Endliche Einfache Gruppen, WiSe 2023/2024

Zeit und Ort Do 10-12 Uhr, SR 404
Dozent: Prof. Dr. Amador Martin-Pizarro
Sprechstunde Dozent: n. V.
Assistenz: Charlotte Bartnick
Sprechstunde Assistentin: Mo 14-16 Uhr n.V., Raum 305
E-Mail Anfragen: charlotte[punkt]bartnick[at]math[punkt]uni-freiburg[punkt]de

Aktuelles

  • Achtung: Bei Blatt 11, Aufgabe 4 muss a ungleich 0 angenommen werden. Eine verbesserte Version ist online (01.02., 12 Uhr).

Inhalt

Gruppen, die keine nicht trivialen Normalteiler enthalten, heißen einfache Gruppen. Ähnlich wie Primzahlen für die natürlichen Zahlen bilden einfache Gruppen die Bausteine für endliche Gruppen. Man sieht leicht, dass abelsche endliche einfache Gruppen zyklisch sind. Nicht abelsche Beispiele sind alternierende Gruppen sowie die Gruppen vom Lie-Typ.

Die Klassifikation von endlichen einfachen Gruppen geht weit über den Rahmen dieses Kurses hinaus. Wir werden jedoch einige der wiederkehrenden Ideen der Klassifikation veranschaulichen und insbesondere das folgende Ergebnis von Brauer und Fowler beweisen:

Theorem: Sei $G$ eine endliche Gruppe von gerader Ordnung derart, dass das Zentrum ungerade Ordnung besitzt. Dann gibt es ein Element $g\ne 1_G$ mit $|G|<|C_G(g)|^3$.

Diesen Theorem hatte besonders großen Einfluss auf die Klassifikation endlicher einfacher Gruppe, da es suggeriert, dass diese durch Untersuchung der Zentralisatoren von Elementen von Ordnung 2 klassifiziert werden könnten.

Informationen zum Lehrbetrieb

Die Vorlesung sowie die Übungsgruppe finden in Präsenz statt. Der Termin der Übungsgruppe ist Mittwoch von 16 bis 18 Uhr in Raum 318.

Bitte beachten Sie die Hinweise zu Studien- und Prüfungsleistungen im Modulhandbuch zu Ihrem Studiengang.

Übungsblätter

Die Übungsblätter erscheinen voraussichtlich Montags auf dieser Webseite und die Abgabe ist dann eine Woche später bis Montag 12 Uhr im Briefkasten 2.23 im Keller des Mathematischen Instituts. Die Blätter dürfen zu zweit bearbeitet werden.

Blatt Ausgabe Abgabe
Blatt 0 19.10.23 keine Abgabe
Blatt 1 23.10.23 30.10.23
Blatt 2 30.10.23 06.11.23
Blatt 3 06.11.23 16.11.23
Blatt 4 20.11.23 27.11.23
Blatt 5 28.11.23 04.12.23
Blatt 6 04.12.23 11.12.23
Blatt 7 11.12.23 18.12.23
Blatt 8 08.01.24 15.01.24
Blatt 9 15.01.24 22.01.24
Blatt 10 22.01.24 29.01.24
Blatt 11 29.01.24 05.02.24

Literatur

  1. J. S. Rose, A course on Group Theory, Cambridge University Press, 1978.
  2. J. J. Rotman, An introduction to the Theory of Groups, Springer-Verlag, 1999. Im Uninetz hier einsehbar.
  3. R. Solomon, A brief history of the classification of the finite simple groups, Bulletin American Mathematical Society 38 (2001), no. 3, 315–352. Im Uninetz hier einsehbar.