
\subsection{"Au"sere Ableitung von Differentialformen}\label{AuAb}

\begin{Bemerkungl}
Gegeben  ein  Vektorraum $V$
 definieren wir f"ur alle $k\geq 0$ eine lineare Abbildung
$$\op{alt}:\op{Hom}(V,\op{Alt}^{k}V)\ra \op{Alt}^{k+1}V$$
durch die Vorschrift 
$$(\op{alt}f)(v_0,v_1,\ldots, v_{k})\pdef
\sum_{i=0}^k (-1)^if(v_i)(v_0,\ldots,\widehat{v_i},\ldots,
v_{k})$$
Hier soll die \glqq Tarnkappe\grqq\  "uber $v_i$ 
wie "ublich bedeuten, da"s dieser Eintrag 
beim entsprechenden Summanden auszulassen ist.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkunge}
  Leser mit den entsprechenden Kenntnissen in multilinearer Algebra k"onnen
  unsere Abbildung im endlichdimensionalen Fall, und nur auf den kommt es uns
  hier an, auch  
verstehen als die Komposition
  $$\op{Hom}(V,\op{Alt}^{k}V)\sira V^\ast\otimes\op{Alt}^{k}V
  \stackrel{\wedge}{\ra} \op{Alt}^{k+1}V$$ des
  Inversen zum Standardisomorphismus $V^\ast\otimes W\sira \op{Hom}(V,W)$ aus
  \eref{Ican}{LA2} mit dem Dachprodukt.
\end{Bemerkunge}
% \begin{Bemerkunge}
%   Leser mit den entsprechenden Kenntnissen in multilinearer Algebra k"onnen
%   unsere Abbildung im endlichdimensionalen Fall 
% unter den in \eref{ddp}{LA2} gegebenen Identifikationen
%   $\bigwedge^k(V^\ast)\sira \op{Alt}^{k}V$ verstehen als die Komposition
%   $\op{Hom}(V,\op{Alt}^{k}V)\sira V^\ast\otimes
%   \bigwedge^k(V^\ast)\stackrel{\wedge}{\ra} \bigwedge^{k+1}(V^\ast)$ des
%   Inversen zum Standardisomorphismus $V^\ast\otimes W\sira \op{Hom}(V,W)$ aus
%   \eref{Ican}{LA2} mit dem Dachprodukt.
% \end{Bemerkunge}


\begin{Definition}\label{SDiD}
Sei $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum und
$A\subset X$ halboffen. Eine Differentialform $\omega \in
\Omega^{k}(A)$ hei"st {\bf  differenzierbar} bzw. 
{\bf stetig differenzierbar} genau dann,
wenn sie 
als Abbildung
$\omega : A \ra \op{Alt}^{k}\vec{X}$ von der halboffenen Teilmenge $A$ des
endlichdimensionalen reellen Raums $X$ in den 
endlichdimensionalen reellen Vektorraum $\op{Alt}^{k}\vec{X}$
differenzierbar ist im Sinne von \ref{DeDi} bzw.  stetig differenzierbar 
im Sinne von \ref{SDi}, wenn also
ihr Differential auch stetig ist als Abbildung 
$A\ra \op{Hom}(\vec{X},\op{Alt}^{k}\vec{X})$ gegeben durch 
$x\mapsto \diff_x\omega$.
\end{Definition}

\begin{Definition}\label{daAb}
Sei $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum und
$A\subset X$ halboffen. 
Gegeben $\omega \in
\Omega^{k}(A)$ eine  differenzierbare $k$-Form 
erkl"aren wir eine $(k+1)$-Form
$d \omega \in \Omega^{k+1}(A)$ durch die Vorschrift
$$(d\omega)_x\pdef\op{alt}(\op{d}_{x}\!\omega)$$
wo $\op{d}_{x}\!\omega : V \ra \op{Alt}^{k}\vec{X} $ 
das Differential im Sinne von \ref{DeDi} unserer Form
$\omega : A \ra \op{Alt}^{k}\vec{X}$
an einer Stelle $x \in A$  meint.
Wir nennen $d\omega$ die \defind{"au"sere Ableitung} {\bf von} $\omega$.
