\subsection{Divergenz und Laplace in krummen Koordinaten*}
\begin{Bemerkungl}
Die folgenden Argumente bauen  nicht auf dem Stokes'schen Integralsatz
auf. Es geht  
vielmehr um Anwendungen des Kalk"uls der Differentialformen
aus \ref{AuAb}.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}\label{VolFF}
Gegeben ein orientierter $n$-dimensionaler reeller Vektorraum
$V$ mit einem Skalarprodukt oder allgemeiner einer nichtausgearteten
symmetrischen Bilinearform $t$ kann man im eindimensionalen Raum
$\op{Alt}^n (V)$ aller sogenannten
\defnoind{Volumenformen
auf}\index{Volumenform} $V$ ein von Null
verschiedenes Element $\omega=\omega_t$, 
die {\bf kanonische Volumenform},\index{Volumenform!kanonische}
auszeichnen durch die Bedingung, da"s
gilt
\begin{equation*}
\omega (v_1, \ldots, v_n) =1
\end{equation*}
f"ur jede orientierte Orthonormalbasis im positiv
definiten Fall bzw.\ jede orientierte
Basis $v_1, \ldots, v_n$ mit $|t (v_i, v_j)|
= \delta_{ij}$ im allgemeinen Fall.
In der Tat erf"ullt die Basiswechselmatrix $A$ zwischen zwei derartigen
Basen eine Gleichung der Gestalt $A^\top J A = J'$ mit $J = J' =I$ der
Einheitsmatrix im Fall eines Skalarprodukts und $\op{det} J =
\op{det} J' \neq 0$ im allgemeinen, so da"s der Multiplikationssatz
f"ur Determinanten $\op{det} A = \pm 1$ liefert, und die Orientiertheit 
beider Basen
zeigt dann sogar $\op{det} A =1$.
Damit aber folgt
\begin{equation*}
\omega (v_1, \ldots, v_n)= \omega (w_1, \ldots,
w_n)
\end{equation*}
f"ur jede $n$-Form $\omega$ und je zwei Basen wie oben, etwa indem wir
\ref{DDP} auf den Automorphismus von $V$ mit $v_i \mapsto w_i$ anwenden.
\end{Bemerkungl}

\begin{Ubung}
  Ersetzen wir $t$ durch $\lambda t$ f"ur $\lambda\in\DR^\times$,
so erhalten wir f"ur die neue Volumenform
$$\omega_{\lambda t}=|\lambda|^{n/2}\omega_{ t}$$
\end{Ubung}

\begin{Definition}\label{dHO}
Gegeben ein orientierter $n$-dimensionaler reeller Vektorraum $V$ mit 
einer nichtausgearteten symmetrischen Bilinearform $t$ 
erkl"art man f"ur jede Zerlegung $  n=p +q$ den
\defind{Hodge-$\ast$-Operator}\index{*!Hodge-$\ast$-Operator}

\begin{equation*}
\ast =\ast_t: \op{Alt}^p V \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Alt}^q V
\end{equation*}
 durch  die  Formel
$\alpha\wedge\beta=t(\ast\alpha,\beta)\omega$.
Hier ist $t$ rechts zu verstehen als die Erweiterung unserer
Bilinearform auf $q$-Formen durch $t(f_1\wedge\ldots\wedge f_q,
g_1\wedge\ldots \wedge g_q)\pdef \op{det}(t(f_i,g_j))$ und letztere
Bilinearform auf $V^\ast$ ist dadurch erkl"art, da"s sie unter
$\op{can}_t:V\sira V^\ast$ unserem urspr"unglichen $t$ entsprechen soll.
Das $\omega$ schlie"slich meint unsere Volumenform.
Etwas ausf"uhrlicher gesagt konstruiert
man unseren Hodge-$\ast$-Operator
wie folgt: Man geht aus von der durch das Dachprodukt gegebenen
nichtausgearteten Paarung
\begin{equation*}
\op{Alt}^p V \times \op{Alt}^q V \rightarrow \op{Alt}^n V
\end{equation*}
und verkn"upft sie mit dem Isomorphismus $\op{Alt}^n V \overset{\sim}
{\rightarrow} \Bbb{R}$, der die kanonische Volumenform $\omega$ 
aus \ref{VolFF} auf
die Eins wirft.
Die so erhaltene Paarung kann als ein Isomorphismus
\begin{equation*}
\op{Alt}^p V \overset{\sim}{\rightarrow} (\op{Alt}^q V)^*
\end{equation*}
interpretiert werden, und der kanonische Isomorphismus $(\op{Alt}^q V)^*
\overset{\sim}{\rightarrow} \op{Alt}^q (V^*)$ aus \eref{APDn}{LA2}
zusammen mit dem von $\op{can}_t : V \overset{\sim}{\rightarrow}
V^*$ induzierten Isomorphismus $\op{Alt}^q (V^*) \overset{\sim}{\rightarrow}
\op{Alt}^q (V)$ liefert dann in der Verkn"upfung schlie"slich unseren
Hodge-Operator. 
\end{Definition}


\begin{Ubung}\label{2F4}
  F"ur $r$-Formen $\alpha$ auf einem orientierten $n$-dimensionalen
Vektorraum mit nichtausgearteter symmetrischer Bilinearform $t$ 
und $\lambda\in\DR^\times$ pr"ufe man 
die Formel $\ast_{\lambda t}\alpha=(\lambda^r/|\lambda|^{n/2})\ast_t\alpha$.
Insbesondere gilt f"ur $2$-Formen $\alpha$ auf einem vierdimensionalen Raum
und $\lambda\in\DR^\times$  stets $\ast_{\lambda t}\alpha=\ast_t\alpha$. 
\end{Ubung}


\begin{Bemerkungl}
  Gegeben ein Isomorphismus $\varphi:V\sira W$ 
von endlichdimensionalen orientierten reellen Vektorr"aumen
und nichtausgartete symmetrische Bilinearformen $t$ auf $V$ und $s$ auf $W$
und eine Zerlegung $n=p+q$ der Dimension $n$ unserer beiden
Vektorr"aume
kommutiert offensichtlich das Diagramm
$$\begin{array}{ccc}
 \op{Alt}^p W &\overset{\ast_s}{\rightarrow} &\op{Alt}^q W\\
\da&&\da\\
 \op{Alt}^p V &\overset{\ast_t}{\rightarrow}& \op{Alt}^q V
\end{array}$$
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Die in der obigen Definition \ref{dHO} versteckten 
und in gewisser Weise zuf"alligen
Wahlen von Vorzeichen
werden "ublicherweise so getroffen, da"s im Fall eines 
Skalarproduktes $t$
f"ur alle $\alpha$ gilt $$\alpha\wedge \ast \alpha\in \DR_{\geq 0}\;\omega$$ 
Wir werden das gleich explizit sehen.
Es w"are auch nicht besser oder schlechter, die Vorzeichen
so zu w"ahlen, da"s das \glqq umgekehrte Dach-Produkt\grqq\  in diesem Sinne
\glqq positiv definit\grqq\  w"are, aber an dieser Stelle
mu"s man sich  einmal auf eine Konvention  einigen.
\end{Bemerkungl}




