\section{Trennr"uckzug}

%TEST

\subsection{Garben als Schmelzkategorie}


\begin{Bemerkungl}
  Ich erinnere an Schmelzkategorien \eref{MuC}{TSK},
  universelle Verschmelzungen 
  \eref{mkk}{TSK}, stabil universelle Verschmelzungen 
  \eref{smkk}{TSK} und Multihom \eref{Muhom}{TSK}.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Kartesische Schmelzkategorie der Mengenpr"agarben}]
Gegeben ein topologischer Raum   $X$ 
erinnern wir die Kategorie $\op{pEns}_{/X}$ der Mengenpr"agarben auf $X$.
Diese Kategorie  hat endliche Produkte und die zugeh"orige banale Trennkategorie $\curlywedge{\op{pEns}_{/X}}$ kann damit
nach  \eref{kartDu}{TSK} als Trennschmelzkategorie aufgefa"st werden.
Die zugeh"orige Schmelzkategorie ist dann die kartesische
Schmelzkategorie der Mengenpr"agarben.
Explizit k"onnen wir  f"ur $r\geq 0$  
eine Verschmelzung\label{kspg}  $$\phi\in \curlywedge{\op{pEns}_{/X}}({\mathcal F}_1\curlyvee\ldots \curlyvee
{\mathcal F}_r,\mathcal G)$$
beschreiben als 
eine Vorschrift $\phi$, die jeder
 offenen Teilmenge $U\co X$
 eine 
Abbildung 
$\phi_U: \mathcal F_1(U)\times\ldots\times\mathcal F_r(U)\ra \mathcal G(U)$
 so zuordnet,
da"s f"ur jede weitere offene Teilmenge $V\co U$ 
das Diagramm
$$\begin{array}{ccc}
\mathcal F_1(U)\times\ldots\times\mathcal F_r(U)&
\ra &\cal{G}(U)\\
\da&&\da\\
\mathcal F_1(V)\times\ldots\times\mathcal F_r(V)&\ra &\cal{G}(V)
\end{array}$$
mit den Restriktionen in den Vertikalen 
und $\phi_U$ und $\phi_V$  in den Horizontalen kommutiert.
Die Multiverkn"upfungen zwischen diesen Verschmelzungen
sind  die offensichtlichen.
Die Vorschrift $\phi\mapsto \phi_X(*)$ liefert   
eine Bijektion
$$\beta_{\mathcal G}:\curlywedge{\op{pEns}_{/X}}(\curlyvee,\mathcal G)\sira \Gamma\mathcal G$$
zwischen der Menge der  Leerverschmelzungen nach $\mathcal G$ 
und der Menge der globalen
Schnitte von $\mathcal G$.  In ihrer
Gesamtheit bilden diese Bijektionen 
eine Isotransformation $\beta:\op{L}\siRa\Gamma$ vom
Leerverschmelzungsfunktor der Schmelzkategorie der Mengenpr"agarben 
zum Funktor der globalen Schnitte. Ein Multihom
 $$({\mathcal F}_1\curlyvee\ldots \curlyvee  {\mathcal F}_r)\Rrightarrow_{\curlywedge{\op{pEns}_{/X}}}{\mathcal G}$$
in der Schmelzkategorie  $\curlywedge{\op{pEns}_{/X}}$ erh"alt man,  
 indem man $U\co X$ die Menge $\curlywedge{\op{pEns}}_{/U}({\mathcal F}_1|_U\times\ldots \times
  {\mathcal F}_r|_U,\mathcal G|_U)$
 aller entsprechenden
  Verschmelzungen der
 auf $U$ eingeschr"ankten Pr"agarben zuordnet.
  All diese Behauptungen sind leicht
  einzusehen. \nichtfinal{Schmelzkategorie, Trennkategorie,
    banale Trennkategorie, kartesische Schmelzkategorie, Trennschmelzkategorie,
    Notationen; Multiverkn"upfung, Verschmelzung, Leerverschmelzung; Leerverschmelzungsfunktor;}
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Kartesische Schmelzkategorie der Mengengarben}]
Gegeben ein topologischer Raum $X$ besitzt auch die Kategorie 
$ \op{Ens}_{/X}$  der Mengengarben auf $X$ Produkte und der Einbettungsfunktor 
$\op{Ens}_{/X}\vra \op{pEns}_{/X}$ der Garben in die Pr"agarben
ist vertr"aglich mit Produkten. Er induziert folglich eine volltreue
Einbettung von Trennschmelzkategorien\label{EnspSm} 
$$\curlywedge{\op{Ens}}_{/X}\vra \curlywedge{\op{pEns}}_{/X}$$
Insbesondere schr"ankt unser $\beta$  aus \ref{kspg} ein zu einer Isotransformation
$\beta:\op{L}\siRa\Gamma$ vom Leerverschmelzungsfunktor von $\curlywedge{\op{Ens}}_{/X}$
zum Funktor der globalen Schnitte. 
Auch $\curlywedge{\op{Ens}}_{/X}$ besitzt Multihom und der Einbettungsfunktor der Mengengarben in die Mengenpr"agarben ist vertr"aglich mit Multihom, wie Sie  bereits in \eref{muhog}{TG} pr"ufen sollten.
Dar"uber hinaus ist offensichtlich jedes Multihom von
Pr"agarben in eine Garbe bereits selbst eine Garbe.
 Im Fall einer Garbe $\mathcal G$ liefert speziell das Vorschalten des universellen  Morphismus zur Garbifizierung 
 ${\mathcal F}_1\ra {\mathcal F}_1^+$ eine
Bijektion $$\curlywedge{\op{pEns}}_{/X}({\mathcal F}_1^+\curlyvee{\mathcal F}_2\curlyvee\ldots \curlyvee
{\mathcal F}_r,\mathcal G)\sira \curlywedge{\op{pEns}}_{/X}({\mathcal F}_1\curlyvee{\mathcal F}_2\curlyvee\ldots \curlyvee
{\mathcal F}_r,\mathcal G)$$
In der Tat ist n"amlich das Pr"agarbenmultihom 
$({\mathcal F}_2\curlyvee\ldots \curlyvee
{\mathcal F}_r\Rrightarrow\mathcal G)$ eine Garbe. 
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Schmelzkategorie der abelschen Pr"agarben}]
  Im allgemeinen Rahmen unserer terminologischen Versuche \eref{itkok}{TSK}
  k"onnen wir die Schmelzkategorie der abelschen Pr"agarben auf einem Raum $X$
  einf"uhren als die Schmelzkategorie
  $$\op{pAb}_{/X}\pdef \op{kok}(\curlywedge{\op{pEns}}_{/X})$$ der kommutativen und kokommutativen Hopfobjekte der Trennschmelzkategorie $\curlywedge{\op{pEns}}_{/X}$. Nach \eref{adkok}{TSK} tr"agt $\op{pAb}_{/X}$ als $\op{kok}$-Konstruktion  eine ausgezeichnete additive Struktur 
  und wird angeliefert  mit einem 
  auf Leerverschmelzungen volltreuen Schmelzfunktor $\op{pAb}_{/X}\ra \curlywedge{\op{pEns}}_{/X}$.  
  Weil das so schnell ging und wir die $\op{kok}$-Konstruktion auch
  nicht so ausf"uhrlich besprochen hatten, schreibe ich es nun  
  noch explizit aus.
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Schmelzkategorie der abelschen Pr"agarben, explizite Variante}]
Gegeben ein topologischer Raum $X$ 
 machen wir die Kategorie $\op{pAb}_{/X}$ der abelschen Pr"agarben auf $X$ zu einer
Schmelzkategorie, indem wir f"ur $r\geq 0$  
eine Verschmelzung\label{AbGSm}  $$\phi\in \op{pAb}_{/X}({\mathcal F}_1\curlyvee\ldots \curlyvee
{\mathcal F}_r,\mathcal G)$$ 
erkl"aren als 
eine Vorschrift $\phi$, die jeder
 offenen Teilmenge $U\co X$
 eine multiadditive 
Abbildung 
$ \phi_U:\mathcal F_1(U)\times\ldots\times\mathcal F_r(U)\ra \mathcal G(U)$
 so zuordnet,
da"s f"ur  $V\co U$ 
das Diagramm
$$\begin{array}{ccc}
\mathcal F_1(U)\times\ldots\times\mathcal F_r(U)&
\ra &\cal{G}(U)\\
\da&&\da\\
\mathcal F_1(V)\times\ldots\times\mathcal F_r(V)&\ra &\cal{G}(V)
\end{array}$$
mit den Restriktionen in den Vertikalen 
und $\phi$ in den Horizontalen kommutiert. Insbesondere schr"ankt unser $\beta$  aus \ref{kspg} ein zu einer Isotransformation
$\beta:\op{L}\siRa\Gamma$ vom Leerverschmelzungsfunktor von $ \op{pAb}_{/X}$
zum Funktor der globalen Schnitte.
Die Multiverkn"upfungen sind  die offensichtlichen und das Vergessen der Addition liefert einen treuen und auf Leerverschmelzungen volltreuen
  Schmelzfunktor
$\op{pAb}_{/X}\ra \curlywedge{\op{pEns}}_{/X}$
in die kartesische Schmelzkategorie der
Mengenpr"agarben.
 Die Schmelzkategorie $\op{pAb}_{/X}$ der abelschen Pr"agarben auf einem
 topologischen Raum $X$ versehen wir mit einer additiven Struktur,
 indem wir
 die Summe von zwei Verschmelzungen $\phi+\psi$  erkl"aren durch
 $(\phi+\psi)_U\pdef \phi_U+\psi_U$. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Proposition}
  Die Schmelzkategorie $\op{pAb}_{/X}$ der abelschen Pr"agarben auf einem
  topologischen\label{TeHoAd} 
  Raum $X$ hat universelle Verschmelzungen und Multihom.
\end{Proposition}





\begin{proof}
  Eine offensichtliche
  universelle Verschmelzung von abelschen Pr"agarben
${\mathcal F}_1,\ldots ,
  {\mathcal F}_r$ erhalten wir in die Tensorproduktpr"agarbe
  $U\mapsto {\mathcal F}_1(U)\otimes\ldots \otimes
  {\mathcal F}_r(U)$. Wir notieren sie
  $${\mathcal F}_1\otimes^{\op{p}}\ldots \otimes^{\op{p}}
  {\mathcal F}_r$$
  Eine universelle Leerverschmelzung $l:\curlyvee\ra \mathbb I$
  wird gegeben durch die konstante abelsche Pr"agarbe 
  $\mathbb I=\DZ$,
    die jeder offenen Teilmenge die Gruppe
    $\DZ$ zuordnet, mit  Identit"aten auf $\DZ$ als Einschr"ankungsabbildungen,
    und diejenige Leerverschmelzung in diese Pr"agarbe, die "uber jeder
    offenen Teilmenge $U\co X$
    den Schnitt $1=1_U$ auszeichnet. Wir haben dann $\beta(l)=
    1_X$. Salopp gesprochen ist der Grund, 
  das leere Tensorprodukt abelscher Gruppen
  in unseren Konventionen eben $\DZ$ ist mit dem
  ausgezeichneten Element $1\in\DZ$. Ein Multihom
  $$({\mathcal F}_1\curlyvee\ldots \curlyvee
  {\mathcal F}_r)\Rrightarrow{\mathcal G}$$ erhalten wir  als
  diejenige abelsche Pr"agarbe, die jedem $U\co X$
  die abelsche Gruppe $\op{pAb}_{/U}({\mathcal F}_1|_U\curlyvee\ldots \curlyvee
  {\mathcal F}_r|_U,\mathcal G|_U)$ aller entsprechenden
  Verschmelzungen der
 auf $U$ eingeschr"ankten Pr"agarben zuordnet.
\end{proof}

\begin{Bemerkungl}
  Gegeben ein topologischer Raum $X$ erkl"aren wir die
  {\bf Schmelzkategorie der abelschen Garben}\index{abelsche Garben!Schmelzkategorie} als die volle Unterschmelzkategorie 
  $$\op{Ab}_{/X}\subset \op{pAb}_{/X}$$ mit nur  abelschen Garben als Objekten.
  Wir versehen sie mit der induzierten additiven Struktur. 
Insbesondere schr"ankt unser $\beta$  aus \ref{AbGSm} ein zu einer Isotransformation
$\beta:\op{L}\siRa\Gamma$ vom Leerverschmelzungsfunktor von $ \op{Ab}_{/X}$
zum Funktor der globalen Schnitte.
  In $\op{Ab}_{/X}$ gibt es Multihom und der Einbettungsfunktor $\op{Ab}_{/X}\vra \op{pAb}_{/X}$
  ist vertr"aglich mit Multihom.
In $\op{Ab}_{/X}$ gibt es auch universelle Verschmelzungen, aber der Einbettungsfunktor $\op{Ab}_{/X}\vra \op{pAb}_{/X}$
ist nicht mit ihnen vertr"aglich. Genauer ist das Pr"agarbentensorpodukt
von abelschen Garben im allgemeinen keine Garbe  und man erh"alt
universelle Verschmelzungen von abelschen Garben vielmehr durch 
Garbifizierung des Pr"agarbentensorprodukts. Diese Garbifizierung hei"st die {\bf Tensorproduktgarbe}.\index{Tensorproduktgarbe}
 Wir notieren sie\label{thadG}  $${\mathcal F}_1\otimes\ldots \otimes
  {\mathcal F}_r\pdef ({\mathcal F}_1\otimes^{\op{p}}\ldots \otimes^{\op{p}}
  {\mathcal F}_r)^+$$
  Speziell entspricht der konstante Schnitt $1=1_X$ der konstanten Garbe $\DZ_X$ unter $\beta$ einer
  universellen Leerverschmelzung in $\op{Ab}_{/X}$. Gegeben eine abelsche Garbe $\mathcal G$  und abelsche
  Pr"agarben ${\mathcal F}_i$ liefert  das Vorschalten von
 ${\mathcal F}_1\ra {\mathcal F}_1^+$, wie leicht aus der entsprechenden Aussage \ref{EnspSm} 
f"ur Mengenpr"agarben folgt, eine\label{AbpSm} 
Bijektion $$\op{pAb}_{/X}({\mathcal F}_1^+\curlyvee{\mathcal F}_2\curlyvee\ldots \curlyvee
{\mathcal F}_r,\mathcal G)\sira \op{pAb}_{/X}({\mathcal F}_1\curlyvee{\mathcal F}_2\curlyvee\ldots \curlyvee
{\mathcal F}_r,\mathcal G)$$
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
Im Fall $r=1$ hei"st unser Multihom die {\bf Hom-Garbe}.\index{Hom-Garbe}
Man  findet daf"ur in der Literatur statt 
$\mathcal F{\Rrightarrow}  \mathcal G$  meist die Notationen 
${\mathcal H}{\op{om}}(\mathcal F, \mathcal G)$ oder $\underline{\op{Hom}}(\mathcal F, \mathcal G)$.\index{Hom@${\mathcal H}{\op{om}}$ {\it Hom-Garbe}}\index{Hom@$\underline{\op{Hom}}$ {\it Hom-Garbe}}
\end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Halme von Tensorproduktgarben}] 
  Gegeben abelsche Garben $\mathcal F,\mathcal G$ auf einem
  topologischen Raum $X$ liefert
  die Vertr"aglichkeit des Tensorprodukts abelscher Gruppen mit Kolimites
 f"ur jeden Punkt $x\in X$   einen  Isomorphismus 
$$\mathcal F_x\otimes \mathcal G_x\sira (\mathcal F\otimes \mathcal G)_x$$
 zwischen dem Tensorprodukt\label{zuTRG}  der Halme und den Halmen des Tensorprodukts. Dasselbe gilt f"ur das Pr"agarbentensorprodukt von
 abelschen Pr"agarben. 
\end{Bemerkungl}


%\begin{Bemerkungl}
%  Nach \eref{ASs}{TSK} wird die automatische Selbstanreicherung von $\op{Ab}_{/X}$
%  durch Umstrukturieren mit dem Leerverschmelzungsfunktor wieder zu unserer
%  urspr"unglichen Schmelzkategorie $\op{Ab}_{/X}$. \nichtfinal{Sp"ater}
%\end{Bemerkungl}
%  \begin{Bemerkungl} Unser
%  auf Leerverschmelzungen volltreuer Schmelzfunktor der globalen Schnitte  $\Gamma_{\op{Ab}}:\op{Ab}_{/X}\ra\op{Ab}$
% versieht nach \eref{ASSv}{TSK} insbesondere die Schmelzkatgorie
% $\op{Ab}_{/X}$ mit einer additiven Struktur.  Diese additive Struktur
% ist aber auch so recht offensichtlich. \nichtfinal{Sp"ater}
%\end{Bemerkungl}

\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}[\textbf{Notwendigkeit der Garbifizierung beim Tensorprodukt}] 
Wir betrachten auf dem Kreisring $S^1$ die nichtkonstante aber 
lokal konstante Garbe $\mathcal F$ von
abelschen Gruppen vom Rang Eins. Ihr
Tensorprodukt $\mathcal F\otimes\mathcal F$  mit sich selbst
 ist isomorph zur 
 konstanten Garbe mit Faser $\DZ$ 
und hat von Null verschiedene  globale Schnitte,
obwohl die Faktoren $\mathcal F$ selbst
keine von Null verschiedenen  globalen Schnitte
haben. 
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
Sind $\mathcal F,\mathcal I\in\op{Ab}_{/X}$ abelsche Garben auf einem
topologischen Raum und 
ist $\mathcal I$  injektiv, so ist  die 
Homgarbe
$\mathcal F{\Rrightarrow}\mathcal I$ welk.\label{Hiw} 
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
  Eine abelsche Garbe $\mathcal F\in\op{Ab}_{/X}$ hei"st
  {\bf flach},\index{flach!abelsche Garbe} wenn das Tensorieren mit
  unserer Garbe ein exakter Funktor ist. Man zeige, da"s eine 
  abelsche Garbe genau dann flach ist, wenn sie flache Halme hat.
  Man zeige, da"s jede abelsche Garbe ein Quotient einer flachen Garbe ist.
  Hinweis: Man verwende Summen von Garben der Gestalt $\DZ_{U\subset X}$ f"ur
  $U\co X$.\label{EFlG} Man zeige, da"s jede Untergarbe einer flachen abelschen Garbe wieder flach ist. 
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
  Die Wolkenkratzergarbe mit Halm $\DZ$ am Ursprung der reellen Zahlengerade
  ist nicht starr in der Schmelzkategorie  $\op{Ab}_{/\DR}$ der
  abelschen Garben auf der reellen Zahlengeraden. 
\end{Ubung}

\begin{Ubung} Eine abelsche Garbe $\mathcal L$ auf einem Raum $X$
  hei"st {\bf lokal frei vom Rang Eins},\index{lokal!frei vom Rang Eins!abelsche Garbe} wenn unser Raum eine offene "Uberdeckung
  $\mathcal U$ besitzt derart,
  da"s f"ur alle $U\in\mathcal U$ die abelsche Garbe $\mathcal L|U$ isomorph ist zu $\DZ_U$. Man zeige, da"s es
  f"ur jede  abelsche Garbe $\mathcal L$ auf einem Raum $X$, die
  lokal frei ist vom Rang Eins, genau einen Isomorphismus\label{QudT} 
  $q=q_{\mathcal L}:\mathcal L\otimes\mathcal L\sira \DZ_X$ gibt mit $q(s\otimes s)=1$
  f"ur jeden Erzeuger $s$ von $\mathcal L|U$ f"ur $U\co X$. Wir nennen ihn die
  {\bf Quadrattrivialisierung}.\index{Quadrattrivialisierung}
\end{Ubung}

\subsection{Trennfaserungen}
%\nichtfinal{Sollte das nicht viel fr"uher kommen?}
\begin{Bemerkungl} Gegeben ein
  Trennfunktor $p:\mathscr M\ra \mathscr N$ und in der Basis $\mathscr N$ eine
  Trennung $f:X\ra Y_1\curlywedge \ldots\curlywedge Y_r$
  und $\mathcal F,\mathcal G_1,\ldots,\mathcal G_r$
  Objekte in den jeweiligen Fasern notieren wir
  $$\mathscr M_f(\mathcal F,\mathcal G_1\curlywedge\ldots
  \curlywedge\mathcal G_r)$$
  die Menge der Trennungen $\varphi:\mathcal F\ra \mathcal G_1\curlywedge\ldots
  \curlywedge\mathcal G_r$
  "uber $f$ in $\mathscr M$ alias die Menge der Trennungen $\varphi$ mit
  $p(\varphi)=f$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}
  Ein Trennfunktor $p:\mathscr M\ra \mathscr N$ hei"st
  eine {\bf Trennfaserung},\index{Trennfaserung}\label{TrFas}
  wenn  der
  auf den Familienkategorien \eref{FamK}{TSK} induzierte Funktor
  $\mathscr M^{\curlywedge}\ra 
  \mathscr N^{\curlywedge}$
  eine Faserung ist.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
  Gegeben eine Trennfaserung ist klar, da"s bei dem auf den
  Familienkategorien induzierten Funktor das Vertupeln aus kartesischen
  Morphismen  kartesische Morphismen  macht.
\end{Bemerkungl}
  \begin{Definition}
  Gegeben ein Trennfunktor $p:\mathscr M\ra \mathscr N$
  hei"st eine Trennung in der Ausgangstrennkategorie {\bf $p$-kartesisch}, {\bf stark $p$-kartesisch},\index{kartesisch!Verschmelzung}
  {\bf $p$-kokartesisch}\index{kokartesisch!Verschmelzung}
  beziehungsweise
  {\bf stark $p$-kokartesisch}, wenn der zugeh"orige Morphismus in
  der Familienkategorie f"ur den induzierten Funktor $\mathscr M^{\curlywedge}\ra 
  \mathscr N^{\curlywedge}$ 
  die entsprechende  Eigenschaft hat.\label{TrnF} 
  Die zu einem Trennfunktor geh"origen im allgemeinen
  nur partiell definierten R"uckzugsfunktoren auf
  der Familienkategorie bezeichnen
  wir  als
  {\bf Trennr"uckzug}.\index{Trennr"uckzug}
  Den Trennr"uckzug l"angs einer Trennung $f$ der Basis
  notieren wir wie den gew"ohnlichen R"uckzug in abstrakten Faserungen
  $$f^\dagger$$ 
  \end{Definition}

  
 \begin{Bemerkungl} Analoge Sprechweisen vereinbaren wir
  f"ur Schmelzfunktoren und erhalten so insbesondere die
  Begriffe einer {\bf Schmelzkofaserung}\index{Schmelzkofaserung} und
  des zugeh"origen {\bf Schmelzvorschubs}.\index{Schmelzvorschub}
 \end{Bemerkungl}


