


\section{Die Vorlesung Darstellungstheorie im SS 16}
Es handelte sich um eine vierst"undige Vorlesung, also 4$\times$45
Minuten Vorlesung, mit 2 Stunden "Ubungen. 
\begin{enumerate}
\item[19.4]
Beginn der Darstellungstheorie endlicher Gruppen nach \eref{DeGru}{NAS},
aber nicht Darstellungen als Multikategorie \eref{DarMKv}{NAS}.
Darstellungen als Moduln "uber dem Gruppenring \eref{DMGR}{NAS},
aber nicht freie abelsche Gruppen mit Involution \eref{FAIn}{NAS}.
\item[22.4]
Satz von Jordan-H"older f"ur Moduln \eref{NJHM}{NAS}. Halbeinfache Moduln \eref{HeM}{NAS}.
Isotypische Anteile \eref{ITy}{NAS} und Sockel. Dichtesatz von Jacobson \eref{JaDi}{NAS}.
\item[26.4]
Lemma von Schur \eref{SchuL}{NAS}. Nicht Darstellungen von Produkten.
Satz von Maschke \eref{Mas}{NAS}. Diskrete 
Fouriertransformation \eref{HSD}{NAS}.
Spuren in Algebren \eref{Tri}{NAS}. 
Charaktere und Charakter-Projektor-Formel \eref{CPF}{NAS}. 
\item[28.4]
Orthogonalit"atsrelationen f"ur Charaktere 
\eref{CONB}{NAS}, \eref{ONNB}{NAS}, \eref{OCT}{NAS} und Matrixkoeffizienten \eref{OnMk}{NAS}.
Dimension einfacher Darstellungen \eref{deD}{NAS}. 
Inverse Fouriertransformation und
Matrixkoeffizienten \eref{IFoT}{NAS}. 
\item[3.5]
Einfache Darstellungen von Produkten \eref{EDPr}{NAS}.
Haar'sche Ma"se als Radonma"se auf lokal kompakten Hausdorffgruppen
\eref{EEHa}{TM} ohne Beweis. Charaktere der einfachen endlichdimensionalen
stetigen Darstellungen Orthonormalsystem in den Klassenfunktionen,
mit dichtem Erzeugnis in der Topologie der gleichm"a"sigen Konvergenz
\eref{KkH}{TM}, beides noch ohne Beweis. 
\item[10.5]
Orthogonalit"atsrelationen f"ur Matrixkoeffizienten \eref{FTMl}{TM} 
und Charaktere \eref{KkH}{TM} auf kompakten Hausdorffgruppen.
\item[12.5]
Untergruppen als Untermannigfaltigkeiten \eref{UGM}{ML}. Deren Tangentialraum und die
Exponentialabbildung \eref{Peli}{ML}. Beispiele $\op{O}(n)$ und $\op{SL}(n;\DR)$.
Angefangen mit dem Kommutator auf dem Tangentialraum.
\item[24.5]
Lie-Algebra einer Matrix-Liegruppe \eref{LiB}{ML}.
Adjungierte Darstellung \eref{LKMa}{ML}. Lie-Algebren von Schnitten. 
Einparameteruntergruppen \eref{EPGL}{ML}, \eref{EPU}{ML}.
Homomorphismen von Matrix-Liegruppen \eref{HeL}{ML}.
Noch nicht gezeigt, da"s das Differential mit
der Lieklammer vertr"aglich ist. 
\item[31.5]
Vertr"aglichkeit von Differential und Lie-Klammer. 
Ableiten von Darstellungen. Ableiten der adjungierten
Darstellung. Verflechtungsoperatoren f"ur Liegruppen und 
Liealgebren. Unterdarstellungen f"ur Liegruppen und 
Liealgebren. Einfache Darstellungen  von Liegruppen und 
Liealgebren.
\item[2.6]
Einfache Darstellungen von $\op{SU}(2)$, $\op{SO}(3)$
und $\mathfrak{sl}(2;\DC)$ nach \eref{EDS}{ML}, \eref{DSL2}{ML}, \eref{EDD}{ML}.
Klassifikation der kompakten zusammenh"angenden Liegruppen
nach \eref{KKLL}{ML} ohne Beweis. Beispiele niedrigen Ranges, noch nicht $\op{U}(n)$.
\item[7.6]
Ausf"uhrlich $\op{U}(n)$ besprochen, mit maximalen Tori, Weylgruppe,
Wurzelsystem, nach \eref{Un}{ML} und \eref{FSGL}{ML}. Geometrie endlicher Spiegelungsgruppen nach \eref{THG}{SPW}, insbesondere frei transitive Operation auf der Menge
der Alkoven und erzeugt von Spiegelungen an den W"anden eines festen Alkoven.
Klassifikation einfacher Darstellungen durch h"ochstes Gewicht begonnen.
\item[9.6]
Klassifikation durch das h"ochste Gewicht \eref{KeD}{ML}, Surjektivit"at
steht noch aus.
Weyl'sche Integrationsformel \eref{WeyI}{ML} ohne Beweis. 
\item[14.6]
Weyl'sche Formeln bewiesen bis auf Dimensionsformel und
Integrationsformel. Klassifikation durch das h"ochste Gewicht beendet.
\item[16.6]
Dimensionsformel und
Integrationsformel bewiesen.
\item[21.6]
Einfache, einfache, halbeinfache, reduktive Liealgebren \eref{irrab}{HL}.
Liealgebren kompakter Liegruppen reduktiv. Universelle einh"ullende
Algebra \eref{UEA}{HL}. 
\item[23.6]
Struktur halbeinfacher komplexer Lie-Algebren.
Cartan'sche und ihr Bezug zu maximalen
Tori, Wurzelsystem, Wurzelraumzerlegung, Weylgruppe. 
Verma-Moduln, speziell im Fall $\mathfrak{sl}(2;\DC)$. 
Frei "uber ${\op{U}}(\mathfrak n)$. Noch nicht: Eindeutiger
einfacher Quotient, universelle Eigenschaft.
\item[28.6]
Eindeutiger
einfacher Quotient, universelle Eigenschaft
von Verma-Moduln. Kostant'sche Partitionsfunktion.
Endlichdimensionale Darstellungen. Ca\-si\-mir-Ope\-ra\-tor
begonnen.
\item[30.6]
Casimir-Operator, Kostant'sche Charakterformel \eref{KC}{HL},
Weyl'sche Charakterformel nocheinmal bewiesen.
\item[5.7]
Vermamoduln und Hauptseriendarstellungen. 
Ha\-rish-Chan\-dra-Iso\-mor\-phis\-mus, noch ohne
Injektivit"at und Surjektivit"at.
Che\-val\-ley-Iso\-mor\-phis\-mus noch ohne Beweis,
aber Beispiel $\mathfrak{gl}(n;\DC)$.
\item[7.7]
Herleitung des Chevalley-Isomorphismus 
und des Harish-Chandra-Iso\-mor\-phis\-mus.
\item[12.7]
Zentrale Charaktere, einfache Verma-Moduln, Kategorie $\mathcal O$.
Noch nicht den interessanten Fall von Beispiel $\mathfrak{sl}(2;\DC)$ 
behandelt.
\item[14.7]
Hauptblock von $\mathcal O$ im Fall  $\mathfrak{sl}(2;\DC)$ 
als Darstellungen von K"ocher. Blockzerlegung von $\mathcal O$.
Projektive Vermamoduln, Existenz von genug 
Projektiven mit Vermafahne.
\item[19.7]
  Verschiebungsfunktoren, deren Effekt auf Vermamoduln,
  "Aquivalenz durch Verschiebung.
\item[21.7]
  BGG-Reziprozit"at, Verschiebung durch die Wand,
  Multiplizit"aten in Vermamoduln im Hauptblock von $\mathfrak{sl}(3;\DC)$,
  Hecke-Algebra der symmetrischen Gruppe, Kazhdan-Lusztig-Ver\-mutung.
\end{enumerate}

\newpage

\section{Nichtkommutative Algebra und Symmetrie SS 19}
Es handelte sich um eine vierst"undige Vorlesung, also 4$\times$45
Minuten Vorlesung, mit 2 Stunden "Ubungen. 
\begin{enumerate}
\item[23.4]
Beginn der Darstellungstheorie endlicher Gruppen nach \eref{DeGru}{NAS},
aber nicht Darstellungen als Multikategorie \eref{DarMKv}{NAS}.
Darstellungen als Moduln "uber dem Gruppenring \eref{DMGR}{NAS},
aber nicht freie abelsche Gruppen mit Involution \eref{FAIn}{NAS}.
Einfache Moduln "uber Ringen \eref{NEM}{NAS}.
\item[25.4]
  Satz von Jordan-H"older f"ur Moduln \eref{NJHM}{NAS}. Charakterisierung halbeinfacher Moduln \eref{HEE}{NAS}.
\item[30.4]
  Isotypische Anteile \eref{ITy}{NAS} und Sockel. Dichtesatz von Jacobson \eref{JaDi}{NAS}. Struktur halbeinfacher Ringe \eref{HEDi}{NAS}.
\item[2.5]  Lemma von Schur. Satz von Maschke. Einfache Darstellungen
  von Produkten versprochen. Nach der Pause Tensorprodukte diskutiert.
\item[7.5] Einfache Darstellungen von Produkten.
  Diskrete Fouriertransformation mit Korollaren.
  Spur auf Algebren. Projektoren, aber noch nicht Cha\-rak\-ter-Pro\-jek\-tor-For\-mel.
\item[9.5]
  Charaktere. Charakter-Projektor-Formel \ref{CPF}.
  Orthonormalit"at einfacher Charaktere \ref{orc}
  und \ref{orcC}. Charaktertafel und Orthogonalit"atsrelationen darin \ref{OCT}. Die Dimensionen einfacher
  Darstellungen teilen die Gruppenordnung \ref{deD}. Noch nicht
  Unabh"angigkeit von der Charakteristik \ref{dirD}.
\item[14.5]
  Unabh"angigkeit von der Charakteristik \ref{dirD}. War wohl zu schwer,
  da brauchte man zu viel kommutative Algebra. Matrixkoeffizienten und isotypische Komponenten. War wohl zu allgemein. Die inverse Fouriertransformation habe ich angefangen. N"achstes Mal fertig machen. 
\item[16.5]
  Inverse Fouriertransformation, mittlerweile auch \ref{HSD}. Orthonormalbasis des komplexen Gruppenrings
  durch Matrixkoeffizienten \ref{Uke}. Darstellungen der symmetrischen Gruppe
  angefangen.
\item[21.5]
  Darstellungen der symmetrischen Gruppe besprochen. Robinson-Schensted-Algorithmus. Obere Absch"atzung der Dimensionen der
  einfachen Darstellungen nicht ausgef"uhrt.
\item[23.5]
  Haar'sches Ma"s ohne Beweis. Darstellende Funktionen. Invariantes Skalarprodukt. Hauptsatz der Fouriertheorie auf kompakten Hausdorffgruppen,
  noch ohne Beweis.
\item[28.5]  Beweise zum
  Hauptsatz der Fouriertheorie auf kompakten
  Hausdorffgruppen \eref{FtKG}{TM}. Das habe ich danach nocheinmal
  gr"undlich "uberarbeitet.
\item[4.6]
  Leonardo vertritt mich und diskutiert die Beziehungen zwischen
  reellen, komplexen  und quaternionalen Darstellungen.
\item[6.6]
  Leonardo vertritt mich und diskutiert die Beziehungen zwischen
  reellen, komplexen  und quaternionalen Darstellungen. 
\item[18.6]
  Klassifikation der einfachen Darstellungen der $\op{SO}(3)$
  nach \eref{EDDc}{ML} als Fernziel deklariert. Tangentialraum und
  Exponentialabbildung nach \eref{UGM}{ML} besprochen und versprochen,
  das n"achste Mal wieder zur Algebra zur"uckzukommen.
\item[25.6]
  Tangentialraum bei der Eins an Matrixliegruppe stabil
  unter dem Kommutator. Lie-Algebren.
  Gruppenwege in Matrixliegruppen.
  Stetige Homomorphismen von Matrixliegruppen glatt.
  Darstellungen von zusammenh"angenden Matrixliegruppen und ihren Liealgebren.
\item[27.6]
  Einfache Darstellungen von $\op{SU}(2)$ und $\op{SO}(3)$
  und $\mathfrak{sl}(2;\DC)$. Einfache Darstellungen von  $\op{SU}(n)$
  versprochen.
\item[2.7]
  S"atze von Engel \eref{ET}{HL}, \eref{SvE}{HL} und Lie \eref{D}{HL}.
  Klassifikation durch das h"ochste Gewicht versprochen.
\item[4.7]
  Aufl"osbarkeitskriterium von Cartan \eref{AKk}{HL} und \eref{KLA}{HL}.
  Charakterisierung halbeinfacher Liealgebren \eref{KNA}{HL}.
\item[9.7]
  Satz von Weyl \eref{WCR}{HL}. Jordan-Zerlegung nur bis \eref{HD}{HL},
  eigentlicher Beweis steht noch aus.
\item[11.7] Jordanzerlegung fertig. Wurzelraumzerlegung begonnen.
  $\mathfrak g_0=\mathfrak h$ gezeigt, Rest noch nicht. 
\item[16.7]
  Wurzelraumzerlegung fertig.  Klassifikation
  halbeinfacher Liealgebren durch Wurzelsysteme
  besprochen. Klassifikation durch das höchste Gewicht
  noch ohne Beweis. 
\item[18.7] Klassifikation durch das h"ochste Gewicht: Wohldefiniertheit
  der Abbildung bewiesen und deren Injektivit"at.
  Struktur der dominanten Gewichte. Surjektivit"at 
  im Fall der speziellen linearen Liealgebra.
\item[23.7]
  Einh"ullende Algebra. Poincar\'e-Birkhoff-Witt ohne Beweis, nur Skizze.
  Verma-Moduln und ihre eindeutig bestimmten einfachen Quotienten.
  Noch nicht gezeigt, da"s diese f"ur dominante Gewichte endlichdimensional
  sind. Weyl'sche Dimensionsformel angegeben und Beweis versprochen.
\item[25.7]
  Beweis der Klassifikation durch das h"ochste Gewicht zu Ende gebracht.
  Weyl'sche Charakterformel angegeben und f"ur $\mathfrak {sl}(2;\DC)$ gepr"uft.
  Ausblick auf Kazhdan-Lusztig-Vermutung und deren Beweis. Bezug zum
  unit"aren Dual und dessen Bedeutung in der Physik angerissen.
\end{enumerate}





%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "XXNAS"
%%% End: 