Den Unterschied zwischen $\op{d}\!\omega$ und ${d}\omega$
bringen wir nur
durch die Wahl der Schriftart zum Ausdruck.  
Eine Differentialform, deren "au"sere Ableitung verschwindet,
hei"st
{\bf geschlossen}.\index{geschlossen!Differentialform}
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl}
  Sei $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum und
$A\subset X$ halboffen. 
Gegeben $\omega \in
\Omega^{1}(A)$ ein differenzierbares Kovektorfeld 
ist $\omega$ geschlossen im hier erkl"arten Sinne genau dann,
wenn $\omega$ geschlossen ist im Sinne von \ref{gesch},
wenn also das Wegintegral von $\omega$ "uber einen geschlossenen
in $A$  zusammenziehbaren Weg stets verschwindet. 
\end{Bemerkungl}





\begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauung f"ur die "au"sere Ableitung}]
Um uns die "au"sere Ableitung $d\omega$ zu veranschaulichen,
erinnern wir zun"achst an den Fall einer Nullform alias Funktion, die wir
dann\label{AAAb} 
statt $\omega$ lieber $f$ nennen. Deren 
"au"sere Ableitung $(df)_x$ ist schlicht das 
Differential $\op{d}_{x}\!f$
bei $x$ und kann dadurch beschrieben werden, da"s es jedem
Richtungsvektor $\vec{v}\in\vec{X}$ die Zahl 
$$(df)_x(\vec{v})=\lim_{t\ra 0}\frac{1}{t}(f(x+t\vec{v})-f(x))$$ zuordnet.
Im Fall einer Einsform alias eines Kovektorfelds $\omega$ 
kann seine "au"sere Ableitung $(d\omega)_{x}$ bei $x$ 
analog  dadurch beschrieben werden, da"s sie jedem geordneten Paar
von Richtungsvektoren $(\vec{v},\vec{w})\in\vec{X}^2$ die Zahl 
\begin{Bild} 
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bildgtvw}\\[4mm]
\noindent Der Weg $\gamma(p,t\vec{v},t\vec{w})$ aus
"Ubung \ref{AAAb}. Mit $t\ra 0$ wird er nat"urlich immer kleiner.
\end{Bild}
$$(d\omega)_{x}(\vec{v},\vec{w})
=\lim_{t\ra 0}\frac{1}{t^2}\int_{\gamma(x,t\vec{v},t\vec{w})} \omega$$ 
zuordnet mit der Notation $\gamma(x,t\vec{v},t\vec{w})$ f"ur den Weg,
der einmal das Parallelogramm mit einer  Ecke $x$ und Kantenvektoren 
$t\vec{v}$ und $t\vec{w}$ uml"auft, oder genauer, der st"uckweise linear
l"auft erst von $x$ nach $x+t\vec{v}$, dann weiter nach $x+t\vec{v}+t\vec{w}$,
von da nach $x+t\vec{w}$, und dann wieder zur"uck nach $x$. 
M"oglicherweise haben Sie das bereits als "Ubung \ref{IHTj} gezeigt.
Im allgemeinen Fall einer $k$-Form $\omega$ schlie"slich haben wir 
$$(d\omega)_{x}(\vec{v}_0,\ldots,\vec{v}_k)
=\lim_{t\ra 0}\frac{1}{t^{k+1}}\int_{F(x,t\vec{v}_0,\ldots,t\vec{v}_k)} \omega$$ 
wobei wir uns $F$, zumindest f"ur  $\vec{v}_0,\ldots,\vec{v}_k$
linear unabh"angig,
 als die in geeigneter Weise orientierte Oberfl"ache eines Parallelpipeds
mit Ecke $x$ und Kantenvektoren $t\vec{v}_i$ denken d"urfen, 
"uber die wir dann unsere $k$-Form integrieren k"onnen, wenn wir etwas Mut
beweisen und beim Integrieren von den Kanten einmal absehen.
Es mag eine gute "Ubung sein, etwa f"ur die zweite Aussage auch einmal einen
Beweis auszuschreiben.
