DozentInnen: Prof. Dr. S. Goette, Prof. Dr. N. Große
Seminar: Mo., 14:00-16:00, SR 127, Ernst-Zermelo-Str. 1
Vorbesprechung: Di., 8. 2. 2022, 14:00, via BBB
Programm (vorläufig).
Wir wollen uns den Dirac-Operator D auf Riemannschen Spin-Mannigfaltigkeiten M anschauen. Es handelt sich dabei um einen linearen Differentialoperator, der zugleich die "Quadratwurzel" eines Operators vom Laplace-Typ darstellt. Im Falle dim M=4k hat der Dirac-Operator einen Fredholm-Index ind D, den man mit rein topologischen Methoden bestimmen kann. Auf der anderen Seite ist der Operator D2 auf einer kompakten Riemmanschen Mannigfaltigkeit M ohne Rand invertierbar, wenn M positive Skalarkrümmung trägt. Somit lässt M keine positive Skalarkrümmung zu, wenn indD nicht verschwindet. Tatsächlich stellen der Dirac-Operator und sein Index einen der wenigen bekannten Zugänge zum Studium des Raumes R+(M) der Metriken positiver Skalarkrümmung auf einer gegebenen Mannigfaltigkeit M dar.
Im ersten Teil des Seminars führen wir Spin-Mannigfaltigkeiten und den Dirac-Operator ein und betrachten seine geometrischen und analytischen Eigenschaften. Als Quelle dient das Buch von Roe.
Im zweiten Teil wollen wir den Index des Dirac-Operators etwas genauer anschauen, auch im Hinblick auf den Raum R+(M). Dazu lesen wir ausgewählte Abschnitte aus dem Buch von Lawson und Michelsohn.
Literatur: