
\section{Derivierter Vorschub und R"uckzug}




\subsection{Lokalisierung von Kofaserungen}



\begin{Bemerkungl}
  Ich erinnere daran, da"s sich nach \eref{KaBr}{TD}
  bei der Lokalisierung einer
  Kategorie nach einem Rechtsoresystem $S$ die Morphismen der
  Lokalisierung als "Aquivalenzklassen von Rechtsbr"uchen
  $s^{-1}\circ f$ mit $s\in S$ beschreiben lassen, bei denen also der Z"ahler
  rechts steht.
\end{Bemerkungl}

\begin{Definition} Sei   $p:\mathscr C\ra \mathscr B$  ein Funktor.
  Unter einem
  {\bf faserweisen Rechts\-oresystem  in $\mathscr C$} 
  verstehen\index{Rechtsoresystem!faserweises} wir ein multiplikatives System $S$ in $\mathscr C$, das
  "uber den Identit"aten
  der Basis  liegt und die Eigenschaft hat,
  da"s f"ur alle $X\in\mathscr B$
  die Menge $S_X$ der $S$-Morphismen "uber $\op{id}_X$ ein Rechtsoresystem
  der Faser $\mathscr C_X$ ist.\label{fORE}
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}]
  Man beachte, da"s in diesem Zusammenhang der Zusatz \glqq faserweise\grqq\
  die Bedingung 
  \glqq Rechtsoresystem\grqq\ 
 sowohl versch"arft als auch  abschw"acht.
 Will ich betonen,
   da"s der Begriff \glqq Rechtsoresystem\grqq\  nicht faserweise gemeint ist,  so spreche ich von einem
   {\bf globalen Rechts\-oresystem}.\index{Rechtsoresystem!globales}
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Analog   erkl"aren wir die Begriffe eines {\bf faserweisen 
    Links\-oresystems},\index{Linksoresystem!faserweises}
  eines\label{fasO} 
 {\bf faserweisen  
   Oresystems}\index{Oresystem!faserweises} und eines
 {\bf faserweisen  ges"attigten 
   Oresystems}.\index{Oresystem!faserweises ges"attigtes}
\end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Lokalisierung einer Faser als Faser der
  Lokalisierung}]  
  Sei ein Funktor  $p:\mathscr C\ra \mathscr B$ gegeben und sei 
  $S$ ein globales Rechtsoresystem in $\mathscr C$ "uber den Identit"aten\label{FFL} 
  von $\mathscr B$.
  Gegeben $X\in\mathscr B$ ist die Menge  $S_X$
  der $S$-Morphismen "uber
  $\op{id}_X$ dann offensichtlich ein Rechtsoresystem
  in der Faser $\mathscr C_X$ und f"ur den  auf der Lokalisierung induzierten Funktor
  $p_S: S^{-1}\mathscr C\ra \mathscr B$
  sind die offensichtlichen Funktoren  Isomorphismen von Kategorien 
  $$S_X^{-1}\mathscr C_{X}\sira (S^{-1}\mathscr C)_X$$
  zwischen der Lokalisierung der Faser und der Faser der Lokalisierung.
Das folgt direkt aus der Interpretation der Morphismen der
  Lokalisierung als "Aquivalenzklassen von Br"uchen. Es gilt
  genauso f"ur Linksoresysteme.
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{R"uckzug von Funktoren}]
Gegeben Funktoren  $F:\mathscr C\ra \mathscr B$ und
$G:\mathscr U\ra \mathscr B$ zu derselben Zielkategorie bezeichne
$$\mathscr C\times_{\mathscr B}\mathscr U$$
das {\bf Faserprodukt in der Kategorie $\op{Cat}$
der Kategorien}.\index{Faserprodukt!von Kategorien}
  Explizit k"onnen wir das Faserprodukt\label{RueFK} 
$\mathscr C\times_{\mathscr B}\mathscr U$
als Unterkategorie der Produktkategorie konstruieren wie folgt:
Als Objekte nehmen wir alle Paare $(C,D)\in \mathscr C\times\mathscr U$  mit $F(C)=G(D)$ und als
Morphismen $(C,D)\ra (C',D')$ alle Paare $(u,v)$ von Morphismen
mit
$F(u)=G(v)$. Je nach Kontext verwenden wir f"ur dies
Faserprodukt auch die Notation $\mathscr C_{\mathscr U}$ und
nennen 
$\mathscr C_{\mathscr U}\ra \mathscr U$  den
{\bf zur"uckgezogenen Funktor}.\index{R"uckzug!von Funktor}
Im Fall der durch ein Objekt $X\in\mathscr B$ gegebenen Einbettung
$\op{cat}\vra \mathscr B$ der terminalen Kategorie spezialisiert
$\mathscr C_{\op{cat}}$ zu unserer Faser $\mathscr C_{X}$.
\end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Kategorieller R"uckzug erh"alt Faserungen und Kofaserungen}]
  Seien Funktoren  $\mathscr C\ra \mathscr B$ und
  $\mathscr U\ra \mathscr B$ gegeben.
  Ist ein Morphismus $u$ in $\mathscr C$
  kartesisch beziehungsweise
  kokartesisch f"ur  $\mathscr C\ra \mathscr B$, so ist auch jeder Morphismus der Gestalt $(u,v)$
  im Faserprodukt kartesisch beziehungsweise
  kokartesisch f"ur  $\mathscr C_{\mathscr U}\ra \mathscr U$.  Ist $\mathscr C\ra \mathscr B$ eine Faserung
  beziehungweise Kofaserung und
  $\mathscr U\ra \mathscr B$ ein beliebiger Funktor, so ist auch
  $\mathscr C_{\mathscr U}\ra \mathscr U$ eine Faserung
  beziehungweise Kofaserung. 
\end{Bemerkungl}

  \begin{Bemerkungl}[\textbf{Lokalisierung und kategorieller R"uckzug auf neue  Basis}]  
   Sei ein Funktor  $p:\mathscr C\ra \mathscr B$ gegeben und sei 
  $S$ ein globales Rechtsoresystem in $\mathscr C$ "uber den Identit"aten\label{FFLn} 
  von $\mathscr B$. Gegeben ein Funktor $\mathscr U\ra \mathscr B$
   sind die
   offensichtlichen Funktoren  Isomorphismen
  $$S_{\mathscr U}^{-1}\mathscr C_{\mathscr U}\sira (S^{-1}\mathscr C)_\mathscr U$$
   zwischen der Lokalisierung des \hyperref[resKK]{R\"{u}ckzugs} und dem  R"uckzug der Lokalisierung mit der Notation $S_{\mathscr U}$ f"ur das Urbild von
   $S$ unter $\mathscr C_{\mathscr U}\ra\mathscr C$.
  Das folgt direkt aus der Interpretation der Morphismen der
  Lokalisierung als "Aquivalenzklassen von Br"uchen und gilt
  ganz genauso auch f"ur globale Linkssoresysteme. %Geprueft am 25.9.17
\end{Bemerkungl}


\begin{Satz}[\textbf{Lokalisieren einer Kofaserung nach
    globalem  Rechtsoresystem}]%Geprueft am 25.9.17 
  Seien  $p:\mathscr C\ra \mathscr B$  ein Kofaserfunktor
  und $S$ ein globales Rechtsoresystem in $\mathscr C$ "uber den Identit"aten
  der Basis.
  So ist auch\label{KofLr}  der auf der Lokalisierung induzierte
  Funktor ein Kofaserfunktor
  $$p_S:S^{-1}\mathscr C\ra \mathscr B$$
  und jeder kokartesische Morphismus
  in $\mathscr C$ bleibt kokartesisch in $S^{-1}\mathscr C$.
\end{Satz}
\begin{proof}
  Um das zu zeigen
  beachten wir f"ur jeden Morphismus $f:X\ra Y$
  in der Basis sowie Objekte $\mathcal F$ "uber $X$ und
  $\mathcal G$ "uber $Y$ die nat"urlichen Isomorphismen
$$\xymatrix{
 (S^{-1}\mathscr C)_f(\mathcal F,\mathcal G) \ar[d]^{\wr} & (S^{-1}\mathscr C)_Y(f_\dagger \mathcal F,\mathcal G) \\
\op{colf}_{\mathcal G\stackrel{S}{\ra}\mathcal G'}\mathscr C_f(\mathcal F,\mathcal G') \ar[r]^-{\sim} &  \op{colf}_{\mathcal G\stackrel{S}{\ra}\mathcal G'}\mathscr C_Y(f_\dagger\mathcal F,\mathcal G')\ar[u]_\wr }$$
   Der Satz folgt.
\end{proof}










\begin{Lemma}[\textbf{Faserweise  Rechtsoresysteme als globale Rechtsoresysteme}] 
  Seien $p:\mathscr C\ra\mathscr B$ eine Kofaserung und
  $S$ ein faserweises %ges"attigtes
  Rechtsoresystem in $\mathscr C$.
  K"onnen wir f"ur jeden Morphismus der Basis einen
  Vorschub
  w"ahlen, der  $S$ stabilisiert,
  so ist $S$ sogar ein globales Rechts\-oresystem in $\mathscr C$.\label{KriLO}
\end{Lemma}
\begin{Bemerkungl}
  In der Situation von Lemma
  \ref{KriLO} k"onnen wir insbesondere  Proposition \ref{KofLr} anwenden und Lokalisieren liefert 
  eine Kofaserung
  $p_S:S^{-1}\mathscr C\ra\mathscr B$ mit der Eigenschaft,
  da"s kokartesische Morphismen in $\mathscr C$ kokartesisch  bleiben in $S^{-1}\mathscr C$.\label{KriLO1}
\end{Bemerkungl}
   \begin{proof}
    Jeder Linksbruch l"a"st sich zu einem Rechtsbruch umschreiben,
    das zeigt das Diagramm
\begin{displaymath}
\xymatrix{
\mathcal F \ar@{->>}[r] & f_\dagger \mathcal F \ar@{-->}[r] & \mathcal G^\prime\\
\mathcal F^\prime \ar@/_1pc/[rr]\ar@{->>}[r]\ar[u]^-{S} & f_\dagger \mathcal F^\prime \ar[r] \ar[u]^-{S}& \mathcal G \ar@{-->}[u]^-{S}
}
\end{displaymath}
Je zwei Morphismen, die durch Vorschalten eines
$S$-Morphismus egalisiert werden, k"onnen auch durch Nachschalten
eines $S$-Morphismus egalisiert werden, das zeigt das
Diagramm
\begin{displaymath}
\begin{gathered}[b]
\xymatrix{
  \mathcal F \ar@/^1,5pc/[rr]  \ar@/^1pc/[rr] \ar@{->>}[r] & f_\dagger {\mathcal {F}}  \ar@<-.2ex>[r] \ar@<.2ex>[r]
  %\ar@2{->}[r]
  & \mathcal G \ar@{-->}[d]_-{S}\\
\mathcal F^\prime \ar@{->>}[r]\ar[u]^-{S} & f_\dagger \mathcal F^\prime \ar[u]^-{S}& \mathcal G' 
} \\[-\dp\strutbox]
\end{gathered}
\qedhere\end{displaymath}
%Das Lemma ist bewiesen.
  \end{proof}

 \begin{Bemerkungl}[\textbf{Opponierte Aussagen zur Lokalisierung von Faserungen}]
Ist $p:\mathscr C\ra\mathscr B$ eine Faserung und
  $S$ ein globales Linksoresystem in
  $\mathscr C$, so  erhalten wir dual zu \ref{KofLr}  durch Lokalisieren
  wieder eine Faserung
  $p_S:S^{-1}\mathscr C\ra\mathscr B$
  mit der Eigenschaft, da"s kartesische Morphismen in $\mathscr C$ kartesisch bleiben in $S^{-1}\mathscr C$. 
Ist $p:\mathscr C\ra\mathscr B$ eine Faserung und
  $S$ ein faserweises Linksoresystem in
  $\mathscr C$ und k"onnen wir f"ur jeden Morphismus der Basis einen R"uckholfunktor
 w"ahlen, der unser faserweises
  Linksoresystem $S$ stabilisiert, 
  so ist $S$  opponiert zu \ref{KriLO}
  ein globales Linksoresystem in $\mathscr C$ und
  wir  erhalten durch Lokalisieren
  wieder eine Faserung
  $p_S:S^{-1}\mathscr C\ra\mathscr B$
  mit der Eigenschaft, da"s kartesische Morphismen in $\mathscr C$ kartesisch bleiben in $S^{-1}\mathscr C$.
\end{Bemerkungl}
 \begin{Bemerkungw}
   Die Lokalisierung von Kofaserungen nach faserweisen Links\-ore\-sys\-te\-men
  beziehungsweise von Faserungen  nach faserweisen Rechts\-ore\-sys\-te\-men ist delikater.
   In  \ref{LRAn1}, \ref{LRAn2} und \ref{dBdF} diskutieren wir Annahmen, unter
   denen in diesen F"allen die Lokalisierung wieder eine Kofaserung ist und die
   Linksderivierten der Vorsch"ube die Vorsch"ube
   der lokalisierten Kofaserung sind.
 \end{Bemerkungw}

\subsection{Quisrechtsentfaltung von Garbenkomplexen}\label{AUGK}
%\nichtfinal{Echt an dieser Stelle machen?} 

\begin{Bemerkungl}
  Gegeben ein 
  Universum  $\mathfrak U$ im Sinne von \eref{defU}{LA2} 
  mit $\DN\in\mathfrak U$ und 
  ein topologischer Raum $X\in \mathfrak U$ 
  bezeichne $\mathfrak U\!\op{Ab}_{/X}$ die Kategorie der
  abelschen Garben $\mathcal F$ auf $X$ mit
  $\mathcal F(V)\in \mathfrak U\;\forall V\co X$.
  Das ist eine abelsche Kategorie, die Kolimiten und Limiten "uber
  alle $\mathfrak U_\in$-$\mathfrak U_\in\uvec$-K"ocher besitzt,
  also alle K"ocher, deren Punktmenge und\label{UKAT} 
  Morphismenmenge
  Elemente von $\mathfrak U$ sind. %\nichtfinal{$\mathfrak U\!\op{Mod}_{\mathcal O}$ genauso, aber  $\DN\in\mathfrak U$ und $\mathcal O\in \mathfrak U$? N"o, $X\in \mathfrak U$ scheint zu reichen.} 
\end{Bemerkungl}



\begin{Satz}[\textbf{Existenz von Quisrechtsentfaltungen}]
Sei $\mathfrak U$ ein Universum 
  mit $\DN\in\mathfrak U$ und sei $X\in \mathfrak U$
  ein topologischer Raum. So besitzt jeder Komplex
  $ A \in \op{Hot} (\mathfrak U\!\op{Ab}_{/X})$  eine\label{EhiA}  
  Quisrechtsentfaltung in $\op{Hot} (\mathfrak U\!\op{Ab}_{/X})$
  durch einen Komplex aus injektiven Garben.
\end{Satz}
 \begin{Bemerkungl}
    Der  Beweis braucht einige Vorbereitungen und wird im Anschlu"s an \ref{kigg} gegeben.
 \end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl} Der Satz zeigt, da"s gegeben  ein Universum  $\mathfrak U$  mit $\DN\in\mathfrak U$ und ein topologischer Raum $X\in \mathfrak U$
  die derivierte Kategorie
  $\op{Der} (\mathfrak U\!\op{Ab}_{/X})$ eine
 $\mathfrak U_\in$-$\mathfrak U_\in\uvec$-Kategorie ist.
  Er zeigt auch, da"s der "Ubergang zu einem gr"o"seren Universum
  einen volltreuen Funktor zwischen den jeweiligen derivierten Kategorien
  von  abelschen Garben  liefert.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Eine Quisrechtsentfaltung mu"s keineswegs in einem Komplex aus
  injektiven Garben landen. In der Homotopiekategorie einer beliebigen
  additiven Kategorie 
  ist ja etwa der Nullkomplex isomorph zu jedem Komplex,
  der nur in zwei benachbarten Graden nicht aus Nullobjekten besteht und
  bei dem der Randoperator zwischen
  diesen beiden Objekten ein Isomorphismus ist.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkunge}
  Ist zus"atzlich $\mathcal A\in \mathfrak U\!\op{Ab}_{/X}$
  eine Garbe von Ringen, so gilt dasselbe f"ur die Kategorie
  $\mathfrak U\!\op{Ab}_{/(X,\mathcal A)}$ der Garben von $\mathcal A$-Moduln
  aus $\mathfrak U\!\op{Ab}_{/X}$, genauer ihre Homotopiekateorie
  $\op{Hot} (\mathfrak U\!\op{Ab}_{/(X,\mathcal A)})$. Der Beweis bleibt
  mutatis mutandis derselbe.\label{reff}   
\end{Bemerkunge}
 
\begin{Definition}
  Sei $\mathcal C$ eine Kategorie.
  Unter einer
  {\bf angeordneten Filtrierung}\index{Filtrierung!angeordnete}
  eines
  Objekts $A \in \mathcal C$ verstehen wir einen
  Ordnungshomomorphismus $(A_\omega)_{ \omega \in \Omega}$
  einer angeordneten Menge $\Omega$
  in die teilgeordnete Menge der
  \hyperref[UOBj]{Unterobjekte} von $A$.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
  Seien $\mathcal C$ eine  Kategorie und $A\in\mathcal C$ ein Objekt und
  $(A_\omega)_{ \omega \in \Omega}$ eine angeordnete Filtrierung von $A$.
  Existieren die filtrierenden Kolimites in $\mathcal C$
  f"ur angeordnete Systeme von
  Unterobjekten von $A$ und sind diese wieder Unterobjekte von $A$,
  so setzen wir
 allgemein f"ur  $\Gamma\subset\Omega$ eine Teilmenge
  $$A_{\Gamma}\pdef \colf _{\eta\in \Gamma} A_\eta\qquad\text{ und speziell }\qquad
  A_{<\omega}\pdef \colf _{\eta < \omega} A_\eta.$$
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Gegeben eine Garbe $\mathcal F$ auf einem topologischen Raum $X$ erkl"aren wir ihre {\bf Kardinalit"at} $\op{card} (\mathcal F) \pdef \op{card} (\bar{\mathcal F})$
  als die Kardinalit"at ihres \'etalen Raums.
  Gegeben ein Komplex von Garben $\mathcal F$ setzen wir $\op{card} (\mathcal F) \pdef \op{max} (\op{card} (\mathcal F^i))$. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Proposition}[\textbf{Enge Filtrierungen exakter Garbenkomplexe}]
Seien $X$ ein topologischer Raum und $\alpha \pdef \op{max} (\op{card} (X), \op{card} (\mathbb N))$.\label{TFAz} 
\begin{enumerate}
\item F"ur jeden surjektiven Morphismus $f : A \twoheadrightarrow B$ in $\op{Ab}_{/X}$ gibt es $A_0 \subset A$
mit $\op{card} (A_0) \leq \alpha \op{card} (B)$ und $f: A_0 \twoheadrightarrow B$;
\item Jeder von Null verschiedene exakte Komplex $ T \neq 0$ in $\op{Ket} (\op{Ab}_{/X})$ besitzt einen von Null
verschiedenen exakten Unterkomplex $0\neq  S \subset  T$ mit $\op{card} ( S) \leq \alpha$;
\item Jeder exakte Komplex $ T$ in $\op{Ket} (\op{Ab}_{/X})$ besitzt eine wohlgeordnete Filtrierung durch Unterkomplexe $ T_\omega$, bei der alle Subquotienten $ T_\omega /  T_{< \omega}$ exakt sind von einer Kardinalit"at $\op{card} ( T_\omega /  T_{<\omega}) \leq \alpha$ und  es $\omega$ gibt mit $ T_\omega= T$.
\end{enumerate}
\end{Proposition}
\begin{proof}
1. Wir w"ahlen f"ur jedes Element eines jeden Halms $b_x \in B_x$ eine offene Umgebung $U \co X$ von $x$ und $t \in A(U)$
mit $t_x \mapsto b_x$. Das liefert einen Morphismus
$
\bigoplus_{(U,t)} \mathbb Z_{U \subset X} \rightarrow A 
$ mit 
der Eigenschaft, da"s sein Bild $A_0$ surjektiv auf $B$ geht. Unsere direkte Summe ist eine Untergarbe der direkten Summe $\bigoplus_{(U,t)} \mathbb Z_X$ von konstanten Garben, deshalb kann man ihre Kardinalit"at absch"atzen durch
$\alpha \op{card} (B)$. %\nichtfinal{F"ur Garben von Moduln "uber Garbe $\mathcal O$  von Ringen: $\alpha \pdef \op{card} (\mathcal O)$ tut es hier.} 
\\[3mm]\noindent
2.
Sicher finden wir einen Index $j$ mit $\op{ker} ( T^j \rightarrow  T^{j+1}) \neq 0$
und eine von Null verschiedene Untergarbe $ S^j$ dieses Kerns mit
$\op{card} ( S^j)
\leq \alpha$.
Dann bilden wir den Pullback
\begin{displaymath}
\xymatrix{
 S^j \ar[r] &  T^j\\
 M^{j-1} \ar[u]\ar[r] & T^{j-1}\ar[u]
}
\end{displaymath}
Er ist auch auf den Halmen ein Pullback, also gilt $ M^{j-1} \twoheadrightarrow  S^j$.
Nach Teil 1 finden wir eine Untergarbe $ M_0^{j-1} \subset  M^{j-1}$ mit
$\op{card} ( M_0^{j-1}) \leq \alpha$ und $ M_0^{j-1} \twoheadrightarrow  S^j$.
Dann nehmen wir $ S^{j-1} \pdef  M^{j-1}$ und machen induktiv weiter. %\nichtfinal{F"ur Garben von Moduln "uber Garbe $\mathcal O$  von Ringen: $\alpha \pdef \op{max}(\op{card} \mathcal O,\op{card}\DN)$ tut es hier.}
\\[3mm]\noindent
3.
Wir finden nach dem Zorn'schen Lemma eine maximale wohlgeordnete Familie von Unterkomplexen
$( T_\omega)_{\omega \in \Omega}$ mit allen fraglichen Eigenschaften mit Ausnahme
der letzten.
Sie sind alle exakt, denn sonst g"abe es einen kleinsten Index $\omega$, f"ur den
$ T_{\omega}$ nicht exakt w"are, und dann w"are $ T_{<\omega}$ exakt und $ T_\omega /  T_{<\omega}$ exakt und damit
$ T_\omega$ doch exakt nach der langen exakten Homologiesequenz.
Also ist auch ihr Kolimes $ T_\Omega$ exakt.
Ist dieser Komplex bereits ganz $ T$, so sind wir fertig.
In jedem Fall ist $ T/   T_\Omega$ exakt,
und ist es nicht Null, so finden wir darin einen von Null verschiedenen exakten Unterkomplex einer Kardinalit"at $\leq \alpha$. Durch sein Urbild in $ T$ k"onnten wir dann unsere wohlgeordnete Familie vergr"o"sern im Widerspruch zur Maximalit"at.
\end{proof}
\begin{Korollar}[\textbf{Testen auf Quisrechtsentfaltetheit mit kleinen Komplexen}] 
Seien $X$ ein topologischer Raum und $\alpha \pdef \op{max} (\op{card} (X), \op{card} (\mathbb N))$.
Ist $ J $ ein Komplex aus injektiven Garben und gilt
$\op{Hot}_{\op{Ab}/X} ( T,J) =0$ f"ur jeden exakten Komplex $ T$ mit
$\op{card} ( T) \leq \alpha$, so folgt $\op{Hot}_{\op{Ab}/X} ( T,  J) = 0$
f"ur jeden exakten Komplex.\label{KhI} %\nichtfinal{($\alpha$ wie vorher ok.)} 
\end{Korollar}
\begin{proof}
  Sei $T$ ein beliebiger exakter Komplex.
  Nach \ref{TFAz} besitzt $ T$ eine wohlgeordnete Filtrierung durch Unterkomplexe $ T_\omega$ mit $\op{card} ( T_\omega/  T_{<\omega}) \leq \alpha \; \forall \omega$ und $ T_\omega=
 T$ f"ur mindestens ein $\omega$.
Die Komplexe 
$\op{Ab}_{/X} ( T_\omega,  J)$ von abelschen Gruppen bilden dann ein \hyperref[MiLeV]{transfinit surjektives} System von
Komplexen, dessen Kernkomplexe
\begin{equation*}
\op{ker} \left(\op{Ab}_{/X}  ( T_\omega,  J) \rightarrow \limf_{\eta<\omega}
\op{Ab}_{/X}  ( T_\eta,  J)\right) = \op{Ab}_{/X}  ( T_\omega/  T_{<\omega},  J)
\end{equation*}
nach unseren Annahmen an jeder Stelle exakt sind.
Mit \eref{AzAgVV}{TS} folgt, da"s auch $\op{Ab}_{/X}  ( T,  J)$ exakt ist.
\end{proof}