\begin{Beispiel}[\textbf{Trennfaserungen zur terminalen Trennkategorie}] 
%nicht ganz trivial, aber ok am 10.5.2022.
Es gibt nach \eref{TeSK}{TSK}  eine terminale Trennkategorie, 
bestehend aus einem einzigen 
Objekt mit jeweils 
einelementigen Mengen von $r$-Trennungen f"ur alle $r\in\DN$.
Unsere universellen Trennungen aus \eref{tmkk}{TSK}
sind  genau die Trennungen, die  in Bezug auf den einzigen Trennfunktor 
in die terminale Trennkategorie stark kartesische Morphismen der
Familienkategorie liefern.
Unsere \emph{stabil} universellen Trennungen aus \eref{tmkk}{TSK}
sind  genau die Trennungen, die auch beim Vertupeln mit endlich vielen Identit"atstrennungen in Bezug auf den einzigen Trennfunktor 
in die terminale Trennkategorie stark kartesische Morphismen der
Familienkategorie liefern.
Eine Trennkategorie hat 
stabil universelle Trennungen
genau dann, wenn der einzige von ihr ausgehende Trennfunktor
in die terminale Trennkategorie  eine
\hyperref[TrFas]{Trennfaserung} ist im Sinne der vorhergehenden Definition.\label{FteS}  Opponiertes gilt f"ur Schmelzkofaserungen "uber der terminalen Schmelzkategorie.
\end{Beispiel}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Stark kartesische Lifts stabil universeller
      Trennungen}] 
Bei einer Ver\-kn"up\-fung $qp$ von Funktoren  ist nach \eref{VvFf}{TG}
  ein Morphismus
  "uber einem stark $q$-kar\-te\-si\-schen Morphismus stark $p$-kar\-te\-sisch 
  genau dann, wenn er stark $qp$-kar\-te\-sisch ist. 
  Insbesondere ist die Verkn"upfung von Faserungen
  wieder eine Faserung und damit auch die Verkn"upfung von Trennfaserungen  
  wieder eine Trennfaserung. Nach   \ref{FteS} ist weiter bei einem Trennfunktor
  ein Lift einer universellen Trennung genau dann 
  universell, wenn er stark kartesisch ist.
  Ebenso  ist bei einem Trennfunktor
  ein Lift einer stabil universellen Trennung genau dann 
  stabil universell, wenn er stark kartesisch ist.\label{sSkk} 
 Opponiertes gilt f"ur Schmelzkofaserungen.
\end{Bemerkungl}
  \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vorschub in Trennfaserungen}]
    Besitzt in einer Faserung ein R"uckzug $f^\dagger$ einen
    Linksadjungierten $f_\dagger$, so ist er nach \eref{stKK}{TG} bereits ein
    starker Vorschub. Im Fall einer Trennfaserung macht zus"atzlich das
    Vertupeln stark kokartesische Morphismen der Familienkategorie
    stets zu stark kokartesischen Morphismen. Wir werden nur Vorsch"ube
    l"angs einfacher Morphismen der Basis betrachten.\label{ViT} 
  \end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Die folgenden Beispiele sind in dem Sinne nicht allgemein genug,
  als darin nur Trennfunktoren zu banalen Trennkategorien diskutiert
  werden. Andererseits wird das f"ur uns der wichtigste Fall werden.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}
  Wir erinnern die Mengengarbenfaserung $\op{Ens}_{/{\op{Top}}}\ra \op{Top}$ aus
  \eref{GaFa}{TG}. Sie induziert wie jeder Funktor
  einen Trennfunktor $\curlywedge{\op{Ens}_{/{\op{Top}}}}\ra \curlywedge{\op{Top}}$ zwischen den zugeh"origen banalen Trennkategorien.
  Im  Fall der Mengengarbenfaserung ist dieser Funktor sogar eine Trennfaserung,
  die {\bf Mengengarbentrennfaserung}.\index{Mengengarbentrennfaserung}
 Genauer geht die\label{mgtf} 
  kartesische Trennung  "uber
  $(f_1,\ldots,f_r):X\ra Y_1\curlywedge \ldots \curlywedge Y_r$ nach
  $(Y_1,\mathcal G_1)\curlywedge \ldots \curlywedge (Y_r,\mathcal G_r)$ in dieser Trennfaserung vom
  Produkt der auf $X$ zur"uckgezogenen Mengengarben
  $f_\rho^*\mathcal G_\rho$ mit \'etalem Raum $\bar {\mathcal G}_\rho\times_{Y_\rho}X$ aus,
  in Formeln und etwas abgek"urzt in \'etalen R"aumen  geschrieben  
  $$\op{\acute{e}t}(f_1,\ldots,f_r)^\dagger(\mathcal G_1\curlywedge \ldots \curlywedge \mathcal G_r)=(\bar {\mathcal G}_1\times \ldots \times \bar {\mathcal G}_r)
  \times_{(Y_1\times \ldots \times Y_r)}X$$
  Die  Trennkategorie $\curlywedge{\op{Ens}_{/{\op{Top}}}}$ hat, wie jede
  banale Trennkategorie, eindeutige Leertrennungen.
  Sie spielt in der Literatur meines Wissens keine Rolle. 
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}
  Wir erweitern die Opmengengarbenfaserung $\op{Ens}_{\sslash{\op{Top}}}\ra \op{Top}$ aus
  \eref{GaKoFa}{TG}  zu einem Trennfunktor in die banale Trennkategorie $\curlywedge{\op{Top}}$, indem wir
  einen {\bf Multiopkomorphismus} $\phi:(X,\mathcal F)\ra (Y_1,\mathcal G_1)\curlywedge \ldots \curlywedge (Y_r,\mathcal G_r)$ "uber einer Trennung 
  $(f_1,\ldots,f_r):X\ra Y_1\curlywedge \ldots \curlywedge Y_r$
  erkl"aren 
  als
eine Vorschrift $\phi$, die jeder
Familie von offenen Teilmengen $V_i\co Y_i$ 
und jeder offenen Teilmenge $U\co X$ mit
$f_i(U)\subset V_i\;\forall i$ 
 eine  
Abbildung 
$$\phi^\circ_{U, V_1,\ldots,V_r}:\mathcal G_1(V_1)\times\ldots\times\mathcal G_r(V_r)\ra \mathcal F(U)$$ so zuordnet,
da"s f"ur alle $V'_i\co V_i\co Y_i$ und $U'\co U$ mit $f_i(U')\subset V'_i\;\forall i$
das Diagramm
$$\begin{array}{ccc}
\mathcal G_1(V_1)\times\ldots\times\mathcal G_r(V_r)&
\ra &\cal{F}(U)\\
\da&&\da\\
\mathcal G_1(V'_1)\times\ldots\times\mathcal G_r(V'_r)&\ra &\cal{F}(U')
\end{array}$$
mit den Restriktionen in den Vertikalen 
und $\phi$ in den Horizontalen kommutiert.
Auch dieser Trennfunktor ist eine Trennfaserung.
Wieder geht die 
  kartesische Trennung  "uber
  $(f_1,\ldots,f_r):X\ra Y_1\curlywedge \ldots \curlywedge Y_r$ nach
  $(Y_1,\mathcal G_1)\curlywedge \ldots \curlywedge (Y_r,\mathcal G_r)$ in dieser Trennfaserung vom
  Produkt der auf $X$ zur"uckgezogenen Mengengarben
  $f_\rho^*\mathcal G_\rho$ aus, diesmal betonen wir die Interpretation einer
  Garbe als Funktor auf offenen Teilmengen und schreiben 
  abgek"urzt und  in Formeln 
  $$(f_1,\ldots,f_r)^\dagger(\mathcal G_1\curlywedge \ldots \curlywedge \mathcal G_r)=f_1^* {\mathcal G}_1\times \ldots \times f_r^*\mathcal G_r$$
  Man beachte aber, da"s der Transportmorphismus in diesem Fall
  etwas anderes ist. Bereits im Fall einfacher Morphismen der Basis alias
  stetiger Abbildungungen $f:X\ra Y$
  ist ja ein Opkomorphismus etwas anderes als ein Morphismus "uber $f$.
  Wir nennen diese Trennfaserung\label{mgbt} 
  die {\bf Opmengengarbentrennfaserung}\index{Opmengengarbentrennfaserung}
  und notieren sie
  $$\op{Ens}_{\sslash\curlywedge{\op{Top}}}\ra \curlywedge{\op{Top}}$$
  Sie hat Vorsch"ube $f_\dagger$ l"angs einfacher Morphismen $f$, n"amlich die
  direkten Bilder auf den opponierten Kategorien $f_\dagger=f_*^{\op{opp}}$. 
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungw}
  Die Trennr"uckz"uge 
  eines vorgegebenen Garbentupels
  in der Mengengarbentrennfaserung und der
Opmengengarbentrennfaserung
sind \glqq dieselben\grqq\ in dem Sinne, da"s wir
in ziemlich offensichtlicher Weise Bijektionen
zwischen kartesischen Trennungen derselben Objekte in diesen beiden
Strukturen angeben k"onnen, die vertr"aglich sind mit Multiverkn"upfung und
die auf Einstrennungen durch $i\mapsto (i^\circ)^{-1}$ gegeben
werden.\label{MgOt}  
Wir diskutieren in \ref{fdoTFs}, inwiefern das bedeutet, da"s
diese beiden Trennfaserungen durch
  \glqq Oppinvertieren\grqq\ auseinander hervorgehen. 
  Im folgenden wird es haupts"achlich um die Men\-gen\-op\-gar\-ben\-trenn\-fa\-se\-rung
  und insbesondere ihr Analogon f"ur abelsche Garben gehen, das wir nun
  einf"uhren.
\end{Bemerkungw}





\begin{Bemerkungw}
  Die Faser $\op{Ens}_{{\sslash}X}$ der Opmengengarbentrennfaserung
  "uber einem Raum $X$ mit den Trennungen
  "uber Identit"atstupeln $(\op{id},\ldots,\op{id})$
  als Trennungen  ist
  opponiert zur kartesischen Schmelzkategorie ${\curlywedge}{\op{Ens}}_{/X}$
  der Mengengarben aus \ref{EnspSm}. 
  Von jedem Objekt $X$ der Basis geht nur genau
  eine Leertrennung $l_X:X\ra \curlywedge$ aus,
  das leere Tupel, und wir erhalten
  f"ur jede Garbe $\mathcal F\in \op{Ens}_{{\sslash}X}$ eine
  Bijektion\label{mgbtv} $$\beta=\beta_{\mathcal F}:
  \op{Ens}_{\sslash{X}}(\mathcal F,\curlywedge)
  =\op{Ens}_{\sslash{\op{Top}}}(\mathcal F,\curlywedge) \sira \Gamma \mathcal F$$
    zwischen der Menge der von $\mathcal F$ ausgehenden Leertrennungen und
  der Menge $\Gamma\mathcal F$ der globalen
  Schnitte von $\mathcal F$, indem wir jedem Multiopkomorphismus
  $\phi:\mathcal F\ra\curlywedge$ in das leere Tupel
  das Bild  $\phi^\circ_X(*)\in \mathcal F(X)=\Gamma\mathcal F$
  des einzigen Elements $*$ des leeren Produkts
   zuordnen. Diese Bijektionen
  bilden in ihrer Gesamtheit  eine Isotransformation
  $\beta:\op{L}\siRa\Gamma$ von Trennfunktoren
   $\op{Ens}_{\sslash{{\curlywedge}{\op{Top}}}}\ra \op{kEns}^{\op{opp}}$.
\end{Bemerkungw}
\begin{Bemerkungw} Allgemeiner sind 
  f"ur beliebige Trennfaserungen "uber
  banalen Trennkategorien die Fasern wieder
  Trennkategorien in "ahnlicher Weise. Wir diskutieren
  das in \ref{FTFu} folgende. 
\end{Bemerkungw}







\begin{Beispiel}
  Wir erweitern die Opgarbenfaserung $\op{Ab}_{\sslash{\op{Top}}}\ra \op{Top}$
  der abelschen Garben aus
  \eref{GMab}{TG}  zu einem Trennfunktor in die banale Trennkategorie $\curlywedge{\op{Top}}$, indem wir
  einen {\bf Multiopkomorphismus} $(X,\mathcal F)\ra (Y_1,\mathcal G_1)\curlywedge \ldots \curlywedge (Y_r,\mathcal G_r)$ "uber einer Trennung 
  $(f_1,\ldots,f_r):X\ra Y_1\curlywedge \ldots \curlywedge Y_r$
  erkl"aren 
  als
eine Vorschrift $\phi$, die jeder
Familie von offenen Teilmengen $V_i\co Y_i$ 
und jeder offenen Teilmenge $U\co X$ mit
$f_i(U)\subset V_i\;\forall i$ 
 eine  multiadditive
Abbildung 
$$ \mathcal G_1(V_1)\times\ldots\times\mathcal G_n(V_n)\ra \mathcal F(U)$$ so zuordnet,
da"s f"ur alle $V'_i\co V_i\co Y_i$ und $U'\co U$ mit $f_i(U')\subset V'_i\;\forall i$
das Diagramm
$$\begin{array}{ccc}
\mathcal G_1(V_1)\times\ldots\times\mathcal G_n(V_n)&
\ra &\cal{F}(U)\\
\da&&\da\\
\mathcal G_1(V'_1)\times\ldots\times\mathcal G_n(V'_n)&\ra &\cal{F}(U')
\end{array}$$
mit den Restriktionen in den Vertikalen 
und $\phi$ in den Horizontalen kommutiert.
Der offensichtliche \glqq verge"sliche\grqq\ Trennfunktor $\op{Ab}_{\sslash{\curlywedge{\op{Top}}}}\ra \op{Ens}_{\sslash{\curlywedge{\op{Top}}}}$
ist volltreu auf Leertrennungen und mit
\ref{mgbt}\label{SaGg} erhalten wir Bijektionen $$\beta=\beta_{\mathcal G}:\op{Ab}_{\sslash{\curlywedge{\op{Top}}}}(\mathcal G,\curlywedge)\sira \Gamma \mathcal G$$
Die Faser $\op{Ab}_{{\sslash}X}$ mit den Trennungen
"uber den Identit"atstupeln $(\op{id},\ldots,\op{id})$ als Trennungen  ist
dabei opponiert zur Schmelzkategorie $\op{Ab}_{/X}$ der abelschen Garben aus \ref{AbpSm}.
\end{Beispiel}



\begin{Satz}[\textbf{Trennfaserung der abelschen Opgarben}]
  Der Trennfunktor des Vergessens der Garbe  
  $\op{Ab}_{\sslash{\curlywedge{\op{Top}}}}\ra \curlywedge{\op{Top}}$
   ist
   eine \hyperref[MuKoFa]{Trennfaserung}, die
    \emph{\bf Opgarbentrennfaserung}.\index{Opgarbentrennfaserung}\label{MFoll}
\end{Satz}

%\nichtfinal{Wir brauchen einen Ort, an dem die relative additive Struktur diskutiert wird. Nein, vielleicht nicht: Alle Fasern sind additive Kategorien,
%die R"uckholfunktoren sind additiv, da sie Adjungierte haben, etc.} 
\begin{Bemerkungl}
   Ein kartesischer Lift der eindeutigen Leertrennung $l_X:X\ra \curlywedge$
   f"ur $X\in\op{Top}$ ist hier 
   diejenige Leertrennung $u_X:\DZ_X\ra \curlywedge$, die unter unserer 
   Bijektion $\beta$ aus \ref{SaGg} auf den globalen Schnitt
   $1_X \in \Gamma \DZ_X$ abgebildet wird. Abgek"urzt und  in Formeln erhalten wir in diesem Fall also
   $$l_X^\dagger(\curlywedge)=\DZ_X$$
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
F"ur stetige Abbildungen $f_i:X\ra Y_i$ und $\mathcal G_i\in\op{Ab}_{\sslash Y_i}$ 
ist per definitionem  die Trennung
"uber $(f_1, \ldots, f_n)$ aus
derjenigen Garbe $\mathcal F$ kartesisch, die durch Garbifizierung aus der 
Pr"agarbe $$U\mapsto \op{colf}_{f_i(U)\subset V_i\co X_i}\mathcal G_1(V_1)\otimes\ldots
\otimes \mathcal G_r(V_r)$$
f"ur $U\co X$ entsteht. Da  das Tensorprodukt mit Kolimites vertauscht
und der offensichtliche Morphismus von der
 Garbifizierung eines Pr"agarbentensorprodukts von Pr"agarben
zum Garbentensorprodukt der Garbifizierungen unserer Pr"agarben 
stets ein Isomorphismus
ist,
erhalten wir einen nat"urlichen Isomorphismus
$$(f_1, \ldots, f_n)^\dagger(\mathcal G_1\curlywedge\ldots\curlywedge
\mathcal G_n) \sira f_1^*\mathcal G_1\otimes\ldots\otimes f_n^*\mathcal G_n$$
Jetzt gilt es noch zu zeigen, da"s die Verkn"upfung kartesischer
Trennungen kartesisch ist, da"s also f"ur $g_{ij}:Y_i\ra Z_{ij}$
und $\mathcal H_{ij}\in \op{Ab}_{\sslash Z_{ij}}$ f"ur $1\leq j\leq n_i$ die
von der kartesischen Eigenschaft herr"uhrenden Morphismen
Isomorphismen
$$\bigotimes_{i,j}(f_ig_{ij})^*\mathcal H_{ij} \sira \bigotimes_{i=1}^n f_i^*\left(\bigotimes_{i=1}^{n_i} g_{ij}^*\mathcal H_{ij}\right)$$
sind. Das pr"uft man leicht auf den Halmen.
Genauer folgt es aus der Erkenntnis, da"s der Halm eines Tensorprodukts
nach \ref{zuTRG} das Tensorprodukt der Halme ist und der Halm der zur"uckgeholten Garbe an einem
Punkt der Halm der urspr"unglichen Garbe an seinem Bildpunkt.
\end{proof}

\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}[\textbf{Modulschmelzkofaserung}]
  Bezeichne $\op{Ab}_{/\curlyvee{\op{Kring}}}$\index{$\op{Ab}_{/\curlyvee{\op{Kring}}}$ Schmelzkategorie} die Schmelzkategorie, deren Objekte Paare
  $(A,M)$  aus einem Kring $A$ und einem $A$-Modul $M$ sind.
  Verschmelzungen $(A_1,M_1)\curlyvee \ldots\curlyvee (A_r,M_r)\ra (B,N)$ erkl"aren wir als Tupel $(\varphi_1,\ldots,\varphi_r,\psi)$
  bestehend aus Ringhomomorphismen $\varphi_\rho:A_\rho\ra B$ und einer
  multiadditiven Abbildung 
   $\psi:M_1\times\ldots\times M_r\ra N$ derart, da"s gilt
  $$\psi(m_1,\ldots,a_\rho m_\rho,\ldots,m_r)=
  \varphi_\rho(a_\rho)\psi(m_1,\ldots,m_\rho,\ldots,m_r)$$
  f"ur alle $ \rho$ und
  $ a_\rho\in A_\rho$ und $ m_\rho\in M_\rho$. Man zeige, da"s der Schmelzfunktor
  des Vergessens des Moduls in die banale Schmelzkategorie der Kringe
   $\op{Ab}_{/\curlyvee{\op{Kring}}}\ra \curlyvee{\op{Kring}}$
  eine Schmelzkofaserung ist.\label{MoSKF}  Kokartesische Verschmelzungen
  gehen zum Tensorprodukt "uber $B$ der $M_\rho\otimes_{A_\rho}B$. 
\end{Ubung}

\begin{Bemerkungw}[\textbf{Opmodultrennfaserung}]
  In Zukunft notieren wir diese Situation
  meist in opponierter Weise und betrachten die Kategorie
  $\op{Kringo}\pdef \op{Kring}^{\op{opp}}$ und die Trennfaserung
  $\op{Ab}_{\sslash{\curlywedge{\op{Kringo}}}}\ra \curlywedge{\op{Kringo}}$
  mit opponierten Kategorien von Moduln als Fasern.\label{MOFF}
  Das pa"st besser zu unseren sonstigen Notationen,
  weil $\op{Kringo}$ "aquivalent ist zur Kategorie der
  \glqq affinen Schemata\grqq\ und ein $A$-Modul aufgefa"st werden kann als
  Modulgarbe auf $\op{Spec}A$. Ich schreibe es auch noch aus in den im weiteren
  "ublichen Konventionen.
   Gegeben $f:A\ra B_1\curlywedge \ldots\curlywedge B_r$ eine Trennung in $\curlywedge{\op{Kringo}}$ alias ein Tupel
  von Kringhomomorphismen $f_\rho^\circ:B_\rho\ra A$ sowie Moduln
  $M,N_1,\ldots, N_r$ "uber unseren Kringen erkl"aren wir eine Trennung
  $$\varphi:M\ra N_1\curlywedge \ldots\curlywedge N_r$$
  "uber der vorgegebenen Trennung in $\op{Kringo}$
  als eine multiadditive Abbildung\label{DarMOk} 
   in die Gegenrichtung $\varphi^\circ: N_1\times \ldots\times N_r\ra M$ 
  mit $$\varphi^\circ(n_1,\ldots,b_\rho n_\rho,\ldots,n_r)=f_\rho^\circ(b_\rho)\varphi^\circ(n_1,\ldots,n_r)$$
  f"ur alle $\rho\in\{1,\ldots,r\}$, $b\in B_\rho$ und $n_\rho\in N_\rho$. Der Trennr"uckzug ist in diesem Fall
  das Tensorprodukt "uber $A$ der $N_\rho\otimes_{B_\rho}A$.
\end{Bemerkungw}


\begin{Ubung}[\textbf{Opdarstellungstrennfaserung}]
  Wir betrachten die Kategorie der Monoide  $\op{Mon}$ und konstruieren eine
  Trennfaserung $$\op{Ab}_{\sslash{\curlywedge{\op{Mon}}}}\ra \curlywedge{\op{Mon}}$$
  "uber der banalen Trennkategorie der Monoide mit opponierten Kategorien
  von Darstellungen als Fasern. Gegeben $f:G\ra H_1\curlywedge \ldots\curlywedge H_r$ eine Trennung in $\curlywedge{\op{Mon}}$ alias ein Tupel
  von Monoidhomomorphismen $f_\rho:G\ra H_\rho$ sowie Darstellungen
  $M,N_1,\ldots, N_r$ unserer Monoide erkl"aren wir dazu eine Trennung
  $$\varphi:M\ra N_1\curlywedge \ldots\curlywedge N_r$$
  "uber der vorgegebenen Trennung von Monoiden als eine multiadditive Abbildung\label{DarMO} 
  $\varphi^\circ: N_1\times \ldots\times N_r\ra M$ in die Gegenrichtung
  mit $$g\varphi^\circ(n_1,\ldots,n_r)=\varphi^\circ(f_1(g)n_1,\ldots,f_r(g)n_r)$$
  f"ur alle $g\in G$ und $n_\rho\in N_\rho$. Der Trennr"uckzug ist in diesem Fall
  das Tensorprodukt der zur"uckgezogenen Darstellungen. 
\end{Ubung}

\nichtfinal{Sollte derivierte Version betrachten. Auch mit Koeffizienten.
Gibt es Verflechtung?} 
\begin{Ubunge}[\textbf{Modulschmelzkofaserung nichtkommutativ}]
  Bezeichne $\op{kkRing}$\index{kkRing@$\op{kkRing}$} die Schmelzkategorie
  mit beliebigen Ringen als Objekten und als Verschmelzungen
  $R_1\curlyvee \ldots \curlyvee R_n\ra R$ allen Tupeln von
  Ringhomomorphismen $\varphi_i:R_i\ra R$ mit
  $\varphi_i(a)\varphi_j(b)=\varphi_j(b)\varphi_i(a)$ f"ur alle $i\neq j$ und
  $a\in R_i$, $b\in R_j$. Man zeige, da"s das Tensorprodukt von Ringen
  "uber $\DZ$ in dieser Schmelzkategorie universelle Verschmelzungen liefert. 
 Bezeichne $\op{Ab}_{/{\op{kkRing}}}$\index{$\op{Ab}_{/{\op{kkRring}}}$ Schmelzkategorie} die Schmelzkategorie, deren Objekte Paare
  $(A,M)$  aus einem Ring $A$ und einem $A$-Modul $M$ sind.
  Verschmelzungen $(A_1,M_1)\curlyvee \ldots\curlyvee (A_r,M_r)\ra (B,N)$ erkl"aren wir als Tupel $(\varphi_1,\ldots,\varphi_r,\psi)$
  bestehend aus Ringhomomorphismen $\varphi_i:A_i\ra B$, die zusammen
  eine Verschmelzung in $\op{kkRing}$ bilden, und einer
  multiadditiven Abbildung 
  $\psi:M_1\times\ldots\times M_r\ra N$ derart,
  da"s gilt
$$\psi(m_1,\ldots,a_im_i,\ldots,m_r)=\varphi_i(a_i)\psi(m_1,\ldots,m_i,\ldots,m_r)$$
  f"ur alle $ i, a_i\in A_i$ und $ m_j\in M_j$. Man zeige, da"s der Schmelzfunktor
  des Vergessens des Moduls
   $\op{Ab}_{/{\op{kkRing}}}\ra \op{kkRing}$
  eine Schmelzkofaserung ist.\label{MonKF}  Man beschreibe kokartesische Verschmelzungen. 
\end{Ubunge}

