\section{\v{C}echkohomologie}




\subsection{Erste \v{C}echkohomologie und "Uberlagerungen}
\label{eCc}%SCHEINT MIR BEREITS GUT!
\begin{Bemerkungl}
Ich beginne mit einer Erinnerung
 an einige Begriffe aus der "Uberlagerungstheorie \eref{Due}{TF}.
Seien $X$ ein topologischer Raum und $n\geq 1$ eine 
positive nat"urliche Zahl.
Eine stetige Abbildung $p: \tilde{X} \ra X$
hei"st eine {\bf $n$-bl"attrige "Uberlagerung}, 
 wenn  eine
offene "Uberdeckung $\cal{U}\subset{\cal P}(X)$ von $X$ existiert derart,
da"s es f"ur alle
$U
\in \cal{U}$ Hom"oomorphismen
$$i_{U} : p^{-1}(U) \sira U\times\{1,\ldots , n\}$$
gibt, die vertr"aglich sind mit den offensichtlichen Projektionen
beider Seiten auf die offene Menge $U$.
Solch eine Familie von Hom"oomorphismen $(i_{U})_{U\in \cal{U}}$ nennen wir 
eine {\bf Trivialisierung}\index{Trivialisierung!von "Uberlagerung} 
unserer "Uberlagerung "uber der offenen "Uberdeckung $\mathcal U$.
Zwei "Uberlagerungen nennt man {\bf isomorph}, wenn
sie isomorph sind in der Kategorie der topologischen R"aume "uber $X$,
wenn es also in anderen Worten 
einen Hom"oomorphismus zwischen ihnen gibt, der mit den
jeweiligen Projektionen auf $X$ vertr"aglich
ist. So ein Hom"oomorphismus ist dasselbe wie  eine
bijektive Decktransformation im Sinne von \eref{DeBew}{TF}.
\end{Bemerkungl}
\begin{figure}[htb]
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/CechB}
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering
Eine zweibl"attrige 
"Uberlagerung der Kreislinie  mit Trivialisierung in Bezug auf eine
"Uberdeckung durch zwei offene Teilmengen. Der Schnitt dieser beiden
Teilmengen hat
zwei Zusammenhangskomponenten, und die Verklebungsfunktion ist konstant
das neutrale Element aus $\cal{S}_2$ auf der im Bild \glqq hinteren\grqq\  Komponente
und
konstant
die Transposition aus $\cal{S}_2$ auf der \glqq vorderen\grqq\  Komponente.
\end{minipage}
\end{figure}

\begin{Bemerkungl}
Wir setzen $ F\pdef \{1,\ldots , n\} $
und bezeichnen mit $\cal{S}_{n}$ die Gruppe der 
Permutationen von $F$, versehen mit
der diskreten Topologie.
Jede Trivialisierung $(i_U)_{U\in \cal{U}}$
einer $n$-bl"attrigen "Uberlagerung $p:\tilde X\ra X$ "uber einer
offenen "Uberdeckung $\cal{U}$ von $X$ liefert f"ur beliebige $U,V \in
\cal{U}$  Abbildungen
$$\begin{array}{rccl}
\varphi_{UV} :& U \cap V& \ra & \cal{S}_{n}\\
&x & \mapsto & \varphi^{x}_{UV}
\end{array}$$
durch die Vorschrift
$(i_{U}\circ i^{-1}_{V})(x,f) = (x, \varphi^{x}_{UV} (f)) \;
\forall x \in U \cap V, f\in F$.
Wir nennen diese Abbildungen die \defind{Verklebungsfunktionen}
unserer Trivialisierung $(i_U)_{U\in \cal{U}}$.  Nach \eref{TKL}{TM}
oder auch elementareren "Uberlegungen sind sie
stetig. 
Gegeben $U,V, W \in \cal{U}$ haben wir offensichtlich
$$\varphi^{x}_{UV}\circ \varphi_{VW}^{x} = \varphi^{x}_{UW} \quad
\forall x \in U \cap V \cap W$$  
\end{Bemerkungl}



\begin{Definition}
Seien $X$ ein topologischer Raum, 
$\cal{U}\subset {\cal P}(X)$ eine offene
"Uberdeckung von $X$ und $G$ eine  Gruppe,
versehen mit der diskreten Topologie, 
deren Verkn"upfung wir mit $\top$ notieren.
Die Menge 
$$\check{\mathrm{Z}}^1(\cal{U};G)$$ 
der {\bf $G$-wertigen 
\v{C}ech-$1$-Kozykel}\index{Cech-Eins-Kozykel@\v{C}ech-Eins-Kozykel}
bez"uglich
$\cal{U}$  ist definiert als die
Menge aller Wahlen
von stetigen Abbildungen
$\varphi_{UV} : U \cap V \ra G$ f"ur 
$(U,V) \in \cal{U}\times \cal{U} $
derart, da"s f"ur beliebige 
$U,V,W \in \cal{U} $ auf dem Schnitt $ U
\cap V\cap W$
gilt $$\varphi_{UV}\top\varphi_{VW}=\varphi_{UW}\;\;\;\text{}$$
\end{Definition}
\begin{Beispiel}
  Die Verklebungsfunktionen einer $n$-bl"attrigen "Uberlagerung
  bez"uglich einer Trivialisierung "uber einer vorgegebenen
  offenen "Uberdeckung bilden einen $\mathcal S_n$-wertigen Einskozykel.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}
 Seien $X$ ein topologischer Raum, 
$\cal{U}\subset {\cal P}(X)$ eine offene
 "Uberdeckung von $X$ und $G$ eine  Gruppe.
 Die Vorschrift, die jedem Paar $(U,V)\in\mathcal U^2$ die konstante
  Funktion $\varphi_{UV}=1$ zum neutralen Element von $G$
  zuordnet, ist ein Einskozykel. Er hei"st der {\bf triviale Einskozykel}.
  \index{Einskozykel!trivialer} 
\end{Beispiel}




\begin{Bemerkungl}
Sind $p :\tilde{X} \ra X$ und  $q :\hat{X} \ra X$ 
zwei $n$-bl"attrige "Uberlagerungen eines topologischen Raums $X$ 
mit je einer Trivialisierung "uber derselben "Uberdeckung 
 $\cal{U}$ durch gewisse $i_{U} :
p^{-1}(U) \sira U \times F$ und $j_{U} :
q^{-1}(U) \sira U \times F$, so verstehen wir unter einem
{\bf  trivialisierungsvertr"aglichen  Isomorphismus}
 zwischen unseren beiden
"Uberlagerungen eine bijektive
Decktransformation $d: \tilde{X} \sira \hat{X}$ derart, da"s gilt
$j_{U}\circ d = i_{U}$ f"ur alle $U \in \cal{U}$. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Lemma}
Gegeben ein topologischer Raum  $X$ und  eine offene "Uberdeckung
$\cal{U}$ von $X$
 liefert das Bilden der Verklebungsfunktionen eine Bijektion
$$\begin{array}{ccc}
\left\{\begin{array}{c} \text{$n$-bl"attrige 
"Uberlagerungen von $X$ mit}\\
\text{einer Trivialisierung }
(i_{U})_{U\in \mathcal U} \text{ "uber $\cal{U}$, bis auf }\\
\text{trivialisierungsvertr"aglichen 
Isomorphismus}\end{array}\right\} & \sira &\check{\mathrm{Z}}^{1}
(\cal{U};\cal{S}_{n})
 \end{array}$$
\end{Lemma}


\begin{proof}[Beweis]
Um die Bijektivit"at zu zeigen, konstruieren wir eine
Umkehrabbildung.
Gegeben ein \v{C}ech-Einskozykel $(\varphi_{UV})_{U,V \in
\cal{U}}$ bilden wir f"ur jedes $U \in \cal{U}$ die einpunktige
Menge $\{ U\}$ und
betrachten auf dem Raum
$$\coprod_{U\in \cal{U}} \{U\}\times U \times F$$
die "Aquivalenzrelation $\sim$, die erzeugt wird von
$$(V, x, f) \sim (U,x,\varphi^{x}_{UV}(f))\quad \forall\; U,V \in
\cal{U}, \; x \in U \cap V, \;f\in F.$$
Dann bilden wir den Raum $\tilde{X}$ der "Aquivalenzklassen mit der
Quotiententopologie, der Projektion auf die mittlere Koordinate
$\tilde{X}\ra X$ und der offensichtlichen Trivialisierung "uber
$\cal{U}$.
Es bleibe dem Leser  "uberlassen zu zeigen,
da"s diese Konstruktion eine Umkehrabbildung 
 zur durch das Bilden der
Verklebungsfunktionen gegebenen Abbildung aus unserem Lemma
liefert.
\end{proof}








\begin{Bemerkungl}
Nun nehmen wir an, wir h"atten f"ur ein- 
und dieselbe "Uberlagerung $p :
\tilde{X} \ra X$  zwei Trivialisierungen
"uber derselben offenen "Uberdeckung $\cal{U}$
gegeben durch gewisse $i_U,\tilde{\imath}_{U} : 
p^{-1}(U) \sira U\times F$.
Dann erkl"aren wir  Abbildungen
$$\begin{array}{rccc}
\psi_{U}:&U &\ra & \cal{S}_{n}\\
&x & \mapsto& \psi_{U}^{x}
\end{array}$$ durch die Gleichungen
$(\tilde{\imath}_{U} \circ i^{-1}_{U}) (x,f) = (x, \psi^{x}_{U} (f))
\; \forall x \in U, f\in F$ und
nennen diese $\psi_U$ die 
{\bf "Ubergangsfunktionen}\index{"Ubergangsfunktionen!zwischen Trivialisierungen}
zwischen unseren
beiden Trivialisierungen
$(i_{U})$ und $(\tilde{\imath}_{U})$.  Auch unsere "Ubergangsfunktionen sind
offensichtlich stetig.
Die Verklebungsfunktionen $\tilde{\varphi}_{UV}$
zu unserer zweiten Trivialisierung $(\tilde{\imath}_{U})$
lassen sich 
durch die Verklebungsfunktionen ${\varphi}_{UV}$
zu unserer ersten Trivialisierung $(i_{U})$
und die "Ubergangsfunktionen zwischen den
beiden Trivialisierungen ausdr"ucken vermittels der Formel
$$\tilde{\varphi}_{UV}^{x} = \psi_{U}^{x}\circ \varphi_{UV}^{x}
\circ(\psi_{V}^{x})^{-1}
\quad \forall x \in U \cap V$$  
\end{Bemerkungl}

\begin{Definition}
Seien $X$ ein topologischer Raum, $\cal{U}$ eine offene
"Uberdeckung von $X$ und $G$ eine  Gruppe.
Zwei $G$-wertige \v{C}ech-Einskozykel $\varphi, \tilde{\varphi} \in
\check{\mathrm{Z}}^{1}(\cal{U};G)$ hei"sen \defind{kohomolog} und wir schreiben
$\varphi \sim \tilde{\varphi}$, wenn es eine Familie
$\psi=(\psi_U)_{U\in\cal{U}}$ von stetigen 
Funktionen $\psi_{U} : U\ra G$
gibt derart,
da"s f"ur beliebige 
$U,V \in \cal{U} \text{ auf dem Schnitt } U\cap V$ gilt
$$\tilde{\varphi}_{UV} =
\psi_{U} \top \varphi_{UV}\top
\psi^{-1}_{V} $$
Diese Relation \glqq kohomolog\grqq\  ist 
eine "Aquivalenzrelation. Die
Menge der "Aquivalenzklassen
notieren wir
$$\check{\mathrm{H}}^{1} (\cal{U};G)\pdef
\check{\mathrm{Z}}^{1}(\cal{U};G) /\sim$$
und nennen sie die 
\defnoind{erste \v{C}ech-Kohomologie f"ur die "Uberdeckung
$\cal{U}$ mit Koeffizienten in $G$}. 
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
Unser $\check{\mathrm{H}}^{1}(\cal{U};G)$ ist im 
allgemeinen keine Gruppe, sondern nur
eine Menge mit einem ausgezeichneten Punkt, n"amlich der Klasse
des trivialen Einskozykels. Ist jedoch die Gruppe $G$ kommutativ,
so sind $\check{\mathrm{Z}}^{1}(\cal{U};G)$ und 
$\check{\mathrm{H}}^{1}(\cal{U};G)$ auch  
kommutative Gruppen in nat"urlicher Weise.
\end{Bemerkungl}