\end{Bemerkungl}
% \begin{Bemerkungl}
% Man mag sich $\op{d}_{x}\!\omega$ veranschaulichen als eine
% Abbildung, die $k+1$ Richtungsvektoren $v_1,v_2,\ldots,v_{k+1}$ bei $x$ 
% eine Zahl
% zuordnet wie folgt: Man setzt alle Vektoren au"ser $v_1$
% der Reihe nach  in 
% $\omega$ ein und bildet die Richtungsableitung der so entstehenden
% reellwertigen Funktion bei $x$ in Richtung von $v_1$. 
% Unser $(d\omega)_x$ ist der \glqq schiefsymmetrische Anteil\grqq\  dieser
% multilinearen Abbildung, in Formeln
% $$(d\omega)_x(v_1,v_2,\ldots,v_{k+1})
% =\frac{1}{(k+1)!}\sum_{\sigma\in\cal{S}_{k+1}}
% (\op{sgn} \sigma)\;(\op{d}_{x}\!\omega)
% (v_{\sigma(1)},v_{\sigma(2)},\ldots,v_{\sigma(k+1)})$$
% Mir selbst hilft jedoch diese Anschauung nicht wirklich weiter.
% In Spezialf"allen werden wir in \ref{WueG} und Folgende sehen, in
% welcher Weise unsere "au"sere Ableitung
% von Differentialformen die Begriffsbildungen
% Gradient, Divergenz und Rotation beinhaltet, die ja
% zum Gl"uck der Anschauung noch recht gut zug"anglich sind.
% \end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}\label{dDd}
Offensichtlich ist die Zuordnung $\omega\mapsto d\omega$ linear
und f"ur Nullformen alias Funktionen $f$ gilt
$df=\diff f$.
Ist $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum,
$A\subset X$ halboffen,
$\omega_\circ \in\op{Alt}^{k}\vec{X}$ eine konstante $k$-Form und
$f:A\ra \DR$   differenzierbar, so behaupten wir die Formel
$$d(f\omega_\circ)=\diff f\wedge \omega_\circ$$
Leser mit entsprechenden Kenntnissen in   multilinearer
Algebra erkennen das auf einen Blick, die anderen m"ussen dumpf rechnen,
k"onnen dann aber die Formel zumindest verifizieren.
Im Fall $X = \Bbb{R}^{n}$ wird f"ur eine Differentialform der Gestalt
$\omega = \sum a_{I} \diff x_{I}$ 
insbesondere ihre "au"sere Ableitung
$d \omega $ gegeben durch die Vorschrift
$$d \omega = \sum \diff a_{I} \wedge \diff x_{I}$$ Das folgt auch formal 
aus den allgemeineren Aussagen, die in den drei anschlie"senden Lemmata 
formuliert werden.  
\end{Beispiel}


\begin{Lemma}\label{LRR}
Sind $\omega$ und $\eta$  differenzierbare
Differentialformen auf einer halboffenen Teilmenge eines 
endlichdimensionalen reellen Raums,
so gilt f"ur ihr Produkt die 
\emph{\bf Leibniz-Regel}\index{Leibniz-Regel!f"ur Differentialformen}
$$d(\omega \wedge \eta)= (d\omega)\wedge \eta + (-1)^{|\omega|}
\omega \wedge d\eta$$
\end{Lemma}
\begin{Lemma}\label{dd}
Sei $\omega$ eine 
Differentialform auf einer halboffenen Teilmenge eines 
endlichdimensionalen reellen Raums. Ist $\omega$
stetig differenzierbar und  $d\omega$ auch
 stetig differenzierbar, 
so gilt $$d(d\omega)= 0$$
\end{Lemma}
\begin{Lemma}\label{zh}
$\cal{C}^2$-verwandte Differentialformen haben verwandte "au"sere Ableitungen.
Ist genauer und in Formeln $\phi:A\ra B$ eine $\cal{C}^2$-Abbildung
zwischen halboffenen Teilmengen
endlichdimensionaler reeller R"aume und 
$\omega$ eine differenzierbare
Differentialform auf  $B$, so gilt $$d(\phi^{\ast}\omega) 
= \phi^{\ast}(d\omega)$$
\end{Lemma}
\begin{Bemerkungl}
 Wie Sie noch sehen werden, erlauben diese Formeln ein 
au"serordentlich elegantes Rechnen mit Differentialformen.