\begin{Lemma}[\textbf{Nullhomotopmachen von Morphismen}]
  Sei $\mathfrak U$ ein Universum 
  mit $\DN\in\mathfrak U$. Seien $X\in \mathfrak U$
  ein topologischer Raum, $E\in \mathfrak U$ eine Menge und
   $A, T_e \in \op{Ket} (\mathfrak U\!\op{Ab}_{/X})$  f"ur $e\in E$ Komplexe von abelschen Garben auf $X$ mit $T_e$ exakt. Sei $(f_e : T_e \rightarrow A)_{e \in E}$ eine Familie von Morphismen  nach $A$. So\label{famN}
   gibt es einen injektiven Quasiisomorphismus $g: A \hra B$
   in einen Komplex $B\in \op{Ket} (\mathfrak U\!\op{Ab}_{/X})$ derart, da"s alle $g \circ f_e$ nullhomotop sind.
\end{Lemma}

\begin{proof}
  Wir w"ahlen auf $E$ eine Wohlordnung und nennen diese
  wohlgeordnete Menge $\Omega$. Dann  konstruieren wir mit
  transfiniter Induktion ein direktes System $(B_\omega)_{\omega\in\Omega}$ von Komplexen mit injektiven Quasiisomorphismen $g_\omega : A \hra B_\omega$ und $g_\omega \circ f_\omega$ nullhomotop
durch
\begin{equation*}
T_\omega \rightarrow A \hra \colf _{\eta < \omega} B_\eta \rightarrow B_\omega
\end{equation*}
mit $B_\omega$ dem Abbildungskegel der Komposition der beiden vorderen Morphismen.
Ist $\omega\in\Omega$ das kleinste Element, so ist der
\glqq leere Kolimes\grqq\ als $A$ selber zu verstehen,
also als das \glqq initiale Objekt
in der Kategorie der Komplexe mit
einem ausgezeichneten Morphismus von $A$ dorthin\grqq.
Schlie"slich l"ost dann 
$g : A \hookrightarrow B := \colf _{\omega \in \Omega} B_\omega$ unser Problem.
\end{proof}
\begin{Lemma}
 Sei $\mathfrak U$ ein Universum 
  mit $\DN\in\mathfrak U$. Seien $X\in \mathfrak U$ ein topologischer Raum und $A \in \op{Ket} (\mathfrak U\!\op{Ab}_{/X})$ ein Komplex von abelschen Garben auf $X$.\label{iii} 
So existieren ein Komplex $B \in \op{Ket} (\mathfrak U\!\op{Ab}_{/X})$ und ein injektiver Quasiisomorphismus $h : A \hookrightarrow B$
mit der Eigenschaft, da"s $h (A^i)$ in einer injektiven Untergarbe von $B^i$ liegt f"ur alle $i \in \mathbb Z$. 
\end{Lemma}
%\nichtfinal{\begin{Bemerkunge}
 % Das gilt genauso f"ur $\mathcal O$-Modulgarben auf $X$, wenn $\mathcal O$
%  eine Ringgarbe auf $X$ ist, die zu $\mathfrak U\!\op{Ab}_{/X}$ geh"ort.
%\end{Bemerkunge}} 
\begin{proof}
Wir w"ahlen f"ur alle $i$ eine Einbettung $f^i : A^i \hookrightarrow  J^i$ in eine injektive Garbe aus $\mathfrak U\!\op{Ab}_{/X}$. 
Wir bilden den Komplex $K^i =  J^i \oplus   J^{i+1}$ mit dem Differential $d (x,y)
=(y,0)$. Die Einbettung $(f^i, f^{i+1} d)^\top : A^i \hookrightarrow K^i$ ist dann eine
Kettenabbildung. Wir bilden nun erst den Kokernkomplex $(C^i)$ dieser Kettenabbildung und dann den Komplex
$[-1] \op{Keg} (K \rightarrow C)$.
Die nat"urliche Kettenabbildung von $A$ in diesen letzten
Komplex hat schlie"slich die gesuchten Eigenschaften.
\end{proof}
\begin{Proposition}  Sei $\mathfrak U$ ein Universum 
  mit $\DN\in\mathfrak U$. Seien $X\in \mathfrak U$
  ein topologischer Raum, $E\in \mathfrak U$ eine Menge und
  $ T_e \in \op{Ket} (\mathfrak U\!\op{Ab}_{/X})$  exakte Komplexe von abelschen Garben auf $X$.
So gibt es f"ur jeden Komplex $A \in \op{Ket} (\mathfrak U\!\op{Ab}_{/X})$ einen Quasiisomorphismus $A \qri I$ zu einem Komplex $I\in \op{Ket} (\mathfrak U\!\op{Ab}_{/X})$
aus injektiven Garben mit\label{kigg}
$$\op{Hot}_{ \op{Ab}_{/X}} (T_e, I)=0 \qquad\forall e \in E$$
\end{Proposition}
%\nichtfinal{\begin{Bemerkunge}
%  Das gilt genauso f"ur $\mathcal O$-Modulgarben auf $X$, wenn $\mathcal O$
%  eine Ringgarbe auf $X$ ist, die zu $\mathfrak U\!\op{Ab}_{/X}$ geh"ort.
%\end{Bemerkunge}} 

\begin{proof}
  Sei $\alpha$ eine Kardinalit"at einer Menge aus $\mathfrak U$ 
  mit $\alpha \geq \op{card} (T_e)$ f"ur alle $e \in E$
und $\alpha \geq \op{max} (\op{card} (X), \op{card} (\mathbb N))$.
Sei $\Gamma $ die kleinste
 wohlgeordnete Menge unseres Universums mit $\op{card} (\Gamma) > \alpha$.
Wir konstruieren ein direktes System $( J_\gamma)_{\gamma \in \Gamma}$ von Komplexen abelscher Garben
und beginnen mit $ J_0 \pdef A$. Dann w"ahlen wir mit
\ref{famN} injektive Quasiisomorphismen
\begin{equation*}
\colf _{\eta < \gamma}  J_\eta \hookrightarrow  J_\gamma
\end{equation*}
induktiv so, da"s alle Morphismen von irgendwelchen $T_e$ in den Kolimes nullhomotop werden unter dem Nachschalten
des Morphismus nach $ J_\gamma$. Nach \ref{iii}
d"urfen wir zus"atzlich annehmen, da"s die Bilder unserer Injektionen
in jedem Grad jeweils in injektiven Untergarben enthalten sind.
Ich behaupte, da"s dann der Kolimes $$\colf _{\gamma \in \Gamma}  J_\gamma$$ die gesuchte Eigenschaft hat.
In der Tat mu"s jeder Morphismus von einem $T_e$ dorthin aus Kardinalit"atsgr"unden bereits in einem der $ J_\gamma$
landen, vergleiche etwa \eref{kkk}{AL}, und damit nullhomotop werden.
Weiter mu"s unser Kolimes aus injektiven Garben bestehen, da er das Injektivit"atskriterium "uber Ideale \eref{InI}{TG} 
erf"ullt.
\end{proof}
 \begin{proof}[Beweis f"ur die Existenz von Quisrechtsentfaltungen \ref{EhiA}]
 Sei
  $( T_e)_{e \in E}$
  ein Re\-pr"a\-sen\-tan\-ten\-sys\-tem f"ur die
  Isomorphieklassen exakter Komplexe in $\op{Ket}(\mathfrak U\!\op{Ab}_{/X})$
  einer
  Kardinalit"at $\leq \op{max}(\op{card}(X),\op{card}(\DN))$.
  Konstruieren wir zu dieser Familie einen Quasiisomorphismus $A\qri I$
 zu einem Komplex aus injektiven Garben  mit
 $\op{Hot}_{ \op{Ab}_{/X}} (T_e, I)=0 \;\forall e \in E$ wie in \ref{kigg}
 ausgef"uhrt, so 
   folgt mit unserem Korollar 
   \ref{KhI},  da"s $I$ in $\op{Hot}(\mathfrak U\!\op{Ab}_{/X})$
   bereits quisrechtsentfaltet sein mu"s.
\end{proof}

 
  \begin{Bemerkungl}[\textbf{Produkte und Koprodukte derivierter Modulgarben}]
 \nichtfinal{Sorgfalt mit Universen!}  Gegeben sei ein geringter Raum  $X=(X,\mathcal A)$. Existieren
    f"ur eine Menge $I$ alle $I$-Koprodukte in der Kategorie der
    Modulgarben $\op{Ab}_{/X}$, so existieren auch alle $I$-Koprodukte
    in den Kategorien $\op{Ket}(\op{Ab}_{/X})$, $\op{Hot}(\op{Ab}_{/X})$, 
    $\op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ und stimmen "uberein mit den offensichtlichen
    \glqq gliedweisen Koprodukten\grqq.  Das folgt mit dem zweiten Teil unserer Proposition \eref{PderKc}{TD} aus der Existenz
    \ref{reff} von Quisrechtsentfaltungen f"ur beliebige Homotopiekomplexe
    unserer abelschen Kategorie. Existieren\label{PderK} 
    weiter f"ur eine Menge $I$ alle $I$-Produkte in der Kategorie der
    Modulgarben $\op{Ab}_{/X}$, so existieren auch alle $I$-Produkte
    in den Kategorien $\op{Ket}(\op{Ab}_{/X})$, $\op{Hot}(\op{Ab}_{/X})$, 
    $\op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ und k"onnen
    als gliedweise Produkte von  Quisrechtsentfaltungen
      berechnet werden.
    Das folgt aus dem ersten Teil unserer Proposition \eref{PderKc}{TD}.  
  \end{Bemerkungl}
 
 
  
 
  
     
  \subsubsection*{"Ubungen}
  \nichtfinal{Diese "Ubungen scheinen verfr"uht. Gibt es hier schon $f_!$?
    Nur ganz knapp! Na gut, wenn das normale $f_!$ exakt ist, kann man es
  vertreten, aber dann mu"s was dazu gesagt werden.} 
\begin{Ubung}[\textbf{Derivierte Kategorie der Garben auf einem Koprodukt}]
  Ist ein Raum $X$ eine disjunkte Vereinigung offener Teilmengen
  $X=\bigsqcup_{i\in I} X_i$ und ist $\mathcal F\in \op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ ein
  Komplex von Garben auf $X$, so induzieren die Einheiten beziehungsweise  Koeinheiten der jeweiligen Adjunktionen Isomorphismen
  $$\bigoplus_{i\in I}\op{in}_{i!}\op{in}_{i}^*\mathcal F\;\sira\;\mathcal F\;\sira\; \prod_{i\in I}\op{in}_{i*}\op{in}_{i}^*\mathcal F$$
  Zus"atzlich erinnern wir daran, da"s  hier nach \eref{iufd}{TG} die nat"urlichen
  Transformationen Isotransformationen $\op{in}_{i!}\siRa\op{in}_{i*}$ sind.
  Hinweis:\label{pgklt}   F"ur abelsche Garben war der erste Isomorphismus \eref{pgklj}{TG}. F"ur die
  Homotopiekategorien folgt es unmittelbar. F"ur die derivierten
  Kategorien folgt es dann aus der Exaktheit der beteiligten
  Funktoren. F"ur den zweiten Isomorphismus verwende man die
  Beschreibung von Produkten in
  $\op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ aus \ref{PderK}. 
\end{Ubung}
\begin{Ubung}[\textbf{Hyperkohomologie auf Koprodukten}] 
Sei ein Raum $X$ eine disjunkte Vereinigung offener Teilmengen
  $X=\bigsqcup_{i\in I} X_i$ und $\mathcal F\in \op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ ein
 Komplex von Garben auf $X$.
  Da"s derivierte direkte Bilder als Rechtsadjungierte
  mit Produkten vertauschen liefert \label{pgkld} einen Isomorphismus
  $\op{fin}_*\mathcal F\sira \prod_{i\in I}\op{fin}_{*}\op{in}_{i}^*\mathcal F$
  in $\op{Der}(\op{Ab})$. Da auch die Funktoren
  $\mathcal H^q=\op{Der}_{\op{Ab}}(\DZ[-q],\;)$
  mit Produkten vertauschen erhalten wir, da"s die R"uckz"uge Isomorphismen
  $$\mathbb H^q(X;\mathcal F)\sira \prod_{i\in I}\mathbb H^q(X_i;\mathcal F)$$
liefern.  Das verallgemeinert unsere Erkenntnisse aus \eref{pgKO}{TG} auf die Hyperkohomologie.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}[\textbf{Produkt als Vorschub}]
  Ist $X$ ein topologischer Raum, $(\mathcal G_i)_{i\in I}$ eine Familie von
  Objekten von $\op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ und  $ \op{em}_i: X \ra X\times I$
  die Einbettungen und ist ein Objekt
  $\mathcal G\in \op{Der}(\op{Ab}_{/X\times I})$   gegeben zusammen mit Isomorphismen $\op{em}_i^*\mathcal G\sira \mathcal G_i$,
  so liefern diese Isomorphismen zusammen nach \ref{pgkld} einen Isomorphismus
  $\mathcal G\sira \prod_{i\in I} \op{em}_{i*}\mathcal G_i$ und das Anwenden
  des Vorschubs unter
  der Projektion auf $X$ liefert einen  Isomorphismus\label{pgBId} 
  $$\op{pr}_{X*}\mathcal G\sira \prod_{i\in I}\mathcal G_i$$
  Hinweis: Der derivierte Vorschub vertauscht als Rechtsadjungierter stets mit Produkten. 
\end{Ubung}
\begin{Ubung}[\textbf{Koprodukt als Schreivorschub}]
Sei $X$ ein topologischer Raum. Seien  $(\mathcal G_i)_{i\in I}$ eine Familie von
  Objekten von $\op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ und  $ \op{em}_i: X \ra X\times I$
  die Einbettungen. Gegeben ein Objekt
  $\mathcal G\in \op{Der}(\op{Ab}_{/X\times I})$  zusammen mit Isomorphismen $\op{em}_i^*\mathcal G\sira \mathcal G_i$ liefern diese Isomorphismen zusammen nach \ref{pgkld} einen Isomorphismus
  $\bigoplus_{i\in I} \op{em}_{i!}\mathcal G_i\sira \mathcal G$ und der
  Schreivorschub unter
  der Projektion auf $X$ ist exakt nach \eref{lfad}{TG} und
 das Anwenden des zugeh"origen derivierten Funktors  liefert einen  Isomorphismus\label{pgBIds} 
  $$ \bigoplus_{i\in I}\mathcal G_i \sira \op{pr}_{X!}\mathcal G $$
 Hinweis: Der \'etale separierte Schreivorschub vertauscht
 nach \eref{lfad}{TG} zumindest underiviert mit Koprodukten. \nichtfinal{Nochmal pr"ufen!} 
\end{Ubung}

\begin{Ubung}[\textbf{Verschwindungskriterium f"ur derivierte Garben}]
  Seien $X$ ein topologischer Raum und
  $\mathcal F\in\op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ ein  Komplex von abelschen Garben.
  Besitzt jeder Punkt $x\in X$ ein konfinales System\label{VersKK}
  von offenen Umgebungen $U\co X$ mit $\op{fin}_*j^*\mathcal F=0$
  f"ur $j:U\hra X$ die Einbettung, so gilt bereits $\mathcal F=0$.
 % An dieser Stelle wird das erst mal nur f"ur $\mathcal F\in\op{Der}^+(\op{Ab}_{/X})$ gelingen,
 % mit den Resultaten aus \ref{AUGK} dann aber auch im Allgemeinen.
  Hinweis: Da nach \eref{RIGO}{TG} das Ausdehnen durch Null unter einer
  offenen Einbettung ein exakter Funktor ist, macht der R"uckzug unter
  einer offenen Einbettung quisrechtsentfaltete Komplexe zu  quisrechtsentfalteten Komplexen. Man mag die Aussage alternativ
  auch aus \ref{RHFu}
  folgern.
\end{Ubung}


\begin{Scholium}
  Man kann also lokal pr"ufen, ob ein vorgegebener Garbenkomplex in der
  derivierten Kategorie das Nullobjekt ist. Da"s das halmweise gepr"uft werden
  kann, ist ja eh klar. Ein Komplex abelscher Garben ist eben exakt genau dann,
  wenn er auf allen Halmen exakte Komplexe induziert. Man kann jedoch nicht auf den Halmen pr"ufen, ob zwei Morphismen in der derivierten Kategorie der Garben
  "ubereinstimmen. Das geht nur bei echten Garben. 
\end{Scholium}


 \begin{Ubung}[\textbf{Beschreibung der h"oheren  Vorsch"ube}]
   %Anregung von Olaf Schnuerer!
   Gegeben eine stetige Abbildung $f: X \ra Y$\label{RHFu} 
und ein Komplex $\cal{F} \in \op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ 
    auf $X$  ist die  $q$-te Kohomologiegarbe seines derivierten Vorschubs
    ${\mathcal H}^{q}(f_{\ast}\cal{F})$ nat"urlich
    isomorph zu der zur Pr"agarbe $V
    \mapsto \mathbb H^{q} (f^{-1}(V);\cal{F})$
     assoziierten Garbe. Das verallgemeinert sowohl den in \eref{RHF}{TG} 
    besprochenen Fall einer abelschen Garbe $\mathcal F$ als auch 
    das Verschwindungskriterium \ref{VersKK},
    das sich aus
    dem Spezialfall $f=\op{id}$ ergibt. F"ur den Beweis kopiere man
    den Beweis von \eref{RHF}{TG} und nutze die in  \ref{VersKK} gegebenen Hinweise.
    Im Fall unbeschr"ankter Komplexe ben"otigt man auch hier die 
     Quisrechtsentfaltungen aus \ref{AUGK}.
 \end{Ubung}
\begin{Ubung}[\textbf{Verschwindungskriterium f"ur derivierte Garben, Variante}]
  Seien $X, Y$  topologische R"aume und
  $\mathcal F\in\op{Der}(\op{Ab}_{/{X\times Y}})$ ein
  Komplex von abelschen Garben.
  Besitzt jeder Punkt $x\in X$ ein konfinales System\label{VersKV}
  von offenen Umgebungen $U\co X$ mit
  $\op{pr}_{Y*}(j\times\op{id})^*\mathcal F=0$
  f"ur $j:U\hra X$ die Einbettung, so gilt bereits $\mathcal F=0$.
  Hinweis: Folgt aus dem vorhergehenden.
  % Mit den Resultaten aus \ref{AUGK} zeige man
 % dasselbe allgemeiner f"ur einen beliebigen Komplex  $\mathcal F\in\op{Der}(\op{Ab}_{/X\times Y})$. 
\end{Ubung}