\begin{Bemerkungl}[\textbf{Explizite Formeln f"ur den Hodge-$\ast$-Operator}]
Sei zun"achst $t$ ein 
Skalarprodukt,\label{EFH}
  $v_1, \ldots, v_n$ eine orientierte Orthonormalbasis von $V$ und $f_1,
  \ldots, f_n$ die duale Basis von $V^*$.  Wir folgern $\omega = f_1 \wedge
  \ldots \wedge f_n$ und gegeben $I,J$ mit $|I|=p$ und $|J|=q$ haben wir
\begin{displaymath}
f_I \wedge f_J =\left\{ \begin{array}{ll}
\varepsilon_I \omega & I \amalg J = \{1,\ldots, n\};\\
0& \text{sonst.}
\end{array} \right.
\end{displaymath}
Hier meint $\varepsilon_I$ das Vorzeichen der Permutation, die alle Elemente
von $I$ an den Anfang schiebt, ihre Reihenfolge untereinander aber ebenso wie
die Reihenfolge der Elemente ihres Komplements unver"andert l"a"st.  Unsere
Abbildung
\begin{equation*}
\op{Alt}^p V \rightarrow (\op{Alt}^q V)^*
\end{equation*}
macht also die Basisvektoren $f_I$ bis auf Vorzeichen zu den Vektoren der
zu $f_{{\bar{I}}}$ dualen Basis, genauer haben wir $f_I\mapsto 
\varepsilon_I f^*_{{\bar{I}}}$ f"ur ${{\bar{I}}}$ das
Komplement von $I$.  Unter $(\op{Alt}^q V)^* \overset{\sim}{\rightarrow}
\op{Alt}^q (V^*)$ entspricht dieser Vektor 
dann $\varepsilon_I v_{{\bar{I}}}$ und unter
$\op{can}_t$ wiederum $\varepsilon_I f_{\bar{I}}$, woraus wir folgern
\begin{equation*}
\ast_t f_I = \varepsilon_I f_{{\bar{I}}} \quad 
\text{ f"ur } {\bar{I}} =  \{1,\ldots, n\}\backslash I
\end{equation*}
Insbesondere gilt also im Fall eines Skalarprodukts und der dualen
Basis zu einer Orthonormalbasis die Formel
$f_I\wedge \ast f_I=\omega$, die  in diesem Fall 
auch sofort  $\ast(\ast \alpha)=(-1)^{pq}\alpha$ f"ur alle
$\alpha\in \op{Alt}^p(V)$ liefert.
Ist  allgemeiner im
symmetrischen nicht ausgearteten Fall 
$v_1, \ldots , v_n$ orientiert und orthogonal, aber
haben wir etwa $ t(v_i,v_i) = \eta_i = \pm 1, $ so m"ussen wir nur ganz am
Schlu"s noch ein Vorzeichen erg"anzen und erhalten mit der Notation $\eta_{\bar{I}} =
\prod_{j\in {\bar{I}}} \eta_j$ die Formel
\begin{equation*}
\ast_t f_I = \varepsilon_I \eta_{\bar{I}}  f_{\bar{I}} \quad 
\text{ f"ur } {\bar{I}} =  \{1,\ldots, n\}\backslash I
\end{equation*}
Sei nun noch allgemeiner $t$ symmetrisch nicht ausgeartet,
  $v_1, \ldots, v_n$ eine orientierte Orthogonalbasis von $V$ 
mit $ t(v_i,v_i) = \eta_i c_i^2$ mit $c_i>0$ 
und $f_1,
  \ldots, f_n$ die duale Basis von $V^*$.  
Gegeben $I,{\bar{I}}$ mit $|I|=p$  erhalten wir dann
mit der Notation $c_I=\prod_{i\in I} c_i$
durch Reskalierung die Formel
\begin{equation*}
\ast_t f_I = \frac{\varepsilon_I \eta_{\bar{I}} c_{\bar{I}}}{c_I}  f_{\bar{I}} \quad 
\text{ f"ur } {\bar{I}} =  \{1,\ldots, n\}\backslash I
\end{equation*}
\end{Bemerkungl}



  \begin{Definition}
    Gegeben eine offene Teilmenge $U \co X$ eines endlichdimensionalen reellen
    Raums $X$ und eine Riemann'sche Metrik $t$ auf $U$ und ein
    differenzierbares Vektorfeld $v :U \rightarrow \vec{X}$ definieren wir die
    \defind{Divergenz} unseres Vektorfelds als die Funktion
\begin{equation*}
\op{div}_t (v) = (\ast_t \circ d \circ \ast_t \circ\op{can}_t) (v)
\end{equation*}
Obwohl der $\ast$-Operator von einer zu w"ahlenden Orientierung abh"angt,
ist die Divergenz wegen des  doppelten Auftretens unseres $\ast$-Operators
davon unabh"angig.
\end{Definition}