Dieser Formalismus geht auf \'Elie Cartan's Arbeiten zu Beginn des 
zwanzigsten Jahrhunderts zur"uck. 
Die Vertr"aglichkeit des "au"seren Differentials mit
Verwandtschaft macht die Umrechnung zwischen verschiedenen
Koordinatensystemen so einfach, da"s es auch bei anderen Umrechnungen oft 
der bequemste Weg ist,  sie auf diesen Formalismus 
zur"uckzuf"uhren.  Als Beispiel bespreche ich
die Umrechnung des Laplace-Operators in krummlinige Koordinaten
in \ref{LAKo} folgende. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Unterschiede zum Kalk"ul mit beliebigen
    Multilinearformen}] 
  Man beachte den dramatischen Unterschied zu unseren Ableitungen
  \ref{stddn} von nicht notwendig alternierenden Multilinearformen, die
  wir dort sogar im vektorwertigen Fall betrachtet hatten. Die Definition dort
  war fast dieselbe, bis auf das Detail, da"s wir dort beliebige
  Multilinearformen betrachtet hatten und folgerichtig nach dem Ableiten auch
  nicht den alternierenden Anteil genommen hatten. Dennoch sind alle drei
  vorhergehenden Lemmata in dieser analogen Situation falsch. Etwas vage
  gesprochen folgen unsere drei Lemmata aus den Zusammenspiel zwischen dem
  Kommutieren der partiellen Ableitungen und dem Antikommutieren aus der
  Definition der "au"seren Algebra.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}\label{zHH}
Man kann diese drei Lemmata durch explizite Rechnung in Koordinaten 
der Reihe nach beweisen. Mir schien jedoch ein anderes Vorgehen
"ubersichtlicher, bei dem im Anschlu"s an einen  Beweis des ersten Lemmas 
die beiden anderen in einer Art Kaminkletterei abwechselnd in
wachsender Allgemeinheit gezeigt werden. Die letzte Regel \ref{zh} 
k"onnen wir auch 
$\phi:\eta\leadsto \omega\;\RA\;\phi:d\eta\leadsto d\omega$ schreiben.
Der Leser sei ermutigt, sich das im Lichte unserer
Anschauung \ref{AAAb}  bildlich klarzumachen.
Die Regel $dd\omega=0$ ist zumindest f"ur Nullformen 
im Lichte unserer
Anschauung \ref{AAAb} leicht einzusehen,
da das Integral des Differentials einer Funktion 
"uber jeden geschlossenen Integrationsweg verschwindet.
F"ur Kovektorfelder sollte die Identit"at $dd\omega=0$ 
zumindest aus dem Stokes'schen Satz mit Ecken \eref{ASIE}{AN3}
heraus klar werden: Er besagt, da"s das Integral von $d\omega$ 
"uber eine Fl"ache unseres Parallelpipeds auch als 
Integral von $\omega$ "uber dessen Rand geschrieben werden kann,
und die Summe aller Randintegrale "uber die sechs Fl"achen 
unseres Parallelpipeds ist offensichtlich wieder Null.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bild} 
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bilddphio}\\[4mm]
\noindent 
Versuch einer anschaulichen Interpretation der Vertr"aglichkeit
zwischen der "au"seren Ableitung und dem
Zur"uckholen von Kovektorfeldern. Gegeben ist ein
Kovektorfeld $\omega$ rechts und ein Punkt $p$ mit
zwei Richtungsvektoren $\vec{v},\vec{w}$ links. 
Das Wegintegral von $\phi^\ast\omega$ "uber den kleinen
Parallelogrammweg links approximiert $(d(\phi^\ast\omega))_p(\vec{v},\vec{w})$.
Es stimmt nach \ref{TfW}  "uberein  mit dem Wegintegral
des Kovektorfelds  $\omega$   "uber seinen Bildweg rechts,
eingezeichnet als
durchgezogener Rundweg aus vier krummen St"ucken.
Dahingegen approximiert das Wegintegral "uber den kleinen
gestrichelten Parallelogrammweg rechts 
$(d\omega)_{\phi (p)}(\diff_p\phi(\vec{v}),\diff_p\phi(\vec{w}))$.