\subsection{Derivierte Opgarbenfaserung abelscher Garben}\label{GaOPKO}

\begin{Bemerkungl}
  Wir erinnern aus \eref{GMab}{TG} die Bifaserung $\op{Ab}_{\sslash \op{Top}}\ra \op{Top}$, die wir  die 
  Opgarbenfaserung genannt hatten und deren Fasern $\op{Ab}_{\sslash X}$
  opponiert sind zu den "ublichen Kategorien $\op{Ab}_{/X}$ von
  abelschen Garben auf $X$. Gegeben eine stetige Abbildung $f:X\ra Y$
  sind R"uckzug und Vorschub adjungierte Funktoren zwischen den 
  additiven Kategorien $\op{Ab}_{\sslash X},\op{Ab}_{\sslash Y}$
  und somit nach \eref{RAad}{TG} additive Funktoren.
  Gegeben $\mathcal F\in \op{Ab}_{\sslash X}$ und
  $\mathcal G\in \op{Ab}_{\sslash Y}$ liefert mithin die Adjunktion
  einen Gruppenisomorphismus $\op{Ab}_{\sslash Y}(f_\dagger\mathcal F, \mathcal G)\sira
  \op{Ab}_{\sslash X}(\mathcal F, f^\dagger \mathcal G)$ und wir k"onnen eine
  Addition auf  $$\op{Ab}_{\sslash f}(\mathcal F, \mathcal G)$$ dadurch erkl"aren,
  da"s sie mit diesen Gruppenstrukturen vertr"aglich ist. Es ist leicht zu sehen, da"s f"ur eine weitere stetige Abbildung $g:Y\ra Z$ und $\mathcal H\in \op{Ab}_{\sslash Z}$ die Verkn"upfung $\op{Ab}_{\sslash f}(\mathcal F, \mathcal G)\times \op{Ab}_{\sslash g}(\mathcal G, \mathcal H)\ra \op{Ab}_{\sslash gf}(\mathcal F, \mathcal H)$ biadditiv ist. \nichtfinal{N"otig? Wo? In sp"ater eingef"uhrter Terminologie haben wir so f"ur unseren Funktor eine \glqq relative additive Struktur\grqq\ erhalten.}  
\end{Bemerkungl}






\begin{Bemerkungl}
  Gegeben eine stetige Abbildung $f:X\ra Y$ und Komplexe abelscher Garben
   $\mathcal F\in \op{Ket}(\op{Ab}_{\sslash X})$ und
  $\mathcal G\in \op{Ket}(\op{Ab}_{\sslash Y})$
  erhalten wir analog zum Homkomplex einen Komplex abelscher Gruppen
  $\op{Ab}_{\sslash f}(\mathcal F, \mathcal G)\in \op{Ket}(\op{Ab})$ und Isomorphismen von Komplexen
 $$\op{Ab}_{\sslash Y}(f_\dagger\mathcal F, \mathcal G)\sira\op{Ab}_{\sslash f}(\mathcal F, \mathcal G)\sira 
  \op{Ab}_{\sslash X}(\mathcal F, f^\dagger \mathcal G)$$ 
  Nehmen wir $\mathcal Z^0$ beziehungsweise
  $\mathcal H^0$ des Komplexes $\op{Ab}_{\sslash f}(\mathcal F, \mathcal G)$ als
  Morphismen von Garbenkomplexen "uber $f$, so erhalten wir weitere 
  Bifaserungen, die wir 
  $$\op{Ket}(\op{Ab}_{\sslash {\op{Top}}})\ra \op{Top}\quad\text{und}\quad\op{Hot}(\op{Ab}_{\sslash {\op{Top}}})\ra \op{Top}$$
  notieren, mit komponentenweisem $f^\dagger$ als R"uckzug und komponentenweisem
  $f_\dagger$ als Vorschub. \nichtfinal{N"otig? Wo? In sp"ater eingef"uhrter Terminologie haben wir
  zu unserem Funktor  $\op{Ab}_{\sslash \op{Top}}\ra \op{Top}$ mit \glqq relativer additiver Struktur\grqq\ den
  \glqq relativ in $\op{dgAb}$ angereicherten Funktor\grqq\ der Komplexe
  gebildet und diesen \glqq umstrukturiert\grqq\ vermittels der Schmelzfunktoren $\mathcal Z^0$ beziehungsweise  $\mathcal H^0$ von $\op{dgAb}$  nach $\op{Ab}$.} 
\end{Bemerkungl}

   \begin{Bemerkungl}
     Gegeben eine Faserung $\mathscr C\ra \mathscr B$ mit einer die Fasern
     stabilisierenden $\DZ$-Operation auf
     $\mathscr C$ ist f"ur jeden kartesischen
      Morphismus $\varphi:\mathcal F\ra \mathcal G$ in $\mathscr C$ auch
      $[1]\varphi:[1]\mathcal F\ra [1]\mathcal G$ kartesisch.
      Gegeben ein Morphismus  $f:X\ra Y$ in der Basis besitzt dann jeder 
      R"uckzugsfunktor $f^\dagger:\mathscr C_Y\ra \mathscr C_X$
      genau eine $\DZ$-Struktur
      $u$ derart, da"s\label{Zsr} 
      $u: [1] f^\dagger\mathcal G\sira f^\dagger[1]\mathcal G$
      die Vertr"aglichkeit
      $\kappa_{[1]\mathcal G}=u\circ [1]\kappa_{\mathcal G}$ mit den jeweiligen
      Transportmorphismen erf"ullt. Alle Identifikationen
      $f^\dagger g^\dagger\siRa (gf)^\dagger$ sind dann
      $\DZ$-vertr"agliche Transformationen. Ebenso erhalten die Vorsch"ube eine
      $\DZ$-Struktur, soweit sie existieren, und die Basiswechsel
      sind $\DZ$-vertr"aglich. 
    \end{Bemerkungl}


 \begin{Satz} 
    \begin{enumerate}
    \item Das Lo\-ka\-li\-sie\-ren nach Quasiisomorphismen "uber Identit"aten
      macht aus der Opgarbenfaserung der Homotopiekomplexe eine weitere
      Faserung,
      die \emph{\bf derivierte Opgarbenfaserung}\index{Opgarbenfaserung!derivierte} 
 $$\op{Der}_{\sslash \op{Top}}\pdef\op{Hot}(\op{Ab}_{\sslash \op{Top}})_{\op{qis}}
      \ra \op{Top}$$
    \item
      Die $\DZ$-Operation auf  $\op{Hot}(\op{Ab}_{\sslash \op{Top}})$ durch das
      Verschieben von Komplexen induziert eine $\DZ$-Operation auf
      $\op{Der}_{\sslash \op{Top}}$, die die Fasern unserer Faserung
      stablisiert;
  \item Jeder  f"ur  $\op{Hot}(\op{Ab}_{\sslash \op{Top}})\ra \op{Top}$ kartesische Morphismus bleibt
    kartesisch in  der Lokalisierung;
  \item 
    F"ur jeden  Raum $X$ ist  der Funktor
    von  der
      Lokalisierung der Faser zur Faser der Lokalisierung ein Isomorphismus 
      $e_X:\op{Der}(\op{Ab}_{\sslash X})\sira \op{Der}_{\sslash X}$ von
      $\DZ$-Kategorien;
      \item
      Gegeben $f:X\ra Y$ stetig existiert  
    eine vertr"agliche Isotransformation zwischen den beiden Kompositionen
      des  Diagramms
      $$\xymatrix{\op{Der}(\op{Ab}_{{\sslash}Y})
 \ar[d]^{\wr}_{e_Y}\ar[rr]^-{{\op{R}}f^{(\dagger)}} &&\ar@{=>}[dll]_\sim \op{Der}(\op{Ab}_{{\sslash}X})\ar[d]_{e_X}^\wr \\
 \op{Der}_{{\sslash}Y}\ar[rr]^-{f^{\dagger}}  && \op{Der}_{{\sslash}X}}$$  
      mit dem  Derivierten des gew"ohnlichen R"uckzugs $f^{(\dagger)}$
      und dem
      R"uckzug $f^{\dagger}$  der derivierten 
      Opgarbenfaserung mit seiner $\DZ$-Struktur aus \ref{Zsr}
      in den Horizontalen.  
    \end{enumerate}
     \label{fdsmm} \label{dirBi} \end{Satz}
 \begin{proof} 
  In Bezug auf den Faserfunktor
       $\op{Hot}(\op{Ab}_{\sslash \op{Top}})\ra \op{Top}$
       bilden die Quasiisomorphismen "uber den Identit"aten der Basis
       ein faserweises Oresystem, das unter allen
       R"uckz"ugen ebenso wie unter dem Verschieben von
       Komplexen stabil ist. Nach \ref{KriLO} ist
       es damit sogar ein globales Linksoresystem
       in $\op{Hot}(\op{Ab}_{\sslash \op{Top}})$.
       Wenn wir danach lokalisieren, erhalten wir nach \ref{KofLr}
       opponiert einen Faserfunktor, der kartesische Morphismen zu kartesischen
       Morphismen macht und die  ersten drei Aussagen sind gezeigt.
     Die vierte folgt unmittelbar aus \ref{FFLn} opponiert. 
     Die f"unfte Aussage folgt daraus, da"s beide Horizontalen bis
     auf eindeutigen Isomorphismus von demselben Funktor
     $\op{Hot}(\op{Ab}_{{\sslash}Y})\ra \op{Hot}(\op{Ab}_{{\sslash}X})$  auf den
     Homotopiekategorien herkommen. 
 \end{proof}

% \end{Bemerkungl}
%\begin{Bemerkungl}[\textbf{Fasern
%      der derivierten Opgarbenfaserung}] 
%   Nach \ref{FFLn} opponiert sind im Fall der derivierten Opgarbenfaserung
%   die allgemeinen Funktoren
%   von der Lokalisierung der Faser zur Faser der Lokalisierung
 %       Isomorphismen 
  %      $$e_X:\op{Der}(\op{Ab}_{\sslash X})\sira
 %       \op{Der}(\op{Ab}_{\sslash \op{Top}})_X$$
 %     Mit dem zugeh"origen Strukturtransport
  %    versehen wir alle Fasern der Lokalisierung mit der 
  %    Struktur einer  triangulierten Kategorie. Weiter erbt
   %   $\op{Der}(\op{Ab}_{\sslash \op{Top}})$ von
   %   $\op{Hot}(\op{Ab}_{\sslash \op{Top}})$ eine strikte  $\DZ$-Operation, die
  %    die Fasern stabilisiert und die auf jeder Faser zur  $\DZ$-Operation der
  %    jeweiligen triangulierten Kategorie spezialisiert.\label{dErTo}   
% \end{Bemerkungl}
 

 \begin{Bemerkungw} F"ur nicht notwendig exakte Funktoren werden
   Verallgemeinerungen  in
  \ref{LRAn2} und \ref{dBdF} diskutiert.
\end{Bemerkungw}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Derivierte Opgarbenfaserung als Bifaserung}] 
  Sei $f:X\ra Y$ eine stetige Abbildung.
  Nach \eref{dRz}{TD} hat
  $f^*={\op{L}}f^{(*)}: \op{Der}(\op{Ab}_{/ Y})\ra \op{Der}(\op{Ab}_{/ X})$
  den Rechtsadjungierten\label{fdsmm}
       $f_*={\op{R}}f_{(*)}$ und nach \eref{stKK}{TG} ist damit unsere
       Faserung auch eine Kofaserung mit Vorschubfunktor $f_*^{\op{opp}}$. 
       Formal besteht unsere Struktur aus einem Bifaserfunktor
       $\op{Der}(\op{Ab}_{\sslash \op{Top}})\ra \op{Top}$
       mit  einer die Fasern stabilisierenden
       $\DZ$-Operation und einer  Triangulierung auf allen Fasern
       derart, da"s alle R"uckz"uge und Vorsch"ube mit ihrer induzierten
       $\DZ$-Struktur triangulierte Funktoren sind.\label{dirBi} 
       Damit haben wir die ersten zwei der
       sechs Funktoren des Sechs-Funktor-For\-ma\-lis\-mus
       konstruiert in Gestalt 
  adjungierter Paare triangulierter Funktorn $(f^*, f_*)$  und haben deren Beziehungen untereinander beschrieben. Die Verallgemeinerung zu Modulgarben diskutieren wir in \ref{dmgj}. \nichtfinal{Ja wo denn?}
\end{Bemerkungl}









 


\begin{Bemerkungl}
  Ist speziell $f=\op{fin}_X:X\ra\op{top}$ die konstante Abbildung
  und $\mathcal F\in\op{Der}(\op{Ab}_{{\sslash} X})$
  ein Komplex abelscher Garben auf $X$,
  so haben wir\label{HyK} $$\mathbb H^q(X;\mathcal F)= \mathcal H^q\op{fin}_{X*}\mathcal F$$ 
Diese Gruppe ist
 unsere $q$-te Hyperkohomologie von $X$ mit Koeffizienten 
 in $\mathcal F$ aus \eref{hkmt}{TD}.\index{Hyperkohomologie}\index{H@$\mathbb H$ Hyperkohomologie} Ist $\mathcal F$ eine abelsche Garbe und kein Komplex, so notieren wir diese
 Gruppe wie bisher ${\op{H}}^q(X;\mathcal F)$ und nennen sie wie bisher
 die Kohomologie von $X$ mit Koeffizienten 
 in $\mathcal F$. 
\end{Bemerkungl}









\begin{Satz}[\textbf{Halbbeschr"ankter derivierter eigentlicher Basiswechsel}]
  Gegeben ein kartesisches Quadrat $fq=pg$ topologischer R"aume mit
  $f,g$ eigentlich und separiert ist der Basiswechsel der derivierten Opgarbenfaserung f"ur $\mathcal F\in \op{Der}^+(\op{Ab}_{/X})$
  ein Isomorphismus\label{DEB} 
  $$p^*f_*\mathcal F\sira g_*q^*\mathcal F$$
\end{Satz}
\begin{proof}
  Im Fall von Mengengarben und a forteriori von abelschen Garben
  kennen wir diese Aussage bereits aus \eref{EBWA}{TG}. 
  Sie folgt unmittelbar f"ur Komplexe von abelschen Garben und
  desgleichen f"ur Homotopiekomplexe.  
  Ein Morphismus in der derivierten Kategorie der Kategorie der
  abelschen Garben auf einem topologischen Raum ist nun ein Isomorphismus
  genau dann, wenn er unter dem R"uckzug auf jeden Punkt einen
  Isomorphismus liefert. Aufgrund der Transitivit"at von Basiswechseln
  \eref{TrBaa}{TG} d"urfen wir uns beim Beweis mithin auf den Fall beschr"anken,
  da"s $p$ von einem einpunktigen Raum ausgeht.
  Nun wissen wir, da"s jeder Komplex
  $\mathcal F\in \op{Hot}^+(\op{Ab}_{/X})$ aus welken abelschen Garben
  quis\-rechts\-ent\-fal\-tet ist f"ur $f_{(*)}$. Nach Annahme ist,
  wenn $p$ von einem einpunktigen Raum ausgeht, unser $q:W\ra X$
  die Einbettung eines relativ hausdorffschen Kompaktums.
  Nach \eref{WKW}{TG} ist damit $q^{(*)}\mathcal F$ ein gegen die Differentiale
  beschr"ankter Komplex von kompaktweichen und nach \eref{KwA}{TG}
  f"ur den Funktor der globalen Schnitte $g_{(*)}$ rechtsazyklischen
  abelschen Garben und ist damit nach
  \rref{DAZOt}{TD} quisrechtsentfaltet f"ur $g_{(*)}$.
  Der Basiswechsel in der derivierten Kategorie entsteht mithin aus einem
  Isomorphismus in der Homotopiekategorie und ist folglich
  selbst ein Isomorphismus. 
\end{proof}


\begin{Satz}[\textbf{Unbeschr"ankter derivierter eigentlicher Basiswechsel}]
  Sei ein kartesisches Quadrat $fq=pg$ topologischer R"aume mit
  $f,g$ eigentlich und separiert gegeben. Hat $g_{(*)}$ beschr"ankte homologische Dimension, so ist der Basiswechsel der derivierten Opgarbenfaserung f"ur beliebiges
  $\mathcal F\in \op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ ein Isomorphismus\label{DEU} 
  $$p^*f_*\mathcal F\sira g_*q^*\mathcal F$$
\end{Satz}
\begin{proof}
  Nach \ref{EhiA} besitzt jeder Komplex abelscher Garben
  eine Quisrechtsentfaltung durch einen
  Komplex injektiver Garben. Wir d"urfen also ohne Be\-schr"an\-kung der
  Allgemeinheit annehmen, da"s $\mathcal F$ bereits selbst
  solch ein Komplex ist.
 Aus dem halbbeschr"ankten Fall
 \ref{DEB} folgt, da"s  dann $q^{(*)}\mathcal F$ ein
 Komplex aus $g_{(*)}$-rechtsazyklischen Garben ist.
 Damit ist $q^{(*)}\mathcal F$ quisrechtsentfaltet f"ur $g_{(*)}$ 
  nach unseren Erkenntnissen \eref{UbDe}{TD} "uber das Derivieren
  homologisch endlicher Funktoren. Der Satz folgt.
\end{proof}


\subsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}
  Seien $f:X\ra Y$ eine stetige Abbildung und
$\phi\in\op{Der}_{{\sslash}f}(\mathcal F,\mathcal G)$
  ein Morphismus derivierter abelscher Garben dar"uber
  alias ein Element des Morphismenraums
  $\op{Der}_{/X}(f^*\mathcal G,\mathcal F)$.
  Sind $\mathcal F,\mathcal G$ abelsche Garben, so ist das
  schlicht ein Komorphismus $\mathcal G\ra \mathcal F$ "uber $f$.
  Die Einheit der Adjunktion
  $\mathcal G\ra f_*f^*\mathcal G$ induziert nun  einen Morphismus
  $$\op{fin}_{Y*}\mathcal G\ra \op{fin}_{Y*}f_*f^*\mathcal G\sira
  \op{fin}_{X*}f^*\mathcal G\ra \op{fin}_{X*}\mathcal F$$
  und so einen Morphismus ${\op{H}}^q(Y;\mathcal G)\ra{\op{H}}^q(X;\mathcal F)$.
  Man zeige, da"s er unser R"uckzug auf der Garbenkohomologie aus
  \eref{ZHKoX}{TG} ist.\label{ZHKoD}
\end{Ubung}


\subsection{Lokalisierung durch Anpassung} 
%Neu am 16.10.2022, volle Unterkofaserung von beliebigem Funktor erkl"art.


\begin{Bemerkungl}
  Unter einem starken Vorschub verstehen wir im folgenden wie in \eref{stVV}{TG} einen Vorschub mit stark kokartesischem Transportmorphismus.
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}   Unter einer {\bf vollen Unterkofaserung}\index{Unterkofaserung!volle} eines Funktors  $\mathscr C\ra \mathscr B$  verstehen wir eine volle Unterkategorie  $\mathscr D\subset \mathscr C$ derart, da"s die Objekte von $\mathscr D$ f"ur jeden Morphismus der Basis\label{voUK} 
 $\mathscr B$  einen  in Bezug auf  $\mathscr C\ra \mathscr B$ starken Vorschub besitzen, der selbst wieder zu $\mathscr D$ geh"ort.  
  %\nichtfinal{Was ist n"otig?
    %Starker Vorschub in Bezug auf den urspr"unglichen Funktor
    %existiert auf allen Objekten von $\mathscr D$ und kann so gew"ahlt werden, da"s er wieder in $\mathscr D$ landet? Ja, das brauchen wir!}
\end{Definition}


\begin{Definition} Seien   $\mathscr C\ra \mathscr B$  ein 
  Funktor 
  und $S$ ein faserweises \hyperref[RmS]{Linksoresystem} in $\mathscr C$. 
  Eine \hyperref[voUK]{volle Unterkofaserung} $\mathscr D\subset \mathscr C$
  hei"se eine
  {\bf Linksanpassung f"ur $S$},\index{Linksanpassung}\label{RAP}
  wenn (1) die Menge $T$ aller $S$-Morphismen aus $\mathscr D$ ein
  faserweises Oresystem %fr"uher mal: Linksoresystem
  in $\mathscr D$ bildet,
  wenn (2) Vorschubfunktoren $f_\dagger$ f"ur Objekte von $\mathscr D$ so gew"ahlt werden k"onnen,
  da"s sie unsere Menge
   $T$ stabilisieren, und wenn  es (3) f"ur jedes
  $C\in \mathscr C$ einen $S$-Morphismus $D\ra C$ gibt mit $D\in \mathscr D$.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
  Opponiert zu \ref{voUK} erkl"aren wir f"ur  $\mathscr C\ra \mathscr B$  einen  Funktor
  und $S$ ein faserweises \hyperref[RmS]{Rechtsoresystem} in $\mathscr C$
  eine
  {\bf Rechtsanpassung}\index{Rechtsanpassung}\label{LAP} als eine
  volle Unterfaserung unseres Funktors mit entsprechenden Eigenschaften. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}
  Ganz $\mathscr C$ ist eine Linksanpassung f"ur eine Kofaserung $\mathscr C\ra \mathscr B$ mit faserweisem Linksoresystem $S$ genau dann, wenn $S$
  ein faserweises Oresystem ist und die Bedingung \ref{KriLO} erf"ullt,
  die sicherstellt, da"s $S$ sogar zus"atzlich
  ein globales Rechtsoresystem ist.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}[\textbf{Homotopiekomplexe der Modulbifaserung}] 
 Wir erinnern aus \eref{mobi}{TG} die Modulbifaserung 
 $\op{Mod}_{{\op{Ring}}}\ra \op{Ring}$. Die Faser "uber einem Ring ist seine
 Modulkategorie, kokartesisch
  "uber einem Ringhomomorphismus
  $A\ra B$ ist $M\ra B\otimes_A M$.
 Wie bei der Konstruktion der derivierten Opgarbenfaserung bilden wir die
 zugeh"orige Kofaserung der Homotopiekomplexe.
 Wir beginnen 
  aus Bequemlicheit mit ihrer halbseitig beschr"ankten Version\label{dmbI}  
 $$\op{Hot}^-(\op{Mod}_{{\op{Ring}}})\ra \op{Ring}$$
 Das faserweise Oresystem der Quasiisomorphismen ist kein globales
 Rechts\-ore\-sys\-tem, wie der Leser sich selbst "uberlegen mag,
 und erf"ullt zumindest nicht unsere hinreichende Bedingung f"ur
 ein globales
 Rechts\-ore\-sys\-tem \ref{KriLO}, da der Vorschub
 $M\mapsto B\otimes_A M$ im allgemeinen  Quasiisomorphismen
 nicht erh"alt.  Eine Linksanpassung w"are etwa die volle Unterkategorie aller
 entsprechend beschr"ankten Komplexe aus freien Moduln. 
 Allgemeiner bilden die quisflachen Komplexe aus \eref{dquf}{TD}
 eine Linksanpassung 
 f"ur  $\op{Hot}(\op{Mod}_{{\op{Ring}}})\ra \op{Ring}$, da es nach 
 \eref{hprl}{TD} zu jedem Komplex einen Quasiisomorphismus
 aus einem quisflachen Komplex gibt, 
 Quasiisomorphismen quisflacher Komplexe unter
 Skalarerweiterung Quasiisomorphismen bleiben nach \eref{TGgg}{TD}. 
\end{Beispiel}

