\subsection{Differentialformen h"oheren Grades}\label{GHB}
\begin{Definition}
Sei $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum und $U \subset X$
eine  Teilmenge.
Ein  {\bf Feld von relativen $p$-Formen\index{Differentialform!relative}}
oder k"urzer eine {\bf  $p$-Form auf $U$}\label{FvpF} ist eine Abbildung
$$
\begin{array}{cccc}\omega :&U &\ra& \op{Alt}^{p}\vec{X}\\ 
& x &\mapsto &\omega_{x}
\end{array}$$
die also ausgeschrieben 
jedem Punkt $x\in U$ eine alternierende $p$-Multilinear\-form
$\omega_x:\vec{X}\times\ldots\times \vec{X}\ra\DR$ zuordnet. 
Den Raum aller relativen $p$-Formen auf $U$ notieren wir 
$\Omega^p_X(U)$. Wenn wir hoffen, da"s die genaue Bedeutung aus
dem Kontext hervorgeht, sprechen wir auch oft abk"urzend schlicht von
 {\bf Differentialformen}.\index{Differentialform} 
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie: Relative Differentialformen}] 
Sp"ater werden wir ganz allgemein Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten
erkl"aren als Zuordnungen, die jedem Punkt eine alternierende 
Multilinearform auf dem Tangentialraum am entsprechenden Punkt zuordnen.
Im Fall einer eingebetteten Mannigfaltigkeit  $U\subset X$  
positiver Kodimension ist das nat"urlich etwas
anderes, als jedem Punkt eine alternierende 
Multilinearform auf dem Richtungsraum des umgebenden affinen Raums
zuzuordnen.
Das ist der Grund, aus dem ich das hier eingef"uhrte  elementare Konzept
eine \glqq relative Differentialform\grqq\  genannt habe. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie: Formen und Formenfelder}] 
In der hier und im vorhergehenden Abschnitt
eingef"uhrten abgek"urzten Terminologie  
kann eine \glqq $p$-Form auf $U$\grqq\ 
zwei sehr verschiedene Dinge bedeuten: Entweder ist $U$ ein
$k$-Vektorraum und unsere $p$-Form ist ein Element von
$\op{Alt}^p(U)$, also eine alternierende multilineare  
Abbildung $\omega: U\times\ldots\times U\ra k$, oder aber
$U$ ist Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Raums 
 $X$ und unsere $p$-Form ist eine Abbildung 
$\omega:U\ra \op{Alt}^p(\vec{X})$ mit $x\mapsto \omega_x$.
Man sollte deshalb eigentlich  letztere Objekte stets als
 \glqq Felder von $p$-Formen\grqq\  ansprechen,  sie stehen ja auch 
zu alternierenden $p$-Multilinearformen in derselben Beziehung wie 
 Vektorfelder zu Vektoren.
Von Formenfeldern aber redet kein Mensch. Ich 
will deshalb  auch nicht damit anfangen, und der Leser mu"s aus dem Kontext 
erschlie"sen, welche Bedeutung im Einzelfall gemeint ist.
\end{Bemerkungl}




