\subsection{Der Satz von Stokes}
\begin{Bemerkungl}
Bisher haben wir bei der Definition von Mannigfaltigkeiten,
Eckfaltigkeite, Randfaltigkeiten und ihren Pl"attungen und Karten 
alle beteiligten Abbildungen stets als stetig differenzierbar
angenommen. Wenn wir stattdessen $\mathcal C^l$ 
f"ur $0\leq l\leq\infty$ fordern wollen,
schreiben wir das explizit dazu. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Satz}[\textbf{Stokes'scher Integralsatz}]\label{ASI}
\index{Stokes!Integralsatz von!allgemeiner}
Sei 
$M$  eine kompakte orientierte $\mathcal C^2$-Rand\-fal\-tig\-keit 
der Dimension $(k+1)$ in einem endlichdimensionalen reellen
Raum
und sei
$\omega$ eine stetig differenzierbare $k$-Form auf einer 
halboffenen Teilmenge unseres Raums, die  $M$ umfa"st.
Versehen wir den Rand $\partial M$ von $M$ 
mit der induzierten Orientierung, so gilt
$$\int_{\vec{M}} d\omega = \int_{\partial \vec{M}} \omega$$
\end{Satz}
\begin{Bild} 
%\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BidStA}\\[4mm]
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildSta}\\[4mm]
\noindent Illustration zum Stokes'schen Satz.
Gegeben ein Kovektorfeld $\omega$ erinnern wir uns dazu
daran, da"s nach \ref{AAAb} seine "au"sere Ableitung 
$(d\omega)_p(\vec{v},\vec{w})$ ausgewertet auf 
Richtungsvektoren $\vec{v},\vec{w}$ eine Approximation des
Wegintegrals von $\omega$ "uber den Rundweg von $p$ erst nach
$p+\vec{v}$, dann weiter nach $p+\vec{v}+\vec{w}$, von dort nach
$p+\vec{w}$ und zur"uck nach $p$ ist.
Es sollte nun anschaulich klar sein, da"s die Summe "uber 
viele derartige kleine Rundwegsintegrale das Randintegral "uber
den ganzen Bereich approximiert. Der Satz von Stokes 
formalisiert diese Anschauung.
\end{Bild}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{M"ogliche Abschw"achungen 
der Voraussetzungen}]
Der Beweis wird zeigen, da"s wir statt der Kompaktheit 
unserer Mannigfaltigkeit
schw"acher nur vorauszusetzen brauchen, da"s der Tr"ager der 
Differentialform unsere Mannigfaltigkeit in einem
Kompaktum trifft. In \eref{ASIE}{AN3} erkl"aren wir  
eine Version f"ur Eckfaltigkeiten, die f"ur die 
im \glqq wirklichen Leben\grqq\  
auftretenden Situationen besonders 
relevant ist. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
Konkrete Spezialf"alle des vorhergehenden Satzes werden ab
\ref{WueG} diskutiert.
Bereits hier sei bemerkt,
da"s f"ur eine kompakte  Mannigfaltigkeit
alias eine kompakte Randfaltigkeit  mit
leerem Rand 
das Integral auf 
der linken Seite verschwinden mu"s, 
in Formeln $\partial M=\emptyset\;\RA \;\int_{\vec{M}} d\omega =0$.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungw}[\textbf{Varianten f"ur abstrakte Randfaltigkeiten}] 
Sp"ater werden wir lernen, was eine 
\glqq abstrakte Randfaltigkeit\grqq\  und eine
\glqq Differentialform auf
einer abstrakten Randfaltigkeit\grqq\  ist 
und wie man solche Differentialformen 
ableitet und $k$-Formen "uber orientierte 
$k$-Rand\-fal\-tigkeiten integriert. 
In dieser Allgemeinheit gilt dann dieselbe Formel f"ur
eine beliebige stetig differenzierbare $k$-Form $\omega$ mit
kompaktem Tr"ager auf 
einer beliebigen orientierten $(k+1)$-Randfaltigkeit $M$. 
