\subsection{Integration von Differentialformen}
\begin{Definition}
Gegeben eine Eck\-fal\-tig\-keit  $M$
 in einem endlichdimensionalen reellen
Raum  und $k\geq 0$ 
bezeichne $\Omega^k_!(M)$ den reellen Vektorraum aller
stetigen relativen $k$-Formen auf $M$ mit kompaktem Tr"ager.
\end{Definition}









\begin{Satz}[\textbf{Integration  von Differentialformen}]\label{IiIt}
Sei 
$M$  eine orientierte Eck\-fal\-tig\-keit 
der Dimension $k$ in einem endlichdimensionalen reellen
Raum. So gibt es genau eine Linearform 
$\int:\Omega^k_!(M)\ra\DR$ 
mit der Eigenschaft, da"s f"ur jede 
\hyperref[KarE]{Karte} 
$\varphi:W\ra M$ der Orientierung $\varepsilon$ 
und jede kompakt getragene $k$-Form $\omega$ mit Tr"ager im Bild
dieser Karte $\op{supp}\omega\subset \varphi(W)$  
gilt 
$$\int_{\vec M}\omega=
\varepsilon\int_W(\varphi^\ast\omega)(\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k)$$
\end{Satz}


\begin{Beispiel}[\textbf{Funktionenintegral als 
Differentialformenintegral}]
 F"ur die Form $\varphi^\ast\omega=\eta= f dx_1\wedge\ldots\wedge dx_k$ ist 
$(\varphi^\ast\omega)(\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k)=\eta(\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k)$  
per definitionem genau\label{OTm}
 die Funktion $f$.
Das Integral dieser Funktion auf der rechten Seite ist dann im Sinne
von \ref{IOQ}  
zu verstehen.
Ist unsere Eckfaltigkeit $M$ speziell eine offene Teilmenge $M=W\co Q$ eines
kompakten Quaders $Q=[a_1,b_1]\times\ldots\times [a_k,b_k]\subset \DR^k$ 
mit nichtleerem Inneren in $\DR^k$ und
$\eta= f dx_1\wedge\ldots\wedge dx_k$ eine stetige Differentialform auf
$W$ mit kompaktem Tr"ager und geben wir $W$ die von
der Standardorientierung des $\DR^k$ induzierte Orientierung, 
so liefern unsere Definitionen
$$\begin{array}{rcl}
\int_{\vec W}\eta&=&\int_{\vec W}f dx_1\wedge\ldots\wedge dx_k=\\
&=&\int_{W}f(x) \diff^kx=\int_{Q}\tilde f(x) \diff^kx
=\int_{a_k}^{b_k}\ldots \int_{a_1}^{b_1}\tilde f(x_1,\ldots,x_k) \diff x_1\ldots \diff x_k
\end{array}
$$
f"ur $\tilde f$ die Ausdehnung von $f$ durch Null auf ganz $Q$.
\end{Beispiel}

\begin{proof}
Wir beginnen mit der Eindeutigkeit. 
Sei $\omega\in\Omega^k_!(M)$ beliebig.  Wir  finden eine endliche "Uberdeckung
von  $\op{supp}\omega$ durch Bilder von Karten 
$(\varphi_i,W_i)$ der 
Orientierungen $\varepsilon_i$ und nach \ref{TEL}
eine an diese "Uberdeckung angepa"ste 
 Teilung der
Eins, also stetige Funktionen $\alpha_i\in\mathcal C_!(M,\DR)$
mit Tr"ager $\op{supp}\alpha_i\subset \varphi_i(W_i)$ und $\sum_i \alpha_i(x)=1$
f"ur alle $x\in \op{supp}\omega$.  Dann haben wir
$\omega=\sum_i\alpha_i\omega$, und wenn  "uberhaupt eine lineare Abbildung
mit den geforderten Eigenschaften existiert, so mu"s gelten
$$\int_{\vec M}\omega=\sum_i\int_{\vec M}\alpha_i\omega=\sum_i\varepsilon_i\int_{W_i}(\varphi_i^\ast(\alpha_i\omega))(\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k)$$
Das ganze Problem ist also zu zeigen, da"s die rechte Seite nicht von
den  Karten und der Teilung der Eins abh"angt. 
