Wann und wo: Di 16 - 18, SR 125
Vorbesprechung: Di 19.07.2016, 14:00, SR 218, Eckerstrasse 1.
Um teilzunehmen, kommen Sie bitte in die Vorbesprechung des Proseminars; eine
Teilnehmerliste wird nicht vorab ausliegen.
Thema:
Die Gruppe O(Rn) der orthogonalen Abbildungen
auf Rn mit dem Euklidischen Skalarprodukt ist aus
der Vorlesung "Lineare Algebra" bekannt.
Beispiele orthogonaler Abbildungen
sind die Spiegelungen, also lineare Abbildungen auf Rn,
die einen (n-1)-dimensionalen Untervektorraum
(eine "Hyperebene") von Rn fest lassen
und jeden zu dieser Hyperebene orthogonalen
Vektor in sein Negatives überführen.
Für n>1 ist die Gruppe O(Rn) unendlich.
Sie enthält aber auch dann jede Menge endlicher Untergruppen.
Zum Beispiel bildet jede Spiegelung zusammen mit der Identität
eine Untergruppe von O(Rn) der Ordnung zwei. Die
Symmetriegruppe eines Würfels im R3
ist eine Untergruppe von
O(R3) der Ordnung 48. Sie
enthält neben 9 Spiegelungen auch 24 Drehungen, und
alle ihre Elemente können als
Kompositionen von Spiegelungen geschrieben werden.
Solche endlichen Gruppen nennt man endliche Spiegelungsgruppen.
Auch die Symmetriegruppen der übrigen Platonischen
Körper sind endliche Spiegelungsgruppen.
In diesem Proseminar werden wir die Eigenschaften endlicher
Spiegelungsgruppen
untersuchen. Natürliche Anwendungen ergeben sich
z.B. auf der Suche nach Pflasterungen der Ebene und für
die Symmetriegruppen in der Kristallographie.
Die in der Vorlesung "Lineare Algebra" gelernten
Grundlagen werden es uns auch ermöglichen,
alle endlichen Spiegelungsgruppen zu klassifizieren.
Die endlichen Spiegelungsgruppen finden noch viel weitreichendere
Anwendungen in der Theorie der Liegruppen, der Singularitätentheorie,
und sogar in der Quantenfeldtheorie. Diese Anwendungen können
zwar nicht Thema des Proseminars sein, aber vielleicht werden
sie Ihnen im Verlaufe Ihres Studiums noch
begegnen.
Literatur:
Tutorium: Emanuel Scheidegger: Mittwoch 16-17 Uhr, Raum 329