\end{Bemerkungw}
\begin{Beispiel}[\textbf{Satz von Stokes im Fall einer Flu"sdichte}] 
Sei $X$ ein dreidimensionaler orientierter reeller affiner Raum und
$K\subset X$ eine kompakte 
orientierte dreidimensionale $\mathcal C^2$-Randfaltigkeit alias
ein K"orper wie etwa eine massive Kugel oder
ein massiver Eisenring, den wir uns aber 
nur als wohlbestimmte Region in $X$ denken, die durchaus von Gas durchstr"omt
wird. 
Der Rand $\partial K$ ist dann eine Fl"ache,
etwa eine Kugelschale oder die Oberfl"ache unseres Rings.
 Sei nun $\omega$ die $2$-Form der Flu"sdichte 
eines bewegten Gases wie in \ref{FluD}.
Nach \ref{Fluddd}
beschreibt das Integral von $\omega$ "uber $\partial K$
die Gesamtmasse an Gas, die im gegebenen Zeitintervall 
in einer durch die Orientierung bestimmten Richtung durch 
unsere Fl"ache $\partial K$ hindurchtritt.
Nach \ref{AAAb} beschreibt die $3$-Form $d\omega$ an jeder Stelle  
f"ur je drei kleine Vektoren die Gesamtmasse an Gas, die im gegebenen
Zeitintervall
aus dem entsprechenden kleinen Parallelpiped entweicht oder in dieses 
einstr"omt,
je nach Vorzeichen. Nach \ref{Fluddd}
beschreibt das Integral "uber $K$ dieser $3$-Form die Gesamtmasse an Gas,
die im gegebenen
Zeitintervall
aus der Region $K$ entweicht oder in diese einstr"omt,
je nach Vorzeichen. Der Satz von Stokes besagt dann schlicht, 
da"s diese Gesamtmasse dieselbe ist wie die Gesamtmasse an Gas,
die im gegebenen
Zeitintervall durch die Oberfl"ache $\partial K$ hindurchtritt.
\end{Beispiel}


\begin{Beispiel}[\textbf{Hauptsatz der Differential- 
und Integralrechnung}] 
Jedes mehrpunktige kompakte reelle Intervall $M=[a,b]$ ist eine
eindimensionale\label{SHS} 
Rand\-fal\-tig\-keit in $\DR$ und erbt von $\DR$ eine
Orientierung. Sein Rand ist die nulldimensionale Mannigfaltigkeit 
$\partial M = \{a,b\}$ und die induzierte Orientierung darauf 
 gibt dem Punkt $a$ das Vorzeichen $-1$ und dem Punkt $b$ das  Vorzeichen $+1$.
Eine Nullform $\omega$ auf $M$ ist schlicht eine Funktion $G$,
ihr Differential ist $d\omega=\diff G= G'(x)\diff x$, und wir erkennen, 
da"s unser Satz von Stokes \ref{ASI} 
in diesem Fall  zum Hauptsatz der Integral- und
Differentialrechnung \eref{ImS}{AN1} spezialisiert.
\end{Beispiel}

\begin{Beispiel}[\textbf{Flu"s durch eine Hemisph"are}] 
Wir kommen nochmal auf unser Integral "uber die 
obere\label{Bsp2}  
Hemisph"are $H$ der $2$-Form $x^2 \diff x \wedge \diff y$ aus \ref{BI11}
zur"uck, wobei unsere Orientierung
der oberen 
Hemisph"are unter der Projektion
auf die Ebene die "ubliche Orientierung des $\DR^2$ entsprach.
Nun haben wir das Gl"uck,
$x^2 \diff x \wedge \diff y = -d (x^2y\diff x)$ 
schreiben zu k"onnen.
Der Rand von 
$\vec{H}$ ist dann 
der im Gegenuhrzeigersinn orientierte Einheitskreis in der
$xy$-Ebene $S = \{(x,y,z) \mid x^2 + y^2 =1,\; z =0\}$
 und aus
dem Satz von Stokes folgt 
\begin{equation*}
\int_{\vec{H}} x^2 \diff x \wedge \diff y = \int_{\vec{S}} -x^2 y \diff x
\end{equation*}
Zur Sicherheit machen wir noch die Probe und landen mit
$$
\int_{\vec{S}}-x^2 y \diff x = \int_0^{2\pi} -\cos^2 \varphi \sin \varphi
 \op{d} (\cos \varphi)=
\int^{2\pi}_{0}\cos^2 \varphi \sin^2 \varphi \diff \varphi
$$
im wesentlichen 
bei demselben Integral wie dem, das wir bereits in \ref{BI11} berechnet
hatten.
