Sommersemester 2014: Seminar Fuchs'sche Differentialgleichungen

Prof. Dr. Katrin Wendland
PD Emanuel Scheidegger

Seminar

• Wann und wo:

  Di 14 - 16, SR 127

• Thema:

  

  Aus der Differentialgeometrie wissen wir, dass diese Kachelungen der Sphäre und der hyperbolischen Ebene (im Poincareschen Ballmodell) als Veranschaulichung von nicht-euklidischen Geometrien dienen. Ein sehr schönes und erstaunliches Resultat von Schwarz ist nun, dass die Kachelungen mit Hilfe der Funktionentheorie durch eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung charakterisiert werden können, nämlich der hypergeometrischen Differentialgleichung

  $E(a,b,c): z(1-z)u'' +(c-(a+b+1)z)u' -abu=0$

  für eine meromorphe Funktion $u(z)$. Sie ist eine der einfachsten Fuchs'schen Differentialgleichungen und tritt auch bei vielen physikalischen Problemen, z.B. der Bewegung eines Pendel oder in der Quantenmechanik auf. Diese und ihre Lösungen, die hypergeometrischen Funktionen, haben schon Euler, Gauss und Riemann betrachtet.

  Das Faszinierende bei ihrer Untersuchung ist, dass Verbindungen zu ganz unterschiedliche Gebieten der Mathematik auftreten: Funktionentheorie, Gruppentheorie, Topologie, algebraische Geometrie und Differentialgeometrie. Das Ziel dieses Seminars ist, diese Verbindungen aufzudecken und den Zusammenhang zu obigen Kachelungen zu verstehen. Ausgehend von der Funktionentheorie bietet der Weg dahin Einführungen in die Theorie linearer Differentialgleichungen, in die Fundamentalgruppe der Topologie, und in Monodromie-- und Dreiecksgruppen.

Tutorium

• Emanuel Scheidegger, Sprechstunde: Mi 16 - 17, Raum 329

Vortragsliste

Literatur

• Walter, Wolfgang, Gewöhnliche Differentialgleichungen, 7. Aufl., Springer, 2000
• Iwasaki, Katsunori and Kimura, Hironobu and Shimomura, Shun and Yoshida, Masaaki, From Gauss to Painleve, Friedr. Vieweg & Sohn, 1991
• Freitag, Eberhard, Funktionentheorie 1, 2, 2009
• Jänich, Klaus, Funktionentheorie, 6. Auflage, Springer, 2004
• Jänich, Klaus, Topologie, 5. Auflage, Springer, 2006
• Katok, Svetlana, Fuchsian Groups, The University of Chicago Press, 1992
• Beardon, Alan F., The geometry of discrete groups, Springer, 1983
• Yoshida, Masaaki, Hypergeometric functions, my love, Friedr. Vieweg & Sohn, 1997