%Ein Bild: width=\textwidth
%Zwei Bilder: height=0.4\textheight ohne Text, 9-8cm mit Text
%\begin{figure}[p]\centering\includegraphics[height=0.4\textheight oder width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildGibtsnet}\\[4mm]
%\noindent BlahBlah\end{figure}

%tar cfz Docutexh.tar */*/*.tex
%tar xfz Docutexb.tar

%Index Machen: makeindex -g -s german.ist AATOTAL

%BILDER VORBEREITEN
%B.bb von B.ps Kriegen: for i in *.ps; do grep ^%%BoundingBox $i >$i.bb; done
%BILDER EIN BISSEL VERPACKEN
%gzip *.ps
%Alt-x server-start (f"ur Quelltextsuche bei emacs)
%xdvi -editor 'emacsclient --no-wait' AATOTAL.dvi

%AATOTAL INTERN VER"OFFENTLICHEN: 
%in /Documents/Skripten/Skripten/SkriptenBilder machen:
%for i in *.ps; do grep ^%%BoundingBox $i >$i.bb; done
%gzip *.ps
%in /Documents/Skripten/Skripten machen:
%scp AATOTALd.dvi soergel@tux00:/webserver/home/intern/soergel/AATOTALd.dvi
%tar cf SkriptenBilder.tar SkriptenBilder/*.*ps*
%scp SkriptenBilder.tar soergel@tux00:/webserver/home/intern/soergel/

%BILDER IN UNI VERPACKEN:
%soergel@soerdell:~/Documents/Skripten/Skripten> tar cfz SkriptenBilder.tar SkriptenBilder/*
%BILDER F"UR DAS HEIMHOLEN AUF DEN WEBSERVER LEGEN:
%scp SkriptenBilder.tar
%soergel@tux00:/webserver/home/soergel/Skripten/SkriptenBilder.tar
%BILDER ZUHAUSE VOM SERVER HOLEN:
%scp  soergel@tux00.mathematik.uni-freiburg.de:/webserver/home/soergel/Skripten/SkriptenBilder.tar SkriptenBilder.tar
%BILDER ZUHAUSE AUSPACKEN:
%soergel@linux:~/Documents/Skripten/Skripten> tar xf SkriptenBilder.tar
%soergel@linux:~/Documents/Skripten/Skripten> tar cfz SkriptenBilder.tar SkriptenBilder/BildA.ps.bb
%scp SkriptenBilder.tar soergel@tux00.mathematik.uni-freiburg.de:/webserver/home/soergel/Skripten/SkriptenBilder.tar




%Anleitung xypic
%http://www.uni-koblenz.de/~texadmin/texmf/doc/html/latex/contrib/xypic/xyguide-html/index.html



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\begin{document}
\title{Graduiertes Tensorieren}
\author{Wolfgang Soergel und Catharina Stroppel}
\maketitle
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%\dominitoc
%\addtocontents{toc}{Index}




\subsection{Kombinatorik graduierter Verschiebungsfunktoren}
\begin{Bemerkung}\label{KGVv}
Gegeben ein Coxetersystem $(W,S)$ und seine Heckealgebra $\mathcal{H}$
und Teilmengen $S_{\lambda}, S_{\mu} \subset S,$ 
die endliche Untergruppen $W_\lambda, W_\mu$ erzeugen, erkl"aren wir
\begin{displaymath}
\begin{array}{ccc}
{}_{\lambda}\mathcal{H}&=& \{ H \in \mathcal{H} \mid 
\underline{H}_{s} H = (v + v^{-1}) H \quad
\forall s \in S_{\lambda}\}\\
\mathcal{H}_{\mu} &=& \{ H\in \mathcal{H} 
\mid H\underline{H}_s = H (v + v^{-1}) \quad \forall
 s\in S_\mu\}
\end{array}
\end{displaymath}
Hier kann ${}_{\lambda}\mathcal{H}$ auch 
verstanden werden als das Bild der Injektion $\zeta : \mathcal{M}
\hookrightarrow \mathcal{H}$ mit $\mathcal{M} = 
\mathcal{M}^\lambda$ wie im Beweis
von \ref{FF}, also ${}_{\lambda}\mathcal{H} = 
\underline{H}_{w_{\lambda}} \mathcal{H},$ und ebenso haben wir
$\mathcal{H}_{\mu}=\mathcal{H}\underline{H}_{w_{\mu}}$.
Schlie"slich setzen wir
\begin{displaymath}
{}_{\lambda} \mathcal{H}_{\mu} = {}_{\lambda}\mathcal{H} \cap \mathcal{H}_{\mu}
\end{displaymath}
und erkennen, da"s dieser $\mathcal{L}$-Untermodul 
von $\mathcal{H}$ stabil ist unter der
Dualit"at.
Eine $\cal{L}$-Basis von ${}_{\lambda} \mathcal{H}_{\mu}$ bilden die
$\underline{H}_x$ f"ur $x$ die Bruhat-gr"o"sten Repr"asentanten der 
Doppelnebenklassen $W_\lambda\backslash W/W_\mu$ nach \ref{KoDNK}.
\end{Bemerkung}

\begin{Bemerkung}\label{KGVV}
Ist nun $b_{\lambda} \in \mathcal{L}$ gegeben durch
$\underline{H}^2_{w_{\lambda}} = b_{\lambda}\underline{H}_{w_{\lambda}}$, nach
\ref{QSDH} also explizit durch die Formel $b_{\lambda} = v^{-l(w_{\lambda})}
\sum_{x\in W_{\lambda}} v^{2l (x)}$, so k"onnen wir renormalisierte
Verkn"upfungen
\begin{displaymath}
\begin{array}{ccc}
\mathcal{H}_\lambda \times {}_{\lambda} \mathcal{H} 
& \rightarrow & \mathcal{H}\\
(H\;,\;  K) & \mapsto & H \ast_\lambda K
\end{array}
\end{displaymath}
einf"uhren durch die Vorschrift
$H \ast_\lambda K = b^{-1}_\lambda HK.$ Mit $\ast_\lambda$ als
Multiplikation wird
${}_{\lambda} \mathcal{H}_{\lambda}$  ein
Ring mit Einselement $\underline{H}_{w_{\lambda}}.$
Im Fall der affinen Weylgruppe eines Wurzelsystems 
mit $W_\lambda$ 
der endlichen Weylgruppe und einfachen Spiegelungen zu einem
vorgegebenen System positiver Wurzeln hei"st dieser Ring die
\defind{sph"arische Hecke-Algebra}.
\end{Bemerkung}
\begin{Bemerkung}
Im Kontext einer halbeinfachen Lie-Algebra wird das 
Ringoid $$\bigoplus_{\lambda,\mu \geq -\rho}
{}_\mu \mathcal{H}_{\lambda}$$ die Kombinatorik der 
$\Bbb{Z}$-Verschiebungen zwischen
ganzen zentralen Charakteren kodieren.
\end{Bemerkung}