\begin{Lemma}
Gegeben ein topologischer Raum  $X$ und  eine offene "Uberdeckung
$\cal{U}$ von $X$ liefert das Bilden der\label{trUU} 
Verklebungsfunktionen eine Bijektion
$$\begin{array}{ccc}
\left\{\begin{array}{c}
\text{$n$-bl"attrige "uber $\cal{U}$ trivialisierbare}\\
\text{ "Uberlagerungen von $X$,}\\
\text{bis auf Isomorphismus}\end{array}\right\} & \sira &
\check{\mathrm{H}}^{1}(\cal{U}; \cal{S}_{n}) \end{array}$$
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Dem Leser  "uberlassen. 
\end{proof}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Kozykel zu angeordneter offener "Uberdeckung}] 
  F"ur Berechnungen in expliziten Beispiel ist es sinnvoller,
  zus"atzlich eine Anordnung $\leq$ auf $\mathcal U$ zu w"ahlen und
  ein Datum von stetigen Abbildungen $\varphi_{UV}:U\cap V\ra G$ zu betrachten,
  das nur f"ur Indizes $(U,V)$ mit $U<V$ erkl"art ist.\label{VkoM} 
  Die Menge der entsprechenden Kozykel notieren wir
  $\check{\mathrm{Z}}^1_{<}(\cal{U};G)$ und die Menge ihrer Kohomologieklassen
  $\check{\mathrm{H}}^1_{<}(\cal{U};G)$ und erhalten genauso eine
  Bijektion
  $$\begin{array}{ccc}
\left\{\begin{array}{c}
\text{$n$-bl"attrige "uber $\cal{U}$ trivialisierbare}\\
\text{ "Uberlagerungen von $X$,}\\
\text{bis auf Isomorphismus}\end{array}\right\} & \sira &
\check{\mathrm{H}}^{1}_<(\cal{U}; \cal{S}_{n}) \end{array}$$
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Weitere Varianten}]
  Bei die Entwicklung der
  allgemeinen Theorie f"uhrt die Wahl einer Anordnung eher zu
  zus"atzlichen Komplikationen, die ich vorest vermeiden will.
  F"ur die weitere Entwicklung der allgemeinen Theorie ist es noch sinnvoller,
  offene "Uberdeckungen in Gestalt von Familien offener Teilmengen
  $(U_i)_{i\in I}$ zu betrachten, bei denen verschiedenen Indizes auch durchaus
  dieselbe offene Menge zugeordnet sein darf und wir als Kozykel
  Daten $\varphi_{ij}$ mit $i,j\in I$ betrachten. Auch das f"uhrt jedoch zu
  zus"atzlichen Komplikationen, die ich an dieser Stelle noch vermeiden will. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{"Ubergang zu "Uberdeckung durch weniger offene Mengen}] 
Ist $\cal{U}$ eine offene "Uberdeckung von $X$ und $\cal{V}\subset\cal{U}$
eine weitere offene "Uberdeckung durch weniger offene Mengen, 
so erhalten wir in  offensichtlicher Weise eine Abbildung
$\op{res}_{\mathcal U}^{\mathcal V}:\check{\mathrm{H}}^{1}(\cal{U};G)\ra 
\check{\mathrm{H}}^{1}(\cal{V};G)$, 
die den ausgezeichneten
Punkt in den ausgezeichneten
Punkt "uberf"uhrt. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Weglassen unn"otig kleiner Mengen aus einer offenen "Uberdeckung}] 
Ist $\cal{U}$ eine offene "Uberdeckung von $X$ und $\cal{V}\subset \cal{U}$
eine weitere "Uberdeckung durch weniger offene Mengen
und ist zus"atzlich jede Menge aus $\mathcal U$ 
bereits in einer Menge aus $\mathcal V$ enthalten,
lassen wir also salopp gesprochen \glqq nur kleine Mengen aus $\mathcal U$ weg\grqq, so ist unsere 
Abbildung eine Bijektion 
$$\op{res}_{\mathcal U}^{\mathcal V}:\check{\mathrm{H}}^{1}(\cal{U};G)\sira 
\check{\mathrm{H}}^{1}(\cal{V};G)$$
Das ist anschaulich klar in unserem Spezialfall $G=\mathcal S_n$. 
Formal kann man eine Umkehrabbildung konstruieren,
indem man man eine Abbildung
$\tau:\mathcal U\ra \mathcal V$  w"ahlt  mit $W\subset \tau(W)\;\forall W$
und jedem Kozykel $(\varphi_{UV})$ rechts den Kozykel 
$(\phi_{UV})$ links mit\label{UbgKU}  
$\phi_{UV}\pdef\varphi_{\tau(U)\tau(V)}|_{U\cap V}$ zuordnet.
Das Argument vereinfacht sich zus"atzlich, wenn man
annimmt, da"s $\tau$ ein Schnitt der Einbettung ist alias
auf $\mathcal V$ die Identit"at induziert.
Wir beweisen in \ref{BcKo} eine Variante.
\end{Bemerkungl}

\begin{Definition}
Wir nennen eine offene "Uberdeckung $\cal{U}$ eines topologischen 
Raums $X$
\defnoind{ges"attigt}\index{ges"attigt!offene "Uberdeckungl} 
oder ein {\bf "uberdeckendes Sieb}, wenn 
sie mit einer Menge auch alle ihre offenen 
Teilmengen enth"alt, wenn also aus $U \in \cal{U}$ und $V \co U$
folgt $V \in \cal{U}$.  
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl} Die Arbeit mit Sieben ist f"ur den Aufbau der allgemeinen
  Theorie besonders bequem, f"ur die Berechnung expliziter Beispiele jedoch 
  maximal ungeschickt. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Definition}
Seien $X$ ein topologischer Raum und $G$ eine Gruppe.
Die {\bf erste \v{C}ech-Kohomologie von $X$ mit Koeffizienten in $G$}\index{Cech-Kohomologie@\v{C}ech-Kohomologie!mit Koeffizienten in Gruppe} 
ist der  "uber alle "uberdeckenden Siebe $\mathcal U$ von $X$ gebildete Kolimes
$$\check{\mathrm{H}}^{1} (X;G) 
\pdef \op{colf}_{\mathcal U} \check{\mathrm{H}}^{1}(\cal{U};G)$$
Der Begriff eines Kolimes wird in \eref{Kolim}{TS} besprochen. Er ist hier  zu verstehen als Kolimes in der Kategorie der
bepunkteten Mengen. 
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
  Gegeben $\mathcal V\subset\mathcal U$  ges"attigte offene
  "Uberdeckungen eines topologischen Raums $X$  mu"s 
  die Restriktionsabbildung 
  $\op{res}_{\mathcal U}^{\mathcal V}:\check{\mathrm{H}}^{1}(\cal{U};G)
  \ra \check{\mathrm{H}}^{1}(\cal{V};G)$
keineswegs ein Isomorphismus sein. Anschaulich gesprochen
  werden ja immer mehr "Uberlagerungen trivialisierbar, wenn wir zu immer
  feineren "Uberdeckungen "ubergehen. Formal wird die Isomorphiebedingung
  in \ref{UbgKU} im allgemeinen verletzt sein, da wir
  anschaulich gesprochen \glqq nicht kleine, sondern vielmehr
  gro"se offene Mengen aus $\mathcal U$
  weglassen\grqq\ um $\mathcal V$ zu kriegen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl} Die erste \v{C}echkohomologie ist in Gestalt dieser
  Definition f"ur explizite Rechnungen v"ollig ungeeignet.
  Dahingegen scheint mir ihre konzeptionelle Bedeutung 
  besonders klar hervorzutreten. 
\end{Bemerkungl}


\begin{Satz}[\textbf{Erste \v{C}echkohomologie und "Uberlagerungen}]
F"ur jeden topologischen Raum $X$ 
liefert das Bilden von\label{ECU}
Verklebungsfunktionen f"ur Trivialisierungen 
bez"uglich offener "Uberdeckungen eine Bijektion
$$\begin{array}{ccc}
\left\{ \begin{array}{c}
\text{$n$-bl"attrige "Uberlagerungen von $X$}\\
\text{bis auf Isomorphismus} \end{array}\right\}
& \sira & \check{\mathrm{H}}^{1}(X;\cal{S}_{n})\end{array}$$
\end{Satz}
\begin{proof}[Beweis]
Das ergibt sich aus den vorhergehenden Definitionen und Lemmata.
Die Details bleiben dem Leser  "uberlassen.
\end{proof}

\begin{Bemerkungl} Gegeben eine offene "Uberdeckung $\mathcal U$ eines
  topologischen Raums $X$ durch "uberlagerungstriviale
  Teilmengen und eine Anordnung auf $\mathcal U$
  erhalten wir Bijektionen 
  $$
  \check{\mathrm{H}}^{1}_<(\mathcal U;\cal{S}_{n})\sira \check{\mathrm{H}}^{1}(\mathcal U;\cal{S}_{n})\sira
  \check{\mathrm{H}}^{1}(X;\cal{S}_{n})$$
  aus den Bijektionen dieser drei Mengen mit der  Menge der
  Isomorphieklassen $n$-bl"attriger "Uberlagerungen von $X$,
  die wir im Verlauf dieses Abschnitts konstruiert haben. 
\end{Bemerkungl}

\subsubsection{"Ubungen}
\begin{Ubung}
  Man leite aus Lemma \ref{trUU}
  und der offensichtlichen Variante von \ref{trUU}
  f"ur angeordnete "Uberlagerungen 
eine Klassifikation der $n$-bl"attrigen "Uberlagerungen 
der Kreislinie her. Man verwende die Erkenntnis, da"s jede
"Uberlagerung eines Intervalls trivial ist. Man erinnere die
Beschreibung der Konjugationsklassen in den symmetrischen Gruppen. 
\end{Ubung}

\begin{Ubung}
  Gegeben eine Gruppe $G$ verstehen wir unter einem {\bf $G$-Torsor} auf einem
  topologischen Raum $X$ eine "Uberlagerung von $X$ mit einer Rechtsoperation
  von $G$ durch Decktransformationen,
  die frei und transitiv ist auf jeder Faser.
  Man konstruiere  eine Bijektion
  $$\begin{array}{ccc}
\left\{ \begin{array}{c}
\text{$G$-Torsoren auf $X$,}\\
\text{bis auf Isomorphismus} \end{array}\right\}
& \sira & \check{\mathrm{H}}^{1}(X;G)\end{array}$$
\end{Ubung}

\subsection{Erste \v{C}echkohomologie und Torsoren}
\begin{Definition}
Sei $G$ eine topologische Gruppe. 
Ein $G$-Raum $Y$ hei"st
{\bf topologisch frei}, \index{topologisch!frei, Operation} 
 wenn\label{topf}  
jeder Punkt $y\in Y$ eine offene $G$-stabile Umgebung $U$ besitzt,
die isomorph ist zu einem $G$-Raum der Gestalt $W\times G$ f"ur
einen weiteren topologischen Raum $W$.
\end{Definition}
\begin{Beispiel}
  Die Operation von $\DR$ mit der diskreten Topologie auf
$\DR$ mit der "ublichen Topologie ist stetig und frei, aber
nicht topologisch frei.
\end{Beispiel}
\begin{Definition}
Seien $G$ eine topologische Gruppe und $X$ ein
topologischer Raum. Ein\label{HFB} 
$G$-\defnoind{Torsor}\index{Torsor!auf topologischem Raum}  
auf $X$,
auch genannt ein
{\bf $G$-Hauptfaserb"undel}\index{Hauptfaserb"undel}, 
englisch \defind{principal bundle}, 
franz"osisch  \defind{fibr\'{e} principal},
ist ein Paar $$(E,p)$$ bestehend aus einem
topologisch freien $G$-Rechtsraum $E$ 
mitsamt einer stetigen Abbildung 
$p:E\ra X$,   die 
einen Hom"oomorphismus $E/G\sira X$ induziert.
Wir nennen $E$ 
den \defind{Totalraum} und $p$ die 
{\bf Projektion}\index{Projektion!von Hauptfaserb"undel}
unseres Torsors.\index{Projektion!von Torsor}
Ein {\bf Morphismus von $G$-Torsoren auf 
$X$} ist eine stetige $G$-"aquivariante
Abbildung "uber $X$. 
\end{Definition}
\begin{Beispiel}
Ist $G$ diskret,  so ist ein $G$-Torsor  auf einem
topologischen Raum dasselbe wie eine "Uberlagerung 
unseres Raums mitsamt
einer Rechtsoperation von $G$ durch Decktransformationen 
derart, da"s die Operation auf jeder Faser frei und transitiv ist.
\end{Beispiel}
\begin{Bemerkungw}
Ist $G$ eine Lie-Gruppe und $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit
und ersetzt man in der obigen Definition 
das Wort \glqq stetig\grqq\  durch % \glqq differenzierbar\grqq\  oder besser
\glqq glatt\grqq\  und den 
Begriff \glqq topologischer Raum\grqq\ 
durch \glqq differenzierbare Mannigfaltigkeit\grqq, so
erh"alt man die Definition eines \defnoind{glatten
$G$-Hauptfaserb"undels auf $X$}\index{Hauptfaserb"undel!glattes}.
\end{Bemerkungw}    

