\section{Der Satz von Stokes}
Im vorigen Abschnitt haben wir 
unser Kurvenintegral aus \eref{KI}{AN1} verallgemeinert zum Integral einer
Funktion "uber eine Unterannigfaltigkeit eines $\DR^n$. 
In diesem Abschnitt werden wir unser Wegintegral aus \eref{WII}{AN2}, 
d.h.\ das Integral
eines Kovektorfelds auf einem endlichdimensionalen reellen Raum
l"angs eines Weges  verallgemeinern 
zum Integral einer \glqq $k$-Form\grqq\  auf einem endlichdimensionalen 
reellen Raum 
"uber eine  \glqq orientierte\grqq\  $k$-dimensionale
Untermannigfaltigkeit. Als Spezialf"alle enth"alt diese Konstruktion 
inbesondere die Definition des \glqq Flusses eines Vektorfelds in $\DR^3$
durch eine  orientierte Fl"ache in $\DR^3$\grqq.
Unser eigentliches Ziel ist dann der sogenannte 
\glqq allgemeine Satz von Stokes\grqq\  \ref{ASI},
der den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung \eref{HSS}{AN1} auf
h"ohere Dimensionen verallgemeinert.






\subsection{Multilineare Algebra und Dachprodukt}
\label{MAD} 
\begin{Definition}\label{BAD}
Sei $k$ ein K"orper. Gegeben ein $k$-Vektorraum $V$ und eine
nat"urliche Zahl $p$ bilden wir den Raum der {\bf
alternierenden $p$-Multilinearformen}\index{alternierende $p$-Form}
oder kurz 
{\bf $p$-Formen}\index{Alt@$\op{Alt}$!Raum alternierender Formen} 
$$\op{Alt}^{p} V \pdef \{\omega : V \times \ldots \times V \ra k 
\mid \omega \text{ ist
multilinear und alternierend}\}$$
Hier meint alternierend wie in \eref{aLT}{LA1},
 da"s $\omega (v_{1}, \ldots, v_{p})$
verschwindet, wann immer es $i \neq j$ gibt mit $v_{i} =v_{j}$.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
  Hat unser K"orper nicht die Charakteristik $2$, so ist es gleichbedeutend zu
  fordern, da"s $\omega(v_{1}, \ldots, v_{p})$ sein Vorzeichen "andert wenn
  man zwei Eintr"age $v_{i}$ und $v_{j}$ vertauscht, daher die Bezeichnung
  \glqq alternierend\grqq.  Unter Nullformen verstehen wir Skalare, in Formeln setzen
  wir also $\op{Alt}^{0} V =k$. Einsformen sind Elemente des Dualraums
alias Linearformen, wir
  haben also $\op{Alt}^{1}V = V^{\top}$. Gegeben Linearformen
$f_{1}, \ldots, f_{p} \in
  V^{\top}$ definieren wir ein Element $\op{alt}( f_{1}, \ldots , f_{p}) \in
  \op{Alt}^{p}V$ durch die Vorschrift\index{alt@$\op{alt}$ Alternator}
$$\op{alt}(f_{1}, \ldots , f_{p})  (v_{1}, \ldots, v_{p}) 
\pdef \det (f_{i} (v_{j}))$$
\end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkungl}
 Wir werden unmittelbar im Anschlu"s das Dachprodukt 
von alternierenden Multilinearformen 
einf"uhren und
dessen Assoziativit"at beweisen ebenso wie die Formel 
  $\op{alt}(f_{1}, \ldots , f_{p}) =f_{1}\wedge \ldots \wedge f_{p}$. 
Sobald das geleistet ist, wird die Notation $\op{alt}(f_{1}, \ldots , f_{p})$
obsolet werden.
\end{Bemerkungl}







\begin{Bemerkunge}\label{hju}
Im Rahmen unserer Diskussion des
  Tensorprodukts  werden die Begriffsbildungen 
dieses Abschnitts auch noch unter einem 
anderen Gesichtspunkt 
besprochen. 
Genauer konstruieren wir in \eref{Altt}{LA2} einen kanonischen
Isomorphismus zwischen dem hier definierten Raum  $\op{Alt}^{p} V$ der 
alternierenden Multilinearformen auf $V$ und dem Dualraum 
$\left(\bigwedge^pV\right)^\top$ seiner
dort definierten $p$-ten "au"seren Potenz
$\bigwedge^pV$. Zus"atzlich erkl"aren wir in \eref{APDn}{LA2}  
f"ur endlichdimensionales $V$  
kanonische Isomorphismen $\left(\bigwedge^pV\right)^\top
\sira \bigwedge^p(V^\top)
$ zwischen den Dualr"aumen der "au"seren Potenzen 
und  den "au"seren Potenzen des Dualraums
und erhalten so  zusammen einen 
kanonischen Isomorphismus 
 $\op{Alt}^{p} V\;\;\sira\;\; \bigwedge^p(V^\top)$.
\end{Bemerkunge}


\begin{Bemerkungl}\label{BADv}
  Sind Linearformen $f_{1}, \ldots, f_{n} \in V^{\top}$ gegeben und ist $I
  \subset \{1,\ldots , n\}$ eine Teilmenge mit $p$ Elementen, so setzen wir
$$f_{I} \pdef \op{alt}(f_{i_{1}} , \ldots , f_{i_{p}}) \in
\op{Alt}^{p}V$$ f"ur $i_{1}< \ldots < i_{p}$ die der Gr"o"se nach gereihten
Elemente von $I$. F"ur $I = \emptyset$ vereinbaren wir $f_{\emptyset} =1$.
\end{Bemerkungl}

\begin{Proposition}[\textbf{Basis des Raums der $p$-Formen}]
Ist $V$ ein Vektorraum und $f_{1}, \ldots,
f_{n}$ eine Basis von $V^{\top}$, so bilden die $f_{I}$ aus\label{BA} 
\ref{BADv} mit $|I| =
p$ eine Basis von $\op{Alt}^{p}V$.
\end{Proposition}
\begin{proof}[Beweis]
Ist $v_{1}, \ldots, v_{n}$ die duale Basis von $V$ und ist auch $J
=\{j_{1}, \ldots , j_{p}\} \subset \{ 1,\ldots , n\}$ gegeben mit
$j_{1} < \ldots < j_{p}$, so gilt offensichtlich
$$f_{I} (v_{j_{1}}, \ldots, v_{j_p}) = \left\{ \begin{array}{rl}
1 & I=J;\\ 0 &\text{sonst}.
\end{array} \right. $$
Das zeigt die lineare Unabh"angigkeit der $f_{I}$. Andererseits
ist klar, da"s eine alternierende Multilinearform schon festgelegt
wird durch ihre Werte auf den $p$-Tupeln
$(v_{j_{1}}, \ldots, v_{j_p})$ mit $j_{1}<\ldots < j_p$.
Das zeigt, da"s die $f_{I}$ auch $\op{Alt}^{p}V$ erzeugen.
\end{proof}

\begin{Bemerkungl}
  Im Vorgriff auf unsere zuk"unftige Notation 
$f_{1}\wedge \ldots \wedge f_{p}$ f"ur
$\op{alt}(f_{1}, \ldots , f_{p})$ w"are im Fall eines vierdimensionalen 
Vektorraums $V$ mit einer Basis $f_1,\ldots, f_4$ seines Dualraums also
$\op{Alt}^{2}V$ ein Raum der Dimension $6$ mit Basis
$f_1\wedge f_2$, $f_1\wedge f_3$, $f_1\wedge f_4$, $f_2\wedge f_3$, 
$f_2\wedge f_4$, $f_3\wedge f_4$. 
\end{Bemerkungl}


\begin{Proposition}\label{DaPr}%\label{DP}
Seien $k$ ein K"orper,
 $V$ ein  $k$-Vektorraum endlicher Dimension und $p,q \geq 0$.
So gibt es genau eine bilineare Abbildung, das {\bf\em
Dachprodukt}\index{Dachprodukt}\index{$\wedge$!Dachprodukt}
$$\begin{array}{ccc}
\op{Alt}^{p} V \times \op{Alt}^{q}V & \ra & \op{Alt}^{p+q}V\\
(\omega\quad, \quad \eta) &\mapsto &\omega \wedge \eta
\end{array}$$
derart, da"s  f"ur alle $f_{1},
\ldots , f_{p+q} \in V^{\top}$ gilt $$\op{alt}(f_{1} , \ldots , f_{p}) \wedge
\op{alt}(f_{p+1} , \ldots , f_{p+q}) = \op{alt}(f_{1} , \ldots ,
f_{p} , f_{p+1} , \ldots , f_{p+q})$$
\end{Proposition}
\begin{Bemerkungl}
Mit \ref{BA} folgt
unmittelbar die {\bf Assoziativit"at des Dachprodukts}
$$(\omega \wedge \eta)\wedge\xi=
\omega \wedge (\eta\wedge\xi)$$
Damit brauchen wir auch bei l"angeren Dachprodukten keine
Klammern zu setzen und unsere Notation \glqq $\op{alt}$\grqq\  wird 
schon wieder obsolet, 
denn offensichtlich folgt 
aus der Proposition auch 
$$\op{alt}(f_{1} , \ldots , f_{p})=f_{1} \wedge \ldots \wedge f_{p}$$
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkunge}
  Ein nat"urlichere Konstruktion des Dachprodukts besprechen wir im Rahmen der
  multilinearen Algebra in \eref{ddp}{LA2}.  Sie m"ogen zur "Ubung zeigen,
  da"s unter unserem Isomorphismus \ref{hju} das Dachprodukt aus
  \eref{ddp}{LA2} genau unserem Dachprodukt aus \ref{DaPr} entspricht,
  vergleiche auch \eref{ddp}{LA2}.  In der Tat reicht es angesichts der
  Assoziativit"at beider Dachprodukte, diese Behauptung im Fall des
  Dachprodukts zweier Linearformen zu pr"ufen, und in diesem Fall ist sie
  schnell nachgerechnet.
\end{Bemerkunge}

\begin{Bemerkunge}
  Die Formel aus dem anschlie"senden Beweis definiert auch f"ur
alternierende Formen auf einem nicht notwendig endlichdimensionalen
Raum ein assoziatives Produkt $\wedge$. Der Beweis bleibe dem Leser
"uberlassen ebenso wie der Nachweis der graduierten Kommutativit"at
\ref{GrDac} in dieser Allgemeinheit. F"ur unsere Belange reicht der
endlichdimensionale Fall aus.  
\end{Bemerkunge}

\begin{proof}[Beweis]
Die Eindeutigkeit folgt sofort aus \ref{BA} 
und nur die Existenz ist noch zu zeigen.
Wir betrachten dazu die Menge $\cal{S}_{p,q} \subset \cal{S}_{p+q}$ aller
Permutationen, die die Reihenfolge der ersten $p$ Eintr"age und
die der letzten $q$ Eintr"age unver"andert lassen.
Stellen wir uns unsere Permutationen als Mischvorschriften f"ur ein
Spiel von $p+q$ Karten vor, so heben wir also $p$ Karten ab
und schieben die beiden so gebildeten Stapel von $p$ bzw.\ $q$ Karten
irgendwie ineinander.
Solche Permutationen hei"sen auch 
{\bf $(p,q)$-Shuffles}\index{Shuffle}, in
Formeln haben wir 
\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildShuffle}\\[4mm]
\noindent Ein $(3,4)$-Shuffle
\end{figure}
$$\cal{S}_{p,q} =\{\sigma \in \cal{S}_{p+q} \mid \sigma (1) < \ldots <
\sigma (p)\text{ und }\sigma (p+1) < \ldots < \sigma (p +q)\}$$
Weiter betrachten wir in $\cal{S}_{p+q}$ die
Untergruppe $\cal{S}_{p}\times \cal{S}_{q}$ aller Permutationen, die die
ersten $p$ Eintr"age unter sich vertauschen und die letzten $q$
Eintr"age ebenso.
Die Verkn"upfung von Permutationen liefert dann offensichtlich eine Bijektion
$$\cal{S}_{p,q} \times (\cal{S}_{p} \times \cal{S}_{q}) \sira \cal{S}_{p+q}$$
Jetzt definieren wir 
f"ur $\omega $ und $\eta$ wie oben
eine Multilinearform $\omega \wedge \eta$
durch die Vorschrift
$$
(\omega \wedge \eta) (v_{1} , \ldots , v_{p+q}) = \sum_{\sigma
\in \cal{S}_{p,q}} \op{sgn} (\sigma)\; \omega (v_{\sigma (1)} , \ldots ,
v_{\sigma (p)}) \;\eta (v_{\sigma(p+1)}, \ldots , v_{\sigma
(p+q)})
$$
Betrachten wir andererseits unsere Definition 
$$\op{alt}(f_{1} , \ldots ,
f_{n}) (v_{1}, \ldots , v_{n})=  \sum_{\tau
\in \cal{S}_{n}} \op{sgn} (\tau) f_{1} (v_{\tau (1)}) \ldots f_{n}
(v_{\tau (n)})$$ f"ur $n=p,q$ und setzen  in
die Definition von $\wedge$ ein,  
so ergibt sich mithilfe unserer 
Zerlegung $\cal{S}_{p,q} \times (\cal{S}_{p} \times
\cal{S}_{q}) \sira \cal{S}_{p+q}$  wie gew"unscht
$$\op{alt}(f_{1} , \ldots , f_{p}) \wedge
\op{alt}(f_{p+1} , \ldots , f_{p+q}) = \op{alt}(f_{1} , \ldots ,
f_{p} , f_{p+1} , \ldots , f_{p+q})$$
Die Bilinearit"at von $\wedge$ zeigt
dann weiter, da"s die Multilinearform 
$\omega \wedge \eta$ auch im allgemeinen 
alternierend ist, so da"s unsere Formel f"ur
$\wedge$  in der Tat eine Abbildung
$\op{Alt}^{p} V \times \op{Alt}^{q}V  \ra  \op{Alt}^{p+q}V$
mit den geforderten Eigenschaften liefert.
\end{proof}


\begin{Lemma}[\textbf{Graduierte Kommutativit"at des Dachprodukts}]
Sei $V$ ein %endlichdimensionaler 
Vektorraum. F"ur beliebige 
$\omega \in \op{Alt}^{p}V$ und
$\eta \in \op{Alt}^{q}V$ gilt\label{GrDac} 
$\omega \wedge \eta = (-1)^{pq}\eta \wedge  \omega$.
Bezeichnet\index{${\mid}\omega{\mid}$!Grad der Form $\omega$}   
$|\omega| $ den Grad von $\omega$,
also $|\omega |=p$ f"ur $\omega \in \op{Alt}^{p}$, so k"onnen wir diese
Regel auch schreiben in der Gestalt
$$\omega \wedge \eta = (-1)^{|\omega||\eta|}\eta \wedge  \omega$$
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
Aus \ref{DaPr} folgt sofort $f_{\sigma(1)} \wedge
\ldots \wedge f_{\sigma(n)} = (\op{sgn} \sigma)f_{1}\wedge \ldots \wedge f_{n}$
f"ur jede Permutation $\sigma \in \cal{S}_{n}$
und alle  $f_{1}, \ldots, f_{n} \in V^{\top}$. 
Die Permutation $\sigma \in \cal{S}_{p+q}$, die die ersten $p$ Eintr"age an den
Schlu"s schiebt und die letzten $q$ Eintr"age an den Anfang, 
hat aber nach \eref{FehS}{LA1} das Signum $\op{sgn} (\sigma) = (-1)^{pq}$.
Das Lemma folgt so zun"achst f"ur $\omega, \eta$ 
iterierte Dachprodukte und dann auch f"ur allgemeine
endlichdimensionale R"aume. Der Fall unendlichdimensionaler R"aume
ist hier nicht relevant und bleibe dem Leser zur "Ubung.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Funktorialit"at alternierender Multilinearformen}]
Zu jeder linearen Abbildung
$L:V\ra W$ bilden wir wie in \eref{NTAb}{LA1} ihre\label{ZHd} 
transponierte Abbildung $L^\top:W^\top\ra V^\top$, $f\mapsto f\circ L$
und allgemeiner auch die linearen Abbildungen
$$
\begin{array}{cccl}
L^\top:&\op{Alt}^p W&\ra&\op{Alt}^p V\\
&\omega&\mapsto &\omega\circ
(L\times\ldots\times L)
\end{array}
$$   
mit $L\times\ldots\times L$ wie in  \ref{KrAA},
als da hei"st $(L^\top \omega)(v_1,\ldots, v_p)=\omega(Lv_1,\ldots, Lv_p)$.
Aus den Definitionen folgen leicht die Formeln
$\op{id}^{\top}=\op{id}$ und $(L\circ M)^{\top}=M^{\top}\circ L^{\top}$ 
f"ur die transponierten\label{DAFF} 
Abbildungen sowie die Vertr"aglichkeit mit dem Dachprodukt
$$L^{\top}(\omega\wedge\eta)=(L^{\top}\omega)\wedge(L^{\top}\eta)$$  
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkunge}
  In der Sprache der Kategorientheorie \eref{DefF}{LA2} bilden demnach f"ur
  jedes $p$ die Zuordnungen $V\mapsto \op{Alt}^p V$, $L\mapsto L^\top$ einen
  kontravarianten Funktor $\op{Alt}^p$ von der Kategorie der $k$-Vektorr"aume
  in sich selber, dessen Effekt auf Morphismen ich nur der Bequemlichkeit der
  Notation halber $L\mapsto L^\top$ statt $L\mapsto \op{Alt}^p(L)$ notiert
  habe, und $V\mapsto \op{Alt} V\pdef \bigoplus \op{Alt}^p V$ ist ein
  kontravarianter Funktor von der Kategorie der $k$-Vektorr"aume in die
  Kategorie der $k$-Ringalgebren.
\end{Bemerkunge}


\begin{Lemma}[\textbf{Dachprodukt und Determinante}]
Gegeben ein $n$-di\-men\-sio\-na\-ler Vektorraum $V$ 
und eine lineare Abbildung $L:V\ra V$\label{DDP}
gilt $$L^{\top}=(\op{det}L):\op{Alt}^nV\ra \op{Alt}^nV$$
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
Ist $V$ ein $n$-di\-men\-sionaler Vektorraum, 
so ist $\op{Alt}^nV$ eindimensional.
F"ur $L:V\ra V$ linear mu"s also $L^{\top}:\op{Alt}^nV\ra \op{Alt}^nV$ die 
Multiplikation mit einem Skalar aus dem Grundk"orper sein. 
Ist $v_1,\ldots,v_n$ eine Basis von $V$ und $f_1,\ldots,f_n$
die duale Basis von $V^\top$, so ist $f_1\wedge\ldots\wedge f_n$ eine 
Basis von $\op{Alt}^nV$ und das Lemma folgt mit
expliziter Rechnung, f"ur $(\op{det}L)$ die 
Determinante der Matrix von $L$ in der gew"ahlten Basis. 
Da"s die fragliche Determinante von der Wahl der Basis gar nicht abh"angt
und deshalb in der Tat $(\op{det}L)$ notiert werden darf, erh"alt man
als Konsequenz.
\end{proof}
\begin{Bemerkunge}\label{ABM}
Nehmen wir \ref{DAFF} und \ref{DDP} zusammen, so ergibt sich unmittelbar die
Multiplikationsformel f"ur Determinanten \eref{MuDet}{LA1}.
\end{Bemerkunge}
\begin{Bemerkunge}
Gegeben endlichdimensionale Vektorr"aume $V,W$ 
und Formen $\omega\in \op{Alt}^pV$ und $\eta\in \op{Alt}^qW$
k"urzen wir  die 
$(p+q)$-Form $(\op{pr}_1^\top\omega)\wedge(\op{pr}_2^\top\eta)$ auf $V\times W$
auch gerne mit $\omega\wedge\eta$\index{$\wedge$!"au"seres Dachprodukt} 
ab und hoffen, da"s der Leser aus dem
Kontext erschlie"sen kann, wann $\wedge$ dieses \glqq "au"sere Dachprodukt\grqq\ 
meint und wann das \glqq innere Dachprodukt\grqq\  aus \ref{DaPr}. 
\end{Bemerkunge}
\begin{Bemerkungl}
F"ur einen Vektorraum $V$ der Dimension $\dim V = n$ liefert das
Dachprodukt $V^\top \times \op{Alt}^{n-1} V \ra \op{Alt}^{n}V$ eine
nichtausgeartete Paarung,
als da hei"st, 
jeder Isomorphismus $\op{Alt}^{n}V\sira \Bbb{R}$ 
liefert vermittels unserer Paarung einen
Isomorphismus $\op{Alt}^{n-1}V \sira V$.
\end{Bemerkungl}




\subsection{Differentialformen h"oheren Grades}\label{GHB}
\begin{Definition}
Sei $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum und $U \subset X$
eine  Teilmenge.
Ein  {\bf Feld von relativen $p$-Formen\index{Differentialform!relative}}
oder k"urzer eine {\bf  $p$-Form auf $U$} ist eine Abbildung
$$
\begin{array}{cccc}\omega :&U &\ra& \op{Alt}^{p}\vec{X}\\ 
& x &\mapsto &\omega_{x}
\end{array}$$
die also ausgeschrieben 
jedem Punkt $x\in U$ eine alternierende $p$-Multilinear\-form
$\omega_x:\vec{X}\times\ldots\times \vec{X}\ra\DR$ zuordnet. 
Den Raum aller relativen $p$-Formen auf $U$ notieren wir 
$\Omega^p_X(U)$. Wenn wir hoffen, da"s die genaue Bedeutung aus
dem Kontext hervorgeht, sprechen wir auch oft abk"urzend schlicht von
 {\bf Differentialformen}.\index{Differentialform} 
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] 
Sp"ater werden wir ganz allgemein Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten
erkl"aren als Zuordnungen, die jedem Punkt eine alternierende 
Multilinearform auf dem Tangentialraum am entsprechenden Punkt zuordnen.
Im Fall einer eingebetteten Mannigfaltigkeit  $U\subset X$  
positiver Kodimension ist das nat"urlich etwas
anderes, als jedem Punkt eine alternierende 
Multilinearform auf dem Richtungsraum des umgebenden affinen Raums
zuzuordnen.
Das ist der Grund, aus dem ich das hier eingef"uhrte  elementare Konzept
eine \glqq relative Differentialform\grqq\  genannt habe. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Formen und Formenfelder}] 
In der hier und im vorhergehenden Abschnitt
eingef"uhrten abgek"urzten Terminologie  
kann eine \glqq $p$-Form auf $U$\grqq\ 
zwei sehr verschiedene Dinge bedeuten: Entweder ist $U$ ein
$k$-Vektorraum und unsere $p$-Form ist ein Element von
$\op{Alt}^p(U)$, also eine alternierende multilineare  
Abbildung $\omega: U\times\ldots\times U\ra k$, oder aber
$U$ ist Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Raums 
 $X$ und unsere $p$-Form ist eine Abbildung 
$\omega:U\ra \op{Alt}^p(\vec{X})$ mit $x\mapsto \omega_x$.
Man sollte deshalb eigentlich  letztere Objekte stets als
 \glqq Felder von $p$-Formen\grqq\  ansprechen,  sie stehen ja auch 
zu alternierenden $p$-Multilinearformen in derselben Beziehung wie 
 Vektorfelder zu Vektoren.
Von Formenfeldern aber redet kein Mensch. Ich 
will deshalb  auch nicht damit anfangen, und der Leser mu"s aus dem Kontext 
erschlie"sen, welche Bedeutung im Einzelfall gemeint ist.
\end{Bemerkungl}




\begin{Beispiel}
Eine $0$-Form auf $U$ ist 
eine Funktion $f: U \ra \Bbb{R}$  und eine
 $1$-Form auf einer halboffenen Teilmenge  $U$ 
ein  Kovektorfeld  
im Sinne von \eref{FKF}{AN2}.
Ist $U\subset X$ 
eine halboffene Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Raums,
so schreiben wir statt $\Omega^p_X(U)$ meist
$\Omega^p(U)$, da in diesem Fall unsere relativen Differentialformen   mit 
den "ublichen Differentialformen auf abstrakten Mannigfaltigkeiten
"ubereinstimmen, wie wir sie in \eref{DFMM}{WB}  kennenlernen werden.
\end{Beispiel}
 \begin{Bild} 
 \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildZwFF}\\[4mm]
 \noindent Versuch einer graphischen Darstellung der $2$-Form
auf der Papierebene, die in den durch die Koordinatenachsen
gegebenen Koordinaten durch die Formel $xy\diff x\wedge\diff y$ 
dargestellt werden k"onnte. Eingezeichnet ist an jedem Punkt ein geordnetes
Paar von Richtungsvektoren, gestrichelt erg"anzt zu einem
Parallelogramm, und hineingeschrieben der Wert unserer Zweiform auf
diesem geordneten Paar.
Die Anordnung wird hierbei
durch einen kleinen Pfeil vom ersten zum zweiten Vektor angezeigt.
Nat"urlich ist dies Vektorenpaar in keinster Weise eindeutig, 
wir k"onnten dieselbe $2$-Form auch ganz anders darstellen,
die beteiligten Vektoren m"ussen dabei auch keineswegs parallel zu
Koordinatenachsen sein. 
\end{Bild} 
\begin{Beispiel}[\textbf{Anschauung f"ur Differentialformen}] 
In einem dreidimensionalen orientierten reellen nicht notwendig euklidischen
affinen Raum bewege sich ein Gas.
Wir halten ein kurzes Zeitintervall fest und 
ordnen jedem Tripel bestehend aus einem Punkt und
zwei Vektoren, aufgefa"st als \glqq kleine orientierte Parallelogrammfl"ache\grqq\ 
alias \glqq orientierten Fl"achenelement\grqq\  die Gesamtmasse der
Gasmolek"ule zu, die in diesem Zeitintervall\label{FluD}  
hindurchtritt, wobei wir diese Masse
je nach der Richtung, in der unsere Molek"ule 
hindurchtreten, positiv oder negativ gewichten. 
Diese Zuordnung ist, nach Wahl einer Masseneinheit, 
ein Feld von $2$-Formen. Man nennt es auch
die {\bf Flu"sdichte}.\index{Flu"sdichte}
Ruht das Gas und ordnen wir jedem Quadrupel bestehend aus einem Punkt und
drei Vektoren, aufgefa"st als \glqq kleines orientiertes Parallelpiped\grqq\ 
alias \glqq orientiertes Volumenelement\grqq\  
die Gesamtmasse der darin befindlichen Gasmolek"ule zu, 
gewichtet mit einem Vorzeichen, das von der Orientierung bestimmt wird,
so erhalten wir 
ein Feld von $3$-Formen auf unserem affinen Raum, genaugenommen
wieder nach Wahl einer Masseneinheit. Man nennt es auch
die {\bf Dichte} unseres Gases.
W"ahlen wir zus"atzlich auf dem
Richtungsraum unseres affinen Raums ein Skalarprodukt,
so erhalten wir eine Identifikation von Vektorfeldern mit
$2$-Formen, indem wir jedem Vektor $u$ die $2$-Form $(v,w)\mapsto
\op{vol}(u,v,w)$ zuordnen, mit $\op{vol}(u,v,w)$ dem \glqq Volumen\grqq\ 
des Parallelpipeds mit Kanten $u,v,w$ und einem Vorzeichen, 
das von der \glqq Orientierung\grqq\  unseres Tripels abh"angt.
"Ahnlich erhalten wir dann auch eine Identifikation von Funktionen mit
$3$-Formen.
Die M"oglichkeit dieser
 Identifikationen mag ein Grund daf"ur sein, da"s 
Differentialformen zumindest meiner Intuition schwer
zug"anglich sind. Es f"allt uns einfach nicht zu, einen
dreidimensionalen Raum ohne Skalarprodukt zu visualisieren, geschweige denn
R"aume h"oherer Dimensionen: Das beste Beispiel f"ur eine $2$-Form w"are 
dann n"amlich, nach Wahl der dazu n"otigen physikalischen Einheiten,
 das elektromagnetische Feld auf der Raumzeit.  
Um auch in  nichtorthogonalen und eventuell sogar krummlinigen 
Koordinatensystemen Dichten und Flu"sdichten 
anzugeben und mit ihnen zu rechnen, sind unsere Differentialformen 
jedoch in jedem Falle ein bequemer Formalismus.
\end{Beispiel}
\begin{Bild} 
 \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildZwF}\\[4mm]
 \noindent Eine alternative Darstellung derselben Form $xy\diff x\wedge\diff y$
\end{Bild}

