Fakultät für Mathematik und Physik
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Albert-Ludwigs-Universität
Freiburg Fakultät für Mathematik und Physik
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Prof. Dr. Annette Huber-Klawitter / Dr. Lukas Braun
Zeit: Mo 14-16 Uhr, Raum: im virtuellen Vorlesungsraum vHuber, erreichbar unter https://www.math.uni-freiburg.de/lehre/virtuelle_veranstaltungen.htmlEs ist noch Vortrag 10 verfügbar (Programm siehe unten). Bei Interesse wenden Sie sich bitte per Mail an Herrn Braun.
Die Erweiterung von Vorträgen zu Abschlussarbeiten ist möglich und gewünscht.
Vorlesung "Kommutative Algebra". Ein Skript finden Sie z.B. unter Skript Kommutative Algebra und Geometrie.
In diesem Seminar wollen wir uns aus verschiedenen klassischen und modernen Blickwinkeln mit der Invariantentheorie beschäftigen, einer Theorie mit engen Verbindungen insbesondere zu algebraischer Geometrie und Darstellungstheorie.
Die klassische Invariantentheorie des 19. Jahrhunderts behandelt die Wirkung einer Gruppe G auf dem Polynomring über einem Körper k. Typische Fragestellungen beschäftigen sich mit den invarianten Polynomen. Die Menge dieser invarianten Polynome - der sogenannte Invariantenring - ist eine k-Unteralgebra des Poynomrings und man kann beispielsweise versuchen, Erzeuger dieser k-Algebra zu finden, sowie Relationen zwischen diesen Erzeugern.
Ein Großteil der Arbeiten im 19. Jahrhundert konzentrierte sich auf die Berechnung solcher Erzeuger und Relationen in Spezialfällen, beispielsweise für die allgemeine und spezielle lineare Gruppe, die orthogonale und spezielle orthogonale Gruppe, sowie endliche Gruppen.
Eine Zäsur Ende des 19. Jahrhunderts markierten die berühmten Sätze von David Hilbert. Zum einen der Basissatz, welcher besagt, dass in Polynomringen über Körpern jedes Ideal endlich erzeugt ist. Zum anderen der Endlichkeitssatz, in dem Hilbert auf abstrakte Art und Weise bewies, dass Invariantenringe über algebraisch abgeschlossenen Körpern bezüglich endlicher Gruppen endlich erzeugt sind. Dieser Satz wurde später von Emmy Noether auf beliebige Körper verallgemeinert.
Diese Aussagen markierten zum einen das Ende der klassischen Invariantentheorie mit ihrer expliziten Berechnung von invarianten Polynomen, zum anderen den Beginn der modernen algebraischen Geometrie des 20. Jahrhunderts. Erst der Basissatz machte es möglich, von algebraischen Varietäten als Verschwindungsmenge endlich vieler Polynome zu sprechen.
Gegen Ende des 20. Jahrhunderts erlebte die Invariantentheorie dann - insbesondere mit geometrischen und algorithmischen Methoden - ein Comeback. Der wesentliche Aspekt aus Sicht der Geometrie war die Betrachtung der Invarianten als Funktionen auf bestimmten algebraischen Varietäten, die dann wiederum als Quotienten nach einer entsprechenden Gruppenwirkung angesehen werden können.
Vom algorithmischen Standpunkt aus war eine entscheidende Grundlage die Entwicklung der Gröbnerbasen von Bruno Buchberger 1965. Eine Gröbnerbasis ist ein spezielles Erzeugendensystem eines Ideals I im Polynomring, was es beispielsweise erlaubt, das Problem der Idealzugehörigkeit - also die Frage, ob ein Polynom f im Ideal I enthalten ist - eindeutig algorithmisch zu lösen. Damit lässt sich insbesondere die Frage beantworten, ob zwei algebraische Varietäten "gleich" sind.