Albert-Ludwigs-Universität
Freiburg Fakultät für Mathematik und Physik
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Finite Model Theory
The book presents the main results of descriptive complexity
theory, that is, the connections between axiomatizability of
classes of finite structures and their complexity with respect
to time and space bounds. The logics that are important in this
context include fixed-point logics, transitive closure logics,
and also certain infinitary languages; their model theory is
studied in full detail. Other topics include DATALOG
languages, quantifiers and oracles, 0-1 laws, and optimization
and approximation problems. The book is written in such a way
that the respective parts on model theory and descriptive
complexity theory may be read independently. This second edition
is a thoroughly revised and enlarged version of the original
text.
Einführung in die Mengenlehre
Die Mengenlehre ist eine eigenständige mathematische Disziplin.
Zugleich ist sie eine Grundlagendisziplin, die für alle
mathematischen Theorien ein begriffliches Gerüst bereithält.
In dieser Universalität offenbart sich eine große Tragweite
des Mengenbegriffs und seiner Axiomatisierungen.
Die vorliegende Einführung gibt einen Einblick in die Theorie,
und zwar auf der Basis des sog. Zermelo-Fraenkelschen
Axiomensystems ZFC mit Auswahlaxiom. Sie behandelt darüber
hinaus Methoden und Ergebnisse, die auf eine möglichst
weitgehende Rechtfertigung der Axiome zielen. Geschichtliche
und erkenntnistheoretische Aspekte runden das Bild ab.
Das Buches setzt keine spezifischen mathematischen Kenntnisse
voraus. Es richtet sich an alle, die an den Grundlagen der
Mathematik interessiert und mit Gedankengängen mathematischer
Prägung vertraut sind.
Für die vorliegende 4. Auflage wurde der Text insbesondere
im Hinblick auf motivierende, erläuternde und historische
Bemerkungen überarbeitet. Neu aufgenommen wurden
Lösungsvorschläge für rund 200 Übungsaufgaben. Sie
sollen Hilfe sein, wenn man das Buch zur eigenständigen
Erarbeitung des dargebotenen Stoffes nutzen möchte. Zugleich
erweitern sie den Kreis der systematisch behandelten Themen:
Die Lösungsvorschläge zu den Aufgaben in Kapitel XI
beschäftigen sich mit der konstruktiblen Hierarchie Gödels;
sie erlauben es jetzt, einen Beweis für die Widerspruchsfreiheit
des Auswahlaxioms relativ zu den übrigen Axiomen anzuschließen.
Damit wird die Diskussion von ZFC in einem wesentlichen Punkt
abgerundet.
Mathematische Logik
Was ist ein mathematischer Beweis? Wie lassen sich
Beweise rechtfertigen? Gibt es Grenzen der Beweisbarkeit?
Ist die Mathematik widerspruchsfrei? Kann das Auffinden
mathematischer Beweise Computern übertragen werden?
Erst im 20. Jahrhundert ist es der mathematischen Logik
gelungen, weitreichende Antworten auf diese Frage zu geben.
Im vorliegenden Werk werden die Ergebnisse systematisch
dargestellt; im Mittelpunkt steht dabei die Logik erster
Stufe.
Die Lektüre setzt – außer einer gewissen Vertrautheit
mit der mathematischen Denkweise – keine spezifischen
mathematischen Kenntnisse voraus.
Mathematical Logic
What is a mathematical proof? How can proofs be justified? Are
there limitations of provability? To what extent can machines
carry out mathematical proofs?
This junior/senior level text focuses on these questions. The
book starts with a thorough treatment of first-order logic and
its role in the foundations of mathematics. It covers several
advanced topics not commonly treated in introductory texts, such
as Trahtenbrot's undecidability theorem, Fraïssé's
characterization of elementary equivalence, Lindström's theorems
on the maximality of first-order logic, and the fundamentals of
logic programming.