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Indextheorie
| Titel: |
Vorlesung Indextheorie
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| Dozent(in): |
Prof. Dr. Katrin Wendland |
| Termin: |
Di. u. Mi. jeweils 10:00-11:30 Uhr
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| Gebäude/Raum: |
Raum 1008, Geb. L1 |
| Ansprechpartner: |
Prof. Dr. Katrin Wendland |
Zusammenfassung:
Es bestehen tiefe Zusammenhänge zwischen lokalen Eigenschaften Riemannscher Mannigfaltigkeiten (z.B. Riemannsche Metrik und Krümmung), geometrisch definierten Differentialoperatoren, sowie dem sogenannten Index (das ist die Differenz der Dimensionen von Kern und Kokern) für geeignete Differentialoperatoren. Besonders wichtig sind hier die Dirac-Operatoren sowie deren Quadrate, die verallgemeinerten Laplace-Operatoren. Die Indizes von Dirac-Operatoren können nämlich mit Hilfe des Atiyah-Singer-Index-Satzes berechnet werden, und sie liefern interessante Invarianten der zugrunde liegenden Mannigfaltigkeiten. Anderseits wurden Dirac-Operatoren ursprünglich im Rahmen der relavistischen Quantenmechanik von dem Physiker Paul Dirac untersucht, was eine enge Verquickung zwischen Indextheorie und theoretischer Physik nahelegt. In der Tat können Dirac-Operatoren als Quantisierungen von Riemannschen Zusammenhängen aufgefasst werden, und entsprechende physikalische Interpretationen ziehen sich durch die gesamte Theorie.
Die Vorlesung wird eine Einführung in die Indextheorie allgemeiner Dirac-Operatoren geben. Dazu werden Dirac-Operatoren und verallgemeinerte Laplace-Operatoren auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten eingeführt und studiert, und die zugehörigen Wärmeleitungskerne werden untersucht. Ziel der Vorlesung ist es, einen Beweis (nach Getzler) sowie Anwendungen des Atiyah-Singer-Index-Satzes für Dirac-Operatoren auf kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeiten vorzustellen, allein unter Verwendung klassischer Wärmeleitungskernmethoden.
Die Übung findet am Di. 14:00 - 15:30 Uhr im Raum L1 1008 statt.
Vorkenntnis für die Lehrveranstaltung:
Riemannsche Differentialgeometrie; Grundlagen aus der komplexen Geometrie sind nützlich aber nicht unverzichtbar
Literatur zur Lehrveranstaltung:
N. Berline, E. Getzler, M. Vergne, "Heat Kernels and Dirac Operators" (Springer 1992)
R.O. Wells, "Differential Analysis on Complex Manifolds" (Springer 1986)
weitere Informationen zu der Lehrveranstaltung:
| empfohlenes Studiensemester der Lehrveranstaltung: |
ab dem 5. Semester |
| Fachrichtung Lehrveranstaltung: |
Mathematik und Physik |
| Nummer der Lehrveranstaltung: |
06021 |
| Beginn der Lehrveranstaltung: |
Dienstag, 28. April 2009 |
| Dauer der Lehrveranstaltung: |
4 SWS |
| Typ der Lehrveranstaltung: |
V - Vorlesung |
| Leistungspunkte: |
10 |
| Bereich: |
Analysis und Geometrie |
| Prüfung: |
Klausur |
| Begleitende Lehrveranstaltung(en): |
06022 |
| Semester: |
SS 2009 |
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