\section{Der Satz von Stokes}
Im vorigen Abschnitt haben wir 
unser Kurvenintegral aus \eref{KI}{AN1} verallgemeinert zum Integral einer
Funktion "uber eine Eckfaltigkeit in einem $\DR^n$. 
In diesem Abschnitt werden wir unser Wegintegral aus \ref{WII}, 
d.h.\ das Integral
eines Kovektorfelds auf einem endlichdimensionalen reellen Raum
l"angs eines Weges  verallgemeinern 
zum Integral einer \glqq $k$-Form\grqq\  auf einem endlichdimensionalen 
reellen Raum 
"uber eine  \glqq orientierte\grqq\  $k$-dimensionale
Eckfaltigkeit. Als Spezialf"alle enth"alt diese Konstruktion 
inbesondere die Definition des \glqq Flusses eines Vektorfelds in $\DR^3$
durch eine  orientierte Fl"ache in $\DR^3$\grqq.
Unser eigentliches Ziel ist dann der sogenannte 
\glqq allgemeine Satz von Stokes\grqq\  \ref{ASI},
der den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung \eref{HSS}{AN1} auf
h"ohere Dimensionen verallgemeinert.






\subsection{Multilineare Algebra und Dachprodukt}
\label{MAD} 
\begin{Definition}\label{BAD}
Sei $k$ ein K"orper. Gegeben ein $k$-Vektorraum $V$ und eine
nat"urliche Zahl $p$ bilden wir den Raum der {\bf
alternierenden $p$-Multilinearformen}\index{alternierende $p$-Form}
oder kurz 
{\bf $p$-Formen}\index{Alt@$\op{Alt}$!Raum alternierender Formen} 
$$\op{Alt}^{p} V \pdef \{\omega : V \times \ldots \times V \ra k 
\mid \omega \text{ ist
multilinear und alternierend}\}$$
Hier meint alternierend wie in \eref{aLT}{LA1},
 da"s $\omega (v_{1}, \ldots, v_{p})$
verschwindet, wann immer es $i \neq j$ gibt mit $v_{i} =v_{j}$.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
  Hat unser K"orper nicht die Charakteristik $2$, so ist es gleichbedeutend zu
  fordern, da"s $\omega(v_{1}, \ldots, v_{p})$ sein Vorzeichen "andert wenn
  man zwei Eintr"age $v_{i}$ und $v_{j}$ vertauscht, daher die Bezeichnung
  \glqq alternierend\grqq.  Unter Nullformen verstehen wir Skalare, in Formeln setzen
  wir also $\op{Alt}^{0} V =k$. Einsformen sind Elemente des Dualraums
alias Linearformen, wir
  haben also $\op{Alt}^{1}V = V^{\top}$. Gegeben Linearformen
$f_{1}, \ldots, f_{p} \in
  V^{\top}$ definieren wir ein Element $\op{alt}( f_{1}, \ldots , f_{p}) \in
  \op{Alt}^{p}V$ durch die Vorschrift\index{alt@$\op{alt}$ Alternator}
$$\op{alt}(f_{1}, \ldots , f_{p})  (v_{1}, \ldots, v_{p}) 
\pdef \det (f_{i} (v_{j}))$$
\end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkungl}
 Wir werden unmittelbar im Anschlu"s das Dachprodukt 
von alternierenden Multilinearformen 
einf"uhren und
dessen Assoziativit"at beweisen ebenso wie die Formel 
  $\op{alt}(f_{1}, \ldots , f_{p}) =f_{1}\wedge \ldots \wedge f_{p}$. 
Sobald das geleistet ist, wird die Notation $\op{alt}(f_{1}, \ldots , f_{p})$
obsolet werden.
\end{Bemerkungl}







