Arbeitsgruppe Geometrie - Vorlesungen und Seminare im Wintersemester 2010/11

Seminar Elementare Differentialgeometrie

Dozent:	Prof. Dr. V. Bangert
Zeit:	Fr 14 - 16h
Ort:	SR 404, Eckerstr. 1
Tutorium:	Johannes Frank(mail), Patrick Emmerich(mail)
Inhalt:	Hauptziel des Seminars ist die Vertiefung des in der Vorlesung „Elementare Differentialgeometrie“ behandelten Stoffs. Es richtet sich insbesondere (aber keineswegs ausschließlich) an Lehramtsstudenten/innen, die die „Elementare Differentialgeometrie“ gehört haben, aber nicht den Zyklus Differentialgeometrie I und II besuchen wollen. In den Vorträgen werden vor allem globale Ergebnisse über Kurven und Flächen im euklidischen Raum dargestellt werden.

Nächster Termin

Der nächste Vortrag wird wie angekündigt am Freitag, 21. Januar 2011 stattfinden.

Hinweis

Sehr empfehlenswert für die Vorbereitung des Vortrags ist die Anleitung "Wie halte ich einen guten Seminarvortrag?"

Vorträge

Kurven

1) Lemma von Sard [Brö], Kap. V, Satz 4.1, [Whi], pp.514-517 (ohne Beweis)
(Betreuer: Johannes Frank)
2) Die Crofton-Formel [Mon], thm. 9.57
(Betreuer: Johannes Frank)
3) Der Satz von Fary-Milnor[Mon], thm. 9.59, [Bär], Satz 2.3.3
(Betreuer: Johannes Frank)

Flächen

4) Orthogonale Flächensysteme und der Satz von Liouville [E/J], 7.2-7.4 (pp.82-90)
(Betreuer: Prof. Dr. V. Bangert)
5) Der Satz von Bernstein [E/J], pp.122-126
(Betreuer: Prof. Dr. V. Bangert)

Gauss-Bonnet

6) Eulercharakteristik [Hop], Part one, ChapterI, Sect.1-10,[Zie], pp.184-192
(Betreuer: Patrick Emmerich)
7) Kovariante Ableitung, geodätische Krümmung, lokale Version von Gauss-Bonnet [Car], 4-4
(Betreuer: Patrick Emmerich)
8) Der Satz von Gauss-Bonnet und Anwendungen [Car], 4-5
(Betreuer: Patrick Emmerich)

Flächen konst. mittlerer Krümmung

9) Charakterisierung von Flächen mit H = const. durch Variationseigenschaft [E/J], Kap. 8.3
(Betreuer: Johannes Frank)
10) Der Satz von Alexandrov für Flächen mit H = const. [E/J], pp.171-178
(Betreuer: Johannes Frank)
11) Das Hopf-Differential und immersierte Sphären mit H = const. [Hop], pp.136-141
(Betreuer: Johannes Frank)
12) Beispiele immersierter Tori mit H = const. [Abr], pp.169-192,[Wal], pp. 187-213
(Betreuer: Johannes Frank)

2-dim. Riemannsche Geometrie

13) Die Starrheit der Sphäre [Car], 5.2
(Betreuer: Patrick Emmerich)
14) Die Klassifikation der flachen 2-Tori [GHL], pp.59-63
(Betreuer: Prof. Dr. V. Bangert)
15) Existenz von Metriken mit k = -1 auf Flächen höheren Geschlechts [Kli], thm. 4.3.13,[Bus]
(Betreuer: Prof. Dr. V. Bangert)

Literatur:

[Brö] Theodor Bröcker. Analysis II, Bibliographisches Institu Mannheim, 1992.

[Whi] Hassler Whitney. A function not constant on a connectedset of critical points. Duke Math. J., 1 (1935), pp.514-517.

[Mon] Sebastian Montiel and Antonio Ros. Curves and surfaces, Volume69 of Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society, Providence, RI, 2005.

[Bär] Christian Bär, Elementare Differentialgeometrie. Walter de Gruyter &amb Co., Berlin, expanded Edition, 2010.

[E/J] Jost-Hinrich Eschenburg und Jürgen Jost, Differentialgeometrie und Minimalflächen. Springer, Berlin, Heidelberg, 1994.

[Hop] Heinz Hopf. Differential geometry in the large, volume 1000 of Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, second edition, 1989.

[Zie] G.M. Ziegler, C. Blatter. Euler's polyhedron formula - a starting point of t oday's polytope theory, Elem. Math. 62 (2007), pp. 184-192.

[Car] Manfredo P. do Carmo. Differential geometry of curves and surfaces. Prentice Hall Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1976.

[Abr] U. Abresch. Constant mean curvature tori in terms of elliptic functions. J. Reine Angew. Math. 374 (1987), pp.169-192.

[Wal] Rolf Walter. Explicit examples to the H-problem of Heinz Hopf. Geom. Dedicata 23 (1987), pp.187-213.

[GHL] Sylvestre Gallot, Dominique Hulin and Jacques Lafontaine. Riemannian geometry. Universitext. Springer-Verlag, Berlin, third edition, 2004.

[Kli] Wilhelm Klingenberg. Klassische Differentialgeometrie. Eagle, Leipzig, 2004.

[Bus] Peter Buser. Geometry and spectra of compact Riemann surfaces, volume 106 of Progress in Mathematics. Birkhäuser Boston inc., Boston, MA, 1992.