Informationen zur Vorlesung
Arithmetische Geometrie II
Sommersemester 2011

Dozentin: Prof. Dr. Annette Huber-Klawitter

Skript

Das Skript liegt als PDF-File vor. Version vom 1.8.11.

Inhalt

Ziel ist der Beweis der Rationalität und Funktionalgleichung der Zeta-Funktion einer Varietät über einem endlichen Körper nach Grothendieck. Dies sind die sogenannten Weil-Vermutungen (ohne Riemannsche Vermutung). Die Vorlesung lehnt sich eng an das Buch von Freitag und Kiehl, Kapitel I und II an.

Daneben soll es kürzere oder längere Vorträge zu ergänzendem Material durch die Teilnehmerinnen und Teilnehmer geben. Themenliste s.u.

Vorkenntnisse

Die Vorlesung baut auf dem Teil I im Wintersemester auf. (Skript) Sie kann jedoch bei soliden Kenntnissen in algebraischer Geometrie unabhängig besucht werden.

Vorausgesetzt werden allgemeine Kenntnisse über Varietäen über beliebigen (insbesondere endlichen) Körpern, Garbensprache, Differentialformen, etale Morphismen. In den Kapiteln 8 (Siten) und 9 (Garbenkohomologie) wurden speziellere Grundlagen eingeführt, die wir in diesem Semester nur sehr knapp wiederholgen werden.

Übungsgruppe

Termin: Fr 14-16 SR 403 ab 13.5.

Es wird keine Standardübungsbetrieb mit Abgabe und Korrektur von Übungszetteln geben. Dennoch wollen wir uns treffen und Fragen und Probleme zur Vorlesung besprechen. Ins Vorlesungsskript eingestreut werden Übungsaufgaben gestellt, die wir besprechen oder gemeinsam bearbeiten.

Daneben wird es Vorträge zu Hintergrundmaterial durch die Teilnehmerinnen und Teilnehmer geben.

Vortragsthemen

  1. Definition der Zeta-Funktion und Formulierung der Weilvermutung
  2. Welke etale Garben
  3. Existenz von Injektiven (Grothendieck Tohoku)
  4. Schemata (Definition), Glang, 19.5.
  5. Spektralsequenzen, Wieland
  6. triangulierte Kategorien
  7. Chech-Kohomologie von Prägarben
  8. etale Hyperüberdeckungen
  9. die Picardgruppe, Enright-Ward, 7.6.
  10. Etale Fundamentalgruppe, Sigloch, Glang 21.7.
  11. Flacher Descent
  12. Vergleich von etaler Kohomologie und Galoiskohomologie
  13. Etale Kohomologie von kohärenten Garben
  14. GAGA, Vergleich von singulärer und etaler Kohomologie
  15. algebraische Zykel und Schnitttheorie, Voelkel
  16. Lefschetzscher Fixpunktsatz in der algebraischen Topologie
  17. absoluter und relativer Frobenius
  18. Mittag-Leffler und Artin-Rees Bedingungen
Bei aktiver Beteiligung wird auch ein Schein ausgestellt.

Literaturliste

  1. R. Hartshorne. Algebraic Geometry. GTM 52, Springer, 1977.
  2. E. Freitag, R. Kiehl. Etale cohomology and the Weil conjecture. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 13, Springer, 1988.
  3. J. Milne, Etale Cohomology, Princeton University Press, 1980.
  4. G. Tamme, Introduction to etale cohomology, Universitext. Springer-Verlag, Berlin, 1994.
  5. SGA 4 1/2: Deligne, P. Cohomologie etale. Seminaire de Geometrie Algebrique du Bois-Marie SGA 4 1/2. Avec la collaboration de J. F. Boutot, A. Grothendieck, L. Illusie et J. L. Verdier. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 569. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1977.
  6. SGA 4: Theorie des topos et cohomologie etale des schemas. Seminaire de Geometrie Algebrique du Bois-Marie 1963 - 1964 (SGA 4). Dirige par M. Artin, A. Grothendieck et J. L. Verdier. Avec la collaboration de P. Deligne et B. Saint-Donat. Springer Lecture Notes in Mathematics Vol. 269, 270, 305.