Einführung in die Hodgetheorie

Zusammenfassung:

Inhalt der Lehrveranstaltung:

Der Raum aller komplexen Strukturen trägt einen flachen Zusammenhang, den sogenannten Gauss-Manin-Zusammenhang. Dessen Flachheit übersetzt sich in eine lineare Differentialgleichung, die sogenannte Picard-Fuchs-Gleichung, deren Lösungen die Änderung der komplexen Struktur kontrollieren.

Als besonderen Spezialfall werden Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten, d.h. Kählermannigfaltigkeiten mit trivialem kanonischen Bündel betrachtet. In diesem Fall besitzt der Raum der komplexen Strukturen zusätzliche Eigenschaften, z.B. ist er eine spezielle Kählermannigfaltigkeit.

Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten spielen eine besondere Rolle in der mathematischen Physik. Zu jeder Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit gibt es eine weitere Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit, die spiegelsymmetrisch ist. Zum Verständnis dieser Spiegelsymmetrie ist die Existenz sogenannter flacher Koordinaten auf dem Raum der komplexen Strukturen wesentlich.

Das Ziel der Vorlesung ist es, eine elementare Einführung in die Konzepte der Hodgetheorie und Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten zu geben mit Schwergewicht auf expliziten Rechnungen, während abstrakte Konzepte wie z.B. kategorientheoretische Aspekte weniger berücksichtigt werden.

Vorkenntnis für die Lehrveranstaltung:

Grundlegende Kenntnisse in komplexer Geometrie, in Funktionentheorie und algebraischer Geometrie sind nützlich, können aber ggf. in der Vorlesung nachgetragen werden.

Literatur zur Lehrveranstaltung:

Claire Voisin, Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry I, II, Cambridge University Press (2002)

Mark Green, Infinitesimal Methods in Hodge Theory, in Algebraic Cycles and Hodge Theory, Springer Lecture Notes in Mathematics Vol. 1594 (1994)

weitere Informationen zu der Lehrveranstaltung: