als da hei"st, 
jeder Isomorphismus $\op{Alt}^{n}V\sira \Bbb{R}$ 
liefert vermittels unserer Paarung einen
Isomorphismus $\op{Alt}^{n-1}V \sira V^{\ttop\ttop}\sira V$.
\end{Ubung}




\subsection{Differentialformen h"oheren Grades}\label{GHB}
\begin{Definition}
Seien $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum und $U \subset X$
eine  Teilmenge.
Ein  {\bf Feld von  $p$-Formen auf $U$\index{Differentialform!relative}}
alias eine {\bf $p$-Differentialform}\index{Differentialform}  ist eine Abbildung
$$
\begin{array}{cccc}\omega :&U &\ra& \op{Alt}^{p}\vec{X}\\ 
& x &\mapsto &\omega_{x}
\end{array}$$
Ausgeschrieben ordnet $\omega$ also\label{pdif} 
jedem Punkt $x\in U$ eine alternierende $p$-Multi\-li\-near\-form
$\omega_x:\vec{X}\times\ldots\times \vec{X}\ra\DR$ zu. 
%Den Raum aller  $p$-Formen auf $U$ notieren wir\index{O@$\Omega^p_X(U)$ relative Differentialformen} 
%$$\Omega^p_X(U)$$ 
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] 
In der Differentialgeometrie \eref{difMH}{ML} 
 werden wir  allgemein Differentialformen auf 
abstrakten Mannigfaltigkeiten
erkl"art als Zuordnungen, die jedem Punkt eine alternierende 
Multilinearform auf dem Tangentialraum am entsprechenden Punkt zuordnen.
Im Fall einer eingebetteten Mannigfaltigkeit  $U\subset X$  
positiver Kodimension ist das durchaus etwas
anderes, als jedem Punkt eine alternierende 
Multilinearform auf dem Richtungsraum des umgebenden affinen Raums
zuzuordnen.
Zur Unterscheidung mag man
das hier eingef"uhrte elementarere Konzept   eine  
{\bf  relative Differentialform} nennen und den Begriff aus der
Differentialgeometrie eine {\bf  absolute Differentialform}. 
Jede relative Differentialform
liefert  durch Einschr"ankung eine 
absolute Differentialform.
Diese Feinheiten  werden  erst relevant,
wenn es 
einmal um \glqq de-Rham-Kohomologie\grqq\ und dergleichen geht.
Manchmal redet man auch ganz knapp von einer {\bf $p$-Form} und der Leser
mu"s aus dem Kontext erschlie"sen, ob eine $p$-Differentialform oder vielmehr
ein Element von $\op{Alt}^pV$ gemeint ist. Reden wir etwa von einer {\bf konstanten Form}, so ist stets ein konstantes Formenfeld gemeint.
\end{Bemerkungl}






\begin{Beispiel}
Sei $U$ eine Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen affinen Raums $X$.
Eine $0$-Form auf $U$ ist 
eine Funktion $f: U \ra \Bbb{R}$. Eine
relative $1$-Form auf $U$ ist ein relatives 
 Kovektorfeld  
im Sinne von \ref{FKF}.
\end{Beispiel}


 \begin{Bild} 
 \includegraphics[height=0.5\textheight]{SkriptenBilder/BildZwFF}\\[4mm]
 \noindent Versuch einer graphischen Darstellung der $2$-Form
auf der Papierebene, die in den durch die Koordinatenachsen
gegebenen Koordinaten durch die Formel $xy\diff x\wedge\diff y$ 
dargestellt werden k"onnte. Eingezeichnet ist an jedem Punkt ein geordnetes
Paar von Richtungsvektoren, gestrichelt erg"anzt zu einem
Parallelogramm, und hineingeschrieben der Wert unserer Zweiform auf
diesem geordneten Paar.
Die Anordnung wird hierbei
durch einen kleinen Pfeil vom ersten zum zweiten Vektor angezeigt.
Nat"urlich ist dies Vektorenpaar in keinster Weise eindeutig, 
wir k"onnten dieselbe $2$-Form auch ganz anders darstellen,
die beteiligten Vektoren m"ussen dabei auch keineswegs parallel zu
Koordinatenachsen sein. 
\end{Bild} 
\begin{Beispiel}[\textbf{Anschauung f"ur Differentialformen}] 
In einem dreidimensionalen orientierten reellen
affinen Raum $X$, dessen Richtungsraum  nicht notwendig
mit einem Skalarprodukt versehen ist, bewege sich ein Gas.
Wir halten ein kurzes Zeitintervall fest und 
ordnen jedem Tripel $(p,v,w)\in X\times \vec X\times\vec X$ 
 bestehend aus einem Punkt und
zwei Vektoren, aufgefa"st als \glqq kleine orientierte 
Parallelogrammfl"ache\grqq\ 
alias \glqq orientiertes Fl"achenelement\grqq,  die Zahl der
Gasmolek"ule zu, die in diesem Zeitintervall\label{FluD}  
hindurchtritt, wobei wir 
je nach der Richtung, in der unsere Molek"ule 
hindurchtreten, noch das Negative nehmen: N"amlich dann, wenn
ein und jeder Richtungsvektor $u$ in Richtung des Durchtritts 
zusammen mit $v,w$ eine negativ orientierte angeordnete Basis $(u,v,w)$ 
des Richtungsraums $\vec X$ bildet.
Diese Zuordnung w"are ein schmutziges 
Feld von $2$-Formen. Man nennt es
die {\bf Flu"sdichte}.\index{Flu"sdichte}
Ruht das Gas und ordnen wir jedem Quadrupel bestehend aus einem Punkt und
drei Vektoren, aufgefa"st als \glqq kleines orientiertes Parallelpiped\grqq\ 
alias \glqq orientiertes Volumenelement\grqq\  
die Zahl der darin befindlichen Gasmolek"ule zu, 
gewichtet mit einem Vorzeichen, das von der Orientierung bestimmt wird,
so erhalten wir 
ein schmutziges Feld von $3$-Formen auf unserem affinen Raum. Man nennt es 
die {\bf Dichte} unseres Gases.
W"ahlen wir zus"atzlich auf dem
Richtungsraum unseres affinen Raums ein Skalarprodukt,
so erhalten wir eine Identifikation von Vektorfeldern mit
$2$-Formen, indem wir jedem Vektor $u$ die $2$-Form $(v,w)\mapsto
\op{vol}(u,v,w)$ zuordnen, mit $\op{vol}(u,v,w)$ dem \glqq Volumen\grqq\ 
des Parallelpipeds mit Kanten $u,v,w$ und einem Vorzeichen, 
das von der \glqq Orientierung\grqq\  unseres Tripels abh"angt.
"Ahnlich erhalten wir dann auch eine Identifikation von Funktionen mit
$3$-Formen.
Die M"oglichkeit dieser
 Identifikationen mag ein Grund daf"ur sein, da"s 
Differentialformen der Intuition weniger gut
zug"anglich sind. Es f"allt uns einfach nicht zu, einen
dreidimensionalen Raum ohne Skalarprodukt zu visualisieren, geschweige denn
R"aume h"oherer Dimension: Das beste Beispiel f"ur eine $2$-Form w"are 
dann n"amlich, nach Wahl der dazu n"otigen physikalischen Einheiten,
 das elektromagnetische Feld auf der Raumzeit.  
Um auch in  nichtorthogonalen und eventuell sogar krummlinigen 
Koordinatensystemen Dichten und Flu"sdichten 
anzugeben und mit ihnen zu rechnen, sind unsere Differentialformen 
jedoch in jedem Falle ein geschickter Formalismus.
\end{Beispiel}
\begin{Bild} 
 \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildZwF}\\[4mm]
 \noindent Eine alternative Darstellung derselben Form $xy\diff x\wedge\diff y$
\end{Bild}



\begin{Definition}
Gegeben zwei Differentialformen $\omega
$ und $ \eta  $ 
erkl"aren wir ihr {\bf Dachprodukt} $\omega
\wedge \eta $  als punktweises
Dachprodukt im Sinne von \ref{DaPr}, in Formeln $(\omega
\wedge \eta)_x=\omega_x
\wedge \eta_x$.
F"ur $f $ eine Funktion alias Nullform schreiben wir meist
$f\eta$ statt $f\wedge \eta$.\label{daPP}
Dies Dachprodukt ist auch wieder assoziativ. 
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl}
Ist speziell $X = \Bbb{R}^{n}$ und sind $x_{i} : \Bbb{R}^{n} \ra \Bbb{R}$ die
Koordinatenfunktionen, so l"a"st sich f"ur $U\subset X$ 
nach \ref{BA} jede relative 
$p$-Form $\omega$ auf $U$ schreiben als
$$\omega = \sum_{1\leq i_{1} <
\ldots < i_{p}\leq n} a_{ i_{1} ,\ldots
, i_{p}} \diff x_{i_{1}} \wedge \ldots 
\wedge \diff x_{i_{p}}$$
mit eindeutig bestimmten Funktionen $a_{ i_{1} ,\ldots
, i_{p}}:U\ra\DR$. 
Das Dachprodukt zweier so in Koordinaten 
gegebenen Formen ergibt sich dann leicht mittels der
Regeln $\diff x_i\wedge \diff x_i=0$ und 
$\diff x_i\wedge \diff x_j=-\diff x_j\wedge\diff x_i$.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Die $2$-Form $\diff x\wedge\diff y$ auf dem $\DR^3$ kann man sich
  veranschaulichen als Vorschrift, die \glqq jeder kleinen orientierten
Parallelogrammfl"ache den Fl"acheninhalt ihrer orthogonalen Projektion auf die
$(x,y)$-Ebene zuordnet, mit einem von der 
Orientierung abh"angigen Vorzeichen\grqq.  
\end{Bemerkungl}

\begin{Definition}\label{RHUD}
Gegeben endlichdimensionale
reelle R"aume $X,Y$ und 
eine stetig differenzierbare
Abbildung $\phi :A\ra B$ von einer halboffenen Teilmenge $A\subset X$
in eine Teilmenge $B\subset Y$ und eine Differentialform
$\omega:B\ra \op{Alt}^p \vec Y$ auf $B$ erkl"aren wir die
{\bf zur"uckgeholte Differentialform} 
 $\phi ^{\ast}\omega$ auf $A$ 
durch die 
Vorschrift $$(\phi ^{\ast}\omega)_{x} \pdef
(\tiff _{x}\phi )^{\ttop} (\omega_{\phi (x)})$$
Hier bezeichnet $(\tiff _{x}\phi )^{\ttop}: \op{Alt}^p\vec{Y} 
\ra \op{Alt}^p\vec{X}$ die
vom Differential
$\tiff _{x} \phi  : \vec{X} \ra \vec{Y}  $ von $\phi $ an der Stelle 
$ x \in A$ induzierte Abbildung. 
Alternativ k"onnten wir auch schreiben 
$(\phi ^{\ast}\omega)_{x}(\vec v_1,\ldots,\vec v_p) \pdef\omega_{\phi (x)}
 ((\tiff _{x}\phi) (\vec v_1),\ldots ,(\tiff _{x}\phi) (\vec v_p))
$.
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl}
  Dies Zur"uckholen ist bei der Begrifflichkeit der
Differentialformen die eigentliche Hauptsache.
Das Zur"uckholen von Funktionen alias 
Nullformen mit einer Abbildung ist schlicht das \glqq Vorschalten\grqq\ 
von besagter Abbildung,
in Formeln $\phi^\ast(g)=g\circ f$ f"ur eine Funktion $g:B\ra\DR$.
Das Zur"uckholen von $1$-Formen 
haben wir bereits in \ref{ZHEF} diskutiert. Wir verallgemeinern 
die dort eingef"uhrte\label{vfDF} 
Terminologie auf den vorliegenden Fall und nennen Differentialformen $\eta$
und $\omega$ {\bf verwandt unter $\phi$}\index{verwandt!Differentialformen}
und schreiben 
$\phi:\eta\leadsto\omega$,\index{)4@$\leadsto$ verwandt!Differentialformen}
 wenn gilt $\eta=\phi^\ast(\omega)$.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl} Wir erinnern aus \ref{VFVD}, da"s das Differential Verwandtschaft respektiert, in Formeln  $$\phi^*(\diff f)=\op{d}(f\circ \phi)$$
  f"ur $\phi:U\ra V$ eine differenzierbare Abbildung und $f:V\ra\DR$ eine
  differenzierbare Funktion. Wir werden demn"achst auch f"ur allgemeine
  Differentialformen $\omega$ ihre sogenannte \glqq "au"sere Ableitung\grqq\
  erkl"aren und deren Verwandtschaftsvertr"aglichkeit $\phi^*(\diff \omega)=\op{d}(\phi^*\omega)$ zeigen.
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiel}
Unter der Abbildung $(2\cdot):\DR^2\ra\DR^2$ erhalten wir f"ur das Zur"uckholen
der Standard-Volumenform 
$(2\cdot)^\ast(\diff x\wedge \diff y)=4\diff x\wedge \diff y$. 
In der Tat, denken wir uns schmutzig ein \glqq ebenes Gas\grqq\
 mit vielen einzelnen 
Molek"ulen und expandieren es mit einer Streckung  um den Faktor Zwei,
so verd"unnt es sich um den Faktor Vier. 
Allgemeiner haben wir 
$(2\cdot)^\ast(a(x,y)\diff x\wedge \diff y)=4a(2x,2y)\diff x\wedge \diff y$.
Wir diskutieren demn"achst, wie man das rein for
\end{Beispiel}
\begin{figure}[htbp] 
 \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildVFo}\\[4mm]
 \noindent Versuch einer Veranschaulichung  
der Verwandtschaft 
$(2\cdot): 4\diff x\wedge\diff y\leadsto \diff x\wedge\diff y$.
Man mag sich den Wert an einer Stelle $(a,b)$ 
des Koeffizienten vor $\diff x\wedge\diff y$
als ein Ma"s f"ur die  \glqq Zahl der Molek"ule eines ebenen Gases im
Quader $[a,a+1]\times [b,b+1]$\grqq\ denken. 
\end{figure}

\begin{Lemma}
F"ur das Zur"uckholen  von Differentialformen 
gilt die\label{KeReD} 
Kettenregel,  wir haben genauer und in Formeln ausgedr"uckt
stets $\op{id}^{\ast} = \op{id}$ und
 $$\psi^{\ast} (\phi^\ast\omega) = (\phi\circ \psi)^{\ast}
(\omega) $$
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis] Das folgt mit  der
"ublichen Kettenregel \ref{Kett} sofort aus den Definitionen.
Wir k"onnen die Aussage des Lemmas auch im Sinne von 
\ref{VerT}
dahingehend verstehen, da"s
Verwandtschaft transitiv ist.
\end{proof}

\begin{Lemma}
Verwandtschaft alias das Zur"uckholen  $\phi^{\ast}$ von Differentialformen
ist vertr"aglich mit dem
Dachprodukt, in Formeln gilt also  
$$\phi^{\ast} (\omega \wedge \eta) = \phi^{\ast}
(\omega) \wedge \phi^{\ast} (\eta)$$  
\end{Lemma}
\begin{proof} Das folgt, indem wir die Regel  $L^{\ttop}(\omega\wedge\eta)=(L^{\ttop}\omega)\wedge(L^{\ttop}\eta)$ aus
  \ref{DAFF} f"ur lineare Abbildungen $L$
  punktweise anwenden.
\end{proof}









\begin{Beispiel}[\textbf{Zur"uckholen von 1-Formen}]
  Wir erinnern \ref{ZHeF}.
F"ur $X=\Bbb{R}^n$ mit Koordinaten $x_1, \ldots , x_{n}$ und
$Y = \Bbb{R}^{m}$ mit Koordinaten $y_{1}, \ldots , y_{m}$
und $\phi=(\phi_1,\ldots,\phi_n)$ eine differenzierbare
Abbildung von einer halboffenen Teilmenge von $\DR^m$ in
eine halboffene Teilmenge von $\DR^n$ ergibt sich
$
\phi^{\ast} (\diff x_{i}) = \op{d} (\phi^{\ast} x_{i}) 
=\diff \phi_{i} = \sum_{j}
\frac{\partial \phi_{i}}{\partial y_{j}} \diff y_{j}$.
Folglich kann das Zur"uckholen von $1$-Formen in Koordinaten
beschrieben werden durch die Formel
$$\phi^{\ast} \left(\sum_{i} a_{i}\diff x_{i}\right) =\sum_{i,j} (a_{i}
\circ \phi) \frac{\partial \phi_{i}}{\partial y_{j}}\; \diff y_{j}
$$
\end{Beispiel}


\begin{Beispiel}
Ist $(2\cdot) $ das Verdoppeln 
$(2\cdot) :\Bbb{R}^{2} \ra
\Bbb{R}^{2}$
und haben wir auf $\Bbb{R}^{2}$
die $2$-Form $a(x,y)\diff x\wedge  \diff y$ gegeben, 
so wird sie zur"uckgeholt zu
$$\begin{array}{rcl}
  (2\cdot) ^{\ast}\big(a(x,y)\diff x\wedge  \diff y\big) &=&
  \big((2\cdot) ^{\ast}a\big)(x,y) \big((2\cdot) ^{\ast} \diff x\big)\wedge  \big((2\cdot) ^{\ast} \diff y\big)\\
&=& a(2x,2y)  \op{d} (2x)\wedge   \op{d} (2y)\\
&=& 4a(2x,2y)\diff x\wedge  \diff y
 \end{array}$$
\end{Beispiel}


\begin{Beispiel}
Ist $P $ die Polarkoordinatenabbildung
$$\begin{array}{cccl}P :& \Bbb{R}^{2}& \ra&
\Bbb{R}^{2}\\ &(r,\varphi) &\mapsto &(r \cos \varphi, r \sin \varphi)
\end{array}$$
und haben wir auf $\Bbb{R}^{2}$
die $1$-Form $y \diff x$ gegeben, so wird sie zur"uckgeholt zu
$$\begin{array}{rcl}
P ^{\ast} (y \diff x) &=& P ^{\ast}(y) P ^{\ast} (\diff x)\\
&=& P ^{\ast}(y)  \op{d} (P ^{\ast} x)\\
&=& r \sin \varphi \op{d} (r\cos \varphi)\\
 &=& r \sin \varphi \cos \varphi \;
\diff r - r^{2} \sin^{2}\varphi\;  \diff
 \varphi
 \end{array}$$
F"ur die $2$-Form $\diff x \wedge \diff y$ erhalten wir "ahnlich 
$$\begin{array}{rcl}
P ^{\ast} (\diff x \wedge \diff y) &=& P ^{\ast} 
(\diff x) \wedge P ^{\ast}(\diff y)\\
&=& \op{d} (r \cos \varphi) \wedge \op{d} (r \sin \varphi)\\
&=& (\cos \varphi  \;\diff r - r \sin \varphi  \;\diff \varphi) \wedge
(\sin \varphi \;\diff r + r \cos \varphi  \;\diff \varphi)\\
&=& r \diff r \wedge \diff \varphi
\end{array}$$
Man mag sich letztere Formel   dahingehend veranschaulichen, 
da"s \glqq ein kleines orientiertes Fl"achenelement in der $xy$-Ebene 
unter der Polarkoordinatenabbildung einem entsprechend gr"o"seren oder
auch kleineren orientierten Fl"achenelement in der $r\varphi$-Ebene 
entspricht, je nachdem, in welchem Abstand vom Ursprung unser 
urspr"ungliches Fl"achenelement liegt\grqq. 
\end{Beispiel}
\begin{Satz}[\textbf{Funktionaldeterminante und R"uckzug von Volumenformen}] 
F"ur $A$ halboffen\label{ZHD} 
in $\Bbb{R}^{n}$ und $\phi: A \ra \Bbb{R}^{n}$ 
stetig differenzierbar gilt stets
$$\phi^{\ast} (\diff x_{1} \wedge \ldots \wedge \diff x_{n}) 
= (\det \diff \phi)
\diff x_{1} \wedge \ldots \wedge \diff x_{n}$$
\end{Satz}
\begin{proof}
F"ur jeden Endomorphismus
$L$ eines $n$-dimensionalen 
Vektorraums $V$ ist
die induzierte Abbildung
$L^{\ttop}:\op{Alt}^{n}V\ra \op{Alt}^{n}V $ nach \ref{DDP}
gerade die Multiplikation mit $\det L$. 
\end{proof}