\begin{Bemerkunge}\label{hju}
Im Rahmen unserer Diskussion des
  Tensorprodukts  werden die Begriffsbildungen 
dieses Abschnitts auch noch unter einem 
anderen Gesichtspunkt 
besprochen. 
Genauer konstruieren wir in \eref{Altt}{LA2} einen kanonischen
Isomorphismus zwischen dem hier definierten Raum  $\op{Alt}^{p} V$ der 
alternierenden Multilinearformen auf $V$ und dem Dualraum 
$\left(\bigwedge^pV\right)^\top$ seiner
dort definierten $p$-ten "au"seren Potenz
$\bigwedge^pV$. Zus"atzlich erkl"aren wir in \eref{APDn}{LA2}  
f"ur endlichdimensionales $V$  
kanonische Isomorphismen $\left(\bigwedge^pV\right)^\top
\sira \bigwedge^p(V^\top)
$ zwischen den Dualr"aumen der "au"seren Potenzen 
und  den "au"seren Potenzen des Dualraums
und erhalten so  zusammen einen 
kanonischen Isomorphismus 
 $\op{Alt}^{p} V\;\;\sira\;\; \bigwedge^p(V^\top)$.
\end{Bemerkunge}


\begin{Bemerkungl}\label{BADv}
  Sind Linearformen $f_{1}, \ldots, f_{n} \in V^{\top}$ gegeben und ist $I
  \subset \{1,\ldots , n\}$ eine Teilmenge mit $p$ Elementen, so setzen wir
$$f_{I} \pdef \op{alt}(f_{i_{1}} , \ldots , f_{i_{p}}) \in
\op{Alt}^{p}V$$ f"ur $i_{1}< \ldots < i_{p}$ die der Gr"o"se nach gereihten
Elemente von $I$. F"ur $I = \emptyset$ vereinbaren wir $f_{\emptyset} =1$.
\end{Bemerkungl}

\begin{Proposition}[\textbf{Basis des Raums der $p$-Formen}]
Ist $V$ ein Vektorraum und $f_{1}, \ldots,
f_{n}$ eine Basis von $V^{\top}$, so bilden die $f_{I}$ aus\label{BA} 
\ref{BADv} mit $|I| =
p$ eine Basis von $\op{Alt}^{p}V$.
\end{Proposition}
\begin{proof}[Beweis]
Ist $v_{1}, \ldots, v_{n}$ die duale Basis von $V$ und ist auch $J
=\{j_{1}, \ldots , j_{p}\} \subset \{ 1,\ldots , n\}$ gegeben mit
$j_{1} < \ldots < j_{p}$, so gilt offensichtlich
$$f_{I} (v_{j_{1}}, \ldots, v_{j_p}) = \left\{ \begin{array}{rl}
1 & I=J;\\ 0 &\text{sonst}.
\end{array} \right. $$
Das zeigt die lineare Unabh"angigkeit der $f_{I}$. Andererseits
ist klar, da"s eine alternierende Multilinearform schon festgelegt
wird durch ihre Werte auf den $p$-Tupeln
$(v_{j_{1}}, \ldots, v_{j_p})$ mit $j_{1}<\ldots < j_p$.
Das zeigt, da"s die $f_{I}$ auch $\op{Alt}^{p}V$ erzeugen.
\end{proof}

\begin{Bemerkungl}
  Im Vorgriff auf unsere zuk"unftige Notation 
$f_{1}\wedge \ldots \wedge f_{p}$ f"ur
$\op{alt}(f_{1}, \ldots , f_{p})$ w"are im Fall eines vierdimensionalen 
Vektorraums $V$ mit einer Basis $f_1,\ldots, f_4$ seines Dualraums also
$\op{Alt}^{2}V$ ein Raum der Dimension $6$ mit Basis
$f_1\wedge f_2$, $f_1\wedge f_3$, $f_1\wedge f_4$, $f_2\wedge f_3$, 
$f_2\wedge f_4$, $f_3\wedge f_4$. 
\end{Bemerkungl}


