Seminar Darstellungstheorie – SS2015

Das Seminar findet freitags von 8.15 bis 10.00 Uhr in dem Seminarraum 404 statt.

Vorläufiges Programm:

Vortrag 1: Operationen mit Young tableaux.

Definition von Young-Diagrammen, Young-Tableaux, und skew Young-tableaux; Transposition von Tableaux [F, Notation]. Multiplication von Tableaux durch "Bumping" und das "Row Bumping Lemma" [F, §1.1]. "Sliding" von skew Young Tableaux, ohne Beweise [F, §1.2].

Vortrag 2: Das plaktische Monoid.

Knuth Transformationen und Knuth Äquivalenz, und Beziehungen zu "Row Bumping" [F, §2.1]. Schur Polynome [F, §2.2].

Vortrag 3: Tableaux und das plaktische Monoid.

Beweis des Isomorphismus zwischen dem Tableaux-Monoid und dem plaktischen Monoid [F, §3.1 und §3.2].

Vortrag 4: Die Robinson-Schensted-Knuth Korrespondenz.

Aussage und Beweis der R-S-K Korrespondenz zwischen Paaren von Young Tableaux und Permutationen [F, §4.1]. Anwendungen aus [F, §4.3].

Vortrag 5: Halbeinfache Algebren.

Darstellungen einer endlich-dimensionalen Algebra als linke Moduln. Einfache Moduln und das Lemma von Schur. Halbeinfache Algebren. Referenzen dafür sind z.B. [L, XVII, §1-2 und §4] und/oder [S, §1.4, §1.7 und Satz 2.1.6].

Vortrag 6: Darstellungen endlicher Gruppen.

Die Gruppenalgebra einer endlichen Gruppe und der Satz von Maschke. Struktur von Gruppenalgebren. Definitionen und Eigenschaften von Charakteren (ggf. ohne Beweise). Referenzen dafür sind z.B. [L, XVIII, §1-2, §4 und Einiges aus §5] und/oder [S, §1.2, §2.3-5].

Vortrag 7: Darstellungen der symmetrischen Gruppen durch Young Tableaux.

Wirkung der symmetrischen Gruppe auf Tableaux und Konstruktion der Zell-Moduln und der Specht-Moduln [F, §7.1 und §7.2].

Vortrag 8 (Bachelor): Dimension der einfachen S_n-Darstellungen und die Haken-Länge-Formel.

Eine kombinatorische Formel für die Dimension der einfachen S_n-Darstellungen [dF, §4.3 ab Seite 53] und [Sag, §3.10].

Vortrag 9 (Bachelor): Modulare Darstellungstheorie der S_n.

(Arbeiten von Erdmann zum Fall von Tableaux mit zwei Zeilen. Zusammenhang mit Kipp-Moduln von SL_2 und allgemeiner SL_r. Arbeiten von Olivier Matthieu und seinen Schülern.)

Vortrag 10: Darstellungen der allgemeinen linearen Gruppe.

Schur Moduln und Wirkung der allgemeinen linearen Gruppe [F, §8.1-2].

Vortrag 11 (Bachelor): Schur-Weyl Dualität.

Der Double-Centralizer-Theorem und Schur-Weyl Dualität, [F, §8.3 bis Seite 119] und [G, §3.3.2].

Vortrag 12 (Bachelor): Littlewood-Richardson Koeffizienten.

Littlewood-Richarson Koeffizienten [F, §5.1] und Multiplikation von Schur-Polynomen (aus [F, §5.3]). Charakteren von GL(n)-Darstellungen und Zerlegungsformel für Tensorprodukte [F, §8.3 ab Seite 120].

• [F] Fulton, William. Young tableaux. With applications to representation theory and geometry. London Mathematical Society Student Texts, 35. Cambridge University Press, Cambridge, 1997.
• [G] Goodman, Roe; Wallach, Nolan R. Representations and invariants of the classical groups. Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 68. Cambridge University Press, Cambridge, 1998.
• [L] Lang, Serge. Algebra. Revised third edition. Graduate Texts in Mathematics, 211. Springer-Verlag, New York, 2002.
• [S] Soergel, Wolfgang. Nichtkommutative Algebra und Symmetrie. Online verfügbar hier.
• [Sag] Sagan, Bruce E. The symmetric group. Representations, combinatorial algorithms, and symmetric functions. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 203. Springer-Verlag, New York, 2001.