\subsection{Orientierung von Mannigfaltigkeiten}\label{OrM}

\begin{Bemerkungl}
Ich erinnere daran, da"s  nach  
  \eref{OrV}{LA1} eine 
\defnoind{Orientierung}\index{Orientierung!von Vektorraum}
  eines endlichdimensionalen rellen Vektorraums $V$
  eine Vorschrift $\varepsilon $ ist, die jeder angeordneten Basis $B$ unseres
  Vektorraums ein Vorzeichen $\varepsilon (B)\in\{+1,-1\}$ zuordnet und zwar
  so, da"s f"ur je zwei angeordnete Basen $B, B'$ die Determinante der
  Basiswechselmatrix das Vorzeichen $\varepsilon (B)\varepsilon (B')$ hat.
In \eref{OrV}{LA1} werden  in diesem
Zusammenhang noch weitere Begriffsbildungen formal eingef"uhrt, 
deren Bedeutung hier nicht wiederholt werden soll und von denen ich hoffe,
da"s sie sich  weitgehend von selbst verstehen.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
Gegeben $X$ ein endlichdimensionaler  reeller Raum
und $M\subset X$  eine
Mannigfaltigkeit und  $p\in M $ ein Punkt erinnern wir aus \ref{Taka}
ihren Tangentialraum ${\op{T}}_pM\subset\vec X$.
Gegeben $(W,\varphi)$ eine Karte von $M$ gilt f"ur alle
$w\in W$ nach "Ubung \ref{TpK}  die
Identit"at
$${\op{T}}_{\varphi(w)}M=\op{im}(\tiff_w\varphi)$$
\end{Bemerkungl}




  \begin{Definition}
    Eine 
\defnoind{Orientierung\index{Orientierung!von Mannigfaltigkeit} 
einer $k$-Mannigfaltigkeit} 
$M$ ist eine Vorschrift,\label{Orkm} die jedem Punkt  $p\in M$
    eine Orientierung 
 des Tangentialraums ${\op{T}}_p M$ zuordnet
derart, da"s es um jeden Punkt $p\in M$  eine Karte 
 $\varphi:\DR^k\lco W\ra M$ von $M$ 
gibt mit der Eigenschaft, da"s f"ur  $w\in W$ die
 Isomorphismen
$\tiff_w\varphi:\DR^k\sira {\op{T}}_{\varphi(w)} M$  entweder alle
 orientierungserhaltend oder alle orientierungsumkehrend sind.
\end{Definition}
\begin{Beispiel}[\textbf{Orientierungen einer $0$-Mannigfaltigkeit}] 
Die Menge aller Orientierungen einer nulldimensionalen Mannigfaltigkeit $M$
ist in Bijektion zur Menge aller 
Abbildungen $\varepsilon :M\ra\{+1,-1\}$ vermittels der Vorschrift,
die jeder Orientierung und jedem Punkt $p\in M$
das Vorzeichen der angeordneten Basis $\emptyset$ des
Tangentialraums ${\op{T}}_pM$ in Bezug auf unsere Orientierung zuordnet.
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungl}
Sei $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum.  Ein Punkt $p$ einer $k$-Fast\-fal\-tig\-keit $M\subset X$ hei"se
{\bf regul"ar},\index{regul"ar!Punkt von Fastfaltigkeit} 
wenn es eine offene Umgebung $U\co X$ von $p$ gibt derart, da"s
$U\cap M$ eine $k$-Mannigfaltigkeit ist.
%\hyperref[MFEmx]{Integrationskarte} $\varphi:Q\ra M$ 
%von $M$ um $p$ gibt
%mit $p\in \varphi(Q^\circ)$.
Die regul"aren Punkte einer $k$-Fast\-fal\-tig\-keit $M$ bilden
offensichtlich eine $k$-Man\-nig\-fal\-tig\-keit. Wir notieren sie  $$M_{\op{reg}}$$
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}
 Unter   einer 
\defnoind{Orientierung\index{Orientierung!von Fastfaltigkeit} 
einer Fastfaltigkeit} 
verstehen wir eine Orientierung der Mannigfaltigkeit 
ihrer regul"aren Punkte.
Unter einer {\bf orientierten  
Fastfaltigkeit}\index{orientiert!Fastfaltigkeit}  
verstehen wir ein Paar  bestehend aus einer
 Fastfaltigkeit $M$ und
einer Orientierung von $M$.   
\label{rPFf}\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
Ich notiere orientierte Fastfaltigkeiten $M$ oft mit einem Pfeil
 als
 $$\vec{M}$$ Das  ist aber nicht allgemein "ublich.
Eine  Fastfaltigkeit, die mindestens eine Orientierung zul"a"st,
hei"st 
{\bf orientierbar}.\index{orientierbar!Fastfaltigkeit} 
Das \glqq M"obiusband\grqq, das in der schmutzigen Wirklichkeit
entsteht, wenn man einen Papierstreifen einmal verdrillt zu einem
Ring verklebt,  ist ein Beispiel f"ur eine  nicht orientierbare
$2$-Fastfaltigkeit in $\DR^3$.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Inkonsistenzen der Notation}] 
Den Pfeil "uber einem Symbol benutze ich auch
als Notation f"ur den Richtungsraum eines affinen Raums.
Was im Einzelfall
gemeint ist, mu"s der Leser aus dem Kontext erschlie"sen.
\end{Bemerkungl}

\begin{Definition}
Wir sagen, eine Integrationskarte $(Q,\varphi)$ einer orientierten 
Fastfaltigkeit $M$ {\bf habe die Orientierung} $\varepsilon$ 
f"ur $\varepsilon \in
\{+1,-1\}$,\label{OK}  
wenn f"ur jeden Punkt $w\in Q^\circ$ das Bild der Standardbasis mit
ihrer Standardanordnung 
unter dem Isomorphismus 
$\tiff_w\varphi:\DR^k\sira {\op{T}}_{\varphi(w)}M_{\op{reg}}$ 
die Orientierung $\varepsilon$ hat.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
Integrationskarten einer orientierten Fastfaltigkeit, deren Definitionsbereich nicht zusammenh"angend ist, haben im
allgemeinen keine Orientierung.
Eine Integrationskarte der Orientierung $+1$ 
nennen wir {\bf orientierungsvertr"aglich}.\index{orientierungsvertr"aglich}
\end{Bemerkungl}

\subsubsection*{"Ubungen}


\begin{Ubung}
Jede orientierbare zusammenh"angende Mannigfaltigkeit $M$ besitzt genau
zwei Orientierungen. Hinweis: Gegeben zwei Orientierungen 
ist die Menge aller Punkte $p$, an denen sie dieselbe Orientierung
von ${\op{T}}_pM$ liefern, ebenso offen wie die Menge aller Punkte $p$,
an denen sie verschiedene Orientierungen
von ${\op{T}}_pM$ liefern. Nun verwende man \ref{WZTT}.
\end{Ubung}








\subsection{Integration von Differentialformen}




\begin{Definition}
Gegeben eine Fast\-fal\-tig\-keit  $M$
 in einem endlichdimensionalen reellen
Raum $X$ und $k\geq 0$ 
bezeichne $\mathcal C_!\Omega^k(M)=\mathcal C_!\Omega^k_{\subset X}(M)$ 
den reellen Vektorraum aller
stetigen relativen $k$-Formen auf $M$ mit \hyperref[Trae]{kompaktem Tr\"ager}.
\end{Definition}

\begin{Bemerkungw}
Schon bei der  folgenden Definition der Integration
einer Differentialform "uber eine Mannigfaltigkeit kommt
es eigentlich nur darauf an, welche Werte unsere 
Form an jeder Stelle  auf Tupeln von Tangentialvektoren an
unsere Mannigfaltigkeit am entsprechenden Punkt annimmt. 
In der Differentialgeometrie wird eine Differentialform
auf einer abstrakten Mannigfaltigkeit sogar definiert als eine
Vorschrift, die jedem Punkt unserer Mannigfaltigkeit
eine alternierende Multilinearform auf
seinem Tangentialraum zuordnet. So weit will ich aber hier nicht gehen,
da f"ur diese Art von Formen schon die blo"se Definition der Stetigkeit 
die Entwicklung zus"atzlicher Begrifflichkeiten notwendig macht.     
\end{Bemerkungw}







\begin{Satz}[\textbf{Integration  von Differentialformen}]
Gegeben 
 eine orientierte $k$-Fast\-fal\-tig\-keit $M$ 
in einem endlichdimensionalen reellen
Raum gibt es genau eine Linearform\label{IiIt}  
$\int:\mathcal C_!\Omega^k(M)\ra\DR$ 
mit der Eigenschaft, da"s f"ur jede 
\hyperref[MFEmx]{Integrationskarte} 
$\varphi:Q\ra M$ der Orientierung $\varepsilon$ 
und jede kompakt getragene $k$-Form $\omega$ mit Tr"ager im Bild
dieser Karte $\op{supp}\omega\subset \varphi(Q)$  
gilt 
$$\int_{\vec M}\omega=
\varepsilon\int_Q(\varphi^\ast\omega)(\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k)\diff^kx$$
\end{Satz}


\begin{Bemerkungl}
 F"ur die Form $\varphi^\ast\omega=\eta= f dx_1\wedge\ldots\wedge dx_k$ ist 
$(\varphi^\ast\omega)(\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k)=\eta(\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k)$  
per definitionem genau\label{OTm}
 die Funktion $f$.
Das Integral auf der rechten Seite ist hier
als Quaderintegral im Sinne
von \ref{RiMV}  
zu verstehen, beziehungsweise als die Summe endlich vieler solcher
Quaderintegrale, wenn der Definitionsbereich unserer Integrationskarte aus mehreren Quadern bestehen sollte.
Ist unsere Fastfaltigkeit $M$ bereits selbst  ein
kompakter Quader mit nichtleerem Inneren
$Q=[a_1,b_1]\times\ldots\times [a_k,b_k]\subset \DR^k$ 
und
$\eta= f dx_1\wedge\ldots\wedge dx_k$ eine stetige Differentialform auf
$Q$  und geben wir $Q$ die von
der Standardorientierung des $\DR^k$ induzierte Orientierung, 
so k"onnen wir die Identit"at als Integrationskarte nehmen
und unsere Definitionen liefern
$$
\int_{\vec Q}f dx_1\wedge\ldots\wedge dx_k=
\int_{Q}f(x) \diff^kx
=\int_{a_k}^{b_k}\ldots \int_{a_1}^{b_1} f(x_1,\ldots,x_k) 
\diff x_1\ldots \diff x_k
$$
Gegeben $\varphi:Q\ra M$ eine Integrationskarte der Orientierung $\varepsilon$ einer
orientierten Fastfaltigkeit $\vec M$ und eine stetige $p$-Form auf $M$
mit Tr"ager in $\varphi(Q)$ und $\vec Q$ der Definitionsbereich unserer
Integrationskarte mit seiner 
Standardorientierung 
gilt also insbesondere 
$$\int_{\vec M}\omega=
\varepsilon\int_{\vec Q}\varphi^\ast\omega$$
\end{Bemerkungl}

\begin{proof}
Wir beginnen mit der Eindeutigkeit. 
Sei $\omega\in\mathcal C_!\Omega^k(M)$ gegeben.  Wir  finden eine endliche "Uberdeckung
von  $\op{supp}\omega$ durch die Inneren von Bildern
 von Integrationskarten 
$\op{Inn}_M(\varphi_i(Q_i))$ der 
Orientierungen $\varepsilon_i$ und nach \ref{TEL}
eine an diese "Uberdeckung angepa"ste 
 Teilung der
Eins, also stetige Funktionen $\alpha_i\in\mathcal C_!(M,\DR)$
mit Tr"ager $\op{supp}\alpha_i\subset \varphi_i(Q_i)$ und $\sum_i \alpha_i(x)=1$
f"ur alle $x\in \op{supp}\omega$.  Dann haben wir
$\omega=\sum_i\alpha_i\omega$. Wenn  also "uberhaupt eine lineare Abbildung
mit den geforderten Eigenschaften existiert, so mu"s gelten
$$\int_{\vec M}\omega=\sum_i\int_{\vec M}\alpha_i\omega
=\sum_i\varepsilon_i\int_{Q_i}
(\varphi_i^\ast(\alpha_i\omega))(\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k)\diff^kx$$
Das ganze Problem ist zu zeigen, da"s die rechte Seite nicht von
den  Integra\-tions\-karten und der Teilung der Eins abh"angt. 
Das geht wie bei unserer Diskussion \ref{IUMac}
der Integration von Funktionen mit
kompaktem Tr"ager "uber Fastfaltigkeiten
\ref{IUMac} in $\DR^n$.
Genau wie dort zieht man sich darauf zur"uck, f"ur je
zwei Integrationskarten $(Q,\varphi)$ und $(P,\psi)$
der Orientierungen $\varepsilon$ und $\eta$ 
und f"ur $\omega$ mit Tr"ager $\op{supp}\omega\subset
\varphi(Q)\cap \psi(P)$ die Gleichheit 
$$\varepsilon\int_{Q}
(\varphi^\ast\omega)(\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k)=\eta\int_{P}
(\psi^\ast\omega)(\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k)$$
zu zeigen.
Wie dort findet man Zerlegungen
$Q=A\sqcup S\sqcup U$ und $P=B\sqcup T\sqcup V$ mit $A,U\co Q$ und
$B,V\co P$ und Nullmengen $S,T$ derart,
da"s unsere Gleichheit die Gleichheit von Integralen
stetiger Funktionen $g:Q\ra \DR$ und $h:P\ra \DR$ behauptet mit
$g|_A=0$ und $h|_B=0$, f"ur die es einen $\mathcal C^1$-Diffeomorphismus
$\kappa:U\cap Q^\circ \sira V\cap P^\circ$ gibt mit $$\varepsilon g=\eta (h\circ\kappa)|\!\det \tiff\kappa|$$
Die Herleitung dieser Formel besprechen wir gleich noch genauer. Von dort ausgehend kommt man
dann genau wie in \ref{IUMac} zum Ziel, entweder ganz bequem mit Lebesgue'scher Integrationstheorie oder sozusagen zu Fu"s mit etwas mehr Aufwand.  
Besprechen wir also den Kartenwechsel $\kappa$  genauer.
Per definitionem induzieren unsere Integrationskarten $\varphi,\psi$ Bijektionen
$$U\cap Q^\circ \sira \varphi(Q^\circ)\cap \psi(P^\circ) \sila V\cap P^\circ$$
und beide sind Karten der Mannigfaltigkeit $\varphi(Q^\circ)\cap \psi(P^\circ)$.
Der Kartenwechsel ist nach \ref{KaWe}  ein Diffeomorphismus 
$\kappa\pdef\psi^{-1}\circ \varphi$  mit 
$\psi\circ \kappa=\varphi$. 
Nach \ref{KeReD} folgt $\kappa^\ast\psi^\ast\omega =\varphi^\ast\omega$.
F"ur
$g\pdef (\varphi^\ast\omega) (\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k)$
gilt per definitionem
$\varphi^\ast\omega=g dx_1\wedge\ldots\wedge dx_k$.
F"ur
$h\pdef (\psi^\ast\omega) (\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k)$
gilt ebenso 
$\psi^\ast\omega=h dx_1\wedge\ldots\wedge dx_k$.
Mit dr Formel \ref{ZHD} f"ur den R"uckzug von Volumenformen
im letzten Schritt folgt nun 
$$\begin{array}{lll}
g dx_1\wedge\ldots\wedge dx_k&=&
\kappa^\ast(h dx_1\wedge\ldots\wedge dx_k)\\
&=&(h\circ \kappa)\kappa^\ast(dx_1\wedge\ldots\wedge dx_k)\\
&=&(h\circ \kappa)\op{det}(\tiff \kappa)dx_1\wedge\ldots\wedge dx_k
\end{array}
$$
alias $g=(h\circ \kappa)\op{det}(\tiff \kappa)$. 
Die Vertr"aglichkeiten der jeweiligen  Orientierungen mit
den Karten zeigen aber $\varepsilon \det\!\tiff\kappa=\eta|\!\det\tiff \kappa|$
und wir erhalten wie behauptet
$\varepsilon g=\eta(h\circ \kappa)|\!\det\tiff \kappa|$. 
\end{proof}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Riemannsummen f"ur Differentialformen}]
Um  die Integration von Differentialformen anschaulich zu machen,
 erkl"are ich ihre Interpretation durch Riemannsummen.
Sei dazu 
 $Q \pdef [a,b] \times [c,d]$ ein kompaktes Rechteck und
$\varphi:Q\ra X$ eine Integrationskarte
in einen endlichdimensionalen reellen Raum 
und  $\omega: \varphi(Q) \ra \op{Alt}^2(\vec{X})$
eine stetige  $2$-Form auf $\varphi(Q)$.
Wir betrachten f"ur $r \geq 1$ die "aquidistanten Unterteilungen
$
a = a_{0} <  a_{1} < \ldots  < a_{r} = b$ sowie $
c = c_{0} <  c_{1} < \ldots   < c_{r} = d
$ der Kanten von $Q$ und
bezeichnen mit $q_{i,j}=(a_{i},c_{j})$ die Gitterpunkte
im so gegebenen Raster auf $Q$. Bezeichne weiter
 $p_{i,j} =\varphi(q_{i,j})$ die
Bilder dieser Gitterpunkte unter
$\varphi$. Damit erkl"aren wir die $r$-te {\bf
Riemannsumme}\index{Riemannsumme!f"ur Integral einer Volumenform}
$S^{r}_{\varphi} (\omega)$
durch die Formel\label{ASID} \begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[height=0.8\textheight]{SkriptenBilder/BildFi}\\[4mm]
\noindent 
Die gepunktelten Pfeile stellen die Vektoren $p_{3,0}-p_{2,0}$ und
$p_{2,1}-p_{2,0}$ dar, der  Wert von $\omega_{p_{2,0}}$
auf diesem Paar von Vektoren, genommen  in einer 
durch die Orientierung gegebenen
Reihenfolge, geht 
in die Riemannsumme $S_{\varphi}^3$ ein.
\end{figure} 
$$S^{r}_{\varphi} (\omega) = \sum^{r-1}_{i,j =0}  \omega_{p_{i,j}} (p_{i+1,j}
- p_{i,j},p_{i,j+1} - p_{i,j})$$
Wir k"onnen nun das Integral von $\omega$ "uber $\varphi(Q)$ 
mit der Orientierung, f"ur die $\varphi$ eine orientierte Integrationskarte ist,
anschaulich verstehen als
den Grenzwert
$$\int_{\varphi(Q)} \omega = \lim_{r \ra \infty} S_{\varphi}^{r} (\omega)$$  
Den Beweis dieser Tatsache
entlang der Grundlinie des Beweises von
\ref{RSIn}  "uberlassen wir dem Leser zur "Ubung.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Sinnhaftigkeit der 
Integration alternierender Formen}]
Unter der Voraussetzung einer auf einem Quadrat definierten Integrationskarte,
in Formeln $b-a=d-c$, 
betrachten wir nun die Spiegelung $\tau$ an der Hauptdiagonalen
und die neue Integrationskarte $\varphi\circ\tau$. Sie ist negativ orientiert 
und ihre Riemannsummen sind dieselben wie die Riemannsummen von
eben, wenn man nur in jedem Summanden 
den ersten und den zweiten Eintrag der
bilinearen Abbildung $\omega$  vertauscht und
das von der negativen Orientierung der Integrationskarte
herr"uhrende Vorzeichen ber"ucksichtigt. Ist also
$\omega$ alternierend, so liefert unsere neue Integrationskarte 
dieselben
Riemannsummen und 
dasselbe Integral. Das soll die in unserem Satz
enthaltene Aussage veranschaulichen, da"s das Integral einer 
alternierenden Form unabh"angig ist von den
zur Berechnung gew"ahlten Integrationskarten.
\end{Bemerkungl}



\begin{Beispiel}[\textbf{Integral "uber eine Hemisph"are}] 
Wir berechnen das Integral der $2$-Form $x^2\diff x \wedge \diff y$ "uber
die\label{BI11} 
obere Hemisph"are $H \pdef \{ (x,y,z) \mid x^2 +y^2 +z^2 = 1, 
\; z \geq 0\}$ mit der Orientierung, f"ur die die 
beiden ersten Vektoren $\op{e}_1, \op{e}_2$ der Standardbasis 
des $\Bbb{R}^3$ in dieser Reihenfolge eine orientierte 
Basis des Tangentialraums am Pol ${\op{T}}_{(0,0,1)}H$ bilden. 
Wir betrachten das  Rechteck
 $R \pdef [0,\pi]\times [0,\pi]\subset \DR^2$ und
die orientierte Integrationskarte  $\phi:R\rightarrow H$ gegeben durch die Formeln 
$(\vartheta,\varphi) \mapsto (\cos \vartheta,\cos \varphi \sin \vartheta, 
\sin \varphi \sin \vartheta)$, anschaulich gesprochen eine \glqq liegende Version\grqq\ 
unserer
Kugelkoordinaten aus \ref{KuKo},
und erhalten
\begin{displaymath}
\begin{array}{ccl}
\int_{\vec{H}} x^2 \diff x \wedge \diff y &=&
\int_{\vec{R}}  \cos^2 \vartheta
\op{d}   ( \cos \vartheta) \wedge 
\op{d}  (\cos \varphi \sin \vartheta)\\[2mm]
&=& \int_{\vec{R}}  \cos^2 \vartheta ( -\sin  \vartheta  \diff  \vartheta ) \wedge (\cos \varphi \cos
\vartheta \diff  \vartheta - \sin \varphi \sin \vartheta \diff \varphi)\\[2mm]
&=& \int_{\vec{R}} \cos^2\vartheta \sin^2\vartheta \sin\varphi \diff  \vartheta\wedge  \diff \varphi \\[2mm]
&=& \int_{R} \cos^2\vartheta \sin^2\vartheta \sin\varphi \diff
\vartheta  \diff \varphi \\[2mm]
&=&\int_0^{\pi} \int_0^{\pi}\cos^2\vartheta \sin^2\vartheta \sin\varphi
  \diff \vartheta\diff \varphi\\[2mm]
&=&\frac{1}{4}\int_0^{\pi} \sin^2(2\vartheta)
  \diff \vartheta\int_0^{\pi} \sin\varphi
  \diff \varphi=\frac{1}{2}\int_0^{\pi}\frac{1}{2}- \frac{\cos 4\vartheta}{2}
  \diff \vartheta=\frac{\pi}{4}
\end{array}
\end{displaymath}
Hier ist der erste Schritt im wesentlichen die Definition \ref{OTm}
mitsamt dem Vertauschen vom Zur"uckholen mit Dachprodukt und
Differential  \ref{VFVD},
der Zweite die Formel \ref{DiFF} f"ur das Differential
einer Funktion, der Dritte beruht auf dem Alternieren und der 
Bilinearit"at des Dachprodukts, und der Vierte ist nocheinmal im wesentlichen die Definition 
\ref{IiIt}. 
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungl}
Die Integrale von Differentialformen "uber 
orientierte  Fastfaltigkeiten
der Dimensionen $0$ oder $1$ sowie 
 der Kodimensionen $0$ oder $1$  in einem $\DR^n$
trifft man oft in anderen Gestalten an, die
den Formalismus der Differentialformen vermeiden.\label{diIkf} 
Besonders wichtig sind in diesem Zusammenhang die F"alle mit $n\leq 3$.
\end{Bemerkungl}



\begin{Beispiel}[\textbf{Summation als Differentialformenintegral}]
Im Fall einer  nulldimensionalen Fastfaltigkeit\label{DisM} 
$M$ alias diskreten Teilmenge 
ist eine  Nullform  eine Funktion und eine Nullform mit kompaktem Tr"ager
eine Funktion, die nur an endlich vielen Stellen von Null verschiedene Werte
annimmt. Unser Integral ist dann 
die Summe  der
Funktionswerte multipliziert mit den durch
die  auf $M$ gew"ahlte Orientierung $\varepsilon$ bestimmten 
Vorzeichen $\varepsilon_p$, in Formeln
$$\int_{\vec{M}} f=\sum_{p\in M}\varepsilon_p f(p)$$
\end{Beispiel}

\begin{Beispiel}[\textbf{Funktionenintegral als 
Differentialformenintegral}]
 F"ur eine stetige $n$-Form $ f dx_1\wedge\ldots\wedge dx_n$ 
mit kompaktem Tr"ager auf einer 
$n$-Fastfaltigkeit $M\subset \DR^n$ mit der von
der Standardorientierung des $\DR^n$ induzierten Orientierung
liefern unsere Definitionen
$$
\int_{\vec M} f dx_1\wedge\ldots\wedge dx_k=\int_{M}f(x)  \diff^kx
$$
Das Integral der Funktion $f$ rechts ist dabei 
im Sinne von \ref{IUMac} oder f"ur hinreichend vorgebildete 
Leser auch als das Lebesgue-Integral der integrierbaren 
Funktion $f$ "uber die me"sbare Teilmenge 
$M\subset\DR^n$ zu verstehen. Ein typisches Beispiel f"ur eine $3$-Fastfaltigkeit in $\DR^3$ w"are etwa
eine massive Halbkugel $M\subset\DR^3$. 
\end{Beispiel}

