Wintersemester 2016: Proseminar Endliche Spiegelungsgruppen

Prof. Dr. Katrin Wendland
PD Dr. Emanuel Scheidegger

Wann und wo: Di 16 - 18, SR 125

Vorbesprechung: Di 19.07.2016, 14:00, SR 218, Eckerstrasse 1.
Um teilzunehmen, kommen Sie bitte in die Vorbesprechung des Proseminars; eine Teilnehmerliste wird nicht vorab ausliegen.

Thema:
Die Gruppe O(Rn) der orthogonalen Abbildungen auf Rn mit dem Euklidischen Skalarprodukt ist aus der Vorlesung "Lineare Algebra" bekannt. Beispiele orthogonaler Abbildungen sind die Spiegelungen, also lineare Abbildungen auf Rn, die einen (n-1)-dimensionalen Untervektorraum (eine "Hyperebene") von Rn fest lassen und jeden zu dieser Hyperebene orthogonalen Vektor in sein Negatives überführen.
Für n>1 ist die Gruppe O(Rn) unendlich. Sie enthält aber auch dann jede Menge endlicher Untergruppen. Zum Beispiel bildet jede Spiegelung zusammen mit der Identität eine Untergruppe von O(Rn) der Ordnung zwei. Die Symmetriegruppe eines Würfels im R3 ist eine Untergruppe von O(R3) der Ordnung 48. Sie enthält neben 9 Spiegelungen auch 24 Drehungen, und alle ihre Elemente können als Kompositionen von Spiegelungen geschrieben werden. Solche endlichen Gruppen nennt man endliche Spiegelungsgruppen. Auch die Symmetriegruppen der übrigen Platonischen Körper sind endliche Spiegelungsgruppen.

In diesem Proseminar werden wir die Eigenschaften endlicher Spiegelungsgruppen untersuchen. Natürliche Anwendungen ergeben sich z.B. auf der Suche nach Pflasterungen der Ebene und für die Symmetriegruppen in der Kristallographie. Die in der Vorlesung "Lineare Algebra" gelernten Grundlagen werden es uns auch ermöglichen, alle endlichen Spiegelungsgruppen zu klassifizieren.

Die endlichen Spiegelungsgruppen finden noch viel weitreichendere Anwendungen in der Theorie der Liegruppen, der Singularitätentheorie, und sogar in der Quantenfeldtheorie. Diese Anwendungen können zwar nicht Thema des Proseminars sein, aber vielleicht werden sie Ihnen im Verlaufe Ihres Studiums noch begegnen.

Literatur:

  • L.V. Grove, C.T. Benson, Finite Reflection Groups, Springer, 2. Auflage, 1996
  • J.E. Humphreys, Reflection groups and Coxeter groups, Cambridge University Press, 1990

Tutorium: Emanuel Scheidegger: Mittwoch 16-17 Uhr, Raum 329