Das geht wie bei unserer Diskussion \ref{IUMa}
der Integration von Funktionen mit
kompaktem Tr"ager "uber
Eckfaltigkeiten in $\DR^n$. 
Sei eine weitere endliche "Uberdeckung
von  $\op{supp}\omega$ durch Bilder von Karten 
$(\psi_j,V_j)$ der 
Orientierungen $\eta_j$ gegeben
eine an diese "Uberdeckung angepa"ste 
 Teilung der
Eins $\beta_j$.
Wir behaupten die Gleichheit
$$\sum_i \varepsilon_i\int_{W_i} (\varphi_i^\ast(\alpha_i\omega))(\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k)
 =
\sum_j \eta_j\int_{V_j} (\psi_j^\ast(\beta_j\omega))(\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k) 
 $$
Sie ist aufgrund der Linearit"at all dieser Integrale
"aquivalent 
zur Gleichheit
$$\sum_{i,j} \varepsilon_i\int_{W_i} (\varphi_i^\ast(\beta_j\alpha_i\omega))(\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k)
 =
\sum_{i,j} \eta_j\int_{V_j} (\psi_j^\ast(\beta_j\alpha_i\omega))(\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k) 
 $$
und folgt, wenn wir die Gleichheit aller Summanden zeigen.
Hier haben nun die Formen
$\beta_j\alpha_i\omega$ Tr"ager im Schnitt  $\varphi_i(W_i)\cap
\psi_j(V_j)$. 
Wir k"onnen also die Indizes weglassen und m"ussen nur f"ur jede 
stetige $k$-Form $\omega\in \mathcal C_!(M,\DR)$, deren Tr"ager im
Bild zweier Karten $(W,\varphi)$ und $(V,\psi)$ 
der Orientierungen $\varepsilon$ und $\eta$ liegt,
die Identit"at
$$ \varepsilon\int_W  (\varphi^\ast\omega) (\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k)
 = \eta\int_V  (\psi^\ast\omega) (\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k) $$
zeigen. 
Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir
$\varphi(W)=\psi(V)$ annehmen.
Der Kartenwechsel wird so ein Diffeomorphismus 
$\kappa\pdef\psi^{-1}\circ \varphi: W\sira V$  mit 
$\psi\circ \kappa=\varphi: W\ra M$. 
Nach \ref{KeReD} folgt $\kappa^\ast\psi^\ast\omega =\varphi^\ast\omega$.
Mit der Notation
$\omega_\varphi\pdef (\varphi^\ast\omega) (\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k)$
gilt per definitionem
$\varphi^\ast\omega=\omega_\varphi dx_1\wedge\ldots\wedge dx_k$.
Mit der Notation
$\omega_\psi\pdef (\psi^\ast\omega) (\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k)$
gilt ebenso 
$\psi^\ast\omega=\omega_\psi dx_1\wedge\ldots\wedge dx_k$.
Mit \ref{ZHD} im letzten Schritt folgt nun 
$$\begin{array}{lll}
\omega_\varphi dx_1\wedge\ldots\wedge dx_k&=&
\kappa^\ast(\omega_\psi dx_1\wedge\ldots\wedge dx_k)\\
&=&(\omega_\psi\circ \kappa)\kappa^\ast(dx_1\wedge\ldots\wedge dx_k)\\
&=&(\omega_\psi\circ \kappa)\op{det}(\diff \kappa)dx_1\wedge\ldots\wedge dx_k
\end{array}
$$
alias $\omega_\varphi=(\omega_\psi\circ \kappa)\op{det}(\diff \kappa)$. 