Genauer wird der fehlende Faktor $2$ von 
$\int^\pi_0 \sin \varphi \diff \varphi$ in der 
Rechnung dort hier dadurch ausgeglichen, 
da"s das Integral bis $2\pi$ l"auft.
\end{Beispiel}


\begin{proof}[Beweis]
Gilt die Aussage f"ur $\omega$ und $\omega'$, so auch f"ur $\omega +
\omega'$.
Wir k"onnen also nach \eref{KO}{AN1} und \ref{TEL}
ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen,
da"s es eine %zusammenh"angende 
Halbraumkarte $(W,\varphi)$ 
von $M$ gibt, die eine Orientierung  hat und derart, da"s 
gilt $(\op{supp}
\omega\cap M) \subset \varphi (W)$.
Ist $\varepsilon$ die Orientierung unserer Halbraumkarte, so gilt
per definitionem und da die
"au"sere Ableitung vertauscht mit dem Zur"uckholen
$$
\int_{\vec{M}} d\omega = \varepsilon \int_{W}
\varphi^{\ast} (d\omega)=\varepsilon \int_{W}
d(\varphi^{\ast} \omega)$$ 
Bezeichnet $(\bar{W}, \bar{\varphi})$ wie in \ref{RaKa} 
die induzierte Karte des Randes
und 
$i:\Bbb{R}^{k}\ra  \Bbb{R}_{\leq 0}\times\Bbb{R}^{k}$, $x\mapsto (0,x)$
die offensichtliche Einbettung, so  gilt nach unseren Definitionen 
und wegen
$\bar{\varphi}=\varphi\circ i$ und $\bar{W}=i^{-1}(W)$ auch 
$$
\int_{\partial \vec{M}} \omega =  \varepsilon
\int_{\bar{W}} \bar{\varphi}^{\ast}\omega=\varepsilon
\int_{i^{-1}W} i^\ast(\varphi^{\ast}\omega)
$$
Bezeichnen wir mit $\eta$ die Fortsetzung durch Null von 
$\varphi^{\ast}\omega$ auf den ganzen Halbraum, 
so  reduziert sich 
der Satz auf einen Spezialfall, den wir 
im Anschluss als eigenst"andiges Lemma formulieren und beweisen.
\end{proof}

\begin{Lemma}\label{LeSt}
Bezeichne $i:\Bbb{R}^{k}\ra  \Bbb{R}_{\leq 0}\times\Bbb{R}^{k}$
wie zuvor die offensichtliche Einbettung  und sei 
$\eta$ eine stetig differenzierbare $k$-Form 
mit kompaktem Tr"ager auf 
$ \Bbb{R}_{\leq 0}\times\Bbb{R}^{k}$.
So gilt
$$ \int_{\Bbb{R}^{k}} i^{\ast}\eta =
\int_{\Bbb{R}_{\leq 0}\times\Bbb{R}^{k}} d\eta$$
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
Wir 
nennen unsere Koordinaten
hier ausnahmsweise $x_0,x_1,\ldots, x_k$ und k"onnen
schreiben $$\eta= \sum^{k}_{\nu =0} \eta_{\nu}\;dx_{0} \wedge
\ldots \wedge \widehat{dx}_{\nu} \wedge \ldots \wedge dx_{k}$$
f"ur stetig differenzierbare Funktionen $\eta_{\nu}$ mit kompaktem
Tr"ager. Es ergibt sich $i^{\ast}\eta = \eta_{0} \;dx_{1} \wedge \ldots
\wedge dx_{k}$, die linke Seite ist also schlicht
$ \int_{\Bbb{R}^{k}} \eta_{0}$.