% \begin{Beispiel}
% Ein magnetisches Feld mag man sich, bis auf skalare Einheiten, als
% eine $2$-Form auf dem
% Anschauungsraum denken. 
% In der Tat kann man ein Magnetfeld etwa messen, indem man 
% ein Halbleiterpl"attchen hineinh"alt, zwischen zwei gegen"uberliegenden
% Kanten einen Strom flie"sen l"a"st,
%  und zwischen den zwei verbleibenden Kanten die 
% Spannung mi"st. So erh"alt man f"ur jedes \glqq orientierte Fl"achenelement\grqq\ 
% eine Zahl, und solch eine Zuordnung ist eben gerade eine $2$-Form.
% Sicher kann man eine $2$-Form auf dem Anschauungsraum auch als Vektorfeld
% ansehen, genauer erh"alt man eine Identifikation von Vektorfeldern mit
% $2$-Formen, indem man jedem Vektor $u$ die $2$-Form $(v,w)\mapsto
% \op{vol}(u,v,w)$ zuordnet, mit $\op{vol}(u,v,w)$ dem \glqq Volumen\grqq\ 
% des Parallelogramms mit Kanten $u,v,w$ und einem Vorzeichen, 
% das von der \glqq Orientierung\grqq\  unseres Tripels abh"angt,
% oder noch genauer die $2$-Form $(v,w)\mapsto
% \langle u,v,w\rangle\ph{m}^{-3}$ gegeben durch das Spatprodukt aus 
% \eref{SPA}{LA2}
% und eine willk"urlich gew"ahlte L"angeneinheit $\ph{m}\in \mathbb L_{>0}$.
% Die M"oglichkeit dieser
%  Identifikation mag ein Grund daf"ur sein, 
% \end{Beispiel}

\begin{Definition}
F"ur zwei Differentialformen $\omega \in \Omega^{p}
$ und $ \eta \in \Omega^{q} $ 
definieren wir ihr {\bf Dachprodukt} $\omega
\wedge \eta \in \Omega^{p+q}$  als punktweises
Dachprodukt im Sinne von \ref{DaPr}, in Formeln $(\omega
\wedge \eta)_x=\omega_x
\wedge \eta_x$.
F"ur $f \in \Omega^{0}$ eine Funktion schreiben wir meist
$f\eta$ statt $f\wedge \eta$.  
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl}
Ist speziell $X = \Bbb{R}^{n}$ und sind $x_{i} : \Bbb{R}^{n} \ra \Bbb{R}$ die
Koordinatenfunktionen, so l"a"st sich f"ur $U\subset X$ 
nach \ref{BA} jede
$p$-Form $\omega \in \Omega^{p}_X (U)$ eindeutig schreiben in der
Gestalt
$$\omega = \sum_{|I|=p} a_{I} \diff x _{I}$$
Hier l"auft die Summe wie angedeutet
"uber alle $p$-elementigen Teilmengen $I \subset
\{1,\ldots, n\}$, die Koeffizienten $a_{I}$ sind reelle
Funktionen auf $U$,  und $\diff x_{I}$\index{d@$\diff x_{I}$} 
ist
"ahnlich wie in \ref{BAD} eine
Abk"urzung f"ur
$\diff x_{I}=\diff x_{i_{1}} \wedge \ldots 
\wedge \diff x_{i_{p}} $ mit $ i_{1} <
\ldots < i_{p}$ den der Gr"o"se nach geordneten
Elementen von $I$.  
Diese Notation ist allerdings mit Vorsicht zu genie"sen, denn nat"urlich
ist  $\diff x_{I}$ f"ur $|I|\neq 1$ 
in keinster Weise das Differential einer wie auch
immer gearteten Funktion $x_I$. 
Das Dachprodukt zweier in dieser Standarddarstellung 
gegebenen Formen ergibt sich dann leicht mittels der
Regeln $\diff x_i\wedge \diff x_i=0$ und 
$\diff x_i\wedge \diff x_j=-\diff x_j\wedge\diff x_i$.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Die $2$-Form $\diff x\wedge\diff y$ auf dem $\DR^3$ kann man sich
  veranschaulichen als Vorschrift, die \glqq jeder kleinen orientierten
Parallelogrammfl"ache den Fl"acheninhalt ihrer orthogonalen Projektion auf die
$(x,y)$-Ebene zuordnet, mit einem von der 
Orientierung abh"angigen Vorzeichen\grqq.  
\end{Bemerkungl}

\begin{Definition}\label{RHUD}
Gegeben endlichdimensionale
reelle R"aume $X,Y$ und 
eine stetig differenzierbare
Abbildung $\phi :A\ra Y$ auf einer halboffenen Teilmenge $A\subset X$
definieren wir  das 
{\bf Zur"uckholen von Differentialformen}, 
eine $\DR$-lineare Abbildung $\phi ^{\ast} : \Omega^{p}_Y
(\phi (A)) \ra \Omega^{p} (A)$,
durch die 
Vorschrift $$(\phi ^{\ast}\omega)_{x} =
(\diff _{x}\phi )^{\top} (\omega_{\phi (x)})$$
Hier bezeichnet $(\diff _{x}\phi )^{\top}: \op{Alt}^p\vec{Y} 
\ra \op{Alt}^p\vec{X}$ die
vom Differential
$\diff _{x} \phi  : \vec{X} \ra \vec{Y}  $ von $\phi $ an der Stelle 
$ x \in A$ induzierte Abbildung. 
Alternativ k"onnten wir auch schreiben 
$(\phi ^{\ast}\omega)_{x} =\omega_{\phi (x)}
\circ (\diff _{x}\phi \times\ldots \times \diff _{x}\phi)
$ mit $p$ Faktoren ganz rechts.
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl}
  Dies Zur"uckholen ist bei der Begrifflichkeit der
Differentialformen die eigentliche Hauptsache.
Das Zur"uckholen von Funktionen alias 
Nullformen mit einer Abbildung ist schlicht das \glqq Vorschalten\grqq\ 
von besagter Abbildung,
in Formeln $\phi^\ast(g)=g\circ f$ f"ur eine Funktion $g:B\ra\DR$.
Das Zur"uckholen von $1$-Formen 
haben wir bereits in \eref{ZHEF}{AN2} diskutiert. Wir verallgemeinern 
die dort eingef"uhrte
Terminologie auf den vorliegenden Fall und nennen Differentialformen $\eta$
und $\omega$ {\bf verwandt unter $\phi$}\index{verwandt!Differentialformen}
und schreiben 
$\phi:\eta\leadsto\omega$\index{)4@$\leadsto$ verwandt!Differentialformen}
genau dann, wenn gilt $\eta=\phi^\ast(\omega)$.
\end{Bemerkungl}

\begin{Lemma}
F"ur das Zur"uckholen  von Differentialformen 
gilt die
Kettenregel, d.h.\ wir haben stets $\op{id}^{\ast} = \op{id}$ und
 $$\psi^{\ast} (\phi^\ast\omega) = (\phi\circ \psi)^{\ast}
(\omega) $$
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis] Das folgt mit  der
"ublichen Kettenregel \eref{Kett}{AN2} sofort aus den Definitionen.
Wir k"onnen die Aussage des Lemmas auch im Sinne von \eref{VerT}{AN2}
dahingehend verstehen, da"s
Verwandtschaft transitiv ist.
\end{proof}

\begin{Lemma}
Verwandschaft alias das Zur"uckholen  $\phi^{\ast}$ von Differentialformen
ist vertr"aglich mit dem
Dachprodukt, in Formeln gilt also  
$$\phi^{\ast} (\omega \wedge \eta) = \phi^{\ast}
(\omega) \wedge \phi^{\ast} (\eta)$$  
\end{Lemma}
\begin{proof} Dem Leser "uberlassen.
\end{proof}









\begin{Beispiel}Wir erinnern \eref{ZHeF}{AN2}.
F"ur $X=\Bbb{R}^n$ mit Koordinaten $x_1, \ldots , x_{n}$ und
$Y = \Bbb{R}^{m}$ mit Koordinaten $y_{1}, \ldots , y_{m}$
und $\phi=(\phi_1,\ldots,\phi_n)$ eine differenzierbare
Abbildung von einer halboffenen Teilmenge von $\DR^m$ in
eine halboffene Teilmenge von $\DR^n$ ergibt sich
$
\phi^{\ast} (\diff x_{i}) = \op{d} (\phi^{\ast} x_{i}) 
=\diff \phi_{i} = \sum_{i}
\frac{\partial \phi_{i}}{\partial y_{j}} \diff y_{j}$.
Folglich kann das Zur"uckholen von $1$-Formen in Koordinaten
beschrieben werden durch die Formel
$$\phi^{\ast} \left(\sum_{i} a_{i}\diff x_{i}\right) =\sum_{i,j} (a_{i}
\circ \phi) \frac{\partial \phi_{i}}{\partial y_{j}}\; \diff y_{j}
$$
\end{Beispiel}












\begin{Beispiel}
Ist $\phi$ die Polarkoordinatenabbildung
$$\begin{array}{cccl}\phi:& \Bbb{R}^{2}& \ra&
\Bbb{R}^{2}\\ &(r,\vartheta) &\mapsto &(r \cos \vartheta, r \sin \vartheta)
\end{array}$$
und haben wir auf $\Bbb{R}^{2}$
die $1$-Form $y \diff x$ gegeben, so wird sie zur"uckgeholt zu
$$\begin{array}{rcl}
\phi^{\ast} (y \diff x) &=& \phi^{\ast}(y) \phi^{\ast} (\diff x)\\
 &=& r \sin \vartheta \;\diff\; (r\cos \vartheta)\\
 &=& r \sin \vartheta \cos \vartheta \;
\diff r - r^{2} \sin^{2}\vartheta\;  \diff
 \vartheta
 \end{array}$$
und f"ur die $2$-Form $\diff x \wedge \diff y$ erhalten wir
$$\begin{array}{rcl}
\phi^{\ast} (\diff x \wedge \diff y) &=& \phi^{\ast} 
(\diff x) \wedge \phi^{\ast}(\diff y)\\
&=& \diff\; (r \cos \vartheta) \wedge \diff\; (r \sin \vartheta)\\
&=& (\cos \vartheta  \;\diff r - r \sin \vartheta  \;\diff \vartheta) \wedge
(\sin \vartheta \;\diff r + r \cos \vartheta  \;\diff \vartheta)\\
&=& r \diff r \wedge \diff \vartheta
\end{array}$$
Man mag sich letztere Formel   dahingehend veranschaulichen, 
da"s \glqq ein kleines orientiertes Fl"achenelement in der $xy$-Ebene 
unter der Polarkoordinatenabbildung einem entsprechend gr"o"seren oder
auch kleineren orientierten Fl"achenelement in der $r\vartheta$-Ebene 
entspricht, je nachdem, in welchem Abstand vom Ursprung unser 
urspr"ungliches Fl"achenelement liegt\grqq. 
\end{Beispiel}
\begin{Lemma}\label{ZHD}
F"ur $A$ halboffen
in $\Bbb{R}^{n}$ und $\phi: A \ra \Bbb{R}^{n}$ 
stetig differenzierbar gilt stets
$$\phi^{\ast} (\diff x_{1} \wedge \ldots \wedge \diff x_{n}) 
= (\det \diff \phi)
\diff x_{1} \wedge \ldots \wedge \diff x_{n}$$
\end{Lemma}
\begin{proof}
F"ur jeden Endomorphismus
$L$ eines $n$-dimensionalen 
Vektorraums $V$ ist
die induzierte Abbildung
$L^{\top}:\op{Alt}^{n}V\ra \op{Alt}^{n}V $ nach \ref{DDP}
gerade die Multiplikation mit $\det L$. 
\end{proof}








\subsection{Orientierung von Mannigfaltigkeiten}\label{OrM}
\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildTBM}\\[4mm]
\noindent 
In diesem Bild habe ich zu einer eindimensionalen
Untermannigfaltigkeit der Ebene zwei affine R"aume eingezeichnet, 
deren Richtungsr"aume ihre Tangentialr"aume an den beiden fett
eingezeichneten Punkten
w"aren.
Diese affinen R"aume schneiden sich nat"urlich und ihre Richtungsr"aume
schneiden sich desgleichen. Im bildlich dargestellten Fall besteht dieser
Schnitt der Richtungsr"aume
aus dem Nullvektor, aber im allgemeinen kann er auch gr"o"ser sein.
Ich habe die beiden Geraden dennoch als nicht-schneidend gemalt, 
um bildlich anzudeuten, da"s alle diese "Uberschneidungen 
von uns bei der Definition des Tangentialb"undels 
sozusagen wegdefiniert werden.
\end{figure}


\begin{Definition}\label{TaBu}
Gegeben eine Untermannigfaltigkeit $M\subset X$  eines
endlichdimensionalen reellen
Raums und ein Punkt $p\in M$ 
definieren wir den {\bf Tangentialraum an $M$ in
$p$}\index{Tangentialraum!im eingebetteten Fall}
als den Vektorraum
$${\op{T}}_{p} M \pdef \op{im} (\diff _{u}\varphi)\subset \vec{X}$$
f"ur\index{T@${\op{T}}_{p} M$ Tangentialraum} 
eine und jede Karte
$\varphi : U \ra M\text{ mit } \varphi (u) = p$.
Wir haben  
also $\dim {\op{T}}_{p}M=\dim M$, und $p + {\op{T}}_{p}M$ ist derjenige affine
Teilraum von $X$, der anschaulich
gesprochen \glqq $M$ am besten approximiert bei $p$\grqq.
\end{Definition}
\begin{Bemerkunge}
  In \eref{aT}{ML} werden wir allgemeiner 
den Tangentialraum ${\op{T}}_{p} M$ f"ur beliebige, nicht
  notwendig eingebettete Mannigfaltigkeiten $M$ erkl"aren.
Er ist kanonisch isomorph aber eben nicht gleich zu dem eben 
f"ur eingebettete Mannigfaltigkeiten erkl"arten Konzept.
Wenn wir besonders betonen wollen, da"s wir die obige Definition meinen,
schreiben wir genauer 
${\op{T}}_{p}^\subset M$.\index{T@${\op{T}}^\subset_{p} M$ Tangentialraum!im
  eingebetteten Fall}  
\end{Bemerkunge}





\begin{Bemerkunge}\label{DTBE}
Man will sich meist die verschiedenen Tangentialr"aume als
paarweise disjunkt denken, "andert die obige
Definition deshalb ab und setzt  formal
$${\op{T}}_{p}M \pdef 
\{p\}\times\op{im} (\diff _{u}\varphi) \;\; \subset\;\; \{p\}\times\vec{X}  $$
So kann man dann das 
{\bf Tangentialb"undel}\index{Tangentialb"undel!im eingebetteten Fall} 
von $M$ definieren\index{T@${\op{T}} M$|see{Tangentialb"undel}} 
als
$${\op{T}}M \pdef
\bigcup_{p\in M} {\op{T}}_{p} M \;\;\subset\;\;M \times \vec{X}  $$
  Unter geeigneten zus"atzlichen Differenzierbarkeitsannahmen an unsere
  Untermannigfaltigkeit $M$ kann man zeigen, da"s 
${\op{T}}M \subset X\times \vec{X}$ eine
  Untermannigfaltigkeit der Dimension $2 (\dim M)$ ist, vergleiche 
\eref{TBUM}{ML}.
  Die einzelnen Tangential\-r"aume 
erh"alt man als die Fasern der Projektion $\pi
  : {\op{T}}M \ra M $ des Tangentialb"undels auf die 
Mannigfaltigkeit, in Formeln
  ${\op{T}}_{p}M = \pi^{-1} (p)$.
\end{Bemerkunge}


\begin{Bemerkungl}
Wir erinnern daran, da"s  nach  
  \eref{OrV}{LA1} eine 
\defnoind{Orientierung}\index{Orientierung!von Vektorraum}
  eines endlichdimensionalen Vektorraums $V$ "uber einem angeordneten K"orper
  eine Vorschrift $\varepsilon $ ist, die jeder angeordneten Basis $B$ unseres
  Vektorraums ein Vorzeichen $\varepsilon (B)\in\{+1,-1\}$ zuordnet und zwar
  so, da"s f"ur je zwei angeordnete Basen $B, B'$ die Determinante der
  Basiswechselmatrix das Vorzeichen $\varepsilon (B)\varepsilon (B')$ hat.
In \eref{OrV}{LA1} werden auch noch weitere Begriffsbildungen in diesem
Zusammenhang formal eingef"uhrt, deren Bedeutung Sie aber auch leicht 
selbst werden erraten
k"onnen.
\end{Bemerkungl}




  \begin{Definition}\label{Orkm}
    Eine 
\defnoind{Orientierung}\index{Orientierung!von $\cal{C}^1$-Mannigfaltigkeit} 
einer $k$-Mannigfaltigkeit 
$M$ ist eine Vorschrift, die jedem Punkt  $p\in M$
    eine Orientierung 
im Sinne von \eref{OrV}{LA1}
 des Tangentialraums ${\op{T}}_p M$ zuordnet
und zwar so, da"s es um jeden Punkt eine Karte $\varphi:W\ra M$
gibt mit der Eigenschaft, da"s die
Differentiale
    $\diff_x\varphi:\DR^k\sira {\op{T}}_{\varphi(x)} M$ f"ur  $x\in W$ entweder alle
 orientierungserhaltend oder alle orientierungsumkehrend sind.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
Eine Orientierung einer nulldimensionalen Mannigfaltigkeit $M$
anzugeben bedeutet 
schlicht, eine
Abbildung $\varepsilon :M\ra\{+1,-1\}$ anzugeben, deren Wert bei $p\in M$
eben das Vorzeichen der angeordneten Basis $\emptyset$ des
Tangentialraums ${\op{T}}_pM$ ist.
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}
Unter einer {\bf orientierten  
Mannigfaltigkeit}\index{orientiert!$\cal{C}^1$-Mannigfaltigkeit}  
versteht man ein Paar  bestehend aus einer\label{oMfg}  
 Mannigfaltigkeit $M$ und
einer Orientierung  auf $M$.
Ich notiere orientierte Mannigfaltigkeiten oft mit einem Pfeil,
etwa als
 $\vec{M}$, aber das  ist nicht allgemein "ublich.
Eine  Mannigfaltigkeit, die mindestens eine Orientierung zul"a"st,
nennt man eine 
{\bf orientierbar}.\index{orientierbar!$\cal{C}^1$-Mannigfaltigkeit} 
Das \glqq M"obiusband\grqq\  ist ein Beispiel f"ur eine  nicht orientierbare
$2$-Mannigfaltigkeit in $\DR^3$.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
Den Pfeil "uber einem Symbol benutze ich auch bei affinen R"aumen
als Notation f"ur den zugeh"origen Raum von Richtungsvektoren,
vergleiche \eref{daff}{LA1}.
Was im Einzelfall
gemeint ist, mu"s der Leser aus dem Kontext erschlie"sen.
\end{Bemerkungl}

\begin{Definition}\label{OK}
Wir sagen, eine Karte $(W,\varphi)$ einer orientierten 
Mannigfaltigkeit {\bf habe die Orientierung} $\varepsilon$ 
f"ur $\varepsilon \in
\{+1,-1\}$  genau dann, 
wenn f"ur jeden Punkt $x\in W$ das Bild der Standardbasis
unter dem Isomorphismus $\diff_x\varphi:\DR^k\sira {\op{T}}_{\varphi(x)}M$ 
die Orientierung $\varepsilon$ hat.
Nur die leere Karte kann beide Orientierungen haben. 
Karten, die nicht zusammenh"angend sind, besitzen im
allgemeinen weder die Orientierung $+1$ noch  die Orientierung $-1$.
Eine nichtleere Karte der Orientierung $+1$ nennen wir 
eine \defnoind{positiv orientierte Karte}.
\end{Definition}
\subsubsection*{"Ubungen}

\begin{Ubung}\label{Tawb}
Man zeige: Gegeben eine Untermannigfaltigkeit $M\subset X$  eines
endlichdimensionalen reellen
Raums und ein Punkt $p\in M$ kann der Tangentialraum
 ${\op{T}}_{p} M$ auch beschrieben werden
  als die Menge aller m"oglichen Geschwindigkeitsvektoren bei $p$ von in
  $M$ verlaufenden und bei $p$ differenzierbaren Wegen.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}
Jede orientierbare zusammenh"angende Mannigfaltigkeit $M$ besitzt genau
zwei Orientierungen. Hinweis: Gegeben zwei Orientierungen 
ist die Menge aller Punkte $p$, an denen sie dieselbe Orientierung
von ${\op{T}}_pM$ liefern, ebenso offen wie die Menge aller Punkte $p$,
an denen sie verschiedene Orientierungen
von ${\op{T}}_pM$ liefern. Nun verwende man \eref{WZTT}{AN2}.
\end{Ubung}

\begin{Ubunge}\label{trnb}
  Seien $X$ und $Y$ endlichdi\-mensionale
reelle R"aume, $U\co X$ eine
  offene Teilmenge und $f:U\ra Y$ eine stetig differenzierbare Abbildung mit
  "uberall surjektivem Differential.
So ist f"ur alle $c\in Y$ nach \eref{MN}{AN2}  das Urbild
  $M=f^{-1}(c)$ eine Untermannigfaltigkeit von $X$ der Dimension
  $\op{dim}X-\op{dim}Y$. Man zeige f"ur alle $p\in M$ die Formel
${\op{T}}_pM=\op{ker}\diff_pf$.
\end{Ubunge}
\begin{Ubung}
Man zeige:  Ist $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und
 $\langle\;,\;\rangle$ eine von Null verschiedene 
symmetrische Bilinearform auf $V$ und
$c\in\DR$ eine Konstante, so ist
$M\pdef \{v\in V\backslash 0\mid \langle v,v\rangle=c\}$ eine 
Hyperfl"ache in $V$
und unter der "ublichen Identifikation
$\op{trans}:V\sira \vec{V}$ 
haben wir
${\op{T}}_vM=\op{trans}\{w\in V\mid \langle v,w\rangle=0\}$ oder
abk"urzend geschrieben $${\op{T}}_vM=v^\perp$$
\end{Ubung}