Unsere  oben zu zeigende Identit"at l"a"st sich 
so umschreiben zur Identit"at
$$ \varepsilon\int_W (\omega_\psi\circ \kappa)\op{det}(\diff \kappa)
 = \eta\int_V  \omega_\psi $$
von Integralen kompakt getragener Funktionen.
Aus den Definitionen folgt aber
$\varepsilon\eta\op{det}(\diff \kappa)=|\op{det}(\diff \kappa)|$.
Damit ergibt sich die letzte Identit"at aus der Transformationsformel 
\ref{VTFf}.
Wir haben also  gezeigt, da"s jede "Uberdeckung des Tr"agers 
unserer Form $\omega$ durch Bilder von Karten und jede angepa"ste
Teilung der Eins in der Formel oben dieselbe Summe liefert, die wir damit
als unser $\int_{\vec M} \omega$ erkl"aren k"onnen. 
Da"s die so erkl"arte Abbildung
$\omega\mapsto \int_{\vec M} \omega$ dann auch $\DR$-linear ist 
und die geforderte 
Eigenschaft f"ur Formen mit Tr"ager im Bild einer Karte hat, 
folgt unmittelbar.
\end{proof}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Riemannsummen f"ur Differentialformen}]
Um  die Integration von Differentialformen anschaulich zu machen,
 erkl"are ich ihre Interpretation durch Riemannsummen.
Sei dazu $(W,\varphi)$ eine orientierte\label{ASID} 
Karte einer der Einfachkeit der Notation halber zweidimensionalen
 orientierten
Eckfaltigkeit $\vec{M}$ eines reellen Raums $ X$, sei $Q = [a,b] \times [c,d] \subset
W$ ein Rechteck und sei $\omega: M \ra \op{Alt}^2(\vec{X})$
eine stetige relative  $2$-Form auf $M$
mit $(\op{supp}\omega) \cap M\subset \varphi(Q)$, wobei der Pfeil
"uber dem $X$ den zugeh"origen Richtungsraum meint, der 
Pfeil "uber dem $M$ dahingegen eine feste gew"ahlte 
Orientierung andeutet.
Wir betrachten f"ur $r \geq 1$ die "aquidistanten Unterteilungen
$
a = a_{0} <  a_{1} < \ldots  < a_{r} = b$, $
c = c_{0} <  c_{1} < \ldots   < c_{r} = d
$ der Kanten von $Q$ in jeweils $r$ Segmente,
bezeichnen mit $q_{i,j}=(a_{i},c_{j})$ die Gitterpunkte
im so gegebenen Raster auf $Q$, und mit $p_{i,j} =\varphi(q_{i,j})$
die Bilder dieser Gitterpunkte in
$M$. Dann definieren wir die $r$-te {\bf
Riemannsumme}\index{Riemannsumme!f"ur Integral einer Volumenform}
$S_{\vec{M}}^{r} (\omega)$
durch die Formel
\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildFi}\\[4mm]
\noindent 
Die gepunktelten Pfeile stellen die Vektoren $p_{3,0}-p_{2,0}$ und
$p_{2,1}-p_{2,0}$ dar, der  Wert von $\omega_{p_{2,0}}$
auf diesem Paar von Vektoren, genommen  in einer 
durch die Orientierung gegebenen
Reihenfolge, geht 
in die Riemannsumme $S_{\vec{M}}^3$ ein.
\end{figure}
$$S_{\vec{M}}^{r} (\omega) = \sum^{r-1}_{i,j =0} \omega_{p_{i,j}}(p_{i+1,j}
- p_{i,j}, p_{i,j+1} - p_{i,j})$$
Nat"urlich h"angt diese Summe von der Karte $(W,\varphi)$ ab, auch
wenn das in der Notation nicht zum Ausdruck kommt.
