Algebraische Zahlentheorie in Corona-Zeiten (SS 2020)

- Video Kurs -

Dozent: O. Bräunling

Kurze Übersicht:

Wegen Covid-19 wird der Kurs über Videos laufen. Diese Videos gibt es zum Herunterladen weiter unten auf dieser Seite. Es sind also keine Video-Live-Vorlesungen.

Ich werde die Vorlesung in "Wochen" einteilen und dazu gibt es jeweils Videos und weiteres Material. Diese Videos entsprechen nicht "einer Vorlesung", sondern eher einzelnen Themen. Sie sehen es weiter unten ja selbst. Dies macht es leichter beim Nachlernen Themenblöcke gezielt zu finden.

Wir benutzen in diesem Kurs ein (Online-)Computer-Algebra System, und zwar SAGE/CoCalc. Keine Sorge: Sie müssen keine Software installieren und Sie müssen nicht programmieren können. Man kann SAGE über den Webbrowser laufen lassen. Ich erkläre alles, was man wissen muss, in den Videos. Ein kleines Tutorial zu Sage ist auch jetzt schon weiter unten bei den Videos zu finden, falls Sie vielleicht schon jetzt etwas experimentieren wollen:

• SAGE/CoCalc läuft (ohne Notwendigkeit für einen Account) einfach im Webbrowser: https://www.cocalc.com
  Sie können, falls Ihre Internet-Verbindung manchmal unterbrochen ist und daher das Arbeiten im Webbrowser nicht zuverlässig funktioniert, SAGE auch herunterladen und offline benutzen: https://www.sagemath.org/download.html
  Dennoch ist die Benutzung im Webbrowser insgesamt angenehmer, vermute ich.
  
  Auch wenn es das auf den Webseiten auch gibt: Sie benötigen KEINEN Account, und erst recht keinen kostenpflichtigen Account.
  
  
• In unserer Materialsammlung weiter unten finden Sie auch "Sage Worksheets". Diese ---.sagews Dateien sind mehr oder weniger einfach Textdateien (sie können die Datei-Endung einfach zu .txt ändern und sehen es ja dann selbst). Dies sind die Skripte, die in den Videos vorkommen, für den Fall, dass Sie selbst etwas experimentieren möchten (was ich sehr hoffe) und den Krempel nicht aus den Frames im Video abtippen wollen.

Skript

Wir werden grob (also nicht wortgleich) dem großartigen Skript von René Schoof folgen (an dieser Stelle nochmal vielen Dank, dass wir das benutzen dürfen!)
  Skript (von René Schoof)

Diskussionsforum:

Für Fragen/Diskussionen/etc.  (so ähnlich wie unser privates StackExchange/MathOverflow)

  http://algzt.mathematik.uni-freiburg.de/  (zum Abschluss des Kurses deaktiviert)

Übungsgruppen:

Übungsgruppen: Die Übungsgruppen sind

    Mi 10-12 - Videokonferenzraum SR 218 (Gruppe 1)
    Do 14-16 - Videokonferenzraum SR 119 (Gruppe 2)
    Do 10-12 - Videokonferenzraum SR 218 (Gruppe 3)

    An den Donnerstags-Feiertagen:
            Statt 21.05. (diese Woche!) ein generell offener Termin Mittwoch, 20.5., 15-17, Videokonferenzraum SR 318
            Statt 11.06. findet Gruppe 2 stattdessen Mittwoch, 10.6., 15-17, Videokonferenzraum SR 318, statt.

und diese Angaben beziehen sich nicht auf die realen Räume, sondern auf Videokonferenzräume unter https://www.math.uni-freiburg.de/lehre/virtuelle_veranstaltungen.html - d.h. die Übungsgruppen finden als Videokonferenz statt.

 
Die Übungsgruppen finden als Videokonferenz über Big Blue Button statt. Dort kann man auch Dateien hochladen und den anderen Teilnehmern zeigen (wie als würde man Slides in einer Präsentation zeigen, man kann aber auch z.B. durch eine PDF durchscrollen), und was Sie üblicherweise als "Vorrechnen an der Tafel" in der Übungsgruppe kennen, ersetzen wir dadurch, dass Sie Ihre Lösung, die dann völlig fertig geschrieben sein muss, live in der Videokonferenz entlang Ihres Aufschriebs präsentieren.

Blätter: Abgabe wird immer Montags 12 Uhr sein (wir schreiben dann hier, wie das funktionieren soll). Die Blätter finden Sie eingeordnet bei den Videos (das erste Blatt ist bereits online).