\subsection{Graduiertes Tensorieren}
\begin{Bemerkungl}\label{GrTe}
Gegeben eine halbeinfache Liealgebra mit einer 
ausgezeichneten Borel-Unteralgebra betrachten
wir die Kategorie $\mathcal{O}_{\op{int}}$ aller Objekte der zugeh"origen
Kategorie $\mathcal{O}$, deren Gewichtsr"aume nur 
f"ur ganze Gewichte verschieden sind von
Null. Jede endlichdimensionale Darstellung $E$ 
unserer Liealgebra liefert einen exakten
Funktor
\begin{displaymath}
(E \otimes ) : \mathcal{O}_{\op{int}} \rightarrow \mathcal{O}_{\op{int}}
\end{displaymath}
und f"ur je zwei endlichdimensionale 
Darstellungen $E,F$ gibt es einen Isomorphismus von
Funktoren
\begin{displaymath}
(E\otimes ) \circ (F \otimes )\stackrel{\sim}{\RA} (E \otimes F) \otimes
\end{displaymath}
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Wir wollen im Folgenden der Frage nachgehen, 
inwieweit das  in die $\Bbb{Z}$-graduierte
Welt hochgehoben werden kann. Bezeichne genauer 
$\mathcal{O}^\Bbb{Z}_{\op{int}}$ die $\Bbb{Z}$-graduierte
Version von $\mathcal{O}_{\op{int}}$, die wir erhalten 
als die Summe der $\Bbb{Z}$-graduierten Versionen
der Bl"ocke von $\mathcal{O}_{\op{int}}$ aus \cite{BGS} 3.11.
Wir wollen jeder endlichdimensionalen Darstellung 
$E$  einen exakten $\Bbb{Z}$-Funktor im Sinne von \ref{ZKATa}
\begin{displaymath}
(E\tilde{\otimes}): \mathcal{O}^\Bbb{Z}_{\op{int}} \rightarrow 
\mathcal{O}^{\Bbb{Z}}_{\op{int}}
\end{displaymath}
in der Weise zuordnen, da"s  einerseits
alle $(E\tilde{\otimes})$  unter dem Vergessen der 
Graduierung isomorph werden zu $E \otimes $ und 
da"s es andererseits f"ur alle $E,F$ 
Isomorphismen von $\Bbb{Z}$-Funktoren 
\begin{displaymath}
(E\tilde{\otimes})\circ (F \tilde{\otimes})\stackrel{\sim}{\RA} 
(E \otimes F)\tilde{\otimes}
\end{displaymath}
gibt. Sicher kann man mit einer Wahl von 
$\tilde{\otimes}$ auch viele andere Wahlen konstruieren, bei denen
die einzelnen Bl"ocke von $\mathcal{O}^{\Bbb{Z}}_{\op{int}}$ 
willk"urlich umgraduiert werden. Wir hoffen aber, den Leser zu "uberzeugen,
da"s unsere Wahl besonders nat"urlich ist.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Nat"urlich h"atten wir gerne noch mehr Kanonizit"at.
Bezeichne $\mathcal{F}$ die Kategorie der endlichdimensionalen Darstellungen
unserer halbeinfachen Liealgebra. 
Unsere Konstruktion liefert 
die oben erhofften Funktoren sogar in Gestalt 
eines auf Morphismen
$\Bbb{C}$-bilinearen
Funktors
$$
  \begin{array}{ccc}
\mathcal{F} \times \mathcal{O}_{\op{int}}^{\Bbb{Z}} & 
\rightarrow & \mathcal{O}_{\op{int}}^{\Bbb{Z}}\\[2mm]
(E, \,M) &\mapsto & E \tilde{\otimes} M
\end{array}
$$
nebst nat"urlichen  Isomorphismen 
$ E \tilde{\otimes} (M[1])\sira  (E \tilde{\otimes} M)[1]$
sowie  $\Bbb{C} \tilde{\otimes}
M \overset{\sim}{\rightarrow}M.$ 
Nat"urlich h"atten wir gerne
zus"atzlich  eine Isotransformation zwischen den beiden 
offensichtlichen Funktoren $\mathcal{F}
\times \mathcal{F} \times \mathcal{O}^{\Bbb{Z}}_{\op{int}} \rightarrow
\mathcal{O}_{\op{int}}^{\Bbb{Z}}$, als da hei"st nat"urliche Isomorphismen 
$c : F \tilde{\otimes} 
(E \tilde{\otimes} M) \overset{\sim}
{\rightarrow} (F \otimes E) \tilde{\otimes} M$ 
derart, da"s kommutieren
\begin{displaymath}
\xymatrix{
E \tilde{\otimes}(\Bbb{C} \tilde{\otimes}M)\ar[dr] 
\ar[r] & (E \otimes \Bbb{C}) \tilde{\otimes} M\ar[d]\\
 &E \tilde{\otimes} M\\
 \Bbb{C}\tilde{\otimes} (E \tilde{\otimes} M) 
\ar[r] \ar[dr] & (\Bbb{C} \otimes E) 
 \tilde{\otimes} M \ar[d]\\
 & E \tilde{\otimes} M\\
G \tilde{\otimes} (F \tilde{\otimes} 
(E \tilde{\otimes} M))\ar[d] \ar[r] & (G \otimes F)
\tilde{\otimes} (E \tilde{\otimes} M)\ar[d]\\
G \tilde{\otimes} ((F \otimes E) 
\tilde{\otimes} M)\ar[d] & \ar[dl]((G \otimes F)\otimes E) \tilde{\otimes}M\\
(G\otimes (F \otimes E)) \tilde{\otimes} M & \\
}
\end{displaymath}
Problematisch scheint mir jedoch, da"s sich bei 
einer graduierten Verschiebung sagen wir aus einer
Wand stets der Linksadjungierte vom Rechtsadjungierten 
um eine Verschiebung im Grad unterscheidet.
Im $\frak{sl}(2)$-Fall ist nun das Verschieben aus der Wand schlicht
das Darantensorieren der zweidimensionalen einfachen Darstellung $L(1).$
Es sollte im Fall $E=L(1)$ also $E^* \tilde{\otimes}$ 
nicht sowohl Linksadjungiert als auch Rechtsadjungiert sein zu
$E\tilde{\otimes}$, als da hei"st, 
die von $\Bbb{C} \rightarrow E^* \otimes E \rightarrow \Bbb{C}$
induzierten Morphismen $M \rightarrow E^* 
\tilde{\otimes} (E \tilde{\otimes} M) \rightarrow M$
sollten keine Adjunktionen liefern.
Das m"ussten sie jedoch nach \ref{CanA} tun, denn die 
Kompositionen $E \rightarrow E \otimes (E^* \otimes E) =
(E \otimes E^*)\otimes E \rightarrow E$ sind die Identit"at. 
Also denke ich, eine richtige \glqq Operation der
Tensorkategorie der endlichdimensionalen Darstellungen\grqq\  
auf $\mathcal{O}_{\op{int}}^{\Bbb{Z}}$ darf es nicht
geben.
\end{Bemerkungl}

  



\begin{Definition}\label{ZKATa}
Eine \defnoind{$\DZ$-Kategorie}\index{Z-Kategorie@$\DZ$-Kategorie} 
ist eine 
Kategorie $\cal{A}$ mitsamt einem Automorphismus
$[1] : \cal{A} \ra \cal{A}$.
Mit Automorphismus meinen wir wirklich einen 
Isomorphismus der Kategorie auf sich selbst,
nicht etwa blo"s eine "Aquivalenz von Kategorien.
Ein {\bf $\DZ$-Funktor}\index{Z-Funktor@$\DZ$-Funktor} 
$F: \cal{A} \ra \cal{B}$ 
von  $\DZ$-Kategorien
ist ein Paar $(F,u)$ bestehend aus einem Funktor $F$ 
nebst einer Isotransformation
$u: [1] \circ F \overset{\sim}{\RA} F \circ [1],$
den wir als die \defnoind{$\DZ$-Struktur}\index{Z-Struktur@$\DZ$-Struktur}  
unseres $\DZ$-Funktors bezeichnen.
\end{Definition}







\begin{Definition}\label{vvTa}
Eine \defnoind{vertr"agliche 
Transformation}\index{vertr"aglich!Transformation von $\DZ$-Funktoren} 
$ (F,u) \RA (G,v)$ zwischen  
$\DZ$-Funktoren ist eine Transformation $\tau : F\RA G,$ die
mit den jeweiligen $\DZ$-Strukturen 
vertr"aglich ist in dem Sinne, da"s das folgende 
Diagramm von Transformationen kommutiert:
\begin{displaymath}
\xymatrix{
[1]\circ F \ar@{=>}[r]^{u}\ar@{=>}[d]_{[1]\circ \tau} 
& F \circ [1] \ar@{=>}[d]^{\tau \circ [1]}\\
[1]\circ G \ar@{=>}[r]^{v} &G \circ [1]
}
\end{displaymath}
Wir notieren die Menge der vertr"aglichen 
Transformation $$\op{Trans}^{\DZ} (F,G)$$
Eine Adjunktion $(L,R)$ von 
$\DZ$-Funktoren nennen wir \defind{vertr"aglich} genau
dann, wenn die zugeh"origen Transformationen 
$\op{Id} \RA RL$ und $LR \RA \op{Id}$ vertr"aglich
sind. Ist ein $\DZ$-Funktor gegeben und 
dazu ein Adjungierter, so erh"alt dieser
Adjungierte in nat"urlicher Weise eine $\DZ$-Struktur, f"ur die die 
Adjunktion vertr"aglich ist.
\end{Definition}










