Sommersemester 2014: Vorlesung Aspekte der komplexen Geometrie

Prof. Dr. Katrin Wendland

Vorlesung

• Wann und wo: Montag und Mittwoch 10-12 Uhr, im SR 404 Eckerstr. 1
  Die Komplexe Geometrie verbindet zwei Gebiete in der Mathematik: Die Differentialgeometrie und die algebraische Geometrie. Sie kann als ein Spezialfall der klassischen Riemannschen Geometrie verstanden werden, in dem wesentliche neue Techniken zur Verfügung stehen, nämlich die der komplexen Funktionentheorie. Dies erlaubt interessante Anwendungen, z.B. im Zusammenhang mit sogenannten Calabi-Yau Mannigfaltigkeiten, die in der modernen theoretischen Physik eine wesentliche Rolle spielen.
  
  Ziel der Vorlesung ist es, die wichtigsten und grundlegenden Techniken zum Studium solcher komplexer Mannigfaltigkeiten zu lehren und einige Beispielklassen sowie Anwendungen zu diskutieren. Insbesondere werden wir sogenannte Kählermannigfaltigkeiten und ihre besonderen Eigenschaften studieren, d.h. Mannigfaltigkeiten, deren Riemannsche Metrik eng mit der komplexen Struktur verworben ist. Die für die theoretische Physik relevanten Beispielklassen werden ausführlich behandelt, nämlich die erwähnten Calabi-Yau Mannigfaltigkeiten, und unter diesen insbesondere die K3-Flächen. Weiter sollen Techniken aus der theoretischen Physik eingeführt werden, wie etwa die Konstruktion von Vertexalgebren aus geeigneten geometrischen Daten. Wie wir sehen werden, erlauben die Vertexalgebren den Brückenschlag zwischen Geometrie und Quantenfeldtheorie.
  
  Es werden Grundkenntnisse aus der Differentialgeometrie sowie Funktionentheorie vorausgesetzt; aus der theoretischen Physik, der Quantenfeldtheorie und aus der algebraischen Geometrie wird kein Vorwissen vorausgesetzt.

Literatur

• Daniel Huybrechts, "Complex Geometry", (Springer 2005)
• R.O. Wells, "Differential Analysis on Complex Manifolds", (Springer 1986)
• W.P. Barth, K. Hulek, Ch.A.M. Peters, A. van de Ven, "Compact Complex Surfaces", (Springer 2004), Kapitel VIII
• I. Frenkel, D. Ben-Zvi: "Vertex algebras and algebraic curves", Mathematical Surveys and Monographs 88, AMS, Providence, RI (2004), Kapitel 1-4

Hausaufgaben

• Ausgabe: Die Aufgabenblätter werden jeweils mittwochs in der Vorlesung ausgegeben, Sie haben eine Woche Zeit zur Bearbeitung.
• Abgabe: Jeweils dienstags bis 12:00 Uhr in den Briefkästen im Untergeschoss des mathematischen Institutes, eine Woche nach Ausgabe der Aufgaben.
  • Sie dürfen Ihre Lösungen in Zweiergruppen einreichen. Sie müssen in der Lage sein, alle von Ihrer Zweiergruppe eingereichten Lösungen frei an der Tafel vorzurechnen.
• Rückgabe: Die Übungsgruppenleiter korrigieren Ihre Lösungen und geben sie Ihnen etwa eine Woche nach Abgabe in Ihrer Übungsgruppe zurück, wo die Aufgaben besprochen und zum Teil vorgerechnet werden.

Übungsgruppen

• Dienstag, 12 - 14 Uhr, SR 414, Eckerstr. 1

Übungsblätter

• Übungsblatt 1
• Übungsblatt 2
• Übungsblatt 3
• Übungsblatt 4
• Übungsblatt 5
• Übungsblatt 6
• Übungsblatt 7
• Übungsblatt 8
• Übungsblatt 9
• Übungsblatt 10

Sprechstunden des Assistenten

• PD Dr. Emanuel Scheidegger: Mittwoch, 16:00-17:00 Uhr, Raum 329

Prüfungszulassung

• Anwesenheitspflicht - Sie dürfen höchstens zweimal bei den Übungen fehlen.
• Vorrechnen - Sie müssen mindestens eine Übungsaufgabe an der Tafel präsentieren.
• Hausaufgaben - Sie müssen mindestens 50% der maximal möglichen Übungspunkte erreichen.

Abschlussprüfung

• Zeitpunkt der Prüfung: voraussichtlich 28.08.2014