\begin{Beispiel}[\textbf{Wegintegral als Differentialformenintegral}]
Gegeben eine orientierte $1$-Fastfaltigkeit $M$ 
und eine surjektive orientierungsvertr"agliche Integrationskarte
$\varphi:[a,b]\sra M$
f"allt das Integral einer $1$-Form $\omega$ "uber $M$
zusammen mit
dem Wegintegral der $1$-Form $\omega$ "uber den Weg $\varphi$,
denn beide fallen zusammen mit
 dem Integral der zur"uckgeholten
$1$-Form $\varphi^\ast\omega$ "uber die 
in der offensichtlichen Weise orientierte Fastfaltigkeit 
$[a,b]$, in Formeln $$\int_{\vec{M}} \omega=\Wint_a^b \varphi^\ast\omega=\Wint_\varphi \omega$$
Ist speziell unsere Fastfaltigkeit in den $\DR^n$ eingebettet, so
hat unsere $1$-Form $\omega$\label{Kurv} 
 die Gestalt 
$\omega=\omega_1\diff x_1+\ldots +\omega_n\diff x_n$ und unser Wegintegral wird 
von Anwendern meist geschrieben als das Wegintegral
des Vektorfelds $v=\hat s^{-1}(\omega)=(\omega_1,\ldots,\omega_n)^\ttop$ 
l"angs $\varphi$, in Formeln
$$\int_{\vec{M}} \omega=\Wint_\varphi \omega
=\int_a^b \langle v,\diff\varphi\rangle=\int_a^b  v\cdot\diff\varphi$$
\end{Beispiel}


\begin{Bemerkungw}\label{HyFl}
Die Interpretation der Integration von Differentialformen
"uber orientierte Hyperfl"achen in $\DR^{n+1}$ als \glqq Flu"s\grqq\
 ben"otigt von den
hier explizit behandelten F"allen den gr"o"sten begrifflichen Aufwand
und wird uns bis zum Ende dieses Abschnitts besch"aftigen.
\end{Bemerkungw}

\begin{Definition}\label{ONFf}
Ist  $M\subset \DR^{n+1}$ eine \hyperref[Rand]{Hyperfl\"{a}che}, 
so gibt es zu jedem Punkt 
$p\in M$ genau zwei Vektoren der L"ange Eins in $\DR^{n+1}$, die auf dem
Tangentialraum ${\op{T}}_pM$ senkrecht stehen. 
Ist $M$ dar"uber hinaus orientiert, so hat genau ein Vektor $N_p$
von diesen beiden die Eigenschaft, da"s f"ur jede 
angeordnete Basis $(v_1,\ldots,v_n)$ von ${\op{T}}_pM$ der Orientierung 
$\varepsilon$  die Standardorientierung 
der angeordneten Basis $(N_p,v_1,\ldots,v_n)$ des $\DR^{n+1}$
auch $\varepsilon$ ist.
Wir erhalten so eine 
stetige Abbildung,  das
\defnoind{orientierte Normalenfeld}\index{Normalenfeld!orientiertes} 
$$
\begin{array}{cccc}
N:&M&\ra&\DR^{n+1}\\
&p&\mapsto&N_p
\end{array}
$$ 
\end{Definition}


\begin{Bemerkungl}
Wir indizieren nun die Koordinaten auf dem $\DR^{n+1}$ etwas un"ublich
als $x_0,x_1,\ldots ,x_n$
und\label{VFF} 
ordnen jedem Vektor $F\in\DR^{n+1}$ eine
alternierende Multili\-near\-form 
$\omega_F\in\op{Alt}^{n}(\DR^{n+1})$ zu durch die Vorschrift
$$\omega_F(v_1,\ldots,v_{n})\pdef \op{det}(F|v_1|\ldots|v_{n})$$
Rechts ist hier die Matrix mit den entsprechenden 
Spaltenvektoren zu verstehen.
In derselben Weise ordnen wir auch jedem Vektorfeld $F$ 
auf  $\DR^{n+1}$ eine $n$-Form $\omega_F$ zu und erkennen 
durch das Auswerten auf Tupeln der Standardbasis, da"s 
sie geschrieben werden kann
in der Gestalt 
$$\omega_F = \sum^{n}_{i=0}
(-1)^{i} F_{i}\; \diff x_{0} \wedge \ldots \wedge \widehat{\diff x}_{i} \wedge
\ldots \wedge \diff x_{n}$$
Wir nennen $\omega_F$\index{o@$\omega_F$ Differentialform zu Vektorfeld}
die {\bf zu unserem Vektorfeld geh"orige $n$-Form}. 
Im $\DR^3$ entspricht speziell einem Vektorfeld $F=(F_x,F_y,F_z)$
die $2$-Form
$$\omega_F= F_x \diff y\wedge \diff z +F_y \diff z\wedge \diff x +F_z \diff x\wedge \diff y$$
Die unteren Indizes  d"urfen dabei 
nicht als partielle Ableitungen mi"sverstanden
werden, sondern  meinen vielmehr die Komponenten unseres Vektorfelds,
die wir auch $F_1,F_2,F_3$ oder in unserer
aktuellen Indizierung  $F_0,F_1,F_2$  h"atten notieren k"onnen.
Im $\DR^2$ hatten wir $\omega_F$ bereits in \ref{Fl} kennengelernt. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Proposition}[\textbf{Flu"s als Differentialformenintegral}]
Seien $M\subset \DR^{n+1}$ eine orientierte Hyperfl"ache, $F:M\ra\DR^{n+1}$
ein stetiges relatives Vektorfeld 
auf  $M$ mit kompaktem Tr"ager und
$N$ das orientierte Normalenfeld auf $M$. So 
gilt f"ur
die zu unserem Vektorfeld $F$ geh"orige $n$-Form $\omega_F$
\label{FIF}  
die Identit"at
$$\int_{\vec{M}}\omega_F  =\int_M\langle F,N \rangle  
=\int_M  F\!\cdot\! N  $$
\end{Proposition}
\begin{Bemerkungl}\label{VFDF}
Die Mitte und die rechte Seite unterscheiden sich hier nur in 
der Notation f"ur das Skalarprodukt und sind als 
Fl"achenintegrale im Sinne von
\ref{IUMa} zu verstehen.
Die rechte Seite  hei"st der {\bf Flu"s des
Vektorfelds $F$ durch die orientierte 
Hyperfl"ache $M$}.\index{Flu"s!eines Vektorfelds durch eine Hyperfl"ache} 
Dies Oberfl"achenintegral mag
der Anschauung besser zug"anglich sein
als unser Integral "uber eine Differentialform.
F"ur das explizite Rechnen ist 
die Darstellung als Integral einer
Differentialform im allgemeinen g"unstiger.  
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}[\textbf{Integration einer Flu"sdichte}] 
  Ist $X$ ein dreidimensionaler orientierter reeller affiner Raum und
$M\subset X$ eine zweidimensionale\label{Fluddd} 
orientierte  Mannigfaltigkeit alias Fl"ache und $\omega$ die $2$-Form der Flu"sdichte 
eines bewegten Gases wie in \ref{FluD}, so 
beschreibt das Integral von $\omega$ "uber $M$
die Gesamtmasse an Gas, die im gegebenen Zeitintervall 
in einer durch die Orientierung bestimmten Richtung durch 
unsere Fl"ache $M$ hindurchtritt.
Gas, das in der Gegenrichtung durch unsere Fl"ache tritt, schl"agt dabei
negativ zu Buche. 
\end{Beispiel}
\begin{proof}[Beweis] 
Wir d"urfen ohne Beschr"ankung der
Allgemeinheit annehmen, da"s  es  Karte $\varphi:W\ra M$ der Orientierung
$\varepsilon$ gibt mit $(\op{supp}F)\cap M\subset \varphi(W)$.
Der "Ubersichtlichkeit halber schreiben wir unser Vektorfeld $F$ in
der Form
$p\mapsto F_p$, wobei der Index ungl"ucklicherweise eine
v"ollig andere Bedeutung hat als in \ref{VFF}.
Wir zerlegen nun unser Vektorfeld $F$ 
an jedem Punkt $p\in M$ in einen orthogonalen 
und einen tangentialen Anteil  als
$F_p = \langle F_p , N_p\rangle N_p + R_p$ mit
$R_p \in {\op{T}}_{p} M$ und 
finden f"ur alle $x\in W$  
$$
\begin{array}{ccl}
(\varphi^\ast\omega)_x(\op{e}_1,\ldots,\op{e}_n)&=&
\omega_{\varphi(x)}(\tiff_x\varphi(\op{e}_1), 
\ldots,\tiff_x\varphi(\op{e}_n))\\[2mm]
&=&\op{det}(F_{\varphi(x)}|[\tiff_x\varphi])\\[2mm]
&=&
\langle F_{\varphi(x)} , N_{\varphi(x)}\rangle
\op{det}(N_{\varphi(x)}|[\tiff_x\varphi])\\[2mm]
&=&
\langle F_{\varphi(x)} , N_{\varphi(x)}\rangle
\op{vol}(\tiff_x\varphi)
\end{array}$$
In der zweiten Zeile  ist die quadratische Matrix gemeint, die aus 
der Jacobi-Matrix  $[\tiff_x\varphi]$ entsteht durch Anf"ugen des Vektors
$F_{\varphi(x)}$ als erste Spalte. F"ur die dritte Gleichheit verwenden wir
unseres Zerlegung $F_p = \langle F_p , N_p\rangle N_p + R_p$ mit
$R_p \in {\op{T}}_{p} M=\op{im}(\tiff_x\varphi)$ und 
da"s eine quadratische Matrix mit linear abh"angigen Spalten 
die Determinante Null hat. F"ur die vierte Gleichheit verwenden wir
unsere erste Formel
aus \ref{vOL} f"ur Gram'sche Determinanten.
Die Gleichheit der beiden Integrale 
folgt nun aus den Definitionen.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Fl"usse durch Fastfaltigkeiten}]  
  Im Fall einer orientierten  $n$-Fastfaltigkeit im $\DR^{n+1}$ wie etwa
  die Oberfl"ache eines W"urfels in $\DR^3$  
  ist der orientierte Normalenvektor nicht mehr in allen Punkten sinnvoll
  definiert, aber das Differentialformenintegral ist immer noch sinnvoll
  erkl"art. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiel}[\textbf{Flu"s durch eine Hemisph"are}] 
  Anschaulich kann man unser Integral aus \ref{BI11}
also auch als den Flu"s durch die obere
  Hemisph"are des senkrechten Vektorfelds $x^2 \op{e}_3$ verstehen. 
 In der Notation von dort h"atten
  wir etwa
  \begin{equation*}
    \int_{\vec{H}} x^2 \diff x \wedge \diff y 
    = \int_H x^2 \op{e}_3 \cdot N 
  \end{equation*}
  Hier meint  $N$ das
  \glqq nach au"sen weisende Normalenfeld\grqq, das in unserem Fall auch das
  \glqq orientierte Normalenfeld\grqq\  nach \ref{ONFf} ist.  Zur Probe rechne ich hier
  die rechte Seite auch noch direkt aus. Auf der Einheitssph"are stimmen ja
  der Ortsvektor und der nach au"sen weisende Normalenvektor "uberein, so da"s
  der R"uckzug der Funktion $x^2 \op{e}_3 \cdot N$ bez"uglich unserer Karte
  $\phi:R\rightarrow H$ die Funktion $\cos^2 \vartheta \sin \varphi \sin
  \vartheta$ ist.  Um das Fl"achenintegral rechts zu bestimmen, gilt es die
  Gram'sche Matrix zu berechnen. In unserem Fall haben wir
  \begin{displaymath}
    \begin{array}{ccc}
      \tiff \phi &=& \begin{pmatrix}
        -\sin \varphi &0\\
        \cos\varphi \cos \vartheta & -\sin \varphi \sin \vartheta\\
        \sin  \varphi \cos \vartheta & \;\;\cos \varphi \sin \vartheta
      \end{pmatrix}
    \end{array}
  \end{displaymath}
  und die Matrix der Skalarprodukte der Spaltenvektoren ergibt sich zu
  \begin{displaymath}
    \begin{array}{ccc}
      (\tiff \phi)^\ttop \tiff \phi &=& \begin{pmatrix}
        1 & 0\\
        0 & \sin^2 \varphi
      \end{pmatrix}
    \end{array}
  \end{displaymath}
  und die Wurzel aus deren Determinante zu $\sin \vartheta$, so da"s wir bei
  demselben Doppelintegral "uber $\cos^2 \vartheta \sin^2 \vartheta \sin
  \varphi$ landen wie in \ref{BI11}.
\end{Beispiel}
\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}
  Berechnen Sie das Integral der $2$-Form $x dy\wedge dz + y dx\wedge dz$ "uber den Zylinder $\{(x,y,z)\mid x^2+y^2=1, z\in[0,1]\}$ mit einer Orientierung
  ihrer Wahl. 
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
  Berechnen Sie den Flu"s des Vektorfelds $F:(x,y,z)\mapsto (x,0,0)$
durch die Einheitssph"are, die Sie dazu mit einer Orientierung ihrer 
Wahl versehen m"ogen. 
\end{Ubung}
\begin{Ubung}[\textbf{Verwandtschaftsvertr"aglichkeit des Integrals}]
  Seien zwei Tripel $M\subset A\subset X$ und $N\subset B\subset Y$ gegeben
  bestehend aus  endlichdimensionalen reellen R"aumen $X,Y$ und halboffenen
  Teilmengen $A,B$ und in diesen halboffenen Teilmengen enthaltenen
  $k$-Fastfaltigkeiten $M,N$. Sei $\phi: A\ra B$ eine $\mathcal C^1$-Abbildung,
  die einen Hom"oomorphismus $M\sira N$ induziert sowie Isomorphismen
  ${\op{T}}_pM\sira {\op{T}}_{\phi(p)}N$. Seien $M$ und $N$ darunter mit vertr"aglichen Orientierungen versehen. So gilt f"ur jede
  stetige $k$-Form $\omega$ auf $B$, deren Tr"ager $N$ in einem Kompaktum trifft, die Identit"at
  $$\int_{\vec M}\phi^*\omega=\int_{\vec N}\omega$$
\end{Ubung}
\begin{Ubung}[\textbf{Flu"s durch einen ebenen Weg und Wegintegral}]
  Berechnen sie den Flu"s des radialen Vektorfelds $v:(x,y)\mapsto (x,y)$
  durch den im Gegenuhrzeigersinn orientierten Einheitskreis und ebenso
  das Wegintegral desselben Vektorfelds l"angs derselben orientierten
  $1$-Mannigfaltigkeit. Was sind die zugeh"origen Integrale von
  Differentialformen?
\end{Ubung}
\begin{Ubunge}[\textbf{Integral eines "au"seren Produkts}]
   Seien  $M\subset X$ und $N\subset Y$ jeweils eine Fastfaltigkeit
   in einem  endlichdimensionalen reellen Raum. So gilt
   $(M\times N)_{\op{reg}}=M_{\op{reg}}\times N_{\op{reg}}$ und gegeben
   je eine Orientierung von $M$ und von $N$ erhalten wir die 
   {\bf Produktorientierung} auf $M\times N$ durch die Vorschrift, da"s
    wir gegeben regul"are Punkte $p\in M$ und $q\in N$ jeweils diejenige
   Orientierung auf ${\op{T}}_{(p,q)}(M\times N)_{\op{reg}}$ auszeichnen,
   die unter dem Isomorphismus ${\op{T}}_{(p,q)}(M\times N)_{\op{reg}}\sira
   {\op{T}}_{p}M_{\op{reg}}\times  {\op{T}}_{q}N_{\op{reg}}$
   aus \ref{pMF} der Produktorientierung nach \eref{orQ}{LA1} entsprechen.
   Sind $\omega$ und $\eta$ jeweils stetige Differentialformen mit kompaktem
   Tr"ager auf $M$ und $N$ vom Grad der Dimension, so gilt f"ur die Integrale in Bezug auf die jeweiligen Orientierungen  
   $$\int_{M\times N}\omega\boxtimes\eta=\left(\int_{M}\omega\right)\left(\int_{ N}\eta\right)$$
\end{Ubunge}




\subsection{"Au"sere Ableitung von Differentialformen}\label{AuAb}

\begin{Bemerkungl}
Gegeben  ein  Vektorraum $V$
 definieren wir f"ur alle $k\geq 0$ eine lineare Abbildung
$\op{alt}:\op{Hom}(V,\op{Alt}^{k}V)\ra \op{Alt}^{k+1}V$
durch die Vorschrift 
$$(\op{alt}f)(v_0,v_1,\ldots, v_{k})\pdef
\sum_{i=0}^k (-1)^if(v_i)(v_0,\ldots,\widehat{v_i},\ldots,
v_{k})$$
 Hier soll die \glqq Tarnkappe\grqq\  "uber $v_i$ 
wie "ublich bedeuten, da"s dieser Eintrag 
beim entsprechenden Summanden auszulassen ist. Wir nennen unsere Abbildung
den {\bf Alternator}.\index{Alternator} %\nichtfinal{Er ist ein Spezialfall der allgemeinen Konstruktion aus \eref{CapF}{TSK}.}
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}
  Gegeben  ein  Vektorraum $V$ und $\lambda\in V^*$ und $\omega\in \op{Alt}^{k}V$
  bezeichne $\lambda\otimes \omega$ die Abbildung $V\ra \op{Alt}^{k}V$
  gegeben durch $v\mapsto \lambda(v)\omega$. So finden wir 
  $$\op{alt}(\lambda\otimes \omega)=\lambda\wedge \omega$$
  In der Tat besteht die Menge $\mathcal S_{1,k}$ der Shuffles, die bei der
  Definition des Dachprodukts auf der rechten Seite vorkommen,
  genau aus denjenigen Permutationen,\label{AuAb} 
  die \glqq das erste Element irgendwo dazwischenschieben\grqq.  
 %\nichtfinal{Das ist ein Spezialfall von "Ubung \eref{CapF}{TSK}.}
\end{Beispiel}


\begin{Bemerkungl}\label{SDiD}
Seien $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum und
$A\subset X$ halboffen. Eine 
Differentialform $\omega : A \ra \op{Alt}^{k}\vec{X}$ hei"st 
{\bf  differenzierbar},
wenn sie
als Abbildung
 von der halboffenen Teilmenge $A$ des
endlichdimensionalen reellen Raums $X$ in den 
endlichdimensionalen reellen Vektorraum $\op{Alt}^{k}\vec{X}$
differenzierbar ist im Sinne von \ref{DeDi}.
Sie hei"st  {\bf  stetig differenzierbar}, wenn sie 
stetig differenzierbar ist im Sinne von \ref{SDi}, wenn also
ihr Differential auch stetig ist als Abbildung 
$A\ra \op{Hom}(\vec{X},\op{Alt}^{k}\vec{X})$ gegeben durch 
$x\mapsto \tiff_x\omega$.
\end{Bemerkungl}

\begin{Definition}\label{daAb}
Seien $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum und
$A\subset X$ halboffen. 
Gegeben 
eine  differenzierbare $k$-Form $\omega:A\ra \op{Alt}^{k}\vec{X}$  
erkl"aren wir eine $(k+1)$-Form
$$\diff  \omega:A\ra \op{Alt}^{k+1}\vec{X}$$ durch die Vorschrift
$(\diff \omega)_x\pdef\op{alt}(\tiff_{x}\omega)$ f"ur $\tiff_{x}\omega : \vec X \ra \op{Alt}^{k}\vec{X} $ 
das Differential im Sinne von \ref{DeDi} unserer Form
$\omega : A \ra \op{Alt}^{k}\vec{X}$
an einer Stelle $x \in A$.
Wir nennen $\diff \omega$ die \defind{"au"sere Ableitung} {\bf von} $\omega$.  
\end{Definition}

\begin{Beispiel}
Seien $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum und
$A\subset X$ halboffen.  Gegeben eine differenzierbare Funktion
$f:A\ra\DR$ und $\omega_\circ\in \op{Alt}^{k}\vec{X}$ finden wir\label{CAA} 
$\tiff_x (f\omega_\circ)=(\tiff_xf)\otimes \omega_\circ$ f"ur alle $x\in A$
in der in \ref{AuAb} eingef"uhrten Notation.
Nach \ref{AuAb} haben wir
folglich $$\op{d}(f\omega_\circ)=\diff f\wedge \omega_\circ$$
Insbsondere haben wir etwa $\op{d} (x^2y \diff y\wedge \diff z)=2xy\diff x\wedge  \diff y\wedge \diff z$. 
\end{Beispiel}
 
\begin{Bemerkungl}
Eine stetig differenzierbare 
 Differentialform, deren "au"sere Ableitung verschwindet,
hei"st
{\bf geschlossen}.\index{geschlossen!Differentialform}
Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Raum
ist ein stetig differenzierbares Kovektorfeld 
 $\omega:X\lco U\ra\vec X^*$ geschlossen im hier erkl"arten Sinne  genau dann,
wenn $\omega$ geschlossen ist im Sinne von \ref{gesch},
wenn also nach \ref{roPP} das Wegintegral von $\omega$ "uber jeden geschlossenen
in $U$  zusammenziehbaren Integrationsweg verschwindet. 
\end{Bemerkungl}