\begin{Proposition}\label{DaPr}%\label{DP}
Seien $k$ ein K"orper,
 $V$ ein  $k$-Vektorraum endlicher Dimension und $p,q \geq 0$.
So gibt es genau eine bilineare Abbildung, das {\bf\em
Dachprodukt}\index{Dachprodukt}\index{$\wedge$!Dachprodukt}
$$\begin{array}{ccc}
\op{Alt}^{p} V \times \op{Alt}^{q}V & \ra & \op{Alt}^{p+q}V\\
(\omega\quad, \quad \eta) &\mapsto &\omega \wedge \eta
\end{array}$$
derart, da"s  f"ur alle $f_{1},
\ldots , f_{p+q} \in V^{\top}$ gilt $$\op{alt}(f_{1} , \ldots , f_{p}) \wedge
\op{alt}(f_{p+1} , \ldots , f_{p+q}) = \op{alt}(f_{1} , \ldots ,
f_{p} , f_{p+1} , \ldots , f_{p+q})$$
\end{Proposition}
\begin{Bemerkungl}
Mit \ref{BA} folgt
unmittelbar die {\bf Assoziativit"at des Dachprodukts}
$$(\omega \wedge \eta)\wedge\xi=
\omega \wedge (\eta\wedge\xi)$$
Damit brauchen wir auch bei l"angeren Dachprodukten keine
Klammern zu setzen und unsere Notation \glqq $\op{alt}$\grqq\  wird 
schon wieder obsolet, 
denn offensichtlich folgt 
aus der Proposition auch 
$$\op{alt}(f_{1} , \ldots , f_{p})=f_{1} \wedge \ldots \wedge f_{p}$$
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkunge}
  Ein nat"urlichere Konstruktion des Dachprodukts besprechen wir im Rahmen der
  multilinearen Algebra in \eref{ddp}{LA2}.  Sie m"ogen zur "Ubung zeigen,
  da"s unter unserem Isomorphismus \ref{hju} das Dachprodukt aus
  \eref{ddp}{LA2} genau unserem Dachprodukt aus \ref{DaPr} entspricht,
  vergleiche auch \eref{ddp}{LA2}.  In der Tat reicht es angesichts der
  Assoziativit"at beider Dachprodukte, diese Behauptung im Fall des
  Dachprodukts zweier Linearformen zu pr"ufen, und in diesem Fall ist sie
  schnell nachgerechnet.
\end{Bemerkunge}

\begin{Bemerkunge}
  Die Formel aus dem anschlie"senden Beweis definiert auch f"ur
alternierende Formen auf einem nicht notwendig endlichdimensionalen
Raum ein assoziatives Produkt $\wedge$. Der Beweis bleibe dem Leser
"uberlassen ebenso wie der Nachweis der graduierten Kommutativit"at
\ref{GrDac} in dieser Allgemeinheit. F"ur unsere Belange reicht der
endlichdimensionale Fall aus.  
\end{Bemerkunge}

\begin{proof}[Beweis]
Die Eindeutigkeit folgt sofort aus \ref{BA} 
und nur die Existenz ist noch zu zeigen.
Wir betrachten dazu die Menge $\cal{S}_{p,q} \subset \cal{S}_{p+q}$ aller
Permutationen, die die Reihenfolge der ersten $p$ Eintr"age und
die der letzten $q$ Eintr"age unver"andert lassen.
Stellen wir uns unsere Permutationen als Mischvorschriften f"ur ein
Spiel von $p+q$ Karten vor, so heben wir also $p$ Karten ab
und schieben die beiden so gebildeten Stapel von $p$ bzw.\ $q$ Karten
irgendwie ineinander.
Solche Permutationen hei"sen auch 
{\bf $(p,q)$-Shuffles}\index{Shuffle}, in
Formeln haben wir 
\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildShuffle}\\[4mm]
\noindent Ein $(3,4)$-Shuffle
\end{figure}
$$\cal{S}_{p,q} =\{\sigma \in \cal{S}_{p+q} \mid \sigma (1) < \ldots <
\sigma (p)\text{ und }\sigma (p+1) < \ldots < \sigma (p +q)\}$$
Weiter betrachten wir in $\cal{S}_{p+q}$ die
Untergruppe $\cal{S}_{p}\times \cal{S}_{q}$ aller Permutationen, die die
ersten $p$ Eintr"age unter sich vertauschen und die letzten $q$
Eintr"age ebenso.
Die Verkn"upfung von Permutationen liefert dann offensichtlich eine Bijektion
$$\cal{S}_{p,q} \times (\cal{S}_{p} \times \cal{S}_{q}) \sira \cal{S}_{p+q}$$
Jetzt definieren wir 
f"ur $\omega $ und $\eta$ wie oben
eine Multilinearform $\omega \wedge \eta$
durch die Vorschrift
$$
(\omega \wedge \eta) (v_{1} , \ldots , v_{p+q}) = \sum_{\sigma
\in \cal{S}_{p,q}} \op{sgn} (\sigma)\; \omega (v_{\sigma (1)} , \ldots ,
v_{\sigma (p)}) \;\eta (v_{\sigma(p+1)}, \ldots , v_{\sigma
(p+q)})
$$
Betrachten wir andererseits unsere Definition 
$$\op{alt}(f_{1} , \ldots ,
f_{n}) (v_{1}, \ldots , v_{n})=  \sum_{\tau
\in \cal{S}_{n}} \op{sgn} (\tau) f_{1} (v_{\tau (1)}) \ldots f_{n}
(v_{\tau (n)})$$ f"ur $n=p,q$ und setzen  in
die Definition von $\wedge$ ein,  
so ergibt sich mithilfe unserer 
Zerlegung $\cal{S}_{p,q} \times (\cal{S}_{p} \times
\cal{S}_{q}) \sira \cal{S}_{p+q}$  wie gew"unscht
$$\op{alt}(f_{1} , \ldots , f_{p}) \wedge
\op{alt}(f_{p+1} , \ldots , f_{p+q}) = \op{alt}(f_{1} , \ldots ,
f_{p} , f_{p+1} , \ldots , f_{p+q})$$
Die Bilinearit"at von $\wedge$ zeigt
dann weiter, da"s die Multilinearform 
$\omega \wedge \eta$ auch im allgemeinen 
alternierend ist, so da"s unsere Formel f"ur
$\wedge$  in der Tat eine Abbildung
$\op{Alt}^{p} V \times \op{Alt}^{q}V  \ra  \op{Alt}^{p+q}V$
mit den geforderten Eigenschaften liefert.
\end{proof}