\subsection{Multilineare Algebra f"ur Modulgarben}

\begin{Bemerkungl} Wir haben mittlerweile drei Trennfaserungen kennengelernt,
  als da w"aren die Opgarbentrennfaserung
  $\op{Ab}_{\sslash{\curlywedge{\op{Top}}}}\ra \curlywedge{\op{Top}}$ in \ref{MFoll},
  die Opmodultrennfaserung $\op{Ab}_{\sslash{\curlywedge{\op{Kringo}}}}
  \ra \curlywedge{\op{Kringo}}$ in "Ubung \ref{MOFF} und die
  Opdarstellungstrennfaserung
  $\op{Ab}_{\sslash{\curlywedge{\op{Mon}}}}\ra \curlywedge{\op{Mon}}$
  in "Ubung \ref{DarMO}.
  Im weiteren untersuchen wir eine gemeinsame Verallgemeinerung, die
  \glqq Trennfaserung
  der "aquivarianten Opmodulgarben\grqq. Wir beginnen
  mit gew"ohnlichen Opmodulgarben. 
\end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Motivation}]
  Ich will kurz erkl"aren, warum Modulgarben interessant und
  wichtig sind. 
  Oft ist Kohomologie mit $\DR$-Koeffizienten
  oder $\DQ$-Koeffizienten  einfacher als Kohomologie
  mit Koeffizienten in $\DZ$. In der algebraischen Geometrie
  sind auch allgemeiner Garben von Moduln "uber Garben von Kringen
  fundamental.  Differentialmoduln sind noch allgemeiner Garben von Moduln
  "uber Garben von nichtkommutativen Ringen. Da es wenig zus"atzlichen Aufwand bedeutet, entwickle ich die Theorie gleich in dieser Allgemeinheit.
\end{Bemerkungl}




\begin{Definition}
Ein {\bf geringter Raum}\index{geringter Raum} ist ein Paar $$(X,\cal{A})$$ 
bestehend aus einem topologischen
Raum $X$ mit einer Garbe  von  Ringen $\cal{A}$,
seiner {\bf Strukturgarbe}.\index{Strukturgarbe}
Die Schnitte der Strukturgarbe "uber $U\co X$ nennen wir oft
{\bf regul"are Funktionen},\index{regul"ar!Funktionen} obwohl sie
keineswegs Funktionen auf $U$ zu sein brauchen.\label{DGRkK} 
 Ein {\bf Morphismus}\index{Morphismus!von geringten R"aumen} 
von einem geringten Raum $(X,\cal{A})$  in
einen weiteren geringten Raum $(Y,\cal{B})$ ist ein Paar $\varphi =
(\varphi,\varphi^{\sharp})$ bestehend aus einer stetigen Abbildung
$\varphi : X \ra Y$ und dar"uber einem Komorphismus von
Ringgarben im Sinne von \eref{Komoox}{TG} alias einer
Vorschrift, die f"ur beliebige $U\co X$ und $V\co Y$ mit
$\varphi(U)\subset V$ einen Ringhomomorphismus
$\varphi^{\sharp}_{UV}:\cal{B} (V) \ra \cal{A} (U)$ so auszeichnet, da"s diese
Ringhomomorphismen vertr"aglich sind mit den Restriktionen auf kleinere
offene Teilmengen.
Es ist  klar, wie man
Morphismen von geringten R"aumen zu ver\-kn"up\-fen hat und da"s wir
auf diese Weise eine Kategorie erhalten, die
{\bf Kategorie der geringten R"aume}\label{GerKa} $$\op{Ger}$$
Besteht die Strukturgarbe aus kommutativen Ringen, so sprechen wir
von einem {\bf gekringten
  Raum}.\index{gekringter Raum} Die Kategorie der gekringten R"aume notieren wir\index{Gek@$\op{Gek}$ gekringte R"aume} \nichtfinal{(kopiert aus \eref{DGRk}{KAG})}  $$\op{Gek}$$
\end{Definition}

\begin{Definition}
Gegeben ein geringter Raum $(X,\cal{A})$ verstehen wir unter einer
\defnoind{Garbe von ${\cal{A}}$-Moduln} oder  einem
\defnoind{${\cal{A}}$-Modul} oder einer \defind{Modulgarbe} 
eine abelsche Garbe $\cal{M}$ auf $X$
mitsamt der Vorgabe f"ur alle $U \co X$ von einer $\cal{A}
(U)$-Modulstruktur auf $\cal{M}(U)$ derart, da"s f"ur alle $V \co
U \co X$ das Diagramm\label{ModGjK}  
$$\begin{array}{ccccc}
\cal{A} (U) & \times & \cal{M}(U) &\ra & \cal{M}(U)\\
            &\downarrow &        &  & \downarrow \\
\cal{A} (V) &\times & \cal{M}(V) &\ra & \cal{M}(V)
\end{array}$$
mit den Restriktionsabbildungen in den Vertikalen kommutiert.  Homomorphismen von
$\cal{A}$-Moduln sind die offensichtlichen. Die Kategorie 
aller $\cal{A}$-Moduln notieren wir  $\cal{A}\op{-Mod}$ oder
$\op{Mod}_\cal{A}$ 
oder in unserem Kontext $\op{Ab}_{/(X,\mathcal A)}$ oder noch einfacher 
$\op{Ab}_{/X}$ mit der Interpretation $X=(X,\mathcal A)$. \nichtfinal{(Teils kopiert aus \eref{ModGj}{KAG})}\end{Definition}
\begin{Bemerkunge}
  In der in \eref{StrS}{TSK} eingef"uhrten Terminologie ist
  eine Ring\-gar\-be $\mathcal A$ auf einem topologischen Raum $X$
  ein Monoidobjekt der Schmelzkategorie \ref{AbGSm}
  der abelschen Garben auf $X$, also ein Datum $(\mathcal A,m,1)$ aus
  einer abelschen Garbe $\mathcal A$ und
  Verschmelzungen $m:\mathcal A\curlyvee \mathcal A\ra \mathcal A$
  sowie $1:\curlyvee\ra \mathcal A$ mit den "ublichen Eigenschaften.
  Eine Kringgarbe ist entsprechend ein
  Abmonoidobjekt.
  In dieser Terminologie ist eine Modulgarbe\label{SchMGn} 
 $\mathcal M$ ein Objekt mit Operation im Sinne
  von \eref{modO}{TSK}, also ein Objekt mit einer Zweiverschmelzung
 {\bf Operation} $\mathcal A\curlyvee \mathcal M\ra \mathcal M$ alias
  einem Morphismus von abelschen Garben
  $\mathcal A\otimes\mathcal M\ra \mathcal M$ derart, da"s die
  beiden offensichtlichen Verschmelzungen
  $\mathcal A\curlyvee\mathcal A\curlyvee \mathcal M\ra \mathcal M$
  "ubereinstimmen und da"s die Komposition
  $\mathcal M\ra \mathcal A\curlyvee \mathcal M\ra \mathcal M$ mit dem von
  der Eins von $\mathcal A$ herkommenden ersten Pfeil die Identit"at aus $\mathcal M$ ist.
  \nichtfinal{(Kopiert von \eref{SchMG}{KAG}.)} 
\end{Bemerkunge}

 \begin{Bemerkungl}[\textbf{Modulgarben auf gekringtem Raum als Schmelzkategorie}]
   Gegeben  $(X,\mathcal A)$ ein gekringter Raum 
   machen wir in Verallgemeinerung von \ref{thadG} 
   die Kategorie $\mathcal A\op{-Mod}$ aller Modulgarben 
 auf $X$ zu einer
Schmelzkategorie, indem wir f"ur $r\geq 0$  
eine Verschmelzung $$\phi:{\mathcal G}_1\curlyvee\ldots \curlyvee
{\mathcal G}_r\ra \mathcal F$$ 
erkl"aren als 
eine Vorschrift $\phi$, die jeder
 offenen Teilmenge $U\co X$ 
 eine in jedem Eintrag $\mathcal A(U)$-lineare 
Abbildung 
$ \mathcal G_1(U)\times\ldots\times\mathcal G_r(U)\ra \mathcal F(U)$
 so zuordnet,
da"s f"ur alle  $U'\co U$ 
das Diagramm\label{MgSkK} 
$$\begin{array}{ccc}
\mathcal G_1(U)\times\ldots\times\mathcal G_r(U)&
\ra &\cal{F}(U)\\
\da&&\da\\
\mathcal G_1(U')\times\ldots\times\mathcal G_r(U')&\ra &\cal{F}(U')
\end{array}$$
mit den Restriktionen in den Vertikalen 
und $\phi$ in den Horizontalen kommutiert. 
Inbesondere liefert das Auswerten auf dem einzigen Element des leeren Produkts eine Isotransformation $\beta:\op{L}\siRa\Gamma$ von Leerverschmelzungsfunktor unserer Schmelzkategorie zum Funktor der globalen Schnitte.  Die Multiverkn"upfungen sind  die Offensichtlichen. \end{Bemerkungl}
 \begin{Bemerkunge}
   In der in \eref{SkMo}{TSK} eingef"uhrten Terminologie
ist das genau
die Schmelzkatgorie der $\mathcal A$-Moduln in der Schmelzkategorie
$\op{Ab}_{/X}$ der abelschen Garben auf dem topologischen Raum $X$ f"ur
das Monoidobjekt $\mathcal A$ von $\op{Ab}_{/X}$, in Formeln
$$\mathcal A\op{-Mod}= (\op{Ab}_{/X})_{\mathcal A\curlyvee}$$ 
\nichtfinal{(Vergleiche auch \eref{MgSk}{KAG}.)}
 \end{Bemerkunge}





 \begin{Bemerkungl}[\textbf{Tensorprodukt und internes Hom von Modulgarben}] 
   Die Schmelzkategorie $\op{Ab}_{/(X,\mathcal A)}$ der $\mathcal A$-Modulgarben
   auf einem
   gekringten Raum $(X,\mathcal A)$
  besitzt stabil universelle Verschmelzungen und internes Hom im Sinne von
  \eref{smkk}{TSK} und \eref{Muhom}{TSK}.
 Um das zu sehen, reicht es nach \eref{stMH}{TSK}, die Existenz von universellen Verschmelzungen
 und Multihom zu zeigen.
Eine  universelle Verschmelzung
der Familie $\mathcal F\pdef\mathcal F_1\curlyvee \ldots\curlyvee \mathcal F_r$ erhalten wir,\label{TIHMK} 
indem wir  die  Pr"agarbe $$U\mapsto
\mathcal F_1(U)\otimes_{\mathcal A(U)}\ldots \otimes_{\mathcal A(U)}\mathcal F_r(U)$$ garbifizieren. Eine universelle Leerverschmelzung ist der globale Schnitt $1$
der Kringgarbe $\mathcal A$. 
Ein Multihom  $\mathcal F{\Rrightarrow}\mathcal G$
von unserer Familie zu einer weiteren Modulgarbe $\mathcal G$ erhalten
wir als die Garbe $$(\mathcal F {\Rrightarrow}\mathcal G):U\mapsto
\op{Ab}_{/(U,\mathcal A|_U)}(\mathcal F_1|_U\curlyvee \ldots\curlyvee \mathcal F_r|_U,\mathcal G|_U)$$
zusammen mit Bijektionen
$\op{Ab}_{/(X,\mathcal A)}(\mathcal K\curlyvee\mathcal F,\mathcal G)\sira 
\op{Ab}_{/(X,\mathcal A)}(\mathcal K, (\mathcal F {\Rrightarrow}\mathcal G))$,
die hoffentlich auch f"ur den Leser offensichtlich sind. \nichtfinal{Kopiert aus \eref{TIHM}{KAG}.}
 \end{Bemerkungl}


 
 \begin{Bemerkungl} 
Die Modulgarben auf einem geringten Raum $(X,\cal{A})$ bilden
 eine abelsche Kategorie und der Funktor
$\cal{A}\op{-Mod}\ra \op{Ab}_{/X}$\label{MokjK} 
des Vergessens der  $\cal{A}$-Modulstruktur ist exakt.
Weiter gibt es in unserer Kategorie beliebige Produkte und Koprodukte,
ja beliebige Limites und Kolimites,
und auch diese kommutieren mit dem Vergessen der  $\cal{A}$-Modulstruktur.
\nichtfinal{Kopiert aus \eref{Mokj}{KAG}.}
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Opmodulgarbenfaserung}]
  Wir erkl"aren einen Funktor\label{Fmg} $$\op{Ab}_{\sslash{{\op{Ger}}}}\ra \op{Ger}$$
  in die Kategorie der geringten R"aume. Objekte links sind
  Paare $\mathcal F=(X,\mathcal F)$ bestehend auf einem geringten Raum $X=(X,\mathcal A)$
  und einer $\mathcal A$-Modulgarbe $\mathcal F$ auf $X$.
  Ein Morphismus $\mathcal F\ra \mathcal G$ "uber einem Morphismus $f:X\ra  Y$ der Basis mit $Y=(Y,\mathcal B)$ ist ein Opkomorphismus $\psi$ von abelschen Garben derart,  da"s f"ur alle $U\co X$ und $V\co Y$
  mit $f(U)\subset V$ f"ur  $\psi: \mathcal G(V)\ra \mathcal F(U)$ und alle $b\in\mathcal B(V)$ und  $g\in \mathcal G(V)$  gilt
$\psi(bg)=f^\sharp(b)\psi(g)$.
  Die Fasern unseres Funktors sind
  opponierte Kategorien von Modulgarben, in Formeln
  $$\op{Ab}_{\sslash{(X,\mathcal A)}}=(\mathcal A\op{-Mod})^{\op{opp}}$$ 
Unser Funktor ist sogar eine Faserung.
Einen kartesischen Morphismus "uber einem Morphismus $f:(X,\mathcal A)\ra (Y,\mathcal B)$ der Basis 
mit Ziel $\mathcal G\in \op{Ab}_{\sslash{(Y,\mathcal B)}}$ k"onnen wir erhalten,
indem wir die $\mathcal A$-Modulgarbe 
$$f^*\mathcal G= f^{*{\op{Ger}}}\mathcal G\pdef \mathcal A\otimes_{f^{*{\op{Ab}}}\mathcal B}f^{*{\op{Ab}}}\mathcal G$$
betrachten, 
mit der Notation $f^{*{\op{Ab}}}$ f"ur den R"uckzug in $\op{Ab}_{\sslash{{\op{Top}}}}$,  und  den offensichtlichen Transportmorphismus nehmen.
Hier ist $f^{*{\op{Ab}}}\mathcal B$ eine Garbe von nicht notwendig kommutativen Ringen und das Tensorprodukt einer Rechtsmodulgarbe mit einer Linksmodulgarbe
"uber der Ringgarbe $f^{*{\op{Ab}}}\mathcal B$ wird analog gebildet wie im
Fall einer Kringgarbe. Wir notieren  in diesem Kontext unsere R"uckz"uge $f^\dagger=(f^*)^{\op{opp}}$. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Vorschub von Modulgarben}]
  Die Opmodulgarbenfaserung 
aus  \ref{Fmg}
  besitzt Vorsch"ube.
  Gegeben ein Morphismus  $f:(X,\mathcal A)\ra (Y,\mathcal B)$
  und ein $\mathcal A$-Modul $\mathcal F$ erhalten wir $f_*\mathcal F$,
  indem wir den Vorschub als abelsche Garbe $f_{*}\mathcal F=f_{*{\op{Ab}}}\mathcal F$ nehmen und f"ur $V\co Y$ ein
  $b\in\mathcal B(V)$ auf $(f_*\mathcal F)(V)=\mathcal F(f^{-1}(V))$ operieren lassen durch Multiplikation mit $f^\sharp(b)\in  \mathcal A(f^{-1}(V))$.
  Die weiteren Details m"ogen dem Leser "uberlassen bleiben.\label{VvMo} 
  Wir notieren  in diesem Kontext unsere Vorsch"ube $f_\dagger=f_*^{\op{opp}}$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Opmodulgarbentrennfaserung}]
  Wir erkl"aren einen Trennfunktor\label{TFmg} $$\op{Ab}_{\sslash{{\op{Gek}}}}\ra \curlywedge{\op{Gek}}$$
  in die banale Trennkategorie der gekringten R"aume. Objekte links sind
  Paare $\mathcal F=(X,\mathcal F)$ bestehend auf einem gekringten Raum $X=(X,\mathcal A)$
  und einer $\mathcal A$-Modulgarbe $\mathcal F$ auf $X$.
  Eine Trennung $\mathcal F\ra \mathcal G_1\curlywedge\ldots\curlywedge \mathcal G_r$ "uber einer Trennung $(f_1,\ldots,f_r):X\ra  Y_1\curlywedge\ldots\curlywedge  Y_r$ der Basis mit $Y_i=(Y_i,\mathcal B_i)$ ist ein Multiopkomorphismus $\psi$ von abelschen Garben
  im Sinne von \ref{SaGg} derart,  da"s f"ur alle $U\co X$ und $V_i\co Y_i$
  mit $f_i(U)\subset V_i$ f"ur  die zugeh"orige multiadditive Abbildung $$\psi: \mathcal G_1(V_1)\times\ldots\times\mathcal G_n(V_n)\ra \mathcal F(U)$$
  und alle $i$ und alle $b_i\in\mathcal B_i(V_i)$ und beliebige $g_j\in \mathcal G_j(V_j)$ f"ur $1\leq j\leq r$  gilt
  $$\psi(g_1,\ldots,b_ig_i,\ldots,g_r)=f_i^\sharp(b_i)\psi(g_1,\ldots,g_i,\ldots,g_r)$$
  Insbesondere bleibt der  Leertrennungsfunktor derselbe wie bei $\op{Ab}_{\sslash{\curlywedge{\op{Top}}}}$ und wir erben die
  Isotransformation $\beta:{\op{L}}\siRa\Gamma$
  des Leertrennungsfunktors zum Funktor der globalen Schnitte,
  aufgefa"st als Trennfunktor $\Gamma:\op{Ab}_{\sslash{\curlywedge{\op{Gek}}}}\ra \op{kEns}^{\op{opp}}$. Die Fasern unseres Trennfunktors sind
  opponierte Kategorien von Modulgarben
  $\op{Ab}_{\sslash{(X,\mathcal A)}}=(\mathcal A\op{-Mod})^{\op{opp}}$. 
Unser Trennfunktor ist sogar eine Trennfaserung.
Eine kartesische Trennung "uber einer einfachen Trennung
erh"alt man wie im nichtkommutativen Fall, der in \ref{Fmg} ausgef"uhrt wird. 
Eine kartesische Trennung "uber einer allgemeinen Trennung der Basis wie oben
geht aus von
$$f_1^\ast\mathcal G_1\otimes_{\mathcal A}\ldots \otimes_{\mathcal A}f_r^\ast\mathcal G_r$$
mit dem offensichtlichen Multiopkomorphismus und
$f_i^\ast\mathcal G_i\pdef \mathcal A\otimes_{f_i^{\ast\op{Ab}}\mathcal B_i}f_i^{\ast\op{Ab}}\mathcal G_i$. 
Insbesondere liefert der globale Schnitt $1\in \Gamma(\mathcal A)$
des $\mathcal A$-Moduls $\mathcal A$ unter unter unserer Identifikation von
globalen Schnitten mit Leertrennungen 
eine kartesische Leertrennung "uber der eindeutigen Leertrennung $(X,\mathcal A)\ra \curlywedge$ der Basis. 
\end{Bemerkungl}
\subsubsection*{"Ubungen}

\begin{Ubung}
  Gegeben ein Winkel
  $(Z,\mathcal C)\ra (Y,\mathcal B)\leftarrow (X,\mathcal A)$  von gekringten R"aumen erhalten wir einen
  Pullback, indem wir den topologischen Raum $Z\times_YX$
  mit der Kringgarbe
  $g^{*{\op{Ab}}}\mathcal C\otimes_{v^{*{\op{Ab}}}\mathcal B}q^{*{\op{Ab}}}\mathcal A$
 versehen f"ur $v:Z\times_YX\ra Y$.
\end{Ubung}



\begin{Ubung} %\nichtfinal{Das ist so Quatsch, m"u"ste Gek sein.} 
  Ein Morphismus in $\op{Ab}_{\sslash{\op{Ger}}}$ alias
  ein Opkomorphismus von Modulgarben hei"se {\bf eigentlich}, wenn der
  zugrundeliegende Opkomorphismus von abelschen Garben eigentlich ist im Sinne
  von \eref{eigK}{TG}.  Das multiplikative System der
  eigentlichen Opkomorphismen von Modulgarben
  notieren wir $$\op{Ab}^\shriek_{\sslash{\op{Ger}}}$$ 
  Man verallgemeinere nun "Ubung \eref{ReOp}{TG} zu
  Modulgarben auf geringten R"aumen.
  Gegeben sei also "uber einem Quadrat $fq=pg$ von
  geringten R"aumen, das als Diagramm von topologischen
  R"aumen kartesisch ist,  ein Diagramm von Modulgarben und Opkomorphismen
  $\bar f\bar q=\bar p\bar g$.\label{ReOpM} 
  Man zeige:
  Sind die Horizontalen $\bar p,\bar q$
  kartesisch 
  und ist $\bar f$ eigentlich,
  so ist auch  $\bar g$ eigentlich.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}[\textbf{Injektive Modulgarben}] 
  Die Kategorie der Modulgarben auf einem geringten Raum ist
  abelsch und hat genug injektive Objekte. Des weiteren sind
  alle injektiven Modulgarben welk. Hinweis: Wie bei abelschen Garben,
  nur bettet man\label{IjMg} 
  zun"achst alle Halme in injektive Moduln "uber dem Halm der Ringgarbe ein
  und bildet dann  das Produkt der Wolkenkratzer dieser injektiven Moduln.
\end{Ubung}


