Wintersemester 2014/15: Monstrous Moonshine

Prof. Dr. Katrin Wendland

Vorlesung

• Wann und wo: Montag und Mittwoch 10-12 Uhr, im SR 226, Hermann-Herder-Str. 10
  Anmerkung: Möglicherweise muss ein Teil der Vorlesung als "Reading-Course" durchgeführt werden; Einzelheiten hierzu werden in der ersten Vorlesung bekannt gegeben.
  
  Die Moonshine-Vermutung stellt einen unerwarteten Zusammenhang her zwischen der größten sporadischen Gruppe, der sogenannten Monster-Gruppe, sowie einer wichtigen, auf der oberen Halbebene holomorphen Funktion, der Modulfunktion j.
  In der Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen treten 26 Ausnahmegruppen in Erscheinung, die "sporadische" Gruppen. Die Monster-Gruppe M ist die größte unter diesen. Sie besitzt

  2⁴⁶ · 3²⁰ · 5⁹ · 7⁶ · 11² · 13³ · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71

  Elemente. Eine Modulfunktion ist eine meromorphe Funktion auf der oberen komplexen Halbebene, die unter Möbiustransformationen invariant ist. Für die einfachste unter diesen, die j-Funktion, beginnt die Fourierreihe wie folgt:

  j(τ)=q^-1 + 744 + 196884 q + 21493760 q² +···, q:=exp(2π iτ), Im(τ)>0.

  Sehr merkwürdig: Die Koeffizienten 196884, 21493760,... sind in sehr einfacher Weise mit den Dimensionen der irreduziblen Darstellungen von M verknüpft. Die "Monstrous-Moonshine"-Vermutung besagt, dass es hierfür einen tieferen Grund gibt - und natürlich sehr viel mehr als das. Genauso mysteriös wie die Vermutung selbst ist deren schließlich von Borcherds gefundener Beweis: Diesen kann man am besten verstehen, wenn man in eine physikalisch motivierte Theorie hineinschaut - die konforme Quantenfeldtheorie.
  
  Ziel der Vorlesung ist es, Aussage sowie Grundzüge des Beweises der "Monstrous-Moonshine"-Vermutung zu erarbeiten. Dazu werden die wesentlichen Grundbegriffe und Ergebnisse aus der Theorie der endlichen Gruppen, der Modulformen sowie aus der konformen Feldtheorie eingeführt. Hierbei spielt eine unendlich-dimensionale Liealgebra, die sogenannte Virasoro-Algebra, eine zentrale Rolle. Weiter werden die grundlegenden Konstruktionen von Vertexoperator-Algebren diskutiert. Einige Vorlesungsstunden werden den Zusammenhängen mit den Quantenfeldtheorien gewidmet, Vorkenntnisse aus der Physik werden aber nicht vorausgesetzt.

Literatur

• T. Gannon, Moonshine Beyond the Monster, Cambridge University Press, 2006
• R. Borcherds Proceedings of the I.C.M., Vol. I (Berlin, 1998). Doc. Math. 1998, Extra Vol. I, 607-615, http://math.berkeley.edu/~reb/papers/icm98/icm98.pdf

Sprechstunden des Assistenten

• PD Dr. Emanuel Scheidegger: Mittwoch, 16:00-17:00 Uhr, Raum 329

Prüfungszulassung

• Anwesenheitspflicht - Sie dürfen höchstens zweimal bei den Übungen fehlen.
• Vorrechnen - Sie müssen mindestens eine Übungsaufgabe an der Tafel präsentieren.
• Hausaufgaben - Sie müssen mindestens 50% der maximal möglichen Übungspunkte erreichen.