Auf der rechten Seite erhalten wir
$$d\eta = \sum^{k}_{\nu = 0} (-1)^{\nu } \frac{\partial 
\eta_\nu}{\partial x_{\nu}} dx_{0}\wedge \ldots \wedge dx_{k}$$ und
f"ur alle $\nu \neq 0$ verschwindet beim entsprechenden Summanden das
$\nu$-te par\-tiel\-le Integral, da die Stammfunktion $\eta_{\nu}$
kompakten Tr"ager hat und von $-\infty$ bis $\infty$ integriert
wird.
Nur der erste Summand liefert also einen Beitrag, und der ist
\begin{equation*}
 \int_{\Bbb{R}^{k}} \left( \int^{0}_{-\infty}
\frac{\partial \eta_{0}}{\partial x_{0}}\right) = 
\int_{\Bbb{R}^{k}} \eta_{0}\qedhere
\end{equation*}
\end{proof}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Bedeutung des Formalismus 
der Differentialformen}] 
Der hier erkl"arte Beweis des Stokes'schen Satzes ist ziemlich kurz.
Das liegt daran, da"s seine Formulierung in der Sprache
der Differentialformen so gut mit Koordinatenwechseln vertr"aglich  ist,
 da"s wir uns beim Beweis leicht auf einen  einfachen Spezialfall
zur"uckziehen k"onnen. In gewisser Weise haben wir also mit der 
Entwicklung der Sprache der Differentialformen 
die Hauptarbeit bereits geleistet.
Als wesentliche nichttriviale Aussage m"ochte ich dabei 
insbesondere die Vertr"aglichkeit
der "au"seren Ableitung mit Koordinatenwechseln hervorheben, die sich
auch in anderen Zusammenh"angen noch als starkes Hilfsmittel
erweisen wird.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
Ich formuliere nun einige Spezialf"alle des 
allgemeinen Stokes'schen Satzes \ref{ASI}
in klassischer Notation, um die Lekt"ure "alterer Texte zu erleichtern.
Ich hoffe jedoch, da"s sich der f"ur explizite Rechnungen und theoretische
"Uberlegungen gleicherma"sen bestens geeignete
Formalismus der
Differen\-tial\-formen mit der 
Zeit auch bei den Anwendern durchsetzen wird.  
\end{Bemerkungl}


\begin{Beispiel}[\textbf{Wegintegral "uber ein Gradientenfeld}]\label{WueG}
Sei $\varphi:[a,b]\ra\DR^n$ eine stetig differenzierbare
Injektion mit nirgends verschwindendem
Differential, die einen Hom"oomorphismus auf ihr Bild
induziert. Aus \ref{KKRrx} folgt leicht, da"s dann das Bild
von $\varphi$ eine  $1$-Randfaltigkeit $M$ ist,
und diese $1$-Randfaltigkeit besitzt genau eine 
Orientierung, f"ur die $\varphi$ eine orientierte 
Karte ist.
Gegeben eine Nullform alias Funktion $f$ auf einer offenen Umgebung
von $M$ haben wir $\diff f=\langle \op{grad}f,\;\rangle=( \op{grad}f)\cdot$
und der Satz von Stokes erh"alt nach \ref{I1Man} und \ref{O1R} und
\ref{DisM} die Gestalt
$$\int_a^b \langle\op{grad}f,\diff\varphi\rangle  
=\int_a^b (\op{grad}f)\cdot\diff\varphi
=f(\varphi(b))-f(\varphi(a))$$  
In Worten stimmt also das Wegintegral des Gradientenfelds einer Funktion
"uberein mit der Differenz zwischen den Werten besagter
Funktion am Anfangs- und Endpunkt
des Integrationsweges.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}[\textbf{Satz von Gau"s}]\label{SvG}
Gegeben eine kompakte $\mathcal C^2$-berandete 
Teilmenge $K\subset\DR^n$ und 
ein im Sinne von \ref{SDi} stetig differenzierbares
Vektorfeld $F$ auf 
$K$ bilden wir wie in \ref{VFF}
die zugeh"orige  $(n-1)$-Form $\omega=\omega_F$ und finden
$$d\omega =(\op{div} F)\;dx_{1} \wedge 
\ldots \wedge dx_{n}$$ f"ur 
$(\op{div} F) : K \ra \Bbb{R}$ 
die sogenannte {\bf Quelldichte}\index{Quelldichte} oder auch
{\bf Divergenz}\index{Divergenz}  unseres
Vektorfeldes, die %auf dem \glqq Inneren\grqq\  
%$K\backslash \partial K$ von $K$ 
gegeben wird durch die Vorschrift
$$\op{div} F = \frac{\partial F_{1}}{\partial x_{1}} + \ldots +
\frac{\partial F_{n}}{\partial x_{n}}$$
Damit spezialisiert mit unseren "Ubersetzungen \ref{OTm} 
und \ref{FIF} der allgemeine Satz von Stokes zum 
\defnoind{Satz von Gau"s}\index{Gau"s!Integralsatz von}
$$\int_{K} \op{div} F = \int_{\partial K}  F\!\cdot\! N $$
f"ur $N:\partial K\ra\DR^n$ das "aussere Normalenfeld.