\subsection{Integration von Differentialformen: Theorie}
\begin{Bemerkungl}
Wie im n"achsten Abschnitt erkl"art werden wird, ist
die Integration von Differentialformen in lokalen Koordinaten 
kein gro"ses Kunstst"uck und verallgemeinert verschiedene 
Integrationsbegriffe, die Sie bereits kennengelernt haben.
Ich m"ochte  deshalb die mehr praktisch Orientierten
unter Ihnen ermutigen, den n"achsten Abschnitt vorzuziehen.
Andererseits mu"s man, um formal korrekte Aussagen machen zu
k"onnen, zuvor den Begriff einer integrierbaren Differentialform und
ihres Integrals einf"uhren. Das soll in diesem eher technischen Abschnitt
geschehen.   
\end{Bemerkungl}
\begin{Proposition}[\textbf{Ma"s  einer Differentialform}]
 Gegeben eine $k$-di\-men\-sio\-nale Unterman\-nig\-fal\-tig\-keit $M$
eines
endlichdimensionalen reellen Raums
 und eine
me"sbare\label{DDfm} 
$k$-Form $\omega$ auf  $M$ gibt es genau ein topologisches Ma"s 
$|\omega|$ auf $M$ mit der Eigenschaft, da"s f"ur jede Karte
$(W,\varphi)$ von $M$ und jede Borelmenge $A\subset \varphi(W)$
gilt
$$|\omega|(A)=\int_{\varphi^{-1}(A)} 
|(\varphi^\ast\omega)(\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k)|\lambda^k$$
  Jede\index{Ma"s!einer Differentialform} 
  in $M$\index{${\mid}\omega{\mid}$!Ma"s der Differentialform $\omega$}  
enthaltene Mannigfaltigkeit echt kleinerer Dimension ist 
f"ur dieses Ma"s  eine Nullmenge, und jede stetige 
$k$-Form liefert ein Borelma"s.
\end{Proposition}

 \begin{Bild} 
 \includegraphics[height=5cm]{SkriptenBilder/BildBDF}\\[4mm]
 \noindent 
Versuch einer graphischen Darstellung des Ma"ses 
$|xy\diff x\wedge \diff y|=|xy|\lambda^2$ der Differentialform
$xy\diff x\wedge \diff y$, die wir in \ref{GHB} versucht hatten,
graphisch darzustellen. Das Ma"s einer Teilmenge w"are so in etwa 
zu denken als
die
Zahl der in ihr enthaltenen schwarzen Punkte.
\end{Bild}
\begin{Bild} 
 \includegraphics[height=0.3\textheight]{SkriptenBilder/BildMdF}\\[4mm]
 \noindent 
In diesem Bild soll angedeutet werden, welches
 Ma"s auf
der Kreislinie
eine Einsform auf der Papierebene  liefert. Denken
wir uns etwa die Einform $y\diff x$. F"ur eine me"sbaren Menge 
wie dem eingezeichneten $A$ d"urfen wir uns das Ma"s so vorstellen: 
Wir approximieren durch einen Polygonzug und summieren die 
Betr"age der Werte
unserer Differentialform auf den Kantenvektoren. Eine Approximation von 
$|y\diff x|(A)$ w"are also etwa $|a_2v_1|+b_2w_1=|1\cdot 0|+|(-1)\cdot(-1)|=1$.
\end{Bild}

\begin{proof}[Beweis von \ref{DDfm}]
Der Beweis von \ref{OFLM} kann fast Wort f"ur Wort wiederholt werden,
wobei wir nur f"ur jede Karte $(W,\varphi)$ auf $W$
statt der Funktionen $\op{vol}(\diff_x\varphi)$ die 
Betr"age der Funktionen
$\omega_\varphi$ mit
$\omega_\varphi(x)=(\varphi^\ast\omega)_x(\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k)$ 
einsetzen m"ussen. Der entscheidende Schritt besteht dann wieder darin,
f"ur je zwei Karten $(W,\varphi)$ und $(V,\psi)$ 
mit $\varphi(W)= \psi(V)$ und
Kartenwechsel $g= \psi^{-1}\circ \varphi
:W \sira V$ die Formel
$$
|\omega_\varphi(x)|=
|\det \diff_{x} g|\;|\omega_\psi(x)|
$$
zu zeigen.
Per definitionem haben wir jedoch
$\varphi^*\omega=\omega_\varphi \diff x_1\wedge\ldots\wedge \diff x_k$
und ebenso $\psi^*\omega=\omega_\psi \diff x_1\wedge\ldots\wedge \diff x_k$
und wegen
$\psi \circ g = \varphi$
 gilt $g^*(\psi^*\omega)=\varphi^*\omega$.
Mit \ref{ZHD} folgt dann sofort
$(\op{det} \diff_x g) \omega_\psi(g(x))=\omega_\varphi(x)$
f"ur alle $x\in W$, und nehmen wir hier auf beiden Seiten
Betr"age, so steht unsere Behauptung auch schon da.
\end{proof}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Bedeutungen der Notation $|\omega|$}]
Die Notation $|\omega|$ hatten wir eigentlich bereits vereinbart
f"ur den Grad einer Differentialform, also $|\omega|=p$ im
Fall einer $p$-Form. Es ist also a priori ungeschickt, dieselbe 
Notation auch noch f"ur ein v"ollig anderes Konzept zu verwenden. 
Andererseits sind beide Notationen "ublich, und welche Bedeutung 
im Einzelfall  gemeint ist, kann der Leser leicht aus dem Kontext 
erschlie"sen: Im Wesentlichen tritt $|\omega|$ in der Bedeutung als
Grad fast nur
 im Exponenten von $(-1)$ auf, und $|\omega|$ in der Bedeutung als
Ma"s fast nie in einem Exponenten. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
Auf der rechten Seite meint $\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k$ die 
Standardbasis des $\DR^k$, auf der also unsere $k$-Form 
$\varphi^\ast\omega$ an jeder Stelle ausgewertet werden soll. 
F"ur die $2$-Form $\eta=y^2\sin x \diff x\wedge\diff y$ auf dem $\DR^2$ etwa
w"are $\eta(\op{e}_1,\op{e}_2)$ die Funktion $y^2\sin x$.
Das Integral auf der rechten Seite ist %dann im allgemeinen 
als Integral 
in Bezug auf das Lebesgue-Ma"s der me"sbaren reellwertigen Funktion
$p\mapsto |(\varphi^\ast\omega)_p(\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k)|$ 
"uber die me"sbare Menge $\varphi^{-1}(A)\subset W\subset \DR^k$
zu verstehen. 
Mit einer $k$-Form meinen wir vorerst noch eine relative
$k$-Form. Sobald wir die wirklichen $k$-Formen auf Mannigfaltigkeiten 
 kennenlernen,  wird dieselbe Definition jedoch auch
f"ur diese sinnvoll und richtig werden.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion des Unterschieds zum Fl"achenma"s}] 
Ich will einen wesentlichen Unterschied zum in \ref{OFLM} eingef"uhrten
Fl"achenma"s hervorheben: Das Ma"s zu einer Differentialform 
k"onnen wir auf Untermannigfaltigkeiten beliebiger endlichdimensionaler
R"aume einf"uhren, wohingegen  
wir das Fl"achenma"s nur auf
Untermannigfaltigkeiten des $\DR^n$ erkl"art haben und bestenfalls auf
 Untermannigfaltigkeiten endlichdimensionaler euklidischer R"aume
h"atten erkl"aren k"onnen.
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiel}[\textbf{Ma"s  einer Flu"sdichte}] 
  Ist $X$ ein dreidimensionaler orientierter reeller affiner Raum und
$M\subset X$ eine zweidimensionale Untermannigfaltigkeit alias\label{Fludd} 
 Fl"ache und $\omega$  die $2$-Form der Flu"sdichte 
eines bewegten Gases wie in \ref{FluD}, so ordnet das Ma"s
$|\omega|$ jedem  Fl"achenst"uck auf $M$ 
die Gesamtmasse an Gas zu, die im gegebenen Zeitintervall hindurchtritt.
In welcher Richtung das Gas an der einen oder
anderen Stelle hindurchtritt, beachten wir dabei nicht,
deshalb die Betragsstriche. Wir fordern auch nicht, da"s $M$ orientiert 
oder orientierbar sein
soll,
es d"urfte sich etwa  um ein M"obiusband handeln.
\end{Beispiel}

\begin{Beispiel}
Das Lebesgue-Ma"s auf $\DR^k$ ist das Ma"s
zu $\diff x_1\wedge\ldots\wedge \diff x_k$, in Formeln
$\diff^k x=|\!\diff x_1\wedge\ldots\wedge \diff x_k|$. Speziell
ist $|\!\diff x|$ das Lebesgue-Ma"s auf $\DR$. In diesem Fall
erlauben wir uns  aus den bereits in \ref{Ldf} dargelegten
Gr"unden  auch die Notation $\diff x$. Allgemeiner erhalten wir 
f"ur $f:\DR^n\ra\DR$ me"sbar 
die Gleichheit von Ma"sen $|f\diff x_1\wedge\ldots\wedge \diff x_k|=
|f|\diff^k x$.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}
Ist $M$ eine $0$-Mannigfaltigkeit, als da hei"st eine diskrete Teilmenge
eines endlichdimensionalen Raums, und $\omega$ eine relative $0$-Form
alias eine reellwertige Funktion $f$ auf $M$, so ist $|\omega|$ das Ma"s,
das jedem Punkt $p \in M$ als Ma"s den 
Betrag des Funktionswerts
 $|\omega_p| = |f(p)|$ zuordnet.
\end{Beispiel}
 
\begin{Beispiel}
Wir betrachten als
Differentialform die $1$-Form $\omega = \diff x$ auf $\Bbb{R}^2$ und als
Untermannigfaltigkeit die Kreislinie $S^1 = \{ (x,y) \mid x^2 + y^2 =1\}$.
In diesem Fall stimmt das Ma"s $|\!\diff x|$ auf $S^1$ "uberein 
mit der Summe der
Bildma"se $\mu_\pm $ des Lebesgue-Ma"ses auf 
dem Intervall $[-1,1]$ unter seinen vertikalen 
Projektionen auf den oberen bzw. auf den unteren Halbkreis.
Insbesondere h"atten wir also $|\!\diff x| (S^1) = 4$.
In der Tat, betrachten wir etwa die Karte $\varphi : (-1,1) \rightarrow
S^1$, $ t \mapsto (t, \sqrt{1-t^2})$ und eine Borelmenge $A$ in ihrem Bild, dem
offenen oberen Halbkreis, so ergibt sich mit unseren Definitionen
\begin{equation*}
|\!\diff x| (A) = \int_{\varphi^{-1}(A)} |\varphi^\ast (\diff x) (\op{e}_1)| =
\int_{\varphi^{-1}(A)} |\diff t (\op{e}_1) | = \int_{\varphi^{-1}(A)} 1 = \lambda
(\varphi^{-1}(A))
\end{equation*}
f"ur $\lambda $ das Lebesguema"s auf $[-1,1]$.
\end{Beispiel}
\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildFi}\\[4mm]
\noindent 
Die gepunktelten Pfeile stellen die Vektoren $p_{3,0}-p_{2,0}$ und
$p_{2,1}-p_{2,0}$ dar, der Betrag des Werts von $\omega_{p_{2,0}}$
auf diesem Paar von Vekoren geht 
in die Riemannsumme $S_P^3$ ein.
\end{figure}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Ma"s einer Differentialform "uber Riemannsummen}] 
Etwas vage mag man 
sich im Fall einer $2$-Mannigfaltigkeit alias Fl"ache im
Anschauungsraum vorstellen, da"s wir unsere Fl"ache
lokal durch \glqq parallelogrammf"ormige Schuppen\grqq\  approximieren,
denen wir mithilfe unserer $2$-Form jeweils ein
Ma"s zuordnen k"onnen, 
indem wir an jeder Stelle die beiden Kantenvektoren 
unserer parallelogrammf"ormigen Schuppen in die der 
besagten Stelle zugeordnete 
alternierende bilineare Abbildung 
einsetzen und vom Resultat den Betrag nehmen.
Dann gilt es, 
mit immer feineren Schuppen in geeigneter Weise zum
Grenzwert  "uberzugehen.
Konkreter
 erkl"are ich nun eine Interpretation durch Riemannsummen.
Sei dazu $(W,\varphi)$ eine orientierte
Karte einer der Einfachkeit der Notation halber zweidimensionalen
Untermannigfaltigkeit $M\subset X$, sei $Q = [a,b] \times [c,d] \subset
W$ ein Rechteck und 
$P=\varphi(Q)\subset M$ sein Bild.
Sei weiter $\omega: M \ra \op{Alt}^2(\vec{X})$
eine stetige relative  $2$-Form auf $M$.
Wir betrachten f"ur $r \geq 1$ die "aquidistanten Unterteilungen
$
a = a_{0} <  a_{1} < \ldots  < a_{r} = b$, $
c = c_{0} <  c_{1} < \ldots   < c_{r} = d
$ der Kanten von $Q$ in jeweils $r$ Segmente,
bezeichnen mit $q_{i,j}=(a_{i},c_{j})$ die Gitterpunkte
im so gegebenen Raster auf $Q$, und mit $p_{i,j} =\varphi(q_{i,j})$
die Bilder dieser Gitterpunkte in
$P\subset M$. Dann definieren wir die $r$-te {\bf
Riemannsumme}\index{Riemannsumme!f"ur Ma"s einer Differentialform}
$S^{r}_{P} |\omega|$
durch die Formel
$$S^{r}_{P} |\omega| = \sum^{r-1}_{i,j =0} |\omega_{p_{i,j}}(p_{i+1,j}
- p_{i,j}, p_{i,j+1} - p_{i,j})|$$
Nat"urlich h"angt diese Summe von der Karte $(W,\varphi)$ ab, auch
wenn das in der Notation nicht zum Ausdruck kommt.
Wir k"onnen nun das Ma"s $|\omega|(P)$  interpretieren als
den Grenzwert
$$|\omega|(P) = \lim_{r \ra \infty} S_{P}^{r} |\omega|$$  
Den Beweis dieser Tatsache entlang der Grundlinie des Beweises von
\eref{RSIn}{AN2}  "uberlassen wir dem Leser zur "Ubung.
\end{Bemerkungl}





\begin{Ubung}
  Wir betrachten auf $\DR^2$ die Funktionen
$f(x,y)=\op{sin}(xy)$ und $g(x,y)=x^2y +y $ und die
$2$-Form $\omega=\diff f\wedge \diff g$. Man schreibe das
Ma"s $|\omega|$ auf $\DR^2$ als Vielfaches des Lebesgue-Ma"ses.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}
  Seien $U,V$ offene Teilmengen $n$-dimensionaler 
reeller R"aume und sei $\phi: U\sira V$ ein $\mathcal C^1$-Diffeomorphismus.
Gegeben eine me"sbare $n$-Form $\omega$ auf $V$ zeige man
die Verwandtschaft von Ma"sen $\phi:|\phi^\ast \omega|\leadsto | \omega|$.
In anderen Worten folgt also aus der Verwandtschaft von me"sbaren $n$-Formen
$\phi: \eta\leadsto  \omega$ die Verwandtschaft von Ma"sen 
$\phi: |\eta|\leadsto  |\omega|$. Hinweis: Das ist bei rechtem Lichte besehen
nur
eine Umformulierung der Transformationsformel \ref{TFL}.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}
Die Kovektorfelder $\diff\vartheta$ und $\diff  r$ auf $\DR^2$
zu unseren Polarkoordinaten  aus \eref{BsPK}{AN2} liefern Ma"se auf
dem Kreis $K\subset \DR^2$ mit Radius 4 und auf der
Parallelen $G\subset \DR^2$ zur $y$-Achse durch 
den Punkt $(1,0)$. Man finde  stetige
Funktionen auf diesen Mannigfaltigkeiten derart, da"s ihre Produkte
mit den jeweiligen Fl"achenma"sen die Ma"se zu unseren Differentialformen 
liefern.  
\end{Ubung}

% \begin{Definition}\label{glatt1}
% Eine Abbildung von einer Untermannigfaltigkeit 
% eines endlichdimensionalen reellen Raums
% in einen weiteren endlichdimensionalen reellen Raum hei"st
% {\bf stetig differenzierbar} oder gleichbedeutend
% eine {\bf $\mathcal C^1$-Abbildung}
% genau dann, wenn die daraus durch Vorschalten 
% einer beliebigen Karte unserer 
% Untermannigfaltigkeit entstehende Abbildung
% stetig differenzierbar ist.
% \end{Definition}
  
% \begin{Definition}
% Eine Abbildung zwischen Untermannigfaltigkeiten 
% endlichdimensionaler reeller R"aume
% hei"st {\bf stetig differenzierbar} oder gleichbedeutend
% eine {\bf $\mathcal C^1$-Abbildung}
% genau dann, 
% wenn ihre Verkn"upfung mit der Einbettung der zweiten
% Untermannigfaltigkeit im Sinne von \ref{glatt1} stetig differenzierbar  ist.
% Ein 
% {\bf Diffeomorphismus}\index{Diffeomorphismus!zwischen 
% $\mathcal C^1$-Untermannigfaltigkeiten}
%  zwischen  
% Untermannigfaltigkeiten
% ist eine stetig differenzierbare bijektive Abbildung mit
% stetig differenzierbarer Umkehrabbildung.
% \end{Definition}


 \begin{Definition}
 Sei     $M $ eine $k$-dimensionale orientierte
Untermannigfaltig\-keit eines endlichdimensionalen
reellen Raums.  Wir nennen
    eine me"sbare  $k$-Form $\omega$ auf  $M$
    \defnoind{nichtnegativ}\index{nichtnegativ!Differentialform}  
genau dann, wenn f"ur alle Punkte $p\in M$ und jede angeordnete
Basis $v_1,\ldots,v_k$ der Orientierung $\varepsilon$ 
des Tangentialraums ${\op{T}}_pM$ 
gilt 
$$\varepsilon\omega_p(v_1,\ldots,v_k)\geq 0$$ 
\end{Definition}
 \begin{Definition}
 Wir nennen
    eine  $k$-Form $\omega$ auf einer $k$-dimen\-sio\-na\-len 
Unter\-man\-nig\-fal\-tig\-keit $M$ eines endlichdimensionalen
reellen Raums 
    \defnoind{integrierbar}\index{integrierbar!Differentialform} {\bf
      "uber $M$} genau dann, wenn sie me"sbar ist und wenn
f"ur das nach \ref{DDfm} zugeh"orige Ma"s $|\omega|$ 
    gilt $|\omega|(M)<\infty$.
\end{Definition}
\begin{Satz}[\textbf{Integration von Differentialformen}]
Sei $M $  eine $k$-di\-men\-sio\-nale orientierte
Untermannigfaltig\-keit   eines endlichdimensionalen\label{ItDF}
reellen Raums. So bilden die  "uber $M$ integrierbaren
     $k$-Formen einen Untervektorraum
    im Raum aller
    $k$-Formen auf $M$, und es gibt auf diesem Untervektorraum
genau eine Linearform $\omega\mapsto \int_{\vec{M}}\omega$
derart, da"s f"ur alle nichtnegativen $k$-Formen  $\omega$  gilt
$$\int_{\vec{M}}\omega=|\omega|(M)$$
\end{Satz}
\begin{Beispiel}[\textbf{Integration einer Flu"sdichte}] 
  Ist $X$ ein dreidimensionaler orientierter reeller affiner Raum und
$M\subset X$ eine orientierte zweidimensionale\label{Fluddd} 
 Untermannigfaltigkeit alias
 Fl"ache und $\omega$ die $2$-Form der Flu"sdichte 
eines bewegten Gases wie in \ref{FluD} und \ref{Fludd}, so 
beschreibt das Integral von $\omega$ "uber $M$
die Gesamtmasse an Gas, die im gegebenen Zeitintervall 
in einer durch die Orientierung bestimmten Richtung durch 
unsere Fl"ache $M$ hindurchtritt.
Gas, das in der Gegenrichtung durch unsere Fl"ache tritt, schl"agt dabei
negativ zu Buche. 
\end{Beispiel}
\begin{proof}
Da"s die integrierbaren
     $k$-Formen  einen Untervektorraum
bilden, scheint mir offensichtlich.
Um die Eindeutigkeit der fraglichen Linearform zu zeigen,
betrachten wir f"ur eine beliebige me"sbare $k$-Form $\omega$ auf $M$ 
die me"sbare Teilmenge
$$M^+\pdef
\left\{p\in M\left|
    \begin{array}{l}
\text{Es gilt }\omega_p(v_1,\ldots,v_k)>0\text{ f"ur eine}\\
\text{und jede orientierte angeordnete}\\
 \text{Basis $v_1,\ldots,v_k$ von ${\op{T}}_pM$}   \end{array}
\right\}\right.$$
Unsere me"sbare $k$-Form $\omega$ k"onnen wir nun
schreiben als die Differenz $\omega=\omega^+-\omega^-$ zweier 
nichtnegativer Formen, indem wir etwa $\omega^+$ erkl"aren durch
$\omega^+_p=\omega_p$ f"ur $p\in M^+$ und $\omega^+_p=0$ sonst.
Wir m"ussen also setzen 
$$\int_{\vec{M}}\omega=|\omega^+|(M)-|\omega^-|(M)$$
und es bleibt nur zu zeigen, da"s diese Vorschrift auch
tats"achlich eine Linearform liefert. Hierbei ist 
nur die Additivit"at problematisch. 
F"ur je zwei integrierbare nichtnegative Formen $\omega$ und $\eta$
 gilt jedoch offensichtlich 
$$\int_{\vec{M}}\omega +\eta =\int_{\vec{M}}\omega +\int_{\vec{M}}\eta $$
Im allgemeinen schreiben wir nun
$\omega=\omega^+-\omega^-$, $\;\eta  =\eta^+ -\eta^-$
und $\omega+\eta=\rho=\rho^+- \rho^-$ 
und folgern durch Einsetzen
$\omega^+ + \eta^+ +\rho^-=\omega^- + \eta^- +\rho^+$.
Wenden wir darauf die Additivit"at des Integrals f"ur nichtnegative Formen an,
so folgt sofort die Additivit"at des Integrals f"ur beliebige
integrierbare Formen.
\end{proof}
\subsection{Integration von Differentialformen: Praxis}
\begin{Proposition}[\textbf{Integration in lokalen Koordinaten}]
Sei     $M $ eine $k$-dimen\-sio\-nale orientierte
Untermannig\-fal\-tig\-keit in einem endlichdimensionalen
reellen Raum,
$\varphi : W \ra M$ eine Karte der Orientierung $\varepsilon$  und 
$\omega$ eine me"sbare $k$-Form auf $M$, die au"serhalb von
 $\varphi( W)$ verschwindet.\label{I2F}  
So ist $\omega$
integrierbar genau dann, wenn die reellwertige Funktion 
$(\varphi^{\ast} \omega)(\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k)$
integrierbar ist auf $W$, und in diesem Fall 
gilt
$$\int_{\vec{M}}\omega = \varepsilon\int_{W} 
(\varphi^{\ast} \omega)(\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k)\lambda^k$$
\end{Proposition}
\begin{proof}
F"ur nichtnegative Formen $\omega$ ist das 
im Wesentlichen unsere Definition \ref{ItDF}, f"ur beliebige 
Formen folgt es mithilfe unserer Zerlegung $\omega=\omega^+-\omega^-$
aus dem vorhergehenden Beweis von Satz \ref{ItDF}.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}
  Nach unseren Definitionen % in Satz \ref{ItDF} und \ref{DDfm}
"andern sich Integrierbarkeit und
Integral einer me"sbaren Differentialform nicht, wenn wir ihre Werte auf einer
Untermannigfaltigkeit echt kleinerer Dimension "andern. So k"onnen wir 
in der Praxis bei
\glqq vern"unftigen\grqq\  Karten   erreichen, da"s unsere Differentialformen 
au"serhalb des Bildes der Karte verschwindet und die Proposition greift.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}\label{I2FF}
Unter den Annahmen und  Notationen von \ref{I2F} und wenn wir
$W$ mit der von $\DR^k$ induzierten Orientierung versehen, gilt
f"ur unsere integrierbare  $k$-Form $\omega$ auch
$$\int_{\vec{M}}\omega = \varepsilon\int_{\vec{W}} 
\varphi^{\ast} \omega$$
In der Tat folgt das unmittelbar aus den Definitionen, wenn wir das
Differentialformenintegral 
auf der rechten Seite vermittels der Karte $\op{id}:W\sira W$
berechnen.
Ebenso folgt, da"s $\omega$ integrierbar ist genau dann, wenn 
$\varphi^{\ast} \omega$
integrierbar ist.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}[\textbf{Funktionenintegral als 
Differentialformenintegral}]
Eine $n$-Form $\eta$ auf\label{OTm}  
einer offenen Teilmenge $W\co \DR^n$ hat die Gestalt 
$\eta=f\diff x_1\wedge\ldots \wedge \diff x_n$ f"ur 
eine wohlbestimmte reellwertige Funktion $f:W\ra \DR$,
eben der Funktion $f$ 
gegeben durch $f(x)=\eta_x(\op{e}_1,\ldots,\op{e}_n)$.
Geben wir unserer
offenen Teilmenge die von der Standardorientierung
des $\DR^n$ induzierte Orientierung,
so ist unsere $n$-Form $\eta$ integrierbar "uber $W$ 
genau dann, wenn die 
Funktion $f$  integrierbar ist "uber $W$ 
in Bezug auf das Lebesgue-Ma"s $\lambda^n$, und in diesem Fall gilt
unter Verwendung  unserer ganzen verschiedenen Notationen
$$\int_{\vec{W}} \eta=\int_{\vec{W}}f\diff x_1\wedge\ldots \wedge \diff x_n
 =\int_W f(x)\diff^nx =\int_W f\lambda^n$$
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}[\textbf{Integral "uber eine Hemisph"are}] 
Wir berechnen das Integral der $2$-Form $x^2\diff x \wedge \diff y$ "uber
die\label{BI11} 
obere Hemisph"are $H =\{ (x,y,z) \mid x^2 +y^2 +z^2 = 1, 
\; z > 0\}$ mit der Orientierung, f"ur die die 
beiden ersten Vektoren $\op{e}_1, \op{e}_2$ der Standardbasis 
des $\Bbb{R}^3$ in dieser Reihenfolge eine orientierte 
Basis des Tangentialraums am Pol ${\op{T}}_{(0,0,1)}H$ bilden. 
Wir betrachten das offene Rechteck
 $R = (0,\pi) \times (0,\pi)\subset \DR^2$ und
die orientierte Karte  $\phi:R\rightarrow H$,
$(\vartheta,\varphi) \mapsto (\cos \vartheta,\cos \varphi \sin \vartheta, 
\sin \varphi \sin \vartheta)$, anschaulich gesprochen eine \glqq liegende Version\grqq\ 
unserer
Kugelkoordinaten aus \eref{KuKo}{AN2},
und erhalten
\begin{displaymath}
\begin{array}{ccl}
\int_{\vec{H}} x^2 \diff x \wedge \diff y &=&
\int_{\vec{R}}  \cos^2 \vartheta
\op{d}   ( \cos \vartheta) \wedge 
\op{d}  (\cos \varphi \sin \vartheta)\\[2mm]
&=& \int_{\vec{R}}  \cos^2 \vartheta ( -\sin  \vartheta  \diff  \vartheta ) \wedge (\cos \varphi \cos
\vartheta \diff  \vartheta - \sin \varphi \sin \vartheta \diff \varphi)\\[2mm]
&=& \int_{\vec{R}} \cos^2\vartheta \sin^2\vartheta \sin\varphi \diff  \vartheta\wedge  \diff \varphi \\[2mm]
&=& \int_{R} \cos^2\vartheta \sin^2\vartheta \sin\varphi \diff
\vartheta  \diff \varphi \\[2mm]
&=&\int_0^{\pi} \int_0^{\pi}\cos^2\vartheta \sin^2\vartheta \sin\varphi
  \diff \vartheta\diff \varphi\\[2mm]
&=&\frac{1}{4}\int_0^{\pi} \sin^2(2\vartheta)
  \diff \vartheta\int_0^{\pi} \sin\varphi
  \diff \varphi=\frac{1}{2}\int_0^{\pi}\frac{1}{2}- \frac{\cos 4\vartheta}{2}
  \diff \vartheta=\frac{\pi}{4}
\end{array}
\end{displaymath}
Um diese Rechnung zu rechtfertigen, m"ussen wir
sie  von hinten nach vorne lesen: Der "Ubergang zum Doppelintegral ist 
erlaubt, da der Integrand nichtnegativ ist und so der positive Fubini
greift, der dann hinwiederum erst recht eigentlich die Integrierbarkeit 
unserer Funktion auf dem Rechteck $R$ und damit die 
Integrierbarkeit unserer Differentialform auf der Hemisph"are $H$ zeigt.
Bei der Rechnung selber ist der erste Schritt "Ubung \ref{I2FF}
mitsamt dem Vertauschen vom Zur"uckholen mit Dachprodukt und
Differential  \eref{VFVD}{AN2},
der zweite die Formel \eref{DiFF}{AN2} f"ur das Differential
einer Funktion, der dritte beruht auf dem Alternieren und der 
Bilinearit"at des Dachprodukts, und der vierte auf Proposition
\ref{I2F}. Man h"atte  auch mit \ref{I2F} und
einer Nebenrechnung direkt  die vierte Gleichung erhalten k"onnen, 
aber das schien es mir weniger "ubersichtlich.
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungl}\label{ASID}
Um  die Integration von Differentialformen anschaulich zu machen,
 erkl"are ich ihre Interpretation durch Riemannsummen.
Sei dazu $(W,\varphi)$ eine orientierte
Karte einer der Einfachkeit der Notation halber zweidimensionalen
 orientierten
Untermannigfaltigkeit $\vec{M}$ eines reellen Raums $ X$, sei $Q = [a,b] \times [c,d] \subset
W$ ein Rechteck und sei $\omega: M \ra \op{Alt}^2(\vec{X})$
eine stetige relative  $2$-Form auf $M$
mit $(\op{supp}\omega) \cap M\subset \varphi(Q)$, wobei der Pfeil
"uber dem $X$ den zugeh"origen Richtungsraum meint, der 
Pfeil "uber dem $M$ dahingegen eine feste gew"ahlte 
Orientierung andeutet.
Wir betrachten f"ur $r \geq 1$ die "aquidistanten Unterteilungen
$
a = a_{0} <  a_{1} < \ldots  < a_{r} = b$, $
c = c_{0} <  c_{1} < \ldots   < c_{r} = d
$ der Kanten von $Q$ in jeweils $r$ Segmente,
bezeichnen mit $q_{i,j}=(a_{i},c_{j})$ die Gitterpunkte
im so gegebenen Raster auf $Q$, und mit $p_{i,j} =\varphi(q_{i,j})$
die Bilder dieser Gitterpunkte in
$M$. Dann definieren wir die $r$-te {\bf
Riemannsumme}\index{Riemannsumme!f"ur Integral einer Volumenform}
$S_{\vec{M}}^{r} (\omega)$
durch die Formel
\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildFi}\\[4mm]
\noindent 
Die gepunktelten Pfeile stellen die Vektoren $p_{3,0}-p_{2,0}$ und
$p_{2,1}-p_{2,0}$ dar, der  Wert von $\omega_{p_{2,0}}$
auf diesem Paar von Vektoren, genommen  in einer 
durch die Orientierung gegebenen
Reihenfolge, geht 
in die Riemannsumme $S_{\vec{M}}^3$ ein.
\end{figure}
$$S_{\vec{M}}^{r} (\omega) = \sum^{r-1}_{i,j =0} \omega_{p_{i,j}}(p_{i+1,j}
- p_{i,j}, p_{i,j+1} - p_{i,j})$$
Nat"urlich h"angt diese Summe von der Karte $(W,\varphi)$ ab, auch
wenn das in der Notation nicht zum Ausdruck kommt.
Wir k"onnen nun das Integral von $\omega$ "uber $M$ interpretieren als
den Grenzwert
$$\int_{\vec{M}} \omega = \lim_{r \ra \infty} S_{\vec{M}}^{r} (\omega)$$  
Den Beweis dieser Tatsache
entlang der Grundlinie des Beweises von
\eref{RSIn}{AN2}  "uberlassen wir dem Leser zur "Ubung.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Unter der Voraussetzung einer quadratischen Karte,
in Formeln $b-a=d-c$, 
betrachten wir nun die Spiegelung $\tau$ an der Hauptdiagonalen
und die neue Karte $\varphi\circ\tau$. Sie ist negativ orientiert 
und ihre Riemannsummen sind dieselben wie die Riemannsummen von
eben, wenn man nur in jedem Summanden 
den ersten und den zweiten Eintrag der
bilinearen Abbildung $\omega$  vertauscht und
das von der negativen Orientierung der Karte
herr"uhrende Vorzeichen ber"ucksichtigt. Ist also
$\omega$ alternierend, so liefert unsere neue Karte 
dieselben
Riemannsummen und 
dasselbe Integral. Das soll die in unserem Satz
enthaltene Aussage veranschaulichen, da"s das Integral einer 
alternierenden Form unabh"angig ist von den
zur Berechnung gew"ahlten Karten.
\end{Bemerkungl}