\begin{Lemma}[\textbf{Graduierte Kommutativit"at des Dachprodukts}]
Sei $V$ ein %endlichdimensionaler 
Vektorraum. F"ur beliebige 
$\omega \in \op{Alt}^{p}V$ und
$\eta \in \op{Alt}^{q}V$ gilt\label{GrDac} 
$\omega \wedge \eta = (-1)^{pq}\eta \wedge  \omega$.
Bezeichnet\index{${\mid}\omega{\mid}$!Grad der Form $\omega$}   
$|\omega| $ den Grad von $\omega$,
also $|\omega |=p$ f"ur $\omega \in \op{Alt}^{p}$, so k"onnen wir diese
Regel auch schreiben in der Gestalt
$$\omega \wedge \eta = (-1)^{|\omega||\eta|}\eta \wedge  \omega$$
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
Aus \ref{DaPr} folgt sofort $f_{\sigma(1)} \wedge
\ldots \wedge f_{\sigma(n)} = (\op{sgn} \sigma)f_{1}\wedge \ldots \wedge f_{n}$
f"ur jede Permutation $\sigma \in \cal{S}_{n}$
und alle  $f_{1}, \ldots, f_{n} \in V^{\top}$. 
Die Permutation $\sigma \in \cal{S}_{p+q}$, die die ersten $p$ Eintr"age an den
Schlu"s schiebt und die letzten $q$ Eintr"age an den Anfang, 
hat aber nach \eref{FehS}{LA1} das Signum $\op{sgn} (\sigma) = (-1)^{pq}$.
Das Lemma folgt so zun"achst f"ur $\omega, \eta$ 
iterierte Dachprodukte und dann auch f"ur allgemeine
endlichdimensionale R"aume. Der Fall unendlichdimensionaler R"aume
ist hier nicht relevant und bleibe dem Leser zur "Ubung.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Funktorialit"at alternierender Multilinearformen}]
Zu jeder linearen Abbildung
$L:V\ra W$ bilden wir wie in \eref{NTAb}{LA1} ihre\label{ZHd} 
transponierte Abbildung $L^\top:W^\top\ra V^\top$, $f\mapsto f\circ L$
und allgemeiner auch die linearen Abbildungen
$$
\begin{array}{cccl}
L^\top:&\op{Alt}^p W&\ra&\op{Alt}^p V\\
&\omega&\mapsto &\omega\circ
(L\times\ldots\times L)
\end{array}
$$   
mit $L\times\ldots\times L$ wie in  \ref{KrAA},
als da hei"st $(L^\top \omega)(v_1,\ldots, v_p)=\omega(Lv_1,\ldots, Lv_p)$.
Aus den Definitionen folgen leicht die Formeln
$\op{id}^{\top}=\op{id}$ und $(L\circ M)^{\top}=M^{\top}\circ L^{\top}$ 
f"ur die transponierten\label{DAFF} 
Abbildungen sowie die Vertr"aglichkeit mit dem Dachprodukt
$$L^{\top}(\omega\wedge\eta)=(L^{\top}\omega)\wedge(L^{\top}\eta)$$  
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkunge}
  In der Sprache der Kategorientheorie \eref{DefF}{LA2} bilden demnach f"ur
  jedes $p$ die Zuordnungen $V\mapsto \op{Alt}^p V$, $L\mapsto L^\top$ einen
  kontravarianten Funktor $\op{Alt}^p$ von der Kategorie der $k$-Vektorr"aume
  in sich selber, dessen Effekt auf Morphismen ich nur der Bequemlichkeit der
  Notation halber $L\mapsto L^\top$ statt $L\mapsto \op{Alt}^p(L)$ notiert
  habe, und $V\mapsto \op{Alt} V\pdef \bigoplus \op{Alt}^p V$ ist ein
  kontravarianter Funktor von der Kategorie der $k$-Vektorr"aume in die
  Kategorie der $k$-Ringalgebren.
\end{Bemerkunge}