\begin{figure}[htbp]
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bildgtvw}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering
 Der Weg $\gamma(p,t\vec{v},t\vec{w})$ aus
"Ubung \ref{IHTj}. Mit $t\ra 0$ wird er nat"urlich immer kleiner.
\end{minipage}
\end{figure}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauung f"ur die "au"sere Ableitung}]
Um uns die "au"sere Ableitung $\diff \omega$ zu veranschaulichen,
erinnern wir zun"achst an den Fall einer Nullform alias Funktion, die wir
dann\label{AAAb} 
statt $\omega$ lieber $f$ nennen. Deren 
"au"sere Ableitung $(\diff f)_x$ ist schlicht das 
Differential $\tiff_{x}f$
bei $x$ und kann dadurch beschrieben werden, da"s es jedem
Richtungsvektor $\vec{v}\in\vec{X}$ die Zahl 
$$(\diff f)_x(\vec{v})=\lim_{t\ra 0}\frac{1}{t}(f(x+t\vec{v})-f(x))$$ zuordnet.
Im Fall einer Einsform alias eines Kovektorfelds $\omega$ 
kann seine "au"sere Ableitung $(\diff \omega)_{x}$ bei $x$ 
analog  dadurch beschrieben werden, da"s sie jedem geordneten Paar
von Richtungsvektoren $(\vec{v},\vec{w})\in\vec{X}^2$ die Zahl 
$$(\diff \omega)_{x}(\vec{v},\vec{w})
=\lim_{t\ra 0}\frac{1}{t^2}\int_{\gamma(x,t\vec{v},t\vec{w})} \omega$$ 
zuordnet mit der Notation $\gamma(x,t\vec{v},t\vec{w})$ f"ur den Weg,
der einmal das Parallelogramm mit einer  Ecke $x$ und Kantenvektoren 
$t\vec{v}$ und $t\vec{w}$ uml"auft, und zwar st"uckweise linear
 erst von $x$ nach $x+t\vec{v}$, dann weiter nach $x+t\vec{v}+t\vec{w}$,
von da nach $x+t\vec{w}$, und dann wieder zur"uck nach $x$. 
M"oglicherweise haben Sie das bereits als "Ubung \ref{IHTj} gezeigt.
Im allgemeinen Fall einer $k$-Form $\omega$ schlie"slich haben wir 
$$(\diff \omega)_{x}(\vec{v}_0,\ldots,\vec{v}_k)
=\lim_{t\ra 0}\frac{1}{t^{k+1}}\int_{F(x,t\vec{v}_0,\ldots,t\vec{v}_k)} \omega$$ 
mit $F$ zumindest f"ur  $\vec{v}_0,\ldots,\vec{v}_k$
linear unabh"angig der
 in geeigneter Weise orientierte Oberfl"ache eines Parallelpipeds
mit Ecke $x$ und Kantenvektoren $t\vec{v}_i$, 
"uber die wir dann unsere $k$-Form integrieren.
Das wird recht direkt aus dem Satz von Stokes mit Ecken \ref{StEck}
folgen, wie sie als "Ubung \ref{BAAkl} werden ausarbeiten d"urfen. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}\label{glat}
Gegeben eine offene Teilmenge $U\co
  \DR^n$
  hei"st eine Abbildung $f:U\ra\DR^m$  
{\bf glatt}\index{glatt!Abbildung nach $\DR^m$} oder 
{\bf beliebig differenzierbar}\index{differenzierbar!beliebig}
oder auch eine {\bf  $\cal{C}^\infty$-Abbildung}, wenn zu allen Komponenten $f_\mu$
  von $f$ f"ur $1\leq\mu\leq m$ 
alle gemischten h"oheren partiellen Ableitungen, in der
  Multiindexschreibweise aus \ref{MuIn} also alle $\partial^\alpha f_\mu$ f"ur
  beliebige $\alpha\in\DN^n,$ auf ganz $U$ existieren.
Existieren sie bis zum Totalgrad $|\alpha|\leq k$ und sind 
stetig, so spricht man von einer {\bf
    $\cal{C}^k$-Abbildung}. Das $\mathcal C$  steht hier wie bisher  f"ur \glqq
  continous\grqq\ alias stetig.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{R"aume multilinearer Abbildungen}] 
Gegeben Vektorr"aume $V,W$ und
$k\geq 0$ bilden wir den  Vektorraum\index{Mult@$\op{Mult}^k$ multilineare Abbildungen}
$$\op{Mult}^k(V,W)$$ 
aller multilinearen Abbildungen
des Produkts von $k$ Kopien von $V$ nach $W.$
Im Fall $k=0$ verstehen wir $\op{Mult}^0(V,W)=W.$ Man bemerke die
Isomorphismen 
$\op{mult}:\op{Hom}(V, \op{Mult}^k(V,W))\sira \op{Mult}^{k+1}(V,W)$
gegeben durch $$\op{mult} (f)(v_0,v_1,\ldots,v_k)\pdef
(f(v_0))(v_1,\ldots,v_k)$$
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{H"ohere Ableitungen ohne Koordinaten}]
Gegeben  $X,Y$ endlichdimensionale reelle R"aume\label{stddne} 
und $A\subset X$ eine halboffene Teilmenge und $f:A\ra Y$
eine Abbildung setzen wir $\tiff^{(0)} f\pdef f$ und\label{stdde}  
$\tiff^{(1)} f\pdef\tiff f: x\mapsto \tiff_x f$ und erkl"aren induktiv 
f"ur $k\geq 2$ die 
{\bf $k$-te Ableitung}\index{Ableitung!h"ohere, koordinatenfrei}
$$\tiff^{(k)} f:A\ra \op{Mult}^k(\vec{X},\vec{Y})$$
durch $x\mapsto \tiff^{(k)}_x f\pdef \op{mult}(\tiff_x(\tiff^{(k-1)} f))$, falls
die $(k-1)$-te Ableitung existiert und differenzierbar ist auf $A$.
Existieren alle  Ableitungen von $f$ bis zur Ordnung $k$
und sind stetig, 
so nennen wir $f$ \defnoind{von der Klasse ${\cal{C}}^k$} 
oder auch eine\index{C@$\cal{C}^k$-Abbildung!zwischen affinen R"aumen}
{\bf ${\cal{C}}^k$-Abbil\-dung}. 
Zum Beispiel bedeutet  ${\cal{C}}^1$ 
 stetig differenzierbar
und ${\cal{C}}^0$ 
 stetig.
Ist $f$ von der Klasse ${\cal{C}}^k$ f"ur alle $k,$ 
so hei"st die Abbildung 
$f$ {\bf glatt}\index{glatt!Abbildung!koordinatenfrei} 
oder {\bf beliebig differenzierbar} oder 
\defnoind{von der Klasse ${\cal{C}}^\infty$}
oder eine\index{C@$\cal{C}^\infty$-Abbildung!zwischen affinen R"aumen} 
{\bf ${\cal{C}}^\infty$-Abbildung}.   Im Fall $X=\DR^m, Y=\DR^n$ erhalten wir den
   in \ref{glat} besprochenen Begriff
   einer $\mathcal C^k$-Abbildung zur"uck.
   Der Leser mag zur "Ubung zeigen, da"s jede
  Verkn"upfung von $\mathcal C^k$-Abbildungen wieder eine $\mathcal C^k$-Abbildung ist. 
\end{Bemerkungl}



\begin{Satz}[\textbf{Rechnen mit der "au"seren Ableitung}]
  Sei $A\subset X$ eine halboffene Teilmenge eines endlichdimensionalen
  reellen Raums.\label{RAAb}
\begin{enumerate}
\item
  Die Zuordnung $\omega\mapsto \diff \omega$ vom Vektorraum
  der differenzierbaren $k$-Formen auf $A$ zum Vektorraum der
  $(k+1)$-Formen auf $A$ ist linear;
\item
F"ur differenzierbare Nullformen alias Funktionen $f$ gilt
$\diff f=\tiff f$;
\item
Das Dachprodukt differenzierbarer
Differentialformen $\omega$ und $\eta$ auf $A$ ist   differenzierbar
und f"ur seine "au"sere Ableitung  gilt die 
\emph{\bf Leibniz-Regel}\index{Leibniz-Regel!f"ur 
Differentialformen}\label{LRR}
$$\op{d} (\omega \wedge \eta)= (\diff \omega)\wedge \eta + (-1)^{|\omega|}
\omega \wedge \diff \eta$$
\item 
Gegeben eine $\cal{C}^2$-Abbildung $\phi:A\ra B$ 
in eine halboffene Teilmenge\label{zh} $B$ eines weiteren
endlichdimensionalen reellen Raums $Y$ und eine differenzierbare
Differentialform $\eta$ auf $B$ haben wir die
\emph{\bf Verwandtschaftsvertr"aglichkeit der "au"seren Ableitung} 
$$\op{d} (\phi^{\ast}\eta) 
= \phi^{\ast}(\diff \eta)$$
\item
 Ist die
Differentialform $\omega$ auf $A$ 
stetig differenzierbar und ist $\diff \omega$ auch\label{dd}
 stetig differenzierbar, 
so gilt $$\op{d} (\diff \omega)= 0$$
\end{enumerate}
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
 Diese Formeln
zusammen mit der graduierten Kommutativit"at \ref{GrDac} 
des Dachprodukts $\omega\wedge\eta=(-1)^{|\omega||\eta|}\eta\wedge\omega$
und mit unserer Regel
$$\diff f = \sum^{n}_{i=1}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}  \diff x_{i}$$
 f"ur das Differential einer differenzierbaren Funktion
$f: A \ra \Bbb{R}$ auf einer offenen oder allgemeiner halboffenen Menge $A \subset \Bbb{R}^{n}$ 
aus \ref{KovK} beziehungsweise \ref{sFho}  machen das Rechnen mit Differentialformen 
au"serordentlich bequem.
Der Formalismus der Differentialformen 
geht auf \'Elie Cartan's Arbeiten zu Beginn des 
zwanzigsten Jahrhunderts zur"uck. 
Die Vertr"aglichkeit der "au"seren Ableitung mit
Verwandtschaft macht die Umrechnung zwischen verschiedenen
Koordinatensystemen derart einfach, da"s es auch bei anderen Umrechnungen oft 
der bequemste Weg ist,  sie auf diesen Formalismus 
zur"uckzuf"uhren.  Als Beispiel bespreche ich
die Umrechnung des Laplace-Operators auf krummlinige Koordinaten
in \ref{LAKo} folgende. 
\end{Bemerkungl}

\begin{proof} Die ersten beiden Aussagen sind offensichtlich.
Wir f"uhren den Beweis der restlichen Aussagen in mehreren Schritten. 
\\[2mm]\noindent
\emph{Leibnizregel.}
Wir  k"onnen  $\omega$ und $\eta$ schreiben als Summen von Formen
der Gestalt $f\omega_{\circ}$, $g\eta_{\circ}$ mit 
$\omega_{\circ}$, $\eta_{\circ}$
konstant und $f,g$ differenzierbaren Funktionen.
Es reicht also, die Behauptung f"ur $\omega = f\omega_{\circ}$ und $\eta
= g \eta_{\circ}$ zu pr"ufen. Dazu rechnen wir 
$$\begin{array}{lll}
  \op{d}(\omega\wedge\eta)&=&\op{d}(fg\omega_\circ\wedge\eta_\circ)\quad\text{mit Einsetzen,}\\
  &=&\op{d}(fg)\wedge \omega_\circ\wedge\eta_\circ\quad\text{nach Beispiel \ref{CAA},}\\
  &=&(g\diff f +f\diff g)\wedge \omega_\circ\wedge\eta_\circ\quad\text{nach der Produktregel \ref{DiFF},}\\
   &=&\diff f \wedge \omega_\circ\wedge g\eta_\circ + (-1)^{|\omega|}f \omega_\circ\wedge\diff g\wedge \eta_\circ\quad\text{nach  \ref{GrDac},}\\
 &=&\diff \omega\wedge \eta + (-1)^{|\omega|} \omega\wedge \diff  \eta\quad\text{nach Beispiel \ref{CAA}.}\end{array}$$
So haben wir die Leibnizregel f"ur Differentialformen zur"uckgef"uhrt
auf den Fall \ref{DiFF} von Nullformen alias Funktionen und den Fall
\ref{CAA} des Produkts einer Nullform alias Funktion mit einer konstanten Form.
\\[2mm]\noindent
\emph{$\diff \diff =0$ im Fall $A\subset X=\DR^n$.}
F"ur  eine stetig  differenzierbare Nullform alias
Funktion $\omega=f:\DR^n\lco U \ra \DR$ auf einer offenen
Teilmenge eines $\Bbb{R}^{n}$ erhalten wir ganz explizit 
$\diff  f = \sum^{n}_{i=1} \frac{\partial f}{\partial x_{i}} \diff x_{i}$.
Wenn $f$ sogar zweimal stetig differenzierbar ist, finden wir weiter  
$$
\diff \diff f 
= \sum^{n}_{i,j =1} \frac{\partial^{2}f}{\partial
x_{j}\partial x_{i}}\diff x_{j}\wedge \diff x_{i}
= \sum_{i < j} \left( \frac{\partial^{2}f}{\partial
x_{j}\partial x_{i}} - \frac{\partial^{2}f}{\partial
x_{i}\partial x_{j}}\right) \diff x_{j} \wedge \diff x_{i} = 0
$$
Hierbei haben wir die Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen 
\ref{VPAb} verwendet,
die hinwiederum aus unserer Annahme der
Stetigkeit der zweiten Ableitungen folgt.
F"ur eine stetig
differenzierbare $k$-Form $\omega$ auf einer offenen Teilmenge des
$\Bbb{R}^{n}$, sagen wir $\omega = \sum_{|I| = k} f_{I}\diff x_{I}$, mit $\diff \omega$ stetig
differenzierbar 
erhalten wir damit sofort $\op{d} (\diff \omega)= \sum \op{d} (\diff f_{I}) \wedge \diff x_{I}
= 0$. F"ur eine zweimal stetig differenzierbare
$k$-Form $\omega$ auf einer halboffenen Teilmenge
 $A\subset \Bbb{R}^{n}$ folgt unsere Behauptung dann aus
der Stetigkeit von $\op{d}(\diff \omega)$.
\\[2mm]\noindent
\emph{Verwandtschaftsvertr"aglichkeit f"ur $\phi$ affin.}
Gilt $\diff\phi^{\ast}= \phi^{\ast}\!\diff$ f"ur $\omega$ und $\eta$, so nach der
Produktregel auch f"ur $\omega \wedge \eta$. Es reicht also,
unsere Formel f"ur Funktionen alias
Nullformen und f"ur konstante $1$-Formen zu zeigen.
Der Fall von Funktionen ist  \ref{VFVD}.
F"ur eine konstante $1$-Form
$\omega_\circ$ und  $\phi$  affin
 ist andererseits auch 
$\phi^{\ast}\omega_\circ$  eine konstante $1$-Form, mithin gilt
wie gew"unscht
$ \op{d}(\phi^{\ast} \omega_\circ) = 0 = \phi^{\ast} (\diff\omega_\circ)$.
\\[2mm]\noindent
\emph{$\diff\diff=0$ im Allgemeinen.}
Ist $\phi:\Bbb{R}^{n}\sira X$ 
ein Isomorphismus von affinen R"aumen, 
so folgt $\phi^{\ast} (\diff\diff\omega) = \diff\op{d} (\phi^\ast{\omega}) = 0$
und mithin $\diff\diff \omega =0$. 
\\[2mm]\noindent
\emph{Verwandtschaftsvertr"aglichkeit  im Allgemeinen.}
Gilt $\diff\phi^{\ast}= \phi^{\ast}\!\diff$ f"ur $\omega$ und $\eta$, so nach der
Produktregel auch f"ur $\omega \wedge \eta$. Es reicht also,
unsere Formel f"ur Funktionen alias
Nullformen und f"ur konstante $1$-Formen zu zeigen.
Der Fall von Funktionen ist  \ref{VFVD}.
F"ur eine konstante $1$-Form
$\omega_\circ$  haben wir hinwiederum 
$\omega_{\circ}=\diff f$ f"ur eine geeignete Funktion $f$, 
genauer f"ur jede affine Abbildung $f:Y\ra\DR$ mit linearem Anteil
$\omega_\circ$.
Damit ergibt sich f"ur  $\phi$ beliebig unmittelbar
$\diff\phi^{\ast}\omega_{\circ} = \diff\phi^{\ast} \!\diff f = \diff\diff \phi^{\ast}f 
=0=\phi^{\ast} 0=\phi^{\ast} \diff\omega_{\circ}$, 
wo wir im mittleren Schritt verwenden,
da"s uns die Regel $\phi^{\ast} \!\diff f = \diff \phi^{\ast}\!f$ 
f"ur differenzierbare Funktionen $f$ ja bereits aus \ref{VFVD} zur Verf"ugung steht.
\end{proof}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Unterschiede zum Kalk"ul mit beliebigen
    Multilinearformen}] 
  Man beachte den dramatischen Unterschied zu unseren Ableitungen
  \ref{stddn} von nicht notwendig alternierenden Multilinearformen, die
  wir dort sogar im vektorwertigen Fall betrachtet hatten. Die Definition dort
  war fast dieselbe, bis auf das Detail, da"s wir dort beliebige
  Multilinearformen betrachtet hatten und folgerichtig nach dem Ableiten auch
  nicht den alternierenden Anteil genommen hatten. Dennoch sind alle drei
 Aussagen des  vorhergehenden Satzes in dieser analogen 
Situation falsch. Etwas vage
  gesprochen folgen unsere Aussagen eben gerade
 aus den Zusammenspiel zwischen dem
  Kommutieren der partiellen Ableitungen und dem Antikommutieren 
des Dachprodukts.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Eigenschaften der "au"seren Ableitung}]
Unsere  Regel \ref{RAAb}.\ref{zh} 
k"onnen wir auch\label{zHH}  
$\phi:\eta\leadsto \omega\;\RA\;\phi:\diff \eta\leadsto \diff \omega$ schreiben.
Sie besagt also in Worten, da"s die "au"sere Ableitung mit
Verwandtschaft vertr"aglich ist. 
Der Leser sei ermutigt, sich das im Lichte unserer
Anschauung \ref{AAAb} auch  bildlich klarzumachen.
Die Regel $\diff \diff \omega=0$ ist zumindest f"ur Nullformen 
im Lichte unserer
Anschauung \ref{AAAb} leicht einzusehen,
da das Integral des Differentials einer Funktion 
"uber jeden geschlossenen Integrationsweg verschwindet.
F"ur Kovektorfelder sollte die Identit"at $\diff \diff \omega=0$ 
 aus dem Stokes'schen Satz \ref{ASI}
heraus klar werden: Er besagt, da"s das Integral von $\diff \omega$ 
"uber eine Fl"ache unseres Parallelpipeds auch als 
Integral von $\omega$ "uber dessen Rand geschrieben werden kann,
und die Summe aller Randintegrale "uber die sechs Fl"achen 
unseres Parallelpipeds ist offensichtlich wieder Null.
\end{Bemerkungl} \begin{figure}[htbp] 
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bilddphio}\\[4mm]
\noindent \centering
Versuch einer anschaulichen Interpretation der Vertr"aglichkeit
zwischen der "au"seren Ableitung und dem
Zur"uckholen von Kovektorfeldern.
  \end{figure}
\begin{Bemerkungl}
  In nebenstehendem Bild
  wage ich den Versuch einer anschaulichen Interpretation der Vertr"aglichkeit
zwischen der "au"seren Ableitung und dem
Zur"uckholen von Kovektorfeldern. Gegeben ist ein
Kovektorfeld $\omega$ rechts und ein Punkt $p$ mit
zwei Richtungsvektoren $\vec{v},\vec{w}$ links. 
Das Wegintegral von $\phi^\ast\omega$ "uber den kleinen
Parallelogrammweg links approximiert $(\op{d}(\phi^\ast\omega))_p(\vec{v},\vec{w})$.
Es stimmt nach \ref{EEWW}.\ref{TfW}  "uberein  mit dem Wegintegral
des Kovektorfelds  $\omega$   "uber seinen Bildweg rechts,
eingezeichnet als
durchgezogener Rundweg aus vier krummen St"ucken.
Dahingegen approximiert das Wegintegral "uber den kleinen
gestrichelten Parallelogrammweg rechts 
$(\diff \omega)_{\phi (p)}(\tiff_p\phi(\vec{v}),\tiff_p\phi(\vec{w}))$.
Die Anschauung soll uns nun sagen, da"s im Grenzwert
$t\ra 0$ wie in \ref{AAAb} die 
entsprechenden beiden Wegintegrale rechts nach Teilen 
durch $t^2$ gegen denselben Wert streben. In der Tat werden ja nicht nur die 
beiden Rundwegsintegrale klein von zweiter Ordnung, sondern die beiden
Wege werden sich bei $t\ra 0$ auch sehr "ahnlich, und das sorgt daf"ur,
da"s die Differenz ihrer Rundwegsintegrale  f"ur $t\ra 0$ sogar von dritter 
Ordnung verschwindet.
\end{Bemerkungl}
 



%\begin{Beispiel}
% Im Fall $X = \Bbb{R}^{n}$ wird f"ur eine Differentialform der Gestalt
%$\omega = \sum a_{I} \diff x_{I}$ 
% ihre "au"sere Ableitung
% $d \omega $ gegeben durch die Vorschrift
% $$d \omega = \sum \op{d} (a_{I}) \wedge \diff x_{I}$$ 
% Vorne ist hier das Differential der Funktion $a_I$ 
% gemeint, hinten der formale Ausdruck 
% $\diff x_{I}=\diff x_{i(1)}\wedge \ldots\wedge \diff x_{i(k)}$
% f"ur $i(1)<\ldots<i(k)$ die der Gr"o"se nach aufgez"ahlten 
% Elemente einer Teilmenge $I\subset \{1,\ldots,n\}$.
%  \end{Beispiel}

\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}
  Pr"ufen Sie f"ur beliebige glatte Funktionen $f,a,b:\DR^2\ra \DR$ und die
  Abbildung $\varphi:\DR^2\ra\DR^2$ gegeben durch $\varphi(a,b)=(a(x,y),b(x,y))$ die Verwandtschaftsvertr"aglichkeit der
  "au"seren Ableitung $\diff\varphi^*(f(x,y)\diff x)=\varphi^*\!\op{d}(f(x,y)\diff x)$.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
  Pr"ufen Sie f"ur die Differentialform 
$x^2\diff x\wedge \diff y-4\op{e}^y\diff x\wedge \diff z$, da"s erst die "au"sere Ableitung bilden
und dann auf Kugelkoordinaten "ubergehen dasselbe Resultat liefert wie
erst auf Kugelkoordinaten "ubergehen und dann die "au"sere Ableitung bilden.
\end{Ubung}
%\begin{Ubung}
%  Zeigen Sie, da"s f"ur eine stetig differenzierbare
%$k$-Form $\omega$ auf dem $\DR^3$ mit $k\geq 1$  
%die Bedingung $d\omega=0$ gleichbedeutend ist zur Bedingung,
%da"s es eine stetig differenzierbare
%$(k-1)$-Form $\eta$ auf dem $\DR^3$ gibt mit
%$\omega=d\eta$.
%\end{Ubung}



\subsection{Randfaltigkeiten}




\begin{Definition}\label{MFRx}
Seien $X$ ein  reeller Raum der
Dimension $\op{dim}_\DR X=n$ und
$k\geq 1$.
Eine Teilmenge $M \subset X$ hei"st eine
{\bf $k$-dimensionale  berandete
Man\-nig\-faltigkeit}\index{Mannigfaltigkeit!berandete Untermannigfaltigkeit von affinem Raum} 
oder kurz
{\bf  $k$-Randfaltigkeit  in $X$}, wenn  es
um jeden Punkt $p\in M$  ein
lokales Koordinatensystem $(U,g)$ von $X$ gibt mit
$$
U\cap M=\{ q\in U\mid  g_1(q)\leq 0,\; g_{k+1}(q)= \ldots = g_n(q)=0\}
$$
Wir nennen dann $(U,g)$  ein
{\bf an die Randfaltigkeit $M$ angepa"stes lokales Koordinatensystem von $X$}.
\end{Definition}
\begin{figure}[htb] 
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildCRT}\\[4mm]
\noindent 
\centering Eine zweidimensionale Randfaltigkeit der
 Papierebene mit angepa"sten lokalen Koordinatensystemen
 um zwei ausgew"ahlte Punkte.
\end{figure}
\begin{Bemerkungl} Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Raum $X$ und
  eine $k$-Rand\-fal\-tig\-keit $M\subset X$ erzeugt ihr Tangentialkegel in einem
  Punkt $p\in M$
  offensichtlich einen $k$-dimensionalen Untervektorraum von $\vec X$.
  Er hei"st der {\bf Tangentialraum an $M$ in $p$} und wird wie bei
  Mannigfaltigkeiten notiert als
  $${\op{T}}_pM\pdef \langle {\op{K}}_pM\rangle$$
\end{Bemerkungl}