\begin{Bemerkungl}
Jetzt
fangen wir erst mal klein an und versuchen, 
zumindest das im $\frak{sl}_2$-Fall
zu erreichen.
In diesem Fall scheint die Wahl
\begin{displaymath}
\begin{array}{llcl}
(L(1) \tilde{\otimes}) :& \Delta (0) & 
\mapsto & \Delta (-1) \langle 1 \rangle \oplus \Delta (1);\\
&\Delta (-1) & \mapsto &  P (-2);\\
&\Delta (i) & \mapsto & \Delta (i+1) \oplus \Delta (i-1) \text{ sonst; }
\end{array}
\end{displaymath}
zu einer konsistenten Wahl aller $(E \tilde{\otimes})$ zu f"uhren. Hier meint
$L(1)$ die zweidimensionale Darstellung und 
$\langle 1\rangle$ verr"uckt um Eins
in die positive Richtung, so da"s wir also haben
$\Delta (-i -2)\langle 1\rangle \subset \Delta (i)$ 
f"ur alle $i \in \Bbb{N}$ und
$\Delta (0) \langle 1\rangle \hookrightarrow P (-2) 
\twoheadrightarrow \Delta (-2)$.
In der Tat behaupte ich, da"s wir so f"ur 
$L (n) \tilde{\otimes}$ zu folgender Vorschrift
gelangen:
\begin{displaymath}
\begin{array}{rlcl}
L(n)\tilde{\otimes} :&  \Delta (-1) &\mapsto 
&P (-n-1) \oplus P (-n+1) \langle 2 \rangle
\oplus \ldots \oplus 
\left\{\begin{array}{l}
\Delta (-1) \langle n \rangle \\
P (-2) \langle n-1\rangle
\end{array} \right. \\
& \Delta (i) & \mapsto & \Delta (i+n) \oplus 
\Delta (i+n -2) \oplus \ldots \Delta (i-n)
 \text{ falls } i -n \geq 0;\\
&\Delta (i) & \mapsto & \Delta (i+n) \oplus 
\ldots \oplus \Delta (n-i) \oplus P (i-n) \langle 1
\rangle \oplus \ldots \oplus\\
& &&
\left\{ \begin{array}{l}
\Delta (-1) \langle n-i \rangle \\
P (-2) \langle n-i-1 \rangle \end{array}\right.
\text{ falls } i - n \leq -1.
\end{array}
\end{displaymath}
von der dann ein kurze Rechnung zeigt, da"s sie 
das Gew"unschte leistet.
\end{Bemerkung}
Etwas "ubersichtlicher rechnet man den Effekt 
von $L (n) \tilde{\otimes} $ auf der
graduierten Grothendieckgruppe aus wie folgt:
\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|c|c| c|}
3 && & &  \\
2 && & & 1 \\
1&& & 1 &  \\
0 & &1&  &  {\makebox[6mm]{$1$\hspace{-1ex}\raisebox{0,70ex}{${\scriptstyle
\backslash\;}$}}},
3 \\
-1 &0& &2, {\makebox[6mm]{$0$\hspace{-1ex}\raisebox{0,50ex}{${
\backslash\;}$}}} & \\
-2 & & 0& & 2, {\makebox[6mm]{$0$\hspace{-1ex}\raisebox{0,50ex}{${
\backslash\;}$}}} \\
-3& & &0 & \\
-4 & & & &0\\
\end{tabular}
\end{center}
wobei der Effekt auf $\Delta (-1)$ berechnet wird 
und man von einer Spalte zur n"achsten
kommt durch $L (1) \tilde{\otimes}$ gefolgt vom Wegstreichen der Spalte davor.
\begin{Bemerkung}
Gegeben $\lambda \in X$ bezeichne $\lfloor\lambda\rfloor 
\in \tilde{\mathcal{W}} $ das
k"urzeste Element der Nebenklasse 
$\op{e}^\lambda W \subset \tilde{\mathcal{W}}$
und
%
\begin{displaymath}
V_\lambda = H_{\lfloor\lambda\rfloor}  \underline{H}_{w_0}
\end{displaymath}
%
So bilden die $V_{\lambda}$ f"ur $\lambda \in X$ eine $\mathcal{L}$-Basis
von $\tilde{\mathcal{H}}_0 = \tilde{\mathcal{H}} \underline{H}_{w_0}$.
Ich vermute, da"s unter dem Isomorphismus
%
\begin{displaymath}
\begin{array}{rcl}
\left[ \mathcal{O}^{\Bbb{Z}}_{\op{int}}\right] 
&\overset{\sim}{\rightarrow} &\tilde{\mathcal{H}}_0\\[2mm]
\Delta (\lambda - \rho)\langle i\rangle & \mapsto & v^i V_\lambda
\end{array}
\end{displaymath}
%
das graduierte Tensorieren nach \ref{GrTe} mit 
einer endlichdimensionalen Darstellung
$E$ auf der linken Seite dem $\ast_0 H_E$ auf 
der rechten Seite entspricht mit
dem $H_E \in {}_0\tilde{\mathcal{H}}_0$, das 
unter dem Satake-Isomorphismus $\op{ch}
(E) \in \Bbb{Z} \langle X\rangle^W$ entspricht.
\end{Bemerkung}
\begin{Beispiel}
Wir betrachten den Fall $\frak{sl}_2$ und $E$ die 
zweidimensionale irreduzible Darstellung.
Das liefert $H_E = \underline{H}_s 
\underline{H}_t \underline{H}_\eta$ wie in \ref{BSL2}
und die nebenstehenden Bilder berechnen $V_\lambda \ast_0 H_E$ f"ur
$\lambda =0,\rho$ und $-\rho$.
%
% Bild TAU
%
Sie zeigen $V_0 \ast_0 H_E = V_{-\rho} + v V_\rho$,
$V_\rho \ast_0 H_E = vV_0 + V_{2\rho} $ und $V_{-\rho} \ast_0 H_E =
V_{-2\rho} + V_0$, was gut vertr"aglich ist mit unseren Regeln
%
\begin{displaymath}
\begin{array}{lcl}
\left[ E \tilde{\otimes} \Delta (-\rho)\right] &= 
&[\Delta (-2\rho)] + [\Delta (0) \langle 1 \rangle ],\\[2mm]
\left[ E \tilde{\otimes} \Delta (0) \right]&=
& [\Delta (-\rho) \langle 1 \rangle ] + [\Delta (\rho)] \text{ sowie }\\[2mm]
\left[ E \tilde{\otimes} \Delta (-2\rho)\right] &=
& [\Delta (-3\rho) ] + [\Delta (-\rho)].
\end{array}
\end{displaymath}
%
\end{Beispiel}
\begin{Bemerkung}
Ich will nun zeigen, da"s das f"ur endlichdimensionale Darstellungen
sinnvoll ist. Gegeben $\lambda \in X^+$ haben wir ja nach der
graduierten Version der BGG-Aufl"osung
\begin{displaymath}
L(\lambda) = \sum_{x \in W} (-1)^{l(x)} \Delta (x(\lambda +\rho)-\rho)
\langle l(x)\rangle
\end{displaymath}
und unter unserem Homomorphismus $[\mathcal{O}^{\Bbb{Z}}_{\op{int}} ]
\overset{\sim}{\rightarrow} \tilde{\mathcal{H}}_0$ landet das bei
\begin{eqnarray*}
\sum_{x \in W} (-v)^{l(x)} V_{x(\lambda + \rho)} = 
\sum_{X \in W} (-v)^{l(x)} H_{\lfloor x
(\lambda + \rho)\rfloor}
\underline{H}_{w_{0}}
\end{eqnarray*}
Nun gilt f"ur alle $\lambda \in X^+ $ und $x \in W$ 
offensichtlich $\lfloor x (\lambda +
\rho)\rfloor = x \lfloor \lambda + \rho\rfloor$ und 
$H_{\lfloor x (\lambda +\rho)\rfloor}
=H_x H_{\lfloor\lambda +\rho)\rfloor } $ und daraus folgt, 
da"s $L(\lambda)$ bei $(-v)^{l(w_{0})}
\underline{\tilde{H}}_{w_{0}} H_{\lfloor \lambda +\rho \rfloor }
\underline{H}_{w_{0}}$ und damit in Lusztig's 
Notation bei $v^{l(w_{0})} J_{\lambda +\rho}$ landet.
Das ist aber nach Lusztig  \cite{Lu-SCW} in der Tat
$v^{l(w_{0})} J_{\rho} \ast_0 H_{L(\lambda)}$
mit $H_{L(\lambda)} \in {}_0\tilde{\mathcal{H}}_0$ dem Element, das der
endlichdimensionalen Darstellung $L(\lambda)$ entspricht.
\end{Bemerkung}