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Erste \v{C}echkohomologie 
und Torsoren}]
Sei $X$ ein topologischer Raum, $G$ eine topologische Gruppe und
$p:E\ra X$ ein $G$-Torsor\label{ECK} auf $X$. W"ahlen wir f"ur unseren Torsor
eine
trivialisierende ges"attigte
offene "Uberdeckung $\cal{U}$ von $X$ und "uber $\cal{U}$ eine
Trivialisierung $(i_U)_{U\in\cal{U}}$ von $E$ durch die Wahl
gewisser
$i_U\in \op{Top}^G_U(p^{-1}(U), U\times G)$  und erkl"aren 
f"ur $U,V\in \cal{U}$ die Verklebungsfunktionen
$\varphi_{UV}\in\op{Top}(U\cap V, G)$ durch die Vorschrift
$(i_U\circ i_V^{-1})(x,g)=(x,\varphi_{UV}(x)g)$, 
so bilden die $\varphi_{UV}$ einen \v{C}echkozykel,
dessen Kohomologieklasse nur von $E$ abh"angt, und wir erhalten so eine 
Bijektion
$$\begin{array}{ccc}
\left\{ \begin{array}{c}
\text{$G$-Torsoren auf $X$,}\\
\text{bis auf Isomorphismus} \end{array}\right\}
& \sira & \check{\mathrm{H}}^{1}(X;\mathcal C_G)\end{array}
$$ 
Der Beweis l"auft vollst"andig analog zum 
Beweis von \ref{ECU} und bleibt dem Leser "uberlassen.  
Gegeben ein Homomorphismus topologischer Gruppen 
$H \rightarrow G$ kann man weiter jedem $H$-Hauptfaserb"undel $E \rightarrow X$
das $G$-Hauptfaserb"undel $E \times_{/H} G \rightarrow X$ zuordnen.
Diese Zuordnung ist dann 
unter den eben erkl"arten Bijektionen
mit der offensichtlichen
Abbildung $\check{\mathrm{H}}^{1}(X;\mathcal C_H)\ra \check{\mathrm{H}}^{1}(X;\mathcal C_G)$ vertr"aglich.
\end{Bemerkungl}




\begin{Bemerkungl}[\textbf{Erste \v{C}echkohomologie
als singul"are Kohomologie}]
Gegeben ein zusammenh"angender lokal\label{ESC} 
zusammenziehbarer topologischer Raum $X$ und eine diskrete 
abelsche 
Gruppe $M$ k"onnen wir bereits hier einen Isomorphismus
zwischen der ersten singul"aren
Kohomologie
und der ersten \v{C}echkohomologie
erhalten als die Komposition der Isomorphismen beziehungsweise
Inversen der 
Isomorphismen des folgenden Diagramms, dessen Pfeile
wir im Anschlu"s diskutieren:
$$
\begin{array}{ccccc}
\op{H}^1(X;M)_{\op{sing}}&& \check{\mathrm{H}}^{1}(X;M)\\[2mm]
\ua\wr&&\ua\wr\\[2mm]
\op{Hom}(\op{H}_1(X),M)&&\{\text{$M$-Torsoren auf $X$}\}/_{\textstyle\cong}\\[2mm]
\da\wr && \da\wr\\[2mm]
\op{Grp}(\pi_1(X,x),M)&\sira&\left\{ \begin{array}{c}
 \text{$\pi_1(X,x)$-Mengen mit einer freien}\\
 \text{transitiven Rechtsoperation von $M$}
 \end{array}\right\}/_{\textstyle\cong}
\end{array}
$$
Hier kommt der vertikale Pfeil oben links 
vom universellen Koeffiziententheorem \eref{UKh}{TS} her,
der vertikale Pfeil unten links vom Satz von
Hurwitz \eref{Hu}{TS} und der vertikale Pfeil oben rechts von der
vorhergehenden Bemerkung \ref{ECK}. F"ur den 
vertikalen Pfeil unten rechts
erinnern wir, da"s 
nach \eref{HaS}{TF} unter unseren Annahmen
der Faserfunktor zu einem beliebigen Punkt
$x\in X$
eine "Aquivalenz von Kategorien
$$
\{\text{"Uberlagerungen von $X$}\}\sirra
\{ 
\text{$\pi_1(X,x)$-Mengen}
\}
$$
liefert. Sie induziert auch eine "Aquivalenz zwischen
den Kategorien aller \glqq Objekte mit Rechtsoperation einer Gruppe $M$\grqq\
in unseren beiden Kategorien, und diese hinwiederum schr"ankt ein zu einer
"Aquivalenz 
 von Kategorien
$$
\{\text{$M$-Torsoren auf $X$}\}\sirra
\left\{ \begin{array}{c}
\text{$\pi_1(X,x)$-Mengen mit einer freien}\\
\text{transitiven Rechtsoperation von $M$}
\end{array}\right\}
$$
Das liefert die Bijektion auf Isomorphieklassen
in der unteren rechten Vertikale. 
Um schlie"slich die untere Horizontale zu erkl"aren, beachten wir
die Bijektion $M\sira \op{Ens}_{-M}(M)$ vermittels $m\mapsto (m\cdot)$,
die Endomorphismen der $M$-Rechtsmenge $M$ sind also genau
die Multiplikationen
mit Elementen von $M$ von links. Das gilt sogar f"ur jedes Monoid $M$,
die Umkehrabbildung zu $m\mapsto (m\cdot)$ ist $\varphi\mapsto \varphi(e)$. 
Die  Operationen einer Gruppe $P$ auf der $M$-Rechtsmenge $M$
entsprechen also eineindeutig den Monoidhomomorphismen $\phi:P\ra M$ und
zwei solche Monoidhomomorphismen
$\phi,\psi$ liefern isomorphe $M$-Rechtsmengen mit
$P$-Operation genau dann, wenn es eine Einheit $m\in M^\times$ gibt mit
$\phi=(\op{int} m)\circ \psi$. Ist $M$ kommutativ, so bedeutet das
bereits $\phi=\psi$ und diese Erkenntnis  liefert die Bijektion in
der unteren
Horizontale unseres Diagramms.
Wir werden sp"ater noch sehr viel st"arkere Resultate
"uber den Zusammenhang von singul"arer Kohomologie
und Garbenkohomologie kennenlernen.
\end{Bemerkungl}



\begin{Definition}\label{KBDL}
Sei $\Bbb{K}$ entweder $\Bbb{R}$ oder $\Bbb{C}$ oder der Schiefk"orper der
Quaternionen $\Bbb{H}$ und sei
$X$ ein topologischer Raum.
\begin{enumerate}
\item
Ein \glqq M"ochte\-gern-B"undel von $\Bbb{K}$-Vektorr"aumen\grqq\ 
oder kurz ein \glqq M"ochte\-gern-$\Bbb{K}$-B"undel\grqq\  $E = (E,p)=(p:E\ra X)$
auf $X$ besteht aus
einem topologischen Raum $p : E \ra X$ "uber $X$, dem \defind{Totalraum} $E$
mit der \defind{Projektion} $p$, sowie
einer $\Bbb{K}$-Vektorraumstruktur auf jeder Faser $E_{x}
= p^{-1}(x)$.
\item
Ein \defind{Morphismus} von einem
M"ochtegern-$\Bbb{K}$-B"undel $E$ in ein
M"ochtegern-$\Bbb{K}$-B"undel $F$
ist eine stetige Abbildung $h: E \ra F$ "uber $X$ derart, 
da"s f"ur alle $x \in X$ die auf den Fasern induzierte Abbildung $h :
E_{x} \ra F_{x}$ eine $\Bbb{K}$-lineare Abbildung ist.
\item
Der Raum $X \times \Bbb{K}^{n}$ mit seiner offensichtlichen
Struktur als M"ochtegern-$\Bbb{K}$-B"undel hei"st das \defnoind{konstante
$n$-dimensionale $\Bbb{K}$-B"undel auf $X$}\index{B"undel}.
\item
Ein \defnoind{$n$-dimensionales topologisches
$\Bbb{K}$-B"undel auf $X$}\index{B"undel} ist ein
$n$-di\-men\-sio\-na\-les M"och\-te\-gern-$\Bbb{K}$-B"undel $(E,p)$, bei dem jeder
Punkt
$x \in X$ eine Umgebung $U$ besitzt derart, da"s das 
auf der Umgebung $U$ induzierte
M"ochtegern-$\Bbb{K}$-B"undel $(p:p^{-1}(U)\ra U)$ auf $U$
isomorph ist zum konstanten $n$-di\-men\-sio\-na\-len
$\Bbb{K}$-B"undel $U\times \Bbb{K}^n$
auf $U$.
\end{enumerate}
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}\label{KBd}
Die Automorphismengruppe des konstanten $\DK$-B"undels
$X\times \DK^n$ ist kanonisch isomorph zur Gruppe der
stetigen Abbildungen von $X$ nach $\op{GL}(n;\DK)$.
Genauer erhalten wir eine Bijektion $\op{Top}(X, \op{GL}(n;\DK))\sira
\op{Aut}(X\times \DK^n)$ vermittels $f\mapsto \tilde{f}$ mit
$ \tilde{f}(x,v)=(x,f(x)v)$. Hier fassen wir $v\in \DK^n$ als
Spaltenvektor auf und verstehen im Fall der Quaternionen unter
einem $\Bbb{H}$-Vektorraum einen $\Bbb{H}$-Rechtsmodul.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}\label{VBH1}
Ganz genauso wie in \ref{ECU} erhalten
wir auch  Bijektionen
$$
\left\{ \text{$n$-dimensionale
$\Bbb{K}$-B"undel auf $X$}\right\}/_{\textstyle\cong}\;\; \sira \;\;
\check{\mathrm{H}}^{1}(X;\mathcal C_{\op{GL}(n;\Bbb{K})})$$
Genauer betrachten
wir lokale Trivialisierungen unseres $\Bbb{K}$-B"undels
 und die Klasse des durch die zugeh"origen "Ubergangsfunktionen
gegebenen \v{C}ech-$1$-Kozykels.
Wir k"onnen auch direkt jedem $\op{GL}(n;\Bbb{K})$-Torsor $E$
das $n$-dimensionale $\DK$-B"undel $E\times_{/\op{GL}(n;\Bbb{K})}\DK^n$ 
zuordnen und erhalten dann ein kommutatives Dreieck von
Bijektionen, an dessen drei Ecken  Isomorphieklassen von
Vektorraumb"undeln, Isomorphieklassen von Torsoren und
$\check{\mathrm{H}}^{1}(X;\mathcal C_{\op{GL}(n;\Bbb{K})})$ stehen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungw}
Ist $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit
und ersetzt man in der obigen Definition "uberall
das Wort \glqq stetig\grqq\  durch \glqq glatt\grqq\  und den 
Begriff \glqq topologischer Raum\grqq\ 
durch \glqq differenzierbare Mannigfaltigkeit\grqq, so
erh"alt man die Definition eines \defnoind{$n$-dimensionalen differenzierbaren
$\Bbb{K}$-B"undels auf $X$},\index{differenzierbares
$\Bbb{K}$-B"undel} wie sie
in \eref{DVB}{ML} bereits im Fall $\Bbb{K}=\Bbb{R}$
gegeben wurde. Das Tangentialb"undel an eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der
Dimension $n$ ist etwa ein $n$-dimensionales differenzierbares und damit erst
recht ein $n$-dimensionales topologisches $\Bbb{R}$-B"undel.
Unter anderem 
um die Klassifikation differenzierbarer oder auch \glqq analytischer\grqq\ 
B"undel
in derselben Weise behandeln zu k"onnen
wie die Klassifikation topologischer B"undel, f"uhren wir im
folgenden Abschnitt allgemeiner Pr"agarben 
und ihre \v{C}echkohomologie 
ein.
\end{Bemerkungw}