  \begin{Ubunge}[\textbf{Anschauliche Bedeutung der Divergenz}] 
    Man zeige, da"s die Divergenz eines stetig differenzierbaren
Vektorfelds 
auf $\DR^n$ genau die \glqq lokale
    Volumen"anderung unter dem Flu"s des besagten Vektorfelds\grqq\  beschreibt,
    da"s genauer f"ur jede stetige Funktion mit kompaktem Tr"ager $f$ gilt
$$\left.\frac{\diff}{\diff t}\right|_{t=0} \int f\circ X^t = -\int f
\op{div}X$$ Hier ist zu beachten, da"s auf jedem Kompaktum der Flu"s f"ur eine
positive Zeitspanne existiert. Hinweis: Man schr"anke sich auf den Fall
von glattem $f$ ein, ziehe die zeitliche Ableitung unter das
Integral, und beachte, da"s das Integral "uber ganz
$\DR^n$ jeder partiellen Ableitung einer 
stetig differenzierbaren Funktion mit kompaktem Tr"ager verschwindet.
\end{Ubunge}








\begin{Beispiel}\label{BSPK}
Sei $X = \Bbb{R}^3 $ mit  der Standardorientierung und
dem Standardskalarprodukt $t =s$ versehen. 
Gegeben ein differenzierbares Vektorfeld  
der Gestalt $v = a \partial_x + b \partial_y
+c \partial_z$ mit differenzierbaren Funktionen $a,b,c:\DR^3\ra\DR$ 
finden wir die "ubliche Formel $\op{div}v=a_x +b_y +c_z$,
indem wir rechnen
$$\begin{array}{rcl}
v &=& a \partial_x + b \partial_y
+c \partial_z\\
\op{can}_s (v) &=& a dx + b dy +cdz\\
\ast_s (\op{can}_s (v)) &=& ady \wedge dz - b dx \wedge dz +
cdx \wedge dy\\
d(\ast_s (\op{can}_s (v))) &=& a_xdx\wedge dy \wedge dz - b_y dy \wedge dx\wedge dz +
c_z dz\wedge dx \wedge dy\\
\ast_s (d(\ast_s (\op{can}_s (v)))) &=& a_x +b_y +c_z
\end{array}$$
Hier w"are es zwar in der Tat sehr viel einfacher gewesen,
schlicht diese letzte Formel hinzuschreiben.
Unsere neue Interpretation  vertr"agt sich jedoch besser mit der Verwandtschaft,
insbesondere da die "au"sere Ableitung 
$d$ sich so gut mit Verwandtschaft  vertr"agt, und
erm"oglicht so eine "ubersichtliche Darstellung in anderen
orthogonalen Koordinaten.
Um etwa die Divergenz in Polarkoordinaten zu bestimmen,
erinnern wir uns daran, da"s nach \ref{PKMm}
unter der Polarkoordinatenabbildung $P$ die Standardmetrik
$s =\diff x^{\otimes 2} + \diff y^{\otimes 2}$ auf 
der $xy$-Ebene verwandt ist zum $2$-Tensor
$
g = \diff r^{\otimes 2} + r^2 \diff\vartheta^{\otimes 2}
$
und rechnen 
$$\begin{array}{rcl}
v &=& a \partial_r + b \partial_\vartheta
\\
\op{can}_g (v) &=& a dr + br^2 d\vartheta\\
\ast_g (\op{can}_g (v)) &=&a rd\vartheta-brdr\\
d(\ast_g (\op{can}_g (v))) &=& (a_r r+a)dr\wedge d\vartheta
+b_\vartheta rdr \wedge d\vartheta\\
\ast_g (d(\ast_g (\op{can}_g (v)))) &=& a_r+b_\vartheta+r^{-1}a
\end{array}$$%Scheint ok.
\end{Beispiel}