\begin{center}
  "Ubersetzungstabelle zu Lusztig \cite{Lu-SCW}


\begin{tabular}{ll}
Bei mir & Bei Lusztig\\[0,5ex]
$X$ & $P$ \\[1mm]
$X^+$ & $P^{++}$ \\[1mm]
$\tilde{\mathcal{W}}$ & $\tilde{W}_a$\\[1mm]
$\mathcal{W}$ & $W_a$\\[1mm]
$\lambda \in X \subset \mathcal{W}$ & $p_{\lambda} \in \mathcal{W}$\\[1mm]
$\lfloor \lambda \rfloor$ & $m_\lambda$\\[1mm]
$v^{-l (w_{0})} \underline{H}_{w_{0}}$ & $ \sum_{w \in W} T_w$\\[1mm]
$v^{-2}$ &$ q$\\[1mm]
$v^{-l(x)}H_x $&$T_x$\\[1mm]
$(-v)^{l(w_{0})} \underline{\tilde{H}}_{w_{0}}$ &
$\sum (-q)^{l(w)} T^{-1}_{w}$\\[1mm]
$\underline{\tilde{H}}_{w_{0}} H_{\lfloor \lambda \rfloor} 
\underline{H}_{w_{0}}$&$
(-1)^{l(w_{0})} J_{\lambda} $\\[1mm]
$\op{e}^\lambda \in \tilde{\mathcal{H}}$ &$ \tilde{T}_{p_{\lambda}} 
\in \tilde{\mathcal{H}}$\\[1mm]
$z_{\lambda}$&$z_{\lambda}$\\[1mm]
${}_0\tilde{\mathcal{H}}_0$&$ \mathcal{P} \mathcal{K}$\\[1mm]
$\sum_{w \in \mathcal{W}} q^{l(w)}$&$\mathcal{P}$ \\[1mm]
$\underline{H}_x$ mit $x$ wie in \ref{xkl}
&$ \mathcal{P} C^\prime_{\lambda} \in\mathcal{P} \mathcal{K}$
\end{tabular}
\end{center}

\emph{Wohin?}
Zun"achst einmal zeigen wir f"ur beliebiges~$E \in {\mathcal F}$ 
die Existenz eines~${\mathbb Z}$-Funktors
\[ (E\tilde{\otimes}) \colon {\mathcal O}_{\op{int}}^{\mathbb Z} 
\to {\mathcal O}_{\op{int}}^{\mathbb Z}\;, \]
der unter dem Vergessen der Graduierung dem normalen 
Darantensorieren~$(E\otimes) \colon {\mathcal O}_{\op{int}} 
\to {\mathcal O}_{\op{int}}$ entspricht. Sicher reicht es, 
das Entsprechende f"ur alle~$pr_\mu \circ (E \otimes) 
\circ i_\lambda \colon {\mathcal O}_\lambda \to {\mathcal O}_\mu$ zu leisten.
Es gelingt sogar f"ur alle direkten Summanden derartiger 
Funktoren, also f"ur alle projektiven Funktoren
\[ F \colon {\mathcal O}_\lambda \to {\mathcal O}_\mu \]
im Sinne von~\cite{BG}.
In der Tat k"onnen wir ja f"ur alle~$\lambda$ eine 
endlichdimensionale~${\mathbb C}$-Algebra~$A_\lambda$ 
nebst einer "Aquivalenz von Kategorien
\[ A_\lambda  \op{-Modf} \stackrel{\sim}{\to} {\mathcal O}_\lambda \]
finden, und jeder projektive Funktor, ja sogar "uberhaupt 
jeder rechtsexakte Funktor~$F \colon {\mathcal O}_\lambda 
\to {\mathcal O}_\mu$ entspricht dann dem Darantensorieren 
eines endlichdimensionalen~$A_\mu $-$ A_\lambda$-Bimoduls~$X(F)$.
In~\cite{BGSo}3.8 konstruieren wir nun 
eine~${\mathbb Z}$-graduierte~${\mathbb C}$-Algebra~$A_\lambda$ 
nebst einer "Aquivalenz von Kategorien~$A_\lambda\op{-Modf} 
\stackrel{\sim}{\to} {\mathcal O}_\lambda$.
Per definitionem ist
\[ {\mathcal O}_\lambda^{\mathbb Z} = A_\lambda\op{-gModf} \]
die~${\mathbb Z}$-Kategorie der endlichdimensionalen 
graduierten~$A_\lambda$-Moduln, und einen graduierten 
Lift eines projektiven Funktors~$F$ anzugeben bedeutet 
genau, den zugeh"origen Bimodul~$X(F)$ mit einer Graduierung 
zu versehen, die mit den Operationen von~$A_\lambda$ und~$A_\mu$ 
vertr"aglich ist.
Ist~$F$ ein unzerlegbarer projektiver 
Funktor und damit~$X(F)$ ein unzerlegbarer 
Bimodul, und existiert solch eine Graduierung, 
so ist der entstehende graduierte Bimodul 
nach~\cite{BGSo}2.3.5 eindeutig bestimmt bis 
auf Isomorphismus und Verschieben der Graduierung. 
Nun besitzen die Verschiebungen auf W"ande graduierte 
Versionen nach~\ref{gta} und f"ur die Verschiebungen aus 
W"anden folgt dasselbe leicht "uber die explizite Beschreibung 
des entsprechenden Bimoduls, und f"ur allgemeine unzerlegbare 
projektive Funktoren k"onnen wir die Existenz graduierter 
Versionen induktiv mit~\cite{So-R}2.7.2 folgern. Damit folgt 
nat"urlich die Existenz graduierter Lifts der Funktoren~$E\otimes$, 
und es folgt sogar eine graduierte Version eines Resultats von 
Bernstein-Gelfand: Genau dann sind zwei graduierte 
Lifts~$\tilde{F}$, $\tilde{G} \colon {\mathcal O}_\lambda^{\mathbb Z} 
\to {\mathcal O}_\mu^{\mathbb Z}$ von projektiven Funktoren isomorph, 
wenn sie auf dem graduierten projektiven Vermamodul denselben Wert 
annehmen. Es scheint jedoch hoffnungslos, mit diesem Zugang zu 
zeigen, dass unsere graduierten Lifts in der beschriebenen 
Weise kompatibel gew"ahlt werden k"onnen.