\subsubsection{"Ubungen}
\begin{Ubung}\label{SUE}
Sei $X$ ein topologischer Raum.
Wir erhalten eine Bijektion 
$$\{ \cal{S}_n\text{-Torsoren auf } X\}/_{\textstyle\cong}
\;\;\sira\;\;
\{n\text{-bl"attrige "Uberlagerungen von }X\}/_{\textstyle\cong} $$
durch $E\mapsto E\times_{/\cal{S}_n}\{1,\ldots,n\}$ beziehungsweise 
in der umgekehrten Richtung, indem wir einer $n$-bl"attrigen "Uberlagerung
$p:\tilde{X}\ra X$ die Menge $E\pdef \coprod_x E_x$ zuordnen, f"ur
$E_x\pdef\op{Ens}^\times(\{1,\ldots,n\}, p^{-1}(x))$ die Menge aller
Bijektionen zwischen $\{1,\ldots,n\}$ und der Faser unserer
"Uberlagerung
bei $x$, mit 
der offensichtlichen $\cal{S}_n$-Operation und Projektion
auf $X$ und einer geeigneten Topologie.
Hierbei ist $\times_{/\cal{S}_n}$ das balancierte Produkt im Sinne
von \eref{baP}{TF}.
\end{Ubung}


\begin{Ubung}
Jeder Morphismus von Torsoren ist ein Isomorphismus.
Die Automorphismen des $G$-Torsors $X\times G$ "uber $X$
k"onnen identifiziert werden mit den stetigen Abbildungen
$X\ra G$. Genauer erhalten wir eine Bijektion
$$\op{Top}(X,G)\sira \op{Top}^G_X(X\times G)$$ durch die
Vorschrift $f\mapsto \tilde{f}$ mit $\tilde{f}$ gegeben durch
$\tilde{f}(x,g)=(x,f(x)g)$.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}
Man zeige, da"s der in \ref{ESC} konstruierte 
Isomorphismus zwischen der ersten singul"aren
Kohomologie
und der ersten \v{C}echkohomologie nicht von der 
Wahl des Basispunkts $x\in X$ abh"angt.
\end{Ubung}


\begin{Ubung}
Ist der topologische Raum $X$ einfach zusammenh"angend, 
so besteht $\check{\mathrm{H}}^{1}(X;G)$ f"ur jede diskrete
Gruppe $G$ nur aus einem Punkt.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}\label{prTF} 
   $G$ eine topologische Gruppe und $E$
  ein topologisch freier $G$-Raum und $X$ ein beliebiger $G$-Raum,
  so ist  $X\times E$ mit der diagonalen $G$-Operation
  als $G$-Raum isomorph zu
  $X\times E$ mit der $G$-Operation nur auf dem zweiten Faktor 
und ist damit auch topologisch frei.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{TFB}
Ist $F$ ein topologischer Raum, auf dem eine topologische
Gruppe $G$ wirkt, und ist $E$ ein $G$-Torsor auf einem
Raum $X$, so ist $E\times_{/G} F$ ein Faserb"undel "uber $X$ mit
Faser $F$. 
\end{Ubung}
\begin{Bemerkungl}
In manchen F"allen liefert die Konstruktion aus \ref{TFB}
sogar eine Bijektion zwischen Isomorphieklassen von $G$-Torsoren und
 Isomorphieklassen von Faserb"undeln mit Faser $F$, so zum Beispiel
etwa im 
Fall $F=\{1,\ldots ,n\}$ und $G=\cal{S}_n$, den wir bereits in
  \ref{SUE} diskutiert hatten.  
\end{Bemerkungl}





\begin{Ubung}
Sei $G$ eine topologische Gruppe.
Ordnen wir jedem Element $g \in G$ den $G$-Torsor auf $S^{1}$ zu,
der entsteht aus $[0,1] \times G$ durch die Identifikation
$(0,h) \sim (1,gh)$, so erhalten wir eine Bijektion
$$ \{\text{Konjugationsklassen in }\pi_{0} (G)\} \sira \{ G\text{-Torsoren auf } S^{1}\}/_{\textstyle\cong}$$
zwischen der Menge der Konjugationsklassen in der Gruppe der Wegzusammenhangskomponenten von $G$ und 
der Menge der Isomorphieklassen von $G$-Torsoren auf der Kreislinie.
\end{Ubung}




\subsection{Pr"agarben und h"ohere \v{C}echkohomologie}

\nichtfinal{Warum eigentlich mache ich das hier?} 
\begin{Bemerkungl}
    F"ur einen topologischen Raum bilden wir die Kategorie seiner offenen
    Teilmengen mit allen offenen Teilmengen als Objekten und den Inklusionen
    als Morphismen.  Insbesondere ist in dieser Kategorie also jede
    Morphismenmenge entweder einelementig oder leer.
\end{Bemerkungl}


\begin{Definition}
Seien $X$ ein topologischer Raum und $\mathcal{W}$ eine Kategorie.
Eine \defnoind{Pr"agarbe}, englisch \defind{presheaf}, franz"osisch
\defind{prefaisceau}, auf $X$ mit Werten in\label{DPG}  
$\cal W$\index{Pr"agarbe} ist ein Funktor
$$\{\text{offene Teilmengen von $X$}\}^{\op{opp}}\ra \cal{W}$$
Ein \defind{Morphismus von Pr"agarben} ist eine nat"urliche
Transformation von Funktoren.
Eine Pr"agarbe mit Werten in der Kategorie der abelschen Gruppen
hei"st eine \defnoind{abelsche Pr"agarbe}.\index{abelsch!Pr"agarbe}
Die Kategorie der abelschen Pr"agarben auf einem Raum $X$ notieren wir
$\op{pAb}_{/X}$.\index{pAb@$\op{pAb}_{/X}$ abelsche Pr"agarben auf $X$} 
Vereinbaren wir die Notation $\op{Off}(X)$ f"ur die Kategorie der
offenen Teilmengen von $X$, so ist die Kategorie der $\mathcal W$-wertigen Pr"agarben auf $X$ die Funktorkategorie
$$\op{Cat}(\op{Off}(X)^{\op{opp}},\mathcal W)$$
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] 
Manche Autoren betrachten nur Pr"agarben von Gruppen oder sogar nur von
abelschen Gruppen und fordern dann von jeder Pr"agarbe zus"atzlich, da"s der
entsprechende Funktor der leeren Menge eine einelementige Gruppe zuordnen soll.
Derartige Zusatzannahmen scheinen
 mir im Lichte der obigen allgemeinen
Definition unnat"urlich.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Ausgeschrieben ist eine Pr"agarbe $\cal{F}$ von Gruppen
auf einem Raum $X$ also eine Zuordnung, die jeder
offenen Menge $U\co X$ eine Gruppe $\cal{F} (U)$ zuordnet und jeder
Inklusion
$V \subset U$ von offenen Teilmengen von $X$ einen Homomorphismus
von Gruppen $\rho^{V}_{U} : \cal{F} (U) \ra \cal{F}(V)$, 
die sogenannte
\defind{Einschr"ankungsabbildung}, in Formeln 
$$\cal{F}:\;\;\;\;\begin{array}{ccl}
U&\mapsto&\cal{F}(U)\\
\cup&\mapsto &\;\;\da\rho_U^V\\
V&\mapsto&\cal{F}(V)\end{array}$$
Von diesen Daten
 mu"s  man dann noch fordern, da"s gilt
$\rho^{U}_{U}=\op{id}$ und
$\rho^{W}_{V} \circ \rho^{V}_{U}=\rho^{W}_{U}$ falls $W\subset
V\subset U$.
Ein Element $s\in \cal{F} (U)$ hei"st ein \defnoind{Schnitt 
von $\cal{F}$ "uber
$U$}.\index{Schnitt!von abelscher Pr"agarbe}
Statt $\rho^{V}_{U} (s)$ schreiben wir meist $s|_V$ oder auch $s|V$.
Ein Morphismus von Pr"agarben $f:\cal{F} \ra \cal{G}$ ist 
ausgeschrieben eine
Familie von Gruppenhomomorphismen $f_{U}:\cal{F} (U) \ra \cal{G} (U)$ 
derart, da"s
gilt $\rho^{V}_{U}\circ f_{U} = f_{V}\circ \rho^{V}_{U}$ f"ur alle $V\subset
U$, wo wir mit $\rho^{V}_{U}$ links die Restriktionsabbildungen der
Pr"agarbe $\cal{G}$ und rechts die Restriktionsabbildungen der
Pr"agarbe $\cal{F}$ meinen. Als Diagramm  geschrieben
soll also kommutieren
$$\begin{array}{ccc}
\cal{F}(U)&\ra &\cal{G}(U)\\
\da&&\da\\
\cal{F}(V)&\ra &\cal{G}(V)\end{array}$$
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiel}
Sei $X$ ein topologischer Raum.
Die Zuordnung, die jeder offenen Menge $U\co X$ den komplexen Vektorraum
$\cal{C}(U)$ aller
stetigen komplexwertigen Funktionen auf $U$ zuordnet und jeder
Inklusion $V\co U$ die Restriktion $\cal{C}(U)\ra \cal{C}(V)$,
ist eine Pr"agarbe $\cal{C}=\cal{C}_\DC=\cal{C}_{\DC,X}$ von $\DC$-Vektorr"aumen auf $X$,
die \defind{Pr"agarbe der stetigen komplexwertigen Funktionen}.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}
Ist allgemeiner $X$ ein topologischer Raum
und $G$ eine topologische Gruppe, so bilden
die stetigen Abbildungen von offenen Teilmengen von $X$\label{defGx} 
nach $G$ eine Pr"agarbe $\cal{C}_{G}=\cal{C}_{G,X}$ von Gruppen auf $X$, die
{\bf Pr"agarbe der stetigen $G$-wertigen Funktionen}.
\index{Pr"agarbe!der stetigen $G$-wertigen Funktionen}\index{)8ba@$G_X$ konstante Garbe} 
W"ahlt man auf $G$ die diskrete Topologie, so notiert man diese Pr"agarbe
oft $G_X$ und spricht von der \defind{Pr"agarbe der lokal konstanten
$G$-wertigen Funktionen}. F"ur jeden topologischen Raum $X$ haben wir
zum Beispiel Homomorphismen von
abelschen Pr"agarben $\Bbb{Z}_X\ra \DR_X\ra \cal{C}_{\DR,X}$.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}
Ist $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit,
so bilden die komplexwertigen $\cal{C}^\infty$-Funktionen
eine Pr"agarbe 
$\cal{C}^\infty=\cal{C}^\infty_\DC=\cal{C}^\infty_{\DC,X}$ 
von komplexen Vektor\-r"aumen auf $X$.
Wir haben dann einen nat"urlichen Homomorphismus 
$\cal{C}^\infty\ra \cal{C}$
von Pr"agarben von $\DC$-Vektorr"aumen auf $X$.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}
Ist  $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit
und $G$ eine Liegruppe, so bilden
die differenzierbaren Abbildungen von offenen Teilmengen von $X$
nach $G$ eine Pr"agarbe $\cal{C}^\infty_{G}=\cal{C}^\infty_{G,X}$ 
von Gruppen auf $X$, die
\defind{Pr"agarbe der differenzierbaren $G$-wertigen Funktionen}.
\end{Beispiel}

\begin{Beispiel}
Ist  $p: E\ra X$ eine stetige Abbildung, so erhalten wir eine
Pr"agarbe von Mengen auf $X$, in dem wir jedem $U\co X$ die
Menge aller stetigen Abbildungen $s:U\ra E$ zuordnen mit
$p(s(x))=x\;\forall x\in U$. Sie hei"st die {\bf Pr"agarbe der 
Schnitte von $p$}.
\end{Beispiel}


\begin{Beispiel}
Gegeben ein topologischer Raum $X$, ein Punkt $x\in X$ und eine
Menge $A$ definieren wir eine Pr"agarbe
von Mengen $A_{(x)}$ auf $X$ durch die Vorschrift\label{Wolk} 
$A_{(x)}(U)=A$ falls $x\in U$ und $A_{(x)}(U)$ einpunktig sonst.
Diese Pr"agarbe hei"st der 
{\bf Wolkenkratzer bei $x$ mit Faser $A$}.\index{Wolkenkratzer} 
F"ur eine abelsche Gruppe $A$ ist unser Wolkenkratzer in nat"urlicher
Weise eine abelsche Pr"agarbe.
\end{Beispiel}