\begin{Ubung}\label{divKu}
Wir betrachten wieder Kugelkoordinaten wie in \ref{KuKo}.
Man zeige, da"s f"ur das zum Vektorfeld $a\partial_r+
b\partial_\vartheta+c\partial_\varphi$ verwandte Feld auf dem
$xyz$-Raum die Divergenz verwandt ist zur Funktion 
$a_r+b_\vartheta+c_\varphi+2r^{-1}a+b\op{cot}\vartheta$.
\end{Ubung}

\begin{Definition}
Gegeben $U\co \DR^n$ und eine zweimal stetig differenzierbare 
Funktion $f:U\ra \DR$ setzen wir 
$$\Delta f =
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}_{1}} + \ldots +
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}_{n}}$$
und nennen $\Delta$ den 
 {\bf Laplaceoperator}.\index{Laplaceoperator!im $\DR^n$} 
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauung f"ur den Laplaceoperator}]
Der Wert $(\Delta f)(x)$ der durch Anwenden des Laplaceoperators
$\Delta$ auf eine Funktion $f$ entstehenden Funktion 
an einer Stelle\label{ALA} $x$ 
mi"st die
Abweichung des Funktionswerts 
bei $x$ vom Durchschnitt der Funktionswerte
in einer kleinen Umgebung von $x$.  In einer Ver"anderlichen gilt zum
Beispiel f"ur jede zweimal stetig differenzierbare Funktion
$$f'' (x) = \lim_{\varepsilon \ra 0}
\frac{2}{\varepsilon^{2}} \left(\frac{f(x +\varepsilon)+
f(x-\varepsilon)}{2} - f(x)\right)$$
wie der Leser mithilfe der Taylorentwicklung leicht nachpr"ufen
kann. 
In mehreren Ver"anderlichen gilt in derselben Weise
f"ur jede zweimal stetig differenzierbare Funktion mit der
Notation $\op{e}_i$ f"ur
die Vektoren der Standardbasis
$$(\Delta f)(x) = \lim_{\varepsilon \ra 0}
\frac{2^n}{\varepsilon^{2}} \left(
\frac{1}{2^n}\left(\sum_{i=1}^n f(x +\varepsilon\op{e}_i)+
f(x-\varepsilon\op{e}_i)\right) - f(x)\right)$$
\end{Bemerkungl}

