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Seminar "Supersymmetrische Quantenmechanik"
| Dozent(in): |
Prof. Dr. Katrin Wendland, Dr. Emanuel Scheidegger, Cand. rer.nat. Magnus Engenhorst |
| Termin: |
Dienstags: 12:15 - 13:45 Uhr |
| Gebäude/Raum: |
L1 / 1008 |
Zusammenfassung:
In dem Seminar wird es darum gehen, mit Hilfe der supersymmetrischen Erweiterung der Quantenmechanik die Indexsätze von Atiyah und Singer herzuleiten. Diese Indexsätze sind von fundamentaler Bedeutung in der Mathematik und haben eine wichtige Anwendung in der Physik, z.B. bei der Bestimmung von Anomalien in Quantenfeldtheorien. Eine Anomalie tritt auf, wenn eine klassische Feldtheorie eine Symmetrie besitzt, die nach der Quantisierung verletzt ist. Damit die Quantenfeldtheorie wohldefiniert ist, dürfen keine Anomalien auftreten. Anomalien hängen von den topologischen Eigenschaften der Quantenfeldtheorie ab. Eine allgemeine Methode zur Bestimmung der Anomalien verwendet diese Indexsätze. Diese Beobachtung hat zu einer äusserst fruchtbaren Wechselwirkung zwischen der Mathematik und der Physik geführt.
In supersymmetrischen Quantenfeldtheorien kann man auf natürliche Weise einen Index, den sogenannten Witten-Index, bestimmen, nämlich die Differenz der Anzahl der Bosonen und der Fermionen im Grundzustand. Im Spezialfall, in dem die Feldtheorie sich einfach auf Quantenmechanik reduziert, reproduziert der Witten-Index verschiedene Indizes klassischer elliptischer Differentialoperatoren. Atiyah und Singer haben mit den Indexsätzen gezeigt, dass diese scheinbar analytische Größe auch eine topologische Größe ist. Diese Indexsätze kann man wiederum mit physikalischen Methoden im Rahmen der supersymmetrischen Quantenmechanik beweisen, in dem der entsprechende Witten-Index mittels Pfadintegralen ausgerechnet wird.
Im Seminar sollen die Eigenschaften der supersymmetrischen Quantenmechanik, von deRham und Dolbeault-Kohomologien, von charakteristischen Klassen von Vektorbündeln, und von elliptischen Operatoren besprochen werden. Darauf aufbauend wird dann die physikalische Herleitung der verschiedenen Indexsätze gezeigt.
Vorkenntnis für die Lehrveranstaltung:
Analysis I, II, Lineare Algebra I, II; Kenntnisse in Riemannscher Geometrie / Differentialgeometrie sind hilfreich, aber nicht erforderlich.
weitere Informationen zu der Lehrveranstaltung:
| empfohlenes Studiensemester der Lehrveranstaltung: |
ab dem 6. Semester |
| Fachrichtung Lehrveranstaltung: |
Diplom-Mathematik, Diplom-Physik |
| Nummer der Lehrveranstaltung: |
0 |
| Dauer der Lehrveranstaltung: |
2 SWS |
| Typ der Lehrveranstaltung: |
S - Seminar |
| Leistungspunkte: |
6 |
| Bereich: |
geeignet für "reine" (r) und "angewandte" (a) Mathematik und Physik (Seminarschein B) |
| Prüfung: |
Referat / Hausarbeit |
| Semester: |
WS 2009/10 |
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