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Einführung in die Theorie der Modulformen
| Titel: |
Einführung in die Theorie der Modulformen |
| Dozent(in): |
Dr. Emanuel Scheidegger, Gastprof. Dr. Emma Carberry, MMath. Oliver Gray |
| Termin: |
Di, 10:00-11:30 (L1 1010), Fr, 10:00-11:30 (L1 1008) |
| Gebäude/Raum: |
L1 1008, L1 1010 (Mathematik) |
| Ansprechpartner: |
Dr. Emanuel Scheidegger, MMath. Oliver Gray |
Zusammenfassung:
Einführung in die Theorie der Modulformen und der elliptischen Kurven: Eigenschaften von holomorphen und schwach holomorphen Modulformen für (Kongruenzuntergruppen von) SL(2,Z), Quasi-Modulformen, Jacobi-Formen und Uniformisierung der elliptischen Kurven. Wenn es die Zeit erlaubt, wird auf Anwendungen in der Physik, der Kryptographie, und den letzten Satz von Fermat eingegangen.
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Inhalt der Lehrveranstaltung:
Modulformen sind komplex-analytische Funktionen auf der oberen komplexen Halbebene, welche eine bestimmte Funktionalgleichung und eine Wachstumsbedingung im Unendlichen erfüllen. Letztere garantiert, dass Modulformen eine Art Fourierreihen-Entwicklung besitzen. Die Theorie der Modulformen gehört also in den Bereich der komplexen Analysis, aber ihre zentrale Bedeutung liegt in ihrem Zusammenhang zur Zahlentheorie. Daher resultieren auch die meisten ihrer Anwendungen.
Oft können Zählprobleme dadurch gelöst werden, indem man eine erzeugende Funktion aufstellt und deren Eigenschaften untersucht. In günstigen Situationen lässt sich dann zeigen, dass diese Funktion eine Modulform ist. Die Fourier-Koeffizienten sind dann die Lösung des Zählproblems. Daher rührt auch die Hauptanwendung von Modulformen in der Physik. Dort ist man an der Anzahl der Zustände eines quantenmechanischen Systems mit vorgegebenen Quantenzahlen interessiert. Diese werden durch die sogenannte Zustandssumme beschrieben, welche wiederum in günstigen Fällen eine Modulform ist.
Die wohl faszinierendste Anwendung der Theorie der Modulformen ist der Beweis von Fermats letztem Satz, der besagt, dass a^n + b^n = c^n für n > 2 keine ganzzahlige Lösung außer a=b=0 besitzt. Zugrunde liegt die Tatsache, dass die komplexe Kurve y^2 = x(x-a^n)(x-b^n) sehr viele Symmetrien besitzt und durch Modulformen eindeutig beschrieben werden kann. Solche Kurven heissen elliptische Kurven und sind das zentrale geometrische Objekt in der Theorie der Modulformen.
Diese elliptischen Kurven spielen auch im täglichen Leben eine immer bedeutendere Rolle: Die Verschlüsselungsalgorithmen in der Public Key Kryptographie basieren auf ganzzahliger Faktorisierung oder diskreten Logarithmen, wobei für beide Eigenschaften dieser Kurven ausgenutzt werden.
Das Ziel der Vorlesung ist es, eine elementare Einführung in die Konzepte der Modulformen und elliptischen Kurven zu geben mit Schwergewicht auf expliziten Rechnungen, während abstrakte Konzepte der Zahlentheorie weniger berücksichtigt werden.
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Vorkenntnis für die Lehrveranstaltung:
Lineare Algebra I, II, Analysis I, II.
Grundlegende Kenntnisse in Riemannscher Geometrie und in komplexer Funktionentheorie sind nützlich, können aber ggf. in der Vorlesung nachgetragen werden.
Literatur zur Lehrveranstaltung:
Neil Koblitz, Introduction to elliptic curves and modular forms, Graduate Texts in Math. No. 97, Springer-Verlag, New York, 1984. Second edition, 1993.
Hershel Farkas, Irwin Kra, Theta Constants, Riemann Surfaces and the Modular Group, Graduate Studies in Mathematics, vol 37 American Mathematical Society, 2001.
Martin Eichler, Don Zagier, The Theory of Jacobi Forms. Birkhäuser, 1985
weitere Informationen zu der Lehrveranstaltung:
| empfohlenes Studiensemester der Lehrveranstaltung: |
ab dem 6. Semester |
| Fachrichtung Lehrveranstaltung: |
Diplom-Mathematik, Diplom-Physik |
| Nummer der Lehrveranstaltung: |
06056 |
| Dauer der Lehrveranstaltung: |
4 SWS |
| Typ der Lehrveranstaltung: |
V - Vorlesung |
| Leistungspunkte: |
10 LP für Vorlesung + Übung |
| Prüfung: |
Sonstige |
| Lehrveranstaltungspflicht: |
Wahl |
| Begleitende Lehrveranstaltung(en): |
06057 |
| Semester: |
SS 2008 |
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