  \subsection{Formeln f"ur banale Trennfaserungen
    $\otimes,{\Rrightarrow},f^*, f_*,\underline{X}$}

\begin{Bemerkungl} Ein besonders "ubersichtlicher
  Fall, in dem sich viele der folgenden
  Aussagen gut einsehen lassen, ist die zur Schmelzkofaserung
  $\op{Ab}_{/\curlyvee{\op{Kring}}}\ra \curlyvee{\op{Kring}}$ 
  der Moduln "uber Kringen aus \ref{MoSKF} opponierte Trennfaserung.
 Das ist auch die Einschr"ankung unserer\label{AbKr} 
  Opmodulgarbentrennfaserung auf den Fall einpunktiger R"aume.
  Weil dies Beispiel oft vorkommen wird,
   vereinbaren wir die Abk"urzung\index{Kringo@$\op{Kringo}$ opponierte Kringe} 
  $\op{Kringo}\pdef \op{Kring}^{\op{opp}}$
   und notieren unsere Trennfaserung
   $$\op{Ab}_{\sslash\curlywedge{\op{Kringo}}}\ra \curlywedge{\op{Kringo}}$$
  Diese Trennfaserung ist eine Bifaserung. Die Linksadjungierten der R"uckz"uge l"angs opponierter Ringhomomorphismen,
  also die Linksadjungierten der Skalarerweiterungen
  auf opponierten Modulkategorien, sind die Restriktionen der
  Skalare.
 \end{Bemerkungl}
  
\begin{Bemerkungl}
  Eine Trennfaserung "uber einer banalen Trennkategorie nennen wir
  kurz eine\label{TFbT} 
  {\bf banale Trennfaserung}.\index{banal!Trennfaserung}\index{Trennfaserung!banale}
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Gegeben eine banale Trennfaserung  $\mathscr G\ra\curlywedge\mathscr T$
  oder allgemeiner ein
  Trennfunktor
  zu einer banalen Trennkategorie erkl"aren wir seine
  {\bf Faser}\index{Faser!von Trennfunktor} "uber einem Objekt
  $X\in \mathscr T$
  als die Trennkategorie $\mathscr G_X$ aller Objekte "uber $X$ mit
  nur solchen Trennungen,\label{FTFu}  die "uber Tupeln aus Identit"aten auf $X$
  liegen. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiele}  Im Fall der Opgarbentrennfaserung ist die Faser
  $\op{Ab}_{\sslash X}$ "uber einem
  topologischen Raum $X$ die opponierte Trennkategorie zur Schmelzkategorie der
  abelschen Garben auf $X$. Im Fall der Opmodultrennfaserung ist die
  Faser $\op{Ab}_{\sslash R}$  "uber einem
  Kring  $R\in \op{Kringo}$
  die opponierte Trennkategorie zur Schmelzkategorie der
  $R$-Moduln. 
\end{Beispiele}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Faserweises Tensorprodukt}]
  Gegeben  $\mathscr G\ra\curlywedge\mathscr T$
  eine \hyperref[TFbT]{banale Trennfaserung}
 hat jede Faser $\mathscr G_X$ 
stabil universelle Trennungen, n"amlich die kartesischen Lifts
derjenigen Trennungen der Basis, die Tupel von Kopien der Identit"at auf $X$ sind.
Wir notieren  $$\mathcal F_1\otimes\ldots\otimes\mathcal F_r\ra \mathcal F_1\curlywedge\ldots\curlywedge\mathcal F_r
$$ den
kartesischen Lift von\label{schmkL} 
$(\op{id},\ldots,\op{id}):X\ra X\curlywedge\ldots\curlywedge X$,
der in $\mathcal F_1\curlywedge\ldots\curlywedge\mathcal F_r$ landet.
Wir vereinbaren
im Fall $r=0$ die Notation $u_X: \underline{X}\ra \curlywedge$
f"ur den kartesischen Lift der Leertrennung $l_X:X\ra \curlywedge$,
also $$\underline{X}=l_X^\dagger (\curlywedge)$$
Die  opponierte Schmelzkategorie
notieren wir in diesem Kontext 
$$\mathscr G_{/X}\pdef \mathscr G_X^{\op{opp}}$$
Statt $\otimes$ schreiben wir
 manchmal ausf"uhrlicher
$\otimes_X$.\index{)8a@$\otimes$ Tensorprodukt!$\otimes_X$ relatives in Trennfaserung} 
 Das Eins\-ob\-jekt einer derartigen Schmelzkategorie ist dann das konstante Objekt $\underline{X}\in \mathscr G_{/X}$ mit der Leerverschmelzung
 $u_X^\circ:\curlyvee\ra \underline{X}$,\index{)7a@$\underline{X}$ Einsobjekt}  durch die es auch erst
eindeutig bestimmt ist bis auf eindeutigen Isomorphismus.
Den vom einfachem R"uckzug $f^\dagger: \mathscr G_{Y}\ra \mathscr G_{X}$ unter $f:X\ra Y$
auf den opponierten Kategorien induzierten Funktor notieren wir
$$f^\ast\pdef (f^\dagger)^{\op{opp}}: \mathscr G_{/Y}\ra \mathscr G_{/X}$$ 
Offensichtlich hat  $f^\dagger$ genau dann einen Linksadjungierten
$f_\dagger$, wenn der R"uckzug
$f^\ast$ auf den opponierten Fasern  einen Rechtsadjungierten $f_*$ hat.
Wir nennen ihn den {\bf Vorschub unter $f$}\index{Vorschub!zu Trennfaserung}
und sprechen von einer {\bf banalen Trennfaserung mit Vorschub},\index{Trennfaserung!banale!mit Vorschub} wenn f"ur jede Einstrennung der Basis so ein
Linksadjungierter $f_\dagger$ beziehungsweise
Rechtsadjungierter $f_*$ existiert. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Notation}] 
  Die Notationen $\mathscr G_{/X}$ und $(f^*,f_*)$ f"uhre ich ein,
  damit wir uns in den "ublichen Anwendungsf"allen in der "ublichen
  Notation wiederfinden. Typisch ist f"ur uns die Situation einer
  {\bf banalen Trennfaserung mit Adjungierten},
  bei der wir sowohl f"ur alle Morphismen der Basis die Existenz von
  Adjungierten der R"uckz"uge fordern, wir notieren sie $f_\dagger$ auf den
  Fasern beziehungsweise $f_*$\label{TfAd} 
  auf den opponierten Fasern,
  als auch internes Hom in allen opponierten Fasern,  wir notieren es
  ${\Rrightarrow}$ oder ausf"uhrlicher ${\Rrightarrow}_{X}$.
  In konkreten  Beispielen notieren wir die Ausgangskategorie
  unserer Trennfaserung meist in der Form $\mathscr G=\op{Was}_{\sslash\op{Banal}}$
  und die Faser "uber einem Objekt  $X\in\op{Banal}$ dann $\mathscr G_X=\op{Was}_{\sslash X}$ und die
  opponierte Faser $\mathscr G_{/X}=\op{Was}_{/ X}$. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl} Zun"achst einmal liefert jede banale
  Trennfaserung  eine
   gew"ohnliche Faserung zwischen den jeweiligen einfachen Katgorien. Damit
   gelten alle in \eref{BaWW}{TG} folgende besprochenen Aussagen
   zum Basiswechsel.  Im folgenden besprechen wir dar"uber hinausgehende 
   Formeln und Identit"aten. 
  \end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Tensorprodukt und R"uckzug}]
  Gegeben ein Morphismus $f:X\ra Y$ in einer Kategorie $\mathscr T$ gilt in der
  banalen Trennkategorie\label{VTRP} $\curlywedge \mathscr T$ 
die Identit"at
$$(\op{id}_Y,\op{id}_Y)\circ f=(f,f)=(f\curlywedge f)\circ(\op{id}_X,\op{id}_X)$$
von Zweitrennungen $X\ra Y\curlywedge Y$. 
Graphisch mag man sie, ohne da"s ich dem eine allzu
pr"azise Bedeutung geben will,
darstellen als das 
 Diagramm
$$
\xymatrix{&X\ar@{..>}[rr]&&Y\\
  X\ar[rr]\ar@{-->}[rrru]\ar@{-->}[rrrd]\ar@{..>}[ru]\ar@{..>}[rd]&&Y\ar[ru]\ar[rd]&\\
  &X\ar@{..>}[rr]&&Y
}$$
Ist nun $\mathscr G\ra\curlywedge\mathscr T$ eine Trennfaserung und
schreiben
wir f"ur $\mathcal F, \mathcal G\in\mathscr G_Y$ den kartesischen Lift 
von $(f,f)$
nach $\mathcal F\curlywedge \mathcal G$ auf die beiden entsprechenden
 Weisen als 
 Verkn"upfung kartesischer Lifts, so
 erhalten wir  in $\mathscr G_X$ einen  Isomorphismus
 $f^\dagger (\mathcal F\otimes\mathcal G)\sira
 (f^\dagger \mathcal F)\otimes (f^\dagger\mathcal G)$
 und in unseren neuen Notationen
 in $\mathscr G_{/X}$ einen  Isomorphismus
 $$\op{idf}:(f^* \mathcal F)\otimes (f^*\mathcal G)
 \sira f^* (\mathcal F\otimes\mathcal G)$$
 Die Notation $\op{idf}$ ist dadurch motiviert, da"s dieser Isomorphismus
 aus Identifikationen \eref{idi}{TG} einer Faserung oder
 genauer Trennfaserung zusammengesetzt ist.
 Etwas feiner liefert dieser Formalismus, da"s der R"uckzug
 $f^*:\mathscr G_{/Y}\ra \mathscr G_{/X}$
 vertr"aglich ist mit universellen Verschmelzungen. Wir erhalten
 durch Anwendung auf den Fall universeller Leerverschmelzungen alias
 \glqq leerer Tensorprodukte\grqq\ 
 insbesondere unsere
 Isomorphismen $\underline{X}\sira f^*\underline{Y}$ zur"uck.
 Ich erinnere daran,
 da"s wir bereits aus \ref{schmkL} wissen, da"s unter unseren Annahmen die opponierten
 Fasern $\mathscr G_{/X}$ sogar stabil universelle Verschmelzungen haben.
\end{Bemerkungl}




\begin{Beispiel}
  Im Spezialfall der  Opgarbentrennfaserung 
  $\op{Ab}_{{\sslash}\curlywedge{\op{Top}}}\ra \curlywedge {\op{Top}}$ 
 aus \ref{SaGg} spezialisiert die Konstruktion \ref{VTRP} zu
 einem
  Isomorphismus zwischen dem zur"uckgeholten Tensorprodukt und
  dem Tensorprodukt der zur"uckgeholten Garben.
  Im Fall der  Opmodultrennfaserung 
 $\op{Ab}_{{\sslash}\curlywedge{\op{Kringo}}}\ra \curlywedge {\op{Kringo}}$
 ist $f^*$ die Skalarerweiterung und unsere Konstruktion
 spezialisiert f"ur $f\in\op{Kringo}(A,B)$ alias einen Kringhomomorphismus $f^\circ:B\ra A$ zu einem Modulisomorphismus $$\op{idf}:(A\otimes_BF)\otimes_A(A\otimes_BG)\sira A\otimes_B(F\otimes_BG)$$
\end{Beispiel}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Internes Hom und Vorschub}]
  Gegeben seien eine  \hyperref[TFbT]{banale Trennfaserung}
  $\mathscr G\ra\curlywedge\mathscr T$ und ein Morphismus $f:X\ra Y$ in der Basis. F"ur jedes feste Objekt $\mathcal E\in \mathscr G_Y$
  betrachten wir die Funktoren $\mathscr G_Y\ra \mathscr G_X$
  gegeben durch
  $\mathcal G\mapsto f^\dagger \mathcal G\mapsto f^\dagger \mathcal E\otimes_X f^\dagger \mathcal G$ sowie $\mathcal G\mapsto \mathcal E \otimes_Y \mathcal G\mapsto f^\dagger (\mathcal E \otimes_Y \mathcal G)$.
  Unsere Vorgaben beinhalten eine  Isotransformation 
  zwischen diesen Funktoren. Diese Isotransformation hinwiederum induziert
  eine Isotransformation zwischen ihren Linksadjungierten, wenn 
  sie denn existieren, und in jedem Fall zwischen
  ihren partiellen Linksadjungierten.
Haben insbesondere die opponierten Fasern $\mathscr G_{/X},\mathscr G_{/Y}$ 
internes Hom ${\Rrightarrow}$\index{)4@$\Rrightarrow_X$ internes Hom in Faser}  
und hat $f^\dagger $ einen Linksadjungierten $f_\dagger $ alias
$f^*$ einen Rechtsadjungierten $f_*$,
 so erhalten
  wir\label{ngtR}
  f"ur $\mathcal E\in \mathscr G_{/Y}$ und $\mathcal F\in \mathscr G_{/X}$
  einen Isomorphismus 
  $$\op{adf}:f_* (f^* \mathcal E{\Rrightarrow} \mathcal F)\;\sira\; (\mathcal E{\Rrightarrow} f_* \mathcal F)$$
 Wir nennen diesen
  Isomorphismus
  die {\bf Adjunktionsformel f"ur internes Hom}.\index{Adjunktionsformel!f"ur internes Hom} Wir notieren ihn $\op{adf}$,\index{adf@$\op{adf}$ Morphismen aus Identifikationen und Adjunktionen} weil er aus den Identifikationen
  einer Trennfaserung und einigen Adjunktionen entsteht.  Gegeben $\mathcal G\in \mathscr G_{/X}$ erhalten wir daraus, indem wir die Koeinheit der Adjunktion $f^*f_*\mathcal G\ra \mathcal G$ vorschalten, einen 
  Morphismus $$\op{adf}:f_* ( \mathcal G{\Rrightarrow} \mathcal F)\;\ra\;  (f_*\mathcal G{\Rrightarrow} f_* \mathcal F)$$
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}
  Im Fall der  Opmodultrennfaserung 
 spezialisiert die Adjunktionsformel f"ur internes Hom 
 f"ur $f\in\op{Kringo}(A,B)$ alias $f^\circ:B\ra A$  ein Kringhomomorphismus zu
 einem Modulisomorphismus
 $$\op{adf}:\op{res}_A^B\op{Hom}_A(A\otimes_BE,F)\sira \op{Hom}_B(E,\op{res}_A^BF)$$
\end{Beispiel}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Internes Hom und R"uckzug}]
   Gegeben seien eine  \hyperref[TFbT]{banale Trennfaserung}
  $\mathscr G\ra\curlywedge\mathscr T$  und ein Morphismus\label{fuiH} $f:X\ra Y$ in der Basis.   
  "Ubung \eref{fIH}{TSK} liefert 
 f"ur
je zwei Objekte $\mathcal E,\mathcal G\in \mathscr G_{/Y}$, f"ur die die fraglichen internen Hom-Objekte existieren,
einen  Morphismus
 $$\op{adf}:f^* (\mathcal E{\Rrightarrow} \mathcal G)\ra (f^* \mathcal E{\Rrightarrow} f^* \mathcal G)$$
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}
   Im Spezialfall der  Opmodultrennfaserung 
 spezialisiert diese Konstruktion
 f"ur $f\in\op{Kringo}(A,B)$ alias einen Kringhomomorphismus $f^\circ:B\ra A$
 zu einem  Modulhomomorphismus\label{fuiRi}
 $$\op{adf}:A\otimes_B\op{Hom}_B(E,G)\ra \op{Hom}_A(A\otimes_BE,A\otimes_BG)$$
\end{Beispiel}
\begin{Bemerkungw} Der Morphismus aus \ref{fuiRi}
  ist, das sei vorerst nur am Rande bemerkt,
 zum Beispiel dann ein Isomorphismus f"ur alle $E$ und $G$,
 wenn $A$ ein endlich erzeugter
 projektiver $B$-Modul ist.
 Das wird sich als Anwendung von \ref{vRiH} erweisen, wo gezeigt wird,
 da"s das immer gilt, wenn eine uns noch unbekannte
 nat"urliche Transformation eine
 Isotransformation $f^!{\siRa}f^*$ ist.
\end{Bemerkungw}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Dualisieren und R"uckzug}]
   Gegeben eine  \hyperref[TFbT]{banale Trennfaserung}
  $\mathscr G\ra\curlywedge\mathscr T$\label{fuiD} und 
   ein Morphismus der Basis $f:X\ra Y$ sowie
   $\mathcal E\in \mathscr G_{/Y}$ derart,
   da"s $\mathcal E$ und $f^*\mathcal E$ dualisierbar
   sind, da"s also wie in \eref{duo1}{TSK} die internen Homobjekte
   zu den jeweiligen Einsobjekten existieren,
   liefern unsere  Morphismen \ref{fuiH} vom
   R"uckzug eines internen Hom in das interne Hom der R"uckz"uge
   zusammen mit dem Isomorphismus \ref{VTRP} zwischen
   der Eins von $\mathscr G_{/X}$ und dem R"uckzug
   der Eins von $\mathscr G_{/Y}$ einen  Morphismus
   $$\op{adf}:f^*(\mathcal E^\vee)\ra (f^*\mathcal E)^\vee$$
\end{Bemerkungl}


\begin{Beispiel}
   Im Spezialfall der  Opmodultrennfaserung 
 spezialisiert diese Konstruktion
 f"ur $f\in\op{Kringo}(A,B)$ alias einen Kringhomomorphismus $f^\circ:B\ra A$
 zu einem  $A$-Modulhomomorphismus
$$\op{adf}:A\otimes_B\op{Hom}_B(E,B)\ra \op{Hom}_A(A\otimes_BE,A)$$
\end{Beispiel}









\begin{Bemerkungl}[\textbf{Internes Hom und R"uckzug im starren Fall}]
  Seien  $\mathscr G\ra\curlywedge\mathscr T$ eine  \hyperref[TFbT]{banale Trennfaserung}\label{fuiHS}  und  $f:X\ra Y$ ein Morphismus in der Basis. Da der R"uckzug $f^*$ nach \ref{VTRP} mit universellen Verschmelzungen vertauscht, macht $f^* $ nach \eref{ESSC}{TSK} starre Objekte  von $\mathscr G_{/Y}$ zu starren Objekten von $\mathscr G_{/X}$ und der Morphismus aus \ref{fuiH} spezialisiert
  f"ur starres $\mathcal E$ und $\mathcal G\pdef\mathbb I_Y=\underline{Y}$ zu einem Isomorphismus
  $\op{adfs}:f^* (\mathcal E^\vee)\sira (f^* \mathcal E)^\vee$.
  Hier erg"anze ich die Notation $\op{adf}$ um ein $\op{s}$, weil zus"atzlich Starrheit verwendet wird.\index{adfs@$\op{adfs}$ Morphismen vom Typ $\op{adf}$ unter Verwendung von Starrheitsannahmen} 
  Im Fall eines starren Objekts $\mathcal E$ ist des weiteren unser Morphismus 
  in \ref{fuiH}  ein Isomorphismus $$\op{adfs}:f^* (\mathcal E{\Rrightarrow} \mathcal G)\sira (f^* \mathcal E{\Rrightarrow} f^* \mathcal G)$$
  In der Tat k"onnen wir n"amlich besagten Morphismus
  schreiben  als die Ver\-kn"upf\-ung von
  Isomorphismen
  $$f^* (\mathcal E{\Rrightarrow} \mathcal G)
  \sira
  f^* (\mathcal E^\vee\otimes \mathcal G)
  \sira
  f^* (\mathcal E^\vee)\otimes f^* \mathcal G
  \sira
  (f^* \mathcal E)^\vee\otimes f^* \mathcal G
  \sira
  (f^* \mathcal E{\Rrightarrow} f^* \mathcal G)$$
 Hier sollte ausgeschrieben werden, warum diese Verkn"upfung
  wirklich besagten Morphismus liefert. Das mag einmal ein Student ausf"uhren.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}
   Im Spezialfall der  Opmodultrennfaserung 
   sind etwa freie endlich erzeugte, ja allgemeiner
   projektive  endlich erzeugte Moduln starr und f"ur solche $E$
    liefert unsere Konstruktion oben in der
   Tat einen Isomorphismus
$$\op{adfs}:A\otimes_B\op{Hom}_B(E,G)\sira \op{Hom}_A(A\otimes_BE,A\otimes_BG)$$
\end{Beispiel}
\begin{Bemerkungw} In \eref{OLHo}{TSS} zeigen wir, da"s unser Morphismus
  in der derivierten Opgarbentrennfaserung der abelschen Garben
  f"ur den R"uckzug unter einer garbenguten Abbildung  $f$ stets
  ein Isomorphismus  $f^* (\mathcal E{\Rrightarrow} \mathcal G)
  \sira (f^* \mathcal E{\Rrightarrow} f^* \mathcal G)$ ist.
\end{Bemerkungw}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Vorschub und Tensorprodukt}] 
  Seien $\mathscr G\ra\curlywedge\mathscr T$
  eine  \hyperref[TFbT]{banale Trennfaserung}\label{fuiHS}
  und  $f:X\ra Y$ ein Morphismus in der Basis.  Gibt es in \ref{VTRP} einen Vorschub $f_\dagger$ zu $f$, so ist er wie bereits
  in \ref{ViT} erw"ahnt ein starker Vorschub und auch $f_\dagger\curlywedge f_\dagger$ ist ein starker Vorschub zu $f\curlywedge f$ in der Familienkategorie.
  Basiswechsel im  Quadrat $(\op{id}_Y,\op{id}_Y)\circ f=(f\curlywedge f)\circ(\op{id}_X,\op{id}_X)$ ist dann ein Morphismus
  $\op{adf}:f_\dagger (\mathcal F\otimes \mathcal E)\ra f_\dagger \mathcal F\otimes  f_\dagger \mathcal E$ alias in den opponierten Kategorien notiert\label{NatTT}
  $$\op{adf}:f_* \mathcal F\otimes  f_* \mathcal E\ra f_* (\mathcal F\otimes \mathcal E)$$ Man mag zur "Ubung\label{AdSCH} zeigen, da"s hier $f_*$ sogar 
in nat"urlicher Weise ein  Schmelzfunktor wird.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}
  Im Spezialfall der  Opmodultrennfaserung 
   spezialisiert der Morphismus aus \ref{AdSCH}
   f"ur einen Kringhomomorphismus $f^\circ:B\ra A$  
   zu einem Homomorphismus 
   $$\op{adf}:(\op{res}_A^BF)\otimes_B(\op{res}_A^BE)\ra
   \op{res}_A^B(F\otimes_AE)$$
\end{Beispiel}

\begin{Beispiel}
  F"ur $f:(X,A)\ra (\op{pt},A)$
  den offensichtlichen Morphismus  einer endlichen konstant gekringten Menge $(X,A)$ auf die
  einpunktige gekringte Menge $(\op{pt},A)$ spezialisiert
  der  Morphismus aus \ref{AdSCH}  zur
  \glqq Projektion auf die Diagonale\grqq\
  $$\textstyle (\bigoplus_{x\in X}M_x)\otimes_A (\bigoplus_{y\in X}N_y)\sira
  \bigoplus_{x,y\in X}(M_x\otimes_A N_y)\sra
  \bigoplus_{x\in X}(M_x\otimes_A N_x)$$
\end{Beispiel}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Vorschub, R"uckzug und Tensorprodukt}] 
  Seien $\mathscr G\ra\curlywedge\mathscr T$
  eine  \hyperref[TFbT]{banale Trennfaserung}\label{fuiHS}
  und  $f:X\ra Y$ ein Morphismus in der Basis.  Gibt es in \ref{VTRP} einen Vorschub $f_\dagger$ zu $f$, so ist er wie bereits
  in \ref{ViT} erw"ahnt ein starker Vorschub. Der Basiswechsel  im  Quadrat $(\op{id}_Y,\op{id}_Y)\circ f=(f\curlywedge \op{id}_Y)\circ(\op{id}_X,f)$
  ist dann ein Morphismus
  $\op{adf}: f_{\dagger} (\mathcal F \otimes f^{\dagger} \mathcal G)
\ra f_{\dagger} \mathcal F \otimes \mathcal G$ alias in den opponierten
Kategorien notiert 
\begin{equation*}
\op{adf}:f_{*} \mathcal F \otimes \mathcal G \rightarrow 
 f_{*} (\mathcal F \otimes f^{*} \mathcal G)
\end{equation*}
\end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkungl}
   Im Spezialfall der  Opmodultrennfaserung 
   spezialisiert der  Morphismus aus \ref{fuiHS}
   f"ur einen Kringhomomorphismus $f^\circ:B\ra A$
   zu einem Isomorphismus\label{pfMOD}  
   $$\op{adf}:(\op{res}_A^BF)\otimes_BG\sira
   \op{res}_A^B(F\otimes_A(A\otimes_BG))$$ 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungw} Da"s unser Morphismus aus \ref{fuiHS}
  im Fall der Opmodultrennfaserung zu einem Isomorphismus spezialisiert
  kann als ein Spezialfall der 
   Projektionsformel $f_{!} \mathcal F \otimes \mathcal G \sira 
 f_{!} (\mathcal F \otimes f^{*} \mathcal G)$
 verstanden werden, genauer als die Projektionsformel
 f"ur die banale pr"atrennverflochtene  Trennaustauschsituation \ref{PTV} 
    zur Opmodultrennfaserung, in der alle Morphismen
    Eigmorphismen sind und in der folglich gilt $f_*=f_!$.
\end{Bemerkungw}