\begin{Ubung}[\textbf{Mehr Anschauung f"ur den Laplaceoperator}]
Man zeige, da"s der La\-place\-operator  invariant ist unter Drehungen. 
Ist genauer $A\in\op{O}(n)$ eine orthogonale Matrix
und bezeichnet $A:\DR^n\ra \DR^n$ die zugeh"orige lineare 
Abbildung, so zeige man  f"ur jede zweimal stetig differenzierbare Funktion
$f:\DR^n\ra\DR$ die Formel $\Delta(f\circ A)=(\Delta f)\circ A$. 
Man folgere die Formel
$$(\Delta f)(x) = \lim_{\varepsilon \ra 0}
\frac{2^n}{\varepsilon^{2}} 
\left(\frac{\int_{\|y-x\|=\varepsilon} f(y)\;
\sigma\langle y\rangle}{\int_{\|y-x\|=\varepsilon} \sigma\langle y\rangle}
- f(x)\right)
$$
auf deren rechter Seite nach dem Faktor $2^n/\varepsilon^2$ 
bis auf ein Vorzeichen die Differenz 
zwischen dem Funktionswert $f(x)$ und dem  Durchschnitt der 
Funktionswerte auf einer  Kugelschale mit Zentrum in $x$ 
und Radius $\varepsilon$ steht. Hinweis: Man mittle \ref{ALA}.
Die Taylorentwicklung oben liefert in einer 
Ver"anderlichen  sogar pr"aziser 
die Darstellung $$\frac{2}{\varepsilon^{2}} \left(\frac{f(x +\varepsilon)+
f(x-\varepsilon)}{2} - f(x)\right)=(f\grqq\ (\xi^+)+f\grqq\ (\xi^-))/2$$
mit $\xi^+\in (x,x+\varepsilon)$ und  $\xi^-\in (x-\varepsilon,x)$.
\end{Ubung}
\begin{Ubunge}[\textbf{Drehinvariante Differentialoperatoren}] 
Die polynomialen Funktionen  $D\in \DC[X_1,\ldots,X_n]$
auf dem
$\DR^n$, die invariant sind unter allen Drehungen $A\in \op{SO}(n)$, 
sind genau alle Polynome im quadrierten Abstand vom Nullpunkt, in Formeln 
$$\DC[X_1,\ldots,X_n]^{\op{SO}(n)}=\DC[(X_1^2+\ldots+X_n^2) ]$$
Die Differentialoperatoren $D\in \DC[\partial_1,\ldots,\partial_n]$
mit konstanten Koeffizienten auf dem
$\DR^n$, die invariant sind unter allen Drehungen $A\in \op{SO}(n)$, 
sind genau alle Polynome im Laplace-Operator, in Formeln 
$$\DC[\partial_1,\ldots,\partial_n]^{\op{SO}(n)}=\DC[\Delta]$$
\end{Ubunge}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Laplace-Operator in anderen Koordinaten}]
Um den Laplaceoperator $\Delta$ 
in anderen Koordinaten auszudr"ucken,\label{LAKo}  
kann man  von
der Darstellung $$\Delta f= \ast_s \;d \ast_s df$$  
ausgehen, mit $s$ der "ublichen
Riemann'schen Metrik auf $\Bbb{R}^n$ und $\ast_s$ dem zu dieser Metrik
und der Standard-Orientierung geh"orenden Hodge-$\ast$-Operator.
Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Raum $X$ und eine
offene Teilmenge $V \co X$ und ein
differenzierbare Abbildung $\phi: V \rightarrow U$ mit bijektivem
Differential an jeder Stelle und eine zur Standard-Metrik 
$\phi$-verwandte Riemann'sche
Metrik $t$ auf $V$ haben wir dann die Verwandschaft
$\phi:\ast_t\; d \ast_t d(f \circ \phi)\leadsto  \ast_s\; d \ast_s df=\Delta f$.
Ist speziell etwa $\phi$ 
die Polarkoordinaten- oder die Kugelkoordinatenabbildung,
so l"a"st sich das auch sehr konkret und explizit berechnen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}[\textbf{Laplace-Operator in  Polarkoordinaten}]
Wir berechnen  den Laplace-Operator
  einer Funktion $f$ in Polarkoordinaten und finden
"ahnlich wie in \ref{BSPK} der Reihe nach
$$\begin{array}{rcl}
df &=& f_r dr + f_\vartheta d\vartheta\\
\ast_g (df) &=&f_r r d\vartheta-r^{-1}f_\vartheta dr\\
d(\ast_g (df)) &=& (f_{rr} r+ f_r + r^{-1}f_{\vartheta\vartheta})dr 
\wedge d\vartheta\\
\ast_g (d(\ast_g (df))) &=& f_{rr} + r^{-1}f_r + r^{-2}f_{\vartheta\vartheta}
\end{array}$$%Forster kriegt dasselbe!
\end{Beispiel}
\begin{Ubung}[\textbf{Laplace-Operator in  Kugelkoordinaten}] 
Man zeige, da"s der Laplace-Operator  einer Funktion $f$
in den Kugelkoordinaten aus 
\ref{KuKo} gegeben wird durch die Formel 
$$\Delta f=f_{rr}+2r^{-1}f_r+r^{-2}f_{\vartheta\vartheta}
+r^{-2}f_{\vartheta}\op{cot}\vartheta+(r\op{sin}\vartheta)^{-2}
f_{\varphi\varphi}$$%Forster kriegt dasselbe!
Hinweis: Statt das direkt zu rechnen, kann man auch 
von \ref{graKu} und \ref{divKu} ausgehen.
\end{Ubung}








%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "AAANA2"
%%% End: 