%  \begin{Bemerkungl}
%  Wir ordnen nun jeder abelschen Pr"agarbe eine
%  Sequenz von Gruppen zu, ihre sogenannten   \glqq \v{C}ech-Kohomologiegruppen\grqq.
%  Die erste \v{C}ech-Koho\-mologie verallgemeinert 
%  die bisher eingef"uhrten
%  Konzepte. F"ur die nullte \v{C}ech-Kohomo\-lo\-gie werden wir in
%  \ref{NCKk} eine Interpretation  in Spezialf"allen geben.
%  Die Bedeutung der anderen \v{C}ech-Kohomologiegruppen
%  wird sich erst im Zusammenhang mit der Garbenkohomologie 
%  erweisen.
%  \end{Bemerkungl}






\begin{Definition}[\textbf{\v{C}echkohomologie 
einer abelschen Pr"agarbe}]
Sei $\cal{F}$ eine abelsche Pr"agarbe auf einem
topologischen Raum $X$.\label{CKo}
Gegeben ein System offener Teilmengen 
 $\cal{U}\subset \cal{P} (X)$ von
$X$ definieren wir den Komplex
$$\ldots \ra \check{\mathrm{C}}^{q} (\cal{U}; \cal{F}) \overset{d}{\ra}
\check{\mathrm{C}}^{q+1} (\cal{U};\cal{F}) \ra \ldots$$
der \defnoind{\v{C}echkoketten f"ur $\cal{U}$ 
mit Koeffizienten in $\cal{F}$}\index{Cechkokette@\v{C}echkokette} als
den Komplex von abelschen Gruppen
$$\check{\mathrm{C}}^{q}(\cal{U}; \cal{F}) \pdef \prod_{(U_{0}, \ldots, U_{q}) \in
\cal{U}^{q+1}} \cal{F} (U_{0} \cap \ldots \cap U_{q})$$
Hier setzen wir $\check{\mathrm{C}}^{q}(\cal{U}; \cal{F})=0$
 f"ur $q<0$ und erkl"aren
die Randoperatoren $d$ wie folgt:
Eine \v{C}echkokette $\psi \in \check{\mathrm{C}}^{q}(\cal{U};\cal{F})$ ist ja ein Tupel 
bestehend aus Elementen 
$\psi (U_{0}, \ldots, U_{q}) \in \cal{F} (U_{0}\cap \ldots \cap
U_{q})$.
Wir setzen dann
$$(d \psi)(U_{0},\ldots, U_{q+1})\pdef\sum_{0\leq i \leq q+1}
(-1)^{i}\psi (U_{0}, \ldots, \widehat{U_{i}}, \ldots, U_{q+1})
|({U_{0} \cap \ldots \cap U_{q+1}})$$
Die \glqq Tarnkappe\grqq\  "uber $U_{i}$  soll dabei wie "ublich bedeuten,
da"s $U_i$ aus dem Schnitt wegzulassen ist.
Man pr"uft leicht die Formel $dd =0$, unsere Konstruktion liefert also wirklich
einen Komplex.
Seine Kohomologie 
 notieren wir
$$\check{\mathrm{H}}^{q} (\cal{U};\cal{F})
\pdef \cal{H}^{q}\check{\mathrm{C}}^{\ast}(\cal{U};\cal{F})$$
Ist $\mathcal U$ eine "Uberdeckung von $X$, so nennen wir sie die
\defnoind{\v{C}echkohomologie von $X$ bez"uglich $\cal{U}$ mit
Koeffizienten in 
$\cal{F}$}.
Die \defnoind{$q$-te 
\v{C}echkohomologie $\check{\mathrm{H}}^{q} (X;\cal{F})$ von $X$ mit
Koeffizienten in $\cal{F}$}\index{Cechkohomologie@\v{C}echkohomologie!von
abelscher Pr"agarbe} 
schlie"slich ist definiert als der \hyperref[Kolim]{Kolimes}
"uber alle ges"attigten offenen "Uberdeckungen $\cal{U}$ von $X$
der jeweiligen \v{C}echkohomologien, in Formeln
$$\check{\mathrm{H}}^{q} (X;\cal{F})\pdef\op{colf} \check{\mathrm{H}}^{q}
(\cal{U};\cal{F})$$
Um den Kolimes zu bilden beachten wir wie im Fall der
ersten \v{C}echkohomologie,
da"s  f"ur  $\mathcal V\subset \mathcal U$ die Einschr"ankung 
nat"urliche Abbildungen von Komplexen und damit nat"urliche
Abbildungen 
$\check{\mathrm{H}}^{q} (\mathcal U;\cal{F})\ra 
\check{\mathrm{H}}^{q} (\mathcal V;\cal{F})$ induziert. 
\end{Definition}
\begin{Lemma}[\textbf{\v{C}echkohomologie von Wolkenkratzern}]
Gegeben ein topologischer Raum $X$ und eine offene\label{CW} 
"Uberdeckung  $\cal U$ von $X$  gilt f"ur den  \hyperref[Wolk]{Wolkenkratzer}
 $A_{(x)}$  an einem Punkt $x\in X$
mit einer abelschen Gruppe $A$ als Faser 
$$\check{\mathrm{H}}^{q}(\cal{U};A_{(x)}) =0 \quad\text{ f"ur } q > 0.$$
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir erhalten den fraglichen \v{C}echkomplex, indem wir
  zur Menge $E\pdef \{ U\in\cal{U}\mid x\in U\}$ den in \eref{HKHKn}{TS}
  betrachteten Komplex mit $\DZ E^{q+1}$ im Grad $q$ bilden, zum
  Komplex der $\op{Hom}_\DZ(\DZ E^{q+1},A)$ "ubergehen und 
  schlie"slich den Anteil mit $q=-1$ abschneiden. Da unser Komplex
  $\DZ E^{q+1}$ nach dem dortigen Beweis sogar nullhomotop ist,
  mu"s  auch   der Komplex $\op{Hom}_\DZ(\DZ E^{q+1},A)$ nullhomotop
  und insbesondere exakt sein.
  Durch das Abschneiden kriegt er $A$
  als nullte Kohomologie und bleibt sonst exakt.
\end{proof}
\begin{proof}
Wir k"onnen alternativ auch den Beweis von \eref{HKHKn}{TS} wiederholen. 
Wir w"ahlen dann $U \in \cal{U}$ mit $x \in U$ und erkl"aren f"ur
$q\geq 0$ die Abbildung $\delta = \delta_{U} : \check{\mathrm{C}}^{q+1}
(\cal{U};A_{(x)})\ra \check{\mathrm{C}}^{q}(\cal{U};A_{(x)})$ durch die Vorschrift
$$(\delta \psi) (U_{0}, \ldots , U_{q})\pdef \psi (U,U_{0}, \ldots ,
U_{q})$$
Eine kurze Rechnung zeigt $d \delta + \delta d = \op{id}$ auf
$\check{\mathrm{C}}^{q}(\cal{U};A_{(x)})$ f"ur $q> 0$, 
folglich ist f"ur $q>0$ jeder $q$-Zykel
ein Rand.
\end{proof}



\subsection{Exakte Sequenzen der \v{C}echkohomologie*}




\begin{Lemma}[\textbf{Nichtkommutative Homologiesequenz}]
 Gegeben sei eine Sequenz von Mengen mit Gruppenoperation\label{NkHo} 
  $$\xymatrix{A\acts X\ar[r]^{\phi\sacts f}& B\acts Y\ar[r]^{\psi\sacts g}& C\acts Z}$$
Wir nehmen an,
  da"s die zugeh"orige  Sequenz
  von Gruppen eine linksexakte Sequenz
  $A\hra B\ra C$  ist. Wir nehmen weiter an,
  da"s jeweils ausgezeichnete Punkte $x,y,z$
  in $X,Y,Z$ gegeben sind mit $f(x)=y$ und $g(y)=z$
  und da"s $f$ injektiv ist mit $f(X)=g^{-1}(z)$
  und da"s gilt $C_z\subset \psi(B)$.
  Dann ist die Sequenz von bepunkteten Mengen
  $$A_x\hra B_y\ra C_z\ra X/A\ra Y/B$$
  exakt  mit der Abbildung in der linken Mitte, die $c\in C_z$ auf
  $f^{-1}(\psi^{-1}(c)y)\subset X$ wirft. Ist zus"atzlich $\psi$ eine Surjektion $B\sra C$,
  so ist sogar die  um $Y/B\ra Z/C$ verl"angerte Sequenz  exakt.
\end{Lemma}

\begin{proof} Zun"achst zeigen wir, da"s $f^{-1}(\psi^{-1}(c)y)$
  in der Tat eine $A$-Bahn ist.
  Sicher gilt jedoch $\psi^{-1}(c)y\subset g^{-1}(z)=f(X)$
  und $\psi^{-1}(c)$ ist
  eine $\phi(A)$-Bahn in $B$ f"ur alle $c\in C_z$. Unsere Sequenz ist also
  wohldefiniert und es gilt, an jeder Stelle ihre Exaktheit zu zeigen.
  Da"s die Verkn"upfung von je zwei aufeinanderfolgenden Abbildungen unserer
  Sequenz konstant zum ausgezeichneten Punkt geht, ist klar.
  Da"s gilt $A_x=\op{ker}(B_y\ra C_z)$ ist klar. Da"s f"ur $c\in C_z$ aus
  $f^{-1}(\psi^{-1}(c)y)=Ax$ alias $\psi^{-1}(c)y=\phi(A)y$
  folgt $\psi^{-1}(c)\subset B_y$ alias $c\in \psi(B_y)$ ist auch klar.
  Geht weiter eine Bahn $A\tilde x$ auf die Bahn $By$
  alias gibt es $\tilde b\in B$ mit $f(\tilde x)=\tilde b y$,
  so folgt $\psi(\tilde b)\in C_z$ und unsere
  Bahn $A\tilde x$ ist das Bild von  $\psi(\tilde b)$.
 Den Nachweis der letzten Aussage "uberlasse ich dem
  Leser. 
\end{proof}

\begin{Bemerkungl} Seien $X$ ein topologischer Raum,
  $\mathcal A$ eine Gruppenpr"agarbe auf $X$ und  $\mathcal U$
  eine offene "Uberdeckung.
  Die Gruppe der {\bf \v{C}ech-Nullketten} 
  $$\check{\mathrm{C}}^{0}(\cal{U};\cal{A})\pdef
  \prod_{U\in \mathcal U}\mathcal A(U)$$ operiere auf der Menge der
  \v{C}ech-Einskozykel
  $\check{\mathrm{Z}}^{1}(\cal{U};\cal{A})$ vermittels  der Vorschrift,
  da"s die Nullkette $(i_U)$ einen Einskozykel $(\varphi_{UV})$
  auf den Einskozykel $(i_U\varphi_{UV}i_V^{-1})$ wirft. Hier haben
  wir die jeweiligen
  Einschr"ankungen von $i_U$ und $i_V$ auf $U\cap V$ der
  "Ubersichtlichkeit halber nicht notiert. In Bezug auf diese Operation
ist die Isotropiegruppe des
  trivialen Einskozykels $(1)$  die nullte \v{C}echkohomologie
 und
  die Bahnen sind die Kohomologieklassen, in Formeln
  $$\check{\mathrm{H}}^{0} (\cal{U};\cal{A})
  =\check{\mathrm{C}}^{0} (\cal{U};\cal{A})_{(1)}\quad\text{und}\quad
  \check{\mathrm{H}}^{1} (\cal{U};\cal{A})
  =\check{\mathrm{Z}}^{1} (\cal{U};\cal{A})/
  \check{\mathrm{C}}^{0} (\cal{U};\cal{A}).$$
  \end{Bemerkungl}


\begin{Proposition}[\textbf{Exakte Sequenz f"ur \v{C}echkohomologie}]
  Seien $W$ ein topologischer Raum und
  $\mathcal A\hra \mathcal B\sra \mathcal C$ eine halmweise
  kurze exakte Sequenz
  von Gruppengarben auf $W$. So spezialisiert die exakte Sequenz \ref{NkHo}
  zu einer exakten Sequenz\label{ESC}  
  $$\mathcal A(W)\hra \mathcal B(W)\ra \mathcal C(W)\ra 
 \check{\mathrm{H}}^{1}(W;\mathcal A)\ra \check{\mathrm{H}}^{1}(W;\mathcal B)$$
\end{Proposition}
\begin{Bemerkungl}
  Im Fall abelscher Gruppengarben liefert die Gleichheit von
  gew"ohnlicher Garbenkohomologie und \v{C}echkohomologie in Graden
  Null und Eins  \ref{CGa} einen alternativen Beweis und  eine um
  $\check{\mathrm{H}}^{1}(W;\mathcal C)$ verl"angerte exakte Sequenz.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof} Wir spezialisieren unsere exakte Sequenz \ref{NkHo} auf den
  Fall $$A\pdef \check{\mathrm{C}}^{0}(W;\mathcal A)
  =\op{colf}_{\mathcal U}\check{\mathrm{C}}^{0}(\mathcal U;\mathcal A)
  \qquad X\pdef \check{\mathrm{C}}^{1}(W;\mathcal A)
  =\op{colf}_{\mathcal U}\check{\mathrm{C}}^{1}(\mathcal U;\mathcal A)$$ 
  mit dem Kolimes "uber alle offenen "Uberdeckungen von $W$ und
  $B\acts Y$ sowie $C\acts Z$ analog und $x,y,z$ den trivialen Einskozykeln.
  Die halmweise Surjektivit"at von $\mathcal B\ra \mathcal C$ liefert
  $\psi(B)\supset C_z=\mathcal C(W)$. Da"s Isotropiegruppen und Bahnenraum mit
  filtrierenden Kolimites vertauschen, tragen wir in \ref{VTKL} nach.
\end{proof}