Es läuft dann so: Es gibt ganz reguläre Übungsblätter. Ihre Lösung sollen Sie dann als PDF einreichen. Beispielsweise:
- könnten Sie Ihre Lösung teXen, oder
- Sie schreiben Ihre Lösung sehr sauber auf Papier, scannen oder fotografieren dies (z.B. mit dem Handy), und konvertieren dies dann in eine PDF (dafür gibt es zahlreiche frei verfügbare Tools. Wir können dies im Forum diskutieren, pdf2Go wäre eine Variante)
- wichtig ist aber, dass die fotografierten Abgaben wirklich leserlich sein müssen. So Argumente wie "oh, jetzt war der Teil ganz rechts von der Formel in der Spalte, der passte nicht mehr in den Scanner, aber man kann sich ja denken, was da steht" (so Fermat-style wie mit "Die Spalte ist zu klein") ist nicht cool.

Videos

Einleitungen: Um was geht es eigentlich in "Algebraische Zahlentheorie"

Hier wollen wir nur etwas experimentieren und sehen, um was es so grob geht

• Entdeckungsreise 1: Wie war das nochmal mit Quadraten in endlichen Körpern?
• Entdeckungsreise 2: Primzahlen goes wild
  

Woche 1:

• Der Computer soll auch mal was tun: Sage, was ist das?
  
            Anm. zum Video: ob das an einer Stelle im Video vorkommende Polynom ein Eisenstein Polynom ist, kann man doch sehr leicht sehen
  
• Erinnerung: Primfaktorzerlegung
  
        Worte, an die man sich erinnern sollte: faktorieller Ring (oder unique factorization domain, UFD), prime und irreduzible Elemente. Was für Beispiele für faktorielle Ringe kennen Sie?
  
  
• Die Gleichung x^3 = y^2 - 16 für Adventure-Touristen ohne Travel Guide
     Sage Worksheets: BruteForceFindSolutions.sagews       Plots.sagews
  
  
• Die Gleichung x^3 = y^2 - 16 für Rumknobler
  
  WICHTIG: Diese Rechnung ist unglaublich lang und nervig. Aber man sollte sowas mindestens einmal im Leben gesehen haben. Punchline ist: Üblicherweise kommen wir in der Rechung immer dann einen großen Schritt voran, wenn wir einen Ausdruck als Produkt schreiben können und dann Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung ausnutzen.
  
  
• Die Gleichung x^3 = y^2 - 17
• Und was ist mit x^3 = y^2 - (beliebiger fester Wert)? 
  
  
• Willkommen im Semester:
       (gehört vielleicht eigentlich an den Anfang, aber da ich die obigen Videos schon vor dem Semesterbeginn hochgeladen hatte, setze ich es mal hier hin. Außerdem: Neues Mikrophon!)

Woche 2   (p1-13 im Skript, aber viel Material außerhalb des Skripts)

• Die Gleichung x^2 - 2y^2 = p (Entdeckungsreise)
• Die Gleichung x^2 - 2y^2 = p (Die Norm)
• Die Gleichung x^2 - 2y^2 = p (Beweise)
  
  
• Zahlkörper (Skript Kapitel 2)
  
  
• Euklidische Ringe
       Sage Worksheet: DrawNeighbourhoods1.sagews
        Ich sage in dem Video hin und wieder "Wurzel n", wenn ich "Wurzel -n" meine, aber schreibe immer die korrekte Version. Ich hoffe, dies stiftet keine Verwirrung.
  
  
• Reelle und komplexe Stellen
• Die Fermat-Gleichung I
• Die Fermat-Gleichung II
       (optional) Numberphile Video zu Fermat: https://www.youtube.com/watch?v=qiNcEguuFSA
       (optional) Numberphile Video Interview mit Ken Ribet https://www.youtube.com/watch?v=nUN4NDVIfVI
  
  Übungsblatt: tut_week2.pdf

Woche 3     (p14 - 20 im Skript)

• Was war eigentlich nochmal ein Tensorprodukt? (nur für die, die sich kaum erinnern)
• Algebren und deren Tensorprodukt
  
  
• Von Zahlentheorie zur Linearen Algebra und zurück I
• Von Zahlentheorie zur Linearen Algebra und zurück II
  
• Die Diskriminante
  
  
• Ganzheit I
• Ganzheit II
• Ganzheit III
• Der Ganzheitsring

 Übungsblatt: tut_week3.pdf

Woche 4    (p21-26 im Skript)

• Der Ganzheitsring II
• Der Ganzheitsring III
  
  
• Dedekind-Ringe I
• Dedekind-Ringe II
• Dedekind-Ringe III
     

 Übungsblatt: tut_week4.pdf     (die letzte Aufgabe sieht sehr lang aus, aber eigentlich sind es nur eine Menge Tipps am Wegesrand)

Woche 5    (p27-33 im Skript)

• Idealnorm I
• Idealnorm II
• Idealnorm III
  
  
  