%\begin{Bemerkungl}
%  Im Fall einer Mannigfaltigkeit $M$ ist ein an die
%  Randfaltigkeit $M$ angepa"stes lokales Koordinatensystem von $X$ dasselbe
%  wie ein an die
%  Mannigfaltigkeit $M$ angepa"stes lokales Koordinatensystem von $X$, bei dem
%  die erste Koordinate auf $M$ nur negative Werte annimmt. 
%\end{Bemerkungl}



\begin{Definition}
  Sei $X$ ein reeller Raum der Dimension $\op{dim}_\DR X=n$. 
  Unter einer {\bf Randkarte}\index{Randkarte}
  einer $k$-Randfaltigkeit $M\subset X$ 
  verstehen wir ein Paar $(W,\varphi)$ bestehend aus einer offenen
  Teilmenge $W\co \DR_{\leq 0}\times\Bbb{R}^{k-1}$ und einer injektiven Abbildung
  $$\varphi:W\hra M$$ derart,
  da"s es um jeden Punkt $p\in \varphi(W)$ ein an die
  Randfaltigkeit $M$ angepa"stes lokales Koordinatensystem $(U,g)$ von $X$ gibt
  mit $U\cap M\subset\varphi(W)$ und $\varphi(g_1(q),\ldots,g_k(q))=q\;\forall q\in U\cap M$.  
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl} Insbesondere induziert f"ur jede Randkarte $(W,\varphi)$
  einer $k$-Randfaltigkeit $M\subset X$ und alle $p\in W$ das Differential einen  
  Isomorphismus $$\tiff_p\varphi:\DR^k\sira {\op{T}}_{\varphi(p)}M$$
  Sind $( W_{\al},\varphi_{\al})$ und $(W_{\beta},\varphi_{\beta})$
zwei  Randkarten einer 
Mannigfaltigkeit $M$, so
setzen wir $W_{\al\beta} = \varphi^{-1}_{\al}(
\varphi_{\beta} (W_{\beta}))$ und nennen die Abbildung
$$\varphi_{\beta\al} \pdef \varphi^{-1}_{\beta} \circ \varphi_{\al} :
W_{\al\beta} \ra W_{\beta\al}$$
den {\bf Kartenwechsel}\index{Kartenwechsel} zwischen unseren
beiden Karten. Wie in \ref{DKWe} zeigt man, da"s auch jeder Kartenwechsel
von Randkarten stetig differenzierbar ist. 
\end{Bemerkungl}
  

\begin{Beispiel}[\textbf{Randkarte zu angepa"stem lokalen Koordinatensystem}]  Gegeben ein an eine Randfaltigkeit $M\subset X$
  angepa"stes lokales
  Koordinatensystem $g:X\lco U \sira V\co \DR^n$ liefert
  seine Umkehrabbildung $g^{-1}:\DR^n \lco V \sira U\co X$
  eine Randkarte $(W,\varphi)$ von $M$, wenn wir die
  durch das Anf"ugen von Nullen gegebene Abbildung
  $i:\DR_{\leq 0}\times\DR^{k-1}\hra \DR^n$ betrachten und
  auf $W\pdef i^{-1}(V)$ die Abbildung 
  $\varphi\pdef g^{-1}\circ i:W\ra M$ betrachten.
\end{Beispiel}
  
\begin{Bemerkungl}
  Jede Mannigfaltigkeit ist auch eine Randfaltigkeit.  In diesem Fall
  ist eine Randkarte nach \ref{lElK} 
  dasselbe wie eine Karte, deren Definitionsbereich im offenen
  Halbraum aller Punkte
  von $\DR^k$  mit negativer erster Koordinate enthalten ist. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
Eine  berandete Untermannigfaltigkeit
 der 
Kodimension Null in einem endlichdimensionalen\label{Randt}
reellen Raum
hei"st auch  eine 
{\bf $\mathcal C^1$-berandete Teilmenge}.\index{berandet!Teilmenge}
Unser Bild von eben stellt  eine 
$\mathcal C^1$-berandete Teilmenge der Papierebene dar.
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiele}
Alle mehrpunktigen Intervalle in $\DR$ sind
$\mathcal C^1$-berandete Teilmengen. 
Die abgeschlossene Vollkugel 
$\{(x,y,z)\mid x^2+y^2+z^2\leq 1\}$ ist eine $\mathcal C^1$-berandete
Teilmenge des $\DR^3$.
\end{Beispiele}
\begin{Lemma}
Jede $k$-Randfaltigkeit $M$ ist eine $k$-Fastfaltigkeit und
f"ur jede Randkarte 
$\varphi:W\hra M$ von $M$\label{Krf}  
gilt $\hyperref[rPFf]{M_{\op{reg}}}\cap \varphi(W)=\varphi(W^\circ)$ f"ur  $W^\circ\pdef \op{Inn}_{\DR^k}(W)$.
\end{Lemma}
\begin{Bemerkungl}
  Insbesondere
ist das Komplement 
$\partial M\pdef M\backslash M_{\op{reg}}$ der Menge der \hyperref[rPFf]{regul\"aren Punkte} einer $k$-Randfaltigkeit eine
$(k-1)$-Mannigfaltigkeit. Wir nennen sie den
{\bf Rand von $M$}.\index{Rand!von Randfaltigkeit}
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
Da"s jede Randfaltigkeit eine Fastfaltigkeit ist, scheint mir offensichtlich.
F"ur das weitere  bemerken wir,
da"s gegeben zwei Randkarten $(V,\psi)$ und $(W,\varphi)$
einer Randfaltigkeit 
mit $\varphi(W)=\psi(V)$ durch Anwenden des Umkehrsatzes
\ref{UKA} 
auf den Kartenwechsel 
$\kappa=\psi^{-1}\circ \varphi$  folgt $\kappa(W^\circ)\subset V^\circ$
und durch Anwenden auf den umgekehrten Kartenwechsel sogar 
$\kappa(W^\circ)= V^\circ$.
 Da"s $\partial M$ eine
$(k-1)$-Mannigfaltigkeit ist, ergibt sich unmittelbar. 
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Notation}]
Das Symbol $\partial$ ist ein griechisches\label{BeDe} 
$d$. Die Notation $\partial M$ f"ur den Rand ist wohl 
darauf zur"uckzuf"uhren, da"s sich
das Bilden des Randes nach dem Satz von 
Stokes \ref{ASI} als eine in gewisser Weise \glqq duale 
Operation\grqq\  zum Differenzieren auffassen l"a"st und in jedem Falle
dazu eng verwandt ist. Der eben erkl"arte Begriff des Randes $\partial M$  
f"allt im Fall, da"s gilt $n=k$ und da"s au"serdem $M$ abgeschlossen ist im umgebenden affinen Raum, 
 mit dem
in der Topologie verwendeten Begriff von Rand \ref{RaToTc}  
zusammen. Er ist jedoch im allgemeinen
davon verschieden, obwohl man f"ur beide Begriffe dieselbe Notation benutzt.
Was im Einzelfall gemeint ist, gilt es aus dem Kontext zu erschlie"sen.
\end{Bemerkungl}


\begin{Beispiele}
Der Rand der  Randfaltigkeit
$[a,b)\subset\DR$ besteht aus dem Punkt $a$.
Eine abgeschlossene Kreisscheibe in der Ebene ist auch als
Teilmenge des Raums aufgefa"st eine zweidimensionale 
Randfaltigkeit 
mit dem Einheitskreis als Rand.
\end{Beispiele}

\begin{Definition}
Gegeben eine  Randkarte $(W,\varphi)$ einer 
$(k+1)$-Rand\-fal\-tig\-keit $M$  erkl"aren\label{RaKa} wir die 
{\bf induzierte Karte $(\bar{W},\bar{\varphi})$ des Randes}
$\partial M$ durch die Vorschrift\index{Karte!auf dem Rand induzierte}   
$$(\bar{W},\bar{\varphi})\pdef(i^{-1}(W),\varphi\circ i)$$
mit $i:\DR^k\ra  \DR_{\leq 0}\times \DR^{k}$ der 
Einbettung $x\mapsto (0,x)$. 
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
Unter einer {\bf Orientierung} einer
 Randfaltigkeit verstehen wir wie
 bei allgemeinen
Fastfaltigkeiten eine Orientierung ihres regul"aren Teils.
\end{Bemerkungl}
 


\begin{Lemma}\label{InOr}
Gegeben eine orientierte  $(k+1)$-Randfaltigkeit $M$ 
gibt es genau eine Orientierung ihres Randes $\partial M$ 
derart, da"s f"ur jede Randkarte der Orientierung $\varepsilon$
auch die induzierte Karte des Randes die Orientierung $\varepsilon$
hat. Wir nennen sie die 
\emph{\bf induzierte Orientierung\index{induzierte Orientierung} des Randes}.
\end{Lemma}
\begin{figure}[htb]
  \centering
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BilderR}\\[4mm]
\noindent
Eine orientierte berandete zweidimensionale Mannigfaltigkeit mit
der induzierten Orientierung auf ihrem Rand und einer Randkarte
\end{figure}
\begin{proof}
Seien $(W_\alpha,\varphi_\alpha)$ und $(W_\beta,\varphi_\beta)$
zwei Randkarten von $M$.  
Der Kartenwechsel $\varphi_{\beta\al} : W_{\al\beta}\sira
W_{\beta\al}$ induziert nach \ref{Krf} eine Bijektion 
$W_{\al\beta} \cap (0\times \DR^{k})\sira {W}_{\beta\al}
\cap (0\times \DR^{k})$ und diese Bijektion kann durch den Kartenwechsel
$\bar{\varphi}_{\beta\al}$ der auf dem Rand induzierten Karten 
beschrieben werden als $\varphi_{\beta\al}(0,x_2,\ldots,x_k)=(0,\bar\varphi_{\beta\al}(x_2,\ldots,x_k))$.  Gegeben $y \in   \bar{W}_{\al\beta} $ 
hat die Jacobimatrix $[\tiff _{(0,y)} \varphi_{\beta\al}]$ des
Kartenwechsels mithin die Gestalt
$$[\tiff _{(0,y)} \varphi_{\beta\al}] = \left(
\begin{array}{c|c}\displaystyle
\frac{\partial (\varphi_{\beta\al})_1}{\partial x_{1}}(0,y)&0
\\[3mm]
\hline
 \ast & [\tiff_{y}\bar{\varphi}_{\beta\al}] 
\end{array} \right) $$
Des weiteren ist der Eintrag oben links 
nicht negativ, denn $(\varphi_{\beta\al})_1$ verschwindet auf allen $(0,y)$ und nimmt
auf allen $(t,y)\in W_{\alpha\beta}$ mit $t<0$ negative Werte an.
Mithin hat in jedem Randpunkt 
die Funktionaldeterminante eines Kartenwechsels zweier Randkarten 
von $M$ 
dasselbe Vorzeichen wie die Funktionaldeterminante des Kartenwechsels
der auf dem Rand induzierten Karten. Dieses Vorzeichen ist jedoch eine stetige
Funktion und  mu"s deshalb auf den Punkten mit erster
Koordinate Null dasselbe sein wie auf den Punkten mit negativer erster
Koordinate.
\end{proof}
\begin{Beispiel}
Gegeben reelle Zahlen $a<b$ und $\varphi:[a,b]\hra X$ eine stetig differenzierbare 
injektive Abbildung in einen endlichdimensionalen reellen Raum zeigt
man unschwer, da"s $M\pdef \varphi([a,b])$
eine
$1$-Randfal\-tig\-keit ist und $\varphi$ eine Integrationskarte von $M$
und da"s $M$ genau eine Orientierung besitzt, f"ur die diese  Integrationskarte
orientierungsvertr"aglich ist. Dann besteht\label{O1R} der Rand der Randfaltigkeit $M$ aus den beiden Punkten 
$\partial M=\{\varphi(a), \varphi(b)\}$ und die induzierte
Orientierung gibt dem Ersten dieser Punkte ein negatives 
Vorzeichen und dem Zweiten ein positives. Im h"oherdimensionalen Fall
bedeutet unsere Definition anschaulich, da"s die orientierten Basen der
Tangentialr"aume des Randes diejenigen angeordneten Basen sind,
die orientierte Basen der
Tangentialr"aume der Randfaltigkeit liefern, wenn man noch
einen Vektor davorschreibt, der tangential an die Randfaltigkeit ist
und an unserem Randpunkt \glqq aus der Randfaltigkeit heraus zeigt\grqq.
  Ist speziell $M=\partial K$ der Rand einer glatt berandeten Teilmenge
  $K$ mit der von einer Orientierung des umgebendem Raums 
induzierten Orientierung, so nennt 
 man das orientierte Normalenfeld  auch das
  {\bf "au"sere Normalenfeld}\index{"au"seres Normalenfeld}, da dann
  anschaulich gesprochen $N_p$ stets \glqq aus $K$ heraus zeigt\grqq.
\end{Beispiel}

\subsubsection*{"Ubungen}



\begin{Ubung}
Seien $X$ und $Y$  endlichdi\-mensionale
reelle R"aume,  $U\co X$ eine offene Teilmenge und
$f:U\ra Y$ eine stetig differenzierbare Abbildung 
mit
"uberall surjektivem
Differential. So ist  f"ur jede
Randfaltigkeit $C\subset Y$ ihr Urbild $M=f^{-1}(C)$
eine  Randfaltigkeit von $X$
der Dimension $\op{dim}X-\op{dim}Y+\op{dim}C$ mit Rand 
$\partial M=f^{-1}(\partial C)$. Man erkennt so zum Beispiel, da"s 
alle Vollkugeln Randfaltigkeiten sind. Hinweis:  \ref{MN}
und \ref{UBOR}.
\end{Ubung}





\subsection{Integralsatz von Stokes}
\begin{Bemerkungl}
Bisher haben wir bei der Definition von Fastfaltigkeiten,
 Randfaltigkeiten und \hyperref[MFoR]{Mannigfaltigkeiten}
 sowie ihren Koordinatensystemen, Karten und Randkarten  
alle beteiligten Abbildungen f"ur gew"ohnlich als stetig differenzierbar
angenommen. Wenn wir stattdessen $\mathcal C^l$ 
f"ur $1\leq l\leq\infty$ fordern wollen,
schreiben wir das explizit dazu und sagen statt $\mathcal C^\infty$
 auch {\bf glatt}.\index{glatt!Abbildung}\label{glatt} 
Den Fall $l=0$ betrachten wir hier nicht,
da dabei  zus"atzliche
Schwierigkeiten auftreten und da dieser Fall f"ur das folgende
nicht relevant ist. Zur Illustration der im Fall $l=0$ zu erwartenden Schwierigkeiten
sei nur bemerkt, da"s in diesem Fall  bereits unser Beweis \ref{Krf} f"ur die
Wohldefiniertheit des Randes einer Randfaltigkeit versagt. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Satz}[\textbf{Stokes'scher Integralsatz}]
\index{Stokes!Integralsatz von!allgemeiner}
Seien 
$M$  eine kompakte orientierte $\mathcal C^2$-Rand\-fal\-tig\-keit\label{ASI}  
der Dimension $(k+1)$ in einem endlichdimensionalen reellen
Raum
und
$\omega$ eine stetig differenzierbare $k$-Form auf einer 
halboffenen Teilmenge unseres Raums, die  $M$ umfa"st.
So gilt mit der induzierten Orientierung des Randes $\partial M$ 
auf der rechten Seite
$$\int_{\vec{M}} \diff \omega = \int_{\partial \vec{M}} \omega$$
\end{Satz}
\begin{figure}[htpb] 
\includegraphics[height=0.6\textheight]{SkriptenBilder/BildSta}\\[4mm]
\noindent Illustration zum Stokes'schen Satz.
Gegeben ein Kovektorfeld $\omega$ erinnern wir uns dazu
daran, da"s nach \ref{AAAb} seine "au"sere Ableitung 
$(\diff \omega)_p(\vec{v},\vec{w})$ ausgewertet auf 
Richtungsvektoren $\vec{v},\vec{w}$ eine Approximation des
Wegintegrals von $\omega$ "uber den Rundweg von $p$ erst nach
$p+\vec{v}$, dann weiter nach $p+\vec{v}+\vec{w}$, von dort nach
$p+\vec{w}$ und zur"uck nach $p$ ist.
Es sollte nun anschaulich klar sein, da"s die Summe "uber 
viele derartige kleine Rundwegsintegrale das Randintegral "uber
den ganzen Bereich approximiert. Der Satz von Stokes 
formalisiert diese Anschauung.
\end{figure}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Verallgemeinerungen des Stokes'schen Integralsatzes}]
Der Beweis wird zeigen, da"s wir statt der Kompaktheit 
unserer Randfaltigkeit $M$ 
schw"acher nur vorauszusetzen brauchen, da"s der Tr"ager der 
Differentialform unsere Mannigfaltigkeit in einem
Kompaktum trifft, in Formeln $\op{supp}\omega\cap M$ kompakt. In \ref{StEck} erkl"aren wir  
eine Verallgemeinerung des Stokes'schen Integralsatzes von Randfaltigkeiten auf
 \glqq Eckfaltigkeiten\grqq, die f"ur die 
im \glqq wirklichen Leben\grqq\  
auftretenden Situationen besonders 
relevant ist. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
Konkrete Spezialf"alle des vorhergehenden Satzes werden ab
\ref{WueG} diskutiert.
Bereits hier sei angemerkt,
da"s f"ur eine kompakte  Mannigfaltigkeit
alias eine kompakte Randfaltigkeit  mit
leerem Rand 
das Integral auf 
der linken Seite verschwinden mu"s, 
in Formeln $\partial M=\emptyset\;\RA \;\int_{\vec{M}} \diff \omega =0$.
\end{Bemerkungl}


\begin{proof}
Gilt die Aussage f"ur $\omega$ und $\omega'$, so auch f"ur $\omega +
\omega'$.
Wir k"onnen also nach der Beschreibung \ref{KO} der Kompaktheit 
und 
unseren Erkenntnissen \ref{TEL} "uber glatte Teilungen der Eins 
ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen,
da"s unsere Randfaltigkeit $M$ eine 
Randkarte $(W,\varphi)$  einer Orientierung $\varepsilon$
besitzt mit $(\op{supp}
\omega\cap M) \subset \varphi (W)$.
So gilt
per definitionem die erste Gleichung in der Gleichungskette
$$
\int_{\vec{M}} \diff\omega = \varepsilon \int_{W}
\varphi^{\ast} (\diff\omega)=\varepsilon \int_{W}
\op{d}(\varphi^{\ast} \omega)$$ 
Da nach \ref{RAAb}.\ref{zh} 
im Fall einer $\mathcal C^2$-Abbildung
die
"au"sere Ableitung mit dem Zur"uckholen vertauscht, gilt unter unseren Annahmen
auch die zweite Gleichung. 
Bezeichnet $(\bar{W}, \bar{\varphi})$ wie in \ref{RaKa} 
die induzierte Karte des Randes
und 
$i:\Bbb{R}^{k}\ra  \Bbb{R}_{\leq 0}\times\Bbb{R}^{k}$, $x\mapsto (0,x)$
die offensichtliche Einbettung, so  gilt nach unseren Definitionen 
und wegen
$\bar{\varphi}=\varphi\circ i$ und $\bar{W}=i^{-1}(W)$ auch 
$$
\int_{\partial \vec{M}} \omega =  \varepsilon
\int_{\bar{W}} \bar{\varphi}^{\ast}\omega=\varepsilon
\int_{i^{-1}W} i^\ast(\varphi^{\ast}\omega)
$$
Bezeichnen wir mit $\eta$ die Fortsetzung durch Null von 
$\varphi^{\ast}\omega$ auf den ganzen Halbraum, 
so  reduziert sich  unser
Satz so auf den Spezialfall, den wir 
im Anschlu"s als eigenst"andiges Lemma formulieren und beweisen.
\end{proof}

\begin{Lemma}
Gegeben 
 eine stetig differenzierbare $k$-Form $\eta$
mit kompaktem Tr"ager auf dem Halbraum\label{LeSt}  
$ \Bbb{R}_{\leq 0}\times\Bbb{R}^{k}$
 gilt
$$ \int_{\Bbb{R}^{k}} i^{\ast}\eta =
\int_{\Bbb{R}_{\leq 0}\times\Bbb{R}^{k}} \diff\eta$$
f"ur 
$i:\Bbb{R}^{k}\ra  \Bbb{R}_{\leq 0}\times\Bbb{R}^{k}$
die  Einbettung $x\mapsto (0,x)$.\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
Wir 
nennen unsere Koordinaten
 ausnahmsweise $x_0,x_1,\ldots, x_k$ und k"onnen
schreiben $$\eta= \sum^{k}_{\nu =0} \eta_{\nu}\;\diff x_{0} \wedge
\ldots \wedge \widehat{\diff x}_{\nu} \wedge \ldots \wedge \diff x_{k}$$
f"ur stetig differenzierbare Funktionen $\eta_{\nu}$ mit kompaktem
Tr"ager. Es ergibt sich $i^{\ast}\eta = (\eta_{0}\circ i) \;\diff x_{1} \wedge \ldots
\wedge \diff x_{k}$. Die linke Seite ist also 
$ \int_{\Bbb{R}^{k}} (\eta_{0}\circ i)\diff^kx$.
Auf der rechten Seite erhalten wir
$$\diff\eta = \sum^{k}_{\nu = 0} (-1)^{\nu } \frac{\partial 
\eta_\nu}{\partial x_{\nu}} \diff x_{0}\wedge \ldots \wedge \diff x_{k}$$ 
F"ur  $\nu \neq 0$ verschwindet jedoch beim entsprechenden Summanden das
$\nu$-te par\-tiel\-le Integral, da die Stammfunktion $\eta_{\nu}$
kompakten Tr"ager hat und von $-\infty$ bis $\infty$ integriert
wird.
Nur der erste Summand liefert folglich "uberhaupt einen Beitrag und  dieser Beitrag ist
\begin{equation*}
 \int_{\Bbb{R}^{k}} \left( \int^{0}_{-\infty}
\frac{\partial \eta_{0}}{\partial x_{0}}\right) = 
\int_{\Bbb{R}^{k}} (\eta_{0}\circ i)\diff^kx\qedhere
\end{equation*}
\end{proof}
\begin{Bemerkungw}[\textbf{Variante f"ur abstrakte Randfaltigkeiten}] 
Sp"ater werden wir lernen, was eine 
\glqq abstrakte Randfaltigkeit\grqq\  sowie eine
\glqq Differentialform auf
einer abstrakten Randfaltigkeit\grqq\  sind 
und wie man solche Differentialformen 
ableitet und $k$-Formen "uber orientierte 
$k$-dimensionale abstrakte Rand\-fal\-tigkeiten integriert. 
In dieser Allgemeinheit gilt dann dieselbe Formel f"ur
eine beliebige stetig differenzierbare $k$-Form $\omega$ mit
kompaktem Tr"ager auf 
einer beliebigen orientierten $(k+1)$-dimensionalen 
$\mathcal C^2$-Randfaltigkeit $M$. 
\end{Bemerkungw}
\begin{Beispiel}[\textbf{Satz von Stokes im Fall einer Flu"sdichte}] 
Seien $X$ ein dreidimensionaler orientierter reeller affiner Raum und
$K\subset X$ eine kompakte\label{StoFD}  
orientierte dreidimensionale $\mathcal C^2$-Randfaltigkeit alias
ein K"orper wie etwa eine massive Kugel oder
ein massiver Eisenring, den wir uns aber 
nur als wohlbestimmte Re\-gion in $X$ denken, die durchaus von Gas durchstr"omt
werden kann. 
Der Rand $\partial K$ ist dann eine Fl"ache,
etwa eine Kugelschale oder die Oberfl"ache unseres Rings.
 Sei nun $\omega$ die $2$-Form der Flu"sdichte 
eines bewegten Gases wie in \ref{FluD}.
Nach \ref{Fluddd}
beschreibt das Integral von $\omega$ "uber $\partial K$
die Gesamtmasse an Gas, die im gegebenen Zeitintervall 
in einer durch die Orientierung bestimmten Richtung durch 
unsere Fl"ache $\partial K$ hindurchtritt.
Nach \ref{AAAb} beschreibt die $3$-Form $\diff\omega$ an jeder Stelle  
f"ur jede angeordnete Basis aus drei kleinen Vektoren 
die Gesamtmasse an Gas, die im gegebenen
Zeitintervall
aus dem entsprechenden kleinen Parallelpiped entweicht oder in dieses 
einstr"omt,
je nach Vorzeichen. Nach \ref{Fluddd}
beschreibt das Integral "uber $K$ dieser $3$-Form die Gesamtmasse an Gas,
die im gegebenen
Zeitintervall
aus der Region $K$ entweicht oder in diese einstr"omt,
je nach Vorzeichen. Der Satz von Stokes besagt dann schlicht, 
da"s diese Gesamtmasse dieselbe ist wie die Gesamtmasse an Gas,
die im gegebenen
Zeitintervall durch die Oberfl"ache $\partial K$ hindurchtritt.
\end{Beispiel}