\begin{Beispiel} Im Fall der Opgarbentrennfaserung
   mit $f:X\ra Y$ der konstanten Abbildung eines unendlichen diskreten Raums 
   auf den einpunktigen Raum ist unsere Garbe $\mathcal F$ eine durch $x\in X$
   indizierte Familie von abelschen Gruppen $F_x$ und $\mathcal G$
   eine weitere abelsche Gruppe $G$. Der
   Morphismus aus \ref{fuiHS} spezialisiert zu einem
   Homomorphismus\label{natMM}  $$\op{adf}:\left(\prod_{x\in X} F_x\right)\otimes_\DZ G\ra \left(\prod_{x\in X} F_x\otimes_\DZ G\right)$$
   und ist im allgemeinen kein Isomorphismus, etwa f"ur $G=\DQ$.
   F"ur $G$ frei und endlich erzeugt ist er aber doch wieder ein Isomorphismus.
   Da"s das allgemein f"ur starres $\mathcal G$ gilt, diskutieren wir
   als n"achstes.
  \end{Beispiel}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Vorschub, R"uckzug und Tensorprodukt im starren Fall}]
   Gegeben seien eine banale Trennfaserung\label{fui}   
   $\mathscr G\ra \curlywedge \mathscr T$
   und ein Morphismus $f:X\ra Y$ in der Basis.
  Hat der R"uckzug $f^* $ auf den opponierten Fasern einen Rechtsadjungierten $f_* $, so sind die Morphismen
  aus \ref{NatTT}  f"ur starres $\mathcal G$ Isomorphismen 
  $$\op{adfs}: f_* \mathcal F\otimes \mathcal G\;\sira\;f_* (\mathcal F\otimes f^* \mathcal G)$$
Das erkennen wir, indem wir
  unsere Isomorphismen aus \ref{ngtR} zu
  $\mathcal E\pdef \mathcal G^\vee$ spezialisieren. 
Ein Student mag die Details ausschreiben.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}
  Im Fall einer abelschen Garbe $\mathcal G$ auf einem topologischen Raum,
  die lokal frei ist von endlichem Rang, spezialisieren die in  \ref{fui}
  besprochenen Isomorphismen
   zu Isomorphismen\label{PrFFO} von abelschen Garben $$\op{adfs}: f_\ast\mathcal F\otimes\mathcal G\;\sira\; f_\ast(\mathcal F\otimes f^*\mathcal G )$$
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungl}
  Gegeben ein Trennfunktor $T:\mathscr M\ra \mathscr N$
  sei  ein {\bf Trennschnitt}\index{Trennschnitt}  ein
  Trennfunktor $S: \mathscr N\ra \mathscr M$ mit $TS=\op{Id}$.
  Ein Trennschnitt hei"se {\bf kartesisch}\index{Trennschnitt!kartesischer},
  wenn er beliebige Trennungen zu kartesischen Trennungen macht.
Jeder kartesische Trennschnitt einer Trennfaserung macht nach \ref{sSkk} stabil
universelle Trennungen zu stabil universellen Trennungen.\label{kttr}  
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Wir sagen, eine Trennkategorie  {\bf  habe eindeutige Leertrennungen},
  wenn von jedem Objekt $X$ genau eine Leertrennung $l_X:X\ra \curlywedge$
  ausgeht. Zum Beispiel hat jede
  banale Trennkategorie eindeutige Leertrennungen.\label{eLt}
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Eine banale Trennfaserung  $\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T$\label{eTs}
   besitzt einen bis auf eindeutige Isotransformation eindeutig bestimmten\index{kartesischer Schnitt!einer Trennfaserung}
kartesischen Trennschnitt, n"amlich den  Trennfunktor $u:\curlywedge\mathscr T\ra \mathscr G$, der jedem
  Objekt $X$ der Basis dasjenige Objekt $$\underline{X}\pdef l_X^\dagger (\curlywedge)$$
  der Faser zuordnet, von dem der
  kartesische Lift der  eindeutigen Leertrennung 
  ausgeht, und jeder\label{kklT} 
  Trennung in der Basis ihren kartesischen Lift.  
Wir nennen ihn dann mit einem bestimmten Artikel 
{\bf den kartesischen Trennschnitt} und notieren 
 ihn\index{)7a@$\underline{X}$ konstantes Objekt} wie zuvor 
  $$u:X\mapsto\underline{X}$$
 Wir nennen $\underline{X}\in\mathscr G_X$ das
 {\bf konstante Objekt auf $X$}\index{konstant!Objekt} und notieren 
 die zugeh"orige kartesische Leertrennung "uber $l_X$ als
 $u_X\pdef u(l_X):\underline{X}\ra \curlywedge$.
 Gegeben  $\mathcal F\in \mathscr G_X$
 liefert das Nachschalten von $u_X:\underline{X}\ra \curlywedge$
 per definitionem eine  Bijektion
 $\mathscr G_X(\mathcal F,\underline{X})\sira
 \mathscr G_{l_X}(\mathcal F,\curlywedge)=
 \mathscr G(\mathcal F,\curlywedge)$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkunge} Analoges gilt allgemeiner f"ur jede Trennfaserung 
  "uber einer Trennkategorie mit eindeutigen Leertrennungen. 
\end{Bemerkunge}

 


\begin{Beispiel}
  Der  kartesische Trennschnitt der in \ref{mgtf}
  eingef"uhrten \hyperref[mgtf]{Men\-gen\-gar\-ben\-trenn\-fa\-se\-rung}
  $\curlywedge{\op{Ens}}_{/{\op{Top}}}\ra\curlywedge{\op{Top}}$
  ordnet jedem Raum $X$ als konstantes Objekt $\underline{X}$ die 
  finale 
  Mengengarbe auf $X$ zu, also die Mengengarbe mit der Identit"at als
  zugeh"origer \'etaler Abbildung, zusammen mit dem durch die
  Identit"at gegebenen globalen Schnitt alias der
  zugeh"origen Leertrennung $u_X:\underline{X}\ra \curlywedge$
  in $\curlywedge{\op{Ens}}_{/{\op{Top}}}$. 
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}
  Der  kartesische Trennschnitt
  der in \ref{MFoll} eingef"uhrten \hyperref[SaGg]{Opgarbentrennfaserung}
  $\op{Ab}_{\sslash\curlywedge{\op{Top}}}\ra \curlywedge{\op{Top}}$
  ordnet jedem Raum $X$
  als konstantes Objekt $\underline{X}$ die
  konstante abelsche Garbe  $\underline{X}=\DZ_X$ zu mit
  derjenigen Leertrennung,  die unter unserer
  Bijektion aus \ref{SaGg} zwischen Leertrennungen und globalen Schnitten
  ihrem globalen Schnitt $1_X$ entspricht.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}
  Der kartesische Trennschnitt der in \ref{MOFF} eingef"uhrten
  und in \ref{AbKr} wiederholten Opmodultrennfaserung
  $\op{Ab}_{\sslash{\curlywedge\op{Kringo}}}\ra \curlywedge{\op{Kringo}}$
  ordnet jedem   Kring $R$
  als konstantes Objekt $\underline{R}$ den $R$-Modul $R$ zu
  mit derjenigen Leertrennung,  die  durch
  das Einselement $1\in R$ gegeben wird.
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Leertrennungen und finale Objekte}]
  Sei  $\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T$  eine banale Trennfaserung.
  Nach \ref{kttr} macht ihr kartesischer Trennschnitt  wie jeder
 kartesische Trennschnitt 
stabil universelle Trennungen zu stabil universellen Trennungen.
Gibt es  ein\label{koLI} finales Objekt $\op{pt}$ in der Basis $\mathscr T$,
so ist 
  $\op{pt}\ra \curlywedge$ eine universelle Leertrennung
und  deren kartesischer Lift 
 ist nach dem vorhergehenden  eine universelle Leertrennung
  $\underline{\op{pt}}\ra \curlywedge$ in $\mathscr G$.
  Deren Nachschalten liefert folglich  eine Bijektion\label{NUT}
  $$\mathscr G(\mathcal F,\underline{\op{pt}})\sira
  \mathscr G(\mathcal F,\curlywedge)$$
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkunge} Analoges gilt allgemeiner f"ur jede Trennfaserung 
  "uber einer Trennkategorie mit eindeutigen Leertrennungen und mit einer
  stark universellen Leertrennung in der Basis. 
\end{Bemerkunge}


\begin{Beispiel}
  Im Fall der Opgarbentrennfaserung in $\op{pt}$ ein finales Objekt der Basis
  und wir erhalten so 
   Bijektionen
   $$\op{Ab}_{\sslash{\op{Top}}}(\mathcal F,\DZ_{\op{pt}})\sira \op{Ab}_{\sslash{\op{Top}}}(\mathcal F,\curlywedge)$$
\end{Beispiel}
  \begin{Beispiel} Im  Fall der Opmodultrennfaserung ist $\DZ$ ein finales Objekt von
   $\op{Kringo}$ und wir erhalten so
  Bijektionen $$\op{Ab}_{\sslash{\op{Kringo}}}(M,\DZ)\sira \op{Ab}_{\sslash{\op{Kringo}}}(M,\curlywedge)$$
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Leertrennungen und Vorschub}] 
  Sei  $\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T$  eine banale Trennfaserung.
  Besitzt 
  f"ur einen Morphismus der Basis $f:X\ra Y$ 
  der R"uckzug $f^\dagger:\mathscr G_Y\ra \mathscr G_X$ einen
  Linksadjungierten $f_\dagger$, so ist er ein starker Vorschub wie in
  \ref{ViT} erw"ahnt und wegen
  $l_X=l_Yf$  finden wir f"ur 
  $\mathcal F\in \mathscr G_X$ Bijektionen\label{NUV}
  $$\mathscr G(\mathcal F,\curlywedge)\sira\mathscr G_{l_X}(\mathcal F,\curlywedge)
  \sira\mathscr G_{l_Y}(f_\dagger \mathcal F,\curlywedge)\sira\mathscr G(f_\dagger \mathcal F,\curlywedge)$$
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkunge} Analoges gilt allgemeiner f"ur jede Trennfaserung 
  "uber einer Trennkategorie mit eindeutigen Leertrennungen.
\end{Bemerkunge}

\begin{Beispiel}
  Im Fall der Opgarbentrennfaserung  erhalten wir so 
   die offensichtlichen Bijektionen
   $$\Gamma(\mathcal F)\sira \Gamma(f_*\mathcal F)$$
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}
  Im  Fall der Opmodultrennfaserung erhalten wir so 
   die offensichtlichen Bijektionen 
   $$M\sira \op{res}_A^BM$$
   f"ur die Restriktion eines $A$-Moduls $M$ zu einem $B$-Modul
   unter
   einem Kringhomomorphismus $f^\circ:B\ra A$. 
\end{Beispiel}
 
 

\subsubsection*{"Ubungen}

\begin{Ubung}[\textbf{Vorschub auf finales Objekt als Trennfunktor}]
  Sei $\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T$ eine banale Trennfaserung
  mit Vorsch"uben und $\mathscr T$ habe ein finales Objekt $\op{pt}$.
  So\label{VfTF} erhalten wir einen Trennfunktor
  $$c_\dagger:\mathscr G\ra \mathscr G_{{\op{pt}}}$$
  durch die Vorschrift, da"s jedes Objekt $\mathcal F\in\mathscr G_{X}$
  auf $c_{\dagger}\mathcal F$ abgebildet wird f"ur $c=\op{fin}:X\ra\op{pt}$ und
  jede Trennung $\phi:\mathcal F\ra \mathcal G_1\curlywedge\ldots
  \curlywedge\mathcal G_r$ "uber einer Trennung
  $(f_1,\ldots,f_r):X\ra Y_1\curlywedge\ldots\curlywedge Y_r$
  auf die durch die stark kokartesische Eigenschaft
  \eref{stKK}{TG} von $\mathcal F\ra c_\dagger \mathcal F$ in Bezug auf
  den Funktor auf den Familienkategorien
  $\mathscr G^\curlywedge\ra (\curlywedge\mathscr T)^\curlywedge$
  bestimmte Trennung 
  $c_\dagger \mathcal F\ra  c_{1\dagger} \mathcal G_1\curlywedge\ldots\curlywedge
 c_{r\dagger} \mathcal G_r$
 "uber der Trennung $({\op{id}},\ldots,{\op{id}}):{\op{pt}}\ra
 {\op{pt}}\curlywedge\ldots\curlywedge {\op{pt}}$ mit der
 Notation $c_i:Y_i\ra \op{pt}$ f"ur den jeweils
 einzigen Morphismus. Auf den opponierten Schmelzkategorien
 erhalten wir so einen Schmelzfunktor
 $$c_*:\mathscr G^{\op{opp}}\ra \mathscr G_{{\op{pt}}}^{\op{opp}}$$
 Nach \ref{NUV} ist er {\bf volltreu auf Leerverschmelzungen} in dem Sinne,
 da"s er Bijektionen $$\mathscr G^{\op{opp}}(\curlyvee, \mathcal F)\sira
 \mathscr G_{{\op{pt}}}^{\op{opp}}(\curlyvee, c_*\mathcal F)$$ induziert f"ur alle
 $\mathcal F\in\mathscr G$. Der Schmelzfunktor der Leerverschmelzungen
 von $\mathscr G^{\op{opp}}$  in die kartesische
 Schmelzkategorie der Mengen  \eref{SFNV}{TSK} faktorisiert mithin
 als $c_*$ gefolgt vom Schmelzfunktor der Leerverschmelzungen
 von $\mathscr G_{{\op{pt}}}^{\op{opp}}$ in die kartesische Schmelzkategorie der Mengen.
 Im Fall der Opgarbentrennfaserung \ref{SaGg}
 mag man $\mathscr G_{{\op{pt}}}^{\op{opp}}$ mit der Schmelzkategorie der abelschen
 Gruppen identifizieren und $c_*$ mit dem Funktor der globalen Schnitte.
 So folgt im Rahmen unseres Formalismus, da"s jede Verschmelzung
 von abelschen Garben "uber topologischen R"aumen eine multilineare
 Abbildung zwischen
 den jeweiligen R"aumen von globalen Schnitten induziert. 
\end{Ubung}
\begin{Ubung}  Sei $\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T$ eine banale
  Trennfaserung
  mit Vorsch"uben  und $\mathscr T$ habe ein finales Objekt $\op{pt}$.
 Schalten wir unserem Schmelzfunktor
  $\op{fin}_*:\mathscr G^{\op{opp}}\ra \mathscr G_{/{\op{pt}}}$ aus
  \ref{VfTF} den Opponierten
  $(\curlywedge \mathscr T)^{\op{opp}}\ra \mathscr G^{\op{opp}}$
  des kartesischen Trennschnitts nach \ref{eTs} vor, so erhalten wir einen
  Schmelzfunktor $$\curlyvee \mathscr T^{\op{opp}}\ra  \mathscr G_{/{\op{pt}}}$$
  Im Fall der Opgarbentrennfaserung $\op{Ab}_{\sslash{\op{Top}}}\ra \op{Top}$
  erhalten wir so den Schmelzfunktor $\curlyvee\op{Top}^{\op{opp}}\ra \op{Ab}$,
  der jedem Raum $X$ die Gruppe $\Gamma(\underline{X})$
  der lokal konstanten $\DZ$-wertigen Funktionen
  auf $X$ zuordnet und jedem Tupel von von $X$ ausgehenden stetigen Abbildungen
  die multiadditive Abbildung \glqq nimm das Produkt der
  zur"uckgezogenen Funktionen\grqq. 
\end{Ubung}

\begin{Ubung}
  Ich erinnere an die 
  Trennfaserung 
  $\op{Ab}_{\sslash {\op{Mon}}}\ra\curlywedge {\op{Mon}}$
  der Darstellungen von Monoiden aus \ref{DarMO}.
  Man zeige, da"s wir in den Fasern 
 "uber Gruppen   sogar Multihom haben.\label{MuHoG} 
\end{Ubung}



\begin{Ubung}[\textbf{\'Etaler R"uckzug von internem Hom}]
  Gegeben eine \'etale Abbildung $f:X\ra Y$ und abelsche Garben
  $\mathcal E,\mathcal G$ auf $Y$ ist der in \ref{fuiH} erkl"arte Morphismus
  ein Isomorphismus
  $$f^* (\mathcal E{\Rrightarrow} \mathcal G)\sira
  (f^* \mathcal E{\Rrightarrow} f^* \mathcal G)$$
  Dasselbe gilt f"ur Modulgarben auf geringten R"aumen\label{ErIh} 
  unter der Annahme, da"s $f:(X,\mathcal A)\ra (Y,\mathcal B)$ topologisch
  \'etale ist und der Komorphismus einen Isomorphismus
  $f^{*,\op{Ab}}\mathcal B\sira \mathcal A$ induziert. 
\end{Ubung}


\begin{Ubung}
   Gegeben seien eine \hyperref[TrnF]{Trennfaserung}
  $\mathscr G\ra\curlywedge\mathscr T$ zu
   einer banalen Trennkategorie  mit Vorschub nennen wir einen
   Morphismus $f:X\ra Y$ der Basis\label{prgut} 
   {\bf projektionsgut},\index{projektionsgut!Morphismus}
   wenn f"ur alle $\mathcal F\in \mathscr G_{/X}$ und alle
   $\mathcal G\in \mathscr G_{/Y}$ der in \ref{NatTT} erkl"arte Morphismus
   ein Isomorphismus \begin{equation*}
f_{*} \mathcal F \otimes \mathcal G \sira
 f_{*} (\mathcal F \otimes f^{*} \mathcal G)
   \end{equation*} ist. Man zeige,
   da"s die Verkn"upfung von zwei projektionsguten
   Morphismen auch selbst wieder projektionsgut ist. Hinweis:
   \begin{displaymath}
 \xymatrix{
   X \ar[d]\ar[r] &X\curlywedge Y \ar[d]\ar[r]&X\curlywedge  Z \ar[d]\\
   Y \ar[d]\ar[r] &Y\curlywedge Y \ar[r]&Y\curlywedge  Z \ar[d]\\
 Z\ar[rr] &&Z\curlywedge  Z \\
}
\end{displaymath}
\end{Ubung}









