\subsection{H"ohere Ableitungen ohne Koordinaten}\label{Habl}
\begin{Bemerkungl}\label{glat}
Gegeben eine offene Teilmenge $U\co
  \DR^n$
  hei"st eine Abbildung $f:U\ra\DR^m$  
{\bf glatt}\index{glatt!Abbildung nach $\DR^m$} oder 
{\bf beliebig differenzierbar}\index{differenzierbar!beliebig}
oder auch eine {\bf
    $\cal{C}^\infty$-Abbildung} genau dann, wenn zu allen Komponenten $f_\mu$
  von $f$ f"ur $1\leq\mu\leq m$ 
alle gemischten h"oheren partiellen Ableitungen, in der
  Multiindexschreibweise aus \ref{MuIn} also alle $\partial^\alpha f_\mu$ f"ur
  beliebige $\alpha\in\DN^n,$ auf ganz $U$ existieren.
Existieren sie bis zum Totalgrad $|\alpha|\leq k$ und sind 
stetig, so spricht man von einer {\bf
    $\cal{C}^k$-Abbildung}, wobei das $\mathcal C$ wieder f"ur \glqq
  continous\grqq\ alias stetig steht.
Wir wollen nun diese Bedingungen 
auf Abbildungen mit halboffenem Definitionsbereich und den Fall von beliebigen
normierten reellen R"aumen
ausdehnen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Gegeben Vektorr"aume $V,W$ und
$k\geq 0$ bilden wir dazu den  Vektorraum
$\op{Mult}^k(V,W)$\index{Mult@$\op{Mult}^k$ multilineare Abbildungen} 
aller multilinearen Abbildungen
des Produkts von $k$ Kopien von $V$ nach $W.$
Im Fall $k=0$ verstehen wir $\op{Mult}^0(V,W)=W.$ Man bemerke die
Isomorphismen 
$\op{Hom}(V, \op{Mult}^k(V,W))\sira \op{Mult}^{k+1}(V,W)$
durch $f\mapsto \langle f\rangle$ mit $\langle f\rangle(v_0,v_1,\ldots,v_k)=
(f(v_0))(v_1,\ldots,v_k).$
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Die\index{$\langle f\rangle$ bei multilinearen Abbildungen} Notation
  $\langle f\rangle$ haben wir auch schon an anderer Stelle f"ur den \glqq von $f$
  erzeugten Untervektorraum\grqq\  eingef"uhrt. Was im Einzelfall gemeint ist, gilt
  es aus dem Kontext zu erschlie"sen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}\label{uhj}
 Gegeben normierte 
reelle Vektorr"aume $V,W$ und
$k\geq 0$ bilden wir "ahnlich den normierten Vektorraum
$\cal{B}^k(V,W)$ aller stetigen multilinearen Abbildungen
des Produkts von $k$ Kopien von $V$ nach $W,$ versehen mit der 
Norm \eref{ALSTm}{AN1}.
Im Fall $k=0$ verstehen wir $\cal{B}^0(V,W)=W.$ Man bemerke die
Isomorphismen von normierten Vektorr"aumen
$\cal{B}(V, \cal{B}^k(V,W))\sira \cal{B}^{k+1}(V,W)$
durch $f\mapsto \langle f\rangle.$  
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}\label{stddn}
Sind $X,Y$ normierte reelle R"aume
und ist $A\subset X$ eine halboffene Teilmenge und 
$g:A\ra \cal{B}^k(\vec{X},\vec{Y})$
eine differenzierbare Abbildung, so fassen wir
$\diff g$ mit der Identifikation 
aus \ref{uhj} auf als diejenige Abbildung 
$\diff g:A\ra \cal{B}^{k+1}(\vec{X},\vec{Y}),$ die gegeben wird durch
$x\mapsto \langle \diff_x g\rangle.$ 
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}\label{stdd}
Gegeben  $X,Y$ normierte reelle R"aume
und $A\subset X$ eine halboffene Teilmenge und $f:A\ra Y$
eine Abbildung setzen wir $\diff^{0} f\pdef f$ und 
$\diff^{1} f\pdef\diff f: x\mapsto \diff_x f$ und definieren induktiv 
f"ur $k\geq 2$ die 
{\bf $k$-te Ableitung}\index{Ableitung!h"ohere, koordinatenfrei}
$$\diff^{k} f:A\ra \cal{B}^k(\vec{X},\vec{Y})$$
als $\diff^{k} f\pdef \op{d}(\diff^{k-1} f),$ falls
die $(k-1)$-te Ableitung existiert und differenzierbar ist auf $A.$
Existieren alle h"oheren Ableitungen von $f$ bis zur Ordung $k$
und sind stetig, 
so nennen wir $f$ \defnoind{von der Klasse ${\cal{C}}^k$} 
oder auch eine\index{C@$\cal{C}^k$-Abbildung!zwischen affinen R"aumen}
{\bf ${\cal{C}}^k$-Abbil\-dung}. 