\begin{Lemma}[\textbf{Dachprodukt und Determinante}]
Gegeben ein $n$-di\-men\-sio\-na\-ler Vektorraum $V$ 
und eine lineare Abbildung $L:V\ra V$\label{DDP}
gilt $$L^{\top}=(\op{det}L):\op{Alt}^nV\ra \op{Alt}^nV$$
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
Ist $V$ ein $n$-di\-men\-sionaler Vektorraum, 
so ist $\op{Alt}^nV$ eindimensional.
F"ur $L:V\ra V$ linear mu"s also $L^{\top}:\op{Alt}^nV\ra \op{Alt}^nV$ die 
Multiplikation mit einem Skalar aus dem Grundk"orper sein. 
Ist $v_1,\ldots,v_n$ eine Basis von $V$ und $f_1,\ldots,f_n$
die duale Basis von $V^\top$, so ist $f_1\wedge\ldots\wedge f_n$ eine 
Basis von $\op{Alt}^nV$ und das Lemma folgt mit
expliziter Rechnung, f"ur $(\op{det}L)$ die 
Determinante der Matrix von $L$ in der gew"ahlten Basis. 
Da"s die fragliche Determinante von der Wahl der Basis gar nicht abh"angt
und deshalb in der Tat $(\op{det}L)$ notiert werden darf, erh"alt man
als Konsequenz.
\end{proof}
\begin{Bemerkunge}\label{ABM}
Nehmen wir \ref{DAFF} und \ref{DDP} zusammen, so ergibt sich unmittelbar die
Multiplikationsformel f"ur Determinanten \eref{MuDet}{LA1}.
\end{Bemerkunge}
\begin{Bemerkunge}
Gegeben endlichdimensionale Vektorr"aume $V,W$ 
und Formen $\omega\in \op{Alt}^pV$ und $\eta\in \op{Alt}^qW$
k"urzen wir  die 
$(p+q)$-Form $(\op{pr}_1^\top\omega)\wedge(\op{pr}_2^\top\eta)$ auf $V\times W$
auch gerne mit $\omega\wedge\eta$\index{$\wedge$!"au"seres Dachprodukt} 
ab und hoffen, da"s der Leser aus dem
Kontext erschlie"sen kann, wann $\wedge$ dieses \glqq "au"sere Dachprodukt\grqq\ 
meint und wann das \glqq innere Dachprodukt\grqq\  aus \ref{DaPr}. 
\end{Bemerkunge}
\begin{Bemerkungl}
F"ur einen Vektorraum $V$ der Dimension $\dim V = n$ liefert das
Dachprodukt $V^\top \times \op{Alt}^{n-1} V \ra \op{Alt}^{n}V$ eine
nichtausgeartete Paarung,
als da hei"st, 
jeder Isomorphismus $\op{Alt}^{n}V\sira \Bbb{R}$ 
liefert vermittels unserer Paarung einen
Isomorphismus $\op{Alt}^{n-1}V \sira V$.
\end{Bemerkungl}













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%%% End: 