\begin{Beispiel}[\textbf{Indexfunktor der
      Familienkategorie der Homotopiekomplexe}]
  Wir betrachten die Familienkategorie zur Schmelzkategorie
  der Homotopiekomplexe abelscher Gruppen mit dem Indexfunktor in die
  Kategorie der endlichen Mengen
  $$\op{Hot}(\op{Ab})\ra \op{Ensf}$$
  Unsere Schmelzkategorie hat stabil universelle Verschmelzungen, folglich ist
  dieser Indexfunktor eine Kofaserung. Zu dieser Kofaserung
  betrachten wir das faserweise
  Linksoresystem aller Tupel von Quasiisomorphismen in den Fasern. 
 Es ist  sogar
  ein faserweises Oresystem, ist jedoch nicht stabil unter Vorschub
  und wir k"onnen deshalb \ref{KriLO} und \ref{KofLr} nicht anwenden, um die
  Lokalisierung zu beschreiben. Wir finden jedoch eine
  Linksanpassung in Gestalt aller
  Tupel von Komplexen flacher abelscher Gruppen.
  Die Bedingung (2) an eine Linksanpassung
  l"auft dabei auf die Erkenntnis \eref{EApo}{TD} hinaus,
  da"s das Tensorieren mit
  einem Komplex flacher abelscher Gruppen Quasiisomorphismen zu
  Quasiisomorphismen macht.\label{TenGG}
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Eigenschaften von Linksanpassungen}]
Gegeben  $\mathscr C\ra \mathscr B$  ein 
  Funktor 
  und $S$ ein faserweises \hyperref[RmS]{Linksoresystem} in $\mathscr C$ und $\mathscr D\subset \mathscr C$
 eine
  Linksanpassung f"ur $S$ ist die Menge $T$ der $S$-Morphismen in $\mathscr D$ nach\label{ERAp} 
  \ref{KriLO} ein globales Rechts\-ore\-sys\-tem in $\mathscr D$, denn 
  $T$ ist nach Annahme ein faserweises Rechts\-ore\-sys\-tem  in $\mathscr D$.
Weiter bemerken wir, da"s 
  nach \ref{KriLO1} der induzierte Funktor $T^{-1}\mathscr D\ra \mathscr B$   ein Kofaserfunktor ist
  und  da"s  kokartesische Morphismen
  aus $\mathscr D$ kokartesisch bleiben in der Lokalisierung $T^{-1}\mathscr D$.
  Schlie"slich  induziert nach \ref{FFL}
  die Einbettung f"ur alle $X\in\mathscr B$ einen Isomorphismus
  $T_X^{-1}\mathscr D_{X}\sira (T^{-1}\mathscr D)_X$
  und nach \eref{LUK}{TD}  sind die
  auf den Lokalisierungen der Fasern induzierten  Funktoren "Aquivalenzen  
  $$T_X^{-1}\mathscr D_{X}\sirra S_X^{-1}\mathscr C_{X}$$ 
\end{Bemerkungl}

\begin{Satz}[\textbf{Lokalisierung durch Linksanpassung}]
Gegeben  $\mathscr C\ra \mathscr B$ ein Funktor  und
 $S$ ein faserweises Linksoresystem  in $\mathscr C$ 
und $\mathscr D\subset \mathscr C$ eine  \hyperref[RAP]{Linksanpassung}
 f"ur $S$ und $T$ die Menge aller $S$-Morphismen aus $\mathscr D$ ist der offensichtliche Funktor eine "Aquivalenz\label{LdfR} 
$$T^{-1}\mathscr D\sirra S^{-1}\mathscr C$$
\end{Satz}
\begin{Bemerkunge}
  Ich w"u"ste gerne, ob dieser Satz aus allgemeinen Aussagen
  "uber Modellkategorien gefolgert werden kann.
\end{Bemerkunge}
\begin{proof} Wir konstruieren 
  einen quasiinversen Funktor. In einem ersten Schritt
  w"ahlen wir f"ur jedes $X\in\mathscr B$ und jedes
  $C\in \mathscr C_X$ ein
  Objekt $D=D(C)\in \mathscr D_X$ zusammen mit einem $S$-Morphismus
  $D\ra C$. Gegeben $f:X\ra X'$ und
  dar"uber ein Morphismus $\varphi:C\ra C'$ in
  $\mathscr C$ erkl"aren wir weiter einen Morphismus $\tilde \varphi:D\ra D'$
  "uber $f$ in $T^{-1}\mathscr D$ durch das Diagramm
 \begin{displaymath}
      \xymatrix{
        &&f_\dagger D \ar@{-->}[dr]\ar[ddr]&\\
D \ar[d]^S\ar@{->>}[rru] &&&D'\ar[d]^S\\
C \ar[rrr]^\varphi &&&C'
}
    \end{displaymath}
 Die durchgezogenen Pfeile bedeuten Morphismen in $\mathscr C$,
 der gestrichelte Pfeil dahingegen einen Morphismus in $T_{X'}^{-1}\mathscr D_{X'}$, der durch das
  Kommutieren des rechten Dreiecks in $S_{X'}^{-1}\mathscr C_{X'}$ festgelegt wird.
  Jetzt pr"ufen wir, da"s die Vorschrift $C\mapsto D(C),\varphi\mapsto\tilde\varphi$ ein Funktor
  $\mathscr C\ra T^{-1}\mathscr D$
  ist. Dazu betrachten wir
  einen weiteren Morphismus $g:X'\ra X''$ und dar"uber $\psi:C'\ra C''$ und bilden das Diagramm
    \begin{displaymath}
      \xymatrix{
        &&&&g_\dagger f_\dagger D\ar@{-->}[dr]\ar@/_2pc/[dddrr]&&\\
        &&f_\dagger D\ar@{->>}[rru] \ar@{-->}[dr]\ar@/_1pc/[ddr]&&&g_\dagger D' \ar@{-->}[rd]\ar[ddr]&\\
D \ar[d]^S\ar@{->>}[rru] &&&D'\ar[d]^S\ar@{->>}[rru]&&&D''\ar[d]^S\\
C \ar[rrr]^\varphi &&&C'\ar[rrr]^\psi&&&C''
}
    \end{displaymath}
    Dessen obere Raute entstehe durch Anwenden des Funktors
    $g_\dagger:T_{X'}^{-1}\mathscr D_{X'}\ra T_{X''}^{-1}\mathscr D_{X''}$
    auf $f_\dagger D\dashrightarrow D'$ und verwendet unsere Erkenntnis vom Beginn des Beweises, da"s $T^{-1}\mathscr D\ra\mathscr B$ eine Kofaserung ist mit den Lokalisierungen der urspr"unglichen Fasern als neuen Fasern, wobei
    der Funktor in die Lokalisierung kokartesische Morphismen zu
    kokartesischen Morphismen macht. Man mu"s nun zeigen,
    da"s der lange gekr"ummte Pfeil, wenn er durch die universelle Eigenschaft
    von Vorsch"uben erkl"art wird, auch das Dreieck
    rechts von ihm mit $g_\dagger D'$ als dritter Ecke
    in $S_{X''}^{-1}\mathscr C_{X''}$ zum Kommutieren bringt.
    Dazu erinnern wir, da"s wir nach \eref{KaBr}{TD} unseren Morphismus
    $f_\dagger D\dashrightarrow D'$ aus $S_{X'}^{-1}\mathscr C_{X'}$ durch einen
    Linksbruch $[t,A,a]$ repr"asentieren k"onnen, und zwar so, da"s
    im linken Teil des Diagramms
\begin{displaymath}
      \xymatrix{
      f_\dagger D\ar@{-->}[dr]\ar@/_1pc/[ddr]&A\ar[l]_-t\ar[d]_a\\
&D'\ar[d]^S\\
&C'
} \qquad\qquad \xymatrix{
      g_\dagger f_\dagger D\ar@{-->}[dr]\ar@/_1pc/[ddr]&g_\dagger A\ar[l]_-{g_\dagger  t}\ar[d]_{g_\dagger  a}\\
&g_\dagger D'\ar[d]\\
&C''
}
    \end{displaymath}
 erstens das Teildiagramm mit den durchgezogenen Linien sogar
in $\mathscr C_{X'}$ kommutiert und da"s zweitens
sogar gilt $A\in\mathscr D_{X'}$ und a forteriori $t\in T$. Daraus folgt aber,
da"s auch das rechte Diagramm in seinen durchgezogenen Pfeilen in
$\mathscr C_{X''}$ kommutiert, wenn wir die Morphismen nach $C''$
vermittels der universellen Eigenschaft des starken Vorschubs $g_\dagger$
erkl"aren. Das hinwiederum zeigt, da"s das Dreieck im rechten Diagramm mit dem langen gekr"ummten Pfeil in
$S^{-1}_{X''}\mathscr C_{X''}$ kommutiert. 
%Hier brauche starke Eigenschaften vom Vorschub in $\mathscr D$!
  Das zeigt hinwiederum, da"s unsere
    Vorschrift in der Tat ein Funktor $\mathscr C\ra T^{-1}\mathscr D$ ist.
    Offensichtlich induziert er einen Funktor
    $S^{-1}\mathscr C\ra T^{-1}\mathscr D$
    und man sieht ohne weitere Schwierigkeiten,
     da"s dieser Funktor der gesuchte Quasiinverse
     ist. Besonders bequem geht das unter Verwendung
     unserer Erkenntnis \eref{VoTrz}{TD}, da"s jeder Lokalisierungsfunktor
     volldicht ist. 
\end{proof}

\begin{Korollar}[\textbf{Lokalisierung bei Existenz einer Linksanpassung}]
 Seien   $p:\mathscr C\ra \mathscr B$  ein Funktor und
 $S$ ein faserweises Linksoresystem in $\mathscr C$.\label{LRAn1}  
 Gibt es eine  \hyperref[RAP]{Linksanpassung}
  f"ur $S$, so gilt:  
  \begin{enumerate}
  \item
    Der von $p$ induzierte Funktor $S^{-1}\mathscr C\ra \mathscr B$
    ist
    eine Kofaserung;
  \item
    Die Einbettungen liefern Isomorphismen $\hyperref[FFLn]{S_{\mathscr U}^{-1}\mathscr C_{\mathscr U}}\sira \hyperref[RueFK]{(S^{-1}\mathscr C)_{\mathscr U}}$ f"ur jeden Funktor $\mathscr U\ra \mathscr B$ in die Basis. 
   \end{enumerate}
\end{Korollar}
\begin{proof}
    Sei  $\mathscr D\subset \mathscr C$
eine Linksanpassung und $T$ die Menge der $S$-Morphismen in $\mathscr D$.
Wir wissen aus \ref{LdfR}, da"s der von der Einbettung induzierte  Funktor 
  eine "Aquivalenz
  $$T^{-1}\mathscr D\sirra S^{-1}\mathscr C$$
  ist, und wir wissen aus \ref{ERAp}, da"s $T^{-1}\mathscr D\ra \mathscr B$
  eine Kofaserung ist. Folglich mu"s auch $S^{-1}\mathscr C\ra \mathscr B$ eine Kofaserung sein.  Um die zweite Aussage zu zeigen, betrachten wir das kommutative Funktordiagramm
\begin{displaymath}
\xymatrix{
  T^{-1}_{\mathscr U}\mathscr D_{\mathscr U}\ar[r]^-\sim\ar[d]^{\wr\wr}&
  (T^{-1}\mathscr D)_{\mathscr U}\ar[d]^{\wr\wr}\\
   S^{-1}_{\mathscr U}\mathscr C_{\mathscr U}\ar[r]&
  (S^{-1}\mathscr C)_{\mathscr U}
} 
\end{displaymath}
Der obere Isomorphismus kommt von \ref{FFLn} her,
die rechte "Aquivalenz von der
"Aquivalenz $T^{-1}\mathscr D\sirra S^{-1}\mathscr C$ und
die linke "Aquivalenz  von derselben  "Aquivalenz
im Fall der Linksanpassung
$\mathscr D_{\mathscr U}\subset \mathscr C_{\mathscr U}$.
\end{proof}




\begin{Korollar}[\textbf{Lokalisierung einer Kofaserung durch Linksanpassung}]
 Seien   $p:\mathscr C\ra \mathscr B$  eine Kofaserung und
 $S$ ein faserweises Linksoresystem in $\mathscr C$\label{LRAn2}  
und
 $\mathscr D\subset \mathscr C$ eine  \hyperref[RAP]{Linksanpassung}
  f"ur $S$. So gilt:  
  \begin{enumerate}
   \item
    F"ur
    jeden Morphismus $f:X\ra Y$  der Basis
    ist jedes Objekt von $\mathscr D_X$ als
    Objekt von $\mathscr C_X$ linksentfaltet
    zu $\hyperref[fORE]{S_X}$ f"ur den Vorschubfunktor
    gefolgt von der Lokalisierung 
    $Qf_\dagger: \mathscr C_X\ra S_Y^{-1}\mathscr C_Y$,
    im Sinne von \eref{gfuU}{TD} also
    $Qf_\dagger$-$S_X$-linksentfaltet; 
\item
Genau dann ist $E\in \mathscr C_X$ ein $Qf_\dagger$-$S_X$-linksentfaltetes Objekt,
  wenn der Transportmorphismus $E\ra f_\dagger E$
   in der Lokalisierung $S^{-1}\mathscr C$  kokartesisch bleibt.
  \end{enumerate}
\end{Korollar}
 % \begin{Bemerkungw}
%  Einen etwas st"arkeren Satz "uber Lokalisierung durch
%  \glqq lokale Linksanpassung\grqq\ erg"anzen wir in \ref{LRaV}.
%  Den Spezialfall der Lokalisierung einer Kofaserung nach einem faserweisen
%  Rechtsoresystem haben wir bereits in \ref{KriLO1} diskutiert.
%\end{Bemerkungw}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Vorsch"ube als derivierte Funktoren}]
  Betrachten wir in der Situation des Korollars
  einen Morphismus $f:X\ra Y$ in der Basis und\label{dBdF}  
  eine $Qf_\dagger$-Entfaltung $E\ra C$ von $C\in\mathscr C_X$,
  k"urzen den Linksderivierten mit
  ${^{\op{L}}\!f_\dagger}\pdef {\op{L}}(Qf_\dagger)$ ab,
  bilden das kommutative Diagramm
  $$\xymatrix{
 E \ar[d]^{S}\ar@{->>}[r] & f_\dagger E\ar[d]&{^{\op{L}}\!f_\dagger}E\ar[l]_\sim\ar[d]^\wr \\
 C \ar@{->>}[r] & f_\dagger C&{^{\op{L}}\!f_\dagger}C\ar[l]}$$
  und lassen darin $f_\dagger C$ weg, so ist die
  Komposition in $S^{-1}\mathscr C$ der
  restlichen Morphismen nach unserem Satz ein kokartesischer
  Morphismus $$C\ra{^{\op{L}}\!f_\dagger}C$$ in Bezug auf die Kofaserung $S^{-1}\mathscr C\ra\mathscr B$. In der Tat ist sie eine Komposition von Isomorphismen "uber Identit"aten mit dem nach Teil 2
  unseres Korollars kokartesischen Morphismus dazwischen.
\end{Bemerkungl}






\begin{proof} Die erste Aussage folgt direkt aus der Definition einer
  Linksanpassung. 
Um die zweite Aussage zu zeigen, 
 w"ahlen wir 
  einen $S$-Morphismus $D\ra E$ mit $D\in\mathscr D_X$
  und betrachen mit einer $T$ und insbesondere $\mathscr D$ stabilisierenden
  Wahl von $f_\dagger$ das kommutative Diagramm
  $$\xymatrix{
    D \ar[d]^{S}\ar@{->>}[r] & f_\dagger D\ar[d]%&{^{\op{L}}\!f_\dagger}D\ar[l]_\sim\ar[d]^\wr
    \\
    E \ar@{->>}[r] & f_\dagger E%&{^{\op{L}}\!f_\dagger}E\ar[l]_\sim
  }$$
  Da nach \ref{ERAp} der Transportmorphismus
  $D\ra f_\dagger D$ kokartesisch ist f"ur
  $T^{-1}\mathscr D\ra\mathscr B$, ist  die
  untere Horizontale kokartesisch   f"ur
  $S^{-1}\mathscr C\ra\mathscr B$ genau dann, wenn die rechte Vertikale
  einen Isomorphismus in $(S^{-1}\mathscr C)_Y$ und nach \ref{LRAn1}  gleichbedeutend
  einen Isomorphismus in $S^{-1}_Y\mathscr C_Y$ induziert.
  Da wir  $D$ bereits als $S_X$-$Qf_\dagger$-linksentfaltet erkannt haben f"ur $Qf_\dagger: \mathscr C_X\ra S_Y^{-1}\mathscr C_Y$,
  ist das gleichbedeutend dazu, da"s auch $E$ linksentfaltet ist f"ur $S_X$
  und  $Qf_\dagger$.
So folgt die zweite Aussage.
\end{proof}

\subsection{Derivierte Opgarbenfaserung von Modulgarben}

\begin{Beispiel}[\textbf{Derivierte Modulbifaserung als Kofaserung}] 
 Wir erinnern aus \ref{dmbI} die Kofaserung 
 $\op{Hot}(\op{Mod}_{{\op{Ring}}})\ra \op{Ring}$
 mit dem faserweisen Oresystem der Quasiisomorphismen und der 
 Linksanpassung durch quisflache Komplexe.
 Da eine Linksanpassung existiert, ist nach \ref{LRAn1} auch der induzierte
 Funktor auf der Lokalisierung nach Quasiisomorphismen eine
 Kofaserung. Wir notieren sie
 $$\op{Der}(\op{Mod}_{{\op{Ring}}})\ra \op{Ring}$$
 Weiter ist nach \ref{LRAn1} f"ur jeden Ring $A$ der offensichtliche Funktor ein Isomorphismus von Kategorien 
 $\op{Der}(\op{Mod}_{A})\sira \op{Der}(\op{Mod}_{{\op{Ring}}})_A$ 
 und nach \ref{LRAn2} liefert f"ur jeden Ringhomomorphismus
 $\varphi: A\ra B$ und jeden 
 quisflachen Komplex $M$ von  $A$-Moduln
 der Morphismus $M\ra B\otimes_A M$ "uber $\varphi$ einen kokartesischen
 Morphismus in der derivierten Modulbifaserung. Salopp gesprochen sind also
 die Vorsch"ube  die Linksderivierten der
 Erweiterungen der Skalare. 
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}[\textbf{Derivierte Modulbifaserung als Faserung}]
Wir erinnern aus \ref{dmbI} die Bifaserung 
 $\op{Hot}(\op{Mod}_{{\op{Ring}}})\ra \op{Ring}$
mit dem faserweisen Oresystem der Quasiisomorphismen.
Es ist zwar kein globales Rechtsoresystem, aber durchaus ein globales
Linksoresystem, denn seine R"uckzugsfunktoren, die Einschr"ankungen von
Modulstrukturen,
sind  exakt.
Damit ist bereits aus \ref{KofLr} opponiert 
klar, da"s die Lokalisierung eine Faserung
$\op{Der}(\op{Mod}_{{\op{Ring}}})\ra \op{Ring}$
ist. 
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Torsionsloser Basiswechsel
      in der derivierten Modulbifaserung}]
  Im Gegensatz zum underivierten Fall \eref{BWri}{TG}
  ist f"ur die Bifaserung
  $$\op{Der}(\op{Mod}_{{\op{Ring}}})\ra \op{Ring}$$
  der Basiswechsel von Komplexen von $A$-Moduln zu Komplexen von
  $C$-Moduln in kommutativen 
   Quadraten der Basis derart, da"s
     die Multiplikation einen Isomorphismus von abelschen Gruppen\label{BWri} 
     $C\otimes_B A\sira D$ induziert,  im allgemeinen
     kein Isomorphismus. Wir zeigen jedoch, da"s diese Basiswechsel
     auch im derivierten Fall
     Isomorphismen sind, wenn wir zus"atzlich fordern,
     da"s die h"oheren
     Torsionsgruppen $C\ast^i_B A$ f"ur $i>0$ verschwinden alias da"s
     $A$ azyklisch ist f"ur $(C\otimes_B)$.
     In der Tat hat nach \eref{EqL}{TD} jeder Komplex $X$ von $A$-Moduln eine
     Cartan-Eilenberg-Untenaufl"osung durch projektive $A$-Moduln und deren
     Totalkomplex ist nach \eref{qflo}{TD} eine quisflache Linksaufl"osung
     von $X$.
     Unter $\op{res}_A^B$ wird sie nach Annahme
     eine Cartan-Eilenberg-Untenaufl"osung von $\op{res}_A^BX$ durch $(C\otimes_B)$-azyklische
     $B$-Moduln und deren Totalkomplex ist nach \eref{qfloV}{TD}
     quislinksentfaltet f"ur $(C\otimes_B)$ und f"allt zusammen mit
     der Restriktion des Totalkomplexes. Mithilfe dieser Aufl"osungen
     folgt die Behauptung aus dem
     underivierten Fall  \eref{BWri}{TG}, den wir dort bereits
     auf die opponierte Variante umgeschrieben hatten.
     % \nichtfinal{Abgleichen mit \ref{CVB}!}
\end{Bemerkungl}