Zum Beispiel bedeutet  ${\cal{C}}^1$ 
nichts anderes als stetig differenzierbar
und ${\cal{C}}^0$ 
nichts anderes als stetig.
Ist $f$ von der Klasse ${\cal{C}}^k$ f"ur alle $k,$ 
so hei"st die Abbildung 
$f$ {\bf glatt}\index{glatt!Abbildung!koordinatenfrei} 
oder {\bf beliebig differenzierbar} oder 
\defnoind{von der Klasse ${\cal{C}}^\infty$}
oder eine\index{C@$\cal{C}^\infty$-Abbildung!zwischen affinen R"aumen} 
{\bf ${\cal{C}}^\infty$-Abbildung}. 
\end{Definition}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Koordinatenfreie Taylorformel}] 
Die Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen l"a"st sich koordinatenfrei
dahingehend formulieren, da"s unsere h"oheren Ableitungen $\diff^{k}f$
in den\label{koft} 
symmetrischen multilinearen Abbildungen landen, 
d.h.\ in denjenigen multilinearen
Abbildungen, die ihren Wert nicht "andern, wenn man ihre Argumente
untereinander vertauscht. 
Wir gehen darauf nicht n"aher ein, empfehlen
aber dem Leser zu pr"ufen, da"s sich die h"oheren
Terme der Taylorentwicklung \ref{TaEn} koordinatenfrei
in der Form $(k!)^{-1} (\diff^{k}f)(h,\ldots,h)$ darstellen lassen.
\end{Bemerkungl}


\begin{Definition}
Seien $X,Y$ normierte reelle R"aume und $A\subset X,$
$B\subset Y$ halboffene
Teilmengen.
Eine Abbildung $f:A\ra B$ hei"st ein 
{\bf ${\cal{C}}^k$-Diffeo\-morphismus}
genau dann,\index{C@$\cal{C}^k$-Diffeomorphismus}
wenn $f$ bijektiv ist und sowohl $f$ als auch seine Umkehrung
$f^{-1}:B\ra A$ beide ${\cal{C}}^k$-Abbildungen sind. Sprechen wir 
ohne n"ahere
Spezifizierung von einem 
{\bf Diffeomorphismus},\index{Diffeomorphismus!${\cal{C}}^k$-Diffeomorphismus} 
so meinen wir einen 
${\cal{C}}^\infty$-Diffeomorphismus.
\end{Definition}
\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}\label{ExpDi}
Die Exponentialabbildung   
$\exp: \op{Mat}(n;\DC)\ra \op{Mat}(n;\DC)$ ist 
glatt. Hinweis: \ref{glPR}.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{InGl}
Gegeben ein Banachraum $V$ ist das Invertieren eine  glatte
Abbildung 
auf der Menge der invertierbaren
Elemente von $\cal{B}(V).$  Hinweis: \ref{DInvN}.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{ckp}
Seien $X,Y$ normierte R"aume und $A\subset X$ halboffen.
Eine differenzierbare Abbildung $f:A\ra Y$ ist von der Klasse $\cal{C}^k$ 
genau dann, wenn die Abbildung
$A\times \vec{X}\ra Y\times \vec{Y},$ $(x,v)\mapsto (f(x), (\diff_xf)(v))$
von der Klasse $\cal{C}^{k-1}$ ist.
\end{Ubung}
  \begin{Ubung}
Jede Verkn"upfung von $\cal{C}^k$-Abbildungen 
ist von der Klasse $\cal{C}^k.$ 
Jede Verkn"upfung von glatten Abbildungen ist glatt.  
Hinweis: \ref{PTDn} und \ref{ckp}.
\end{Ubung}
  \begin{Ubung}
    Eine Abbildung in ein Produkt von endlich vielen normierten reellen
    Vektorr"aumen ist $\cal{C}^k$
 genau dann, wenn ihre Komponenten $\cal{C}^k$ sind.
\end{Ubung}
\begin{Bemerkungl}\label{UKgl}
Seien $X$ und $Y$ vollst"andige normierte
reelle R"aume.
Ist $U \co X$ offen und $f: U \ra Y$  eine ${\cal{C}}^k$-Abbildung 
f"ur $1\leq k\leq \infty$ und
ist an einer Stelle $p \in U$ das Differential ein Isomorphismus
mit stetigem Inversen,
so induziert $f$ einen ${\cal{C}}^k$-Diffeomorphismus von
einer offenen Umgebung von $p$ mit einer offenen Umgebung 
von $f(p).$ Das folgt sofort aus \ref{UKAa} mit den vorhergehenden
"Ubungen, insbesondere \ref{InGl}.
\end{Bemerkungl}











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%%% End: 