\begin{Beispiel}
Eine $0$-Form auf $U$ ist 
eine Funktion $f: U \ra \Bbb{R}$  und eine
 $1$-Form auf einer halboffenen Teilmenge  $U$ 
ein  Kovektorfeld  
im Sinne von \ref{FKF}.
Ist $U\subset X$ 
eine halboffene Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Raums,
so schreiben wir statt $\Omega^p_X(U)$ meist
$\Omega^p(U)$, da in diesem Fall unsere relativen Differentialformen   mit 
den "ublichen Differentialformen auf abstrakten Mannigfaltigkeiten
"ubereinstimmen, wie wir sie in \eref{DFMM}{WB}  kennenlernen werden.
\end{Beispiel}
 \begin{Bild} 
 \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildZwFF}\\[4mm]
 \noindent Versuch einer graphischen Darstellung der $2$-Form
auf der Papierebene, die in den durch die Koordinatenachsen
gegebenen Koordinaten durch die Formel $xy\diff x\wedge\diff y$ 
dargestellt werden k"onnte. Eingezeichnet ist an jedem Punkt ein geordnetes
Paar von Richtungsvektoren, gestrichelt erg"anzt zu einem
Parallelogramm, und hineingeschrieben der Wert unserer Zweiform auf
diesem geordneten Paar.
Die Anordnung wird hierbei
durch einen kleinen Pfeil vom ersten zum zweiten Vektor angezeigt.
Nat"urlich ist dies Vektorenpaar in keinster Weise eindeutig, 
wir k"onnten dieselbe $2$-Form auch ganz anders darstellen,
die beteiligten Vektoren m"ussen dabei auch keineswegs parallel zu
Koordinatenachsen sein. 
\end{Bild} 
\begin{Beispiel}[\textbf{Anschauung f"ur Differentialformen}] 
In einem dreidimensionalen orientierten reellen nicht notwendig euklidischen
affinen Raum bewege sich ein Gas.
Wir halten ein kurzes Zeitintervall fest und 
ordnen jedem Tripel bestehend aus einem Punkt und
zwei Vektoren, aufgefa"st als \glqq kleine orientierte Parallelogrammfl"ache\grqq\ 
alias \glqq orientierten Fl"achenelement\grqq\  die Gesamtmasse der
Gasmolek"ule zu, die in diesem Zeitintervall\label{FluD}  
hindurchtritt, wobei wir diese Masse
je nach der Richtung, in der unsere Molek"ule 
hindurchtreten, positiv oder negativ gewichten. 
Diese Zuordnung ist, nach Wahl einer Masseneinheit, 
ein Feld von $2$-Formen. Man nennt es auch
die {\bf Flu"sdichte}.\index{Flu"sdichte}
Ruht das Gas und ordnen wir jedem Quadrupel bestehend aus einem Punkt und
drei Vektoren, aufgefa"st als \glqq kleines orientiertes Parallelpiped\grqq\ 
alias \glqq orientiertes Volumenelement\grqq\  
die Gesamtmasse der darin befindlichen Gasmolek"ule zu, 
gewichtet mit einem Vorzeichen, das von der Orientierung bestimmt wird,
so erhalten wir 
ein Feld von $3$-Formen auf unserem affinen Raum, genaugenommen
wieder nach Wahl einer Masseneinheit. Man nennt es auch
die {\bf Dichte} unseres Gases.
W"ahlen wir zus"atzlich auf dem
Richtungsraum unseres affinen Raums ein Skalarprodukt,
so erhalten wir eine Identifikation von Vektorfeldern mit
$2$-Formen, indem wir jedem Vektor $u$ die $2$-Form $(v,w)\mapsto
\op{vol}(u,v,w)$ zuordnen, mit $\op{vol}(u,v,w)$ dem \glqq Volumen\grqq\ 
des Parallelpipeds mit Kanten $u,v,w$ und einem Vorzeichen, 
das von der \glqq Orientierung\grqq\  unseres Tripels abh"angt.
"Ahnlich erhalten wir dann auch eine Identifikation von Funktionen mit
$3$-Formen.
Die M"oglichkeit dieser
 Identifikationen mag ein Grund daf"ur sein, da"s 
Differentialformen zumindest meiner Intuition schwer
zug"anglich sind. Es f"allt uns einfach nicht zu, einen
dreidimensionalen Raum ohne Skalarprodukt zu visualisieren, geschweige denn
R"aume h"oherer Dimensionen: Das beste Beispiel f"ur eine $2$-Form w"are 
dann n"amlich, nach Wahl der dazu n"otigen physikalischen Einheiten,
 das elektromagnetische Feld auf der Raumzeit.  
Um auch in  nichtorthogonalen und eventuell sogar krummlinigen 
Koordinatensystemen Dichten und Flu"sdichten 
anzugeben und mit ihnen zu rechnen, sind unsere Differentialformen 
jedoch in jedem Falle ein bequemer Formalismus.
\end{Beispiel}
\begin{Bild} 
 \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildZwF}\\[4mm]
 \noindent Eine alternative Darstellung derselben Form $xy\diff x\wedge\diff y$
\end{Bild}