In Worten ist also der
Flu"s eines Vektorfelds durch den Rand eines
glatt berandeten  Kompaktums im $\DR^n$  gleich dem
Integral  seiner Quelldichte
"uber besagtes  Kompaktum. Anschaulich mag man sich im Fall $n=2$ 
die Oberfl"ache $K$ eines ebenen Moores denken, in dem Wasser nach oben dringt
und  "uber das Moor an den Rand des Moores flie"st. 
Nehmen wir das Geschwindigkeitsfeld dieses Flusses als
unser Vektorfeld, so w"are die Divergenz eben die Quelldichte in
unserem Moor, das Randintegral mi"st die Wassermenge, die pro 
Zeiteinheit am Rand
unseres Moores herausl"auft, und unser Satz besagt,
da"s sie gleich der Wassermenge
sein mu"s, die pro 
Zeiteinheit im Inneren emporquillt.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}[\textbf{Schwerpunkt und Auftrieb homogener K"orper}] 
Ein homogener, als da hei"st "uberall gleich dichter
 schwerer K"orper $K$ wird an einem Seil ins Wasser
gelassen. Wir wollen uns "uberlegen, da"s auch im Wasser der
Schwerpunkt unseres K"orpers in der Vertikalen unter dem 
Aufh"angepunkt bleibt. F"ur inhomogene K"orper gilt das im allgemeinen
nat"urlich nicht!
Wir denken uns unseren K"orper als kompakte glatt berandete Teilmenge
$K \subset \Bbb{R}^3$ mit Schwerpunkt auf der $z$-Achse, also 
$\int_K x = \int_K y =0$. Die Wasseroberfl"ache m"oge die Ebene
$z=0$ sein. Der Wasserdruck steigt linear mit der Tiefe, auf ein
Oberfl"achenelement der Fl"ache $\sigma \langle p \rangle$ um $p
\in \partial K$ wirkt also die Kraft $z (p) N_p \sigma \langle p \rangle$
mit $N_p$ dem orientierten Normalenvektor bei $p$.
Befindet sich der Aufh"angepunkt etwa in der H"ohe $h < 0$, so wird das
Drehmoment um diesen Aufh"angepunkt das Oberfl"achenintegral
\begin{equation*}
\int_{\partial K} z (p) (N_p \times (p+h \op{e}_3
)) \sigma \langle p \rangle
\end{equation*}
Die Komponenten dieses Vektors bei $p = (x,y,z)$ mit $N_p = (N_1,N_2, N_3)$ sind
$z (N_2 (z+h) - N_3 y), z (N_3 x - N_1 (z +h))$ und $z (N_1 y - N_2 x)$ und k"onnen
auch dargestellt werden als die Skalarprodukte von $N_p$ mit den
Vektorfeldern 
$v_1 (x,y,x) = (0,z^2 + hz , - zy)$, $ v_2 (x,y,z) = (-z^2-hz, 0, zx)$
und $v_3 (x,y,z) = (zy, -zx, 0)$, so da"s es gilt
$\int_{\partial K} (N \cdot v_i)\sigma =0$ zu zeigen.
