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Differentialformen in algebraischer Topologie
| Titel: |
Differentialformen in algebraischer Topologie |
| Dozent(in): |
Dr. Emanuel Scheidegger |
| Termin: |
dienstags und freitags jeweils 8:15 - 9:45 |
| Gebäude/Raum: |
jeweils Geb. L1 / 1007 |
| Ansprechpartner: |
Dr. Emanuel Scheidegger |
Zusammenfassung:
Die Algebraische Topologie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das
topologische Räume mit Hilfe der Algebra untersucht. Ein wesentliches
Ziel der Topologie ist es, alle topologischen Räume bis auf
Homöomorphie zu klassifizieren. Dieses Ziel ist in dieser umfassenden
Form nicht erreichbar, trotzdem sucht man nach effektiven und
zuverlässigen Methoden, mit deren Hilfe man bestimmte Räume
untersuchen oder sogar bestimmte Klassen topologischer Räume
klassifizieren kann. Einen ersten Schritt geht schon die
mengentheoretische Topologie. Ihre Methoden sind aber in den meisten
Fällen ungeeignet, um diese Anforderungen zu erfüllen.
Die algebraische Topologie bietet hingegen Methoden, die auch feinere
Unterschiede zwischen den topologischen Räumen aufdecken. Die
generelle Vorgehensweise dabei ist, den topologischen Räumen
gewisse invariante algebraische Strukturen zuzuordnen. Dabei handelt
es sich meist um Gruppen oder Ringe. Invariant bedeutet in diesem Fall,
dass homöomorphen Räumen isomorphe algebraische Strukturen
zugeordnet werden.
Es gibt im Wesentlichen zwei wichtige Hilfsmittel der algebraischen
Topologie, nämlich die Homologie (bzw. Kohomologie), welche
- grob gesprochen - verschieden-dimensionale Löcher in einem
topologischen Raum anzeigt, sowie die Homotopie. Hierbei ist allerdings
die Homologie einfacher zu handhaben als die Homotopie.
In dieser Vorlesung wird der Prototyp dieser algebraischen Strukturen,
die de Rham-Kohomologie glatter Differentialformen auf einer
Mannigfaltigkeit eingeführt und untersucht. Dann werden folgende Konzepte behandelt: Vektorbündel, charakteristische Klassen, Cech--Kohomologie, Spektralsequenzen und elementare Homotopietheorie. Als Grundlage dafür werden am Anfang kurz topologische Räume besprochen.
Ein berühmtes Beispiel einer offenen Fragestellung auf dem Gebiet der algebraischen Topologie war die Poincaré-Vermutung, die folgendes besagt: Jede einfach zusammenhängende kompakte unberandete 3-dimensionale Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur 3-Sphäre. Diese Vermutung wurde 2002 von Perelman bewiesen.
Downloads:
Vorkenntnis für die Lehrveranstaltung:
Analysis I, II, III, Lineare Algebra I,II.
Kenntnisse der Topologie und Differentialgeometrie sind hilfreich, aber nicht notwendig.
weitere Informationen zu der Lehrveranstaltung:
| Nummer der Lehrveranstaltung: |
06052 |
| Dauer der Lehrveranstaltung: |
4 SWS |
| Typ der Lehrveranstaltung: |
V - Vorlesung |
| Lehrveranstaltungspflicht: |
Wahl |
| Begleitende Lehrveranstaltung(en): |
06053 |
| Semester: |
SS 2010 |
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