% \begin{Beispiel}
% Ein magnetisches Feld mag man sich, bis auf skalare Einheiten, als
% eine $2$-Form auf dem
% Anschauungsraum denken. 
% In der Tat kann man ein Magnetfeld etwa messen, indem man 
% ein Halbleiterpl"attchen hineinh"alt, zwischen zwei gegen"uberliegenden
% Kanten einen Strom flie"sen l"a"st,
%  und zwischen den zwei verbleibenden Kanten die 
% Spannung mi"st. So erh"alt man f"ur jedes \glqq orientierte Fl"achenelement\grqq\ 
% eine Zahl, und solch eine Zuordnung ist eben gerade eine $2$-Form.
% Sicher kann man eine $2$-Form auf dem Anschauungsraum auch als Vektorfeld
% ansehen, genauer erh"alt man eine Identifikation von Vektorfeldern mit
% $2$-Formen, indem man jedem Vektor $u$ die $2$-Form $(v,w)\mapsto
% \op{vol}(u,v,w)$ zuordnet, mit $\op{vol}(u,v,w)$ dem \glqq Volumen\grqq\ 
% des Parallelogramms mit Kanten $u,v,w$ und einem Vorzeichen, 
% das von der \glqq Orientierung\grqq\  unseres Tripels abh"angt,
% oder noch genauer die $2$-Form $(v,w)\mapsto
% \langle u,v,w\rangle\ph{m}^{-3}$ gegeben durch das Spatprodukt aus 
% \eref{SPA}{LA2}
% und eine willk"urlich gew"ahlte L"angeneinheit $\ph{m}\in \mathbb L_{>0}$.
% Die M"oglichkeit dieser
%  Identifikation mag ein Grund daf"ur sein, 
% \end{Beispiel}

\begin{Definition}
F"ur zwei Differentialformen $\omega \in \Omega^{p}
$ und $ \eta \in \Omega^{q} $ 
definieren wir ihr {\bf Dachprodukt} $\omega
\wedge \eta \in \Omega^{p+q}$  als punktweises
Dachprodukt im Sinne von \ref{DaPr}, in Formeln $(\omega
\wedge \eta)_x=\omega_x
\wedge \eta_x$.
F"ur $f \in \Omega^{0}$ eine Funktion schreiben wir meist
$f\eta$ statt $f\wedge \eta$.  
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl}
Ist speziell $X = \Bbb{R}^{n}$ und sind $x_{i} : \Bbb{R}^{n} \ra \Bbb{R}$ die
Koordinatenfunktionen, so l"a"st sich f"ur $U\subset X$ 
nach \ref{BA} jede
$p$-Form $\omega \in \Omega^{p}_X (U)$ eindeutig schreiben in der
Gestalt
$$\omega = \sum_{|I|=p} a_{I} \diff x _{I}$$
Hier l"auft die Summe wie angedeutet
"uber alle $p$-elementigen Teilmengen $I \subset
\{1,\ldots, n\}$, die Koeffizienten $a_{I}$ sind reelle
Funktionen auf $U$,  und $\diff x_{I}$\index{d@$\diff x_{I}$} 
ist
"ahnlich wie in \ref{BAD} eine
Abk"urzung f"ur
$\diff x_{I}=\diff x_{i_{1}} \wedge \ldots 
\wedge \diff x_{i_{p}} $ mit $ i_{1} <
\ldots < i_{p}$ den der Gr"o"se nach geordneten
Elementen von $I$.  
Diese Notation ist allerdings mit Vorsicht zu genie"sen, denn nat"urlich
ist  $\diff x_{I}$ f"ur $|I|\neq 1$ 
in keinster Weise das Differential einer wie auch
immer gearteten Funktion $x_I$. 
Das Dachprodukt zweier in dieser Standarddarstellung 
gegebenen Formen ergibt sich dann leicht mittels der
Regeln $\diff x_i\wedge \diff x_i=0$ und 
$\diff x_i\wedge \diff x_j=-\diff x_j\wedge\diff x_i$.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Die $2$-Form $\diff x\wedge\diff y$ auf dem $\DR^3$ kann man sich
  veranschaulichen als Vorschrift, die \glqq jeder kleinen orientierten
Parallelogrammfl"ache den Fl"acheninhalt ihrer orthogonalen Projektion auf die
$(x,y)$-Ebene zuordnet, mit einem von der 
Orientierung abh"angigen Vorzeichen\grqq.  
\end{Bemerkungl}