\begin{Beispiel}[\textbf{Derivierte Opmodulgarbenfaserung}]
  Wir erinnern aus \ref{Fmg} die Opmodulgarbenfaserung $\op{Ab}_{\sslash{{\op{Ger}}}}\ra \op{Ger}$ 
  "uber der Kategorie der geringten R"aume. Spezialisieren wir zu einpunktigen R"aumen, so erhalten wir den von der Modulbifaserung auf den opponierten Kategorien induzierten Funktor $\op{Ab}_{{\sslash}\op{Ringo}}\ra \op{Ringo}$.
  Durch "Ubergang zu Homotopiekategorien erhalten wir andererseits eine weitere
  Faserung
  $\op{Hot}(\op{Ab}_{\sslash{{\op{Ger}}}})\ra \op{Ger}$ und darin bilden 
  die Quasiisomorphismen ein faserweises Oresystem. Eine Rechtsanpassung
  bilden die sogenannten quisflachen Komplexe von Modulgarben nach \ref{quifl}, wie im folgenden 
  diskutiert werden soll. Mit unseren Erkenntnissen zur Lokalisierung
  bei Existenz einer Linksanpassung \ref{LRAn1}
  folgt, wenn wir sie in der opponierten Situation anwenden,
  da"s wir durch Lokalisieren
  eine Faserung  $$\op{Der}(\op{Ab}_{\sslash{{\op{Ger}}}})\ra \op{Ger}$$
  erhalten, da"s die offensichtlichen
  Funtoren von der Lokalisierung der Faser zur Faser der Lokalisierung Isomorphismen  $\op{Der}(\op{Ab}_{\sslash (X;\mathcal A)})\sira \op{Der}(\op{Ab}_{\sslash{{\op{Ger}}}})_{ (X;\mathcal A)}$ sind und da"s salopp gesprochen die R"uckz"uge unserer Faserung mit den Opponierten der
  Derivierten der
  R"uckz"uge von Modulgarben "ubereinstimmen.
  Da jeder Komplex von Modulgarben nach \ref{reff}
  eine Quisrechtsentfaltung hat, existieren auch die  Vorsch"ube
  in unserer Faserung und stimmen  salopp gesprochen
  "uberein  mit den Opponierten der
  Derivierten der
  Vorsch"ube von Modulgarben.
\end{Beispiel}
\begin{Definition} Sei $(X;\mathcal A)$ ein geringter Raum.
  Ein $\mathcal A$-Modul $\mathcal F$ hei"st
  {\bf flach},\index{flach!Modulgarbe} wenn der Funktor
  $\otimes_{\mathcal A}\mathcal F$
  von der Kategorie der $\mathcal A$-Rechtsmoduln in die Kategorie der
  abelschen Garben exakt ist. Gleichbedeutend ist,
  da"s die Halme $\mathcal F_x$ flach sind
  als $\mathcal A_x$-Moduln f"ur alle $x\in X$.
\end{Definition}
\begin{Definition} Sei $(X;\mathcal A)$ ein geringter Raum.
  Ein Komplex von $\mathcal A$-Moduln $\mathcal F$ hei"st
{\bf quisflach},\index{quisflach!Komplex von Modulgarben}
  wenn der Funktor $\otimes_{\mathcal A}\mathcal F$
  jeden Quasiisomorphismus von Komplexen von $\mathcal A$-Rechtsmoduln
  zu einem Quasiisomorphismus macht. Gleichbedeutend ist, da"s alle Halmkomplexe $\mathcal F_x$ quisflach sind\label{quifl} 
  als Komplexe von $\mathcal A_x$-Moduln.
\end{Definition}

\begin{Proposition}[\textbf{Quisflache Linksaufl"osung bei Modulgarben}]
  Geben ein geringter Raum  $(X;\mathcal A)$ hat
  jeder Komplex von $\mathcal A$-Mo\-duln  eine quisflache
  Linksaufl"osung durch einen Komplex flacher $\mathcal A$-Moduln.\label{hflL}
\end{Proposition}
\begin{proof}
  Jeder $\mathcal A$-Modul $\mathcal F$  ist Quotient einer direkten Summe von
  Garben der Gestalt $\mathcal A_{U\subset X}$ f"ur $U\co X$
  in der Notation aus \eref{IUGG}{TG} und diese $\mathcal A$-Moduln sind flach. 
Jeder Komplex
$(\mathcal F^p)$  von $\mathcal A$-Moduln  besitzt
damit nach \eref{ECaR}{TG} eine
Car\-tan-Ei\-len\-berg-Unten\-auf\-l"o\-sung
$(\mathcal P^{p,q})_{q\leq 0}$ durch flache $\mathcal A$-Moduln.
  Wie beim Beweis von \eref{hprl}{TD} zeigt man, da"s der Epimorphismus auf
  den horizontalen Kokernkomplex auch in diesem Fall ein Quasiisomorphismus
  $\op{tot}^\oplus(\mathcal P^{p,q})\qri (\mathcal F^p)$ ist.
  Daf"ur brauchen die $\mathcal A$-Moduln $\mathcal P^{p,q}$
  noch nicht einmal spezielle Eigenschaften  zu haben,
  wichtig ist allein die Vertauschbarkeit von Koprodukten mit
  dem Bilden der Halme. Nun zeigen wir, da"s
  im Fall eines Doppelkomplexes $(P^{p,q})_{q\leq 0}$ von flachen
  $\mathcal A$-Moduln mit maximal spaltenden Zeilen
  und einem exakten Komplex $\mathcal E$ von $\mathcal A$-Rechtsmoduln
  auch der Garbenkomplex
  $$\mathcal E\otimes_{\mathcal A} \op{tot}^\oplus(\mathcal P^{p,q})$$ exakt ist.
  In der Tat ist  er das Summentotal des Tripelkomplexes
  $\mathcal E^r\otimes_{\mathcal A} \mathcal P^{p,q}$
  und dieser Tripelkomplex hat exakte $r$-Komplexe, da
  $\mathcal E$ exakt ist und die $\mathcal P^{p,q}$ flach.
  Zus"atzlich sind die $r$-Kernkomplexe  der $p$-Differentiale exakt,
  da  $\mathcal P^{p,q}$ maximal spaltende Zeilen hat.
  Nach \eref{TK}{TD} ist also
  $\op{tot}^\oplus_{p,r}(\mathcal E^r\otimes_{\mathcal A}  \mathcal P^{p,q})$ exakt.
  Dann ist aber wieder nach \eref{TK}{TD} auch
  $\op{tot}^\oplus \big(\op{tot}^\oplus_{p,r}(\mathcal E^r\otimes_{\mathcal A}
  \mathcal P^{p,q})\big)$ halmweise exakt als Produktsummentotal
  eines Doppelkomplexes mit exakten Zeilen,
  mit dem das Summentotal  wegen unserer Einschr"ankung $q\leq 0$
  "ubereinstimmt. 
\end{proof}
\begin{Bemerkungl} Jeder in Richtung der
  Differentiale beschr"ankte Komplex von flachen Modulgarben "uber einem
  geringten Raum ist quisflach.
  Hat unsere Ringgarbe endliche Torsionsdimension, so
  ist jeder Komplex von flachen Modulgarben bereits quisflach.\label{bsqf}
  Der Beweis dieser Tatsachen sei dem Leser zur "Ubung "uberlassen. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Derivierter Vorschub und Vergessen der Skalare}]
  Jeder Morphismus $(X;\mathcal A)\ra (Y;\mathcal B)$ von
  geringten R"aumen pa"st in ein kommutatives Diagramm\label{VeVS} 
  $$\begin{array}{ccc}(X;\mathcal A)&\ra& (Y;\mathcal B)\\
    \da&&\da\\
   (X;\DZ_X)&\ra& (Y;\DZ_Y) 
  \end{array}$$
  Die durch die Identifikationen unserer derivierten Opmodulgarbenfaserung gegebenen Isomorphismen zwischen den Vorsch"uben von oben links nach unten rechts auf beiden m"oglichen Wegen
  pr"azisieren die Erkenntnis, da"s salopp gesprochen der
  derivierte Vorschub von Modulgarben \glqq derselbe\grqq\
  ist wie der derivierte
  Vorschub der zugrundeliegenden abelschen Garben.   
\end{Bemerkungl}





\begin{Bemerkungl} Das folgende hat nur deshalb an dieser Stelle seinen
  Platz gefunden, weil wir gerade die ben"otigten quisflachen Aufl"osungen
  bereitgestellt haben.
\end{Bemerkungl}

\begin{Proposition}[\textbf{Deriviertes Tensorieren von Modulgarben}]
  Gegeben ein geringter Raum $(X;\mathcal A)$ ist der Linksfaktorierte
  $$\otimes_{\mathcal A}^{\op{L}}:\op{Der}(\op{Ab}_{/(X;\mathcal A^{\op{opp}})})\times \op{Der}(\op{Ab}_{/(X;\mathcal A)})\ra 
  \op{Der}(\op{Ab}_{/X})$$
 im Sinne von \eref{Tma}{TD} 
  auf jedem Paar von Garbenkomplexen definiert
  und 
  alle Paare mit mindestens einem quisflachen Eintrag
  sind $\otimes_{\mathcal A}$-quislinksentfaltet.
\end{Proposition}
\begin{proof} Wie der Beweis von \ref{qlZT} oder von \eref{TGgg}{TD}, wo es im
  Fall eines einpunktigen Raums in gr"o"serer Ausf"uhrlichkeit diskutiert wird.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}
  Die zweite Aussage der Proposition zeigt auch, da"s f"ur jeden  Komplex $\mathcal F$ von 
 $\mathcal A$-Rechts\-mo\-duln der Funktor $Q\circ (\mathcal F\otimes_{\mathcal A}): \op{Hot}(\op{Ab}_{/(X;\mathcal A)})\ra 
  \op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ einen globalen Linksfaktorierten besitzt und da"s
  der offensichtliche Morphismus stets ein Isomorphismus
  $$\mathcal F\otimes_{\mathcal A}^{\op{L}}\mathcal G\sira ({\op{L}}(\mathcal F\otimes_{\mathcal A}))(\mathcal G)$$ ist.
Aus der Existenz von Quisrechtsentfaltungen f"ur Modulgarben folgern wir
dann, da"s $({\op{L}}(\mathcal F\otimes_{\mathcal A}))$ den
Rechtsadjungierten  ${\op{R}}{\op{Hom}}_\DZ(\mathcal F,\;)$ hat, den Rechtsderivierten des Bildens der Homomorphismengarbe in $\op{Hot}(\op{Ab}_{/X})$ mit ihrer
von der $\mathcal A$-Rechtsoperation auf $\mathcal F$ herr"uhrenden Struktur als $\mathcal A$-Modulgarbe.
Analoges gilt  f"ur den anderen Tensorfaktor. 
\end{Bemerkungl}


 \begin{Bemerkungl}[\textbf{Eine flache Modulgarbe mit nicht flachem Schnittemodul}]
  Gegeben eine flache Modulgarbe auf einem Kompaktum mu"s der Modul
  ihrer globalen
  Schnitte keineswegs flach sein.\label{VsFF} So gibt es etwa auf $S^1$ bis auf Isomorphismus genau eine lokal, aber nicht global triviale Garbe von  $\DZ/4\DZ$-Moduln und deren globale Schnitte  sind als Modul
  isomorph zum Ideal 
  $2\DZ/4\DZ\subset \DZ/4\DZ$, vergleiche \eref{lg2}{TG}.
 \end{Bemerkungl}

 \newpage
 
\section{Derivierter Trennr"uckzug} 
\subsection{Motivation}
\begin{Bemerkungl}
  Gegeben 
   Morphismen $\mathcal F\ra \mathcal G$ und $\mathcal E\ra \mathcal H$  
   von abelschen Garben auf einem topologischen Raum $X$
   mag man sie in der derivierten Kategorie $\op{Der}(\op{Ab}_{/X})$
   zusammentensorieren wollen
  zu einem Morphismus in der derivierten Kategorie
  $$(\mathcal F\otimes^{\op{L}} \mathcal E) \ra
  (\mathcal G\otimes^{\op{L}} \mathcal H)$$
 ihrer  derivierten
 Tensorprodukte. Das scheint mir nicht vollst"andig trivial,
 wenn wie das derivierte
  Tensorprodukt wie "ublich mit flachen Linksaufl"osungen beschrieben wird und
  die Morphismen in der derivierten Kategorie
  durch injektive Rechtsaufl"osungen. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl} Etwas allgemeiner k"onnten wir bereits mit Morphismen in der derivierten
  Kategorie beginnen, etwa mit Klassen der Garbenkohomologie $a\in {\op{H}}^pX$ und
  $b\in  {\op{H}}^qX$ interpretiert als Morphismen 
 $a:\DZ_X\ra \DZ_X[p]$ und
 $b:\DZ_X\ra \DZ_X[q]$, und verstehen wollen,
  inwiefern $a\otimes b:\DZ_X\otimes^{\op{L}} \DZ_X\ra \DZ_X[p]\otimes^{\op{L}}\DZ_X[q]$
  unter den \glqq offensichtlichen Identifikationen\grqq\
  der Verkn"upfung $b[p]\circ a:\DZ_X\ra \DZ_X[p+q]$ entspricht.
  Es sind Fragen dieser Art, die im folgenden diskutiert werden.
\end{Bemerkungl}

\subsection{Lokalisierung von Schmelzkategorien}
 \begin{Bemerkungl}[\textbf{Schmelzlokalisierung}]
    Seien $\mathscr M $ eine \hyperref[MuC]{Schmelzkategorie}
 und $S$ eine Menge 
von Einsverschmelzungen in
    $\mathscr M $.  In \ref{KdLs} konstruieren wir ein Paar
    $(\mathscr M_{\shortparallel S},\op{can})$ bestehend aus einer Schmelzkategorie $\mathscr M _{\shortparallel S}$
mitsamt einem Schmelzfunktor
$\op{can}: \mathscr M  \ra \mathscr M_{\shortparallel S}$ derart, da"s
    gilt:\label{lokKM} 
    \begin{enumerate}
    \item Alle Einsverschmelzung aus $S$ werden unter $\op{can}$ invertierbar in
      $\mathscr M_{\shortparallel S};$
    \item Ist $F: \mathscr M  \ra \mathscr N$ ein Schmelzfunktor, 
unter dem alle Einsverschmelzungen
      aus $S$ invertierbar werden, so gibt es genau einen Schmelzfunktor
      $\tilde{F} : \mathscr M_{\shortparallel S} \ra \mathscr N$ mit $F = \tilde{F} \circ
      \op{can}$.
    \end{enumerate}
Wir  nennen $(\mathscr M_{\shortparallel S},\op{can})$
die {\bf Schmelzlokalisierung von $\mathscr M$ an
  $S$}.\index{Schmelzlokalisierung}    Nat"urlich ist ein derartiges Paar in der "ublichen Weise eindeutig bis
    auf eindeutigen Isomorphismus.  %In  
%wird erkl"art, warum  solch eine Lokalisierung stets existiert.
% (N"OTIG? Je nach Kontext verwenden wir daf"ur auch die
% alternative Notation $\mathscr M _{\shortparallel S}=S^{-1}\mathscr M$.) 
 \end{Bemerkungl}
 \begin{Bemerkungl}
   Gegeben eine Schmelzkategorie $\mathscr M$ mit einer Menge
   $S$ von Einsverschmelzungen wei"s ich
  nicht,
   ob der offensichtliche Funktor
   $({\op{E}}\mathscr M)_{S} \ra {\op{E}}(\mathscr M _{\shortparallel S})$
   von der Lokalisierung der zugeh"origen einfachen Kategorie in
   die einfache Kategorie der Schmelzlokalisierung 
   im allgemeinen
   ein Isomorphismus von Kategorien sein mu"s. Das ist meine Motivation
   f"ur die Notation der Schmelzlokalisierung  mit
   einem vorgestellten $\shortparallel$.
 \end{Bemerkungl}
   
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Lokalisierung von Schmelzkategorien, Existenz}] 
Um die Lokalisierung einer Schmelzkategorie $\mathscr M$
an einer Menge $S$ von Einsverschmelzungen zu konstruieren, 
betrachten wir in der zugeh"origen Familienkategorie\label{KdLs} 
$\mathscr M^{\curlyvee}$  die Menge 
$S^\shortparallel$ aller Morphismen, die Tupel von Einsverschmelzungen aus $S$ sind und die insbesondere unter dem Indexfunktor auf
eine Bijektion geworfen werden, und
bilden im Sinne von \eref{EAdLl}{TD} die Lokalisierung
$\mathscr M^{\curlyvee}_{S^\shortparallel}$ der Familienkategorie mit dem
vom Indexfunktor induzierten Funktor nach $\op{Ensf}$.
Es ist klar, da"s das Vertupeln  f"ur je zwei Objektkleinfamilien $A,B$
und jede Abbildung $\varphi:\bar A\ra \bar B$ ihrer Indexmengen
eine Bijektion $$\prod_{j\in\bar B}\mathcal M^{\curlyvee}_{S^\shortparallel}(A|_{\varphi^{-1}(j)},B_j)\sira
(\mathcal M^{\curlyvee}_{S^\shortparallel})_\varphi(A,B)$$ 
induziert.
Wir k"onnen also die Morphismen zu Einobjektfamilien als die
Verschmelzungen unserer lokalisierten Schmelzkategorie nehmen und
vermittels obiger Bijektionen unsere Multiverkn"upfungen erkl"aren und
 erhalten so wieder eine Schmelzkategorie.
Der Schmelzfunktor
$\mathscr M\ra \mathscr M_{\shortparallel S}$ mit
der geforderten universellen Eigenschaft ist der offensichtliche.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Leerverschmelzungsfunktor der Lokalisierung}] 
  Sei $\mathscr M$ eine Schmelzkategorie und sei $S$ eine
  Menge von Einsverschmelzungen. Macht der Leerverschmelzungsfunktor
  ${\op{L}}$ alle Morphismen $s\in S$ zu Bijektionen, so induziert  er
  einen Schmelzfunktor\label{LVL} 
  $\mathscr M_{\shortparallel S}\ra \op{kEns}$ und wir erhalten einen
  ausgezeichneten Isomorphismus
  zwischen diesem Schmelzfunktor und dem 
  Leerverschmelzungsfunktor der Lokalisierung $\mathscr M_{\shortparallel S}$. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  In derselben Weise und formal durch "Ubergang zur opponierten Kategorie
  erkl"aren wir auch die Lokalisierung einer Trennkategorie
  an einer Menge $S$ von Einstrennungen. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Additive Strukturen auf Schmelzlokalisierungen}]
  In \eref{AdSt}{TD} hatten wir diskutiert, wie sich eine additive
  Struktur auf einer Kategorie auf die Lokalisierung nach einem halbseitigen
  Oresystem vererbt. Im Fall von Schmelz- oder Trennkategorien
  kenne ich keine vergleichbare Aussage.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Eindeutigkeit additiver Strukturen}]
  Sei eine  Schmelzkategorie mit stabil universellen Verschmelzungen gegeben.
  Besitzt  die
  zugrundeliegende einfache Kategorie endliche  Koprodukte, so besitzt\label{EaLs} 
  in Verallgemeinerung von \eref{EaS}{TG} unsere Schmelzkatgorie
  h"ochstens eine additive Struktur, denn die Summe von Verschmelzungen
  in $\mathcal M(A,Y)$  mu"s der Summe einfacher Morphismen in $\mathcal M(\otimes A,Y)$ vom Ziel einer universellen Verschmelzung
  entsprechen. Analoges gilt f"ur Trennkategorien.  
\end{Bemerkungl}