\begin{Bemerkungl}
  In der Kategorie der Mengen mit Gruppenoperation 
  gibt es filtierende Kolimites und diese k"onnen beschrieben werden
  als Kolimites der jeweiligen Gruppen operierend auf dem Kolimites
  der jeweiligen
  Mengen.
  Das ist leicht zu sehen, wenn man beachtet, da"s filtrierende Kolimites
  von Mengen mit endlichen Produkten vertauschen, vergleiche \eref{FiKoM}{TS}.
  Das Bilden des Bahnenraums $A\acts X\mapsto X/A$ ist als
  Funktor ${\op{Grp}}\acts{\op{Ens}}\ra \op{Ens}$ linksadjungiert
  zum Funktor des \glqq Versehens mit der trivialen
  Operation der trivialen Gruppe\grqq\ und vertauscht folglich
  als Linksadjungierter
  nach \eref{KaAA}{TS}
  mit Kolimites. Arbeiten wir in der Kategorie der Mengen mit Gruppenoperation
  und ausgezeichnetem Punkt, so ist der Stabilisator
  des ausgezeichneten Punktes f"ur $A\acts X$ und der Egalisator der
  Wirkung auf dem ausgezeichneten Punkt $A\ra X$ und der konstanten Abbildung
  auf den ausgezeichneten Punkt $A\ra X$ und vertauscht\label{VTKL}
  als Limes "uber einen endlichen K"ocher nach
  \eref{FiKoM}{TS} ebenfalls mit filtrierenden Kolimites. 
\end{Bemerkungl}



\subsection{Variante zur \v{C}echkohomologie}









\begin{Lemma}
Seien $\mathcal V\subset \mathcal U$ offene "Uberdeckungen eines 
topologischen Raums und sei $\mathcal F$  eine 
abelsche Pr"agarbe auf besagtem Raum.\label{BcKo} 
Liegt jede Menge aus $\mathcal U$ in einer Menge aus
$\mathcal V$, so sind die Einschr"ankungen
  Isomorphismen
$$\check{\mathrm{H}}^{q} (\mathcal U;\cal{F})\sira 
\check{\mathrm{H}}^{q} (\mathcal V;\cal{F})$$
\end{Lemma}
\begin{Bemerkungl}
  Die Notation f"uhrt leicht zu Verwirrung. Die "Uberdeckung $\mathcal V$ besteht aus weniger offenen Mengen als die "Uberdeckung $\mathcal U$, aber
  keineswegs aus \glqq kleineren\grqq\ offenen Mengen. Ganz im Gegenteil entsteht salopp gesprochen unsere "Uberdeckung $\mathcal V$ 
 aus $\mathcal U$, indem man aus $\mathcal U$ einige
 offene Mengen wegl"a"st, die eh schon in anderen offenen Mengen aus
 $\mathcal U$ enthalten sind. Im Fall der ersten Kohomlogie
 bedeutet die Aussage in etwa, da"s jede \glqq "uber einer offenen Menge trivialisierbare Struktur auch "uber jeder darin enthaltenen offenen
 Menge trivialisierbar ist\grqq. 
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
Man w"ahle
$\tau: \mathcal U\ra \mathcal V, U\mapsto U^\tau$ mit $U\subset U^\tau\;\forall U\in \mathcal U$  und
konstruiere eine Kettenabbildung $\alpha:\check{\mathrm{C}}^* (\mathcal V;\cal{F})\sira 
\check{\mathrm{C}}^{*} (\mathcal U;\cal{F})$  durch
$\phi\mapsto\alpha\phi$ mit $$\alpha\phi(U_0,\ldots, U_q)\pdef \phi(U_0^\tau,\ldots, U_q^\tau)|(U_0\cap\ldots\cap U_q)$$
Wir behaupten, da"s sie homotopieinvers ist zur in "ahnlicher Weise durch
die Inklusion $\iota:\mathcal V\hra\mathcal U$ gegebenen Kettenabbildung
$\beta:\check{\mathrm{C}}^* (\mathcal U;\cal{F})\sira 
\check{\mathrm{C}}^{*} (\mathcal V;\cal{F})$, die ihrerseits die nat"urliche
Abbildung auf der \v{C}echkohomologie induziert.
Es reicht, wenn wir im Fall $\mathcal U= \mathcal V$
f"ur jedes $\tau$ wie oben zeigen, da"s die fragliche Kettenabbildung homotop
ist zur Identit"at, und diese Erkenntnis
dann anwenden auf $(\mathcal U,\iota\tau)$ und
$(\mathcal V,\tau\iota)$. Seien also $\mathcal U$ eine offene "Uberdeckung von
$X$ und $\tau:\mathcal U\ra \mathcal U, U\mapsto U^\tau$ eine Abbildung
mit $U\subset U^\tau\;\forall U\in\mathcal U$ und  $\alpha$ wie oben.
Als Kettenhomotopie versuchen wir es mit
$$(\delta\phi)(U_1,\ldots, U_q)\pdef \sum_i(-1)^i\phi(U_1,\ldots,U_i,U_i^\tau,\ldots,U_q^\tau)$$
und lassen dabei rechts die Restriktion auf 
$U_1\cap \ldots\cap U_q$  aus der Notation weg.
Dann gilt $$\begin{array}{lll}(d\delta\phi)(U_0,\ldots, U_q)&= &
\sum_i(-1)^i(\delta\phi)(U_0,\ldots,\widehat{U_i},\ldots,U_q)\\
&=&-\sum_{j<i}(-1)^{i+j}\phi(U_0,\ldots,U_j,U_j^\tau,\ldots,\widehat{U_i^\tau},
\ldots,U_q^\tau)\\&&+\sum_{j>i}(-1)^{i+j}\phi(U_0,\ldots,\widehat{U_i},
\ldots,U_j,U_j^\tau,\ldots,U_q^\tau)\\[2mm]
(\delta d\phi)(U_0,\ldots, U_q)&= &-\sum_j(-1)^j(d\phi)(U_0,\ldots,U_j,U_j^\tau,
\ldots,U_q^\tau)\\
&=&-\sum_{j\geq i}(-1)^{i+j}\phi(U_0,\ldots,\widehat{U_i},\ldots, U_j,U_j^\tau,
\ldots,U_q^\tau)\\
&&+\sum_{j\leq i}(-1)^{i+j}\phi(U_0,\ldots, U_j,U_j^\tau,\ldots,
\widehat{U_i^\tau},\ldots,U_q^\tau)
\end{array}
$$
In $(d\delta +\delta d)\phi$ werden alle 
Summanden der oberen Summe
weggehoben und nur die Terme mit $i=j$ in den
unteren Summen bleiben stehen. Von denen heben sich aber
auch die mittleren
 weg und nur 
$\phi(U_0,\ldots, U_q)-\phi(U_0^\tau,\ldots, U_q^\tau)$ 
 bleibt stehen. Also gilt $(d\delta +\delta d)\phi= \phi-\alpha\phi$
 wie gew"unscht. 
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{\v{C}echkohomologie als Kolimes "uber
      alle offenen "Uberdeckungen}] Gegeben eine offene
  "Uberdeckung $\mathcal U$ eines topologischen Raums $X$  bezeichne
  $\mathcal U'$
  die kleinste ges"attigte offene "Uberdeckung, die sie umfa"st.
  Wir nennen sie die
  {\bf S"attigung von $\mathcal U$}.\index{S"attigung!von offener "Uberdeckung}
  Sie besteht aus allen offenen Teilmengen von $X$, die in einer Teilmenge 
  $U\in \mathcal U$ enthalten sind. Nach Lemma \ref{BcKo}
  liefert die Restriktion
  f"ur jede abelsche Garbe $\mathcal F$ auf $X$ Isomorphismen 
$$\check{\mathrm{H}}^{q} (\mathcal U';\cal{F})\sira 
  \check{\mathrm{H}}^{q} (\mathcal U;\cal{F})$$
  Sind $\mathcal U,\mathcal W$ zwei beliebige offene "Uberdeckungen
  und liegt jede Menge aus $\mathcal W$ in einer Menge aus $\mathcal U$,
  so hei"st $\mathcal W$ eine {\bf Verfeinerung von $\mathcal U$}. 
  In dieser Situation gilt $\mathcal W'\subset \mathcal U'$ und unsere
  Einschr"ankung $\check{\mathrm{H}}^{q} (\mathcal U';\cal{F})\ra 
  \check{\mathrm{H}}^{q} (\mathcal W';\cal{F})$
  liefert mithilfe der eben diskutierten Isomorphismen
  Homomorphismen\label{CgKO} 
  $$\check{\mathrm{H}}^{q} (\mathcal U;\cal{F})\ra 
  \check{\mathrm{H}}^{q} (\mathcal W;\cal{F})$$
  Die Gesamtheit aller offenen "Uberdeckungen $\mathcal U$
  von $X$ ist in Bezug
  auf Verfeinerung eine
  filtrierende teilgeordnete Menge und die \v{C}echkohomologie
  von $\mathcal F$ l"a"st sich
  auch als Kolimes  $$\op{colf}_{\mathcal U}\check{\mathrm{H}}^{q} (\mathcal U;\cal{F})\sira \check{\mathrm{H}}^{q} (X;\cal{F})$$
  dar"uber
  beschreiben. In der Tat bilden die ges"attigten offenen "Uberdeckungen
  in der Gesamtheit aller offenen "Uberdeckungen eine
  konfinale Teilmenge.
\end{Bemerkungl}