Wir k"onnen nun das Integral von $\omega$ "uber $M$ interpretieren als
den Grenzwert
$$\int_{\vec{M}} \omega = \lim_{r \ra \infty} S_{\vec{M}}^{r} (\omega)$$  
Den Beweis dieser Tatsache
entlang der Grundlinie des Beweises von
\ref{RSIn}  "uberlassen wir dem Leser zur "Ubung.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Sinnhaftigkeit der Integration alternierender Formen}]
Unter der Voraussetzung einer quadratischen Karte,
in Formeln $b-a=d-c$, 
betrachten wir nun die Spiegelung $\tau$ an der Hauptdiagonalen
und die neue Karte $\varphi\circ\tau$. Sie ist negativ orientiert 
und ihre Riemannsummen sind dieselben wie die Riemannsummen von
eben, wenn man nur in jedem Summanden 
den ersten und den zweiten Eintrag der
bilinearen Abbildung $\omega$  vertauscht und
das von der negativen Orientierung der Karte
herr"uhrende Vorzeichen ber"ucksichtigt. Ist also
$\omega$ alternierend, so liefert unsere neue Karte 
dieselben
Riemannsummen und 
dasselbe Integral. Das soll die in unserem Satz
enthaltene Aussage veranschaulichen, da"s das Integral einer 
alternierenden Form unabh"angig ist von den
zur Berechnung gew"ahlten Karten.
\end{Bemerkungl}


\begin{Proposition}[\textbf{Integration mit Quaderfastkarten}]
Seien $M$ eine orientierte  $k$-di\-men\-sio\-na\-le Eckfaltigkeit
und $\varphi:Q\ra M$ eine orientierte Quaderfastkarte.
So gilt f"ur alle Formen $\omega\in\Omega_!^k(M)$  mit Tr"ager
im Bild von $Q$ die Formel\label{IQFK} 
$$\int_{\vec M} \omega=\int_{\vec Q} \varphi^\ast \omega
=\int_{Q} (\varphi^\ast \omega)(\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k)\;\diff^{k}x$$
\end{Proposition}
\begin{proof}
Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir
annehmen, da"s $\omega$  Tr"ager in einer pl"attbaren
offenen  $U\co M$ hat und da"s es sogar einen kompakten Quader
$K\subset Q$ mit nichtleerem Inneren gibt derart, da"s gilt
$\op{supp}\omega\subset \varphi(K)\subset U$. 
Damit k"onnen wir uns auf den Fall
$M\subset \DR^k$ zur"uckziehen, in dem die Behauptung leicht aus 
der bereits in \ref{IQFK} bewiesenen
Proposition zur  Integration  von Funktionen mit Quaderfastkarten folgt. 
\end{proof}
\begin{Beispiel}[\textbf{Integral "uber eine Hemisph"are}] 
Wir berechnen das Integral der $2$-Form $x^2\diff x \wedge \diff y$ "uber
die\label{BI11} 
obere Hemisph"are $H =\{ (x,y,z) \mid x^2 +y^2 +z^2 = 1, 
\; z \geq 0\}$ mit der Orientierung, f"ur die die 
beiden ersten Vektoren $\op{e}_1, \op{e}_2$ der Standardbasis 
des $\Bbb{R}^3$ in dieser Reihenfolge eine orientierte 
Basis des Tangentialraums am Pol ${\op{T}}_{(0,0,1)}H$ bilden. 