Die Anschauung soll uns nun sagen, da"s im Grenzwert
$t\ra 0$ wie in \ref{AAAb} die 
entsprechenden beiden Wegintegrale rechts nach Teilen 
durch $t^2$ gegen denselben Wert streben. In der Tat werden ja nicht nur die 
beiden Rundwegsintegrale klein von zweiter Ordnung, sondern die beiden
Wege werden sich bei $t\ra 0$ auch sehr "ahnlich, und das sorgt daf"ur,
da"s die Differenz ihrer Rundwegsintegrale  f"ur $t\ra 0$ sogar von dritter 
Ordnung verschwindet.
\end{Bild}
\begin{proof}[Beweis von \ref{LRR}]
Wir k"onnen $\omega$ und $\eta$ schreiben als Summen von Formen
der Gestalt $a\omega_{\circ}$, $b\eta_{\circ}$ mit 
$\omega_{\circ}$, $\eta_{\circ}$
konstant und $a,b$ differenzierbaren Funktionen.
Es reicht also, die Behauptung f"ur $\omega = a\omega_{\circ}$, $\eta
= b \eta_{\circ}$ zu pr"ufen.
Im Fall von Funktionen liefert die Produktregel, wie bereits in 
\ref{DiFF} erw"ahnt, unmittelbar 
$d(ab)=(d a) b + a (db)$.
Dann gilt nach \ref{dDd} aber $d\omega = d a \wedge \omega_{\circ}$, $d\eta = d
b \wedge \eta_{\circ}$ und 
damit
$d (\omega \wedge \eta)= ((d a) b + a (db))
\omega_{\circ} \wedge \eta_{\circ}$. Da zus"atzlich
gilt $db\wedge \omega_{\circ} =
(-1)^{|\omega|} \omega_{\circ} \wedge db$, folgt die Leibniz-Regel.
\end{proof}
\begin{proof}[Beweis von \ref{dd} im Fall $X=\DR^n$]
F"ur  eine Nullform alias eine Funktion $\omega=a$ auf einer offenen
Teilmenge eines $\Bbb{R}^{n}$ k"onnen wir ganz explizit rechnen
$$\begin{array}{rcl}
d a &=& \sum^{n}_{i=1} \frac{\partial a}{\partial x_{i}}
dx_{i}\\[2mm]
dda &
=& \sum^{n}_{i,j =1} \frac{\partial^{2}a}{\partial
x_{j}\partial x_{i}}dx_{j}\wedge dx_{i}\\[2mm]
&=& \sum_{i < j} \left( \frac{\partial^{2}a}{\partial
x_{j}\partial x_{i}} - \frac{\partial^{2}a}{\partial
x_{i}\partial x_{j}}\right) dx_{j} \wedge dx_{i} \\[2mm]
 & =& 0
\end{array}$$
wo wir die Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen 
\ref{VPAb} verwendet
haben, die hinwiederum aus der Annahme der
Stetigkeit der zweiten Ableitungen folgt.
F"ur eine $k$-Form $\omega$ auf einer offenen Teilmenge des
$\Bbb{R}^{n}$, sagen wir $\omega = \sum_{|I| = k} a_{I}dx_{I}$,
erhalten wir damit sofort $d(d\omega)= \sum d(da_{I}) \wedge dx_{I}
= 0$. F"ur eine $k$-Form $\omega$ auf einer \emph{halb}offenen Teilmenge
des $\Bbb{R}^{n}$ folgt unsere Behauptung dann aus
der Stetigkeit von $d(d\omega)$.
\end{proof}
\begin{proof}[Beweis von \ref{zh} f"ur $\phi$ affin]
Gilt unsere Formel f"ur $\omega$ und $\eta$, so nach der
Produktregel auch f"ur $\omega \wedge \eta$. Es reicht also,
unsere Formel f"ur Funktionen alias
Nullformen und f"ur konstante $1$-Formen zu zeigen.
Der Fall von Funktionen ist  \ref{VFVD}.
F"ur eine konstante $1$-Form
$\omega_\circ$ und  $\phi$  affin
 ist nat"urlich
$\phi^{\ast}\omega_\circ$ auch eine konstante $1$-Form, mithin gilt
wie gew"unscht
$ d(\phi^{\ast} \omega_\circ) = 0 = \phi^{\ast} (d\omega_\circ)$.
\end{proof}
\begin{proof}[Beweis von \ref{dd} im Allgemeinen]
Ist $\phi:\Bbb{R}^{n}\sira X$ 
ein Isomorphismus von affinen R"aumen, 
so folgt $\phi^{\ast} (dd\omega) = dd (\phi^\ast{\omega}) = 0$
und mithin $dd \omega =0$. 
\end{proof}
\begin{proof}[Beweis von \ref{zh} im Allgemeinen]
Gilt unsere Formel f"ur $\omega$ und $\eta$, so nach der
Produktregel auch f"ur $\omega \wedge \eta$. Es reicht also,
unsere Formel f"ur Funktionen alias
Nullformen und f"ur konstante $1$-Formen zu zeigen.
Der Fall von Funktionen ist  \ref{VFVD}.
F"ur eine konstante $1$-Form
$\omega_\circ$ und  $\phi$ beliebig haben wir hinwiederum 
$\omega_{\circ}=d a$ f"ur eine geeignete Funktion $a$, 
genauer f"ur jede affine Abbildung $a$ von unserem affinen Raum 
nach $\DR$ mit linearem Anteil
$\vec{a}=\omega_\circ$, und
damit ergibt sich
$d\phi^{\ast}\omega_{\circ} = d\phi^{\ast} da = dd \phi^{\ast}a 
=0=\phi^{\ast} 0=\phi^{\ast} d\omega_{\circ}$, 
wo wir im mittleren Schritt verwenden,
da"s uns die Regel $\phi^{\ast} da = d \phi^{\ast}a$ 
f"ur Funktionen $a$ ja bereits aus \ref{VFVD} zur Verf"ugung steht.
\end{proof}
\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}
  Pr"ufen Sie f"ur die Differentialform 
$x^2dx\wedge dy-4\op{e}^ydx\wedge dz$, da"s erst die "au"sere Ableitung bilden
und dann auf Kugelkoordinaten "ubergehen dasselbe Resultat liefert wie
erst auf Kugelkoordinaten "ubergehen und dann die "au"sere Ableitung bilden.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
  Zeigen Sie, da"s f"ur eine stetig differenzierbare
$k$-Form $\omega$ auf dem $\DR^3$ mit $k\geq 1$  
die Bedingung $d\omega=0$ gleichbedeutend ist zur Bedingung,
da"s es eine stetig differenzierbare
$(k-1)$-Form $\eta$ auf dem $\DR^3$ gibt mit
$\omega=d\eta$.
\end{Ubung}
\begin{Ubunge}
Bezeichnen wir die Koordinaten des $\DR^4$ mit
$x,y,z,t$ und betrachten auf dem $\DR^4$ eine allgemeine glatte $2$-Form
\begin{eqnarray*}
F &=& E^1 dx \wedge dt + E^2 dy \wedge dt + E^3 dz \wedge dt\\
& &+ B^1  dy \wedge dz + B^2  dz \wedge dx + B^3  dx \wedge dy
\end{eqnarray*}
So ist die Gleichung $dF=0$ "aquivalent zu den beiden Gleichungen 
$$\op{div} B =0\qquad\text{und}\qquad
\op{rot} E = 
-\frac{\partial B}{\partial t}$$
f"ur $\op{rot}$ der Rotation wie in \ref{sr} und
$\op{div} B$ der \glqq Divergenz\grqq\  alias der
 Summe der partiellen Ableitungen nach $x,y$ und $z$
wie in \ref{SvG}.
Leser mit physikalischer Vorbildung erkennen f"ur $H=cB$ die beiden ersten 
Maxwell'schen Gleichungen im Vakuum. Der Formalismus der Verwandtschaft von
Differentialformen sagt uns dann,
in welcher Weise solch ein elektromagnetisches Feld $F$ in anderen
Koordinaten geschrieben werden mu"s, und da"s zumindest die beiden ersten 
Maxwell'schen Gleichungen nicht von der Wahl der Koordinaten abh"angen.
Wie man sogar alle vier
  Maxwell'schen Gleichungen im Vakuum "ahnlich elegant formulieren kann,
wird in \eref{MaGe}{WB} erkl"art. 
\end{Ubunge}










%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "AAANA2"
%%% End: 