\subsection{Graduiertes Tensorieren}
\begin{Bemerkungl}
  Seien $G \supset B \supset T$ eine  zusammenh"angende komplexe
  reduktive algebraische Gruppe von adjungiertem Typ, 
eine Borel'sche Untergruppe und ein maximaler
  Torus.  Seien $G^{\vee}  \supset B^{\vee}  \supset T^{\vee} $ die zugeh"origen
  Langlands-Dualen.  
Wir k"urzen $\DC((t))=\cal{K}$ und
$\DC[[t]]= o $ ab.
Wir betrachten die Schleifengruppe $G  (\cal{K})$, die
  Scheibengruppe $G  ( o )$ und die Iwahori $ I $ alias den
  Pullback
\begin{displaymath}
\xymatrix{
I  \ar[r]\ar[d] &B  \ar@{_{(}->}[d] \\
G   ( o ) \ar[r]&G 
}
\end{displaymath}
mit dem Auswerten bei $t=0$ in der unteren Horizontalen.  Die Grassmann'sche
$$
\op{Gr}  = G  (\cal{K}) / G  ( o )
$$
zerf"allt unter der Scheibengruppe $G  ( o ) $ in die Bahnen
\begin{equation*}
\op{Gr}  = \prod_{\lambda \in \frak{X}^+} \op{Gr} _\lambda
\end{equation*}
f"ur $\frak{X} = \frak{X} (T^{\vee})$ die Charaktergruppe von $T^{\vee}$ 
alias die Menge der
Einparameteruntergruppen von $T $, die wir als Elemente $\lambda \in
T  (\cal{K})$ auffassen. Mit $\op{Gr} _\lambda$ ist  die Bahn
der Nebenklasse von $\lambda\inT  (\cal{K})$
gemeint, in Formeln $\op{Gr} _\lambda = G 
( o )\lambda G  ( o )/G  ( o )$.  Damit jede
Doppelnebenklasse nur einmal genannt wird, m"ussen wir uns hier
wie  angedeutet auf die dominanten
Gewichte $\frak{X}^+ \subset \frak{X}$ beschr"anken, die wir verstehen in
Bezug auf das System von positiven Wurzeln 
$R^+ = R (T^{\vee},B^{\vee})$.  Bezeichnet $W_\lambda
\subset W$ die Isotropiegruppe von $\lambda$ in der Weylgruppe $W = W(G,T)$
und erkl"aren wir die Parabolische $P _\lambda \subset G $ als
$P  _\lambda = B  W_\lambda B $, so erhalten wir 
durch das Auswerten bei $t=0$ eine Faserung
mit affinen Fasern
$
\op{Gr} _\lambda \twoheadrightarrow G  / P  _\lambda
,$
da n"amlich 
die Isotropiegruppe von $\lambda G  ( o ) \in \op{Gr} $ 
unter der Wirkung von $G 
( o )$ gerade $G 
( o ) \cap \lambda G  ( o ) \lambda^{-1}$ 
ist und unter dem Auswerten bei $t=0$ in $P  _\lambda$ landet.  Bezeichnet
$N  \subset B $ das unipotente Radikal, so sind 
weiter die $I $-Bahnen
in $\op{Gr} _\lambda$ genau die 
Urbilder der $N $-Bahnen in $G  /P 
_\lambda$ unter unserer Projektion.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Bezeichne nun $\mathcal{O}=\mathcal{O}(\mathfrak{g}^{\vee},
\mathfrak{b}^{\vee})$ 
die "ubliche Kategorie $\mathcal{O}$ zu den
  Liealgebren $\mathfrak{g}^{\vee} \supset \mathfrak{b}^{\vee} 
\supset \mathfrak{h}^{\vee}$ von $G^{\vee}
  \supset B^{\vee} \supset T^{\vee}$. 
Die volle Unterkategorie $\mathcal{O}_{\op{int}}$
  aller Objekte, auf denen sich die $\mathfrak{h}^{\vee}$-Operation zu einer
  $T^{\vee}$-Operation integrieren l"a"st, zerf"allt 
unter dem zentralen Charakter
  als
\begin{equation*}
\mathcal{O}_{\op{int}} = 
\bigoplus_{\lambda \in \frak{X}^+} \mathcal{O}_{\lambda}
\end{equation*}
Die Parametrisierung
ist so gew"ahlt, da"s stets gilt $$\Delta (\mu-\rho)= U(\mathfrak{g}^{\vee})
\otimes_{U(\mathfrak{b}^{\vee})} \mathbb{C}_{\mu -\rho}\in \mathcal{O}_{\mu}$$
f"ur $\rho$ die Halbsumme der positiven Wurzeln,
$\mathcal{O}_{0}$ hat also ein einziges einfaches Objekt 
$\Delta (-\rho).$
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Gegeben $H \looparrowright Y$ eine komplexe algebraische Gruppe, die auf
  einer komplexen algebraischen Variet"at mit endlich vielen Bahnen operiert,
  bilden wir in der beschr"ankten
derivierten Kategorie aller Garben von komplexen Vektorr"aumen
auf $Y$ mit seiner metrischen Topologie  die vollen Unterkategorien
\begin{equation*}
\op{Der}^{\op{ss}}_{(H)} Y \subset \op{Der}_{(H)} Y \subset 
\op{Der}^{\op{b}} (\mathbb{C}\op{-Mod}/Y)=\op{Der}^{\op{b}} (Y)
\end{equation*}
mit Objekten den Komplexen mit beschr"ankten
bez"uglich der $H$-Bahnen konstruierbaren Kohomologiegarben bzw.
mit Objekten
den in Bezug auf die perverse t-Struktur halbeinfachen Komplexen mit
dieser Eigenschaft. 
Wir werden hier nur den Fall einfach zusammenh"angender Bahnen und 
zusammenh"angender Gruppen $H$ verwenden, 
in dem die Objekte von  $\op{Der}^{\op{ss}}_{(H)} Y$ auch
beschrieben werden k"onnen als die 
einfachen $H$-"aquivarianten perversen Garben $\mathcal{L}$
auf $Y$, ihre im Grad verschobenenen Kopien $\mathcal{L}[n],$ und alle endlichen
direkten Summen derartiger Objekte.  Der obere Index \glqq $\op{ss}$\grqq\  steht f"ur
\glqq halbeinfach\grqq\  alias 
\glqq semisimple im perversen Sinne\grqq\  und das $H$ ist eingeklammert, 
um anzudeuten, da"s wir die
Morphismen nicht in der "aquivarianten derivierten Kategorie bilden, sondern in
der gew"ohnlichen derivierten Kategorie.
Schlie"slich bilden wir noch die
\glqq degraduierte\grqq\  Kategorie $\overline{\op{Der}}_{(H)}^{\op{ss}} Y
$ mit denselben Objekten, 
aber mit Morphismen $$\overline{\op{Der}} (\mathcal{L},
\mathcal{M}) = \bigoplus_{i \in \mathbb{Z}} \op{Der} (\mathcal{L}, \mathcal{M}