Wir betrachten das  Rechteck
 $R = [0,\pi]\times [0,\pi]\subset \DR^2$ und
die orientierte Quaderfastkarte  $\phi:R\rightarrow H$,
$(\vartheta,\varphi) \mapsto (\cos \vartheta,\cos \varphi \sin \vartheta, 
\sin \varphi \sin \vartheta)$, anschaulich gesprochen eine \glqq liegende Version\grqq\ 
unserer
Kugelkoordinaten aus \ref{KuKo},
und erhalten
\begin{displaymath}
\begin{array}{ccl}
\int_{\vec{H}} x^2 \diff x \wedge \diff y &=&
\int_{\vec{R}}  \cos^2 \vartheta
\op{d}   ( \cos \vartheta) \wedge 
\op{d}  (\cos \varphi \sin \vartheta)\\[2mm]
&=& \int_{\vec{R}}  \cos^2 \vartheta ( -\sin  \vartheta  \diff  \vartheta ) \wedge (\cos \varphi \cos
\vartheta \diff  \vartheta - \sin \varphi \sin \vartheta \diff \varphi)\\[2mm]
&=& \int_{\vec{R}} \cos^2\vartheta \sin^2\vartheta \sin\varphi \diff  \vartheta\wedge  \diff \varphi \\[2mm]
&=& \int_{R} \cos^2\vartheta \sin^2\vartheta \sin\varphi \diff
\vartheta  \diff \varphi \\[2mm]
&=&\int_0^{\pi} \int_0^{\pi}\cos^2\vartheta \sin^2\vartheta \sin\varphi
  \diff \vartheta\diff \varphi\\[2mm]
&=&\frac{1}{4}\int_0^{\pi} \sin^2(2\vartheta)
  \diff \vartheta\int_0^{\pi} \sin\varphi
  \diff \varphi=\frac{1}{2}\int_0^{\pi}\frac{1}{2}- \frac{\cos 4\vartheta}{2}
  \diff \vartheta=\frac{\pi}{4}
\end{array}
\end{displaymath}
Hier ist der erste Schritt  \ref{IQFK}
mitsamt dem Vertauschen vom Zur"uckholen mit Dachprodukt und
Differential  \ref{VFVD},
der Zweite die Formel \ref{DiFF} f"ur das Differential
einer Funktion, der Dritte beruht auf dem Alternieren und der 
Bilinearit"at des Dachprodukts, und der Vierte wieder 
auf Proposition
\ref{IQFK}. 
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungl}
Die Integrale von Differentialformen "uber 
orientierte  Eckfaltigkeiten
der Dimensionen $0$ oder $1$ bzw.\
 der Kodimensionen $0$ oder $1$  in einem $\DR^n$
trifft man oft in anderen Gestalten an, die
den Formalismus der Differentialformen vermeiden.
Besonders wichtig sind in diesem Zusammenhang die F"alle mit $n\leq 3$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}[\textbf{Summation als Differentialformenintegral}]
Im Fall einer  nulldimensionalen Eckfaltigkeit\label{DisM} 
$M$ alias diskreten Teilmenge 
ist eine  Nullform  eine Funktion und eine Nullform mit kompaktem Tr"ager
eine Funktion, die nur an endlich vielen Stellen von Null verschiedene Werte
annimmt, und unser Integral ist
die Summe  der
Funktionswerte multipliziert mit den durch
die  auf $M$ gew"ahlte Orientierung $\varepsilon$ bestimmten 
Vorzeichen $\varepsilon_p(\emptyset)$, in Formeln
$$\int_{\vec{M}} f=\sum_{p\in M}\varepsilon_p(\emptyset) f(p)$$
\end{Beispiel}

\begin{Beispiel}[\textbf{Funktionenintegral als 
Differentialformenintegral}]
 F"ur eine stetige $n$-Form $ f dx_1\wedge\ldots\wedge dx_k$ 
mit kompaktem Tr"ager auf einer $n$-dimen\-sio\-na\-len 
 Eckfaltigkeit $M\subset \DR^n$ mit der von
der Standardorientierung des $\DR^n$ induzierten Orientierung
liefern unsere Definitionen
$$
\int_{\vec M} f dx_1\wedge\ldots\wedge dx_k=\int_{M}f(x)  \diff^kx
$$
Das Integral der Funktion $f$ rechts ist dabei 
im Sinne von \ref{IUMa} zu verstehen.