\begin{Bemerkungl}
Die Integrale von Differentialformen "uber 
orientierte Untermannigfaltigkeiten eines $\DR^n$ 
der Dimensionen $0$ oder $1$ bzw.\
 der Kodimensionen $0$ oder $1$ 
werden von den Anwendern oft in anderer Weise interpretiert.
Besonders wichtig sind in diesem Zusammenhang die F"alle mit $n\leq 3$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}[\textbf{Summation als Differentialformenintegral}]
Im Fall einer kompakten nulldimensionalen Mannigfaltigkeit
alias einer endlichen Menge\label{DisM} 
ist das Integral  einer Nullform alias Funktion
schlicht die Summe  der
Funktionswerte multipliziert mit den jeweils durch
die Orientierung gegebenen Vorzeichen, in Formeln
$$\int_{\vec{M}} f=\sum_{p\in M}\op{sgn}(p) f(p)$$
Im nichtkompakten Fall ist unsere   
Nullform alias Funktion integrierbar genau dann, wenn
die Summe ihrer Werte absolut konvergiert, und 
dann gilt die obige Formel entsprechend.
\end{Beispiel}

\begin{Beispiel}[\textbf{Wegintegral als Differentialformenintegral}]
Eine $1$-Form $\omega$\label{Kurv} 
auf dem $\DR^n$ hat die Gestalt 
$\omega=\omega_1\diff x_1+\ldots +\omega_n\diff x_n$.
Gegeben eine orientierte $1$-Mannigfaltigkeit $K$ 
verstehen wir ganz allgemein unter einer 
{\bf orientierten Parametrisierung von}\index{Parametrisierung!orientierte}
$K$ eine orientierte Karte
$\varphi:W\ra K$ mit dichtem Bild, bei der $W\co\DR$ ein offenes
Intervall ist.
Ist $M\subset       \DR^n$ eine
orientierte eindimensionale Unter\-man\-nig\-fal\-tig\-keit und 
$\varphi:[a,b]\ra\DR^n$ ein stetig differenzierbarer Weg, dessen
Einschr"ankung auf das offene Intervall $(a,b)$ 
eine orientierte Parametrisierung von $K$ ist, 
so f"allt  das Integral unserer 1-Form $\omega$ "uber unsere 
eindimensionale orientierte Mannigfaltigkeit $K$ zusammen mit
dem Integral der $1$-Form $\omega$ "uber den Weg $\varphi$ und
wird 
von Anwendern meist geschrieben als das Wegintegral
des Vektorfelds $v=(\omega_1,\ldots,\omega_n)^\top$ 
l"angs $\varphi$, in Formeln
$$\int_{\vec{K}} \omega=\int_\varphi \omega
=\int_a^b \langle v,\diff\varphi\rangle=\int_a^b  v\cdot\diff\varphi$$
\end{Beispiel}

\begin{Beispiel}\label{HyFl}
Der Fall der Integration von Differentialformen
"uber Hyperfl"achen ben"otigt von den
hier explizit behandelten F"allen den gr"o"sten begrifflichen Aufwand
und wird uns bis zum Ende dieses Abschnitts besch"aftigen.
\end{Beispiel}

\begin{Definition}\label{ONFf}
Ist  $M\subset \DR^{n+1}$ eine Hyperfl"ache, so gibt es zu jedem Punkt 
$p\in M$ genau zwei Vektoren der L"ange Eins in $\DR^{n+1}$, die auf dem
Tangentialraum ${\op{T}}_pM$ senkrecht stehen. 
Ist $M$ dar"uber hinaus orientiert, so hat genau ein Vektor $N_p$
von diesen beiden die Eigenschaft, da"s f"ur jede 
angeordnete Basis $v_1,\ldots,v_n$ von ${\op{T}}_pM$ der Orientierung 
$\varepsilon$  die Standardorientierung 
der angeordneten Basis $N_p,v_1,\ldots,v_n$ des $\DR^{n+1}$
auch $\varepsilon$ ist.
Wir erhalten so eine 
stetige Abbildung 
$$
\begin{array}{cccc}
N:&M&\ra&\DR^{n+1}\\
&p&\mapsto&N_p
\end{array}
$$ 
Man nennt sie das
\defnoind{orientierte Normalenfeld}.\index{Normalenfeld!orientiertes} 
\end{Definition}


\begin{Bemerkungl}\label{VFF}
Wir nummerieren nun die Koordinaten auf dem $\DR^{n+1}$ etwas un"ublich
$x_0,x_1,\ldots ,x_n$
und
ordnen jedem Vektor $F\in\DR^{n+1}$ eine
alternierende Multilinearform 
$\omega_F\in\op{Alt}^{n}(\DR^{n+1})$ zu durch die Vorschrift
$$\omega_F(v_1,\ldots,v_{n})=\op{det}(F|v_1|\ldots|v_{n})$$
wo rechts die Matrix mit den entsprechenden Spaltenvektoren zu verstehen ist.
In derselben Weise ordnen wir auch jedem Vektorfeld $F$ 
auf  $\DR^{n+1}$ eine $n$-Form $\omega_F$ zu und erkennen 
durch das Auswerten an Tupeln der Standardbasis, da"s 
sie geschrieben werden kann
in der Gestalt 
$$\omega_F = \sum^{n}_{i=0}
(-1)^{i} F_{i}\; \diff x_{0} \wedge \ldots \wedge \widehat{\diff x}_{i} \wedge
\ldots \wedge \diff x_{n}$$
Im $\DR^3$ entspricht speziell einem Vektorfeld $F=(F_x,F_y,F_z)$
die $2$-Form
$$\omega_F= F_x \diff y\wedge \diff z +F_y \diff z\wedge \diff x +F_z \diff x\wedge \diff y$$
wobei die unteren Indizes nicht als partielle Ableitungen mi"sverstanden
werden d"urfen, sondern vielmehr die Komponenten unseres Vektorfelds meinen,
die wir auch h"atten $F_1,F_2,F_3$ notieren k"onnen.
Mit diesen ganzen Begriffsbildungen k"onnen wir nun formulieren:  
\end{Bemerkungl}

\begin{Proposition}[\textbf{Flu"s als Differentialformenintegral}]
Seien $M\subset \DR^{n+1}$ eine orientierte Hyperfl"ache und $F$
ein me"sbares relatives Vektorfeld auf  $M$. So ist
die zu unserem Vektorfeld $F$ geh"orige $n$-Form $\omega=\omega_F$
integrierbar "uber $M$ genau dann, wenn das\label{FIF}  
Skalarprodukt von $F$ mit dem orientierten Normalenfeld integrierbar
ist "uber $M$, und in diesem Fall gilt
$$\int_{\vec{M}}\omega_F  =\int_M\langle F,N \rangle  \;\sigma
=\int_M  F\!\cdot\! N \;\sigma $$
\end{Proposition}
\begin{Bemerkungl}\label{VFDF}
Die Mitte und die rechte Seite unterscheiden sich hier nur in 
der Notation f"ur das Skalarprodukt.
Das Integral 
des Skalarprodukts unseres Vektorfelds $F$ mit dem
orientierten Normalenfeld $N$  hei"st der {\bf Flu"s des
Vektorfelds $F$ durch die orientierte 
Hyperfl"ache $M$}.\index{Flu"s!eines Vektorfelds} 
Dies Oberfl"achenintegral mag
der Anschauung besser zug"anglich sein
als unser Integral "uber eine Differentialform.
F"ur das explizite Rechnen ist jedoch
die Darstellung als Integral einer
Differentialform meist g"unstiger, wie etwa  Beispiel
\ref{BI11} illustriert. 
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis] 
Wir d"urfen ohne Beschr"ankung der
Allgemeinheit annehmen, da"s es eine positiv orientierte bijektive
Karte $\varphi:W\sira M$ gibt.
Der "Ubersichtlichkeit halber schreiben wir unser Vektorfeld $F$ in
der Form
$p\mapsto F_p$, wo der Index ungl"ucklicherweise eine
v"ollig andere Bedeutung hat als in \ref{VFF}.
Wir zerlegen nun unser Vektorfeld $F$ 
an jedem Punkt $p\in M$ in einen orthogonalen 
und einen tangentialen Anteil  als
$F_p = \langle F_p , N_p\rangle N_p + R_p$ mit
$R_p \in {\op{T}}_{p} M$ und 
finden f"ur alle $x\in W$  
$$
\begin{array}{ccl}
(\varphi^\ast\omega)_x(\op{e}_1,\ldots,\op{e}_n)&=&
\omega_{\varphi(x)}(\diff_x\varphi(\op{e}_1), 
\ldots,\diff_x\varphi(\op{e}_n))\\[2mm]
&=&\op{det}(F_{\varphi(x)}|\diff_x\varphi)\\[2mm]
&=&
\langle F_{\varphi(x)} , N_{\varphi(x)}\rangle
\op{det}(N_{\varphi(x)}|\diff_x\varphi)\\[2mm]
&=&
\langle F_{\varphi(x)} , N_{\varphi(x)}\rangle
\op{vol}(\diff_x\varphi)
\end{array}$$
wo in der zweiten Zeile  die quadratische Matrix gemeint ist, die aus 
der Jacobi-Matrix zu $\diff_x\varphi$ entsteht durch Anf"ugen von 
$F_{\varphi(x)}$ als erster Spalte.
Die Gleichheit der beiden Integrale 
folgt nun aus den Definitionen.
\end{proof}

\begin{Beispiel}[\textbf{Flu"s durch eine Hemisph"are}] 
  Anschaulich kann man unser Integral aus \ref{BI11}
also auch als den Flu"s durch die obere
  Hemisph"are des senkrechten Vektorfelds $x^2 \op{e}_3$ verstehen, wie wir in
  \ref{FIF} im allgemeinen zeigen werden.  In der Notation von dort h"atten
  wir etwa
  \begin{equation*}
    \int_{\vec{H}} x^2 \diff x \wedge \diff y 
    = \int_H (x^2 \op{e}_3 \cdot N) \sigma
  \end{equation*}
  Hier meint $\sigma$ das Oberfl"achenma"s der Einheitssph"are und $N$ das
  \glqq nach au"sen weisende Normalenfeld\grqq, das in unserem Fall auch das
  \glqq orientierte Normalenfeld\grqq\  nach \ref{ONFf} ist.  Zur Probe rechne ich hier
  die rechte Seite auch noch direkt aus. Auf der Einheitssph"are stimmen ja
  der Ortsvektor und der nach au"sen weisende Normalenvektor "uberein, so da"s
  der R"uckzug der Funktion $x^2 \op{e}_3 \cdot N$ bez"uglich unserer Karte
  $\phi:R\rightarrow H$ die Funktion $\cos^2 \vartheta \sin \varphi \sin
  \vartheta$ ist.  Um nach dem Oberfl"achenma"s zu integrieren, gilt es die
  Gram'sche Matrix zu berechnen. In unserem Fall haben wir
  \begin{displaymath}
    \begin{array}{ccc}
      \diff \phi &=& \begin{pmatrix}
        -\sin \varphi &0\\
        \cos\varphi \cos \vartheta & -\sin \varphi \sin \vartheta\\
        \sin  \varphi \cos \vartheta & \;\;\cos \varphi \sin \vartheta
      \end{pmatrix}
    \end{array}
  \end{displaymath}
  und die Matrix der Skalarprodukte der Spaltenvektoren ergibt sich zu
  \begin{displaymath}
    \begin{array}{ccc}
      (\diff \phi)^\top \diff \phi &=& \begin{pmatrix}
        1 & 0\\
        0 & \sin^2 \varphi
      \end{pmatrix}
    \end{array}
  \end{displaymath}
  und die Wurzel aus deren Determinante zu $\sin \vartheta$, so da"s wir bei
  demselben Doppelintegral "uber $\cos^2 \vartheta \sin^2 \vartheta \sin
  \varphi$ landen wie in \ref{BI11}.
\end{Beispiel}
\begin{Ubung}
  Berechnen Sie den Flu"s des Vektorfelds $F:(x,y,z)\mapsto (x,0,0)$
durch die Einheitssph"are, die Sie dazu mit einer Orientierung ihrer 
Wahl versehen m"ogen. 
\end{Ubung}













\subsection{"Au"sere Ableitung von Differentialformen}\label{AuAb}

\begin{Bemerkungl}
Gegeben  ein  Vektorraum $V$
 definieren wir f"ur alle $k\geq 0$ eine lineare Abbildung
$$\op{alt}:\op{Hom}(V,\op{Alt}^{k}V)\ra \op{Alt}^{k+1}V$$
durch die Vorschrift 
$$(\op{alt}f)(v_0,v_1,\ldots, v_{k})\pdef
\sum_{i=0}^k (-1)^if(v_i)(v_0,\ldots,\widehat{v_i},\ldots,
v_{k})$$
Hier soll die \glqq Tarnkappe\grqq\  "uber $v_i$ 
wie "ublich bedeuten, da"s dieser Eintrag 
beim entsprechenden Summanden auszulassen ist.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkunge}
  Leser mit den entsprechenden Kenntnissen in multilinearer Algebra k"onnen
  unsere Abbildung im endlichdimensionalen Fall, und nur auf den kommt es uns
  hier an, auch  
verstehen als die Komposition
  $$\op{Hom}(V,\op{Alt}^{k}V)\sira V^\ast\otimes\op{Alt}^{k}V
  \stackrel{\wedge}{\ra} \op{Alt}^{k+1}V$$ des
  Inversen zum Standardisomorphismus $V^\ast\otimes W\sira \op{Hom}(V,W)$ aus
  \eref{Ican}{LA2} mit dem Dachprodukt.
\end{Bemerkunge}
% \begin{Bemerkunge}
%   Leser mit den entsprechenden Kenntnissen in multilinearer Algebra k"onnen
%   unsere Abbildung im endlichdimensionalen Fall 
% unter den in \eref{ddp}{LA2} gegebenen Identifikationen
%   $\bigwedge^k(V^\ast)\sira \op{Alt}^{k}V$ verstehen als die Komposition
%   $\op{Hom}(V,\op{Alt}^{k}V)\sira V^\ast\otimes
%   \bigwedge^k(V^\ast)\stackrel{\wedge}{\ra} \bigwedge^{k+1}(V^\ast)$ des
%   Inversen zum Standardisomorphismus $V^\ast\otimes W\sira \op{Hom}(V,W)$ aus
%   \eref{Ican}{LA2} mit dem Dachprodukt.
% \end{Bemerkunge}


\begin{Definition}\label{SDiD}
Sei $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum und
$A\subset X$ halboffen. Eine Differentialform $\omega \in
\Omega^{k}(A)$ hei"st {\bf  differenzierbar} bzw. 
{\bf stetig differenzierbar} genau dann,
wenn sie 
als Abbildung
$\omega : A \ra \op{Alt}^{k}\vec{X}$ von der halboffenen Teilmenge $A$ des
endlichdimensionalen reellen Raums $X$ in den 
endlichdimensionalen reellen Vektorraum $\op{Alt}^{k}\vec{X}$
differenzierbar ist im Sinne von \eref{DeDi}{AN2} bzw.  stetig differenzierbar 
im Sinne von \eref{SDi}{AN2}, wenn also
ihr Differential auch stetig ist als Abbildung 
$A\ra \op{Hom}(\vec{X},\op{Alt}^{k}\vec{X})$ gegeben durch 
$x\mapsto \diff_x\omega$.
\end{Definition}

\begin{Definition}\label{daAb}
Sei $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum und
$A\subset X$ halboffen. 
Gegeben $\omega \in
\Omega^{k}(A)$ eine  differenzierbare $k$-Form 
erkl"aren wir eine $(k+1)$-Form
$d \omega \in \Omega^{k+1}(A)$ durch die Vorschrift
$$(d\omega)_x\pdef\op{alt}(\op{d}_{x}\!\omega)$$
wo $\op{d}_{x}\!\omega : V \ra \op{Alt}^{k}\vec{X} $ 
das Differential im Sinne von \eref{DeDi}{AN2} unserer Form
$\omega : A \ra \op{Alt}^{k}\vec{X}$
an einer Stelle $x \in A$  meint.
Wir nennen $d\omega$ die \defind{"au"sere Ableitung} {\bf von} $\omega$.
Den Unterschied zwischen $\op{d}\!\omega$ und ${d}\omega$
bringen wir nur
durch die Wahl der Schriftart zum Ausdruck.  
Eine Differentialform, deren "au"sere Ableitung verschwindet,
hei"st
{\bf geschlossen}.\index{geschlossen!Differentialform}
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl}
  Sei $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum und
$A\subset X$ halboffen. 
Gegeben $\omega \in
\Omega^{1}(A)$ ein differenzierbares Kovektorfeld 
ist $\omega$ geschlossen im hier erkl"arten Sinne genau dann,
wenn $\omega$ geschlossen ist im Sinne von \eref{gesch}{AN2},
wenn also das Wegintegral von $\omega$ "uber einen geschlossenen
in $A$  zusammenziehbaren Weg stets verschwindet. 
\end{Bemerkungl}





\begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauung f"ur die "au"sere Ableitung}]
Um uns die "au"sere Ableitung $d\omega$ zu veranschaulichen,
erinnern wir zun"achst an den Fall einer Nullform alias Funktion, die wir
dann\label{AAAb} 
statt $\omega$ lieber $f$ nennen. Deren 
"au"sere Ableitung $(df)_x$ ist schlicht das 
Differential $\op{d}_{x}\!f$
bei $x$ und kann dadurch beschrieben werden, da"s es jedem
Richtungsvektor $\vec{v}\in\vec{X}$ die Zahl 
$$(df)_x(\vec{v})=\lim_{t\ra 0}\frac{1}{t}(f(x+t\vec{v})-f(x))$$ zuordnet.
Im Fall einer Einsform alias eines Kovektorfelds $\omega$ 
kann seine "au"sere Ableitung $(d\omega)_{x}$ bei $x$ 
analog  dadurch beschrieben werden, da"s sie jedem geordneten Paar
von Richtungsvektoren $(\vec{v},\vec{w})\in\vec{X}^2$ die Zahl 
\begin{Bild} 
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bildgtvw}\\[4mm]
\noindent Der Weg $\gamma(p,t\vec{v},t\vec{w})$ aus
"Ubung \ref{AAAb}. Mit $t\ra 0$ wird er nat"urlich immer kleiner.
\end{Bild}
$$(d\omega)_{x}(\vec{v},\vec{w})
=\lim_{t\ra 0}\frac{1}{t^2}\int_{\gamma(x,t\vec{v},t\vec{w})} \omega$$ 
zuordnet mit der Notation $\gamma(x,t\vec{v},t\vec{w})$ f"ur den Weg,
der einmal das Parallelogramm mit einer  Ecke $x$ und Kantenvektoren 
$t\vec{v}$ und $t\vec{w}$ uml"auft, oder genauer, der st"uckweise linear
l"auft erst von $x$ nach $x+t\vec{v}$, dann weiter nach $x+t\vec{v}+t\vec{w}$,
von da nach $x+t\vec{w}$, und dann wieder zur"uck nach $x$. 
M"oglicherweise haben Sie das bereits als "Ubung \eref{IHTj}{AN2} gezeigt.
Im allgemeinen Fall einer $k$-Form $\omega$ schlie"slich haben wir 
$$(d\omega)_{x}(\vec{v}_0,\ldots,\vec{v}_k)
=\lim_{t\ra 0}\frac{1}{t^{k+1}}\int_{F(x,t\vec{v}_0,\ldots,t\vec{v}_k)} \omega$$ 
wobei wir uns $F$, zumindest f"ur  $\vec{v}_0,\ldots,\vec{v}_k$
linear unabh"angig,
 als die in geeigneter Weise orientierte Oberfl"ache eines Parallelpipeds
mit Ecke $x$ und Kantenvektoren $t\vec{v}_i$ denken d"urfen, 
"uber die wir dann unsere $k$-Form integrieren k"onnen, wenn wir etwas Mut
beweisen und beim Integrieren von den Kanten einmal absehen.
Es mag eine gute "Ubung sein, etwa f"ur die zweite Aussage auch einmal einen
Beweis auszuschreiben.
\end{Bemerkungl}
% \begin{Bemerkungl}
% Man mag sich $\op{d}_{x}\!\omega$ veranschaulichen als eine
% Abbildung, die $k+1$ Richtungsvektoren $v_1,v_2,\ldots,v_{k+1}$ bei $x$ 
% eine Zahl
% zuordnet wie folgt: Man setzt alle Vektoren au"ser $v_1$
% der Reihe nach  in 
% $\omega$ ein und bildet die Richtungsableitung der so entstehenden
% reellwertigen Funktion bei $x$ in Richtung von $v_1$. 
% Unser $(d\omega)_x$ ist der \glqq schiefsymmetrische Anteil\grqq\  dieser
% multilinearen Abbildung, in Formeln
% $$(d\omega)_x(v_1,v_2,\ldots,v_{k+1})
% =\frac{1}{(k+1)!}\sum_{\sigma\in\cal{S}_{k+1}}
% (\op{sgn} \sigma)\;(\op{d}_{x}\!\omega)
% (v_{\sigma(1)},v_{\sigma(2)},\ldots,v_{\sigma(k+1)})$$
% Mir selbst hilft jedoch diese Anschauung nicht wirklich weiter.
% In Spezialf"allen werden wir in \ref{WueG} und Folgende sehen, in
% welcher Weise unsere "au"sere Ableitung
% von Differentialformen die Begriffsbildungen
% Gradient, Divergenz und Rotation beinhaltet, die ja
% zum Gl"uck der Anschauung noch recht gut zug"anglich sind.
% \end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}\label{dDd}
Offensichtlich ist die Zuordnung $\omega\mapsto d\omega$ linear
und f"ur Nullformen alias Funktionen $f$ gilt
$df=\diff f$.
Ist $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum,
$A\subset X$ halboffen,
$\omega_\circ \in\op{Alt}^{k}\vec{X}$ eine konstante $k$-Form und
$f:A\ra \DR$   differenzierbar, so behaupten wir die Formel
$$d(f\omega_\circ)=\diff f\wedge \omega_\circ$$
Leser mit entsprechenden Kenntnissen in   multilinearer
Algebra erkennen das auf einen Blick, die anderen m"ussen dumpf rechnen,
k"onnen dann aber die Formel zumindest verifizieren.
Im Fall $X = \Bbb{R}^{n}$ wird f"ur eine Differentialform der Gestalt
$\omega = \sum a_{I} \diff x_{I}$ 
insbesondere ihre "au"sere Ableitung
$d \omega $ gegeben durch die Vorschrift
$$d \omega = \sum \diff a_{I} \wedge \diff x_{I}$$ Das folgt auch formal 
aus den allgemeineren Aussagen, die in den drei anschlie"senden Lemmata 
formuliert werden.  
\end{Beispiel}


\begin{Lemma}\label{LRR}
Sind $\omega$ und $\eta$  differenzierbare
Differentialformen auf einer halboffenen Teilmenge eines 
endlichdimensionalen reellen Raums,
so gilt f"ur ihr Produkt die 
\emph{\bf Leibniz-Regel}\index{Leibniz-Regel!f"ur Differentialformen}
$$d(\omega \wedge \eta)= (d\omega)\wedge \eta + (-1)^{|\omega|}
\omega \wedge d\eta$$
\end{Lemma}
\begin{Lemma}\label{dd}
Sei $\omega$ eine 
Differentialform auf einer halboffenen Teilmenge eines 
endlichdimensionalen reellen Raums. Ist $\omega$
stetig differenzierbar und  $d\omega$ auch
 stetig differenzierbar, 
so gilt $$d(d\omega)= 0$$
\end{Lemma}
\begin{Lemma}\label{zh}
$\cal{C}^2$-verwandte Differentialformen haben verwandte "au"sere Ableitungen.
Ist genauer und in Formeln $\phi:A\ra B$ eine $\cal{C}^2$-Abbildung
zwischen halboffenen Teilmengen
endlichdimensionaler reeller R"aume und 
$\omega$ eine differenzierbare
Differentialform auf  $B$, so gilt $$d(\phi^{\ast}\omega) 
= \phi^{\ast}(d\omega)$$
\end{Lemma}
\begin{Bemerkungl}
 Wie Sie noch sehen werden, erlauben diese Formeln ein 
au"serordentlich elegantes Rechnen mit Differentialformen.
Dieser Formalismus geht auf \'Elie Cartan's Arbeiten zu Beginn des 
zwanzigsten Jahrhunderts zur"uck. 
Die Vertr"aglichkeit des "au"seren Differentials mit
Verwandtschaft macht die Umrechnung zwischen verschiedenen
Koordinatensystemen so einfach, da"s es auch bei anderen Umrechnungen oft 
der bequemste Weg ist,  sie auf diesen Formalismus 
zur"uckzuf"uhren.  Als Beispiel bespreche ich
die Umrechnung des Laplace-Operators in krummlinige Koordinaten
in \ref{LAKo} folgende. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Unterschiede zum Kalk"ul mit beliebigen
    Multilinearformen}] 
  Man beachte den dramatischen Unterschied zu unseren Ableitungen
  \eref{stddn}{AN2} von nicht notwendig alternierenden Multilinearformen, die
  wir dort sogar im vektorwertigen Fall betrachtet hatten. Die Definition dort
  war fast dieselbe, bis auf das Detail, da"s wir dort beliebige
  Multilinearformen betrachtet hatten und folgerichtig nach dem Ableiten auch
  nicht den alternierenden Anteil genommen hatten. Dennoch sind alle drei
  vorhergehenden Lemmata in dieser analogen Situation falsch. Etwas vage
  gesprochen folgen unsere drei Lemmata aus den Zusammenspiel zwischen dem
  Kommutieren der partiellen Ableitungen und dem Antikommutieren aus der
  Definition der "au"seren Algebra.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}\label{zHH}
Man kann diese drei Lemmata durch explizite Rechnung in Koordinaten 
der Reihe nach beweisen. Mir schien jedoch ein anderes Vorgehen
"ubersichtlicher, bei dem im Anschlu"s an einen  Beweis des ersten Lemmas 
die beiden anderen in einer Art Kaminkletterei abwechselnd in
wachsender Allgemeinheit gezeigt werden. Die letzte Regel \ref{zh} 
k"onnen wir auch 
$\phi:\eta\leadsto \omega\;\RA\;\phi:d\eta\leadsto d\omega$ schreiben.
Der Leser sei ermutigt, sich das im Lichte unserer
Anschauung \ref{AAAb}  bildlich klarzumachen.
Die Regel $dd\omega=0$ ist zumindest f"ur Nullformen 
im Lichte unserer
Anschauung \ref{AAAb} leicht einzusehen,
da das Integral des Differentials einer Funktion 
"uber jeden geschlossenen Integrationsweg verschwindet.
F"ur Kovektorfelder sollte die Identit"at $dd\omega=0$ 
zumindest aus dem Stokes'schen Satz mit Ecken \ref{ASIE}
heraus klar werden: Er besagt, da"s das Integral von $d\omega$ 
"uber eine Fl"ache unseres Parallelpipeds auch als 
Integral von $\omega$ "uber dessen Rand geschrieben werden kann,
und die Summe aller Randintegrale "uber die sechs Fl"achen 
unseres Parallelpipeds ist offensichtlich wieder Null.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bild} 
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bilddphio}\\[4mm]
\noindent 
Versuch einer anschaulichen Interpretation der Vertr"aglichkeit
zwischen der "au"seren Ableitung und dem
Zur"uckholen von Kovektorfeldern. Gegeben ist ein
Kovektorfeld $\omega$ rechts und ein Punkt $p$ mit
zwei Richtungsvektoren $\vec{v},\vec{w}$ links. 
Das Wegintegral von $\phi^\ast\omega$ "uber den kleinen
Parallelogrammweg links approximiert $(d(\phi^\ast\omega))_p(\vec{v},\vec{w})$.
Es stimmt nach \eref{TfW}{AN2}  "uberein  mit dem Wegintegral
des Kovektorfelds  $\omega$   "uber seinen Bildweg rechts,
eingezeichnet als
durchgezogener Rundweg aus vier krummen St"ucken.
Dahingegen approximiert das Wegintegral "uber den kleinen
gestrichelten Parallelogrammweg rechts 
$(d\omega)_{\phi (p)}(\diff_p\phi(\vec{v}),\diff_p\phi(\vec{w}))$.
Die Anschauung soll uns nun sagen, da"s im Grenzwert
$t\ra 0$ wie in \ref{AAAb} die 
entsprechenden beiden Wegintegrale rechts nach Teilen 
durch $t^2$ gegen denselben Wert streben. In der Tat werden ja nicht nur die 
beiden Rundwegsintegrale klein von zweiter Ordnung, sondern die beiden
Wege werden sich bei $t\ra 0$ auch sehr "ahnlich, und das sorgt daf"ur,
da"s die Differenz ihrer Rundwegsintegrale  f"ur $t\ra 0$ sogar von dritter 
Ordnung verschwindet.
\end{Bild}
\begin{proof}[Beweis von \ref{LRR}]
Wir k"onnen $\omega$ und $\eta$ schreiben als Summen von Formen
der Gestalt $a\omega_{\circ}$, $b\eta_{\circ}$ mit 
$\omega_{\circ}$, $\eta_{\circ}$
konstant und $a,b$ differenzierbaren Funktionen.
Es reicht also, die Behauptung f"ur $\omega = a\omega_{\circ}$, $\eta
= b \eta_{\circ}$ zu pr"ufen.
Im Fall von Funktionen liefert die Produktregel, wie bereits in 
\eref{DiFF}{AN2} erw"ahnt, unmittelbar 
$d(ab)=(d a) b + a (db)$.
Dann gilt nach \ref{dDd} aber $d\omega = d a \wedge \omega_{\circ}$, $d\eta = d
b \wedge \eta_{\circ}$ und 
damit
$d (\omega \wedge \eta)= ((d a) b + a (db))
\omega_{\circ} \wedge \eta_{\circ}$. Da zus"atzlich
gilt $db\wedge \omega_{\circ} =
(-1)^{|\omega|} \omega_{\circ} \wedge db$, folgt die Leibniz-Regel.
\end{proof}
\begin{proof}[Beweis von \ref{dd} im Fall $X=\DR^n$]
F"ur  eine Nullform alias eine Funktion $\omega=a$ auf einer offenen
Teilmenge eines $\Bbb{R}^{n}$ k"onnen wir ganz explizit rechnen
$$\begin{array}{rcl}
d a &=& \sum^{n}_{i=1} \frac{\partial a}{\partial x_{i}}
dx_{i}\\[2mm]
dda &
=& \sum^{n}_{i,j =1} \frac{\partial^{2}a}{\partial
x_{j}\partial x_{i}}dx_{j}\wedge dx_{i}\\[2mm]
&=& \sum_{i < j} \left( \frac{\partial^{2}a}{\partial
x_{j}\partial x_{i}} - \frac{\partial^{2}a}{\partial
x_{i}\partial x_{j}}\right) dx_{j} \wedge dx_{i} \\[2mm]
 & =& 0
\end{array}$$
wo wir die Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen \eref{VPAb}{AN2} verwendet
haben, die hinwiederum aus der Annahme der
Stetigkeit der zweiten Ableitungen folgt.
F"ur eine $k$-Form $\omega$ auf einer offenen Teilmenge des
$\Bbb{R}^{n}$, sagen wir $\omega = \sum_{|I| = k} a_{I}dx_{I}$,
erhalten wir damit sofort $d(d\omega)= \sum d(da_{I}) \wedge dx_{I}
= 0$. F"ur eine $k$-Form $\omega$ auf einer \emph{halb}offenen Teilmenge
des $\Bbb{R}^{n}$ folgt unsere Behauptung dann aus
der Stetigkeit von $d(d\omega)$.
\end{proof}
\begin{proof}[Beweis von \ref{zh} f"ur $\phi$ affin]
Gilt unsere Formel f"ur $\omega$ und $\eta$, so nach der
Produktregel auch f"ur $\omega \wedge \eta$. Es reicht also,
unsere Formel f"ur Funktionen alias
Nullformen und f"ur konstante $1$-Formen zu zeigen.
Der Fall von Funktionen ist  \eref{VFVD}{AN2}.
F"ur eine konstante $1$-Form
$\omega_\circ$ und  $\phi$  affin
 ist nat"urlich
$\phi^{\ast}\omega_\circ$ auch eine konstante $1$-Form, mithin gilt
wie gew"unscht
$ d(\phi^{\ast} \omega_\circ) = 0 = \phi^{\ast} (d\omega_\circ)$.
\end{proof}
\begin{proof}[Beweis von \ref{dd} im Allgemeinen]
Ist $\phi:\Bbb{R}^{n}\sira X$ 
ein Isomorphismus von affinen R"aumen, 
so folgt $\phi^{\ast} (dd\omega) = dd (\phi^\ast{\omega}) = 0$
und mithin $dd \omega =0$. 
\end{proof}
\begin{proof}[Beweis von \ref{zh} im Allgemeinen]
Gilt unsere Formel f"ur $\omega$ und $\eta$, so nach der
Produktregel auch f"ur $\omega \wedge \eta$. Es reicht also,
unsere Formel f"ur Funktionen alias
Nullformen und f"ur konstante $1$-Formen zu zeigen.
Der Fall von Funktionen ist  \eref{VFVD}{AN2}.
F"ur eine konstante $1$-Form
$\omega_\circ$ und  $\phi$ beliebig haben wir hinwiederum 
$\omega_{\circ}=d a$ f"ur eine geeignete Funktion $a$, 
genauer f"ur jede affine Abbildung $a$ von unserem affinen Raum 
nach $\DR$ mit linearem Anteil
$\vec{a}=\omega_\circ$, und
damit ergibt sich
$d\phi^{\ast}\omega_{\circ} = d\phi^{\ast} da = dd \phi^{\ast}a 
=0=\phi^{\ast} 0=\phi^{\ast} d\omega_{\circ}$, 
wo wir im mittleren Schritt verwenden,
da"s uns die Regel $\phi^{\ast} da = d \phi^{\ast}a$ 
f"ur Funktionen $a$ ja bereits aus \eref{VFVD}{AN2} zur Verf"ugung steht.
\end{proof}
\begin{Ubung}
  Pr"ufen Sie f"ur die Differentialform 
$x^2dx\wedge dy-4\op{e}^ydx\wedge dz$, da"s erst die "au"sere Ableitung bilden
und dann auf Kugelkoordinaten "ubergehen dasselbe Resultat liefert wie
erst auf Kugelkoordinaten "ubergehen und dann die "au"sere Ableitung bilden.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
  Zeigen Sie, da"s f"ur eine stetig differenzierbare
$k$-Form $\omega$ auf dem $\DR^3$ mit $k\geq 1$  
die Bedingung $d\omega=0$ gleichbedeutend ist zur Bedingung,
da"s es eine stetig differenzierbare
$(k-1)$-Form $\eta$ auf dem $\DR^3$ gibt mit
$\omega=d\eta$.
\end{Ubung}
\begin{Ubunge}
Bezeichnen wir die Koordinaten des $\DR^4$ mit
$x,y,z,t$ und betrachten auf dem $\DR^4$ eine allgemeine glatte $2$-Form
\begin{eqnarray*}
F &=& E^1 dx \wedge dt + E^2 dy \wedge dt + E^3 dz \wedge dt\\
& &+ B^1  dy \wedge dz + B^2  dz \wedge dx + B^3  dx \wedge dy
\end{eqnarray*}
So ist die Gleichung $dF=0$ "aquivalent zu den beiden Gleichungen 
$$\op{div} B =0\qquad\text{und}\qquad
\op{rot} E = 
-\frac{\partial B}{\partial t}$$
f"ur $\op{rot}$ der Rotation wie in \eref{sr}{AN2} und
$\op{div} B$ der \glqq Divergenz\grqq\  alias der
 Summe der partiellen Ableitungen nach $x,y$ und $z$
wie in \ref{SvG}.
Leser mit physikalischer Vorbildung erkennen f"ur $H=cB$ die beiden ersten 
Maxwell'schen Gleichungen im Vakuum. Der Formalismus der Verwandtschaft von
Differentialformen sagt uns dann,
in welcher Weise solch ein elektromagnetisches Feld $F$ in anderen
Koordinaten geschrieben werden mu"s, und da"s zumindest die beiden ersten 
Maxwell'schen Gleichungen nicht von der Wahl der Koordinaten abh"angen.
Wie man sogar alle vier
  Maxwell'schen Gleichungen im Vakuum "ahnlich elegant formulieren kann,
wird in \eref{MaGe}{WB} erkl"art. 
\end{Ubunge}

\subsection{Berandete Untermannigfaltigkeiten}\label{rEMF}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Motivation}]
Wir werden im folgenden Gebilde betrachten wollen wie etwa 
die Halbkugelschale mit "Aquator
$$\{(x,y,z)\in\DR^3\mid x^2+y^2+z^2=1,\; z\geq 0\}$$ 
Das ist im Sinne unserer
Definition \eref{MFoR}{AN2} 
keine Untermannigfaltigkeit des $\DR^3$, da wir um Punkte 
 auf dem "Aquator 
keine Pl"attung im dort erkl"arten Sinne    finden k"onnen. 
Derartige Gebilde sind  aber gerade besonders  wichtig f"ur 
die Formulierung  h"oherdimensionaler
Verallgemeinerungen des Hauptsatzes der Differential- und
Integralrechnung, 
weshalb  wir sie nun auch in unseren allgemeinen 
begrifflichen Rahmen aufnehmen und dazu
den  Begriff einer \glqq berandeten
Untermannigfaltigkeit\grqq\  einf"uhren. Im selben Schritt diskutieren wir 
auch die in diesem Zusammenhang 
ben"otigten st"arkeren Differenzierbarkeitsvoraussetzungen
an Mannigfaltigkeiten.
\end{Bemerkungl}











\begin{Definition}\label{MFR}
Sei $X$ ein  reeller Raum endlicher
Dimension und seien 
$k\geq 1$ und $1\leq l\leq \infty$ gegeben.
Eine Teilmenge $M \subset X$ hei"st eine
{\bf $k$-dimensionale  berandete
${\cal{C}}^l$-Unterman\-nig\-faltigkeit}\index{Mannigfaltigkeit!berandete Untermannigfaltigkeit von affinem Raum} 
oder kurz
{\bf  berandete
Untermannigfaltigkeit}  von $X$
genau dann, wenn es
f"ur jeden Punkt $p\in M$ ein
Paar $(U,g)$ gibt  aus einer offenen Umgebung $U\co X$
von $p$  und einem ${\cal{C}}^l$-Diffeomorphismus $g: U\sira g(U)$ von $U$ auf
eine offene Teilmenge $g(U) \co \Bbb{R}^{n}$  derart, da"s 
gilt:
\begin{Bild} 
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildCRT}\\[4mm]
\noindent 
Eine zweidimensionale berandete Untermannigfaltigkeit der
Papierebene mit Pl"attungen um zwei ausgew"ahlte Punkte.
\end{Bild}
$$
g(U\cap M)=g(U) \cap (\DR_{\leq 0}\times\Bbb{R}^{k-1}\times 0)
$$
Ein derartiges Paar $(U,g)$ nenne ich  eine 
{\bf Pl"attung als berandete ${\cal{C}}^l$-Unterman\-nigfaltigkeit}
oder kurz \defind{Randpl"attung} von
$M$ um $p$. Im Fall $k=0$ vereinbaren wir, da"s eine
berandete
Untermannigfaltigkeit der Dimension Null dasselbe sein soll
wie % eine Untermannigfaltigkeit der Dimension Null,
% als da hei"st
eine diskrete Teilmenge. Statt ${\cal{C}}^\infty$ sagt man auch oft
\defind{glatt}. Sprechen wir ohne n"ahere Spezifizierung von
berandeten Untermannigfaltigkeiten, so sind im Zweifelsfall stets
glatte berandete Untermannigfaltigkeiten gemeint.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
Eine Randpl"attung  darf nat"urlich auch in 
$\DR_{< 0}\times\Bbb{R}^{n-1}$ landen und ist dann 
sogar  eine   Pl"attung als Untermannigfaltigkeit im Sinne unserer Definition 
\eref{MFoR}{AN2}.
Jede $\cal{C}^1$-Untermannigfaltigkeit 
im Sinne unserer Definition 
\eref{MFoR}{AN2} ist insbesondere auch eine berandete 
$\cal{C}^1$-Untermannigfaltigkeit im Sinne von 
\ref{MFR}: Haben wir in der Tat im Fall $k\geq 1$ eine Pl"attung $(U,g)$ 
als $\cal{C}^1$-Untermannigfaltigkeit  um einen Punkt $p$, 
so finden wir durch Verschieben auch eine 
Pl"attung als Untermannigfaltigkeit  $(U,h)$, 
unter der $p$ auf einen Punkt mit negativer erster
Koordinate abgebildet wird, und verkleinern
wir dann $U$ zu $V=h^{-1}(\DR_{<0}\times \DR^{n-1})$, so ist
$(V,h)$ 
eine Randpl"attung um $p$.
 Ich finde die Terminologie insofern unbefriedigend, als
der Zusatz \glqq berandet\grqq\  den Begriff einer Untermannigfaltigkeit
erweitert, anstatt ihn  einzuschr"anken. %  sondern ihn vielmehr 
% unsere berandeten $\cal{C}^1$-Untermannigfaltigkeiten 
% im Sinne der vorhergehenden Definition 
% keineswegs 
% spezielle $\cal{C}^1$-Untermannigfaltigkeiten im Sinne 
% unserer Definition
%  \ref{MFoR} sind, sondern gerade
% umgekehrt unsere $\cal{C}^1$-Untermannigfaltigkeiten im Sinne von
%  \ref{MFoR} spezielle berandete $\cal{C}^1$-Untermannigfaltigkeiten 
% im Sinne der vorhergehenden Definition.
Wir werden in \ref{RaPu}
den \glqq Rand\grqq\  von berandeten Untermannigfaltigkeiten definieren und
aus \ref{RanM} wird folgen, da"s berandete $\cal{C}^1$-Untermannigfaltigkeiten
mit leerem Rand in der Tat dasselbe sind wie 
unsere  $\cal{C}^1$-Untermannigfaltigkeiten im Sinne von
 \eref{MFoR}{AN2}. Wenn wir besonders betonen wollen, da"s wir 
Untermannigfaltigkeiten im Sinne von
 \eref{MFoR}{AN2} meinen, sprechen wir  folgerichtig  von 
{\bf Untermannigfaltigkeiten
ohne Rand}.
\end{Bemerkungl}










  \begin{Bemerkungl}
    Statt wie wir mit $(\DR_{\leq 0}\times\Bbb{R}^{k-1}\times 0)$ 
arbeiten viele Autoren
    mit $(\Bbb{R}^{k-1}\times\DR_{\geq 0}\times 0)$. 
Das liefert  eine
    "aquivalente Definition, die sich jedoch im weiteren Verlauf deshalb als
    weniger geeignet erweist, da sie zu mehr Vorzeichen f"uhrt.
\end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkungl}
Eine  berandete $\mathcal C^l$-Untermannigfaltigkeit
 der 
Kodimension Null in einem endlichdimensionalen\label{Randt}
reellen Raum
hei"st auch  eine {\bf $\mathcal C^l$-berandete Teilmenge}.
Unser Bild von eben stellt zum Beispiel eine 
glatt berandete Teilmenge der Papierebene dar.
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiele}
Alle echten Intervalle in $\DR$ sind
glatt berandete Teilmengen. 
Die abgeschlossene Vollkugel 
$\{(x,y,z)\mid x^2+y^2+z^2\leq 1\}$ ist eine glatt berandete
Teilmenge des $\DR^3$.
\end{Beispiele}

\begin{Definition}\label{RaPu}
Sei $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum.
Ein Punkt einer berandeten
Untermannigfaltigkeit $M\subset X$ positiver Dimension $k\geq 1$, 
der unter mindestens einer Randpl"attung 
nach $0\times\Bbb{R}^{k-1}\times 0$ abgebildet wird, hei"st ein
{\bf Randpunkt} 
unserer berandeten Untermannigfaltigkeit.  
Man beachte, da"s die linke Null hier die $0\in\DR_{\leq 0}\subset\DR$ ist,
die rechte Null jedoch der Ursprung $0\in \DR^{n-k}$. 
Die Menge aller Randpunkte von
$M$ notieren wir $\partial M$\index{d@$\partial M$ Rand!der berandeten
  Untermannigfaltigkeit $M$} und nennen sie den
{\bf Rand von $M$}.\index{Rand!einer berandeten Untermannigfaltigkeit}
 F"ur Untermannigfaltigkeiten $M$ der Dimension 
$k=0$ vereinbaren wir $\partial M=\emptyset$.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Notation}]
Das Symbol $\partial$ ist ein griechisches\label{BeDe} 
$d$. Die Notation $\partial M$ f"ur den Rand ist wohl 
darauf zur"uckzuf"uhren, da"s sich
das Bilden des Randes nach dem Satz von 
Stokes \ref{ASI} als eine in gewisser Weise \glqq duale 
Operation\grqq\  zum Differenzieren auffassen l"a"st und in jedem Falle
dazu eng verwandt ist. Der eben erkl"arte Begriff von Rand 
f"allt im Fall von glatt berandeten Teilmengen mit dem
in der Topologie verwendeten Begriff von Rand \eref{RaTo}{TS}  
zusammen, ist im allgemeinen
aber davon verschieden.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Das folgende Lemma \ref{RanM} 
zeigt, da"s ein Randpunkt unter jeder Randpl"attung 
nach $0\times\Bbb{R}^{k-1}\times 0$ abgebildet wird, da"s es also
um einen Randpunkt keine Pl"attung im
Sinne von \eref{MFoR}{AN2} geben kann. 
Insbesondere sind unsere $\mathcal C^1$-Untermannigfaltigkeiten  im
Sinne von \eref{MFoR}{AN2} genau unsere berandeten 
$\mathcal C^1$-Unter\-mannigfaltigkeiten 
im Sinne von \ref{MFR} 
mit
leerem Rand im Sinne der vorhergehenden Definition \ref{RaPu}.
\end{Bemerkungl}
\begin{Lemma}[\textbf{Randmannigfaltigkeit}]
Ist $M$ eine berandete Untermannigfaltigkeit\label{RanM}  
positiver Dimension $k\geq 1$ in einem endlichdimensionalen reellen
Raum und $(U,g)$ eine Randpl"attung von $M$,
 so gilt $g(U\cap \partial M)
=g(U)\cap (0\times\Bbb{R}^{k-1}\times 0)$.
Insbesondere ist der Rand $\partial M$ einer berandeten Untermannigfaltigkeit  
der Dimension $k\geq 1$
stets eine Untermannigfaltigkeit ohne Rand
der Dimension $(k-1)$. 
\end{Lemma}
\begin{proof}
Gegeben ein Randpunkt $p\in U\cap\partial M$ gibt es per definitionem eine  
Randpl"attung $(V,h)$ von $M$ 
um $p$ mit $h(p)\in   0\times\Bbb{R}^{k-1}\times 0$.
Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir 
$U=V$ annehmen.
Dann ist also $h\circ g^{-1}$ ein Diffeomorphismus zwischen offenen
Teilmengen $g(U),h(U)$ des $\DR^n$, der die jeweiligen Schnitte $G,H$
besagter Teilmengen mit $(\DR_{\leq 0}\times\Bbb{R}^{k-1}\times  0 )$
miteinander identifiziert. Mithin definiert
$\varphi=h^{-1}\circ g$ eine stetig differenzierbare Abbildung
mit stetig differenzierbarer Umkehrung zwischen
diesen Schnitten $\varphi:H\sira G, $
die ja halboffen sind in   $\Bbb{R}^{k}\times  0 $.
Die Komplemente $H^\circ, G^\circ$  von 
$(0\times\Bbb{R}^{k-1}\times  0 )$ in $H,G$ sind dann
die gr"o"sten in $\Bbb{R}^{k}\times  0 $ offenen Teilmengen von $H,G$
und 
aus dem Satz "uber die Umkehrabbildung 
\eref{UKA}{AN2} folgt $\varphi(H^\circ)=G^\circ$.
Also 
mu"s unsere Abbildung
auch die Schnitte beider Mengen mit $ (0 \times\Bbb{R}^{k-1}\times 0)$
identifizieren.
\end{proof}
\begin{Beispiele}
Der einzige Randpunkt der glatt berandeten Teilmenge
$[a,b)\subset\DR$ ist $a$.
Die abgeschlossene Einheitskreisscheibe in der Ebene ist auch als
Teilmenge des Raums aufgefa"st eine zweidimensionale 
berandete Untermannigfaltigkeit 
mit dem Einheitskreis als Rand.
\end{Beispiele}