\subsection{Standardkomplexe mit Koeffizienten} 
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Motivation}] F"ur explizite
  Berechnungen ist der volle \v{C}echkomplex ungeschickt.
  In diesem Abschnitt und insbesondere in Korollar
  \ref{FREW} wird erkl"art, wie die \v{C}echkohomologie
  auch mit  viel kleineren
  Komplexen berechnet werden kann, die nur  f"ur die
  Entwicklung der allgemeinen Theorie weniger geschickt sind. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Vereinfachte Berechnung der \v{C}echkohomologie}]
  Hier brauchen wir die sehr allgemeinen
  Resultate des folgenden Abschnitts "uber den Vergleich
  verschiedener Standardkomplexe und insbesondere Satz \ref{AMBM},
  der nach \ref{AlKo} 
  auch f"ur Koeffizientensysteme mit
  Werten in $\op{Ab}^{\op{opp}}$ gilt. Das ist der Fall, mit dem man es
  in der \v{C}echkohomologie f"ur gew"ohnlich zu tun hat.
  Unter dem "Ubergang zu $\op{Ab}^{\op{opp}}$ verwandeln sich  Koprodukte
  in Produkte; die Differentiale vergr"o"sern den homologischen Grad, der dann
  meist als oberer Index notiert wird;
  Unterkomplexe verwandeln
  sich in Quotientenkomplexe und umgekehrt.\label{AGCK}
  Will man  insbesondere die \v{C}echkohomologie einer abelschen Pr"agarbe
  in Bezug auf eine
offene "Uberdeckung explizit berechnen, so darf man statt dem vollen \v{C}echkomplex genausogut den 
{\bf angeordneten \v{C}echkomplex}\index{angeordnet!\v{C}echkomplex}
nehmen.
Um ihn zu konstruieren,  w"ahlt man f"ur den zu untersuchenden Raum $X$ 
eine offene "Uberdeckung $\cal{U}\subset \mathcal{P}(X)$ 
und 
eine Ordnung $\leq$ auf $\mathcal U$ 
und bildet zu jeder abelschen Pr"agarbe $\cal{F}$ den Komplex der
{\bf angeordneten \v{C}echkoketten}\index{Cechkoketten@\v{C}echkoketten!angeordnete} 
$$\check{\op{C}}^{q}_{<} (\cal{U};\cal{F})\pdef \prod_{U_{0}<\ldots <U_{q}}
\cal{F} (U_{0}\cap \ldots \cap U_{q})$$
Das\index{C@$\check{\op{C}}^{q}_{<}$ angeordnete \v{C}echkoketten} 
 Produkt  l"auft wie angedeutet "uber alle streng monoton wachsenden Folgen der
L"ange $q+1$ in $\cal{U}$.
Das Differential wird definiert durch dieselben Formeln wie
beim \v{C}echkomplex aus \ref{CKo}.\label{FREW} 
Aus Satz \ref{AMBM} folgt dann, da"s
der offensichtliche Epimorphismus
$\check{\op{C}}^{q} (\cal{U};\cal{F})\sra
\check{\op{C}}^{q}_{<} (\cal{U};\cal{F})$
Isomorphismen auf der Kohomologie induziert. Noch genauer gesagt
betrachtet man daf"ur das Koeffizientensystem $\mathcal M$ mit
$\mathcal M(U_1,\ldots,U_n)\pdef \mathcal F(U_1\cap\ldots\cap U_n)$ und
erg"anzt es  auf das leere Tupel durch die Vorschrift $\mathcal M(\;)\pdef 0$.
Wenn man stattdessen den
Schnitt "uber das leere Tupel als den ganzen Raum versteht und
mit $\mathcal M(\;)\pdef
\mathcal F(X)$ arbeitet, erh"alt man stattdessen eine Art
\glqq reduzierte  \v{C}echkohomologie\grqq. 
 \end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl} Seien $E$ eine Menge und
  $\mathcal P(E)_{\op{fin}}$ die Menge ihrer endlichen Teilmengen,
  aufgefa"st als Objektmenge einer
  Kategorie mit Inklusionen als Morphismen. 
  Einen Funktor $\mathcal M:\mathcal P(E)^{\op{opp}}_{\op{fin}}\ra \op{Ab}$
  nennen wir in diesem Kontext ein {\bf Koeffizientensystem zu $E$}.\index{Koeffizientensystem!zu Menge} 
  Wir erkl"aren eine Verallgemeinerung $C(E;\mathcal M)$ des in
  \eref{HKHKn}{TS} eingef"uhrten Komplexes   $C(E)$, indem wir
  f"ur jedes Tupel $(v_1,\ldots,v_q)\in E^{{\times} q}$ die Abk"urzung
  $\mathcal M(v_1,\ldots,v_q)\pdef \mathcal M(\{v_1,\ldots,v_q\})$
  vereinbaren und dann setzen\label{VCKk} 
  $$C(E;\mathcal M)_q\pdef \bigoplus_{(v_1,\ldots,v_q)\in E^{\times q}}\mathcal M(v_1,\ldots,v_q)$$
  Den Randoperator erkl"aren wir, indem wir ihn auf allen
  Summanden angeben, also auf allen Elementen, die
  Bilder von
  $m\in \mathcal M(\{v_1,\ldots,v_q\})$ unter der Injektion
  in den entsprechenden Teil des Koprodukts sind.
  Wir  notieren wir so ein Bild  
  $m(v_1,\ldots,v_q)$ und lesen das als \glqq $m$ an die Stelle mit Index
  $(v_1,\ldots,v_q)$ gesetzt\grqq. 
  Den Randoperator $C(E;\mathcal M)_{q+1}\ra C(E;\mathcal M)_{q}$ erkl"aren
  wir nun durch $$m(v_0,\ldots,v_q)\mapsto \sum_i(-1)^i\tilde m(v_0,\ldots,\hat v_i,\ldots ,v_q)$$
  mit der abk"urzenden Notation $\tilde m$ f"ur die
  Bilder von $m$ unter dem Effekt des Funktors $\mathcal M$ auf
  den jeweiligen opponierten Inklusionsabbildungen und mit davon abgesehen
  hoffentlich selbsterkl"arender Notation.
  Schlie"slich
  setzen wir unseren Komplex noch durch Null auf alle negativen
  Indizes $q$ fort. Zus"atzlich betrachten wir im Fall einer angeordneten
  Menge $(E,\leq)$ die Unterkomplexe  
  $$A(E;\mathcal M)\hra B(E;\mathcal M)
  \hra C(E;\mathcal M)$$
  durch die Ma"sgabe, da"s die Koprodukte darin 
  nur "uber alle strikt monotonen beziehungsweise monotonen Tupel von Elementen von $E$ 
  gebildet werden. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl} 
  Gegeben eine Menge $E$ und ein Koeffizientensystem $\mathcal M$ zu $E$
  betrachten wir auch
  den {\bf koalternierenden Quotientenkomplex} 
  $$ C^{\op{alt}}(E;\mathcal M)$$ von $C(E;\mathcal M)$,
  bei dem wir im Grad $q$ den Quotienten nach der von allen
  Ausdr"ucken
  $m(v_1,\ldots,v_q)$ mit nicht paarweise verschiedenen $v_i\in E$ und allen 
  Ausdr"ucken
  $m(v_1,\ldots,v_q)-\op{sgn}(\sigma)m(v_{\sigma(1)},\ldots,v_{\sigma(q)})$ 
  f"ur $\sigma\in \mathcal S_q$ erzeugten Untergruppe nehmen.
  Die Komposition von Einbettung und Projektion
  liefert dann offensichtlich einen
  Isomorphismus
  $$ A(E;\mathcal M)\sira C^{\op{alt}}(E;\mathcal M)$$
\end{Bemerkungl}
\begin{Satz}[\textbf{Vergleich verschiedener Standardkomplexe}]
  Seien $E$ eine Menge und $\mathcal M$ ein 
  Koeffizientensystem zu $E$.\label{AMBM} 
  \begin{enumerate}
  \item Gibt es $v\in E$ mit $\mathcal M(T\cup\{v\})\sira \mathcal M(T)$
    f"ur alle endlichen $T\subset E$, so ist der Komplex $C(E;\mathcal M)$
    exakt. Wir sagen dann, das Koeffizientensystem
    sei
    \emph{\bf station"ar im Index $v$};\index{station"ar!Koeffizientensystem}  
  \item Gegeben eine Anordnung auf $E$ 
  induzieren die Einbettungen der Unterkomplexe  
  $A(E;\mathcal M)\hra B(E;\mathcal M)
  \hra C(E;\mathcal M)$
  Isomorphismen auf der Homologie.
  \end{enumerate}
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Allgemeinere Koeffizientensysteme}]
Seien $E$ eine Menge und
 $\mathcal A$ eine abelsche\label{AlKo} 
Kategorie und 
$\mathcal M:\mathcal P(E)^{\op{opp}}_{\op{fin}}\ra \mathcal A$ ein Funktor.
Wir nennen so einen Funktor ein {\bf Koeffizientensystem zu $E$
  mit Werten in $\mathcal A$}. Ist $E$ endlich, 
 so gilt Satz \ref{AMBM} analog mit demselben Beweis. 
 Ist $E$ beliebig, so ben"otigt man
 die Existenz von Koprodukten
 mit Indexmengen einer Kardinalit"at $\leq|E|$ in $\mathcal A$,
 um Analoga unserer
  Komplexe "uberhaupt erst definieren zu k"onnen.
  Unter dieser Annahme bleiben Teil 1 und sein Beweis unver"andert
  g"ultig. Nimmt man zus"atzlich an,
  da"s
  derartige Koprodukte exakt sind, so l"a"st sich auch der  Beweis von Teil 2 
  ohne gr"o"sere Schwierigkeiten verallgemeinern. Es gilt nur,
  bei der  Induktion nicht \glqq einzelne Simplizes hinzuzuf"ugen, sondern
  vielmehr stets alle Simplizes der n"achsth"oheren Dimension auf einmal\grqq.
  Die Details seien dem Leser "uberlassen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Bezug zur simplizialen Homologie}]
  Wir k"onnen einen Teil der Aussagen von 
   Satz \eref{SH}{TS} "uber den Vergleich von singul"arer und
  simplizialer Homologie und Aussagen in seinen Beweis als einen
  Spezialfall des hier gegebenen Satzes auffassen,
  in dem das Koeffizientensystem \glqq den in unserem
  Simplizialkomplex realisierten Simplizes die Gruppe $\DZ$
  zuordnet und allen anderen Simplizes die Gruppe Null\grqq. Genauer spezialisiert
  die hier gegebene Formulierung dann zu analogen  Aussagen f"ur die
  reduzierte Homologie.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof} 1. Das folgt aus der Existenz
  des offensichtlichen Isomorphismus 
  $$A(v)\otimes C(E;\mathcal M)\sira  C(E;\mathcal M)$$
  mit dem in den Graden Eins und Null konzentrierten Komplex
  $A(v)= [\DZ v\ra \DZ]$ und einem als formales Symbol  verstandenen 
  $v$. Der Komplex $A(v)$ ist dann
  nullhomotop und dasselbe folgt f"ur 
  $C(E;\mathcal M)$.
  \\[2mm]\noindent 2.
  Wir bemerken zun"achst, da"s
  wir aufgrund der Exaktheit filtrierender Kolimites
  ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $|E|<\infty$ annehmen d"urfen.
  Dann bemerken wir, da"s alle drei zu vergleichenden Komplexe 
  bei vorgegebenem $E$ als exakte Funktoren
  in der Variablen ${\mathcal M}$ von der Kategorie der Koeffizientensysteme
  in die Kategorie der Komplexe aufgefa"st werden k"onnen.
  Wir argumentieren nun mit Induktion "uber die
  Zahl der Teilmengen $S\subset E$, die in einer Teilmenge $T$ mit
  $\mathcal M(T)\neq 0$ enthalten sind.  Als Induktionsbasis
  beginnen wir mit dem Fall, in dem nur $T=\emptyset$  eine von Null
  verschiedene abelsche Gruppe $M$ zugeordnet wird. In diesem Fall folgt
  die Behauptung unmittelbar aus den Definitionen.
  Jetzt betrachten wir zun"achst au"serhalb unserer Induktion
  f"ur $T\subset E$ endlich nichtleer  und $M$ eine abelsche
  Gruppe das Koeffizientensystem  $T_*M$ gegeben durch
  $T_*M(S)\pdef M$ f"ur $S\subset T$ und $T_*M(S)\pdef 0$ sonst.
  Aus Teil 1 folgt
  unmittelbar, da"s $C(E;T_*M)$ exakt ist. Im angeordneten Fall hat aber $T$
  auch ein kleinstes Element $v$ und wir finden Isomorphismen
  $A(v)\otimes A(E;(T\backslash v)_*M)\sira A(E;T_*M)$ und 
  $A(v)\otimes B(E;T_*M)\sira B(E;T_*M)$ in offensichtlicher Weise.
  Unsere Komplexe sind in diesen F"allen mithin alle exakt und die Aussage von
  Teil 2 ist offensichtlich. 
  F"ur den Induktionsschritt erkl"aren wir nun zus"atzlich
  $T_!M$ als das Koeffizientensystem gegeben durch
  $T_!M(S)\pdef M$ f"ur $S=T$ und $T_!M(S)\pdef 0$ sonst und haben wir eine
  kurze exakte Sequenz von Koeffizientensystemen
  $$\mathcal K\hra T_*M\sra T_!M$$
  Die Behauptung folgt nun erst
  f"ur $\mathcal K$ aus der Induktionsannahme
  und dann f"ur $T_!M$ aus der langen
  exakten Homologiesequenz und dem F"unferlemma und dem 
  kommutativen Diagramm mit exakten Zeilen mit abgek"urzter Notation 
  $$\begin{array}{ccccccccc}\mathcal H_q A_{\mathcal K} &\ra& \mathcal H_q A_{T_*M}
    &\ra &\mathcal H_q A_{T_!M} &\ra&\mathcal H_{q-1} A_{\mathcal K}
    &\ra &\mathcal H_{q-1} A_{T_*M}  \\
    \da &&\da &&\da &&\da &&\da \\
    \mathcal H_q B_{\mathcal K} &\ra& \mathcal H_q B_{T_*M} &\ra
    &\mathcal H_q B_{T_!M} &\ra&\mathcal H_{q-1} B_{\mathcal K} &\ra &\mathcal H_{q-1} B_{T_*M}
  \end{array} $$
  und analog f"ur $B\ra C$. Schlie"slich gibt es f"ur ein beliebiges
  Koeffizientensystem $\mathcal M\neq 0$ ein maximales $T\subset E$
  mit $M\pdef \mathcal M(T)\neq 0$ und einen Epimorphismus
  $\mathcal M\sra T_!M$, auf dessen Kern wir die Induktionsannahme anwenden
  k"onnen. Mit einer erneuten Anwendung des
  F"unferlemmas folgt die Behauptung dann im allgemeinen.
\end{proof}
  