Mit dem Satz von Gau"s k"onnen wir diese Integrale verwandeln in
die Integrale $\int_K \op{div} v_i$ und wegen $\op{div} v_1 =-y$, $
\op{div} v_2 =x$ und $\op{div} v_3=0$ verschwinden sie in der Tat alle
drei.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}[\textbf{Klassischer Satz von Stokes}]\label{KSS}
Sei $M\subset\DR^3$ eine kompakte orientierte berandete
Fl"ache oder pr"aziser $\mathcal C^2$-Randfaltigkeit der Dimension $2$ 
und $\varphi:[a,b]\ra \partial M$ 
eine orientierte Parametrisierung
ihres Randes.
Sei $F:U\ra \DR^3$ ein 
stetig differenzierbares Vektorfeld
auf einer offenen Teilmenge $U\co \DR^3$, 
die $M$ umfa"st, und bezeichne $\eta=\langle F,\;\rangle$
die zugeh"orige $1$-Form. So finden wir $d\eta=\omega_R$
in der Notation von \ref{VFF}
f"ur $R:U\ra\DR^3$ dasjenige Vektorfeld $\op{rot}F$ auf $U$, 
das
definiert wird
durch die Vorschrift
$$\op{rot}F=\left(\frac{\partial F_3}{\partial x_2}-
\frac{\partial F_2}{\partial x_3}\;,\;\frac{\partial F_1}{\partial x_3}-
\frac{\partial F_3}{\partial x_1}\;,\;\frac{\partial F_2}{\partial x_1}-
\frac{\partial F_1}{\partial x_2}\right)$$
Dies Vektorfeld  ist die
Rotation unseres Vektorfelds $F$, wie wir sie in \ref{sr}
eingef"uhrt haben. 
Unser allgemeiner Satz von Stokes \ref{ASI}
spezialisiert in dieser Situation zum 
\defnoind{klassischen Satz von 
Stokes}\index{Stokes!Integralsatz von!klassischer}
$$
\int_M  N\!\cdot\! (\op{rot}F)\sigma=\int_a^b F\cdot \diff\varphi
$$
Hier bedeutet $N:M\ra \DR^3$ wieder das durch die Orientierung von $M$
festgelegte Normalenfeld. 
In Worten ist also 
das Wegintegral eines Vektorfeldes "uber den Rand einer Fl"ache
gleich dem
Flu"s der Rotation 
des Vektorfelds durch
besagte Fl"ache. 
\end{Beispiel}
\begin{Bemerkungl}
Bei Anwendern, die haupts"achlich im $\DR^3$ arbeiten, 
ist eine andere symbolische
Schreibweise f"ur $\op{grad}$, $\op{rot}$ und 
$\op{div}$ sehr beliebt: Sie betrachten den 
sogenannten \defind{Nabla-Operator} $\nabla$, 
den man sich denkt als den \glqq Vektor von Symbolen\grqq\ 
$(\frac{\partial }{\partial x}, 
\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z})$, 
und schreiben 
\begin{description}
\item[$\nabla f=\op{grad}f$, ] 
zu verstehen als symbolisches Produkt
des Nabla-Vek\-tors mit einer skalaren Funktion;
\item[$\nabla\cdot F=\op{div}f$,] zu verstehen als  symbolisches Skalarprodukt
des Nabla-Vek\-tors mit einer vektorwertigen Funktion;
das Skalarprodukt wird von diesen Anwendern meist $v\cdot w$ notiert
statt wie bei uns $\langle v,w\rangle;$
 \item[$\nabla\times F=\op{rot} F$,] zu verstehen 
als symbolisches Vektorprodukt
des Nabla-Vek\-tors mit einer vektorwertigen Funktion, wo eben das
Vektorprodukt $v\times w=(v_2w_3-v_3w_2, v_3w_1-v_1-w_3, v_1w_2-v_2w_1)$
aus der Geometrie des Raums \eref{KrPP}{LA2} zugrundegelegt wird.