\end{Beispiel}

\begin{Beispiel}[\textbf{Wegintegral als Differentialformenintegral}]
Eine $1$-Form $\omega$\label{Kurv} 
auf dem $\DR^n$ hat die Gestalt 
$\omega=\omega_1\diff x_1+\ldots +\omega_n\diff x_n$.
Gegeben eine orientierte $1$-Eckfaltigkeit $M$ 
verstehen wir ganz allgemein unter einer 
{\bf orientierten Parametrisierung von}\index{Parametrisierung!orientierte}
$M$ eine orientierte surjektive Quaderfastkarte
$\varphi:[a,b]\sra M$.
Das Integral unserer $1$-Form $\omega$ "uber unsere 
eindimensionale orientierte Mannigfaltigkeit $K$ 
f"allt dann zusammen mit
dem Integral der $1$-Form $\omega$ "uber den Weg $\varphi$.
Von Anwendern wird es meist geschrieben als das Wegintegral
des Vektorfelds $v=(\omega_1,\ldots,\omega_n)^\top$ 
l"angs $\varphi$, in Formeln
$$\int_{\vec{K}} \omega=\int_\varphi \omega
=\int_a^b \langle v,\diff\varphi\rangle=\int_a^b  v\cdot\diff\varphi$$
\end{Beispiel}


\begin{Beispiel}\label{HyFl}
Der Fall der Integration von Differentialformen
"uber Hyperfl"achen ben"otigt von den
hier explizit behandelten F"allen den gr"o"sten begrifflichen Aufwand
und wird uns bis zum Ende dieses Abschnitts besch"aftigen.
\end{Beispiel}

\begin{Definition}\label{ONFf}
Ist  $M\subset \DR^{n+1}$ eine Hyperfl"ache alias 
eine $n$-dimensionale Eckfaltigkeit, so gibt es zu jedem Punkt 
$p\in M$ genau zwei Vektoren der L"ange Eins in $\DR^{n+1}$, die auf dem
Tangentialraum ${\op{T}}_pM$ senkrecht stehen. 
Ist $M$ dar"uber hinaus orientiert, so hat genau ein Vektor $N_p$
von diesen beiden die Eigenschaft, da"s f"ur jede 
angeordnete Basis $v_1,\ldots,v_n$ von ${\op{T}}_pM$ der Orientierung 
$\varepsilon$  die Standardorientierung 
der angeordneten Basis $N_p,v_1,\ldots,v_n$ des $\DR^{n+1}$
auch $\varepsilon$ ist.
Wir erhalten so eine 
stetige Abbildung 
$$
\begin{array}{cccc}
N:&M&\ra&\DR^{n+1}\\
&p&\mapsto&N_p
\end{array}
$$ 
Man nennt sie das
\defnoind{orientierte Normalenfeld}.\index{Normalenfeld!orientiertes} 
\end{Definition}


\begin{Bemerkungl}\label{VFF}
Wir nummerieren nun die Koordinaten auf dem $\DR^{n+1}$ etwas un"ublich
$x_0,x_1,\ldots ,x_n$
und
ordnen jedem Vektor $F\in\DR^{n+1}$ eine
alternierende Multili\-near\-form 
$\omega_F\in\op{Alt}^{n}(\DR^{n+1})$ zu durch die Vorschrift
$$\omega_F(v_1,\ldots,v_{n})\pdef \op{det}(F|v_1|\ldots|v_{n})$$
Rechts ist hier die Matrix mit den entsprechenden 
Spaltenvektoren zu verstehen.