[i])$$
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}\label{gta}
  Bezeichne nun $p \mathcal{O}_\lambda \subset \mathcal{O}_\lambda$ die volle
  Unterkategorie der projektiven Objekte.  In \cite{BGSo}, 3.8 werden
  "Aquivalenzen von Kategorien
\begin{equation*}
\overline{\op{Der}}^{\op{ss}}_{(B )} G 
/P  _{\lambda}\sira p \mathcal{O}_{\lambda }
\end{equation*}
konstruiert zusammen mit 
den im folgenden Diagramm durch einen Doppelpfeil
angedeuteten Isomorphismen von Funktoren
\begin{displaymath}
\xymatrix{
\overline{\op{Der}}^{\op{ss}}_{(B )} G 
/P  _{\lambda } \ar[dd]_{\pi_{\ast}} 
\ar[rr]^-{\sim} && p \mathcal{O}_{\lambda } 
\ar[dd]^{T_{\lambda }^{\mu }}\\
&&\\
\ar@{=>}[uurr] \overline{\op{Der}}^{\op{ss}}_{(B )} G 
/P  _{\mu} \ar[rr]^-{\sim }&
& p\mathcal{O}_{\mu } \\
}
\end{displaymath}
wann immer $\mu$ auf mehr W"anden liegt als $\lambda,$ 
wobei $T_{\lambda }^{\mu }$ 
den Verschiebungsfunktor auf die W"ande meint.
 In diesen Diagrammen
hat die rechte Seite ein offensichliches graduiertes Analogon, und die
Definition der graduierten Versionen $\mathcal{O}^\DZ _{\lambda}$ der
Kategorien $\mathcal{O}_\lambda$ und der graduierten Verschiebungen auf W"ande
kann zusammengefa"st werden in den Diagrammen
\begin{displaymath}
\xymatrix{
{\op{Der}}^{\op{ss}}_{(B )} G 
/P  _{\lambda } \ar[dd]_{\pi_{\ast}}
\ar@{=}[rr] && p \mathcal{O}^\DZ _\lambda \ar[dd]^{\tilde{T}_\lambda^\mu} \\
&&\\{\op{Der}}^{\op{ss}}_{(B )} G 
/P  _{\mu}
%\ar@{=>}[uurr] 
\ar@{=}[rr]&
& p\mathcal{O}^\DZ _\mu  \\
}
\end{displaymath}
% \begin{displaymath}
% \xymatrix{
% p\mathcal{O}^\DZ _\lambda 
% \ar[d]_{\tilde{T}^{\mu}_{\lambda}}\ar@{=}[r]
% & \op{Der}^{\op{ss}}_{(B )} G  / P  (\lambda ) 
% \ar[d]^{\pi_{\ast}}\\
% p\mathcal{O}^\DZ _\mu \ar@{=}[r] 
% &\op{Der}^{\op{ss}}_{(B )} G / P  (\mu )
% }
% \end{displaymath}
die die Wirkung unserer graduierten Verschiebungsfunktoren
auf den vollen Unterkategorien der projektiven Objekte
in unseren graduierten Kategorien beschreiben und damit auch
die graduierten Verschiebungsfunktoren selber.
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}
  Um nun allgemeiner graduierte Lifts der Funktoren $(E \otimes ):
  \mathcal{O}_{\op{int}} \rightarrow \mathcal{O}_{\op{int}}$ f"ur
  endlichdimensionale Darstellungen $E$ von
$\frak{g}^{\vee}$ zu konstruieren, gehen wir wie folgt
  vor: Zun"achst liefern ja unsere affinen Faserungen $ g_\lambda :
  \op{Gr} _\lambda \twoheadrightarrow 
G  / P  _\lambda $ f"ur jede nat"urliche Zahl $n$ eine "Aquivalenz
  von Kategorien
\begin{equation*}
g_\lambda^\ast[n]: \op{Der}^{\op{ss}}_{(B )}
G  / P  _\lambda
\;\sira\; \op{Der}^{\op{ss}}_{(I )} \op{Gr} _\lambda 
\end{equation*}
Wir normalisieren diese "Aquivalenzen in der Weise, da"s unverschobene
Schnittkohomologiekomplexe in ebensolche "ubergehen, und 
w"ahlen also f"ur $n$  die komplexe Dimension $n=n_\lambda$ der Fasern
von $g_\lambda$.  
Die Definition der graduierten Kategorie $\mathcal{O}^\DZ _{\op{int}}$
kann nun zusammengefa"st werden in der Beschreibung der Kategorie ihrer 
projektiven Objekte als 
$$p\mathcal{O}^\DZ _{\op{int}}
=\bigoplus_{\lambda \in \frak{X}^+} p\mathcal{O}^\DZ _{\lambda }$$
Wir wollen nun  unsere graduierten Lifts
$(E\tilde{\otimes}) : \mathcal{O}^\DZ _{\op{int}} \rightarrow
\mathcal{O}^\DZ _{\op{int}}$  erkl"aren durch das Kommutieren des Diagramms
\begin{displaymath}
\xymatrix{
p\mathcal{O}^\DZ _\lambda  \ar[r]^-{\sim}
\ar[ddd]_{\op{pr}_\mu \circ (E \tilde{\otimes})} 
&\op{Der}^{\op{ss}}_{(I )} \op{Gr} _{\lambda }
\ar@{^{(}->}[r] &\op{Der}_{(I )} \op{Gr} _{\lambda }\ar[d]_{i_{!}}\\
&&\op{Der}_{(I )} \op{Gr} \ar[d]^{\ast \tilde{E}}\\
&&\op{Der}_{(I )} \op{Gr} \ar[d]_{j^\ast}\\
p \mathcal{O}^\DZ _\mu \ar[r]^-{\sim} 
&\op{Der}^{\op{ss}}_{(I )} \op{Gr} _{\mu }\ar@{^{(}->}[r]
&\op{Der}_{(I )} \op{Gr} _{\mu}
}
\end{displaymath}
Hier sind die linken horizontalen Isomorphismen als
$g^\ast[n_{\lambda}]$ und $g^\ast[n_{\mu}]$ zu verstehen.
Mit $\op{Der}_{(I )} \op{Gr} $ meinen wir 
den direkten Limes der derivierten Kategorien der Bahnabschl"usse
$\op{Der}_{(I )} 
\overline{\op{Gr} _\tau}$
in Bezug auf  die Ausdehnung durch Null.
Die Buchstaben 
$i$ und $j$ meinen die Einbettungen der entsprechenden Bahnen der
Scheibengruppe in die affine Grassmann'sche, und $(\ast \tilde{E})$
meint
die Konvolution im Sinne von \cite{??} mit dem Schnittkohomologiekomplex
$\tilde{E}$ einer geeigneten affinen Schubertvariet"at 
$\overline{\op{Gr} _\nu}$, 
genauer mit demjenigen Schnittkohomologiekomplex, der unter
der geometrischen Satake-Korrespondenz  der einfachen Darstellung $E$
von $\frak{g}^{\vee}$ entspricht.  
Damit die linke Vertikale durch solch ein Diagramm
sinnvoll definiert ist, m"ussen wir
jedoch zun"achst
pr"ufen, da"s die rechte Vertikale pervers halbeinfache Komplexe in
ebensolche "uberf"uhrt. Das leistet die Proposition \ref{KHEl}
oder genauer ihr affines Analogon.
\end{Bemerkungl}