• Riemann und Dedekind Zetafunktion
      (optional) Numberphile Video zur Riemannschen Vermutung https://www.youtube.com/watch?v=d6c6uIyieoo&vl=en
      (optional) Ein etwas weitergehendes Video https://www.youtube.com/watch?v=VTveQ1ndH1c
  
      Verschiedene Versionen von Riemanns Originalarbeit sowie frühere Manuskriptversionen https://www.claymath.org/publications/riemanns-1859-manuscript
              

Übungsblatt: tut_week5.pdf

Woche 6       (p34-40 im Skript)

• Elementarteilersatz
• Norm und Index
  
  
• Gitter

Übungsblatt: tut_week6.pdf

Woche 7      (p41-44 im Skript)

• Faktorisierung nach Kummer - die Idee
• Faktorisierung nach Kummer - der Beweis
  
  
• Verzweigung I
  
• Faktorisierung in SAGE
  
• Nicht jeder Ganzheitsring hat die Form Z[alpha] (Dedekinds Beispiel)
• Der Index Z[alpha] in O_F
       Ich sage in dem Video mehrfach "n hoch minus 1", wenn ich "n-1" meine, aber schreibe immer die korrekte Version. Ich hoffe, dies stiftet keine Verwirrung.

Übungsblatt: tut_week7.pdf

Woche 8      (p44-51 im Skript)

• Diskriminante und Verzweigung
          Note von Keith Conrad: Keith Conrad - Discriminant and Ramification.pdf (von Keith Conrad: https://kconrad.math.uconn.edu/)
          Die Aussage "über allen Körpern" gilt für "über allen perfekten Körpern", aber endliche Körper sind perfekt, also alles ok.
  
  
• Euklidische Ringe II 
          Sage Worksheet: RealQuadraticField_EuclideanExperimenting.sagews
  
  
  
• Minkowski Theorie 1
• Minkowski Theorie 2

Übungsblatt: tut_week8.pdf

Woche 9   (p49-57 im Skript)

• Der Ring Z[sqrt(6)], jenseits der Minkowski-Schranke
• Der Ring Z[sqrt(-5)]
  
  
• Ausrechnen der Idealklassengruppe
  
  
  
• Der Satz von Hermite
          (ich sage im Video oft "Box" für B und das steht auch im Skript. Allerdings ist B nur dann wirklich geometrisch eine Box falls alle Stellen reell sind. Die Geometrie ist im Allgemeinen also etwas komplizierter, aber sonst passt alles)
  
  
  
• Dirichlet Einheitensatz 1: überleitende Worte dekorativer Natur
          Quelle: Notiz von Keith Conrad: Keith Conrad - Unit theorem.pdf
• (optional) Dirichlet Einheitensatz 2: Ideen
  
• Dirichlet Einheitensatz 3: Der nervige Teil des Beweises
          (wenn ich sage, dass die Topologie von R^n unabhängig von einer "Topologie einer Metrik" ist, so ist das falsch. Ich meine: Sie können die Topologie jeglicher Norm nehmen und es ist aber egal welche)
  
• Dirichlet Einheitensatz 4: Alles wird (doch noch) gut

Übungsblatt: tut_week9.pdf

Woche 10

Die aktuelle Woche soll der Vertiefung und Wiederholung als Vorbereitung auf die Klausur dienen.

Sie haben ja sicher bereits bemerkt, dass wir letzte Woche mehr Videostunden als sonst hatten.
Dies diente dem Zweck, dass wir diese Woche kein neues Material mehr einführen müssen.  

Übungsblatt: tut_week10.pdf

Extra-Tutorat zur Klausur-Vorbereitung (mit Fabian)
  Montag 20.7.,  14-16 Uhr
  BigBlueButton: SR 403 (Fischer)

Woche 12

• Absolutbeträge 1
• Absolutbeträge 2
• Absolutbeträge 3
          bei Minute 35 geht es etwas durcheinander, aber ich denke es klärt sich dann später doch alles noch auf
  
  
• Absolutbeträge 4
• Absolutbeträge 5
          Note von Keith Conrad: Keith Conrad - Ostrowski for number fields.pdf
  
  
  
• Absolutbeträge 6

Klausur

Termin: Mittwoch, 22.7., 11 Uhr, HS Rundbau

Literaturliste

1. H. P. F. Swinnerton-Dyer: A Brief Guide to Algebraic Number Theory   (dieses Buch schafft in am wenigsten Seiten am meisten Stoff! Es ist toll geschrieben, sehr kompakt, aber folgt einem etwas anderen Ablauf als wir das tun werden)
2. J. Neukirch: Algebraische Zahlentheorie
3. A. Huber-Klawitter: Skriptum der Vorlesung SS 2014
4. S. Lang: Algebraic Number Theory.
5. J. Milne: Algebraic Number Theory.   (online verfügbar   https://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ant.html )
6. F. Lorenz: Algebraische Zahlentheorie.