In derselben Weise ordnen wir auch jedem Vektorfeld $F$ 
auf  $\DR^{n+1}$ eine $n$-Form $\omega_F$ zu und erkennen 
durch das Auswerten an Tupeln der Standardbasis, da"s 
sie geschrieben werden kann
in der Gestalt 
$$\omega_F = \sum^{n}_{i=0}
(-1)^{i} F_{i}\; \diff x_{0} \wedge \ldots \wedge \widehat{\diff x}_{i} \wedge
\ldots \wedge \diff x_{n}$$
Im $\DR^3$ entspricht speziell einem Vektorfeld $F=(F_x,F_y,F_z)$
die $2$-Form
$$\omega_F= F_x \diff y\wedge \diff z +F_y \diff z\wedge \diff x +F_z \diff x\wedge \diff y$$
wobei die unteren Indizes nicht als partielle Ableitungen mi"sverstanden
werden d"urfen, sondern vielmehr die Komponenten unseres Vektorfelds meinen,
die wir auch h"atten $F_1,F_2,F_3$ oder in unserer
komischen Indizierung vielleicht besser $F_0,F_1,F_2$ notieren k"onnen.
Mit diesen ganzen Begriffsbildungen k"onnen wir nun formulieren:  
\end{Bemerkungl}

\begin{Proposition}[\textbf{Flu"s als Differentialformenintegral}]
Seien $M\subset \DR^{n+1}$ eine orientierte Hyperfl"ache und $F$
ein stetiges relatives Vektorfeld auf  $M$ mit kompaktem Tr"ager und
$N$ das orientierte Normalenfeld auf $M$. So 
gilt f"ur
die zu unserem Vektorfeld $F$ geh"orige $n$-Form $\omega_F$
\label{FIF}  
die Identit"at
$$\int_{\vec{M}}\omega_F  =\int_M\langle F,N \rangle  
=\int_M  F\!\cdot\! N  $$
\end{Proposition}
\begin{Bemerkungl}\label{VFDF}
Die Mitte und die rechte Seite unterscheiden sich hier nur in 
der Notation f"ur das Skalarprodukt und sind als 
Fl"achenintegrale im Sinne von
\ref{IUMa} zu verstehen.
Das Integral 
des Skalarprodukts unseres Vektorfelds $F$ mit dem
orientierten Normalenfeld $N$  hei"st der {\bf Flu"s des
Vektorfelds $F$ durch die orientierte 
Hyperfl"ache $M$}.\index{Flu"s!eines Vektorfelds} 
Dies Oberfl"achenintegral mag
der Anschauung besser zug"anglich sein
als unser Integral "uber eine Differentialform.
F"ur das explizite Rechnen ist jedoch
die Darstellung als Integral einer
Differentialform meist g"unstiger, wie etwa  Beispiel
\ref{BI11} illustriert. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}[\textbf{Integration einer Flu"sdichte}] 
  Ist $X$ ein dreidimensionaler orientierter reeller affiner Raum und
$M\subset X$ eine orientierte zweidimensionale\label{Fluddd} 
 Eckfaltigkeit alias
 Fl"ache und $\omega$ die $2$-Form der Flu"sdichte 
eines bewegten Gases wie in \ref{FluD}, so 
beschreibt das Integral von $\omega$ "uber $M$
die Gesamtmasse an Gas, die im gegebenen Zeitintervall 
in einer durch die Orientierung bestimmten Richtung durch 
unsere Fl"ache $M$ hindurchtritt.
Gas, das in der Gegenrichtung durch unsere Fl"ache tritt, schl"agt dabei
negativ zu Buche. 
\end{Beispiel}

\begin{proof}[Beweis] 
Wir d"urfen ohne Beschr"ankung der
Allgemeinheit annehmen, da"s es eine positiv orientierte bijektive
Karte $\varphi:W\sira M$ gibt.
Der "Ubersichtlichkeit halber schreiben wir unser Vektorfeld $F$ in
der Form
$p\mapsto F_p$, wo der Index ungl"ucklicherweise eine
v"ollig andere Bedeutung hat als in \ref{VFF}.