% \begin{Bemerkungl}\emph{Das wird noch rausgeschmissen!}
% Wir m"ussen nun mit Gewichten arbeiten.
%  Gegeben $H \looparrowright Y$ eine komplexe algebraische Gruppe, die auf
%   einer komplexen algebraischen Variet"at mit endlich vielen Bahnen operiert,
%   bilden wir in der 
% derivierten Kategorie $\op{Der}^{\op{b}} \op{MHM}(Y)$
% der Kategorie der gemischten Hodgemoduln 
% auf $Y$ 
% die volle Unterkategorie
% \begin{equation*}
% \op{Der}^{\op{m}}_{(H)} Y \subset 
% \op{Der}^{\op{b}} \op{MHM}(Y)
% \end{equation*}
% mit Objekten den Komplexen, deren Kohomologiegarben
% glatt sind  auf den $H$-Bahnen. In 
% beiden Kategorien k"onnen wir die Unterkategorien der \glqq reinen Objekte\grqq\ 
% oder genauer der 
% \glqq reinen Objekte vom Gewicht Null\grqq\  betrachten, und 
% ein fundamentaler Satz besagt, da"s f"ur jedes reine
% Objekt $\cal{F}\in \op{Der}^{\op{m}}_{(H)} Y$ das
% \glqq Vergessen der gemischten Struktur\grqq\  einen halbeinfachen Komplex 
% $\cal{F}\in \op{Der}^{\op{ss}}_{(H)} Y$ liefert, 
% vergleiche etwa \cite{Sa-I}.
% \end{Bemerkungl}
% \begin{Kommentar}
% Vielleicht doch besser mit \cite{BBD} arbeiten,
% das ist vermutlich einfacher.
% \end{Kommentar}
\begin{Bemerkungl}
Wir "uben das Argumentieren nun zun"achst einmal im
endlichdimensionalen Kontext, 
das vereinfacht die Darstellung und
die Verallgemeinerung bietet keinerlei zus"atzliche Schwierigkeiten.
Wir nennen eine Komplex von Garben {\bf gerade} genau dann,
wenn er an allen ungeraden Stellen exakt ist.
 Gegeben $H \looparrowright Y$ eine komplexe algebraische Gruppe, die auf
  einer komplexen algebraischen Variet"at mit endlich vielen Bahnen operiert,
bezeichnen wir die volle Unterkategorie aller geraden Komplexe 
in $\op{Der}_{(H)} Y $ mit
$$\op{Der}^{\op{ev}}_{(H)} Y$$
\end{Bemerkungl}\begin{Lemma}\label{PPFg}
Gegeben eine Parabolische $P\supset B$ 
und eine minimale Parabolische $P_s\supset B$  
und $\mathcal{F} \in \op{Der}_{(B)} G/B$  gerade
 ist auch  sein 
Bild $\pi_\ast\mathcal{F} $ 
unter der Projektion 
$\pi : G/B \twoheadrightarrow G/P_s$  
gerade, in Formeln
$$\mathcal{F} \in \op{Der}^{\op{ev}}_{(B)} G/B\;\;
\RA\;\;\pi_\ast\mathcal{F}\in \op{Der}^{\op{ev}}_{(B)} G/P_s$$
\end{Lemma}
\begin{proof}
Es reicht zu zeigen, da"s die Einschr"ankung von
$\pi_\ast\mathcal{F}$ auf jede Bruhatzelle gerade ist.
Sei $y \in W$ gegeben mit $ys > y$ in der Bruhatordnung.
Zun"achst bilden wir die Untervariet"at $X$ 
der Fahnenmannigfaltigkeit als pullback im kartesischen Diagramm
\begin{displaymath}
\xymatrix{
X \ar@{^{(}->}[r]^{u} \ar[d]^{\pi_s} & G/B\ar[d]^{\pi_s}\\
ByP_s/P_s \ar@{^{(}->}[r]^u & G/P_s
}
\end{displaymath}
und beachten, da"s $X$ zerf"allt in eine offene Teilmenge $BysB/B$ 
und ihr abgeschlossenes Komplement
$ByB/B$, in Formeln
\begin{displaymath}
\xymatrix{
BysB/B \quad\ar@{^{(}->}[r]^-{j}{{}^{\scriptscriptstyle{\circ}}
\hspace{-1ex} }&X & \ar@{_{(}->}[l]_-{i} {\hspace{-1,7ex}A}\quad ByB/B
}
\end{displaymath}
%end{eqnarray*}
Nach \ref{KuEG} haben wir also 
in $\op{Der}^+(\DC\op{-Mod}/X)$ oder kurz gesagt auf $X$ 
ein ausgezeichnetes Dreieck
\begin{eqnarray*}
j_!j^!u^*\mathcal{F} \rightarrow u^* \mathcal{F} \rightarrow 
i_*i^*u^*\mathcal{F} \overset{[1]}{\rightarrow}
\end{eqnarray*}
Behandeln wir es mit $\pi_{s*} = \pi_{s!},$ beachten den 
Basiswechsel $\pi_{s*}u^* = u^* \pi_{s*}$ und die Formel
$j^!=j^*,$
so erhalten wir auf $ByP_s/P_s$ ein ausgezeichnetes Dreieck
\begin{eqnarray*}
(\pi_s \circ j)_!i^*_{ys} \mathcal{F} \rightarrow u^*\pi_{s*}\mathcal{F} 
\rightarrow (\pi_s\circ i)_* i_y^* \mathcal{F}
\overset{[1]}{\rightarrow}
\end{eqnarray*}
Nun ist $\pi_s \circ i$ ein Isomorphismus von Variet"aten 
und $(\pi_s \circ j)$ 
eine Faserung mit Faser
$\Bbb{C}$.
Das Herunterdr"ucken mit kompaktem Tr"ager l"angs solch 
einer Faserung macht  aus der konstanten
Garbe die im Grad um zwei verschobene konstante Garbe, 
jedenfalls wenn eine vertr"agliche Orientierung
gew"ahlt werden kann, was ja im Fall komplexer Variet"aten 
leicht m"oglich 
ist. Das Lemma folgt.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}
Seien $P, Q\supset B$ 
Parabolische unserer reduktiven Gruppe $G$
und sei $Y\subset G/Q$ lokal abgeschlossen und $P$-stabil.
Wir nennen ein Objekt $\mathcal{F} \in \op{Der}_{(B)} Y$
einen {\bf $P$-$\ast$-halbeinfachen}  Komplex genau dann, wenn
wenn f"ur jede Einbettung einer $P$-Bahn
$u: Y \hookrightarrow G/Q$ der Komplex $u^* \mathcal{F} \in 
\op{Der}_{(B)} Y$ halbeinfach ist f"ur die perverse 
t-Struktur, als da hei"st, wir fordern, da"s er 
isomorph zur direkten Summe seiner 
perversen Kohomologiegarben ist und da"s  diese 
perversen Kohomologiegarben direkte Summen von
Schnittkohomologiekomplexen sind.
Analog k"onnte man den auch Begriff eines  $P$-$!$-halbeinfachen  Komplexes
einf"uhren.
%Wir nennen ein Objekt $\mathcal{F} \in \op{Der}^{\op{m}}_{(B)} G/Q$ ein 
%{\bf $P$-$*$-reines Objekt}
%oder genauer ein {\bf $P$-$*$-reines Objekt vom Gewicht Null}
%genau dann, wenn f"ur jede Einbettung einer $P$-Bahn
%$u: Y \hookrightarrow G/Q$ das Objekt $u^* \mathcal{F} \in 
%\op{Der}^{\op{m}}_{(B)} Y$ rein
%ist vom Gewicht Null.
\end{Bemerkungl}