\end{description}
In dieser Notation wird dann unsere Formel $dd\omega=0$ f"ur $\omega$
eine Funktion bzw.\ eine $1$-Form auf dem $\DR^3$ verstanden
als formal-symbolische Konsequenz der Formeln
$v\times v=0$ bzw.\ $v\cdot (v\times w)=0$ aus der Geometrie des Raums.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}[\textbf{Green'sche Formel}]\label{GrFo}
Sei $G\subset \DR^2$ eine kompakte 
$\mathcal C^2$-berandete Teilmenge und 
$\varphi:[a,b]\ra\DR^2$ eine orientierte
Parametrisierung ihres Randes, anschaulich \glqq ein im Gegenuhrzeigersinn auf
dem Rand umlaufender geschlossener Weg\grqq.
Gegeben ein stetig differenzierbares
Vektorfeld $v=(v_1,v_2)$ auf einer offenen Umgebung
von $G$ betrachten wir die $1$-Form 
$\langle v,\;\rangle=\eta=v_1 \diff x_1 +v_2 \diff x_2$
mit ihrem Differential $d\eta=
(\op{rot}v)\diff x_1\wedge \diff x_2$ f"ur $$\op{rot}v=
\left(\frac{\partial v_2}{\partial x_1}-
\frac{\partial v_1}{\partial x_2}\right)$$ die in \ref{sr}
 erkl"arte skalare
Rotation eines Vektorfelds in der Ebene,
und der allgemeine Satz von Stokes 
\ref{ASI} spezialisiert zur \defnoind{Green'schen Formel}
\index{Green'sche Formel}
$$\int_G 
\op{rot}v=
\int_a^b v\cdot\diff\varphi$$
\end{Beispiel}
\begin{Bemerkungl}
Dieselbe Formel hatten wir in \ref{srq} schon f"ur $G$ ein Rechteck
kennengelernt, nur ist ein Rechteck nat"urlich nicht glatt berandet.
In \eref{ASIE}{AN3} werden wir jedoch einen 
\glqq Satz von Stokes mit Ecken\grqq\  kennenlernen, der dann auch diese
Formel f"ur Rechtecke als Spezialfall enth"alt.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}[\textbf{Fl"ache eines ebenen Gebiets}] 
Sei  $G\subset \DR^2$ wie in \ref{GrFo} eine kompakte
$\mathcal C^2$-berandete Teilmenge und $\varphi:[a,b]\ra\DR^2$ 
eine orientierte
Parametrisierung ihres Randes.\label{FeBB} 
Betrachten wir die $2$-Form $\omega = x \diff y$ mit Differential $d
\omega  = \diff x \wedge \diff y$ und $\varphi^{\ast} \omega =
\varphi_{1}(t) \varphi^{\prime}_{2}(t) \diff t$, so spezialisiert
der allgemeine Satz von
Stokes \ref{ASI} 
zu einer Formel f"ur die Fl"ache des Gebietes $G$, genauer zu
der Regel
$$\int_{G} 1 = \int^{b}_{a} \varphi_{1} (t)
\varphi^{\prime}_{2}(t) \diff t$$
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungl}
  Ich selber finde die alternative Interpretation dieser Formel
mithilfe des Gau"s'schen Integralsatzes besonders anschaulich: 
Quillt in einem Moor "uberall gleichviel Wasser hoch,
so k"onnen wir seine Fl"ache bestimmen, indem wir messen,
wieviel Wasser in einem Graben um unser Moor abl"auft. Wie genau das 
Wasser auf unserem Moor zum Randgraben l"auft, ist dabei v"ollig unerheblich. 
Statt  $\omega = x \diff y$ k"onnten wir also  ein
beliebiges $\omega$ mit $d\omega=  \diff x \wedge \diff y$
nehmen und so weitere Formeln f"ur die Fl"ache eines ebenen Gebiets
erhalten.
\end{Bemerkungl}
\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[height=9cm]{SkriptenBilder/BildEckP}\\[4mm]
\noindent Eine kompakte $2$-dimensionale Untermannigfaltigkeit $M$
mit Ecken der Papierebene mitsamt einer Eckenpl"attung in die
daf"ur in geeigneter Weise mit $\DR^2$ zu identifizierende 
Papierebene.
\end{figure}












%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "AAANA2"
%%% End: 