Wir zerlegen nun unser Vektorfeld $F$ 
an jedem Punkt $p\in M$ in einen orthogonalen 
und einen tangentialen Anteil  als
$F_p = \langle F_p , N_p\rangle N_p + R_p$ mit
$R_p \in {\op{T}}_{p} M$ und 
finden f"ur alle $x\in W$  
$$
\begin{array}{ccl}
(\varphi^\ast\omega)_x(\op{e}_1,\ldots,\op{e}_n)&=&
\omega_{\varphi(x)}(\diff_x\varphi(\op{e}_1), 
\ldots,\diff_x\varphi(\op{e}_n))\\[2mm]
&=&\op{det}(F_{\varphi(x)}|\diff_x\varphi)\\[2mm]
&=&
\langle F_{\varphi(x)} , N_{\varphi(x)}\rangle
\op{det}(N_{\varphi(x)}|\diff_x\varphi)\\[2mm]
&=&
\langle F_{\varphi(x)} , N_{\varphi(x)}\rangle
\op{vol}(\diff_x\varphi)
\end{array}$$
wo in der zweiten Zeile  die quadratische Matrix gemeint ist, die aus 
der Jacobi-Matrix zu $\diff_x\varphi$ entsteht durch Anf"ugen von 
$F_{\varphi(x)}$ als erster Spalte.
Die Gleichheit der beiden Integrale 
folgt nun aus den Definitionen.
\end{proof}

\begin{Beispiel}[\textbf{Flu"s durch eine Hemisph"are}] 
  Anschaulich kann man unser Integral aus \ref{BI11}
also auch als den Flu"s durch die obere
  Hemisph"are des senkrechten Vektorfelds $x^2 \op{e}_3$ verstehen. 
 In der Notation von dort h"atten
  wir etwa
  \begin{equation*}
    \int_{\vec{H}} x^2 \diff x \wedge \diff y 
    = \int_H x^2 \op{e}_3 \cdot N 
  \end{equation*}
  Hier meint  $N$ das
  \glqq nach au"sen weisende Normalenfeld\grqq, das in unserem Fall auch das
  \glqq orientierte Normalenfeld\grqq\  nach \ref{ONFf} ist.  Zur Probe rechne ich hier
  die rechte Seite auch noch direkt aus. Auf der Einheitssph"are stimmen ja
  der Ortsvektor und der nach au"sen weisende Normalenvektor "uberein, so da"s
  der R"uckzug der Funktion $x^2 \op{e}_3 \cdot N$ bez"uglich unserer Karte
  $\phi:R\rightarrow H$ die Funktion $\cos^2 \vartheta \sin \varphi \sin
  \vartheta$ ist.  Um das Fl"achenintegral rechts zu bestimmen, gilt es die
  Gram'sche Matrix zu berechnen. In unserem Fall haben wir
  \begin{displaymath}
    \begin{array}{ccc}
      \diff \phi &=& \begin{pmatrix}
        -\sin \varphi &0\\
        \cos\varphi \cos \vartheta & -\sin \varphi \sin \vartheta\\
        \sin  \varphi \cos \vartheta & \;\;\cos \varphi \sin \vartheta
      \end{pmatrix}
    \end{array}
  \end{displaymath}
  und die Matrix der Skalarprodukte der Spaltenvektoren ergibt sich zu
  \begin{displaymath}
    \begin{array}{ccc}
      (\diff \phi)^\top \diff \phi &=& \begin{pmatrix}
        1 & 0\\
        0 & \sin^2 \varphi
      \end{pmatrix}
    \end{array}
  \end{displaymath}
  und die Wurzel aus deren Determinante zu $\sin \vartheta$, so da"s wir bei
  demselben Doppelintegral "uber $\cos^2 \vartheta \sin^2 \vartheta \sin
  \varphi$ landen wie in \ref{BI11}.
\end{Beispiel}
\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}
  Berechnen Sie den Flu"s des Vektorfelds $F:(x,y,z)\mapsto (x,0,0)$
durch die Einheitssph"are, die Sie dazu mit einer Orientierung ihrer 
Wahl versehen m"ogen. 
\end{Ubung}










%%% Local Variables: 
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