\begin{Beispiel}[\textbf{Hauptsatz der Differential- 
und Integralrechnung}] 
Jedes mehrpunktige kompakte reelle Intervall $M=[a,b]$ ist eine
eindimensionale\label{SHS} 
glatte Rand\-fal\-tig\-keit in $\DR$ und erbt von $\DR$ eine
Orientierung. Sein Rand ist die nulldimensionale Mannigfaltigkeit 
$\partial M = \{a,b\}$ und die induzierte Orientierung darauf 
 gibt dem Punkt $a$ das Vorzeichen $-1$ und dem Punkt $b$ das  Vorzeichen $+1$.
Eine stetig differenzierbare Nullform $\omega$ auf $M$ ist  eine 
stetig differenzierbare Funktion $G$ und
ihre "au"sere Ableitung ist das Kovektorfeld 
$\diff\omega=\diff G= G'(x)\diff x$. Wir erkennen so, 
da"s der Satz von Stokes \ref{ASI} 
in diesem Fall  zum Hauptsatz der Integral- und
Differentialrechnung \eref{ImS}{AN1} spezialisiert.
\end{Beispiel}

\begin{Beispiel}[\textbf{Flu"s durch eine Hemisph"are}] 
Wir kommen nocheinmal auf unser Integral "uber die 
obere\label{Bsp2}  
Hemisph"are $H$ der $2$-Form $x^2 \diff x \wedge \diff y$ aus \ref{BI11}
zur"uck, wobei unsere Orientierung
der oberen 
Hemisph"are unter der Projektion
auf die Ebene die "ubliche Orientierung des $\DR^2$ entsprach.
Nun haben wir das Gl"uck,
$x^2 \diff x \wedge \diff y = -\op{d} (x^2y\diff x)$ 
schreiben zu k"onnen.
Der Rand von 
$\vec{H}$ ist dann 
der im Gegenuhrzeigersinn orientierte Einheitskreis in der
$xy$-Ebene $S = \{(x,y,z) \mid x^2 + y^2 =1,\; z =0\}$
 und aus
dem Satz von Stokes folgt 
\begin{equation*}
\int_{\vec{H}} x^2 \diff x \wedge \diff y = \int_{\vec{S}} -x^2 y \diff x
\end{equation*}
Zur Sicherheit machen wir noch die Probe und landen mit
$$
\int_{\vec{S}}-x^2 y \diff x = \int_0^{2\pi} -\cos^2 \varphi \sin \varphi
 \op{d} (\cos \varphi)=
\int^{2\pi}_{0}\cos^2 \varphi \sin^2 \varphi \diff \varphi
$$
im wesentlichen 
bei demselben Integral wie dem, das wir bereits in \ref{BI11} berechnet
hatten.
Genauer wird der fehlende Faktor $2$ von 
$\int^\pi_0 \sin \varphi \diff \varphi$ in der 
Rechnung dort hier dadurch ausgeglichen, 
da"s das Integral bis $2\pi$ l"auft.
\end{Beispiel}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Bedeutung des Formalismus 
der Differentialformen}] 
Der hier vorgef"uhrte Beweis des Stokes'schen Satzes ist sehr kurz.
Das liegt daran, da"s die hier gew"ahlte Formulierung in der Sprache
der Differentialformen so gut mit Koordinatenwechseln vertr"aglich  ist,
 da"s wir uns beim Beweis sehr leicht auf einen  einfachen Spezialfall
zur"uckziehen k"onnen. In gewisser Weise haben wir also mit der 
Entwicklung der Sprache der Differentialformen 
die Hauptarbeit bereits geleistet.
Als wesentliche nichttriviale Aussage m"ochte ich dabei 
insbesondere die Vertr"aglichkeit
der "au"seren Ableitung mit $\mathcal C^2$-Koordinatenwechseln 
\ref{RAAb}.\ref{zh}
hervorheben, die sich
auch noch in vielen anderen Zusammenh"angen als 
ein "au"serst starkes Hilfsmittel
erweisen wird.
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiel} Wir wiederholen unser Beispiel einer Flu"sdichte \ref{StoFD} 
und "uber\-tra\-gen es in eine andere Formelwelt.  
Gegeben eine kompakte $\mathcal C^1$-berandete
Teilmenge $K\subset\DR^n$ im Sinne von \ref{Randt}
bezeichne $N:\partial K\ra\DR^n$ das \hyperref[ONFf]{\"{a}ussere Normalenfeld}. 
Gegeben
ein %im Sinne von \ref{SDi} 
stetig differenzierbares
Vektorfeld $F:K\ra \DR^n$ erkl"aren wir
seine sogenannte {\bf Quelldichte}\index{Quelldichte} oder auch
{\bf Divergenz}\index{Divergenz}  durch die Vorschrift
$\op{div} F \pdef \frac{\partial F_{1}}{\partial x_{1}} + \ldots +
\frac{\partial F_{n}}{\partial x_{n}}$. Ist $K$ sogar 
$\mathcal C^2$-berandet im Sinne von \ref{glatt}, so zeigen wir\label{SvG} den
{\bf Gau"s'schen Integralsatz}\index{Gau"s!Integralsatz von} 
$$\int_{K} \op{div} F =
\int_{\partial K}  F\!\cdot\! N $$
Bilden wir in der Tat zu $F$ wie in \ref{VFF}
die zugeh"orige  $(n-1)$-Form $\omega=\omega_F$, so finden wir
$\diff\omega =(\op{div} F)\;\diff x_{1} \wedge 
\ldots \wedge \diff x_{n}$.
Mit unseren "Ubersetzungen \ref{OTm} 
und \ref{FIF} zeigt der Satz von Stokes \ref{ASI} dann 
$$\int_{K} \op{div} F =\int_{\vec K} \diff \omega = 
\int_{\partial\vec K} \omega=
\int_{\partial K}  F\!\cdot\! N $$
In Worten ist also der
Flu"s eines Vektorfelds durch den Rand eines
$\mathcal C^2$-berandeten  Kompaktums im $\DR^n$  gleich dem
Integral  seiner Quelldichte
"uber besagtes  Kompaktum. Anschaulich mag man sich im Fall $n=2$ 
die Oberfl"ache $K$ eines ebenen Moores denken, in dem Wasser nach oben dringt
und  "uber das Moor an den Rand des Moores flie"st. 
Nehmen wir das Geschwindigkeitsfeld dieses Flusses als
unser Vektorfeld, so w"are die Divergenz eben die Quelldichte in
unserem Moor, das Randintegral mi"st die Wassermenge, die pro 
Zeiteinheit am Rand
unseres Moores herausl"auft, und unser Satz besagt,
da"s sie gleich der Wassermenge
sein mu"s, die pro 
Zeiteinheit im Inneren emporquillt.
\end{Beispiel}

\begin{figure}[htb]\centering
\includegraphics[height=9cm]{SkriptenBilder/BildEckP}\\[4mm]
\noindent Eine kompakte $2$-dimensionale Eckfaltigkeit $M$
 der Papierebene mitsamt einer Eckenpl"attung in die
daf"ur in geeigneter Weise mit $\DR^2$ zu identifizierende 
Papierebene.
\end{figure}


\begin{Definition}\label{MFEm}
Seien $X$ ein  reeller affiner Raum  endlicher
Dimension $n$ und $k\in \DN$.
Eine Teilmenge $M \subset X$ hei"se eine
{\bf $k$-Eckfaltigkeit},\index{Eckfaltigkeit} 
 wenn 
f"ur jeden Punkt $p\in M$ ein
lokales Koordinatensystem $(U,g)$ von $X$ existiert  mit
$$
U\cap M=\{ q\in U\mid  g_1(q)\leq 0,\ldots, g_k(q)\leq 0,\; g_{k+1}(q)= \ldots = g_n(q)=0\}
$$
Wir nennen dann $(U,g)$  ein
{\bf an die Eckfaltigkeit $M$ angepa"stes lokales Koordinatensystem von $X$}.
\end{Definition}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] 
Den Begriff einer \glqq Eckfaltigkeit\grqq\ gibt es 
bisher in der Literatur noch nicht. Er ist das Ergebnis
meiner  Versuche, 
eine Begrifflichkeit zu entwickeln, in der der Stokes'sche
Integralsatz ohne viel zus"atzlichen Aufwand in einer
f"ur 
Anwendungen n"utzlichen  Allgemeinheit pr"azise formuliert 
und bewiesen werden kann.  
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiele}
  Eine nulldimensionale Eckfaltigkeit  ist dasselbe wie 
eine nulldimensionale Mannigfaltigkeit alias eine 
diskrete Teilmenge. Eine eindimensionale Eckfaltigkeit  ist dasselbe wie 
eine eindimensionale Randfaltigkeit. 
Eine zweidimensionale Eckfaltigkeit 
w"are zum Beispiel ein \glqq abgeschlossenes  
Segment einer Kreischeibe\grqq. Eine dreidimensionale Eckfaltigkeit im
dreidimensionalen Raum ist etwa ein W"urfel oder ein
massiver Zylinder oder eine Vollkugel.
Jede Mannigfaltigkeit ist auch eine Eckfaltigkeit.  Eine $n$-dimensionale 
Eckfaltigkeit in einem $n$-dimensionalen Raum nenne ich auch eine
{\bf eckig berandete Teilmenge}\index{eckig berandet} 
und im $\mathcal C^l$-Fall
eine {\bf $\mathcal C^l$-eckig berandete Teilmenge},\label{zweec} die
also salopp gesprochen \glqq lokal um jeden Punkt 
mit einem $\mathcal C^l$-Diffeomorphismus
in eine offene Teilmenge einer Kopie der Standardecke transformiert werden kann\grqq.
\end{Beispiele}

\begin{Definition}
  Sei $X$ ein reeller Raum der Dimension $\op{dim}_\DR X=n$. 
  Unter einer {\bf Eckenkarte}\index{Eckenkarte}
  einer $k$-Eckfaltigkeit $M\subset X$ 
  verstehe ich ein Paar $(W,\varphi)$ bestehend aus einer offenen
  Teilmenge $W\co (\DR_{\leq 0})^{k}$ und einer injektiven Abbildung
  $$\varphi:W\ra M$$ derart, da"s es um jeden Punkt $p\in \varphi(W)$ ein an die
  Eckfaltigkeit $M$ angepa"stes lokales Koordinatensystem $(U,g)$ von $X$ gibt
  mit $U\cap M\subset\varphi(W)$ und $\varphi(g_1(q),\ldots,g_k(q))=q\;\forall q\in U\cap M$.  
\end{Definition}


\begin{Lemma}
Jede $k$-Eckfaltigkeit $M$ ist eine $k$-Fastfaltigkeit und
f"ur jede Eckenkarte 
$\varphi:W\hra M$ von $M$ 
gilt $\hyperref[rPFf]{M_{\op{reg}}}\cap \varphi(W)=\varphi(W^\circ)$.
\end{Lemma}
\begin{Bemerkungl}
  Insbesondere
ist das Komplement 
$\partial M\pdef M\backslash M_{\op{reg}}$ der Menge der \hyperref[rPFf]{regul\"aren Punkte} eine
$(k-1)$-Fastfaltigkeit. Wir nennen sie den
{\bf Rand von $M$}.\index{Rand!von Eckfaltigkeit}
Weiter ist $M_{\op{reg}}\sqcup (\partial M)_{\op{reg}}$ eine $k$-Randfaltigkeit.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
Dieser Beweis ist fast identisch zum Beweis der entsprechenden Aussage f"ur Randfaltigkeiten \ref{Krf}.  Da"s jede Eckfaltigkeit eine Fastfaltigkeit ist, scheint mir offensichtlich.
F"ur das weitere bemerken wir,
da"s gegeben zwei Eckenkarten $(V,\psi)$ und $(W,\varphi)$
 einer Eckfaltigkeit 
mit $\varphi(W)=\psi(V)$ durch Anwenden des Umkehrsatzes
\ref{UKA} 
auf den Kartenwechsel 
$\kappa=\psi^{-1}\circ \varphi$  folgt $\kappa(W^\circ)\subset V^\circ$
und durch Anwenden auf den umgekehrten Kartenwechsel sogar 
$\kappa(W^\circ)= V^\circ$.
Das Lemma folgt. 
\end{proof}



\begin{Bemerkungl}
Unter einer {\bf Orientierung} einer Eckfaltigkeit $M$ verstehen wir
eine Orientierung als\label{RandE} 
Fast\-fal\-tig\-keit alias eine Orientierung der 
Mannigfaltigkeit $M_{\op{reg}}$. 
Das ist auch dasselbe wie eine Orientierung der Randfaltigkeit
$M_{\op{reg}}\cup (\partial M)_{\op{reg}}$ und induziert damit
nach \ref{InOr}  eine Orientierung der
Mannigfaltigkeit $(\partial M)_{\op{reg}}$ alias
eine Orientierung der
Fastfaltigkeit $\partial M$,
die {\bf induzierte Orientierung des Randes}.
 \end{Bemerkungl}

\begin{figure}[htb]
  \centering
  \includegraphics[height=9cm]{SkriptenBilder/BildEcP}\\
\noindent
Ein expandierendes Gas, das durch die Ecken entweicht,
als Beispiel daf"ur, da"s die Kompaktheitsbedingung
beim Satz von Stokes
notwendig ist.
\end{figure}
\begin{Satz}[\textbf{Stokes'scher Integralsatz mit Ecken}]
\index{Stokes!Integralsatz von!mit Ecken}
Seien 
$M$  eine  orientierte $\mathcal C^2$-Eck\-fal\-tig\-keit 
der Dimension $(k+1)$ in einem endlichdimensionalen reellen
Raum\label{StEck} 
und
$\omega$ eine stetig differenzierbare $k$-Form auf einer 
halboffenen Teilmenge unseres Raums, die $M$ umfa"st und f"ur die 
$(\op{supp}\omega) \cap M$ 
kompakt ist.
Versehen wir den Rand $\partial M$ von $M$ 
mit der induzierten Orientierung, so gilt
$$\int_{\vec{M}} \diff \omega = \int_{\partial \vec{M}} \omega$$
\end{Satz}
\begin{proof}
Mit denselben Tricks wie beim 
Beweis f"ur Randfaltigkeiten \ref{ASI} 
ziehen wir uns auf den Fall 
$M=(\DR_{\leq 0})^{k+1}\subset \DR^{k+1}$ zur"uck.
Wir m"ussen damit nur  zeigen, da"s f"ur
 $i_\nu:(\Bbb{R}_{\leq 0})^{k}\ra  (\Bbb{R}_{\leq 0})^{k+1}$
das Einf"ugen einer Null an der $\nu$-ten Stelle   und 
$\eta$ eine stetig differenzierbare $k$-Form 
mit kompaktem Tr"ager auf 
$ (\Bbb{R}_{\leq 0})^{k+1}$
gilt
$$ 
\sum_{\nu=0}^{k}(-1)^{\nu}\int_{(\Bbb{R}_{\leq 0})^{k}} i_\nu^{\ast}\eta =
\int_{(\Bbb{R}_{\leq 0})^{k+1}} \diff\eta$$
Das Nachrechnen dieser Verallgemeinerung von
 Lemma \ref{LeSt} bleibe dem Leser "uberlassen.
\end{proof}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Bedeutung der Kompaktheitsannahmen}] 
Im allgemeinen gilt der Satz von Stokes 
keineswegs f"ur nichtkompakte Randfaltigkeiten,
selbst wenn am Rand \glqq nur ein  Punkt  fehlt und das die Kompaktheit
zerst"ort\grqq.
Ist zum Beispiel $Q$ ein Quadrat in der Ebene ohne die Ecken, so
k"onnen wir auf einer offenen Menge, die unser eckenloses
Quadrat umfa"st, ein Vektorfeld konstruieren, das den Flu"s 
eines expandierenden Gases beschreibt, das \glqq durch die L"ocher
in den Ecken entweicht\grqq\  aber dessen 
Flu"s
durch
die Randkanten des Quadrats verschwindet.
In dieser Allgemeinheit g"alte der Satz von Stokes also nicht.
Allerdings m"u"ste unser Gas  \glqq mit unendlicher 
Geschwindigkeit durch die Ecken pfeifen\grqq\  und sein
Geschwindigkeitsfeld k"onnte nicht stetig auf besagte Ecken
fortgesetzt werden, weshalb auch die Voraussetzungen
f"ur unseren Satz von
Stokes mit Ecken  in diesem Fall
nicht erf"ullt w"aren.
Es gibt noch sehr viel allgemeinere Versionen des 
Stokes'schen Satzes mit Ecken, vergleiche etwa \cite{KAna}, 
mit denen sich zum Beispiel auch der Flu"s durch die 
Oberfl"ache eines Ikosaeders oder einer Eiswaffel 
direkt diskutieren lie"sen. 
Der hier besprochene Fall scheint mir jedoch f"ur 
die meisten Anwendungen  ausreichend und hat den Vorteil, da"s 
sowohl seine Formulierung als auch sein Beweis
nur wenig begrifflichen Aufwand ben"otigen. 
Den Fall eines Ikosaeders kann man daraus im 
"ubrigen auch noch erhalten,
etwa indem man  besagten Ikosaeder
 in Dreieckspyramiden mit einer Ecke im Ursprung
zerlegt.
\end{Bemerkungl}





\begin{Bemerkungl}
Ich formuliere nun einige Spezialf"alle des 
allgemeinen Stokes'schen Satzes \ref{ASI}
in klassischer Notation, um die Lekt"ure "alterer Texte zu erleichtern.
Ich hoffe jedoch, da"s sich der f"ur explizite Rechnungen und theoretische
"Uberlegungen gleicherma"sen bestens geeignete
Formalismus der
Differen\-tial\-formen mit der 
Zeit auch bei den Anwendern durchsetzen wird.  
\end{Bemerkungl}


\begin{Beispiel}[\textbf{Wegintegral "uber ein Gradientenfeld}]
Seien 
$M\subset \DR^n$ eine eindimensionale Randfaltigkeit und
$\varphi:[a,b]\sira M$ eine surjektive Integrationskarte.\label{WueG} 
So besitzt $M$ genau eine 
Orientierung, f"ur die $\varphi$ eine orientierte 
Integrationskarte ist.
Gegeben eine Nullform alias Funktion $f$ auf einer halboffenen Menge
$U\co \DR^n$,
die  $M$ umfa"st, haben wir 
$\diff f=\hat s( \op{grad}f)$
und der Satz von Stokes erh"alt nach \ref{O1R} und
\ref{DisM} die Gestalt
$$\int_a^b \langle\op{grad}f,\diff\varphi\rangle  
=\Wint_{\varphi}\diff f=\int_{\vec M}\diff f=
\int_{\partial\vec M} f
=f(\varphi(b))-f(\varphi(a))$$  
In dieser Situation erhalten wir also erst einmal nur spezielle F"alle
unserer Erkenntnis $\Wint_{\varphi}\diff f
=f(\varphi(b))-f(\varphi(a))$, die wir bereits allgemeiner f"ur beliebiges 
stetig differenzierbares $\varphi:[a,b]\ra\DR^n$  gezeigt hatten.
Wir erhalten die dortige Erkenntnis im allgemeinen, wenn wir 
mit der Randfaltigkeit $\vec{I}\pdef [a,b]$ 
mit ihrer offensichtlichen Orientierung
und mit der Funktion $f\circ \varphi$ arbeiten. 
Dann ergibt sich 
$$\Wint_{\varphi}\diff f=\Wint_a^b\varphi^\ast(\diff f)=\int_{\vec{I}}\varphi^\ast(\diff f) =\int_{\vec{I}}\op{d}(f\circ \varphi)=\int_{\partial \vec{I}}f\circ \varphi
=(f\circ \varphi)|_a^b$$
\end{Beispiel}