\begin{Definition}\label{RHUD}
Gegeben endlichdimensionale
reelle R"aume $X,Y$ und 
eine stetig differenzierbare
Abbildung $\phi :A\ra Y$ auf einer halboffenen Teilmenge $A\subset X$
definieren wir  das 
{\bf Zur"uckholen von Differentialformen}, 
eine $\DR$-lineare Abbildung $\phi ^{\ast} : \Omega^{p}_Y
(\phi (A)) \ra \Omega^{p} (A)$,
durch die 
Vorschrift $$(\phi ^{\ast}\omega)_{x} =
(\diff _{x}\phi )^{\top} (\omega_{\phi (x)})$$
Hier bezeichnet $(\diff _{x}\phi )^{\top}: \op{Alt}^p\vec{Y} 
\ra \op{Alt}^p\vec{X}$ die
vom Differential
$\diff _{x} \phi  : \vec{X} \ra \vec{Y}  $ von $\phi $ an der Stelle 
$ x \in A$ induzierte Abbildung. 
Alternativ k"onnten wir auch schreiben 
$(\phi ^{\ast}\omega)_{x} =\omega_{\phi (x)}
\circ (\diff _{x}\phi \times\ldots \times \diff _{x}\phi)
$ mit $p$ Faktoren ganz rechts.
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl}
  Dies Zur"uckholen ist bei der Begrifflichkeit der
Differentialformen die eigentliche Hauptsache.
Das Zur"uckholen von Funktionen alias 
Nullformen mit einer Abbildung ist schlicht das \glqq Vorschalten\grqq\ 
von besagter Abbildung,
in Formeln $\phi^\ast(g)=g\circ f$ f"ur eine Funktion $g:B\ra\DR$.
Das Zur"uckholen von $1$-Formen 
haben wir bereits in \ref{ZHEF} diskutiert. Wir verallgemeinern 
die dort eingef"uhrte
Terminologie auf den vorliegenden Fall und nennen Differentialformen $\eta$
und $\omega$ {\bf verwandt unter $\phi$}\index{verwandt!Differentialformen}
und schreiben 
$\phi:\eta\leadsto\omega$\index{)4@$\leadsto$ verwandt!Differentialformen}
genau dann, wenn gilt $\eta=\phi^\ast(\omega)$.
\end{Bemerkungl}

\begin{Lemma}
F"ur das Zur"uckholen  von Differentialformen 
gilt die\label{KeReD} 
Kettenregel, d.h.\ wir haben stets $\op{id}^{\ast} = \op{id}$ und
 $$\psi^{\ast} (\phi^\ast\omega) = (\phi\circ \psi)^{\ast}
(\omega) $$
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis] Das folgt mit  der
"ublichen Kettenregel \ref{Kett} sofort aus den Definitionen.
Wir k"onnen die Aussage des Lemmas auch im Sinne von 
\ref{VerT}
dahingehend verstehen, da"s
Verwandtschaft transitiv ist.
\end{proof}

\begin{Lemma}
Verwandschaft alias das Zur"uckholen  $\phi^{\ast}$ von Differentialformen
ist vertr"aglich mit dem
Dachprodukt, in Formeln gilt also  
$$\phi^{\ast} (\omega \wedge \eta) = \phi^{\ast}
(\omega) \wedge \phi^{\ast} (\eta)$$  
\end{Lemma}
\begin{proof} Dem Leser "uberlassen.
\end{proof}