\subsection{Homotopie f"ur bequeme Schmelzkategorien}

\begin{Definition} Eine {\bf bequeme Schmelzkategorie} ist
  eine Schmelzkategorie mit universellen Verschmelzungen und Multihom, 
  deren zugrundeliegende einfache Kategorie\label{bequ} abz"ahlbare Produkte und
  abz"ahlbare Koprodukte hat und die mit einer
  additiven Struktur versehen werden kann.
  \end{Definition}
\begin{Bemerkungl} Die additive Struktur  einer bequemen Schmelzkategorie ist nach \ref{EaLs} eindeutig bestimmt. 
  Wir werden im folgenden sehen, da"s sich viele Konstruktionen im Zusammenhang mit Komplexen f"ur bequeme Schmelzkategorien besonders bequem durchf"uhren lassen. Diese Situation deckt die meisten Anwendungen ab,
  die in diesem Text angestrebt werden. Was auch
  in gr"o"serer Allgemeinheit noch zu machen w"are,
  wird in \eref{ubeq}{TSS} angedeutet.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Supergraduieren bequemer Schmelzkategorien}] 
  Gegeben eine bequeme Schmelzkategorie $\mathcal M$ hat auch
  ihre Supergraduierung ${\op{sg}}\mathcal M$ stabil universelle
  Verschmelzungen und Multihom, ja ist selbst wieder eine bequeme Schmelzkategorie. Zum Beispiel ist f"ur $X,Y\in{\op{sg}}\mathcal M$
  die
  offensichtliche vom Grad Null homogene Verschmelzung $X\curlyvee Y\ra T$ mit
  $$T^n\pdef \bigoplus_{i+j=n}X^i\otimes_{\mathcal M} Y^j$$
  eine stabil universelle $2$-Verschmelzung in ${\op{sg}}\mathcal M$.
  Weiter ist
   $\curlyvee \ra T$ mit
  $T^0=\mathbb I_{\mathcal M}$ und $T^n=0$ das leere Koprodukt f"ur $n\neq 0$
  eine stabil universelle Leerverschmelzung in ${\op{sg}}\mathcal M$.
  Wir notieren sie $\curlyvee \ra [0]\mathbb I_{\mathcal M}$.
  "Ahnlich erhalten wir in ${\op{sg}}\mathcal M$  internes Hom
als das Objekt  mit homogenen Komponenten $$(X{\Rrightarrow}Y)^n\pdef \prod_{i}(X^i{\Rrightarrow}_{\mathcal M} Y^{i+n})$$
  und mit den offensichtlichen Zusatzdaten. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Komplexe in bequemen Schmelzkategorien}]
  Gegeben eine bequeme Schmelzkategorie $\mathcal M$  erkl"aren wir
  genau wie im Fall
  abelscher Gruppen \eref{bbd}{TSK} das Hopfbiabmonoid der Differentiale
  $D=D_{\mathcal M}\in{\op{sg}}\mathcal M$ und erkl"aren die Schmelzkategorie der
  Komplexe in $\mathcal M$ als die "aquivariante Schmelzkategorie
  $${\op{dg}}\mathcal M=\op{Ket}_{\mathcal M}\pdef
  {\op{sg}}\mathcal M_{D\sacts}$$
   der Objekte von
   ${\op{sg}}\mathcal M$ mit einer Operation von $D$.
   Wir k"onnen die Objekte von $\op{Ket}_{\mathcal M}$ identifizieren mit Komplexen im "ublichen Sinne
   alias einer Familie $(X^i)_{i\in\DZ}$ von Objekten $X^i\in\mathcal M$
   mit Morphismen $d:X^i\ra X^{i+1}$ derart, da"s gilt $d^2=0:X^i\ra X^{i+2}$ f"ur alle $i$. Auch die
  Schmelzkategorie ${\op{dg}}\mathcal M$ der Komplexe hat 
  stabil universelle Verschmelzungen und Multihom nach \eref{JntH}{TSK} und \eref{IntHo}{TSK}, ja ist selbst wieder eine bequeme Schmelzkategorie. Genauer erhalten wir stabil universelle Verschmelzungen und Multihom in ${\op{dg}}\mathcal M$, indem wir die entsprechenden
  Konstruktionen in der Supergraduierung ${\op{sg}}\mathcal M$ mit der offensichtlichen
  Operation des Hopfbiabmonoids  $D$ der Differentiale versehen.
  F"ur die Menge der Leerverschmelzungen in einen Komplex $X=(X^i,d)$ finden
  wir\label{dgMd}   $${\op{dg}}\mathcal M(\curlyvee,X)=\op{ker}\big(\mathcal M(\curlyvee,X^0)\ra \mathcal M(\curlyvee,X^1)\big)$$
  Eine universelle Leerverschmelzung in $\op{Ket}_{\mathcal M}$ erhalten wir, indem wir von einer
  universellen Leerverschmelzung in $\mathcal M$ ausgehen und sie in
  den homologischen Grad Null platzieren und  
  durch Nullobjekte in den anderen homologischen Graden zu einem Komplex
  erg"anzen, in Formeln $\curlyvee\ra [0]\mathbb I_{\mathcal M}$.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Homotopiekomplexe in bequemen Schmelzkategorien}]
  Gegeben eine Schmelzkategorie mit additiver Struktur
  $\mathcal M$ faktorisiert ihr Leerverschmelzungsfunktor stets eindeutig als
  ${\op{L}}=v\circ {\op{L}^+}$ mit einem
  wohldefinierten Schmelzfunktor ${\op{L}^+}:\mathcal M\ra {\op{Ab}}$. Dieser
  Schmelzfunktor induziert auf den Supergraduierungen
  einen Schmelzfunktor
  ${\op{sgL}}:{\op{sg}}\mathcal M\ra {\op{sgAb}}$. Hier lassen wir das $+$
  wieder weg, weil es sich eh von selbst versteht. Ist $\mathcal M$ eine
  bequeme Schmelzkategorie, so 
  induziert weiter die universelle Leerverschmelzung
  $l\in \mathcal M(\curlyvee, \mathbb I_{\mathcal M})$ eine Leerverschmelzung
 $ {\op{L}^+}l\in \op{Ab}(\curlyvee,  {\op{L}^+}\mathbb I_{\mathcal M})$ 
  alias einen Gruppenhomomorphismus $\DZ\ra {\op{L}^+}\mathbb I_{\mathcal M}$.
  Man "uberzeugt sich, da"s die so entstehende Kettenabbildung
  $[0]\DZ\oplus [1]\DZ \ra  {\op{sgL}}([0]\mathbb I_{\mathcal M}\oplus [1]\mathbb I_{\mathcal M}$ ein 
  Monoidhomomorphismus $D\ra {\op{sgL}}D_{\mathcal M}$ in $\op{sgAb}$ erh"alt
  und da"s mit den Komultiplikationen ein kommutatives Diagramm
  \begin{displaymath}
  \xymatrix{D\ar[rr]\ar[d]&&{\op{sgL}}D_{\mathcal M}\ar[d]\\
   D\otimes D\ar[r]&{\op{sgL}}D_{\mathcal M}\otimes {\op{sgL}}D_{\mathcal M}\ar[r] &{\op{sgL}}(D_{\mathcal M}\otimes D_{\mathcal M})
  }
  \end{displaymath}
  entsteht. Mithin induziert unser Funktor seinerseits einen Schmelzfunktor
  $${\op{dgL}}:{\op{dg}}\mathcal M\ra \op{dgAb}$$ 
  Die Umstrukturierung der automatischen Selbstanreicherung
  der Komplexkategorie ${\op{dg}}\mathcal M$ mit dem Schmelzfunktor
  $\mathcal H^0\circ {\op{dgL}}:{\op{dg}}\mathcal M\ra \op{Ab}$ notieren wir
  $$\op{Hot}(\mathcal M)=\op{Hot}_{\mathcal M}$$
  und nennen sie die {\bf Schmelzkategorie der Homotopiekomplexe in $\mathcal M$}.  Die stabil universellen Verschmelzungen in ${\op{dg}}\mathcal M$
   liefern nach \eref{suvsa}{TSK} 
  stabil universelle
  Verschmelzungen in seiner Selbstanreicherung  und dann
  nach \eref{subsa}{TSK} stabil universelle
  Verschmelzungen in  $\op{Hot}_{\mathcal M}$. Ebenso wird unser Multihom  in ${\op{dg}}\mathcal M$ mit \eref{mhsa}{TSK} 
ein  Multihom in seiner Selbstanreicherung und liefert 
nach \eref{usmh}{TSK}  ein Multihom in $\op{Hot}_{\mathcal M}$. Auch die Homotopiekomplexe einer bequemen Schmelzkategorie bilden wieder eine
bequeme Schmelzkategorie.
Die universelle Leerverschmelzung in $\op{Hot}_{\mathcal M}$
wird insbesondere repr"asentiert durch die universelle Leerverschmelzung
$\curlyvee\ra [0]\mathbb I_{\mathcal M}$ von 
${\op{dg}}\mathcal M$.
F"ur die Menge der Leerverschmelzungen in einen Komplex $X=(X^i,d)$ finden
  wir\label{dgHd}   $${\op{Hot}}_\mathcal M(\curlyvee,X)=\mathcal H^0(\mathcal M(\curlyvee,X))$$
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Vererben von Zusatzstrukturen}]
  Ist $k$ ein Kring und ist unsere  bequeme  Schmelzkategorie
  mit einer $k$-Struktur versehen, so vererbt sich diese zu einer $k$-Struktur
  auf $\op{Ket}_{\mathcal M}$ und $\op{Hot}_{\mathcal M}$
  in offensichtlicher Weise. \nichtfinal{(N"otig? Kann ich nicht einfach
    die Multiplikationen nachschalten?)}
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Von Komplexen zu Homotopiekomplexen}] 
  Gegeben  $\mathcal M$ eine bequeme Schmelzkategorie  
  liefert unsere Beschreibung der Leerverschmelzungen von ${\op{dg}}\mathcal M$
  aus \ref{dgMd} einen Isomorphismus ihres
  Leerverschmelzungsfunktors ${\op{L}}^+$ mit
  der Verkn"upfung $\mathcal Z^0 \circ \op{dgL}:{\op{dg}}\mathcal M\ra \op{Ab}$.
  Wir erhalten mithin einen objektfesten Isomorphismus zwischen
  ${\op{dg}}\mathcal M$ und der Umstrukturierung seiner Selbstanreicherung mit
  dem Schmelzfunktor $\mathcal Z^0 \circ \op{dgL}$. Diese Beschreibung
  hinwiederum liefert unmittelbar einen objektfesten mit  universellen Verschmelzungen und Multihom vertr"aglichen Schmelzfunktor
  $$\op{Ket}(\mathcal M)\ra \op{Hot}(\mathcal M)$$
  Dieser Schmelzfunktor ist  surjektiv auf allen
  Verschmelzungsmengen.\label{dgMHd} 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Interne Triangulierung von Homotopiekategorien}] 
  Gegeben eine bequeme Schmelzkategorie $\mathcal M$ ist die "ubliche
  triangulierte Struktur auf ihrer Homotopiekategorie
  $\op{Hot}_{\mathcal M}$ intern im Sinne von \eref{itSS}{TD}.\label{bqIT} 
  Der Beweis sei dem Leser  "uberlassen.
\end{Bemerkungl}


 
 \subsection{Derivieren abelscher Schmelzkategorien}
\begin{Definition}
  Eine {\bf abelsche Schmelzkategorie}\index{Schmelzkategorie!abelsche}
  ist eine Schmelzkategorie mit additiver Struktur,\label{skeab} 
  deren zugrundeliegende
  einfache Kategorie abelsch ist und
  f"ur die gilt:
  \begin{enumerate}
  \item
    Jeder Kern ist ein {\bf Schmelzkern},\index{Schmelzkern} genauer: Gegeben ein einfacher Morphismus
    $f:X\ra Y$ und eine Objektkleinfamilie $B$ induziert
     das Nachschalten von $(\op{ker}f)\ra X$ eine Bijektion 
    $$\mathcal M(B,(\op{ker}f))\sira \{g\in \mathcal M(B,X)\mid f\circ g=0\}$$
     Diese Eigenschaft impliziert, da"s der
     Leerverschmelzungsfunktor linksexakt ist.
     Sie ist automatisch erf"ullt, wenn es zu jeder Objektkleinfamilie
    eine universelle Verschmelzung gibt. 
  \item
     Jeder Kokern ist ein {\bf stabiler Kokern},\index{Kokern!stabiler} genauer: Gegeben ein einfacher Morphismus
     $f:X\ra Y$ und eine Objektkleinfamilie $B$ und
     ein Objekt $Z$ induziert das Vorschalten von $Y\ra (\op{cok}f)$
     eine Bijektion
      $$\mathcal M(B\curlyvee (\op{cok}f),Z)\sira \{h\in \mathcal M(B\curlyvee Y,Z)\mid h\circ (\op{id}_B\curlyvee f)=0\}$$
    Das ist automatisch erf"ullt, wenn es alle Multihom gibt.
  \end{enumerate}
  Insbesondere ist jede bequeme Schmelzkategorie, deren zugrundeliegende
  einfache Kategorie abelsch ist, automatisch eine abelsche Schmelzkategorie.   
\end{Definition}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Homologie f"ur bequeme abelsche Schmelzkategorien}] 
  In \ref{dgMd} und  \ref{dgHd}
  hatten wir zu jeder bequemen Schmelzkategorie $\mathcal M$ 
  die Schmelzkategorien mit additiver Struktur $\op{Ket}_{\mathcal M}$ und
  $\op{Hot}_{\mathcal M}$ der Komplexe und der Homotopiekomplexe von Objekten aus
  $\mathcal M$
  konstruiert.\label{DeKA} In \ref{bqIT} hatten wir gesehen, da"s unter diesen Voraussetzungen die
  "ubliche triangulierte Struktur auf $\op{Hot}_{\mathcal M}$ intern ist. 
  Ist $\mathcal M$ sogar eine abelsche bequeme Schmelzkategorie,
  so liefern die Nullzykel und die nullte Homologie
  in offensichtlicher Weise $\op{Ab}$-Schmelzfunktoren
  $$\begin{array}{rl}
    \mathcal Z^0:&\op{Ket}_{\mathcal M}\ra \mathcal M\\
  \mathcal H^0:&\op{Ket}_{\mathcal M}\ra \mathcal M\\
  \mathcal H^0:&\op{Hot}_{\mathcal M}\ra \mathcal M
  \end{array}$$
  St"arker ist auch $\mathcal Z:\op{Ket}_{\mathcal M}\ra {\op{sg}}\mathcal M$
  ein $\op{Ab}$-Schmelzfunktor und induziert einen $\op{Ab}$-Schmelzfunktor $\mathcal H:\op{Ket}_{\mathcal M}\ra {\op{sg}}\mathcal M$ und schlie"slich einen $\op{Ab}$-Schmelzfunktor
  $$\mathcal H:\op{Hot}_{\mathcal M}\ra {\op{sg}}\mathcal M$$
  Wir nennen ihn den {\bf Schmelzfunktor der totalen Homologie}.
  Ein Morphismus in $\op{Ket}_{\mathcal M}$ oder $\op{Hot}_{\mathcal M}$
  hei"st ein
  {\bf Quasiisomorphismus},\index{Quasiisomorphismus!sehr allgemein} wenn
  er unter der totalen Homologie $\mathcal H$ zu einem
  Isomorphismus wird. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Definition} Ein Komplex $F$ in einer bequemen abelschen Schmelzkategorie
 $\mathcal M$ hei"se {\bf quisflach},\index{quisflach!in bequemer abelscher Schmelzkategorie}   wenn 
  f"ur jeden Quasiisomorphismus $X\qri Y$ in $\op{Ket}_{\mathcal M}$ auch
  $F\otimes X\ra F\otimes Y$ ein Quasiisomorphismus ist.
  Eine {\bf quisflache Linksaufl"osung}\index{quisflach!Linksaufl"osung}
  eines Komplexes $Z$ ist ein Quasiisomorphismus $F\qri Z$ mit $F$ quisflach.
\end{Definition}
\begin{Lemma}
Sei  $\mathcal M$ eine bequeme abelsche Schmelzkategorie $\mathcal M$, bei der jeder Komplex in $\op{Ket}_{\mathcal M}$ eine quisflache Linksaufl"osung
  besitzt. So ist jedes Tupel von Komplexen, in dem alle Eintr"age mit h"ochstens einer Ausnahme quisflach sind, quislinksentfaltet f"ur den Funktor des
  Zusammentensorierens.\label{qlZT} 
\end{Lemma}

\begin{proof}
  Wir beschr"anken uns auf den Fall von zwei Komplexen. 
Sei also  $(X,P)$ ein Paar von Komplexen
   mit $P$ quisflach.
   Gegeben $(X',Y)\qri (X,P)$ ein Paar von Quasiisomorphismen beliebiger Komplexe dorthin finden wir nach Annahme
   ein Paar $(Q',P')$  von quisflachen Komplexen
   und  ein Paar von Quasiisomorphismen $(Q',P')\qri (X',Y)$.
  Es gilt zu zeigen, da"s die Komposition $(Q',P')\ra (X,P)$
   einen Quasiisomorphismus $Q'\otimes P'\qri X\otimes P$ induziert.
   Diese Komposition faktorisiert aber als  $Q'\otimes P'\ra Q'\otimes P\ra X\otimes P$ und hier sind beide Morphismen Quasiisomorphismen, da wir
   $Q'$ und $P$ quisflach angenommen hatten. 
\end{proof}
\begin{Definition}
Eine bequeme  abelsche Schmelzkategorie $\mathcal M$ 
 hei"se {\bf entfaltbar},\index{entfaltbar!bequeme
    abelsche Schmelzkategorie} wenn jeder Komplex in
  $\op{Ket}_{\mathcal M}$  eine\label{entSC} 
 Quisrechtsentfaltung und eine quisflache Linksaufl"osung besitzt.
 \end{Definition}
\begin{Beispiele}\label{MoaS} 
  Die abelschen Gruppen, 
  die Moduln "uber einem Kring, ja die
  abelschen Garben auf einem topologischen Raum und sogar
  die Modulgarben auf einem gekringten topologischen Raum bilden
 nach \ref{hflL} und \ref{reff} entfaltbare  bequeme abelsche
  Schmelzkategorien.  
\end{Beispiele}





















\begin{Satz}[\textbf{Derivieren entfaltbarer abelscher Schmelzkategorien}]
  Gegeben eine entfaltbare bequeme  abelsche Schmelzkategorie $\mathcal M$
  gilt f"ur  die Schmelzlokalisierung
  $\op{Der}_{\mathcal M}\pdef (\op{Hot}_{\mathcal M})_{\shortparallel\op{qis}}$
  ihrer Homotopiekategorie an Quasiisomorphismen:\label{DeAS} 
  \begin{enumerate}
  \item
    Der offensichtliche Funktor ist ein
    Isomorphismus\index{DerM@$\op{Der}_{\mathcal M}$!als Schmelzkategorie}
  $$({\op{E}}\op{Hot}_{\mathcal M})_{\op{qis}}
    \sira {\op{E}}((\op{Hot}_{\mathcal M})_{\shortparallel\op{qis}})= {\op{E}}(\op{Der}_{\mathcal M})$$
  \item
 Die Schmelzkategorie $\op{Der}_{\mathcal M}$ besitzt
stabil universelle Verschmelzungen und jede universelle
Verschmelzung
in $\op{Hot}_{\mathcal M}$, die von einer Kleinfamilie von mit h"ochstens einer Ausnahme quisflachen Komplexen ausgeht, bleibt darin universell; 
\item
  Die Schmelzkategorie $\op{Der}_{\mathcal M}$ besitzt internes Hom
   und ist  $Y$
   ein quis\-rechts\-ent\-fal\-te\-ter Komplex, so ist der vom Lokalisierungsfunktor $Q$
   nach \eref{fIH}{TSK} induzierte Morphismus in $\op{Der}_{\mathcal M}$ ein Isomorphismus
   $$Q(X{\Rrightarrow}_{\op{Hot}} Y)\sira (QX{\Rrightarrow}_{\op{Der}} QY)$$
  \item
Die  vom Isomorphismus des ersten Teils auf\, $\op{Der}_{\mathcal M}$ induzierte  Struktur einer triangulierten Kategorie
 ist intern.
    \end{enumerate}
\end{Satz}


\begin{Bemerkungl} Insbesondere bleibt die universelle Leerverschmelzung
  $\curlyvee\ra [0]\mathbb I_{\mathcal M}$ von $\op{Hot}_{\mathcal M}$
  universell in $\op{Der}_{\mathcal M}$.\label{ulm}
\end{Bemerkungl}

 
 
\begin{proof}
  Der Indexfunktor $$p:\op{Hot}_{\mathcal M}^\curlyvee\ra \op{Ensf}$$
  ist ein Kofaserfunktor, da die
  fraglichen Homotopiekomplexe nach \ref{bqIT}
  stabil universelle Verschmelzungen
  haben.  Die Tupel quisflacher Komplexe bilden eine Linksanpassung in Bezug auf das faserweise Oresystem der Tupel von Quasiisomorphismen f"ur unseren Kofaserfunktor. 
  Damit folgen die ersten beiden Behauptungen aus \ref{qlZT} und den
  Korollaren \ref{LRAn1} und \ref{LRAn2} zur
  Lokalisierung durch Linksanpassung.
 Gegeben ein Komplex 
  $A\in \op{Hot}_{\mathcal M}$
  besitzt schlie"slich der Funktor 
 $(A\otimes):\op{Hot}_{\mathcal M}\ra \op{Hot}_{\mathcal M}$
  den Rechtsadjungierten $A{\Rrightarrow}$.
   Diese Adjunktion 
   induziert dann nach \eref{padDF}{TD} f"ur jedes feste $A$
   eine partielle Adjunktion
   des Linksderivierten von $A{\otimes}$ mit dem
   Rechtsderivierten von $A{\Rrightarrow}$, wo immer diese
   Derivierten definiert sind. Unsere Derivierten sind jedoch
   global definiert, da es nach Annahme zu jedem Komplex
   einen Quasiisomorphismus
   von einem quisflachen Komplex gibt  und auch jeder Komplex 
   eine Quisrechtsentfaltung besitzt.
  Die daraus folgende Beschreibung von Tensorprodukt und internem Hom in $\op{Der}_{\mathcal M}$ zeigt schlie"slich,
    da"s die triangulierte Struktur auf unserer Schmelzkategorie intern ist.
\end{proof}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Erweiterung additiver Strukturen auf Schmelzkategorien}]
 Sei $\mathcal M$ eine 
 Schmelzkategorie mit universellen Verschmelzungen und Multihom.
 Ist die zugrundeliegende einfache Kategorie additiv, so besitzt unsere
 Schmelzkategorie genau eine additive Struktur.\label{EaSc} 
 In der Tat hat nach \eref{EaS}{TG} schon mal die zugrundeliegende
 einfache Kategorie nur genau eine additive Struktur. Die
 Bijektionen $\mathcal M(X_1\curlyvee\ldots\curlyvee X_r,Y)\sira
 \mathcal M(X_1\otimes\ldots\otimes X_r,Y)$ induzieren dann
 die Struktur einer abelschen Gruppe auf jeder Verschmelzungsmenge.
 Die Adjunktionen $(X\otimes, X{\Rrightarrow})$ zeigen weiter
 mit \eref{LAad}{TG}, da"s f"ur $X\in\mathcal M$
 sowohl $X\otimes$ als auch $ X{\Rrightarrow}$ additive Funktoren  $\mathcal M\ra\mathcal M$ sind. So folgt dann, da"s Mul\-ti\-ver\-kn"up\-fung\-en von Verschmelzungen multiadditiv sein m"ussen f"ur die zuvor konstruierten
 Strukturen als abelsche Gruppe. Insbesondere besitzt jede Schmelzkategorie
 mit interner triangulierter Struktur  genau eine additive Struktur. 
\end{Bemerkungl}