\begin{Bemerkungl}\label{GlMgf}
Eine Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Raums
ist in der Zusammenschau der vorhergehenden Definitionen 
also eine {\bf{$\cal{C}^l$}-Untermannig\-fal\-tig\-keit ohne Rand}
oder kurz {\bf{$\cal{C}^l$}-Untermannig\-fal\-tig\-keit}
\index{Untermannigfaltigkeit! der Klasse $\cal{C}^{l}$, von affinem Raum} 
f"ur $1\leq l\leq\infty$ genau 
dann, wenn es um jeden Punkt unserer Teilmenge eine Pl"attung
im Sinne von \eref{MFoR}{AN2} gibt, die sogar ein 
$\cal{C}^l$-Diffeomorphismus ist. 
Eine {\bf{$\cal{C}^\infty$}-Untermannigfaltig\-keit}
nennen wir auch eine {\bf glatte Untermannigfaltigkeit}.
\index{Untermannigfaltigkeit! glatte, 
von affinem Raum}\index{glatt!Untermannigfaltigkeit!von affinem Raum}
Die Beschreibungen \eref{MN}{AN2} und \eref{KKR}{AN2} von 
Untermannigfaltigkeiten als Urbilder bzw.\, als Bilder gelten
analog, wenn man  an den entsprechenden Stellen 
die Bedingung \glqq stetig differenzierbar\grqq\  zur Bedingung  
\glqq von der Klasse $\cal{C}^l$\grqq\ 
verst"arkt. Sprechen wir ohne n"ahere Spezifizierung von
Untermannigfaltigkeiten, so sind im Zweifelsfall stets
glatte  Untermannigfaltigkeiten ohne Rand gemeint.
\end{Bemerkungl}




\begin{Proposition}[\textbf{Berandete 
Untermannigfaltigkeiten als Bilder}]
Seien $X$ ein 
endlichdimensionaler\label{KKRr} reeller Raum der
Dimension $\dim_{\Bbb{R}} X =n$ und $k\geq 1$.
Eine
Teilmenge $M \subset X$ ist  eine $k$-dimensionale berandete
$\cal C^l$-Untermannigfal\-tig\-keit genau dann, wenn es f"ur jeden Punkt
$p\in M$ eine $\cal C^l$-Abbildung $\varphi : W \ra X$ von einer
offenen Teilmenge   $W \co (\DR_{\leq 0}\times
\Bbb{R}^{k-1})$ nach $X$ gibt derart, da"s
gilt:
\begin{enumerate}
\item
$\varphi (W)$ ist  offen in $M$ und  enth"alt $p$;
\item
$\diff _{x} \varphi$ ist injektiv f"ur alle $x\in W$;
\item
$\varphi$ ist injektiv und
$\varphi^{-1}:\varphi (W) \ra W$ ist stetig.
\end{enumerate}
\end{Proposition}
\begin{Bemerkungl}
Ein Paar $(W,\varphi)$ wie in der Proposition
nenne ich eine  {\bf Randkarte}\index{Randkarte} 
der berandeten Untermannigfaltigkeit
$M$, obwohl $\varphi (W)$ den Rand von $M$ keineswegs treffen mu"s.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
Mutatis mutandis derselbe Beweis wie im 
randlosen Fall,  den wir in \eref{KKR}{AN2} behandelt haben.
"Ubung \eref{FC1}{AN2} mag auch helfen.
\end{proof}

\begin{Definition}
Sind $( W_{\al},\varphi_{\al})$ und $(W_{\beta},\varphi_{\beta})$
 Randkarten einer berandeten
Untermannigfaltigkeit $M$, so
setzen wir $W_{\al\beta} = \varphi^{-1}_{\al}(
\varphi_{\beta} (W_{\beta}))$ und nennen die Abbildung
$$\varphi_{\beta\al} = \varphi^{-1}_{\beta} \circ \varphi_{\al} :
W_{\al\beta} \ra W_{\beta\al}$$
den {\bf Kartenwechsel}\index{Kartenwechsel} zwischen unseren
beiden Randkarten.
\end{Definition}
\begin{Lemma}
Kartenwechsel zwischen Randkarten
sind stets \hyperref[DefDif]{Diffeo\-mor\-phis\-men}.
Ist dar"uberhinaus $(W,\varphi)$ Randkarte\label{KaWer} einer berandeten
Un\-ter\-man\-nig\-fal\-tig\-keit $M$ positiver Dimension $k\geq 1$,
so gilt stets $\varphi^{-1}(\partial M)=
W \cap (0\times \Bbb{R}^{k-1} ) $.
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
Mutatis mutandis derselbe wie der Beweis von \eref{KaWe}{AN2}.
\end{proof}

\begin{Bemerkungl}
Genau wie in \ref{OFLM} erkl"art man auch das Fl"achenma"s
einer berandeten Untermannigfaltigkeit  eines $\DR^n$
und zeigt, da"s es ein 
Borelma"s ist, f"ur das  Untermannigfaltigkeiten kleinerer Dimension
Nullmengen sind. Das kann insofern  n"utzlich sein, als
man so Endlichkeitsaussagen erh"alt: Ist zum Beispiel $M$ eine kompakte
berandete Mannigfaltigkeit, so hat $M$ und damit dann auch  
$M\backslash \partial M$ 
endliches Fl"achenma"s.
Genau wie in \ref{DDfm} erkl"art man weiter  f"ur eine
me"sbare relative $k$-Form $\omega$ auf einer 
berandeten Untermannigfaltigkeit  eines endlichdimensionalen 
reellen Vektorraums das zugeh"orige Ma"s $|\omega|$,
zeigt, da"s  Untermannigfaltigkeiten kleinerer Dimension
Nullmengen sind, und da"s  f"ur stetiges $\omega$ das zugeh"orige Ma"s 
$|\omega|$ ein
Borelma"s ist. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Vollst"andig analog wie 
im randlosen Fall erkl"art man, was eine {\bf Orientierung} 
einer berandeten Mannigfaltigkeit sein soll und wie 
$k$-Formen "uber berandete orientierte  Mannigfaltigkeiten
zu integrieren sind. Das ist aber fast "uberfl"ussig, da 
beim Integrieren der Rand eh nichts zum Integral beitr"agt
und h"ochstens beim Nachweis der Integrierbarkeit helfen kann.
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiel}\label{I1Ma}
  Sei $\varphi:[a,b]\ra\DR^n$ eine $\cal C^l$-Injektion mit
  nirgends verschwindendem Differential, die einen 
Hom"oomorphismus auf ihr Bild
  induziert. Aus \ref{KKRr} folgt leicht, da"s dann das Bild von $\varphi$ eine
eindimensionale  berandete $\cal C^l$-Mannigfaltigkeit $M$ ist, und 
diese $1$-Mannigfaltigkeit besitzt
  genau eine Orientierung, f"ur die $\varphi|_{(a,b)}$ 
eine orientierte Karte
  ist. Unsere Begriffe sind nun gerade so erkl"art, da"s in diesem Fall 
f"ur jede stetige relative $1$-Form $\omega$ auf $M$ 
ihr Integral "uber $M$ "ubereinstimmt mit ihrem Wegintegral "uber 
$\varphi$, in Formeln
$$\int_{\vec{M}}\omega=\int_\varphi \omega$$
\end{Beispiel}


\begin{Definition}\label{RaKa}
Gegeben eine  Randkarte $(W,\varphi)$ einer 
berandeten $(k+1)$-Man\-nigfaltigkeit $M$  definieren wir die 
{\bf induzierte Karte $(\bar{W},\bar{\varphi})$ des Randes}
$\partial M$ durch die Vorschrift\index{Karte!auf dem Rand induzierte}   
$$(\bar{W},\bar{\varphi})\pdef(i^{-1}(W),\varphi\circ i)$$
mit $i:\DR^k\ra  \DR_{\leq 0}\times \DR^{k}$ der 
Einbettung $x\mapsto (0,x)$. 
\end{Definition}

\begin{Lemma}\label{InOr}
Gegeben eine orientierte berandete $(k+1)$-Mannigfaltigkeit $M$ 
gibt es genau eine Orientierung ihres Randes $\partial M$ 
derart, da"s f"ur jede Randkarte der Orientierung $\varepsilon$
auch die induzierte Karte des Randes die Orientierung $\varepsilon$
hat. Wir nennen sie die 
\emph{\bf induzierte Orientierung\index{induzierte Orientierung} des Randes}.
\end{Lemma}
\begin{figure}[p]
  \centering
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BilderR}\\[4mm]
\noindent
Eine orientierte berandete zweidimensionale Mannigfaltigkeit mit
der induzierten Orientierung auf ihrem Rand und einer Randkarte
\end{figure}
\begin{proof}
Seien $(W_\alpha,\varphi_\alpha)$ und $(W_\beta,\varphi_\beta)$
zwei Randkarten von $M$.  
Der Kartenwechsel $\varphi_{\beta\al} : W_{\al\beta}\sira
W_{\beta\al}$ identifiziert 
$W_{\al\beta} \cap (0\times \DR^{k})$ mit ${W}_{\beta\al}
\cap (0\times \DR^{k})$ und kann dort durch den Kartenwechsel
$\bar{\varphi}_{\beta\al}$ der auf dem Rand induzierten Karten 
ausgedr"uckt werden
als $\op{id}_0\times{\bar\varphi}_{\beta\al}$.  
Gegeben $y \in   \bar{W}_{\al}\cap  \bar{W}_{\beta} $
hat die Jacobi-Matrix $\diff _{(0,y)} \varphi_{\beta,\al}$ des
Kartenwechsels die Gestalt
$$\diff _{(0,y)} \varphi_{\beta\al} = \left(
\begin{array}{c|c}\displaystyle
\frac{\partial (\varphi_{\beta\al})_1}{\partial x_{1}}(0,y)& \ast
\\[3mm]

\hline
0 & \diff_{y}\bar{\varphi}_{\beta\al} 
\end{array} \right) $$
und ihr Eintrag oben links alias 
die partielle Ableitung in $(0,y)$ der ersten Komponente des
Kartenwechsels nach der ersten Variablen
ist offensichtlich
nicht negativ. Mithin hat in jedem Randpunkt 
die Funktionaldeterminante eines Kartenwechsels zweier Randkarten von $M$
dasselbe Vorzeichen wie die Funktionaldeterminante des Kartenwechsels
der auf dem Rand induzierten Karten.
\end{proof}
\begin{Beispiel}\label{O1R}
 Im Fall der in \ref{I1Ma} besprochenen berandeten orientierten
$1$-Mannigfaltigkeit
$M=\varphi([a,b])$ besteht der Rand aus den beiden Punkten 
$\partial M=\{\varphi(a), \varphi(b)\}$ und die induzierte
Orientierung gibt dem Ersten dieser Punkte eine negatives 
Vorzeichen und dem Zweiten ein positives. Im h"oherdimensionalen Fall
bedeutet unsere Definition anschaulich, da"s die orientierten Basen der
Tangentialr"aume des Randes diejenigen angeordneten Basen sind,
die orientierte Basen der
Tangentialr"aume der Mannigfaltigkeit liefern, wenn man noch
einen Vektor davorschreibt, der tangential an die Mannigfaltigkeit ist
und an unserem Randpunkt \glqq aus der Mannigfaltigkeit heraus zeigt\grqq.
  Ist speziell $M=\partial K$ der Rand einer glatt berandeten Teilmenge
  $K$ mit der von einer Orientierung des umgebendem Raums 
induzierten Orientierung, so nennt 
 man das orientierte Normalenfeld  auch das
  {\bf "au"sere Normalenfeld}\index{"au"seres Normalenfeld}, da dann
  anschaulich gesprochen $N_p$ stets \glqq aus $K$ heraus zeigt\grqq.
\end{Beispiel}

\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}
Seien $X$ und $Y$  endlichdi\-mensionale
reelle R"aume,  $U\co X$ eine offene Teilmenge und
$f:U\ra Y$ eine stetig differenzierbare Abbildung 
mit
"uberall surjektivem
Differential. So ist  f"ur jede
berandete Untermannigfaltigkeit $C\subset Y$ ihr Urbild $M=f^{-1}(C)$
eine  berandete Untermannigfaltigkeit von $X$
der Dimension $\op{dim}X-\op{dim}Y+\op{dim}C$ mit Rand 
$\partial M=f^{-1}(\partial C)$. Man erkennt so zum Beispiel, da"s 
alle Vollkugeln berandete Untermannigfaltigkeiten sind. Hinweis:  \eref{MN}{AN2}
und \eref{UBOR}{AN2}.
\end{Ubung}
\begin{Ubunge}\label{ORF}
Jede Orientierung des Komplements des Randes 
in einer Mannigfaltigkeit
l"a"st sich eindeutig
zu einer Orientierung der ganzen Mannigfaltigkeit fortsetzen.
\end{Ubunge}



\subsection{Der Satz von Stokes}

\begin{Satz}[\textbf{Stokes'scher Integralsatz}]\label{ASI}
\index{Stokes!Integralsatz von!allgemeiner}
Sei 
$M$  eine kompakte orientierte berandete  
glatte Untermannig\-fal\-tig\-keit 
der Dimension $(k+1)$ in einem endlichdimensionalen reellen
Raum
und sei
$\omega$ eine stetig differenzierbare $k$-Form auf einer 
offenen Teilmenge unseres Raums, die  $M$ umfa"st.
Versehen wir den Rand $\partial M$ von $M$ 
mit der induzierten Orientierung, so gilt
$$\int_{\vec{M}} d\omega = \int_{\partial \vec{M}} \omega$$
\end{Satz}
\begin{Bild} 
%\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BidStA}\\[4mm]
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildSta}\\[4mm]
\noindent Illustration zum Stokes'schen Satz.
Gegeben ein Kovektorfeld $\omega$ erinnern wir uns dazu
daran, da"s nach \ref{AAAb} seine "au"sere Ableitung 
$(d\omega)_p(\vec{v},\vec{w})$ ausgewertet auf 
Richtungsvektoren $\vec{v},\vec{w}$ eine Approximation des
Wegintegrals von $\omega$ "uber den Rundweg von $p$ erst nach
$p+\vec{v}$, dann weiter nach $p+\vec{v}+\vec{w}$, von dort nach
$p+\vec{w}$ und zur"uck nach $p$ ist.
Es sollte nun anschaulich klar sein, da"s die Summe "uber 
viele derartige kleine Rundwegsintegrale das Randintegral "uber
den ganzen Bereich approximiert. Der Satz von Stokes 
formalisiert diese Anschauung.
\end{Bild}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{M"ogliche Abschw"achungen der Voraussetzungen}]
Der Beweis wird zeigen, da"s wir statt der Kompaktheit 
unserer Mannigfaltigkeit
schw"acher nur vorauszusetzen brauchen, da"s der Tr"ager der 
Differentialform unsere Mannigfaltigkeit in einem
Kompaktum trifft. Weiter reicht es anzunehmen, da"s 
unsere Differentialform auf einer halboffenen Menge definiert ist,
die unsere Mannigfaltigkeit umfa"st, und statt der Bedingung 
$\cal{C}^\infty$ an unsere Mannigfaltigkeit $M$ reicht auch die Bedingung 
$\cal{C}^2$. Schlie"slich erkl"aren wir in \ref{ASIE} noch eine
Version f"ur \glqq Mannigfaltigkeiten mit Ecken\grqq, die f"ur die 
im \glqq wirklichen Leben\grqq\  auftretenden Situationen besonders 
relevant ist. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
Konkrete Spezialf"alle des vorhergehenden Satzes werden ab
\ref{WueG} diskutiert.
Bereits hier sei bemerkt,
da"s f"ur eine kompakte  Mannigfaltigkeit ohne Rand alias mit
leerem Rand 
das Integral auf 
der linken Seite verschwinden mu"s, 
in Formeln $\partial M=\emptyset\;\RA \;\int_{\vec{M}} d\omega =0$.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungw}[\textbf{Varianten f"ur abstrakte Mannigfaltigkeiten}] 
Sp"ater werden wir lernen, was eine 
\glqq abstrakte Mannigfaltigkeit\grqq\  und eine
\glqq Differentialform auf
einer abstrakten Mannigfaltigkeit\grqq\  ist 
und wie man solche Differentialformen 
ableitet und $k$-Formen "uber orientierte 
$k$-Mannig\-fal\-tigkeiten integriert. 
In dieser Allgemeinheit gilt dann dieselbe Formel f"ur
eine beliebige stetig differenzierbare $k$-Form $\omega$ mit
kompaktem Tr"ager auf 
einer beliebigen orientierten $(k+1)$-Mannigfaltigkeit $M$. 
\end{Bemerkungw}
\begin{Beispiel}[\textbf{Satz von Stokes im Fall einer Flu"sdichte}] 
Sei $X$ ein dreidimensionaler orientierter reeller affiner Raum und
$K\subset X$ eine kompakte 
orientierte dreidimensionale Untermannigfaltigkeit mit Rand alias
ein K"orper wie etwa eine massive Kugel oder
ein massiver Eisenring, den wir uns aber 
nur als wohlbestimmte Region in $X$ denken, die durchaus von Gas durchstr"omt
wird. 
Der Rand $\partial K$ ist dann eine Fl"ache,
etwa eine Kugelschale oder die Oberfl"ache unseres Rings.
 Sei nun $\omega$ die $2$-Form der Flu"sdichte 
eines bewegten Gases wie in \ref{FluD}.
Nach \ref{Fluddd}
beschreibt das Integral von $\omega$ "uber $\partial K$
die Gesamtmasse an Gas, die im gegebenen Zeitintervall 
in einer durch die Orientierung bestimmten Richtung durch 
unsere Fl"ache $\partial K$ hindurchtritt.
Nach \ref{AAAb} beschreibt die $3$-Form $d\omega$ an jeder Stelle  
f"ur je drei kleine Vektoren die Gesamtmasse an Gas, die im gegebenen
Zeitintervall
aus dem entsprechenden kleinen Parallelpiped entweicht oder in dieses 
einstr"omt,
je nach Vorzeichen. Nach \ref{Fluddd}
beschreibt das Integral "uber $K$ dieser $3$-Form die Gesamtmasse an Gas,
die im gegebenen
Zeitintervall
aus der Region $K$ entweicht oder in diese einstr"omt,
je nach Vorzeichen. Der Satz von Stokes besagt dann schlicht, 
da"s diese Gesamtmasse dieselbe ist wie die Gesamtmasse an Gas,
die im gegebenen
Zeitintervall durch die Oberfl"ache $\partial K$ hindurchtritt.
\end{Beispiel}


\begin{Beispiel}[\textbf{Hauptsatz der Differential- 
und Integralrechnung}] 
Jedes mehrpunktige kompakte reelle Intervall $M=[a,b]$ ist eine
eindimensionale\label{SHS} 
berandete
Untermannig\-fal\-tig\-keit von $\DR$ und erbt von $\DR$ eine
Orientierung. Sein Rand ist die nulldimensionale Mannigfaltigkeit 
$\partial M = \{a,b\}$ und die induzierte Orientierung darauf 
 gibt dem Punkt $a$ das Vorzeichen $-1$ und dem Punkt $b$ das  Vorzeichen $+1$.
Eine Nullform $\omega$ auf $M$ ist schlicht eine Funktion $G$,
ihr Differential ist $d\omega=\diff G= G'(x)\diff x$, und wir erkennen, 
da"s unser Satz von Stokes \ref{ASI} 
in diesem Fall  zum Hauptsatz der Integral- und
Differentialrechnung \eref{ImS}{AN1} spezialisiert.
\end{Beispiel}

\begin{Beispiel}[\textbf{Flu"s durch eine Hemisph"are}] 
Wir kommen nochmal auf unser Integral "uber die 
obere\label{Bsp2}  
Hemisph"are $H$ der $2$-Form $x^2 \diff x \wedge \diff y$ aus \ref{BI11}
zur"uck, wobei unsere Orientierung
der oberen 
Hemisph"are unter der Projektion
auf die Ebene die "ubliche Orientierung des $\DR^2$ entsprach.
Nun haben wir das Gl"uck,
$x^2 \diff x \wedge \diff y = -d (x^2y\diff x)$ 
schreiben zu k"onnen.
Der Rand von 
$\vec{H}$ ist dann 
der im Gegenuhrzeigersinn orientierte Einheitskreis in der
$xy$-Ebene $S = \{(x,y,z) \mid x^2 + y^2 =1,\; z =0\}$
 und aus
dem Satz von Stokes folgt 
\begin{equation*}
\int_{\vec{H}} x^2 \diff x \wedge \diff y = \int_{\vec{S}} -x^2 y \diff x
\end{equation*}
Zur Sicherheit machen wir noch die Probe und landen mit
$$
\int_{\vec{S}}-x^2 y \diff x = \int_0^{2\pi} -\cos^2 \varphi \sin \varphi
 \op{d} (\cos \varphi)=
\int^{2\pi}_{0}\cos^2 \varphi \sin^2 \varphi \diff \varphi
$$
im wesentlichen 
bei demselben Integral wie dem, das wir bereits in \ref{BI11} berechnet
hatten.
Genauer wird der fehlende Faktor $2$ von 
$\int^\pi_0 \sin \varphi \diff \varphi$ in der 
Rechnung dort hier dadurch ausgeglichen, 
da"s das Integral bis $2\pi$ l"auft.
\end{Beispiel}


\begin{proof}[Beweis]
Gilt die Aussage f"ur $\omega$ und $\omega'$, so auch f"ur $\omega +
\omega'$.
Wir k"onnen also nach \eref{KO}{AN1} und \eref{TEL}{AN2} 
ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen,
da"s es eine zusammenh"angende 
Randkarte $(W,\varphi)$ 
von $M$ gibt, die eine Orientierung  hat und derart, da"s 
gilt $(\op{supp}
\omega\cap M) \subset \varphi (W)$.
Ist $\varepsilon$ die Orientierung unserer Randkarte, so gilt
per definitionem und da die
"au"sere Ableitung vertauscht mit dem Zur"uckholen
$$
\int_{\vec{M}} d\omega = \varepsilon \int_{W}
\varphi^{\ast} (d\omega)=\varepsilon \int_{W}
d(\varphi^{\ast} \omega)$$ 
Bezeichnet $(\bar{W}, \bar{\varphi})$ wie in \ref{RaKa} 
die induzierte Karte des Randes
und 
$i:\Bbb{R}^{k}\ra  \Bbb{R}_{\leq 0}\times\Bbb{R}^{k}$, $x\mapsto (0,x)$
die offensichtliche Einbettung, so  gilt nach unseren Definitionen 
und wegen
$\bar{\varphi}=\varphi\circ i$ und $\bar{W}=i^{-1}(W)$ auch 
$$
\int_{\partial \vec{M}} \omega =  \varepsilon
\int_{\bar{W}} \bar{\varphi}^{\ast}\omega=\varepsilon
\int_{i^{-1}W} i^\ast(\varphi^{\ast}\omega)
$$
Bezeichnen wir mit $\eta$ die Fortsetzung durch Null von 
$\varphi^{\ast}\omega$ auf den ganzen Halbraum, 
so  reduziert sich 
der Satz auf einen Spezialfall, den wir 
im Anschluss als eigenst"andiges Lemma formulieren und beweisen.
\end{proof}

