Informationen zur Vorlesung
Einführung in topologische Gruppen
Wintersemester 2019/20


Dr. Oliver Bräunling (Raum 436, Ernst-Zermelo-Str. 1)

Dr. Lukas Braun (Raum 433, Ernst-Zermelo-Str. 1)

 

NEU: Die Vorlesung ist neu. Sie ist nicht der Originalversion des Vorlesungsverzeichnisses für das Wintersemester eingetragen.


Wichtig: Die Vorlesung beginnt erst in der zweiten Vorlesungswoche, also am 29. Oktober

Neu: Die Verwendbarkeit der Vorlesung wurde aktualisiert.

 

Eine topologische Gruppe ist zugleich eine Gruppe und ein topologischer Raum. Man fordert, dass die Gruppenstruktur stetig bezüglich der Topologie ist. In der Algebra lernt man, dass man endliche Gruppen klassifizieren kann, indem man sie als Erweiterung

N -> G -> G/N             (die erste Abbildung ist die Einbettung der Untergruppe, die zweite die Quotientenabbildung)

schreibt, wobei N ein Normalteiler und G/N der entsprechende Quotient ist. Dies reduziert (mehr oder weniger) die Klassifikation auf die endlichen einfachen Gruppen, also jene, wo keine weitere solche Zerlegung mehr möglich ist.
Bei topologischen Gruppen geht man ganz analog vor. Nur diesmal sind unsere Gruppen meist ganz und gar nicht endlich, und statt beliebiger Normalteiler muss man sich auf abgeschlossene Normalteiler einschränken, damit auch der Quotient G/N wieder eine vernünftige Topologie trägt. Ein Beispiel: Man beweist, dass die Zusammenhangskomponente des neutralen Elements der Gruppe, genannt G⁰, immer ein abgeschlossener Normalteiler sein muss. Man erhält daher immer eine Zerlegung

G⁰ -> G -> G/G⁰,

wobei G⁰ eine zusammenhängende Gruppe ist und G/G⁰ eine "total unzusammenhängende" Gruppe. Daher könnte man sich für eine weitere Klassifikation auf diese zwei Arten von topologischen Gruppen einschränken.
Allerdings wird jede beliebige Gruppe, wenn man sie mit der diskreten Topologie versieht, eine topologische Gruppe, d.h. manchmal führt eine solche Reduktion nur auf ein Klassifikationsproblem, was bekanntermaßen hoffnunglos ist.
Wie Gromov schon sagte: Jede Aussage, die für alle abzählbaren Gruppen gilt, ist entweder trivial oder falsch. :-)

Übungsaufgaben

Achtung, auf Blatt 5 gab es eine kleine Änderung in 3b. So wie es in der ersten Version stand, ist es nicht möglich.
Abgabe am:Übungsblatt (zur Abgabe)
05.11.19Blatt 01
12.11.19Blatt 02
19.11.19Blatt 03
26.11.19Blatt 04
03.12.19Blatt 05
10.12.19Blatt 06

Termine

Vorlesungstermine

Zeit und Ort der Vorlesung: jeden Di 14-16 Uhr, SR 218

Übungen: Di 16-18 Uhr, SR 218

Studien/Prüfungsleistung

Verwendbarkeit: Weitere Informationen entnehmen Sie bitte dem Modulhandbuch Ihres Studienganges.