\newpage


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Leerverschmelzungen in derivierten Schmelzkategorien}]
  Gegeben eine entfaltbare bequeme abelsche Schmelzkategorie $\mathcal M$
  wird, wie bereits in \ref{ulm} erw"ahnt,
  jede universelle Leerverschmelzung
  $\curlyvee\ra \mathbb I$ in $\op{Hot}_{\mathcal M}$ unter dem Lokalisierungsfunktor  eine  universelle Leerverschmelzung
   $\curlyvee\ra Q\mathbb I$ in $\op{Der}_{\mathcal M}$. 
  Gegeben ein Komplex $Y\in \op{Ket}_{\mathcal M}$ liefert unser Satz nun
  f"ur jede
  Quisrechtsentfaltung $Y\qri J$  Isomorphismen von
  abelschen Gruppen\label{lDk} 
  $$\begin{array}{ccccccc}\op{Der}_{\mathcal M}(\curlyvee,Y)&\sira&\op{Der}_{\mathcal M}(\curlyvee,J)&&\op{Hot}_{\mathcal M}(\curlyvee,J)&=&\mathcal H^0(\mathcal M(\curlyvee,J))
      \\\ua\wr&&\ua\wr&&\ua\wr&&
      \\
    \op{Der}_{\mathcal M}(\mathbb I,Y)&\sira&\op{Der}_{\mathcal M}(\mathbb I,J)& \sila & 
  \op{Hot}_{\mathcal M}(\mathbb I,J) &&
  \end{array}
  $$
  mit der letzten Gleichheit aus \ref{dgHd}.
  Wir erhalten so 
  zwischen dem additiv angereicherten Leerverschmelzungsfunktor
  der derivierten Kategorie  $\op{L}^+_{\op{Der}}: \op{Der}_{\mathcal M}\ra \op{Ab}$
  und der Komposition 
  $\mathcal H^0\circ \op{R}(\op{L}^+_{\mathcal M}):
  \op{Der}_{\mathcal M}\ra \op{Der}_{\op{Ab}}\ra \op{Ab}$
  des Rechtsderivierten \eref{DRF}{TD} des additiv
  angereicherten Leerverschmelzungsfunktors von $\mathcal M$
  mit der nullten Homologie
  eine Isotransformation
  $$\op{L}^+_{\op{Der}}\siRa \mathcal H^0\circ \op{R}(\op{L}^+_{\mathcal M})$$
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Leerverschmelzungen von derivierten abelschen
      Gruppen}]
  Im Fall der entfaltbaren bequemen abelschen Schmelzkategorie
  $\op{Ab}$ induziert jeder Quasiisomorphismus
  $Y \qri J$ einen Isomorphismus  
  $\op{Hot}_{\op{Ab}}(\curlyvee,Y)\sira
   \op{Hot}_{\op{Ab}}(\curlyvee,J)$
   auf Leerverschmelzungen und wir folgern, da"s der Lokalisierungsfunktor
   $$\op{Hot}_{\op{Ab}}\ra \op{Der}_{\op{Ab}}$$ volltreu ist\label{leAB} 
   auf Leerverschmelzungen. Wir hatten  in 
   \eref{MhmM}{TSK} bereits eine
   Iso\-trans\-for\-ma\-tion $\op{Hot}_{\op{Ab}}(\curlyvee,Y)\sira
   \mathcal H^0(Y)$ von $\op{Ab}$-wertigen Funktoren in $Y$ angegeben
   und erhalten daraus mithin  eine
   Isotransformation von $\op{Ab}$-wertigen Funktoren
   ${\op{L}}^+\siRa \mathcal H^0$ alias 
   $$\op{Der}_{\op{Ab}}(\curlyvee,Y)\sira
   \mathcal H^0(Y)$$ 
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Vererben von Zusatzstrukturen}]
  Ist $k$ ein Kring und ist unsere entfaltbare bequeme abelsche Schmelzkategorie
  mit einer $k$-Struktur versehen, so vererbt sich diese zu einer $k$-Struktur
  auf $\op{Der}_{\mathcal M}$ in offensichtlicher Weise. Zum Beispiel erkl"aren
  wir $\lambda \op{id}_{X}$ f"ur $X\in\op{Der}_{\mathcal M}$ als 
  das Bild des aus allen $\lambda\op{id}_{X^i}$ bestehenden Endomorphismus
  unseres Komplexes $X$ in $\op{Ket}_{\mathcal M}$.\label{VeZu}   
\end{Bemerkungl}




\begin{Bemerkungl}[\textbf{Notationsfragen}]
  Sei $\mathcal M$ eine entfaltbare bequeme abelsche Schmelzkategorie. Der durch die Struktur einer
  Schmelzkategorie auf $\op{Der}_{\mathcal M}$ gegebene
  Tensorfunktor wird oft $\otimes^{\op{L}}\pdef \otimes_{\op{Der}}$ notiert und f"allt in den "ublichen
  Anwendungen mit dem "ublichen derivierten Tensorprodukt zusammen.
    Das interne Hom   unserer Schmelzkategorie $\op{Der}_{\mathcal M}$ 
  wird in der Literatur meist 
  ${\op{R}}{\mathcal{H}}{\op{om}}(A,D)\pdef (A {\Rrightarrow}_{\op{Der}} D)$
  oder  "ahnlich notiert.\index{RHom@${\op{R}}{\mathcal{H}}{\op{om}}(A,D)$ derivierter Homkomplex} Wir lassen den unteren Index $\op{Der}$ meist weg in
  der Hoffnung, da"s er sich aus dem Kontext ergibt, und schreiben $\otimes$ und $\Rrightarrow$. 
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Totale Homologie auf derivierten Kategorien}] 
 Sei $\mathcal M$ eine entfaltbare bequeme Schmelzkategorie.  Nach der universellen Eigenschaft der Lokalisierung von
  Schmelzkategorien \ref{lokKM} induziert der  $\op{Ab}$-Schmelzfunktor
  $\mathcal H:\op{Hot}_{\mathcal M}\ra {\op{sg}}\mathcal M$ der totalen Homologie
  einen Schmelzfunktor
  $$\mathcal H:\op{Der}_{\mathcal M}\ra {\op{sg}}\mathcal M$$
  Aus der Beschreibung der Verschmelzungen in der derivierten Kategorie mithilfe
  quisflacher Komplexe folgt, da"s der Schmelzfunktor der totalen Homologie
  ein  $\op{Ab}$-Schmelz\-funk\-tor ist.\label{gHsf} 
\end{Bemerkungl}



\begin{Beispiel}[\textbf{Schmelzkategorie der derivierten abelschen Gruppen}]
  Gegeben ein Universum $\mathfrak U$ mit $\DN\in\mathfrak U$ ist
  die Schmelzkategorie $\mathfrak U{\op{Ab}}$ der abelschen Gruppen aus
  $\mathfrak U$
   offensichtlich
  eine \hyperref[bequ]{bequeme} \hyperref[skeab]{abelsche Schmelzkategorie}.
  Sie ist entfaltbar.
 In der
  Tat
  ist sie von endlicher homologischer Dimension, also besitzt jeder 
  Komplex nach \eref{AEPK}{TG} einen Quasiisomorphismus zu einem
  Komplex injektiver abelscher Gruppen und dieser ist nach  \eref{DkhD}{TD}  
  quisrechtsentfaltet.
  Ebenso bilden die Komplexe  gibt es nach \eref{hprl}{TD}
  zu jedem Komplex einen Quasiisomorphismus von einem Komplex
  freier abelscher Gruppen
  und nach \eref{ften}{TD} ist jeder  Komplex freier abelscher
  Gruppen quisflach. Mit 
  \ref{DeAS} erhalten wir so eine Erweiterung der "ublichen derivierten
  Kategorie  der Kategorie der abelschen Gruppen zur
  Schmelzkategorie\label{dERab} 
  $$\op{Der}_{\op{Ab}}=\op{Der}(\op{Ab})$$
  der derivierten abelschen Gruppen und folgern, da"s sie
  stabil universellen Verschmelzungen und
  internes Hom hat und da"s ihre "ubliche triangulierte Struktur intern ist.
  St"arker als
  in der Allgemeinheit von Satz \ref{DeAS} ist
  in diesem Fall nach \eref{HGgg}{TD}
  auch f"ur $X$
  ein quislinkssentfalteter Komplex und $Y$ beliebig
  der vom Lokalisierungsfunktor $Q$
  nach \eref{fIH}{TSK} induzierte Morphismus in $\op{Der}_{\op{Ab}}$
  ein Isomorphismus
   $$Q(X{\Rrightarrow}_{\op{Hot}} Y)\sira (QX{\Rrightarrow}_{\op{Der}} QY)$$
\end{Beispiel}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Dualit"at in  derivierten abelschen Gruppen}] 
  Die universelle Leerverschmelzung der Schmelzkategorie $\op{Der}_{\op{Ab}}$
  ist etwa nach \ref{ulm} die Leerverschmelzung 
  $\curlyvee\ra \DZ[0]$, die aus dem Element $1\in\DZ$ entsteht.
  Gegeben $C\in \op{Ket}_{\op{Ab}}$ wird
  das derivierte Duale alias das Duale in der derivierten
  Kategorie $C^\vee\in \op{Der}_{\op{Ab}}$  mithin repr"asentiert
  durch den bereits in
  \eref{dD}{TG}\label{dDD} verwendeten Komplex
  $$\mathbb D C\pdef \big(C{\Rrightarrow}_{\op{Ket}}(\DQ[0]\ra\DQ/\DZ)\big)$$
  In der Tat liefert die Einbettung $\DZ\subset \DQ$  einen  Quasiisomorphismus
  $\DZ[0]\qri (\DQ[0]\ra\DQ/\DZ)$ und der zweite Komplex besteht aus
  injektiven abelschen Gruppen, ist also quisrechtsentfaltet
  in $\op{Hot}_{\op{Ab}}$.  
\end{Bemerkungl}
\begin{Lemma}[\textbf{Komplexe abelscher Gruppen mit verschwindendem Dual}]
  Gegeben ein Komplex abelscher Gruppen $C$ gilt in der derivierten Kategorie
  in Bezug auf die
  derivierte Dualit"at $\mathbb DC=0\RA C=0$.\label{dABG} 
\end{Lemma}
\begin{Bemerkungl}
  Dieselbe Argumentation funktioniert f"ur Komplexe von Moduln
  "uber einem Hauptidealring. Noch einfacher geht es f"ur Komplexe von
  Vektorr"aumen.\label{dABGb}
  \nichtfinal{Es gilt auch allgemeiner f"ur 
    noethersche Kringe nach [Benson et al, Colocalizing subcategories and cosupport].}  
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
In der Tat ist ja so ein Komplex
  nach \eref{DKHa}{TD} isomorph zu einem Komplex $C$ mit
  verschwindendem Differential. Nehmen wir uns erst einmal eine
  einzelne abelsche Gruppe $A$ vor und betrachten die kurze exakte
  Sequenz $A_{\op{tor}}\hra A\sra A/A_{\op{tor}}$ mit $A_{\op{tor}}$
  der Untergruppe der Torsionselemente. Ist $A_{\op{tor}}\neq 0$, so 
  kann $\op{Hom}(A,\DQ)\ra \op{Hom}(A,\DQ/\DZ)$ nicht surjektiv sein,
  denn dann gibt es rechts Elemente, die auf $A_{\op{tor}}$ nicht verschwinden
  und die folglich nicht von links kommen k"onnen. Also gilt
  $A_{\op{tor}}\neq 0\RA \mathbb DA\neq 0$.  
    Ist andererseits $A$ torsionsfrei und $A\neq 0$, so folgt
    $A\otimes_\DZ\DQ\neq 0$ und
    $\op{Hom}_\DQ(A\otimes_\DZ\DQ,\DQ)\sira\op{Hom}(A,\DQ)$ ist
    auch torsionsfrei und von Null verschieden
    und $\op{Hom}(A,\DQ)\ra \op{Hom}(A,\DQ/\DZ)$ kann nicht injektiv sein. 
     Also gilt auch in diesem Fall $\mathbb DA\neq 0$. 
  Der Fall eines allgemeinen Komplexes folgt m"uhelos. 
\end{proof}

\begin{Beispiel}[\textbf{Schmelzkategorie derivierter Kringmoduln}] Die Schmelzkategorie der Moduln "uber einem Kring $k$ 
  ist offensichtlich
  eine bequeme abelsche Schmelzkategorie. Sie ist  entfaltbar.
  In der Tat besitzt jeder Komplex von Moduln nach \eref{hpri}{TD} eine
  Quisrechtsentfaltung und nach \eref{ften}{TD} und 
  \eref{hprl}{TD} gibt es zu jedem Komplex einen Quasiisomorphismus von einem
  quisflachen Komplex.  Mit
  \ref{DeAS} erhalten wir so eine Erweiterung der "ublichen derivierten
  Kategorie  der Kategorie der $k$-Moduln zur  Schmelzkategorie\label{dERk} 
  $$\op{Der}(\op{Ab}_k)$$
  der derivierten $k$-Moduln mit stabil universellen Verschmelzungen,
  internem Hom und interner triangulierter Struktur. Die universelle
  Leerverschmelzung ist die durch $1\in k$ gegebene
  Leerverschmelzung $\curlyvee\ra k[0]$ etwa nach \ref{ulm}.
   St"arker als
  in der Allgemeinheit von Satz \ref{DeAS} ist
  in diesem Fall nach \eref{HGgg}{TD}
  auch f"ur $C$
   ein quislinkssentfalteter Komplex und $D$ beliebig  der vom Lokalisierungsfunktor $Q$
   nach \eref{fIH}{TSK} induzierte Morphismus in $\op{Der}(\op{Ab}_k)$ ein Isomorphismus
   $$Q(C{\Rrightarrow}_{\op{Hot}} D)\sira (QC{\Rrightarrow}_{\op{Der}} QD)$$
   Nach \ref{VeZu} vererbt sich die offensichtliche $k$-Struktur auf
   $\op{Ab}_k$ zu einer $k$-Struktur auf $\op{Der}(\op{Ab}_k)$.
\end{Beispiel}




\begin{Beispiel}[\textbf{Schmelzkategorie derivierter Modulgarben}] 
  Gegeben ein gekringter Raum $X=(X;\mathcal A)$ bilden die
  $\mathcal A$-Moduln aus \ref{MgSkK} nach \ref{MokjK}
  eine bequeme abelsche Schmelzkategorie. Sie ist
  entfaltbar im Sinne von \ref{entSC}. 
 In der Tat besitzt jeder Komplex
von $\mathcal A$-Moduln eine Quis\-rechts\-ent\-fal\-tung nach \ref{reff}
und eine quisflache Linksaufl"osung nach \ref{hflL}. 
 Mit 
  \ref{DeAS} erhalten wir so eine Erweiterung der "ublichen derivierten
  Kategorie  der Kategorie der $\mathcal A$-Moduln zur
  Schmelzkategorie\label{dERab} 
  $$\op{Der}(\op{Ab}_{/(X;\mathcal A)})$$
  der derivierten $\mathcal A$-Moduln mit
  stabil universellen Verschmelzungen, internem Hom und
  interner triangulierter Struktur. Die universelle
  Leerverschmelzung ist in diesem Fall
  der globale Einsschnitt $\curlyvee\ra \mathcal A[0]$.
  Unsere Isotransformation $\op{L}\siRa \Gamma_{\mathcal A}$ vom
 additiv angereicherten  Leerverschmelzungsfunktor von $\op{Ab}_{/(X;\mathcal A)}$
 zum Funktor der globalen Schnitte auf der
 Kategorie der $\mathcal A$-Modulgarben liefert
   mit \ref{lDk}  Isomorphismen\label{KoLe} 
   $$\op{Der}(\op{Ab}_{/(X;\mathcal A)})(\mathcal A[0],\mathcal F)
   \sira\op{Der}(\op{Ab}_{/(X;\mathcal A)})(\curlyvee,\mathcal F)\sira
    \mathcal H^0({\op{R}}\Gamma_{\mathcal A}(\mathcal F))$$ 
    Nun erinnere ich daran, da"s  wir den Morphismus auf den
    finalen gekringten Raum faktorisieren
   k"onnen als $(X;\mathcal A)\ra (X;\DZ)\ra (\op{top};\DZ)$ und
   da"s der derivierte Vorschub unter dem Vergessen der Skalare schlicht das
   Vergessen der Skalare ist. So erhalten wir weiter einen Isomorphismus 
   $\mathcal H^0({\op{R}}\Gamma_{\mathcal A}(\mathcal F))\sira
   \mathbb H^0(X;\mathcal F)$. Nehmen wir hier  
   $\mathcal G\in \op{Ab}_{/(X;\mathcal A)}$ und $\mathcal F\pdef \mathcal G[q]$,
   so spezialisieren diese Isomorphismen zu einem Isomorphismus von
   abelschen Gruppen
   $$\op{Ext}^q_{\mathcal A{\op{-Mod}}}(\mathcal A, \mathcal G)\sira
   {\op{H}}^q(X;\mathcal G)$$
   \nichtfinal{Bezug zu \ref{gGKSF} kl"aren!} 
\end{Beispiel}





\begin{Bemerkungl}[\textbf{Cup-Produkt}]
  Gegeben eine entfaltbare bequeme abelsche Schmelzkategorie $\mathcal M$ 
   ist $[1]\mathbb I$ eine Signumseinheit von $\op{Der}_{\mathcal M}$.
  Wir erhalten also nach \eref{NuVE}{TSK} einen Schmelzfunktor
    $\op{Der}_{\mathcal M}\ra \op{sgAb}$  durch die Vorschrift
  $$\mathcal F\mapsto \op{Der}_{\mathcal M}(\curlyvee, [q]\mathcal F)_{q\in\DZ}$$
  Er macht jedes Monoid zu einem Monoid und macht insbesondere das
  Abmonoid $\mathbb I\in \op{Der}_{\mathcal M}$ nach \eref{kmI}{TSK} zu
  einem Abmonoid  von
  $\op{sgAb}$ alias einem superkommutativen $\DZ$-graduierten
  Ring. Im Spezialfall $\mathcal M=\op{Ab}_{/X}$ der abelschen Garben auf einem
  topologischen Raum $X$ erhalten wir so unter der Identifikation \ref{KoLe}
  von Leerverschmelzungen mit Hyperkohomologie den garbentheoretischen Kohomologiering\label{KoGK} 
  $$\bigoplus_q{\op{H}}^q(X;\DZ_X)$$
  So sehen wir insbesondere,
  da"s dieser graduierte  Ring  superkommutativ ist. Im Spezialfall $\mathcal M=\op{Ab}_{/(X;\mathcal A)}$ der abelschen Garben auf einem
  gekringten Raum $(X;\mathcal A)$ erhalten wir allgemeiner einen superkommutativen graduierten Ring $$\bigoplus_q{\op{H}}^q(X;\mathcal A)$$
\end{Bemerkungl}











\begin{Bemerkungl}[\textbf{Erweiterungen und internes Hom}]
  Sei $\mathcal M$ eine entfaltbare bequeme abelsche Schmelzkategorie.
  Gegeben  $\mathcal F,\mathcal G\in \mathcal M$ haben wir
     nach \eref{ErAM}{TD} und \eref{MorEk}{TSK} Isomorphismen von abelschen Gruppen\label{ExqHq} 
     $$\op{Ext}^q_{\mathcal M}(\mathcal F,\mathcal G)\sira \op{Der}_{\mathcal M}(\mathcal F,[q]\mathcal G)\sira \op{Der}_{\mathcal M}(\curlyvee, \mathcal F{\Rrightarrow}[q]\mathcal G)$$
     Im Fall $\mathcal M=\op{Ab}_{/X}$ f"ur einen gekringten Raum $X$
     k"onnen wir das nach \ref{KoLe}
weiter identifizieren mit der Hyperkohomologie der derivierten
Homomorphismengarbe
$\mathbb H^q(X;\mathcal F{\Rrightarrow}\mathcal G)$. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Totale Homologie als Schmelzfunktor}]
  Nach \ref{MoaS} k"onnen wir auch f"ur Modulgarben auf einem
  gekringten Raum $X=(X;\mathcal A)$ den Schmelzfunktor
  der totalen Homologie $\mathcal H:\op{Hot}(\op{Ab}_{/X})\ra \op{sg}(\op{Ab}_{/X})$
  bilden.  Er faktorisiert
  offensichtlich "uber die Lokalisierung nach Quasiisomorphismen
  und induziert so einen
  Schmelzfunktor\label{gHsf}  
  $$\mathcal H:\op{Der}(\op{Ab}_{/X})\ra \op{sg}(\op{Ab}_{/X})$$
  Insbesondere induziert f"ur beliebige Komplexe von Modulgarben
  $\mathcal F,\mathcal G$ die stabil universelle Verschmelzung
  $\mathcal F\curlyvee \mathcal G\ra \mathcal F\otimes^{\op{L}} \mathcal G$
  in $\op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ eine Verschmelzung
  $$\mathcal H\mathcal F\curlyvee \mathcal H\mathcal G\ra \mathcal H(\mathcal F\otimes^{\op{L}} \mathcal G)$$ und insbesondere Morphismen
  $\mathcal H^p\mathcal F\otimes \mathcal H^q\mathcal G\ra \mathcal H^{p+q}(\mathcal F\otimes^{\op{L}} \mathcal G)$ von Modulgarben. 
\end{Bemerkungl} 
  
\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung} Gegeben eine bequeme entfaltbare abelsche Schmelzkategorie
  $\mathcal M$ bilden die starren Objekte von $\op{Der}(\mathcal M)$
  ein Verdiersystem.
  Hinweis: "Ubung \eref{dsST}{TSK} zu Summanden starrer Objekte.\label{Vsta}  
\end{Ubung}



\begin{Ubung}
  Alle Objekte in $\op{Der}(\op{Ab})$ mit endlich erzeugter totaler
  Kohomologie sind starr. Hinweis: Nach \eref{stri}{TD} besteht $\langle \DZ[0]\rangle_{\Delta}$ aus starren Objekten.
  Ist allgemeiner $k$ ein noetherscher Kring  von endlicher homologischer Dimension, so sind  alle Objekte von $\op{Der}(\op{Ab}_k)$ mit endlich erzeugter totaler
  Kohomologie starr. Hinweis: Nach \eref{stri}{TD} besteht $\langle k[0]\rangle_{\Delta}$ aus starren Objekten.  Ist  $k$ ein beliebiger Kring,
  so besteht zumindest das von
  $\langle k[0]\rangle_{\Delta}$ erzeugte Verdiersystem
  aus starren Objekten. Hinweis: "Ubung \eref{dsST}{TSK} zu Summanden starrer Objekte. 
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
Gegeben ein Kring $k$  ist  in $\op{Der}(k[T_1,\ldots,T_r]\op{-Mod})$
der Modul $k\pdef k[T_1,\ldots,T_r]/\langle T_1,\ldots,T_r\rangle $
starr und sein Dual $k^\vee$ ist isomorph zu
$k[-r]$. Hinweis: Koszul-Komplex \eref{KoPo}{TG}. Die Isomorphismen
$$k\otimes_{\op{Der}}M\;\sira\;  k^\vee{\Rrightarrow}_{\op{Der}}M$$ in der derivierten Kategorie induzieren dann
durch Anwenden von $\mathcal H^{-q}$ Isomorphismen 
$\op{Tor}_{q}(k,M)\sira \op{Ext}^{r-q}(k,M)$
  f"ur jeden Modul $M$ und jede Wahl eines Isomorphismus $k^\vee\sira k[-r]$.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
  Gegeben ein topologischer Raum $X$ und abelsche Gruppen $K,L$ konstruiere
  man ein cup-Produkt\label{cpKO}
  ${\op{H}}^p(X;K)\times {\op{H}}^q(X;L)\ra
  {\op{H}}^{p+q}(X;K\otimes L)$.
\end{Ubung}