\begin{Beispiel}Wir erinnern \ref{ZHeF}.
F"ur $X=\Bbb{R}^n$ mit Koordinaten $x_1, \ldots , x_{n}$ und
$Y = \Bbb{R}^{m}$ mit Koordinaten $y_{1}, \ldots , y_{m}$
und $\phi=(\phi_1,\ldots,\phi_n)$ eine differenzierbare
Abbildung von einer halboffenen Teilmenge von $\DR^m$ in
eine halboffene Teilmenge von $\DR^n$ ergibt sich
$
\phi^{\ast} (\diff x_{i}) = \op{d} (\phi^{\ast} x_{i}) 
=\diff \phi_{i} = \sum_{i}
\frac{\partial \phi_{i}}{\partial y_{j}} \diff y_{j}$.
Folglich kann das Zur"uckholen von $1$-Formen in Koordinaten
beschrieben werden durch die Formel
$$\phi^{\ast} \left(\sum_{i} a_{i}\diff x_{i}\right) =\sum_{i,j} (a_{i}
\circ \phi) \frac{\partial \phi_{i}}{\partial y_{j}}\; \diff y_{j}
$$
\end{Beispiel}












\begin{Beispiel}
Ist $\phi$ die Polarkoordinatenabbildung
$$\begin{array}{cccl}\phi:& \Bbb{R}^{2}& \ra&
\Bbb{R}^{2}\\ &(r,\vartheta) &\mapsto &(r \cos \vartheta, r \sin \vartheta)
\end{array}$$
und haben wir auf $\Bbb{R}^{2}$
die $1$-Form $y \diff x$ gegeben, so wird sie zur"uckgeholt zu
$$\begin{array}{rcl}
\phi^{\ast} (y \diff x) &=& \phi^{\ast}(y) \phi^{\ast} (\diff x)\\
 &=& r \sin \vartheta \;\diff\; (r\cos \vartheta)\\
 &=& r \sin \vartheta \cos \vartheta \;
\diff r - r^{2} \sin^{2}\vartheta\;  \diff
 \vartheta
 \end{array}$$
und f"ur die $2$-Form $\diff x \wedge \diff y$ erhalten wir
$$\begin{array}{rcl}
\phi^{\ast} (\diff x \wedge \diff y) &=& \phi^{\ast} 
(\diff x) \wedge \phi^{\ast}(\diff y)\\
&=& \diff\; (r \cos \vartheta) \wedge \diff\; (r \sin \vartheta)\\
&=& (\cos \vartheta  \;\diff r - r \sin \vartheta  \;\diff \vartheta) \wedge
(\sin \vartheta \;\diff r + r \cos \vartheta  \;\diff \vartheta)\\
&=& r \diff r \wedge \diff \vartheta
\end{array}$$
Man mag sich letztere Formel   dahingehend veranschaulichen, 
da"s \glqq ein kleines orientiertes Fl"achenelement in der $xy$-Ebene 
unter der Polarkoordinatenabbildung einem entsprechend gr"o"seren oder
auch kleineren orientierten Fl"achenelement in der $r\vartheta$-Ebene 
entspricht, je nachdem, in welchem Abstand vom Ursprung unser 
urspr"ungliches Fl"achenelement liegt\grqq. 
\end{Beispiel}
\begin{Lemma}\label{ZHD}
F"ur $A$ halboffen
in $\Bbb{R}^{n}$ und $\phi: A \ra \Bbb{R}^{n}$ 
stetig differenzierbar gilt stets
$$\phi^{\ast} (\diff x_{1} \wedge \ldots \wedge \diff x_{n}) 
= (\det \diff \phi)
\diff x_{1} \wedge \ldots \wedge \diff x_{n}$$
\end{Lemma}
\begin{proof}
F"ur jeden Endomorphismus
$L$ eines $n$-dimensionalen 
Vektorraums $V$ ist
die induzierte Abbildung
$L^{\top}:\op{Alt}^{n}V\ra \op{Alt}^{n}V $ nach \ref{DDP}
gerade die Multiplikation mit $\det L$. 
\end{proof}




















%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "AAANA2"
%%% End: 