\begin{Lemma}\label{UBH}
Gegeben zwei Parabolische $P,Q\supset B$ unserer reduktiven Gruppe $G$ 
ist ein Komplex
$\mathcal{F} \in \op{Der}_{(B)} G/Q$ 
gerade bzw. $P$-$*$-halbeinfach genau dann, wenn sein 
Urbild $\pi^\ast\mathcal{F} \in \op{Der}_{(B)} G/B$
unter der Projektion 
$\pi : G/B \twoheadrightarrow G/Q$ gerade bzw. $P$-$*$-halbeinfach ist.
\end{Lemma}
\begin{proof}
Das ist klar, da die Projektion einer $P$-Bahn in $G/B$
auf eine $P$-Bahn in $G/Q$ stets glatt ist.  
\end{proof}

\begin{Lemma}\label{PPFo}
Sei $P\supset B$ eine Parabolische 
und $P_s\supset B$  eine minimale Parabolische.
Gegeben $\mathcal{F} \in \op{Der}^{\op{ev}}_{(B)} G/B$  gerade
und  $P$-$*$-halbeinfach
 ist auch  sein 
Bild $\pi_\ast\mathcal{F} \in \op{Der}_{(B)} G/P_s$ 
unter der Projektion 
$\pi : G/B \twoheadrightarrow G/P_s$  
gerade und $P$-$*$-halbeinfach.
\end{Lemma}
\begin{proof}
Da"s $\pi_\ast\mathcal{F}$ gerade ist, wissen wir bereits aus 
\ref{PPFg}. Es bleibt, die Eigenschaft $P$-$*$-halbeinfach zu zeigen.
Sei dazu $u: Z \hookrightarrow G/P_s$ eine $P$-Bahn. Ist $\pi^{-1} (Z)$
 auch eine $P$-Bahn, so betrachten wir die Einbettung
$v : \pi^{-1} (Z) \hookrightarrow
G/B$ und haben
$
u^*\pi_* \mathcal{F} = u^* \pi_! \mathcal{F} = \pi_! v^* \mathcal{F}
.$
Das ist pervers halbeinfach nach dem Zerlegungssatz, 
da $\pi^{-1}(Z) \twoheadrightarrow Z$ 
eine $\Bbb{P}^1$-Faserung ist und
$v^* \mathcal{F}$ pervers halbeinfach war nach Annahme.
Sonst besteht $\pi^{-1}(Z)$ aus zwei $P$-Bahnen, 
etwa einer offenen Bahn $j:U\co \pi^{-1}(Z)$ und einer
abgeschlossenen Bahn $i:Y\As \pi^{-1}(Z),$
und wir haben ein ausgezeichnetes Dreieck
\begin{eqnarray*}
j_!j^!v^* \mathcal{F} \rightarrow v^* \mathcal{F} \rightarrow 
i_*i^*v^* \mathcal{F}
\overset{[1]}{\longrightarrow}
\end{eqnarray*}
das unter $\pi_! = \pi_* $ f"ur $\pi :\pi^{-1} (Z) 
\twoheadrightarrow Z$ ein ausgezeichnetes
Dreieck der Gestalt
\begin{eqnarray*}
(\pi\circ j)_! (v \circ j)^* \mathcal{F} \rightarrow \pi_! v^* 
\mathcal{F} \rightarrow
(\pi \circ i)_* (v\circ i)^* \mathcal{F} \overset{[1]}{\longrightarrow}
\end{eqnarray*}
liefert. Nach Annahme sind $(v\circ j)^* \mathcal{F}$ und $(v \circ i)^* 
\mathcal{F}$ 
gerade und $P$-$\ast$-halbeinfach. 
Dasselbe gilt dann f"ur Anfang und Ende unserer Sequenz, da 
$(\pi \circ i)$ ein Isomorphismus ist und $(\pi \circ j)$ eine 
$\Bbb{C}$-Faserung, und
da die $B$-Bahnen oben unter besagter $\Bbb{C}$-Faserung gerade 
die Urbilder der $B$-Bahnen
unten sind, so da"s die uns
interessierenden Schnittkohomologiekomplexe oben 
bis auf eine Gradverschiebung
schlicht
als R"uckzug der entsprechenden  
Schnittkohomologiekomplexe unten beschrieben werden
k"onnen.
Unser Lemma folgt, sobald wir zeigen, da"s der 
Grad-1-Morphismus unseres ausgezeichneten Dreiecks 
verschwindet. Das folgt jedoch unmittelbar aus der in
\cite{BGSo}, 3.4.1 erkl"arten Beschreibung der Erweiterungen 
von Schnittkohomologiekomplexen unter Parit"atsbedingungen.
\end{proof}





\begin{Proposition}\label{KHEl}
  Gegeben Parabolische~$P, Q, R \supset B$ 
unserer reduktiven Gruppe~$G$ und
  ein~$P$-$*$-halbeinfaches Objekt~${\mathcal F} \in {\op{Der}}_{(B)} G/Q$ und eine
  einfache perverse Garbe~${\mathcal L} \in {\op{Der}}_{(Q)} G/R$ ist auch ihre
  Konvolution
  $ {\mathcal F}*_Q{\mathcal L} $ in ${\op{Der}}_{(B)} G/R $
  ein~$P$-$*$-halbeinfaches Objekt.
\end{Proposition}


\begin{proof}
  Per definitionem kann~${\mathcal F}*_Q{\mathcal L}$ wie folgt beschrieben
  werden: Man suche sich
  $ {\mathcal K} \in {\op{Der}}^+(G \times_Q G/R) $ so, 
da"s in~${\op{Der}}^+(G \times
  G/R)$ gilt
  $$ {\op{can}}^*{\mathcal K} \cong p^* {\mathcal F} 
\boxtimes {\mathcal L}$$ und
  erh"alt dann~${\mathcal F}*_Q{\mathcal L} \cong m_*{\mathcal K}$ f"ur~$m
  \colon G \times_Q G/R \to G/R$ die von der Wirkung induzierte Abbildung.
 Nun ist die offensichtliche Abbildung 
$f \colon G \times_B G/R \to G \times_Q G/R$ eine Faserung mit
  Faser~$Q/B$ und f"ur 
jedes~${\mathcal K} \in {\op{Der}}^{\op{b}}(G \times_Q G/R)$ haben
  wir etwa nach~\cite{KS}, 2.6.6 kanonisch
  \[ f_* f^*{\mathcal K} \cong {\op{H}}^\ast(Q/B) \otimes {\mathcal K} \] Es
  folgt~${\mathcal F} *_B {\mathcal L} \cong {\op{H}}^\ast(Q/B) 
\otimes ({\mathcal
    F} *_Q {\mathcal L}),$  mithin k"onnen wir uns beim Beweis der
  Proposition auf den Fall~$B = Q$ beschr"anken. Ist weiter~$g \colon G/B \to
  G/R$ die Projektion, so haben wir auch
  \[ g^*({\mathcal F} *_Q {\mathcal L}) \cong {\mathcal F} *_Q (g^* {\mathcal
    L}) \] und k"onnen nach~\ref{UBH} mithin au"serdem
 auch noch~$R = B$ annehmen.  Damit haben
  wir uns schon einmal auf den Fall~$R = Q = B$ zur"uckgezogen.
  Ist nun~$S$ eine weitere Parabolische, $B \subset S \subset G$, und
  bezeichnet~$\cal{L} \in {\op{Der}}_{(B)} G/B$ die konstante Garbe auf~$S/B$
  ausgedehnt durch Null, so haben wir bekanntlich
  \[ {\mathcal F} *_B \cal{L} \cong \pi^* \pi_* {\mathcal F} \]
  f"ur~$\pi \colon G/B \to G/S$ die Projektion, vergleiche auch~\ref{BWHA}.
 Ist~${\mathcal L} \in {\op{Der}}_{(B)} G/B$ die 
konstante Garbe auf~$P_s/B$ f"ur
  eine minimale Parabolische~$P_s$, so zeigen also~\ref{PPFo} und~\ref{UBH},
  dass~$*_B{\mathcal L}$ stets~$P$-$*$-halbeinfache Komplexe zu ebensolchen
  macht.
  Da nun aber Konvolution assoziativ ist und da alle einfachen perversen
  Garben aus~${\op{Der}}_{(B)} G/B$ bis auf 
Shift im Grad als direkte
  Summanden in iterierten Konvolutionsprodukten von Garben des eben
  betrachteten Typs auftreten, folgt die Proposition im allgemeinen.
\end{proof}










\begin{Bemerkung}
Eine genauere Betrachtung des Beweises zeigt eine Aussage der folgenden Art:
Spannen gewisse Elemente der
Kazhdan-Lusztig-Basis $C_x$ f"ur $x \in V \subset W_P$ unter 
dem Ring der Laurentpolynome $\mathcal{L}$ ein
Rechtsideal in der kleinen Heckealgebra 
$\mathcal{H}_P$ auf, so sind auch die $*$-$P$-$V$-reinen 
stabil unter
$\pi_s^*$ und $\pi_{sx}_*$.
Wenden wir den Homomorphismus $h^* : D^{\op{er}} (G/B) 
\rightarrow \mathcal{H}$
an und betrachten
$
j_! (IC^P_y) \text{ f"ur } j: P_y B/B \hookrightarrow G/B  
\text{ und } IC^P_y = IC (\overline{ByB/B}
\subset P_y B/B)$ und Konvolution mit $IC_x$, die ja direkt 
Summand ist von Operationen
der Gestalt $\pi^*_s \pi_{s*}$, so erhalten wir wieder etwas $P$-$*$-reines.

\underline{Also:} Bezeichnet f"ur $y \in W$ mit 
\begin{eqnarray*}
C^P_y = \sum_{x \in W_P} h_{xy,y} H_{xy}
\end{eqnarray*}
so gilt $C^P_y C_Z$ ist nichtnegative
$\Bbb{N}[v,v^{-1}]$ Linearkombination von $C^P_u$ mit $u \in W$ und sogar falls
$u= u_P \cdot u^P$ mit $u_P \in W_P$ und $u^P \in W^P$ k"urzester Repr"asentant
sowie $y= y_P \cdot y^P$ habe $u_P \succ_R y_P$ (oder $u_P \succ_L y_P$, 
mu"s im Computer
gucken)
\end{Bemerkung}

!Effekt auf KL-Datoc liefert Existenz der Graduierten Verschiebung!

\underline{Sollte:} Obige Konstruktion ist bis auf 
Koszul-Dualit"at soch eine graduierte
Verschiebung!!

\underline{Adjungierte:} Ja wohl $(i_*)$ dann $(\circ E^*)$ dann $j^!$.
\end{Bemerkung}




\end{document}

