Kommutative Algebra und Einführung in die algebraische Geometrie

Sommersemester 2020

Dozent: Prof. Dr. Wolfgang Soergel
Tutorium: Giovanni Zaccanelli, giovanni.zaccanelli (at) math.uni-freiburg.de

Vorlesungen:

Zeit: Dienstag, Donnerstag 10-12 (Erste Vorlesung Dienstag 12.5)
Ort: Im Netz die Seite Virtuelle Vorlesungsräume aufrufen,
ausgeschrieben https://www.math.uni-freiburg.de/lehre/virtuelle_veranstaltungen.html
auf dieser Seite ganz unten meinem Sprechstundenraum beitreten,
Passwort v[Mein Nachname mit großem Anfangsbuchstaben][Die aktuelle Jahreszahl]8 (insgesamt 13 Zeichen).

Übungen: Montag 10-12 im virtuellen Raum SR 403.
Übungsblätter
Sprechstunde dazu: Freitag 14:00-15:00 im virtuellen Raum SR 403.


Ablauf: Ich will in der ersten Stunde mit Ihnen den Abschnitt 1.1 aus dem Skript besprechen,
Zariski-Topologie und Hilbert'scher Nullstellensatz,
und vielleicht noch das Eine oder Andere zu Moduln aus 1.2 - 1.5,
wovon ich vermute, daß Ihnen das meiste vertraut ist.
Ich stelle mir vor, daß Sie das vorher mal angucken
und wir in der Stunde insbesondere Ihre Fragen besprechen.
Mal sehen, wie es läuft und wie sich dieser erste Versuch für ein Online-Format bewährt.
In der zweiten Stunde soll dann 1.7 zu Noetherschen Moduln und Ringen im Zentrum stehen.

Vorbereitung 14.5: Im Skript 1.7.11 bis Ende Beweis 1.7.13. Nicht 1.8, aber 1.9 und 1.10.

Vorbereitung 19.5: Im Skript 1.10, Beweis des Nullstellensatzes, bis Ende 1.10. Abschnitt 2.1.
Dann Einschub zu Kategorien nach LA2-Skript, Abschnitt 7.1 und 7.2.
Die Sprache der Kategorien ist nicht nur für diese Vorlesung äußerst nützlich.
Besonders wichtig ist für uns zu diesem Zeitpunkt der Begriff einer Äquivalenz von Kategorien 7.2.20.
Ich kann schwer abschätzen, wie neu das für Sie ist,
und könnte mir gut vorstellen, daß wir auch noch Donnerstag 21.5 darüber sprechen.

Vorbereitung 26.5: Entschuldigung, Donnerstag ist ja Feiertag.
In der nächsten Stunde am 26.5 soll erst der Begriff einer
Äquivalenz von Kategorien LA II, 7.2.20 erklärt werden.
Dann Beweis von Satz 2.2.4 Räume und Ringe.
Dann naive affine Varietäten Abschnitt 2.3, der koordinatenfreie Zugang.

Vorbereitung 28.5: Naive affine Varietäten Abschnitt 2.3.
Verallgemeinerter Nullstellensatz Abschnitt 2.4.
Produkte in Kategorien LA II, 7.6.1.

Vorbereitung 2.6: Entschuldigung, das kommt zu spät.
Abschnitt 3.1 Irreduzibles und 3.2 Primideale.
Vorbereitung 4.6: Lokalisierung 3.3, wahrscheinlich noch nicht 3.4.
Vorbereitung 9.6: Lokalisierung und Primideale 3.4, hatte ich vergessen, rechtzeitig anzusagen.
Vorbereitung 16.6: Lokalisierung von Moduln 3.5 nur bis zur Verträglichkeit mit Koprodukten 3.5.12 und Beweis.
Verbesserung zu endlichen Produkten von Integritätsbereichen neu 3.5.11.
Dann Lemma von Nakayama 3.6 vermutlich ohne Durchschnittssatz von Krull.
Vorbereitung 18.6: Lemma von Nakayama für lokale Kringe 3.6.10.
Dann ganze Kringereweiterungen 4.1.
Ziel ist Going-Up 4.2.7 und die Gleichheit der Krulldimension 4.2.11,
aber vermutlich kommen wir nicht ganz so weit.
Vorbereitung 23.6: Going-Up 4.2.7 und die Gleichheit der Krulldimension 4.2.11,
Noether-Normalisierung (vermutlich nicht bis zum Ende)
Vorbereitung 25.6: Krull'scher Hauptidealsatz für Polynomringe 4.4.6,
bis Ende 4.4 ohne differentielles Dominanzkriterium,
Transzendenzgrad 4.5,
vermutlich noch nicht Going-down 4.6.
Vorbereitung 30.6: Going-down 4.6, nicht 4.7.
Hauptidealsatz von Krull, eher noch
nicht mit allen Korollaren.
Vorbereitung 2.7: 5.1-5.3 allgemeine Varietäten.
Begrifflicher Rahmen,
Beginn der Diskussion projektiver Varietäten.
Vorbereitung 7.7: Projektive Varietäten 5.4.10, erzwungene Schnitte,
Kodimension von Schnittmengen bis Ende 5.4.
Graduierungen 5.5. Nicht 5.6, aber 5.7 und 5.8.
Vorbereitung 9.7: Hilbertpolynome 5.9;
Satz von Bezout 5.10.
Vorbereitung 14.7: Beweis Satz von Bezout 5.10;
Nicht Produkte, nicht Separiertheit;
Filtrierungen von Gruppen 6.1 und Ringen 6.2;
Hinarbeiten auf den Hauptsatz 6.3.18
zur Dimension lokaler noetherscher Kringe.
Vorbereitung 16.7: Dimensionstheorie lokaler noetherscher Kringe 6.3, insbesondere
Hauptsatz 6.3.18 zur Dimension lokaler noetherscher Kringe.
Vorbereitung 21.7: Korollare zum Hauptsatz.
Glattheit und Regularität höchstens bis regulär impliziert ganz abgeschlossen.
Vorbereitung 23.7: 6.4.11 Extrinsische Glattheit bedeutet Regularität
bis 6.4.19 regulär impliziert ganz abgeschlossen. Nicht 6.5 und 6.6.
Dann kommen diskrete Bewertungsringe und ihre Charakterisierung 7.1.10, die vermutlich noch nicht erreicht wird.
Vorbereitung 28.7: Dedekindringe ohne Ganzheitsringe von Kreisteilungskörpern.
Dann beginne ich mit dem Satz über Körper und ihre Kurven.
Vorbereitung 30.7: Norm, Spur, Endlichkeit ganzer Abschlüsse.
Beweis des Satzes über Körper und ihre Kurven.
Zielpunkt für das Sommersemester: Ich will gerne ankommen beim Satz 8.2.2 über Körper und ihre Kurven.
Vermutlich wird der Beweis nicht ganz fertig werden.
Studienleistung: Bestehen eines mündlichen Abschlußtests,
bei dem stichprobenartig nach der Lösung von Übungsaufgaben
(oder Varianten davon) gefragt wird.

Skript