\begin{Beispiel}[\textbf{Schwerpunkt und Auftrieb homogener K"orper}] 
Ein homogener, als da hei"st "uberall gleich dichter
 schwerer K"orper $K$ wird an einem Seil ins Wasser
gelassen. Wir wollen uns "uberlegen, da"s auch im Wasser der
Schwerpunkt unseres K"orpers in der Vertikalen unter dem 
Aufh"angepunkt bleibt. F"ur inhomogene K"orper gilt das im allgemeinen
keineswegs.
Wir denken uns unseren K"orper als kompakte glatt berandete Teilmenge
$K \subset \Bbb{R}^3$ mit Schwerpunkt auf der $z$-Achse, also 
$\int_K x = \int_K y =0$. Die Wasseroberfl"ache m"oge die Ebene
$z=0$ sein. Der Wasserdruck steigt linear mit der Tiefe, auf ein
Oberfl"achenelement der Fl"ache $\sigma $ um $p
\in \partial K$ wirkt also die Kraft $z (p) N_p \sigma $
mit $N_p$ dem nach au"sen orientierten Normalenvektor bei $p$.
Befindet sich der Aufh"angepunkt etwa in der H"ohe $h < 0$, so wird das
Drehmoment um diesen Aufh"angepunkt das Oberfl"achenintegral
\begin{equation*}
\int_{\partial K} z (p) (N_p \times (p+h \op{e}_3
)) 
\end{equation*}
Die Komponenten dieses Vektors bei $p = (x,y,z)$ mit $N_p = (N_1,N_2, N_3)$ sind
$z (N_2 (z+h) - N_3 y), z (N_3 x - N_1 (z +h))$ und $z (N_1 y - N_2 x)$ und k"onnen
auch dargestellt werden als die Skalarprodukte von $N_p$ mit den
Vektorfeldern 
$v_1 (x,y,x) = (0,z^2 + hz , - zy)$, $ v_2 (x,y,z) = (-z^2-hz, 0, zx)$
und $v_3 (x,y,z) = (zy, -zx, 0)$. Es gilt also
$\int_{\partial K} (N \cdot v_i)\sigma =0$ zu zeigen.
Mit dem Satz von Gau"s k"onnen wir diese Integrale verwandeln in
die Integrale $\int_K \op{div} v_i$ und wegen $\op{div} v_1 =-y$, $
\op{div} v_2 =x$ und $\op{div} v_3=0$ verschwinden sie in der Tat alle
drei.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}[\textbf{Klassischer Satz von Stokes}]\label{KSS}
Sei $M\subset\DR^3$ eine kompakte orientierte berandete
Fl"ache oder pr"aziser $\mathcal C^2$-Randfaltigkeit der Dimension Zwei.
Sei $N$ ihr orientiertes Normalenfeld \ref{ONFf}. 
Sei $F:U\ra \DR^3$ ein 
stetig differenzierbares Vektorfeld
auf einer offenen Teilmenge $U\co \DR^3$, 
die $M$ umfa"st, und bezeichne $\eta=\hat s(F)$
die zugeh"orige $1$-Form. So finden wir $\diff\eta=\omega_{\op{rot}F}$
in der Notation von \ref{VFF}
f"ur das
durch die Vorschrift
$$\op{rot}F=\left(\frac{\partial F_3}{\partial x_2}-
\frac{\partial F_2}{\partial x_3}\;,\;\frac{\partial F_1}{\partial x_3}-
\frac{\partial F_3}{\partial x_1}\;,\;\frac{\partial F_2}{\partial x_1}-
\frac{\partial F_1}{\partial x_2}\right)$$
ggebene Vektorfeld auf $U$. 
Dies Vektorfeld  ist die
Rotation unseres Vektorfelds $F$, wie wir sie in \ref{sr}
eingef"uhrt haben. Nehmen wir nun zus"atzlich an, der Weg $\varphi:[a,b]\ra \partial M$ sei eine positiv orientierte surjektive Integrationskarte des
Randes $\partial M$ der Randfaltigkeit $M$. 
Unser allgemeiner Satz von Stokes \ref{ASI}
spezialisiert in dieser Situation zum 
\defnoind{klassischen Satz von 
Stokes}\index{Stokes!Integralsatz von!klassischer}
$$
\int_M  N\!\cdot\! (\op{rot}F)=
\int_{\vec M}  \diff \eta=\int_{\partial\vec M}   \eta=
\int_a^b F\cdot \diff\varphi
$$
 Allgemeiner k"onnte eine 
surjektive orientierte Integrationskarte
des Randes als Definitionsbereich auch eine endliche disjunkte Vereinigung 
von kompakten Intervallen haben und dann erhalten wir rechts die 
Summe "uber die entsprechenden Wegintegrale.
In Worten ist also 
das Wegintegral eines Vektorfeldes "uber den Rand einer Fl"ache
gleich dem
Flu"s der Rotation 
des Vektorfelds durch
besagte Fl"ache. 
\end{Beispiel}
\begin{Bemerkungl}
Bei Anwendern, die haupts"achlich im $\DR^3$ arbeiten, 
ist eine andere symbolische
Schreibweise f"ur $\op{grad}$, $\op{rot}$ und 
$\op{div}$ sehr beliebt: Sie betrachten den 
sogenannten \defind{Nabla-Operator} $\nabla$, 
den man sich denkt als den \glqq Vektor von Symbolen\grqq\ 
$(\frac{\partial }{\partial x}, 
\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z})$, 
und schreiben 
\begin{description}
\item[$\nabla f=\op{grad}f,$] 
zu verstehen als symbolisches Produkt
des Nabla-Vek\-tors mit einer skalaren Funktion;
\item[$\nabla\cdot F=\op{div}f,$] zu verstehen als  symbolisches Skalarprodukt
des Nabla-Vek\-tors mit einer vektorwertigen Funktion;
das Skalarprodukt wird von diesen Anwendern meist $v\cdot w$ notiert
statt wie bei uns $\langle v,w\rangle;$
 \item[$\nabla\times F=\op{rot} F,$] zu verstehen 
als symbolisches Vektorprodukt
des Nabla-Vek\-tors mit einer vektorwertigen Funktion, wo eben das
Vektorprodukt $v\times w=(v_2w_3-v_3w_2, v_3w_1-v_1-w_3, v_1w_2-v_2w_1)$
aus der Geometrie des Raums \eref{KrPP}{LA2} zugrundegelegt wird.
\end{description}
In dieser Notation wird dann unsere Formel $\diff\diff\omega=0$ f"ur $\omega$
eine Funktion beziehungsweise eine $1$-Form auf dem $\DR^3$ verstanden
als formal-symbolische Konsequenz der Formeln
$v\times v=0$ beziehungsweise $v\cdot (v\times w)=0$ 
aus der Geometrie des Raums.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}[\textbf{Green'sche Formel}]\label{GrFo}
Sei $G\subset \DR^2$  eine kompakte
\hyperref[zweec]{$\mathcal C^2$-eckig berandete} 
Teilmenge, versehen mit der von der Standardorientierung des $\DR^2$
herkommenden Orientierung. Sei 
$\varphi:Q\ra\DR^2$ eine surjektive  orientierte
\hyperref[MFEmx]{Integrationskarte} ihres \hyperref[RandE]{Randes}
mit $Q$ einer Vereinigung der paarweise disjunkten Intervalle 
$[a_i,b_i]$ f"ur $1\leq i\leq n$.
Anschaulich sind die $\varphi:[a_i,b_i]\ra\DR^2$ St"ucke  eines
\glqq  im Gegenuhrzeigersinn auf
dem Rand umlaufenden geschlossenen Integrationswegs\grqq.
Gegeben ein stetig differenzierbares
Vektorfeld $v=(v_1,v_2)$ auf einer offenen Umgebung
von $G$ betrachten wir die $1$-Form 
$\langle v,\;\rangle=\eta=v_1 \diff x_1 +v_2 \diff x_2$.
Sie hat das Differential $\diff\eta=
(\op{rot}v)\diff x_1\wedge \diff x_2$ f"ur $$\op{rot}v=
\left(\frac{\partial v_2}{\partial x_1}-
\frac{\partial v_1}{\partial x_2}\right)$$ die in \ref{sr}
 erkl"arte skalare
Rotation eines Vektorfelds in der Ebene.
Der  Satz von Stokes mit Ecken 
\ref{StEck} spezialisiert dann zur 
{\bf Green'schen Formel}\index{Green'sche Formel}
$$\int_G 
\op{rot}v=\int_{\vec G}\diff\eta= 
\int_{\partial \vec G}\eta= 
\sum_{i=1}^n\int_{a_i}^{b_i} v\cdot\diff\varphi$$
Diese Formel konnten Sie  f"ur $G$ ein Rechteck
bereits in \ref{srq} zur "Ubung pr"ufen.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}[\textbf{Fl"ache eines ebenen Gebiets}] 
Sei  $G\subset \DR^2$ wie in \ref{GrFo} eine kompakte
\hyperref[zweec]{$\mathcal C^2$-eckig berandete} 
Teilmenge mit der von der Standardorientierung des $\DR^2$ herkommenden
Orientierung. Sei 
$\varphi:Q\ra\DR^2$ eine surjektive orientierte
\hyperref[MFEmx]{Integrationskarte} ihres \hyperref[RandE]{Randes}
mit $Q$ der Vereinigung der disjunkten Intervalle 
$[a_i,b_i]$ f"ur $1\leq i\leq n$ und mit den Komponenten 
$\varphi=(\varphi_1,\varphi_2)$.\label{FeBB} 
Betrachten wir die $2$-Form $\omega = x \diff y$ mit Differential $\diff
\omega  = \diff x \wedge \diff y$ und $\varphi^{\ast} \omega =
\varphi_{1}(t) \varphi^{\prime}_{2}(t) \diff t$, so spezialisiert
der allgemeine Satz von
Stokes \ref{ASI} 
zu einer Formel f"ur die Fl"ache des Gebietes $G$, genauer zu
der Regel
$$\int_{G} 1 =\int_{\vec G} \diff x \wedge \diff y =
\int_{\partial \vec G}  x \wedge \diff y = \sum_{i=1}^n\int_{a_i}^{b_i} \varphi_{1} (t)
\varphi^{\prime}_{2}(t) \diff t$$
F"ur achsenparallele Rechtecke pr"uft man das auch  leicht ganz explizit
 nach.
\end{Beispiel}
 \begin{Bild} 
 \includegraphics[height=0.5\textheight]{SkriptenBilder/BildGmE}\\[4mm]
 \noindent 
Die Formel \ref{FeBB} f"ur die Fl"ache eines ebenen Gebiets gilt 
nun nat"urlich ebenso f"ur \glqq Gebiete mit Ecken\grqq.
Diese Formel kann etwa angewandt werden, um ein GPS-Ger"at
so zu programmieren, da"s es einem die Fl"ache des Gebiets 
berechnet, das man bei einem Rundweg umrundet hat.
Im Spezialfall eines Gebiets, das von einem den Kanten eines
Rechenpapiers folgenden Weg im Uhrzeigersinn umrundet wird,
ergibt sich, wenn wir Stokes auf die Form $y\diff x$ anwenden, 
 die Fl"ache als die H"ohe des Schwerpunkts der 
Menge der horizontalen Kanten, wenn wir jede Kante nach rechts mit
ihrer H"ohe gewichten und jede Kante nach links mit dem
Negativen ihrer H"ohe.
F"ur die Fl"ache des obigen Gebiets ergibt sich so
$$3\times 4 + 2 - 2\times 1 -2 -3 = 7$$
\end{Bild}
\begin{Bemerkungl}
  Ich selber finde die alternative Interpretation dieser Formel
mithilfe des Gau"s'schen Integralsatzes besonders anschaulich: 
Quillt in einem Moor "uberall gleichviel Wasser hoch,
so k"onnen wir seine Fl"ache bestimmen, indem wir messen,
wieviel Wasser in einem Graben um unser Moor abl"auft. Wie genau das 
Wasser auf unserem Moor zum Randgraben l"auft, ist dabei v"ollig unerheblich. 
Statt  $\omega = x \diff y$ k"onnten wir also  ein
beliebiges $\omega$ mit $\diff\omega=  \diff x \wedge \diff y$
nehmen und so weitere Formeln f"ur die Fl"ache eines ebenen Gebiets
erhalten.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Alternativer Zugang zur Homotopieinvarianz bei Wegintegralen}]
Wir k"onnen nun auch einen besonders kurzen 
Beweis f"ur die Homoto\-pie\-invarianz von\label{STOK} 
Wegintegralen in geschlossenen Kovektorfeldern \ref{roPP}
geben f"ur den Fall, da"s wir zwei stetig 
differenzierbare Wege $\gamma, \psi : [0,1] \rightarrow A$ 
betrachten und da"s es
dazwischen
sogar eine zweimal stetig differenzierbare 
Homotopie $h:[0,1]^2 \rightarrow A$  gibt.
Wir nehmen genauer $A$ offen in einem reellen Raum $X$ an und 
$\omega :A \rightarrow \vec{X}^\ast$
ein stetig differenzierbares Kovektorfeld. Die 
Behauptung in \ref{roPP} besagt ja gerade, da"s aus 
$\diff \omega =0$ folgt $\int_\gamma \omega =\int_\psi \omega$.
Aber nun finden wir
\begin{equation*}
\int_\gamma \omega - \int_\psi \omega 
= \int_{\partial ([0,1]^{2})} h^\ast \omega 
= \int_{[0,1]^{2}} \op{d} (h^\ast \omega) =\int_{[0,1]^{2}} h^\ast (\diff\omega) =0
\end{equation*}
nach der Definition einer Homotopie, 
dem Satz von Stokes mit Ecken, der Vertr"aglichkeit des 
Zur"uckholens von Formen mit dem "au"seren 
Differential \ref{RAAb}.\ref{zh} und unserer Annahme $\diff\omega =0$.
\end{Bemerkungl}
\subsubsection*{"Ubungen}

\begin{Ubung}
Im  Fall einer stetig differenzierbaren
$k$-Form $\omega$ auf einer offenen Teilmenge eines endlichdimensionalen
rellen affinen Raums $X$\label{BAAkl}  
zeige man f"ur  $\vec{v}_0,\ldots,\vec{v}_k\in\vec X$
linear unabh"angig die Formel
$$(\diff\omega)_{x}(\vec{v}_0,\ldots,\vec{v}_k)
=\lim_{t\ra 0}\frac{1}{t^{k+1}}\int_{F(x,t\vec{v}_0,\ldots,t\vec{v}_k)} \omega$$ 
mit $F(x,\vec{v}_0,\ldots,\vec{v}_k)$  der
in geeigneter Weise orientierten Oberfl"ache eines Parallelpipeds
mit Ecke $x$ und Kantenvektoren $\vec{v}_i$, 
"uber die wir dann unsere $k$-Form integrieren.
Hinweis: Satz von Stokes mit Ecken \ref{StEck}.
\end{Ubung}



\begin{Ubung}
Man pr"ufe die  Formel f"ur die Fl"ache eines
ebenen Gebiets im Fall eines achsenparallelen
Rechtecks. 
\end{Ubung}



\subsection{Der Hodgeoperator mit Anwendungen}

\begin{Proposition}
  Gegeben ein endlichdimensionaler orientierter reeller 
  Vektorraum $V$ der Dimension $n$ mit einer nichtausgearteten symmetrischen
  Bilinarform $t$ und nat"urliche Zahlen $p,q\in\DN $ mit $p+q=n$ gibt es genau eine lineare
  Abbildung\label{HodM} 
  $\ast=\ast_t:\op{Alt}^pV\ra \op{Alt}^qV$
  mit $$\op{e}_1^\ttop\wedge \ldots \wedge\op{e}_p^\ttop\mapsto \varepsilon\eta_1\ldots\eta_p\op{e}_{p+1}^\ttop\wedge \ldots \wedge\op{e}_{n}^\ttop$$ f"ur jede
  angeordnete Orthogonalbasis $\op{e}_1, \ldots, \op{e}_n$ von $V$ der  Orientierung $\varepsilon$ mit
  $\eta_i\pdef t(\op{e}_i,\op{e}_i)=\pm 1\;\forall i$.
  Diese Abbildung hei"st der \emph{\bf Hodge-Operator} oder \emph{\bf Hodge-*-Operator}.\index{Hodgeoperator} 
\end{Proposition}
\begin{Bemerkungl} Ersetzen wir $t$ durch $\mu t$ f"ur $\mu >0$,
  so bilden die $\mu^{-1/2}{\op{e}}_i$ eine Orthogonalbasis f"ur
  $\mu t$ und die $\mu^{1/2} {\op{e}}_i^\ttop$ ihre
  duale Basis und der Hodgeoperator $\ast_{\mu t}$ bildet
  $\mu^{p/2}\op{e}_1^\ttop\wedge \ldots \wedge\op{e}_p^\ttop$
  ab auf $\mu^{q/2}\varepsilon\eta_1\ldots\eta_p\op{e}_{p+1}^\ttop\wedge \ldots \wedge\op{e}_{n}^\ttop$ und wir finden
  $$\ast_{\mu t}=\mu^{(q-p)/2}\ast_{t}$$
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkunge}[\textbf{Hodgeoperator im pseudoeuklidischen Fall}]
  In \eref{pseu}{LA2} erkl"aren wir eine
  \glqq pseudoeuklidische Struktur\grqq\ auf einem endlichdimensionalen
  reellen Vektorraum $V$ als eine Ursprungsgerade $S$
  im Raum der Bilinearformen, die nicht Ausnahme der Nill nur symmetrische
  nichtausgeartete Bilinearformen enth"alt, und konstruieren dazu
  die \glqq L"angengerade\grqq\ $\mathbb L=\mathbb L(V,S)$.
  Ist zus"atzlich $S$ mit einer Orientierung versehen, sprechen wir von einer
  \glqq orientiert pseudoeuklidischen Struktur\grqq\ und zeichnen
  so eine Teilmenge  $S_{>0}\subset S$ aus. 
  Im Fall eines orientiert
  pseudoeuklidischen orientierten $n$-di\-men\-sio\-na\-len
  Vektorraums $(V,S)$ 
 erhalten wir allgemeiner eindeutig bestimmte 
  Isomorphismen\label{HSps}
  $$\textstyle \ast:\op{Alt}^p(V)\otimes\mathbb L^{\otimes p}\sira  {\op{or}}_\DR(V)\otimes\op{Alt}^q(V)\otimes\mathbb L^{\otimes q}$$
  mit $*(v_1^\ttop\wedge\ldots\wedge v_p^\ttop)\otimes \|v_1\|\otimes\ldots\otimes \|v_p\|=\varepsilon\eta_1\ldots\eta_p\otimes(v_{p+1}^\ttop\wedge\ldots\wedge v_n^\ttop)\otimes \|v_{p+1}\|\otimes\ldots\otimes \|v_n\|$
  f"ur eine und jede angeordnete Basis
  $v_1,\ldots,v_n$ der Orientierung $\varepsilon$ aus paarweise orthogonalen Vektoren mit $\eta_i$ dem Vorzeichen von $t(v_i,v_i)$ f"ur $t\in S_{>0}$. In diesem Fall gilt
dann $\ast(\ast \beta)=\eta_1\ldots\eta_n(-1)^{pq}\beta$. 
\end{Bemerkunge}
\begin{proof} Ein m"oglicher Beweis besteht darin, das tapfer durchzurechnen.
  Dieser Zugang sei Ihnen zur "Ubung "uberlassen.
  Ein struktureller Beweis gelingt mit
  feineren Methoden der multilinearen Algebra und geht aus von einer
  gewissen Vertrautheit mit den "au"seren Potenzen $\bigwedge^r V$ eines $K$-Vektorraums $V$ nach
  \eref{ddp}{LA2}, mit ihrem Dachprodukt, mit der durch das Dachprodukt gegebenen
  nichtausgearteten Paarung $\bigwedge^pV\times \bigwedge^qV \ra \bigwedge^nV $
  nach \eref{DTPm}{LA2} und mit
  den  durch Zusammendachen und Einsetzen gegebenen
  Morphismen $$\textstyle \bigwedge^p(V^\ttop)\ra \op{Alt}^pV\sira (\bigwedge^p(V))^\ttop$$ nach \eref{cAlt}{LA2}. Weiter erinnern wir die durch unsere Bilinearform
  $t$ gegebene lineare Abbildung
  $\hat t:V\ra V^\ttop$ mit $\op{e}_i\mapsto \eta_i\op{e}_i^\ttop$ f"ur eine
  Orthogonalbasis wie oben mit $t(\op{e}_i,\op{e}_i)=\varepsilon_i$. Schlie"slich erinnern wir das durch $t$ und die Orientierung gegebene kanonische
  Element $\omega_t\in\bigwedge^nV$ maximalen Grades aus \eref{VolFF}{LA2},
  das bez"uglich  jeder Basis
  wie oben gegeben wird durch $\omega_t= \varepsilon\op{e}_1\wedge \ldots\wedge \op{e}_n$.
  Sie  liefern  Isomorphismen
  $$\textstyle \op{Alt}^pV\sira \bigwedge^p(V^\ttop)\sira \bigwedge^pV \sira
  \op{Hom}(\bigwedge^qV,\bigwedge^nV)\sira (\bigwedge^qV)^\ttop\sira \op{Alt}^qV$$
  und deren Verkn"upfung hat die behauptete Eigenschaft. 
\end{proof}