\subsection{Externes Tensorieren $\boxtimes$}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Externes Tensorieren alias Boxprodukt}]
   Gegeben eine  banale Trennfaserung $\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T$
  und in der Basis $\mathscr T$ zwei Objekte $X,Y$ mit Produkt
  $X\times Y$
  betrachten wir die Projektionszweitrennung $$(\op{pr}_X,\op{pr}_Y):X\times Y\ra X\curlywedge Y$$
  Gegeben $\mathcal F\in \mathscr G_X$
und $\mathcal G\in \mathscr G_Y$  erkl"aren wir dann $\mathcal F\boxtimes \mathcal G\in \mathscr G_{X\times Y}$\index{)xbox@$\boxtimes$ "au"seres Produkt!in Trennfaserung}
 als den R"uckzug
 $$\mathcal F\boxtimes \mathcal G\pdef (\op{pr}_X,\op{pr}_Y)^\dagger(\mathcal F\curlywedge \mathcal G)$$ und nennen\label{extT}
dies Objekt  ein {\bf Boxprodukt}.\index{Boxprodukt} 
Die dabei mitgelieferte Zweitrennung $\mathcal F\boxtimes \mathcal G\ra \mathcal F\curlywedge \mathcal G$ von $\mathscr G$ ist als stark kartesischer Lift
einer stabil universellen Trennung nach \ref{sSkk} auch stabil
universell.
F"ur $f:P\ra X$ sowie $g:Q\ra Y$ derart, da"s auch ein Produkt $P\times Q$ existiert,  liefert die universelle Eigenschaft weiter 
einen Isomorphismus $$\op{idf}:f^\dagger\mathcal F\boxtimes g^\dagger \mathcal G\sira (f\times g)^\dagger(\mathcal F\boxtimes \mathcal G)$$
Wir  notieren ihn $\op{idf}$, weil er aus den Identifikationen \eref{idi}{TG} einer Faserung zusammengesetzt ist.
Noch genauer k"onnten wir $\op{idf}=\op{idf}(f\times g,(\op{pr}_X,\op{pr}_Y))^{-1}\circ \op{idf}((\op{pr}_P,\op{pr}_Q), f\curlywedge g)$ schreiben, aber Genauigkeit
tr"agt nicht notwendig zur Transparenz bei.
Schreiben wir die Projektion $\op{pr}_Y:X\times Y\ra Y$ als Pro\-jek\-tions\-zwei\-tren\-nung
gefolgt von $l_X\curlywedge \op{id}_Y$ f"ur $l_X:X\ra \curlywedge$ die Leertrennung, in Formeln $\op{pr}_Y= (l_X\curlywedge \op{id}_Y)\circ (\op{pr}_X,\op{pr}_Y)$, so erhalten wir f"ur jedes $\mathcal G\in\mathscr G_Y$ einen
Isomorphismus $$\underline{X}\boxtimes \mathcal G\sira \op{pr}_Y^\dagger\mathcal G$$
Schreiben wir die Leertrennung $X\times Y\ra \curlywedge$ als 
Projektionstrennung gefolgt vom Zweitupel $l_X\curlywedge l_Y$
aus  Leertrennungen
$X\times Y\ra X\curlywedge Y \ra (\curlywedge)\curlywedge(\curlywedge)=\curlywedge$,
 so
ist die zugeh"orige Identifikation ein Isomorphismus   
$$\underline{X\times Y}\sira \underline{X}\boxtimes\underline{Y}$$
In unserer opponierten Notation erhalten wir dieselben 
Isomorphismen in der Gegenrichtung
mit $*$ statt $\dagger$ f"ur dieselben Objekte als
Objekte der opponierten Fasern, also $(f\times g)^*(\mathcal F\boxtimes \mathcal G)\sira f^*\mathcal F\boxtimes g^* \mathcal G$ und $\op{pr}_Y^*\mathcal G\sira \underline{X}\boxtimes \mathcal G$ und   $\underline{X}\boxtimes\underline{Y}\sira \underline{X\times Y}$ f"ur  $\mathcal F\boxtimes \mathcal G\pdef (\op{pr}_X,\op{pr}_Y)^*(\mathcal F\curlywedge \mathcal G)$. Wenn wir eine Notation f"ur diese
Isomorphismen ben"otigen, notieren wir sie weiter $\op{idf}$, da sie aus den Identifikationen \eref{idi}{TG} einer Faserung oder genauer Trennfaserung  zusammengesetzt sind. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiel}
 Im Spezialfall der  Opmodultrennfaserung 
 ist $A\otimes_\DZ B$ das Koprodukt in $\op{Kring}$ alias das Produkt in der Basis $\op{Kringo}$ und gegeben Moduln $M$ "uber $A$ und $N$ "uber $B$ ist
 $M\boxtimes N$ der offensichtliche Modul $M\otimes_\DZ N$
 "uber $A\otimes_\DZ B$.\label{boxM} 
\end{Beispiel}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Leeres Boxprodukt}]
  Gegeben eine  banale Trennfaserung $\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T$
   mag man analog Boxprodukte mit einer beliebigen endlichen
   Zahl von Faktoren bilden, soweit diese ein Produkt in der Basis besitzen.
   Die Rolle des leeren Boxprodukts "ubernimmt
  dann das im vorhergehenden Abschnitt diskutierte konstante
  Objekt $\underline{\op{pt}}$ auf dem finalen
  Objekt der Basis, wenn es denn ein solches finales Objekt
  alias leeres Produkt in $\mathscr T$ gibt.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
    Gegeben eine  banale Trennfaserung $\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T$ 
  und in der Basis $\mathscr T$ ein Winkeldiagramm mit Faserprodukt
  $X\times_Z Y$
  betrachten wir die Projektionszweitrennung
  $$(\op{pr}_X,\op{pr}_Y):X\times_Z Y\ra X\curlywedge Y$$
  Gegeben $\mathcal F\in \mathscr G_X$
  und $\mathcal G\in \mathscr G_Y$  erkl"aren wir dann ihr
  {\bf relatives Boxprodukt}\index{Boxprodukt!relatives}
  $\mathcal F\boxtimes_Z \mathcal G\in
  \mathscr G_{X\times_Z Y}$\index{)xbox@$\boxtimes$
    "au"seres Produkt!in Trennfaserung}
 als den R"uckzug\label{extTr} 
 $$\mathcal F\boxtimes_Z \mathcal G\pdef
 (\op{pr}_X,\op{pr}_Y)^\dagger(\mathcal F\curlywedge \mathcal G)$$  Es
 hat analoge Eigenschaften wie das absolute Boxprodukt.
 Formal kann es als absolutes Boxprodukt der \glqq auf die
 banale Trennkategorie
 $\curlywedge\mathscr T_Z$ der Kategorie $\mathscr T_Z$ der
 Objekte "uber einem festen Objekt $Z$ in der Basis
 eingeschr"ankte Trennfaserung\grqq\ aufgefa"st werden.
 Ich f"uhre das nicht weiter aus. 
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Boxprodukt von Morphismen in den Fasern}]
  Gegeben eine  banale Trennfaserung $\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T$
  seien $f_i:X_i\ra Y_i$ f"ur $i=1,2$ Morphismen der Basis und $\varphi_i:\mathcal F_i\ra\mathcal G_i$ dar"ur Morphismen in der Faser $\mathscr G$. So erkl"aren wir einen
  Morphismus $$\varphi_1\boxtimes\varphi_2:\mathcal F_1\boxtimes \mathcal F_2
  \ra\mathcal G_1\boxtimes \mathcal G_2$$ "uber $f_1\times f_2$ in der Faser durch die Kommutativit"at des Diagramms\label{Mbmj}\index{Boxprodukt!von Morphismen in den Fasern}     
$$
\xymatrix{&X_1\ar[rr]&&Y_1\\
  X_1\times X_2\ar[rr]\ar[ru]\ar[rd]&&Y_1\times Y_2\ar[ru]\ar[rd]&\\
  &X_2\ar[rr]&&Y_2
}$$
und die universelle Eigenschaft des Trennr"uckzugs
$\mathcal G_1\boxtimes \mathcal G_2$. Analog definieren wir das Boxprodukt
von Trennungen "uber Trennungen $(f_{i,1},\ldots,f_{i,s}):X_i\ra Y_{i,1}\curlywedge\ldots\curlywedge Y_{i,s}$ in der Basis, immer noch mit $i=1,2$. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Tensorieren von Boxprodukten}]
  Gegeben eine  banale Trennfaserung $\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T$
  und Objekte $X,Y$ der Basis derart,
  da"s das Produkt existiert,\label{faiBP} 
  und $\mathcal F_1, \mathcal F_2\in \mathscr G_X$ sowie $\mathcal G_1, \mathcal G_2\in \mathscr G_Y$ erhalten wir einen Isomorphismus
  $$(\mathcal F_1\boxtimes \mathcal G_1)\otimes (\mathcal F_2\boxtimes \mathcal G_2)\sira (\mathcal F_1\otimes\mathcal F_2)\boxtimes (\mathcal G_1\otimes\mathcal G_2)$$
  dadurch, da"s beide Objekte Trennr"uckz"uge desselben
  Tupels $\mathcal F_1\curlywedge \mathcal F_2\curlywedge\mathcal G_1\curlywedge \mathcal G_2$ unter derselben Trennung $X\times Y\ra X\curlywedge X\curlywedge Y\curlywedge Y$ sind, die wir einmal "uber  $(X\times Y)\curlywedge(X\times Y)$
  faktorisieren und ein andermal "uber $X\curlywedge Y$. 
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Boxprodukt und internes Hom}] 
  Gegeben eine  banale Trennfaserung $\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T$
  und Objekte $X,Y$  der Basis derart, da"s
  das\label{fuiIHo} 
  Produkt $X\times Y$ existiert, sowie Objekte $\mathcal F_1,\mathcal F_2\in\mathscr G_X$ und $\mathcal G\in \mathscr G_Y$ erhalten wir einen Morphismus
  $$(\mathcal F_1{\Rrightarrow}\mathcal F_2)\boxtimes \mathcal G\ra 
  (\mathcal F_1\boxtimes \mathcal G){\Rrightarrow}(\mathcal F_2\boxtimes \mathcal G)$$
  aus dem Morphismus $\op{pr}_X^*(\mathcal F_1{\Rrightarrow}\mathcal F_2)\ra
  (\op{pr}_X^*\mathcal F_1{\Rrightarrow}\op{pr}_X^*\mathcal F_2)$ nach \ref{fuiH}
  durch Tensorieren mit $\op{pr}_Y^*\mathcal G$ und das Tensorieren mit
  internem Hom aus
  \eref{TMoXb}{TSK}.  
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Boxprodukt von internem Hom}] 
  Gegeben eine  banale Trennfaserung $\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T$
  und Objekte $X,Y$  der Basis derart, da"s
  das\label{fuiIHo2} 
  Produkt $X\times Y$ existiert, sowie Objekte $\mathcal F_1,\mathcal F_2\in\mathscr G_X$ und $\mathcal G_1,\mathcal G_2 \in \mathscr G_Y$ erhalten wir einen Morphismus
  $$(\mathcal F_1{\Rrightarrow}\mathcal F_2)\boxtimes
  (\mathcal G_1{\Rrightarrow}\mathcal G_2)\ra 
  (\mathcal F_1\boxtimes \mathcal G_1){\Rrightarrow}(\mathcal F_2\boxtimes \mathcal G_2)$$
  aus dem Morphismus $\op{pr}_X^*(\mathcal F_1{\Rrightarrow}\mathcal F_2)\ra
  (\op{pr}_X^*\mathcal F_1{\Rrightarrow}\op{pr}_X^*\mathcal F_2)$
  und dem entsprechenden Morphismus
  f"ur $Y,\mathcal G_1,\mathcal G_2$ nach \ref{fuiH}
  durch Tensorieren und das Tensorieren von
  internem Hom aus
  \eref{TMoX}{TSK}.  
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Boxprodukt und Vorschub}]
  Gegeben eine  banale Trennfaserung $\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T$
  und Morphismen $f_i:X_i\ra Y_i\;(i=1,2)$ in der Basis derart, da"s die jeweiligen\label{fuiBP} 
  Produkte existieren, erhalten wir ein kommutatives Diagramm 
  $$
  \xymatrix{X_1\times X_2 \ar[r]\ar[d]^{f_1\times f_2}&X_1\curlywedge X_2
    \ar[d]^{f_1\curlywedge f_2}\\
  Y_1\times Y_2 \ar[r]&Y_1\curlywedge Y_2
}$$
in der Familienkategorie. Existieren  die entsprechenden
Vorsch"ube, so liefert Basiswechsel einen
Morphismus
$\op{adf}:(f_1\times f_2)_\dagger \mathcal F_1\boxtimes \mathcal F_2\ra
f_{1\dagger} \mathcal F_1\boxtimes f_{2\dagger}\mathcal F_2$ und mit opponierten Fasern notiert
$$\op{adf}:
f_{1*} \mathcal F_1\boxtimes f_{2*}\mathcal F_2\ra (f_1\times f_2)_* (\mathcal F_1\boxtimes \mathcal F_2)$$
Analoges gilt f"ur das relative Boxprodukt. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Boxprodukt und Vorschub, Variante}]
  Gegeben eine  banale Trennfaserung $\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T$
  und Morphismen $a:X\ra Z$ und $b:Y\ra Z$
  in der Basis derart, da"s das Faserprodukt existiert,\label{fuiBPn} 
   erhalten wir ein kommutatives Diagramm 
  $$
  \xymatrix{X\times_Z Y \ar[r]\ar[d]^{c}&X\curlywedge Y
    \ar[d]^{a\curlywedge b}\\
  Z\ar[r]&Z\curlywedge Z
}$$
in der Familienkategorie. Existieren  die entsprechenden
Vorsch"ube, so liefert Basiswechsel einen
Morphismus
$\op{adf}:c_\dagger (\mathcal F\boxtimes_Z \mathcal G)\ra
a_{\dagger} \mathcal F\otimes b_{\dagger}\mathcal G$ und mit opponierten Fasern notiert
$$\op{adf}:
a_* \mathcal F\otimes b_*\mathcal G\ra c_* (\mathcal F\boxtimes_Z \mathcal G)$$
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Notation $\boxtimes$}]
  Eine Schmelzkategorie mit stabil universellen Verschmelzungen
  ist stets schmelzkogefasert "uber der finalen Schmelzkategorie und diese ist hinwiederum eine
  banale Schmelzkategorie. Opponiert gilt Analoges,
  so da"s wir formal immer $\boxtimes$ statt $\otimes$
  schreiben d"urften. Die Unterscheidung
  ist also formal nicht zwingend. Dennoch  kann die Boxprodukt-Notation
  bei sinnvollem Einsatz, so denke ich, die
  Lesbarkeit  wesentlich verbessern.
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkunge}[\textbf{Bezug zum Boxprodukt von Funktionen}] 
  In den Notationen der vorhergehenden Diskussion zu Boxprodukten
  entspricht es unserer allgemeinen Konvention \eref{NsuV}{TSK}, auch die 
  auf den Leertrennungen induzierten Abbildungen 
  $$\mathscr G(\mathcal F,\curlywedge)\times \mathscr G(\mathcal G,\curlywedge)\ra \mathscr G(\mathcal F\boxtimes\mathcal G,\curlywedge)$$
  als $(f,g)\mapsto f\boxtimes g$ zu notieren. Im Spezialfall
  der Garben von $k$-Vektorr"aumen auf diskreten Mengen
  und der konstanten Garben  $\mathcal F=\underline X$ sowie $\mathcal G=\underline Y$
  spezialisiert diese Konstruktion unter verschiedenen weiteren hoffentlich
  offensichtlichen Identifikationen zu der Abbildung
  $\op{Ens}(X,k)\times \op{Ens}(Y,k)\ra \op{Ens}(X\times Y,k)$,
  die wir schon bisher $(f,g)\mapsto f\boxtimes g$ notiert hatten.
\end{Bemerkunge}













\begin{Beispiel}[\textbf{Bezug zum Produkt von $\sigma$-Algebren}] 
  Das Vergessen der $\sigma$-Algebra ist eine Trennfaserung
  $\op{Me"s}\ra\op{Ens}$ von der banalen Trennkategorie der
  Me"sr"aume in die banale Trennkategorie der Mengen. Es ist in diesem
  Sinne passend, wenn auch nicht zwingend, das Produkt von
  Me"sr"aumen  zu notieren in der Form
  $$(X,\mathcal M)\times (Y,\mathcal N)=(X\times Y,\mathcal M\boxtimes \mathcal N)$$
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}[\textbf{Bezug zum Produkt von Ma"sen}] 
  Wir k"onnen auch Schmelzkategorie
  $\op{Ma"s}_\DR$\index{Ma"s@$\op{Ma"s}_\DR$ reele Ma"sr"aume}
  der reellen Ma"sr"aume
  betrachten. Objekte sind Tripel $(X,\mathcal M,\mu)$ aus einer Menge,
  einer zugeh"origen
  $\sigma$-Algebra und einem reellen Ma"s $\mu:\mathcal M\ra\DR$.
  Verschmelzungen sind me"sbare Abbildungen $f:X_1\times\ldots \times X_r\ra Y$
  mit $f_*(\mu_1\boxtimes\ldots\boxtimes\mu_r)=\nu$ f"ur $\nu$ das Ma"s
  auf $Y$. Dann ist quasi per definitionem
  $(X_1\times X_2,\mu_1\boxtimes \mu_2)$ das Ziel\-ob\-jekt der universellen
  Verschmelzung von $(X_1,\mu_1)$ mit $(X_2,\mu_2)$. In diesem Sinne ist
  unsere Notation f"ur das Produktma"s passend, aber nicht zwingend.
\end{Beispiel}












\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}[\textbf{Externes Tensorieren und gew"ohnliches Tensorieren}]
   Gegeben eine  banale Trennfaserung $\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T$
  und in der Basis  Objekte $X,Y$ mit Produkt
  $X\times Y$  sowie $\mathcal F\in \mathscr G_{/X}$
  und $\mathcal G\in \mathscr G_{/Y}$
  konstruiere man einen Isomorphismus 
$$\mathcal F\boxtimes \mathcal G\sira  (\op{pr}_X^* \mathcal F)\otimes_{X\times Y}
(\op{pr}_Y^* \mathcal G)$$ sowie im Fall $X=Y$  f"ur die diagonale Einbettung $\Delta:X\ra X\times X$ einen Isomorphismus 
  $$\mathcal F\otimes_X \mathcal G\sira \Delta^*  (\mathcal F\boxtimes \mathcal G)$$
\end{Ubung}

\begin{Ubung}[\textbf{Boxprodukt von Moduln, Variante}]
Sei $k$ ein fester Kring.  Im Fall der in
  \ref{MoSKF} betrachteten Schmelzkofaserung $\op{Ab}_{\curlyvee{\op{Kring}}^k}\ra \curlyvee{\op{Kring}^k}$ oder vielmehr der zugeh"origen Trennfaserung auf den
  opponierten Kategorien ist $\underline{R}$ der $k$-Kring $R$ selbst als $R$-Modul
  und gegeben $M\in \op{Ab}_R$ sowie
$N\in \op{Ab}_S$ kann 
  $M\boxtimes N$ beschrieben werden als $M\otimes_k N$ mit der
  durch $(r\otimes s)(m\otimes n)=rm\otimes sn$ gegebenen Struktur als
  Modul "uber $R\otimes_k S$.\label{boxMV}  
\end{Ubung}




\subsection{"Aquivariante Objekte}

%\begin{Bemerkungl}
%  Gegeben eine \hyperref[TrFas]{Trennfaserung} $\mathscr M\ra \mathscr N$
%  ist nach \ref{sSkk}  jeder kartesische Lift
%  einer stabil universellen Trennung in $\mathscr N$
%  eine stabil universelle Trennung in $\mathscr M$.
%    Hat also $ \mathscr N$ stabil universelle Trennungen, so auch
%  $\mathscr M$, und unsere Trennfaserung macht
%  dann stabil universelle Trennungen zu stabil universellen Trennungen. 
%  Hat  $ \mathscr N$ stabil universelle Trennungen, so
%  induziert unsere Trennfaserung nach \eref{opSSt}{TSK}
%  folglich einen Trennschmelzfunktor\label{TaT} 
%  $$\mathscr M\ra \mathscr N$$
%  zwischen den jeweiligen Erweiterungen zu Trennschmelzkategorien.
%\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Banale Trennfaserung als Trennschmelzfunktor mit Schnitt}]
  Jede banale Trennfaserung $\mathscr G\ra \curlywedge \mathscr T$  hat
  nach \ref{eTs} einen bis auf eindeutigen Isomorphismus eindeutig bestimmten 
  kartesischen Trennschnitt $$u: X\mapsto \underline{X}$$
  Nach \ref{sSkk} oder \ref{kttr} macht er stabil universelle Trennungen zu
  stabil universellen Trennungen. 
  Die Projektionstrennungen zu endlichen Produkten
  in $\mathscr T$ sind stabil universelle Trennungen in 
  $\curlywedge \mathscr T$ nach \eref{suV}{TSK} und die Boxprodukte
  dar"uber liefern dann stabil universelle Trennungen
  in $\mathscr G$ nach \ref{extT}.
  Hat insbesondere die Basis $\mathscr T$ endliche Produkte, so
  k"onnen wir $\curlywedge \mathscr T$ zu einer Trennschmelzkategorie erweitern,
  deren Schmelzkategorie die kartesische Schmelzkategorie zu
  $\mathscr T$ ist. Ebenso k"onnen auch $\mathscr G$
  zu einer Trennschmelzkategorie erweitern, da diese Trennkategorie ja auch
  stabil universelle Trennungen hat, und k"onnen
  den kartesischen Trennschnitt in eindeutiger Weise erweitern 
  zu einem Trennschmelzfunktor.
  Gegeben $\mathcal F, \mathcal G, \mathcal H\in \mathscr G$
  "uber $X,Y,Z\in \mathscr T$ ist dann eine
  Verschmelzung\label{tsf} $$\mathcal F\curlyvee  \mathcal G \ra \mathcal H$$
  in $\mathscr G$ ein Paar
  bestehend aus einem Morphismus
  $v:X\times Y\ra Z$ in der Basis zusammen mit einem Morphismus
  $\mathcal F\boxtimes \mathcal G\ra \mathcal H$ "uber diesem Morphismus
  $v$ der Basis. Eine Leerverschmelzung $$\curlyvee\ra \mathcal H$$ dahingegen
  ist ein Morphismus $\underline{\op{pt}}\ra \mathcal H$ "uber einem
  Morphismus $\op{pt}\ra Z$ f"ur $\op{pt}$
  das finale Objekt alias leere Produkt der
  Basis und $\underline{\op{pt}}\pdef l^\dagger(\curlywedge)$
  das Ausgangsobjekt der kartesischen Leertrennung "uber der universellen 
  Leertrennung $l: \op{pt}\ra \curlywedge$ der Basis. Insbesondere ist
  mit den entsprechenden weiteren Daten  $\underline{\op{pt}}$ das Einsobjekt
  $\mathbb I$ der Schmelzkategorie  $\mathscr G$.
  Der kartesische Trennschnitt schlie"slich macht in seiner
  Erweiterung zu einem Trennschmelzfunktor eine Verschmelzung
  $v:X\curlyvee Y\ra Z$ 
  in der kartesischen Schmelzkategorie zu $\mathscr T$ alias einen
  Morphismus $v:X\times Y\ra Z$ 
  zu einer Verschmelzung $$\underline{X}\curlyvee
  \underline{Y}\ra \underline{Z}$$
  in $\mathscr G$. Diese Verschmelzung hinwiederum ist durch den Morphismus
  $\underline{X}\boxtimes \underline{Y}\ra \underline{Z}$ "uber $v$
  gegeben, den wir erhalten aus dem in \ref{extT} erkl"arten Isomorphismus
  $\underline{X\times Y}\sira \underline{X}\boxtimes \underline{Y}$
  zusammen mit dem Morphismus  $\underline{X\times Y}\ra \underline{Z}$ "uber
  $v$ aus der universellen Eigenschaft der kartesischen
  Leerverschmelzung $\underline{Z}\ra \curlywedge$
  "uber der eindeutigen Leerverschmelzung $Z\ra \curlywedge$. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl} Gegeben eine banale Trennfaserung 
  $\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T$ zu einer Kategorie $\mathscr T$ mit
  endlichen Produkten haben nach \ref{tsf} sowohl $\curlywedge\mathscr T$
  als auch  $\mathscr G$ stabil universelle Trennungen und lassen sich folglich
  in eindeutiger Weise zu Trennschmelzkategorien erweitern.
  Sowohl $\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T$ als auch der kartesische
  Trennschnitt erhalten dann stabil universelle Trennungen
  und besitzten folglich eindeutige Erweiterungen zu Trennschmelzfunktoren.
  Insbesondere liefert diese Erweiterung des kartesischen Trennschnitts
  $X\mapsto \underline{X}$ 
  einen Schmelzfunktor
  $$\op{kart}(\mathscr T)\ra \mathscr G^{\op{s}}$$
  der kartesischen Schmelzkategorie $\op{kart}(\mathscr T)
  =(\curlywedge\mathscr T)^{\op{s}}$ von $\mathscr T$ zum Schmelzanteil
  $\mathscr G^{\op{s}}$ der zu einer Trennschmelzkategorie
  erweiterten Trennkategorie $\mathscr G$. 
  Jedes Monoidobjekt  $G\in \mathscr T$ alias  $\op{kart}(\mathscr T)$
  liefert so ein Monoidobjekt $\underline{G}\in \mathscr G^{\op{s}}$.
  Wir nennen $\underline{G}$ den
  {\bf kartesischen Lift von $G$}.\index{Lift!kartesischer!von Monoidobjekt} 
  Die Verkn"upfung von $\underline{G}$ hat dann die Gestalt
  eines Morphismus\label{MoLL}
  $$\underline{G}\boxtimes \underline{G}\ra \underline{G}$$
  "uber der Verkn"upfung $G\times G\ra G$ in der Basis an und das
  neutrale Element die Form eines Morphismus
  $\underline{\op{pt}}\ra \underline{G}$
  "uber dem neutralen Element $\op{pt}\ra G$ von $G$ f"ur $\op{pt}$ das leere
  Produkt alias das finale Objekt von $\mathscr T$.
\end{Bemerkungl}








\begin{Bemerkungl}
  Sei 
  $\mathscr G\ra \curlywedge \mathscr T$ eine Trennfaserung "uber der
  banalen Trennkategorie $\curlywedge \mathscr T$ einer Kategorie $\mathscr T$ mit endlichen Produkten.
  Gegeben ein Monoidobjekt $G\in \mathscr T$ und ein Objekt $X\in \mathscr T$
  mit $G$-Operation erkl"aren wir ein
  {\bf $G$-"aquivariantes Objekt $\mathcal F$ "uber $X$}  als
  Paar $(\mathcal F,\alpha)$ aus einem Objekt $\mathcal F\in \mathscr G_X$
  der Faser und einer Operation
  $\alpha:\underline{G}\curlyvee \mathcal F\ra \mathcal F$ in der
  Schmelzkategorie $\mathscr G^{\op{s}}$, die "uber der Operation
  $G\curlyvee X\ra X$ liegt. 
 Ausgeschrieben ist das also ein 
    Objekt $\mathcal F\in \mathscr G_X$
 zusammen mit einem Morphismus
     $$
     \alpha:\underline{G}\boxtimes \mathcal F\ra \mathcal F$$
     in $\mathscr G$ 
     "uber der Operation $G\times X\ra X$
     derart, da"s mit der Notation $\op{pt}$
     f"ur das leere Produkt in $\mathscr T$ 
  die  Diagramme
  $$
  \xymatrix{ (\underline{G} \boxtimes \underline{G})
    \boxtimes \mathcal F \ar[r] 
\ar[d]& \underline{G} \boxtimes \mathcal F
    \ar[r]& \mathcal F\ar@{=}[d] &&\underline{\op{pt}}\boxtimes \mathcal F \ar[rr]\ar[drr] && \underline{G}\boxtimes \mathcal F\ar[d]\\
    \underline{G} \boxtimes (\underline{G}\boxtimes \mathcal F) \ar[r] & \underline{G} \boxtimes \mathcal F\ar[r] & \mathcal F
 &&  && \mathcal F }
  $$
  mit den  in offensichtlicher Weise erkl"arten Morphismen
  kommutieren. Eine Variante dieser Definition, die manchen Lesern
  vertrauter vorkommen mag, skizziere ich in \ref{elaeq}.\label{defaq}  
\end{Bemerkungl}