\begin{Lemma}\label{LeSt}
Bezeichne $i:\Bbb{R}^{k}\ra  \Bbb{R}_{\leq 0}\times\Bbb{R}^{k}$
wie zuvor die offensichtliche Einbettung  und sei 
$\eta$ eine stetig differenzierbare $k$-Form 
mit kompaktem Tr"ager auf 
$ \Bbb{R}_{\leq 0}\times\Bbb{R}^{k}$.
So gilt
$$ \int_{\Bbb{R}^{k}} i^{\ast}\eta =
\int_{\Bbb{R}_{\leq 0}\times\Bbb{R}^{k}} d\eta$$
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
Wir 
nennen unsere Koordinaten
hier ausnahmsweise $x_0,x_1,\ldots, x_k$ und k"onnen
schreiben $$\eta= \sum^{k}_{\nu =0} \eta_{\nu}\;dx_{0} \wedge
\ldots \wedge \widehat{dx}_{\nu} \wedge \ldots \wedge dx_{k}$$
f"ur stetig differenzierbare Funktionen $\eta_{\nu}$ mit kompaktem
Tr"ager. Es ergibt sich $i^{\ast}\eta = \eta_{0} \;dx_{1} \wedge \ldots
\wedge dx_{k}$, die linke Seite ist also schlicht
$ \int_{\Bbb{R}^{k}} \eta_{0}$.
Auf der rechten Seite erhalten wir
$$d\eta = \sum^{k}_{\nu = 0} (-1)^{\nu } \frac{\partial 
\eta_\nu}{\partial x_{\nu}} dx_{0}\wedge \ldots \wedge dx_{k}$$ und
f"ur alle $\nu \neq 0$ verschwindet beim entsprechenden Summanden das
$\nu$-te par\-tiel\-le Integral, da die Stammfunktion $\eta_{\nu}$
kompakten Tr"ager hat und von $-\infty$ bis $\infty$ integriert
wird.
Nur der erste Summand liefert also einen Beitrag, und der ist
\begin{equation*}
 \int_{\Bbb{R}^{k}} \left( \int^{0}_{-\infty}
\frac{\partial \eta_{0}}{\partial x_{0}}\right) = 
\int_{\Bbb{R}^{k}} \eta_{0}\qedhere
\end{equation*}
\end{proof}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Bedeutung des Formalismus 
der Differentialformen}] 
Der hier erkl"arte Beweis des Stokes'schen Satzes ist ziemlich kurz.
Das liegt daran, da"s seine Formulierung in der Sprache
der Differentialformen so gut mit Koordinatenwechseln vertr"aglich  ist,
 da"s wir uns beim Beweis leicht auf einen  einfachen Spezialfall
zur"uckziehen k"onnen. In gewisser Weise haben wir also mit der 
Entwicklung der Sprache der Differentialformen 
die Hauptarbeit bereits geleistet.
Als wesentliche nichttriviale Aussage m"ochte ich dabei 
insbesondere die Vertr"aglichkeit
der "au"seren Ableitung mit Koordinatenwechseln hervorheben, die sich
auch in anderen Zusammenh"angen noch als starkes Hilfsmittel
erweisen wird.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
Ich formuliere nun einige Spezialf"alle des 
allgemeinen Stokes'schen Satzes \ref{ASI}
in klassischer Notation, um die Lekt"ure "alterer Texte zu erleichtern.
Ich hoffe jedoch, da"s sich der f"ur explizite Rechnungen und theoretische
"Uberlegungen gleicherma"sen bestens geeignete
Formalismus der
Differen\-tial\-formen mit der 
Zeit auch bei den Anwendern durchsetzen wird.  
\end{Bemerkungl}


\begin{Beispiel}[\textbf{Wegintegral "uber ein Gradientenfeld}]\label{WueG}
Sei $\varphi:[a,b]\ra\DR^n$ eine stetig differenzierbare
Injektion mit nirgends verschwindendem
Differential, die einen Hom"oomorphismus auf ihr Bild
induziert. Aus \ref{KKRr} folgt leicht, da"s dann das Bild
von $\varphi$ eine berandete $1$-Mannigfaltigkeit $M$ ist,
und diese $1$-Mannigfaltigkeit besitzt genau eine 
Orientierung, f"ur die $\varphi|_{(a,b)}$ eine orientierte 
Karte ist.
Gegeben eine Nullform alias Funktion $f$ auf einer offenen Umgebung
von $M$ haben wir $\diff f=\langle \op{grad}f,\;\rangle=( \op{grad}f)\cdot$
und der Satz von Stokes erh"alt nach \ref{I1Ma} und \ref{O1R} und
\ref{DisM} die Gestalt
$$\int_a^b \langle\op{grad}f,\diff\varphi\rangle  
=\int_a^b (\op{grad}f)\cdot\diff\varphi
=f(\varphi(b))-f(\varphi(a))$$  
In Worten stimmt also das Wegintegral des Gradientenfelds einer Funktion
"uberein mit der Differenz zwischen den Werten besagter
Funktion am Anfangs- und Endpunkt
des Integrationsweges.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}[\textbf{Satz von Gau"s}]\label{SvG}
Gegeben eine kompakte glatt berandete 
Teilmenge $K\subset\DR^n$ und 
ein im Sinne von \eref{SDi}{AN2} stetig differenzierbares
Vektorfeld $F$ auf 
$K$ bilden wir wie in \ref{VFF}
die zugeh"orige  $(n-1)$-Form $\omega=\omega_F$ und finden
$$d\omega =(\op{div} F)\;dx_{1} \wedge 
\ldots \wedge dx_{n}$$ f"ur 
$(\op{div} F) : K \ra \Bbb{R}$ 
die sogenannte {\bf Quelldichte}\index{Quelldichte} oder auch
{\bf Divergenz}\index{Divergenz}  unseres
Vektorfeldes, die %auf dem \glqq Inneren\grqq\  
%$K\backslash \partial K$ von $K$ 
gegeben wird durch die Vorschrift
$$\op{div} F = \frac{\partial F_{1}}{\partial x_{1}} + \ldots +
\frac{\partial F_{n}}{\partial x_{n}}$$
Damit spezialisiert mit unseren "Ubersetzungen \ref{OTm} 
und \ref{FIF} der allgemeine Satz von Stokes zum 
\defnoind{Satz von Gau"s}\index{Gau"s!Integralsatz von}
$$\int_{K} \op{div} F = \int_{\partial K}  F\!\cdot\! N $$
f"ur $N:\partial K\ra\DR^n$ das "aussere Normalenfeld.
In Worten ist also der
Flu"s eines Vektorfelds durch den Rand eines
glatt berandeten  Kompaktums im $\DR^n$  gleich dem
Integral  seiner Quelldichte
"uber besagtes  Kompaktum. Anschaulich mag man sich im Fall $n=2$ 
die Oberfl"ache $K$ eines ebenen Moores denken, in dem Wasser nach oben dringt
und  "uber das Moor an den Rand des Moores flie"st. 
Nehmen wir das Geschwindigkeitsfeld dieses Flusses als
unser Vektorfeld, so w"are die Divergenz eben die Quelldichte in
unserem Moor, das Randintegral mi"st die Wassermenge, die pro 
Zeiteinheit am Rand
unseres Moores herausl"auft, und unser Satz besagt,
da"s sie gleich der Wassermenge
sein mu"s, die pro 
Zeiteinheit im Inneren emporquillt.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}[\textbf{Schwerpunkt und Auftrieb homogener K"orper}] 
Ein homogener, als da hei"st "uberall gleich dichter
 schwerer K"orper $K$ wird an einem Seil ins Wasser
gelassen. Wir wollen uns "uberlegen, da"s auch im Wasser der
Schwerpunkt unseres K"orpers in der Vertikalen unter dem 
Aufh"angepunkt bleibt. F"ur inhomogene K"orper gilt das im allgemeinen
nat"urlich nicht!
Wir denken uns unseren K"orper als kompakte glatt berandete Teilmenge
$K \subset \Bbb{R}^3$ mit Schwerpunkt auf der $z$-Achse, also 
$\int_K x = \int_K y =0$. Die Wasseroberfl"ache m"oge die Ebene
$z=0$ sein. Der Wasserdruck steigt linear mit der Tiefe, auf ein
Oberfl"achenelement der Fl"ache $\sigma \langle p \rangle$ um $p
\in \partial K$ wirkt also die Kraft $z (p) N_p \sigma \langle p \rangle$
mit $N_p$ dem orientierten Normalenvektor bei $p$.
Befindet sich der Aufh"angepunkt etwa in der H"ohe $h < 0$, so wird das
Drehmoment um diesen Aufh"angepunkt das Oberfl"achenintegral
\begin{equation*}
\int_{\partial K} z (p) (N_p \times (p+h \op{e}_3
)) \sigma \langle p \rangle
\end{equation*}
Die Komponenten dieses Vektors bei $p = (x,y,z)$ mit $N_p = (N_1,N_2, N_3)$ sind
$z (N_2 (z+h) - N_3 y), z (N_3 x - N_1 (z +h))$ und $z (N_1 y - N_2 x)$ und k"onnen
auch dargestellt werden als die Skalarprodukte von $N_p$ mit den
Vektorfeldern 
$v_1 (x,y,x) = (0,z^2 + hz , - zy)$, $ v_2 (x,y,z) = (-z^2-hz, 0, zx)$
und $v_3 (x,y,z) = (zy, -zx, 0)$, so da"s es gilt
$\int_{\partial K} (N \cdot v_i)\sigma =0$ zu zeigen.
Mit dem Satz von Gau"s k"onnen wir diese Integrale verwandeln in
die Integrale $\int_K \op{div} v_i$ und wegen $\op{div} v_1 =-y$, $
\op{div} v_2 =x$ und $\op{div} v_3=0$ verschwinden sie in der Tat alle
drei.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}[\textbf{Klassischer Satz von Stokes}]\label{KSS}
Sei $M\subset\DR^3$ eine kompakte orientierte berandete
Fl"ache und $\varphi:[a,b]\ra \partial M$ 
eine orientierte Parametrisierung
ihres Randes.
Sei $F:U\ra \DR^3$ ein 
stetig differenzierbares Vektorfeld
auf einer offenen Teilmenge $U\co \DR^3$, 
die $M$ umfa"st, und bezeichne $\eta=\langle F,\;\rangle$
die zugeh"orige $1$-Form. So finden wir $d\eta=\omega_R$
in der Notation von \ref{VFF}
f"ur $R:U\ra\DR^3$ dasjenige Vektorfeld $\op{rot}F$ auf $U$, 
das
definiert wird
durch die Vorschrift
$$\op{rot}F=\left(\frac{\partial F_3}{\partial x_2}-
\frac{\partial F_2}{\partial x_3}\;,\;\frac{\partial F_1}{\partial x_3}-
\frac{\partial F_3}{\partial x_1}\;,\;\frac{\partial F_2}{\partial x_1}-
\frac{\partial F_1}{\partial x_2}\right)$$
Dies Vektorfeld  ist die
Rotation unseres Vektorfelds $F$, wie wir sie in \eref{sr}{AN2}
eingef"uhrt haben. 
Unser allgemeiner Satz von Stokes \ref{ASI}
spezialisiert in dieser Situation zum 
\defnoind{klassischen Satz von 
Stokes}\index{Stokes!Integralsatz von!klassischer}
$$
\int_M  N\!\cdot\! (\op{rot}F)\sigma=\int_a^b F\cdot \diff\varphi
$$
Hier bedeutet $N:M\ra \DR^3$ wieder das durch die Orientierung von $M$
festgelegte Normalenfeld. 
In Worten ist also 
das Wegintegral eines Vektorfeldes "uber den Rand einer Fl"ache
gleich dem
Flu"s der Rotation 
des Vektorfelds durch
besagte Fl"ache. 
\end{Beispiel}
\begin{Bemerkungl}
Bei Anwendern, die haupts"achlich im $\DR^3$ arbeiten, 
ist eine andere symbolische
Schreibweise f"ur $\op{grad}$, $\op{rot}$ und 
$\op{div}$ sehr beliebt: Sie betrachten den 
sogenannten \defind{Nabla-Operator} $\nabla$, 
den man sich denkt als den \glqq Vektor von Symbolen\grqq\ 
$(\frac{\partial }{\partial x}, 
\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z})$, 
und schreiben 
\begin{description}
\item[$\nabla f=\op{grad}f$, ] 
zu verstehen als symbolisches Produkt
des Nabla-Vek\-tors mit einer skalaren Funktion;
\item[$\nabla\cdot F=\op{div}f$,] zu verstehen als  symbolisches Skalarprodukt
des Nabla-Vek\-tors mit einer vektorwertigen Funktion;
das Skalarprodukt wird von diesen Anwendern meist $v\cdot w$ notiert
statt wie bei uns $\langle v,w\rangle;$
 \item[$\nabla\times F=\op{rot} F$,] zu verstehen 
als symbolisches Vektorprodukt
des Nabla-Vek\-tors mit einer vektorwertigen Funktion, wo eben das
Vektorprodukt $v\times w=(v_2w_3-v_3w_2, v_3w_1-v_1-w_3, v_1w_2-v_2w_1)$
aus der Geometrie des Raums \eref{KrPP}{LA2} zugrundegelegt wird.
\end{description}
In dieser Notation wird dann unsere Formel $dd\omega=0$ f"ur $\omega$
eine Funktion bzw.\ eine $1$-Form auf dem $\DR^3$ verstanden
als formal-symbolische Konsequenz der Formeln
$v\times v=0$ bzw.\ $v\cdot (v\times w)=0$ aus der Geometrie des Raums.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}[\textbf{Green'sche Formel}]\label{GrFo}
Sei $G\subset \DR^2$ eine kompakte glatt 
berandete Teilmenge und $\varphi:[a,b]\ra\DR^2$ eine orientierte
Parametrisierung ihres Randes, anschaulich \glqq ein im Gegenuhrzeigersinn auf
dem Rand umlaufender geschlossener Weg\grqq.
Gegeben ein stetig differenzierbares
Vektorfeld $v=(v_1,v_2)$ auf einer offenen Umgebung
von $G$ betrachten wir die $1$-Form 
$\langle v,\;\rangle=\eta=v_1 \diff x_1 +v_2 \diff x_2$
mit ihrem Differential $d\eta=
(\op{rot}v)\diff x_1\wedge \diff x_2$ f"ur $$\op{rot}v=
\left(\frac{\partial v_2}{\partial x_1}-
\frac{\partial v_1}{\partial x_2}\right)$$ die in \eref{sr}{AN2} erkl"arte skalare
Rotation eines Vektorfelds in der Ebene,
und der allgemeine Satz von Stokes 
\ref{ASI} spezialisiert zur \defnoind{Green'schen Formel}
\index{Green'sche Formel}
$$\int_G 
\op{rot}v=
\int_a^b v\cdot\diff\varphi$$
\end{Beispiel}
\begin{Bemerkungl}
Dieselbe Formel hatten wir in \eref{srq}{AN2} schon f"ur $G$ ein Rechteck
kennengelernt, nur ist ein Rechteck nat"urlich nicht glatt berandet.
In \ref{ASIE} werden wir jedoch einen 
\glqq Satz von Stokes mit Ecken\grqq\  kennenlernen, der dann auch diese
Formel f"ur Rechtecke als Spezialfall enth"alt.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}[\textbf{Fl"ache eines ebenen Gebiets}] 
Sei  $G\subset \DR^2$ wie in \ref{GrFo} eine kompakte glatt 
berandete Teilmenge und $\varphi:[a,b]\ra\DR^2$ eine orientierte
Parametrisierung ihres Randes.\label{FeBB} 
Betrachten wir die $2$-Form $\omega = x \diff y$ mit Differential $d
\omega  = \diff x \wedge \diff y$ und $\varphi^{\ast} \omega =
\varphi_{1}(t) \varphi^{\prime}_{2}(t) \diff t$, so spezialisiert
der allgemeine Satz von
Stokes \ref{ASI} 
zu einer Formel f"ur die Fl"ache des Gebietes $G$, genauer zu
der Regel
$$\int_{G} 1 = \int^{b}_{a} \varphi_{1} (t)
\varphi^{\prime}_{2}(t) \diff t$$
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungl}
  Ich selber finde die alternative Interpretation dieser Formel
mithilfe des Gau"s'schen Integralsatzes besonders anschaulich: 
Quillt in einem Moor "uberall gleichviel Wasser hoch,
so k"onnen wir seine Fl"ache bestimmen, indem wir messen,
wieviel Wasser in einem Graben um unser Moor abl"auft. Wie genau das 
Wasser auf unserem Moor zum Randgraben l"auft, ist dabei v"ollig unerheblich. 
Statt  $\omega = x \diff y$ k"onnten wir also  ein
beliebiges $\omega$ mit $d\omega=  \diff x \wedge \diff y$
nehmen und so weitere Formeln f"ur die Fl"ache eines ebenen Gebiets
erhalten.
\end{Bemerkungl}

\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[height=9cm]{SkriptenBilder/BildEckP}\\[4mm]
\noindent Eine kompakte $2$-dimensionale Untermannigfaltigkeit $M$
mit Ecken der Papierebene mitsamt einer Eckenpl"attung in die
daf"ur in geeigneter Weise mit $\DR^2$ zu identifizierende 
Papierebene.
\end{figure}
\begin{Definition}\label{MFE}
Sei $X$ ein  reeller Raum endlicher
Dimension und seien $k\in \DN$ und $1\leq l\leq \infty$. 
% Im Fall $k\geq 1$ hei"st eine 
Eine Teilmenge $M \subset X$ hei"st eine
{\bf $k$-dimensionale  
${\cal{C}}^l$-Unterman\-nig\-faltigkeit mit 
Ecken}\index{Mannigfaltigkeit!Untermannigfaltigkeit mit Ecken von affinem Raum} 
oder kurz
{\bf  
Untermannigfaltigkeit mit Ecken}  von $X$
genau dann, wenn es
f"ur jeden Punkt $p\in M$ ein
Paar $(U,g)$ gibt  aus einer offenen Umgebung $U\co X$
von $p$  und einem ${\cal{C}}^l$-Diffeomorphismus $g: U\sira g(U)$ von $U$ auf
eine offene Teilmenge $g(U) \co \Bbb{R}^{n}$  derart, da"s 
gilt:
$$
g(U\cap M)=g(U) \cap ((\DR_{\leq 0})^{k}\times 0)
$$
Ein derartiges Paar $(U,g)$ nenne ich  eine 
\defnoind{Pl"attung als ${\cal{C}}^l$-Untermannig\-fal\-tig\-keit mit Ecken}
oder kurz \defind{Eckenpl"attung} von
$M$ um $p$. 
\end{Definition}
\begin{Beispiele}
  Eine nulldimensionale Untermannigfaltigkeit mit Ecken ist dasselbe wie 
eine diskrete Teilmenge. Eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit 
mit Ecken ist dasselbe wie 
eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit mit Rand. Erst in h"oheren
Dimensionen
erhalten wir etwas Neues: So w"are zum Beispiel das \glqq Innere eines
ebenen Vielecks zusammen mit seinem Rand\grqq\   eine zweidimensionale 
Untermannigfaltigkeit 
mit Ecken der Ebene, aber keine zweidimensionale 
berandete Untermannigfaltigkeit der Ebene.  
\end{Beispiele}

\begin{Bemerkungl}
Alle Punkte einer Untermannigfaltigkeit $M$ mit Ecken, um die es eine
Randpl"attung gibt, bilden eine berandete Untermannigfaltigkeit $M_r$ unseres
endlichdimensionalen reellen Raums, die wir den {\bf regul"aren Teil
von $M$}\index{regul"ar!Teil eines Randes} nennen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiele}
  Der regul"are Teil einer kompakten 
Quadratfl"ache ist das Komplement der vier Ecken.
Der regul"are Teil eines kompakten massiven W"urfels  
ist das Komplement der Ecken und Kanten.
\end{Beispiele}
\begin{Satz}[\textbf{Stokes'scher Integralsatz mit Ecken}]\label{ASIE}
\index{Stokes, mit Ecken}
Sei 
$M$  eine kompakte 
glatte Untermannig\-fal\-tig\-keit  
der Dimension $(k+1)$ mit Ecken in einem endlichdimensionalen reellen
Raum. Sei der regul"are Teil $M_r$ von $M$ orientiert und
sei
$\omega$ eine stetig differenzierbare $k$-Form auf einer 
halboffenen Teilmenge unseres Raums, die  $M$ umfa"st.
So existieren die
Integrale von $\omega$ "uber $\partial \vec{M}_r$ und 
von $d\omega$ "uber $\vec{M}_r$
und es gilt
$$\int_{\vec{M}_r} d\omega = \int_{\partial \vec{M}_r} \omega$$
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Weitere m"ogliche 
 Abschw"achungen der Voraussetzungen}]
Der Beweis wird wieder zeigen, da"s wir statt der Kompaktheit 
unserer Mannigfaltigkeit mit Ecken 
schw"acher nur brauchen, da"s der Tr"ager der 
Differentialform unsere Mannigfaltigkeit mit Ecken in einem
Kompaktum trifft. Weiter reicht statt der Bedingung 
$\cal{C}^\infty$ an unsere Mannigfaltigkeit $M$ auch die Bedingung 
$\cal{C}^2$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Bedeutung der Kompaktheitsannahmen}] 
Im allgemeinen gilt der Satz von Stokes 
keineswegs f"ur nichtkompakte berandete Mannigfaltigkeiten,
auch wenn am Rand \glqq nur ein paar Punkte  fehlen\grqq.
Ist zum Beispiel $Q$ ein Quadrat in der Ebene ohne die Ecken, so
k"onnen wir auf einer offenen Menge, die unser eckenloses
Quadrat umfa"st, ein Vektorfeld konstruieren, das den Flu"s 
eines expandierenden Gases beschreibt, das \glqq durch die L"ocher
in den Ecken entweicht\grqq\  aber dessen 
Flu"s
durch
die Randkanten des Quadrats verschwindet.
In dieser Allgemeinheit g"alte der Satz von Stokes also nicht.
Allerdings m"u"ste unser Gas  \glqq mit unendlicher 
Geschwindigkeit durch die Ecken pfeifen\grqq\  und sein
Geschwindigkeitsfeld k"onnte nicht stetig auf besagte Ecken
fortgesetzt werden, weshalb auch die Voraussetzungen
f"ur unseren Satz von
Stokes mit Ecken  in diesem Fall
nicht erf"ullt w"aren.
Es gibt noch sehr viel allgemeinere Versionen des 
Stokes'schen Satzes mit Ecken, vergleiche etwa \cite{KAna}, 
mit denen sich zum Beispiel auch der Flu"s durch die 
Oberfl"ache eines Ikosaeders oder einer Eiswaffel direkt diskutieren lie"sen. 
Der hier besprochene Fall scheint mir jedoch f"ur 
die meisten Anwendungen  ausreichend und hat den Vorteil, da"s 
sowohl seine Formulierung als auch sein Beweis
nur wenig begrifflichen Aufwand ben"otigen. 
Den Fall eines Ikosaeders kann man daraus im "ubrigen auch noch erhalten,
etwa indem man  besagten Ikosaeder
 in Dreieckspyramiden mit einer Ecke im Ursprung
zerlegt.
\end{Bemerkungl}
\begin{figure}[p]
  \centering
  \includegraphics[height=9cm]{SkriptenBilder/BildEcP}\\
\noindent
Ein expandierendes Gas, das durch die Ecken entweicht,
als Beispiel daf"ur, da"s die Kompaktheitsbedingung
beim Satz von Stokes
notwendig ist.
\end{figure}
\begin{Beispiel}[\textbf{Flu"s durch die obere Hemisph"are, Erg"anzung}]
Ich will noch einmal auf das 
schon in \ref{Bsp2} besprochene\label{SIBS}  
Beispiel \ref{BI11} zur"uckommen, in dem wir
den Flu"s des Vektorfelds $x^2\op{e}_3$ durch die obere
Hemisph"are $H$ alias das Integral der $2$-Form $x^2 dx \wedge dy$
"uber eben diese Hemisph"are
berechnet hatten.
Die L"ange der Vektoren unseres Vektorfeldes $x^2\op{e}_3$ 
h"angt von der H"ohe $z$
gar nicht ab.
Es scheint mir deshalb offensichtlich, da"s sein Flu"s durch die obere
Hemisph"are $H$ derselbe ist wie durch die Einheitskreisscheibe in der
$xy$-Ebene 
$D =\{(x,y)\mid z = 0, x^2 + y^2 < 1\}$.
Formal k"onnen wir das wegen $d (x^2 dx \wedge dy)=0$ auch aus dem Satz
von Stokes mit Ecken \ref{ASIE} folgern, indem wir ihn auf
die massive obere Halbkugel 
$M =\{ (x,y,z) \mid x^2+y^2+z^2 \leq 1, \; z \geq 0\}$
anwenden. 
Deren regul"arer Teil $M_r$ besteht aus dem Komplement der 
Kreislinie $\{(x,y,z) \mid x^2+y^2=1, \;
z =0\}$, und der Rand des regul"aren Teils 
$\partial M_r$ ist die Vereinigung der oberen 
Hemisph"are $H$ aus \ref{BI11} mit der offenen 
Einheitskreisscheibe in der $xy$-Ebene $D$.
Versehen wir unsere massive Halbkugel mit der
von $\DR^3$ induzierten Orientierung, so erbt die obere
Hemisph"are $H$ die bereits in \ref{BI11} beschriebene Orientierung,
die Einheitskreisscheibe $D$ jedoch die nicht von der Einbettung in
$\DR^2$ induzierte Orientierung. Schreiben wir $\vec{D}$ f"ur
$D$ mit der von der Einbettung in
$\DR^2$ induzierten Orientierung, so 
erhalten wir f"ur $\omega = x^2 dx \wedge dy $ wegen
$d\omega =0$  folglich nach Stokes in der Tat
$$0=\int_{\vec{M}_r}d\omega=\int_{\partial\vec{M}_r}\omega=
\int_{\vec{H}} x^2 dx \wedge dy - \int_{\vec{D}} x^2 dx \wedge dy$$ 
\end{Beispiel}

\begin{proof}[Beweis]
Ganz genau wie beim Beweis des Stokes'schen Satzes \ref{ASI}
ziehen wir uns zur"uck auf den Fall einer stetig differenzierbaren
$k$-Form $\eta$ auf $(\Bbb{R}_{\leq q})^{k+1}$ mit kompaktem Tr"ager.
Wieder nennen wir unsere Koordinaten $x_0, x_1, \ldots, x_k$, 
betrachten nun aber f"ur $0\leq \nu \leq k$ die durch Einf"ugen einer Null an
der $\nu$-ten Stelle entstehenden Einbettungen
\begin{equation*}
i_\nu : (\Bbb{R}_{\leq 0})^k \hookrightarrow (\Bbb{R}_{\leq 0})^{k+1}
\end{equation*}
Der Stokes'sche Integralsatz mit Ecken reduziert sich dann auf die
Behauptung
\begin{equation*}
\sum^k_{\nu =0} (-1)^\nu \int_{(\Bbb{R}_{\leq 0})^k} i_\nu^\ast \eta =
\int_{(\Bbb{R}_{\leq 0})^{k+1}} d\eta
\end{equation*}
Das kann wie beim Beweis von \ref{LeSt} explizit nachgerechnet werden.
\end{proof}
 \begin{Bild} 
 \includegraphics[width=7cm]{SkriptenBilder/BildGmE}\\[4mm]
 \noindent 
Die Formel \ref{FeBB} f"ur die Fl"ache eines ebenen Gebiets gilt 
nun nat"urlich ebenso f"ur \glqq Gebiete mit Ecken\grqq.
Diese Formel kann etwa angewandt werden, um ein GPS-Ger"at
so zu programmieren, da"s es einem die Fl"ache des Gebiets 
berechnet, das man bei einem Rundweg umrundet hat.
Im Spezialfall eines Gebiets, das von einem den Kanten eines
Rechenpapiers folgenden Weg im Uhrzeigersinn umrundet wird,
ergibt sich, wenn wir Stokes auf die Form $y\diff x$ anwenden, 
 die Fl"ache als die H"ohe des Schwerpunkts der 
Menge der horizontalen Kanten, wenn wir jede Kante nach rechts mit
ihrer H"ohe gewichten und jede Kante nach links mit dem
Negativen ihrer H"ohe.
F"ur die Fl"ache des obigen Gebiets ergibt sich so
$$3\times 4 + 2 - 2\times 1 -2 -3 = 7$$
\end{Bild}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Alternativer Zugang zur Homotopieinvarianz bei Wegintegralen}]
Wir k"onnen nun auch einen besonders kurzen 
Beweis f"ur die Homoto\-pie\-invarianz von\label{STOK} 
Wegintegralen in geschlossenen Kovektorfeldern \eref{roPP}{AN2}
geben unter der st"arkeren
Voraussetzung, da"s es zwischen unseren beiden stetig 
differenzierbaren Wegen $\gamma, \psi : [0,1] \rightarrow A$
sogar eine zweimal stetig differenzierbare 
Homotopie $h:[0,1]^2 \rightarrow A$  gibt.
Wir nehmen genauer $A$ offen in einem reellen Raum $X$ an und 
$\omega :A \rightarrow \vec{X}^\ast$
ein stetig differenzierbares Kovektorfeld. Die 
Behauptung in \eref{roPP}{AN2} besagt ja gerade, da"s aus 
$d \omega =0$ folgt $\int_\gamma \omega =\int_\psi \omega$.
Aber nun finden wir
\begin{equation*}
\int_\gamma \omega - \int_\psi \omega 
= \int_{\partial ([0,1]^{2})} h^\ast \omega 
= \int_{[0,1]^{2}} d (h^\ast \omega) =\int_{[0,1]^{2}} h^\ast (d\omega) =0
\end{equation*}
nach der Definition einer Homotopie, 
dem Satz von Stokes mit Ecken, der Vertr"aglichkeit des 
Zur"uckholens von Formen mit dem "au"seren 
Differential \ref{zh} und unserer Annahme $d\omega =0$.
\end{Bemerkungl}

