Albert-Ludwigs-Universität Freiburg
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Abteilung für Mathematische Logik
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Heinz-Dieter Ebbinghaus

Beschreibungen der Bücher / Descriptions of the Books


Ernst Zermelo. An Approach to His Life and Work

This biography sheds light on all facets of the life and the achievements of Ernst Zermelo (1871–1953). Zermelo is best-known for the statement of the axiom of choice and his axiomatization of set theory. However, he also worked in applied mathematics and mathematical physics. His dissertation, for example, promoted the calculus of variations, and he created the pivotal method in the theory of rating systems.
The presentation of Zermelo's work explores motivations, aims, acceptance, and influence. Selected proofs and information gleaned from letters add to the analysis. The description of his personality owes much to conversations with his late wife Gertrud.
This second edition provides additional information. The system of citations has been adapted to that of Zermelo's Collected Works in order to facilitate side-by-side reading and thus profit from the thorough commentaries written for the Collected Works by experts in the respective fields.
All facts presented are documented by appropriate sources. The biography contains nearly 50 photos and facsimiles.

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Finite Model Theory

The book presents the main results of descriptive complexity theory, that is, the connections between axiomatizability of classes of finite structures and their complexity with respect to time and space bounds. The logics that are important in this context include fixed-point logics, transitive closure logics, and also certain infinitary languages; their model theory is studied in full detail. Other topics include DATALOG languages, quantifiers and oracles, 0-1 laws, and optimization and approximation problems. The book is written in such a way that the respective parts on model theory and descriptive complexity theory may be read independently. This second edition is a thoroughly revised and enlarged version of the original text.

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Einführung in die Mengenlehre

Die Mengenlehre ist eine eigenständige mathematische Disziplin. Zugleich ist sie eine Grundlagendisziplin, die für alle mathematischen Theorien ein begriffliches Gerüst bereithält. In dieser Universalität offenbart sich eine große Tragweite des Mengenbegriffs und seiner Axiomatisierungen.
Die vorliegende Einführung gibt einen Einblick in die Theorie, und zwar auf der Basis des sog. Zermelo-Fraenkelschen Axiomensystems ZFC mit Auswahlaxiom. Sie behandelt darüber hinaus Methoden und Ergebnisse, die auf eine möglichst weitgehende Rechtfertigung der Axiome zielen. Geschichtliche und erkenntnistheoretische Aspekte runden das Bild ab.
Das Buches setzt keine spezifischen mathematischen Kenntnisse voraus. Es richtet sich an alle, die an den Grundlagen der Mathematik interessiert und mit Gedankengängen mathematischer Prägung vertraut sind.
Für die vorliegende 4. Auflage wurde der Text insbesondere im Hinblick auf motivierende, erläuternde und historische Bemerkungen überarbeitet. Neu aufgenommen wurden Lösungsvorschläge für rund 200 Übungsaufgaben. Sie sollen Hilfe sein, wenn man das Buch zur eigenständigen Erarbeitung des dargebotenen Stoffes nutzen möchte. Zugleich erweitern sie den Kreis der systematisch behandelten Themen: Die Lösungsvorschläge zu den Aufgaben in Kapitel XI beschäftigen sich mit der konstruktiblen Hierarchie Gödels; sie erlauben es jetzt, einen Beweis für die Widerspruchsfreiheit des Auswahlaxioms relativ zu den übrigen Axiomen anzuschließen. Damit wird die Diskussion von ZFC in einem wesentlichen Punkt abgerundet.

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Mathematische Logik

Was ist ein mathematischer Beweis? Wie lassen sich Beweise rechtfertigen? Gibt es Grenzen der Beweisbarkeit? Ist die Mathematik widerspruchsfrei? Kann das Auffinden mathematischer Beweise Computern übertragen werden?
Erst im 20. Jahrhundert ist es der mathematischen Logik gelungen, weitreichende Antworten auf diese Frage zu geben. Im vorliegenden Werk werden die Ergebnisse systematisch dargestellt; im Mittelpunkt steht dabei die Logik erster Stufe.
Die Lektüre setzt - außer einer gewissen Vertrautheit mit der mathematischen Denkweise - keine spezifischen mathematischen Kenntnisse voraus.
In der vorliegenden 5. Auflage finden sich erstmals Lösungsskizzen zu den Aufgaben.

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Mathematical Logic

What is a mathematical proof? How can proofs be justified? Are there limitations of provability? To what extent can machines carry out mathematical proofs?
This junior/senior level text focuses on these questions. The book starts with a thorough treatment of first-order logic and its role in the foundations of mathematics. It covers several advanced topics not commonly treated in introductory texts, such as Trahtenbrot's undecidability theorem, Fraïssé's characterization of elementary equivalence, Lindström's theorems on the maximality of first-order logic, and the fundamentals of logic programming.

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Zahlen

From the Preface to the English Edition, written by John Ewing:

A book about numbers sounds rather dull. This one is not. Instead it is a lively story about one thread of mathematics - the concept of "number" - told by eight authors and organized into a historical narrative that leads the reader from ancient Egypt to the late twentieth century. It is a story that begins with some of the simplest ideas of mathematics and ends with some of the most complex. It is a story that mathematicians, both amateur and professional, ought to know. [...]
This is not a book for the faint-hearted, however. While it starts with material that every undergraduate could (and should) learn, the reader is progressively challenged as the chapters progress into the twentieth century. The chapters often tell about people and events, but they primarily tell about mathematics. Undergraduates can certainly read large parts of this book, but mastering the material in late chapters requires work, even for mature mathematicians. This is a book that can be read on several levels, by amateurs and professionals alike. [...]

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