\begin{Beispiel}[\textbf{"Aquivariante Objekte in Trennfaserungen von Garben}] 
  Ein diskretes gew"ohnliches Monoid $G$ operiere auf einer Menge $X$
  vermittels der Operation $a:G\times X\ra X$. 
Wir vergleichen die "aquivarianten Objekte der
Mengengarbentrennfaserung und der Opmengengarbentrennfaserung.
Eine Mengengarbe $\mathcal F$ auf $X$ ist eine Familie von
Mengen $(\mathcal F_x)_{x\in X}$, den Fasern von $\mathcal F$.
Die zur"uckgeholte Garbe $a^\dagger \mathcal F$
ist in beiden F"allen dieselbe mit Fasern $(a^\dagger\mathcal F)_{(g,x)}
=\mathcal F_{gx}$. Die mit der Projektion zur"uckgeholte Garbe ist
auch in beiden F"allen dieselbe $\underline{G}\boxtimes \mathcal F
=\op{pr}^\dagger \mathcal F$
mit Fasern $(\op{pr}^\dagger\mathcal F)_{(g,x)}
=\mathcal F_{x}$. Ein Morphismus
$\underline{G}\boxtimes \mathcal F\ra \mathcal F$
"uber $a$ ist jedoch nicht dasselbe in beiden F"allen.
Im ersten Fall der Mengengarbentrennfaserung finden wir Bijektionen 
$$\op{Ens}_{/a}(\underline{G}\boxtimes \mathcal F, \mathcal F)\sira
\op{Ens}_{/G\times X}(\underline{G}\boxtimes \mathcal F, a^\dagger\mathcal F)
\sira \prod_{G\times X}\op{Ens}(\mathcal F_x,\mathcal F_{gx})$$
und die Bedingung an so ein Tupel von Abbildungen
$\varphi_{g,x}:\mathcal F_x\ra \mathcal F_{gx}$ lautet
$\varphi_{h,gx}\circ\varphi_{g,x}=\varphi_{hg,x}$ und $\varphi_{e,x}=\op{id}$.
Im zweiten Fall der Opmengengarbentrennfaserung finden wir, da die Fasern nun
opponierte Garbenkategorien sind, Bijektionen 
$$\op{Ens}_{{\sslash}a}(\underline{G}\boxtimes \mathcal F, \mathcal F)\sira
\op{Ens}_{{\sslash}G\times X}(\underline{G}\boxtimes \mathcal F, a^\dagger\mathcal F)
\sira \prod_{G\times X}\op{Ens}(\mathcal F_{gx},\mathcal F_{x})$$
und die Bedingung an so ein Tupel von Abbildungen
$\psi_{g,x}:\mathcal F_{gx}\ra \mathcal F_{x}$ lautet
$\psi_{g,x}\circ \psi_{h,gx}=\psi_{hg,x}$ und $\psi_{e,x}=\op{id}$.
Unsere beiden Varianten der "Aquivarianz erweisen sich mithin als
grundlegend verschieden. 
Wenn jedoch $G$ eine Gruppe ist, so m"ussen alle unsere Abbildungen
Bijektionen sein, wir k"onnen also durch $\psi_{g,x}\pdef \varphi_{g,x}^{-1}$
zwischen unseren beiden Varianten von "Aquivarianz hin- und hergehen
und sie laufen so im wesentlichen auf dasselbe hinaus. 
In gr"o"serer Allgemeinheit ist das die Aussage, da"s eine Operation
$\underline G\boxtimes \mathcal F\ra \mathcal F$ im Fall eines
Gruppenobjekts $G$ der Basis kartesisch sein mu"s und deshalb
eine banale Trennfaserung und die zugeh"orige oppinvertierte Trennfaserung
nach \ref{fdoTF} \glqq dieselben\grqq\ $G$-"aquivarianten Objekte haben. 
\end{Beispiel}






\begin{Bemerkunge}[\textbf{Umformulierung f"ur gew"ohnliche Faserung}] 
  Unter Beachtung des  Isomorphismus
  $\underline{X}\boxtimes \mathcal F\sira \op{pr}_Y^\dagger \mathcal F$
  aus \ref{extT} f"ur $\op{pr}_Y:X\times Y\ra Y$
  k"onnen wir unsere Definition \ref{duUT}
  "aquivarianter Objekte oder vielmehr ihre f"ur
  banale Trennkategorien ausbuchstabierte Fassung \ref{defaq} in einer Weise fassen, in der sie
  f"ur eine gew"ohnliche Faserung $\mathscr M\ra\mathscr T$ "uber einer Kategorie mit endlichen
  Produkten sinnvoll bleibt.
 Sei dazu $G{\acts}X$ ein
    Objekt mit der Operation eines Monoids $(G,m,e)$ in der Basis.
    Ein {\bf $G$-"aqui\-va\-ri\-an\-tes Objekt
      "uber $X$}\label{elaeq}\index{"aquivariant!Objekt} 
    erkl"aren wir in diesem Kontext als
    ein Datum $(\mathcal F,\alpha)$ bestehend aus einem
    Objekt $\mathcal F\in\mathscr M_{X}$ "uber $X$ und einem
    Morphismus
    $\alpha:{\op{pr}}^\dagger\mathcal F\ra \mathcal F$ "uber der
    Operation $a:G\times X\ra X$ alias ein Morphismus  $\alpha:{\op{pr}}^\dagger\mathcal F\ra a^\dagger\mathcal F$ "uber $G\times X$  
    %$$\alpha\in \mathscr C_{a}({\op{pr}}^\dagger\mathcal F, \mathcal F)$$
    derart, da"s die beiden im folgenden erkl"arten Diagramme
 $$
  \xymatrix{ \op{prr}^\dagger \mathcal F \ar[r]^\gamma 
\ar@{=}[d]& \op{pr}^\dagger \mathcal F
    \ar[r]^\alpha& \mathcal F\ar@{=}[d]&&
     \mathcal F \ar[rr]^\iota\ar@{=}[drr] && \op{pr}^\dagger \mathcal F\ar[d]^\alpha\\
    \op{prr}^\dagger \mathcal F \ar[r]^\beta & \op{pr}^\dagger \mathcal F\ar[r]^\alpha & \mathcal F&&
     && \mathcal F }
  $$
   kommutieren.
F"ur das Rechte betrachten wir 
    die Zerlegung $X\ra G\times X \ra X$ von $\op{id}_X={\op{pr}}\circ e$
    f"ur $e$ gegeben durch das neutrale Element unseres Monoids $G$ und dar"uber die Zerlegung
    der Identit"at $\op{id}_{\mathcal F}=\tau\circ\iota$ mit $\tau:{\op{pr}}^\dagger\mathcal F\ra \mathcal F$ dem Transportmorphismus.
    So erhalten wir einen wohlbestimmten Morphismus $\iota$ "uber $e$
    und das rechte Diagramm  fordert die Identit"at  $\alpha\circ\iota=\op{id}_{\mathcal F}$.
Wegen $a\circ e=\op{id}_X$ ist das schon mal eine sinnvolle Forderung.
Im linken Diagramm 
bezeichne $\gamma$  denjenigen Morphismus $\gamma: {\op{prr}}^\dagger\mathcal F\ra {\op{pr}}^\dagger\mathcal F$ "uber dem Morphismus $(\op{id}_G\times a):G\times G\times X\ra   G\times X$ in der Basis mit
$\tau\circ \gamma=\alpha\circ \tau\circ c$ f"ur die Transportmorphismen
$\tau: {\op{pr}}^\dagger\mathcal F\ra \mathcal F$ beziehungsweise
$\tau:{\op{pr}}_{23}^\dagger({\op{pr}}^\dagger\mathcal F)\ra {\op{pr}}^\dagger\mathcal F$ f"ur ${\op{pr}}_{23}:G\times G\times X\ra G\times X$ die Projektion auf die beiden hinteren Faktoren und
 $c:{\op{prr}}^\dagger\siRa {\op{pr}}_{23}^\dagger\circ {\op{pr}}^\dagger$ der  Identifikation zu $\op{prr}= \op{pr}\circ {\op{pr}}_{23}$. 
Weiter bezeichne $\beta: {\op{prr}}^\dagger\mathcal F\ra {\op{pr}}^\dagger\mathcal F$ denjenigen Morphismus "uber dem Morphismus $m\times\op{id}_X$ in der Basis,
  der beim Nachschalten des Transportmorphismus $\tau$
 den Transportmorphismus von ${\op{prr}}^\dagger \mathcal F$ liefert. 
 Die zweite Eigenschaft, die wir fordern,  ist dann die Gleichheit
 $\alpha\circ\beta=\alpha\circ \gamma$
  der mit  im vorhergehenden erkl"arten Morphismen 
 ${\op{prr}}^\dagger\mathcal F\ra \mathcal F$ "uber dem durch zweimaliges
 Anwenden der Operation gegebenen Morphismus $G\times G\times X\ra X$ in der
 Basis.
\end{Bemerkunge}






\begin{Bemerkungl}[\textbf{Kategorie der Objekte mit Operation in der Basis}]
  Gegeben eine Kategorie $\mathscr T$  mit endlichen Produkten
  bilden wir die Kategorie $\acts\mathscr T=\mathscr T\acts\mathscr T$ aller
  \glqq Objekte mit Operation eines Monoidobjekts\grqq.\index{)4@$G\acts X$ Objekte mit Monoidoperation}
  Objekte von $\acts\mathscr T$ sind Tripel $(G,X,\op{act})$
  mit $G$ einem Monoidobjekt von $\mathcal T$ und
  $X$ einem Objekt von $\mathcal T$ und $\op{act}:G\times X\ra X$ einer
  Operation von $G$ auf $X$.
  Wir notieren so ein Tripel\label{TFae}  $$G\acts X\in \acts\mathscr T$$ 
  Morphismen $\phi\acts f:G{\acts}X\ra H{\acts}Y$ sind 
  Paare bestehend aus einem Homomorphismus
  $\phi:G\ra H$ von Monoidobjekten und
  einem  Morphismus $f:X\ra Y$ von gew"ohnlichen Objekten  derart, da"s
  die offensichtliche Vertr"aglichkeit erf"ullt ist. 
  Auch $\acts\mathscr T$ hat dann endliche Produkte.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{"Aquivariante Objekte in Fasern als Trennfaserung}]
  Gegeben eine banale Trennfaserung $\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T$
  "uber einer Kategorie mit endlichen Produkten
 betrachten wir die banale Trennkategorie $\curlywedge\acts\mathscr T=\curlywedge(\acts\mathscr T)$ und konstruieren eine weitere Trennfaserung
 $\mathscr T\acts\mathscr G\ra \curlywedge\acts\mathscr T$ 
 oder vereinfacht notiert
  $$\mathscr G\ra \curlywedge\acts\mathscr T$$
  Als Objekte der Faser $\mathscr G_{G{\sacts}X}$ "uber $G{\acts}X$
  nehmen wir die $G$-"aquivarianten Objekte der Faser
  "uber dem vorgegebenen Objekt mit Operation in der Basis.\label{QaeO}   
  Als Trennungen
  "uber $G{\acts}X\ra H_1{\acts}Y_1\curlywedge H_2\acts Y_2$ nehmen wir Trennungen
  $\mathcal F\ra \mathcal G_1\curlywedge \mathcal G_2$ "uber
  $X\ra Y_1\curlywedge Y_2$ der Objekte in den Fasern alias Morphismen
   $\mathcal F\ra \mathcal G_1\boxtimes \mathcal G_2$ "uber
  $X\ra Y_1\times Y_2$ derart, da"s das Diagramm
  $$\begin{array}{ccc}
    \underline{G}\boxtimes \mathcal F&\ra& \underline{H_1}\boxtimes\underline{H_2}\boxtimes\mathcal G_1\boxtimes \mathcal G_2\\
    \da&&\da\\
     \mathcal F&\ra& \mathcal G_1\boxtimes \mathcal G_2
  \end{array}$$
  kommutiert mit den Operationen in den Vertikalen und den hoffentlich
  offensichtlichen Horizontalen. Analog erkl"aren wir $r$-Trennungen f"ur
  beliebiges $r\in\DN$. 
   Die Schmelzkategorien der opponierten Fasern notieren wir unseren allgemeinen Konventionen folgend 
  $$\mathscr G_{/G{\sacts}X}$$
   Wenn die Faser $\mathscr G_{/X}$ Multihom hat, sollte
   die Faser $\mathscr G_{/G{\sacts}X}$ im Fall der
   Operation eines Gruppenobjekts $G$ auch Multihom haben. 
  Das mag einmal ein Student ausarbeiten, gerne auch zusammen mit \ref{StAE}. 
 \end{Bemerkungl}

\begin{Beispiel}[\textbf{"Aquivariante Objekte der Familientrennfaserung}]
    Im Fall der Familientrennfaserung $\mathcal C_{/{\curlywedge{\op{Ens}}}}\ra {\curlywedge{\op{Ens}}}$
    nach \eref{fzKa}{TG} zu einer Kategorie $\mathcal C$ ist ein Objekt $\mathcal F\in \mathcal C_{/X}$ eine Familie
    $(\mathcal F_x)_{x\in X}$ von Objekten. 
    Operiert dann ein Monoid $G$ auf $X$,
    so besteht eine "aquivariante Struktur aus der Vorgabe
    von Morphismen $s(g,x):\mathcal F_x\ra \mathcal F_{gx}$
    mit $s(1,x)=\op{id}$ sowie $s(h,gx)s(g,x)=s(hg,x)$ f"ur alle $g,h\in G$ und
    $x\in X$. 
\end{Beispiel}
 
  \begin{Beispiel}
    Sie m"ogen zur "Ubung zeigen, da"s die in Bezug auf die Garbenfaserung
    $\op{Ens}_{/{\op{Top}}}\ra\op{Top}$ 
    im Sinne von \ref{elaeq}
    "aquivarianten Objekte "uber einem topologischen Raum  unsere
    "aquivarianten Garben aus \eref{gAQm}{TG}  sind. Dort hatten wir 
    f"ur eine Operation $G\acts X$ eines topologischen Monoids auf einem
    topologischen Raum eine $G$-"aquivariante
    Mengengarbe schlicht erkl"art als eine Mengengarbe $\mathcal F$
    mit einer stetigen Operation
    $G\times \bar{\mathcal F}\ra \bar{\mathcal F}$ auf ihren \'etalen Raum
    "uber der Operation $G\times X\ra X$ in der Basis. 
  \end{Beispiel}

  \begin{Beispiel}
    Sie m"ogen zur "Ubung zeigen, da"s die in Bezug auf die Garbenfaserung
    $\op{Ab}_{/{\op{Top}}}\ra\op{Top}$
    im Sinne von \ref{elaeq}
    "aquivarianten Objekte "uber einem topologischen Raum  unsere
    "aquivarianten abelschen Garben
    aus \eref{gAQmg}{TG} sind. 
  \end{Beispiel}

\begin{Beispiel}[\textbf{"Aquivariante Mengengarben, Variante}] 
  Seien $G{\acts}X$ ein topologischer Raum mit der Operation
  $a:G\times X\ra X$ eines topologischen Monoids.  Im Fall der Opmengengarbentrennfaserung $\op{Ens}_{\sslash{\op{Top}}}\ra \op{Top}$ nach 
  \ref{mgbt} besteht eine $G$-"aquivariante Mengengarbe auf $X$  aus dem
  Datum einer Mengengarbe $\mathcal F\in \op{Ens}_{\sslash X}$ auf $X$
  und eines Opkomorphismus
  $\alpha\in \op{Ens}_{\sslash a}(\underline{G}\boxtimes\mathcal F,\mathcal F)$ mit gewissen Eigenschaften.
  Sind speziell $G$ und $X$ diskret, so ist solch ein
  $\alpha$ nach \ref{vtid} eine Familie von
  Abbildungen $\alpha(g,x):\mathcal F_{gx}\ra \mathcal F_{x}$
  und die geforderten Vertr"aglichkeiten bedeuten  $\alpha(g,x)\alpha(h,gx)=\alpha(hg,x)$ sowie  $\alpha(1,x)=\op{id}$.
  Das ist also dasselbe wie ein "aquivariantes Objekt der Familienfaserung
  der Kategorie $\op{Ens}^{\op{opp}}$.
Bilden wir die zu  $G{\acts}X$  geh"orige 
{\bf Wirkungskategorie}\index{Wirkungskategorie} 
 $X_G$ mit den Punkten $x \in X$ als
Objekten und den Mengen 
$$X_G (x,y) \pdef \{g \in G \mid gx =y\}$$ als Morphismenmengen,
paarweise disjunkt gemacht durch Darankreuzen des Paares $(x,y)$,
so haben wir nat"urliche Isomorphismen von Kategorien
$\op{Ens}_{/{G{\sacts}X}}\sira \op{Cat}(X_G,\op{Ens})$ und\label{aeto} 
$\op{Ens}_{\sslash {G{\sacts}X}}\sira \op{Cat}(X_G,\op{Ens}^{\op{opp}})$ in 
Verallgemeinerung unserer Erkenntnisse f"ur Mengengarben aus \eref{MGdr}{TG}.
\end{Beispiel}
 
\begin{Beispiel}[\textbf{Besonderheiten von Gruppenoperationen}]  
  Operiert eine diskrete Gruppe $G$ und nicht nur ein Monoid
  auf einem diskreten Raum $X$,
  so ist die Wirkungskategorie $X_G$ ein Gruppoid und das Invertieren
  von Morphismen zusammen mit der Identit"at auf
  Objekten liefert einen Isomorphismus\label{duADF} 
  $X_G\sira (X_G)^{\op{opp}}$. Mit \ref{aeto} erhalten wir Isomorphismen
  von Kategorien
  $$\begin{array}{ccccc}
    \op{Ens}_{/{G{\sacts}X}}&&&&\left(\op{Ens}_{\sslash {G{\sacts}X}}\right)^{\op{opp}}\\
    \wr\!\da&&&&\ua\!\wr\\
  \op{Cat}(X_G,\op{Ens})&
  \sira& \op{Cat}((X_G)^{\op{opp}},\op{Ens}^{\op{opp}})^{\op{opp}}&
  \sira& \op{Cat}(X_G,\op{Ens}^{\op{opp}})^{\op{opp}}
  \end{array}
  $$
  Allgemeiner werden wir in \ref{aeopi} sehen, da"s salopp gespochen
  die in Bezug auf Gruppenoperationen "aquivarianten Objekte einer banalen Trennfaserung und der zugeh"origen
  \glqq oppinvertierten\grqq\ banalen Trennfaserung dieselben sind. 
\end{Beispiel}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Der Strukturmorphismus jeder Gruppenoperation ist kartesisch}] 
  Gegeben eine banale
  Trennfaserung $\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T$ "uber
  einer Kategorie mit endlichen Produkten
  und $G{\acts}X$ ein Objekt  mit Gruppenoperation $a:G\times X\ra X$ 
  der Basis und\label{SKart} 
  $(\mathcal F,\alpha)\in \mathscr G_{G{\sacts}X}$ ein  $G$-"aquivariantes Objekt "uber $X$ ist der Morphismus $\alpha\in\mathscr G_a(\underline{G}\boxtimes \mathcal F,\mathcal F)$ stets kartesisch.
  Um das zu sehen, betrachten wir in der Basis
  mit der Notation $\bar a(g,x)\pdef g^{-1}x$
  oder besser $\bar a\pdef a\circ (\op{inv}\times\op{id}):G\times X\ra X$
  das kommutative Diagramm
$$  \xymatrix{G\times X\ar[dr]^-{\;(\op{inv},\op{id})\times\op{id}}\ar[dddd]_-{\op{id}\times\op{id}}\ar[rrrrr]^-{(\op{pr_1},a)}&&&&&G\times X\ar[dl]_-{\op{inv}\times\op{id}}\ar[dddd]^-{{\;(\op{pr}_1,\bar a)}}\\
  & G  \times G  \times X
\ar[rrr]^-{\op{id}\times a}\ar[dd]_-{m \times \op{id}}\ar[dr]^-{\op{pr}_{23}}&&& G  \times X
\ar[dd]^{a}\ar[dl]_-{\op{pr}_{2}}&\\&
&G\times X\ar[r]^-{ a}&X&&\\&
G  \times X \ar[rrr]^{a}&&&X& \\
G\times X\ar[ur]^-{1\times\op{id}}\ar[rrrrr]^-{\op{id}\times\op{id}}
&&&&&G\times X\ar[ul]_-{\op{pr}_2}}
$$
  Ziehen wir das kommutative Rechteck in $\mathscr G$ "uber
  dem inneren Rechteck, das die Assoziativit"at der
  Operation zum Ausdruck bringt,
  zur"uck auf das "au"sere Rechteck, so bleibt es
  kommutativ. Aus offensichtlichen Gr"unden liefert
  der R"uckzug nach links die Identit"at auf $\underline{G}\boxtimes\mathcal F$. Aufgrund der  bei der Definition
  eines "aquivarianten Objekts geforderten
  Trivialit"at der Operation der Eins  liefert
  auch der R"uckzug nach unten die Identit"at auf $\underline{G}\boxtimes\mathcal F$.
  Der R"uckzug von $\op{id}\boxtimes \alpha:\underline{G}\boxtimes 
  \underline{G}\boxtimes\mathcal F\ra \underline{G}\boxtimes\mathcal F$ nach oben stimmt "uberein mit
  dem R"uckzug
  des Strukturmorphismus
  $\alpha$ von der Mitte nach ganz oben.
  Das Diagramm zeigt dann, da"s dieser R"uckzug  ein Linksinverses hat,
  n"amlich
  den R"uckzug des Strukturmorphismus auf die rechte Vertikale.
  Genauso zeigt man, da"s er auch ein Rechtsinverses besitzt und
  folglich ein Isomorphismus $\underline{G}\boxtimes\mathcal F
  \sira \underline{G}\boxtimes\mathcal F$ "uber
  $(\op{pr}_2,a):G\times X\ra G\times X$ sein mu"s.
  Mithin ist dieser R"uckzug kartesisch. Seine Verkn"upfung
  mit der offensichtlichen Trennung
  $\underline{G}\boxtimes\mathcal F\ra \mathcal F$
  "uber
  $\op{pr}_2: G\times X\ra X$
  ist dann als Verkn"upfung kartesischer Morphismen wieder
  kartesisch und diese Verkn"upfung ist gerade unser
  Strukturmorphismus $\alpha$.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkunge}
  Ich w"u"ste gerne, ob das Vorhergehende genauso gilt
  f"ur eine beliebige Trennfaserung $\mathscr M\ra \mathscr N$ in
  eine Trennkategorie mit stabil universellen Trennungen, wenn wir "aquivariante
  Objekte in Bezug auf Hopfobjekte der Basis betrachten, wie sie in
  \eref{DeHop}{TSK} erkl"art wurden. Das k"onnte eine Arbeit
  f"ur einen Studenten abgeben.\label{StAE}   
\end{Bemerkunge}






\begin{Bemerkungw}[\textbf{"Aquivariante Objekte oppinvertierter Trennfaserungen}] 
  Gegeben eine banale Trennfaserung $\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T$
  "uber  einer Kategorie mit endlichen Produkten
   und ein Objekt mit Gruppenoperation $G{\acts}X$   in
   der Basis mit Operation $a:G\times X\ra X$  und
   $(\mathcal F,\alpha)\in \mathscr G_{G{\sacts}X}$ ein  $G$-"aquivariantes Objekt "uber $X$ ist  nach \ref{SKart} der Strukturmorphismus  $\alpha\in\mathscr G_a(\underline{G}\boxtimes \mathcal F,\mathcal F)$ kartesisch und hat mithin
   nach \ref{fdoTF} ein Oppinverses
  in Gestalt  eines kartesischen Morphismus
$\alpha^{\op{otf}}\in\mathscr G_{/a}(\underline{G}\boxtimes \mathcal F, \mathcal F)$ alias einer universellen Verschmelzung der
    oppinvertierten Trennfaserung
    $\mathscr G^{\op{otf}}\ra\curlywedge\mathscr T$.\label{aeopi} 
   Es ist offensichtlich, da"s dieser Morphismus $\alpha^{\op{otf}}$
   hinwiederum $\mathcal F$ zu einem
   $G$-"aquivarianten Objekt der oppinvertierten Trennfaserung macht. 
   Es sollte folgen, da"s wir so einen Isomorphismus
    $$(\mathscr T\acts^{\!\!\circ}\mathscr G)^{\op{otf}}\sira \mathscr T\acts^{\!\!\circ}(\mathscr G^{\op{otf}})$$
    von Trennfaserungen "uber der banalen
    Trennkategorie $\curlywedge\acts^{\!\!\circ}\mathscr T$
    der\index{)4@$\acts^{\hspace{-1mm}\circ}$ Gruppenoperation} 
    Objekte mit Gruppenoperation in der Basis erhalten. Hier
    notiere ich $\acts^{\!\!\circ}\mathscr T\subset \acts\mathscr T$
    als die volle Unterkategorie aller Objekte mit Gruppenoperation in der
    Kategorie aller Objekte mit Monoidoperation. 
\end{Bemerkungw}

\begin{Beispiel}
  Die unter Gruppenoperationen "aquivarianten Objekte der
  Mengengarbentrennfaserung und der Opmengengarbentrennfaserung bilden zueinander oppinverse Trennfaserungen.  Einen Schatten dieser Tatsache
  haben wir bereits in   \ref{duADF} gesehen, wo wir im diskreten Fall einen
  Isomorphismus zwischen der Faser der einen und der opponierten Faser
  der anderen Trennfaserung konstruiert hatten. 
\end{Beispiel}
\nichtfinal{Ab hier noch putzen! Habe immer $\mathscr G$ statt $\mathscr M$!} 
\begin{Bemerkungl}[\textbf{"Aquivariante Objekte auf dem Produkt mit einer Gruppe}] 
    Gegeben eine banale Trennfaserung $\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T$ "uber  einer Kategorie mit endlichen Produkten
   und $G$ ein Gruppenobjekt 
   der Basis und $X$ ein beliebiges Objekt der Basis
   erhalten wir  eine "Aquivalenz  
 $$\underline{G}\boxtimes:\mathscr G_{X}\sirra \mathscr G_{G{\sacts}G\times X}$$
   Genauer konstruieren wir sogar im Fall eines Monoidobjekts
   der Basis ein adjungiertes Paar $(\underline{G}\boxtimes,h^\dagger)$
   von Funktoren zwischen den fraglichen Kategorien
   mit $h: X\ra G\times X$ gegeben durch $h(x)\pdef (1,x)$
   oder formal $h=(1\circ \op{fin},\op{id})$ f"ur $\op{fin}:X\ra\op{pt}$
   den einzigen Morphismus und $1:\op{pt}\ra G$ das neutrale Element.
  Als Einheit der Adjunktion nehmen wir 
   wir den offensichtlichen Isomorphismus $\mathcal F\sira h^\dagger( \underline{G}\boxtimes\mathcal F)$. 
   Als Koeinheit nehmen wir die Komposition
   $\underline{G}\boxtimes h^\dagger\mathcal E\ra \underline{G}\boxtimes \mathcal E  \ra\mathcal E$ von Morphismen "uber der 
   Komposition
   $$G\times X\ra G\times G\times X \ra G\times  X$$
   von $(g,x)\mapsto (g,1,x)$ gefolgt vom Aufmultiplizieren
   $(f,g,x)\ra (fg, x)$.
   Der erste dieser Morphismen ist kartesisch quasi per definitionem, der
   zweite ist im Fall eines Gruppenobjekts auch kartesisch
   nach \ref{SKart} als Strukturmorphismus der "Aquivarianz von $\mathcal E$
   und deshalb ist
   auch unsere Koeinheit kartesisch "uber der Identit"at,
   also ein Isomorphismus.
  Es gilt nun noch, die Dreiecksidentit"aten \eref{FADJj}{TF} zu pr"ufen, was dem Leser "uberlassen bleiben mag. 
   Mithin liefert unser adjungiertes Paar wie behauptet
   eine "Aquivalenz von Kategorien\label{Qeag}
   $$\underline{G}\boxtimes:\mathscr G_{X}\sirra \mathscr G_{G{\sacts}(G\times X)}$$\end{Bemerkungl}