% BEHALTEN!
% \begin{Bemerkungw}
 % Unsere Komplexe aus \ref{AMBM} m"ussen im allgemeinen nicht exakt sein.
 % Gibt es jedoch $v\in E$ mit $M(T\cup\{v\})\sira M(T)$ f"ur alle $T\subset E$,
 % so sind sie exakt. Im Fall $C_M(E)$ folgt das wie zuvor aus der Existenz
 % des offensichtlichen Isomorphismus 
 % $$A(v)\otimes C_M(E)\sira  C_M(E)$$
 % Im Fall $A_M$ kann man sich erst auf den
 % Fall von endlichem $E$ zur"uckziehen und dann  auf den Fall, da"s
 % $v$ das kleinste Element von $E$ ist. Dann folgt die Aussage
 % wieder aus der Existenz des
 % offensichtlichen Isomorphismus
 % $$A(v)\otimes A_M(E\backslash v)\sira  A_M(E)$$
 % Im  Fall $B_M$ betrachtet man stattdessen den weniger offensichtlichen
 % Isomorphismus  $$A(v)\otimes B_M(E)\sira  B_M(E)$$
 % gegeben durch $1\otimes b\mapsto b$ und $v\otimes b\mapsto (-1)^ib'$
 % f"ur jedes monotone Wort $b$ in $E$ und $b'$ dasjenige monotone Wort,
 % das daraus entsteht, wenn man $v$ an der
 % erstm"oglichen Stelle einschiebt, und $i$ der Zahl der Buchstaben vor
 % dieser Stelle. Man h"atte im "ubrigen im Fall $A_M(E)$ genauso vorgehen
 % k"onnen. Genauer will ich es jetzt nicht aufschreiben und hoffe, da"s ich
 % mich insbesondere im letzten Fall nicht vertan habe. 
 % \end{Bemerkungw}




\subsection{\v{C}echkohomologie der Grade Null und Eins}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Nullte \v{C}echkohomologie 
 f"ur Pr"agarben von 
Mengen}]
Im Fall einer Pr"agarbe $\cal{F}$ von Mengen\label{H0PM}  
kann man immer noch die Menge
$$ \check{\mathrm{H}}^{0} (\cal{U};\cal{F})
\pdef\left.\left\{(s_U)\in \prod_{U\in\cal{U}}\cal{F}(U)
\right| s_U|_{U\cap V}=s_V|_{U\cap V}\;\;\forall U,V\in\cal{U}\right\} $$
bilden. Man setzt dann wieder in derselben Weise 
$$\check{\mathrm{H}}^{0} (X;\cal{F})\pdef\op{colf} \check{\mathrm{H}}^{0}
(\cal{U};\cal{F})$$
und nennt das % etwas widerstrebend
die 
{\bf nullte \v{C}echkohomologie 
 mit Koeffizienten in der Pr"agarbe von 
Mengen $\cal{F}$}.
Die Restriktionen liefern nat"urliche Abbildungen
$$\mathcal F(X)\ra \check{\mathrm{H}}^{0}
(\cal{U};\cal{F})\quad\text{und}\quad\mathcal F(X)\ra \check{\mathrm{H}}^{0}
(X;\cal{F}).$$
Sie sind im allgemeinen weder injektiv noch surjektiv. Im Fall einer Garbe
$\mathcal F$ sind
sie aber s"amtlich  per definitionem bijektiv.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Erste \v{C}echkohomologie 
 f"ur  Gruppen-Pr"agarben}]
Im Fall einer Pr"agarbe von nicht notwendig kommutativen Gruppen\label{NuCe}  
erben die $ \check{\mathrm{H}}^{0}$ aus der vorhergehenden Bemerkung
 die Struktur einer Gruppe
und wir k"onnen zus"atzlich  analog zu den Definitionen des ersten
Abschnitts und  in multiplikativer Notation geschrieben 
die Menge der {\bf \v{C}ech-$1$-Kozykel}\index{Kozykel!nichtkommutativer erster!\v{C}ech}
erkl"aren als
$$\check{\mathrm{Z}}^{1}(\cal{U}; \cal{F})\pdef 
\left\{ (s_{UV})\in\prod_{(U,V) \in
\cal{U}^{2}} \cal{F} (U \cap V)\left|
\begin{array}{c}
\text{F"ur alle }U,V,W\in\cal{U}\text{ gilt mit}\\
\text{der Notation }D\pdef U\cap V\cap W  \\
\text{die Identit"at}\\
s_{UV}|_D\cdot s_{VW}|_D=s_{UW}|_D 

 \end{array}
\right\}\right.
$$
Zwei derartige $1$-Kozykel $(s_{UV})$ und $(t_{UV})$ hei"sen
{\bf kohomolog},\index{kohomolog!\v{C}ech-$1$-Kozykel}
wenn es eine Familie $(i_U)\in \prod_{U\in\cal{U}}\cal{F}(U)$ gibt
mit 
$$s_{UV} =
(i_{U}|_{U\cap V}) \cdot t_{UV} \cdot 
(i_{V}|_{U\cap V})^{-1}\quad\forall U,V\in \cal{U} $$
Die Relation, kohomolog zu sein, ist dann eine
"Aquivalenzrelation auf der Menge $\check{\mathrm{Z}}^{1}(\cal{U}; \cal{F})$
der \v{C}ech-$1$-Kozykel. Die
Menge der "Aquivalenzklassen
notieren wir
$$\check{\mathrm{H}}^{1} (\cal{U};G)\pdef
\check{\mathrm{Z}}^{1}(\cal{U};G) /\sim$$
Sie hei"st die 
\defnoind{erste \v{C}echkohomologie f"ur die "Uberdeckung
$\cal{U}$ mit Koeffizienten in der Pr"agarbe von 
Gruppen $\cal{F}$}.\index{erste \v{C}echkohomologie}
Unser $\check{\mathrm{H}}^{1}(\cal{U};\mathcal F)$ ist im 
allgemeinen keine Gruppe, sondern nur
eine Menge mit einem ausgezeichneten Punkt, n"amlich der Klasse
des trivialen $1$-Kozykels.
Der Kolimes "uber alle ges"attigten offenen "Uberdeckungen liefert
  eine weitere bepunktete Menge
$$\check{\mathrm{H}}^{1} (X;\cal{F})\pdef\op{colf} \check{\mathrm{H}}^{1}
(\cal{U};\cal{F})$$
Sie hei"st die \defnoind{erste \v{C}echkohomologie von $X$  
mit Koeffizienten in der Pr"agarbe von Gruppen
$\cal{F}$}.\index{Cechkohomologie@\v{C}echkohomologie!von Pr"agarbe von
Gruppen} Im Fall einer abelschen Pr"agarbe fallen diese
Definitionen von
$\check{\mathrm{H}}^{0}$ und $\check{\mathrm{H}}^{1}$
mit den in \ref{CKo} gegebenen Definitionen zusammen.
\end{Bemerkungl}









\begin{Bemerkunge}[\textbf{Klassifikation von B"undeln
 durch \v{C}echkohomologie}] 
Ist $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, 
so erhalten wir ganz analog wie in \ref{VBH1}  Bijektionen
$$\begin{array}{rll}
\left\{ \text{differenzierbare reelle Geradenb"undel auf $X$}
\right\}/_{\textstyle\cong}& \sira &
\check{\mathrm{H}}^{1}(X;\cal{C}^{\infty}_{\Bbb{R}^{\times}})\\[2mm]
\left\{ \text{differenzierbare komplexe Geradenb"undel 
auf $X$} \right\}/_{\textstyle\cong} & \sira
& \check{\mathrm{H}}^{1}(X;\cal{C}^{\infty}_{\Bbb{C}^{\times}}) 
\end{array}$$
Ist $X$ eine komplex-analytische Mannigfaltigkeit und
$\cal{O}_X$ die Pr"agarbe der komplexwertigen
analytischen Funktionen auf $X$  und
$\cal{O}_X^\times$ die Pr"agarbe der der komplexwertigen
analytischen Funktionen ohne Nullstellen mit der Multiplikation als
Verkn"upfung, so erhalten wir in derselben Weise eine Bijektion
$$\begin{array}{rll}
\left\{ \text{analytische komplexe Geradenb"undel 
auf $X$} \right\}/_{\textstyle\cong} & \sira
& \check{\mathrm{H}}^{1}(X;\cal{O}^{\times}_{X}) 
\end{array}$$
Allgemeiner erhalten wir  Bijektionen 
$$
\left\{ \text{differenzierbare $n$-dimensionale $\DK$-B"undel auf $X$}
\right\}/_{\textstyle\cong} \;\; \sira \;\;
\check{\mathrm{H}}^{1}(X;\cal{C}^{\infty}_{\op{GL}(n;\DK)})$$
Das triviale B"undel entspricht hier stets der Null beziehungsweise im letzten Fall
dem ausgezeichneten Punkt der bepunkteten Menge $\check{\mathrm{H}}^{1}$.
\end{Bemerkunge}




\begin{Bemerkungl}[\textbf{Bezug zu vorhergehenden Versionen von $\check{\mathrm{H}}^{1}$}]
Im Fall einer diskreten abelschen Gruppe $G$\label{NCK} 
fallen die in \ref{eCc}
definierten Gruppen $\check{\mathrm{H}}^{1}(\cal{U};G)$ und
$\check{\mathrm{H}}^{1}(X;G)$ mit den hier definierten
Gruppen $\check{\mathrm{H}}^{1}(\cal{U};G_{X})$ und $\check{\mathrm{H}}^{1}(X;G_{X})$
zusammen. Im Fall einer allgemeinen topologischen abelschen Gruppe $G$
fallen allgemeiner die in  \ref{eCc}
definierten Gruppen $\check{\mathrm{H}}^{1}(\cal{U};G)$ und
$\check{\mathrm{H}}^{1}(X;G)$ mit den hier definierten
Gruppen $\check{\mathrm{H}}^{1}(\cal{U};\cal{C}_G)$ und
$\check{\mathrm{H}}^{1}(X;\cal{C}_G)$ zusammen. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Nullte \v{C}echkohomologie}]
Sei $G$ eine abelsche topologische Gruppe.\label{NCKk} 
Nach "Ubung \eref{stLE}{AN2} "uber die 
lokale Natur der Stetigkeit liefert die Restriktion
f"ur jede offene "Uberdeckung $\cal{U}$ von $X$ Isomorphismen
$\op{Top}(X,G)\sira
\check{\mathrm{H}}^{0}(\cal{U};\mathcal C_{G})$.
Daraus erhalten
wir auch im Kolimes einen Isomorphismus
$$\op{Top}(X,G)\sira \check{\mathrm{H}}^{0}
(X;\mathcal C_{G})$$
Das steht im Gegensatz zur singul"aren
Kohomologie, bei der wir f"ur diskretes abelsches $G$ vielmehr 
einen nat"urlichen Isomorphismus 
$$\op{Ens}(\pi_0(X),G)\sira \mathrm{H}^{0}_{\op{sing}} (X;G)$$
mit dem Raum den $G$-wertigen Funktionen auf der Menge 
$\pi_0(X)$ der 
Wegzusammenhangskomponenten von $X$ haben.
F"ur lokal wegzusammenh"angende R"aume $X$ und  diskretes abelsches $G$ haben wir jedoch wieder
einen kanonischen Isomorphismus
$$\check{\mathrm{H}}^{0} (X;G_{X}) 
\sira \op{H}^{0}_{\op{sing}}(X;G)$$
zwischen der nullten \v{C}echkohomologie mit Koeffizienten in
der Pr"agarbe $G_X$
und der nullten singul"aren
Kohomologie mit Koeffizienten in $G$.
\end{Bemerkungl}
\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}\label{PCW}
Das Bilden der \v{C}echkohomologie bez"uglich einer "Uberdeckung $\cal{U}$
kommutiert mit beliebigen Produkten von abelschen Pr"agarben.
F"ur die \v{C}echkohomologie selbst ist das im
allgemeinen  vermutlich falsch.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{PPG}
In der Kategorie der abelschen Pr"agarben auf einem topologischen
Raum gibt es beliebige Produkte und Koprodukte.
\end{Ubung}




%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "XXTG"
%%% End: 