 

























\nichtfinal{Noch gucken, ob die Überlegungen zu "au"seren Potenzen in den
  "alteren in XXALLES zug"anglichen  Fassungen \ref{autPo} hier sinnvoll sind.
  Auch die Frage, wie sich die symmetrischen Potenzen \eref{SyPOT}{TSK} mit der
  abelschen Struktur vertragen, scheint naheliegend.}


\subsection{Derivierte Opgarbentrennfaserung}\label{gRueckT} 
\begin{Bemerkungl}
  Wir erinnern  aus \ref{TFmg} die  Trennfaserung  
  $\op{Ab}_{\sslash{{\op{Gek}}}}\ra \curlywedge{\op{Gek}}$ der opponierten
  Modulgarben "uber der banalen Trennkategorie der
  gekringten R"aume, die \glqq Opmodulgarbentrennfaserung\grqq\ oder
  kurz {\bf Opgarbentrennfaserung}. Wir erinnern weiter unsere
  allgemeinen Erkenntnisse "uber Trennfunktoren zu banalen Trennkategorien
  \ref{FTFu}  und insbesondere, wie  in diesem Fall
  auf den Fasern  die  Struktur   einer
  Trennkategorie induziert wird, die im Fall einer Trennfaserung
  nach \ref{schmkL} auch ihrerseits stabil universelle Trennungen besitzt.
  Indem wir erst zu Komplexen und dann zu Homotopiekomplexen "ubergehen,
  erhalten wir in offensichtlicher Weise  Trennfaserungen
  $\op{Ket}(\op{Ab}_{\sslash \op{Gek}})\ra \curlywedge{\op{Gek}}$ und 
  $\op{Hot}(\op{Ab}_{\sslash \op{Gek}})\ra \curlywedge{\op{Gek}}$. 
 Die Lokalisierung der Trennkategorie $\op{Hot}(\op{Ab}_{\sslash \op{Gek}})$ im Sinne von \ref{KdLs} 
 nach allen denjenigen Einstrennungen "uber Identit"aten, die
 Quasiisomorphismen sind, notiere ich\label{gDERN} 
 $\op{Der}_{{\sslash} \op{Gek}}\pdef \op{Hot}(\op{Ab}_{\sslash \op{Gek}})_{\shortparallel\op{qis}}$. Wir 
  erhalten so einen
  Trennfunktor, den {\bf Trennfunktor der derivierten Modulgarben}\index{Der@$\op{Der}_{\sslash \op{Gek}}$|main}
 $$\op{Der}_{{\sslash} \op{Gek}}\ra \curlywedge{\op{Gek}}$$ 
  Die in \ref{FTFu} f"ur beliebige Trennfunktoren zu banalen Trennkategorien erkl"arte Konstruktion macht f"ur jeden gekringten Raum $X=(X;\mathcal A)$ die  Faser 
  $\op{Der}_{\sslash X}$ zu einer Trennkategorie. Die dazu opponierte
  Schmelzkategorie notieren wir $$\op{Der}_{/ X}\pdef (\op{Der}_{\sslash X})^{\op{opp}}$$
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl} Sei $X=(X;\mathcal A)$ ein gekringter Raum.
 Die Einbettung von Familienkategorien 
 $\op{Hot}(\op{Ab}_{{\sslash}X})^\curlyvee\vra \op{Hot}(\op{Ab}_{{\sslash}\op{Gek}})^\curlyvee$ induziert  einen
 Funktor zwischen ihren Lokalisierungen nach Tupeln von Quasiisomorphismen
 "uber Identit"aten und so einen Schmelzfunktor\label{iX} 
 $$e_X: \op{Der}(\op{Ab}_{/X})\ra \op{Der}_{/X}$$   
\end{Bemerkungl}
 


\begin{Satz}[\textbf{R"uckzug und Tensorprodukt}] 
  \begin{enumerate}
    \item Der Trennfunktor der derivierten Modulgarben
      $\op{Der}_{\sslash \op{Gek}}\ra \curlywedge{\op{Gek}}$  ist eine Trennfaserung mit Adjungierten im Sinne von \ref{TfAd}, die \emph{\bf derivierte
      Opgarbentrennfaserung};
 \item
      F"ur jeden gekringten Raum $X=(X;\mathcal A)$  
      ist der Schmelzfunktor $e_X$  aus \ref{iX} ein
      Isomorphismus von Schmelzkategorien   
     $$e_X: \op{Der}(\op{Ab}_{/X})\sira \op{Der}_{/X}$$
    \item
      Gegeben ein Morphismus $f:X\ra Y$ gekringter R"aume existiert  
    eine  Isotransformation zwischen den beiden Kompositionen
      des  Diagramms 
       $$\xymatrix{\op{Der}(\op{Ab}_{/X})
 \ar[d]^{\wr}_{e_Y} \ar@{=>}[dr]^\sim& \op{Der}(\op{Ab}_{/Y})\ar[d]_{e_X}^\wr\ar[l]_-{f^*} \\
 \op{Der}_{/X}  & \ar[l]_-{{f^\dagger}^{\op{opp}}}\op{Der}_{/Y}}$$
      mit dem Linksderivierten des R"uckzugs beziehungsweise
      dem Opponierten des R"uckzugs
      in der derivierten Opgarbenfaserung in den Horizontalen.
 \end{enumerate}
   \label{gVRT}   
\end{Satz}

\begin{Bemerkungl} Vermittels der Isomorphismen aus Teil 2
   erkennen wir, da"s die Schmelzkategorie $\op{Der}_{/X}$ additiv ist und  
   stabil universelle Veschmelzungen sowie internes Hom hat.
   Weiter "ubertragen wir die Triangulierung, genauer die Vorgabe
   eines Automorphismus $[1]$ und einer Menge von ausgezeichneten Dreiecken,
   von
   $\op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ aus \ref{KoLe} 
   auf $\op{Der}_{/X}$ und erkennen, da"s wir so auch darauf eine
   interne triangulierte Struktur erhalten.
%Vermittels der Isomorphismen aus Teil 2
 % "ubertragen wir die  Struktur einer Schmelzkategorie
 % mit stabil universellen Veschmelzungen, internem Hom
 % und interner triangulierter Struktur
 % auf $\op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ aus \ref{KoLe}
 % auf die opponierten Fasern der derivierten Opgarbentrennfaserung.
    Nach Teil 3 sind die einfachen R"uckz"uge der
  derivierten Opgarbentrennfaserung f"ur diese
  Strukturen triangulierte Funktoren. Die R"uckz"uge
    unter offenen Einbettungen vertauschen auch mit internem Hom. Genauer
    ist, wie der Leser selber pr"ufen mag, f"ur
    jede offene Einbettung $j:X\hra Y$ und
    $\mathcal E, \mathcal G\in \op{Der}_{/Y}$ 
    der Morphismus aus \ref{fuiH}
    ein Isomorphismus $$\op{adf}:j^* (\mathcal E{\Rrightarrow}
    \mathcal G)\sira (j^* \mathcal E{\Rrightarrow} j^* \mathcal G)$$
\end{Bemerkungl}

  \begin{proof}
    Wir verwenden die Korollare  \ref{LRAn1} und \ref{LRAn2}
    zur Lokalisierung von Kofaserfunktoren
    durch Linksanpassung
    oder genauer die daraus durch "Ubergang zu den opponierten
    Kategorien entstehenden Aussagen zur Lokalisierung von
    Faserfunktoren durch Rechtsanpassung. Wir wenden sie an
    auf den auf den Familienkategorien induzierten Funktor
    $$\op{Hot}(\op{Ab}_{\sslash \op{Gek}})^\curlywedge\ra \op{Gek}^\curlywedge$$
    Er ist ein Faserfunktor. Genauer ist f"ur Morphismen
    $f_i:X\ra Y_i$ gekringter R"aume und
    $\mathcal G_i\in\op{Hot}(\op{Ab}_{\sslash Y_i})$ 
 die tautologische Trennung
 $$ f_1^*\mathcal G_1\otimes\ldots\otimes
 f_n^*\mathcal G_n\ra \mathcal G_1\curlywedge\ldots\curlywedge\mathcal G_n$$
"uber $(f_1, \ldots, f_n)$ 
 kartesisch.
 %Wie beim Beweis des Spezialfalls \eref{DeKaM}{TD}, nur jetzt in 
 %opponierter Weise notiert,
 Die Tupel von
 Quasiisomorphismen "uber Identit"aten bilden 
 nach \eref{KTQu}{TD} ein \hyperref[fORE]{faserweises Rechtsoresystem},
 ja sogar ein faserweises
  Oresystem.
  F"ur dieses faserweise Rechtsoresystem der Quasiisomorphismen ist
   die Unterkategorie
   $(\op{Hfl}_{\sslash \op{Gek}})^\curlywedge\subset
   \op{Hot}(\op{Ab}_{\sslash \op{Gek}})^\curlywedge$ aller
  Tupel  von  quisflachen 
  Komplexen von Modulgarben eine
  \hyperref[LAP]{Rechtsanpassung},
  denn  Tensorprodukt
  wie R"uckzug machen aus quisflachen  Komplexen
  quisflache Komplexe,  Tensorprodukt wie R"uckzug von Quasiisomorphismen
  zwischen quisflachen Komplexen von Modulgarben sind
  wieder Quasiisomorphismen, und nach \ref{hflL} finden wir f"ur jeden Komplex
  von Modulgarben
  eine quisflache Linksaufl"osung, die  in der opponierten Kategorie
  den ben"otigten Morphismus liefert.
  Nach \ref{LRAn1}.1 ist unser Trennfunktor
  $\op{Der}_{{\sslash} \op{Gek}}\ra \curlywedge{\op{Gek}}$
  also eine Trennfaserung und nach \ref{LRAn1}.2
  ist $e_X$ ein Isomorphismus von Schmelzkategorien. Da quisflache Komplexe
  auch quislinksentfaltet sind f"ur $f^{(*)}$ folgt die dritte Aussage.
  Da"s unsere Trennfaserung
  $\op{Der}_{{\sslash} \op{Gek}}\ra \curlywedge{\op{Gek}}$
  eine Trennfaserung mit Adjungierten ist, folgt aus
  den bereits bewiesenen Teilaussagen 2 und 3. In der Tat haben
  die Schmelzkategorien der derivierten Modulgarben internes Hom nach
  \ref{KoLe} und der Linksderivierte ${\op{L}}f^{(*)}$
  hat nach \eref{AddF}{TD} als Rechtsadjungierten den
  Rechtsderivierten ${\op{R}}f_{(*)}$ des Vorschubs \ref{VvMo},
  der seinerseits global definiert ist, da jeder
  Komplex von Modulgarben nach \ref{reff} eine
  Quisrechtsentfaltung besitzt. \end{proof}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Garbenkohomologie als Trennfunktor}] 
  Unser  auf Leerverschmelzungen
  volltreuer Schmelzfunktor \ref{VfTF} des Vorschubs auf das finale Objekt
  spezialisiert in dieser Situation zu einem auf Leerverschmelzungen
  volltreuen Schmelzfunktor
  $$\op{fin}_*:\op{Der}_{/{\op{Gek}}}\ra \op{Der}_{/{\op{pt}}}$$
  f"ur ${\op{pt}}$ den einpunktigen mit $\DZ$ gekringten Raum.
  Zusammen mit den offensichtlichen Isomorphismen
  $\op{Der}_{/{\op{pt}}}\sira \op{Der}(\op{Ab}_{/{\op{pt}}})\sira \op{Der}(\op{Ab})$
  von Schmelzkategorien  erhalten wir einen  auf Leerverschmelzungen
  volltreuen  Schmelzfunktor
  $$\op{fin}_*:\op{Der}_{/{\op{Gek}}}\ra \op{Der}(\op{Ab})$$
  Gegeben ein gekringter Raum $X=(X;\mathcal A)$ und eine Modulgarbe
  $\mathcal F\in \mathcal A{\op{-Mod}}$ erhalten wir
  etwa\label{GKtf} 
  $$\begin{array}{llll}\op{Ext}^q_{\mathcal A}(\mathcal A,\mathcal F)&\sira& 
    \op{Der}_{/X}(\mathcal A[0],\mathcal F[q])&\text{nach \eref{ErAM}{TD},}
  \\[2mm]&\sira&\op{Der}_{/X}(\curlyvee,\mathcal F[q])&\text{nach \ref{KoLe},}
  \\[2mm]&\sira& \op{Der}_{\op{Ab}}(\curlyvee,\op{fin}_*\mathcal F[q])&\text{da
    $\op{fin}_*$ volltreu ist auf $\curlyvee\ra$,}
  \\[2mm]&\sira& \mathcal H^0(\op{fin}_*\mathcal F[q])&\text{nach \ref{leAB}, }
  \\[2mm]&\sira&\mathcal H^q(\op{fin}_*\mathcal F)&\text{per definitionem,}
  \\[2mm]&\sira& {\op{H}}^q(X;\mathcal F)&\text{per definitionem.}
  \end{array}
  $$
  In derselben Weise erhalten wir f"ur einen beliebigen Komplex
  $\mathcal F$ von $\mathcal A$-Mo\-dul\-gar\-ben einen Isomorphismus
  $\op{Der}_{/X}(\mathcal A[0],\mathcal F[q])\sira
  {\mathbb H}^q(X;\mathcal F)$. 
 % \nichtfinal{Bezug zu \ref{KoLe} kl"aren!}
 % \nichtfinal{Bezug zu \ref{VfTF} kl"aren!}
  Halten wir andererseits hinter unseren
  Schmelzfunktor
  $\op{fin}_*:\op{Der}_{/X}\ra \op{Der}(\op{Ab})$ noch den Schmelzfunktor
  $\mathcal H: \op{Der}(\op{Ab})\ra \op{sgAb}$
der Homologie aus \ref{gHsf} dahinter, so erhalten wir den {\bf Schmelzfunktor
  $(X,\mathcal F)\mapsto \mathbb H^*(X;\mathcal F)$ der totalen Hyperkohomologie} und f"ur diese Hyperkohomologie  biadditive {\bf Cup-Produkte mit Koeffizienten}\index{Cup-Produkt!mit Koeffizienten}  
$$\mathbb H^p(X;\mathcal F)\times \mathbb H^q(X;\mathcal G)\ra
\mathbb H^{p+q}(X;\mathcal F\otimes \mathcal G)$$ 
Halten wir zus"atzlich den
Opponierten des eindeutigen kartesischen Trennschnitts davor, so erhalten wir einen Schmelzfunktor
$$\curlyvee{\op{Gek}}^{\op{opp}}\ra \op{sgAb}$$ Er ordnet jedem gekringten Raum $(X;\mathcal A)$ die
supergraduierte abelsche Gruppe
${\op{H}}^*(X;\mathcal A)_{\op{garb}}$ zu und
jedem Tupel von von $(X;\mathcal A)$ ausgehenden
Morphismen von gekringten R"aumen  die
  multiadditive Abbildung \glqq cup-Produkt des R"uckzugs der Kohomologieklassen\grqq.\label{gGKSF} 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkunge}
Der Schmelzfunktor aus \ref{gGKSF} ist eine garbenkohomologische Variante
  des entsprechenden Schmelzfunktors $\curlyvee{\op{Top}}^{\op{opp}}\ra \op{sgAb}$
  der singul"aren Kohomologie, den wir in \eref{Koho}{TSK} als Trennfunktor
  $\curlywedge{\op{Top}}\ra \op{sgAb}^{\op{opp}}$ besprochen hatten.  Es sollte einmal diskutiert
     werden, inwiefern der Ver\-gleichs\-iso\-mor\-phis\-mus zur singul"aren
     Kohomologie eine Transformation von
     Trennfunktoren ist. Das w"urde ich gerne einem Studenten "uberlassen.
     Er sollte es gleich f"ur \glqq topologische R"aume mit einem vorgegebenen
     Kring von Koeffizienten\grqq\ machen als Teil der  derivierten Opmodulgarbentrennfaserung.
\end{Bemerkunge}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Derivierte Trennverflechtung f"ur Moduln}]
  Beschr"anken wir die derivierte Opmodulgarbentrennfaserung
  auf einpunktige R"aume,\label{CVB} 
  so spezialisiert sie zur {\bf derivierten Opmodultrennfaserung}  
  $$\op{Der}_{{\sslash}{\op{Kringo}}}\ra \curlywedge {\op{Kringo}}$$
    Die Faser "uber einem Kring $R$ ist dann die derivierte Kategorie
    der Opponierten der Kategorie der  $R$-Moduln
    $\op{Der}_{\sslash R}=\op{Der}(\op{Mod}_R^{\op{opp}})$, der Vorschub ist
    das Einschr"anken unter Kringhomomorphismen und
    mu"s nicht deriviert werden, der R"uckzug ist derivierte Erweiterung
    der Skalare und der Trennr"uckzug unter der diagonalen
    Zweitrennung $R\ra R\curlywedge R$ in $\curlywedge {\op{Kringo}}$ ist
    das derivierte Tensorprodukt "uber $R$. Es ist  eine Variante des
    derivierten Tensorprodukts aus \eref{TGgg}{TD}, wo wir 
    den Fall nicht notwendig kommutativer Ringe betrachtet hatten, in dem
    das Tensorprodukt Werte in abelschen Gruppen annimmt.
 In der nach \ref{PTV} zugeh"origen
  pr"averflochtenen Trennaustauschsituation mit allen Morphismen
  als Schreimorphismen und Eigmorphismen\label{DVM} 
  sind  alle R"uckholquadrate
  "uber Projektionsformelquadraten mit kokartesischer Ausgangskante 
  beidseitig kokartesisch, als da hei"st,  der zweite Morphismus
    aus \ref{AdSCH} ist
    stets ein
   Isomorphismus $\op{adf}:f_{*} \mathcal F \otimes \mathcal G \sira 
   f_{*} (\mathcal F \otimes f^{*} \mathcal G)$.
Anders gesagt ist gegeben ein 
   Kringhomomorphismus $f^\circ :B\ra A$ und Komplexe $F,G$ von $A$-Moduln
   beziehungsweise $B$-Moduln der offensichtliche Morphismus stets 
   ein Isomorphismus 
    $$(\op{res}_A^BF)\otimes_B^{\op{L}}G\sira
   \op{res}_A^B(F\otimes^{\op{L}}_A(A\otimes^{\op{L}}_BG))$$
   Das folgt aus derselben Aussage underivierten Fall \ref{pfMOD},
   da wir die derivierten Tensorprodukte durch quisflache
   Linksaufl"osung  berechnen k"onnen und da die Skalarerweiterung
   quisflache Komplexe zu quisflachen Komplexen macht.
   Weiter ist der Basiswechsel in kartesischen Quadraten nach \ref{BWri}
   zumindest dann ein Isomorphismus, wenn unsere Quadrate torsionslos sind.
   Unsere Pr"averflechtung ist mithin eine
  Verflechtung in Bezug auf diejenige Trennregulierung der Basis, die von
  allen Projektionsformelquadraten und allen torsionslosen
  einfachen Basisquadraten erzeugt wird. 
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Tensorprodukt mit dem Kring einer Kringerweiterung}]
  Gegeben ein 
  Kringhomomorphismus $f^\circ :B\ra A$
  und Komplexe $\mathcal F,\mathcal G$ von $A$-Moduln beziehungsweise $B$-Moduln
  erinnern wir von eben den Isomorphismus der Projektionsformel 
  $\op{adf}:f_{*} \mathcal F \otimes \mathcal G \sira 
  f_{*} (\mathcal F \otimes f^{*} \mathcal G)$. Nehmen wir f"ur $\mathcal F\pdef
  \mathbb I=A[0]$ das Einsobjekt, so liefert uns diese Formel einen
  Isomorphismus
  $$f_*A[0]\otimes \mathcal G\sira f_*f^* \mathcal G$$
  Es ist also egal, ob wir erst $\mathcal G$ durch derivierte Skalarerweiterung
  zu einem Komplex von $A$-Moduln machen und dann die $A$-Operation zu einer
  $B$-Operation einschr"anken oder vielmehr $A$ zu einem $B$-Modul einschr"anken und
  diesen dann an  $\mathcal G$ deriviert herantensorieren. In anderer Form steht das in
  \cite{BoeNee} als Lemma 2.17. In \ref{SRGa} werden  wir den analogen
  Isomorphismus $f_! f^! \mathcal G \sira (\op{res}_{B}^{A} A[0]){\Rrightarrow}
  \mathcal G$  diskutieren. 
\end{Bemerkungl}

\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}[\textbf{Kreuzprodukt in der de-Rham-Kohomologie}]
  Seien $X,Y$ parakompakte glatte Mannigfaltigkeiten.
  Man zeige, da"s das Kreuzprodukt \nichtfinal{(besser Boxprodukt, gehe nochmal die Notation durch)} der Garbenkohomologie mit reellen Koeffizienten
  $${\op{H}}^p(X;\DR)\times {\op{H}}^q(Y;\DR)\ra {\op{H}}^{p+q}(X\times Y;\DR)$$
  nach \ref{gGKSF} unter dem Vergleichsisomorphismus der durch das externe
  Produkt $\boxtimes$ von Differentialformen gegebenen Abbildung auf der
  de-Rham-Kohomologie entspricht.
\end{Ubung}



  
 


%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "XXTSF"
%%% End: 