\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}  Gegeben $G{\acts}X$ ein topologischer Raum
  mit einer topologisch freien Operationen einer diskreten Gruppe
  und $k$ ein Kring und $\chi:G\ra k^\times$ ein Gruppenhomomorphismus
  bezeichne $P\pdef G\backslash X$ den Bahnenraum und 
  $\underline{P}_\chi$ die nach \eref{lkGM}{TG}
zugeh"orige lokal konstante Garbe von $k$-Moduln auf $P$.  
  Gegeben $G{\acts}X$ und $H{\acts}Y$ topologische R"aume
  mit topologisch freien Operationen  diskreter Gruppen und $R\pdef H\backslash Y$ betrachten wir
  in der Familienkategorie von $\curlywedge{\op{moTop}}$ das
  kommutative Diagramm
  $$\begin{array}{ccc}
   1{\acts}(P\times R)&\ra&(1{\acts}P)\curlywedge (1{\acts}R)\\  \ua&&\ua\\ (G\times H){\acts}(X\times Y)&\ra&(G{\acts}X)\curlywedge (H{\acts}Y)\\
    \da&&\da\\
      (G\times H){\acts}{\op{top}}&\ra&(G{\acts}{\op{top}})\curlywedge (H{\acts}{\op{top}})
  \end{array}$$
  Da die R"uckz"uge l"angs der oberen Vertikalen nach \eref{dAQg}{TG}
  "Aquivalenzen sind, liefert unser Diagramm f"ur einen weiteren Gruppenhomomorphismus $\xi:H\ra k^\times$ Isomorphismen\label{azTR} 
  $$\underline{P}_\chi\boxtimes \underline{R}_\xi\sira \underline{P\times R}_{\chi\otimes\xi}$$ 
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
  Ist $X$  topologische Gruppe und $G\subset X$ eine diskrete
  zentrale Untergruppe,
  so operiert $G$ nach \eref{dOf}{TM} topologisch frei auf $X$ und ein
  "ahnliches Diagramm wie zuvor liefert f"ur jeden Gruppenhomomorphismus
  $\chi:G\ra k^\times$  einen kartesischen Morphismus $\underline{P\times P}_{\chi\otimes\chi}\ra\underline{P}_{\chi} $ "uber der Multiplikation
  der Quotientengruppe $P\pdef G\backslash X$. Zusammen mit dem Isomorphismus aus
  \ref{azTR} liefert das einen kartesischen Morphismus
  $$\underline{P}_\chi\boxtimes \underline{P}_\chi\ra \underline{P}_{\chi}$$
  "uber der Multiplikation von $P$. Man zeige, da"s er $\underline{P}_\chi$
  zu einem Gruppenobjekt in Garben von $k$-Moduln "uber topologischen R"aumen macht. Objekte mit einer Operation dieses Gruppenobjekts
  hei"sen {\bf $X$-$\chi$-monodrome Garben}.\index{monodrom!Garbe} 
\end{Ubung}

\begin{Ubung}[\textbf{"Aquivariante Garben auf Hauptfaserb"undeln}]
  Man zeige direkt Satz \eref{GQR}{TSS}:
  Gegeben eine topologische Gruppe $G$ und  ein topologisch freier $G$-Raum $X$
  ist der "aquivariante R"uckzug
  f"ur ${\op{quot}}:X\sra  X/G$ und $\alpha:G\sra 1$ f"ur jedes Universum $\mathfrak U$ mit $X,G\in \mathfrak U$ eine "Aquivalenz\label{AEGH} 
  $$(\alpha{\acts}{\op{quot}})^{(*)}:\mathfrak U\!\op{Ens}_{/G\backslash X}\sirra
  \mathfrak U\!\op{Ens}_{/G{\sacts} X}$$
  Hinweis: Durch Verkleben ausgehend vom in \ref{Qeag} behandelten
  Fall $X=G\times Z$ 
  zeigt man zuerst die essentielle Surjektivit"at
  und dann die Volltreuheit. 
\end{Ubung}
 
\subsection{Trennschmelzfakofaserungen}

\begin{Definition}
 Eine {\bf Trennschmelzfakofaserung}\index{Trennschmelzfakofaserung}
  "uber einer Trennkategorie $\mathscr N$ ist
  ein Datum aus einer Trennfaserung $p:\mathscr M\ra \mathscr N$
  und einer Schmelzkofaserung $\bar p:\bar{\mathscr M}\ra \mathscr N^{\op{opp}}$, 
  die nach Zur"uckholen auf die diskretisierte
  Basis $\mathscr N^\delta$  "ubereinstimmen $\mathscr M_{X}(\mathcal F,\mathcal G)=\bar{\mathscr M}_{X}(\mathcal F,\mathcal G)\;\forall
  X\in\mathscr N$, sowie 
   Bijektionen\label{voFaT} 
  $$i:\mathscr M_{f}^{\times}(\mathcal F,\mathcal G_1\curlywedge\ldots\curlywedge \mathcal G_r)\sira
  \bar{\mathscr M}_{f^\circ}^{{\times}}(\mathcal G_1\curlyvee\ldots\curlyvee \mathcal G_r,\mathcal F)$$
  zwischen den Mengen der jeweiligen kartesischen Trennungen beziehungsweise
  kokartesischen Verschmelzungen, die vertr"aglich sind mit Multiverkn"upfung 
  und die im Fall $f=\op{id}_X$ zum Invertieren von Isomorphismen
  der Faser spezialisieren. 
\end{Definition}
\begin{Beispiele}
  Im Fall einer gew"ohnlichen Kategorie in der Basis spezialisiert unsere Trennschmelzfakofaserung zu einer\label{btrI} 
  Fakofaserung \eref{voFa}{TG}. Im Fall der terminalen Trennkategorie  in der Basis spezialisiert  unsere Trennschmelzfakofaserung zu  einer
  Trennschmelzkategorie \eref{TSK}{TSK}.  
\end{Beispiele}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Erg"anzung zu Trennschmelzfakofaserung}] 
  Wie in  den Spezialf"allen der eben in \ref{btrI}  beschriebenen Beispiele besitzt auch
  im allgemeinen jede Trennfaserung und jede Schmelzkofaserung  eine bis
  auf eindeutigen objektfesten
  Isomorphismus eindeutig bestimmte Erg"anzung zu einer
  Trennschmelzfakofaserung.
  Gegeben eine Trennfaserung $\mathscr M\ra \mathscr N$ notieren wir
  den Schmelzkofaserungsanteil dieser Erg"anzung
  $$\mathscr M^{\op{sk}}\ra \mathscr N^{\op{opp}}$$
F"ur eine Trennung $\psi: X\ra Y_1\curlywedge \ldots\curlywedge Y_r$ in
  $\mathscr N$ werden dann Verschmelzungen
in der Schmelzkofaserung  $\mathscr M^{\op{sk}}$ "uber der zu unserer Trennung 
  opponierten Verschmelzung $\psi^\circ: Y_1\curlyvee\ldots\curlyvee Y_r\ra X$
   in $\mathscr N^{\op{opp}}$ gegeben 
   durch die Vorschrift\label{duSKs}  
   $$\mathscr M^{\op{sk}}_{\psi^\circ}(\mathcal G_1\curlyvee\ldots\curlyvee\mathcal G_r,\mathcal F)\pdef
   \mathscr M_X(\psi^\dagger (\mathcal G_1\curlywedge\ldots\curlywedge\mathcal G_r),\mathcal F)$$
 mit $\psi^\dagger$ dem R"uckzug in unserer Trennfaserung.
 Die Definition der Mul\-ti\-ver\-kn"up\-fun\-gen in $\mathscr M^{\op{sk}}$
 geht analog zu \eref{infas}{TG}.
  Gegeben eine Schmelzkofaserung $\mathscr M\ra \mathscr N$ notieren wir
   umgekehrt den Trennfaserungsanteil der Erg"anzung zu einer
   Trennschmelzfakofaserung 
  $$\mathscr M^{\op{tf}}\ra \mathscr N^{\op{opp}}$$
   Wie in den bereits
   betrachteten Spezialf"allen \eref{infas}{TG} und
   \eref{opS}{TSK} nennen wir diese
   Konstruktionen das {\bf Invertieren}\index{invertiert!Trennfaserung}\index{Trennfaserung!invertierte} und reden vom Invertieren
   einer Trennfaserung  zu einer Schmelzkofaserung beziehungsweise
einer  Schmelzkofaserung zu einer  Trennfaserung, jeweils 
  "uber der opponierten Basis.\index{invertiert!Schmelzkofaserung}\index{Schmelzkofaserung!invertierte}
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
Gegeben eine Trennschmelzfakofaserung $\mathscr M\ra \mathscr N$
ist in offensichtlicher Weise auch $\mathscr M^{\op{opp}}\ra \mathscr N^{\op{opp}}$
eine Trennschmelzfakofaserung. Gegeben eine Trennfaserung $\mathscr M\ra \mathscr N$ betrachten wir ihre Erweiterung zu einer Trennschmelzfakofaserung
und erhalten eine weitere Trennfaserung $$\mathscr M^{\op{otf}}\pdef (\mathscr M^{\op{opp}})^{\op{tf}}\ra \mathscr N$$
durch das Opponieren gefolgt vom Invertieren. Wir nennen diese
Trennfaserung die {\bf oppinvertierte Trennfaserung}. Sie verallgemeinert
sowohl die Oppinvertierte einer Trennkategorie mit stabil
universellen Trennungen \eref{EXSK}{TSK} 
als auch den Oppinvertierten eines Faserfunktors \eref{exKO}{TG}.  Explizit werden ihre
Trennungen "uber einer Trennung der Basis\label{fdoTF} 
$\psi: X\ra Y_1\curlywedge \ldots\curlywedge Y_r$ in
  $\mathscr N$ gegeben durch $$\mathscr M^{\op{otf}}_{\psi}(\mathcal F, \mathcal G_1\curlywedge\ldots\curlywedge\mathcal G_r)\pdef
\mathscr M_X(\psi^\dagger (\mathcal G_1\curlywedge\ldots\curlywedge\mathcal G_r),\mathcal F)$$
Wir schreiben auch $\mathscr M_{/\psi}=\mathscr M^{\op{otf}}_{\psi}$ f"ur die
Trennungen "uber $\psi$ der oppinvertierten Trennfaserung und
$\mathscr M_{/X}=\mathscr M_{/{\op{id}_X}}$
f"ur die Trennungen "uber der Identit"at auf einem Objekt $X$ der Basis
und damit ist $\mathscr M_{/X}=\mathscr M_{X}^{\op{opp}}$ die Faser "uber $X$
der opp\-in\-ver\-tier\-ten Trennfaserung $\mathscr M^{\op{otf}}$.
Auf kartesischen Trennungen haben wir per definitionem
Bijektionen $\mathscr M_{\psi}^\times \sira \mathscr M_{/\psi}^\times$, die wir
$\alpha\mapsto \alpha^{\op{otf}}$\index{otf@$\alpha^{\op{otf}}$ oppinvertierte Trennung} notieren. Wir nennen dann $\alpha^{\op{otf}}$
die {\bf oppinvertierte Trennung}\index{oppinvertiert!Trennung} zur kartesischen
Trennung $\alpha$ "uber der Trennung $\psi$ der Basis.
Das Oppinvertieren kartesischer Trennungen ist vertr"aglich mit Multiverkn"upfung und ordnet jeder kartesischen Trennung "uber einer Identit"at alias
jedem Isomorphismus in einer Faser $\alpha\in \mathscr M_X^\times$
den inversen opponierten Isomorphismus  $\alpha^{\op{otf}}=(\alpha^\circ)^{-1}\in \mathscr M_{/X}^\times$ zu wie im Spezialfall einfacher Faserungen \eref{opif}{TG},
in dem wir dieselbe Konstruktion einfacher $\alpha^{\op{of}}$ notiert hatten. 
Gegeben eine Schmelzkofaserung $\mathscr M\ra \mathscr N$ konstruieren wir analog die {\bf oppinvertierte Schmelzkofaserung} $$\mathscr M^{\op{osk}}\pdef (\mathscr M^{\op{opp}})^{\op{sk}}\ra \mathscr N$$
Quasi per definitionem haben wir  objektfeste Isomorphismen
  $(\mathscr M^{\op{sk}})^{\op{opp}}\sira \mathscr M^{\op{otf}}$ beziehungsweise
$(\mathscr M^{\op{tf}})^{\op{opp}}\sira \mathscr M^{\op{osk}}$ "uber $\mathscr N$,
als da hei"st, durch Nachschalten der jeweiligen Funktoren
zur Basis $\mathscr N$ entstehen kommutative Diagramme von Funktoren.
\end{Bemerkungl}




\begin{Beispiel}
 Eine Schmelzkategorie mit stabil universellen
  Verschmelzungen ist nach \ref{FteS} schmelzkogefasert "uber der terminalen Schmelzkategorie. Unsere invertierte Trennfaserung  spezialisiert in diesem Fall zur  invertierten Trennkategorie aus \eref{opS}{TSK}.\label{duSK}
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}
 Gegeben eine Kategorie $\mathcal C$ erinnern wir  aus \eref{fzKa}{TG} 
  unsere Fa\-mi\-lien\-fa\-se\-rung
  $\mathcal C_{/{\op{Ens}}}\ra \op{Ens}$.
 Ist  $\mathcal C$ eine Trennkategorie, so k"onnen wir
  $\mathcal C_{/{\op{Ens}}}$  
 zu einer Trennkategorie $\mathcal C_{/\curlywedge{\op{Ens}}}$
 machen und unseren Funktor zu einem  Trennfunktor in die banale Trennkategorie
 $\curlywedge{\op{Ens}}$ der Mengen,\label{schKA} 
  indem wir eine Trennung
  $\phi:\mathcal F\ra  G_1\curlywedge \ldots\curlywedge G_r$
  "uber einer Trennung $(f_1,\ldots,f_r):X\ra Y_1\curlywedge \ldots\curlywedge Y_r$ von Mengen 
  als eine Familie $(\phi_x)_{x\in X}$ von Trennungen
  $\phi_x:\mathcal F_x\ra  G_{1,f_1(x)}\curlywedge \ldots\curlywedge G_{r,f_r(x)}$ erkl"aren.
  Wir erhalten so einen Trennfunktor,
  den {\bf Familientrennfunktor}\index{Familientrennfunktor}
  $$\mathcal C_{/\curlywedge{\op{Ens}}}\ra \curlywedge{\op{Ens}}$$
  Besitzt $\mathcal C$ stabil universelle Trennungen, so ist das sogar eine
  Trennfaserung, die {\bf Familientrennfaserung}.
  Kartesisch sind dabei genau alle Familien $(\phi_x)$ aus
  universellen Trennungen.
  In diesem Fall haben wir einen nat"urlichen Isomorphismus
  $$(\mathcal C_{/\curlywedge{\op{Ens}}})^{\op{otf}}\sira (\mathcal C^{\op{otf}})_{/\curlywedge{\op{Ens}}}$$
  von Trennfaserungen "uber $\curlywedge{\op{Ens}}$ zwischen der
  oppinvertierten Familientrennfaserung und der
  Familientrennfaserung der oppinvertierten Trennkategorie.
 \end{Beispiel}
  
\begin{Beispiel}
  Die Mengengarbentrennfaserung \ref{mgtf} und die
  Men\-gen\-gar\-ben\-op\-trenn\-fa\-se\-rung \ref{mgbt}
  sind zueinander oppinvers in offensichtlicher Weise,
  in Formeln und unter etwas sorgloser Verwendung
  des Gleichheitszeichens haben wir also
  $$\op{Ens}_{\sslash{\op{Top}}}= (\op{Ens}_{/{\op{Top}}})^{\op{otf}}$$
  Ich finde die Mengengarbentrennfaserung anschaulicher, aber die
  Meng\-en\-gar\-ben\-op\-trenn\-fa\-se\-rung
  ist algebraisch einfacher und l"a"st sich leichter
  verallgemeinern.\label{fdoTFs} Im Fall der
  Optrennfaserung der abelschen Garben kann ich
  f"ur die oppinvertierte Trennfaserung keine Anschauung
  mehr anbieten, die mir weiterhelfen w"urde. 
\end{Beispiel}





\begin{Beispiel}[\textbf{Verschiedene Trennungen im diskreten Fall}]
  Wir spezialisieren das Vorhergehende auf den Fall diskreter R"aume.
  Eine Mengengarbe $\mathcal A$ auf einem diskreten Raum $X$ ist eine
  durch $X$ indizierte Mengenfamilie $(\mathcal A_x)_{x\in X}$. 
  Gegeben Abbildungen $f:X\ra Y$ und $g:X\ra Z$ 
  sowie Mengengarben\label{vtid} 
  $\mathcal B$ auf $Y$ und $\mathcal C$ auf $Z$ ist eine Opgarbentrennung
  $\phi\in
  \op{Ens}_{\sslash (f,g)}(\mathcal A, \mathcal B\curlywedge \mathcal C)$ 
  "uber der Zweitrennung $(f,g):X\ra Y\curlywedge Z$
  ein Datum $(\phi_x)_{x\in X}$ 
  bestehend aus Abbildungen $\phi_x:\mathcal B_{f(x)}\times\mathcal C_{g(x)} \ra \mathcal A_x$ f"ur alle $x\in X$. Dahingegen ist
  eine Garbentrennung 
  $\psi\in
  \op{Ens}_{/ (f,g)}(\mathcal A, \mathcal B\curlywedge \mathcal C)$  ein Datum $(\psi_x)_{x\in X}$ 
  bestehend aus Abbildungen $\psi_x:\mathcal A_x\ra \mathcal B_{f(x)}\times\mathcal C_{g(x)}$ f"ur alle $x\in X$. Das kann auch als ein
  Spezialfall unserer Erkenntnisse in \ref{schKA} verstanden werden. 
\end{Beispiel}



 








\begin{Bemerkungl}[\textbf{Faserweises Dualisieren als Trennfunktor}]
   Gegeben sei eine \hyperref[TrnF]{Trennfaserung}
 zu
 einer banalen Trennkategorie  $\mathscr M\ra\curlywedge\mathscr T$ derart,
 da"s alle Objekte der opponierten Fasern dualisierbar sind.
 Wir behaupten, da"s dann das faserweise Dualisieren einen Trennfunktor
 $$\mathscr M^{\op{otf}}\ra \mathscr M^{\op{f}}$$
 induziert wie folgt. Ein Trennung $\mathcal F\ra \mathcal G_1\curlywedge\ldots \curlywedge\mathcal G_r$ "uber einer Trennung $(f_1,\ldots,f_r):X\ra Y_1\curlywedge\ldots\curlywedge Y_r$ der Basis in $\mathscr M^{\op{otf}}$ ist
 wie in \ref{fdoTF} ausgef"uhrt ein Element von  
$$\mathscr M^{\op{otf}}_{\psi}(\mathcal F, \mathcal G_1\curlywedge\ldots\curlywedge\mathcal G_r)\pdef
   \mathscr M_X(\psi^\dagger (\mathcal G_1\curlywedge\ldots\curlywedge\mathcal G_r),\mathcal F)$$
   In unserem speziellen Fall haben wir also Abbildungen 
\begin{displaymath}
  \xymatrix{\mathscr M^{\op{otf}}_{\psi}(\mathcal F, \mathcal G_1\curlywedge\ldots\curlywedge\mathcal G_r)\ar@{=}[d]&\mathscr M^{\op{tf}}_{\psi}(\mathcal F^\vee, \mathcal G_1^\vee\curlywedge\ldots\curlywedge\mathcal G_r^\vee)\\
\mathscr M_X(f_1^*\mathcal G_1\otimes\ldots\otimes f_r^*\mathcal G_r,\mathcal F)  \ar@{=}[d] & \mathscr M_{/X}(f_1^*(\mathcal G_1^\vee)\otimes\ldots\otimes f_r^*(\mathcal G_r^\vee),\mathcal F^\vee) \ar@{=}[u] \\
 \mathscr M_{/X}(\mathcal F,f_1^*\mathcal G_1\otimes\ldots\otimes f_r^*\mathcal G_r)  \ar[r]& \mathscr M_{/X}((f_1^*\mathcal G_1\otimes\ldots\otimes f_r^*\mathcal G_r)^\vee,\mathcal F^\vee) \ar[u]
}
\end{displaymath}
mit dem Dualisieren in der unteren Horizontale  und
  Vorschalten der nat"urlichen Morphismen \eref{duo1}{TSK} vom Tensorprodukt der Dualen zum Dualen des Tensorprodukts und der  nat"urlichen Morphismen
  \ref{fuiD} vom R"uckzug des Dualen zum Dualen des R"uckzugs in der rechten
  Vertikale. Man kann nun zeigen, da"s
diese Vorschrift auf Trennungen in der Tat einen Trennfunktor induziert
wie behauptet.\label{HTUI}
Im Spezialfall, da"s $\mathscr T$ die finale Trennkategorie ist, haben wir das
bereits in \eref{duOO}{TSK} in Gestalt eines Dualisierungsfunktors
$\mathcal M^{\op{t}}\ra \mathcal M^{\op{ot}}$ f"ur eine Trennschmelzkategorie
mit Multihom $\mathcal M$ kennengelernt.
In der dort gegebene Fassung geschieht das Dualisieren in $\mathcal M^{\op{s}}$
und in der hier gegebene Fassung in den Fasern der Schmelzkofaserung
$\mathscr M^{\op{osk}}$.  
\end{Bemerkungl}


%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "XXTSF"
%%% End: 