 \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Konventionen}] 
  Die in der obigen Definition des Hodge-$\ast$-Operators
\ref{HodM} versteckten 
und in gewisser Weise willk"urlichen 
Wahlen von Vorzeichen
wurden so getroffen, da"s im Fall eines 
Skalarprodukts $t$
f"ur alle $\alpha$ die $n$-Form $\alpha\wedge \ast \alpha$ auf vertr"aglich orientierten angeordneten Basen nichtnegative Werte annimmt.  
Es w"are auch nicht besser oder schlechter, die Vorzeichen
so zu w"ahlen, da"s das \glqq umgekehrte Dach-Produkt\grqq\  in diesem Sinne
\glqq positiv definit\grqq\  w"are, aber auf eine Konvention
mu"s man sich an dieser Stelle einigen.
 \end{Bemerkungl}










 
 \begin{Beispiel}
   Jedem Vektor $F\in \DR^{n+1}$ hatten wir in \ref{VFF} eine  $n$-Form
   $\omega_F\in\op{Alt}^{n}(\DR^{n+1})$ zugeordnet. 
   Jedem Vektor $v$ in einem endlichdimensionalen Skalarproduktraum $(V,t)$
   hatten wir in \ref{KoVeV} den Kovektor $\hat t(v)\in V^\ttop$
   zugeordnet. Im Fall $(\DR^{n+1},s)$ des $\DR^{n+1}$ mit seinem Standardskalarprodukt und seiner Stan\-dard\-ori\-en\-tie\-rung finden wir
    unmittelbar die Beziehung 
    $$\omega_F=\ast_s \hat s(F)$$
    Im Fall eines beliebigen endlichdimensionalen orientierten Skalarproduktraums nehmen wir diese Identit"at als Definition von $\omega_F$.  
 \end{Beispiel}

   
 \begin{Definition}
    Gegeben eine offene Teilmenge $U \co X$ eines endlichdimensionalen reellen
    Raums $X$ und eine Riemann'sche Metrik $t$ auf $U$ und ein
    differenzierbares Vektorfeld $v :U \rightarrow \vec{X}$ definieren wir die
    \defind{Divergenz} unseres Vektorfelds als die Funktion
\begin{equation*}
\op{div}_t (v) = (\ast_t \circ \op{d} \circ \ast_t \circ \;\hat t\; ) (v)
\end{equation*}
Obwohl der Hodgeoperator von der Wahl einer Orientierung abh"angt,
ist die Divergenz wegen des  doppelten Auftretens des Hodgeoperators
davon unabh"angig. Eine vielleicht noch nat"urlichere Beschreibung der
Divergenz mithilfe der \glqq Lie-Ableitung\grqq\ erkl"aren wir in \eref{dviL}{DIFF}.
\end{Definition}

  \begin{Bemerkunge}
    Die Divergenz eines Vektorfeldes ist
    dieselbe in Bezug auf je zwei Riemann'sche Metriken, die durch
    Multiplikation mit einer positiven Konstanten
    %nichtnegtiven glatten Funktion
    auseinander hervorgehen.
  \end{Bemerkunge}
 








\begin{Beispiel}\label{BSPK}
Sei $X = \Bbb{R}^3 $ mit  der Standardorientierung und
dem Standardskalarprodukt $t =s$ versehen. 
Gegeben ein differenzierbares Vektorfeld  
der Gestalt $v = a \partial_x + b \partial_y
+c \partial_z$ mit differenzierbaren Funktionen $a,b,c:\DR^3\ra\DR$ 
finden wir die "ubliche Formel $\op{div}(v)=a_x +b_y +c_z$,
indem wir rechnen
$$\begin{array}{rcl}
v &=& a \partial_x + b \partial_y
+c \partial_z\\
\hat s  (v) &=& a \diff x + b \diff y +c\diff z\\
\ast_s (\hat s  (v)) &=& a\diff y \wedge \diff z - b \diff x \wedge \diff z +
c\diff x \wedge \diff y\\
\op{d}(\ast_s (\hat s  (v))) &=& a_x\diff x\wedge \diff y \wedge \diff z - b_y \diff y \wedge \diff x\wedge \diff z +
c_z \diff z\wedge \diff x \wedge \diff y\\
\ast_s (\op{d}(\ast_s (\hat s  (v)))) &=& a_x +b_y +c_z
\end{array}$$
Hier w"are es zwar in der Tat sehr viel einfacher gewesen,
schlicht diese letzte Formel hinzuschreiben.
Unsere neue Interpretation  vertr"agt sich jedoch besser mit der Verwandtschaft,
insbesondere da die "au"sere Ableitung 
$\diff$ sich so gut mit Verwandtschaft  vertr"agt, und
erm"oglicht so eine "ubersichtliche Darstellung in anderen
orthogonalen Koordinaten.
Um etwa die Divergenz in Polarkoordinaten zu bestimmen,
erinnern wir uns daran, da"s nach \ref{PKMm}
unter der Polarkoordinatenabbildung $P$ die Standardmetrik
$s =\diff x^{\otimes 2} + \diff y^{\otimes 2}$ auf 
der $xy$-Ebene verwandt ist zum $2$-Tensor
$
g = \diff r^{\otimes 2} + r^2 \diff\vartheta^{\otimes 2}
$. Damit rechnen wir dann vergleichsweise m"uhelos 
$$\begin{array}{rcl}
v &=& a \partial_r + b \partial_\vartheta
\\
\hat g (v) &=& a \diff r + br^2 \diff \vartheta\\
\ast_g (\hat g (v)) &=&a r\diff \vartheta-br\diff r\\
\op{d}(\ast_g (\hat g (v))) &=& (a_r r+a)\diff r\wedge \diff \vartheta
+b_\vartheta r\diff r \wedge \diff \vartheta\\
\op{div}_g(v)=\ast_g (\op{d}(\ast_g (\hat g (v)))) &=& a_r+b_\vartheta+r^{-1}a
\end{array}$$%Scheint ok.
\end{Beispiel}

\begin{Definition}
Gegeben $U\co \DR^n$ und eine zweimal stetig differenzierbare 
Funktion $f:U\ra \DR$ setzen wir 
$$\Delta f =
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}_{1}} + \ldots +
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}_{n}}$$
und nennen $\Delta$ den 
 {\bf Laplaceoperator}.\index{Laplaceoperator!im $\DR^n$} 
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauung f"ur den Laplaceoperator}]
Der Wert $(\Delta f)(x)$ der durch Anwenden des Laplaceoperators
$\Delta$ auf eine Funktion $f$ entstehenden Funktion 
an einer Stelle\label{ALA} $x$ 
mi"st die
Abweichung des Funktionswerts 
bei $x$ vom Durchschnitt der Funktionswerte
in einer kleinen Umgebung von $x$.  In einer Ver"anderlichen gilt zum
Beispiel f"ur jede zweimal stetig differenzierbare Funktion
$$f'' (x) = \lim_{\varepsilon \ra 0}
\frac{2}{\varepsilon^{2}} \left(\frac{f(x +\varepsilon)+
f(x-\varepsilon)}{2} - f(x)\right)$$
Das kann der Leser mithilfe der Taylorentwicklung leicht nachpr"ufen
 und hat es vielleicht auch als "Ubung \eref{ZAb}{AN1} bereits gepr"uft. 
In mehreren Ver"anderlichen gilt in derselben Weise
f"ur jede zweimal stetig differenzierbare Funktion mit der
Notation $\op{e}_i$ f"ur
die Vektoren der Standardbasis
$$(\Delta f)(x) = \lim_{\varepsilon \ra 0}
\frac{2^n}{\varepsilon^{2}} \left(
\frac{1}{2^n}\left(\sum_{i=1}^n f(x +\varepsilon\op{e}_i)+
f(x-\varepsilon\op{e}_i)\right) - f(x)\right)$$
\end{Bemerkungl}




\begin{Bemerkungl}[\textbf{Verwandtschaftsvertr"aglichkeit des
      Laplace-Operators}]
Um den Laplaceoperator $\Delta$ 
in anderen Koordinaten auszudr"ucken,\label{LAKo}  
kann man  von
der Darstellung $$\Delta f= \ast_s \op{d} \ast_s \diff f$$  
ausgehen, mit $s$ der "ublichen
Riemann'schen Metrik auf $\Bbb{R}^n$ und $\ast_s$ dem zu dieser Metrik
und der Standardorientierung geh"orenden Hodge-$\ast$-Operator.
Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Raum $X$ und eine
offene Teilmenge $V \co X$ und
eine Riemann'sche Metrik $t$ auf $V$ setzt man allgemeiner
$$\Delta_t g= \ast_t \op{d} \ast_t \diff g$$
f"ur jede $\mathcal C^2$-Funktion $g:V\ra\DR$.
Unser urspr"unglicher Laplaceoperator ergibt sich als
als der Laplaceoperator $\Delta=\Delta_s$ zur Standardmetrik auf dem $\DR^n$.
Gegeben eine $\mathcal C^2$-Abbildung $\phi: U \rightarrow V$ mit bijektivem
Differential an jeder Stelle von offenen Teilmengen endlichdimensionaler
reeller affiner R"aume und Riemann'sche Metriken $s,t$ auf $U,V$ folgt aus der
Verwandtschaft der Metriken $\phi:s\leadsto t$
und der Verwandtschaft von Funktionen $\phi: f\leadsto g$
dann unmittelbar
die Verwandtschaft nach Anwenden des jeweiligen Laplaceoperators
$$\phi: \Delta_sf\leadsto \Delta_t g$$
Ist speziell etwa $\phi$ 
die Polarkoordinaten- oder die Kugelkoordinatenabbildung,
so l"a"st sich das ie im folgenden ausgef"uhrt
auch sehr konkret und explizit berechnen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}[\textbf{Laplaceoperator in  Polarkoordinaten}]
Wir berechnen  den Laplaceoperator
  einer Funktion $f$ in Polarkoordinaten und finden
"ahnlich wie in \ref{BSPK} der Reihe nach
$$\begin{array}{rcl}
\diff f &=& f_r \diff r + f_\vartheta \diff \vartheta\\
\ast_g (\diff f) &=&f_r r \diff \vartheta-r^{-1}f_\vartheta \diff r\\
\op{d} (\ast_g (\diff f)) &=& (f_{rr} r+ f_r + r^{-1}f_{\vartheta\vartheta})\diff r 
\wedge \diff \vartheta\\
\ast_g (\op{d} (\ast_g (\diff f))) &=& f_{rr} + r^{-1}f_r + r^{-2}f_{\vartheta\vartheta}
\end{array}$$%Forster kriegt dasselbe!
\end{Beispiel}

\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}
  Gegeben ein endlichdimensionaler orientierter
  reeller Skalarproduktraum $(V,t)$  finden wir f"ur den
  Hodgeoperator $\ast_t:\op{Alt}^pV\sira \op{Alt}^qV$ 
  f"ur alle $\lambda\in V^\ttop$ die Identit"at 
  $$*\circ(\lambda\wedge)\circ *=(-1)^{n-p+1}i_{v}$$ f"ur $\hat t:v\mapsto\lambda$  mit den Einsetzungshomomorphismen $i_v$ 
  aus \eref{inser}{LA2}. Im allgemeinen finden wir dasselbe mit einem Vorzeichen, auf das es uns hier nicht ankommen soll.\label{wedi} 
\end{Ubung}


 \begin{Ubungw}[\textbf{Anschauliche Bedeutung der Divergenz}] 
    Man zeige, da"s die Divergenz eines stetig differenzierbaren
Vektorfelds 
auf $\DR^n$ genau die \glqq lokale
    Volumen"anderung unter dem Flu"s \ref{DFlu} 
des besagten Vektorfelds\grqq\  beschreibt,
    da"s genauer f"ur jede stetige Funktion mit kompaktem Tr"ager $f$ gilt
$$\left.\frac{\diff}{\diff t}\right|_{t=0} \int f\circ X^t = -\int f
\op{div}X$$ Hier ist zu beachten, da"s auf jedem Kompaktum der Flu"s f"ur eine
positive Zeitspanne existiert. Hinweis: Man schr"anke sich auf den Fall
von glattem $f$ ein, ziehe die zeitliche Ableitung unter das
Integral und beachte, da"s das Integral "uber ganz
$\DR^n$ jeder partiellen Ableitung einer 
stetig differenzierbaren Funktion mit kompaktem Tr"ager verschwindet.
\end{Ubungw}
\begin{Ubung}\label{2F4}
  F"ur $r$-Formen $\alpha$ auf einem orientierten $n$-dimensionalen
Vektorraum mit nichtausgearteter symmetrischer Bilinearform $t$ 
und $\lambda\in\DR^\times$ pr"ufe man 
die Formel $\ast_{\lambda t}\alpha=(\lambda^r/|\lambda|^{n/2})\ast_t\alpha$.
Insbesondere gilt f"ur $2$-Formen $\alpha$ auf einem vierdimensionalen Raum
und $\lambda\in\DR^\times$  stets $\ast_{\lambda t}\alpha=\ast_t\alpha$. 
\end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{divKu}
Wir betrachten wieder Kugelkoordinaten wie in \ref{KuKo}.
Man zeige, da"s f"ur das zum Vektorfeld $a\partial_r+
b\partial_\vartheta+c\partial_\varphi$ verwandte Feld auf dem
$xyz$-Raum die Divergenz verwandt ist zur Funktion 
$a_r+b_\vartheta+c_\varphi+2r^{-1}a+b\op{cot}\vartheta$.
\end{Ubung}



\begin{Ubung}[\textbf{Mehr Anschauung f"ur den Laplaceoperator}]
Man zeige, da"s der La\-place\-operator  invariant ist unter Drehungen. 
Ist genauer $A\in\op{O}(n)$ eine orthogonale Matrix
und bezeichnet $A:\DR^n\ra \DR^n$ die zugeh"orige lineare 
Abbildung, so zeige man  f"ur jede zweimal stetig differenzierbare Funktion
$f:\DR^n\ra\DR$ die Formel $\Delta(f\circ A)=(\Delta f)\circ A$. 
Man folgere die Formel
$$(\Delta f)(x) = \lim_{\varepsilon \ra 0}
\frac{2^n}{\varepsilon^{2}} 
\left(\frac{\int_{\|y-x\|=\varepsilon} f(y)\;
\sigma\langle y\rangle}{\int_{\|y-x\|=\varepsilon} \sigma\langle y\rangle}
- f(x)\right)
$$
auf deren rechter Seite nach dem Faktor $2^n/\varepsilon^2$ 
bis auf ein Vorzeichen die Differenz 
zwischen dem Funktionswert $f(x)$ und dem  Durchschnitt der 
Funktionswerte auf einer  Kugelschale mit Zentrum in $x$ 
und Radius $\varepsilon$ steht. Hinweis: Man mittle \ref{ALA}.
Die Taylorentwicklung oben liefert in einer 
Ver"anderlichen  sogar pr"aziser 
die Darstellung $$\frac{2}{\varepsilon^{2}} \left(\frac{f(x +\varepsilon)+
f(x-\varepsilon)}{2} - f(x)\right)=(f'' (\xi^+)+f'' (\xi^-))/2$$
mit $\xi^+\in (x,x+\varepsilon)$ und  $\xi^-\in (x-\varepsilon,x)$.
\end{Ubung}
\begin{Ubunge}[\textbf{Drehinvariante Differentialoperatoren}] 
Die polynomialen Funktionen  $D\in \DC[X_1,\ldots,X_n]$
auf dem
$\DR^n$, die invariant sind unter allen Drehungen $A\in \op{SO}(n)$, 
sind genau alle Polynome im quadrierten Abstand vom Nullpunkt, in Formeln 
$$\DC[X_1,\ldots,X_n]^{\op{SO}(n)}=\DC[(X_1^2+\ldots+X_n^2) ]$$
Die Differentialoperatoren $D\in \DC[\partial_1,\ldots,\partial_n]$
mit konstanten Koeffizienten auf dem
$\DR^n$, die invariant sind unter allen Drehungen $A\in \op{SO}(n)$, 
sind genau alle Polynome im Laplace-Operator, in Formeln 
$$\DC[\partial_1,\ldots,\partial_n]^{\op{SO}(n)}=\DC[\Delta]$$
\end{Ubunge}

\begin{Ubung}[\textbf{Laplaceoperator in  Kugelkoordinaten}] 
Man zeige, da"s der Laplaceoperator  einer Funktion $f$
in den Kugelkoordinaten aus 
\ref{KuKo} gegeben wird durch die Formel 
$$\Delta f=f_{rr}+2r^{-1}f_r+r^{-2}f_{\vartheta\vartheta}
+r^{-2}f_{\vartheta}\op{cot}\vartheta+(r\op{sin}\vartheta)^{-2}
f_{\varphi\varphi}$$%Forster kriegt dasselbe!
Hinweis: Statt das direkt zu rechnen, kann man auch 
von \ref{graKu} und \ref{divKu} ausgehen.
\end{Ubung}



\begin{Ubunge}[\textbf{Die Maxwell'schen Gleichungen}]
Wir bezeichnen die Koordinaten des $\DR^4$ mit
$x,y,z,t$ und betrachten auf dem $\DR^4$ oder allgemeiner
einer halboffenen Teilmenge desselben 
eine glatte $2$-Form
\begin{eqnarray*}
F &=& E^1 \diff x \wedge \diff t + E^2 \diff y \wedge \diff t + E^3 \diff z \wedge \diff t\\
& &+ B^1  \diff y \wedge \diff z + B^2  \diff z \wedge \diff x + B^3  \diff x \wedge \diff y
\end{eqnarray*}
So ist die Gleichung $\diff F=0$ "aquivalent zu den beiden Gleichungen 
$$\op{div} B =0\qquad\text{und}\qquad
\op{rot} E = 
-\frac{\partial B}{\partial t}$$
f"ur $\op{rot}E$ die Rotation wie in \ref{sr} und
$\op{div} B$ die  Divergenz  alias die
 Summe der partiellen Ableitungen nach $x,y$ und $z$
wie in \ref{SvG}.
Leser mit physikalischer Vorbildung erkennen % f"ur $H=cB$ 
die beiden ersten 
Maxwell'schen Gleichungen im Vakuum.
% Wie man sogar alle vier
%  Maxwell'schen Gleichungen im Vakuum "ahnlich elegant formulieren kann,
% wird in \eref{MaGe}{WB} erkl"art. 
Betrachten wir zus"atzlich  die sogenannte \glqq Lorentzmetrik\grqq\ 
$$l \pdef \diff x^{\otimes 2} + \diff y^{\otimes 2}  + \diff z^{\otimes 2}  -c^2 
\diff t^{\otimes 2}$$
mit einer reellen Konstante $c\neq 0$, so ist 
 die Gleichung $ \diff (\ast_l F)=0$ "aquivalent zu den beiden anderen 
Maxwell'schen Gleichungen im Vakuum\label{MaGee} 
$$
\op{div} E =0\quad\text{ und }\quad 
c^{ 2}\op{rot} B = 
\frac{\partial E}{\partial t}$$
 Der Formalismus der Verwandtschaft von
Differentialformen sagt uns dann,
in welcher Weise ein elektromagnetisches Feld $F$ in andere
Koordinaten umgeschrieben werden mu"s, und da"s  die 
Maxwell'schen Gleichungen in diesem Sinne
nicht von der Wahl der Koordinaten abh"angen.
\end{Ubunge}

\begin{Bemerkunge}[\textbf{Lichtwellen}]
 Fassen wir die Raumzeit in der
in \eref{psEUS}{LA2} erkl"arten Weise auf als einen
pseudoeuklidischen Raum $X$ von Typ $(3,1)$, so ist ein elektromagnetisches
Feld eine glatte Zweiform $F:X\ra \op{Alt}^2(\vec X)$ und die Maxwell'schen
Gleichungen im Vakuum bedeuten die Bedingungen
$$\diff F=\op{d}(\ast F)=0$$
  Wir denken uns nun allgemeiner einen endlichdimensionalen
  Raum $X$ mit einer symmetrischen nichtausgearteten Bilinearform
  $l$ auf $\vec X$ und interessieren uns f"ur
  komplexe $p$-Formen
  $F:X\ra \op{Alt}^p(\vec X)\otimes_\DR\DC$ mit
  $\diff F=0$ und $\op{d}(\ast_lF)=0$.
  Speziell untersuchen wir L"osungen der Gestalt
  $$F(p+\vec v)=\op{exp}({\op{i}}\lambda(\vec v))A$$
  mit $A\in \op{Alt}^p(\vec X)_\DC$. 
  F"ur die Funktion $\vec X\ra\DC$, $\vec v\mapsto \op{exp}({\op{i}}\lambda(\vec v))$  finden
wir als Differential  $\diff\op{exp}({\op{i}}\lambda(\vec v))=\op{exp}({\op{i}}\lambda(\vec v)){\op{i}}\lambda $ und
  unsere Gleichungen  $\diff F=0$ und $\op{d}(\ast_lF)=0$ f"ur $F(p+\vec v)=\op{exp}({\op{i}}\lambda(\vec v))A$ erweisen sich als "aquivalent zu  $\lambda\wedge A=0$ sowie $\lambda\wedge (\ast_l A)=0$. Bezeichne $l$ auch die  auf $\vec X^\ttop$ induzierte Bilinearform. Im Fall $l(\lambda,\lambda)\neq 0$ k"onnten wir $\lambda$ zu einer
  orthogonalen Basis von $\vec X^\ttop$ erg"anzen. Indem wir dann $A$ in der
  zugeh"origen Basis der "au"seren Potenz schreiben, folgt sofort $A=0$.
  Aus $A\neq 0$ folgt mithin $$l(\lambda,\lambda)=0$$
  Im Fall $\lambda=0$ erhalten  wir so
  die konstanten L"osungen $F=A$ f"ur $A$ beliebig.
  Gilt dahingegen $\lambda\in \vec X^\ttop\backslash 0$, so bedeutet 
 unsere Erkenntnis $l(\lambda,\lambda)=0$
  im Fall
  der Maxwell'schen Gleichungen, da"s sich \glqq Lichtwellen mit
  Lichtgeschwindigkeit ausbreiten\grqq.
  Jetzt konzentrieren wir uns auf den Fall der Raumzeit.
 Unter der Annahme $\lambda\neq 0$ folgt aus $\lambda\wedge A=0$ sofort
  $A=\lambda\wedge \mu$. Au"serdem ist 
  $\lambda\wedge(* A)=0$  mit \ref{wedi} gleichbedeutend zu 
  $i_{l(\lambda,\;)}(A)=0$ und wegen $l(\lambda,\lambda)=0$ weiter zu
  $l(\lambda,\mu)=0$. M"ogliche L"osungen der Gleichungen $\lambda\wedge A=0=\lambda\wedge(* A)$ f"ur $A\in \op{Alt}^2(\vec X)$ sind also  alle
  $$A=\lambda\wedge\mu$$ mit $l(\lambda,\mu)=0$, wobei
  $\mu$ und $\mu+b\lambda$ f"ur alle $b\in \DR$ dieselbe L"osung $A$ liefern.
  Zeichnen wir nun eine Zeitachse aus, also eine Gerade $\vec T\subset \vec X$,
  auf der $l$ negativ definit ist, und setzen $\vec R\pdef T^\perp$ und
  zerlegen $\vec X=\vec T\oplus \vec R$ und zerlegen $\lambda=\tau + \eta$
  entsprechend, so kann jede L"osung eindeutig in der Form
  $A=\lambda\wedge\mu$ geschrieben werden mit $\mu\in \vec R\cap \eta^\perp$.
  Anschaulich gesprochen ist $\vec R$ der dreidimensionale Raum der
  r"aumlichen Richtungsvektoren in Bezug auf unsere ausgezeichnete Zeitachse,
  der r"aumliche Richtungsvektor $\eta$ kodiert Richtung und Frequenz unserer
  Lichtwelle und $\vec R\cap \eta^\perp$ ist der zweidimensionale Raum der
  r"aumlichen auf der Lichtrichtung $\eta$ senkrechten Richtungsvektoren.    
  Jede komplexe L"osung f"ur $A\in  \op{Alt}^2(\vec X)_\DC$ hat dann entsprechend die Gestalt
  $A=\lambda\wedge\mu$ mit
  $\mu\in (R\cap \eta^\perp)_\DC$ und wir erhalten auch einen
  Isomorphismus zwischen $(R\cap \eta^\perp)_\DC$ und dem Raum der
  reellen L"osungen der Gestalt $F(p+\vec v)=\op{exp}({\op{i}}\lambda(\vec v))A^++\op{exp}(-{\op{i}}\lambda(\vec v))A^-$ durch die Vorschrift
  $$\mu\mapsto \op{Re}\big(\op{exp}({\op{i}}\lambda(\vec v))\lambda\wedge \mu\big)$$
   In der
  physikalischen Terminologie kodiert unser Kovektor $\lambda$ die
  \glqq Ausbreitungsrichtung und Frequenz\grqq\ unserer Lichtwelle und
  $\mu\in (R\cap \eta^\perp)_\DC$  ihre \glqq St"arke und Polarisierung\grqq.
  Schreiben wir $\mu=\mu_1 + {\op{i}}\mu_2$ mit
  $\mu_1,\mu_2\in (R\cap \eta^\perp)$, so erkennen wir unschwer, da"s
  wir $\alpha\in S^1$ finden k"onnen mit
  $\alpha\mu=\mu_1' + {\op{i}}\mu_2'$ und $\mu_1' \perp\mu_2'$.
  Der allgemeine Fall hei"st der Fall {\bf elliptischer Polarisierung}.
  Im  Fall $\mu_1 \perp \mu_2$ und $\|\mu_1\|= \|\mu_2\|$ spricht man
  von  {\bf zirkularer Polarisierung} und im Fall von linear abh"angigen
  $\mu_1,\mu_2$ von {\bf linearer Polarisierung}.\index{Polarisierung} 
\end{Bemerkunge}

\begin{Bemerkunge}
  Auf einem Raum $V$ einer geraden Dimension $2n$ mit nichtausgearteter
symmetrischer Bilinearform $l$ h"angt nach \ref{HSps}
sogar $\ast_l:\op{Alt}^nV\ra \op{Alt}^nV\otimes\op{or}_\DR V$
nur von der durch $l$ repr"asentierten pseudoeuklidischen Struktur
ab. Das zeigt die \glqq konforme Invarianz\grqq\ der Maxwell'schen
Gleichungen.
\end{Bemerkunge}


 





 

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "XXAN2"
%%% End: 
