Di, Do, 8 - 10, HS II, Albertstr. 23b
Modulformen sind komplex-analytische Funktionen auf der oberen komplexen Halbebene, welche eine bestimmte Funktionalgleichung und eine Wachstumsbedingung im Unendlichen erfüllen. Letztere garantiert, daß Modulformen eine komplexe Fourierreihen-Entwicklung besitzen. Die Theorie der Modulformen gehört also in den Bereich der Funktionentheorie, aber ihre zentrale Bedeutung liegt in ihrem Zusammenhang zur Zahlentheorie, zur Geometrie, und zur Darstellungstheorie. Daher resultieren auch die meisten ihrer Anwendungen.
Oft können Zählprobleme dadurch gelöst werden, indem man eine erzeugende Funktion aufstellt und deren Eigenschaften untersucht. In günstigen Situationen ist diese Funktion eine Modulform. Ihre Fourier-Koeffizienten sind dann die Lösung des Zählproblems. Daher rührt auch die Hauptanwendung von Modulformen in der Physik. Die Anzahl der Zustände eines quantenmechanischen Systems mit vorgegebenen Quantenzahlen wird durch die sogenannte Zustandssumme beschrieben, welche in günstigen Fällen eine Modulform ist.
Ein berühmtes Zählproblem in der Mathematik sind die Dimensionen
der Darstellungen der größten endlichen einfachen Gruppe, dem
sogenannten Monster (mit $\sim 10^{53}$ Elementen). Die - inzwischen bewiesene - Monstrous Moonshine Vermutung besagt, daß die erzeugende Funktion dieser Dimensionen eine ganz bekannte Modulform ist.
Eine der faszinierendsten Anwendungen der Theorie der Modulformen ist
der Beweis von Fermats letztem Satz, der besagt, daß $a^n + b^n =
c^n$ für $n > 2$ keine ganzzahlige Lösung außer $a = b = c = 0$ besitzt. Zugrunde liegt die Tatsache, daß die komplexe Kurve $y^2 = x(x - a^n)(x - b^n)$ sehr viele Symmetrien besitzt und durch Modulformen eindeutig beschrieben werden kann. Solche Kurven heißen elliptische Kurven und sind das zentrale geometrische Objekt in der Theorie der Modulformen.
Das Ziel der Vorlesung ist es, eine elementare Einführung in die Konzepte der Modulformen und elliptischen Kurven zu geben mit Schwergewicht auf expliziten Rechnungen, während abstrakte Konzepte der Zahlentheorie weniger berücksichtigt werden.
