\subsection{Randfaltigkeiten}
\begin{Definition}
Sei $X$ ein  reeller Raum endlicher
Dimension $n$ und sei $k$ gegeben mit
$ 1\leq k\leq n$.
Eine Karte $(W,\varphi)$ einer $k$-dimensionalen
Eckfaltigkeit $M\subset X$ hei"st eine
{\bf Halbraumkarte}\index{Halbraumkarte} genau dann, 
wenn $W$ eine offene Teilmenge von
$\DR_{\leq 0}\times \DR^{k-1}$ ist.
\end{Definition}
\begin{Definition}
Eine\label{RaFa} 
Eckfaltigkeit  hei"st eine
{\bf Randfaltigkeit}\index{Randfaltigkeit} genau dann, 
wenn es darin um jeden Punkt eine Halbraumkarte gibt.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
Offensichtlich ist jede Mannigfaltigkeit eine Randfaltigkeit und jede
Randfaltigkeit eine Eckfaltigkeit. In der Literatur hei"sen unsere
Randfaltigkeiten meist {\bf berandete Mannigfaltigkeiten}.
\index{Mannigfaltigkeit!berandete} 
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}
Den {\bf Rand}\index{Rand!von Randfaltigkeit}  
$\partial M$\index{d@$\partial M$ Rand von Randfaltigkeit} 
einer Randfaltigkeit $M$ verstehen wir wie bei Eckfaltigkeiten. 
Im Fall einer Randfaltigkeit kann er charakterisiert
werden als die Menge  derjenigen Punkte, die unter einer 
und gleichbedeutend jeder Halbraumkarte $(W,\varphi)$ im Bild
von $W\cap (0\times \DR^{k-1})$ liegen.
Offensichtlich ist der Rand einer Randfaltigkeit der Dimension $k$
seinerseits eine Mannigfaltigkeit der Dimension $k-1$.
\end{Bemerkungl}













\begin{Definition}\label{RaKa}
Gegeben eine  Halbraumkarte $(W,\varphi)$ einer 
$(k+1)$-Rand\-fal\-tig\-keit $M$  definieren wir die 
{\bf induzierte Karte $(\bar{W},\bar{\varphi})$ des Randes}
$\partial M$ durch die Vorschrift\index{Karte!auf dem Rand induzierte}   
$$(\bar{W},\bar{\varphi})\pdef(i^{-1}(W),\varphi\circ i)$$
mit $i:\DR^k\ra  \DR_{\leq 0}\times \DR^{k}$ der 
Einbettung $x\mapsto (0,x)$. 
\end{Definition}

\begin{Lemma}\label{InOr}
Gegeben eine orientierte  $(k+1)$-Randfaltigkeit $M$ 
gibt es genau eine Orientierung ihres Randes $\partial M$ 
derart, da"s f"ur jede Randkarte der Orientierung $\varepsilon$
auch die induzierte Karte des Randes die Orientierung $\varepsilon$
hat. Wir nennen sie die 
\emph{\bf induzierte Orientierung\index{induzierte Orientierung} des Randes}.
\end{Lemma}
\begin{figure}[p]
  \centering
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BilderR}\\[4mm]
\noindent
Eine orientierte berandete zweidimensionale Mannigfaltigkeit mit
der induzierten Orientierung auf ihrem Rand und einer Randkarte
\end{figure}
\begin{proof}
Seien $(W_\alpha,\varphi_\alpha)$ und $(W_\beta,\varphi_\beta)$
zwei Halbraumkarten von $M$.  
Der Kartenwechsel $\varphi_{\beta\al} : W_{\al\beta}\sira
W_{\beta\al}$ identifiziert 
$W_{\al\beta} \cap (0\times \DR^{k})$ mit ${W}_{\beta\al}
\cap (0\times \DR^{k})$ und kann dort durch den Kartenwechsel
$\bar{\varphi}_{\beta\al}$ der auf dem Rand induzierten Karten 
ausgedr"uckt werden
als $\op{id}_0\times{\bar\varphi}_{\beta\al}$.  
Gegeben $y \in   \bar{W}_{\al}\cap  \bar{W}_{\beta} $
hat die Jacobi-Matrix $\diff _{(0,y)} \varphi_{\beta,\al}$ des
Kartenwechsels die Gestalt
$$\diff _{(0,y)} \varphi_{\beta\al} = \left(
\begin{array}{c|c}\displaystyle
\frac{\partial (\varphi_{\beta\al})_1}{\partial x_{1}}(0,y)& \ast
\\[3mm]

\hline
0 & \diff_{y}\bar{\varphi}_{\beta\al} 
\end{array} \right) $$
und ihr Eintrag oben links alias 
die partielle Ableitung in $(0,y)$ der ersten Komponente des
Kartenwechsels nach der ersten Variablen
ist offensichtlich
nicht negativ. Mithin hat in jedem Randpunkt 
die Funktionaldeterminante eines Kartenwechsels zweier Halbraumkarten 
von $M$
dasselbe Vorzeichen wie die Funktionaldeterminante des Kartenwechsels
der auf dem Rand induzierten Karten.
\end{proof}
\begin{Beispiel}
 Im Fall der in \ref{I1Man} besprochenen  orientierten
$1$-Randfal\-tig\-keit
$M=\varphi([a,b])$ besteht\label{O1R} der Rand aus den beiden Punkten 
$\partial M=\{\varphi(a), \varphi(b)\}$ und die induzierte
Orientierung gibt dem Ersten dieser Punkte ein negatives 
Vorzeichen und dem Zweiten ein Positives. Im h"oherdimensionalen Fall
bedeutet unsere Definition anschaulich, da"s die orientierten Basen der
Tangentialr"aume des Randes diejenigen angeordneten Basen sind,
die orientierte Basen der
Tangentialr"aume der Mannigfaltigkeit liefern, wenn man noch
einen Vektor davorschreibt, der tangential an die Mannigfaltigkeit ist
und an unserem Randpunkt \glqq aus der Mannigfaltigkeit heraus zeigt\grqq.
  Ist speziell $M=\partial K$ der Rand einer glatt berandeten Teilmenge
  $K$ mit der von einer Orientierung des umgebendem Raums 
induzierten Orientierung, so nennt 
 man das orientierte Normalenfeld  auch das
  {\bf "au"sere Normalenfeld}\index{"au"seres Normalenfeld}, da dann
  anschaulich gesprochen $N_p$ stets \glqq aus $K$ heraus zeigt\grqq.
\end{Beispiel}

\subsubsection*{"Ubungen}



\begin{Ubung}
Seien $X$ und $Y$  endlichdi\-mensionale
reelle R"aume,  $U\co X$ eine offene Teilmenge und
$f:U\ra Y$ eine stetig differenzierbare Abbildung 
mit
"uberall surjektivem
Differential. So ist  f"ur jede
Randmannigfaltigkeit $C\subset Y$ ihr Urbild $M=f^{-1}(C)$
eine  Randmannigfaltigkeit von $X$
der Dimension $\op{dim}X-\op{dim}Y+\op{dim}C$ mit Rand 
$\partial M=f^{-1}(\partial C)$. Man erkennt so zum Beispiel, da"s 
alle Vollkugeln Randfaltigkeiten sind. Hinweis:  \ref{MN}
und \ref{UBOR}.
\end{Ubung}
\begin{Ubunge}\label{ORF}
Jede Orientierung des Komplements des Randes 
in einer Randfaltigkeit
l"a"st sich eindeutig
zu einer Orientierung der ganzen Randfaltigkeit fortsetzen.
\end{Ubunge}












%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "AAANA2"
%%% End: 