\subsection{Divergenz und Laplace in krummen Koordinaten*}
\begin{Bemerkungl}
Die folgenden Argumente bauen  nicht auf dem Stokes'schen Integralsatz
auf. Es geht  
vielmehr um Anwendungen des Kalk"uls der Differentialformen
aus \ref{AuAb}.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}\label{VolFF}
Gegeben ein orientierter $n$-dimensionaler reeller Vektorraum
$V$ mit einem Skalarprodukt oder allgemeiner einer nichtausgearteten
symmetrischen Bilinearform $t$ kann man im eindimensionalen Raum
$\op{Alt}^n (V)$ aller sogenannten
\defnoind{Volumenformen
auf}\index{Volumenform} $V$ ein von Null
verschiedenes Element $\omega=\omega_t$, 
die {\bf kanonische Volumenform},\index{Volumenform!kanonische}
auszeichnen durch die Bedingung, da"s
gilt
\begin{equation*}
\omega (v_1, \ldots, v_n) =1
\end{equation*}
f"ur jede orientierte Orthonormalbasis im positiv
definiten Fall bzw.\ jede orientierte
Basis $v_1, \ldots, v_n$ mit $|t (v_i, v_j)|
= \delta_{ij}$ im allgemeinen Fall.
In der Tat erf"ullt die Basiswechselmatrix $A$ zwischen zwei derartigen
Basen eine Gleichung der Gestalt $A^\top J A = J'$ mit $J = J' =I$ der
Einheitsmatrix im Fall eines Skalarprodukts und $\op{det} J =
\op{det} J' \neq 0$ im allgemeinen, so da"s der Multiplikationssatz
f"ur Determinanten $\op{det} A = \pm 1$ liefert, und die Orientiertheit 
beider Basen
zeigt dann sogar $\op{det} A =1$.
Damit aber folgt
\begin{equation*}
\omega (v_1, \ldots, v_n)= \omega (w_1, \ldots,
w_n)
\end{equation*}
f"ur jede $n$-Form $\omega$ und je zwei Basen wie oben, etwa indem wir
\ref{DDP} auf den Automorphismus von $V$ mit $v_i \mapsto w_i$ anwenden.
\end{Bemerkungl}

\begin{Ubung}
  Ersetzen wir $t$ durch $\lambda t$ f"ur $\lambda\in\DR^\times$,
so erhalten wir f"ur die neue Volumenform
$$\omega_{\lambda t}=|\lambda|^{n/2}\omega_{ t}$$
\end{Ubung}

\begin{Definition}\label{dHO}
Gegeben ein orientierter $n$-dimensionaler reeller Vektorraum $V$ mit 
einer nichtausgearteten symmetrischen Bilinearform $t$ 
erkl"art man f"ur jede Zerlegung $  n=p +q$ den
\defind{Hodge-$\ast$-Operator}\index{*!Hodge-$\ast$-Operator}

\begin{equation*}
\ast =\ast_t: \op{Alt}^p V \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Alt}^q V
\end{equation*}
 durch  die  Formel
$\alpha\wedge\beta=t(\ast\alpha,\beta)\omega$.
Hier ist $t$ rechts zu verstehen als die Erweiterung unserer
Bilinearform auf $q$-Formen durch $t(f_1\wedge\ldots\wedge f_q,
g_1\wedge\ldots \wedge g_q)\pdef \op{det}(t(f_i,g_j))$ und letztere
Bilinearform auf $V^\ast$ ist dadurch erkl"art, da"s sie unter
$\op{can}_t:V\sira V^\ast$ unserem urspr"unglichen $t$ entsprechen soll.
Das $\omega$ schlie"slich meint unsere Volumenform.
Etwas ausf"uhrlicher gesagt konstruiert
man unseren Hodge-$\ast$-Operator
wie folgt: Man geht aus von der durch das Dachprodukt gegebenen
nichtausgearteten Paarung
\begin{equation*}
\op{Alt}^p V \times \op{Alt}^q V \rightarrow \op{Alt}^n V
\end{equation*}
und verkn"upft sie mit dem Isomorphismus $\op{Alt}^n V \overset{\sim}
{\rightarrow} \Bbb{R}$, der die kanonische Volumenform $\omega$ 
aus \ref{VolFF} auf
die Eins wirft.
Die so erhaltene Paarung kann als ein Isomorphismus
\begin{equation*}
\op{Alt}^p V \overset{\sim}{\rightarrow} (\op{Alt}^q V)^*
\end{equation*}
interpretiert werden, und der kanonische Isomorphismus $(\op{Alt}^q V)^*
\overset{\sim}{\rightarrow} \op{Alt}^q (V^*)$ aus \eref{APDn}{LA2}
zusammen mit dem von $\op{can}_t : V \overset{\sim}{\rightarrow}
V^*$ induzierten Isomorphismus $\op{Alt}^q (V^*) \overset{\sim}{\rightarrow}
\op{Alt}^q (V)$ liefert dann in der Verkn"upfung schlie"slich unseren
Hodge-Operator. 
\end{Definition}


\begin{Ubung}\label{2F4}
  F"ur $r$-Formen $\alpha$ auf einem orientierten $n$-dimensionalen
Vektorraum mit nichtausgearteter symmetrischer Bilinearform $t$ 
und $\lambda\in\DR^\times$ pr"ufe man 
die Formel $\ast_{\lambda t}\alpha=(\lambda^r/|\lambda|^{n/2})\ast_t\alpha$.
Insbesondere gilt f"ur $2$-Formen $\alpha$ auf einem vierdimensionalen Raum
und $\lambda\in\DR^\times$  stets $\ast_{\lambda t}\alpha=\ast_t\alpha$. 
\end{Ubung}


\begin{Bemerkungl}
  Gegeben ein Isomorphismus $\varphi:V\sira W$ 
von endlichdimensionalen orientierten reellen Vektorr"aumen
und nichtausgartete symmetrische Bilinearformen $t$ auf $V$ und $s$ auf $W$
und eine Zerlegung $n=p+q$ der Dimension $n$ unserer beiden
Vektorr"aume
kommutiert offensichtlich das Diagramm
$$\begin{array}{ccc}
 \op{Alt}^p W &\overset{\ast_s}{\rightarrow} &\op{Alt}^q W\\
\da&&\da\\
 \op{Alt}^p V &\overset{\ast_t}{\rightarrow}& \op{Alt}^q V
\end{array}$$
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Die in der obigen Definition \ref{dHO} versteckten 
und in gewisser Weise zuf"alligen
Wahlen von Vorzeichen
werden "ublicherweise so getroffen, da"s im Fall eines 
Skalarproduktes $t$
f"ur alle $\alpha$ gilt $$\alpha\wedge \ast \alpha\in \DR_{\geq 0}\;\omega$$ 
Wir werden das gleich explizit sehen.
Es w"are auch nicht besser oder schlechter, die Vorzeichen
so zu w"ahlen, da"s das \glqq umgekehrte Dach-Produkt\grqq\  in diesem Sinne
\glqq positiv definit\grqq\  w"are, aber an dieser Stelle
mu"s man sich  einmal auf eine Konvention  einigen.
\end{Bemerkungl}




\begin{Bemerkungl}[\textbf{Explizite Formeln f"ur den Hodge-$\ast$-Operator}]
Sei zun"achst $t$ ein 
Skalarprodukt,\label{EFH}
  $v_1, \ldots, v_n$ eine orientierte Orthonormalbasis von $V$ und $f_1,
  \ldots, f_n$ die duale Basis von $V^*$.  Wir folgern $\omega = f_1 \wedge
  \ldots \wedge f_n$ und gegeben $I,J$ mit $|I|=p$ und $|J|=q$ haben wir
\begin{displaymath}
f_I \wedge f_J =\left\{ \begin{array}{ll}
\varepsilon_I \omega & I \amalg J = \{1,\ldots, n\};\\
0& \text{sonst.}
\end{array} \right.
\end{displaymath}
Hier meint $\varepsilon_I$ das Vorzeichen der Permutation, die alle Elemente
von $I$ an den Anfang schiebt, ihre Reihenfolge untereinander aber ebenso wie
die Reihenfolge der Elemente ihres Komplements unver"andert l"a"st.  Unsere
Abbildung
\begin{equation*}
\op{Alt}^p V \rightarrow (\op{Alt}^q V)^*
\end{equation*}
macht also die Basisvektoren $f_I$ bis auf Vorzeichen zu den Vektoren der
zu $f_{{\bar{I}}}$ dualen Basis, genauer haben wir $f_I\mapsto 
\varepsilon_I f^*_{{\bar{I}}}$ f"ur ${{\bar{I}}}$ das
Komplement von $I$.  Unter $(\op{Alt}^q V)^* \overset{\sim}{\rightarrow}
\op{Alt}^q (V^*)$ entspricht dieser Vektor 
dann $\varepsilon_I v_{{\bar{I}}}$ und unter
$\op{can}_t$ wiederum $\varepsilon_I f_{\bar{I}}$, woraus wir folgern
\begin{equation*}
\ast_t f_I = \varepsilon_I f_{{\bar{I}}} \quad 
\text{ f"ur } {\bar{I}} =  \{1,\ldots, n\}\backslash I
\end{equation*}
Insbesondere gilt also im Fall eines Skalarprodukts und der dualen
Basis zu einer Orthonormalbasis die Formel
$f_I\wedge \ast f_I=\omega$, die  in diesem Fall 
auch sofort  $\ast(\ast \alpha)=(-1)^{pq}\alpha$ f"ur alle
$\alpha\in \op{Alt}^p(V)$ liefert.
Ist  allgemeiner im
symmetrischen nicht ausgearteten Fall 
$v_1, \ldots , v_n$ orientiert und orthogonal, aber
haben wir etwa $ t(v_i,v_i) = \eta_i = \pm 1, $ so m"ussen wir nur ganz am
Schlu"s noch ein Vorzeichen erg"anzen und erhalten mit der Notation $\eta_{\bar{I}} =
\prod_{j\in {\bar{I}}} \eta_j$ die Formel
\begin{equation*}
\ast_t f_I = \varepsilon_I \eta_{\bar{I}}  f_{\bar{I}} \quad 
\text{ f"ur } {\bar{I}} =  \{1,\ldots, n\}\backslash I
\end{equation*}
Sei nun noch allgemeiner $t$ symmetrisch nicht ausgeartet,
  $v_1, \ldots, v_n$ eine orientierte Orthogonalbasis von $V$ 
mit $ t(v_i,v_i) = \eta_i c_i^2$ mit $c_i>0$ 
und $f_1,
  \ldots, f_n$ die duale Basis von $V^*$.  
Gegeben $I,{\bar{I}}$ mit $|I|=p$  erhalten wir dann
mit der Notation $c_I=\prod_{i\in I} c_i$
durch Reskalierung die Formel
\begin{equation*}
\ast_t f_I = \frac{\varepsilon_I \eta_{\bar{I}} c_{\bar{I}}}{c_I}  f_{\bar{I}} \quad 
\text{ f"ur } {\bar{I}} =  \{1,\ldots, n\}\backslash I
\end{equation*}
\end{Bemerkungl}



  \begin{Definition}
    Gegeben eine offene Teilmenge $U \co X$ eines endlichdimensionalen reellen
    Raums $X$ und eine Riemann'sche Metrik $t$ auf $U$ und ein
    differenzierbares Vektorfeld $v :U \rightarrow \vec{X}$ definieren wir die
    \defind{Divergenz} unseres Vektorfelds als die Funktion
\begin{equation*}
\op{div}_t (v) = (\ast_t \circ d \circ \ast_t \circ\op{can}_t) (v)
\end{equation*}
Obwohl der $\ast$-Operator von einer zu w"ahlenden Orientierung abh"angt,
ist die Divergenz wegen des  doppelten Auftretens unseres $\ast$-Operators
davon unabh"angig.
\end{Definition}


  \begin{Ubunge}[\textbf{Anschauliche Bedeutung der Divergenz}] 
    Man zeige, da"s die Divergenz eines stetig differenzierbaren
Vektorfelds 
auf $\DR^n$ genau die \glqq lokale
    Volumen"anderung unter dem Flu"s des besagten Vektorfelds\grqq\  beschreibt,
    da"s genauer f"ur jede stetige Funktion mit kompaktem Tr"ager $f$ gilt
$$\left.\frac{\diff}{\diff t}\right|_{t=0} \int f\circ X^t = -\int f
\op{div}X$$ Hier ist zu beachten, da"s auf jedem Kompaktum der Flu"s f"ur eine
positive Zeitspanne existiert. Hinweis: Man schr"anke sich auf den Fall
von glattem $f$ ein, ziehe die zeitliche Ableitung unter das
Integral, und beachte, da"s das Integral "uber ganz
$\DR^n$ jeder partiellen Ableitung einer 
stetig differenzierbaren Funktion mit kompaktem Tr"ager verschwindet.
\end{Ubunge}








\begin{Beispiel}\label{BSPK}
Sei $X = \Bbb{R}^3 $ mit  der Standardorientierung und
dem Standardskalarprodukt $t =s$ versehen. 
Gegeben ein differenzierbares Vektorfeld  
der Gestalt $v = a \partial_x + b \partial_y
+c \partial_z$ mit differenzierbaren Funktionen $a,b,c:\DR^3\ra\DR$ 
finden wir die "ubliche Formel $\op{div}v=a_x +b_y +c_z$,
indem wir rechnen
$$\begin{array}{rcl}
v &=& a \partial_x + b \partial_y
+c \partial_z\\
\op{can}_s (v) &=& a dx + b dy +cdz\\
\ast_s (\op{can}_s (v)) &=& ady \wedge dz - b dx \wedge dz +
cdx \wedge dy\\
d(\ast_s (\op{can}_s (v))) &=& a_xdx\wedge dy \wedge dz - b_y dy \wedge dx\wedge dz +
c_z dz\wedge dx \wedge dy\\
\ast_s (d(\ast_s (\op{can}_s (v)))) &=& a_x +b_y +c_z
\end{array}$$
Hier w"are es zwar in der Tat sehr viel einfacher gewesen,
schlicht diese letzte Formel hinzuschreiben.
Unsere neue Interpretation  vertr"agt sich jedoch besser mit der Verwandtschaft,
insbesondere da die "au"sere Ableitung 
$d$ sich so gut mit Verwandtschaft  vertr"agt, und
erm"oglicht so eine "ubersichtliche Darstellung in anderen
orthogonalen Koordinaten.
Um etwa die Divergenz in Polarkoordinaten zu bestimmen,
erinnern wir uns daran, da"s nach \eref{PKMm}{AN2}
unter der Polarkoordinatenabbildung $P$ die Standardmetrik
$s =\diff x^{\otimes 2} + \diff y^{\otimes 2}$ auf 
der $xy$-Ebene verwandt ist zum 2-Tensor
$
g = \diff r^{\otimes 2} + r^2 \diff\vartheta^{\otimes 2}
$
und rechnen 
$$\begin{array}{rcl}
v &=& a \partial_r + b \partial_\vartheta
\\
\op{can}_g (v) &=& a dr + br^2 d\vartheta\\
\ast_g (\op{can}_g (v)) &=&a rd\vartheta-brdr\\
d(\ast_g (\op{can}_g (v))) &=& (a_r r+a)dr\wedge d\vartheta
+b_\vartheta rdr \wedge d\vartheta\\
\ast_g (d(\ast_g (\op{can}_g (v)))) &=& a_r+b_\vartheta+r^{-1}a
\end{array}$$%Scheint ok.
\end{Beispiel}



\begin{Ubung}\label{divKu}
Wir betrachten wieder Kugelkoordinaten wie in \eref{KuKo}{AN2}.
Man zeige, da"s f"ur das zum Vektorfeld $a\partial_r+
b\partial_\vartheta+c\partial_\varphi$ verwandte Feld auf dem
$xyz$-Raum die Divergenz verwandt ist zur Funktion 
$a_r+b_\vartheta+c_\varphi+2r^{-1}a+b\op{cot}\vartheta$.
\end{Ubung}

\begin{Definition}
Gegeben $U\co \DR^n$ und eine zweimal stetig differenzierbare 
Funktion $f:U\ra \DR$ setzen wir 
$$\Delta f =
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}_{1}} + \ldots +
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}_{n}}$$
und nennen $\Delta$ den 
 {\bf Laplaceoperator}.\index{Laplaceoperator!im $\DR^n$} 
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauung f"ur den Laplaceoperator}]
Der Wert $(\Delta f)(x)$ der durch Anwenden des Laplaceoperators
$\Delta$ auf eine Funktion $f$ entstehenden Funktion 
an einer Stelle\label{ALA} $x$ 
mi"st die
Abweichung des Funktionswerts 
bei $x$ vom Durchschnitt der Funktionswerte
in einer kleinen Umgebung von $x$.  In einer Ver"anderlichen gilt zum
Beispiel f"ur jede zweimal stetig differenzierbare Funktion
$$f'' (x) = \lim_{\varepsilon \ra 0}
\frac{2}{\varepsilon^{2}} \left(\frac{f(x +\varepsilon)+
f(x-\varepsilon)}{2} - f(x)\right)$$
wie der Leser mithilfe der Taylorentwicklung leicht nachpr"ufen
kann. 
In mehreren Ver"anderlichen gilt in derselben Weise
f"ur jede zweimal stetig differenzierbare Funktion mit der
Notation $\op{e}_i$ f"ur
die Vektoren der Standardbasis
$$(\Delta f)(x) = \lim_{\varepsilon \ra 0}
\frac{2^n}{\varepsilon^{2}} \left(
\frac{1}{2^n}\left(\sum_{i=1}^n f(x +\varepsilon\op{e}_i)+
f(x-\varepsilon\op{e}_i)\right) - f(x)\right)$$
\end{Bemerkungl}

\begin{Ubung}[\textbf{Mehr Anschauung f"ur den Laplaceoperator}]
Man zeige, da"s der La\-place\-operator  invariant ist unter Drehungen. 
Ist genauer $A\in\op{O}(n)$ eine orthogonale Matrix
und bezeichnet $A:\DR^n\ra \DR^n$ die zugeh"orige lineare 
Abbildung, so zeige man  f"ur jede zweimal stetig differenzierbare Funktion
$f:\DR^n\ra\DR$ die Formel $\Delta(f\circ A)=(\Delta f)\circ A$. 
Man folgere die Formel
$$(\Delta f)(x) = \lim_{\varepsilon \ra 0}
\frac{2^n}{\varepsilon^{2}} 
\left(\frac{\int_{\|y-x\|=\varepsilon} f(y)\;
\sigma\langle y\rangle}{\int_{\|y-x\|=\varepsilon} \sigma\langle y\rangle}
- f(x)\right)
$$
auf deren rechter Seite nach dem Faktor $2^n/\varepsilon^2$ 
bis auf ein Vorzeichen die Differenz 
zwischen dem Funktionswert $f(x)$ und dem  Durchschnitt der 
Funktionswerte auf einer  Kugelschale mit Zentrum in $x$ 
und Radius $\varepsilon$ steht. Hinweis: Man mittle \ref{ALA}.
Die Taylorentwicklung oben liefert in einer 
Ver"anderlichen  sogar pr"aziser 
die Darstellung $$\frac{2}{\varepsilon^{2}} \left(\frac{f(x +\varepsilon)+
f(x-\varepsilon)}{2} - f(x)\right)=(f\grqq\ (\xi^+)+f\grqq\ (\xi^-))/2$$
mit $\xi^+\in (x,x+\varepsilon)$ und  $\xi^-\in (x-\varepsilon,x)$.
\end{Ubung}
\begin{Ubunge}[\textbf{Drehinvariante Differentialoperatoren}] 
Die polynomialen Funktionen  $D\in \DC[X_1,\ldots,X_n]$
auf dem
$\DR^n$, die invariant sind unter allen Drehungen $A\in \op{SO}(n)$, 
sind genau alle Polynome im quadrierten Abstand vom Nullpunkt, in Formeln 
$$\DC[X_1,\ldots,X_n]^{\op{SO}(n)}=\DC[(X_1^2+\ldots+X_n^2) ]$$
Die Differentialoperatoren $D\in \DC[\partial_1,\ldots,\partial_n]$
mit konstanten Koeffizienten auf dem
$\DR^n$, die invariant sind unter allen Drehungen $A\in \op{SO}(n)$, 
sind genau alle Polynome im Laplace-Operator, in Formeln 
$$\DC[\partial_1,\ldots,\partial_n]^{\op{SO}(n)}=\DC[\Delta]$$
\end{Ubunge}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Laplace-Operator in anderen Koordinaten}]
Um den Laplaceoperator $\Delta$ 
in anderen Koordinaten auszudr"ucken,\label{LAKo}  
kann man  von
der Darstellung $$\Delta f= \ast_s \;d \ast_s df$$  
ausgehen, mit $s$ der "ublichen
Riemann'schen Metrik auf $\Bbb{R}^n$ und $\ast_s$ dem zu dieser Metrik
und der Standard-Orientierung geh"orenden Hodge-$\ast$-Operator.
Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Raum $X$ und eine
offene Teilmenge $V \co X$ und ein
differenzierbare Abbildung $\phi: V \rightarrow U$ mit bijektivem
Differential an jeder Stelle und eine zur Standard-Metrik 
$\phi$-verwandte Riemann'sche
Metrik $t$ auf $V$ haben wir dann die Verwandschaft
$\phi:\ast_t\; d \ast_t d(f \circ \phi)\leadsto  \ast_s\; d \ast_s df=\Delta f$.
Ist speziell etwa $\phi$ 
die Polarkoordinaten- oder die Kugelkoordinatenabbildung,
so l"a"st sich das auch sehr konkret und explizit berechnen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}[\textbf{Laplace-Operator in  Polarkoordinaten}]
Wir berechnen  den Laplace-Operator
  einer Funktion $f$ in Polarkoordinaten und finden
"ahnlich wie in \ref{BSPK} der Reihe nach
$$\begin{array}{rcl}
df &=& f_r dr + f_\vartheta d\vartheta\\
\ast_g (df) &=&f_r r d\vartheta-r^{-1}f_\vartheta dr\\
d(\ast_g (df)) &=& (f_{rr} r+ f_r + r^{-1}f_{\vartheta\vartheta})dr 
\wedge d\vartheta\\
\ast_g (d(\ast_g (df))) &=& f_{rr} + r^{-1}f_r + r^{-2}f_{\vartheta\vartheta}
\end{array}$$%Forster kriegt dasselbe!
\end{Beispiel}
\begin{Ubung}[\textbf{Laplace-Operator in  Kugelkoordinaten}] 
Man zeige, da"s der Laplace-Operator  einer Funktion $f$
in den Kugelkoordinaten aus 
\eref{KuKo}{AN2} gegeben wird durch die Formel 
$$\Delta f=f_{rr}+2r^{-1}f_r+r^{-2}f_{\vartheta\vartheta}
+r^{-2}f_{\vartheta}\op{cot}\vartheta+(r\op{sin}\vartheta)^{-2}
f_{\varphi\varphi}$$%Forster kriegt dasselbe!
Hinweis: Statt das direkt zu rechnen, kann man auch 
von \eref{graKu}{AN2} und \ref{divKu} ausgehen.
\end{Ubung}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "AAANA3"
%%% End: 
